V2ANS.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V2ANS.XGP[TEX,DEK] blob sn#392813 filedate 1978-11-04 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0001853*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	I␈↓ α∂␈εαANSWER␈αP␈α⎇A␈α␈GES␈αfor␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β	t␈↓ ¬c␈εα(Volume␈α2)
␈β
∨␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓l␈↓ ↓H␈∧↓l↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓l¬↓(
␈β↓q␈↓ ↓H␈∧↓q↓H(↓␈↓ ,␈∧↓q,(↓
␈β∧j␈↓ ¬3␈ε≤A␈α␈NSWER␈α↓S␈α∃T␈α␈O␈α∃EXERC␈α␈ISES
␈βε=␈↓ ¬␈ε This␈αbranch␈αof␈αmathematics␈αis␈αthe␈αonly␈αone,␈αI␈αbeliev␈α␈e,
␈βεe␈↓ βy␈ε in␈αwhich␈αgood␈αwriters␈αfrequently␈αget␈αresults␈αentirely␈αerroneous.
␈βπ␈↓ ε6␈ε .␈α.␈α.␈αIt␈αmay␈αbe␈αdoubted␈αif␈αthere␈αis␈αa␈αsingle
␈βπ4␈↓ ¬w␈ε extensiv␈α␈e␈αtreatise␈αon␈αprobabilities␈αin␈αexistence
␈βπ[␈↓ ∧\␈ε which␈αdoes␈αnot␈αcontain␈αsolutions␈αabsolutely␈αindefensible.
␈βλ≠␈↓ ¬"␈ε∨←C.␈αS.␈αPEIRCE,␈αin␈ε ␈αPopular␈αScience␈αMonthly␈ε∨␈α(1878)
␈β(␈↓ ↓H␈ε≥NOT␈α␈ES␈α
ON␈α∞T␈α␈HE␈α
EXERCISES
␈β}␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβAn␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αp␈α␈rob␈α␈l␈α↓em␈α
for␈αa␈αma␈α␈them␈α␈atically-in␈α␈cl␈α↓in␈α␈ed␈αre␈α␈ade␈α␈r.
␈β5␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈α	W.␈α	J␈α␈.␈α	L␈α↓e␈α␈Vequ␈α␈e,␈ε⊂␈α	Topics␈αλin␈α	N␈α␈um␈α␈b␈α␈er␈α	Th␈α␈eory␈ε∪␈αλ2␈εβ␈αλ(Rea␈α␈ding␈α␈,␈α
M␈α␈ass.:␈α
Add␈α␈ison␈α␈-␈α↓Wesley␈α␈,
␈β\␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈956␈α␈),␈α	Ch␈α␈ap␈α␈ter␈αλ3.␈α
(␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈α
On␈α␈e␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλme␈α␈n␈αλwh␈α␈o␈αλr␈α␈ead␈απa␈απprelimina␈α␈ry␈απdraft␈απof␈αλth␈α␈e␈αλm␈α␈an␈α␈u␈α␈scrip␈α␈t
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αλthis␈αλb␈α␈ook␈απrep␈α␈orted␈απtha␈α␈t␈αλhe␈απha␈α␈d␈αλd␈α␈i␈α↓s␈α␈co␈α␈v␈α␈e␈α␈red␈αλa␈απtruly␈απrema␈α␈rka␈α␈ble␈αλp␈α␈roof,␈α	wh␈α␈ich␈αλt␈α␈he␈αλm␈α␈argin
␈β
,␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αhis␈αcop␈α␈y␈αwas␈αto␈α␈o␈αsma␈α␈l␈α↓l␈αto␈αc␈α␈on␈α␈ta␈α␈in.)
␈β∞3␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.1
␈β∂	␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈is␈α
will␈α
u␈α␈sua␈α␈l␈α↓ly␈αfa␈α␈i␈α↓l,␈α
sin␈α␈ce␈α\ro␈α␈un␈α␈d"␈αtelep␈α␈ho␈α␈ne␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αare␈αoften␈αselected␈αby
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	te␈α␈l␈α↓ep␈α␈ho␈α␈ne␈αλuser␈αλwhen␈αλpo␈α␈ssible.␈αIn␈αλsom␈α␈e␈α	co␈α␈mm␈α␈un␈α␈ities,␈α
telep␈α␈ho␈α␈ne␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈αλare␈α	p␈α␈erh␈α␈ap␈α␈s
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssigne␈α␈d␈α∂ra␈α␈nd␈α␈omly␈α␈.␈α↔Bu␈α␈t␈α∂it␈α∂is␈α∂a␈α∞mistak␈α}e␈α∂in␈α∞an␈α}y␈α∂c␈α␈ase␈α∂t␈α␈o␈α∂try␈α∞to␈α∞get␈α∞sev␈α␈er␈α␈al␈α∂suc␈α␈cessiv␈α␈e
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αfrom␈αth␈α␈e␈αs␈α␈ame␈αp␈α␈age,␈αsince␈αth␈α␈e␈αsame␈αte␈α␈l␈α↓e␈α␈ph␈α␈one␈αn␈α}um␈α}ber␈αis␈αoften␈αlisted
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αtime␈α␈s␈αin␈α
a␈αro␈α␈w.
␈β⊂P␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂B␈α↓u␈α␈t␈αdo␈αy␈α␈ou␈αuse␈αth␈α␈e␈αleft-han␈α␈d␈αp␈α␈ag␈α␈e␈αor␈αthe␈αrig␈α␈h␈α␈t-ha␈α␈nd␈αpa␈α␈ge?␈α∞Sa␈α␈y,␈αuse␈αth␈α␈e␈αleft-
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβh␈α␈an␈α␈d␈αpa␈α␈ge␈αn␈α␈um␈α}ber,␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈αby␈α2␈α␈,␈α
and␈αta␈α␈k␈α␈e␈αthe␈αun␈α␈its␈α
d␈α␈igit.␈α⊂The␈αtot␈α␈al␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
p␈α␈age␈α␈s
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ou␈α␈ld␈αbe␈α
a␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈α2␈α␈0;␈αbu␈α␈t␈αev␈α␈e␈α␈n␈αso,␈αth␈α␈i␈α↓s␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αwill␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
some␈αb␈α␈ias.
␈β⊃L␈↓ ε#␈ε∧60␈α↓0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα601
␈βα*␈↓ α␈εβ(c)␈α⊃Th␈α␈e␈α
mark␈α␈ing␈α␈s␈αo␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
f␈α↓a␈α␈ces␈α
will␈αsligh␈α␈tly␈α	bias␈α
th␈α␈e␈α
die,␈αb␈α␈ut␈α
for␈α
p␈α␈ract␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈αp␈α␈urp␈α␈ose␈α␈s
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
m␈α␈etho␈α␈d␈α	is␈α	quite␈α	sa␈α␈ti␈α↓sfa␈α␈ctory␈α	(a␈α␈nd␈α	it␈α	ha␈α␈s␈α	bee␈α␈n␈α	used␈αλby␈α	t␈α␈he␈α	au␈α␈tho␈α␈r␈α
in␈α	th␈α␈e␈α	pre␈α␈pa␈α␈ration
␈βαy␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
sev␈α␈e␈α␈ral␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α
in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	set␈α
of␈α
b␈α␈oo␈α␈ks).␈αS␈α␈ee␈ε⊂␈α
M␈α␈ath.␈α
Co␈α␈mp␈α␈.␈ε∪␈α1␈α␈5␈εβ␈α
(19␈α␈61),␈α
94␈α␈↑95␈α	for␈α
fu␈α␈rthe␈α␈r
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈iscussio␈α␈n␈αof␈αth␈α␈ese␈αd␈α␈i␈α↓ce␈α␈.
␈ββJ␈↓ α␈εβ(d)␈α⊂(T␈α↓h␈α␈is␈α
is␈α
a␈α
h␈α␈ard␈α	qu␈α␈estion␈α	th␈α␈ro␈α␈wn␈α	i␈α↓n␈α	pu␈α␈rp␈α␈osely␈α	as␈α
a␈α	surp␈α␈rise.)␈αThe␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	i␈α↓s␈α	no␈α␈t
␈ββr␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om;␈αif␈αthe␈αav␈α}erage␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αem␈α␈i␈α↓ssio␈α␈ns␈αper␈αmin␈α␈u␈α␈te␈αis␈↓ λ≥␈ε	m␈↓ λ:␈εβ,␈αthe␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αth␈α␈at␈αthe
␈β∧∃␈↓ ∧↓␈ε~␈␈↓ ∧≠␈εm␈↓ ∧O␈εk
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oun␈α}ter␈αλregisters␈↓ β=␈ε	k␈↓ βV␈εβis␈↓ βt␈ε	e␈↓ ∧2␈ε	m␈↓ ∧\␈εβ/␈↓ ∧m␈ε	k␈↓ ∧⎇␈εβ!␈α	(the␈αλPoisson␈αλd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n).␈α
So␈αλth␈α␈e␈α	d␈α␈igit␈α	0␈αλis␈αλselected␈αλwith
␈β∧#␈↓ β8␈ε↓P
␈β∧=␈↓ βα␈ε~␈␈↓ β≤␈εm␈↓ ∧4␈εε10␈↓ ∧M␈εk
␈β∧A␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ αu␈ε	e␈↓ ∧↔␈ε	m␈↓ ∧[␈εβ/␈α␈(10␈↓ ¬_␈ε	k␈↓ ¬(␈εβ)!,␈α∞etc␈α␈.␈α⊃Th␈α␈e␈α
u␈α␈nits␈α
d␈α␈igit␈α
wil␈α↓l␈α
b␈α␈e␈α
e␈α␈v␈α␈en␈αwith␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β∧T␈↓ β↑␈εk␈↓ βl␈ε~∃␈εε0
␈β∧k␈↓ ↓U␈ε~␈␈↓ ↓n␈εm␈↓ β$␈εε1␈↓ βd␈εε1␈↓ ∧α␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧'␈εm␈↓ πI␈εε1
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε	e␈↓ α␈εβc␈α␈osh␈↓ αO␈ε	m␈↓ αv␈εβ=␈↓ β:␈εβ+␈↓ βu␈ε	e␈↓ ∧?␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α	this␈α
is␈α
n␈α␈ev␈α}er␈α
eq␈α␈ual␈α	to␈↓ πc␈εβ(␈α↓a␈α␈lthou␈α␈gh␈α	th␈α␈e␈α
erro␈α␈r␈α
is␈α
n␈α␈egligibly
␈β∧⎇␈↓ β$␈∧∧⎇β$α
␈↓ βd␈∧∧⎇βdα
␈↓ πI␈∧∧⎇πIα
␈β∧␈␈↓ β$␈εε2␈↓ βd␈εε2␈↓ πI␈εε2
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εβsm␈α␈all␈αwh␈α␈en␈↓ αv␈ε	m␈↓ β≡␈εβis␈αlarge).
␈β¬@␈↓ α␈εβ(e)␈α⊃Ok␈α␈ay␈α␈,␈α
pro␈α}vided␈αthat␈αth␈α␈e␈α
time␈αsinc␈α␈e␈α
th␈α␈e␈αprev␈α␈ious␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈αselecte␈α␈d␈αi␈α↓n␈αthis␈α
wa␈α␈y␈αis
␈β¬g␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈αthere␈α
i␈α↓s␈αp␈α␈ossible␈αb␈α␈ias␈αin␈αbo␈α␈rde␈α␈rl␈α↓in␈α␈e␈αcase␈α␈s.
␈βε⊃␈↓ α␈εβ(f,g)␈α⊃No␈α␈,␈αp␈α␈eop␈α␈le␈αusu␈α␈ally␈αthin␈α␈k␈αof␈αce␈α␈rtain␈αd␈α␈igits␈α(l␈α↓ik␈α␈e␈α
7)␈αwi␈α↓th␈α
high␈α␈er␈αp␈α␈roba␈α␈bility.
␈βε7␈↓ 	h␈εε1
␈βε:␈↓ α␈εβ(h)␈α⊂Oka␈α␈y;␈α	y␈α}our␈απassign␈α␈men␈α}t␈αλo␈α␈f␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αλto␈απth␈α␈e␈αλh␈α␈orse␈α␈s␈αλh␈α␈ad␈απpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ 
ε␈εβo␈α␈f␈αλassign␈α␈ing
␈βεH␈↓ 	a␈∧εH	aα~
␈βεJ␈↓ 	a␈εε10
␈βεb␈↓ ↓H␈εβa␈α
giv␈α␈en␈α
digit␈αto␈αth␈α␈e␈αwinn␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αh␈α␈orse.
␈βπ↔␈↓ 
␈εε10
␈βπ≠␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβThe␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
of␈α
su␈α␈ch␈α
seq␈α␈uen␈α␈ces␈α
is␈α
the␈α
m␈α}ultinom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α
10␈α␈000␈α␈00!/(1␈α␈000␈α␈00!␈↓ 
␈␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈βπ?␈↓ εM␈εε1␈α␈000␈α␈00␈α␈0
␈βπC␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
i␈α↓s␈α
this␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αd␈α␈ivide␈α␈d␈αb␈α␈y␈α1␈↓ ε<␈εβ0␈↓ π%␈εβ,␈αthe␈α
tota␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
of␈αseq␈α␈ue␈α␈nces␈α
of␈αa
␈βπd␈↓ 
T␈∧πd
Tα$
␈βπe␈↓ 
2␈ε↔p
␈βπf␈↓ 	k␈εε4␈↓ 
→␈εε22
␈βπj␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓llion␈αεd␈α␈igits.␈α
By␈αεS␈α␈ti␈α↓rling␈α␈'s␈απa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ation␈αεth␈α␈e␈αεpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α¬is␈απc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αεto␈αε1/␈α␈(16␈↓ 	Y␈ε	→␈↓ 	x␈εβ1␈↓ 
	␈εβ0␈↓ 
T␈εβ2␈↓ 
d␈ε	→␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	→
␈βλ∞␈↓ αT␈ε~␈␈εε26␈↓ ε,␈εε25
␈βλ∩␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈.␈α↓5␈α␈5␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ1␈↓ αD␈εβ0␈↓ βπ␈εβ,␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αon␈α␈e␈αcha␈α␈nce␈αin␈α
4␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ1␈↓ ε≤␈εβ0␈↓ εF␈εβ.
␈βλK␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ30␈α␈405␈α␈040␈α␈30.
␈β	¬␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSt␈α␈ep␈α	K11␈α	can␈α	b␈α␈e␈α
e␈α␈n␈α␈tere␈α␈d␈α
o␈α␈nly␈α	from␈α	step␈α	K1␈α␈0␈α
o␈α␈r␈α
ste␈α␈p␈α
K␈α␈2,␈α
an␈α␈d␈α	i␈α↓n␈α	eith␈α␈er␈α
c␈α␈ase␈α	we␈α	|␈α␈nd
␈β	,␈↓ ↓H␈εβit␈αimpo␈α␈ssible␈αfor␈↓ β>␈ε	X␈↓ βe␈εβto␈αb␈α␈e␈αzero␈αb␈α␈y␈αa␈αsimp␈α␈le␈αargu␈α␈men␈α}t.␈αIf␈↓ πu␈ε	X␈↓ λ≠␈εβcou␈α␈ld␈αbe␈αze␈α␈ro␈αat␈αth␈α␈at␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t,
␈β	T␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αn␈α␈ot␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate.
␈β
	␈↓ βN␈εε1␈α␈0
␈β
∞␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈αo␈α␈nly␈α
1␈↓ β=␈εβ0␈↓ βr␈εβten␈α␈-digit␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αa␈α␈re␈αp␈α␈ossible,␈αso␈α␈me␈αv␈α␈alue␈α
of␈↓ 	␈ε	X␈↓ 	2␈εβm␈α␈ust␈α
be␈α
repea␈α␈ted
␈β
1␈↓ βG␈εε10
␈β
5␈↓ ↓H␈εβd␈α␈urin␈α␈g␈αλthe␈αλ|␈α␈rst␈αλ1␈↓ β7␈εβ0␈↓ βd␈εβ+␈α∧1␈απsteps;␈α	an␈α␈d␈αλa␈α␈s␈α	s␈α␈oon␈απas␈αλa␈αλv␈α␈alue␈αλis␈αλrep␈α␈eated␈α␈,␈α	the␈απsequ␈α␈enc␈α␈e␈αλcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈s
␈β
]␈↓ ↓H␈εβto␈α
repe␈α␈at␈αits␈αpa␈α␈st␈αbeh␈α␈av␈α␈i␈α↓o␈α␈r.
␈β⊗␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Arg␈α␈uin␈α␈g␈α∂as␈α∂in␈α∞the␈α∞prev␈α␈ious␈α∞ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈,␈α⊂the␈α∂se␈α␈qu␈α␈ence␈α∞m␈α␈ust␈α∞ev␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α∞rep␈α␈eat␈α∂a
␈β>␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈;␈α
l␈α↓e␈α␈t␈α
t␈α␈his␈α	repe␈α␈ti␈α↓tio␈α␈n␈α	occ␈α␈ur␈α	for␈α	th␈α␈e␈α	|rst␈α	time␈α	a␈α␈t␈α	step␈↓ πc␈ε	⊗␈↓ πz␈εβ+␈↓ λ ␈ε	∃␈↓ λ3␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈↓ 	$␈ε	X␈↓ 	⎇␈εβ=␈↓ 
'␈ε	X␈↓ 
M␈εβ.␈α(Th␈α␈is
␈βH␈↓ 	;␈ε⊗␈↓ 	J␈εε+␈↓ 	c␈ε∃␈↓ 
>␈ε⊗
␈βe␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈α
d␈α␈e|n␈α␈es␈↓ βE␈ε	⊗␈↓ βa␈εβand␈↓ ∧!␈ε	∃␈↓ ∧5␈εβ.)␈αWe␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
0␈ε↔␈αλ∀␈↓ ε ␈ε	⊗␈↓ ε<␈εβ<␈↓ εf␈ε	m␈↓ πβ␈εβ,␈α0␈α	<␈↓ π]␈ε	∃␈↓ πy␈ε↔∀␈↓ λ$␈ε	m␈↓ λA␈εβ,␈↓ λV␈ε	⊗␈↓ λn␈εβ+␈↓ 	⊗␈ε	∃␈↓ 	2␈ε↔∀␈↓ 	]␈ε	m␈↓ 	z␈εβ.␈αThe␈α
v␈α␈alue␈α␈s
␈β
␈↓ ↓H␈ε	⊗␈↓ ↓c␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ α-␈ε	∃␈↓ αJ␈εβ=␈↓ αt␈ε	m␈↓ β≤␈εβa␈α␈re␈α
atta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α	i␈α↓{␈↓ ∧|␈ε	f␈↓ ¬⊗␈εβis␈α
a␈α
c␈α␈y␈α␈clic␈α
pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tion;␈↓ πq␈ε	⊗␈↓ λ
␈εβ=␈↓ λ7␈ε	m␈↓ λ[␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈,␈↓ 	!␈ε	∃␈↓ 	>␈εβ=␈α	1␈α
occ␈α␈urs,␈α
e.g.,
␈β5␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	X␈↓ α∀␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ αe␈ε	f␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β∩␈εβ)␈α	=␈↓ βQ␈ε	x␈↓ βi␈εβ+␈αλ1␈αfor␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ ∧|␈εβ<␈↓ ¬'␈ε	m␈↓ ¬L␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈αan␈α␈d␈↓ εZ␈ε	f␈↓ εj␈εβ(␈↓ εu␈ε	m␈↓ π~␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈α	=␈↓ λ∩␈ε	m␈↓ λ6␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.
␈β?␈↓ ↓}␈εε0
␈β↑␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂W␈α↓e␈αh␈α␈av␈α}e,␈α
fo␈α␈r␈↓ ∧∂␈ε	r␈↓ ∧)␈ε↔∃␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧i␈εβ,␈↓ ∧}␈ε	X␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε	X␈↓ ε␈εβi{␈↓ ε6␈ε	r␈↓ εL␈ε↔␈␈↓ εv␈ε	n␈↓ π⊗␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ 	␈ε	∃␈↓ 	∨␈εβand␈↓ 	a␈ε	n␈↓ 
␈ε↔∃␈↓ 
,␈ε	⊗␈↓ 
>␈εβ.␈α∞H␈α↓e␈α␈nce
␈βi␈↓ ¬⊗␈εr␈↓ ¬p␈εn
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α¬␈εβ=␈↓ α/␈ε	X␈↓ α↑␈εβi␈α↓{␈↓ β∧␈ε	n␈↓ β∨␈εβis␈αλa␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈le␈αλo␈α␈f␈↓ ∧w␈ε	∃␈↓ ¬∩␈εβan␈α␈d␈↓ ¬O␈ε	n␈↓ ¬l␈ε↔∃␈↓ ε↔␈ε	⊗␈↓ ε)␈εβ.␈α
The␈απdesired␈απr␈α␈esults␈απno␈α␈w␈απfollo␈α␈w␈αλimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α␈.
␈β
⊂␈↓ ↓←␈εε2␈↓ ↓k␈εn␈↓ αG␈εn
␈β
-␈↓ ↓H␈εβ(No␈α␈te:␈α∞This␈αis␈α
e␈α␈ssen␈α␈tially␈αa␈αp␈α␈roof␈αof␈αthe␈αfam␈α␈i␈α↓liar␈αmath␈α␈ema␈α␈tical␈α
re␈α␈sult␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈αpo␈α␈w␈α␈er␈α␈s
␈β
U␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
an␈αeleme␈α␈n␈α␈t␈α
in␈αa␈α
|␈α␈nite␈αsemigro␈α␈up␈αinclu␈α␈de␈αa␈α
u␈α␈niqu␈α␈e␈α
id␈α␈empo␈α␈ten␈α}t␈α
elemen␈α}t:␈α∂ta␈α␈k␈α␈e␈↓ 
[␈ε	X␈↓ ␈εβ=
␈β
←␈↓ 
s␈εε0
␈β
|␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈εβ,␈↓ ↓n␈ε	f␈↓ ↓}␈εβ(␈↓ α	␈ε	x␈↓ α≠␈εβ)␈α	=␈↓ αY␈ε	a␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ.)
␈β∞6␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈αleas␈α␈t␈↓ βU␈ε	n␈↓ βs␈εβ>␈α	0␈αsu␈α␈ch␈α
that␈↓ ¬L␈ε	n␈↓ ¬h␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ ε≠␈ε	#␈↓ ε)␈εβ(␈↓ ε4␈ε	n␈↓ εH␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αi␈α↓s␈αa␈α
m␈α␈ultip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ 	∂␈ε	∃␈↓ 	-␈εβand␈↓ 	n␈ε	#␈↓ 	|␈εβ(␈↓ 
π␈ε	n␈↓ 
≠␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α	∃␈↓ ~␈ε	⊗
␈β∞Y␈↓ αA␈ε~d␈↓ αK␈εεlg␈↓ αc␈εεma␈α␈x␈↓ β∩␈εε(␈↓ β≠␈ε⊗␈↓ β)␈εε+1,␈↓ βV␈ε∃␈↓ βf␈εε)␈ε~e
␈β∞]␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓h␈ε	n␈↓ αε␈εβ=␈↓ α0␈εβ2␈↓ β␈␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αε+␈↓ ∧f␈ε	∃␈↓ ∧z␈εβ.␈α[This␈αm␈α␈ay␈α
be␈α
com␈α␈par␈α␈ed␈α
wi␈α↓th␈α
th␈α␈e␈αlea␈α␈st␈↓ 	A␈ε	n␈↓ 	↑␈εβ>␈α
0␈α
su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈β∂¬␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α¬␈εβ=␈↓ α/␈ε	X␈↓ αW␈εβ,␈αna␈α␈mely␈↓ β`␈ε	∃␈↓ βs␈ε	∞␈↓ ∧"␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	⊗␈↓ ∧d␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	∃␈↓ ¬(␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε⊃␈εβ((␈↓ ε'␈ε	⊗␈↓ εA␈εβ+␈↓ εj␈ε	∃␈↓ π¬␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ πO␈εβm␈α␈od␈↓ λ∪␈ε	∃␈↓ λ'␈εβ)␈↓ λ2␈εβ.]
␈β∂⊂␈↓ ↓←␈εε2␈↓ ↓k␈εn␈↓ αG␈εn␈↓ β␈␈ε⊗␈↓ ∧∞␈εε0
␈β∂+␈↓ εs␈εα(
␈β∂.␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂Sta␈α␈rt␈αwith␈↓ βd␈ε	X␈↓ ∧	␈εβ=␈↓ ∧4␈ε	Y␈↓ ∧V␈εβ=␈↓ ¬␈ε	X␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬9␈ε	k␈↓ ¬S␈εβ=␈↓ ¬⎇␈ε	m␈↓ ε$␈εβ=␈α	1.␈↓ ε␈␈εβAt␈α
k␈α␈e␈α␈y␈α
pla␈α␈ces␈α
in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
w␈α␈e␈α
will
␈β∂9␈↓ ¬↔␈εε0
␈β∂S␈↓ πg␈εα)
␈β∂V␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	X␈↓ α<␈εβ=␈↓ αf␈ε	X␈↓ βn␈εβ,␈↓ ∧α␈ε	Y␈↓ ∧%␈εβ=␈↓ ∧P␈ε	X␈↓ ¬$␈εβ,␈αand␈↓ ¬y␈ε	m␈↓ ε ␈εβ=␈↓ εK␈ε	#␈↓ εY␈εβ(2␈↓ εu␈ε	m␈↓ π~␈ε↔␈␈↓ πB␈ε	k␈↓ πS␈εβ).␈↓ π}␈εβTo␈αgen␈α␈erate␈αth␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αrand␈α␈om
␈β∂a␈↓ α}␈εε2␈↓ β
␈εm␈↓ β"␈ε~␈␈↓ β;␈εk␈↓ βH␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧g␈εm␈↓ ∧}␈ε~␈␈εε1
␈β∂}␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er,␈α∞d␈α␈o␈α
th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈αsteps␈α␈:␈α⊂S␈α␈et␈↓ ¬b␈ε	X␈↓ ε
␈ε↔ ␈↓ ε7␈ε	f␈↓ εG␈εβ(␈↓ εR␈ε	X␈↓ εn␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ πI␈ε	k␈↓ πe␈ε↔ ␈↓ λ∪␈ε	k␈↓ λ,␈εβ+␈α	1.␈α⊃If␈↓ 	$␈ε	X␈↓ 	L␈εβ=␈↓ 	z␈ε	Y␈↓ 
∩␈εβ,␈α∞stop␈α(the
␈β⊂%␈↓ ↓H␈εβp␈α␈eriod␈αlen␈α␈gth␈↓ β∪␈ε	∃␈↓ β2␈εβis␈αe␈α␈qua␈α␈l␈αto␈↓ ∧T␈ε	m␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬!␈ε	k␈↓ ¬2␈εβ).␈αO␈α␈therwise␈αif␈↓ π∂␈ε	k␈↓ π(␈εβ=␈α
0,␈αset␈↓ λ,␈ε	Y␈↓ λO␈ε↔ ␈↓ λz␈ε	X␈↓ 	∃␈εβ,␈↓ 	+␈ε	m␈↓ 	R␈ε↔ ␈εβ␈α
2␈↓ 
∞␈ε	m␈↓ 
+␈εβ,␈↓ 
A␈ε	k␈↓ 
[␈ε↔ ␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β⊂M␈↓ ↓H␈εβOu␈α␈tp␈α␈ut␈↓ α>␈ε	X␈↓ αZ␈εβ.
␈β⊂v␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∂Bre␈α␈n␈α␈t␈α
h␈α␈as␈αalso␈αcon␈α␈sidere␈α␈d␈α
a␈αm␈α␈ore␈αgen␈α␈eral␈α
m␈α␈etho␈α␈d␈αi␈α↓n␈αwh␈α␈ich␈αthe␈αsuc␈α␈cessiv␈α␈e
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈α	o␈α␈f␈↓ αO␈ε	Y␈↓ αq␈εβ=␈↓ β≠␈ε	X␈↓ βU␈εβsa␈α␈ti␈α↓sfy␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧e␈εβ=␈α	0,␈↓ ¬2␈ε	n␈↓ ¬␈␈εβ=␈α
1␈αβ+␈ε↔␈α∧b␈↓ εp␈ε	p␈↓ π↓␈ε	n␈↓ π∨␈ε↔c␈εβ␈αλwhe␈α␈re␈↓ λ⊃␈ε	p␈↓ λ+␈εβis␈αλan␈α}y␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	g␈α␈reater␈αλth␈α␈an
␈β⊃(␈↓ β2␈εn␈↓ ∧O␈εε1␈↓ ¬E␈εi␈↓ ¬P␈εε+1␈↓ π∀␈εi
␈β⊃0␈↓ βB␈ε
i
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα602␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}3.1
␈βα+␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈.␈αHe␈α
sho␈α␈w␈α␈ed␈α	tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
be␈α␈st␈αc␈α␈ho␈α␈i␈α↓ce␈α
o␈α␈f␈↓ ¬↑␈ε	p␈↓ ¬n␈εβ,␈αap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈α	2.477␈α␈1,␈αs␈α␈av␈α␈e␈α␈s␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α
3␈α
pe␈α␈rcen␈α}t␈αo␈α␈f
␈βαS␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αiteratio␈α␈ns␈αb␈α␈y␈αcom␈α␈pa␈α␈ri␈α↓so␈α␈n␈αwith␈↓ ¬A␈ε	p␈↓ ¬[␈εβ=␈α	2.␈α(␈α↓S␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓4␈α␈-4.)
␈βαz␈↓ α␈εβThe␈αme␈α␈tho␈α␈d␈αi␈α↓n␈αp␈α␈art␈α(b)␈αha␈α␈s␈αa␈αse␈α␈ri␈α↓o␈α␈us␈αde␈α␈|cien␈α␈cy,␈αho␈α}we␈α␈v␈α␈er,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αit␈αmig␈α␈h␈α␈t␈αgen␈α␈erate
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβa␈αlot␈α
o␈α␈f␈α
no␈α␈nra␈α␈nd␈α␈om␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈αbefo␈α␈re␈α
sh␈α}uttin␈α␈g␈α
o␈α␈{␈α↓.␈α⊂For␈αexa␈α␈mple,␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
a␈αpa␈α␈r-
␈ββE␈↓ ε⊂␈εk
␈ββI␈↓ ↓H␈εβticu␈α␈larly␈αba␈α␈d␈αca␈α␈se␈αsu␈α␈ch␈αa␈α␈s␈↓ ∧J␈ε	∃␈↓ ∧g␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ ¬9␈ε	⊗␈↓ ¬T␈εβ=␈↓ ¬␈␈εβ2␈↓ ε≥␈εβ.␈αA␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αba␈α␈sed␈αo␈α␈n␈αFl␈α↓o␈α}yd␈α␈'␈α↓s␈αide␈α␈a␈αi␈α↓n␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈ββq␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈(b),␈α
na␈α␈mely␈αon␈α␈e␈α
th␈α␈at␈αmain␈α␈ta␈α␈ins␈↓ ¬/␈ε	Y␈↓ ¬T␈εβ=␈↓ ε↓␈ε	X␈↓ εB␈εβa␈α␈nd␈↓ π∧␈ε	X␈↓ π+␈εβ=␈↓ πX␈ε	X␈↓ λ␈εβfor␈↓ λA␈ε	n␈↓ λa␈εβ=␈α0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈↓ 	l␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
→␈εβ,␈α
wil␈α↓l␈αstop
␈ββ|␈↓ ε_␈εε2␈↓ ε%␈εn␈↓ πo␈εn
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβb␈α␈efore␈αλan␈α}y␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	h␈α␈as␈α	b␈α␈een␈αλo␈α␈utp␈α␈ut␈αλt␈α␈wi␈α↓c␈α␈e.␈αOn␈αλth␈α␈e␈αλothe␈α␈r␈α	h␈α␈an␈α␈d␈α	if␈↓ λV␈ε	f␈↓ λo␈εβis␈αλun␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn␈αλ(e.g.,␈α
if␈α	w␈α␈e
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrece␈α␈i␈α↓v␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈↓ ∧+␈ε	X␈↓ ∧O␈εβ,␈↓ ∧]␈ε	X␈↓ ¬↓␈εβ,␈↓ ¬⊂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬B␈εβon␈α␈-li␈α↓n␈α␈e␈αfrom␈αa␈α␈n␈αo␈α␈utside␈αs␈α␈ourc␈α␈e)␈αor␈αif␈↓ 	Y␈ε	f␈↓ 	s␈εβi␈α↓s␈αd␈α␈i}cult␈αto
␈β∧K␈↓ ∧B␈εε0␈↓ ∧u␈εε1
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αcy␈α}cle␈αd␈α␈etection␈α
algo␈α␈rithm␈α
du␈α␈e␈αto␈αR.␈αW.␈αGosp␈α␈er␈αwil␈α↓l␈αb␈α␈e␈αp␈α␈referab␈α␈le:
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβM␈α␈ain␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈αεa␈α␈n␈αεau␈α␈xili␈α↓a␈α␈ry␈αεtab␈α␈le␈↓ ∧Q␈ε	T␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ∧␈␈ε	T␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬.␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬[␈εβ,␈↓ ¬i␈ε	T␈↓ ε∀␈εβ,␈αλwh␈α␈ere␈↓ π␈ε	m␈↓ π'␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ π↑␈εβl␈α↓g␈↓ π}␈ε	n␈↓ λ∩␈ε↔c␈εβ␈αεwhen␈αεre␈α␈ceivin␈α␈g␈↓ 
␈ε	X␈↓ 
'␈εβ.␈α
In␈α␈i␈α↓tia␈α␈l␈α↓ly
␈β¬~␈↓ ∧d␈εε0␈↓ ¬∪␈εε1␈↓ ¬⎇␈εm␈↓ 
↔␈εn
␈β¬7␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ ↓q␈ε↔ ␈↓ α≠␈ε	X␈↓ α?␈εβ.␈αFo␈α␈r␈↓ β∂␈ε	n␈↓ β,␈εβ=␈α	1,␈αε2␈α␈,␈↓ ∧∃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧B␈εβ,␈α	c␈α␈omp␈α␈are␈↓ ¬V␈ε	X␈↓ εε␈εβwith␈απeach␈απof␈↓ π;␈ε	T␈↓ π[␈εβ,␈↓ πj␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ↔␈εβ,␈↓ λ%␈ε	T␈↓ λt␈εβ;␈α
if␈αλno␈αλm␈α␈atch␈αλis␈αλfou␈α␈nd␈α␈,
␈β¬B␈↓ ↓[␈εε0␈↓ α3␈εε0␈↓ ¬m␈εn␈↓ πO␈εε0
␈β¬C␈↓ λ9␈ε~b␈↓ λC␈εεlg␈↓ λZ␈εn␈↓ λk␈ε~c
␈β¬[␈↓ ε⊗␈εe
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβse␈α␈t␈↓ ↓⎇␈ε	T␈↓ αH␈ε↔ ␈↓ αt␈ε	X␈↓ β≤␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈↓ ∧∀␈ε	e␈↓ ∧!␈εβ(␈↓ ∧,␈ε	n␈↓ ∧@␈εβ)␈α=␈↓ ¬β␈εβmax␈↓ ¬B␈ε↔f␈↓ ¬X␈ε	e␈↓ ¬q␈ε↔j␈↓ εε␈εβ2␈↓ ε,␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ π≥␈ε	n␈↓ π9␈εβ+␈α	1␈↓ πy␈ε↔g␈↓ λ
␈εβ.␈α∂But␈αi␈α↓f␈αa␈αmatc␈α␈h␈↓ 
	␈ε	X␈↓ 
<␈εβ=␈↓ 
i␈ε	T␈↓ ⊗␈εβis
␈β¬i␈↓ β␈εn␈↓ 
 ␈εn␈↓ 
⎇␈εk
␈β¬j␈↓ α⊂␈εe␈↓ α≠␈εε(␈↓ α#␈εn␈↓ α4␈εε)
␈βεε␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d,␈αthe␈α␈n␈↓ α⎇␈ε	∃␈↓ β~␈εβ=␈↓ βF␈ε	n␈↓ βb␈ε↔␈␈↓ ∧␈εβmax␈↓ ∧J␈ε↔f␈↓ ∧`␈ε	m␈↓ ¬λ␈ε↔j␈↓ ¬≠␈ε	m␈↓ ¬C␈εβ<␈↓ ¬o␈ε	n␈↓ ε∞␈εβan␈α␈d␈↓ εO␈ε	e␈↓ ε\␈εβ(␈↓ εg␈ε	m␈↓ π∧␈εβ)␈α=␈↓ πE␈ε	k␈↓ π[␈ε↔g␈↓ πl␈εβ.␈α
This␈αp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αstop
␈βε*␈↓ π␈εε2
␈βε.␈↓ ↓H␈εβb␈α␈efore␈α	gen␈α␈eratin␈α␈g␈α
a␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	t␈α␈wi␈α↓c␈α␈e,␈αb␈α␈ut␈α	at␈α
mo␈α␈st␈ε↔␈α
d␈↓ π⊂␈ε	∃␈↓ π#␈ε↔e␈εβ␈α
of␈α
th␈α␈e␈↓ λ_␈ε	X␈↓ λ3␈εβ'␈α↓s␈α	w␈α↓ill␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α	occu␈α␈rred␈α	more
␈βε<␈↓ π␈∧ε<πα
␈βε>␈↓ π␈εε3
␈βεU␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈α
on␈α␈ce.
␈βππ␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ(a,b)␈α∞0␈α␈0,␈αε00␈α␈,␈↓ β=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βr␈εβ[62␈α∞sta␈α␈rti␈α↓n␈α␈g␈α∞v␈α␈alues];␈α⊂1␈α␈0,␈αε1␈α␈0,␈↓ ππ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π<␈εβ[19];␈α⊂6␈α␈0,␈αε60␈α␈,␈↓ λi␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	≡␈εβ[15];␈α⊂5␈α␈0,␈αε50␈α␈,␈↓ 
K␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ␈εβ[1];
␈βπ.␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈4,␈αε5␈α␈7,␈αε2␈α␈4,␈αε57␈α␈,␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β=␈εβ[3].␈α∃(c)␈α∞42␈α∞o␈α␈r␈α∞69;␈α⊂th␈α␈ese␈α∞b␈α␈oth␈α∞lea␈α␈d␈α∞to␈α∞a␈α∞s␈α␈et␈α∞of␈α∞|fteen␈α
distinc␈α␈t␈α∂v␈α␈alu␈α␈es,
␈βπV␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α
(42␈αo␈α␈r␈α69),␈α76␈α␈,␈α7␈α␈7,␈α92,␈α46␈α␈,␈α1␈α␈1,␈α12,␈α14␈α␈,␈α1␈α␈9,␈α36,␈α29␈α␈,␈α8␈α␈4,␈α05,␈α02␈α␈,␈α0␈α␈0.
␈βλβ␈↓ βD␈εn␈↓ ¬π␈εε2␈↓ ¬Y␈εε2␈↓ ¬e␈εn␈↓ 	)␈εε2␈↓ 	T␈εn␈↓ 
D␈εε2␈↓ 
n␈εn
␈βλπ␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ αd␈ε	X␈↓ β␈εβ<␈↓ β7␈ε	b␈↓ βT␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧l␈ε	X␈↓ ¬∨␈εβ<␈↓ ¬K␈ε	b␈↓ ¬v␈εβ,␈αan␈α␈d␈αthe␈αm␈α␈i␈α↓d␈α␈dle␈αsq␈α␈uar␈α␈e␈αi␈α↓s␈ε↔␈αb␈↓ 	∞␈ε	X␈↓ 	6␈εβ/␈↓ 	G␈ε	b␈↓ 	d␈ε↔c␈α∀␈↓ 
(␈ε	X␈↓ 
P␈εβ/␈↓ 
a␈ε	b␈↓ 
␈␈εβ.␈α∞If
␈βλ+␈↓ β#␈εε2␈↓ βN␈εn␈↓ ∧;␈εn␈↓ ∧i␈εn
␈βλ/␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓l␈εβ>␈α
0,␈αth␈α␈en␈↓ βλ␈ε	X␈↓ β0␈εβ/␈↓ βA␈ε	b␈↓ βg␈εβ<␈↓ ∧∩␈ε	X␈↓ ∧-␈ε	b␈↓ ∧K␈εβ/␈↓ ∧\␈ε	b␈↓ ¬α␈εβ=␈↓ ¬-␈ε	X␈↓ ¬H␈εβ.
␈βλ\␈↓ β_␈εn␈↓ 
ε␈εε2␈↓ 
j␈εn␈↓ ∪␈εn
␈βλ`␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈↓ α+␈ε	X␈↓ αP␈εβ=␈↓ αz␈ε	a␈↓ β␈ε	b␈↓ β(␈εβ,␈α
th␈α␈e␈α	ne␈α␈xt␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	se␈α␈qu␈α␈ence␈αλha␈α␈s␈α	the␈αλsame␈αλf␈α↓o␈α␈rm;␈α
it␈α	is␈α	(␈↓ 	v␈ε	a␈↓ 
→␈εβm␈α␈od␈↓ 
]␈ε	b␈↓ 
{␈εβ)␈↓ ε␈ε	b␈↓ #␈εβ.
␈β	λ␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓h␈ε	a␈↓ αβ␈εβi␈α↓s␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ βh␈ε	b␈↓ β␈␈εβor␈α
of␈αa␈α␈l␈α↓l␈αt␈α␈he␈α
prime␈α
facto␈α␈rs␈αo␈α␈f␈↓ π%␈ε	b␈↓ π2␈εβ,␈αthe␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
wi␈α↓ll␈αso␈α␈on␈α
de␈α␈gen␈α␈erate
␈β	0␈↓ ↓H␈εβto␈αz␈α␈ero;␈α
if␈α
n␈α␈ot,␈α
th␈α␈e␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈αwill␈α
de␈α␈gen␈α␈erate␈αin␈α␈to␈αa␈αcy␈α}cle␈αof␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αha␈α␈ving␈αth␈α␈e␈αsame
␈β	W␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ral␈αform␈αas␈↓ β3␈ε	X␈↓ βN␈εβ.
␈β	␈␈↓ α␈εβFurth␈α␈er␈α∞fact␈α␈s␈α∂a␈α␈bo␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈α∞midd␈α␈le-squ␈α␈are␈α∞me␈α␈thod␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞b␈α␈een␈α
f␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈α∞b␈α␈y␈α∞B.␈α∞Jan␈α␈sson␈α␈,
␈β
&␈↓ ↓H␈ε⊂Ra␈α␈nd␈α␈om␈α∞Num␈α}ber␈α∞Gen␈α␈erato␈α␈rs␈εβ␈α∂(S␈α␈tock␈α␈ho␈α␈l␈α↓m␈α␈:␈α∩Al␈α↓m␈α␈qvist␈α∞an␈α␈d␈α∞W␈α↓ik␈α␈sell␈α↓,␈α∂196␈α␈6),␈α⊂S␈α␈ection␈α
3A.
␈β
N␈↓ ↓H␈εβNu␈α␈mero␈α␈logists␈α
will␈α
be␈αin␈α␈teres␈α␈ted␈αto␈α
lear␈α␈n␈α
th␈α␈at␈α
t␈α␈he␈αn␈α␈um␈α}ber␈α379␈α␈2␈α
is␈α
se␈α␈l␈α↓f-rep␈α␈rod␈α␈ucin␈α␈g␈α
in
␈β
q␈↓ εy␈εε2
␈β
v␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
fo␈α␈ur-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α	midd␈α␈le-squ␈α␈are␈α
m␈α␈etho␈α␈d,␈α
sinc␈α␈e␈α
37␈α␈9␈↓ εh␈εβ2␈↓ π∞␈εβ=␈α
14␈α␈379␈α␈264␈α␈;␈αfu␈α␈rthe␈α␈rmore␈α	(as␈α
J␈α␈an␈α␈sson
␈β≥␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α	o␈α␈bserv␈α}ed␈α␈)␈α↓,␈α	it␈α	i␈α↓s␈α	\␈α␈self-repro␈α␈du␈α␈cing␈α␈"␈α	in␈α	a␈α␈noth␈α␈er␈α	sen␈α␈se␈α	to␈α␈o,␈α
sin␈α␈ce␈α	its␈α	prime␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈βA␈↓ α\␈εε4
␈βE␈↓ ↓H␈εβis␈α3␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈α␈9␈ε↔␈απ↓␈↓ αK␈εβ2␈↓ αh␈εβ!
␈βv␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβThe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ ∧g␈εβ=␈α1␈αa␈α␈nd␈↓ ¬s␈ε	⊗␈↓ ε⊂␈εβ=␈α0␈αis␈αthe␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αtha␈α␈t␈↓ 	.␈ε	X␈↓ 	]␈εβ=␈↓ 
	␈ε	X␈↓ 
-␈εβ,␈α
n␈α␈amely
␈β↓␈↓ 	E␈εε1␈↓ 
 ␈εε0
␈β≡␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	m␈↓ αε␈εβ.␈α∀The␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧d␈ε	∃␈↓ ¬ε␈εβ=␈α∞1,␈↓ ¬T␈ε	⊗␈↓ ¬u␈εβ=␈α∞1,␈α∞or␈↓ εx␈ε	∃␈↓ π→␈εβ=␈α∂2␈α␈,␈↓ πh␈ε	⊗␈↓ λλ␈εβ=␈α∂0␈α␈,␈α∂is␈α∞the␈α∞p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
tha␈α␈t
␈βE␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓{␈ε↔≤␈↓ α,␈ε	X␈↓ α←␈εβan␈α␈d␈α∂th␈α␈at␈↓ βp␈ε	X␈↓ ∧"␈εβhas␈α∞a␈α∂certa␈α␈i␈α↓n␈α∞va␈α␈lue,␈α⊂so␈α∂it␈α∂is␈α∂(1␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α
1/␈↓ λD␈ε	m␈↓ λb␈εβ)(1/␈↓ 	→␈ε	m␈↓ 	6␈εβ)␈α↓.␈α↔S␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈α⊂the
␈βP␈↓ ↓←␈εε1␈↓ αC␈εε0␈↓ ∧π␈εε2
␈βm␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	seq␈α␈uen␈α␈ce␈α	h␈α␈as␈α	an␈α}y␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈↓ εC␈ε	⊗␈↓ ε↑␈εβan␈α␈d␈↓ π≥␈ε	∃␈↓ π9␈εβis␈α	a␈α	fun␈α␈ction␈αλon␈α␈l␈α↓y␈αλof␈↓ 	`␈ε	⊗␈↓ 	w␈εβ+␈↓ 
≥␈ε	∃␈↓ 
0␈εβ,␈α
n␈α␈amely
␈β
$␈↓ ε3␈ε↓Y
␈β
-␈↓ π∩␈ε↓∩␈↓ λ
␈ε↓∪
␈β
3␈↓ ¬h␈εβ1␈↓ πs␈ε	k
␈β
J␈↓ ∧H␈ε	P␈↓ ∧←␈εβ(␈↓ ∧j␈ε	⊗␈↓ ∧⎇␈εβ,␈↓ ¬␈ε	∃␈↓ ¬∨␈εβ)␈α	=␈↓ π(␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ#␈εβ.
␈β
X␈↓ ¬b␈∧
X¬bα≡␈↓ πl␈∧
Xπlα≡
␈β
a␈↓ ¬b␈ε	m␈↓ πl␈ε	m
␈β
{␈↓ ελ␈εε1␈ε~∀␈↓ ε.␈εk␈↓ ε;␈εε<␈↓ εT␈ε⊗␈↓ εc␈εε+␈↓ ε|␈ε∃
␈β∞G␈↓ α␈εβFor␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧x␈ε	∃␈↓ ¬∃␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e
␈β∞␈␈↓ ∧9␈ε↓X␈↓ ¬3␈ε↓Y
␈β∂λ␈↓ ¬⎇␈ε↓∩␈↓ εx␈ε↓∪
␈β∂∞␈↓ ∧|␈εβ1␈↓ ε↑␈ε	k␈↓ πL␈εβ1
␈β∂$␈↓ ε∪␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ π_␈εβ=␈↓ πg␈ε	Q␈↓ π␈␈εβ(␈↓ λ
␈ε	m␈↓ λ'␈εβ)␈α↓,
␈β∂2␈↓ ∧v␈∧∂2∧vα≡␈↓ εW␈∧∂2εWα≡␈↓ πF␈∧∂2πFα≡
␈β∂<␈↓ ∧v␈ε	m␈↓ εW␈ε	m␈↓ πF␈ε	m
␈β∂U␈↓ ∧8␈ε⊗␈↓ ∧G␈ε~∃␈εε0␈↓ ¬≥␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬B␈εk␈↓ ¬P␈ε~∀␈↓ ¬i␈ε⊗
␈β⊂#␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α+␈ε	Q␈↓ αC␈εβ(␈↓ αN␈ε	m␈↓ αk␈εβ)␈α∞is␈α∞de|␈α␈ned␈α
in␈α∞S␈α␈ection␈α
1.2.11␈α␈.3,␈α∂Eq.␈α∀(2).␈α∀By␈α
E␈α↓q␈α␈.␈α∀(25)␈α∞in␈α
tha␈α␈t␈α∞section␈α␈,␈α∂the
␈β⊂,␈↓ ¬∧␈ε↓p
␈β⊂G␈↓ ¬(␈∧⊂G¬(αR
␈β⊂N␈↓ π≤␈∧⊂Nπ≤α≡
␈β⊂O␈↓ ε{␈ε↔p
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αi␈α↓s␈αap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈α␈l␈α↓y␈α6␈↓ ¬(␈ε	→␈↓ ¬;␈εβ/2␈↓ ¬\␈ε	m␈↓ ε∧␈ε↔→␈εβ␈α
1.25/␈↓ π≤␈ε	m␈↓ π:␈εβ.␈α
Th␈α␈e␈αch␈α␈an␈α␈ce␈αo␈α␈f␈αAlgorith␈α␈m␈αK␈αcon␈α␈-
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβv␈α}ergin␈α␈g␈α
a␈α␈s␈α
it␈α
d␈α␈id␈α	i␈α↓s␈α	on␈α␈l␈α↓y␈α	a␈α␈bo␈α␈ut␈α	one␈α	in␈α	800␈α␈00;␈α
th␈α␈e␈α
a␈α␈uth␈α␈or␈α
wa␈α␈s␈α
d␈α␈ecide␈α␈dly␈α	un␈α␈l␈α↓u␈α␈ck␈α␈y.␈αBu␈α␈t␈α
see
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α1␈α␈5␈αfor␈αfu␈α␈rther␈αco␈α␈mme␈α␈n␈α␈ts␈αon␈α
the␈α\␈α␈colossa␈α␈lness."
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα603
␈βα∃␈↓ αI␈ε↓X
␈βα≡␈↓ ∧m␈ε↓∩␈↓ ¬T␈ε↓∩␈↓ εP␈ε↓∪␈↓ π'␈ε↓∩␈↓ λ"␈ε↓∪␈↓ λ8␈ε↓∩␈↓ 	3␈ε↓∪␈↓ 
 ␈ε↓∪
␈βα$␈↓ ∧R␈εβ1␈↓ ε5␈εβ1␈↓ λπ␈εβ1␈↓ 	→␈εβ2
␈βα:␈↓ ↓a␈ε∪12.␈↓ β∨␈ε	∃␈↓ β2␈ε	P␈↓ βJ␈εβ(␈↓ βU␈ε	⊗␈↓ βg␈εβ,␈↓ βv␈ε	∃␈↓ ∧	␈εβ)␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ¬β␈εβ1␈απ+␈αλ3␈↓ ¬j␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ εm␈εβ+␈αλ6␈↓ π=␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λN␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	Q␈εβ+␈↓ 	y␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βαI␈↓ ∧L␈∧αI∧Lα≡␈↓ ε/␈∧αIε/α≡␈↓ λ↓␈∧αIλ↓α≡␈↓ 	∩␈∧αI	∩α≡
␈βαR␈↓ ∧L␈ε	m␈↓ ε/␈ε	m␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ 	∩␈ε	m
␈βαg␈↓ α0␈εε1␈ε~∀␈↓ αV␈ε∃␈↓ αf␈ε~∀␈↓ α␈␈εm
␈βα␈␈↓ α1␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ αW␈ε⊗␈↓ αe␈εε<␈↓ α}␈εm
␈ββ.␈↓ ∧L␈εβ1␈απ+␈↓ ¬
␈ε	Q␈↓ ¬%␈εβ(␈↓ ¬0␈ε	m␈↓ ¬M␈εβ)
␈ββD␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ¬\␈εβ.
␈ββR␈↓ ∧L␈∧βR∧Lα↓
␈ββ\␈↓ ¬
␈εβ2
␈β∧∂␈↓ λ␈ε↓P␈↓ 	∪␈ε↓Q
␈β∧-␈↓ ↓H␈εβ(S␈α␈ee␈α∂th␈α␈e␈α∂prev␈α␈iou␈α␈s␈α⊂a␈α␈nsw␈α␈er.␈α↔In␈α∂g␈α␈ene␈α␈ral␈α∂i␈α↓f␈↓ ε#␈ε	f␈↓ ε3␈εβ(␈↓ ε>␈ε	a␈↓ εZ␈εβ,␈↓ εi␈ε	a␈↓ π¬␈εβ,␈↓ π∀␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π@␈εβ)␈α⊂=␈↓ λn␈ε	a␈↓ 
∩␈εβ(1␈ε↔␈α
␈␈↓ 
c␈ε	k␈↓ 
s␈εβ/␈↓ ∧␈ε	m␈↓ !␈εβ)
␈β∧7␈↓ εM␈εε0␈↓ εx␈εε1␈↓ λ}␈εn
␈β∧?␈↓ λ2␈εn␈↓ λC␈ε~∃␈εε0␈↓ 	5␈εε1␈ε~∀␈↓ 	[␈εk␈↓ 	h␈ε~∀␈↓ 
α␈εn
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∩␈ε	f␈↓ α"␈εβ(␈↓ α-␈ε	a␈↓ αI␈εβ,␈↓ αX␈ε	a␈↓ αt␈εβ,␈↓ βα␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β/␈εβ)␈α	=␈↓ βn␈ε	a␈↓ ∧∂␈εβ+␈↓ ∧5␈ε	f␈↓ ∧E␈εβ(␈↓ ∧P␈ε	a␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈ε	a␈↓ ¬↔␈εβ,␈↓ ¬&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬S␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ ε	␈ε	f␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε	a␈↓ ε@␈εβ,␈αε2␈↓ ε`␈ε	a␈↓ ε|␈εβ,␈↓ π
␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π7␈εβ)/␈↓ πS␈ε	m␈↓ πp␈εβ;␈α
ap␈α␈ply␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	ide␈α␈n␈α␈tity␈α	with␈↓ 
b␈ε	a␈↓ ␈εβ=
␈β∧c␈↓ α<␈εε0␈↓ αg␈εε1␈↓ β⎇␈εε0␈↓ ∧`␈εε1␈↓ ¬␈εε2␈↓ ε3␈εε1␈↓ εo␈εε2␈↓ 
r␈εn
␈β¬␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	n␈↓ ↓p␈εβ+␈α
1)/␈α␈2.)␈α∀There␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈α∞th␈α␈e␈α∞av␈α␈e␈α␈rage␈α∞v␈α␈alu␈α␈e␈α∞of␈↓ εY␈ε	∃␈↓ ε{␈εβ(a␈α␈nd␈α␈,␈α⊂b␈α␈y␈α∞sy␈α␈mme␈α␈try␈α∞o␈α␈f␈↓ 	Q␈ε	P␈↓ 	h␈εβ(␈↓ 	s␈ε	⊗␈↓ 
ε␈εβ,␈↓ 
∀␈ε	∃␈↓ 
(␈εβ),␈α∂also␈α∞o␈α␈f
␈β¬	␈↓ ∧9␈ε↓p
␈β¬$␈↓ ∧]␈∧¬$∧]αR
␈β¬)␈↓ ¬e␈εε1
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε	⊗␈↓ ↓c␈εβ+␈α	1)␈α
is␈α∞a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈↓ ∧]␈ε	→␈↓ ∧p␈ε	m␈↓ ¬
␈εβ/8␈↓ ¬7␈εβ+␈↓ ¬u␈εβ.␈α∪Th␈α␈e␈α
av␈α␈e␈α␈rage␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f␈↓ λW␈ε	⊗␈↓ λr␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	∃␈↓ 	=␈εβis␈α∞ex␈α␈act␈α␈l␈α↓y␈↓ 
X␈ε	Q␈↓ 
p␈εβ(␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ),
␈β¬:␈↓ β'␈ε↓p
␈β¬;␈↓ ¬e␈∧¬;¬eα
␈β¬=␈↓ ¬e␈εε3
␈β¬U␈↓ βK␈∧¬UβKαR
␈β¬Z␈↓ ∧R␈εε1
␈β¬]␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ately␈↓ βK␈ε	→␈↓ β]␈ε	m␈↓ βz␈εβ/2␈↓ ∧$␈ε↔␈␈↓ ∧b␈εβ.␈α∩[For␈α
a␈α␈l␈α↓t␈α␈erna␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
d␈α␈erivatio␈α␈ns␈α
an␈α␈d␈α
fu␈α␈rthe␈α␈r␈α
results,␈α∞in␈α␈clud␈α␈-
␈β¬k␈↓ ∧R␈∧¬k∧Rα
␈β¬m␈↓ ∧R␈εε3
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβin␈α␈g␈α∞a␈α␈symp␈α␈totic␈α
valu␈α␈es␈α∞for␈α
the␈α
mom␈α␈en␈α␈ts,␈α∞see␈α
A␈α↓.␈α∞R␈α␈apo␈α␈po␈α␈rt,␈ε⊂␈α∂Bull.␈α∞Ma␈α␈th.␈α∞Biop␈α␈h␈α␈y␈α␈si␈α↓c␈α␈s␈ε∪␈α∞10
␈βε,␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈948␈α␈),␈α14␈α␈5↑␈α␈157␈α␈,␈αan␈α␈d␈α
B.␈α
Harris,␈ε⊂␈α
Ann␈α␈als␈α
Ma␈α␈th.␈α
St␈α␈at.␈ε∪␈α
31␈εβ␈α
(1␈α␈960␈α␈),␈α1␈α␈045␈α␈↑10␈α␈62;␈α
see␈α
a␈α␈l␈α↓so␈α	I.␈αM␈α␈.
␈βεT␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ob␈α␈ol,␈ε⊂␈α∞The␈α␈ory␈α
o␈α␈f␈α∞Prob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
a␈α␈nd␈α
its␈α
Ap␈α␈plication␈α␈s␈ε∪␈α
9␈εβ␈α
(196␈α␈4),␈α∞33␈α␈3↑3␈α␈38␈α␈.␈α∩So␈α␈bo␈α␈l␈α∞d␈α␈i␈α↓s␈α␈cusse␈α␈s
␈βε{␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
asy␈α␈mpt␈α␈otic␈α
period␈αl␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈α
for␈α
the␈α
m␈α␈ore␈α
gen␈α␈eral␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ λH␈ε	X␈↓ 	"␈εβ=␈↓ 	P␈ε	f␈↓ 	`␈εβ(␈↓ 	k␈ε	X␈↓ 
∪␈εβ)␈α
if␈↓ 
M␈ε	n␈↓ 
n␈ε↔@⊃␈↓ ≤␈εβ0
␈βπε␈↓ λ←␈εn␈↓ λp␈εε+1␈↓ 
α␈εn
␈βπ#␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	m␈↓ αf␈εβ)␈α↓;␈↓ βλ␈ε	X␈↓ β↑␈εβ=␈↓ ∧	␈ε	g␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧$␈ε	X␈↓ ∧K␈εβ)␈αif␈↓ ¬↓␈ε	n␈↓ ¬≡␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ εd␈ε	m␈↓ π↓␈εβ);␈αwith␈α
both␈↓ λ:␈ε	f␈↓ λU␈εβan␈α␈d␈↓ 	⊗␈ε	g␈↓ 	1␈εβra␈α␈nd␈α␈om.]
␈βπ.␈↓ β∨␈εn␈↓ β/␈εε+1␈↓ ∧;␈εn
␈βπ`␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[P␈α↓a␈α␈ul␈αP␈α↓u␈α␈rd␈α␈om␈αan␈α␈d␈αJ␈α␈ohn␈α
W␈α↓illi␈α↓a␈α␈ms,␈ε⊂␈αTran␈α␈s.␈αAme␈α␈r.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α13␈α␈3␈εβ␈α(196␈α␈8),␈α547␈α␈↑55␈α␈1.]
␈βλλ␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ αλ␈ε	T␈↓ αP␈εβbe␈α∞th␈α␈e␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞of␈α∞fu␈α␈nctio␈α␈ns␈α∞th␈α␈at␈α∞h␈α␈av␈α}e␈↓ π⊂␈ε	n␈↓ π2␈εβon␈α␈e-cy␈α␈c␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α∞an␈α␈d␈α∞n␈α␈o␈α∞cy␈α}cles␈α∞of␈α∞len␈α␈gth
␈βλ∩␈↓ α≠␈εm␈↓ α2␈εn
␈βλ/␈↓ ↓H␈εβg␈α␈reate␈α␈r␈αthan␈α
on␈α␈e.␈αT␈α↓h␈α␈en
␈βλY␈↓ ¬y␈ε↓∩␈↓ εm␈ε↓∪
␈βλ←␈↓ ε∂␈ε	m␈↓ ε3␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βλo␈↓ π ␈εm␈↓ π7␈ε~␈␈↓ πQ␈εn
␈βλu␈↓ ¬
␈ε	T␈↓ ¬N␈εβ=␈↓ πβ␈ε	m␈↓ πa␈εβ.
␈βλ␈␈↓ ¬≥␈εm␈↓ ¬5␈εn
␈β	
␈↓ ε∪␈ε	n␈↓ ε/␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β	R␈↓ ↓H␈εβ(S␈α␈ee␈α
Se␈α␈ction␈α
2.3␈α␈.␈α↓4␈α␈.␈α↓4␈α␈.)␈ε⊂␈αAn␈α␈y␈εβ␈α
fu␈α␈nction␈α	i␈α↓s␈α
su␈α␈ch␈α
a␈α
fu␈α␈nction␈α	foll␈α↓o␈α}w␈α␈ed␈α
by␈α	a␈α
perm␈α}utat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
the
␈β	[␈↓ εE␈ε↓P
␈β	u␈↓ λU␈εm
␈β	y␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓g␈εβelem␈α␈en␈α␈ts␈αth␈α␈at␈αw␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αon␈α␈e-cy␈α}cles.␈αHe␈α␈nce␈↓ π&␈ε	T␈↓ πg␈ε	n␈↓ π{␈εβ!␈α	=␈↓ λ8␈ε	m␈↓ λm␈εβ.
␈β
∧␈↓ π:␈εm␈↓ πQ␈εn
␈β
␈↓ εk␈εn␈↓ ε{␈ε~∃␈εε1
␈β
$␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	P␈↓ βλ␈εβb␈α␈e␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αperm␈α␈u␈α␈tatio␈α␈ns␈αof␈↓ π¬␈ε	n␈↓ π&␈εβelem␈α␈en␈α␈ts␈αin␈αwhich␈αt␈α␈he␈αlong␈α␈est␈αcy␈α␈c␈α␈l␈α↓e
␈β
.␈↓ α↑␈εn␈↓ αn␈εk
␈β
K␈↓ ↓H␈εβis␈α∞of␈α∂len␈α␈gth␈↓ β␈ε	k␈↓ β⊂␈εβ.␈α⊗Th␈α␈en␈α∞the␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∂o␈α␈f␈α∂fun␈α␈ction␈α␈s␈α∂with␈α∞a␈α∞max␈α␈im␈α␈um␈α∞cy␈α}cl␈α↓e␈α∞of␈α∞leng␈α␈th␈↓ 
w␈ε	k␈↓ ⊗␈εβis
␈β
U␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ λ	␈ε↓P␈↓ λg␈ε↓P
␈β
s␈↓ α)␈ε	T␈↓ αd␈ε	P␈↓ β∃␈εβ.␈αTo␈απget␈αλth␈α␈e␈αλav␈α␈e␈α␈rage␈αλv␈α␈alue␈απof␈↓ ε4␈ε	k␈↓ εE␈εβ,␈α	w␈α␈e␈αλco␈α␈mp␈α␈ute␈↓ 	I␈ε	k␈↓ 	Y␈ε	T␈↓ 
∀␈ε	P␈↓ 
E␈εβ,␈α	which
␈β
⎇␈↓ α=␈εm␈↓ αT␈εn␈↓ αx␈εn␈↓ βλ␈εk␈↓ 	m␈εm␈↓ 
∧␈εn␈↓ 
(␈εn␈↓ 
8␈εk
␈βα␈↓ ¬S␈ε↓P
␈β¬␈↓ ↓n␈εn␈↓ ↓}␈ε~∃␈εε1␈↓ λ/␈εk␈↓ λ<␈ε~∃␈εε1␈↓ 	
␈εn␈↓ 	≡␈ε~∃␈εε1
␈β≥␈↓ πg␈εε1
␈β ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈lt␈αof␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α1.3.3-2␈α␈3␈αis␈↓ ε5␈ε	T␈↓ εv␈ε	n␈↓ π
␈εβ!(␈↓ π≡␈ε	n␈↓ π:␈εβ+␈↓ π␈␈εβ+␈↓ λ)␈ε	∂␈↓ λE␈εβ)␈↓ λP␈ε	c␈↓ λi␈εβwher␈α␈e␈↓ 	J␈ε	c␈↓ 	b␈ε↔→␈εβ␈α.624␈α␈33␈αa␈α␈nd
␈β+␈↓ εH␈εm␈↓ ε`␈εn␈↓ λ5␈εn
␈β.␈↓ πg␈∧.πgα
␈β0␈↓ πg␈εε2
␈β3␈↓ ¬y␈εn␈↓ ε
␈ε~∃␈εε1
␈βJ␈↓ λf␈εε1
␈βM␈↓ ↓H␈ε	∂␈↓ ↓m␈ε↔!␈εβ␈α
0␈α	as␈↓ αY␈ε	n␈↓ αv␈ε↔!␈α
1␈εβ.␈αSu␈α␈mmin␈α␈g,␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈et␈α	the␈α	av␈α␈e␈α␈rage␈α	v␈α␈alue␈↓ π↑␈ε	c␈↓ πk␈ε	Q␈↓ λβ␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	m␈↓ λ,␈εβ)␈α¬+␈↓ λw␈ε	c␈↓ 		␈εβ+␈↓ 	0␈ε	∞␈↓ 	S␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈↓ 
E␈ε	∞␈↓ 
q␈ε↔!␈εβ␈α
0
␈βX␈↓ ↓T␈εn␈↓ 	<␈εm␈↓ 
Q␈εm
␈β[␈↓ λf␈∧[λfα
␈β]␈↓ λf␈εε2
␈βu␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈↓ ↓o␈ε	m␈↓ α∃␈ε↔!␈α
1␈εβ.␈α(This␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α
s␈α␈ub␈α␈stan␈α␈tia␈α␈l␈α↓ly␈α	large␈α␈r␈α
tha␈α␈n␈α	the␈α	av␈α␈e␈α␈rage␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
wh␈α␈en␈↓ 	n␈ε	X␈↓ 
≤␈εβis␈α
se␈α␈l␈α↓e␈α␈cted
␈β␈␈↓ 
¬␈εε0
␈β≤␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αran␈α␈dom␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ¬1␈εβma␈α␈x␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε	⊗␈↓ ε∃␈εβ+␈↓ ε=␈ε	∃␈↓ εQ␈εβ)␈αis␈αstil␈α↓l␈αun␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn␈α␈.␈α↓)
␈βZ␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	c␈↓ αc␈εβ(␈↓ αn␈ε	m␈↓ β␈εβ)␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
fun␈α␈ction␈α␈s␈α
with␈αex␈α␈actly␈↓ λβ␈ε	r␈↓ λ≡␈εβdi{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈α|n␈α␈al␈α
cy␈α}cles.␈α⊂From
␈β`␈↓ ε%␈ε↓␈␈↓ εJ␈ε↓↓
␈βc␈↓ ¬F␈ε↓P
␈βd␈↓ αW␈εr
␈βz␈↓ ε3␈εm
␈β⎇␈↓ π ␈εk␈↓ λ≡␈εk
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈curre␈α␈nce␈↓ β∨␈ε	c␈↓ β8␈εβ(␈↓ βC␈ε	m␈↓ β`␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ ∧*␈ε	m␈↓ ∧M␈ε↔␈␈εβ␈αε1)!␈ε↔␈αε␈␈↓ εX␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ π∃␈εβ)␈↓ π-␈εβ(␈↓ π8␈ε	m␈↓ π[␈ε↔␈␈↓ λβ␈ε	k␈↓ λ∪␈εβ)␈↓ λ+␈ε	c␈↓ λD␈εβ(␈↓ λO␈ε	m␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ 	→␈ε	k␈↓ 	)␈εβ),␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α
c␈α␈omes␈α	by
␈β
␈↓ β+␈εε1␈↓ λ7␈εε1
␈β
⊃␈↓ ε8␈εk
␈β
∀␈↓ ¬l␈εk␈↓ ¬y␈εε>␈α↓0
␈β
)␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oun␈α}ting␈αλth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αλof␈αλfun␈α␈ctions␈αλwh␈α␈ose␈αλimag␈α␈e␈αλcon␈α}tains␈αλa␈α␈t␈αλmost␈↓ λZ␈ε	m␈↓ λ{␈ε↔␈␈↓ 	∨␈ε	k␈↓ 	8␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts,␈α	w␈α␈e␈αλ|␈α␈nd
␈β
L␈↓ ∧_␈εm␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1
␈β
P␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈↓ αz␈ε	c␈↓ β∪␈εβ(␈↓ β≡␈ε	m␈↓ β;␈εβ)␈α
=␈↓ βz␈ε	m␈↓ ∧U␈ε	Q␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	m␈↓ ¬∃␈εβ).␈α(Cf.␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α	1.2.11␈α␈.3↑1␈α␈6.)␈αAn␈α␈oth␈α␈er␈α	way␈αλto␈α	o␈α␈btain␈αλthe
␈β
[␈↓ βε␈εε1
␈β
x␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈αλof␈↓ αC␈ε	c␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	m␈↓ β∧␈εβ),␈α	which␈αλis␈α	pe␈α␈rhap␈α␈s␈α	mo␈α␈re␈α	eleg␈α␈an␈α}t␈α	an␈α␈d␈α	re␈α␈v␈α␈ea␈α␈l␈α↓in␈α␈g,␈α
is␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αλin␈α	ex␈α}ercise␈αλ2.3.4.4↑
␈β∞β␈↓ αO␈εε1
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈7.␈αThe␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ βA␈ε	c␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βe␈ε	m␈↓ ∧α␈εβ)␈αmay␈α
be␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α
by␈αso␈α␈lving␈α
the␈αrec␈α␈urren␈α␈ce
␈β∞*␈↓ βM␈εr
␈β∞i␈↓ ¬≠␈ε↓X
␈β∞r␈↓ ¬l␈ε↓∩␈↓ ε`␈ε↓∪
␈β∞x␈↓ εα␈ε	m␈↓ ε'␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈β∂∞␈↓ ∧∧␈ε	c␈↓ ∧≤␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	m␈↓ ∧D␈εβ)␈α
=␈↓ εv␈ε	c␈↓ π∂␈εβ(␈↓ π~␈ε	k␈↓ π*␈εβ)␈↓ π5␈ε	c␈↓ πs␈εβ(␈↓ π}␈ε	m␈↓ λ#␈ε↔␈␈↓ λL␈ε	k␈↓ λ\␈εβ),
␈β∂→␈↓ ∧⊂␈εr␈↓ πα␈εε1␈↓ πA␈εr␈↓ πN␈ε~␈␈εε1
␈β∂&␈↓ ε	␈ε	k␈↓ ε ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β∂@␈↓ ¬β␈εε0<␈↓ ¬)␈εk␈↓ ¬6␈εε<␈↓ ¬O␈εm
␈β⊂≤␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αsolution
␈β⊂g␈↓ ∧$␈ε↓∩␈↓ ∧[␈ε↓∀␈↓ ∧z␈ε↓∃␈↓ ¬Y␈ε↓∀␈↓ ¬x␈ε↓∃␈↓ π=␈ε↓∀␈↓ π[␈ε↓∃␈↓ 
␈ε↓∪
␈β⊂m␈↓ ∧B␈εβ1␈↓ ∧i␈εβ1␈↓ ¬@␈εβ1␈↓ ¬g␈εβ2␈↓ ε	␈ε	m␈↓ ε.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ π$␈εβ1␈↓ πK␈εβ3␈↓ πm␈ε	m␈↓ λ∩␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ λR␈ε	m␈↓ λw␈ε↔␈␈εβ␈αλ2
␈β⊂⎇␈↓ βg␈εm␈↓ β}␈ε~␈␈εε1
␈β⊃β␈↓ αJ␈ε	c␈↓ αb␈εβ(␈↓ αm␈ε	m␈↓ β
␈εβ)␈α
=␈↓ βI␈ε	m␈↓ ¬∂␈εβ+␈↓ εs␈εβ+␈↓ 	;␈εβ+␈↓ 	d␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
!␈εβ.
␈β⊃∞␈↓ αV␈εr
␈β⊃⊃␈↓ ∧=␈∧⊃⊃∧=α~␈↓ ¬;␈∧⊃⊃¬;α~␈↓ ε	␈∧⊃⊃ε	α←␈↓ π∨␈∧⊃⊃π∨α~␈↓ πm␈∧⊃⊃πmα←␈↓ λR␈∧⊃⊃λRα←
␈β⊃≠␈↓ ∧=␈εβ0!␈↓ ∧j␈ε	r␈↓ ¬;␈εβ1!␈↓ ¬h␈ε	r␈↓ ε*␈ε	m␈↓ π∨␈εβ2!␈↓ πL␈ε	r␈↓ λ
␈ε	m␈↓ λs␈ε	m
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα604␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}3.1
␈βα*␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αde␈α␈si␈α↓re␈α␈d␈αav␈α}erag␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αca␈α␈n␈αn␈α␈o␈α␈w␈αbe␈αco␈α␈mp␈α␈uted␈α␈;␈αit␈αis␈α(cf.␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α1␈α␈2)
␈βαc␈↓ ∧.␈ε↓∩␈↓ 	3␈ε↓∪
␈βαi␈↓ ∧∀␈εβ1␈↓ ¬M␈ε	m␈↓ ¬q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ π∃␈ε	m␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πz␈ε	m␈↓ λ∨␈ε↔␈␈εβ␈αλ2
␈βα␈␈↓ β+␈ε	E␈↓ β←␈εβ=␈↓ ∧D␈ε	H␈↓ ∧n␈εβ+␈απ2␈↓ ¬'␈ε	H␈↓ ε6␈εβ+␈απ3␈↓ εo␈ε	H␈↓ λc␈εβ+␈↓ 	␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈ββ
␈↓ β?␈εm␈↓ ∧Z␈εε1␈↓ ¬<␈εε2␈↓ π∧␈εε3
␈ββ
␈↓ ∧
␈∧β
∧
α≡␈↓ ¬M␈∧β
¬Mα←␈↓ π∃␈∧β
π∃α←␈↓ πz␈∧β
πzα←
␈ββ↔␈↓ ∧
␈ε	m␈↓ ¬m␈ε	m␈↓ π5␈ε	m␈↓ λ≠␈ε	m
␈ββ<␈↓ ∧N␈εβ1␈↓ ∧f␈ε	m␈↓ ¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬|␈εβ1␈↓ ε∀␈ε	m␈↓ ε9␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ εy␈ε	m␈↓ π≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ2
␈ββS␈↓ β←␈εβ=␈α
1␈απ+␈↓ ¬O␈εβ+␈↓ πb␈εβ+␈↓ λ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ8␈εβ.
␈ββa␈↓ ∧N␈∧βa∧Nα⊃␈↓ ∧f␈∧βa∧fα←␈↓ ¬|␈∧βa¬|α⊃␈↓ ε∀␈∧βaε∀α←␈↓ εy␈∧βaεyα←
␈ββj␈↓ ∧N␈εβ2␈↓ ¬π␈ε	m␈↓ ¬|␈εβ3␈↓ ε4␈ε	m␈↓ π~␈ε	m
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈α	l␈α↓a␈α␈tter␈α	form␈α}ula␈α	wa␈α␈s␈α	obt␈α␈ained␈αλby␈αλqu␈α␈ite␈α	di{eren␈α}t␈α	mean␈α␈s␈α	b␈α␈y␈α	M␈α␈artin␈α	D.␈α	Kru␈α␈ska␈α␈l␈α↓,␈ε⊂␈α	AMM
␈β∧B␈↓ ↓H␈ε∪6␈α␈1␈εβ␈α(19␈α␈54),␈α39␈α␈2↑3␈α␈97.␈αUsing␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ral␈αrep␈α␈resen␈α}tation
␈β∧l␈↓ ¬
␈ε↓Z
␈β∧n␈↓ ¬c␈ε↓⊂␈↓ εZ␈ε↓⊃
␈β∧t␈↓ ¬.␈ε~1
␈β∧}␈↓ ¬M␈ε↓∩␈↓ πD␈ε↓∪
␈β¬↓␈↓ εl␈εm
␈β¬¬␈↓ ε?␈ε	x␈↓ λ_␈ε	d␈↓ λ*␈ε	x
␈β¬∃␈↓ πg␈ε~␈␈↓ λ␈εx
␈β¬≠␈↓ ∧+␈ε	E␈↓ ∧←␈εβ=␈↓ ¬u␈εβ1␈απ+␈↓ π␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πZ␈ε	e␈↓ λ?␈εβ,
␈β¬%␈↓ ∧?␈εm
␈β¬)␈↓ ε9␈∧¬)ε9α≡␈↓ λ_␈∧¬)λ_α$
␈β¬2␈↓ ε9␈ε	m␈↓ λ!␈ε	x
␈β¬>␈↓ ¬≡␈εε0
␈β¬n␈↓ π/␈εε1␈↓ λM␈εε1
␈β¬q␈↓ ↓H␈εβh␈α␈e␈α
pro␈α}v␈α␈ed␈αthe␈α
a␈α␈symp␈α␈totic␈α
relatio␈α␈n␈↓ ¬K␈εβli␈α↓m␈↓ εC␈εβ(␈↓ εN␈ε	E␈↓ πα␈ε↔␈␈↓ πE␈εβl␈α↓n␈↓ πg␈ε	m␈↓ λ∧␈εβ)␈α
=␈↓ λ↑␈εβ(␈↓ λi␈ε	␈
␈↓ 	∧␈εβ+␈↓ 	.␈εβln␈↓ 	O␈εβ2).␈α∩For␈α
fu␈α␈rthe␈α␈r
␈β¬|␈↓ ¬y␈εm␈↓ ε⊃␈ε~!1␈↓ εb␈εm
␈β¬␈␈↓ π/␈∧¬␈π/α
␈↓ λM␈∧¬␈λMα
␈βε↓␈↓ π/␈εε2␈↓ λM␈εε2
␈βε→␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sults␈αan␈α␈d␈αrefe␈α␈rence␈α␈s,␈αse␈α␈e␈αJoh␈α␈n␈αRiord␈α␈an␈α␈,␈ε⊂␈αAn␈α␈na␈α␈ls␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈tat.␈ε∪␈α33␈εβ␈α
(196␈α␈2),␈α1␈α␈78␈α␈↑18␈α␈5.
␈βεE␈↓ πF␈εm
␈βεI␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThe␈αλpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α	th␈α␈at␈↓ ∧=␈ε	f␈↓ ∧M␈εβ(␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ∧j␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ ¬(␈ε	x␈↓ ¬B␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ ε ␈ε	x␈↓ ε:␈εβis␈αλ(␈↓ εd␈ε	m␈↓ π¬␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈↓ π;␈εβ)␈↓ π]␈εβ/␈↓ πn␈ε	m␈↓ λ␈εβ,␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλi␈α↓s␈αλap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imately␈αλ1/␈↓ ⊗␈ε	e␈↓ #␈εβ.
␈βεp␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
ex␈α␈istenc␈α␈e␈α
of␈α
a␈αself-␈α↓re␈α␈pea␈α␈ting␈α
v␈α␈alu␈α␈e␈α
in␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αl␈α↓ik␈α}e␈α
Algorith␈α␈m␈α
K␈α
is␈α
th␈α␈erefore
␈βπ_␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈α
\␈α␈colossa␈α␈l␈α↓"␈α	at␈α
all←i␈α↓t␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
wi␈α↓th␈α	pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α	1␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε1/␈↓ π`␈ε	e␈↓ πw␈ε↔→␈εβ␈α	.632␈α␈12.␈αTh␈α␈e␈α
on␈α␈ly␈α
\c␈α␈olossal"
␈βπ@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ing␈α	was␈α	th␈α␈at␈α	the␈α	a␈α␈uth␈α␈or␈α	hap␈α␈pe␈α␈ned␈α	t␈α␈o␈α	hit␈α
s␈α␈uch␈α	a␈α	v␈α␈alue␈α	wh␈α␈en␈↓ λA␈ε	X␈↓ λn␈εβwas␈α	ch␈α␈osen␈αλat␈α	rand␈α␈om
␈βπJ␈↓ λX␈εε0
␈βπg␈↓ ↓H␈εβ(se␈α␈e␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
11).
␈βλ↔␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβThe␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈αwill␈αrep␈α␈eat␈α
w␈α↓h␈α␈en␈α
a␈α
pair␈α
of␈αsu␈α␈ccessiv␈α}e␈αeleme␈α␈n␈α␈ts␈αo␈α␈ccu␈α␈rs␈αfor␈α
the␈α
seco␈α␈nd
␈βλ;␈↓ ¬"␈εε2
␈βλ?␈↓ ↓H␈εβtime␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αp␈α␈eriod␈α
i␈α↓s␈↓ ¬¬␈ε	m␈↓ ¬.␈εβ.␈α(Cf.␈αnex␈α␈t␈αex␈α}ercise.)
␈βλo␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβAfter␈α⊂selec␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈↓ βt␈ε	X␈↓ ∧↔␈εβ,␈↓ ∧&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧a␈ε	X␈↓ ¬<␈εβa␈α␈rbitra␈α␈ri␈α↓ly␈α␈,␈α∩let␈↓ π!␈ε	X␈↓ π␈␈εβ=␈↓ λ2␈ε	f␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	X␈↓ λt␈εβ,␈↓ 	β␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	/␈εβ,␈↓ 	>␈ε	X␈↓ 
2␈εβ),␈α⊃where
␈βλz␈↓ ∧␈εε0␈↓ ∧y␈εk␈↓ ¬ε␈ε~␈␈εε1␈↓ π8␈εn␈↓ πH␈εε+1␈↓ λd␈εn␈↓ 	U␈εn␈↓ 	f␈ε~␈␈↓ 	␈␈εk␈↓ 
␈εε+1
␈β	∪␈↓ ⊗␈εk
␈β	↔␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α
∀␈↓ α⊂␈ε	x␈↓ α,␈εβ,␈↓ α;␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈ε	x␈↓ β≡␈εβ<␈↓ βJ␈ε	m␈↓ βt␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
th␈α␈at␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ¬w␈ε	f␈↓ επ␈εβ(␈↓ ε∩␈ε	x␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εi␈εβ,␈↓ εx␈ε	x␈↓ π∃␈εβ)␈α<␈↓ πW␈ε	m␈↓ πu␈εβ.␈α∞The␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αperiod␈αi␈α↓s␈↓ 
y␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β	!␈↓ α∨␈εε1␈↓ β¬␈εk␈↓ ε!␈εε1␈↓ ππ␈εk
␈β	>␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈α∞is␈α
an␈α
ob␈α␈viou␈α␈s␈α
up␈α␈per␈α
bo␈α␈un␈α␈d,␈α∞b␈α␈ut␈α
i␈α↓t␈α
is␈α∞n␈α␈ot␈α
ob␈α␈viou␈α␈s␈α
that␈α
it␈α∞c␈α␈an␈α
b␈α␈e␈α∞a␈α␈ttaine␈α␈d;␈α∂fo␈α␈r␈α∞a
␈β	f␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈αth␈α␈at␈α
i␈α↓t␈α
can␈α	always␈α
b␈α␈e␈αa␈α␈ttaine␈α␈d␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αsu␈α␈itab␈α␈l␈α↓e␈↓ π␈ε	f␈↓ π≤␈εβ,␈αs␈α␈ee␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈s␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓2␈α␈↑17␈α
a␈α␈nd␈α
3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓2␈α␈↑21␈α␈,
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
for␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αwa␈α␈ys␈αto␈αa␈α␈ttain␈αit␈αsee␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α2␈α␈.␈α↓3␈α␈.4.2↑2␈α␈3.
␈β
>␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβSa␈α␈me␈αλa␈α␈s␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈απ7,␈α	b␈α␈ut␈αλu␈α␈se␈αλthe␈↓ ¬I␈ε	k␈↓ ¬Y␈εβ-tu␈α␈ple␈αλof␈αλelem␈α␈en␈α␈ts␈αλ(␈↓ πj␈ε	X␈↓ λ⊃␈εβ,␈↓ λ ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λM␈εβ,␈↓ λ[␈ε	X␈↓ 	O␈εβ)␈αλin␈αλp␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αλof␈↓ 
|␈ε	X␈↓ #␈εβ.
␈β
H␈↓ λ↓␈εn␈↓ λr␈εn␈↓ 	β␈ε~␈␈↓ 	≤␈εk␈↓ 	)␈εε+1␈↓ ∪␈εn
␈β,␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.2␈α␈.1
␈βq␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβTak␈α}e␈↓ α`␈ε	X␈↓ β∂␈εβev␈α}en,␈↓ βe␈ε	a␈↓ ∧↓␈εβe␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈↓ ∧W␈ε	c␈↓ ∧o␈εβo␈α␈dd␈α␈.␈αTh␈α␈en␈↓ ε⊂␈ε	X␈↓ εB␈εβis␈αodd␈α
for␈↓ πX␈ε	n␈↓ πu␈εβ>␈α
0.
␈β{␈↓ αw␈εε0␈↓ ε'␈εn
␈β!␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	X␈↓ αx␈εβbe␈αthe␈α|r␈α␈st␈αrep␈α␈eate␈α␈d␈αvalu␈α␈e␈αin␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α␈.␈α
If␈↓ λ≠␈ε	X␈↓ λH␈εβ=␈↓ λs␈ε	X␈↓ 	#␈εβfor␈α0␈α	<␈↓ 
≥␈ε	k␈↓ 
8␈εβ<␈↓ 
c␈ε	r␈↓ 
r␈εβ,␈αw␈α␈e
␈β,␈↓ αa␈εr␈↓ λ2␈εr␈↓ 	␈εk
␈βI␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ould␈α	pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈↓ β@␈ε	X␈↓ ∧∩␈εβ=␈↓ ∧=␈ε	X␈↓ ¬π␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈↓ ¬k␈ε	X␈↓ ε≤␈εβun␈α␈i␈α↓q␈α␈uely␈α	dete␈α␈rmines␈↓ λJ␈ε	X␈↓ 	!␈εβwhe␈α␈n␈↓ 	w␈ε	a␈↓ 
⊃␈εβi␈α↓s␈α
p␈α␈rime␈α
to
␈βS␈↓ βW␈εr␈↓ βc␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧T␈εk␈↓ ∧a␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εα␈εn␈↓ λa␈εn␈↓ λq␈ε~␈␈εε1
␈βp␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ.␈αHenc␈α␈e,␈↓ αe␈ε	k␈↓ α}␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈β
 ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβIf␈↓ α.␈ε	d␈↓ αL␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcom␈α␈mon␈αdiviso␈α␈r␈αof␈↓ εC␈ε	a␈↓ ε←␈εβan␈α␈d␈↓ π!␈ε	m␈↓ π>␈εβ,␈αthe␈αqua␈α␈n␈α␈tity␈↓ 	∀␈ε	a␈↓ 	%␈ε	X␈↓ 	X␈εβcan␈αtak␈α}e␈αo␈α␈n␈αa␈α␈t
␈β
+␈↓ 	<␈εn
␈β
D␈↓ λz␈εe
␈β
H␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈↓ α_␈ε	m␈↓ α5␈εβ/␈↓ αF␈ε	d␈↓ αb␈εβva␈α␈l␈α↓u␈α␈es.␈αTh␈α␈e␈α
situa␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
ev␈α}en␈α
w␈α␈o␈α␈rse;␈αe␈α␈.␈α↓g␈α␈.␈α↓,␈α
if␈↓ λ_␈ε	m␈↓ λ?␈εβ=␈↓ λi␈εβ2␈↓ 	∂␈εβa␈α␈nd␈α	i␈α↓f␈↓ 	m␈ε	a␈↓ 
π␈εβis␈α
ev␈α␈e␈α␈n,␈α
E␈α↓q␈α␈.
␈β
p␈↓ ↓H␈εβ(6␈α␈)␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈αi␈α↓s␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈αc␈α␈on␈α␈stan␈α␈t.
␈β∞ ␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβInd␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αon␈↓ βP␈ε	k␈↓ β`␈εβ.
␈β∞L␈↓ πY␈ε~0␈↓ 	"␈ε~0
␈β∞P␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβIf␈↓ α.␈ε	a␈↓ αJ␈εβi␈α↓s␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ ¬	␈ε	m␈↓ ¬&␈εβ,␈αthere␈αis␈αa␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ πI␈ε	a␈↓ πk␈εβfor␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ 	↓␈ε	a␈↓ 	⊃␈ε	a␈↓ 	2␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ).
␈β∞t␈↓ β;␈ε~0␈↓ ∧)␈ε~0
␈β∞x␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	X␈↓ αu␈εβ=␈α
(␈↓ β+␈ε	a␈↓ βA␈ε	X␈↓ βp␈ε↔␈␈↓ ∧→␈ε	a␈↓ ∧0␈ε	c␈↓ ∧=␈εβ)␈↓ ∧M␈εβmod␈↓ ¬∩␈ε	m␈↓ ¬/␈εβ,␈αand␈α
in␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α↓,
␈β∂α␈↓ α6␈εn␈↓ αF␈ε~␈␈εε1␈↓ βY␈εn
␈β∂⊗␈↓ ∧s␈ε↓␈␈↓ λ∞␈ε↓↓
␈β∂1␈↓ ¬≤␈ε~0␈↓ ¬.␈εk␈↓ ε;␈ε~0␈↓ πd␈ε~0␈↓ πu␈εk
␈β∂7␈↓ βq␈ε	X␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ¬↓␈εβ(␈↓ ¬␈ε	a␈↓ ¬#␈εβ)␈↓ ¬;␈ε	X␈↓ ¬j␈ε↔␈␈↓ ε∩␈ε	c␈↓ ε∨␈εβ(␈↓ ε+␈ε	a␈↓ εI␈εβ+␈↓ εq␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π ␈εβ+␈απ(␈↓ πS␈ε	a␈↓ πj␈εβ)␈↓ λα␈εβ)␈↓ λ!␈εβmod␈↓ λf␈ε	m
␈β∂B␈↓ ∧λ␈εn␈↓ ∧→␈ε~␈␈↓ ∧2␈εk␈↓ ¬R␈εn
␈β∂←␈↓ ∧s␈ε↓∩␈↓ πV␈ε↓∪
␈β∂a␈↓ εG␈ε~0␈↓ εX␈εk␈↓ εe␈εε+␈α↓1␈↓ πL␈ε~0
␈β∂f␈↓ ε+␈εβ(␈↓ ε6␈ε	a␈↓ εM␈εβ)␈↓ π∪␈ε↔␈␈↓ π;␈ε	a
␈β∂v␈↓ ¬$␈ε~0␈↓ ¬6␈εk
␈β∂|␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ¬	␈εβ(␈↓ ¬∀␈ε	a␈↓ ¬+␈εβ)␈↓ ¬C␈ε	X␈↓ ¬r␈ε↔␈␈↓ ε~␈ε	c␈↓ πq␈εβmod␈↓ λ6␈ε	m
␈β⊂ε␈↓ ¬Z␈εn
␈β⊂
␈↓ ε+␈∧⊂
ε+α↓'
␈β⊂⊃␈↓ εc␈ε~0
␈β⊂∪␈↓ εS␈ε	a␈↓ εq␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α ␈ε	k␈↓ α;␈εβ>␈α0,␈↓ β∞␈ε	n␈↓ β*␈ε↔␈␈↓ βT␈ε	k␈↓ βo␈ε↔∃␈εβ␈α0.␈α∞If␈↓ ∧e␈ε	a␈↓ ¬α␈εβis␈αno␈α␈t␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αprime␈αto␈↓ π⎇␈ε	m␈↓ λ≠␈εβ,␈αit␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αp␈α␈ossible␈αto␈αdete␈α␈r-
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈↓ α_␈ε	X␈↓ αn␈εβwhen␈↓ βD␈ε	X␈↓ βu␈εβis␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α␈;␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈les␈α
o␈α␈f␈↓ ε(␈ε	m␈↓ εE␈εβ/␈↓ ε[␈εβgcd␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈ε	a␈↓ π)␈εβ,␈↓ π8␈ε	m␈↓ πU␈εβ)␈α
m␈α␈ay␈α	be␈α	ad␈α␈de␈α␈d␈α
to␈↓ 	e␈ε	X␈↓ 
<␈εβwith␈α␈ou␈α␈t
␈β⊃↓␈↓ α/␈εn␈↓ α?␈ε~␈␈εε1␈↓ β[␈εn␈↓ 	|␈εn␈↓ 
␈ε~␈␈εε1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈han␈α␈gin␈α␈g␈αthe␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αof␈↓ ∧
␈ε	X␈↓ ∧5␈εβ.␈α(Se␈α␈e␈αalso␈αex␈α}ercise␈α3.2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓3␈α␈↑7.)
␈β⊃)␈↓ ∧$␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα605
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.2␈α␈.1.1
␈βα{␈↓ αV␈ε~0␈↓ εY␈ε~0␈↓ 	↑␈ε~0␈↓ 
)␈ε~0
␈βα␈␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	c␈↓ αh␈εβb␈α␈e␈αa␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αto␈α
the␈αco␈α␈ng␈α␈ruen␈α␈ce␈↓ ε<␈ε	a␈↓ εL␈ε	c␈↓ εi␈ε↔⊃␈↓ π∀␈ε	c␈↓ π*␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ+␈ε	m␈↓ λI␈εβ).␈α(Th␈α␈us,␈↓ 	Q␈ε	c␈↓ 	n␈εβ=␈↓ 
_␈ε	a␈↓ 
/␈ε	c␈↓ 
A␈εβmod␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈ββ"␈↓ ↓x␈ε~0
␈ββ&␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	a␈↓ α	␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αin␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αto␈αex␈α}ercise␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈↑5.)␈αThe␈α␈n␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈ββo␈↓ ¬→␈ε∃LDA␈↓ ε↓␈ε∃X
␈β∧↔␈↓ ¬→␈ε∃ADD␈↓ ε↓␈ε∃CP␈α␈RIM␈α␈E
␈β∧>␈↓ ¬→␈ε∃MUL␈↓ ε↓␈ε∃A
␈β∧C␈↓ πI␈∧∧CπI≠∂
␈β¬∞␈↓ ↓H␈εβOv␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈α	i␈α↓s␈α	p␈α␈ossible␈α	on␈αλthis␈α	ad␈α␈dition␈α	o␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α
(F␈α↓ro␈α␈m␈α	resu␈α␈l␈α↓ts␈α	d␈α␈eriv␈α␈ed␈α	la␈α␈ter␈α	i␈α↓n␈αλthe␈α	ch␈α␈ap␈α␈-
␈β¬2␈↓ πi␈ε∃AD␈α␈D␈↓ 
⊗␈ε∃INC␈α␈A␈α∃1
␈β¬5␈↓ ↓H␈εβte␈α␈r,␈α
i␈α↓t␈α	is␈α
p␈α␈rob␈α␈ably␈α	b␈α␈est␈α	to␈α
t␈α␈ak␈α␈e␈↓ ¬↓␈ε	c␈↓ ¬↔␈εβ=␈↓ ¬B␈ε	a␈↓ ¬\␈εβa␈α␈nd␈α	to␈α	rep␈α␈lace␈α	the␈↓ λ0␈εβi␈α↓n␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	by␈α	\␈↓ ∪␈εβ"␈α␈.
␈β¬]␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈αif␈↓ α@␈ε	X␈↓ αo␈εβ=␈α0␈α␈,␈α
o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈αwi␈α↓ll␈αno␈α␈t␈αoccu␈α␈r␈αun␈α}til␈α
th␈α␈e␈αen␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d,␈αso␈αit␈αw␈α␈on␈α␈'␈α↓t␈αo␈α␈ccu␈α␈r
␈β¬h␈↓ αW␈εε0
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβin␈α
prac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e.)
␈βεF␈↓ α␈ε∃RA␈α␈NDM␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈J␈↓ ∧→␈ε∃1F
␈βεI␈↓ ↓g␈ε∪2.
␈βεm␈↓ β≥␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃XRA␈α␈ND
␈βπ∃␈↓ β≥␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ∧→␈ε∃A
␈βπ<␈↓ β≥␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧→␈ε∃5
␈βπd␈↓ β≥␈ε∃AD␈α␈D␈↓ ∧→␈ε∃C␈↓ ¬g␈ε∃IN␈α␈CA
␈βπg␈↓ ¬*␈εβ(or,␈↓ εE␈ε	c␈↓ εR␈εβ,␈αi␈α↓f␈↓ πε␈ε	c␈↓ π≡␈εβis␈αsmall)
␈βλ␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃XRA␈α␈ND
␈βλ3␈↓ α␈ε∃1H␈↓ β≥␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ ∧→␈ε∃*
␈βλ[␈↓ β≥␈ε∃JM␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃*-1
␈β	α␈↓ α␈ε∃XR␈α␈AND␈↓ β≥␈ε∃CO␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃X
␈β	*␈↓ α␈ε∃A␈↓ β≥␈ε∃CO␈α␈N
␈β	-␈↓ ∧→␈ε	a
␈β	R␈↓ α␈ε∃C␈↓ β≥␈ε∃CO␈α␈N
␈β	U␈↓ ∧→␈ε	c
␈β	W␈↓ ¬.␈∧	W¬.≠∂
␈β
↔␈↓ β;␈ε∃A␈↓ ∧≠␈ε∃C␈↓ πJ␈ε∃2H␈↓ λ?␈ε∃3H
␈β
~␈↓ ↓H␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αLoc␈α␈ation␈α␈s␈↓ β[␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧;␈εβshou␈α␈ld␈αpr␈α␈oba␈α␈bly␈αb␈α␈e␈αnam␈α␈ed␈↓ π␈␈εβa␈α␈nd␈↓ λt␈εβto␈αav␈α}oid␈αco␈α␈n⎇␈α␈i␈α↓c␈α␈t␈αwith
␈β
B␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈αsy␈α␈m␈α␈b␈α␈ols,␈αif␈αth␈α␈i␈α↓s␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α
i␈α↓s␈αto␈α
be␈αu␈α␈sed␈αb␈α␈y␈αo␈α␈ther␈αp␈α␈rog␈α␈ramme␈α␈rs.
␈β
v␈↓ αG␈ε∃WM1
␈β
y␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈↓ β⊂␈εβat␈αthe␈α
end␈α
of␈αP␈α↓ro␈α␈gra␈α␈m␈α4.2.3D.
␈β,␈↓ ¬,␈εe␈↓ λ$␈εe␈↓ 	7␈εe␈↓ 	B␈ε~␈␈εε1␈↓ 
s␈εe␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β0␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβDe|␈α␈ne␈α
the␈αo␈α␈pera␈α␈tion␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧W␈εβmod␈↓ ¬≤␈εβ2␈↓ ¬@␈εβ=␈↓ ¬k␈ε	y␈↓ ελ␈εβi␈α↓{␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εL␈ε↔⊃␈↓ εv␈ε	y␈↓ π∩␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ∪␈εβ2␈↓ λ/␈εβ)␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α
␈␈↓ 	'␈εβ2␈↓ 	q␈ε↔∀␈↓ 
≤␈ε	y␈↓ 
7␈εβ<␈↓ 
b␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈βJ␈↓ ∧W␈∧J∧Wα?
␈βW␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αse␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈αh␈↓ ∧↑␈ε	Y␈↓ ¬↓␈ε↔i␈εβ␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
by
␈βb␈↓ ∧q␈εn
␈β$␈↓ ¬/␈εε3␈α␈2␈↓ λ}␈εε32
␈β*␈↓ β]␈ε	Y␈↓ ∧ε␈εβ=␈↓ ∧0␈ε	X␈↓ ∧Z␈εβm␈α␈od␈↓ ¬≡␈εβ2␈↓ ¬H␈εβ,␈↓ ε∨␈ε	Y␈↓ εr␈εβ=␈α	(␈↓ π'␈ε	a␈↓ π8␈ε	Y␈↓ πc␈εβ+␈↓ λ␈ε	c␈↓ λ_␈εβ)␈↓ λ)␈εβmod␈↓ λn␈εβ2
␈β4␈↓ βp␈εε0␈↓ ∧H␈εε0␈↓ ε2␈εn␈↓ εC␈εε+1␈↓ πK␈εn
␈βD␈↓ ∧Z␈∧D∧Zα?␈↓ λ)␈∧Dλ)α?
␈β⎇␈↓ ↓H␈εβis␈αe␈α␈asy␈α
to␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α
on␈α
370␈α␈-style␈αm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es,␈αsinc␈α␈e␈αth␈α␈e␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αh␈α␈alf␈αof␈α
the␈α
pro␈α␈du␈α␈ct␈αof␈↓ 
Z␈ε	y␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β
 ␈↓ β⊃␈εε32
␈β
$␈↓ ↓H␈ε	z␈↓ ↓`␈εβis␈α
(␈↓ α␈ε	y␈↓ α≥␈ε	z␈↓ α+␈εβ)␈↓ α<␈εβmo␈α␈d␈↓ β␈εβ2␈↓ β4␈εβfor␈α
all␈α
t␈α␈wo␈α␈'s␈αc␈α␈omp␈α␈lemen␈α}t␈α
n␈α␈um␈α}bers␈↓ π&␈ε	y␈↓ πB␈εβan␈α␈d␈↓ λα␈ε	z␈↓ λ⊂␈εβ,␈α
and␈α	since␈α
a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈α
ign␈α␈oring
␈β
>␈↓ α<␈∧
>α<α?
␈β
H␈↓ ¬V␈εε3␈α␈2
␈β
L␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αλalso␈απdeliv␈α␈e␈α␈rs␈αλi␈α↓ts␈απresult␈↓ ¬↓␈εβm␈α␈od␈↓ ¬E␈εβ2␈↓ ¬o␈εβ.␈α
This␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλh␈α␈as␈αλa␈α␈l␈α↓l␈αλth␈α␈e␈αλran␈α␈do␈α␈mne␈α␈ss␈αλpro␈α␈per␈α␈ti␈α↓e␈α␈s
␈β
f␈↓ ¬↓␈∧
f¬↓α?
␈β
o␈↓ 
␈εε3␈α␈2
␈β
s␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
the␈α
sta␈α␈nd␈α␈ard␈α	l␈α↓in␈α␈ear␈α
c␈α␈ong␈α␈ruen␈α}tial␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α
h␈↓ εZ␈ε	X␈↓ πα␈ε↔i␈εβ,␈α
since␈↓ πp␈ε	Y␈↓ λ≥␈ε↔⊃␈↓ λH␈ε	X␈↓ λy␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 	z␈εβ2␈↓ 
$␈εβ).␈αInd␈α␈eed␈α␈,
␈β
}␈↓ εq␈εn␈↓ λ∧␈εn␈↓ λ←␈εn
␈β∞≠␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αt␈α␈wo␈α␈'s␈αco␈α␈mplem␈α␈en␈α␈t␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αof␈↓ ε∩␈ε	Y␈↓ εB␈εβis␈ε⊂␈αi␈α↓d␈α␈en␈α␈tica␈α␈l␈εβ␈αto␈αthe␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f
␈β∞&␈↓ ε&␈εn
␈β∞C␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓o␈εβ,␈αfo␈α␈r␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ αf␈ε	n␈↓ αz␈εβ.␈α[G.␈αM␈α␈arsag␈α␈li␈α↓a␈αa␈α␈nd␈αT.␈αA.␈αBray␈α
|rst␈αpo␈α␈in␈α␈ted␈αth␈α␈is␈αo␈α␈ut␈αin␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α1␈α␈1␈εβ␈α(196␈α␈8),
␈β∞M␈↓ ↓←␈εn
␈β∞j␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈57↑␈α␈759␈α␈.]
␈β∂≡␈↓ βy␈ε∃L␈α␈DA␈α∀X,␈α∀SUB␈α∀Y,␈α∀JAN␈α␈N␈α∃*+␈α␈2,␈α∀ADD␈α∀M␈↓ 
0␈ε∃LDA␈α∀X,
␈β∂!␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ(a)␈αλSu␈α␈btra␈α␈ction:␈↓ λQ␈εβ.␈α∩(␈α↓b␈α␈)␈α	Ad␈α␈dition␈α␈:
␈β∂F␈↓ ↓H␈ε∃S␈α␈UB␈α∀M,␈α∃A␈α␈DD␈α∀Y,␈α∀JANN␈α∀*+␈α␈2,␈α∀ADD␈α∀M
␈β∂I␈↓ ε ␈εβ.␈α∞(Note␈α∞th␈α␈at␈α∞if␈↓ λ∧␈ε	m␈↓ λ0␈εβis␈α∞n␈α␈ear␈α∞th␈α␈e␈α∞w␈α␈ord␈α
si␈α↓z␈α␈e,␈α∂the
␈β∂m␈↓ β↓␈ε∃S␈α␈UB␈α∀M␈↓ πA␈ε∃AD␈α␈D␈α∃Y
␈β∂p␈↓ ↓H␈εβin␈α␈struct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α\␈↓ βh␈εβ"␈αm␈α␈u␈α␈st␈αpre␈α␈cede␈α
the␈αinst␈α␈ruction␈α
\␈↓ λ(␈εβ".)
␈β⊂'␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβThe␈α
sequ␈α␈en␈α␈ces␈αa␈α␈re␈αn␈α␈ot␈αesse␈α␈n␈α␈tially␈αd␈α␈i{␈α↓er␈α␈en␈α␈t,␈αsinc␈α␈e␈αad␈α␈din␈α␈g␈αth␈α␈e␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈α(␈↓ 

␈ε	m␈↓ 
1␈ε↔␈␈↓ 
Y␈ε	c␈↓ 
f␈εβ)␈αha␈α␈s
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
sa␈α␈me␈α
e␈α␈{␈α↓ec␈α␈t␈α
as␈αsub␈α␈tractin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ εQ␈ε	c␈↓ ε↑␈εβ.␈α⊂The␈αop␈α␈eration␈αm␈α␈u␈α␈st␈α
b␈α␈e␈α
com␈α}bine␈α␈d␈α
with
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈,␈αso␈αa␈αsub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αp␈α␈roce␈α␈ss␈αha␈α␈s␈αlittl␈α↓e␈αmerit␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αadd␈α␈iti␈α↓v␈α}e␈αo␈α␈ne␈α(at␈αleas␈α␈t
␈β⊃≠␈↓ ↓n␈ε∃MIX
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβin␈↓ α-␈εβ's␈αca␈α␈se),␈αe␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈αwhe␈α␈n␈αit␈αi␈α↓s␈αn␈α␈eces␈α␈sary␈αto␈α
av␈α␈o␈α␈id␈αa{ectin␈α␈g␈αthe␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w␈αto␈α␈ggle.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα606␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
F3.2.1.1
␈βα'␈↓ ∧\␈εk␈↓ 	∞␈εk␈↓ 	≠␈εr
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α
prime␈α∞fa␈α␈ctors␈α
of␈↓ ∧N␈ε	z␈↓ ∧r␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞a␈α␈pp␈α␈ear␈α∞in␈α
the␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α∞o␈α␈f␈↓ 	␈ε	z␈↓ 	1␈ε↔␈␈εβ␈α	1.␈α∀If␈↓ 
-␈ε	r␈↓ 
I␈εβi␈α↓s␈α∞o␈α␈dd␈α␈,
␈βαO␈↓ ∧β␈εk␈↓ λ%␈εk␈↓ λ2␈εr␈↓ 	m␈εε2␈↓ 	y␈εk
␈βαS␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈rime␈αfa␈α␈ctors␈αof␈↓ βv␈ε	z␈↓ ∧_␈εβ+␈α	1␈αap␈α␈pe␈α␈ar␈αin␈αthe␈αfacto␈α␈rization␈αo␈α␈f␈↓ λ↔␈ε	z␈↓ λF␈εβ+␈αλ1.␈α
And␈↓ 	←␈ε	z␈↓ 
∞␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αe␈α␈qua␈α␈ls
␈βαv␈↓ ↓a␈εk␈↓ αR␈εk
␈βαz␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	z␈↓ ↓u␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓(␈↓ αE␈ε	z␈↓ αg␈εβ+␈αλ1␈α␈).
␈ββ-␈↓ α␈ε∃JO␈α␈V␈↓ βλ␈ε∃*+1
␈ββ0␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ ∧⊂␈εβ(En␈α␈sure␈αth␈α␈at␈αo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αo␈α␈{␈α↓.)
␈ββT␈↓ α␈ε∃LD␈α␈A␈↓ βλ␈ε∃X
␈ββ|␈↓ α␈ε∃MU␈α␈L␈↓ βλ␈ε∃A
␈β∧#␈↓ α␈ε∃ST␈α␈X␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P
␈β∧K␈↓ α␈ε∃AD␈α␈D␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P
␈β∧N␈↓ ∧⊂␈εβAd␈α␈d␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αh␈α␈alf␈αto␈αu␈α␈pp␈α␈er␈αha␈α␈l␈α↓f.
␈β∧s␈↓ α␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ βλ␈ε∃*+2
␈β∧v␈↓ ∧⊂␈εβIf␈ε↔␈α∃␈↓ ∧[␈ε	w␈↓ ∧t␈εβ,␈αs␈α␈ub␈α␈tract␈↓ ε␈ε	w␈↓ ε,␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.
␈β¬~␈↓ α␈ε∃IN␈α␈CA␈↓ βλ␈ε∃1
␈β¬≥␈↓ ∧⊂␈εβ(Ov␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αimp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α
i␈α↓n␈α
this␈αstep␈α␈.␈α↓)
␈β¬∨␈↓ λF␈∧¬∨λF≠∂
␈β¬]␈↓ 	F␈εe
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αSin␈α␈ce␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αo␈α␈n␈αa␈α␈n␈↓ ∧X␈ε	e␈↓ ∧d␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈αon␈α␈es'-com␈α␈plemen␈α}t␈αco␈α␈mpu␈α␈ter␈αis␈↓ λc␈εβmo␈α␈d␈↓ 	*␈εβ(␈↓ 	5␈εβ2␈↓ 	W␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈),␈αi␈α↓t␈α
i␈α↓s␈α
po␈α␈s-
␈βε¬␈↓ 
 ␈εe
␈βε	␈↓ ↓H␈εβsib␈α␈l␈α↓e␈α
to␈α
com␈α␈b␈α␈ine␈α
the␈α
tech␈α␈niqu␈α␈es␈α∞o␈α␈f␈α∞ex␈α}ercises␈α∞4␈α
an␈α␈d␈α
8,␈α∂p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
(␈↓ 	∂␈ε	y␈↓ 	!␈ε	z␈↓ 	/␈εβ)␈↓ 	?␈εβmod␈↓ 
∧␈εβ(␈↓ 
∂␈εβ2␈↓ 
4␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α
by
␈βε0␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απtoge␈α␈ther␈απthe␈απt␈α␈w␈α␈o␈↓ ∧#␈ε	e␈↓ ∧0␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈απha␈α␈l␈α↓v␈α}es␈αλo␈α␈f␈αλthe␈απpro␈α␈du␈α␈ct␈↓ π∨␈ε	y␈↓ π1␈ε	z␈↓ π?␈εβ,␈α	fo␈α␈r␈αλall␈αλon␈α␈es'␈αλco␈α␈mplem␈α␈en␈α␈t␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βεX␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓e␈εβan␈α␈d␈↓ α&␈ε	z␈↓ α?␈εβreg␈α␈ard␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈αof␈αsign.
␈βπ∞␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβThe␈α
pairs␈α(0,␈↓ βL␈ε	w␈↓ βm␈ε↔␈␈εβ␈απ2),␈α(␈α↓1␈α␈,␈↓ ∧p␈ε	w␈↓ ¬⊂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αa␈α␈re␈αtreat␈α␈ed␈αas␈αe␈α␈quiv␈α␈alen␈α␈t␈αin␈α
i␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αan␈α␈d␈αou␈α␈tpu␈α␈t:
␈βπN␈↓ α␈ε∃JO␈α␈V␈↓ βλ␈ε∃*+1
␈βπv␈↓ α␈ε∃LD␈α␈A␈↓ βλ␈ε∃X
␈βλ≥␈↓ α␈ε∃MU␈α␈L␈↓ βλ␈ε∃A
␈βλ ␈↓ ∧⊂␈ε	a␈↓ ∧ ␈ε	X␈↓ ∧E␈εβ=␈↓ ∧o␈ε	q␈↓ ∧}␈ε	w␈↓ ¬≡␈εβ+␈↓ ¬G␈ε	r
␈βλE␈↓ α␈ε∃SL␈α␈C␈↓ βλ␈ε∃5
␈βλH␈↓ ∧⊂␈εβr␈α␈A␈↓ ∧>␈ε↔ ␈↓ ∧h␈ε	r␈↓ ∧w␈εβ,␈↓ ¬
␈εβrX␈↓ ¬;␈ε↔ ␈↓ ¬f␈ε	q␈↓ ¬u␈εβ.
␈βλm␈↓ α␈ε∃ST␈α␈X␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P
␈β	∀␈↓ α␈ε∃AD␈α␈D␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P
␈β	<␈↓ α␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ βλ␈ε∃*+2
␈β	?␈↓ ∧⊂␈εβG␈α␈et␈α(␈↓ ∧[␈ε	r␈↓ ∧q␈εβ+␈↓ ¬~␈ε	q␈↓ ¬)␈εβ)␈↓ ¬:␈εβm␈α␈od␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	w␈↓ ε)␈ε↔␈␈εβ␈αλ2).
␈β	c␈↓ α␈ε∃IN␈α␈CA␈↓ βλ␈ε∃2
␈β	f␈↓ ∧⊂␈εβO␈α␈v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αi␈α↓m␈α␈poss␈α␈i␈α↓b␈α␈le.
␈β
␈↓ α␈ε∃AD␈α␈D␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P
␈β
3␈↓ α␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ βλ␈ε∃*+3
␈β
6␈↓ ∧⊂␈εβG␈α␈et␈α(␈↓ ∧[␈ε	r␈↓ ∧q␈εβ+␈αλ2␈↓ ¬+␈ε	q␈↓ ¬:␈εβ)␈↓ ¬J␈εβmod␈↓ ε∂␈εβ(␈↓ ε~␈ε	w␈↓ ε:␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈).
␈β
Z␈↓ α␈ε∃IN␈α␈CA␈↓ βλ␈ε∃2
␈β
]␈↓ ∧⊂␈εβO␈α␈v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αposs␈α␈i␈α↓b␈α␈le.
␈βα␈↓ α␈ε∃JO␈α␈V␈↓ βλ␈ε∃*-1
␈βπ␈↓ π`␈∧ππ`≠∂
␈β␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.2␈α␈.1.2
␈βb␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβPeriod␈αlen␈α␈gth␈↓ βY␈ε	m␈↓ βw␈εβ,␈αby␈α
The␈α␈orem␈αA␈↓ ¬`␈εβ.␈α(Cf.␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α3␈α␈.)
␈β
_␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβYes,␈α∂th␈α␈ese␈α∞co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α␈s␈α∞imply␈α
the␈α∞co␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α∞in␈α∞Th␈α␈eore␈α␈m␈α∞A␈↓ λc␈εβ,␈α∂si␈α↓n␈α␈ce␈α∞th␈α␈e␈α∞on␈α␈l␈α↓y␈α
prime
␈β
;␈↓ αk␈εe␈↓ λC␈εe
␈β
?␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisor␈α
of␈↓ αZ␈εβ2␈↓ β␈εβis␈α
2,␈α
an␈α␈d␈α
an␈α}y␈α
od␈α␈d␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
i␈α↓s␈α
relat␈α␈i␈α↓v␈α}ely␈α
prime␈α
t␈α␈o␈↓ λ2␈εβ2␈↓ λN␈εβ.␈α(In␈α
fac␈α␈t,␈αth␈α␈e␈α
con␈α␈dition␈α␈s
␈β
g␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αex␈α}ercise␈αar␈α␈e␈ε⊂␈αnec␈α␈essary␈εβ␈α
and␈α
su}␈α␈cien␈α␈t.)
␈β∞≥␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβBy␈αTheo␈α␈rem␈αA␈↓ βg␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α
n␈α␈eed␈↓ ∧␈␈ε	a␈↓ ¬≠␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α(m␈α␈odu␈α␈lo␈α4)␈αan␈α␈d␈↓ πO␈ε	a␈↓ πk␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α(mod␈α␈ulo␈α5␈α␈).␈α⊂By␈αLaw␈αD␈α
o␈α␈f
␈β∞E␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ection␈α
1.2.4,␈αth␈α␈i␈α↓s␈αis␈αeq␈α␈uiva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αto␈↓ ¬@␈ε	a␈↓ ¬Y␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
20).
␈β∞w␈↓ ¬Z␈εe␈↓ ¬e␈ε~␈␈εε1␈↓ 
s␈εe␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∞{␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβWe␈α
k␈α␈no␈α␈w␈↓ β"␈ε	X␈↓ β}␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α(mod␈α␈ulo␈↓ ¬J␈εβ2␈↓ ε␈εβ)␈α
b␈α␈y␈αusing␈αThe␈α␈orem␈αA␈α
in␈α
t␈α␈he␈α
c␈α␈ase␈↓ 
␈ε	m␈↓ 
5␈εβ=␈↓ 
b␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β∂ε␈↓ βF␈ε
e␈↓ βQ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂	␈↓ β:␈εε2
␈β∂∨␈↓ ¬@␈εe␈↓ 	t␈εe
␈β∂#␈↓ ↓H␈εβAlso␈α
u␈α␈sing␈α
Th␈α␈eorem␈α
A␈α
for␈↓ ∧W␈ε	m␈↓ ¬↓␈εβ=␈↓ ¬/␈εβ2␈↓ ¬K␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
k␈α␈no␈α}w␈α∞th␈α␈at␈↓ π9␈ε	X␈↓ λ⊗␈ε↔@⊃␈↓ λD␈εβ0␈α(mod␈α␈ulo␈↓ 	c␈εβ2␈↓ 	}␈εβ).␈α∩It␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws
␈β∂.␈↓ π]␈ε
e␈↓ πg␈ε≠␈␈επ1
␈β∂1␈↓ πP␈εε2
␈β∂F␈↓ β*␈εe␈↓ β5␈ε~␈␈εε1
␈β∂J␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊃␈ε	X␈↓ αm␈εβ=␈↓ β~␈εβ2␈↓ β[␈εβ.␈α⊂M␈α␈ore␈αgen␈α␈erally,␈α
w␈α␈e␈αcan␈αu␈α␈se␈α
Eq.␈α∂3.2.1↑␈α␈6␈α
to␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈αthe␈αseco␈α␈nd
␈β∂U␈↓ α5␈ε
e␈↓ α?␈ε≠␈␈επ1
␈β∂Y␈↓ α(␈εε2
␈β∂n␈↓ 
α␈εe␈↓ 

␈ε~␈␈εε1␈↓ _␈εe
␈β∂r␈↓ ↓H␈εβh␈α␈alf␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
period␈α
is␈α
essen␈α}tiall␈α↓y␈α
lik␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α|␈α␈rst␈α
ha␈α␈l␈α↓f,␈αsin␈α␈ce␈↓ πc␈ε	X␈↓ λf␈εβ=␈α
(␈↓ 	≤␈ε	X␈↓ 	J␈εβ+␈↓ 	q␈εβ2␈↓ 
3␈εβ)␈↓ 
C␈εβmod␈↓ λ␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β∂⎇␈↓ λ1␈ε
e␈↓ λ;␈ε≠␈␈επ1␈↓ 	3␈εn
␈β⊂␈↓ πz␈εn␈↓ λ␈εε+␈↓ λ$␈εε2
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αqu␈α␈arters␈αa␈α␈re␈αsimil␈α↓a␈α␈r␈αtoo,␈αsee␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α2␈α␈1.)
␈β⊂P␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβWe␈αλnee␈α␈d␈↓ β∂␈ε	a␈↓ β)␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ∧o␈ε	p␈↓ ¬␈εβ)␈αλfor␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬↑␈εβ=␈α	3,␈αε1␈α␈1,␈αε43␈α␈,␈αε28␈α␈1,␈αε8␈α␈617␈α␈1.␈α
B␈α↓y␈απLaw␈αλD␈αλof␈αλSe␈α␈ction␈αλ1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓4␈α␈,
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αis␈αe␈α␈quiv␈α␈alen␈α␈t␈αto␈↓ βt␈ε	a␈↓ ∧∂␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈α3␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ11␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ43␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ28␈α␈1␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ8␈α␈617␈α␈1),␈αso␈αth␈α␈e␈ε⊂␈αo␈α␈nly␈εβ␈αsolutio␈α␈n␈αi␈α↓s␈αthe
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rri␈α↓b␈α␈le␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓ier␈↓ βU␈ε	a␈↓ βn␈εβ=␈α
1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα607
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(Cf.␈αpre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α}ercise.)␈↓ ∧d␈ε	a␈↓ ∧}␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈α3␈ε↔␈αε↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈αε↓␈εβ␈απ11␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ13␈ε↔␈αε↓␈εβ␈απ37)␈α
i␈α↓m␈α␈plies␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈↓ ↓␈␈ε	a␈↓ α→␈εβ=␈α	1␈απ+␈αλ11␈α␈111␈α␈1␈↓ βh␈ε	k␈↓ βx␈εβ,␈αfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈αλ∀␈↓ ¬¬␈ε	k␈↓ ¬∨␈ε↔∀␈εβ␈α	8.
␈ββπ␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβUsing␈α
the␈α
no␈α␈tation␈α
of␈α
the␈α
pro␈α␈of␈α∞o␈α␈f␈α∞Lemma␈α
Q␈↓ π,␈εβ,␈↓ πD␈ε	⊗␈↓ πc␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
smallest␈α∞v␈α␈alu␈α␈e␈α∞su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈ββ/␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α$␈εβ=␈↓ αR␈ε	X␈↓ αx␈εβ;␈α∞so␈α
i␈α↓t␈α
is␈α∞t␈α␈he␈α
sma␈α␈l␈α↓lest␈α
va␈α␈lue␈α
suc␈α␈h␈α
tha␈α␈t␈↓ π3␈ε	Y␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ9␈ε	Y␈↓ λi␈εβa␈α␈nd␈↓ 	,␈ε	Z␈↓ 
α␈εβ=␈↓ 
0␈ε	Z␈↓ 
Q␈εβ.␈α∩Th␈α␈is
␈ββ9␈↓ ↓←␈ε⊗␈↓ ↓m␈εε+␈↓ απ␈ε∃␈↓ αi␈ε⊗␈↓ πF␈ε⊗␈↓ πU␈εε+␈↓ πn␈ε∃␈↓ λM␈ε⊗␈↓ 	=␈ε⊗␈↓ 	L␈εε+␈↓ 	e␈ε∃␈↓ 
B␈ε⊗
␈ββV␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈ws␈αλtha␈α␈t␈↓ αj␈ε	⊗␈↓ β¬␈εβ=␈↓ β0␈εβma␈α␈x␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	⊗␈↓ ∧_␈εβ,␈↓ ∧'␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	⊗␈↓ ∧⎇␈εβ).␈α
T␈α↓h␈α␈e␈αλhigh␈α␈est␈αλach␈α␈i␈α↓e␈α␈vab␈α␈le␈↓ πn␈ε	⊗␈↓ λλ␈εβi␈α↓s␈↓ λ'␈εβma␈α␈x␈↓ λf␈εβ(␈↓ λq␈ε	e␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	_␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	E␈εβ,␈↓ 	T␈ε	e␈↓ 	i␈εβ),␈α
b␈α␈ut␈αλno␈α␈bo␈α␈dy
␈ββa␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧s␈εt␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	`␈εt
␈ββ}␈↓ ↓H␈εβre␈α␈all␈α↓y␈α
wan␈α}ts␈αto␈αach␈α␈iev␈α␈e␈αit.
␈β∧/␈↓ α≤␈εε2␈↓ ∧e␈εε4␈↓ π∃␈εε8
␈β∧4␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε	a␈↓ α3␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α
(mod␈α␈ulo␈α8␈α␈);␈αso␈↓ ∧T␈ε	a␈↓ ∧{␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α	(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈α16␈α␈),␈↓ π∧␈ε	a␈↓ π+␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α	(mod␈α␈ulo␈α3␈α␈2),␈αetc.␈αIf␈↓ 
⊗␈ε	a␈↓ 
,␈εβmo␈α␈d␈↓ 
p␈εβ4␈α
=
␈β∧S␈↓ πT␈ε
e␈↓ π←␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∧W␈↓ πH␈εε2␈↓ 
F␈εe␈↓ 
Q␈εε+1
␈β∧[␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈,␈α
t␈α␈hen␈↓ α4␈ε	a␈↓ αH␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈αλis␈α	t␈α␈wice␈αλan␈αλo␈α␈dd␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er;␈α
t␈α␈h␈α␈us,␈α	w␈α␈e␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλ(␈↓ π7␈ε	a␈↓ λ∧␈ε↔␈␈εβ␈α∧1)/2␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
6␈εβ2␈↓ 
w␈εβ/␈α␈2),
␈β¬β␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αyield␈α␈s␈αthe␈αd␈α␈esired␈αre␈α␈sult.
␈β¬8␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβSu␈α␈bs␈α␈ti␈α↓tu␈α␈te␈α	fo␈α␈r␈↓ β\␈ε	X␈↓ ∧␈εβi␈α↓n␈αλterm␈α␈s␈α	of␈↓ ¬0␈ε	Y␈↓ ¬\␈εβan␈α␈d␈α	simp␈α␈li␈α↓fy␈α␈.␈αIf␈↓ πB␈ε	X␈↓ πn␈εβmod␈αλ4␈α	=␈α	3␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	form␈α}ulas␈α	o␈α␈f␈α	the
␈β¬C␈↓ βs␈εn␈↓ ¬C␈εn␈↓ πY␈εε0
␈β¬\␈↓ 
6␈εe
␈β¬`␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈αdo␈αn␈α␈ot␈α
a␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈;␈α∞b␈α␈ut␈αthey␈αd␈α␈o␈αapp␈α␈ly␈αto␈α
th␈α␈e␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈↓ λ"␈ε	Z␈↓ λP␈εβ=␈α(␈ε↔␈␈↓ 	)␈ε	X␈↓ 	Q␈εβ)␈↓ 	a␈εβmod␈↓ 
&␈εβ2␈↓ 
A␈εβ,␈α
which
␈β¬j␈↓ λ4␈εn␈↓ 	@␈εn
␈βεπ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αesse␈α␈n␈α␈tially␈αth␈α␈e␈αsame␈α
beh␈α␈av␈α␈i␈α↓o␈α␈r.
␈βε9␈↓ ∧9␈εe␈↓ ¬=␈εe
␈βε=␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβOn␈α␈l␈α↓y␈↓ α`␈ε	m␈↓ β	␈εβ=␈α1,␈α
2␈α␈,␈α
4,␈↓ ∧(␈ε	p␈↓ ∧D␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈α2␈↓ ¬,␈ε	p␈↓ ¬H␈εβ,␈α
fo␈α␈r␈α
o␈α␈dd␈αprimes␈↓ πA␈ε	p␈↓ πR␈εβ.␈α∂In␈αall␈α
o␈α␈ther␈αca␈α␈ses,␈α
th␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αo␈α␈f
␈βεd␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αB␈αis␈αa␈α␈n␈αimpro␈α}v␈α␈em␈α␈en␈α␈t␈αo␈α␈v␈α}er␈αEuler's␈αth␈α␈eorem␈α
(␈α↓e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α1␈α␈.2.4↑2␈α␈8).
␈βπ⊗␈↓ 
 ␈εf
␈βπ~␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈α	Ei␈α↓t␈α␈her␈↓ β ␈ε	x␈↓ β6␈εβ+␈α¬1␈α	or␈↓ ∧≥␈ε	x␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	(no␈α␈t␈α
b␈α␈oth␈α␈)␈α
will␈α
b␈α␈e␈α	a␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α	of␈α	4,␈α
so␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	⊗␈ε↔π␈εβ␈α¬1␈α	=␈↓ 
␈ε	q␈↓ 
∂␈εβ2␈↓ 
-␈εβ,␈α	where␈↓ ≡␈ε	q
␈βπB␈↓ ↓H␈εβis␈α
od␈α␈d␈α
a␈α␈nd␈↓ αg␈ε	f␈↓ β↓␈εβis␈α
grea␈α␈ter␈α
tha␈α␈n␈α
1␈α␈.␈α↔(b)␈α
In␈α
th␈α␈e␈α
giv␈α}en␈α
circu␈α␈msta␈α␈nce␈α␈s,␈↓ λU␈ε	f␈↓ λn␈εβ<␈↓ 	→␈ε	e␈↓ 	0␈εβa␈α␈nd␈α	so␈↓ 
↔␈ε	e␈↓ 
-␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈.␈αW␈α↓e
␈βπe␈↓ ∧,␈εf␈↓ π%␈εf␈↓ π2␈εε+1
␈βπi␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αε␈↓ α8␈ε	x␈↓ αT␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ∧≠␈εβ2␈↓ ∧8␈εβ)␈αan␈α␈d␈ε↔␈αε␈↓ ¬2␈ε	x␈↓ ¬M␈ε↔@⊃␈↓ ¬x␈εβ1␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ π∃␈εβ2␈↓ πX␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ λ0␈ε	f␈↓ λJ␈εβ>␈α
1.␈αH␈α↓e␈α␈nce␈αby␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing
␈βλ
␈↓ ∧z␈εε2␈↓ ¬ε␈εe␈↓ ¬⊃␈ε~␈␈↓ ¬*␈εf␈↓ ¬7␈ε~␈␈εε1␈↓ πI␈εe␈↓ λa␈εε2␈↓ λm␈εe␈↓ λx␈ε~␈␈↓ 	⊃␈εf␈↓ 
#␈εε2␈↓ 
/␈εe␈↓ 
:␈ε~␈␈↓ 
S␈εf
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈εβLem␈α␈ma␈α
P␈↓ αW␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
|n␈α␈d␈α
that␈α
(␈ε↔ε␈↓ ∧]␈ε	x␈↓ ∧o␈εβ)␈↓ ¬j␈ε↔@⊃␈↓ ε→␈εβ1␈α
(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ π8␈εβ2␈↓ πT␈εβ),␈α∞while␈↓ λO␈ε	x␈↓ 	+␈εβ=␈α∞(␈ε↔ε␈↓ 
ε␈ε	x␈↓ 
_␈εβ)␈↓ 
m␈ε↔⊃␈εβ␈α∞1
␈βλ4␈↓ αZ␈εe␈↓ ε/␈εe␈↓ ε:␈ε~␈␈↓ εS␈εf␈↓ 	3␈εe␈↓ 	>␈ε~␈␈↓ 	W␈εf␈↓ 	d␈ε~␈␈εε1
␈βλ8␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αe␈εβ).␈α∞So␈αth␈α␈e␈αord␈α␈er␈αis␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈↓ ε≡␈εβ2␈↓ ε`␈εβ,␈αbu␈α␈t␈αnot␈αa␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ 	#␈εβ2␈↓ 

␈εβ.␈α≠(c)␈α
1␈αha␈α␈s
␈βλ\␈↓ αS␈εe␈↓ 
␈εe␈↓ 
␈ε~␈␈εε2
␈βλ`␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈α
1␈α␈;␈↓ αB␈εβ2␈↓ αc␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α	ha␈α␈s␈αo␈α␈rde␈α␈r␈α
2;␈αth␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈um␈α	perio␈α␈d␈α
whe␈α␈n␈↓ πh␈ε	e␈↓ π}␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α	i␈α↓s␈α
th␈α␈erefo␈α␈re␈↓ 	o␈εβ2␈↓ 
1␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
fo␈α␈r
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε	e␈↓ ↓↑␈ε↔∃␈εβ␈α	4␈αit␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ecessa␈α␈ry␈αto␈α
hav␈α}e␈↓ ∧r␈ε	f␈↓ ¬␈εβ=␈α
2␈α␈,␈αth␈α␈at␈αis,␈↓ εM␈ε	x␈↓ εh␈ε↔⊃␈εβ␈α
4␈ε↔␈απε␈εβ␈απ1␈α	(mod␈α␈ulo␈α8␈α␈).
␈β	9␈↓ εw␈εk
␈β	=␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α1␈ε	k␈↓ αP␈εβis␈α∞a␈α∂p␈α␈rop␈α␈er␈α∞diviso␈α␈r␈α∂of␈↓ ¬≠␈ε	p␈↓ ¬6␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞an␈α␈d␈α∞if␈↓ εg␈ε	a␈↓ π∀␈ε↔⊃␈εβ␈α∂1␈α∞(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ λe␈ε	p␈↓ λv␈εβ),␈α⊂th␈α␈en␈α∞b␈α␈y␈α∞L␈α↓e␈α␈mma␈α∞P
␈β	\␈↓ ↓s␈ε
e␈↓ ↓}␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ 
<␈ε
e␈↓ 
F␈ε≠␈␈επ2
␈β	a␈↓ ↓X␈εk␈↓ ↓e␈εp␈↓ β␈␈εe␈↓ ¬j␈εp␈↓ ¬x␈ε~␈␈εε1␈↓ π}␈εε2␈↓ 	j␈εε(␈↓ 	r␈εp␈↓ 
␈ε~␈␈εε1)␈↓ 
.␈εp
␈β	e␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α)␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ βo␈ε	p␈↓ ∧
␈εβ).␈αS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈α	if␈↓ ¬Z␈ε	a␈↓ ε'␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈αλ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ πm␈ε	p␈↓ λ␈εβ),␈αλw␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απtha␈α␈t␈↓ 	Y␈ε	a␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈β
λ␈↓ αZ␈εe␈↓ λx␈εp␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε1␈↓ ␈εε2
␈β
␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αe␈εβ).␈αSo␈αin␈α
these␈αc␈α␈ases␈↓ ¬α␈ε	a␈↓ ¬≥␈εβi␈α↓s␈ε⊂␈αn␈α␈ot␈εβ␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e.␈αCon␈α␈v␈α}ersely␈α␈,␈αif␈↓ λg␈ε	a␈↓ 	5␈ε↔@⊃␈↓ 	←␈εβ1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	p␈↓ _␈εβ),
␈β
,␈↓ πε␈ε
e␈↓ π⊂␈ε≠␈␈επ2␈↓ 
V␈ε
e␈↓ 
`␈ε≠␈␈επ1
␈β
0␈↓ ε3␈εε(␈↓ ε<␈εp␈↓ εJ␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ εx␈εp␈↓ 	∩␈εe␈↓ 
β␈εε(␈↓ 
␈εp␈↓ 
~␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ 
H␈εp
␈β
4␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αλ1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓4␈α␈F␈αλan␈α␈d␈απL␈α↓e␈α␈mma␈απP␈αλtell␈αλus␈απtha␈α␈t␈↓ ε#␈ε	a␈↓ π;␈ε↔@⊃␈↓ πf␈εβ1␈αλ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 	↓␈ε	p␈↓ 	≥␈εβ),␈αλbu␈α␈t␈↓ 	s␈ε	a␈↓ ␈ε↔⊃
␈β
W␈↓ αt␈εe␈↓ π	␈εe␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1␈↓ 	J␈εe␈↓ 	T␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β
[␈↓ ↓H␈εβ1␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αc␈ε	p␈↓ α␈␈εβ).␈α
So␈αλth␈α␈e␈αλord␈α␈er␈αλis␈αλa␈αλdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αλof␈αλ(␈↓ ε$␈ε	p␈↓ ε8␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈)␈↓ εy␈ε	p␈↓ πB␈εβbu␈α␈t␈αλno␈α␈t␈α	o␈α␈f␈α	(␈↓ λd␈ε	p␈↓ λx␈ε↔␈␈εβ␈α∧1)␈↓ 	9␈ε	p␈↓ 	z␈εβ;␈α
it␈αλth␈α␈erefore
␈β
␈␈↓ β#␈εe␈↓ β.␈ε~␈␈εε1
␈ββ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αλt␈α␈he␈αλfo␈α␈rm␈↓ βα␈ε	k␈↓ β∩␈ε	p␈↓ βT␈εβ,␈αλwhere␈↓ ∧B␈ε	k␈↓ ∧Z␈εβdivid␈α␈es␈↓ ¬H␈ε	p␈↓ ¬\␈ε↔␈␈εβ␈αβ1.␈α
But␈απi␈α↓f␈↓ ε}␈ε	a␈↓ π⊗␈εβis␈αλp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αλmo␈α␈du␈α␈lo␈↓ 	3␈ε	p␈↓ 	D␈εβ,␈αλthe␈απcon␈α␈grue␈α␈nce
␈β"␈↓ ↓s␈ε
e␈↓ ↓}␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β'␈↓ ↓X␈εk␈↓ ↓e␈εp␈↓ αd␈εk
␈β+␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α)␈ε↔⊃␈↓ αS␈ε	a␈↓ αz␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈αλ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ∧@␈ε	p␈↓ ∧Q␈εβ)␈αimplies␈αth␈α␈at␈↓ ε ␈ε	k␈↓ ε:␈εβ=␈↓ εd␈ε	p␈↓ ε⎇␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈β`␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	∃␈↓ αi␈εβb␈α␈e␈αth␈α␈e␈αor␈α␈der␈αof␈↓ ∧O␈ε	a␈↓ ∧k␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ¬b␈ε	p␈↓ ¬s␈εβ.␈α
B␈α↓y␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈α1.2.4␈α␈F␈↓ λ&␈εβ,␈↓ λ;␈ε	∃␈↓ λZ␈εβis␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈↓ 
-␈ε	p␈↓ 
F␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α
If
␈βλ␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓d␈εβ<␈↓ α∂␈ε	p␈↓ α'␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αth␈α␈en␈α(␈↓ βL␈ε	p␈↓ βd␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈↓ ∧9␈ε	∃␈↓ ∧X␈εβh␈α␈as␈αa␈αp␈α␈rime␈αfacto␈α␈r,␈↓ εw␈ε	q␈↓ π¬␈εβ.
␈β9␈↓ ∧!␈εp␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ε5␈εε2␈↓ λ⊗␈εp␈↓ λ#␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	
␈εp␈↓ 	≠␈ε~␈␈εε1␈↓ 
X␈εp␈↓ 
e␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β=␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈αλ0␈α	<␈↓ β
␈ε	k␈↓ β$␈εβ<␈↓ βN␈ε	p␈↓ β←␈εβ.␈α
I␈α↓f␈↓ ∧⊂␈ε	a␈↓ ∧↑␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ε$␈ε	p␈↓ εA␈εβ),␈α	th␈α␈en␈απ(␈↓ π2␈ε	a␈↓ πE␈εβ+␈↓ πi␈ε	k␈↓ πy␈ε	p␈↓ λ
␈εβ)␈↓ λR␈ε↔⊃␈↓ λ⎇␈ε	a␈↓ 	D␈εβ+␈αβ(␈↓ 	s␈ε	p␈↓ 
π␈ε↔␈␈εβ␈αβ1)␈↓ 
G␈ε	a␈↓ ␈ε	k␈↓ ≤␈ε	p
␈βa␈↓ αZ␈εε2␈↓ ε@␈εp␈↓ εN␈ε~␈␈εε2
␈βe␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αg␈εβ);␈αan␈α␈d␈α
this␈αis␈↓ ∧(␈ε↔@⊃␈↓ ∧R␈εβ1,␈αsince␈α
(␈↓ ¬S␈ε	p␈↓ ¬k␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ε/␈ε	a␈↓ εs␈ε	k␈↓ π∞␈εβi␈α↓s␈α
not␈α
a␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ 	/␈ε	p␈↓ 	?␈εβ.␈αBy␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α12␈α␈,
␈β
λ␈↓ ∧m␈εe
␈β
␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓←␈εβ+␈↓ αλ␈ε	k␈↓ α→␈ε	p␈↓ α5␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αmod␈α␈ulo␈↓ ∧\␈ε	p␈↓ ∧w␈εβ.
␈β
=␈↓ βC␈εe␈↓ ¬≤␈εf␈↓ π%␈εg␈↓ λ⎇␈εh
␈β
>␈↓ ∧⊗␈εe␈↓ ¬n␈εf␈↓ πy␈εg␈↓ 	R␈εh
␈β
B␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ(a)␈αIf␈↓ α←␈ε	∃␈↓ βλ␈εβ=␈↓ β2␈ε	p␈↓ βY␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧¬␈ε	p␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧8␈ε	∃␈↓ ∧a␈εβ=␈↓ ¬␈ε	p␈↓ ¬0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬]␈ε	p␈↓ ε␈εβ,␈αlet␈↓ εD␈ε	∀␈↓ εj␈εβ=␈↓ π∀␈ε	p␈↓ π;␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πh␈ε	p␈↓ λ
␈εβ,␈↓ λ≤␈ε	∀␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	p␈↓ 	∃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	A␈ε	p␈↓ 	h␈εβ,␈αwh␈α␈ere
␈β
D␈↓ ∧ ␈ε
t␈↓ ¬w␈ε
t␈↓ λ∧␈ε
t␈↓ 	←␈ε
t
␈β
E␈↓ βM␈επ1␈↓ ¬%␈επ1␈↓ π0␈επ1␈↓ 	
␈επ1
␈β
L␈↓ αr␈εε1␈↓ ∧K␈εε2␈↓ εT␈εε1␈↓ λ+␈εε2
␈β
Q␈↓ ∧⊗␈εt␈↓ ¬n␈εt␈↓ πy␈εt␈↓ 	R␈εt
␈β
R␈↓ βC␈εε1␈↓ ¬≤␈εε1␈↓ π%␈εε1␈↓ λ⎇␈εε1
␈β∞∂␈↓ ∧ ␈ε	g␈↓ ∧B␈εβ=␈↓ ∧l␈ε	e␈↓ ¬&␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬⎇␈ε	h␈↓ ε"␈εβ=␈α	0,␈↓ π4␈εβif␈↓ πi␈ε	e␈↓ λ␈εβ<␈↓ λ5␈ε	f␈↓ λK␈εβ,
␈β∞~␈↓ ∧-␈εj␈↓ ∧x␈εj␈↓ ε␈εj␈↓ πu␈εj␈↓ λ?␈εj
␈β∞7␈↓ ∧ ␈ε	g␈↓ ∧B␈εβ=␈α	0␈↓ ¬&␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬⎇␈ε	h␈↓ ε"␈εβ=␈↓ εL␈ε	f␈↓ εb␈εβ,␈↓ π4␈εβif␈↓ πi␈ε	e␈↓ λ␈ε↔∃␈↓ λ5␈ε	f␈↓ λK␈εβ.
␈β∞A␈↓ ∧-␈εj␈↓ ε␈εj␈↓ εV␈εj␈↓ πu␈εj␈↓ λ?␈εj
␈β∂β␈↓ α#␈ε∀␈↓ α[␈ε∀
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβNo␈α}w␈↓ α∪␈ε	a␈↓ α;␈εβ,␈↓ αJ␈ε	a␈↓ α|␈εβhav␈α}e␈α
p␈α␈eriod␈α␈s␈↓ ∧;␈ε	∃␈↓ ∧Z␈εβ/␈↓ ∧k␈ε	∀␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬∃␈ε	∃␈↓ ¬5␈εβ/␈↓ ¬E␈ε	∀␈↓ ¬a␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α	th␈α␈e␈α
lat␈α␈ter␈α
a␈α␈re␈α
rela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α	prime.␈α
F␈α↓u␈α␈rthe␈α␈rmore
␈β∂␈↓ α0␈επ1␈↓ αh␈επ2
␈β∂∪␈↓ ∧M␈εε1␈↓ ∧z␈εε1␈↓ ¬(␈εε2␈↓ ¬U␈εε2
␈β∂_␈↓ α#␈εε1␈↓ α[␈εε2
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	∃␈↓ ↓r␈εβ/␈↓ αα␈ε	∀␈↓ α∨␈εβ)(␈↓ α5␈ε	∃␈↓ αT␈εβ/␈↓ αe␈ε	∀␈↓ β↓␈εβ)␈α	=␈↓ β@␈ε	∃␈↓ βS␈εβ,␈αso␈α
i␈α↓t␈α
su}c␈α␈es␈αto␈α
con␈α␈sider␈αt␈α␈he␈αc␈α␈ase␈α
w␈α↓h␈α␈en␈↓ λ ␈ε	∃␈↓ λJ␈εβis␈αrelativ␈α}ely␈αp␈α␈rime␈αto␈↓ ∧␈ε	∃␈↓ #␈εβ,
␈β∂:␈↓ ↓e␈εε1␈↓ α∩␈εε1␈↓ αG␈εε2␈↓ αt␈εε2␈↓ λ3␈εε1␈↓ ↔␈εε2
␈β∂R␈↓ 
≠␈ε∃␈↓ 
+␈ε∃
␈β∂S␈↓ ε#␈ε∃␈↓ 	)␈ε∃␈↓ 	9␈ε∃
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αis,␈α
wh␈α␈en␈↓ β∃␈ε	∃␈↓ β3␈εβ=␈↓ β←␈ε	∃␈↓ β}␈ε	∃␈↓ ∧≥␈εβ.␈α∂No␈α}w␈α
sin␈α␈ce␈α(␈↓ ¬`␈ε	a␈↓ ¬|␈ε	a␈↓ ε_␈εβ)␈↓ ε>␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈α1␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α(␈↓ λe␈ε	a␈↓ 	α␈ε	a␈↓ 	≡␈εβ)␈↓ 	↑␈ε↔⊃␈↓ 

␈ε	a␈↓ 
E␈εβ;␈α
he␈α␈nce
␈β∂Z␈↓ 
:␈επ1
␈β∂[␈↓ 	H␈επ1
␈β∂b␈↓ βr␈εε1␈↓ ∧⊃␈εε2␈↓ ¬p␈εε1␈↓ ε␈εε2␈↓ λu␈εε1␈↓ 	⊃␈εε2
␈β∂h␈↓ 
≠␈εε2
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈ε	∃␈↓ απ␈εβi␈α↓s␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
of␈↓ βv␈ε	∃␈↓ ∧∃␈εβ.␈α∩This␈α
implies␈α
tha␈α␈t␈↓ ε;␈ε	∃␈↓ ε\␈εβis␈α∞a␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ λK␈ε	∃␈↓ λj␈εβ,␈α∞since␈↓ 	U␈ε	∃␈↓ 
↓␈εβis␈α
relativ␈α␈ely
␈β⊂
␈↓ ↓n␈εε1␈↓ ∧	␈εε2␈↓ λ↑␈εε2␈↓ 	g␈εε1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α	to␈↓ αJ␈ε	∃␈↓ αi␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈rl␈α↓y␈α␈,␈↓ ∧∪␈ε	∃␈↓ ∧/␈εβis␈α	a␈αλm␈α␈ultiple␈αλof␈↓ ε␈ε	∃␈↓ ε+␈εβ;␈α
h␈α␈ence␈↓ π_␈ε	∃␈↓ π4␈εβi␈α↓s␈αλa␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α	of␈↓ 	⊃␈ε	∃␈↓ 	1␈ε	∃␈↓ 	P␈εβ.␈α
But␈α	o␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β⊂1␈↓ α]␈εε2␈↓ ε≡␈εε1␈↓ 	$␈εε1␈↓ 	C␈εε2
␈β⊂J␈↓ α⊗␈ε∃␈↓ α1␈ε∃
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ ↓o␈ε	a␈↓ α␈εβ)␈↓ αT␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈,␈αso␈↓ βL␈ε	∃␈↓ βi␈εβ=␈↓ ∧∀␈ε	∃␈↓ ∧3␈ε	∃␈↓ ∧R␈εβ.
␈β⊂R␈↓ α%␈επ1␈↓ α@␈επ2
␈β⊂Y␈↓ ↓b␈εε1␈↓ ↓}␈εε2␈↓ ∧&␈εε1␈↓ ∧E␈εε2
␈β⊂w␈↓ α␈εβ(b)␈α
If␈↓ α`␈ε	a␈↓ βε␈εβh␈α␈as␈α
ord␈α␈er␈↓ ∧⊗␈ε	∃␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	m␈↓ ∧R␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
if␈↓ ¬F␈ε	a␈↓ ¬m␈εβh␈α␈as␈α
ord␈α␈er␈↓ ε⎇␈ε	∃␈↓ π⊂␈εβ,␈αby␈α	part␈α
(a)␈↓ λL␈ε	∃␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	m␈↓ 	λ␈εβ)␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αb␈α␈e␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β⊃↓␈↓ αo␈εε1␈↓ ¬V␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓m␈ε	∃␈↓ α↓␈εβ,␈α
oth␈α␈erwise␈α
w␈α␈e␈α
cou␈α␈ld␈α
|␈α␈nd␈α	an␈α	elemen␈α}t␈α
of␈α
hig␈α␈her␈α
o␈α␈rder,␈α
na␈α␈mely␈α	of␈α
ord␈α␈er␈α
lcm␈↓ 
$␈εβ(␈↓ 
/␈ε	∃␈↓ 
B␈εβ,␈↓ 
Q␈ε	∃␈↓ 
e␈εβ(␈↓ 
p␈ε	m␈↓ 
␈εβ))␈↓ #␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα608␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
F3.2.1.2
␈βα%␈↓ ∧-␈εn␈↓ ∧=␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε∩␈εn␈↓ ε"␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ πi␈εn␈↓ πy␈ε~␈␈εε1
␈βα&␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ 	q␈εα)
␈βα)␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ α>␈ε	f␈↓ αM␈εβ(␈↓ αX␈ε	x␈↓ αj␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βL␈ε↔␈␈↓ βt␈ε	a␈↓ ∧¬␈εβ)␈↓ ∧≤␈ε	x␈↓ ∧j␈εβ+␈απ(␈↓ ¬≥␈ε	a␈↓ ¬5␈εβ+␈↓ ¬]␈ε	c␈↓ ¬v␈εβ)␈↓ ε↓␈ε	x␈↓ εO␈εβ+␈↓ εw␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π%␈εβ+␈απ(␈↓ πX␈ε	a␈↓ λ&␈εβ+␈↓ λN␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ{␈εβ+␈↓ 	$␈ε	c␈↓ 	f␈εβ)␈↓ 
∧␈εβ+␈↓ 
,␈ε	f␈↓ 
<␈εβ(␈↓ 
G␈ε	a␈↓ 
W␈εβ).␈α→(b␈α␈)
␈βα4␈↓ ¬i␈εε1␈↓ 	0␈εn␈↓ 	@␈ε~␈␈εε1
␈βαM␈↓ &␈ε~0
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αstatem␈α␈en␈α␈t␈αis␈αc␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈αwhen␈↓ ∧p␈ε	n␈↓ ¬
␈εβ=␈α
0.␈αIf␈↓ ¬␈␈ε	a␈↓ ε≠␈εβis␈αo␈α␈ne␈αroo␈α␈t,␈↓ πJ␈ε	f␈↓ πZ␈εβ(␈↓ πe␈ε	x␈↓ πv␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α
(␈↓ λA␈ε	x␈↓ λZ␈ε↔␈␈↓ 	β␈ε	a␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	≡␈ε	q␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	I␈εβ);␈αthe␈α␈refore␈αif␈↓ ⊗␈ε	a
␈βαx␈↓ ↓H␈εβis␈αan␈α}y␈αo␈α␈ther␈αro␈α␈ot,
␈ββ≠␈↓ ¬v␈ε~0␈↓ εW␈ε~0␈↓ πS␈ε~0
␈ββ!␈↓ ¬ε␈εβ0␈ε↔␈α	⊃␈↓ ¬K␈ε	f␈↓ ¬[␈εβ(␈↓ ¬f␈ε	a␈↓ ¬|␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α	(␈↓ εF␈ε	a␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	a␈↓ π≡␈εβ)␈↓ π)␈ε	q␈↓ π8␈εβ(␈↓ πC␈ε	a␈↓ πY␈εβ),
␈ββ[␈↓ αf␈ε~0␈↓ ¬⎇␈ε~0
␈ββ←␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αλsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ αV␈ε	a␈↓ αr␈ε↔␈␈↓ β_␈ε	a␈↓ β1␈εβis␈α
n␈α␈ot␈α	a␈α	m␈α␈u␈α␈ltiple␈α	of␈↓ ¬I␈ε	p␈↓ ¬Z␈εβ,␈↓ ¬m␈ε	a␈↓ ε
␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α	be␈α	a␈αλroot␈α	of␈↓ λ␈ε	q␈↓ λ~␈εβ(␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ6␈εβ).␈αS␈α␈o␈α	if␈↓ 	∨␈ε	f␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	:␈ε	x␈↓ 	K␈εβ)␈α	ha␈α␈s␈α
m␈α␈ore␈α	th␈α␈an
␈β∧π␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβd␈α␈istinct␈αro␈α␈ots,␈↓ β>␈ε	q␈↓ βM␈εβ(␈↓ βX␈ε	x␈↓ βi␈εβ)␈αhas␈αmore␈αthan␈↓ ¬←␈ε	n␈↓ ¬{␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αd␈α␈i␈α↓s␈α␈ti␈α↓n␈α␈ct␈αro␈α␈ots.␈α∞(c)␈↓ λJ␈ε	∃␈↓ λ]␈εβ(␈↓ λh␈ε	p␈↓ λy␈εβ)␈ε↔␈α∃␈↓ 	;␈ε	p␈↓ 	T␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈α
sinc␈α␈e␈↓ 
u␈ε	f␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β∧.␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αh␈α␈av␈α}e␈αde␈α␈gree␈ε↔␈α
∃␈↓ βz␈ε	p␈↓ ∧∩␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αin␈α
ord␈α␈er␈αto␈α
po␈α␈ssess␈αso␈α
man␈α}y␈αr␈α␈oots.␈αBut␈α
by␈α
Theo␈α␈rem␈α1␈α␈.2.4F␈↓ #␈εβ,
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈εβ(␈↓ ↓f␈ε	p␈↓ ↓w␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ α6␈ε	p␈↓ αN␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.
␈β¬¬␈↓ β␈␈εε5␈↓ ε<␈εε5
␈β¬	␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβBy␈α
Lem␈α␈ma␈α
P␈↓ βJ␈εβ,␈α1␈↓ βn␈εβ1␈↓ ∧∃␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈α2␈α␈5),␈α1␈↓ ε+␈εβ1␈↓ εR␈ε↔@⊃␈↓ ε|␈εβ1␈α	(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈25),␈α
etc.;␈αso␈α	the␈α
o␈α␈rde␈α␈r␈α
of␈α
11
␈β¬-␈↓ ↓{␈εe␈↓ αε␈ε~␈␈εε1␈↓ βJ␈εe␈↓ π∃␈εe␈↓ λ ␈εe␈↓ λ+␈ε~␈␈εε1
␈β¬1␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓k␈εβ5␈↓ α8␈εβ(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ β9␈εβ5␈↓ βU␈εβ),␈α
no␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
v␈α␈alue␈↓ εf␈ε	∃␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈εβ5␈↓ π ␈εβ)␈α=␈α4␈ε↔␈α	↓␈↓ λ∂␈εβ5␈↓ λP␈εβ.␈α⊃Bu␈α␈t␈α
by␈αLem␈α␈ma␈α
Q␈αthe
␈β¬T␈↓ 	N␈εe␈↓ 
q␈εe␈↓ 
|␈ε~␈␈εε2
␈β¬Y␈↓ ↓H␈εβto␈α␈tal␈α
p␈α␈eriod␈α	len␈α␈gth␈α	is␈α
th␈α␈e␈α
leas␈α␈t␈α
co␈α␈mmon␈α	m␈α␈u␈α␈ltiple␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈eriod␈α	mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	=␈εβ2␈↓ 	b␈εβ(na␈α␈mely␈↓ 
`␈εβ2␈↓ !␈εβ)
␈β¬|␈↓ ∧7␈εe␈↓ ¬b␈εe␈↓ ¬l␈ε~␈␈εε1␈↓ πn␈εe␈↓ πy␈ε~␈␈εε2␈↓ λ/␈εe␈↓ λ:␈ε~␈␈εε1␈↓ 	[␈εe
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
t␈α␈he␈α
pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧&␈εβ5␈↓ ∧O␈εβ(na␈α␈mely␈↓ ¬Q␈εβ5␈↓ ε∩␈εβ),␈α∞an␈α␈d␈α
this␈α
is␈↓ π]␈εβ2␈↓ λ∨␈εβ5␈↓ λm␈εβ=␈↓ 	≠␈ε	∃␈↓ 	.␈εβ(1␈↓ 	J␈εβ0␈↓ 	e␈εβ).␈α∩The␈α
p␈α␈eriod
␈βε$␈↓ αP␈εe␈↓ βr␈εe␈↓ β⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬⊗␈εe␈↓ ¬!␈ε~␈␈εε1␈↓ ε9␈εe␈↓ εD␈ε~␈␈εε1
␈βε(␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α@␈εβ5␈↓ αh␈εβma␈α␈y␈α
b␈α␈e␈↓ βb␈εβ5␈↓ ∧0␈εβo␈α␈r␈α
2␈ε↔␈αλ↓␈↓ ¬¬␈εβ5␈↓ ¬S␈εβor␈α
4␈ε↔␈αλ↓␈↓ ε)␈εβ5␈↓ εj␈εβ,␈α
wi␈α↓th␈α␈ou␈α␈t␈α
a{ectin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
len␈α␈gth␈αof␈α
p␈α␈eriod
␈βεK␈↓ αa␈εe
␈βεO␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
1␈↓ αP␈εβ0␈↓ αl␈εβ,␈α
since␈αthe␈αl␈α↓e␈α␈ast␈α
co␈α␈mmo␈α␈n␈α
m␈α}ultiple␈α
is␈α
ta␈α␈k␈α␈en␈α␈.␈α⊃Th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
are␈αprimitiv␈α␈e
␈βεs␈↓ αN␈εe
␈βεw␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α>␈εβ5␈↓ αd␈εβa␈α␈re␈αt␈α␈hose␈α
co␈α␈ngru␈α␈en␈α}t␈αto␈α
2,␈α3␈α␈,␈α8,␈α12␈α␈,␈α13␈α␈,␈α17,␈α2␈α␈2,␈α2␈α␈3␈αm␈α␈odu␈α␈lo␈α2␈α␈5␈α
(␈α↓c␈α␈f.␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α1␈α␈2),
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α
3,␈α13␈α␈,␈α2␈α␈7,␈α37,␈α53␈α␈,␈α6␈α␈7,␈α77,␈α83␈α␈,␈α1␈α␈17,␈α12␈α␈3,␈α133␈α␈,␈α1␈α␈47,␈α16␈α␈3,␈α173␈α␈,␈α1␈α␈87␈α␈,␈α1␈α␈97.
␈βπR␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβAcco␈α␈rding␈α	to␈α	Th␈α␈eore␈α␈m␈α
C␈↓ ∧t␈εβ,␈↓ ¬π␈ε	a␈↓ ¬≥␈εβm␈α␈od␈↓ ¬a␈εβ8␈α	m␈α␈u␈α␈st␈α
b␈α␈e␈α
3␈α	o␈α␈r␈α
5␈α␈.␈αKno␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	the␈α	p␈α␈eriod␈α	of␈↓ 
'␈ε	a␈↓ 
A␈εβmod␈α␈ulo
␈βπz␈↓ ↓H␈εβ5␈α	an␈α␈d␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α	25␈α
a␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
u␈α␈s␈α
to␈α
a␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α	Lemma␈α	P␈αto␈α	dete␈α␈rmine␈α
a␈α␈dmissible␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α
of␈↓ 
S␈ε	a␈↓ 
n␈εβm␈α␈od
␈βλ≥␈↓ βJ␈εe␈↓ βU␈ε~␈␈εε1␈↓ λV␈εe␈↓ λa␈ε~␈␈εε1
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈5.␈αPeriod␈α=␈α	4␈ε↔␈αλ↓␈↓ β9␈εβ5␈↓ β{␈εβ:␈α2,␈α3,␈α8␈α␈,␈α1␈α␈2,␈α1␈α␈3,␈α17,␈α22,␈α23␈α␈;␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈α=␈α
2␈ε↔␈απ↓␈↓ λF␈εβ5␈↓ 	π␈εβ:␈α4␈α␈,␈α9␈α␈,␈α14␈α␈,␈α19␈α␈;␈αp␈α␈eriod
␈βλE␈↓ αβ␈εe␈↓ α∞␈ε~␈␈εε1
␈βλI␈↓ ↓H␈εβ=␈↓ ↓r␈εβ5␈↓ α3␈εβ:␈α6,␈α
11␈α␈,␈α1␈α␈6,␈α
21.␈α
E␈α↓a␈α␈ch␈α	of␈α
th␈α␈ese␈α
1␈α␈6␈α
v␈α␈alues␈α	yields␈α	on␈α␈e␈α
va␈α␈lue␈α
o␈α␈f␈↓ λz␈ε	a␈↓ 	
␈εβ,␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	b␈ε	a␈↓ 	|␈εβ<␈α	200␈α␈,␈αwith
␈βλp␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓↑␈εβm␈α␈od␈↓ α"␈εβ8␈α	=␈α
3␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
an␈α␈othe␈α␈r␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ ¬F␈ε	a␈↓ ¬b␈εβwith␈↓ ε-␈ε	a␈↓ εC␈εβmod␈↓ πλ␈εβ8␈α	=␈α	5.
␈β	$␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αexa␈α␈mple␈αa␈α␈pp␈α␈ears␈αin␈αTa␈α␈ble␈α3.3.4␈α␈↑1,␈αli␈α↓n␈α␈e␈α26␈α␈.
␈β	S␈↓ ∩␈ε~0
␈β	X␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ(a)␈α
We␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ βN␈ε	A␈↓ βd␈ε	Y␈↓ ∧⊃␈εβ+␈↓ ∧;␈ε	X␈↓ ∧k␈ε↔⊃␈↓ ¬→␈ε	A␈↓ ¬/␈ε	Y␈↓ εα␈εβ+␈↓ ε,␈ε	X␈↓ ε\␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ π↑␈ε	m␈↓ π{␈εβ)␈α
i␈α↓{␈↓ λ>␈ε	Y␈↓ λn␈ε↔⊃␈↓ 	≤␈ε	Y␈↓ 	s␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 
u␈ε	m␈↓ _␈εβ).
␈β	b␈↓ βw␈εn␈↓ ∧R␈εε0␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬S␈εε+␈↓ ¬l␈εk␈↓ εC␈εε0␈↓ λQ␈εn␈↓ 	0␈εn␈↓ 	@␈εε+␈↓ 	Y␈εk
␈β	{␈↓ ε!␈εn␈↓ 	m␈εe␈↓ 
M␈εn
␈β	␈␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)(i␈α↓)␈α∞Ob␈α␈viou␈α␈s.␈α (ii)␈α∂Th␈α␈eore␈α␈m␈α∞A.␈α (iii␈α↓)␈α∞(␈↓ ε⊃␈ε	a␈↓ ε;␈ε↔␈␈εβ␈α
1)/␈α␈(␈↓ π≥␈ε	a␈↓ π7␈ε↔␈␈εβ␈α
1)␈ε↔␈α∞⊃␈εβ␈α∂0␈α∞(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 	x␈εβ)␈α∞i{␈↓ 
=␈ε	a␈↓ 
l␈ε↔⊃␈εβ␈α∂1
␈β
#␈↓ αZ␈εe␈↓ αe␈εε+1␈↓ πb␈εe␈↓ πm␈εε+1␈↓ _␈εe
␈β
'␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ β
␈εβ);␈αa␈α␈nd␈α	if␈↓ ∧ε␈ε	a␈↓ ∧ ␈ε↔@⊃␈↓ ∧J␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
the␈α	ord␈α␈er␈α
of␈↓ εB␈ε	a␈↓ ε\␈εβmod␈α␈ulo␈↓ πQ␈εβ2␈↓ λ≤␈εβis␈α
t␈α␈wice␈α
its␈α	ord␈α␈er␈α
mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ λ␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β
J␈↓ α ␈εn␈↓ ¬U␈εe␈↓ ε/␈εn
␈β
N␈↓ ↓H␈εβ(iv␈α␈)␈α(␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ α8␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)/(␈↓ β_␈ε	a␈↓ β0␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬←␈εβ)␈αi␈α↓{␈↓ ε≡␈ε	a␈↓ εH␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈.
␈βα␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	X␈↓ αc␈ε↔⊃␈↓ β∂␈ε	X␈↓ β?␈εβ+␈↓ βh␈ε	X␈↓ ∧↔␈εβb␈α␈y␈αEq.␈α∂3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1↑6␈α␈;␈α
and␈↓ εD␈ε	s␈↓ ε↑␈εβis␈α
a␈αdivisor␈αo␈α␈f␈↓ λ4␈ε	m␈↓ λQ␈εβ,␈α
sin␈α␈ce␈↓ 	9␈ε	s␈↓ 	S␈εβis␈αa␈αpo␈α␈w␈α␈e␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ ≤␈ε	p
␈β␈↓ α#␈εn␈↓ α3␈εε+␈↓ αM␈εs␈↓ β'␈εn␈↓ ∧␈εs
␈β)␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α≡␈ε	m␈↓ αF␈εβis␈α
a␈α
po␈α}we␈α␈r␈αo␈α␈f␈↓ ∧π␈ε	p␈↓ ∧_␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈α
a␈α
giv␈α␈en␈α	i␈α↓n␈α}teger␈↓ εm␈ε	q␈↓ πε␈εβis␈αa␈α
m␈α␈u␈α␈ltiple␈α
of␈↓ λj␈ε	m␈↓ 	π␈εβ/␈↓ 	_␈ε	s␈↓ 	0␈εβi{␈↓ 	X␈ε	X␈↓ 
∂␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α
i{␈↓ 
⎇␈ε	q␈↓ ⊗␈εβis
␈β4␈↓ 	o␈εq␈↓ 	{␈εs
␈βQ␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ β
␈ε	m␈↓ β*␈εβ/␈↓ β@␈εβgcd␈↓ βr␈εβ(␈↓ β⎇␈ε	X␈↓ ∧ ␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	m␈↓ ∧L␈εβ).
␈β\␈↓ ∧∀␈εs
␈βP␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.2␈α␈.1.3
␈β
∨␈↓ εB␈εε5␈↓ 
]␈εε5
␈β
#␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	c␈↓ α'␈εβ=␈α∞1␈α∞is␈α∞alwa␈α␈ys␈α∞rela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α∞p␈α␈rime␈α∞to␈↓ ε+␈ε	B␈↓ εN␈εβ;␈α⊂an␈α␈d␈α
ev␈α␈ery␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∞div␈α␈i␈α↓d␈α␈ing␈↓ 	l␈ε	m␈↓ 
_␈εβ=␈↓ 
G␈ε	B␈↓ 
x␈εβis␈α∞a
␈β
F␈↓ ¬_␈εε2
␈β
J␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ α\␈ε	B␈↓ αr␈εβ,␈αso␈αit␈αdivid␈α␈es␈↓ ∧A␈ε	b␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬α␈ε	B␈↓ ¬0␈εβto␈αa␈α␈t␈αlea␈α␈st␈αthe␈αse␈α␈con␈α␈d␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er.
␈β
}␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ3,␈αso␈αth␈α␈e␈αgen␈α␈era␈α␈tor␈αis␈αnot␈αre␈α␈comm␈α␈end␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α
spite␈αof␈αits␈αlon␈α␈g␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d.
␈β∞2␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈α
pote␈α␈ncy␈α
i␈α↓s␈α1␈α␈8␈αin␈αb␈α␈oth␈αc␈α␈ases␈α(see␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈).
␈β∞e␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ αc␈ε	a␈↓ αy␈εβmo␈α␈d␈↓ β=␈εβ4␈α	=␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬y␈ε	a␈↓ ε∂␈εβm␈α␈od␈↓ εS␈εβ8␈α	=␈α
1␈α
or␈α5,␈αso␈↓ λ)␈ε	b␈↓ λ<␈εβmod␈↓ 	↓␈εβ8␈α	=␈α	0␈αor␈α4␈α␈.␈αIf␈↓ 
P␈ε	b␈↓ 
h␈εβis␈αan
␈β∂	␈↓ πl␈εs␈↓ 	\␈εe
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβo␈α␈dd␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈α
4␈α␈,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ ∧=␈ε	b␈↓ ∧b␈εβis␈αa␈αm␈α}ultiple␈αof␈α8,␈αclearly␈↓ π↑␈ε	b␈↓ λα␈ε↔⊃␈εβ␈α0␈α
(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 	K␈εβ2␈↓ 	f␈εβ)␈α
imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈αtha␈α␈t
␈β∂↔␈↓ ∧I␈εε1
␈β∂0␈↓ ↓U␈εs␈↓ βA␈εe
␈β∂4␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓k␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ β1␈εβ2␈↓ βL␈εβ),␈αs␈α␈o␈↓ ∧∀␈ε	b␈↓ ∧8␈εβca␈α␈nn␈α␈ot␈αha␈α␈v␈α␈e␈αh␈α␈ighe␈α␈r␈αpote␈α␈ncy␈α␈.
␈β∂?␈↓ ∧ ␈εε1
␈β∂C␈↓ ↓U␈εε1
␈β∂h␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβThe␈α
pote␈α␈ncy␈α
i␈α↓s␈αth␈α␈e␈αsma␈α␈l␈α↓lest␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αof␈↓ ε(␈ε	s␈↓ εA␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ πU␈ε	f␈↓ πk␈ε	s␈↓ λα␈ε↔∃␈↓ λ-␈ε	e␈↓ λP␈εβfor␈αall␈↓ 	2␈ε	j␈↓ 	A␈εβ.
␈β∂r␈↓ π←␈εj␈↓ λ9␈εj
␈β⊂↔␈↓ ∧⎇␈εε7␈↓ ε↓␈εε4
␈β⊂≠␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈ε	m␈↓ α5␈εβm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αdivisible␈αb␈α␈y␈↓ ∧l␈εβ2␈↓ ¬∃␈εβor␈αby␈↓ ¬p␈ε	p␈↓ ε~␈εβ(for␈αod␈α␈d␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈↓ π{␈ε	p␈↓ λ␈εβ)␈αi␈α↓n␈αorde␈α␈r␈αto␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αp␈α␈oten␈α␈cy
␈β⊂?␈↓ ε∃␈εε27␈↓ π]␈εε9
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αhigh␈α
as␈α4.␈αThe␈α
only␈α
valu␈α␈es␈αare␈↓ ¬4␈ε	m␈↓ ¬Z␈εβ=␈↓ ε¬␈εβ2␈↓ ε6␈εβ+␈αλ1␈αa␈α␈nd␈α
1␈↓ πL␈εβ0␈↓ πq␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈β⊂r␈↓ α≤␈ε~0␈↓ βo␈εε2␈↓ λ¬␈εs␈↓ λ,␈εs␈↓ λ7␈εε+␈α↓1
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε	a␈↓ α,␈εβ=␈α
(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ β$␈ε	b␈↓ β8␈εβ+␈↓ βa␈ε	b␈↓ ∧β␈ε↔␈␈↓ ∧,␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧R␈εβ)␈↓ ∧c␈εβmod␈↓ ¬(␈ε	m␈↓ ¬E␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αte␈α␈rms␈αi␈α↓n␈↓ πw␈ε	b␈↓ λ⊂␈εβ,␈↓ λ∨␈ε	b␈↓ λ]␈εβ,␈αetc␈α␈.␈α↓,␈αare␈αdro␈α␈pp␈α␈ed␈α(if␈↓ ∨␈ε	s
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈tenc␈α␈y).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα609
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ αc␈ε	X␈↓ β⊗␈εβis␈αa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αod␈α␈d,
␈βα6␈↓ αz␈εn
␈βα}␈↓ βS␈εε34␈↓ ∧V␈εε18␈↓ ε=␈εε35␈↓ π&␈εε34␈↓ 
≠␈εε35
␈ββ∧␈↓ α7␈ε	X␈↓ β
␈εβ=␈α
(␈↓ βC␈εβ2␈↓ βt␈εβ+␈αλ3␈ε↔␈απ↓␈↓ ∧E␈εβ2␈↓ ∧w␈εβ+␈απ9)␈↓ ¬;␈ε	X␈↓ ¬h␈εβmo␈α␈d␈↓ ε-␈εβ2␈↓ ε`␈εβ=␈α	(␈↓ π∃␈εβ2␈↓ πG␈εβ+␈απ6␈↓ λ␈ε	X␈↓ λT␈ε↔␈␈εβ␈αλ9␈↓ 	∞␈ε	X␈↓ 	5␈εβ)␈↓ 	F␈εβmo␈α␈d␈↓ 

␈εβ2␈↓ 
4␈εβ.
␈ββ∂␈↓ αN␈εn␈↓ α↑␈εε+2␈↓ ¬R␈εn␈↓ λ↔␈εn␈↓ λ'␈εε+1␈↓ 	%␈εn
␈ββ]␈↓ ↓H␈εβGiv␈α}en␈↓ α)␈ε	Y␈↓ αX␈εβa␈α␈nd␈↓ β_␈ε	Y␈↓ βb␈εβ,␈αthe␈αp␈α␈ossib␈α␈i␈α↓lities␈αfor
␈ββh␈↓ α<␈εn␈↓ β,␈εn␈↓ β<␈εε+1
␈β∧6␈↓ βW␈ε	Y␈↓ ∧*␈ε↔→␈↓ ∧U␈εβ(5␈απ+␈αλ6␈α␈(␈↓ ¬<␈ε	Y␈↓ ε
␈εβ+␈↓ ε6␈ε	∂␈↓ εO␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ9␈α␈(␈↓ π&␈ε	Y␈↓ πQ␈εβ+␈↓ πy␈ε	∂␈↓ λ∩␈εβ))␈↓ λ.␈εβm␈α␈od␈↓ λr␈εβ10␈α␈,
␈β∧A␈↓ βk␈εn␈↓ β{␈εε+2␈↓ ¬P␈εn␈↓ ¬`␈εε+1␈↓ εB␈εε1␈↓ π9␈εn␈↓ λ¬␈εε2
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβwith␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ αX␈ε	∂␈↓ αz␈εβ<␈α	1,␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧⊂␈ε	∂␈↓ ∧2␈εβ<␈α	1,␈αare␈αlimited␈α
and␈α
no␈α␈nra␈α␈nd␈α␈om.
␈β¬~␈↓ αd␈εε1␈↓ ∧≤␈εε2
␈β¬6␈↓ λD␈εε3␈α␈3␈↓ 	↔␈εε18␈↓ 	k␈εε2
␈β¬:␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αIf␈α	t␈α␈he␈α	m␈α}ultiplier␈α	su␈α␈gge␈α␈sted␈αλi␈α↓n␈αλex␈α}ercise␈α	3␈αλw␈α␈ere,␈α	say␈α␈,␈↓ λ3␈εβ2␈↓ λa␈εβ+␈↓ 	π␈εβ2␈↓ 	5␈εβ+␈↓ 	Z␈εβ2␈↓ 	|␈εβ+␈α¬1␈α␈,␈α
inst␈α␈ead
␈β¬↑␈↓ αα␈εε2␈α␈3␈↓ α←␈εε1␈α␈4␈↓ β<␈εε2
␈β¬b␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓q␈εβ2␈↓ α$␈εβ+␈↓ αN␈εβ2␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β+␈εβ2␈↓ βQ␈εβ+␈α
1␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α
w␈α␈ou␈α␈ld␈α
si␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α
|␈α␈nd␈↓ π␈ε	X␈↓ πa␈ε↔␈␈εβ␈α	10␈↓ λ,␈ε	X␈↓ 	β␈εβ+␈α	25␈↓ 	N␈ε	X␈↓ 
β␈ε↔⊃␈↓ 
1␈εβcon␈α␈stan␈α}t
␈β¬l␈↓ π"␈εn␈↓ π2␈εε+2␈↓ λD␈εn␈↓ λT␈εε+1␈↓ 	e␈εn
␈βε¬␈↓ αZ␈εε3␈α␈5
␈βε	␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αs␈εβ).␈αIn␈α	g␈α␈ene␈α␈ral,␈α
w␈α␈e␈α	do␈α	n␈α␈ot␈α	wan␈α}t␈↓ ε→␈ε	a␈↓ ε.␈ε↔ε␈↓ εT␈ε	∞␈↓ εm␈εβto␈α	b␈α␈e␈α
d␈α␈ivisible␈α	by␈αλhigh␈αλpo␈α␈w␈α␈ers␈α	o␈α␈f␈α
2␈α	wh␈α␈en
␈βε1␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ ↓b␈εβi␈α↓s␈α
small,␈αelse␈αw␈α␈e␈αg␈α␈et␈α\se␈α␈con␈α␈d␈αo␈α␈rder␈α
i␈α↓m␈α␈pote␈α␈ncy␈α␈."␈αSe␈α␈e␈αSe␈α␈ction␈α
3.3.4␈αfo␈α␈r␈αa␈αm␈α␈ore␈αd␈α␈etailed
␈βεY␈↓ ↓H␈εβd␈α␈iscussio␈α␈n.
␈βπβ␈↓ α␈εβThe␈α
g␈α␈ene␈α␈rator␈α
th␈α␈at␈α
ap␈α␈pe␈α␈ars␈α
in␈α
this␈α
ex␈α}ercise␈α
is␈αd␈α␈iscus␈α␈sed␈α
in␈α
an␈α	article␈α
by␈α	Mac␈α␈L␈α↓a␈α␈ren
␈βπ+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αMars␈α␈aglia,␈ε⊂␈αJA␈α␈CM␈ε∪␈α1␈α␈2␈εβ␈α(19␈α␈65),␈α83↑␈α␈89.␈α∞Th␈α␈e␈αde␈α␈|cien␈α␈cies␈αof␈αsu␈α␈ch␈αg␈α␈en␈α␈erato␈α␈rs␈αwe␈α␈re␈α|rs␈α␈t
␈βπS␈↓ ↓H␈εβd␈α␈emo␈α␈nstra␈α␈ted␈αby␈αM␈α␈.␈α
Green␈α}be␈α␈rger,␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α8␈εβ␈α(196␈α␈5),␈α
177␈α␈↑17␈α␈9.␈α⊂Ye␈α␈t␈α
ge␈α␈nera␈α␈tors␈αl␈α↓ik␈α}e␈α
th␈α␈is
␈βπw␈↓ 
≥␈ε∃RAND␈α␈U
␈βπz␈↓ ↓H␈εβw␈α␈ere␈αstill␈αi␈α↓n␈αwidesp␈α␈rea␈α␈d␈αu␈α␈se␈αm␈α␈ore␈αt␈α␈han␈αten␈αy␈α}ears␈αla␈α␈ter␈α(cf.␈αth␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓sc␈α␈ussion␈αof␈↓ ⊃␈εβin
␈βλ"␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ection␈α
3.3.4).
␈β	D␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.2␈α␈.2
␈β
$␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α	meth␈α␈od␈α	is␈α
use␈α␈f␈α↓u␈α␈l␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α	with␈α	grea␈α␈t␈α
cau␈α␈tion.␈α
I␈α↓n␈α	th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
plac␈α␈e,␈↓ 	+␈ε	a␈↓ 	<␈ε	U␈↓ 	k␈εβi␈α↓s␈α	l␈α↓ik␈α}ely␈α
to␈α	be
␈β
.␈↓ 	Q␈εn
␈β
K␈↓ ↓H␈εβso␈α	larg␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	ad␈α␈dition␈α	of␈↓ ∧d␈ε	c␈↓ ∧q␈εβ/␈↓ ¬α␈ε	m␈↓ ¬)␈εβwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α	f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈α	wil␈α↓l␈α	l␈α↓o␈α␈se␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α	all␈α
signi|␈α␈can␈α␈ce,␈α
an␈α␈d␈α	the
␈β
s␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈mod␈α1"␈αop␈α␈eration␈αwil␈α↓l␈αn␈α␈early␈αdestr␈α␈o␈α␈y␈αa␈α␈n␈α␈y␈αv␈α␈estig␈α␈es␈αof␈αsign␈α␈i|ca␈α␈nce␈αtha␈α␈t␈αmigh␈α}t␈αrema␈α␈i␈α↓n␈α␈.
␈β~␈↓ ↓H␈εβWe␈α∞co␈α␈nc␈α␈l␈α↓u␈α␈de␈α∞t␈α␈hat␈α∞d␈α␈ou␈α␈ble-p␈α␈recision␈α∞⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g-p␈α␈oin␈α␈t␈α∞a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c␈α∞is␈α∞n␈α␈ecessa␈α␈ry.␈α∀Ev␈α}en␈α∞with
␈βB␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ou␈α␈ble␈α
p␈α␈recision,␈α
on␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
be␈α
su␈α␈re␈α
tha␈α␈t␈α
no␈α
r␈α␈oun␈α␈din␈α␈g,␈αe␈α␈tc.,␈αoc␈α␈curs␈α
to␈α	a{ect␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βj␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
the␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈α
in␈αan␈α}y␈α
wa␈α␈y,␈α
since␈αtha␈α␈t␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αd␈α␈estro␈α␈y␈αth␈α␈e␈α
th␈α␈eoretica␈α␈l␈α
grou␈α␈nd␈α␈s␈α
fo␈α␈r␈α
the
␈β⊃␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ood␈α
be␈α␈hav␈α␈ior␈αof␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce.␈α(␈α↓Bu␈α␈t␈αsee␈αex␈α}ercise␈α23␈α␈.␈α↓)
␈βQ␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈ε	X␈↓ αe␈εβeq␈α␈uals␈αeither␈↓ ∧(␈ε	X␈↓ ∧⎇␈εβ+␈↓ ¬&␈ε	X␈↓ ¬Z␈εβo␈α␈r␈↓ εβ␈ε	X␈↓ εX␈εβ+␈↓ π↓␈ε	X␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ πY␈ε	m␈↓ πv␈εβ.␈α∞If␈↓ λ.␈ε	X␈↓ 	ε␈εβ<␈↓ 	1␈ε	X␈↓ 	d␈εβwe␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β[␈↓ α#␈εn␈↓ α3␈εε+␈α↓1␈↓ ∧?␈εn␈↓ ∧P␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ε~␈εn␈↓ ε*␈ε~␈␈εε1␈↓ π_␈εn␈↓ λF␈εn␈↓ λV␈εε+1␈↓ 	H␈εn
␈βx␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α≡␈εβ=␈↓ αI␈ε	X␈↓ β≥␈εβ+␈↓ βF␈ε	X␈↓ βu␈ε↔␈␈↓ ∧≡␈ε	m␈↓ ∧;␈εβ;␈αhe␈α␈nce␈↓ ¬,␈ε	X␈↓ εα␈εβ<␈↓ ε-␈ε	X␈↓ εz␈εβ.
␈β
β␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈εε+1␈↓ α`␈εn␈↓ αp␈ε~␈␈εε1␈↓ β]␈εn␈↓ ¬C␈εn␈↓ ¬S␈εε+1␈↓ εD␈εn␈↓ εT␈ε~␈␈εε1
␈β
8␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ(a)␈αThe␈α
un␈α␈derline␈α␈d␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αare␈↓ ¬d␈ε	V␈↓ ¬|␈εβ[␈↓ ε¬␈ε	j␈↓ ε∀␈εβ]␈αafter␈αste␈α␈p␈αM3␈α␈.
␈β∞␈↓ αF␈∧∞αFαπi
␈β∞∞␈↓ ∧0␈∧∞∞∧04α
␈β∞≠␈↓ αF␈εβOu␈α␈tpu␈α␈t:␈↓ βK␈εβinitial␈↓ ∧M␈εβ0␈α⊂4␈α⊂5␈α∂6␈α⊂2␈α⊂0␈α⊂3␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε3␈εβ2␈α⊂7␈α∂4␈α⊂1␈α⊂6␈α⊂3␈α⊂0␈α⊂5␈α␈)␈↓ λ|and␈α
rep␈α␈eats.
␈β∞A␈↓ αF␈∧∞AαFαπi
␈β∞C␈↓ ∧0␈∧∞C∧00α
␈β∞P␈↓ αv␈ε	V␈↓ β∞␈εβ[0]:␈↓ ∧∂␈εβ0␈↓ ∧M␈εβ4␈↓ ∧n␈εβ7␈↓ ¬∂␈εβ7␈α∂7␈α⊂7␈α⊂7␈α⊂7␈α⊂7␈↓ εT␈εβ4␈↓ εt␈εβ7␈↓ π∃␈εβ7␈α⊂7␈α⊂7␈α⊂7␈α⊂7␈α⊂7␈↓ λZ␈εβ4␈↓ λ{␈εβ7␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β∞j␈↓ ∧M␈∧∞j∧Mα⊃␈↓ ∧n␈∧∞j∧nα⊃␈↓ εT␈∧∞jεTα⊃␈↓ εt␈∧∞jεtα⊃␈↓ λZ␈∧∞jλZα⊃␈↓ λ{␈∧∞jλ{α⊃
␈β∞r␈↓ ∧0␈∧∞r∧0-α
␈β∞|␈↓ αv␈ε	V␈↓ β∞␈εβ[1]:␈↓ ∧∂␈εβ3␈↓ ∧M␈εβ3␈α⊂3␈α⊂3␈α∂3␈α⊂3␈α⊂3␈↓ ε∩␈εβ2␈↓ ε3␈εβ5␈↓ εT␈εβ5␈α∂5␈α⊂5␈α⊂5␈α⊂5␈α⊂5␈↓ λ→␈εβ2␈↓ λ:␈εβ5␈↓ λZ␈εβ5␈α⊂5␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β∂⊗␈↓ ε∩␈∧∂⊗ε∩α⊃␈↓ ε3␈∧∂⊗ε3α⊃␈↓ λ→␈∧∂⊗λ→α⊃␈↓ λ:␈∧∂⊗λ:α⊃
␈β∂≡␈↓ ∧0␈∧∂≡∧0-α
␈β∂(␈↓ αv␈ε	V␈↓ β∞␈εβ[2]:␈↓ ∧∂␈εβ2␈↓ ∧M␈εβ2␈α⊂2␈α⊂2␈α∂2␈↓ ¬P␈εβ0␈↓ ¬q␈εβ3␈↓ ε∩␈εβ3␈α⊂3␈α⊂3␈α∂3␈α⊂3␈α⊂3␈↓ πW␈εβ0␈↓ πx␈εβ3␈↓ λ→␈εβ3␈α⊂3␈α∂3␈α⊂3␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β∂B␈↓ ¬P␈∧∂B¬Pα⊃␈↓ ¬q␈∧∂B¬qα⊃␈↓ πW␈∧∂BπWα⊃␈↓ πx␈∧∂Bπxα⊃
␈β∂J␈↓ ∧0␈∧∂J∧00α
␈β∂T␈↓ αv␈ε	V␈↓ β∞␈εβ[3]:␈↓ ∧∂␈εβ5␈↓ ∧M␈εβ5␈α⊂5␈↓ ¬∂␈εβ6␈↓ ¬/␈εβ1␈↓ ¬P␈εβ1␈α⊂1␈α⊂1␈α⊂1␈α⊂1␈α∂1␈↓ π∃␈εβ6␈↓ π6␈εβ1␈↓ πW␈εβ1␈α⊂1␈α⊂1␈α⊂1␈α∂1␈α⊂1␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β∂n␈↓ ¬∂␈∧∂n¬∂α⊃␈↓ ¬/␈∧∂n¬/α⊃␈↓ π∃␈∧∂nπ∃α⊃␈↓ π6␈∧∂nπ6α⊃
␈β∂z␈↓ αF␈∧∂zαFαπi
␈β∂|␈↓ ∧0␈∧∂|∧00α
␈β⊂	␈↓ β⊗␈ε	X␈↓ β1␈εβ:␈↓ ∧M␈εβ4␈α⊂7␈α⊂6␈α∂1␈α⊂0␈α⊂3␈α⊂2␈α⊂5␈α⊂4␈α∂7␈α⊂6␈α⊂1␈α⊂0␈α⊂3␈α⊂2␈α⊂5␈α∂4␈α⊂7␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β⊂+␈↓ ∧0␈∧⊂+∧00α
␈β⊂5␈↓ β→␈ε	Y␈↓ β1␈εβ:␈↓ ∧M␈εβ0␈α⊂1␈α⊂6␈α∂7␈α⊂4␈α⊂5␈α⊂2␈α⊂3␈α⊂0␈α∂1␈α⊂6␈α⊂0␈α⊂4␈α⊂5␈α⊂2␈α⊂3␈α∂0␈α⊂1␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β⊂[␈↓ αF␈∧⊂[αFαπi
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβS␈α␈o␈αεth␈α␈e␈αεpo␈α␈ten␈α␈cy␈αεh␈α␈as␈αεb␈α␈een␈α¬redu␈α␈ced␈α¬to␈αε1!␈α	(See␈α¬furth␈α␈er␈αεcom␈α␈men␈α}ts␈αεi␈α↓n␈α¬the␈α¬an␈α␈swe␈α␈r␈αεto␈αεex␈α}ercise␈αε1␈α␈5.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα610␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα*␈↓ α␈εβ(b)␈αTh␈α␈e␈αun␈α␈derline␈α␈d␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αare␈↓ ¬f␈ε	V␈↓ ¬⎇␈εβ[␈↓ επ␈ε	j␈↓ ε⊗␈εβ]␈αafte␈α␈r␈αs␈α␈tep␈αB2.
␈βαv␈↓ αh␈∧αvαhαπ$
␈βαx␈↓ ∧]␈∧αx∧]4α
␈ββ¬␈↓ αs␈εβOutp␈α␈ut:␈↓ βx␈εβinitial␈↓ ∧z␈εβ2␈α⊂3␈α⊂6␈α⊂5␈α∂7␈α⊂0␈α⊂0␈α⊂5␈α⊂3␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈εβ4␈α⊂6␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ~␈εβ3␈α⊂0␈↓ λ\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈εβ4␈α⊂7␈↓ 	E␈εβ)␈↓ 	U␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈ββ+␈↓ αh␈∧β+αhαπ$
␈ββ-␈↓ ∧]␈∧β-∧]0α
␈ββ:␈↓ β$␈ε	V␈↓ β;␈εβ[␈α↓0␈α␈]␈α↓:␈↓ ∧<␈εβ0␈↓ ∧z␈εβ0␈α⊂0␈α⊂0␈α⊂0␈α∂0␈α⊂0␈↓ ε?␈εβ5␈↓ ε`␈εβ4␈↓ π↓␈εβ4␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈εβ1␈α⊂1␈α∂1␈α⊂1␈↓ λ\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈εβ1␈α⊂1␈↓ 	U␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈ββT␈↓ ε?␈∧βTε?α⊃␈↓ ε`␈∧βTε`α⊃
␈ββ\␈↓ ∧]␈∧β\∧]-α
␈ββf␈↓ β$␈ε	V␈↓ β;␈εβ[␈α↓1␈α␈]␈α↓:␈↓ ∧<␈εβ3␈↓ ∧z␈εβ3␈↓ ¬≠␈εβ6␈↓ ¬<␈εβ1␈↓ ¬]␈εβ1␈α∂1␈α⊂1␈α⊂1␈α⊂1␈α⊂1␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈εβ0␈α⊂0␈α∂0␈↓ λ;␈εβ4␈↓ λ\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈εβ0␈α⊂0␈↓ 	U␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈β∧␈↓ ¬≠␈∧∧¬≠α⊃␈↓ ¬<␈∧∧¬<α⊃␈↓ λ;␈∧∧λ;α⊃
␈β∧λ␈↓ ∧]␈∧∧λ∧]-α
␈β∧∩␈↓ β$␈ε	V␈↓ β;␈εβ[␈α↓2␈α␈]␈α↓:␈↓ ∧<␈εβ2␈↓ ∧z␈εβ7␈↓ ¬≠␈εβ7␈α⊂7␈α⊂7␈↓ ¬⎇␈εβ3␈↓ ε≡␈εβ3␈α⊂3␈α⊂3␈↓ π↓␈εβ7␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈εβ6␈↓ πz␈εβ2␈↓ λ~␈εβ2␈α⊂2␈↓ λ\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈εβ7␈↓ 	4␈εβ2␈↓ 	U␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈β∧,␈↓ ∧z␈∧∧,∧zα⊃␈↓ ¬⎇␈∧∧,¬⎇α⊃␈↓ π↓␈∧∧,π↓α⊃␈↓ πz␈∧∧,πzα⊃␈↓ 	4␈∧∧,	4α⊃
␈β∧4␈↓ ∧]␈∧∧4∧]0α
␈β∧>␈↓ β$␈ε	V␈↓ β;␈εβ[␈α↓3␈α␈]␈α↓:␈↓ ∧<␈εβ5␈↓ ∧z␈εβ5␈α⊂5␈α⊂5␈↓ ¬]␈εβ0␈↓ ¬⎇␈εβ0␈↓ ε≡␈εβ2␈↓ ε?␈εβ2␈α⊂2␈α⊂2␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈εβ3␈↓ πz␈εβ3␈↓ λ~␈εβ5␈↓ λ;␈εβ5␈↓ λ\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈εβ3␈↓ 	4␈εβ3␈↓ 	U␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈β∧X␈↓ ¬]␈∧∧X¬]α⊃␈↓ ε≡␈∧∧Xε≡α⊃␈↓ πY␈∧∧XπYα⊃␈↓ λ~␈∧∧Xλ~α⊃␈↓ 	∪␈∧∧X	∪α⊃
␈β∧d␈↓ αh␈∧∧dαhαπ$
␈β∧f␈↓ ∧]␈∧∧f∧]4α
␈β∧s␈↓ βC␈ε	X␈↓ β←␈εβ:␈↓ ∧<␈εβ4␈↓ ∧z␈εβ7␈α⊂6␈α⊂1␈α⊂0␈α∂3␈α⊂2␈α⊂5␈α⊂4␈α⊂7␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈εβ3␈α⊂2␈α∂5␈α⊂4␈↓ λ\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈εβ3␈α⊂2␈↓ 	U␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈β¬→␈↓ αh␈∧¬→αhαπ$
␈β¬T␈↓ ↓H␈εβIn␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	case␈α	th␈α␈e␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α
is␈α	con␈α␈sidera␈α␈bly␈α	bett␈α␈er␈α
th␈α␈an␈α	the␈α	inp␈α␈ut,␈α
it␈α
e␈α␈n␈α␈ters␈α	a␈α
r␈α␈epea␈α␈ting␈α	cy␈α␈c␈α␈l␈α↓e
␈β¬{␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αleng␈α␈th␈α4␈α␈0␈αafte␈α␈r␈α46␈α
steps:␈α2␈α␈365␈α␈70␈α
053␈α␈14␈α7␈α␈263␈α␈2␈α4␈α␈011␈α␈0␈α3␈α␈756␈α␈4␈α76␈α␈02␈α␈5␈α12␈α␈541␈α
73␈α␈625␈α
03␈α␈746
␈βε#␈↓ ↓H␈εβ(3␈α␈017␈α␈5␈α
24␈α␈061␈α	523␈α␈17␈α
4␈α␈620␈α␈3␈α
74␈α␈531␈α	604␈α␈25␈α
1␈α␈675␈α␈3␈α
02␈α␈647␈α␈).␈αT␈α↓h␈α␈e␈α
cy␈α}cle␈α
can␈α	be␈α
fo␈α␈un␈α␈d␈α
ea␈α␈si␈α↓ly␈α	by
␈βεK␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αt␈α␈he␈αme␈α␈thod␈α
of␈αex␈α}ercise␈α3.1-7␈α
to␈αthe␈α
abo␈α}v␈α␈e␈αa␈α␈rray␈αu␈α␈n␈α␈til␈αa␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈αis␈αrep␈α␈eat␈α␈ed.
␈βε␈␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α	l␈α↓o␈α}w-orde␈α␈r␈α
by␈α␈te␈α
of␈α
m␈α␈an␈α}y␈α
ran␈α␈do␈α␈m␈α
seq␈α␈uen␈α␈ces␈α	(␈α↓e␈α␈.␈α↓g␈α␈.␈α↓,␈α
linea␈α␈r␈α
con␈α␈gru␈α␈en␈α␈tial␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s
␈βπ'␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α⊃␈ε	m␈↓ α8␈εβ=␈↓ αb␈εβw␈α␈ord␈αs␈α␈i␈α↓ze␈↓ βh␈εβ)␈α	is␈α	m␈α␈u␈α␈ch␈αλl␈α↓e␈α␈ss␈α	ran␈α␈do␈α␈m␈α	th␈α␈an␈αλth␈α␈e␈α	hig␈α␈h-ord␈α␈er␈α	b␈α␈yte␈α␈.␈αS␈α␈ee␈α	S␈α␈ection␈αλ3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓1␈α␈.
␈βπ[␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβThe␈α	ran␈α␈do␈α␈mizing␈α	e{ect␈α	w␈α␈ould␈α	b␈α␈e␈α
qu␈α␈ite␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈imized␈α␈,␈αb␈α␈eca␈α␈use␈↓ λa␈ε	V␈↓ λy␈εβ[␈↓ 	α␈ε	j␈↓ 	⊃␈εβ]␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	a␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α	con␈α␈-
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβta␈α␈in␈α∞a␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞in␈α∞a␈α
certain␈α
ran␈α␈ge,␈α∂esse␈α␈n␈α␈tially␈↓ εn␈ε	j␈↓ ε⎇␈εβ/␈↓ π
␈ε	k␈↓ π,␈ε↔∀␈↓ π[␈ε	V␈↓ πs␈εβ[␈↓ π|␈ε	j␈↓ λ␈εβ]␈α↓/␈↓ λ%␈ε	m␈↓ λQ␈εβ<␈α∞(␈↓ 	␈ε	j␈↓ 	$␈εβ+␈α	1)/␈↓ 	{␈ε	k␈↓ 
␈εβ.␈α∀Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,
␈βλ+␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈αsimilar␈αap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈αcou␈α␈ld␈αbe␈αu␈α␈sed␈α␈:␈αw␈α␈e␈αco␈α␈uld␈αta␈α␈k␈α␈e␈↓ πb␈ε	Y␈↓ λ∂␈εβ=␈↓ λ:␈ε	X␈↓ 	π␈εβ,␈αor␈αw␈α␈e␈αcou␈α␈ld␈αch␈α␈oose
␈βλ5␈↓ πu␈εn␈↓ λQ␈εn␈↓ λa␈ε~␈␈εε1
␈βλR␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓b␈εβfrom␈↓ α2␈ε	X␈↓ αe␈εβby␈αex␈α␈trac␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αsome␈αdig␈α␈i␈α↓ts␈αfrom␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αth␈α␈e␈αmid␈α␈dle␈αi␈α↓n␈α␈stead␈αo␈α␈f␈αat␈αthe␈αex␈α␈treme
␈βλ]␈↓ αI␈εn
␈βλz␈↓ ↓H␈εβleft.␈αNo␈α␈ne␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈ese␈α
su␈α␈gge␈α␈sti␈α↓o␈α␈ns␈α
w␈α␈ou␈α␈ld␈α
p␈α␈rodu␈α␈ce␈α
a␈α
len␈α␈gth␈α␈enin␈α␈g␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
period␈α	an␈α␈alogo␈α␈us␈α
to
␈β	!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αb␈α␈eha␈α␈vior␈αof␈αAlgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αB.
␈β	S␈↓ βw␈ε∃X␈↓ ¬↓␈εε1␈↓ ¬r␈ε∃X␈↓ π↓␈ε∃X
␈β	V␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αif␈↓ ∧≤␈εβ/␈↓ ∧-␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ<␈↓ ¬∩␈εβ,␈αthe␈α␈n␈↓ εF␈εβ=␈α
2␈↓ π&␈εβ.
␈β	a␈↓ ∧␈εn␈↓ επ␈εn␈↓ ε↔␈εε+1␈↓ π⊗␈εn
␈β	d␈↓ ¬↓␈∧	d¬↓α
␈β	f␈↓ ¬↓␈εε2
␈β

␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[W␈α↓.␈αMo␈α␈n␈α␈tel,␈ε⊂␈αNieuw␈αArch␈α␈ief␈αv␈α␈o␈α␈or␈αWi␈α↓sk␈α␈un␈α␈de␈εβ␈α(2␈α␈)␈ε∪␈α1␈εβ␈α
(189␈α␈7),␈α172␈α␈↑18␈α␈4.]
␈β
V␈↓ 	α␈εβ00␈↓ 	$␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	K␈εβ0␈α␈1
␈β
j␈↓ ¬P␈εβ0␈α␈0␈↓ ¬q␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε_␈εβ0␈α␈1
␈β
}␈↓ 	α␈εβ00␈↓ 	$␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	K␈εβ1␈α␈0
␈β⊃␈↓ ¬P␈εβ0␈α␈0␈↓ ¬q␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε_␈εβ1␈α␈0
␈β∩␈↓ αK␈εβThe␈α
sub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈e␈αof
␈β%␈↓ 	→␈εβ.␈α⊃.␈α⊂.
␈β6␈↓ βb␈ε∃X
␈β9␈↓ ∧α␈εβva␈α␈l␈α↓u␈α␈es:␈↓ ¬f␈εβ.␈α⊃.␈α⊂.␈↓ π#␈εβb␈α␈eco␈α␈mes:
␈βM␈↓ 	α␈εβ10␈↓ 	$␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	K␈εβ0␈α␈0
␈βa␈↓ ¬P␈εβ1␈α␈0␈↓ ¬q␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε_␈εβ0␈α␈0
␈βt␈↓ 	α␈εβ00␈↓ 	$␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	K␈εβ0␈α␈0
␈β¬␈↓ ¬∩␈ε∃CONT␈α␈ENT␈α␈S(A␈α␈)
␈β→␈↓ λE␈ε∃CON␈α␈TENT␈α␈S(A␈α␈)
␈βo␈↓ ε+␈εe
␈βs␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβWe␈αma␈α␈y␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧K␈ε	X␈↓ ∧x␈εβ=␈α	0,␈↓ ¬I␈ε	m␈↓ ¬o␈εβ=␈↓ ε~␈ε	p␈↓ ε6␈εβ,␈αas␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αp␈α␈roof␈αo␈α␈f␈αTheo␈α␈rem␈α
3.2.1.2A␈↓ 
R␈εβ.␈αFi␈α↓rs␈α␈t
␈β}␈↓ ∧b␈εε0
␈β
↔␈↓ εP␈εe
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈pp␈α␈ose␈αλt␈α␈hat␈αλth␈α␈e␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλh␈α␈as␈αλp␈α␈eriod␈αλlen␈α␈gth␈↓ ε?␈ε	p␈↓ ε[␈εβ;␈α	i␈α↓t␈απf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈αλt␈α␈hat␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈eriod␈αλo␈α␈f␈αλthe␈αλse␈α␈que␈α␈nce
␈β
>␈↓ α ␈εf␈↓ βa␈εf␈↓ 	␈εf
␈β
B␈↓ ↓H␈εβm␈α␈od␈↓ α∂␈ε	p␈↓ α5␈εβh␈α␈as␈αλlen␈α␈gth␈↓ βP␈ε	p␈↓ βm␈εβ,␈α	for␈αλ1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧u␈ε	f␈↓ ¬∞␈ε↔∀␈↓ ¬8␈ε	e␈↓ ¬E␈εβ,␈α	oth␈α␈erwise␈αλsome␈αλre␈α␈si␈α↓d␈α␈ue␈α␈s␈α	m␈α␈od␈↓ λ{␈ε	p␈↓ 	 ␈εβwo␈α␈uld␈αλn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αλoccu␈α␈r.
␈β
j␈↓ ↓H␈εβClea␈α␈rly,␈↓ αJ␈ε	c␈↓ αe␈εβis␈α∞n␈α␈ot␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ ¬∪␈ε	p␈↓ ¬$␈εβ,␈α∞for␈α
oth␈α␈erwise␈α∞e␈α␈ach␈↓ πV␈ε	X␈↓ λ␈εβw␈α␈ou␈α␈ld␈α
be␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ 
j␈ε	p␈↓ 
{␈εβ.␈α∩If
␈β
u␈↓ πm␈εn
␈β∞∩␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓b␈ε↔∀␈εβ␈α	3,␈α
i␈α↓t␈α
is␈α
ea␈α␈sy␈α
t␈α␈o␈α
esta␈α␈blish␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ecessity␈α	of␈α
con␈α␈dition␈α␈s␈α
(ii␈α↓i)␈α
an␈α␈d␈α
(iv␈α␈)␈α
by␈α	trial␈α
an␈α␈d␈α
erro␈α␈r,
␈β∞5␈↓ λ_␈εε2␈↓ 
]␈εε2
␈β∞9␈↓ ↓H␈εβso␈αλw␈α␈e␈α	may␈αλassu␈α␈me␈α	th␈α␈at␈↓ ∧≤␈ε	p␈↓ ∧6␈ε↔∃␈εβ␈α	5.␈αIf␈↓ ¬$␈ε	d␈↓ ¬@␈ε↔@⊃␈↓ ¬j␈εβ0␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π¬␈ε	p␈↓ π⊗␈εβ)␈α	then␈↓ πt␈ε	d␈↓ λπ␈ε	x␈↓ λ)␈εβ+␈↓ λO␈ε	a␈↓ λ`␈ε	x␈↓ λu␈εβ+␈↓ 	≠␈ε	c␈↓ 	2␈ε↔⊃␈↓ 	\␈ε	d␈↓ 	o␈εβ(␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
⊂␈εβ+␈↓ 
6␈ε	a␈↓ 
R␈εβ)␈↓ 
n␈εβ+␈↓ ∀␈ε	c
␈β∞D␈↓ 
E␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β∞]␈↓ αZ␈εe
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αe␈εβ)␈αλfor␈αλsome␈αλin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ∧r␈ε	a␈↓ ¬↔␈εβan␈α␈d␈↓ ¬U␈ε	c␈↓ ¬v␈εβan␈α␈d␈αλfor␈αλall␈↓ π⊃␈ε	x␈↓ π"␈εβ;␈α
th␈α␈is␈α	q␈α␈uad␈α␈ratic␈αλtak␈α}es␈α	t␈α␈he␈αλsame␈αλv␈α␈alue
␈β∞k␈↓ ¬α␈εε1␈↓ ¬a␈εε1
␈β∂∧␈↓ 	T␈εe
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αthe␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈↓ β
␈ε	x␈↓ β)␈εβand␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧$␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ ∧↑␈ε	a␈↓ ∧z␈εβ,␈αso␈αit␈αcan␈α␈not␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αall␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αm␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 	C␈ε	p␈↓ 	←␈εβ.␈αHenc␈α␈e␈↓ 
U␈ε	d␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
0
␈β∂∪␈↓ ∧m␈εε1
␈β∂,␈↓ ε`␈εε2
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ);␈α∂an␈α␈d␈α
if␈↓ βb␈ε	a␈↓ β␈␈ε↔@⊃␈↓ ∧-␈εβ1,␈α∞w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ ε<␈ε	d␈↓ εO␈ε	x␈↓ εv␈εβ+␈↓ π ␈ε	a␈↓ π0␈ε	x␈↓ πK␈εβ+␈↓ πu␈ε	c␈↓ λ∂␈ε↔⊃␈↓ λ=␈ε	x␈↓ λ[␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 	]␈ε	p␈↓ 	n␈εβ)␈α
for␈α
some␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tra␈α␈dictin␈α␈g␈αthe␈αfa␈α␈ct␈αtha␈α␈t␈αthe␈αse␈α␈que␈α␈nce␈αm␈α␈od␈↓ εc␈ε	p␈↓ ε␈␈εβh␈α␈as␈αp␈α␈eriod␈αlen␈α␈gth␈↓ 	¬␈ε	p␈↓ 	⊗␈εβ.
␈β⊂␈↓ α␈εβTo␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈e␈α
su}␈α␈cienc␈α␈y␈α
o␈α␈f␈α∞t␈α␈he␈α
co␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns,␈α
we␈αmay␈αassu␈α␈me␈α
b␈α␈y␈α
Th␈α␈eore␈α␈m␈α
3.2.1␈α␈.␈α↓2␈α␈A
␈β⊂#␈↓ π=␈εe
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αco␈α␈nsid␈α␈eration␈αo␈α␈f␈α
so␈α␈me␈αtrivial␈α
c␈α␈ases␈αtha␈α␈t␈↓ εW␈ε	m␈↓ ε␈␈εβ=␈↓ π,␈ε	p␈↓ πT␈εβwhere␈↓ λ6␈ε	e␈↓ λN␈ε↔∃␈εβ␈α2.␈α∂If␈↓ 	G␈ε	p␈↓ 	c␈εβ=␈α2,␈α
w␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊂K␈↓ ∧\␈εε2
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α ␈ε↔⊃␈↓ αJ␈ε	X␈↓ αy␈εβ+␈↓ β"␈ε	p␈↓ β3␈ε	c␈↓ βJ␈εβ(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ∧K␈ε	p␈↓ ∧i␈εβ),␈αby␈αtria␈α␈l␈α↓;␈αan␈α␈d␈αi␈α↓f␈↓ εk␈ε	p␈↓ π¬␈εβ=␈α
3,␈αwe␈αh␈α␈av␈α}e␈αeither␈↓ 	4␈ε	X␈↓ 
␈ε↔⊃␈↓ 
7␈ε	X␈↓ 
f␈εβ+␈↓ ∂␈ε	p␈↓ ∨␈ε	c
␈β⊂Z␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈εε+␈↓ αλ␈εp␈↓ αb␈εn␈↓ 	K␈εn␈↓ 	[␈εε+␈↓ 	u␈εp␈↓ 
N␈εn
␈β⊂r␈↓ αZ␈εε2␈↓ πz␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αg␈εβ),␈α⊂for␈α∂a␈α␈ll␈↓ βu␈ε	n␈↓ ∧	␈εβ,␈α⊂o␈α␈r␈↓ ∧N␈ε	X␈↓ ¬,␈ε↔⊃␈↓ ¬]␈ε	X␈↓ ε∂␈ε↔␈␈↓ ε:␈ε	p␈↓ εK␈ε	c␈↓ εh␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ πi␈ε	p␈↓ λπ␈εβ),␈α⊂for␈α∂a␈α␈ll␈↓ 	∃␈ε	n␈↓ 	)␈εβ.␈α⊗F␈α↓o␈α␈r␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
,␈ε↔∃␈εβ␈α⊂5␈α␈,␈α⊃w␈α␈e
␈β⊃↓␈↓ ∧e␈εn␈↓ ∧v␈εε+␈↓ ¬∂␈εp␈↓ ¬u␈εn
␈β⊃~␈↓ εb␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α∂p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈↓ β4␈ε	X␈↓ ∧∪␈ε↔⊃␈↓ ∧D␈ε	X␈↓ ∧v␈εβ+␈↓ ¬!␈ε	p␈↓ ¬2␈ε	c␈↓ ¬O␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ εQ␈ε	p␈↓ εo␈εβ):␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ πX␈ε	d␈↓ πz␈εβ=␈↓ λ,␈ε	p␈↓ λ=␈ε	r␈↓ λK␈εβ,␈↓ λe␈ε	a␈↓ 	ε␈εβ=␈α⊂1␈α
+␈↓ 	⎇␈ε	p␈↓ 
∞␈ε	s␈↓ 
≤␈εβ.␈α_The␈α␈n␈α∂if
␈β⊃)␈↓ βK␈εn␈↓ β[␈εε+␈↓ βu␈εp␈↓ ∧[␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα611
␈βα&␈↓ ∧>␈εε2␈↓ πF␈εε2␈↓ π←␈εε2
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓x␈ε↔⊃␈↓ α#␈ε	c␈↓ α0␈ε	n␈↓ αH␈εβ+␈↓ αn␈ε	p␈↓ α␈␈ε	Y␈↓ β,␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ∧.␈ε	p␈↓ ∧K␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α	m␈α}ust␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ ε4␈ε	Y␈↓ ππ␈ε↔⊃␈↓ π2␈ε	n␈↓ πR␈ε	c␈↓ πl␈ε	r␈↓ π␈␈εβ+␈↓ λ%␈ε	n␈↓ λ9␈ε	c␈↓ λF␈ε	s␈↓ λX␈εβ+␈↓ λ}␈ε	Y␈↓ 	+␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
,␈ε	p␈↓ 
=␈εβ);␈α
he␈α␈nce
␈βα0␈↓ α ␈ε↓␈␈↓ α>␈ε↓↓␈↓ β5␈ε↓␈␈↓ βT␈ε↓↓
␈βα5␈↓ ↓←␈εn␈↓ β∩␈εn␈↓ εH␈εn␈↓ εX␈εε+1␈↓ 	⊃␈εn
␈βαJ␈↓ α.␈εn␈↓ βC␈εn
␈βαN␈↓ αj␈εε2␈↓ βz␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓u␈ε↔⊃␈↓ αL␈εβ2␈↓ α]␈ε	c␈↓ αv␈ε	r␈↓ β
␈εβ+␈↓ βb␈εβ(␈↓ βm␈ε	c␈↓ ∧ε␈ε	r␈↓ ∧≥␈εβ+␈↓ ∧E␈ε	c␈↓ ∧R␈ε	s␈↓ ∧`␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ¬v␈ε	p␈↓ επ␈εβ).␈αTh␈α␈us␈↓ ε|␈ε	Y␈↓ π#␈εβm␈α␈od␈↓ πg␈ε	p␈↓ λα␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αdesired␈α
relation
␈βα\␈↓ ↓[␈εn␈↓ π∂␈εp
␈βαb␈↓ α0␈εε3␈↓ βE␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αb␈α␈een␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}ed.
␈ββ!␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈α	we␈α	can␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈α
h␈↓ ε.␈ε	X␈↓ εU␈ε↔i␈εβ␈α
of␈α
in␈α}teger␈α␈s␈α
de|␈α␈ne␈α␈d␈α
in␈α	the␈α	\h␈α␈i␈α↓n␈α}t"␈α	satis|e␈α␈s
␈ββ,␈↓ εE␈εn
␈ββI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αrelatio␈α␈n
␈ββj␈↓ ¬\␈εf␈↓ π%␈εf␈↓ π2␈εε+1
␈ββp␈↓ βY␈ε	X␈↓ ∧=␈ε↔⊃␈↓ ∧g␈ε	X␈↓ ¬⊗␈εβ+␈↓ ¬?␈ε	t␈↓ ¬K␈ε	p␈↓ ε∪␈εβ(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ π∀␈ε	p␈↓ πX␈εβ),␈↓ λ9␈ε	n␈↓ λW␈ε↔∃␈εβ␈α	0,
␈ββ{␈↓ ∧'␈ε
f␈↓ ∧}␈εn
␈ββ}␈↓ βp␈εn␈↓ ∧␈εε+␈↓ ∧~␈εp
␈β∧-␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
some␈↓ αM␈ε	t␈↓ αb␈εβwi␈α↓th␈↓ β-␈ε	t␈↓ β?␈εβm␈α␈od␈↓ ∧β␈ε	p␈↓ ∧≥␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αan␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈α
all␈↓ ε␈ε	f␈↓ ε$␈ε↔∃␈εβ␈α
1.␈αTh␈α␈is␈α
su}c␈α␈es␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α
se␈α␈que␈α␈nce
␈β∧P␈↓ αU␈εe␈↓ ¬∞␈εe␈↓ 
)␈εe
␈β∧T␈↓ ↓H␈ε↔h␈↓ ↓S␈ε	X␈↓ α␈εβm␈α␈od␈↓ αD␈ε	p␈↓ α`␈ε↔i␈εβ␈αha␈α␈s␈αperiod␈α
l␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈↓ ∧⎇␈ε	p␈↓ ¬→␈εβ,␈αfor␈αthe␈αlen␈α␈gth␈αo␈α␈f␈αt␈α␈he␈αp␈α␈eriod␈αis␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈↓ 
_␈ε	p␈↓ 
?␈εβbu␈α␈t␈αno␈α␈t
␈β∧←␈↓ ↓j␈εn
␈β∧x␈↓ β␈εe␈↓ β⊗␈ε~␈␈εε1
␈β∧|␈↓ ↓H␈εβa␈αdiviso␈α␈r␈αof␈↓ αz␈ε	p␈↓ β<␈εβ.␈α∞The␈αabo␈α}v␈α␈e␈αrela␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αh␈α␈as␈αalrea␈α␈dy␈αbee␈α␈n␈αesta␈α␈blished␈αfor␈↓ 	U␈ε	f␈↓ 	p␈εβ=␈α1␈α␈,␈α
an␈α␈d␈αfo␈α␈r
␈β¬$␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓a␈εβ>␈α	1␈αit␈αcan␈α
be␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}ed␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αin␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αm␈α␈ann␈α␈er:␈αLet
␈β¬l␈↓ ¬h␈εf␈↓ εX␈εf␈↓ εe␈εε+1␈↓ λG␈εf␈↓ λT␈εε+2
␈β¬r␈↓ βf␈ε	X␈↓ ∧J␈ε↔⊃␈↓ ∧t␈ε	X␈↓ ¬#␈εβ+␈↓ ¬L␈ε	t␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬⎇␈εβ+␈↓ ε%␈ε	Z␈↓ εG␈ε	p␈↓ π5␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λ7␈ε	p␈↓ λz␈εβ);
␈β¬|␈↓ ¬␈εn␈↓ ε7␈εn
␈β¬⎇␈↓ ∧4␈ε
f
␈βε␈↓ β⎇␈εn␈↓ ∧
␈εε+␈↓ ∧&␈εp
␈βε@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈αth␈α␈e␈α
q␈α␈ua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈αlaw␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
g␈α␈ene␈α␈rating␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈enc␈α␈e,␈α
wi␈α↓th␈↓ λ→␈ε	d␈↓ λ7␈εβ=␈↓ λc␈ε	p␈↓ λt␈ε	r␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	→␈ε	a␈↓ 	5␈εβ=␈α1␈αλ+␈↓ 
$␈ε	p␈↓ 
5␈ε	s␈↓ 
C␈εβ,␈α
yield␈α␈s
␈βεg␈↓ ↓H␈ε	Z␈↓ α→␈ε↔⊃␈εβ␈α	2␈↓ αT␈ε	r␈↓ αb␈ε	t␈↓ αn␈ε	n␈↓ βα␈ε	c␈↓ β↔␈εβ+␈↓ β?␈ε	s␈↓ βM␈ε	t␈↓ β`␈εβ+␈↓ ∧	␈ε	Z␈↓ ∧4␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ¬6␈ε	p␈↓ ¬G␈εβ).␈αIt␈αfoll␈α↓o␈α}ws␈αtha␈α␈t␈↓ π@␈ε	Z␈↓ λ∩␈ε↔⊃␈↓ λ<␈ε	Z␈↓ λg␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 	i␈ε	p␈↓ 	z␈εβ);␈αhen␈α␈ce
␈βεr␈↓ ↓Y␈εn␈↓ ↓j␈εε+1␈↓ ∧≠␈εn␈↓ πQ␈εn␈↓ πa␈εε+␈↓ π{␈εp␈↓ λN␈εn
␈βπ/␈↓ ¬|␈εf␈↓ εk␈εf␈↓ εx␈εε+1␈↓ λf␈εf␈↓ λs␈εε+2
␈βπ5␈↓ βQ␈ε	X␈↓ ∧B␈ε↔⊃␈↓ ∧l␈ε	X␈↓ ¬≠␈εβ+␈↓ ¬D␈ε	k␈↓ ¬T␈εβ(␈↓ ¬←␈ε	t␈↓ ¬k␈ε	p␈↓ ε⊂␈εβ+␈↓ ε9␈ε	Z␈↓ εZ␈ε	p␈↓ π≡␈εβ)␈α+(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ λU␈ε	p␈↓ 	_␈εβ)
␈βπ@␈↓ ∧,␈ε
f␈↓ ¬β␈εn␈↓ εJ␈εn
␈βπC␈↓ βh␈εn␈↓ βx␈εε+␈↓ ∧⊃␈εk␈↓ ∧≡␈εp
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓{␈ε	k␈↓ α∃␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αε2,␈α¬3,␈↓ β≡␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βJ␈εβ;␈αse␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈↓ ∧L␈ε	k␈↓ ∧e␈εβ=␈↓ ¬⊂␈ε	p␈↓ ¬,␈εβco␈α␈mpletes␈αth␈α␈e␈αp␈α␈roof.
␈βλ+␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∪If␈↓ β∨␈ε	f␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	x␈↓ βL␈εβ)␈α∞is␈α∂a␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α∂o␈α␈f␈α∂d␈α␈egree␈α∞h␈α␈i␈α↓g␈α␈her␈α∞tha␈α␈n␈α∞2␈α∞and␈↓ 	␈ε	X␈↓ 	h␈εβ=␈↓ 
_␈ε	f␈↓ 
(␈εβ(␈↓ 
3␈ε	X␈↓ 
Z␈εβ)␈α↓,␈α∂the
␈βλ5␈↓ 	#␈εn␈↓ 	3␈εε+1␈↓ 
J␈εn
␈βλN␈↓ 	r␈εk
␈βλR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈na␈α␈l␈α↓y␈α␈sis␈αis␈αmo␈α␈re␈αc␈α␈omp␈α␈l␈α↓ica␈α␈ted␈α␈,␈αaltho␈α␈ugh␈αw␈α␈e␈αcan␈αu␈α␈se␈αth␈α␈e␈αfa␈α␈ct␈αth␈α␈at␈↓ λx␈ε	f␈↓ 	λ␈εβ(␈↓ 	∪␈ε	m␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	a␈ε	p␈↓ 	␈␈εβ)␈α=␈↓ 
@␈ε	f␈↓ 
P␈εβ(␈↓ 
[␈ε	m␈↓ 
x␈εβ)␈αλ+
␈βλv␈↓ ↓Y␈εk␈↓ ↓v␈ε~0␈↓ αp␈εε2␈↓ α|␈εk␈↓ β→␈ε~0␈α↓0
␈βλz␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓f␈ε	f␈↓ ↓|␈εβ(␈↓ απ␈ε	m␈↓ α$␈εβ)␈απ+␈↓ α←␈ε	p␈↓ β	␈ε	f␈↓ β&␈εβ(␈↓ β1␈ε	m␈↓ βN␈εβ)/2!␈απ+␈↓ ∧3␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧e␈εβto␈α
pro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αm␈α␈an␈α␈y␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈αre␈α␈curre␈α␈nce␈α␈s␈αgiv␈α␈e␈α
the␈α
max␈α␈-
␈β	≡␈↓ 
~␈εe
␈β	"␈↓ ↓H␈εβim␈α␈u␈α␈m␈α
p␈α␈eriod.␈α⊂For␈α
ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∞Co␈α}v␈α␈ey␈α}ou␈αhas␈αpro␈α␈v␈α}ed␈αtha␈α␈t␈α
the␈αperiod␈αis␈↓ 	2␈ε	m␈↓ 	\␈εβ=␈↓ 
	␈εβ2␈↓ 
1␈εβi␈α↓f␈↓ 
S␈ε	f␈↓ 
b␈εβ(␈α↓0␈α␈)␈α
is
␈β	E␈↓ α ␈ε~0␈↓ β3␈ε~00
␈β	I␈↓ ↓H␈εβo␈α␈dd␈α␈,␈↓ α⊂␈ε	f␈↓ α&␈εβ(␈↓ α2␈ε	j␈↓ αA␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α	1,␈↓ β#␈ε	f␈↓ β@␈εβ(␈↓ βK␈ε	j␈↓ βZ␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α	0,␈α
an␈α␈d␈↓ ∧{␈ε	f␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬⊗␈ε	j␈↓ ¬*␈εβ+␈αε1)␈ε↔␈α	⊃␈↓ ε!␈ε	f␈↓ ε0␈εβ(␈↓ ε;␈ε	j␈↓ εJ␈εβ)␈αε+␈α¬1␈α	(mod␈α␈ulo␈α4␈α␈)␈α
for␈↓ λt␈ε	j␈↓ 	␈εβ=␈α
0,␈α¬1,␈αε2␈α␈,␈αε3.␈α[␈ε⊂S␈α␈tud␈α␈i␈α↓e␈α␈s
␈β	q␈↓ ↓H␈ε⊂in␈α
A␈α↓p␈α␈plied␈α
Math␈α␈.␈ε∪␈α3␈εβ␈α(196␈α␈7),␈α70-1␈α␈11.]
␈β
#␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβLet␈↓ αG␈ε	X␈↓ αx␈εβ=␈α	4␈↓ β3␈ε	Y␈↓ β[␈εβ+␈α¬2␈α␈;␈α
then␈αλthe␈αλsequ␈α␈en␈α␈ce␈↓ ε,␈ε	Y␈↓ εY␈εβsa␈α␈tis|es␈α	th␈α␈e␈α	q␈α␈uad␈α␈ratic␈α	re␈α␈curre␈α␈nce␈↓ 
8␈ε	Y␈↓ ␈εβ=
␈β
.␈↓ α↑␈εn␈↓ βF␈εn␈↓ ε?␈εn␈↓ 
L␈εn␈↓ 
\␈εε+1
␈β
G␈↓ ↓|␈εε2␈↓ ∧↔␈εe␈↓ ∧"␈ε~␈␈εε2
␈β
K␈↓ ↓H␈εβ(4␈↓ ↓c␈ε	Y␈↓ α∀␈εβ+␈αλ5␈↓ αM␈ε	Y␈↓ αx␈εβ+␈αλ1)␈↓ βB␈εβmod␈↓ ∧π␈εβ2␈↓ ∧H␈εβ.
␈β
U␈↓ αa␈εn
␈β
Z␈↓ ↓|␈εn
␈β
⎇␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈ε⊂Case␈α	1␈α␈:␈↓ β␈ε	X␈↓ β-␈εβ=␈α	0,␈↓ β{␈ε	X␈↓ ∧(␈εβ=␈α	1;␈α
he␈α␈nce␈↓ ¬Q␈ε	X␈↓ ε↓␈ε↔⊃␈↓ ε,␈ε	F␈↓ εO␈εβ.␈αWe␈α	see␈α␈k␈α	the␈α	sm␈α␈all␈α↓e␈α␈st␈↓ 	_␈ε	n␈↓ 	5␈εβfor␈α	wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ 
E␈ε	F␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
0
␈βλ␈↓ β↔␈εε0␈↓ ∧∩␈εε1␈↓ ¬h␈εn␈↓ ε>␈εn␈↓ 
X␈εn
␈β!␈↓ ∧.␈εe␈↓ 	1␈εε2␈↓ 	␈␈εε2
␈β%␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α¬␈ε	F␈↓ αW␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ∧≥␈εβ2␈↓ ∧8␈εβ).␈αS␈α␈ince␈↓ ¬*␈ε	F␈↓ ¬c␈εβ=␈↓ ε
␈ε	F␈↓ ε0␈εβ(␈↓ ε;␈ε	F␈↓ ππ␈εβ+␈↓ π+␈ε	F␈↓ πt␈εβ),␈↓ λ⊃␈ε	F␈↓ λo␈εβ=␈↓ 	~␈ε	F␈↓ 	D␈εβ+␈↓ 	h␈ε	F␈↓ 
6␈εβ,␈αλw␈α␈e␈αλ|␈α␈nd
␈β/␈↓ α_␈εn␈↓ α(␈εε+1␈↓ ¬=␈εε2␈↓ ¬I␈εn␈↓ ε ␈εn␈↓ εN␈εn␈↓ ε↑␈ε~␈␈εε1␈↓ π>␈εn␈↓ πN␈εε+1␈↓ λ#␈εε2␈↓ λ0␈εn␈↓ λ@␈εε+1
␈β4␈↓ 	1␈εn␈↓ 	␈␈εn␈↓ 
⊂␈εε+1
␈βH␈↓ λ␈␈εe␈↓ 
h␈εe␈↓ 
r␈εε+1
␈βL␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αind␈α␈uction␈αo␈α␈n␈↓ β;␈ε	e␈↓ βT␈εβtha␈α␈t,␈αfor␈↓ ∧Z␈ε	e␈↓ ∧q␈εβ>␈α1␈α␈,␈↓ ¬B␈ε	F␈↓ ε+␈ε↔⊃␈εβ␈α0␈αan␈α␈d␈↓ π4␈ε	F␈↓ λC␈ε↔⊃␈↓ λn␈εβ2␈↓ 	∩␈εβ+␈αλ1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
W␈εβ2␈↓ _␈εβ).
␈βW␈↓ ¬u␈ε
e␈↓ ε␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ πg␈ε
e␈↓ πq␈ε≠␈␈επ1
␈βZ␈↓ ¬U␈εε3␈ε~↓␈↓ ¬i␈εε2␈↓ πG␈εε3␈ε~␈α␈↓␈↓ πZ␈εε2␈↓ λ∪␈εε+1
␈βp␈↓ εp␈εe␈↓ ε{␈ε~␈␈εε1␈↓ 
	␈εe␈↓ 
∀␈ε~␈␈εε2
␈βt␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αimp␈α␈l␈α↓ies␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αp␈α␈eriod␈α
is␈αa␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αo␈α␈f␈α3␈ε↔␈αε↓␈↓ ε←␈εβ2␈↓ π+␈εβbu␈α␈t␈αn␈α␈ot␈α
a␈αd␈α␈ivisor␈α
of␈α3␈ε↔␈αε↓␈↓ 	x␈εβ2␈↓ 
9␈εβ,␈αso␈α
i␈α↓t␈α
is
␈β↔␈↓ α←␈εe␈↓ αj␈ε~␈␈εε1␈↓ βT␈εe␈↓ β←␈ε~␈␈εε1
␈β≠␈↓ ↓H␈εβe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈α3␈ε↔␈απ↓␈↓ αO␈εβ2␈↓ β≠␈εβor␈↓ βD␈εβ2␈↓ ∧¬␈εβ.␈αBut␈↓ ∧Z␈ε	F␈↓ ¬0␈εβi␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αod␈α␈d␈α(sin␈α␈ce␈αon␈α␈l␈α↓y␈↓ λ&␈ε	F␈↓ λa␈εβis␈αev␈α}en).
␈β&␈↓ ∧y␈ε
e␈↓ ¬∧␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λ9␈εε3␈↓ λE␈εn
␈β*␈↓ ∧m␈εε2
␈βC␈↓ α␈ε⊂Case␈α2␈α␈:␈↓ βε␈ε	X␈↓ β5␈εβ=␈↓ βa␈ε	a␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧π␈ε	X␈↓ ∧6␈εβ=␈↓ ∧b␈ε	b␈↓ ∧p␈εβ.␈α∞Then␈↓ ¬←␈ε	X␈↓ ε∩␈ε↔⊃␈↓ ε>␈ε	a␈↓ εO␈ε	F␈↓ π∨␈εβ+␈↓ πI␈ε	b␈↓ πV␈ε	F␈↓ πy␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αne␈α␈ed␈αto␈α|␈α␈nd␈αthe␈αsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t
␈βN␈↓ β≥␈εε0␈↓ ∧≡␈εε1␈↓ ¬w␈εn␈↓ εa␈εn␈↓ εr␈ε~␈␈εε1␈↓ πi␈εn
␈βk␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ositiv␈α␈e␈↓ αF␈ε	n␈↓ αh␈εβwi␈α↓th␈↓ β8␈ε	a␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	F␈↓ ∧%␈ε↔␈␈↓ ∧P␈ε	F␈↓ ∧s␈εβ)␈α
+␈↓ ¬3␈ε	b␈↓ ¬@␈ε	F␈↓ ¬q␈ε↔⊃␈↓ ε!␈ε	a␈↓ ε@␈εβan␈α␈d␈↓ π∧␈ε	a␈↓ π∃␈ε	F␈↓ πA␈εβ+␈↓ πl␈ε	b␈↓ πy␈ε	F␈↓ λQ␈ε↔⊃␈↓ 	↓␈ε	b␈↓ 	∞␈εβ.␈α∃This␈α∞implies␈α∞tha␈α␈t
␈βu␈↓ βf␈εn␈↓ βv␈εε+1␈↓ ∧c␈εn␈↓ ¬R␈εn␈↓ π'␈εn␈↓ λ␈εn␈↓ λ≤␈εε+1
␈β
∞␈↓ ↓`␈εε2␈↓ αs␈εε2␈↓ ∧≥␈εε2␈↓ ¬0␈εε2␈↓ λλ␈εε2␈↓ 	≠␈εε2
␈β
∩␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓r␈ε↔␈␈↓ α→␈ε	a␈↓ α)␈ε	b␈↓ α<␈ε↔␈␈↓ αc␈ε	a␈↓ β␈εβ)␈↓ β␈ε	F␈↓ β7␈ε↔⊃␈εβ␈α	0,␈α
(␈↓ ∧⊂␈ε	b␈↓ ∧/␈ε↔␈␈↓ ∧V␈ε	a␈↓ ∧g␈ε	b␈↓ ∧y␈ε↔␈␈↓ ¬ ␈ε	a␈↓ ¬=␈εβ)(␈↓ ¬S␈ε	F␈↓ ε!␈ε↔␈␈εβ␈αε1)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
0␈α␈;␈αa␈α␈nd␈↓ π{␈ε	b␈↓ λ~␈ε↔␈␈↓ λA␈ε	a␈↓ λQ␈ε	b␈↓ λd␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	a␈↓ 	1␈εβi␈α↓s␈α	od␈α␈d␈α	(i␈α↓.e.,␈α
prime
␈β
≥␈↓ β≥␈εn␈↓ ¬f␈εn␈↓ ¬v␈εε+1
␈β
:␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	m␈↓ α∞␈εβ)␈αso␈αt␈α␈he␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αis␈αequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈αto␈↓ εα␈ε	F␈↓ ε.␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ε}␈ε	F␈↓ πO␈ε↔⊃␈εβ␈α
1.
␈β
D␈↓ ε∃␈εn␈↓ π⊂␈εn␈↓ π ␈εε+␈α↓1
␈β
a␈↓ α␈εβMe␈α␈thod␈α␈s␈α
to␈α	dete␈α␈rmine␈α	the␈α
p␈α␈eriod␈α	of␈↓ ε⊗␈ε	F␈↓ εB␈εβfor␈α
an␈α}y␈α	mod␈α␈ulus␈α	app␈α␈ear␈α	i␈α↓n␈α	an␈α	art␈α␈i␈α↓cle␈α	by␈α	D.
␈β
l␈↓ ε(␈εn
␈β∞¬␈↓ "␈εe
␈β∞	␈↓ ↓H␈εβD.␈α
Wall,␈ε⊂␈αAM␈α␈M␈ε∪␈α
67␈εβ␈α
(1␈α␈960␈α␈),␈α52␈α␈5↑␈α␈532␈α␈.␈αF␈α↓u␈α␈rthe␈α␈r␈α
facts␈α
ab␈α␈ou␈α␈t␈α
the␈α
Fib␈α␈ona␈α␈cci␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈α
mo␈α␈d␈↓ ⊃␈εβ2
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈αb␈α␈een␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α}ed␈αby␈αB.␈αJ␈α␈anss␈α␈on␈α[␈ε⊂␈α↓R␈α␈and␈α␈om␈αNum␈α}ber␈αGen␈α␈erato␈α␈rs␈εβ␈α(Sto␈α␈ckh␈α␈olm:␈αAlmqv␈α␈i␈α↓s␈α␈t
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
W␈α↓ik␈α␈sell␈α↓,␈α19␈α␈66),␈αSe␈α␈ction␈α3␈α␈C1].
␈β∂ε␈↓ βg␈ε∃␈↓ ε<␈εe
␈β∂
␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃We␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈↓ βZ␈ε	z␈↓ ∧␈εβ=␈α∪1␈α+␈↓ ¬λ␈ε	f␈↓ ¬_␈εβ(␈↓ ¬#␈ε	z␈↓ ¬0␈εβ)␈↓ ¬<␈ε	u␈↓ ¬P␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	z␈↓ ¬h␈εβ)␈α+␈↓ ε,␈ε	p␈↓ εG␈ε	v␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε	z␈↓ εr␈εβ)␈α⊃fo␈α␈r␈α⊃some␈↓ λ!␈ε	u␈↓ λ5␈εβ(␈↓ λ@␈ε	z␈↓ λN␈εβ),␈↓ λg␈ε	v␈↓ λy␈εβ(␈↓ 	∧␈ε	z␈↓ 	∩␈εβ),␈α∪wh␈α␈ere␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
0␈εβ(␈↓ 
;␈ε	z␈↓ 
I␈εβ)␈↓ 
g␈ε↔@⊃␈↓ ≤␈εβ0
␈β∂/␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β[␈εα)
␈β∂2␈↓ ↓T␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αJ␈ε	f␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	z␈↓ αs␈εβ)␈↓ β	␈εβan␈α␈d␈↓ βJ␈ε	p␈↓ βg␈εβ.␈αBy␈αth␈α␈e␈αbin␈α␈omial␈αth␈α␈eorem
␈β∂z␈↓ ∧_␈ε∃␈↓ ∧(␈εp␈↓ ¬;␈εe␈↓ ¬F␈εε+1␈↓ εb␈εε2␈↓ εn␈εe␈↓ εy␈εε+1␈↓ πT␈εε2
␈β⊂␈↓ ∧
␈ε	z␈↓ ∧?␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ ¬*␈ε	p␈↓ ¬k␈ε	v␈↓ ¬⎇␈εβ(␈↓ ελ␈ε	z␈↓ ε⊗␈εβ)␈απ+␈↓ εQ␈ε	p␈↓ π∨␈ε	v␈↓ π0␈εβ(␈↓ π<␈ε	z␈↓ πI␈εβ)␈↓ πa␈εβ(␈↓ πl␈ε	p␈↓ λ∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/2
␈β⊂J␈↓ λ
␈εe␈↓ λ_␈εε+2␈↓ 	L␈εe
␈β⊂K␈↓ ¬z␈εα(␈↓ λ=␈εα)
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lus␈αf␈α↓u␈α␈rth␈α␈er␈α
term␈α␈s␈α
co␈α␈ngr␈α␈uen␈α}t␈α
to␈αzero␈↓ εε␈εβmo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ε|␈ε	f␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	z␈↓ π%␈εβ)␈↓ π;␈εβan␈α␈d␈↓ π|␈ε	p␈↓ λI␈εβ.␈α⊂Sinc␈α␈e␈↓ 	;␈ε	p␈↓ 	b␈εβ>␈α2,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β⊂r␈↓ ↓U␈ε∃␈↓ ↓e␈εp␈↓ ββ␈εe␈↓ β∞␈εε+1␈↓ ε	␈εe␈↓ ε∀␈εε+2␈↓ π∃␈εe␈↓ π ␈εε+1␈↓ 
g␈εe␈↓ 
q␈εε+␈α↓2
␈β⊂s␈↓ βv␈εα(␈↓ ε9␈εα)␈↓ λT␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈β⊂v␈↓ ↓H␈ε	z␈↓ α␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	+␈↓ αr␈ε	p␈↓ β4␈ε	v␈↓ βE␈εβ(␈↓ βP␈ε	z␈↓ β↑␈εβ)␈↓ ∧α␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧x␈ε	f␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∪␈ε	z␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬7␈εβan␈α␈d␈↓ ¬x␈ε	p␈↓ εE␈εβ.␈α∩I␈α↓f␈↓ π∧␈ε	p␈↓ πE␈ε	v␈↓ πW␈εβ(␈↓ πb␈ε	z␈↓ πp␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α
0␈↓ λ`␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 	V␈ε	f␈↓ 	f␈εβ(␈↓ 	q␈ε	z␈↓ 	␈␈εβ)␈↓ 
∃␈εβan␈α␈d␈↓ 
V␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β⊃→␈↓ ε;␈εe␈↓ εE␈εε+␈α↓1
␈β⊃~␈↓ εk␈εα(␈↓ λ≠␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αλexist␈αλpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈↓ ∧≡␈ε	a␈↓ ∧.␈εβ(␈↓ ∧9␈ε	z␈↓ ∧G␈εβ),␈↓ ∧a␈ε	b␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧y␈ε	z␈↓ ¬π␈εβ)␈α	su␈α␈ch␈αλtha␈α␈t␈↓ ε*␈ε	p␈↓ εw␈ε	v␈↓ π	␈εβ(␈↓ π∀␈ε	z␈↓ π"␈εβ)␈α∧+␈↓ πV␈ε	p␈↓ πg␈ε	a␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	z␈↓ λ⊂␈εβ)␈↓ λ1␈εβ=␈↓ λ[␈ε	f␈↓ λk␈εβ(␈↓ λv␈ε	z␈↓ 	∧␈εβ)␈↓ 	∂␈ε	b␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	'␈ε	z␈↓ 	5␈εβ).␈αS␈α␈ince␈↓ 
(␈ε	f␈↓ 
8␈εβ(0)␈α	=␈α
1␈α␈,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα612␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα&␈↓ ¬s␈εe␈↓ ¬⎇␈εε+␈α↓1
␈βα*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αimplies␈αth␈α␈at␈↓ βA␈ε	b␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	z␈↓ βg␈εβ)␈αis␈αa␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ ¬b␈ε	p␈↓ ε.␈εβ(by␈α
Ga␈α␈uss's␈αLemm␈α␈a␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓1␈α␈G);␈αhen␈α␈ce␈↓ 
3␈ε	v␈↓ 
D␈εβ(␈↓ 
O␈ε	z␈↓ 
]␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
0
␈βαO␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β[␈εα)
␈βαR␈↓ ↓T␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αJ␈ε	f␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	z␈↓ αs␈εβ)␈↓ β	␈εβan␈α␈d␈↓ βJ␈ε	p␈↓ βg␈εβ,␈αa␈αc␈α␈on␈α␈tra␈α␈diction␈α␈.
␈βαw␈↓ αo␈ε∃␈↓ ¬ ␈εe
␈βα{␈↓ α␈εβ(b)␈αIf␈↓ αa␈ε	z␈↓ βε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	=␈↓ βs␈ε	f␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	z␈↓ ∧≤␈εβ)␈↓ ∧'␈ε	u␈↓ ∧;␈εβ(␈↓ ∧F␈ε	z␈↓ ∧T␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬∂␈ε	p␈↓ ¬+␈ε	v␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	z␈↓ ¬U␈εβ),␈αth␈α␈en
␈ββH␈↓ ¬T␈ε∃␈↓ εp␈εe␈↓ λ∞␈ε∃
␈ββN␈↓ ∧↓␈ε	G␈↓ ∧~␈εβ(␈↓ ∧%␈ε	z␈↓ ∧3␈εβ)␈α
=␈↓ ∧r␈ε	u␈↓ ¬ε␈εβ(␈↓ ¬⊃␈ε	z␈↓ ¬∨␈εβ)/(␈↓ ¬F␈ε	z␈↓ ¬k␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈↓ ε←␈ε	p␈↓ ε{␈ε	v␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈ε	z␈↓ π%␈εβ)␈α↓/␈↓ πA␈ε	f␈↓ πQ␈εβ(␈↓ π\␈ε	z␈↓ πj␈εβ)(␈↓ λ␈ε	z␈↓ λ%␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓;
␈β∧≤␈↓ ∧l␈εe
␈β∧!␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α%␈ε	A␈↓ α}␈ε↔⊃␈↓ β*␈ε	A␈↓ βZ␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧[␈ε	p␈↓ ∧w␈εβ)␈αfor␈αla␈α␈rge␈↓ ε∃␈ε	n␈↓ ε)␈εβ.␈α
Con␈α}v␈α␈erse␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈αi␈α↓f␈ε↔␈αh␈↓ λ!␈ε	A␈↓ λF␈ε↔i␈εβ␈αha␈α␈s␈αthe␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αp␈α␈rop␈α␈erty
␈β∧+␈↓ α:␈εn␈↓ αJ␈εε+␈↓ αd␈ε∃␈↓ β?␈εn␈↓ λ6␈εn
␈β∧D␈↓ ¬≠␈ε∃␈↓ ¬z␈εe
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α⊗␈ε	G␈↓ α/␈εβ(␈↓ α:␈ε	z␈↓ αH␈εβ)␈α
=␈↓ β∞␈ε	u␈↓ β"␈εβ(␈↓ β-␈ε	z␈↓ β;␈εβ)␈α	+␈↓ βy␈ε	v␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε	z␈↓ ∧#␈εβ)/(1␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬∞␈ε	z␈↓ ¬+␈εβ)␈α	+␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ ε¬␈ε	H␈↓ ε ␈εβ(␈↓ ε+␈ε	z␈↓ ε9␈εβ),␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α
some␈α
p␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ 	"␈ε	u␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	z␈↓ 	O␈εβ)␈α
and␈↓ 
*␈ε	v␈↓ 
<␈εβ(␈↓ 
G␈ε	z␈↓ 
U␈εβ),␈α∞a␈α␈nd
␈β∧l␈↓ 
r␈ε∃
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
series␈↓ βP␈ε	H␈↓ βl␈εβ(␈↓ βw␈ε	z␈↓ ∧¬␈εβ),␈α
all␈α
with␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈α
co␈α␈e}cien␈α}ts.␈αThis␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈α
th␈α␈e␈α
ide␈α␈n␈α␈tity␈α
1␈ε↔␈α¬␈␈↓ 
d␈ε	z␈↓ ␈εβ=
␈β¬∪␈↓ β∂␈ε∃␈↓ ¬λ␈εe␈↓ εb␈ε∃␈↓ 	$␈ε∃
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	z␈↓ ↓u␈εβ)␈↓ α␈ε	f␈↓ α∂␈εβ(␈↓ α≠␈ε	z␈↓ α(␈εβ)(␈α↓1␈ε↔␈αλ␈␈↓ β↓␈ε	z␈↓ β∨␈εβ)␈αλ+␈↓ β\␈ε	v␈↓ βm␈εβ(␈↓ βy␈ε	z␈↓ ∧ε␈εβ)␈↓ ∧⊃␈ε	f␈↓ ∧!␈εβ(␈↓ ∧,␈ε	z␈↓ ∧:␈εβ)␈α	+␈↓ ∧w␈ε	p␈↓ ¬∪␈ε	H␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬9␈ε	z␈↓ ¬G␈εβ)␈↓ ¬R␈ε	f␈↓ ¬b␈εβ(␈↓ ¬m␈ε	z␈↓ ¬{␈εβ)(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ εT␈ε	z␈↓ εq␈εβ)␈α↓;␈α
an␈α␈d␈↓ πU␈ε	H␈↓ πq␈εβ(␈↓ π|␈ε	z␈↓ λ	␈εβ)␈↓ λ∃␈ε	f␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε	z␈↓ λ=␈εβ)(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	⊗␈ε	z␈↓ 	4␈εβ)␈αi␈α↓s␈αa␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β¬?␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αterms␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αeq␈α␈uatio␈α␈n␈αare␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α␈.
␈β¬d␈↓ ¬d␈εe␈↓ εk␈εe␈↓ εv␈εε+1␈↓ 	'␈εe␈↓ 	2␈εε+1␈↓ 
e␈εe
␈β¬h␈↓ α␈εβ(c)␈α∂It␈α⊂su␈α␈}ce␈α␈s␈α⊂to␈α∂p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α∂that␈↓ ¬5␈ε	∃␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	p␈↓ ¬o␈εβ)␈ε↔␈α⊂≤␈↓ ε<␈ε	∃␈↓ εO␈εβ(␈↓ εZ␈ε	p␈↓ π≤␈εβ)␈α∂i␈α↓m␈α␈plies␈α∂tha␈α␈t␈↓ λx␈ε	∃␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	⊗␈ε	p␈↓ 	X␈εβ)␈α⊂=␈↓ 
%␈ε	p␈↓ 
6␈ε	∃␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	p␈↓ 
p␈εβ)␈ε↔␈α⊂≤
␈βε␈↓ ↓w␈εe␈↓ αα␈εε+2␈↓ π⊗␈εe␈↓ π ␈εε+␈α↓2␈↓ λJ␈εe␈↓ 
1␈εe␈↓ 
<␈εε+1
␈βε∂␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈εβ(␈↓ ↓f␈ε	p␈↓ α(␈εβ).␈α∂App␈α␈lying␈α(a)␈αan␈α␈d␈α(b),␈α
w␈α␈e␈αkn␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ εf␈ε	∃␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈ε	p␈↓ πF␈εβ)␈ε↔␈α≤␈↓ λ
␈ε	p␈↓ λ≠␈ε	∃␈↓ λ.␈εβ(␈↓ λ9␈ε	p␈↓ λU␈εβ),␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈at␈↓ 
α␈ε	∃␈↓ 
∃␈εβ(␈↓ 
 ␈ε	p␈↓ 
b␈εβ)␈αis␈α
a
␈βε3␈↓ β↔␈εe␈↓ ∧|␈εe␈↓ εR␈εe␈↓ π,␈εf␈↓ 
q␈εe␈↓ 
|␈εε+1
␈βε7␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisor␈αλof␈↓ αW␈ε	p␈↓ αg␈ε	∃␈↓ α{␈εβ(␈↓ βε␈ε	p␈↓ β"␈εβ)␈αλbu␈α␈t␈α	n␈α␈ot␈α	o␈α␈f␈↓ ∧M␈ε	∃␈↓ ∧`␈εβ(␈↓ ∧k␈ε	p␈↓ ¬π␈εβ).␈αHen␈α␈ce␈αλif␈↓ ε"␈ε	∃␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε	p␈↓ ε\␈εβ)␈α
=␈↓ π≠␈ε	p␈↓ π9␈ε	q␈↓ πH␈εβ,␈α	wh␈α␈ere␈↓ λ8␈ε	q␈↓ λL␈εβmo␈α␈d␈↓ 	⊂␈ε	p␈↓ 	*␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α	th␈α␈en␈↓ 
A␈ε	∃␈↓ 
U␈εβ(␈↓ 
`␈ε	p␈↓ !␈εβ)
␈βε[␈↓ αY␈εf␈↓ αf␈εε+1␈↓ 
/␈εe
␈βε←␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈↓ αH␈ε	p␈↓ β␈ε	d␈↓ β≡␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ∧∃␈ε	d␈↓ ∧4␈εβis␈αa␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ ε	␈ε	q␈↓ ε_␈εβ.␈α∞But␈αn␈α␈o␈α␈w␈↓ π7␈ε	X␈↓ λ>␈ε↔⊃␈↓ λj␈ε	X␈↓ 	≥␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
≡␈ε	p␈↓ 
:␈εβ);␈α
he␈α␈nce
␈βεi␈↓ 	α␈εn
␈βεj␈↓ λε␈ε
f␈↓ λ∩␈επ+␈α␈1
␈βεm␈↓ πN␈εn␈↓ π←␈εε+␈↓ πx␈εp
␈βπα␈↓ ↓Y␈εf␈↓ ↓e␈εε+1␈↓ ∧_␈εf␈↓ λo␈εe
␈βπε␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ α␈ε	d␈↓ α'␈εβis␈α
a␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α	of␈↓ ∧π␈ε	p␈↓ ∧%␈ε	q␈↓ ∧4␈εβ,␈α
h␈α␈ence␈↓ ¬"␈ε	d␈↓ ¬>␈εβ=␈↓ ¬h␈ε	q␈↓ ¬w␈εβ.␈α⊗[␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αTh␈α␈e␈α
h␈α}yp␈α␈oth␈α␈esis␈↓ λ↑␈ε	p␈↓ 	β␈εβ>␈α	2␈α
is␈α	nece␈α␈ssary␈α␈;␈αfo␈α␈r
␈βπ.␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈α
let␈↓ β↓␈ε	a␈↓ β'␈εβ=␈α	4,␈↓ βu␈ε	a␈↓ ∧~␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1,␈↓ ¬
␈ε	k␈↓ ¬#␈εβ=␈α
2␈α␈;␈αth␈α␈en␈ε↔␈α	h␈↓ εG␈ε	A␈↓ εl␈ε↔i␈εβ␈α
=␈α	1,␈α
4,␈α
1␈α␈5,␈α
5␈α␈6,␈α
20␈α␈9,␈α
78␈α␈0,␈↓ 	e␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
⊃␈εβ;␈↓ 
$␈ε	∃␈↓ 
8␈εβ(2)␈α	=␈α
2␈α␈,
␈βπ8␈↓ β⊃␈εε1␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ε\␈εn
␈βπU␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈εβ(4)␈α	=␈α
4␈α␈,␈↓ α[␈ε	∃␈↓ αn␈εβ(8)␈α	=␈α
4␈α␈.␈α↓]
␈βπ}␈↓ α␈εβ(d)␈↓ α@␈ε	g␈↓ αP␈εβ(␈↓ α[␈ε	z␈↓ αh␈εβ)␈α
=␈↓ β'␈ε	X␈↓ βR␈εβ+␈αλ(␈↓ ∧ε␈ε	X␈↓ ∧1␈ε↔␈␈↓ ∧Z␈ε	a␈↓ ∧v␈ε	X␈↓ ¬~␈εβ)␈↓ ¬%␈ε	z␈↓ ¬:␈εβ+␈↓ ¬c␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓
␈βλ	␈↓ β>␈εε0␈↓ ∧≥␈εε1␈↓ ∧j␈εε1␈↓ ¬
␈εε0
␈βλ"␈↓ 
p␈εk␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ&␈↓ ¬G␈εβ+(␈↓ ¬s␈ε	X␈↓ εE␈ε↔␈␈↓ εm␈ε	a␈↓ π	␈ε	X␈↓ π[␈ε↔␈␈↓ λ∧␈ε	a␈↓ λ ␈ε	X␈↓ λq␈ε↔␈␈↓ 	~␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	H␈ε↔␈␈↓ 	q␈ε	a␈↓ 
4␈ε	X␈↓ 
W␈εβ)␈↓ 
b␈ε	z␈↓ #␈εβ.
␈βλ0␈↓ ε
␈εk␈↓ ε↔␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε⎇␈εε1␈↓ π!␈εk␈↓ π.␈ε~␈␈εε2␈↓ λ∪␈εε2␈↓ λ7␈εk␈↓ λD␈ε~␈␈εε3␈↓ 
↓␈εk␈↓ 
∞␈ε~␈␈εε1␈↓ 
K␈εε0
␈βλO␈↓ α␈εβ(e)␈αTh␈α␈e␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α␈ation␈α
in␈α(b␈α␈)␈αcan␈α
b␈α␈e␈αgen␈α␈era␈α␈l␈α↓ized␈α
to␈α
the␈α
case␈↓ λ5␈ε	G␈↓ λO␈εβ(␈↓ λZ␈ε	z␈↓ λg␈εβ)␈α
=␈↓ 	&␈ε	g␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	z␈↓ 	O␈εβ)/␈↓ 	k␈ε	f␈↓ 	z␈εβ(␈↓ 
ε␈ε	z␈↓ 
∪␈εβ);␈αth␈α␈en␈α
the
␈βλr␈↓ πX␈ε∃␈↓ 
Z␈εe
␈βλs␈↓ λG␈εα(␈↓ 
d␈εα)
␈βλv␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈ption␈αo␈α␈f␈α
p␈α␈eriod␈αl␈α↓en␈α␈gth␈↓ ∧n␈ε	∃␈↓ ¬∞␈εβimplies␈αtha␈α␈t␈↓ εI␈ε	g␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε	z␈↓ εr␈εβ)(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ πJ␈ε	z␈↓ πh␈εβ)␈ε↔␈α⊃␈εβ␈α0␈↓ λS␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 	I␈ε	f␈↓ 	Y␈εβ(␈↓ 	d␈ε	z␈↓ 	r␈εβ)␈↓ 
λ␈εβan␈α␈d␈↓ 
I␈ε	p␈↓ 
p␈εβ;␈α∞w␈α␈e
␈β	≡␈↓ ↓H␈εβtre␈α␈ated␈α
only␈αth␈α␈e␈αspe␈α␈cial␈αcase␈↓ ∧p␈ε	g␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬␈ε	z␈↓ ¬_␈εβ)␈α
=␈α
1␈αa␈α␈bo␈α␈v␈α}e.␈αBu␈α␈t␈αboth␈α
sides␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αco␈α␈ng␈α␈ruen␈α␈ce␈αca␈α␈n␈αbe
␈β	A␈↓ πβ␈ε∃␈↓ 	t␈εe
␈β	C␈↓ πa␈εα(␈↓ 	}␈εα)
␈β	F␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplied␈αb␈α␈y␈αHen␈α␈sel'␈α↓s␈↓ ∧⊗␈ε	b␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	z␈↓ ∧<␈εβ),␈αan␈α␈d␈αw␈α␈e␈αob␈α␈tain␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ εu␈ε	z␈↓ π≤␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈↓ πm␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ λc␈ε	f␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	z␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	"␈εβan␈α␈d␈↓ 	c␈ε	p␈↓ 

␈εβ.
␈β	n␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∞A␈αmo␈α␈re␈α\elem␈α␈en␈α␈ta␈α␈ry"␈αp␈α␈roo␈α␈f␈α
o␈α␈f␈αthe␈αres␈α␈ult␈αi␈α↓n␈α(c)␈αcan␈αbe␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αwith␈α␈out␈αu␈α␈sing
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈rating␈αfu␈α␈nction␈α␈s,␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αmeth␈α␈od␈α␈s␈αan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈αto␈αth␈α␈ose␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈αans␈α␈we␈α␈r␈αto␈αex␈α}ercise␈α8:␈αIf
␈β
:␈↓ β9␈εe
␈β
>␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α"␈εβ=␈↓ αP␈ε	A␈↓ α}␈εβ+␈↓ β(␈ε	p␈↓ βC␈ε	B␈↓ βg␈εβ,␈α∞fo␈α␈r␈↓ ∧3␈ε	n␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ¬↓␈ε	r␈↓ ¬∂␈εβ,␈↓ ¬≡␈ε	r␈↓ ¬5␈εβ+␈α	1,␈↓ ¬␈␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε+␈εβ,␈↓ ε:␈ε	r␈↓ εQ␈εβ+␈↓ ε{␈ε	k␈↓ π∀␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
an␈α␈d␈αsome␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ 	o␈ε	B␈↓ 
∪␈εβ,␈α
the␈α␈n␈α
th␈α␈is
␈β
H␈↓ ↓]␈ε∃␈↓ ↓m␈εε+␈↓ αε␈εn␈↓ αe␈εn␈↓ βW␈εn␈↓ 
α␈εn
␈β
e␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈α
relatio␈α␈n␈α
ho␈α␈lds␈α
for␈ε⊂␈α
all␈↓ ∧I␈ε	n␈↓ ∧g␈ε↔∃␈↓ ¬⊃␈ε	r␈↓ ¬*␈εβif␈α
w␈α␈e␈α
de|␈α␈ne␈↓ εX␈ε	B␈↓ π≡␈εβ,␈↓ π,␈ε	B␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λX␈εβby␈α	the␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
re␈α␈curre␈α␈nce
␈β
p␈↓ εk␈εr␈↓ εw␈εε+␈↓ π⊂␈εk␈↓ π@␈εr␈↓ πL␈εε+␈↓ πe␈εk␈↓ πs␈εε+1
␈β
␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tion.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈lti␈α↓n␈α␈g␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈α
of␈↓ ε∪␈ε	B␈↓ ε)␈εβ's␈αi␈α↓s␈α
some␈αline␈α␈ar␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α
of␈αsh␈α␈i␈α↓fts␈αo␈α␈f␈αthe
␈β0␈↓ πT␈εe
␈β4␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α
of␈↓ α⎇␈ε	A␈↓ β∪␈εβ's,␈α∂w␈α␈e␈α
wi␈α↓ll␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬π␈ε	B␈↓ ¬a␈ε↔⊃␈↓ ε⊂␈ε	B␈↓ εB␈εβ(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ πC␈ε	p␈↓ π←␈εβ)␈α∞fo␈α␈r␈α∞all␈α∞larg␈α␈e␈α∞en␈α␈ou␈α␈gh␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α∞o␈α␈f
␈β?␈↓ ¬~␈ε∃␈↓ ¬*␈εε+␈↓ ¬D␈εn␈↓ ε$␈εn
␈βX␈↓ αs␈εe␈↓ α}␈εε+1␈↓ π<␈εe
␈β\␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈εβ.␈α⊂No␈α␈w␈↓ αD␈ε	∃␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε	p␈↓ β$␈εβ)␈α
m␈α}ust␈α
b␈α␈e␈α
so␈α␈me␈α
m␈α}ultiple␈α
o␈α␈f␈↓ ε?␈ε	∃␈↓ ε←␈εβ=␈↓ π␈ε	∃␈↓ π ␈εβ(␈↓ π+␈ε	p␈↓ πF␈εβ)␈α↓;␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α
all␈α
larg␈α␈e␈α
en␈α␈ou␈α␈gh␈↓ 
∃␈ε	n␈↓ 
6␈εβw␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β␈↓ β;␈εe␈↓ 	@␈εe␈↓ 
␈εε2␈↓ ↔␈εe
␈β∧␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α,␈εβ=␈↓ αV␈ε	A␈↓ βα␈εβ+␈↓ β+␈ε	p␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	B␈↓ β|␈εβ+␈↓ ∧$␈ε	B␈↓ ∧w␈εβ+␈↓ ¬∨␈ε	B␈↓ ε␈εβ+␈↓ ε(␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ εU␈εβ+␈↓ ε⎇␈ε	B␈↓ λ
␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ λL␈ε	A␈↓ λx␈εβ+␈↓ 	 ␈ε	j␈↓ 	/␈ε	p␈↓ 	K␈ε	B␈↓ 	x␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
y␈ε	p␈↓ !␈εβ)
␈β∞␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε+␈↓ αε␈εj␈↓ α∩␈ε∃␈↓ αk␈εn␈↓ βe␈εn␈↓ ∧7␈εn␈↓ ∧H␈εε+␈↓ ∧a␈ε∃␈↓ ¬3␈εn␈↓ ¬C␈εε+2␈↓ ¬i␈ε∃␈↓ λa␈εn␈↓ 	↑␈εn
␈β∂␈↓ π⊃␈εn␈↓ π!␈εε+(␈↓ πC␈εj␈↓ πO␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ π⎇␈ε∃
␈β'␈↓ 	;␈εe␈↓ 	E␈εε+1␈↓ 
k␈εe
␈β+␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓|␈ε	j␈↓ α∃␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈↓ β≡␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βJ␈εβ.␈αNo␈↓ ∧∃␈ε	k␈↓ ∧1␈εβco␈α␈nsec␈α␈utiv␈α␈e␈↓ ¬b␈ε	B␈↓ ¬x␈εβ's␈αa␈α␈re␈αm␈α}ultiples␈αof␈↓ λλ␈ε	p␈↓ λ→␈εβ;␈αhen␈α␈ce␈↓ 	␈ε	∃␈↓ 	≡␈εβ(␈↓ 	*␈ε	p␈↓ 	k␈εβ)␈α
=␈↓ 
+␈ε	p␈↓ 
<␈ε	∃␈↓ 
O␈εβ(␈↓ 
[␈ε	p␈↓ 
v␈εβ)␈ε↔␈α
≤
␈βO␈↓ ↓w␈εe␈↓ αα␈εε+2␈↓ 	a␈εe␈↓ 	l␈εε+2␈↓ ↔␈εe
␈βS␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈εβ(␈↓ ↓f␈ε	p␈↓ α(␈εβ)␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αi␈α↓m␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈tely␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬H␈ε	e␈↓ ¬a␈ε↔∃␈εβ␈α2.␈α⊂W␈α↓e␈αstil␈α↓l␈α
m␈α}ust␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈↓ 	2␈ε	∃␈↓ 	E␈εβ(␈↓ 	P␈ε	p␈↓ 
∩␈εβ)␈ε↔␈α≤␈↓ 
V␈ε	p␈↓ 
g␈ε	∃␈↓ 
{␈εβ(␈↓ ε␈ε	p␈↓ !␈εβ)
␈βz␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α≡␈ε	p␈↓ α9␈εβis␈αod␈α␈d␈α
an␈α␈d␈↓ βZ␈ε	e␈↓ βp␈εβ=␈α
1␈α␈;␈αhere␈α
w␈α␈e␈α
let␈↓ ¬g␈ε	B␈↓ ε=␈εβ=␈↓ εg␈ε	B␈↓ π⊃␈εβ+␈↓ π9␈ε	p␈↓ πJ␈ε	C␈↓ πq␈εβ,␈α
and␈α	obse␈α␈rv␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈↓ 
β␈ε	C␈↓ 
[␈ε↔⊃␈↓ ε␈ε	C
␈β
␈↓ λ.␈ε↓␈␈↓ 	⊂␈ε↓␈␈↓ 	,␈ε↓↓␈↓ 	`␈ε↓↓
␈β
¬␈↓ ¬z␈ε∃␈↓ ε
␈εε+␈↓ ε#␈εn␈↓ ε{␈εn␈↓ π`␈εn␈↓ 
→␈εn␈↓ 
)␈εε+␈↓ 
B␈ε∃␈↓ ≤␈εn
␈β
~␈↓ 	≡␈εp
␈β
≡␈↓ λ!␈εε2␈↓ ␈εε3
␈β
"␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ)␈αwhen␈↓ βI␈ε	n␈↓ βi␈εβi␈α↓s␈αlarg␈α␈e␈αeno␈α␈ug␈α␈h.␈α∞Then␈↓ ε5␈ε	A␈↓ π
␈ε↔⊃␈↓ π9␈ε	A␈↓ πg␈εβ+␈↓ λ⊂␈ε	p␈↓ λ<␈ε	B␈↓ λg␈εβ+␈↓ 	:␈ε	C␈↓ 	y␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	p␈↓ _␈εβ),
␈β
-␈↓ εK␈εn␈↓ ε[␈εε+␈↓ εt␈εp␈↓ πO␈εn␈↓ λO␈εn␈↓ 	P␈εn
␈β
2␈↓ 	≡␈εε2
␈β
J␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αis␈αrea␈α␈dily␈αco␈α␈mplete␈α␈d.
␈β
r␈↓ α␈εβFor␈αthe␈αh␈α␈istory␈αo␈α␈f␈α
t␈α␈his␈αprob␈α␈lem,␈α
se␈α␈e␈αMorg␈α␈an␈αWard␈α␈,␈ε⊂␈α
Tra␈α␈ns.␈α∂Am␈α␈er.␈α∂Ma␈α␈th.␈α∞Soc␈α␈.␈ε∪␈α∂35
␈β∞~␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈933␈α␈),␈α6␈α␈00↑␈α␈628␈α␈;␈αse␈α␈e␈αalso␈αD.␈αW.␈αRo␈α␈binso␈α␈n,␈ε⊂␈αAMM␈ε∪␈α7␈α␈3␈εβ␈α(19␈α␈66),␈α61␈α␈9↑6␈α␈21.
␈β∞R␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβThe␈αp␈α␈eriod␈α
l␈α↓e␈α␈ngth␈α
mod␈α
2␈αcan␈α
be␈αa␈α␈t␈αm␈α␈ost␈α4;␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αmax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈αp␈α␈eriod␈αlen␈α␈gth␈αm␈α␈od
␈β∞u␈↓ ↓X␈εe␈↓ ↓c␈εε+1␈↓ πα␈εe
␈β∞y␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α⊃␈εβis␈α	a␈α␈t␈αλmost␈αλt␈α␈wice␈αλthe␈αλm␈α␈ax␈α␈i␈α↓m␈α␈u␈α␈m␈αλleng␈α␈th␈αλmo␈α␈d␈↓ εq␈εβ2␈↓ π␈εβ,␈α
b␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλcon␈α␈sidera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αλof␈αλth␈α␈e␈αλprev␈α␈iou␈α␈s
␈β∂≥␈↓ λ!␈εe␈↓ λ+␈εε+␈α↓1
␈β∂!␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise.␈α∃So␈α∞th␈α␈e␈α∞max␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α∞con␈α␈ceiv␈α␈able␈α∞pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈α∞leng␈α␈th␈α∞i␈α↓s␈↓ λ⊂␈εβ2␈↓ λQ␈εβ;␈α⊃th␈α␈is␈α∂is␈α∞ach␈α␈i␈α↓e␈α␈vab␈α␈le,␈α⊂fo␈α␈r
␈β∂H␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈αin␈αthe␈α
tri␈α↓v␈α␈ial␈αcase␈↓ ∧←␈ε	a␈↓ ∧x␈εβ=␈α
0,␈↓ ¬H␈ε	b␈↓ ¬↑␈εβ=␈↓ ε	␈ε	c␈↓ ε∨␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β∂|␈↓ ¬#␈ε~0
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪13,␈↓ α␈ε∪14␈α␈.␈↓ αB␈εβClea␈α␈rly␈↓ β6␈ε	Z␈↓ ∧
␈εβ=␈↓ ∧5␈ε	Z␈↓ ∧W␈εβ,␈α	so␈↓ ¬⊂␈ε	∃␈↓ ¬2␈εβi␈α↓s␈αλcertain␈α␈l␈α↓y␈αλa␈α	d␈α␈ivisor␈α	o␈α␈f␈↓ λβ␈ε	∃␈↓ λ↔␈εβ.␈α
Let␈α	the␈αλleast␈α	co␈α␈mmo␈α␈n␈α	m␈α␈u␈α␈l-
␈β⊂
␈↓ βG␈εn␈↓ βX␈εε+␈↓ βq␈ε∃␈↓ ∧F␈εn
␈β⊂#␈↓ αI␈ε~0␈↓ β|␈ε~0␈↓ ¬K␈ε~0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβtip␈α␈l␈α↓e␈αλof␈↓ α6␈ε	∃␈↓ αX␈εβan␈α␈d␈↓ β↔␈ε	∃␈↓ β>␈εβbe␈↓ βh␈ε	∃␈↓ ∧λ␈εβ,␈α
an␈α␈d␈αλde|␈α␈ne␈↓ ¬7␈ε	∃␈↓ ¬`␈εβsimilarly.␈↓ εq␈ε	X␈↓ π≥␈εβ+␈↓ πC␈ε	Y␈↓ πp␈ε↔⊃␈↓ λ~␈ε	Z␈↓ λE␈ε↔⊃␈↓ λp␈ε	Z␈↓ 	O␈ε↔⊃␈↓ 	z␈ε	X␈↓ 
&␈εβ+␈↓ 
K␈ε	Y␈↓ #␈εβ,
␈β⊂0␈↓ 	;␈ε≠0␈↓ _␈ε≠0
␈β⊂2␈↓ β)␈εε1␈↓ πλ␈εn␈↓ πV␈εn␈↓ λ,␈εn␈↓ 
⊃␈εn
␈β⊂3␈↓ 	↓␈εn␈↓ 	∩␈εε+␈↓ 	+␈ε∃␈↓ 
←␈εn␈↓ 
o␈εε+␈↓ λ␈ε∃
␈β⊂6␈↓ β|␈εε1␈↓ ¬K␈εε2
␈β⊂>␈↓ 	;␈επ1␈↓ _␈επ1
␈β⊂K␈↓ αβ␈ε~0␈↓ ¬X␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓o␈ε	∃␈↓ α→␈εβis␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
o␈α␈f␈↓ βz␈ε	∃␈↓ ∧→␈εβ.␈αSimilarly,␈↓ ¬D␈ε	∃␈↓ ¬n␈εβis␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
o␈α␈f␈↓ πO␈ε	∃␈↓ πn␈εβ.␈αThis␈α
y␈α␈i␈α↓eld␈α␈s␈α
the␈α	de␈α␈si␈α↓re␈α␈d␈α
res␈α␈ult.
␈β⊂Z␈↓ ∧
␈εε2␈↓ πb␈εε1
␈β⊂↑␈↓ αβ␈εε1␈↓ ¬X␈εε2
␈β⊂r␈↓ 	Y␈ε~0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈α∞result␈α∞is␈α∞\be␈α␈st␈α∂p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈"␈α∞i␈α↓n␈α
the␈α∞sen␈α␈se␈α∞th␈α␈at␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈es␈α∞for␈α∞which␈↓ 	F␈ε	∃␈↓ 	n␈εβ=␈↓ 
≡␈ε	∃␈↓ 
K␈εβca␈α␈n␈α∞be
␈β⊃↓␈↓ 
0␈εε0
␈β⊃~␈↓ εW␈ε~0
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ructe␈α␈d,␈αas␈αw␈α␈ell␈αa␈α␈s␈αsequ␈α␈en␈α␈ces␈αfor␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈↓ εC␈ε	∃␈↓ εf␈εβ=␈↓ π⊃␈ε	∃␈↓ π$␈εβ.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα613
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβAlgorith␈α␈m␈αM␈αg␈α␈enera␈α␈tes␈α(␈↓ ∧q␈ε	X␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬N␈ε	Y␈↓ ¬q␈εβ)␈αin␈α
step␈αM␈α␈1␈αan␈α␈d␈αo␈α␈utp␈α␈uts␈↓ λi␈ε	Z␈↓ 	∀␈εβ=␈↓ 	?␈ε	X␈↓ 
J␈εβi␈α↓n␈α
step
␈βα5␈↓ ¬λ␈εn␈↓ ¬_␈εε+␈↓ ¬2␈εk␈↓ ¬a␈εn␈↓ λz␈εn␈↓ 	V␈εn␈↓ 	f␈εε+␈↓ 	␈␈εk␈↓ 
␈ε~␈␈↓ 
&␈εq
␈βα;␈↓ 
0␈ε
n
␈βαN␈↓ 	0␈ε~0␈↓ 
E␈ε~0
␈βαR␈↓ ↓H␈εβM␈α␈3,␈α∂for␈α∞all␈α∞su}␈α␈cien␈α␈tly␈α∞larg␈α␈e␈↓ ∧u␈ε	n␈↓ ¬	␈εβ.␈α∃Th␈α}us␈ε↔␈α∞h␈↓ ε	␈ε	Z␈↓ ε+␈ε↔i␈εβ␈α∞ha␈α␈s␈α∞a␈α∞perio␈α␈d␈α∞of␈α∞leng␈α␈th␈↓ 	≥␈ε	∃␈↓ 	7␈εβ,␈α∂wh␈α␈ere␈↓ 
2␈ε	∃␈↓ 
Z␈εβis␈α∞the
␈βα\␈↓ ε≠␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈st␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬⊃␈ε	X␈↓ ε≠␈εβ=␈↓ εF␈ε	X␈↓ λ+␈εβfor␈αa␈α␈ll␈αla␈α␈rge␈↓ 	↑␈ε	n␈↓ 	r␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ 
]␈ε	∃␈↓ 
{␈εβis␈αa
␈ββα␈↓ π⊗␈ε≠0
␈ββ∧␈↓ ¬(␈εn␈↓ ¬8␈εε+␈↓ ¬R␈εk␈↓ ¬←␈ε~␈␈↓ ¬x␈εq
␈ββ¬␈↓ ε]␈εn␈↓ εm␈εε+␈↓ πε␈ε∃␈↓ π≤␈εε+␈↓ π5␈εk␈↓ πB␈ε~␈␈↓ π[␈εq
␈ββ
␈↓ λ≠␈ε≠0
␈ββ␈↓ εα␈ε
n
␈ββ⊂␈↓ πf␈ε
n␈↓ πu␈επ+␈↓ λ␈ε
∃
␈ββ!␈↓ εα␈ε~0
␈ββ%␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiple␈αof␈↓ αs␈ε	∃␈↓ β≡␈εβa␈α␈nd␈↓ β←␈ε	∃␈↓ β}␈εβ,␈α
it␈αfollo␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ¬n␈ε	∃␈↓ ε∀␈εβis␈αa␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ πh␈ε	∃␈↓ π|␈εβ.␈α∞(Th␈α␈ese␈αob␈α␈serv␈α␈ation␈α␈s␈αare␈αd␈α␈ue
␈ββ0␈↓ β¬␈εε1␈↓ βr␈εε2
␈ββM␈↓ ↓H␈εβto␈α
Al␈α↓a␈α␈n␈αG.␈αWaterma␈α␈n.)
␈ββr␈↓ ¬{␈ε~0
␈ββv␈↓ α␈εβWe␈α
also␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ βV␈ε	n␈↓ βp␈εβ+␈↓ ∧↔␈ε	k␈↓ ∧.␈ε↔␈␈↓ ∧U␈ε	q␈↓ ∧{␈ε↔⊃␈↓ ¬%␈ε	n␈↓ ¬@␈εβ+␈↓ ¬g␈ε	∃␈↓ επ␈εβ+␈↓ ε/␈ε	k␈↓ εE␈ε↔␈␈↓ εm␈ε	q␈↓ πA␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λB␈ε	∃␈↓ λa␈εβ)␈αfo␈α␈r␈αa␈α␈ll␈αlarg␈α␈e␈↓ 
'␈ε	n␈↓ 
;␈εβ,␈αby␈α	the
␈ββ}␈↓ π2␈ε≠0
␈β∧↓␈↓ ∧a␈εn␈↓ λU␈εε1
␈β∧α␈↓ εy␈εn␈↓ π	␈εε+␈↓ π"␈ε∃
␈β∧≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ctn␈α␈ess␈αof␈αth␈α␈e␈↓ β\␈ε	X␈↓ βx␈εβ's.␈α
Th␈α␈e␈αbou␈α␈nd␈αo␈α␈n␈ε↔␈αh␈↓ ελ␈ε	q␈↓ ε%␈ε↔i␈εβ␈αi␈α↓m␈α␈plies␈αthat␈↓ πu␈ε	q␈↓ λJ␈εβ=␈↓ λu␈ε	q␈↓ 	→␈εβ+␈↓ 	B␈ε	c␈↓ 	[␈εβfo␈α␈r␈αa␈α␈l␈α↓l␈αl␈α↓a␈α␈rge␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∧&␈↓ λ:␈ε≠0
␈β∧(␈↓ ε∀␈εn␈↓ 	↓␈εn
␈β∧)␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ⊃␈εε+␈↓ λ+␈ε∃
␈β∧A␈↓ α⎇␈ε~0
␈β∧B␈↓ ¬\␈εε1
␈β∧E␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	c␈↓ α>␈ε↔⊃␈↓ αi␈ε	∃␈↓ β␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ∧∞␈ε	∃␈↓ ∧-␈εβ)␈αand␈ε↔␈α
j␈↓ ¬∞␈ε	c␈↓ ¬≠␈ε↔j␈εβ␈α	<␈↓ ¬l␈ε	∃␈↓ ε␈εβ.␈αBut␈↓ εa␈ε	c␈↓ εy␈εβm␈α␈u␈α␈st␈αb␈α␈e␈α0␈αsinc␈α␈e␈ε↔␈αh␈↓ λq␈ε	q␈↓ 	
␈ε↔i␈εβ␈αi␈α↓s␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed.␈αH␈α↓e␈α␈nce
␈β∧P␈↓ ∧ ␈εε1␈↓ ¬␈␈εε1␈↓ λ⎇␈εn
␈β∧S␈↓ ¬\␈∧∧S¬\α
␈β∧U␈↓ ¬\␈εε2
␈β∧i␈↓ ↓[␈ε~0␈↓ 	_␈ε~0
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓k␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ β1␈ε	∃␈↓ βP␈εβ),␈αa␈α␈nd␈↓ ∧/␈ε	q␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ ¬.␈ε	q␈↓ ¬U␈εβfo␈α␈r␈αall␈αlarg␈α␈e␈↓ ππ␈ε	n␈↓ π≠␈εβ;␈αit␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈α
tha␈α␈t␈↓ 	¬␈ε	∃␈↓ 	)␈εβis␈αa␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ 
␈ε	∃
␈β∧u␈↓ ∧t␈ε≠0
␈β∧w␈↓ βC␈εε1␈↓ ¬:␈εn␈↓  ␈εε2
␈β∧x␈↓ ∧;␈εn␈↓ ∧K␈εε+␈↓ ∧d␈ε∃
␈β¬⊂␈↓ αx␈ε~0
␈β¬∀␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	∃␈↓ α'␈εβ,␈αso␈↓ αe␈ε	∃␈↓ βλ␈εβ=␈↓ β2␈ε	∃␈↓ βE␈εβ.
␈β¬∨␈↓ α≠␈εε1
␈β¬>␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αTh␈α␈e␈α	an␈α␈sw␈α␈er␈α	to␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α	3.2.1.2↑␈α␈4␈α	implies␈α	th␈α␈at␈α	when␈ε↔␈αλh␈↓ λR␈ε	Y␈↓ λv␈ε↔i␈εβ␈α	i␈α↓s␈α	a␈αλl␈α↓in␈α␈ear␈α	co␈α␈ngru␈α␈en␈α␈-
␈β¬H␈↓ λf␈εn
␈β¬a␈↓ π	␈εe
␈β¬e␈↓ ↓H␈εβtia␈α␈l␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈α
of␈αm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈α
period␈α	mod␈α␈ulo␈↓ ε'␈ε	m␈↓ εN␈εβ=␈↓ εx␈εβ2␈↓ π∀␈εβ,␈αth␈α␈e␈α
perio␈α␈d␈α
l␈α↓e␈α␈ngth␈↓ 	*␈ε	∃␈↓ 	T␈εβwil␈α↓l␈α
be␈α
at␈α
mos␈α␈t
␈β¬p␈↓ 	=␈εε2
␈βε	␈↓ ↓X␈εe␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε2
␈βε
␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α∀␈εβwhe␈α␈n␈↓ αk␈ε	k␈↓ βε␈εβi␈α↓s␈αa␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈α2.
␈βεF␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈αare␈αse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αme␈α␈tho␈α␈ds␈αof␈αp␈α␈roof.
␈βεk␈↓ λS␈εk
␈βεo␈↓ α␈εβ(1)␈α∂Using␈α∂th␈α␈e␈α∂th␈α␈eory␈α∞of␈α∂|n␈α␈i␈α↓t␈α␈e␈α∂|eld␈α␈s.␈α_In␈α∂th␈α␈e␈α∂|␈α␈el␈α↓d␈α∞with␈↓ λB␈εβ2␈↓ λo␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts␈α∂let␈↓ 
/␈ε	_␈↓ 
N␈εβsatisfy
␈βπ∪␈↓ ↓W␈εk␈↓ αD␈εk␈↓ αR␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬≤␈εk␈↓ ¬)␈ε~␈␈εε1
␈βπ↔␈↓ ↓H␈ε	_␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α_␈ε	a␈↓ α5␈ε	_␈↓ α{␈εβ+␈↓ β∨␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βJ␈εβ+␈↓ βn␈ε	a␈↓ ∧␈εβ.␈α
Let␈↓ ∧X␈ε	f␈↓ ∧h␈εβ(␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬␈ε	_␈↓ ¬R␈εβ+␈↓ ¬w␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε!␈εβ+␈↓ εE␈ε	b␈↓ ε←␈εβ)␈α	=␈↓ π≡␈ε	b␈↓ π7␈εβ,␈α	wh␈α␈ere␈αλea␈α␈ch␈↓ λo␈ε	b␈↓ 	∂␈εβis␈αλeithe␈α␈r␈αλzero␈αλo␈α␈r␈αλon␈α␈e;
␈βπ"␈↓ α(␈εε1␈↓ β}␈εk␈↓ ∧␈␈εε1␈↓ εQ␈εk␈↓ π*␈εk␈↓ λ{␈εj
␈βπ<␈↓ ¬_␈ε∃X
␈βπ?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
is␈α	a␈α
line␈α␈ar␈α	f␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈αIf␈α	w␈α␈ord␈↓ ¬6␈εβin␈α	the␈α	ge␈α␈nera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	i␈α↓s␈α	(␈↓ λu␈ε	b␈↓ 	∞␈ε	b␈↓ 	,␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	X␈ε	b␈↓ 	q␈εβ)␈↓ 
∪␈εβb␈α␈efore␈α	(10␈α␈)
␈βπI␈↓ 	↓␈εε1␈↓ 	~␈εε2␈↓ 	d␈εk␈↓ 	⎇␈εε2
␈βπb␈↓ ∧∧␈εk␈↓ ∧⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εε0␈↓ ε6␈εn␈↓ 	D␈εn␈↓ 	T␈εε+1
␈βπc␈↓ πx␈ε∃X
␈βπf␈↓ ↓H␈εβis␈αex␈α}ecu␈α␈ted␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
if␈↓ β[␈ε	b␈↓ βt␈ε	_␈↓ ∧>␈εβ+␈↓ ∧f␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬∀␈εβ+␈↓ ¬=␈ε	b␈↓ ¬V␈ε	_␈↓ ¬|␈εβ=␈↓ ε&␈ε	_␈↓ εF␈εβ,␈αthen␈α
w␈α␈ord␈↓ λ_␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ts␈↓ 	4␈ε	_␈↓ 
¬␈εβa␈α␈fter␈α(10␈α␈)␈αis
␈βπq␈↓ βg␈εε1␈↓ ¬I␈εk
␈βλ
␈↓ ¬L␈εn␈↓ ε&␈εn␈↓ ε7␈εε+1␈↓ π'␈εn␈↓ π7␈εε+2␈↓ 	)␈εn␈↓ 	9␈εε+␈↓ 	R␈εk␈↓ 
I␈εn␈↓ 
i␈εk
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ecu␈α␈ted␈α␈.␈αHen␈α␈ce␈αthe␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈αis␈↓ ¬!␈ε	f␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬<␈ε	_␈↓ ¬\␈εβ),␈↓ ¬|␈ε	f␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε⊗␈ε	_␈↓ ε\␈εβ),␈↓ ε|␈ε	f␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	_␈↓ π]␈εβ),␈↓ π|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ)␈εβ;␈αan␈α␈d␈↓ λ}␈ε	f␈↓ 	∞␈εβ(␈↓ 	→␈ε	_␈↓ 	←␈εβ)␈α
=␈↓ 
∨␈ε	f␈↓ 
.␈εβ(␈↓ 
:␈ε	_␈↓ 
Z␈ε	_␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βλ1␈↓ α∞␈εn␈↓ α∨␈εε+␈↓ α8␈εk␈↓ αE␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧∨␈εn␈↓ ¬5␈εn␈↓ ¬E␈εε+␈↓ ¬↑␈εk␈↓ ¬k␈ε~␈␈εε1␈↓ πk␈εn
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	a␈↓ ↓␈␈ε	_␈↓ αr␈εβ+␈↓ β≠␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βI␈εβ+␈↓ βr␈ε	a␈↓ ∧∂␈ε	_␈↓ ∧/␈εβ)␈α	=␈↓ ∧n␈ε	a␈↓ ¬
␈ε	f␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε	_␈↓ ε⊃␈εβ)␈αλ+␈↓ εL␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε{␈εβ+␈↓ π#␈ε	a␈↓ π@␈ε	f␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	_␈↓ π{␈εβ).
␈βλ@␈↓ ↓r␈εε1␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧⎇␈εε1␈↓ π3␈εk
␈βλ←␈↓ α␈εβ(2)␈απUsi␈α↓n␈α␈g␈απbru␈α␈te␈αλfo␈α␈rce,␈αλor␈αλe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ta␈α␈ry␈απinge␈α␈n␈α␈u␈α␈i␈α↓ty␈α␈.␈α
W␈α↓e␈απare␈απgiv␈α}en␈απa␈απsequ␈α␈enc␈α␈e␈↓ 
ε␈ε	X␈↓ 
9␈εβ,␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
h␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈,
␈βλi␈↓ 
≥␈εn␈↓ 
-␈εj
␈β	ε␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	j␈↓ α$␈ε↔∀␈↓ αO␈ε	k␈↓ α←␈εβ,␈αs␈α␈atisfying
␈β	[␈↓ ↓s␈ε	X␈↓ αg␈ε↔⊃␈↓ β⊃␈ε	X␈↓ ∧β␈εβ+␈↓ ∧+␈ε	a␈↓ ∧G␈ε	X␈↓ ∧{␈εβ,␈↓ ¬R1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε⊗␈ε	j␈↓ ε.␈εβ<␈↓ εY␈ε	k␈↓ εi␈εβ;␈↓ π@␈ε	X␈↓ λ5␈ε↔⊃␈↓ λ←␈ε	a␈↓ λ|␈ε	X␈↓ 	Z␈εβ(mod␈α␈ulo␈α2).
␈β	e␈↓ ∧;␈εj␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧n␈εε1␈↓ λo␈εk␈↓ 	∪␈εn␈↓ 	#␈εε1
␈β	f␈↓ α
␈εε(␈↓ α∪␈εn␈↓ α#␈εε+1)␈↓ αQ␈εj␈↓ β(␈εn␈↓ β9␈εε(␈↓ βA␈εj␈↓ βM␈εε+1)␈↓ πW␈εε(␈↓ π`␈εn␈↓ πp␈εε+1)␈↓ λ≡␈εk
␈β
/␈↓ ↓H␈εβWe␈α	m␈α␈ust␈α	sho␈α␈w␈α	that␈α	this␈α
imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈↓ ¬→␈ε	X␈↓ ¬W␈ε↔⊃␈↓ εα␈ε	a␈↓ ε≡␈ε	X␈↓ π∞␈εβ+␈↓ π5␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πb␈εβ+␈↓ λ	␈ε	a␈↓ λ%␈ε	X␈↓ 	⊃␈εβ,␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	W␈ε	n␈↓ 	t␈ε↔∃␈↓ 
∨␈ε	k␈↓ 
/␈εβ.␈αInd␈α␈eed␈α␈,
␈β
:␈↓ ¬0␈εn␈↓ ¬A␈εk␈↓ ε⊃␈εε1␈↓ λ_␈εk
␈β
;␈↓ ε5␈εε(␈↓ ε=␈εn␈↓ εM␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ ε|␈εk␈↓ λ=␈εε(␈↓ λE␈εn␈↓ λU␈ε~␈␈↓ λn␈εk␈↓ λ|␈εε)␈↓ 	∧␈εk
␈β
W␈↓ ↓H␈εβit␈αimplies␈↓ α\␈ε	X␈↓ β~␈ε↔⊃␈↓ βG␈ε	a␈↓ βc␈ε	X␈↓ ∧U␈εβ+␈↓ ∧}␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬-␈εβ+␈↓ ¬W␈ε	a␈↓ ¬t␈ε	X␈↓ εj␈εβwhen␈α1␈ε↔␈α∀␈↓ λ
␈ε	j␈↓ λ$␈ε↔∀␈↓ λQ␈ε	k␈↓ λl␈ε↔∀␈↓ 	_␈ε	n␈↓ 	,␈εβ.␈α∂Th␈α␈i␈α↓s␈αis␈αclear␈αfo␈α␈r
␈β
a␈↓ αs␈εn␈↓ ββ␈εj␈↓ βV␈εε1␈↓ ¬f␈εk
␈β
b␈↓ βz␈εε(␈↓ ∧α␈εn␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ ∧A␈εj␈↓ ε␈εε(␈↓ ε∪␈εn␈↓ ε#␈ε~␈␈↓ ε=␈εk␈↓ εJ␈εε)␈↓ εR␈εj
␈β
}␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓a␈εβ=␈α1,␈αsin␈α␈ce␈↓ β¬␈ε	X␈↓ βC␈ε↔⊃␈↓ βo␈ε	a␈↓ ∧␈ε	X␈↓ ∧}␈εβ+␈↓ ¬'␈ε	X␈↓ ε≤␈ε↔⊃␈↓ εH␈ε	a␈↓ εd␈ε	X␈↓ πW␈εβ+␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ≤␈ε	X␈↓ 	∞␈εβ+␈↓ 	8␈ε	X␈↓ 
"␈εβ,␈α
e␈α␈tc.␈α∞Fo␈α␈r
␈β	␈↓ β≤␈εn␈↓ β,␈εε1␈↓ β␈␈εε1␈↓ εW␈εε1␈↓ λ∂␈εε2
␈β
␈↓ ∧"␈εε(␈↓ ∧+␈εn␈↓ ∧;␈ε~␈␈εε1)1␈↓ ¬>␈εε(␈↓ ¬G␈εn␈↓ ¬W␈ε~␈␈εε1)2␈↓ ε{␈εε(␈↓ π∧␈εn␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1)1␈↓ λ3␈εε(␈↓ λ;␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε2)2␈↓ 	O␈εε(␈↓ 	W␈εn␈↓ 	g␈ε~␈␈εε␈α↓2␈α␈)␈α↓3
␈β&␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓`␈εβ>␈α	1,␈αwe␈α
hav␈α}e␈αby␈α
ind␈α␈uction
␈βs␈↓ β>␈ε	X␈↓ βz␈ε↔⊃␈↓ ∧%␈ε	X␈↓ ¬M␈ε↔␈␈↓ ¬v␈ε	a␈↓ ε7␈ε	X
␈β}␈↓ βU␈εn␈↓ βe␈εj␈↓ ε¬␈εj␈↓ ε⊃␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εN␈εn␈↓ ε←␈εε1
␈β␈␈↓ ∧<␈εε(␈↓ ∧E␈εn␈↓ ∧U␈εε+1)(␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬↔␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)
␈β∩␈↓ ∧6␈ε↓X␈↓ πi␈ε↓X
␈β8␈↓ βz␈ε↔⊃␈↓ ¬↓␈ε	a␈↓ ¬≤␈ε	X␈↓ εg␈ε↔␈␈↓ π⊂␈ε	a␈↓ λ4␈ε	a␈↓ λN␈ε	X
␈βB␈↓ ¬⊃␈εi␈↓ π ␈εj␈↓ π,␈ε~␈␈εε1␈↓ λC␈εi
␈βC␈↓ ¬3␈εε(␈↓ ¬;␈εn␈↓ ¬K␈εε+␈α↓1␈ε~␈α␈␈␈↓ ε
␈εi␈↓ ε∃␈εε)(␈↓ ε&␈εj␈↓ ε2␈ε~␈␈εε1)␈↓ λe␈εε(␈↓ λm␈εn␈↓ λ}␈ε~␈␈↓ 	↔␈εi␈↓ 	!␈εε)␈α↓1
␈βi␈↓ ∧%␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧K␈εi␈↓ ∧U␈ε~∀␈↓ ∧o␈εk␈↓ πW␈εε1␈ε~∀␈↓ π⎇␈εi␈↓ λλ␈ε~∀␈↓ λ!␈εk
␈β{␈↓ ∧6␈ε↓X
␈β
!␈↓ βz␈ε↔⊃␈↓ ¬↓␈ε	a␈↓ ¬≤␈εβ(␈↓ ¬'␈ε	X␈↓ εs␈ε↔␈␈↓ π≠␈ε	a␈↓ π]␈ε	X␈↓ λE␈εβ)
␈β
+␈↓ ¬⊃␈εi␈↓ π+␈εj␈↓ π7␈ε~␈␈εε1
␈β
,␈↓ ¬>␈εε(␈↓ ¬F␈εn␈↓ ¬V␈εε+␈α↓1␈ε~␈α␈␈␈↓ ε∃␈εi␈↓ ε ␈εε)␈α↓(␈↓ ε1␈εj␈↓ ε=␈ε~␈␈εε1)␈↓ πt␈εε(␈↓ π|␈εn␈↓ λ␈ε~␈␈↓ λ&␈εi␈↓ λ0␈εε)␈α↓1
␈β
R␈↓ ∧%␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧K␈εi␈↓ ∧U␈ε~∀␈↓ ∧o␈εk
␈β
␈␈↓ βz␈ε↔⊃␈↓ ∧%␈ε	a␈↓ ∧A␈ε	X␈↓ ¬3␈εβ+␈↓ ¬[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε
␈εβ+␈↓ ε2␈ε	a␈↓ εO␈ε	X␈↓ π:␈εβ.
␈β∞	␈↓ ∧5␈εε1␈↓ εB␈εk
␈β∞
␈↓ ∧X␈εε(␈↓ ∧a␈εn␈↓ ∧q␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬∨␈εj␈↓ εf␈εε(␈↓ εn␈εn␈↓ ε␈␈ε~␈␈↓ π_␈εk␈↓ π%␈εε)␈↓ π.␈εj
␈β∞P␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈α
pro␈α␈of␈α
d␈α␈oes␈ε⊂␈α	no␈α␈t␈εβ␈α
d␈α␈epen␈α␈d␈α	on␈α	the␈α	fact␈α	tha␈α␈t␈α
op␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
w␈α␈e␈α␈re␈α
d␈α␈one␈α	mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α	2,␈α
or␈α	mod␈α␈ulo
␈β∞w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈α
prime␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er.
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈αλW␈α↓h␈α␈en␈αλthe␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλtermin␈α␈ates,␈α	the␈αλ(␈↓ εD␈ε	k␈↓ εX␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)-tup␈α␈l␈α↓e␈αλ(␈↓ λα␈ε	X␈↓ λO␈εβ,␈↓ λ↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	→␈ε	X␈↓ 

␈εβ)␈α	o␈α␈ccu␈α␈rs␈α	fo␈α␈r
␈β∂;␈↓ λ→␈εn␈↓ λ)␈εε+␈α↓1␈↓ 	0␈εn␈↓ 	A␈εε+␈↓ 	Z␈εk␈↓ 	g␈ε~␈␈εε1
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
(␈↓ α␈ε	m␈↓ α.␈εβ+␈αε1␈α␈)st␈α
time.␈αA␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈α	(␈↓ ∧l␈ε	k␈↓ ¬α␈ε↔␈␈εβ␈αε1)-tup␈α␈le␈α
(␈↓ ε/␈ε	X␈↓ εx␈εβ,␈↓ ππ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε	X␈↓ λ2␈εβ)␈α	can␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α
o␈α␈nly␈↓ 
_␈ε	m␈↓ 
?␈εβdistinc␈α␈t
␈β∂c␈↓ εF␈εr␈↓ εR␈εε+1␈↓ πY␈εr␈↓ πe␈εε+␈↓ π␈␈εk␈↓ λ␈ε~␈␈εε1
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈red␈α␈ecesso␈α␈rs␈↓ β¬␈ε	X␈↓ β(␈εβ,␈αso␈αo␈α␈ne␈αof␈αth␈α␈ese␈αo␈α␈ccu␈α␈rren␈α␈ces␈αm␈α␈u␈α␈st␈αb␈α␈e␈αfo␈α␈r␈↓ λλ␈ε	r␈↓ λ!␈εβ=␈α
0.␈α
(b)␈αS␈α␈ince␈αthe␈α(␈↓ 
D␈ε	k␈↓ 
\␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)-
␈β⊂
␈↓ β≤␈εr
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβtu␈α␈ple␈α
(0,␈↓ αG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αs␈εβ,␈αε0)␈α
occu␈α␈rs␈α(␈↓ ∧→␈ε	m␈↓ ∧=␈εβ+␈απ1␈α␈)␈αtimes,␈αea␈α␈ch␈α
po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αp␈α␈red␈α␈ecesso␈α␈r␈αap␈α␈pe␈α␈ars,␈αso␈α
the␈↓ 
G␈ε	k␈↓ 
W␈εβ-tup␈α␈l␈α↓e
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ ↓o␈εβ,␈αε0␈α␈,␈↓ α≥␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αJ␈εβ,␈α¬0)␈α∞ap␈α␈pea␈α␈rs␈α∂fo␈α␈r␈α∂a␈α␈ll␈↓ ∧h␈ε	a␈↓ ¬∧␈εβ,␈αε0␈ε↔␈α∞∀␈↓ ¬b␈ε	a␈↓ ε
␈εβ<␈↓ ε<␈ε	m␈↓ εZ␈εβ.␈α∃Let␈α∞1␈ε↔␈α∞∀␈↓ λπ␈ε	s␈↓ λ#␈εβ<␈↓ λS␈ε	k␈↓ λr␈εβa␈α␈nd␈α∞su␈α␈pp␈α␈ose␈α∞w␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β⊂Z␈↓ ↓b␈εε1␈↓ ∧x␈εε1␈↓ ¬q␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}ed␈αλtha␈α␈t␈α	all␈↓ β$␈ε	k␈↓ β4␈εβ-tup␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α	(␈↓ ∧*␈ε	a␈↓ ∧F␈εβ,␈↓ ∧U␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬↓␈εβ,␈↓ ¬⊂␈ε	a␈↓ ¬+␈εβ,␈αε0␈α␈,␈↓ ¬Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εε␈εβ,␈α¬0)␈α	ap␈α␈pe␈α␈ar␈α	in␈αλthe␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλw␈α↓h␈α␈en␈↓ 	Z␈ε	a␈↓ 	}␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈.␈αBy␈αλthe
␈β⊃↓␈↓ ∧:␈εε1␈↓ ¬ ␈εs␈↓ 	j␈εs
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ruction␈α␈,␈α	this␈↓ βL␈ε	k␈↓ β\␈εβ-tup␈α␈le␈α	w␈α␈o␈α␈uld␈αλno␈α␈t␈α	b␈α␈e␈α	in␈αλth␈α␈e␈α	seq␈α␈uen␈α␈ce␈αλun␈α␈less␈α	(␈↓ λG␈ε	a␈↓ λc␈εβ,␈↓ λr␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	≡␈εβ,␈↓ 	-␈ε	a␈↓ 	H␈εβ,␈αε0␈α␈,␈↓ 	v␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
"␈εβ,␈αε0,␈↓ 
Q␈ε	y␈↓ 
c␈εβ)␈α	h␈α␈ad
␈β⊃)␈↓ λV␈εε1␈↓ 	<␈εs
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα614␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα*␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈eare␈α␈d␈αearlier␈αfor␈α1␈ε↔␈α∀␈↓ ∧<␈ε	y␈↓ ∧Z␈εβ<␈↓ ¬ε␈ε	m␈↓ ¬$␈εβ.␈α∂Hen␈α␈ce␈αthe␈α(␈↓ εe␈ε	k␈↓ ε⎇␈ε↔␈␈εβ␈α	1)-tu␈α␈ple␈α(␈↓ λ/␈ε	a␈↓ λK␈εβ,␈↓ λZ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	π␈εβ,␈↓ 	∃␈ε	a␈↓ 	0␈εβ,␈αε0,␈↓ 	↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈εβ,␈αε0␈α␈)␈α
h␈α␈as␈αap␈α␈-
␈βα5␈↓ λ?␈εε1␈↓ 	%␈εs
␈βαR␈↓ ↓H␈εβp␈α␈eare␈α␈d␈↓ α/␈ε	m␈↓ αR␈εβti␈α↓m␈α␈es,␈αλan␈α␈d␈αεall␈↓ ∧↔␈ε	m␈↓ ∧;␈εβpo␈α␈ssible␈απp␈α␈red␈α␈ecesso␈α␈rs␈απap␈α␈pe␈α␈ar;␈αλthis␈απm␈α␈ean␈α␈s␈απ(␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	↔␈εβ,␈↓ 	&␈ε	a␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Q␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	}␈εβ,␈↓ 
␈ε	a␈↓ 
'␈εβ,␈αε0,␈↓ 
U␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εβ,␈αε0␈α␈)
␈βα\␈↓ 	6␈εε1␈↓ 
≤␈εs
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈ears␈αfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈αλ∀␈↓ β:␈ε	a␈↓ βT␈εβ<␈↓ β}␈ε	m␈↓ ∧≠␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αpro␈α␈of␈αis␈αn␈α␈o␈α␈w␈αco␈α␈mplete␈αb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction.
␈ββ#␈↓ α␈εβThe␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αa␈α␈lso␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αTheo␈α␈rem␈α2␈α␈.3.4.2D␈↓ π7␈εβ,␈αusin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αdirec␈α␈ted␈αgrap␈α␈h␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈r-
␈ββK␈↓ ↓H␈εβc␈α␈i␈α↓se␈α
2␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓4␈α␈.2↑2␈α␈3;␈αth␈α␈e␈αse␈α␈t␈αo␈α␈f␈αa␈α␈rcs␈α
f␈α↓r␈α␈om␈α
(␈↓ ¬Y␈ε	x␈↓ ¬u␈εβ,␈↓ ε∧␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε1␈εβ,␈↓ ε?␈ε	x␈↓ ε[␈εβ,␈αε0␈α␈,␈↓ π	␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π5␈εβ,␈αε0)␈α
to␈α
(␈↓ λ≥␈ε	x␈↓ λ9␈εβ,␈↓ λH␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λu␈εβ,␈↓ 	β␈ε	x␈↓ 	∨␈εβ,␈αε0␈α␈,␈↓ 	M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	z␈εβ,␈α¬0,␈αε0␈α␈)␈α↓,␈α
where
␈ββU␈↓ ¬i␈εε1␈↓ εO␈εj␈↓ λ-␈εε2␈↓ 	∪␈εj
␈ββr␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓p␈ε↔≤␈εβ␈α∞0␈α
and␈α
1␈ε↔␈α
∀␈↓ βM␈ε	j␈↓ βj␈ε↔∀␈↓ ∧_␈ε	k␈↓ ∧)␈εβ,␈α∞forms␈α
an␈α
o␈α␈ri␈α↓e␈α␈n␈α␈ted␈α
su␈α␈btre␈α␈e␈α∞relat␈α␈ed␈α
nea␈α␈tly␈α∞to␈α
De␈α␈we␈α␈y␈α
decima␈α␈l
␈ββ⎇␈↓ ↓W␈εj
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β∧U␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβThe␈αth␈α␈ird-mo␈α␈st-si␈α↓g␈α␈ni|␈α␈can␈α}t␈α
b␈α␈it␈α
o␈α␈f␈↓ ¬s␈ε	U␈↓ εJ␈εβi␈α↓s␈αco␈α␈mp␈α␈l␈α↓et␈α␈el␈α↓y␈αdete␈α␈rmined␈αby␈αth␈α␈e␈α|rst␈αa␈α␈nd
␈β∧`␈↓ ελ␈εn␈↓ ε_␈εε+1
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ird␈αbits␈αof␈↓ βε␈ε	U␈↓ β,␈εβ,␈α
s␈α␈o␈αonly␈α3␈α␈2␈αof␈αthe␈α6␈α␈4␈αposs␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α
p␈α␈airs␈α(␈ε↔b␈εβ8␈↓ πm␈ε	U␈↓ λ∩␈ε↔c␈εβ,␈ε↔␈αεb␈εβ8␈↓ λL␈ε	U␈↓ 	↔␈ε↔c␈εβ)␈αoccu␈α␈r.␈α∂(␈ε⊂Notes␈α␈:␈εβ␈α∞If
␈β¬π␈↓ β≠␈εn␈↓ λα␈εn␈↓ λa␈εn␈↓ λq␈εε+␈α↓1
␈β¬$␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α	had␈α	us␈α␈ed,␈α
say␈α␈,␈α1␈α␈1-bit␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ ¬2␈ε	U␈↓ ¬a␈εβ=␈α	(.␈↓ ε∨␈ε	X␈↓ ε`␈ε	X␈↓ πL␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πx␈ε	X␈↓ λk␈εβ)␈↓ 	β␈εβ,␈αt␈α␈he␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈ε⊂␈α	wo␈α␈uld
␈β¬/␈↓ ¬G␈εn␈↓ ε7␈εε1␈α␈1␈↓ εP␈εn␈↓ εw␈εε11␈↓ π⊂␈εn␈↓ π!␈εε+1␈↓ λ⊂␈εε1␈α␈1␈↓ λ)␈εn␈↓ λ9␈εε+10␈↓ λw␈εε2
␈β¬I␈↓ 	S␈ε∃A
␈β¬L␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α
satisfac␈α␈tory␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
man␈α}y␈α
a␈α␈pp␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns.␈α⊃If␈α
an␈α␈othe␈α␈r␈α
con␈α␈stan␈α}t␈α
app␈α␈ears␈α
in␈↓ 	u␈εβha␈α␈ving␈αmore
␈β¬s␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈on␈α␈e"␈α
b␈α␈its,␈α∞th␈α␈e␈α
g␈α␈enera␈α␈li␈α↓z␈α␈ed␈α
sp␈α␈ectra␈α␈l␈α
test␈α
m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
so␈α␈me␈α
in␈α␈dicatio␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
i␈α↓t␈α␈s␈α
suita␈α␈bili␈α↓ty␈α␈.
␈βε≠␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α3.3␈α␈.␈α↓4␈α␈↑2;␈αw␈α␈e␈αco␈α␈uld␈αex␈α␈am␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈↓ ε¬␈ε	↔␈↓ ε(␈εβin␈αd␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈ns␈↓ πy␈ε	t␈↓ λ∞␈εβ=␈α
3␈α␈6,␈αε3␈α␈7,␈αε3␈α␈8,␈↓ 	I␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	{␈εβ.)
␈βε&␈↓ ε∪␈εt
␈βεR␈↓ 
a␈εk
␈βεV␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε⊂J.␈αLo␈α␈nd␈α␈on␈α
M␈α␈ath.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α2␈α␈1␈εβ␈α
(194␈α␈6),␈α1␈α␈69↑␈α␈172␈α␈.␈α↓]␈αAn␈α}y␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈α
of␈α
perio␈α␈d␈α
l␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈↓ 
C␈ε	m␈↓ 
t␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈βεz␈↓ 	␈εk
␈βε}␈↓ ↓H␈εβwith␈α	n␈α␈o␈↓ α>␈ε	k␈↓ αX␈εβco␈α␈nsec␈α␈utiv␈α␈e␈α	ze␈α␈roes␈α	lead␈α␈s␈α
to␈α	a␈α	se␈α␈que␈α␈nce␈α	o␈α␈f␈α
p␈α␈eriod␈α	len␈α␈gth␈↓ λn␈ε	m␈↓ 	"␈εβb␈α␈y␈α	insert␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	a␈α	zero
␈βπ%␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈αa␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αplac␈α␈e,␈α
a␈α␈s␈αi␈α↓n␈αex␈α}ercise␈α7;␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}ersely␈α␈,␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈αsta␈α␈rt␈αwi␈α↓th␈αa␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f
␈βπI␈↓ β-␈εk
␈βπM␈↓ ↓H␈εβp␈α␈eriod␈α	len␈α␈gth␈↓ β⊂␈ε	m␈↓ βD␈εβan␈α␈d␈α
d␈α␈elete␈α	an␈α	ap␈α␈pro␈α␈priate␈α	zero␈α	from␈α	th␈α␈e␈α
p␈α␈eriod,␈α
to␈α	form␈α	a␈α	sequ␈α␈en␈α␈ce␈α
o␈α␈f
␈βπu␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αty␈α␈pe␈α␈.␈α
Let␈αus␈αca␈α␈l␈α↓l␈αthese␈α\␈α␈(␈↓ ¬F␈ε	m␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬r␈ε	k␈↓ εα␈εβ)␈αsequ␈α␈enc␈α␈es"␈αof␈αtyp␈α␈es␈αA␈αan␈α␈d␈αB.␈αThe␈αh␈α}yp␈α␈oth␈α␈esis
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssure␈α␈s␈αu␈α␈s␈αof␈α
the␈α
ex␈α␈i␈α↓ste␈α␈nce␈α
of␈α
(␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬ ␈ε	k␈↓ ¬1␈εβ)␈α
sequ␈α␈en␈α␈ces␈αo␈α␈f␈αty␈α␈pe␈α
A,␈αfor␈α
all␈αprime␈α␈s␈↓ 	E␈ε	p␈↓ 	`␈εβand␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ 
N␈ε	k␈↓ 
h␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈;
␈βλD␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α(␈↓ β/␈ε	p␈↓ β@␈εβ,␈↓ βO␈ε	k␈↓ β←␈εβ)␈αsequ␈α␈en␈α␈ces␈αof␈αty␈α␈pe␈αB␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αsuc␈α␈h␈↓ πM␈ε	p␈↓ πi␈εβan␈α␈d␈↓ λ*␈ε	k␈↓ λ:␈εβ.
␈βλj␈↓ β,␈εe
␈βλn␈↓ α␈εβTo␈α
ge␈α␈t␈αa␈α	(␈↓ β≤␈ε	p␈↓ β7␈εβ,␈↓ βF␈ε	k␈↓ βV␈εβ)␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α
o␈α␈f␈αty␈α␈pe␈α
B,␈α
l␈α↓e␈α␈t␈↓ ε=␈ε	e␈↓ εT␈εβ=␈↓ ε}␈ε	q␈↓ π
␈ε	r␈↓ π≤␈εβ,␈α
where␈↓ λ∂␈ε	q␈↓ λ(␈εβis␈α
a␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
of␈↓ 	h␈ε	p␈↓ 
β␈εβan␈α␈d␈↓ 
C␈ε	r␈↓ 
\␈εβis␈α
no␈α␈t
␈β	∃␈↓ ↓H␈εβa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈le␈α
of␈↓ β⊃␈ε	p␈↓ β"␈εβ.␈α⊂Sta␈α␈rt␈α
with␈αa␈α
(␈↓ ¬λ␈ε	p␈↓ ¬→␈εβ,␈↓ ¬'␈ε	q␈↓ ¬6␈ε	r␈↓ ¬E␈ε	k␈↓ ¬U␈εβ)␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈αof␈α
ty␈α␈pe␈αA,␈α
n␈α␈amely␈↓ 	⊃␈ε	X␈↓ 	5␈εβ,␈↓ 	D␈ε	X␈↓ 	g␈εβ,␈↓ 	v␈ε	X␈↓ 
~␈εβ,␈↓ 
)␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
U␈εβ;␈α∞th␈α␈en
␈β	 ␈↓ 	(␈εε0␈↓ 	[␈εε1␈↓ 

␈εε2
␈β	=␈↓ ↓H␈εβ(u␈α␈sing␈α
the␈↓ αi␈ε	p␈↓ αy␈εβ-␈α↓a␈α␈ry␈α∞n␈α}um␈α}ber␈α∞sy␈α␈stem␈α␈)␈α∞the␈α∞g␈α␈rou␈α␈ped␈α
d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈α
(␈↓ πa␈ε	X␈↓ λ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ7␈ε	X␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	→␈εβ,␈αε(␈↓ 	3␈ε	X␈↓ 	\␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
λ␈ε	X␈↓ 
↑␈εβ)␈↓ 
w␈εβ,␈↓ ε␈εβ.␈α¬.␈αε.
␈β	G␈↓ πy␈εε0␈↓ λN␈εq␈↓ λZ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	␈εp␈↓ 	J␈εq␈↓ 
∨␈εε2␈↓ 
,␈εq␈↓ 
8␈ε~␈␈εε1␈↓ 
i␈εp
␈β	`␈↓ αI␈εq␈↓ λU␈εq␈↓ λa␈εr␈↓ λn␈εk
␈β	d␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈αλa␈αλ(␈↓ α8␈ε	p␈↓ αU␈εβ,␈↓ αc␈ε	r␈↓ αr␈ε	k␈↓ βα␈εβ)␈αλsequ␈α␈enc␈α␈e␈αλof␈αλty␈α␈pe␈αλA,␈αλsin␈α␈ce␈↓ ¬␈␈ε	q␈↓ ε⊗␈εβis␈αλre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αλp␈α␈rime␈αλto␈↓ λD␈ε	p␈↓ λ}␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈αλan␈α␈d␈απthe␈αλse␈α␈que␈α␈nce
␈β
λ␈↓ ¬.␈εq␈↓ ¬:␈εr␈↓ ¬F␈εk␈↓ λ'␈εq
␈β
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈erefo␈α␈re␈αha␈α␈s␈αa␈αp␈α␈eriod␈αlen␈α␈gth␈α
of␈↓ ¬≥␈ε	p␈↓ ¬[␈ε↔␈␈εβ␈απ1.␈αThis␈αlead␈α␈s␈αto␈αa␈α
(␈↓ λ⊗␈ε	p␈↓ λ3␈εβ,␈↓ λB␈ε	r␈↓ λQ␈ε	k␈↓ λa␈εβ)␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈αh␈↓ 
␈ε	Y␈↓ 
/␈ε↔i␈εβ␈αof␈αty␈α␈pe
␈β
↔␈↓ 
∨␈εn
␈β
0␈↓ πu␈εq␈↓ λ↓␈εr
␈β
4␈↓ ↓H␈εβB;␈α
an␈α␈d␈α
(␈↓ αB␈ε	Y␈↓ αb␈ε	Y␈↓ βλ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β4␈ε	Y␈↓ βy␈εβ)␈↓ ∧≡␈εβ,␈α∞(␈↓ ∧@␈ε	Y␈↓ ∧`␈ε	Y␈↓ ¬+␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬W␈ε	Y␈↓ ε)␈εβ)␈↓ εN␈εβ,␈↓ εd␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π_␈εβi␈α↓s␈α
a␈α(␈↓ πd␈ε	p␈↓ λ∞␈εβ,␈↓ λ≤␈ε	k␈↓ λ-␈εβ)␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
o␈α␈f␈α∞ty␈α␈pe␈αB␈α∞b␈α␈y␈α
a
␈β
;␈↓ ∧∩␈ε
q␈↓ εB␈ε
q
␈β
>␈↓ αU␈εε0␈↓ αu␈εε1␈↓ βG␈εr␈↓ βT␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧¬␈εp␈↓ ∧S␈εr␈↓ ∧s␈εr␈↓ ∧␈␈εε+1␈↓ ¬j␈εε2␈↓ ¬w␈εr␈↓ εβ␈ε~␈␈εε1␈↓ ε4␈εp
␈β
W␈↓ π
␈εq␈↓ π↔␈εk
␈β
[␈↓ ↓H␈εβsimilar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t,␈αsinc␈α␈e␈↓ ∧$␈ε	r␈↓ ∧>␈εβis␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αto␈↓ εy␈ε	p␈↓ π$␈εβ.
␈β↓␈↓ 	f␈εe
␈β¬␈↓ α␈εβTo␈απg␈α␈et␈απa␈α␈n␈απ(␈↓ β$␈ε	m␈↓ βA␈εβ,␈↓ βP␈ε	k␈↓ β`␈εβ)␈απsequ␈α␈en␈α␈ce␈απof␈απt␈α␈yp␈α␈e␈απB␈απfor␈απa␈α␈rbitrary␈↓ π8␈ε	m␈↓ πU␈εβ,␈αλw␈α␈e␈απca␈α␈n␈απc␈α␈om␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈απ(␈↓ 	U␈ε	p␈↓ 	q␈εβ,␈↓ 	␈␈ε	k␈↓ 
⊂␈εβ)␈απse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s
␈β-␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αea␈α␈ch␈αof␈αthe␈αprime␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αf␈α↓a␈α␈ctors␈αof␈↓ ¬⎇␈ε	m␈↓ ε&␈εβus␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αChin␈α␈ese␈αrema␈α␈i␈α↓n␈α␈der␈αth␈α␈eorem␈α␈;␈αbu␈α␈t␈αa
␈βT␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈ler␈αmeth␈α␈od␈αis␈αav␈α␈ailable.␈α∞Let␈ε↔␈αh␈↓ ¬<␈ε	X␈↓ ¬c␈ε↔i␈εβ␈αbe␈αa␈α␈n␈α(␈↓ εb␈ε	r␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈ε	k␈↓ π⊂␈εβ)␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈αof␈αtyp␈α␈e␈αB,␈α
an␈α␈d␈αlet␈ε↔␈αh␈↓ 
P␈ε	Y␈↓ 
t␈ε↔i␈εβ␈αbe
␈β←␈↓ ¬S␈εn␈↓ 
d␈εn
␈β|␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α(␈↓ α↓␈ε	s␈↓ α∂␈εβ,␈↓ α≡␈ε	k␈↓ α.␈εβ)␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈αof␈αtyp␈α␈e␈αB,␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬K␈ε	r␈↓ ¬e␈εβan␈α␈d␈↓ ε&␈ε	s␈↓ ε?␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈ely␈αp␈α␈rime;␈αthen␈ε↔␈α
h␈↓ 	H␈ε	s␈↓ 	V␈ε	X␈↓ 
¬␈εβ+␈↓ 
.␈ε	Y␈↓ 
R␈ε↔i␈εβ␈αis␈αan
␈βε␈↓ 	m␈εn␈↓ 
A␈εn
␈β#␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	r␈↓ ↓a␈ε	s␈↓ ↓o␈εβ,␈↓ ↓}␈ε	k␈↓ α∞␈εβ)␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈αof␈αtyp␈α␈e␈αB.
␈βM␈↓ α␈εβA␈α	simple,␈α	un␈α␈if␈α↓o␈α␈rm␈α	co␈α␈nstru␈α␈ction␈αλtha␈α␈t␈α	yields␈α	(2␈α␈,␈↓ π!␈ε	k␈↓ π2␈εβ)␈α	se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈α	for␈α	arb␈α␈itrary␈↓ 
↔␈ε	k␈↓ 
1␈εβh␈α␈as␈α	b␈α␈een
␈βu␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isco␈α␈v␈α}ered␈αb␈α␈y␈αA.␈αLemp␈α␈el␈α[␈ε⊂␈α↓IEEE␈αTra␈α␈ns.␈ε∪␈αC↑1␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈70),␈α12␈α␈04↑␈α␈120␈α␈9].
␈β
0␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβBy␈α	th␈α␈e␈α	Ch␈α␈i␈α↓n␈α␈ese␈α	re␈α␈main␈α␈der␈α	th␈α␈eore␈α␈m,␈α
w␈α␈e␈α	c␈α␈an␈αλ|n␈α␈d␈α	co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈ts␈↓ λP␈ε	a␈↓ λl␈εβ,␈↓ λ{␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	'␈εβ,␈↓ 	6␈ε	a␈↓ 	\␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	d␈α␈esired
␈β
;␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	F␈εk
␈β
X␈↓ ↓H␈εβre␈α␈si␈α↓d␈α␈ue␈α␈s␈α∂m␈α␈od␈α∞eac␈α␈h␈α∞prime␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈α∞of␈↓ ¬a␈ε	m␈↓ ¬␈␈εβ.␈α∃If␈↓ εB␈ε	m␈↓ εn␈εβ=␈↓ π≡␈ε	p␈↓ π:␈ε	p␈↓ π\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λλ␈ε	p␈↓ λ"␈εβ,␈α∂the␈α∞p␈α␈eriod␈α∞len␈α␈gth␈α∞will␈α∂be
␈β
b␈↓ π-␈εε1␈↓ πJ␈εε2␈↓ λ_␈εt
␈β
{␈↓ α↔␈εk␈↓ βB␈εk
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβlcm␈α␈(␈↓ απ␈ε	p␈↓ α-␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ αu␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β"␈εβ,␈↓ β1␈ε	p␈↓ βW␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α∞In␈αfa␈α␈ct,␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈αa␈α␈chiev␈α}e␈αreaso␈α␈na␈α␈bly␈αlon␈α␈g␈αp␈α␈eriod␈α␈s␈αfor␈αarb␈α␈itrary
␈β∞∞␈↓ α↔␈εε1␈↓ βB␈εt
␈β∞'␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓p␈εβ(no␈α␈t␈αnec␈α␈essarily␈αsq␈α␈uare␈α␈free),␈αas␈αsho␈α}wn␈αin␈αex␈α}ercise␈α1␈α␈1.
␈β∞↑␈↓ ∧t␈εε5␈α␈5
␈β∞b␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβPeriod␈α∂l␈α↓en␈α␈gth␈α∂at␈α⊂lea␈α␈st␈↓ ∧c␈εβ2␈↓ ¬_␈ε↔␈␈εβ␈α
1;␈α∪p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓y␈α∂faster␈α∂than␈α∂(7),␈α⊃see␈α⊂e␈α␈x␈α␈ercise␈α⊂3␈α␈.2.1.1↑5␈α␈.
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈α
R.␈α∞Bren␈α}t␈α
ha␈α␈s␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ted␈αout␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈s␈α
can␈αbe␈αdon␈α␈e␈α
ex␈α␈actly␈αon
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβ⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g-p␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αin␈α[␈αε0␈α␈,␈αε1).
␈β∂l␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβRun␈α⊂the␈α⊃seq␈α␈ue␈α␈nce␈α⊃b␈α␈ack␈α␈ward␈α␈s;␈α∃i.e.␈α↓,␈α∪if␈↓ εM␈ε	Z␈↓ πβ␈εβ=␈↓ π7␈ε	Y␈↓ λε␈εβw␈α␈e␈α⊃h␈α␈av␈α}e␈↓ 	∩␈ε	Z␈↓ 	G␈εβ=␈α∀(␈↓ 
π␈ε	Z␈↓ ␈εβ+
␈β∂w␈↓ ε←␈εn␈↓ πK␈ε~␈␈↓ πd␈εn␈↓ 	#␈εn␈↓ 
_␈εn␈↓ 
)␈ε~␈␈↓ 
B␈εm␈↓ 
Y␈εε+␈↓ 
r␈εk
␈β⊂∀␈↓ ↓H␈ε	Z␈↓ α~␈εβ)␈↓ α+␈εβm␈α␈od␈↓ αo␈εβ2.
␈β⊂≡␈↓ ↓Y␈εn␈↓ ↓j␈ε~␈␈↓ αβ␈εm
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβThis␈α
a␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y␈α	w␈α␈ou␈α␈ld␈α
b␈α␈e␈α
slo␈α␈w␈α␈er␈α	and␈α	mo␈α␈re␈α
co␈α␈mp␈α␈l␈α↓ica␈α␈ted,␈α
u␈α␈nless␈α
it␈α
ca␈α␈n␈α	be␈α
u␈α␈sed␈α	to␈α	sav␈α␈e
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e-calling␈α
o␈α␈v␈α}erh␈α␈ead␈α
in␈α
h␈α␈igh␈α␈-␈α↓lev␈α}el␈α∞la␈α␈ngu␈α␈ag␈α␈es.␈α∩(S␈α␈ee␈α
the␈α
F␈α␈OR␈α⎇TRAN␈α
pro␈α␈gram␈α
in
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ection␈α
3.6.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα615
␈βα&␈↓ εj␈εε2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	J␈↓ αq␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ β(␈ε	k␈↓ β8␈ε	X␈↓ β`␈εβ/␈↓ βp␈ε	m␈↓ ∧∞␈ε↔c␈εβ.␈ε⊂␈α→Lemma␈α␈:␈εβ␈αAfter␈αth␈α␈e␈α(␈↓ εZ␈ε	k␈↓ ε}␈εβ+␈αλ7␈↓ π8␈ε	k␈↓ πO␈ε↔␈␈εβ␈αλ2)/2␈α
con␈α␈secu␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αv␈α␈alues
␈βα5␈↓ αW␈εn␈↓ βO␈εn
␈βαt␈↓ ∧x␈εk␈↓ ¬¬␈εε+2␈↓ ¬[␈εk␈↓ ¬h␈εε+1␈↓ ε>␈εk␈↓ λ␈εε3
␈βαz␈↓ ∧g␈εβ0␈↓ ¬2␈εβ1␈↓ ¬J␈εβ0␈↓ ε∃␈εβ2␈↓ ε-␈εβ0␈↓ εS␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π↓␈εβ(␈↓ π␈ε	k␈↓ π$␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ πp␈εβ0
␈ββI␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈r␈αi␈α↓n␈α
the␈ε↔␈αh␈↓ β␈ε	J␈↓ β*␈ε↔i␈εβ␈αsequ␈α␈en␈α␈ce,␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈αwill␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ π ␈ε	V␈↓ π8␈εβ[␈↓ πA␈ε	i␈↓ πN␈εβ]␈α
<␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ(␈εβ/␈↓ λ9␈ε	k␈↓ λT␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	M␈ε	j␈↓ 	e␈εβ<␈↓ 
∂␈ε	k␈↓ 
 ␈εβ,␈αan␈α␈d␈αalso
␈ββT␈↓ β~␈εn
␈ββq␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓l␈εβ<␈↓ α→␈ε	m␈↓ α7␈εβ/␈↓ αG␈ε	k␈↓ αX␈εβ.␈ε⊂␈α≤P␈α↓ro␈α␈of.␈εβ␈α⊂Let␈↓ ∧#␈ε	S␈↓ ∧P␈εβbe␈αthe␈αset␈α
o␈α␈f␈α
po␈α␈si␈α↓tio␈α␈ns␈↓ π$␈ε	i␈↓ π=␈εβsuc␈α␈h␈α
t␈α␈hat␈↓ λT␈ε	V␈↓ λl␈εβ[␈↓ λu␈ε	i␈↓ 	α␈εβ]␈α<␈↓ 	D␈ε	m␈↓ 	b␈εβ/␈↓ 	r␈ε	k␈↓ 
∂␈εβj␈α↓u␈α␈st␈α
b␈α␈efore
␈ββ|␈↓ ∧3␈εn
␈β∧→␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓{␈εβis␈αgen␈α␈erate␈α␈d,␈αa␈α␈nd␈αlet␈↓ ∧/␈ε	j␈↓ ∧W␈εβbe␈αth␈α␈e␈αin␈α␈dex␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ π-␈ε	V␈↓ πE␈εβ[␈↓ πN␈ε	j␈↓ πk␈εβ]␈ε↔␈α
 ␈↓ λ)␈ε	X␈↓ λQ␈εβ.␈αIf␈↓ 	λ␈ε	j␈↓ 	.␈ε↔3␈↓ 	R␈ε	S␈↓ 	}␈εβan␈α␈d␈↓ 
?␈ε	J␈↓ 
g␈εβ=␈α0␈α␈,
␈β∧#␈↓ ↓←␈εn␈↓ ∧;␈εn␈↓ πZ␈εn␈↓ λ@␈εn␈↓ 	∀␈εn␈↓ 	b␈εn␈↓ 
M␈εn
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε	S␈↓ αf␈εβ=␈↓ β∩␈ε	S␈↓ β;␈ε↔[␈αλf␈↓ βl␈ε	j␈↓ ∧λ␈ε↔g␈εβ;␈α
if␈↓ ∧O␈ε	j␈↓ ∧w␈ε↔2␈↓ ¬≠␈ε	S␈↓ ¬I␈εβa␈α␈nd␈↓ ε
␈ε	J␈↓ ε3␈εβ=␈α0␈α␈,␈α
th␈α␈en␈↓ πS␈ε	S␈↓ λ$␈εβ=␈↓ λQ␈ε	S␈↓ λ}␈εβa␈α␈nd␈↓ 	?␈ε	j␈↓ 
␈εβ=␈α0␈α␈.␈α∂Afte␈α␈r
␈β∧K␈↓ α%␈εn␈↓ α5␈εε+␈α↓1␈↓ β#␈εn␈↓ βx␈εn␈↓ ∧[␈εn␈↓ ¬,␈εn␈↓ ε_␈εn␈↓ πc␈εn␈↓ πt␈εε+1␈↓ λa␈εn␈↓ 	K␈εn␈↓ 	\␈εε+1
␈β∧d␈↓ 
i␈εk␈↓ 
v␈εε+1
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓↑␈εβ+␈αε2␈α	su␈α␈ccessiv␈α␈e␈α	0's,␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
th␈α␈erefore␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α
0␈ε↔␈α	2␈↓ π	␈ε	S␈↓ π3␈εβand␈↓ πs␈ε	j␈↓ λ>␈εβ=␈α
0␈α␈.␈αThen␈α	afte␈α␈r␈α
\1␈↓ 
X␈εβ0␈↓ ≤␈εβ"
␈β∧r␈↓ π→␈εn␈↓ π␈␈εn␈↓ λ∂␈εε+1
␈β¬␈↓ π-␈εk
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈ε↔␈αf␈εβ␈α␈0,␈αε1␈ε↔␈α␈g␈α	∩␈↓ ∧≡␈ε	S␈↓ ∧J␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬
␈ε	j␈↓ ¬U␈εβ=␈α
0;␈αa␈α␈fter␈α\2␈↓ π≤␈εβ0␈↓ π:␈εβ"␈α
we␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αha␈α␈v␈α␈e␈ε↔␈α
f␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε2␈ε↔g␈α	∩␈↓ 
K␈ε	S␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β¬~␈↓ ∧.␈εn␈↓ ¬⊗␈εn␈↓ ¬&␈εε+1␈↓ 
\␈εn
␈β¬7␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ α∪␈εβ=␈α
0␈α␈;␈αa␈α␈nd␈α
so␈αon␈α␈.
␈β¬B␈↓ ↓T␈εn␈↓ ↓d␈εε+1
␈β¬V␈↓ ε%␈επ2
␈β¬[␈↓ ∧\␈εε2␈↓ ε⊂␈εε(␈↓ ε_␈εk␈↓ ε1␈εε+7␈↓ εV␈εk␈↓ εd␈ε~␈␈εε2␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β¬←␈↓ α␈ε⊂Coro␈α␈ll␈α↓a␈α␈ry:␈εβ␈αFo␈α␈r␈↓ βh␈ε	∃␈↓ ∧¬␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈(␈↓ ∧K␈ε	k␈↓ ∧n␈εβ+␈αε7␈↓ ¬&␈ε	k␈↓ ¬<␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈α␈)␈↓ ¬␈␈ε	k␈↓ π+␈εβ,␈α
ei␈α↓t␈α␈her␈α
Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α
B␈α
y␈α␈i␈α↓e␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈α
a␈α
p␈α␈eriod
␈βεε␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
leng␈α␈th␈↓ αR␈ε	∃␈↓ αo␈εβo␈α␈r␈α
the␈α	sequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α
h␈↓ ∧a␈ε	X␈↓ ¬λ␈ε↔i␈εβ␈α
is␈α
po␈α␈orly␈α	distribu␈α␈ted␈α␈.␈ε⊂␈α⊗P␈α↓ro␈α␈of.␈εβ␈αThe␈α	pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α	th␈α␈at␈α
a␈α␈n␈α␈y
␈βε⊃␈↓ ∧x␈εn
␈βε.␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α␈-␈↓ βπ␈ε	l␈↓ β≥␈εβpat␈α␈tern␈α
o␈α␈f␈↓ ∧>␈ε	J␈↓ ∧R␈εβ's␈α
doe␈α␈s␈α
not␈αoccu␈α␈r␈α
in␈α
a␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈αof␈α
leng␈α␈th␈↓ 
7␈ε	∃␈↓ 
W␈εβi␈α↓s␈αl␈α↓es␈α␈s
␈βεQ␈↓ αo␈ε~␈␈↓ β	␈εl␈↓ β≠␈ε∃␈↓ β+␈εε/␈↓ β8␈εl␈↓ ∧d␈ε~␈␈↓ ∧⎇␈εl␈↓ εh␈εε2␈↓ 
!␈ε~␈␈εε4
␈βεV␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈α
(1␈ε↔␈αε␈␈↓ α←␈ε	k␈↓ β⊂␈εβ)␈↓ βI␈εβ<␈↓ βs␈εβexp␈↓ ∧'␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ∧T␈ε	k␈↓ ¬¬␈ε	∃␈↓ ¬_␈εβ/␈↓ ¬)␈ε	l␈↓ ¬2␈εβ).␈αFor␈↓ ε⊂␈ε	l␈↓ ε"␈εβ=␈α
(␈↓ εX␈ε	k␈↓ ε{␈εβ+␈απ7␈↓ π4␈ε	k␈↓ πK␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈α␈)␈α↓/␈α␈2␈α
this␈αis␈α
at␈α
most␈↓ 
∀␈ε	e␈↓ 
G␈εβ;␈αhe␈α␈nce
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsta␈α␈ted␈αp␈α␈attern␈α
sho␈α␈uld␈αa␈α␈pp␈α␈ear.␈αAfter␈αit␈αdo␈α␈es,␈αthe␈αsu␈α␈bs␈α␈equ␈α␈en␈α␈t␈αb␈α␈eha␈α␈vior␈αo␈α␈f␈αAl␈α↓g␈α␈orithm
␈βπ%␈↓ ↓H␈εβB␈αwill␈αb␈α␈e␈αthe␈αsa␈α␈me␈αea␈α␈ch␈αtime␈αit␈αrea␈α␈che␈α␈s␈αthis␈αpa␈α␈rt␈αof␈αthe␈α
period␈α␈.
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.3␈α␈.1
␈βλt␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈αare␈↓ β$␈ε	k␈↓ β=␈εβ=␈α
11␈α
cate␈α␈gories,␈αso␈αth␈α␈e␈αli␈α↓n␈α␈e␈↓ εX␈ε	↔␈↓ εq␈εβ=␈α	10␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
be␈αu␈α␈sed␈α␈.
␈β	$␈↓ α⊗␈εε2␈↓ αK␈εε3␈↓ β␈εε4␈↓ β5␈εε5␈↓ βj␈εε6␈↓ ∧∨␈εε9␈↓ ∧T␈εε6␈↓ ¬	␈εε5␈↓ ¬>␈εε4␈↓ ¬s␈εε3␈↓ ε(␈εε2
␈β	'␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α-␈εβ,␈↓ αb␈εβ,␈↓ β↔␈εβ,␈↓ βK␈εβ,␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧5␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ε	␈εβ,␈↓ ε>␈εβ.
␈β	5␈↓ α⊂␈∧	5α⊂α~␈↓ αE␈∧	5αEα~␈↓ αz␈∧	5αzα~␈↓ β/␈∧	5β/α~␈↓ βd␈∧	5βdα~␈↓ ∧_␈∧	5∧_α~␈↓ ∧M␈∧	5∧Mα~␈↓ ¬α␈∧	5¬αα~␈↓ ¬7␈∧	5¬7α~␈↓ ¬l␈∧	5¬lα~␈↓ ε!␈∧	5ε!α~
␈β	7␈↓ α⊂␈εε4␈α␈9␈↓ αE␈εε4␈α␈9␈↓ αz␈εε4␈α␈9␈↓ β/␈εε4␈α␈9␈↓ βd␈εε4␈α␈9␈↓ ∧_␈εε49␈↓ ∧M␈εε49␈↓ ¬α␈εε49␈↓ ¬7␈εε49␈↓ ¬l␈εε49␈↓ ε!␈εε49
␈β	W␈↓ αl␈εε17␈α␈3
␈β	Z␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	V␈↓ α-␈εβ=␈α
7␈↓ β∃␈εβ,␈αon␈α␈l␈α↓y␈α
v␈α}ery␈α
sligh␈α␈t␈α␈l␈α↓y␈α
h␈α␈ighe␈α␈r␈αth␈α␈an␈α
th␈α␈at␈α
ob␈α␈tained␈α	f␈α↓ro␈α␈m␈α
the␈α
go␈α␈od␈α
d␈α␈i␈α↓c␈α␈e!␈αThere
␈β	h␈↓ αl␈∧	hαlα&
␈β	j␈↓ αl␈εε24␈α␈0
␈β
α␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞rea␈α␈son␈α␈s␈α∂wh␈α␈y␈α∞w␈α␈e␈α∞do␈α∞n␈α␈ot␈α∂d␈α␈etec␈α␈t␈α∂th␈α␈e␈α∂w␈α␈eigh␈α}ting:␈α∩(a)␈α∞The␈α∞new␈α∞pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈α∞(cf.
␈β
)␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α	2)␈α
are␈α	no␈α␈t␈α
really␈α
v␈α}ery␈α	far␈α
fro␈α␈m␈α
the␈α	old␈α	one␈α␈s␈α
in␈α
Eq.␈α(1␈α␈).␈αThe␈α
su␈α␈m␈α
o␈α␈f␈α
the␈α	t␈α␈wo␈α	dice
␈β
Q␈↓ ↓H␈εβte␈α␈nd␈α␈s␈αto␈αsm␈α␈ooth␈α
ou␈α␈t␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ities;␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αcon␈α␈sidered␈α
i␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈αeach␈α
of␈αthe␈α36␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e
␈β
y␈↓ ↓H␈εβp␈α␈airs␈αλo␈α␈f␈αλva␈α␈lues,␈αλan␈α␈d␈αλc␈α␈oun␈α}ted␈απthe␈α␈se,␈α	w␈α␈e␈απw␈α␈ould␈απpr␈α␈oba␈α␈bly␈απde␈α␈tect␈αλth␈α␈e␈αλd␈α␈i{␈α↓e␈α␈rence␈απqu␈α␈ite␈αλra␈α␈pidly
␈β ␈↓ ↓H␈εβ(a␈α␈ssumin␈α␈g␈αtha␈α␈t␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αd␈α␈ice␈αare␈αd␈α␈i␈α↓st␈α␈i␈α↓n␈α␈gu␈α␈i␈α↓sh␈α␈ab␈α␈le).␈α≤(b␈α␈)␈α
A␈αfar␈αmo␈α␈re␈αimpo␈α␈rtan␈α}t␈α
re␈α␈ason␈αis
␈βH␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∂␈ε	n␈↓ α-␈εβi␈α↓s␈α
to␈α␈o␈α
small␈αfo␈α␈r␈αa␈α	si␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈α
d␈α␈i␈α↓{ere␈α␈nce␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
dete␈α␈cted␈α␈.␈αIf␈α
the␈α
sa␈α␈me␈α
ex␈α␈perime␈α␈n␈α␈t␈α
is
␈βo␈↓ ↓H␈εβd␈α␈on␈α␈e␈αfor␈αlarg␈α␈e␈αeno␈α␈ug␈α␈h␈↓ ∧∂␈ε	n␈↓ ∧#␈εβ,␈αthe␈αfau␈α␈lty␈αd␈α␈i␈α↓c␈α␈e␈αwi␈α↓ll␈αbe␈αd␈α␈isco␈α␈v␈α}ered␈α(se␈α␈e␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α12).
␈β∨␈↓ αj␈εε1␈↓ π
␈εε1␈↓ 	i␈εε1
␈β"␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈ε	p␈↓ α3␈εβ=␈↓ β
␈εβfor␈α
2␈ε↔␈α∀␈↓ ∧␈ε	s␈↓ ∧&␈ε↔∀␈εβ␈α12␈αan␈α␈d␈↓ ¬C␈ε	s␈↓ ¬]␈ε↔≤␈εβ␈α7;␈↓ ε1␈ε	p␈↓ εZ␈εβ=␈↓ π≠␈εβ.␈α⊂Th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈αof␈↓ λ⎇␈ε	V␈↓ 	!␈εβis␈α
16␈↓ 	y␈εβ,␈α
w␈α↓h␈α␈ich␈αfalls
␈β-␈↓ α≤␈εs␈↓ εA␈εε7
␈β1␈↓ αd␈∧1αdα~␈↓ π
␈∧1π
α
␈↓ 	i␈∧1	iα
␈β3␈↓ αd␈εε1␈α␈2␈↓ π
␈εε6␈↓ 	i␈εε2
␈βJ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αth␈α␈e␈α75%␈α
a␈α␈nd␈α95␈α␈%␈α
en␈α␈tries␈αin␈αTable␈α1;␈α
so␈αi␈α↓t␈αis␈α
rea␈α␈son␈α␈ab␈α␈l␈α↓e,␈α
in␈αsp␈α␈i␈α↓te␈αof␈αthe␈αfac␈α␈t
␈βr␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αn␈α␈ot␈αtoo␈α
man␈α}y␈αsev␈α}ens␈αa␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y␈α
turn␈α␈ed␈αu␈α␈p.
␈β
 ␈↓ α(␈εε+
␈β
!␈↓ β]␈ε~␈
␈β
%␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε	K␈↓ αL␈εβ=␈α1␈α␈.␈α↓1␈α␈5;␈↓ βB␈ε	K␈↓ ∧↓␈εβ=␈α0.215␈α␈;␈α
th␈α␈ese␈αd␈α␈o␈αno␈α␈t␈αdi{er␈αsigni|␈α␈can␈α}tl␈α↓y␈αfrom␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r
␈β
4␈↓ α(␈εε2␈α␈0␈↓ β]␈εε20
␈β
L␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈eing␈α
at␈α
ab␈α␈out␈α
the␈α
94␈α␈%␈αan␈α␈d␈α8␈α␈6%␈αlev␈α␈e␈α␈l␈α↓s),␈αb␈α␈ut␈α
the␈α␈y␈α
are␈α
migh␈α␈ty␈α
clo␈α␈se.␈α(T␈α↓h␈α␈e␈α
data␈α
v␈α␈alue␈α␈s
␈β
t␈↓ ↓H␈εβin␈α
this␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈αcom␈α␈e␈αfrom␈αAp␈α␈pen␈α␈dix␈αA,␈αTab␈α␈le␈α1.)
␈β∞'␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβThe␈απpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈απtha␈α␈t␈↓ ∧;␈ε	X␈↓ ∧h␈ε↔∀␈↓ ¬∩␈ε	x␈↓ ¬,␈εβis␈↓ ¬J␈ε	F␈↓ ¬a␈εβ(␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ¬⎇␈εβ),␈α	so␈αλw␈α␈e␈αλh␈α␈av␈α}e␈αλthe␈απbino␈α␈mial␈αλdistrib␈α␈ution␈απdiscu␈α␈ssed
␈β∞-␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ π>␈ε↓↓
␈β∞1␈↓ ∧R␈εj
␈β∞G␈↓ π.␈εn
␈β∞J␈↓ λ␈εs␈↓ 	1␈εn␈↓ 	B␈ε~␈␈↓ 	[␈εs
␈β∞K␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ 	%␈εα)
␈β∞N␈↓ ↓H␈εβin␈α
Sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞1␈α␈.2.10.␈↓ βZ␈ε	F␈↓ β⎇␈εβ(␈↓ ∧λ␈ε	x␈↓ ∧~␈εβ)␈α∞=␈↓ ∧b␈ε	s␈↓ ∧p␈εβ/␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬"␈εβwith␈α∞p␈α␈rob␈α␈ability␈↓ πL␈ε	F␈↓ πc␈εβ(␈↓ πn␈ε	x␈↓ λ␈εβ)␈↓ λ"␈εβ1␈ε↔␈α	␈␈↓ λf␈ε	F␈↓ λ}␈εβ(␈↓ 		␈ε	x␈↓ 	~␈εβ)␈↓ 	f␈εβ;␈α⊂t␈α␈he␈α∞m␈α␈ean␈α
is
␈β∞Y␈↓ βm␈εn
␈β∞]␈↓ ¬∃␈ε↓p
␈β∞←␈↓ π0␈εs
␈β∞x␈↓ ¬9␈∧∞x¬9α↓{
␈β∞}␈↓ ¬x␈εα(␈↓ π∧␈εα)
␈β∂↓␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓←␈εβ(␈↓ ↓j␈ε	x␈↓ ↓{␈εβ);␈α
th␈α␈e␈αst␈α␈and␈α␈ard␈αd␈α␈eviatio␈α␈n␈αis␈↓ ¬9␈ε	F␈↓ ¬Q␈εβ(␈↓ ¬\␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ)␈↓ ε∧␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ εE␈ε	F␈↓ ε\␈εβ(␈↓ εg␈ε	x␈↓ εy␈εβ)␈↓ π⊂␈εβ/␈↓ π ␈ε	n␈↓ π4␈εβ.␈α∞(Cf.␈αEq␈α␈.␈α
1.2.10↑␈α␈19.␈α
Th␈α␈is␈αsu␈α␈ggest␈α␈s
␈β∂)␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αa␈αs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αbe␈α␈tter␈αstatistic␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αto␈αde␈α␈|n␈α␈e
␈β∂Z␈↓ πA␈ε↓p
␈β∂u␈↓ πe␈∧∂uπeα↓W
␈β∂z␈↓ βK␈εε+
␈β∂|␈↓ ∧9␈∧∂|∧9α∃
␈β∂⎇␈↓ ∧_␈ε↔p␈↓ ¬←␈εα(␈↓ π$␈εα)␈↓ λ$␈εα(␈↓ 	/␈εα)
␈β⊂␈↓ β/␈ε	K␈↓ βm␈εβ=␈↓ ∧9␈ε	n␈↓ ∧z␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬k␈ε	F␈↓ ε∞␈εβ(␈↓ ε→␈ε	x␈↓ ε*␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ εf␈ε	F␈↓ ε⎇␈εβ(␈↓ πλ␈ε	x␈↓ π→␈εβ)␈↓ π0␈εβ/␈↓ πe␈ε	F␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	x␈↓ λ→␈εβ)␈↓ λ0␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λq␈ε	F␈↓ 	λ␈εβ(␈↓ 	∪␈ε	x␈↓ 	$␈εβ)␈↓ 	;␈εβ,
␈β⊂
␈↓ ¬}␈εn
␈β⊂∂␈↓ βK␈εn
␈β⊂ ␈↓ ∧S␈ε~␈1␈εε<␈↓ ¬≡␈εx␈↓ ¬-␈εε<␈ε~1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβe␈α␈tc.)␈ε⊂␈α
Not␈α␈es:␈εβ␈α	Similarly␈α␈,␈αλw␈α␈e␈αεc␈α␈an␈αεc␈α␈alculate␈α¬the␈αεm␈α␈ean␈α¬and␈α¬stan␈α␈da␈α␈rd␈αεd␈α␈eviat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αεof␈↓ 	k␈ε	F␈↓ 
∞␈εβ(␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
*␈εβ)␈ε↔␈α↓␈␈↓ 
X␈ε	F␈↓ 
{␈εβ(␈↓ ε␈ε	y␈↓ _␈εβ),
␈β⊃↓␈↓ 	⎇␈εn␈↓ 
j␈εn
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α∃␈εβ<␈↓ α?␈ε	y␈↓ αR␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
ob␈α␈tain␈α	the␈α
c␈α␈o␈α␈va␈α␈rianc␈α␈e␈α
of␈↓ ε␈ε	F␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε	x␈↓ εK␈εβ),␈↓ εe␈ε	F␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	y␈↓ π%␈εβ).␈αUsi␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈ese␈α
fa␈α␈cts,␈α
i␈α↓t␈α
c␈α␈an␈α	be␈α
sh␈α␈o␈α␈wn
␈β⊃)␈↓ ε≡␈εn␈↓ εw␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα616␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α∞for␈α∂lar␈α␈ge␈α∂v␈α␈alu␈α␈es␈α∂o␈α␈f␈↓ ∧3␈ε	n␈↓ ∧V␈εβth␈α␈e␈α∂fu␈α␈nction␈↓ ε~␈ε	F␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εH␈ε	x␈↓ εY␈εβ)␈α∂b␈α␈eh␈α␈av␈α␈e␈α␈s␈α∂as␈α∞a␈α∂\␈α␈Bro␈α␈wnian␈α∞m␈α␈otion␈α␈,␈α↓"␈α∂a␈α␈nd
␈βα5␈↓ ε,␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβte␈α␈chn␈α␈ique␈α␈s␈αλfrom␈απth␈α␈i␈α↓s␈απb␈α␈ranc␈α␈h␈απof␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈απthe␈α␈ory␈απma␈α␈y␈απbe␈απused␈απt␈α␈o␈αλstu␈α␈dy␈απit.␈α
Th␈α␈e␈αλsitu␈α␈ation
␈βαy␈↓ ↓H␈εβis␈α	ex␈α␈ploited␈α	in␈α	a␈α␈rti␈α↓c␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α
b␈α␈y␈α	J.␈α	L.␈α
Do␈α␈ob␈α	an␈α␈d␈α	M␈α␈.␈α
D.␈α	Dons␈α␈k␈α␈er,␈ε⊂␈α
An␈α␈na␈α␈l␈α↓s␈α	Ma␈α␈th.␈α	Sta␈α␈t.␈ε∪␈α
2␈α␈0␈εβ␈α	(194␈α␈9),
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈93↑␈α␈403␈α
an␈α␈d␈ε∪␈α∞2␈α␈3␈εβ␈α∞(19␈α␈52),␈α∂2␈α␈77↑␈α␈281␈α␈;␈α⊂th␈α␈i␈α↓s␈α∞is␈α∞g␈α␈ene␈α␈rall␈α↓y␈α
reg␈α␈ard␈α␈ed␈α∞a␈α␈s␈α∞the␈α∞m␈α␈ost␈α∞en␈α␈li␈α↓g␈α␈h␈α␈ten␈α␈ing
␈ββI␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y␈αto␈αstu␈α␈dy␈α
the␈α
KS␈αtests.
␈ββ}␈↓ ε[␈εε+
␈ββ␈␈↓ α␈εα(␈↓ βV␈εα)
␈β∧α␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α_␈εβ(Cf.␈α
Eq.␈α
(13).␈↓ βk␈εβTak␈α␈e␈↓ ∧>␈ε	j␈↓ ∧V␈εβ=␈↓ ¬↓␈ε	n␈↓ ¬≡␈εβto␈α	see␈α	th␈α␈at␈↓ ε?␈ε	K␈↓ ε⎇␈εβis␈α
n␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈α
n␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈α	an␈α␈d␈α	it␈α
c␈α␈an␈α	ge␈α␈t␈α
a␈α␈s␈α
h␈α␈igh
␈β∧⊃␈↓ ε[␈εn
␈β∧%␈↓ 	A␈ε~␈
␈β∧'␈↓ α∩␈∧∧'α∩α∃
␈β∧)␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈↓ ↓p␈ε↔p␈↓ α∩␈ε	n␈↓ α&␈εβ.␈αSimilarly␈α␈,␈αta␈α␈k␈α␈e␈↓ ∧≠␈ε	j␈↓ ∧3␈εβ=␈α
1␈α
to␈αma␈α␈k␈α␈e␈αth␈α␈e␈αsame␈α
obse␈α␈rva␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αab␈α␈ou␈α␈t␈↓ 	%␈ε	K␈↓ 	Z␈εβ.
␈β∧8␈↓ 	A␈εn
␈β∧↑␈↓ ∪␈εε+
␈β∧b␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈αne␈α␈w␈αKS␈αstatistic␈αwa␈α␈s␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αfor␈α2␈α␈0␈αo␈α␈bserv␈α␈ation␈α␈s.␈α
The␈αdistribu␈α␈tion␈αof␈↓ 
x␈ε	K
␈β∧r␈↓ ∪␈εε10
␈β¬
␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈s␈αused␈α
as␈↓ α⎇␈ε	F␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	x␈↓ β1␈εβ)␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αKS␈αsta␈α␈tisti␈α↓c␈α
was␈αcom␈α␈pu␈α␈ted.
␈β¬C␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβThe␈α	i␈α↓d␈α␈ea␈α
is␈α
er␈α␈rone␈α␈ous␈α␈,␈αb␈α␈ecau␈α␈se␈α
all␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
ob␈α␈serv␈α␈ation␈α␈s␈α
m␈α␈us␈α␈t␈α
be␈ε⊂␈α
in␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t.␈εβ␈αThere
␈β¬g␈↓ ¬P␈εε+␈↓ εL␈ε~␈
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβis␈α	a␈αλrelation␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αλthe␈αλstatistics␈↓ ¬5␈ε	K␈↓ ¬r␈εβan␈α␈d␈↓ ε1␈ε	K␈↓ εn␈εβon␈αλthe␈αλsame␈αλda␈α␈ta,␈α
s␈α␈o␈α	ea␈α␈ch␈α	t␈α␈est␈α	sh␈α␈ould␈αλbe
␈β¬z␈↓ ¬P␈εn␈↓ εL␈εn
␈βε∩␈↓ ↓H␈εβju␈α␈dg␈α␈ed␈απsep␈α␈arate␈α␈l␈α↓y␈α␈.␈α
(A␈αλh␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈απva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈απof␈αλo␈α␈ne␈απten␈α␈ds␈απto␈απgiv␈α␈e␈απa␈απlo␈α␈w␈αλv␈α␈alue␈απo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλo␈α␈ther.)␈α
S␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈rl␈α↓y␈α␈,
␈βε:␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
e␈α␈n␈α␈tries␈α
in␈αF␈α↓ig␈α␈s.␈α
2␈α
an␈α␈d␈α5␈α
(wh␈α␈i␈α↓ch␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
15␈αtests␈αfor␈α
ea␈α␈ch␈αgen␈α␈erato␈α␈r)␈α
do␈αno␈α␈t␈α
sho␈α}w␈α
15
␈βεb␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈αob␈α␈serva␈α␈tions,␈αb␈α␈eca␈α␈use␈αth␈α␈e␈α\␈α␈max␈α␈i␈α↓m␈α}um␈αo␈α␈f␈α5"␈α
test␈αis␈αn␈α␈ot␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αo␈α␈f␈αthe
␈βπ	␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈max␈α␈im␈α␈um␈α
of␈α
4"␈α
te␈α␈st.␈αT␈α↓h␈α␈e␈α
thre␈α␈e␈αte␈α␈sts␈αo␈α␈f␈αe␈α␈ach␈α
h␈α␈orizon␈α}tal␈α
ro␈α␈w␈αa␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α
(beca␈α␈use
␈βπ1␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ey␈αw␈α␈er␈α␈e␈αdon␈α␈e␈αon␈αdi{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈αp␈α␈arts␈αof␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈enc␈α␈e),␈α
bu␈α␈t␈αthe␈α|␈α␈v␈α␈e␈αtes␈α␈ts␈α
in␈αa␈αcolum␈α␈n␈αare
␈βπX␈↓ ↓H␈εβso␈α␈mewh␈α␈at␈α
corre␈α␈l␈α↓a␈α␈ted.␈αTh␈α␈e␈α
net␈α
e{ect␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
9␈α␈5-pe␈α␈rcen␈α␈t␈α
p␈α␈rob␈α␈ability␈α
lev␈α␈e␈α␈l␈α↓s,␈α
etc.,
␈βλ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈α
a␈α␈pp␈α␈ly␈α
to␈αon␈α␈e␈α
test,␈α
can␈α␈no␈α␈t␈α
legitimat␈α␈el␈α↓y␈αb␈α␈e␈α
ap␈α␈plied␈αto␈α
a␈αwho␈α␈l␈α↓e␈αgro␈α␈up␈αof␈α
tests␈αon
␈βλ(␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αd␈α␈ata.␈αM␈α␈oral:␈αW␈α↓h␈α␈en␈α
testing␈α
a␈αra␈α␈nd␈α␈om-n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αg␈α␈enera␈α␈tor,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αe␈α␈xp␈α␈ect␈αit␈αto
␈βλO␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈pa␈α␈ss"␈αe␈α␈ach␈α
of␈αse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αtests,␈αe.g.,␈αth␈α␈e␈αfreq␈α␈uen␈α␈cy␈α
test,␈αm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αte␈α␈st,␈αrun␈α
test,␈αe␈α␈tc.;␈αbu␈α␈t
␈βλw␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αarray␈αo␈α␈f␈α
da␈α␈ta␈αf␈α↓r␈α␈om␈αsev␈α␈era␈α␈l␈α
di{eren␈α}t␈α
test␈α␈s␈α
sh␈α␈ould␈αn␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈α
c␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈ered␈αas␈αa␈αun␈α␈i␈α↓t␈αsince
␈β	~␈↓ πf␈εε+␈↓ λk␈ε~␈
␈β	≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
tests␈α∞th␈α␈emse␈α␈l␈α↓v␈α}es␈α∞m␈α␈ay␈α
no␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞in␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t.␈α∪The␈↓ πJ␈ε	K␈↓ λ␈εβand␈↓ λP␈ε	K␈↓ 	∩␈εβstat␈α␈i␈α↓stics␈α
sho␈α␈uld␈α
be
␈β	-␈↓ πf␈εn␈↓ λk␈εn
␈β	F␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈ered␈α	a␈α␈s␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	sep␈α␈ara␈α␈te␈α	tests;␈α
a␈α	goo␈α␈d␈α	sou␈α␈rce␈α	of␈α	ran␈α␈do␈α␈m␈α
n␈α}um␈α}bers␈α	wil␈α↓l␈α	pa␈α␈ss␈α
b␈α␈oth␈α	te␈α␈sts.
␈β	␈␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβEach␈↓ αa␈ε	Y␈↓ β␈εβis␈α
d␈α␈ou␈α␈bled␈α␈,␈α
an␈α␈d␈↓ ∧y␈ε	n␈↓ ¬
␈ε	p␈↓ ¬5␈εβis␈α
d␈α␈ou␈α␈bled␈α␈,␈α
so␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈mera␈α␈tors␈αof␈α(␈α↓6␈α␈)␈α
a␈α␈re␈α
q␈α␈ua␈α␈dru␈α␈pled
␈β

␈↓ αt␈εs␈↓ ¬≥␈εs
␈β
'␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈αth␈α␈e␈αden␈α␈omin␈α␈ator␈α␈s␈αo␈α␈nly␈αd␈α␈oub␈α␈le.␈αHen␈α␈ce␈αthe␈αn␈α␈ew␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ λG␈ε	V␈↓ λk␈εβis␈αt␈α␈wice␈αas␈αhigh␈α
as␈αthe
␈β
N␈↓ ↓H␈εβo␈α␈l␈α↓d␈α
on␈α␈e.
␈ββ␈↓ 	↑␈εε+␈↓ 
]␈ε~␈
␈βπ␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβThe␈α
e␈α␈mpirical␈α
distrib␈α␈ution␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
stay␈α␈s␈α
the␈α
sa␈α␈me;␈αth␈α␈e␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
of␈↓ 	B␈ε	K␈↓ 
↓␈εβan␈α␈d␈↓ 
A␈ε	K␈↓ ␈εβare
␈β⊗␈↓ 	↑␈εn␈↓ 
]␈εn
␈β)␈↓ β7␈∧)β7α⊃
␈β*␈↓ β⊗␈ε↔p
␈β/␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplied␈αb␈α␈y␈↓ β7␈εβ2␈↓ βH␈εβ.
␈βh␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	Z␈↓ αo␈εβ=␈α
(␈↓ β%␈ε	Y␈↓ βK␈ε↔␈␈↓ βt␈ε	n␈↓ ∧λ␈ε	q␈↓ ∧∨␈εβ)/␈↓ ∧\␈ε	n␈↓ ∧p␈ε	q␈↓ ¬π␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ε`␈ε	V␈↓ πβ␈εβis␈↓ π$␈ε	n␈↓ πC␈εβtimes
␈βi␈↓ ∧\␈∧i∧\α,
␈βk␈↓ ∧;␈ε↔p
␈βs␈↓ α[␈εs␈↓ β8␈εs␈↓ ∧∀␈εs␈↓ ∧|␈εs
␈β!␈↓ ∧l␈ε↓X
␈β"␈↓ εP␈ε↓p
␈β=␈↓ εt␈∧=εtα<
␈βA␈↓ πX␈εε2
␈βG␈↓ ¬2␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	q␈↓ ¬\␈ε↔␈␈↓ ε¬␈ε	p␈↓ ε'␈εβ+␈↓ εt␈ε	q␈↓ π␈εβ/␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π0␈ε	Z␈↓ πM␈εβ)␈↓ πd␈εβ/␈↓ πu␈ε	p␈↓ λ⊂␈εβ,
␈βQ␈↓ ¬I␈εs␈↓ ε∀␈εs␈↓ π␈εs␈↓ πA␈εs␈↓ λ¬␈εs
␈βx␈↓ ∧[␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬↓␈εs␈↓ ¬␈ε~∀␈↓ ¬%␈εk
␈β
R␈↓ 
m␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈/4
␈β
V␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α∞latter␈α
qu␈α␈an␈α␈tity␈α
stay␈α␈s␈α∞b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈α
away␈α
from␈α
zero␈α
as␈↓ λ.␈ε	n␈↓ λP␈εβincre␈α␈ases␈α
(␈α↓s␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ 
=␈ε	Z␈↓ 
Y␈ε	n
␈β
a␈↓ 
N␈εs
␈β
}␈↓ ↓H␈εβis␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αwi␈α↓th␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α
1␈α␈).␈α⊃Hen␈α␈ce␈αthe␈αvalu␈α␈e␈α
of␈↓ πE␈ε	V␈↓ πj␈εβwil␈α↓l␈α
in␈α␈crease␈αto␈α
a␈αv␈α␈alue␈αthat␈αis
␈β∞&␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xtrem␈α␈ely␈αimpr␈α␈oba␈α␈ble␈αu␈α␈nd␈α␈er␈αthe␈↓ ¬)␈ε	p␈↓ ¬O␈εβa␈α␈ssump␈α␈tion␈α␈.
␈β∞0␈↓ ¬8␈εs
␈β∞O␈↓ α␈εβFor␈α	th␈α␈e␈α	KS␈α	tes␈α␈t,␈α
let␈↓ ∧,␈ε	F␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ)␈α	be␈α	t␈α␈he␈α	as␈α␈sume␈α␈d␈α	distrib␈α␈ution␈α␈,␈↓ λ⊗␈ε	G␈↓ λ/␈εβ(␈↓ λ:␈ε	x␈↓ λL␈εβ)␈α	th␈α␈e␈α	act␈α␈ual␈α	d␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈,
␈β∞w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞let␈↓ α?␈ε	h␈↓ α↑␈εβ=␈↓ β∞␈εβma␈α␈x␈↓ βS␈ε↔j␈↓ β\␈ε	G␈↓ βu␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧M␈ε	F␈↓ ∧d␈εβ(␈↓ ∧o␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈ε↔j␈↓ ¬∃␈εβ.␈α∃Ta␈α␈k␈α␈e␈↓ ε
␈ε	n␈↓ ε,␈εβl␈α↓a␈α␈rge␈α∞en␈α␈oug␈α␈h␈α∞so␈α∞tha␈α␈t␈↓ λn␈ε↔j␈↓ λx␈ε	F␈↓ 	≠␈εβ(␈↓ 	&␈ε	x␈↓ 	7␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ 	r␈ε	G␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
⊗␈ε	x␈↓ 
(␈εβ)␈ε↔j␈↓ 
K␈εβ>␈↓ 
{␈ε	h␈↓ ␈εβ/2
␈β∂↓␈↓ 	
␈εn
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈rs␈αwi␈α↓th␈α
v␈α␈e␈α␈ry␈αsma␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈rob␈α␈ability;␈αthe␈α␈n␈↓ ε≤␈ε↔j␈↓ ε%␈ε	F␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	x␈↓ εd␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ π ␈ε	F␈↓ π7␈εβ(␈↓ πB␈ε	x␈↓ πS␈εβ)␈ε↔j␈↓ πs␈εβwill␈αbe␈αimp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
high␈α
un␈α␈de␈α␈r
␈β∂)␈↓ ε8␈εn
␈β∂F␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αassu␈α␈med␈α
distribu␈α␈tion␈↓ ∧;␈ε	F␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	x␈↓ ∧o␈εβ).
␈β∂␈␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ(The␈α	\␈α␈max␈α␈"␈α	no␈α␈tation␈α	sh␈α␈ou␈α␈ld␈α	really␈α	b␈α␈e␈α
r␈α␈eplac␈α␈ed␈α	by␈αλ\su␈α␈p"␈α	sinc␈α␈e␈α	a␈α	l␈α↓e␈α␈ast␈α	up␈α␈per␈α	b␈α␈ou␈α␈nd
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβis␈α
m␈α␈ean␈α}t;␈α∞ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞\␈α␈max␈α␈"␈α
wa␈α␈s␈α
use␈α␈d␈α
in␈αthe␈α
t␈α␈ext␈α
to␈αav␈α}oid␈α
c␈α␈onfu␈α␈sing␈αtoo␈αman␈α}y␈α
rea␈α␈der␈α␈s
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αthe␈αl␈α↓e␈α␈ss␈α
familiar␈α
\␈α␈sup␈α␈"␈α
n␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.)␈α⊂For␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α}enien␈α␈ce,␈α
let␈↓ λ$␈ε	X␈↓ λT␈εβ=␈ε↔␈α␈1␈εβ␈α↓,␈↓ 	Z␈ε	X␈↓ 
3␈εβ=␈α
+␈ε↔1␈εβ.
␈β⊂Y␈↓ λ;␈εε0␈↓ 	q␈εn␈↓ 
↓␈εε+␈α↓1
␈β⊂s␈↓ 	6␈εα(␈↓ 
v␈εα)
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈en␈↓ α&␈ε	X␈↓ αR␈ε↔∀␈↓ α⎇␈ε	x␈↓ β↔␈εβ<␈↓ βB␈ε	X␈↓ ∧␈εβ,␈α	w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬→␈ε	F␈↓ ¬;␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬X␈εβ)␈α	=␈↓ ε↔␈ε	j␈↓ ε&␈εβ/␈↓ ε6␈ε	n␈↓ εJ␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α	in␈αλthis␈α	in␈α␈te␈α␈rva␈α␈l␈↓ λx␈εβm␈α␈ax␈↓ 	B␈ε	F␈↓ 	e␈εβ(␈↓ 	p␈ε	x␈↓ 
α␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ 
7␈ε	F␈↓ 
N␈εβ(␈↓ 
Y␈ε	x␈↓ 
k␈εβ)␈↓ ␈εβ=
␈β⊃␈↓ α=␈εj␈↓ βY␈εj␈↓ βe␈εε+1␈↓ ¬+␈εn␈↓ 	U␈εn
␈β⊃~␈↓ βP␈εα(␈↓ ¬⊗␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓W␈εβ/␈↓ ↓g␈ε	n␈↓ αβ␈ε↔␈␈↓ α,␈ε	F␈↓ αC␈εβ(␈↓ αN␈ε	X␈↓ αq␈εβ)␈α↓;␈↓ β∩␈εβm␈α␈ax␈↓ β\␈ε	F␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧⊂␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧L␈ε	F␈↓ ∧o␈εβ(␈↓ ∧z␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬,␈εβ=␈↓ ¬X␈ε	F␈↓ ¬o␈εβ(␈↓ ¬z␈ε	X␈↓ εC␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε␈␈ε	j␈↓ π∞␈εβ/␈↓ π≡␈ε	n␈↓ π2␈εβ.␈α
For␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ λM␈ε	j␈↓ λf␈ε↔∀␈↓ 	∩␈ε	n␈↓ 	&␈εβ,␈αa␈α␈ll␈αreal␈αvalu␈α␈es␈αo␈α␈f
␈β⊃(␈↓ αe␈εj␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ε⊃␈εj␈↓ ε≥␈εε+1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα617
␈βα+␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓d␈εβare␈αc␈α␈onsid␈α␈ered␈α␈;␈αth␈α␈is␈αpro␈α␈v␈α}es␈αth␈α␈at
␈βα←␈↓ ε#␈ε↓∩␈↓ πU␈ε↓∪
␈βαe␈↓ ε?␈ε	j
␈βαu␈↓ ∧:␈εε+
␈βαw␈↓ ¬(␈∧αw¬(α∃
␈βαy␈↓ ¬π␈ε↔p
␈βα{␈↓ ∧≡␈ε	K␈↓ ∧\␈εβ=␈↓ ¬(␈ε	n␈↓ ¬P␈εβma␈α␈x␈↓ ε\␈ε↔␈␈↓ π∧␈ε	F␈↓ π≠␈εβ(␈↓ π'␈ε	X␈↓ πJ␈εβ)␈↓ πk␈εβ;
␈ββε␈↓ π>␈εj
␈ββ	␈↓ ε<␈∧β	ε<α∃
␈ββ
␈↓ ∧:␈εn
␈ββ∪␈↓ ε<␈ε	n
␈ββ≠␈↓ ¬B␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬h␈εj␈↓ ¬t␈ε~∀␈↓ ε
␈εn
␈ββI␈↓ εI␈ε↓∩␈↓ λ6␈ε↓∪
␈ββO␈↓ πc␈ε	j␈↓ πy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈ββ←␈↓ ∧:␈ε~␈
␈ββa␈↓ ¬(␈∧βa¬(α∃
␈ββc␈↓ ¬π␈ε↔p
␈ββe␈↓ ∧≡␈ε	K␈↓ ∧\␈εβ=␈↓ ¬(␈ε	n␈↓ ¬c␈εβma␈α␈x␈↓ ε←␈ε	F␈↓ εv␈εβ(␈↓ π↓␈ε	X␈↓ π$␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λL␈εβ.
␈ββp␈↓ π_␈εj
␈ββs␈↓ πc␈∧βsπcαP
␈ββt␈↓ ∧:␈εn
␈ββ⎇␈↓ λ↓␈ε	n
␈β∧¬␈↓ ¬B␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬h␈εj␈↓ ¬t␈ε~∀␈↓ ε
␈εn␈↓ ε≥␈εε+1
␈β∧G␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈ese␈αεa␈α␈re␈αεequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈αεto␈αε(13␈α␈)␈α↓,␈απsinc␈α␈e␈αεthe␈αεe␈α␈xtra␈αεte␈α␈rm␈αεun␈α␈de␈α␈r␈αεthe␈αεma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αεsigns␈αεis␈αεn␈α␈onp␈α␈ositiv␈α␈e
␈β∧n␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
i␈α↓t␈αm␈α␈u␈α␈st␈αbe␈α
redu␈α␈nd␈α␈an␈α}t␈αby␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α7␈α␈.
␈β¬≡␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβThe␈α
l␈α↓o␈α␈garith␈α␈m␈αof␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈α␈-␈α↓h␈α␈an␈α␈d␈αside␈α
si␈α↓m␈α␈pli|es␈αto
␈β¬I␈↓ α␈ε↓X
␈β¬R␈↓ β⊃␈ε↓∩␈↓ ∧@␈ε↓∪
␈β¬X␈↓ ∧¬␈ε	Z␈↓ ¬	␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬J␈ε	k
␈β¬c␈↓ ∧↔␈εs
␈β¬n␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ αL␈ε	Y␈↓ αp␈εβln␈↓ β'␈εβ1␈απ+␈↓ ∧]␈εβ+␈↓ ¬d␈εβln␈↓ ε␈εβ(2␈↓ ε≠␈ε	→␈↓ ε.␈ε	n␈↓ εB␈εβ)
␈β¬y␈↓ α←␈εs
␈β¬|␈↓ βl␈∧¬|βlαQ␈↓ ¬	␈∧¬|¬	αR
␈βεε␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧!␈ε	p␈↓ ¬*␈εβ2
␈βεπ␈↓ ∧
␈∧επ∧
α0
␈βελ␈↓ βl␈ε↔p
␈βε⊃␈↓ ∧1␈εs
␈βε ␈↓ ↓n␈εε1␈ε~∀␈↓ α∀␈εs␈↓ α ␈ε~∀␈↓ α9␈εk
␈βεD␈↓ ε¬␈ε↓X␈↓ πl␈ε↓X
␈βεM␈↓ λX␈ε↓∩␈↓ 
π␈ε↓∪␈↓ 
e␈ε↓∩␈↓ ⊗␈ε↓∪
␈βεS␈↓ ¬Y␈εβ1␈↓ π@␈εβ1␈↓ 	M␈ε	Z␈↓ ␈εβ1
␈βε↑␈↓ 	↑␈εs
␈βεi␈↓ ¬4␈ε↔␈␈↓ εP␈εβln␈↓ εq␈ε	p␈↓ π∀␈ε↔␈␈↓ λ7␈εβln␈↓ λn␈εβ1␈απ+␈↓ 
$␈εβ+␈↓ 
M␈ε	O
␈βεt␈↓ π↓␈εs
␈βεw␈↓ ¬Y␈∧εw¬Yα⊃␈↓ π@␈∧εwπ@α⊃␈↓ 	3␈∧εw	3αQ␈↓ 
␈␈∧εw
␈α∃
␈βπ↓␈↓ ¬Y␈εβ2␈↓ π@␈εβ2␈↓ 	T␈ε	n␈↓ 	h␈ε	p␈↓ 
␈␈ε	n
␈βπα␈↓ 	T␈∧πα	Tα0
␈βπβ␈↓ 	3␈ε↔p
␈βπ␈↓ 	x␈εs
␈βπ≠␈↓ ¬s␈εε1␈ε~∀␈↓ ε→␈εs␈↓ ε$␈ε~∀␈↓ ε=␈εk␈↓ πZ␈εε1␈ε~∀␈↓ λ␈εs␈↓ λ␈ε~∀␈↓ λ$␈εk
␈βπ\␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αλth␈α␈is␈α	q␈α␈uan␈α}tity␈αλsimpli|e␈α␈s␈α	fu␈α␈rther␈αλ(up␈α␈on␈αλe␈α␈xp␈α␈and␈α␈ing␈↓ π=␈εβln␈↓ πY␈εβ(1␈αβ+␈↓ λ≥␈ε	Z␈↓ λ:␈εβ/␈↓ λl␈ε	n␈↓ 	␈ε	p␈↓ 	≠␈εβ)␈α	a␈α␈nd␈αλrea␈α␈l␈α↓izin␈α␈g␈αλtha␈α␈t
␈βπ]␈↓ λl␈∧π]λlα0
␈βπ←␈↓ λK␈ε↔p
␈βπf␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βπg␈↓ λ/␈εs␈↓ 	⊂␈εs
␈βλ∧␈↓ αK␈ε	Z␈↓ β	␈ε	n␈↓ β≥␈ε	p␈↓ βA␈εβ=␈α
0␈α␈)␈αto
␈βλ¬␈↓ β	␈∧λ¬β	α0
␈βλε␈↓ αh␈ε↔p
␈βλ∞␈↓ α\␈εs␈↓ β-␈εs
␈βλ⊗␈↓ ↓n␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εs␈↓ α∨␈ε~∀␈↓ α8␈εk
␈βλA␈↓ λu␈ε↓ ␈↓ 	I␈ε↓!
␈βλC␈↓ β\␈ε↓X
␈βλR␈↓ β0␈εβ1␈↓ ∧␈␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬?␈ε	k␈↓ εv␈εβ1␈↓ 	"␈εβ1
␈βλb␈↓ ∧>␈εε2
␈βλh␈↓ β␈ε↔␈␈↓ ∧'␈ε	Z␈↓ ∧R␈εβ+␈↓ ¬Y␈εβln␈↓ ¬u␈εβ(2␈↓ ε⊂␈ε	→␈↓ ε#␈ε	n␈↓ ε7␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ π⊂␈εβln␈↓ π+␈εβ(␈↓ π7␈ε	p␈↓ πX␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ¬␈ε	p␈↓ λ"␈εβ)␈απ+␈↓ λ]␈ε	O␈↓ 	`␈εβ.
␈βλs␈↓ πF␈εε1␈↓ λ∃␈εk
␈βλv␈↓ β0␈∧λvβ0α⊃␈↓ ∧␈␈∧λv∧␈αR␈↓ εv␈∧λvεvα⊃␈↓ 	⊂␈∧λv	⊂α6
␈βλw␈↓ ∧>␈εs
␈β	␈↓ β0␈εβ2␈↓ ¬∨␈εβ2␈↓ εv␈εβ2
␈β	λ␈↓ 	1␈∧	λ	1α∃
␈β		␈↓ 	⊂␈ε↔p
␈β	
␈↓ 	1␈ε	n
␈β	~␈↓ βJ␈εε1␈ε~∀␈↓ βp␈εs␈↓ β{␈ε~∀␈↓ ∧∀␈εk
␈β	c␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThe␈αcorresp␈α␈on␈α␈din␈α␈g␈αJa␈α␈cob␈α␈i␈α↓a␈α␈n␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈αis␈αea␈α␈si␈α↓ly␈αeva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈α␈d␈αby␈α(a)␈αremo␈α}vin␈α␈g␈αthe
␈β
π␈↓ α;␈εn␈↓ αL␈ε~␈␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈↓ α-␈ε	r␈↓ β↓␈εβfrom␈α⊂t␈α␈he␈α⊂d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t,␈α∩(b␈α␈)␈α⊂exp␈α␈an␈α␈din␈α␈g␈α⊂th␈α␈e␈α⊂resu␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂d␈α␈etermin␈α␈an␈α}t␈α⊂by␈α∂the
␈β
3␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ofacto␈α␈rs␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλro␈α␈w␈απcon␈α}tain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απ\␈↓ ¬∃␈εβcos␈↓ ¬G␈ε	∩␈↓ ¬f␈ε↔␈␈↓ ε
␈εβsin␈↓ ε;␈ε	∩␈↓ ε[␈εβ0␈↓ εq␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π≥␈εβ0"␈απ(each␈απo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλco␈α␈facto␈α␈r␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈α␈s
␈β
=␈↓ ¬R␈εε1␈↓ εG␈εε1
␈β
R␈↓ λ∃␈εε2
␈β
V␈↓ 	≠␈εε2
␈β
Z␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αb␈α␈e␈αev␈α␈alua␈α␈ted␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n),␈αan␈α␈d␈α(c)␈αreca␈α␈ll␈α↓in␈α␈g␈αtha␈α␈t␈↓ πl␈εβsi␈α↓n␈↓ λ'␈ε	∩␈↓ λF␈εβ+␈↓ λo␈εβco␈α␈s␈↓ 	.␈ε	∩␈↓ 	O␈εβ=␈α	1.
␈β
e␈↓ λ2␈εε1␈↓ 	9␈εε1
␈ββ␈↓ α␈ε↓Z␈↓ λ∩␈ε↓Z
␈βλ␈↓ α;␈ε~p␈↓ αU␈∧λαUα≠␈↓ λA␈ε~p␈↓ λZ␈∧λλZα≠
␈β␈↓ π¬␈ε↓ ␈↓ πV␈ε↓!
␈β␈↓ α0␈εz␈↓ αU␈εε2␈↓ αa␈εx␈↓ αo␈εε+␈↓ β	␈εy␈↓ λ6␈εz␈↓ λZ␈εε2␈↓ λg␈εx
␈β⊗␈↓ βL␈ε↓∩␈↓ ¬β␈ε↓∪␈↓ 	)␈ε↓∩␈↓ 
a␈ε↓∪
␈β_␈↓ ∧≠␈εε2␈↓ 	y␈εε2
␈β≤␈↓ ∧π␈ε	u␈↓ π1␈εβ1␈↓ 	e␈ε	u
␈β(␈↓ ε=␈επ2
␈β,␈↓ ε→␈ε~␈␈↓ ε2␈εz
␈β2␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ β∩␈εβexp␈↓ βb␈ε↔␈␈↓ ∧4␈εβ+␈↓ ∧\␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬∨␈ε	d␈↓ ¬1␈ε	u␈↓ ¬O␈εβ=␈↓ ¬y␈ε	y␈↓ ε␈ε	e␈↓ εJ␈εβ+␈↓ εm␈ε	O␈↓ πo␈εβ+␈↓ λp␈εβex␈α␈p␈↓ 	?␈ε↔␈␈↓ 
∩␈εβ+␈↓ 
:␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
⎇␈ε	d␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β@␈↓ ∧π␈∧@∧πα#␈↓ π ␈∧@π α3␈↓ 	d␈∧@	dα#
␈βJ␈↓ ∧π␈εβ2␈↓ ∧↔␈ε	x␈↓ 	d␈εβ2␈↓ 	u␈ε	x
␈βR␈↓ πA␈∧RπAα∩
␈βS␈↓ π ␈ε↔p
␈βT␈↓ πA␈ε	x
␈βV␈↓ α ␈εε0␈↓ λ&␈εε0
␈β
␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αlatter␈αin␈α␈te␈α␈gral␈αis
␈β?␈↓ β→␈ε↓Z␈↓ εβ␈ε↓Z
␈βD␈↓ βH␈ε~p␈↓ βa␈∧Dβaα≠␈↓ ε2␈ε~p␈↓ εK␈∧DεKα≠
␈βG␈↓ λj␈ε↓ ␈↓ 	;␈ε↓!
␈βH␈↓ β=␈εz␈↓ βa␈εε2␈↓ βn␈εx␈↓ ε'␈εz␈↓ εK␈εε2␈↓ εX␈εx
␈βX␈↓ ¬Z␈εβ1␈↓ 	⊗␈εβ1
␈βd␈↓ ∧8␈επ2␈↓ π"␈επ2
␈βh␈↓ ∧∂␈ε~␈␈↓ ∧(␈εu␈↓ ∧D␈εε/␈α␈2␈↓ ∧]␈εx␈↓ εy␈ε~␈␈↓ π∩␈εu␈↓ π-␈εε/2␈↓ πG␈εx␈↓ πi␈εε3
␈βn␈↓ ∧α␈ε	e␈↓ ∧q␈ε	d␈↓ ¬β␈ε	u␈↓ ¬∨␈εβ+␈↓ εl␈ε	e␈↓ πU␈ε	u␈↓ π{␈ε	d␈↓ λ∞␈ε	u␈↓ λ)␈εβ+␈↓ λR␈ε	O␈↓ 	R␈εβ.
␈β|␈↓ ¬K␈∧|¬Kα/␈↓ 	¬␈∧|	¬α3
␈β
∧␈↓ ¬m␈εε2
␈β
ε␈↓ ¬K␈εβ3␈↓ ¬\␈ε	x
␈β
∞␈↓ 	&␈∧
∞	&α∩
␈β
∂␈↓ 	¬␈ε↔p
␈β
⊂␈↓ 	&␈ε	x
␈β
∩␈↓ β-␈εε0␈↓ ε↔␈εε0
␈β
I␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈en␈αa␈α␈l␈α↓l␈αis␈αpu␈α␈t␈αtoge␈α␈ther,␈αth␈α␈e␈α|n␈α␈al␈αresult␈αis
␈β
{␈↓ ¬D␈ε↓Z
␈β∞␈↓ ¬s␈ε~p␈↓ ε␈∧∞εα
␈β∞β␈↓ 
*␈ε↓ ␈↓ 
|␈ε↓!
␈β∞∧␈↓ ¬h␈εz␈↓ ε␈εε2
␈β∞␈↓ λ	␈επ2
␈β∞∞␈↓ βK␈∧∞∞βKα#
␈β∞∂␈↓ β*␈ε↔p
␈β∞⊂␈↓ πe␈ε~␈␈↓ π}␈εz
␈β∞∀␈↓ ↓\␈ε	␈
␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α∩␈εβ+␈αλ1,␈↓ αZ␈ε	x␈↓ αs␈εβ+␈↓ β≤␈ε	z␈↓ βK␈εβ2␈↓ β\␈ε	x␈↓ βt␈εβ+␈↓ ∧≥␈ε	y␈↓ ∧0␈εβ)␈↓ ¬⊂␈εβ1␈↓ πX␈ε	e␈↓ 
V␈εβ1
␈β∞ ␈↓ εU␈επ2
␈β∞$␈↓ ε+␈ε~␈␈↓ εD␈εu␈↓ ε`␈εε/2
␈β∞&␈↓ 	X␈εε2
␈β∞'␈↓ λv␈εε2␈↓ 	:␈εε2
␈β∞*␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ε≡␈ε	e␈↓ ε␈␈ε	d␈↓ π⊃␈ε	u␈↓ π&␈εβ+␈↓ λ%␈εβ(␈↓ λ0␈ε	y␈↓ λJ␈ε↔␈␈↓ 	∞␈ε↔␈␈↓ 	K␈ε	z␈↓ 	e␈εβ)␈↓ 	q␈εβ+␈↓ 
∩␈ε	O␈↓ ∪␈εβ.
␈β∞8␈↓ ↓\␈∧∞8↓\αα←␈↓ ∧v␈∧∞8∧vαE␈↓ πK␈∧∞8πKαV␈↓ λv␈∧∞8λvα
␈↓ 	:␈∧∞8	:α
␈↓ 
E␈∧∞8
Eα3
␈β∞:␈↓ λv␈εε3␈↓ 	:␈εε3
␈β∞B␈↓ αM␈εβ␈(␈↓ αl␈ε	x␈↓ β¬␈εβ+␈αλ1)
␈β∞J␈↓ ¬↔␈∧∞J¬↔α$␈↓ πm␈∧∞Jπmα5␈↓ 
f␈∧∞J
fα∩
␈β∞K␈↓ ∧v␈ε↔p␈↓ πK␈ε↔p␈↓ 
E␈ε↔p
␈β∞L␈↓ 
f␈ε	x
␈β∞N␈↓ ¬X␈ε~␈1
␈β∞P␈↓ ¬↔␈εβ2␈↓ ¬(␈ε	→␈↓ πm␈εβ2␈↓ π⎇␈ε	→␈↓ λ⊂␈ε	x
␈β∂π␈↓ α⎇␈∧∂πα⎇α⊃
␈β∂λ␈↓ α\␈ε↔p
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβIf␈αw␈α␈e␈αset␈↓ αN␈ε	z␈↓ α⎇␈εβ2␈↓ β↔␈εβ=␈↓ βA␈ε	x␈↓ βj␈εβa␈α␈nd␈α
wri␈α↓te
␈β∂_␈↓ βQ␈εp
␈β∂@␈↓ βπ␈ε↓Z
␈β∂C␈↓ 	0␈ε↓⊂␈↓ 	Z␈ε↓⊃
␈β∂E␈↓ β7␈ε~p␈↓ βP␈∧∂EβPα
␈β∂I␈↓ β+␈εz␈↓ βP␈εε2
␈β∂S␈↓ λ␈ε↓∩␈↓ λ`␈ε↓∪␈↓ λv␈ε↓≡
␈β∂Y␈↓ αS␈εβ1␈↓ π∂␈ε	↔␈↓ λ&␈ε	↔␈↓ λO␈ε	t␈↓ 	G␈ε	↔
␈β∂e␈↓ ∧_␈επ2
␈β∂j␈↓ βo␈ε~␈␈↓ ∧λ␈εu␈↓ ∧$␈εε/␈α␈2
␈β∂p␈↓ βb␈ε	e␈↓ ∧B␈ε	d␈↓ ∧U␈ε	u␈↓ ∧r␈εβ=␈↓ ¬≥␈ε	p␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ε∧␈ε	x␈↓ ε≥␈εβ+␈αλ1␈α	=␈↓ π"␈εβ,␈↓ πy␈ε	␈
␈↓ λ:␈εβ,␈↓ 	≤␈εβ␈␈↓ 	y␈εβ=␈↓ 
$␈ε	p␈↓ 
5␈εβ,
␈β∂}␈↓ α:␈∧∂}α:αE␈↓ π∞␈∧∂}π∞α⊃␈↓ λ%␈∧∂}λ%α⊃␈↓ λL␈∧∂}λLα⊃␈↓ 	F␈∧∂}	Fα⊃
␈β⊂π␈↓ π∞␈εβ2␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λL␈εβ2␈↓ 	F␈εβ2
␈β⊂∂␈↓ α[␈∧⊂∂α[α$
␈β⊂⊃␈↓ α:␈ε↔p
␈β⊂∪␈↓ β≠␈ε~␈1
␈β⊂∃␈↓ α[␈εβ2␈↓ αl␈ε	→
␈β⊂H␈↓ β|␈∧⊂Hβ|α#
␈β⊂I␈↓ β[␈ε↔p
␈β⊂J␈↓ λh␈εε2␈↓ 	S␈εε2
␈β⊂L␈↓ ↓␈∧⊂L↓α∩
␈β⊂M␈↓ 
`␈ε↔p
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	t␈↓ α4␈εβ/2␈α
=␈↓ β␈ε	x␈↓ β$␈εβ+␈↓ βM␈ε	z␈↓ β|␈εβ2␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧O␈ε	y␈↓ ∧b␈εβ,␈αw␈α␈e␈αcan␈αso␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αfo␈α␈r␈↓ εm␈ε	y␈↓ π␈εβto␈αobt␈α␈ain␈↓ λ≤␈ε	y␈↓ λ9␈εβ=␈↓ λy␈εβ(1␈απ+␈↓ 	E␈ε	z␈↓ 	←␈εβ)␈αλ+␈↓ 
≠␈ε	O␈↓ 
3␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ ↓␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β⊂\␈↓ λh␈∧⊂\λhα
␈β⊂↑␈↓ λh␈εε3
␈β⊂s␈↓ 
g␈∧⊂s
gα⊂
␈β⊂u␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈α
is␈αco␈α␈nsisten␈α}t␈αwith␈α
th␈α␈e␈αa␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈α
an␈α␈alysis.␈αThe␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α
is␈αth␈α␈erefo␈α␈re␈↓ 	8␈ε	t␈↓ 	M␈εβ=␈↓ 	w␈ε	↔␈↓ 

␈εβ+␈απ2␈↓ 
F␈ε↔p␈↓ 
g␈ε	↔␈↓ 
w␈ε	z␈↓ ␈εβ+
␈β⊃→␈↓ ↓i␈εε2
␈β⊃~␈↓ ↓K␈εε4␈↓ α*␈εε2
␈β⊃≠␈↓ βP␈∧⊃≠βPα⊂
␈β⊃≤␈↓ β/␈ε↔p
␈β⊃≥␈↓ ↓\␈ε	z␈↓ ↓⎇␈ε↔␈␈↓ αB␈εβ+␈↓ αj␈ε	O␈↓ βα␈εβ(1/␈↓ βP␈ε	↔␈↓ βe␈εβ).
␈β⊃+␈↓ ↓K␈∧⊃+↓Kα
␈↓ α*␈∧⊃+α*α
␈β⊃-␈↓ ↓K␈εε3␈↓ α*␈εε3
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα618␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈αCh␈α␈ang␈α␈e␈αof␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ¬
␈ε↔ ␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬Z␈εβ+␈↓ εβ␈ε	t␈↓ ε∂␈εβ.␈α→(b)␈αIn␈α␈du␈α␈ction␈αo␈α␈n␈↓ λ)␈ε	n␈↓ λ=␈εβ;␈αby␈α
de|␈α␈nition␈α␈,
␈βα5␈↓ ∧w␈εj␈↓ ¬G␈εj
␈βαr␈↓ ¬u␈ε↓Z
␈βαz␈↓ ε→␈εx
␈ββ!␈↓ ∧-␈ε	P␈↓ ∧↑␈εβ(␈↓ ∧i␈ε	x␈↓ ¬α␈ε↔␈␈↓ ¬*␈ε	t␈↓ ¬6␈εβ)␈α
=␈↓ ε-␈ε	P␈↓ π∀␈εβ(␈↓ π∨␈ε	x␈↓ πF␈ε↔␈␈↓ πo␈ε	t␈↓ π{␈εβ)␈↓ λ␈ε	d␈↓ λ≡␈ε	x␈↓ λ=␈εβ.
␈ββ+␈↓ ∧A␈εn␈↓ ∧Q␈εε0␈↓ π.␈εn␈↓ λ-␈εn
␈ββ,␈↓ ε@␈εε(␈↓ εI␈εn␈↓ εY␈ε~␈␈εε1)0
␈ββD␈↓ ε	␈εn
␈β∧
␈↓ ↓H␈εβ(c)␈αTh␈α␈e␈αleft-han␈α␈d␈αsid␈α␈e␈αis
␈β∧Z␈↓ α#␈ε↓Z␈↓ βk␈ε↓Z␈↓ π∞␈ε↓Z␈↓ π␈␈ε↓Z␈↓ 	R␈ε↓Z
␈β∧c␈↓ αG␈εx␈↓ αU␈εε+␈↓ αo␈εt␈↓ ∧∂␈εx␈↓ π2␈εk␈↓ λ#␈εx␈↓ 	v␈εx
␈β∧k␈↓ ∧≤␈ε
k␈↓ ∧)␈επ+␈α␈2␈↓ λ0␈ε
k␈↓ 
β␈επ2
␈β¬	␈↓ ββ␈ε	d␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β?␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧V␈ε	d␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ¬r␈εβti␈α↓m␈α␈es␈↓ πJ␈ε	d␈↓ π\␈ε	x␈↓ λG␈ε	d␈↓ λZ␈ε	x␈↓ 	%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
→␈ε	d␈↓ 
,␈ε	x␈↓ 
H␈εβ.
␈β¬∀␈↓ β%␈εn␈↓ ∧w␈εk␈↓ ¬¬␈εε+1␈↓ πl␈εk␈↓ λi␈εk␈↓ λv␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
;␈εε1
␈β¬-␈↓ α7␈εn␈↓ β␈␈εk␈↓ ∧␈εε+␈α↓1␈↓ π"␈εt␈↓ λ∪␈εt␈↓ 	f␈εt
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβ(d␈α␈)␈αF␈α↓ro␈α␈m␈α(b),␈α(c)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βεD␈↓ ∧N␈ε↓X
␈βεO␈↓ ¬}␈εr␈↓ π4␈εn␈↓ πE␈ε~␈␈↓ π↑␈εr␈↓ πj␈ε~␈␈εε1
␈βεT␈↓ ¬≡␈εβ(␈↓ ¬)␈ε	r␈↓ ¬?␈ε↔␈␈↓ ¬g␈ε	t␈↓ ¬s␈εβ)␈↓ ε∩␈εβ(␈↓ ε≥␈ε	x␈↓ ε6␈εβ+␈↓ ε←␈ε	t␈↓ εr␈ε↔␈␈↓ π≠␈ε	r␈↓ π)␈εβ)
␈βεj␈↓ β0␈ε	P␈↓ βa␈εβ(␈↓ βl␈ε	x␈↓ β⎇␈εβ)␈α	=␈↓ λ∪␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	x␈↓ λ7␈εβ+␈↓ λ`␈ε	t␈↓ λs␈ε↔␈␈↓ 	≤␈ε	n␈↓ 	0␈εβ).
␈βεt␈↓ βC␈εn␈↓ βS␈εk
␈βεx␈↓ ¬≡␈∧εx¬≡αn␈↓ ε∩␈∧εxε∩α↓}
␈βπ↓␈↓ ¬H␈ε	r␈↓ ¬W␈εβ!␈↓ εX␈εβ(␈↓ εc␈ε	n␈↓ ε}␈ε↔␈␈↓ π'␈ε	r␈↓ π6␈εβ)!
␈βπ≠␈↓ ∧<␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧b␈εr␈↓ ∧n␈ε~∀␈↓ ¬π␈εk
␈βπ}␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈mera␈α␈tor␈αin␈α(24␈α␈)␈αi␈α↓s␈↓ ∧9␈ε	P␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	n␈↓ ¬→␈εβ).
␈βλ	␈↓ ∧L␈εn␈↓ ∧\␈ε~b␈↓ ∧f␈εt␈↓ ∧p␈ε~c
␈βλ@␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβWe␈α	m␈α␈ay␈αλassu␈α␈me␈αλthat␈↓ ∧B␈ε	F␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε	x␈↓ ∧v␈εβ)␈α	=␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬O␈εβfo␈α␈r␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ εD␈ε	x␈↓ ε←␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈,␈α
a␈α␈s␈α	re␈α␈mark␈α}ed␈αλi␈α↓n␈αλth␈α␈e␈αλtext's␈αλderiv␈α␈ation
␈βλh␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α(24).␈α∞If␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ β'␈ε	X␈↓ βU␈ε↔∀␈↓ ∧↓␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧2␈ε↔∀␈↓ ∧↑␈ε	X␈↓ ¬⊂␈ε↔∀␈εβ␈α1,␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ ε∪␈ε	Z␈↓ ε;␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓ π)␈ε	X␈↓ λ≤␈εβ.␈α
W␈α↓e␈αhav␈α}e␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ 
¬␈ε	Z␈↓ 
.␈ε↔∀␈↓ 
Z␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ␈ε↔∀
␈βλs␈↓ β>␈εε1␈↓ ∧v␈εn␈↓ ε%␈εj␈↓ π@␈εn␈↓ πQ␈εε+1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ⊂␈εj␈↓ 
↔␈εε1
␈β	␈↓ β3␈εε+␈↓ πN␈ε~␈
␈β	⊂␈↓ ↓H␈ε	Z␈↓ ↓y␈ε↔∀␈εβ␈α∂1;␈α⊂an␈α␈d␈↓ β↔␈ε	K␈↓ β[␈εβe␈α␈valu␈α␈ated␈α∞for␈↓ ¬-␈ε	X␈↓ ¬Q␈εβ,␈↓ ¬`␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∃␈ε	X␈↓ εK␈εβequ␈α␈als␈↓ π3␈ε	K␈↓ πv␈εβev␈α␈alua␈α␈ted␈α∞for␈↓ 	H␈ε	Z␈↓ 	g␈εβ,␈↓ 	u␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
≤␈εβ,␈↓ 
+␈ε	Z␈↓ 
M␈εβ.␈α⊗Th␈α␈is
␈β	~␈↓ ↓Y␈εn␈↓ ¬D␈εε1␈↓ ε,␈εn␈↓ 	Z␈εε1␈↓ 
=␈εn
␈β	∨␈↓ β3␈εn␈↓ πN␈εn
␈β	7␈↓ ↓H␈εβsy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c␈α␈al␈α
relat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αgiv␈α␈es␈αa␈α
o␈α␈ne-to␈α␈-on␈α␈e␈α
co␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈en␈α␈ce␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αsets␈αof␈αequ␈α␈al␈α
v␈α}olume
␈β	[␈↓ αw␈εε+␈↓ βx␈ε~␈
␈β	←␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αwhich␈↓ α\␈ε	K␈↓ β≠␈εβand␈↓ β\␈ε	K␈↓ ∧≤␈εβfall␈αi␈α↓n␈α
a␈αgiv␈α}en␈αra␈α␈nge␈α␈.
␈β	n␈↓ αw␈εn␈↓ βx␈εn
␈β
"␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	m␈↓ αs␈εβbe␈αa␈α␈n␈α␈y␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε↔␈α∃␈↓ ¬π␈ε	n␈↓ ¬≠␈εβ.␈α≠(a␈α␈)␈α
If␈ε↔␈αb␈↓ ε!␈ε	m␈↓ ε>␈ε	F␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	X␈↓ πα␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α=␈ε↔␈αb␈↓ π↑␈ε	m␈↓ π{␈ε	F␈↓ λ∩␈εβ(␈↓ λ≥␈ε	X␈↓ λA␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈αa␈α␈nd␈↓ 	&␈ε	i␈↓ 	>␈εβ>␈↓ 	j␈ε	j␈↓ 
¬␈εβth␈α␈en␈↓ 
R␈ε	i␈↓ 
↑␈εβ/␈↓ 
o␈ε	n␈↓ ␈ε↔␈
␈β
,␈↓ εw␈εi␈↓ λ5␈εj
␈β
I␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓←␈εβ(␈↓ ↓j␈ε	X␈↓ α␈εβ)␈α	>␈↓ αK␈ε	j␈↓ αZ␈εβ/␈↓ αj␈ε	n␈↓ β¬␈ε↔␈␈↓ β-␈ε	F␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	X␈↓ βr␈εβ).␈α_(b)␈α
Sta␈α␈rt␈αwith␈↓ ¬q␈ε	a␈↓ ε↔␈εβ=␈α	1.0,␈↓ π␈ε	b␈↓ π"␈εβ=␈α
0.0␈α␈,␈↓ λ␈ε	c␈↓ λ.␈εβ=␈α	0␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α0␈ε↔␈αλ∀␈↓ 	k␈ε	k␈↓ 
¬␈εβ<␈↓ 
/␈ε	m␈↓ 
L␈εβ.␈αTh␈α␈en
␈β
T␈↓ α↓␈εi␈↓ βf␈εj␈↓ ε␈εk␈↓ π␈εk␈↓ λ↔␈εk
␈β
q␈↓ ↓H␈εβd␈α␈o␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfo␈α␈r␈αea␈α␈ch␈αo␈α␈bserv␈α␈ation␈↓ ¬r␈ε	X␈↓ ε∃␈εβ:␈αS␈α␈et␈↓ εc␈ε	Y␈↓ πε␈ε↔ ␈↓ π1␈ε	F␈↓ πH␈εβ(␈↓ πS␈ε	X␈↓ πv␈εβ),␈↓ λ⊗␈ε	k␈↓ λ0␈ε↔ ␈α
b␈↓ λh␈ε	m␈↓ 	¬␈ε	Y␈↓ 	≡␈ε↔c␈εβ,␈↓ 	@␈ε	a␈↓ 	f␈ε↔ ␈↓ 
⊃␈εβmin␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	a␈↓ 
q␈εβ,␈↓ 
␈␈ε	Y␈↓ _␈εβ),
␈β
|␈↓ ε	␈εj␈↓ πj␈εj␈↓ 	O␈εk␈↓ 
c␈εk
␈β→␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α∃␈εβm␈α␈ax␈↓ αT␈εβ(␈↓ α←␈ε	b␈↓ αx␈εβ,␈↓ βπ␈ε	Y␈↓ β∨␈εβ)␈α↓,␈↓ β>␈ε	c␈↓ β`␈ε↔ ␈↓ ∧␈ε	c␈↓ ∧)␈εβ+␈αε1.␈α[Assu␈α␈me␈α	tha␈α␈t␈↓ ε=␈ε	F␈↓ εT␈εβ(␈↓ ε←␈ε	X␈↓ πβ␈εβ)␈α	<␈α	1␈α
so␈α	th␈α␈at␈↓ λJ␈ε	k␈↓ λc␈εβ<␈↓ 	∞␈ε	m␈↓ 	+␈εβ.]␈αThe␈α␈n␈α	set␈↓ 
P␈ε	j␈↓ 
h␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,
␈β#␈↓ ↓T␈εk␈↓ αk␈εk␈↓ βJ␈εk␈↓ ∧↔␈εk␈↓ εv␈εj
␈β<␈↓ ↓V␈εε+␈↓ α3␈ε~␈
␈β@␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓y␈ε↔ ␈↓ α%␈ε	r␈↓ αV␈ε↔ ␈εβ␈α0␈α␈,␈αan␈α␈d␈αfor␈↓ ∧≤␈ε	k␈↓ ∧7␈εβ=␈α
0,␈α1,␈↓ ¬-␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬Y␈εβ,␈↓ ¬n␈ε	m␈↓ ε∪␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α(i␈α↓n␈αt␈α␈his␈αo␈α␈rder)␈αdo␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αw␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈e␈α␈r
␈βd␈↓ β↓␈ε~␈␈↓ ∧&␈ε~␈␈↓ π)␈εε+␈↓ λO␈εε+
␈βh␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓j␈εβ>␈α
0␈α␈:␈αSet␈↓ αr␈ε	r␈↓ β#␈ε↔ ␈↓ βN␈εβma␈α␈x␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧_␈ε	r␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧N␈ε	a␈↓ ∧r␈ε↔␈␈↓ ¬~␈ε	j␈↓ ¬)␈εβ/␈↓ ¬:␈ε	n␈↓ ¬N␈εβ),␈↓ ¬m␈ε	j␈↓ ε¬␈ε↔ ␈↓ ε/␈ε	j␈↓ εE␈εβ+␈↓ εm␈ε	c␈↓ πε␈εβ,␈↓ π~␈ε	r␈↓ πK␈ε↔ ␈↓ πv␈εβma␈α␈x␈↓ λ5␈εβ(␈↓ λ@␈ε	r␈↓ λh␈εβ,␈↓ λw␈ε	j␈↓ 	ε␈εβ/␈↓ 	⊗␈ε	n␈↓ 	1␈ε↔␈␈↓ 	Y␈ε	b␈↓ 	r␈εβ).␈αFin␈α␈all␈α↓y␈α
se␈α␈t
␈βr␈↓ ↓T␈εk␈↓ ∧↑␈εk␈↓ εy␈εk␈↓ 	e␈εk
␈β␈↓ ↓c␈εε+␈↓ αt␈εε+␈↓ β=␈ε~␈␈↓ ∧N␈ε~␈
␈β
␈↓ αQ␈∧
αQα∃␈↓ ∧+␈∧
∧+α∃
␈β∂␈↓ ↓H␈ε	K␈↓ αε␈ε↔ ␈↓ α0␈ε↔p␈↓ αQ␈ε	n␈↓ αe␈ε	r␈↓ β
␈εβ,␈↓ β!␈ε	K␈↓ β←␈ε↔ ␈↓ ∧
␈ε↔p␈↓ ∧+␈ε	n␈↓ ∧?␈ε	r␈↓ ∧g␈εβ.␈αThe␈αtime␈α
requ␈α␈i␈α↓r␈α␈ed␈αis␈↓ π.␈ε	O␈↓ πF␈εβ(␈↓ πQ␈ε	m␈↓ πu␈εβ+␈↓ λ≡␈ε	n␈↓ λ2␈εβ),␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αpre␈α␈cise␈αva␈α␈lue␈αo␈α␈f
␈β≡␈↓ ↓c␈εn␈↓ β=␈εn
␈β4␈↓ π⎇␈εε1
␈β7␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβn␈α␈eed␈αno␈α␈t␈αbe␈αkn␈α␈o␈α␈wn␈αin␈αad␈α␈van␈α␈ce.␈α∞(If␈αth␈α␈e␈αestima␈α␈te␈α(␈↓ π8␈ε	k␈↓ πP␈εβ+␈↓ λ∞␈εβ)/␈↓ λ)␈ε	m␈↓ λS␈εβis␈αu␈α␈sed␈αfor␈↓ 	v␈ε	a␈↓ 
∨␈εβa␈α␈nd␈↓ 
`␈ε	b␈↓ 
y␈εβ,␈α
so
␈βB␈↓ 
ε␈εk␈↓ 
l␈εk
␈βE␈↓ π⎇␈∧Eπ⎇α
␈βG␈↓ π⎇␈εε2
␈βZ␈↓ ∪␈εε+
␈β←␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αon␈α␈ly␈αthe␈αva␈α␈lues␈↓ β}␈ε	c␈↓ ∧$␈εβa␈α␈re␈α
a␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y␈αcomp␈α␈ute␈α␈d␈αfor␈αeach␈↓ π{␈ε	k␈↓ λ␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αob␈α␈tain␈αestima␈α␈tes␈α
o␈α␈f␈↓ 
x␈ε	K
␈βi␈↓ ∧
␈εk
␈βn␈↓ ∪␈εn
␈β
α␈↓ α$␈ε~␈
␈β
β␈↓ ∧.␈εε1
␈β
∧␈↓ ∧←␈∧
∧∧←α∃
␈β
¬␈↓ ∧>␈ε↔p
␈β
ε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	K␈↓ αI␈εβgo␈α␈od␈αto␈αwithin␈↓ ∧←␈ε	n␈↓ ∧s␈εβ/␈↓ ¬∧␈ε	m␈↓ ¬!␈εβ,␈αev␈α␈e␈α␈n␈αwhen␈↓ ε[␈ε	m␈↓ πα␈εβ<␈↓ π-␈ε	n␈↓ πA␈εβ.)␈α
[␈ε⊂A␈α␈CM␈αTran␈α␈s.␈αMa␈α␈th.␈αS␈α␈oft␈α␈war␈α␈e␈ε∪␈α3
␈β
∀␈↓ ∧.␈∧
∀∧.α
␈β
∃␈↓ α$␈εn
␈β
⊗␈↓ ∧.␈εε2
␈β
.␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈977␈α␈),␈α6␈α␈0↑6␈α␈4.]
␈β∞Z␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.3␈α␈.2
␈β∂=␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α∞o␈α␈bserv␈α␈ation␈α␈s␈α∂fo␈α␈r␈α∂a␈α∞ch␈α␈i-␈α↓s␈α␈qua␈α␈re␈α∞test␈α∂m␈α}ust␈α∞be␈α∞ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t,␈α∂an␈α␈d␈α∞i␈α↓n␈α∞t␈α␈he␈α∞seco␈α␈nd
␈β∂d␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈αλsu␈α␈ccessiv␈α␈e␈αλo␈α␈bserv␈α␈ation␈α␈s␈α	a␈α␈re␈α	m␈α␈an␈α␈i␈α↓festly␈αλd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t,␈α	sinc␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	se␈α␈con␈α␈d␈αλcom␈α␈pon␈α␈en␈α}t
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αone␈αe␈α␈qu␈α␈als␈αthe␈α|␈α␈rst␈αcom␈α␈pon␈α␈en␈α}t␈αo␈α␈f␈αthe␈αn␈α␈ext␈α␈.
␈β⊂O␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβForm␈↓ αi␈ε	t␈↓ αu␈εβ-tup␈α␈les␈α∞(␈↓ βp␈ε	Y␈↓ ∧→␈εβ,␈↓ ∧(␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧c␈ε	Y␈↓ ¬U␈εβ),␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∞0␈ε↔␈α
∀␈↓ ε{␈ε	j␈↓ π↔␈εβ<␈↓ πF␈ε	n␈↓ πZ␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
co␈α␈un␈α}t␈α∞h␈α␈o␈α␈w␈α∞ma␈α␈n␈α␈y␈α
of␈α
these
␈β⊂Z␈↓ ∧β␈εj␈↓ ∧∂␈εt␈↓ ∧v␈εj␈↓ ¬β␈εt␈↓ ¬␈εε+␈↓ ¬%␈εt␈↓ ¬/␈ε~␈␈εε1
␈β⊂r␈↓ λi␈εt
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈ossible␈αva␈α␈lue.␈αAp␈α␈ply␈αth␈α␈e␈αc␈α␈hi-squ␈α␈are␈αtest␈αwith␈↓ λ∩␈ε	k␈↓ λ,␈εβ=␈↓ λW␈ε	d␈↓ λ}␈εβand␈α
wi␈α↓th␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β⊃~␈↓ ↓{␈εt␈↓ 
_␈εt
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	d␈↓ α⊂␈εβin␈αea␈α␈ch␈αca␈α␈tego␈α␈ry.␈αThe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αo␈α␈bserv␈α␈ation␈α␈s,␈↓ π@␈ε	n␈↓ πT␈εβ,␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
be␈αa␈α␈t␈αl␈α↓e␈α␈ast␈α5␈↓ 
ε␈ε	d␈↓ 
"␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα619
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ ∧E␈ε	j␈↓ ∧`␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αa␈α␈re␈αexa␈α␈mined␈α␈,␈αi.e.,␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ 

␈ε	U␈↓ 
]␈εβis␈αthe
␈βα5␈↓ 
∨␈εj␈↓ 
,␈ε~␈␈εε1
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈εβth␈α
elemen␈α}t␈αof␈αthe␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈αl␈α↓y␈α␈ing␈αin␈α
the␈αra␈α␈nge␈↓ εx␈ε	␈↓ π∀␈ε↔∀␈↓ π?␈ε	U␈↓ λ∂␈εβ<␈↓ λ9␈ε	␈␈↓ λN␈εβ,␈αis␈αe␈α␈asily␈αseen␈α
to␈αb␈α␈e
␈βα]␈↓ πT␈εj␈↓ π`␈ε~␈␈εε1
␈ββ≡␈↓ ¬⊗␈ε↓∩␈↓ ε␈ε↓∪
␈ββ$␈↓ ¬.␈ε	j␈↓ ¬E␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈ββ4␈↓ ε'␈εn␈↓ π ␈εj␈↓ π,␈ε~␈␈↓ πE␈εn
␈ββ:␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε8␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π∧␈ε	p␈↓ π∀␈εβ)␈↓ πU␈εβ,
␈ββR␈↓ ¬,␈ε	n␈↓ ¬G␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β∧!␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α
en␈α␈u␈α␈mera␈α␈tion␈α
of␈α
the␈α
po␈α␈ssible␈α∞p␈α␈laces␈α
in␈α
which␈α
th␈α␈e␈α∞o␈α␈ther␈↓ λ%␈ε	n␈↓ λB␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rrenc␈α␈es␈α∞ca␈α␈n␈α
ap␈α␈-
␈β∧I␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ear␈α∞and␈α∞b␈α␈y␈α∂e␈α␈valu␈α␈ating␈α∞the␈α∞pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α∞of␈α∂su␈α␈ch␈α∞a␈α∂p␈α␈atter␈α␈n.␈α⊗T␈α↓h␈α␈e␈α∂g␈α␈ene␈α␈rating␈α∞fun␈α␈ction
␈β∧l␈↓ ∧x␈εn
␈β∧m␈↓ α`␈εα(␈↓ ∧l␈εα)
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓j␈ε	G␈↓ αβ␈εβ(␈↓ α∂␈ε	z␈↓ α≤␈εβ)␈α=␈↓ αl␈ε	p␈↓ α⎇␈ε	z␈↓ β␈εβ/(1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧7␈ε	p␈↓ ∧H␈εβ)␈↓ ∧S␈ε	z␈↓ ∧a␈εβ)␈↓ ¬	␈εβ,␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αmak␈α}es␈α
sen␈α␈se␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αthe␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈α
d␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αi␈α↓s␈αthe
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈εβ-fold␈α∞co␈α␈n␈α␈v␈α}olution␈α∞o␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∂sa␈α␈me␈α∞thin␈α␈g␈α∂fo␈α␈r␈↓ ε3␈ε	n␈↓ εV␈εβ=␈α∂1␈α␈.␈α⊗Hen␈α␈ce␈α∞the␈α∞mea␈α␈n␈α∞an␈α␈d␈α∞varia␈α␈nce␈α∞are
␈β¬?␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rop␈α␈ortion␈α␈al␈αto␈↓ β1␈ε	n␈↓ βE␈εβ;␈αthe␈αn␈α␈um␈α}ber␈αo␈α␈f␈↓ ¬5␈ε	U␈↓ ¬P␈εβ'␈α↓s␈αto␈αbe␈αexa␈α␈mined␈αis␈αno␈α␈w␈αe␈α␈asily␈αfou␈α␈nd␈αto␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe
␈β¬D␈↓ εM␈ε↓p
␈β¬←␈↓ εq␈∧¬←εqα↓≡
␈β¬d␈↓ β ␈εα(␈↓ λ∂␈εα)
␈β¬g␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hara␈α␈cteristics␈↓ β,␈εβmin␈↓ βl␈ε	n␈↓ ∧␈εβ,␈α
a␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧M␈ε	n␈↓ ∧a␈εβ/␈↓ ∧q␈ε	p␈↓ ¬α␈εβ,␈α
ma␈α␈x␈ε↔␈α	1␈εβ,␈α
d␈α␈ev␈↓ εq␈ε	n␈↓ π¬␈εβ(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ πQ␈ε	p␈↓ πb␈εβ)/␈↓ π}␈ε	p␈↓ λ≠␈εβ.␈α
A␈α	more␈α	d␈α␈eta␈α␈i␈α↓led␈αλdiscu␈α␈ssion
␈βε∂␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞th␈α␈is␈α∞p␈α␈rob␈α␈ability␈α
distribu␈α␈tion␈α
wh␈α␈en␈↓ ¬s␈ε	n␈↓ ε∀␈εβ=␈α∞1␈α
m␈α␈ay␈α
b␈α␈e␈α∞fo␈α␈un␈α␈d␈α
i␈α↓n␈αthe␈α
an␈α␈sw␈α␈er␈α∞t␈α␈o␈α∞e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈βε6␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈.␈α↓4␈α␈.1↑1␈α␈7;␈αsee␈αalso␈αth␈α␈e␈αco␈α␈nside␈α␈rably␈α
more␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αresults␈αo␈α␈f␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α2␈α␈.␈α↓3␈α␈.4.2↑2␈α␈6.
␈βεk␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αof␈αa␈αga␈α␈p␈αof␈αleng␈α␈th␈ε↔␈α∃␈↓ ε@␈ε	r␈↓ ε[␈εβis␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ 	.␈ε	r␈↓ 	I␈εβcon␈α␈secu␈α␈tiv␈α␈e␈↓ 
{␈ε	U␈↓ ⊗␈εβ's
␈βπ∂␈↓ εε␈εr
␈βπ∪␈↓ ↓H␈εβlie␈αouts␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αt␈α␈he␈αgiv␈α␈en␈αra␈α␈ng␈α␈e,␈αi.e.␈α↓,␈α(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬j␈ε	p␈↓ ¬{␈εβ)␈↓ ε∩␈εβ.␈α
Th␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αo␈α␈f␈αa␈αga␈α␈p␈αof␈αlen␈α␈gth␈αex␈α␈actly␈↓ ≡␈ε	r
␈βπ:␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αleng␈α␈th␈ε↔␈α∃␈↓ ¬≡␈ε	r␈↓ ¬7␈εβmin␈α␈u␈α␈s␈αthe␈αv␈α␈alue␈αfo␈α␈r␈αl␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈ε↔␈α∃␈εβ␈α
(␈↓ λz␈ε	r␈↓ 	⊂␈εβ+␈απ1).
␈βπo␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβAs␈↓ α>␈ε	N␈↓ αj␈εβgoe␈α␈s␈α∞to␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈ity,␈α∞so␈α
d␈α␈oes␈↓ ¬W␈ε	n␈↓ ¬x␈εβ(with␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
1),␈α∞h␈α␈enc␈α␈e␈α
this␈α
test␈α
is␈α
j␈α↓u␈α␈st␈α
the
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈αas␈αth␈α␈e␈α
g␈α␈ap␈αte␈α␈st␈α
d␈α␈escrib␈α␈ed␈αin␈αthe␈αte␈α␈xt␈αex␈α␈c␈α␈ept␈αfor␈αth␈α␈e␈α
len␈α␈gth␈αof␈α
th␈α␈e␈αv␈α␈er␈α␈y␈αl␈α↓a␈α␈st␈αgap␈α␈.
␈βλ?␈↓ ↓H␈εβAn␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
tex␈α␈t'␈α↓s␈α
g␈α␈ap␈α
te␈α␈st␈α
certain␈α␈l␈α↓y␈αis␈α∞a␈α␈sym␈α␈ptot␈α␈i␈α↓c␈α
to␈αthe␈α
ch␈α␈i-squa␈α␈re␈α
distrib␈α␈ution␈αstated␈α␈,
␈βλf␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈α
the␈α
leng␈α␈th␈α
of␈α
each␈α
g␈α␈ap␈α
is␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ngth␈α	of␈αth␈α␈e␈α
oth␈α␈ers.␈α[␈ε⊂␈α↓N␈α␈otes:␈εβ␈αA␈α
qu␈α␈i␈α↓te
␈β	∞␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓ica␈α␈ted␈αpro␈α␈of␈α
of␈α
th␈α␈is␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈αby␈αE.␈α∞Bo␈α␈|n␈α␈ger␈α
a␈α␈nd␈αV.␈α
J.␈α
Bo|␈α␈nge␈α␈r␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs␈α
in␈ε⊂␈α
An␈α␈na␈α␈ls
␈β	5␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈αStat.␈ε∪␈α3␈α␈2␈εβ␈α(19␈α␈61),␈α5␈α␈24↑␈α␈534␈α␈.␈αTh␈α␈eir␈αpa␈α␈per␈α
i␈α↓s␈α
note␈α␈w␈α␈orth␈α␈y␈α
b␈α␈ecau␈α␈se␈αit␈αd␈α␈i␈α↓sc␈α␈usses␈α
sev␈α␈era␈α␈l
␈β	]␈↓ ↓H␈εβin␈α}teresting␈α
var␈α␈i␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αga␈α␈p␈αtest;␈αth␈α␈ey␈αsh␈α␈o␈α␈w,␈αfor␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α␈tity
␈β
∨␈↓ ¬.␈ε↓X
␈β
'␈↓ πF␈εε2
␈β
(␈↓ ¬|␈εα(␈↓ π:␈εα)
␈β
+␈↓ ελ␈ε	Y␈↓ ε/␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ εc␈ε	N␈↓ πα␈ε	p␈↓ π∪␈εβ)␈↓ π≡␈ε	p
␈β
6␈↓ ε≤␈εr␈↓ π.␈εr
␈β
R␈↓ ¬|␈∧
R¬|α↓W
␈β
\␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε	N␈↓ ε`␈ε	p␈↓ εq␈εβ)␈↓ ε|␈ε	p
␈β
f␈↓ π␈εr
␈β
u␈↓ ¬≡␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬D␈εr␈↓ ¬P␈ε~∀␈↓ ¬i␈εt
␈βL␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oes␈ε⊂␈αλn␈α␈ot␈εβ␈αλa␈α␈pp␈α␈roac␈α␈h␈αλa␈αλc␈α␈hi-squ␈α␈are␈αλd␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ution␈α␈,␈α	alth␈α␈ou␈α␈gh␈αλo␈α␈thers␈αλh␈α␈ad␈απsug␈α␈geste␈α␈d␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλsta␈α␈tisti␈α↓c
␈βs␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αa␈α\stro␈α␈ng␈α␈er"␈αtest␈αb␈α␈eca␈α␈use␈↓ ∧j␈ε	N␈↓ ¬	␈ε	p␈↓ ¬%␈εβis␈αth␈α␈e␈αexp␈α␈ecte␈α␈d␈αva␈α␈lue␈αo␈α␈f␈↓ λ
␈ε	n␈↓ λ≡␈εβ.]
␈β(␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ5,␈α3,␈α5,␈α6,␈α5,␈α5,␈α4.
␈β]␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α10,␈αwith␈↓ ∧D␈ε	w␈↓ ∧f␈εβ=␈↓ ¬⊂␈ε	d␈↓ ¬#␈εβ.
␈β
∩␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ(Cha␈α␈ng␈α␈e␈↓ β⊃␈ε	d␈↓ β/␈εβto␈↓ βW␈ε	w␈↓ β{␈εβi␈α↓n␈α
step␈α␈s␈αC1␈αan␈α␈d␈αC4␈α␈.␈α↓)␈αWe␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
←␈↓ εC␈ε↓~␈↓ π2␈ε↓≠
␈β
e␈↓ β←␈ε	d␈↓ βr␈εβ(␈↓ β⎇␈ε	d␈↓ ∧↔␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ ∧a␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬_␈ε	d␈↓ ¬2␈ε↔␈␈↓ ¬[␈ε	w␈↓ ¬{␈εβ+␈απ1)␈↓ ε↑␈ε	r␈↓ εt␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β
{␈↓ β␈ε	p␈↓ β1␈εβ=␈↓ λ⊂␈εβf␈α↓o␈α␈r␈↓ λD␈ε	w␈↓ λf␈ε↔∀␈↓ 	⊃␈ε	r␈↓ 	)␈εβ<␈↓ 	S␈ε	t␈↓ 	←␈εβ;
␈β∞¬␈↓ β≠␈εr
␈β∞	␈↓ β←␈∧∞	β←ααa
␈β∞⊂␈↓ ¬∩␈εr
␈β∞∪␈↓ ¬␈ε	d␈↓ εY␈ε	w␈↓ εy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β∞C␈↓ ∧e␈ε↓∩␈↓ ¬≥␈ε↓~␈↓ ¬␈␈ε↓≠␈↓ λ∨␈ε↓~␈↓ 	↓␈ε↓≠␈↓ 	↔␈ε↓∪
␈β∞J␈↓ ∧3␈ε	d␈↓ ∧E␈εβ!␈↓ ¬∧␈εβ1␈↓ ¬3␈ε	t␈↓ ¬F␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πU␈εβ1␈↓ λ5␈ε	t␈↓ λH␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β∞`␈↓ β∞␈ε	p␈↓ β1␈εβ=␈α	1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εF␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ εt␈εβ+␈↓ 	-␈εβ.
␈β∞j␈↓ β≡␈εt
␈β∞n␈↓ ∧ ␈∧∞n∧ αB␈↓ ∧␈␈∧∞n∧␈α~␈↓ π ␈∧∞nπ α{
␈β∞u␈↓ ∧2␈εt␈↓ ∧<␈ε~␈␈εε1
␈β∞w␈↓ ∧ ␈ε	d␈↓ ∧␈␈εβ0!␈↓ ¬P␈ε	d␈↓ π ␈εβ(␈↓ π+␈ε	d␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πn␈ε	w␈↓ λπ␈εβ)!␈↓ λO␈ε	w
␈β∂T␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβAs␈α∞i␈α↓n␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α∞3,␈α∂w␈α␈e␈α∞really␈α∞ne␈α␈ed␈α∞co␈α␈nside␈α␈r␈α∂o␈α␈nly␈α∞th␈α␈e␈α∞case␈↓ λM␈ε	n␈↓ λo␈εβ=␈α∂1␈α␈.␈α∃The␈α∞g␈α␈ene␈α␈rating
␈β∂{␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αfor␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈αa␈αcou␈α␈po␈α␈n␈αset␈αh␈α␈as␈αlen␈α␈gth␈↓ λ⊂␈ε	r␈↓ λ)␈εβis
␈β⊂6␈↓ ¬p␈ε↓⊂␈↓ ε≤␈ε↓⊃
␈β⊂=␈↓ ∧1␈ε↓X
␈β⊂F␈↓ ∧k␈ε↓~␈↓ ¬Z␈ε↓≠␈↓ π⊂␈ε↓∩␈↓ λ␈ε↓∪␈↓ λH␈ε↓∩␈↓ 
&␈ε↓∪
␈β⊂H␈↓ ε.␈εr
␈β⊂L␈↓ β]␈ε	d␈↓ βo␈εβ!␈↓ ¬ε␈ε	r␈↓ ¬≤␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ ελ␈ε	z␈↓ π)␈ε	d␈↓ πC␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λt␈ε	d␈↓ 	∞␈ε↔␈␈↓ 	6␈ε	w␈↓ 	W␈εβ+␈απ1
␈β⊂\␈↓ ε|␈εw
␈β⊂b␈↓ α8␈ε	G␈↓ αR␈εβ(␈↓ α]␈ε	z␈↓ αj␈εβ)␈α
=␈↓ εC␈εβ=␈↓ εn␈ε	z␈↓ λ≤␈εβ.␈αε.␈α¬.
␈β⊂p␈↓ β-␈∧⊂pβ-α{␈↓ εε␈∧⊂pεεα∪␈↓ π)␈∧⊂pπ)αT␈↓ λb␈∧⊂pλbα↓A
␈β⊂z␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	d␈↓ βR␈ε↔␈␈↓ β{␈ε	w␈↓ ∧∪␈εβ)␈α↓!␈↓ ¬↓␈ε	w␈↓ ¬!␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ εε␈ε	d␈↓ π+␈ε	d␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πm␈ε	z␈↓ λb␈ε	d␈↓ λ|␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ 	0␈ε	w␈↓ 	P␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ 
∀␈ε	z
␈β⊃∪␈↓ ∧2␈εr␈↓ ∧>␈εε>0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα620␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα+␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈reviou␈α␈s␈αλex␈α}ercise␈αλan␈α␈d␈αλEq.␈α
1.2␈α␈.␈α↓9␈α␈↑28␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αλmea␈α␈n␈αλa␈α␈nd␈απvaria␈α␈nce␈αλa␈α␈re␈αλrea␈α␈dily␈αλco␈α␈mpu␈α␈ted
␈βαS␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈α1.2.10␈α␈A␈αand␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.4.1↑␈α␈17.␈αWe␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈at
␈ββ≥␈↓ β←␈ε↓∩␈↓ ¬⊂␈ε↓∪␈↓ ε.␈ε↓∩␈↓ λ(␈ε↓∪
␈ββ#␈↓ ∧→␈ε	d␈↓ π␈ε	d
␈ββ9␈↓ ↓f␈εβm␈α␈ean␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	G␈↓ αW␈εβ)␈↓ αl␈εβ=␈↓ β⊗␈ε	w␈↓ β6␈εβ+␈↓ ∧W␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬.␈εβ+␈↓ ¬W␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε¬␈εβ+␈↓ πn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λG␈εβ=␈↓ λr␈ε	d␈↓ 	∧␈εβ(␈↓ 	∂␈ε	H␈↓ 	:␈ε↔␈␈↓ 	c␈ε	H␈↓ 
4␈εβ)␈α
=␈↓ 
s␈ε	⊗␈↓ ¬␈εβ;
␈ββC␈↓ 	$␈εd␈↓ 	x␈εd␈↓ 
π␈ε~␈␈↓ 
 ␈εw
␈ββG␈↓ βy␈∧βGβyαT␈↓ εG␈∧βGεGα↓≥
␈ββQ␈↓ βy␈ε	d␈↓ ∧∪␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ εG␈ε	d␈↓ εa␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	w␈↓ π*␈εβ+␈αλ1
␈ββw␈↓ β)␈εε2␈↓ β\␈εε(2)␈↓ ∧D␈εε(␈α↓2␈α␈)␈↓ πO␈εε2
␈ββ⎇␈↓ αβ␈εβva␈α␈r␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	G␈↓ αW␈εβ)␈↓ αl␈εβ=␈↓ β⊗␈ε	d␈↓ β5␈εβ(␈↓ β@␈ε	H␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧)␈ε	H␈↓ ¬␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬;␈ε	d␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε	H␈↓ ε∧␈ε↔␈␈↓ ε-␈ε	H␈↓ ε}␈εβ)␈α	=␈↓ π=␈ε	≠␈↓ π\␈εβ.
␈β∧λ␈↓ ¬n␈εd␈↓ εB␈εd␈↓ εQ␈ε~␈␈↓ εj␈εw
␈β∧
␈↓ β\␈εd␈↓ ∧D␈εd␈↓ ∧S␈ε~␈␈↓ ∧l␈εw
␈β∧I␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈απo␈α␈f␈↓ β≡␈ε	U␈↓ β9␈εβ'␈α↓s␈αεexa␈α␈mined␈α␈,␈αλas␈αεthe␈απs␈α␈earch␈αεfor␈αεa␈απco␈α␈up␈α␈on␈αεset␈απis␈απrep␈α␈ea␈α␈ted␈↓ 	2␈ε	n␈↓ 	L␈εβti␈α↓m␈α␈es,␈αλth␈α␈erefore
␈β∧m␈↓ ∧⊗␈εα(␈↓ λ#␈εα)
␈β∧n␈↓ λ∂␈∧∧nλ∂α∃
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αch␈α␈aract␈α␈eristi␈α↓c␈α␈s␈↓ ∧"␈εβmin␈↓ ∧e␈ε	w␈↓ ∧}␈ε	n␈↓ ¬∩␈εβ,␈αav␈α}e␈↓ ¬b␈ε	⊗␈↓ ¬u␈ε	n␈↓ ε	␈εβ,␈αma␈α␈x␈ε↔␈α1␈εβ,␈αd␈α␈ev␈↓ π\␈ε	≠␈↓ πn␈ε↔p␈↓ λ∂␈ε	n␈↓ λ/␈εβ.
␈β¬"␈↓ α_␈∧¬"α_/α␈↓ αB␈∧¬"αB/α␈↓ αl␈∧¬"αl/α␈↓ ∧∪␈∧¬"∧∪/α␈↓ ∧=␈∧¬"∧=/α␈↓ ¬⊃␈∧¬"¬⊃/α␈↓ ¬:␈∧¬"¬:/α
␈β¬.␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α%␈εβ1␈↓ αO␈εβ2␈↓ αy␈εβ9␈↓ β#␈εβ8␈↓ βM␈εβ5␈↓ βv␈εβ3␈↓ ∧ ␈εβ6␈↓ ∧J␈εβ7␈↓ ∧t␈εβ0␈↓ ¬≡␈εβ4␈↓ ¬H␈εβ.
␈β¬b␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈ε∪Algorith␈α␈m␈αR␈εβ␈α(␈ε⊂Data␈αfo␈α␈r␈αrun␈α
test␈εβ)␈ε∪.
␈βε∪␈↓ ¬y␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ π8␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ 	S␈ε∃COU␈α␈NT
␈βε⊗␈↓ ↓N␈ε∪R1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~Set␈↓ βy␈ε	j␈↓ ∧∩␈ε↔ ␈α
␈␈εβ1,␈αand␈α
set␈↓ ε`␈εβ[1]␈ε↔␈α
 ␈↓ λ ␈εβ[2␈α␈]␈ε↔␈α
 ␈↓ λw␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	(␈ε↔ ␈↓ 
;␈εβ[6]␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α0␈α␈.
␈βε>␈↓ α␈εβAlso␈αset␈↓ β
␈ε	U␈↓ β9␈ε↔ ␈↓ βc␈ε	U␈↓ ∧/␈εβ,␈αfor␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}enien␈α␈ce␈αin␈αte␈α␈rminatin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αalgorith␈α␈m.
␈βεH␈↓ β∨␈εn␈↓ βx␈εn␈↓ ∧	␈ε~␈␈εε1
␈βεr␈↓ ↓N␈ε∪R2.␈↓ α␈εβ[Set␈↓ αO␈ε	r␈↓ αh␈εβzero.]␈α→Set␈↓ ∧	␈ε	r␈↓ ∧ ␈ε↔ ␈εβ␈α
0.
␈βπ'␈↓ ↓N␈ε∪R3.␈↓ α␈εβ[Is␈↓ α8␈ε	U␈↓ αc␈εβ<␈↓ β∞␈ε	U␈↓ βU␈εβ?]␈α∨In␈α␈crea␈α␈se␈↓ ¬	␈ε	r␈↓ ¬#␈εβan␈α␈d␈↓ ¬d␈ε	j␈↓ ¬}␈εβb␈α␈y␈α1.␈αIf␈↓ εt␈ε	U␈↓ π∨␈εβ<␈↓ πI␈ε	U␈↓ λ⊂␈εβ,␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αt␈α␈his␈αstep␈α␈.
␈βπ1␈↓ αN␈εj␈↓ β#␈εj␈↓ β/␈εε+1␈↓ π	␈εj␈↓ π←␈εj␈↓ πk␈εε+1
␈βπX␈↓ π∧␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T
␈βπ[␈↓ ↓N␈ε∪R4.␈↓ α␈εβ[Recor␈α␈d␈α⊂the␈α⊂len␈α␈gth␈α␈.␈α↓]␈α#If␈↓ ¬α␈ε	r␈↓ ¬"␈ε↔∃␈εβ␈α∩6,␈α∩in␈α␈crease␈↓ πk␈εβ[6]␈α⊃b␈α␈y␈α⊂o␈α␈ne,␈α∩o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈α⊂in␈α␈crease
␈βπ␈␈↓ α␈ε∃CO␈α␈UNT
␈βλα␈↓ αt␈εβ[␈↓ α⎇␈ε	r␈↓ β␈εβ]␈αb␈α␈y␈αo␈α␈ne.
␈βλ7␈↓ ↓N␈ε∪R5.␈↓ α␈εβ[Don␈α␈e?]␈α~If␈↓ β2␈ε	j␈↓ βJ␈εβ<␈↓ βu␈ε	n␈↓ ∧⊂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈αre␈α␈turn␈α
to␈αstep␈α
R␈↓ εX␈εβ.
␈βλ9␈↓ πε␈∧λ9πε≠∂
␈βλA␈↓ εK␈εε2
␈βλQ␈↓ ∧K␈ε↓␈␈↓ ¬␈ε↓↓
␈βλf␈↓ π@␈εβ>␈↓ 
⊂␈εβ>
␈βλk␈↓ ∧Y␈εp␈↓ ∧g␈εε+␈↓ ¬␈εq
␈βλr␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈αare␈α(␈↓ β/␈ε	p␈↓ βH␈εβ+␈↓ βp␈ε	q␈↓ ∧π␈εβ+␈απ1)␈↓ ¬%␈εβw␈α↓a␈α␈ys␈αto␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ εp␈ε	U␈↓ πj␈ε	U␈↓ λ∀␈εβ<␈↓ λ?␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λo␈εβ<␈↓ 	~␈ε	U␈↓ 
;␈ε	U␈↓ ␈εβ<
␈βλ⎇␈↓ πε␈εi␈↓ π⊂␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ␈εi␈↓ 	/␈εi␈↓ 	:␈εε+␈↓ 	S␈εp␈↓ 	a␈ε~␈␈εε1␈↓ 
P␈εi␈↓ 
[␈εε+␈↓ 
t␈εp
␈βλ␈␈↓ π@␈εβ<␈↓ 
⊂␈εβ<
␈β	β␈↓ ∧l␈εp
␈β	¬␈↓ ∧J␈ε↓␈␈↓ ¬1␈ε↓↓␈↓ 
7␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β	∨␈↓ ∧X␈εp␈↓ ∧f␈εε+␈↓ ∧␈␈εq␈↓ ¬␈εε+1␈↓ 
E␈εp␈↓ 
S␈εε+␈↓ 
m␈εq␈↓ 
y␈εε+1
␈β	'␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓x␈εβ<␈↓ α"␈ε	U␈↓ β4␈εβ;␈αsu␈α␈btrac␈α␈t␈↓ ¬I␈εβof␈α
thes␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α	which␈↓ πH␈ε	U␈↓ λ↔␈εβ<␈↓ λB␈ε	U␈↓ λb␈εβ,␈α
and␈α	sub␈α␈trac␈α␈t
␈β	1␈↓ α8␈εi␈↓ αB␈εε+␈↓ α[␈εp␈↓ αi␈εε+␈↓ βα␈εq␈↓ β∂␈ε~␈␈εε1␈↓ π↑␈εi␈↓ πh␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λW␈εi
␈β	7␈↓ ∧k␈εp␈↓ ∧y␈εε+1␈↓ 
l␈εε1
␈β	N␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
tho␈α␈se␈α
in␈α
wh␈α␈ich␈↓ β`␈ε	U␈↓ ∧Y␈εβ<␈↓ ¬π␈ε	U␈↓ ¬N␈εβ;␈α∞th␈α␈en␈αadd␈αin␈α
1␈αfor␈α
th␈α␈e␈α
ca␈α␈se␈α
th␈α␈at␈α
b␈α␈oth␈↓ 

␈ε	U␈↓ 
←␈εβ<␈↓ 
␈ε	U
␈β	Y␈↓ βv␈εi␈↓ ∧␈εε+␈↓ ∧~␈εp␈↓ ∧'␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬≤␈εi␈↓ ¬'␈εε+␈↓ ¬@␈εp␈↓ 
"␈εi␈↓ 
-␈ε~␈␈εε1␈↓ "␈εi
␈β	v␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	U␈↓ β↓␈εβ<␈↓ β.␈ε	U␈↓ βt␈εβ,␈α
since␈αth␈α␈is␈αcase␈αh␈α␈as␈αb␈α␈een␈αsu␈α␈btra␈α␈cted␈αout␈αt␈α␈wice.␈α∞(This␈αis␈αa␈αspe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈β
␈↓ α∨␈εi␈↓ α)␈εε+␈↓ αC␈εp␈↓ αP␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ βC␈εi␈↓ βM␈εε+␈↓ βg␈εp
␈β
≥␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
\in␈α␈clusion␈α␈-ex␈α␈c␈α␈l␈α↓u␈α␈sion"␈α	prin␈α␈ciple,␈αwh␈α␈ich␈α
is␈α
ex␈α␈plain␈α␈ed␈α
fu␈α␈rthe␈α␈r␈α
i␈α↓n␈α	Se␈α␈ction␈α
1␈α␈.␈α↓3␈α␈.3.)
␈β
R␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβA␈α
ru␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
l␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈↓ βt␈ε	r␈↓ ∧␈εβocc␈α␈urs␈α
with␈α	pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α	1/␈↓ ππ␈ε	r␈↓ π⊗␈εβ!␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε1␈α␈/(␈↓ πx␈ε	r␈↓ λ
␈εβ+␈α¬1)!,␈αa␈α␈ssumin␈α␈g␈α
d␈α␈i␈α↓st␈α␈i␈α↓n␈α␈ct␈↓ 
r␈ε	U␈↓ 
␈εβ's.
␈βε␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThis␈α
is␈α
alway␈α␈s␈α
true␈αof␈↓ ∧]␈ε	F␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	X␈↓ ¬≠␈εβ)␈α
whe␈α␈n␈↓ ε␈ε	F␈↓ ε0␈εβis␈α
con␈α}ti␈α↓n␈α}uo␈α␈us␈α
an␈α␈d␈↓ λ?␈ε	S␈↓ λ`␈εβha␈α␈s␈α
distribu␈α␈tion␈↓ 
T␈ε	F␈↓ 
l␈εβ;␈α
see
␈β.␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ection␈α
3.3.1C.
␈βb␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ α:␈ε	Z␈↓ αj␈εβ=␈↓ β∃␈εβm␈α␈ax␈↓ βT␈εβ(␈↓ β←␈ε	Z␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	Z␈↓ ¬`␈εβ).␈α
If␈απth␈α␈e␈↓ εP␈ε	Z␈↓ π4␈εβare␈απsto␈α␈red␈αεin␈απm␈α␈emory␈α␈,␈αλit␈απis␈απth␈α␈erefore
␈βm␈↓ αK␈εj␈↓ αW␈εt
␈βn␈↓ βp␈εj␈↓ β|␈εε(␈↓ ∧¬␈εt␈↓ ∧∞␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ ∧]␈εε(␈↓ ∧e␈εj␈↓ ∧q␈εε+␈α↓1␈α␈)␈α↓(␈↓ ¬(␈εt␈↓ ¬2␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ εa␈εj␈↓ εm␈εε(␈↓ εv␈εt␈↓ π␈ε~␈␈εε1␈α␈)
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α
s␈α␈i␈α↓m␈α␈ple␈α
matte␈α␈r␈α∞to␈αtrans␈α␈f␈α↓o␈α␈rm␈α
this␈α
arra␈α␈y␈α
in␈α␈to␈α
th␈α␈e␈α
set␈α
of␈↓ λβ␈ε	Z␈↓ λ8␈εβwith␈α
n␈α␈o␈α
au␈α␈xiliary␈α
sto␈α␈rage
␈β∀␈↓ λ∃␈εj␈↓ λ!␈εt
␈β1␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quired␈α␈.␈α~(b)␈αWith␈αhis␈α\imp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈men␈α␈t,"␈αea␈α␈ch␈αof␈αth␈α␈e␈↓ π?␈ε	V␈↓ πV␈εβ'␈α↓s␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αin␈α␈dee␈α␈d␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αsta␈α␈ted
␈βY␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α⊂b␈α␈ut␈α∞the␈α∞ob␈α␈serv␈α␈ation␈α␈s␈α∂are␈α∞no␈α∞lon␈α␈ger␈α∞i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t.␈α⊗In␈α∞fact,␈α∂w␈α↓h␈α␈en␈↓ 
G␈ε	U␈↓ 
w␈εβis␈α∂a
␈βc␈↓ 
\␈εj
␈β
␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈α
larg␈α␈e␈αv␈α␈alu␈α␈e,␈αall␈α
of␈↓ ∧←␈ε	Z␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬~␈ε	Z␈↓ ¬x␈εβ,␈↓ ε␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε8␈εβ,␈↓ εL␈ε	Z␈↓ πW␈εβwil␈α↓l␈α
be␈α
eq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈↓ 	?␈ε	U␈↓ 	`␈εβ;␈αso␈α
w␈α␈e␈α
almos␈α␈t
␈β
␈↓ ∧q␈εj␈↓ ∧⎇␈εt␈↓ 	T␈εj
␈β
␈↓ ¬,␈εε(␈↓ ¬4␈εj␈↓ ¬@␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ ¬o␈εt␈↓ ε↑␈εε(␈↓ εf␈εj␈↓ εr␈ε~␈␈↓ π␈εt␈↓ π∃␈εε+1)␈↓ πC␈εt
␈β
(␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈α
the␈α
e{ect␈α
o␈α␈f␈αre␈α␈pea␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
same␈α
d␈α␈ata␈↓ ε3␈ε	t␈↓ εI␈εβtimes␈α
(an␈α␈d␈α
th␈α␈at␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	m␈α␈ultiply␈↓ 
→␈ε	V␈↓ 
;␈εβb␈α␈y␈↓ 
j␈ε	t␈↓ 
v␈εβ,␈α
cf.
␈β
P␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈.␈α↓3␈α␈.1↑1␈α␈0).
␈β
f␈↓ π⊗␈ε↓P
␈β∞␈↓ λd␈ε~0␈↓ 		␈ε~0␈↓ 	a␈ε~0␈↓ 
¬␈ε~0␈↓ 
≥␈εε2
␈β∞∧␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(b)␈αB␈α↓y␈αLa␈α␈gran␈α␈ge's␈αi␈α↓d␈α␈en␈α␈tity␈α␈,␈αthe␈αdi{eren␈α␈ce␈αi␈α↓s␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε	U␈↓ λq␈ε	V␈↓ 	≥␈ε↔␈␈↓ 	F␈ε	U␈↓ 	m␈ε	V␈↓ 
∩␈εβ)␈↓ 
6␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈is
␈β∞∪␈↓ λd␈εk␈↓ 		␈εj␈↓ 	a␈εj␈↓ 
¬␈εk
␈β∞↔␈↓ π<␈εε0␈ε~∀␈↓ πb␈εk␈↓ πo␈εε<␈↓ λλ␈εj␈↓ λ∀␈εε<␈↓ λ.␈εn
␈β∞-␈↓ ε
␈εε2␈↓ εk␈εε2␈↓ λ{␈ε~0␈↓ 	 ␈ε~0␈↓ 	x␈ε~0␈↓ 
≤␈ε~0
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβis␈αcertain␈α␈l␈α↓y␈αp␈α␈ositiv␈α␈e.␈α~(c)␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αif␈↓ ¬q␈ε	D␈↓ ε ␈εβ=␈↓ εL␈ε	N␈↓ εw␈εβ,␈αw␈α␈e␈αm␈α}ust␈αhav␈α}e␈↓ λ`␈ε	U␈↓ 	λ␈ε	V␈↓ 	3␈ε↔␈␈↓ 	]␈ε	U␈↓ 
∧␈ε	V␈↓ 
3␈εβ=␈α
0,␈αfo␈α␈r
␈β∞A␈↓ λ{␈εk␈↓ 	 ␈εj␈↓ 	x␈εj␈↓ 
≤␈εk
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈airs␈↓ αG␈ε	j␈↓ αV␈εβ,␈↓ αe␈ε	k␈↓ αu␈εβ.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αm␈α␈ean␈α␈s␈αtha␈α␈t␈αthe␈αma␈α␈trix
␈β∂#␈↓ ¬5␈ε↓∩␈↓ π)␈ε↓∪
␈β∂'␈↓ ¬f␈ε~0␈↓ ε→␈ε~0␈↓ εs␈ε~0
␈β∂+␈↓ ¬K␈ε	U␈↓ ¬}␈ε	U␈↓ ε+␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εX␈ε	U
␈β∂:␈↓ ¬f␈εε1␈↓ ε→␈εε2␈↓ εs␈εn␈↓ πβ␈ε~␈␈εε1
␈β∂N␈↓ ¬e␈ε~0␈↓ ε↔␈ε~0␈↓ εq␈ε~0
␈β∂R␈↓ ¬M␈ε	V␈↓ ε␈ε	V␈↓ ε+␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εY␈ε	V
␈β∂b␈↓ ¬e␈εε1␈↓ ε↔␈εε2␈↓ εq␈εn␈↓ π↓␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α
ran␈α␈k␈α∞<␈α
2,␈α∂so␈α
its␈α∞ro␈α}ws␈α∞are␈α
li␈α↓n␈α␈ea␈α␈rl␈α↓y␈α
d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t.␈α∪(A␈α∞m␈α␈ore␈α
elemen␈α}tary␈α
pr␈α␈oof␈α∞c␈α␈an␈α
be
␈β⊂K␈↓ ∧g␈ε~0␈↓ ¬␈ε~0␈↓ ¬e␈ε~0␈↓ ε	␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α␈,␈α∞u␈α␈sing␈αthe␈αfact␈αtha␈α␈t␈↓ ∧L␈ε	U␈↓ ∧t␈ε	V␈↓ ¬ ␈ε↔␈␈↓ ¬J␈ε	U␈↓ ¬q␈ε	V␈↓ ε!␈εβ=␈α0␈α
fo␈α␈r␈α
1␈ε↔␈α∀␈↓ πk␈ε	j␈↓ λε␈εβ<␈↓ λ3␈ε	n␈↓ λS␈εβi␈α↓m␈α␈plies␈α
th␈α␈e␈α
e␈α␈xisten␈α␈ce␈α
o␈α␈f
␈β⊂↑␈↓ ∧g␈εε0␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬e␈εj␈↓ ε	␈εε0
␈β⊂r␈↓ ∧U␈ε~0␈↓ ¬7␈ε~0␈↓ λz␈ε~0␈↓ 	f␈ε~0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts␈↓ αY␈ε	␈↓ αk␈εβ,␈↓ αz␈ε	␈␈↓ β↔␈εβsuc␈α␈h␈α	th␈α␈at␈↓ ∧'␈ε	␈↓ ∧9␈ε	U␈↓ ∧e␈εβ+␈↓ ¬␈ε	␈␈↓ ¬ ␈ε	V␈↓ ¬M␈εβ=␈α	0␈α	for␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ εo␈ε	j␈↓ ε}␈εβ,␈α	pro␈α␈v␈α␈ided␈αλtha␈α␈t␈↓ λ↑␈ε	U␈↓ 	∂␈εβan␈α␈d␈↓ 	N␈ε	V␈↓ 	{␈εβare␈α	n␈α␈ot␈α	b␈α␈oth
␈β⊃ε␈↓ ∧U␈εj␈↓ ¬7␈εj␈↓ λz␈εε0␈↓ 	f␈εε0
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero;␈αthe␈αla␈α␈tter␈αcase␈α
can␈αb␈α␈e␈αav␈α}oide␈α␈d␈αb␈α␈y␈αa␈αsu␈α␈i␈α↓t␈α␈able␈αren␈α}um␈α}berin␈α␈g.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα621
␈βα&␈↓ ¬U␈εε2␈↓ 	α␈εε2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ(a)␈απTh␈α␈e␈απn␈α␈u␈α␈mera␈α␈tor␈απis␈ε↔␈απ␈␈εβ(␈↓ ∧a␈ε	U␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈↓ ¬(␈ε	U␈↓ ¬J␈εβ)␈↓ ¬b␈εβ,␈αλt␈α␈he␈απd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tor␈απis␈απ(␈↓ λ∞␈ε	U␈↓ λ2␈ε↔␈␈↓ λU␈ε	U␈↓ λw␈εβ)␈↓ 	∞␈εβ.␈α∂(b␈α␈)␈απThe␈απn␈α}um␈α␈erato␈α␈r
␈βα5␈↓ ∧v␈εε0␈↓ ¬=␈εε1␈↓ λ#␈εε0␈↓ λj␈εε1
␈βαN␈↓ α.␈εε2␈↓ β␈εε2␈↓ βR␈εε2␈↓ 	∀␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβis␈ε↔␈α	␈␈εβ(␈↓ α∪␈ε	U␈↓ α?␈εβ+␈↓ αe␈ε	U␈↓ β⊃␈εβ+␈↓ β7␈ε	U␈↓ βc␈ε↔␈␈↓ ∧	␈ε	U␈↓ ∧+␈ε	U␈↓ ∧Q␈ε↔␈␈↓ ∧w␈ε	U␈↓ ¬→␈ε	U␈↓ ¬?␈ε↔␈␈↓ ¬e␈ε	U␈↓ επ␈ε	U␈↓ ε)␈εβ);␈α
th␈α␈e␈α	d␈α␈eno␈α␈minat␈α␈or␈α	is␈α	2(␈↓ λy␈ε	U␈↓ 	%␈εβ+␈↓ 	K␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ 	v␈ε↔␈␈↓ 
≤␈ε	U␈↓ 
>␈ε	U␈↓ 
`␈εβ).␈α∪(␈α↓c␈α␈)
␈βα[␈↓ ¬⊗␈ε↓P
␈βα\␈↓ ∧≡␈εε0␈↓ ∧@␈εε1␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬.␈εε2␈↓ ¬z␈εε2␈↓ ε≤␈εε0␈↓ 
1␈εε2␈↓ 
S␈εε0
␈βαa␈↓ α.␈εε0␈↓ β␈εε1␈↓ βR␈εε2␈↓ 	∀␈εε0
␈βαu␈↓ πB␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	d␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor␈α	a␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αλequ␈α␈als␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	U␈↓ εo␈ε↔␈␈↓ π∀␈ε	U␈↓ π7␈εβ)␈↓ πN␈εβ,␈α
b␈α␈y␈α	e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ1.2.3↑␈α␈30␈αλor␈α	1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓3␈α␈↑31␈α␈.
␈ββ∧␈↓ ε↑␈εj␈↓ π)␈εk
␈ββ␈↓ ¬<␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬b␈εj␈↓ ¬n␈εε<␈↓ επ␈εk␈↓ ε∀␈εε<␈↓ ε.␈εn
␈ββ,␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβThe␈α
su␈α␈ccessiv␈α␈e␈α
v␈α␈alues␈α
of␈↓ ∧u␈ε	c␈↓ ¬=␈εβ=␈↓ ¬g␈ε	s␈↓ ¬|␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
in␈α
step␈α
P2␈αa␈α␈re␈α2␈α␈,␈α3,␈α7,␈α
6,␈α4,␈α2␈α␈,␈α2,␈α1␈α␈,␈α0;␈αhe␈α␈nce
␈ββ6␈↓ ¬α␈εr␈↓ ¬∞␈ε~␈␈εε1
␈ββS␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓a␈εβ=␈α	886␈α␈86␈α␈2.
␈β∧ε␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ10␈α␈24␈α	=␈α	6!␈απ+␈αε2␈ε↔␈αε↓␈εβ␈αε5!␈απ+␈αε2␈ε↔␈αε↓␈εβ␈απ4␈α␈!␈απ+␈αε2␈ε↔␈αε↓␈εβ␈απ3␈α␈!␈απ+␈αε2␈ε↔␈αε↓␈εβ␈απ2␈α␈!␈απ+␈αε0␈ε↔␈αε↓␈εβ␈απ1␈α␈!␈α↓,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
suc␈α␈cessiv␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α␈s
␈β∧-␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈ε	s␈↓ α¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αin␈αstep␈αP2␈αto␈αbe␈α0,␈α0␈α␈,␈α0,␈α1,␈α2␈α␈,␈α2,␈α2,␈α2␈α␈,␈α0;␈αw␈α␈ork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αbac␈α␈kward␈α␈s,␈αth␈α␈e␈αp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation
␈β∧U␈↓ ↓H␈εβis␈α(9,␈α¬6,␈αε5,␈α¬2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈αε7␈α␈,␈αε8).
␈β¬P␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.3␈α␈.3
␈βε∨␈↓ β3␈εε1␈↓ ∧
␈εε1
␈βε"␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	y␈↓ α∨␈εβ((␈↓ α5␈ε	x␈↓ αF␈εβ/␈↓ αW␈ε	y␈↓ αi␈εβ))␈αλ+␈↓ βD␈ε	y␈↓ β]␈ε↔␈␈↓ ∧~␈ε	y␈↓ ∧-␈ε	∞␈↓ ∧<␈εβ(␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧Y␈εβ/␈↓ ∧i␈ε	y␈↓ ∧|␈εβ).
␈βε0␈↓ β3␈∧ε0β3α
␈↓ ∧
␈∧ε0∧
α
␈βε2␈↓ β3␈εε2␈↓ ∧
␈εε2
␈βεT␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αex␈α␈e␈α␈rcises␈α1.2.4↑␈α␈38␈αa␈α␈nd␈α
1.2.4↑3␈α␈9(a),␈α(b),␈α(g).
␈βεi␈↓ αw␈ε↓P
␈βππ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	f␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α'␈ε	x␈↓ α8␈εβ)␈α
=␈↓ βS␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ∧¬␈εβsin␈↓ ∧4␈εβ2␈↓ ∧D␈ε	→␈↓ ∧W␈ε	n␈↓ ∧k␈ε	x␈↓ ∧|␈εβ)/␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬,␈εβ,␈α	w␈α↓h␈α␈ich␈α	c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈s␈α	for␈α	all␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λ∨␈εβ.␈α(The␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	in␈αλE␈α↓q␈α␈.
␈βπ→␈↓ β≥␈εn␈↓ β.␈ε~∃␈εε1
␈βπ2␈↓ ↓H␈εβ(2␈α␈4)␈αmay␈α
be␈αc␈α␈onsid␈α␈ered␈α
a␈α\|␈α␈nite"␈αFo␈α␈urier␈αseries,␈αfor␈αth␈α␈e␈αcase␈α
w␈α↓h␈α␈en␈↓ 	_␈ε	x␈↓ 	5␈εβis␈αration␈α␈al.)
␈βπa␈↓ αc␈εε10␈↓ 	α␈εε1
␈βπe␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈ε	d␈↓ α(␈εβ=␈↓ αR␈εβ2␈↓ β∧␈ε↔↓␈εβ␈απ5.␈αNote␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ¬R␈ε	X␈↓ ε)␈εβ<␈↓ εS␈ε	X␈↓ πε␈εβwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈↓ 	→␈εβ+␈↓ 	B␈ε	∂␈↓ 	O␈εβ,␈αwhere
␈βπo␈↓ ¬j␈εn␈↓ ¬z␈εε+1␈↓ εk␈εn
␈βπs␈↓ 	α␈∧πs	αα
␈βπu␈↓ 	α␈εε2
␈βλ.␈↓ ε.␈εε1␈↓ πp␈εε9
␈βλ4␈↓ ∧c␈ε↔j␈↓ ∧l␈ε	∂␈↓ ∧y␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ ¬6␈ε	d␈↓ ¬I␈εβ/␈α␈(2␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈↓ ε≡␈εβ0␈↓ ε;␈εβ0)␈α	=␈α	1/(2␈ε↔␈απ↓␈↓ π`␈εβ5␈↓ π⎇␈εβ);
␈β	β␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈ε⊂␈αev␈α␈e␈α␈ry␈εβ␈αp␈α␈oten␈α␈cy-1␈α␈0␈αgen␈α␈era␈α␈tor␈αis␈αrespe␈α␈ctab␈α␈l␈α↓e␈α
f␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αstan␈α␈dp␈α␈oin␈α␈t␈αof␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈αP␈α↓.
␈β	5␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβAn␈αin␈α␈t␈α␈ermed␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈αresu␈α␈lt:
␈β	j␈↓ βi␈ε↓X
␈β	u␈↓ 	¬␈ε~0
␈β	y␈↓ ∧E␈ε	x␈↓ ∧d␈ε	s␈↓ ∧q␈εβ(␈↓ ∧⎇␈ε	x␈↓ ¬∞␈εβ)␈↓ ¬]␈εβ1␈↓ π.␈ε	m␈↓ λ∪␈ε	c␈↓ λs␈ε	x
␈β
∂␈↓ ¬&␈εβ=␈↓ ¬y␈ε	≠␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε↔␈ε	a␈↓ ε'␈εβ,␈↓ ε6␈ε	m␈↓ εS␈εβ,␈↓ εb␈ε	c␈↓ εo␈εβ)␈απ+␈↓ πV␈ε↔␈␈↓ λ<␈ε↔␈␈↓ 	~␈εβ.
␈β
≥␈↓ ∧?␈∧
≥∧?α≡␈↓ ∧d␈∧
≥∧dα6␈↓ ¬T␈∧
≥¬Tα"␈↓ π.␈∧
≥π.α≡␈↓ λβ␈∧
≥λβα.␈↓ λh␈∧
≥λhα.
␈β
'␈↓ ∧?␈ε	m␈↓ ∧p␈ε	m␈↓ ¬T␈εβ12␈↓ π4␈εβ4␈↓ λβ␈εβ2␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λh␈εβ2␈↓ λy␈ε	m
␈β
@␈↓ βQ␈εε0␈ε~∀␈↓ βw␈εx␈↓ ∧¬␈εε<␈↓ ∧≡␈εm
␈β!␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a)␈αUse␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈la
␈βk␈↓ α∪␈ε↓∩␈↓ α)␈ε↓∩␈↓ β#␈ε↓∪␈↓ β9␈ε↓∪␈↓ β␈␈ε↓∩␈↓ ∧∃␈ε↓∩␈↓ ¬P␈ε↓∪␈↓ ¬f␈ε↓∪␈↓ π∨␈ε↓∩␈↓ λ→␈ε↓∪␈↓ 	π␈ε↓∩␈↓ 
B␈ε↓∪
␈βr␈↓ αC␈ε	h␈↓ αS␈ε	j␈↓ αi␈εβ+␈↓ β∩␈ε	c␈↓ ∧/␈ε	h␈↓ ∧?␈ε	j␈↓ ∧U␈εβ+␈↓ ∧}␈ε	c␈↓ ¬∪␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ ε3␈εβ1␈↓ ε{␈εβ1␈↓ π9␈ε	h␈↓ πJ␈ε	j␈↓ π`␈εβ+␈↓ λ	␈ε	c␈↓ λc␈εβ1␈↓ 	!␈ε	h␈↓ 	1␈ε	j␈↓ 	H␈εβ+␈↓ 	p␈ε	c␈↓ 
¬␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈βλ␈↓ βV␈ε↔␈␈↓ ε¬␈εβ=␈↓ εO␈ε↔␈␈↓ π⊂␈ε	∞␈↓ λ7␈ε↔␈␈↓ λw␈ε	∞␈↓ 
X␈εβ.
␈β⊗␈↓ αC␈∧⊗αCα]␈↓ ∧/␈∧⊗∧/α↓≡␈↓ ε3␈∧⊗ε3α⊃␈↓ ε{␈∧⊗ε{α⊃␈↓ π9␈∧⊗π9α]␈↓ λc␈∧⊗λcα⊃␈↓ 	!␈∧⊗	!α↓≡
␈β∨␈↓ αi␈ε	k␈↓ ∧u␈ε	k␈↓ ε3␈ε	k␈↓ ε{␈εβ2␈↓ π←␈ε	k␈↓ λc␈εβ2␈↓ 	g␈ε	k
␈βm␈↓ ∧ ␈ε↓∩␈↓ ∧6␈ε↓∩␈↓ ∧y␈ε↓∪␈↓ ¬∂␈ε↓∪␈↓ ¬z␈ε↓∩␈↓ ε⊂␈ε↓∩␈↓ π+␈ε↓∪␈↓ πA␈ε↓∪␈↓ λ␈ε↓∩␈↓ λ!␈ε↓∩␈↓ λd␈ε↓∪␈↓ λz␈ε↓∪␈↓ 
@␈ε↓∩␈↓ β␈ε↓∪
␈βo␈↓ ∧`␈ε~0␈↓ π∩␈ε~0␈↓ λK␈ε~0␈↓ 
j␈ε~0
␈βs␈↓ ∧O␈ε	h␈↓ ∧f␈ε	j␈↓ ε3␈ε	j␈↓ πα␈ε	k␈↓ π→␈ε	j␈↓ λ;␈ε	k␈↓ λQ␈ε	j␈↓ 	M␈ε	j␈↓ 
≤␈εβ1␈↓ 
Z␈ε	k␈↓ 
q␈ε	j
␈β
	␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈αUse␈αthe␈αfa␈α␈ct␈αtha␈α␈t␈ε↔␈α␈␈↓ ¬.␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ εU␈ε↔␈␈↓ π`␈εβ=␈↓ 	↔␈ε↔␈␈↓ 	p␈εβ+␈↓ 
0␈ε	∞␈↓ →␈εβ.
␈β
↔␈↓ ∧O␈∧
↔∧Oα&␈↓ ε*␈∧
↔ε*α!␈↓ πα␈∧
↔παα&␈↓ λ;␈∧
↔λ;α&␈↓ 	D␈∧
↔	Dα!␈↓ 
≤␈∧
↔
≤α⊃␈↓ 
Z␈∧
↔
Zα&
␈β
!␈↓ ∧Z␈ε	k␈↓ ε*␈ε	h␈↓ ε:␈ε	k␈↓ π␈ε	h␈↓ λE␈ε	h␈↓ 	D␈ε	h␈↓ 	T␈ε	k␈↓ 
≤␈εβ2␈↓ 
e␈ε	h
␈β
Q␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβTak␈α}e␈↓ α`␈ε	m␈↓ βπ␈εβ=␈↓ β1␈ε	h␈↓ βB␈εβ,␈↓ βV␈ε	n␈↓ βs␈εβ=␈↓ ∧≡␈ε	k␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧C␈ε	k␈↓ ∧\␈εβ=␈α
2␈α
i␈α↓n␈α
the␈αse␈α␈con␈α␈d␈αform␈α␈u␈α␈la␈αof␈αex␈α}ercise␈α1.2␈α␈.␈α↓4␈α␈↑45␈α␈:
␈β∞~␈↓ αA␈ε↓ ␈↓ ∧h␈ε↓!␈↓ ∧␈␈ε↓ ␈↓ π%␈ε↓!␈↓ λS␈ε↓ ␈↓ ↓␈ε↓!
␈β∞≠␈↓ ↓{␈ε↓X␈↓ λ
␈ε↓X
␈β∞$␈↓ β(␈ε↓∩␈↓ β>␈ε↓∩␈↓ β{␈ε↓∪␈↓ ∧⊃␈ε↓∪␈↓ ¬e␈ε↓∩␈↓ ¬{␈ε↓∩␈↓ ε8␈ε↓∪␈↓ εN␈ε↓∪␈↓ 	:␈ε↓∩␈↓ 	P␈ε↓∩␈↓ 

␈ε↓∪␈↓ 
#␈ε↓∪
␈β∞+␈↓ αU␈ε	h␈↓ αe␈ε	j␈↓ βX␈ε	h␈↓ βh␈ε	j␈↓ ∧Z␈εβ1␈↓ ¬∩␈ε	h␈↓ ¬#␈ε	j␈↓ ε∃␈ε	h␈↓ ε%␈ε	j␈↓ π_␈εβ1␈↓ λg␈ε	k␈↓ λw␈ε	j␈↓ 	j␈ε	k␈↓ 	z␈ε	j␈↓ 
l␈εβ1
␈β∞A␈↓ α␈␈ε↔␈␈↓ ∧.␈εβ+␈↓ ¬=␈ε↔␈␈↓ εk␈ε↔␈␈↓ πC␈εβ+␈αλ2␈↓ 	⊃␈ε↔␈␈↓ 
@␈εβ+␈↓ _␈ε	j
␈β∞O␈↓ αU␈∧∞OαUα ␈↓ βX␈∧∞OβXα ␈↓ ∧Z␈∧∞O∧Zα⊃␈↓ ¬∩␈∧∞O¬∩α ␈↓ ε∃␈∧∞Oε∃α ␈↓ π_␈∧∞Oπ_α⊃␈↓ λg␈∧∞Oλgα ␈↓ 	j␈∧∞O	jα ␈↓ 
l␈∧∞O
lα⊃
␈β∞X␈↓ α\␈ε	k␈↓ β←␈ε	k␈↓ ∧Z␈εβ2␈↓ ¬~␈ε	k␈↓ ε≤␈ε	k␈↓ π_␈εβ2␈↓ λn␈ε	h␈↓ 	q␈ε	h␈↓ 
l␈εβ2
␈β∞r␈↓ ↓i␈εε0<␈↓ α∂␈εj␈↓ α≠␈εε<␈↓ α4␈εk␈↓ π{␈εε0␈α␈<␈↓ λ!␈εj␈↓ λ-␈εε<␈↓ λF␈εh
␈β∂∩␈↓ 	p␈εβ=␈↓ 
~␈ε	k␈↓ 
*␈ε	h␈↓ 
;␈εβ(␈↓ 
F␈ε	h␈↓ 
↑␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈).
␈β∂a␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αsum␈α␈s␈αon␈αth␈α␈e␈αleft␈αsimplify,␈αan␈α␈d␈αb␈α␈y␈αsta␈α␈nd␈α␈ard␈αm␈α␈anip␈α␈ulation␈α␈s␈αw␈α␈e␈αget
␈β⊂)␈↓ βb␈εε2
␈β⊂-␈↓ β	␈ε	h␈↓ βR␈ε	h␈↓ ∧0␈ε	k␈↓ ∧␈␈εβ1␈↓ ¬G␈ε	h␈↓ πε␈ε	h␈↓ λM␈εβ1
␈β⊂=␈↓ ↓i␈εε2␈↓ 
&␈εε2
␈β⊂C␈↓ ↓X␈ε	h␈↓ ↓u␈ε	k␈↓ α
␈ε↔␈␈↓ α5␈ε	h␈↓ αE␈ε	k␈↓ α]␈ε↔␈␈↓ β$␈εβ+␈↓ β|␈εβ+␈↓ ∧S␈εβ+␈↓ ¬≠␈ε↔␈␈↓ ¬[␈ε	≠␈↓ ¬m␈εβ(␈↓ ¬y␈ε	h␈↓ ε	␈εβ,␈↓ ε_␈ε	k␈↓ ε(␈εβ,␈αε0)␈ε↔␈απ␈␈↓ π~␈ε	≠␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	k␈↓ πH␈εβ,␈↓ πW␈ε	h␈↓ πg␈εβ,␈αε0␈α␈)␈αλ+␈↓ λj␈ε	≠␈↓ λ|␈εβ(1,␈↓ 	&␈ε	k␈↓ 	7␈εβ,␈αε0␈α␈)␈α
=␈↓ 
∃␈ε	h␈↓ 
2␈ε	k␈↓ 
J␈ε↔␈␈↓ 
r␈ε	h␈↓ α␈ε	k␈↓ ∪␈εβ.
␈β⊂Q␈↓ β	␈∧⊂Qβ	α⊃␈↓ βP␈∧⊂QβPα!␈↓ ∧(␈∧⊂Q∧(α"␈↓ ∧␈␈∧⊂Q∧␈α⊃␈↓ ¬G␈∧⊂Q¬Gα⊃␈↓ πε␈∧⊂Qπεα⊃␈↓ λE␈∧⊂QλEα"
␈β⊂[␈↓ β	␈εβ2␈↓ βP␈εβ6␈↓ βa␈ε	k␈↓ ∧(␈εβ1␈α␈2␈↓ ∧␈␈εβ4␈↓ ¬G␈εβ6␈↓ πε␈εβ6␈↓ λE␈εβ1␈α␈2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ince␈↓ α∨␈ε	≠␈↓ α1␈εβ(1,␈↓ α\␈ε	k␈↓ αl␈εβ,␈αε0␈α␈)␈α
=␈α	(␈↓ βU␈ε	k␈↓ βm␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓(␈↓ ∧=␈ε	k␈↓ ∧T␈ε↔␈␈εβ␈αλ2)/␈↓ ¬)␈ε	k␈↓ ¬:␈εβ,␈αthis␈αred␈α␈uc␈α␈es␈αto␈αth␈α␈e␈αrecipro␈α␈city␈αlaw.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα622␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αDuk␈α}e␈αMa␈α␈th.␈αJ.␈ε∪␈α21␈εβ␈α(1␈α␈954␈α␈),␈α3␈α␈91↑␈α␈397␈α␈.
␈βαD␈↓ ¬e␈ε↓P␈↓ λL␈ε↓P
␈βαb␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβBegin␈α∂with␈α∂th␈α␈e␈α∂ha␈α␈nd␈α␈y␈α∂iden␈α}tity␈↓ εd␈ε↔b␈↓ εq␈ε	k␈↓ π↓␈ε	p␈↓ π∩␈εβ/␈↓ π"␈ε	r␈↓ π1␈ε↔cb␈↓ πK␈ε	k␈↓ π[␈ε	q␈↓ πj␈εβ/␈↓ π{␈ε	r␈↓ λ	␈ε↔c␈εβ␈α
+␈↓ 	L␈ε↔b␈↓ 	Y␈ε	k␈↓ 	i␈ε	q␈↓ 	x␈εβ/␈↓ 
	␈ε	p␈↓ 
~␈ε↔cb␈↓ 
3␈ε	k␈↓ 
D␈ε	r␈↓ 
R␈εβ/␈↓ 
c␈ε	p␈↓ 
t␈ε↔c␈εβ␈α
+
␈βαq␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βαt␈↓ ε␈εε0␈ε~∀␈↓ ε1␈εk␈↓ ε>␈εε<␈↓ εW␈εr␈↓ λr␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ 	_␈εk␈↓ 	%␈εε<␈↓ 	>␈εp
␈ββ∂␈↓ αF␈ε↔b␈↓ αS␈ε	k␈↓ αc␈ε	r␈↓ αr␈εβ/␈↓ βα␈ε	q␈↓ β⊃␈ε↔cb␈↓ β+␈ε	k␈↓ β<␈ε	p␈↓ βL␈εβ/␈↓ β]␈ε	q␈↓ βl␈ε↔c␈εβ␈α
=␈α∞(␈↓ ∧@␈ε	p␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈α
1)(␈↓ ¬,␈ε	q␈↓ ¬D␈ε↔␈␈εβ␈α	1)(␈↓ ε∃␈ε	r␈↓ ε-␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α∞fo␈α␈r␈α∞which␈α
a␈α
simple␈α
geo␈α␈metric␈α∞p␈α␈roo␈α␈f␈α∞is
␈ββ"␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εk␈↓ α!␈εε<␈↓ α:␈εq
␈ββ;␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈.␈α[U.␈αDi␈α↓e␈α␈ter,␈ε⊂␈αA␈α↓b␈α␈h.␈αM␈α␈ath.␈αS␈α␈em.␈αUniv.␈αHam␈α␈b␈α␈ur␈α␈g␈ε∪␈α21␈εβ␈α(1␈α␈957␈α␈),␈α1␈α␈09↑␈α␈125␈α␈.␈α↓]
␈ββs␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβOb␈α␈viou␈α␈sl␈α↓y␈↓ β,␈ε	≠␈↓ β?␈εβ(␈↓ βJ␈ε	k␈↓ βb␈ε↔␈␈↓ ∧␈ε	h␈↓ ∧≤␈εβ,␈↓ ∧+␈ε	k␈↓ ∧;␈εβ,␈↓ ∧J␈ε	c␈↓ ∧W␈εβ)␈α=␈ε↔␈α␈␈↓ ¬;␈ε	≠␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε	h␈↓ ¬i␈εβ,␈↓ ¬x␈ε	k␈↓ ελ␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ε8␈ε	c␈↓ εE␈εβ),␈α
cf.␈α(␈α↓8␈α␈).␈α∂Rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ λR␈ε	j␈↓ λm␈εβby␈↓ 	≡␈ε	k␈↓ 	7␈ε↔␈␈↓ 	`␈ε	j␈↓ 	|␈εβin␈αd␈α␈e|␈α␈nition
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈6),␈αto␈αde␈α␈du␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈↓ βs␈ε	≠␈↓ ∧ε␈εβ(␈↓ ∧⊃␈ε	h␈↓ ∧!␈εβ,␈↓ ∧0␈ε	k␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧O␈ε	c␈↓ ∧\␈εβ)␈α
=␈↓ ¬≠␈ε	≠␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬9␈ε	h␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ ¬X␈ε	k␈↓ ¬h␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ε_␈ε	c␈↓ ε%␈εβ).
␈β∧s␈↓ αL␈ε↓X␈↓ ε/␈ε↓X
␈β∧|␈↓ β∨␈ε↓∩␈↓ β5␈ε↓∩␈↓ βv␈ε↓∪␈↓ ∧␈ε↓∪␈↓ ∧"␈ε↓∩␈↓ ∧8␈ε↓∩␈↓ ¬1␈ε↓∪␈↓ ¬G␈ε↓∪␈↓ ε}␈ε↓∩␈↓ π∀␈ε↓∩␈↓ λ
␈ε↓∪␈↓ λ#␈ε↓∪␈↓ λ9␈ε↓∩␈↓ λO␈ε↓∩␈↓ 	I␈ε↓∪␈↓ 	←␈ε↓∪
␈β¬β␈↓ βY␈ε	j␈↓ ∧Q␈ε	h␈↓ ∧b␈ε	j␈↓ ∧x␈εβ+␈↓ ¬!␈ε	c␈↓ π-␈ε	i␈↓ π:␈ε	k␈↓ πR␈εβ+␈↓ π{␈ε	j␈↓ λi␈ε	h␈↓ λy␈ε	j␈↓ 	⊂␈εβ+␈↓ 	8␈ε	c
␈β¬→␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ ¬k␈εβ=␈↓ 	u␈εβ;␈α∂use␈α∞(1␈α␈0)␈α∞to
␈β¬'␈↓ βO␈∧¬'βOα#␈↓ ∧Q␈∧¬'∧Qα]␈↓ π-␈∧¬'π-α]␈↓ λi␈∧¬'λiα]
␈β¬0␈↓ βO␈ε	d␈↓ βa␈ε	k␈↓ ∧w␈ε	k␈↓ πJ␈ε	d␈↓ π\␈ε	k␈↓ 	∂␈ε	k
␈β¬F␈↓ ε≥␈εε0␈ε~∀␈↓ εC␈εi␈↓ εM␈εε<␈↓ εg␈εd
␈β¬J␈↓ α3␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ αY␈εj␈↓ αe␈εε<␈↓ α}␈εd␈↓ β
␈εk
␈β¬]␈↓ ε≥␈εε0␈ε~∀␈↓ εC␈εj␈↓ εO␈εε<␈↓ εh␈εk
␈βε␈↓ β∨␈ε↓∩␈↓ β5␈ε↓∩␈↓ ∧m␈ε↓∪␈↓ ¬β␈ε↓∪␈↓ ¬M␈ε↓∩␈↓ ¬c␈ε↓∩␈↓ ε]␈ε↓∪␈↓ εs␈ε↓∪␈↓ λ)␈ε↓∩␈↓ 	#␈ε↓∪
␈βε⊃␈↓ βO␈ε	h␈↓ β←␈ε	j␈↓ βv␈εβ+␈↓ ∧≡␈ε	c␈↓ ∧3␈εβ+␈↓ ∧\␈ε	∩␈↓ ¬⎇␈ε	h␈↓ ε
␈ε	j␈↓ ε$␈εβ+␈↓ εL␈ε	c␈↓ π>␈ε	∩␈↓ λ¬␈εβ1␈↓ λC␈ε	h␈↓ λS␈ε	j␈↓ λi␈εβ+␈↓ 	∩␈ε	c
␈βε'␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈m␈αon␈↓ α<␈ε	i␈↓ αI␈εβ.␈α→(␈α↓b␈α␈)␈↓ ¬#␈εβ=␈↓ π⊃␈εβ+␈↓ πX␈ε↔␈␈↓ λ→␈ε	∞␈↓ 	9␈εβ;␈αno␈α}w␈αsum.
␈βε5␈↓ βO␈∧ε5βOα↓≠␈↓ ¬⎇␈∧ε5¬⎇α]␈↓ π=␈∧ε5π=α⊃␈↓ λ¬␈∧ε5λ¬α⊃␈↓ λC␈∧ε5λCα]
␈βε?␈↓ ∧∀␈ε	k␈↓ ε#␈ε	k␈↓ π=␈ε	k␈↓ λ¬␈εβ2␈↓ λi␈ε	k
␈βπ	␈↓ αf␈ε↓␈␈↓ αt␈ε↓␈␈↓ βG␈ε↓↓␈↓ βU␈ε↓↓␈↓ πg␈ε↓␈␈↓ πu␈ε↓␈␈↓ λ_␈ε↓↓␈↓ λ&␈ε↓↓
␈βπ#␈↓ βε␈εh␈↓ β∪␈εj␈↓ β∨␈εε+␈↓ β8␈εc␈↓ λπ␈εj
␈βπ+␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ βq␈εβrun␈α␈s␈α∞thro␈α␈ug␈α␈h␈α∞the␈α∞sa␈α␈me␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α∞as␈↓ λB␈εβin␈α∞so␈α␈me␈α∞ord␈α␈er,␈α∂Cau␈α␈ch␈α␈y␈α␈'s
␈βπ9␈↓ βε␈∧π9βεα>␈↓ λπ␈∧π9λπα∞
␈βπ;␈↓ β≡␈εk␈↓ λπ␈εk
␈βπN␈↓ ¬∪␈εε2␈↓ εO␈εε2
␈βπR␈↓ ↓H␈εβin␈α␈equ␈α␈ality␈αimplies␈αth␈α␈at␈↓ ∧∨␈ε	≠␈↓ ∧2␈εβ(␈↓ ∧=␈ε	h␈↓ ∧M␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	k␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈ε	c␈↓ ¬λ␈εβ)␈↓ ¬+␈ε↔∀␈↓ ¬W␈ε	≠␈↓ ¬j␈εβ(␈↓ ¬u␈ε	h␈↓ ε¬␈εβ,␈↓ ε∀␈ε	k␈↓ ε$␈εβ,␈αε0␈↓ εD␈εβ)␈↓ ε[␈εβ;␈α
and␈↓ π3␈ε	≠␈↓ πF␈εβ(1␈α␈,␈↓ πp␈ε	k␈↓ λ↓␈εβ,␈α¬0)␈αmay␈αbe␈αsu␈α␈mmed␈αdirec␈α␈tl␈α↓y␈α␈,
␈βπz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈f␈α↓.␈αex␈α}ercise␈α7.
␈βλ≤␈↓ ¬$␈ε↓X
␈βλ%␈↓ 
∀␈ε↓∩␈↓ 
*␈ε↓∩␈↓ 
k␈ε↓∪␈↓ ↓␈ε↓∪
␈βλ'␈↓ εq␈ε~␈␈↓ π
␈εc␈↓ π∃␈εj␈↓ 
T␈ε~0
␈βλ+␈↓ β4␈εβ3␈α␈(␈↓ βP␈ε	k␈↓ βg␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ∧g␈εβ12␈↓ ε\␈ε	|␈↓ λA␈εβ6␈↓ 
D␈ε	h␈↓ 
Z␈ε	c
␈βλA␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	≠␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	h␈↓ α:␈εβ,␈↓ αI␈ε	k␈↓ αY␈εβ,␈↓ αh␈ε	c␈↓ αu␈εβ)␈απ+␈↓ ∧9␈εβ=␈↓ λ∃␈εβ+␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε	c␈↓ λs␈εβmod␈↓ 	8␈ε	k␈↓ 	H␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈απ6␈↓ ↔␈εβ,
␈βλO␈↓ β4␈∧λOβ4αx␈↓ ∧g␈∧λO∧gα"␈↓ ¬s␈∧λO¬sαα↔␈↓ λA␈∧λOλAα⊃␈↓ 
D␈∧λO
Dα$
␈βλV␈↓ ε∪␈ε~␈␈↓ ε,␈εh␈↓ ε:␈εj␈↓ π2␈εj
␈βλY␈↓ βh␈ε	k␈↓ ∧o␈ε	k␈↓ ¬s␈εβ(␈↓ ¬}␈ε	|␈↓ εM␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)(␈↓ π≥␈ε	|␈↓ πE␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ λB␈ε	k␈↓ 
M␈ε	k
␈βλr␈↓ ¬∩␈εε0␈α␈<␈↓ ¬7␈εj␈↓ ¬C␈εε<␈↓ ¬]␈εk
␈β	≡␈↓ αλ␈ε~0
␈β	"␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	h␈↓ ↓x␈ε	h␈↓ α↔␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ β]␈ε	k␈↓ βn␈εβ).
␈β	V␈↓ α(␈εε3␈α␈8␈↓ β/␈εε2␈α␈0␈↓ ∧C␈εε7␈α␈0␈↓ ¬t␈ε~␈␈εε32
␈β	Z␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈εβ2␈↓ αI␈ε↔␈␈εβ␈α	3␈ε↔␈αλ↓␈↓ β≡␈εβ2␈↓ βQ␈εβ+␈αλ5)/(␈↓ ∧2␈εβ2␈↓ ∧d␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈ε↔␈α→␈↓ ¬c␈εβ2␈↓ ε&␈εβ.␈α⊂An␈α
ex␈α␈trem␈α␈el␈α↓y␈αsa␈α␈ti␈α↓sfa␈α␈ctory␈αglo␈α␈bal␈α
v␈α␈alu␈α␈e,␈α∞in
␈β
α␈↓ ↓H␈εβsp␈α␈ite␈αof␈αth␈α␈e␈αl␈α↓o␈α␈cal␈αno␈α␈nra␈α␈nd␈α␈omn␈α␈ess!
␈β
5␈↓ β⊗␈εε2
␈β
9␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβRep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ β	␈ε	c␈↓ β.␈εβwh␈α␈ere␈αit␈αap␈α␈pea␈α␈rs␈αin␈α(19␈α␈)␈αb␈α␈y␈ε↔␈αb␈↓ εP␈ε	c␈↓ ε]␈ε↔cd␈↓ εw␈ε	c␈↓ π∧␈ε↔e␈εβ.
␈β
q␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβThe␈α	h␈α␈in␈α␈ted␈α	id␈α␈en␈α␈tity␈α	is␈α	equ␈α␈iva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α	to␈↓ ε∪␈ε	m␈↓ εE␈εβ=␈↓ εp␈ε	p␈↓ π␈ε	m␈↓ π←␈εβ+␈↓ λε␈ε	p␈↓ λG␈ε	m␈↓ 	∨␈εβfor␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
∃␈ε	r␈↓ 
-␈ε↔∀␈↓ 
X␈ε	t␈↓ 
d␈εβ;␈α
th␈α␈is
␈β
{␈↓ 	ε␈ε↓P
␈β
|␈↓ ε0␈εε1␈↓ π␈εr␈↓ π(␈εr␈↓ π4␈εε+␈α↓1␈↓ λ∃␈εr␈↓ λ!␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λd␈εr␈↓ λp␈εε+2
␈β→␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
by␈α
ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αcf.␈α
also␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α
4.5.3↑␈α␈32.␈αNo␈α}w␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ λ3␈ε	c␈↓ λV␈εβby␈↓ 
ε␈ε	b␈↓ 
≡␈ε	m␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β#␈↓ λ?␈εj␈↓ 
∩␈εr␈↓ 
:␈εr␈↓ 
F␈εε+␈α↓1
␈β+␈↓ 	,␈εj␈↓ 	8␈ε~∀␈↓ 	Q␈εr␈↓ 	]␈ε~∀␈↓ 	v␈εt
␈β@␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈are␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αof␈↓ ∧≠␈ε	b␈↓ ∧2␈ε	b␈↓ ∧U␈εβon␈α
bo␈α␈th␈αside␈α␈s␈αof␈αthe␈αid␈α␈en␈α␈tity␈αt␈α␈o␈αbe␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}ed.
␈βK␈↓ ∧'␈εi␈↓ ∧>␈εj
␈βi␈↓ α␈εβ(␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αFor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}ts␈↓ ∧{␈ε	e␈↓ ¬∩␈ε↔∃␈εβ␈α	1␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β5␈↓ ¬ε␈εe␈↓ λ1␈εe␈↓ λz␈εe
␈β9␈↓ βλ␈ε↓X␈↓ ∧y␈ε	c␈↓ ε?␈ε↓X␈↓ λ→␈εβ(␈↓ λ$␈ε	c␈↓ λD␈ε↔␈␈↓ λm␈ε	c␈↓ 	,␈εβ)
␈βH␈↓ ¬ε␈εj␈↓ ελ␈εβ1␈↓ λ1␈εj␈↓ λz␈εj␈↓ 	ε␈εε+1
␈βY␈↓ ∧∃␈εj␈↓ ∧!␈εε+1␈↓ πK␈εj␈↓ πW␈εε+1
␈β←␈↓ βM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧
␈εβ)␈↓ ¬N␈εβ=␈↓ πβ␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ π@␈εβ)␈↓ π⎇␈ε	b␈↓ 	;␈ε	p
␈βi␈↓ λ	␈εj␈↓ 	J␈εj␈↓ 	V␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βm␈↓ ∧J␈∧m∧Jαw␈↓ ¬|␈∧m¬|α)␈↓ λ→␈∧mλ→α↓∨
␈βv␈↓ ∧J␈ε	m␈↓ ∧s␈ε	m␈↓ ¬|␈ε	m␈↓ λ%␈ε	c␈↓ λD␈ε↔␈␈↓ λm␈ε	c
␈β
↓␈↓ ∧g␈εj␈↓ ¬∂␈εj␈↓ ¬≠␈εε+1␈↓ ε_␈εε1␈↓ λ1␈εj␈↓ λy␈εj␈↓ 	¬␈εε+1
␈β
⊂␈↓ αx␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β≡␈εj␈↓ β*␈ε~∀␈↓ βC␈εt␈↓ ε.␈εε1␈ε~∀␈↓ εT␈εj␈↓ ε`␈ε~∀␈↓ εy␈εt
␈β
j␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α␈.␈α↓)
␈β∞"␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβDu␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α∂t␈α␈his␈α∂alg␈α␈orithm␈α∞w␈α␈e␈α∂wil␈α↓l␈α∂h␈α␈av␈α}e␈↓ ε*␈ε	k␈↓ εI␈εβ=␈↓ εz␈ε	m␈↓ π#␈εβ,␈↓ π;␈ε	h␈↓ π[␈εβ=␈↓ λ␈ε	m␈↓ λZ␈εβ,␈↓ λs␈ε	c␈↓ 	∂␈εβ=␈↓ 	@␈ε	c␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	q␈ε	p␈↓ 
⊃␈εβ=␈↓ 
B␈ε	p␈↓ 
g␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈,
␈β∞,␈↓ π⊗␈εj␈↓ λ(␈εj␈↓ λ4␈εε+1␈↓ 	L␈εj␈↓ 
R␈εj
␈β∞E␈↓ ↓Y␈ε~0␈↓ βr␈εj␈↓ β}␈εε+␈α↓1
␈β∞I␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓h␈εβ=␈↓ α∪␈ε	p␈↓ αT␈εβ,␈↓ αi␈ε	s␈↓ β␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ βg␈εβ)␈↓ ∧/␈εβfor␈↓ ∧c␈ε	j␈↓ ∧{␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α2␈α␈,␈↓ ¬p␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε≤␈εβ,␈↓ ε1␈ε	t␈↓ εD␈εβ+␈αλ1␈α␈.
␈β∞T␈↓ α"␈εj␈↓ α.␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β∞⎇␈↓ εQ␈ε~0
␈β∂↓␈↓ ↓M␈ε∪D1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε	A␈↓ ∧_␈ε↔ ␈εβ␈α	0,␈↓ ∧g␈ε	B␈↓ ¬π␈ε↔ ␈↓ ¬1␈ε	h␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬V␈ε	p␈↓ ¬p␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ ε@␈ε	p␈↓ ε`␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ π0␈ε	s␈↓ πG␈ε↔ ␈εβ␈α	1.
␈β∂9␈↓ ↓M␈ε∪D2.␈↓ α␈εβ[Divide␈α␈.␈α↓]␈α→Se␈α␈t␈↓ β[␈ε	a␈↓ βt␈ε↔ ␈α
b␈↓ ∧,␈ε	k␈↓ ∧<␈εβ/␈↓ ∧M␈ε	h␈↓ ∧]␈ε↔c␈εβ,␈↓ ∧}␈ε	b␈↓ ¬∃␈ε↔ ␈α	b␈↓ ¬L␈ε	c␈↓ ¬Y␈εβ/␈↓ ¬j␈ε	h␈↓ ¬z␈ε↔c␈εβ,␈↓ ε≤␈ε	r␈↓ ε4␈ε↔ ␈↓ ε↑␈ε	c␈↓ εq␈εβm␈α␈od␈↓ π5␈ε	h␈↓ πF␈εβ.␈α(No␈α␈w␈↓ λ2␈ε	a␈↓ λK␈εβ=␈↓ λv␈ε	a␈↓ 	∩␈εβ,␈↓ 	&␈ε	b␈↓ 	<␈εβ=␈↓ 	g␈ε	b␈↓ 	␈␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	r␈↓ 
+␈εβ=␈↓ 
V␈ε	c␈↓ ∀␈εβ.)
␈β∂C␈↓ 	ε␈εj␈↓ 	s␈εj␈↓ 
b␈εj␈↓ 
n␈εε+1
␈β∂q␈↓ ↓M␈ε∪D3.␈↓ α␈εβ[Accu␈α␈m␈α␈ulate␈α␈.␈α↓]␈α≠S␈α␈et␈↓ ∧(␈ε	A␈↓ ∧I␈ε↔ ␈↓ ∧u␈ε	A␈↓ ¬∪␈ε↔␈␈εβ␈α	(␈↓ ¬H␈ε	a␈↓ ¬`␈ε↔␈␈εβ␈αλ6␈↓ ε~␈ε	b␈↓ ε'␈εβ)␈↓ ε2␈ε	s␈↓ ε@␈εβ,␈↓ εV␈ε	B␈↓ εw␈ε↔ ␈↓ π#␈ε	B␈↓ πA␈εβ+␈αλ6␈↓ π{␈ε	b␈↓ λλ␈ε	p␈↓ λ→␈εβ(␈↓ λ$␈ε	c␈↓ λ9␈εβ+␈↓ λb␈ε	r␈↓ λq␈εβ)␈↓ λ|␈ε	s␈↓ 	
␈εβ.␈α∞If␈↓ 	C␈ε	r␈↓ 	\␈ε↔≤␈εβ␈α0␈αor␈↓ 
O␈ε	c␈↓ 
f␈εβ=␈α0␈α␈,
␈β⊂_␈↓ α␈εβset␈↓ αA␈ε	A␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β
␈ε	A␈↓ β+␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ βe␈ε	s␈↓ βs␈εβ.␈α
I␈α↓f␈↓ ∧+␈ε	h␈↓ ∧F␈εβ=␈α1,␈αset␈↓ ¬M␈ε	B␈↓ ¬m␈ε↔ ␈↓ ε→␈ε	B␈↓ ε7␈εβ+␈↓ εa␈ε	p␈↓ εr␈ε	s␈↓ ε␈␈εβ.␈α∞(This␈αsu␈α␈btr␈α␈acts␈α3␈↓ 	∂␈ε	e␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	'␈ε	m␈↓ 	v␈εβ,␈↓ 
∧␈ε	c␈↓ 
≤␈εβ)␈αand␈αalso
␈β⊂"␈↓ ∧	␈ε↓P
␈β⊂#␈↓ 	D␈εj␈↓ 	P␈εε+1␈↓ 
⊂␈εj
␈β⊂<␈↓ ∧w␈εj␈↓ ¬β␈εε+1
␈β⊂@␈↓ α␈εβtak␈α}es␈αcar␈α␈e␈αof␈αthe␈↓ ∧/␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧l␈εβ)␈↓ ¬)␈εβ/␈↓ ¬9␈ε	m␈↓ ¬b␈ε	m␈↓ ε;␈εβterm␈α␈s.␈α↓)
␈β⊂J␈↓ ¬V␈εj␈↓ ¬}␈εj␈↓ ε
␈εε+1
␈β⊂w␈↓ ↓M␈ε∪D4.␈↓ α␈εβ[P␈α↓re␈α␈par␈α␈e␈α
fo␈α␈r␈αnex␈α␈t␈α
iter␈α␈ation␈α␈.␈α↓]␈α≠Set␈↓ ¬w␈ε	c␈↓ ε∂␈ε↔ ␈↓ ε<␈ε	r␈↓ εJ␈εβ,␈↓ ε`␈ε	s␈↓ εy␈ε↔ ␈α␈␈↓ πG␈ε	s␈↓ πT␈εβ;␈α
set␈↓ λ∨␈ε	r␈↓ λ9␈ε↔ ␈↓ λf␈ε	k␈↓ λ}␈ε↔␈␈↓ 	(␈ε	a␈↓ 	8␈ε	h␈↓ 	I␈εβ,␈↓ 	↑␈ε	k␈↓ 	z␈ε↔ ␈↓ 
&␈ε	h␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
M␈ε	h␈↓ 
h␈ε↔ ␈↓ ∃␈ε	r␈↓ #␈εβ;
␈β⊃≠␈↓ βe␈ε~0␈↓ ∧⊂␈ε~0
␈β⊃∨␈↓ α␈εβset␈↓ α@␈ε	r␈↓ αX␈ε↔ ␈↓ βα␈ε	a␈↓ β∪␈ε	p␈↓ β+␈εβ+␈↓ βT␈ε	p␈↓ βk␈εβ,␈↓ β␈␈ε	p␈↓ ∧ ␈ε↔ ␈↓ ∧J␈ε	p␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧p␈ε	p␈↓ ¬
␈ε↔ ␈↓ ¬4␈ε	r␈↓ ¬C␈εβ.␈αIf␈↓ ¬y␈ε	h␈↓ ε∩␈εβ>␈α
0␈α␈,␈αret␈α␈urn␈αt␈α␈o␈αD2.
␈β⊃!␈↓ λI␈∧⊃!λI≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα623
␈βα+␈↓ α␈εβAt␈α
th␈α␈e␈α
con␈α␈clusion␈α	of␈α
th␈α␈is␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m,␈↓ ε_␈ε	p␈↓ ε3␈εβwil␈α↓l␈α
b␈α␈e␈α
eq␈α␈ual␈α
to␈α	the␈α
o␈α␈rigina␈α␈l␈αv␈α␈alue␈↓ 
 ␈ε	k␈↓ 
E␈εβof␈↓ 
k␈ε	k␈↓ 
{␈εβ,␈αso
␈βα6␈↓ 
/␈εε0
␈βαO␈↓ πh␈ε~0␈↓ λp␈ε~0␈↓ &␈ε~0
␈βαS␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	desired␈αλansw␈α␈e␈α␈r␈α
will␈α
b␈α␈e␈↓ ∧C␈ε	A␈↓ ∧↑␈εβ+␈↓ ¬∧␈ε	B␈↓ ¬≠␈εβ/␈↓ ¬+␈ε	p␈↓ ¬<␈εβ.␈αThe␈α	|␈α␈na␈α␈l␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α	of␈↓ πW␈ε	p␈↓ πx␈εβwil␈α↓l␈α	be␈↓ λ`␈ε	h␈↓ 	␈εβif␈↓ 	≡␈ε	s␈↓ 	5␈εβ<␈α	0,␈α
oth␈α␈erwise␈↓ ∃␈ε	p
␈βαv␈↓ β	␈ε~0
␈βαz␈↓ ↓H␈εβwill␈α
be␈↓ α1␈ε	k␈↓ αR␈ε↔␈␈↓ αy␈ε	h␈↓ β⊂␈εβ.␈α
I␈α↓t␈α	wo␈α␈uld␈α	be␈α
p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α	to␈α
ma␈α␈i␈α↓n␈α}tain␈↓ ε⎇␈ε	B␈↓ π≡␈εβin␈α	the␈α
ra␈α␈ng␈α␈e␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	~␈ε	B␈↓ 	9␈εβ<␈↓ 	d␈ε	k␈↓ 	␈␈εβ,␈α
by␈α	mak␈α␈ing
␈ββ¬␈↓ α?␈εε0␈↓ 	r␈εε0
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αa␈α␈djust␈α␈men␈α␈ts␈α
to␈↓ ∧←␈ε	A␈↓ ∧u␈εβ,␈αthe␈α␈reby␈α
req␈α␈uiring␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
sing␈α␈l␈α↓e␈α␈-prec␈α␈i␈α↓sion␈α
op␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α(with
␈ββI␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ou␈α␈ble-p␈α␈recision␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈αa␈α␈nd␈α
divid␈α␈end␈α␈s)␈αi␈α↓f␈↓ εH␈ε	k␈↓ εn␈εβis␈αa␈αsing␈α␈l␈α↓e␈α␈-␈α↓p␈α␈recision␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈.
␈ββT␈↓ εV␈εε0
␈ββ|␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβA␈αmom␈α␈en␈α␈t's␈αth␈α␈oug␈α␈h␈α␈t␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈αthe␈αfo␈α␈rm␈α␈ula
␈β∧,␈↓ ∧d␈ε↓P
␈β∧G␈↓ ¬c␈εα(␈↓ λε␈εα)((␈↓ 	>␈εα))
␈β∧J␈↓ β≡␈ε	S␈↓ β2␈εβ(␈↓ β=␈ε	h␈↓ βN␈εβ,␈↓ β]␈ε	k␈↓ βm␈εβ,␈↓ β|␈ε	c␈↓ ∧	␈εβ,␈↓ ∧_␈ε	z␈↓ ∧%␈εβ)␈α
=␈↓ ¬o␈ε↔b␈↓ ¬|␈ε	j␈↓ ε
␈εβ/␈↓ ε≠␈ε	k␈↓ ε+␈ε↔c␈αλ␈␈αλb␈εβ␈α␈(␈↓ π↓␈ε	j␈↓ π↔␈ε↔␈␈↓ π@␈ε	z␈↓ πM␈εβ)␈α↓/␈↓ πi␈ε	k␈↓ πz␈ε↔c␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ6␈ε	h␈↓ λF␈ε	j␈↓ λ\␈εβ+␈↓ 	¬␈ε	c␈↓ 	∩␈εβ)/␈↓ 	.␈ε	k
␈β∧]␈↓ ¬
␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬0␈εj␈↓ ¬<␈εε<␈↓ ¬U␈εk
␈β¬→␈↓ 
r␈εz
␈β¬≥␈↓ ↓H␈εβis␈α
i␈α↓n␈α
fa␈α␈ct␈α∞v␈α␈alid␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧⊗␈ε	z␈↓ ∧$␈εβ,␈α∂n␈α␈ot␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
wh␈α␈en␈↓ ε∨␈ε	k␈↓ ε=␈ε↔∃␈↓ εk␈ε	z␈↓ εy␈εβ.␈α∪Writing␈ε↔␈α
b␈↓ λ ␈ε	j␈↓ λ/␈εβ/␈↓ λ@␈ε	k␈↓ λP␈ε↔c␈α	␈␈α	b␈εβ(␈↓ 	(␈ε	j␈↓ 	@␈ε↔␈␈↓ 	k␈ε	z␈↓ 	y␈εβ)/␈↓ 
∀␈ε	k␈↓ 
%␈ε↔c␈εβ␈α
=␈↓ ␈εβ+
␈β¬#␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ↓V␈ε↓␈␈↓ α≤␈ε↓↓␈↓ α*␈ε↓↓␈↓ αm␈ε↓␈␈↓ α{␈ε↓␈␈↓ β≡␈ε↓↓␈↓ β,␈ε↓↓␈↓ ¬α␈ε↓␈␈↓ ¬H␈ε↓↓
␈β¬+␈↓ 
q␈∧¬+
qα∞
␈β¬-␈↓ 
q␈εk
␈β¬=␈↓ ↓g␈εj␈↓ ↓s␈ε~␈␈↓ α
␈εz␈↓ β∞␈εj␈↓ ¬∪␈εj␈↓ ¬∨␈ε~␈␈↓ ¬9␈εz
␈β¬A␈↓ βs␈εε1␈↓ ∧b␈εε1
␈β¬D␈↓ αB␈ε↔␈␈↓ βD␈εβ+␈↓ ∧∧␈ε	∞␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧r␈ε	∞␈↓ ¬e␈εβan␈α␈d␈α∂ca␈α␈rrying␈α∞out␈α∂th␈α␈e␈α∂sums␈α∂y␈α␈i␈α↓e␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈↓ 	h␈ε	S␈↓ 	⎇␈εβ(␈↓ 
λ␈ε	h␈↓ 
_␈εβ,␈↓ 
'␈ε	k␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
F␈ε	c␈↓ 
S␈εβ,␈↓ 
b␈ε	z␈↓ 
p␈εβ)␈α⊂=
␈β¬O␈↓ ∧⊂␈εj␈↓ ∧≤␈εε0
␈β¬R␈↓ ↓g␈∧¬R↓gα1␈↓ β
␈∧¬Rβ
α∞␈↓ βs␈∧¬Rβsα
␈↓ ∧b␈∧¬R∧bα
␈↓ ¬∪␈∧¬R¬∪α1
␈β¬U␈↓ ↓y␈εk␈↓ β
␈εk␈↓ βs␈εε2␈↓ ∧b␈εε2␈↓ ¬%␈εk
␈β¬m␈↓ β"␈εε1␈↓ ¬;␈εε1␈↓ ε|␈εε1␈↓ λ≥␈εε1␈↓ λ-␈εα((␈↓ 	[␈εα))
␈β¬p␈↓ ↓H␈ε	z␈↓ ↓U␈ε	d␈↓ ↓h␈εβ((␈↓ ↓}␈ε	c␈↓ α␈εβ/␈↓ α≤␈ε	d␈↓ α.␈εβ))/␈↓ αU␈ε	k␈↓ αn␈εβ+␈↓ β9␈ε	≠␈↓ βK␈εβ(␈↓ βV␈ε	h␈↓ βg␈εβ,␈↓ βv␈ε	k␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧∃␈ε	h␈↓ ∧%␈ε	z␈↓ ∧<␈εβ+␈↓ ∧f␈ε	c␈↓ ∧s␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬Q␈ε	≠␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬o␈ε	h␈↓ ¬␈␈εβ,␈↓ ε∞␈ε	k␈↓ ε≡␈εβ,␈↓ ε-␈ε	c␈↓ ε:␈εβ)␈α	+␈↓ π␈εβ((␈↓ π"␈ε	c␈↓ π/␈εβ/␈↓ π@␈ε	k␈↓ πP␈εβ))␈ε↔␈α	␈␈↓ λE␈εβ(␈↓ λQ␈ε	h␈↓ λa␈ε	z␈↓ λx␈εβ+␈↓ 	"␈ε	c␈↓ 	/␈εβ)/␈↓ 	J␈ε	k␈↓ 	s␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ 
l␈ε	d␈↓ ␈εβ=
␈β¬␈␈↓ β≤␈∧¬␈β≤α~␈↓ ¬4␈∧¬␈¬4α~␈↓ ε|␈∧¬␈ε|α
␈↓ λ≥␈∧¬␈λ≥α
␈βε↓␈↓ β≤␈εε12␈↓ ¬4␈εε12␈↓ ε|␈εε2␈↓ λ≥␈εε2
␈βε_␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	h␈↓ α∃␈εβ,␈↓ α$␈ε	k␈↓ α4␈εβ).
␈βε@␈↓ α␈εβ[This␈αf␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈αallo␈α␈ws␈αus␈αto␈αex␈α␈press␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αtha␈α␈t␈↓ λ8␈ε	X␈↓ 	∂␈εβ<␈↓ 	:␈ε	X␈↓ 	k␈εβ<␈↓ 
⊗␈ε	␈↓ 
4␈εβin␈αterm␈α␈s
␈βεJ␈↓ λO␈εn␈↓ λ←␈εε+1␈↓ 	Q␈εn
␈βεg␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αgen␈α␈eralized␈αD␈α␈edek␈α␈ind␈α
sums,␈αgiv␈α}en␈↓ ¬e␈ε	␈↓ ¬w␈εβ.]
␈βπ~␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβThe␈α
desired␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
i␈α↓s
␈βπJ␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βπd␈↓ π≤␈ε~0␈↓ 	*␈ε~0
␈βπe␈↓ αR␈εα(␈↓ ¬t␈εα)(␈↓ 	v␈εα)
␈βπh␈↓ α↑␈ε↔b␈εβ(␈↓ αv␈ε	x␈↓ β∂␈ε↔␈␈↓ β8␈ε	␈↓ βJ␈εβ)/␈↓ βf␈ε	m␈↓ ∧β␈ε↔c␈απ␈␈αλb␈εβ(␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ∧q␈ε↔␈␈↓ ¬~␈ε	␈␈↓ ¬.␈εβ)/␈↓ ¬J␈ε	m␈↓ ¬g␈ε↔c␈↓ ε␈ε↔b␈εβ(␈↓ ε$␈ε	s␈↓ ε2␈εβ(␈↓ ε=␈ε	x␈↓ εN␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ π
␈ε	␈↓ π"␈εβ)/␈↓ π>␈ε	m␈↓ π[␈ε↔c␈απ␈␈αλb␈εβ(␈↓ λ0␈ε	s␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε	x␈↓ λZ␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	⊗␈ε	␈␈↓ 	0␈εβ)␈α↓/␈↓ 	L␈ε	m␈↓ 	i␈ε↔c␈↓ 
α␈εβ/␈↓ 
∪␈ε	m
␈βπ{␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εx␈↓ α"␈εε<␈↓ α;␈εm
␈βλε␈↓ β$␈ε↓⊂␈↓ ∧%␈ε↓⊂␈↓ ∧7␈ε↓⊂␈↓ ¬λ␈ε↓⊃␈↓ ¬~␈ε↓⊃␈↓ ¬\␈ε↓⊂␈↓ ¬n␈ε↓⊂␈↓ ε>␈ε↓⊃␈↓ εP␈ε↓⊃␈↓ π6␈ε↓⊂␈↓ λ¬␈ε↓⊃␈↓ λk␈ε↓⊂␈↓ 	<␈ε↓⊃␈↓ 	N␈ε↓⊃
␈βλ∀␈↓ α∪␈ε↓P
␈βλ%␈↓ β9␈ε␈␈↓ βI␈ε~␈␈↓ βc␈ε␈↓ ∧M␈εx␈↓ ∧[␈ε~␈␈↓ ∧t␈ε␈␈↓ ε∧␈εx␈↓ ε∩␈ε~␈␈↓ ε,␈ε␈↓ πL␈εx␈↓ πZ␈ε~␈␈↓ πs␈ε␈↓ 	↓␈εx␈↓ 	∂␈ε~␈␈↓ 	)␈ε␈
␈βλ/␈↓ π⊗␈εε1␈↓ λK␈εε1
␈βλ2␈↓ ↓i␈εβ=␈↓ β|␈εβ+␈↓ ¬4␈ε↔␈␈↓ εi␈εβ+␈↓ π&␈ε	∞␈↓ λ∨␈ε↔␈␈↓ λ\␈ε	∞␈↓ 	h␈ε↔α
␈βλ@␈↓ β9␈∧λ@β9α9␈↓ ∧M␈∧λ@∧Mα8␈↓ ε∧␈∧λ@ε∧α7␈↓ π⊗␈∧λ@π⊗α
␈↓ πL␈∧λ@πLα7␈↓ λK␈∧λ@λKα
␈↓ 	↓␈∧λ@	↓α8
␈βλB␈↓ βJ␈εm␈↓ ∧]␈εm␈↓ ε∪␈εm␈↓ π⊗␈εε2␈↓ π[␈εm␈↓ λK␈εε2␈↓ 	⊃␈εm
␈βλE␈↓ α9␈εε0␈ε~∀␈↓ α←␈εx␈↓ αn␈εε<␈↓ βπ␈εm
␈βλR␈↓ α1␈ε↓␈␈↓ β:␈ε↓␈␈↓ βH␈ε↓␈␈↓ ∧L␈ε↓↓␈↓ ∧Z␈ε↓↓␈↓ ¬_␈ε↓␈␈↓ ¬&␈ε↓␈␈↓ ε(␈ε↓↓␈↓ ε6␈ε↓↓␈↓ π_␈ε↓␈␈↓ λ≠␈ε↓↓␈↓ λ⎇␈ε↓␈␈↓ 
↓␈ε↓↓␈↓ 
∂␈ε↓↓
␈βλb␈↓ ε∨␈ε≠0␈↓ λ⊃␈ε≠0
␈βλc␈↓ αS␈ε≠0␈↓ β␈ε≠0␈↓ ∧B␈ε≠0␈↓ 	w␈ε≠0
␈βλf␈↓ ¬7␈εa␈↓ ¬E␈εx␈↓ ¬S␈εε+␈↓ ¬l␈εc␈↓ ¬w␈ε~␈␈↓ ε⊂␈ε␈↓ π*␈εa␈↓ π7␈εx␈↓ πE␈εε+␈↓ π←␈εc␈↓ πi␈ε~␈␈↓ λβ␈ε
␈βλg␈↓ αC␈ε␈␈↓ αX␈ε~␈␈↓ αr␈ε␈↓ βY␈εa␈↓ βg␈εx␈↓ βu␈εε+␈↓ ∧∞␈εc␈↓ ∧→␈ε~␈␈↓ ∧2␈ε␈␈↓ 	∞␈εa␈↓ 	≤␈εx␈↓ 	*␈εε+␈↓ 	C␈εc␈↓ 	N␈ε~␈␈↓ 	g␈ε␈
␈βλq␈↓ εx␈εε1␈↓ λ\␈εε1
␈βλt␈↓ β⊃␈εβ+␈↓ ∧o␈ε↔␈␈↓ εL␈εβ+␈↓ πλ␈ε	∞␈↓ λ0␈ε↔␈␈↓ λm␈ε	∞␈↓ 
≥␈εβ/␈↓ 
-␈ε	m
␈β	α␈↓ αC␈∧	ααCαD␈↓ βY␈∧	αβYαo␈↓ ¬7␈∧	α¬7αn␈↓ εx␈∧	αεxα
␈↓ π*␈∧	απ*αn␈↓ λ\␈∧	αλ\α
␈↓ 	∞␈∧	α	∞αo
␈β	∧␈↓ αY␈εm␈↓ ∧¬␈εm␈↓ ¬b␈εm␈↓ εx␈εε2␈↓ πU␈εm␈↓ λ\␈εε2␈↓ 	:␈εm
␈β	(␈↓ αg␈ε≠0␈↓ β∀␈ε≠0
␈β	,␈↓ α↔␈ε␈␈↓ α'␈ε~␈␈↓ αA␈ε␈↓ αW␈ε␈␈↓ αl␈ε~␈␈↓ βε␈ε
␈β	5␈↓ βc␈εε1␈↓ ε≥␈ε~0␈↓ λk␈ε~0
␈β	6␈↓ ∧ε␈εα(
␈β	9␈↓ ↓i␈εβ=␈↓ β%␈εβ+␈↓ ∧∩␈ε	≠␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	a␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧N␈ε	m␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧z␈ε	c␈↓ ¬∂␈εβ+␈↓ ¬8␈ε	a␈↓ ¬H␈ε	␈↓ ¬b␈ε↔␈␈↓ ε
␈ε	␈↓ ε#␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ε↑␈ε	≠␈↓ εq␈εβ(␈↓ ε|␈ε	a␈↓ π␈εβ,␈↓ π≠␈ε	m␈↓ π8␈εβ,␈↓ πG␈ε	c␈↓ π[␈εβ+␈↓ λ∧␈ε	a␈↓ λ∀␈ε	␈↓ λ.␈ε↔␈␈↓ λW␈ε	␈␈↓ λr␈εβ)␈απ+
␈β	G␈↓ α↔␈∧	Gα↔α9␈↓ αW␈∧	GαWαD␈↓ βQ␈∧	GβQα1
␈β	I␈↓ α(␈εm␈↓ αm␈εm␈↓ βQ␈εε12␈↓ βk␈εm
␈β	\␈↓ ππ␈ε~0␈↓ 	V␈ε~0
␈β	]␈↓ 	g␈εα)
␈β	`␈↓ ∧x␈ε	≠␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	a␈↓ ¬&␈εβ,␈↓ ¬4␈ε	m␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬`␈ε	c␈↓ ¬u␈εβ+␈↓ ε≡␈ε	a␈↓ ε.␈ε	␈␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ εr␈ε	␈␈↓ π
␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ πH␈ε	≠␈↓ π[␈εβ(␈↓ πf␈ε	a␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ¬␈ε	m␈↓ λ"␈εβ,␈↓ λ1␈ε	c␈↓ λF␈εβ+␈↓ λn␈ε	a␈↓ λ␈␈ε	␈␈↓ 	≠␈ε↔␈␈↓ 	C␈ε	␈↓ 	\␈εβ)␈↓ 	z␈εβ+␈↓ 
#␈ε	∂␈↓ 
0␈εβ,
␈β
/␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈ε↔␈αj␈↓ α1␈ε	∂␈↓ α>␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α	2.5/␈↓ β6␈ε	m␈↓ βT␈εβ.
␈β
V␈↓ α␈εβ[This␈αap␈α␈pr␈α␈oach␈α
is␈αd␈α␈ue␈α
to␈αU.␈αDieter.␈αTh␈α␈e␈αdiscre␈α␈pa␈α␈ncy␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α
the␈α
true␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β
i␈↓ εR␈ε↓P
␈β
v␈↓ ∧;␈ε≠0␈↓ ∧h␈ε≠0
␈β
z␈↓ βk␈ε␈␈↓ β{␈ε~␈␈↓ ∧∀␈ε␈↓ ∧*␈ε␈␈↓ ∧@␈ε~␈␈↓ ∧Y␈ε
␈βπ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α
i␈α↓d␈α␈eal␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ ∧|␈εβis␈α
bou␈α␈nd␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈↓ πR␈ε	a␈↓ πn␈εβ/4␈↓ λ∂␈ε	m␈↓ λ,␈εβ,␈αacco␈α␈rdin␈α␈g␈α
to␈α
Theo␈α␈rem␈α
K␈↓ #␈εβ;
␈β∩␈↓ πb␈εj
␈β∃␈↓ βk␈∧∃βkα9␈↓ ∧*␈∧∃∧*αD
␈β↔␈↓ β{␈εm␈↓ ∧@␈εm
␈β~␈↓ εx␈εε1␈ε~∀␈↓ π≡␈εj␈↓ π*␈ε~∀␈↓ πC␈εt
␈β+␈↓ ¬→␈ε~0␈↓ ¬K␈ε~0
␈β/␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈v␈α}ersely␈α␈,␈α∂b␈α␈y␈α∞c␈α␈ho␈α␈osing␈↓ ∧1␈ε	␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧[␈ε	␈␈↓ ∧o␈εβ,␈↓ ¬π␈ε	␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬7␈ε	␈␈↓ ¬←␈εβap␈α␈pro␈α␈priat␈α␈el␈α↓y␈α
w␈α␈e␈α
wil␈α↓l␈α
obta␈α␈in␈α∞a␈α
d␈α␈iscrep␈α␈anc␈α␈y␈α∞o␈α␈f␈α∞a␈α␈t
␈βV␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈st␈α	h␈α␈alf␈α	th␈α␈i␈α↓s␈αλbo␈α␈un␈α␈d␈αλwhen␈αλth␈α␈ere␈αλare␈αλlarge␈αλpa␈α␈rtial␈α	q␈α␈uotien␈α}ts,␈α	by␈αλth␈α␈e␈α	fac␈α␈t␈α	th␈α␈at␈αλT␈α↓h␈α␈eo␈α␈rem␈α	K
␈β{␈↓ 
&␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈β|␈↓ ε%␈∧|ε%α≡␈↓ 
t␈∧|
tα≡
␈β⎇␈↓ ε∧␈ε↔p␈↓ 
S␈ε↔p
␈β}␈↓ ↓H␈εβis␈α
\␈α␈best␈α	poss␈α␈i␈α↓b␈α␈le.␈α↓"␈α
No␈α␈te␈α
tha␈α␈t␈α
whe␈α␈n␈↓ ¬@␈ε	a␈↓ ¬Y␈ε↔→␈↓ ε%␈ε	m␈↓ εL␈εβthe␈α
d␈α␈iscrep␈α␈an␈α␈cy␈α
c␈α␈ann␈α␈ot␈α
e␈α␈x␈α␈cee␈α␈d␈↓ 
∞␈ε	O␈↓ 
2␈εβ1␈α␈/␈↓ 
t␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β&␈↓ ↓H␈εβso␈α	ev␈α␈e␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
locally␈α
n␈α␈on␈α␈ran␈α␈do␈α␈m␈α
gen␈α␈erato␈α␈r␈α
of␈α
ex␈α}ercise␈α
1␈α␈4␈α
wil␈α↓l␈α
look␈α	go␈α␈od␈α
o␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
serial␈α
tes␈α␈t
␈βM␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈αλth␈α␈e␈αλfull␈α	p␈α␈eriod␈α␈;␈α
it␈αλap␈α␈pea␈α␈rs␈αλtha␈α␈t␈α	w␈α␈e␈αλsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈απi␈α↓n␈α␈sist␈αλon␈αλa␈α␈n␈ε⊂␈αλex␈α␈tremely␈εβ␈αλsm␈α␈all␈α	d␈α␈iscrep␈α␈anc␈α␈y.]
␈β↑␈↓ β ␈ε↓ε␈↓ ∧k␈ε↓π␈↓ ∧y␈ε↓ε␈↓ π␈ε↓π␈↓ π→␈ε↓∞
␈βa␈↓ α␈ε↓P␈↓ λ&␈ε↓P
␈β⎇␈↓ β.␈εα(␈↓ ∧1␈εα)␈↓ ¬π␈εα(␈↓ εQ␈εα)␈↓ 	0␈εα((␈↓ 
F␈εα)
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ β:␈ε	x␈↓ βS␈ε↔␈␈↓ β{␈ε	s␈↓ ∧	␈εβ(␈↓ ∧∀␈ε	x␈↓ ∧&␈εβ)␈↓ ∧=␈εβ/␈↓ ∧M␈ε	m␈↓ ¬∪␈ε	s␈↓ ¬ ␈εβ(␈↓ ¬,␈ε	x␈↓ ¬=␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬x␈ε	s␈↓ εε␈εβ(␈↓ ε⊃␈ε	s␈↓ ε∨␈εβ(␈↓ ε*␈ε	x␈↓ ε;␈εβ))␈↓ ε]␈εβ/␈↓ εn␈ε	m␈↓ π.␈ε	m␈↓ πh␈εβ=␈↓ 	H␈ε	x␈↓ 	e␈ε↔␈␈↓ 
⊃␈ε	s␈↓ 
∨␈εβ(␈↓ 
*␈ε	x␈↓ 
;␈εβ)␈↓ 
R␈εβ/␈↓ 
c␈ε	m␈↓ ␈εβ+
␈β
∩␈↓ α2␈εε0␈ε~∀␈↓ αX␈εx␈↓ αf␈εε<␈↓ α␈␈εm␈↓ λL␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ λr␈εx␈↓ 	␈εε<␈↓ 	→␈εm
␈β
+␈↓ ↓H␈εα((␈↓ αx␈εα))␈↓ β;␈εε1␈↓ βL␈εα)((␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ε	␈εα((␈↓ πI␈εα))␈↓ λ
␈εε1␈↓ λ≥␈εα)/
␈β
.␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	b␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α
␈εβ+␈↓ α2␈ε	c␈↓ α?␈εβ)/␈↓ αZ␈ε	m␈↓ β∪␈εβ+␈↓ βp␈ε	s␈↓ β}␈εβ(␈↓ ∧	␈ε	x␈↓ ∧~␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ ∧M␈ε	s␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ∧f␈ε	s␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβ)␈α↓)␈↓ ¬3␈εβ/␈↓ ¬C␈ε	m␈↓ ¬d␈εβ+␈↓ ε!␈ε	a␈↓ ε1␈εβ(␈↓ ε<␈ε	b␈↓ εJ␈ε	x␈↓ ε↑␈εβ+␈↓ πβ␈ε	c␈↓ π⊂␈εβ)/␈↓ π,␈ε	m␈↓ πe␈εβ+␈↓ λ;␈ε	m␈↓ λY␈εβ;␈α	an␈α␈d␈↓ 	)␈ε	x␈↓ 	:␈εβ/␈↓ 	K␈ε	m␈↓ 	q␈εβ=␈α
((␈↓ 
2␈ε	x␈↓ 
D␈εβ/␈↓ 
T␈ε	m␈↓ 
q␈εβ)␈α↓)␈αβ+
␈β
<␈↓ β;␈∧
<β;α
␈↓ λ
␈∧
<λ
α
␈β
>␈↓ β;␈εε2␈↓ λ
␈εε2
␈β
Q␈↓ 
e␈εε2
␈β
R␈↓ ↓K␈εε1␈↓ α⊂␈εε1␈↓ ε>␈εε1␈↓ πβ␈εε1
␈β
S␈↓ ∧5␈εα((␈↓ ¬q␈εα))␈↓ π#␈εα(␈↓ λS␈εα)␈↓ 
2␈εα((
␈β
V␈↓ ↓d␈ε↔␈␈↓ α!␈ε	∞␈↓ α1␈εβ(␈↓ α<␈ε	x␈↓ αM␈εβ/␈↓ α↑␈ε	m␈↓ α{␈εβ),␈↓ β≠␈ε	s␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βF␈εβ)/␈↓ βa␈ε	m␈↓ ∧	␈εβ=␈↓ ∧M␈εβ(␈↓ ∧X␈ε	a␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ¬α␈εβ+␈↓ ¬+␈ε	c␈↓ ¬8␈εβ)/␈↓ ¬T␈ε	m␈↓ ε⊃␈εβ+␈↓ εV␈ε↔␈␈↓ π∪␈ε	∞␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	a␈↓ πJ␈ε	x␈↓ πd␈εβ+␈↓ λ
␈ε	c␈↓ λ~␈εβ)/␈↓ λ6␈ε	m␈↓ λ←␈εβ,␈↓ λt␈ε	s␈↓ 	α␈εβ(␈↓ 	
␈ε	s␈↓ 	≠␈εβ(␈↓ 	&␈ε	x␈↓ 	7␈εβ))␈α↓/␈↓ 	↑␈ε	m␈↓ 
ε␈εβ=␈↓ 
J␈εβ(␈↓ 
U␈ε	a␈↓ 
r␈ε	x␈↓ ␈εβ+
␈β
d␈↓ ↓K␈∧
d↓Kα
␈↓ α⊂␈∧
dα⊂α
␈↓ ε>␈∧
dε>α
␈↓ πβ␈∧
dπβα
␈β
f␈↓ ↓K␈εε2␈↓ α⊂␈εε2␈↓ ε>␈εε2␈↓ πβ␈εε2
␈β
y␈↓ ∧%␈εε2␈↓ πβ␈ε~0␈↓ πs␈ε~00
␈β
z␈↓ αW␈εα))␈↓ β≡␈εε1␈↓ β↑␈εε1␈↓ β}␈εα(␈↓ ¬}␈εα)
␈β
⎇␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	c␈↓ ↓j␈εβ+␈↓ α⊃␈ε	c␈↓ α≡␈εβ)/␈↓ α9␈ε	m␈↓ αt␈εβ+␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ βn␈ε	∞␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε	a␈↓ ∧2␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ+␈↓ ∧o␈ε	a␈↓ ∧␈␈ε	c␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ ¬8␈ε	c␈↓ ¬E␈εβ)/␈↓ ¬a␈ε	m␈↓ ε
␈εβ.␈αLet␈↓ εY␈ε	s␈↓ εg␈εβ(␈↓ εr␈ε	x␈↓ π
␈εβ)␈α	=␈↓ πI␈ε	s␈↓ πV␈εβ(␈↓ πb␈ε	x␈↓ λ␈εβ)␈α	=␈α	0␈α
a␈α␈nd␈↓ 	_␈ε	d␈↓ 	3␈εβ=␈↓ 	↑␈εβg␈α␈cd␈↓ 
⊂␈εβ(␈↓ 
≠␈ε	b␈↓ 
(␈εβ,␈↓ 
7␈ε	m␈↓ 
T␈εβ).␈αThe
␈β∞␈↓ β≡␈∧∞β≡α
␈↓ β↑␈∧∞β↑α
␈β∞
␈↓ β≡␈εε2␈↓ β↑␈εε2
␈β∞%␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈m␈αn␈α␈o␈α␈w␈αredu␈α␈ces␈αto
␈β∞a␈↓ 	∩␈ε↓⊂␈↓ 	$␈ε↓⊂␈↓ 	P␈ε↓⊃␈↓ 	b␈ε↓⊃␈↓ 
$␈ε↓⊂␈↓ 
6␈ε↓⊂␈↓ 
m␈ε↓⊃␈↓ 
␈␈ε↓⊃
␈β∞f␈↓ λ{␈ε↓ ␈↓ ⊃␈ε↓!
␈β∞w␈↓ ↓m␈εβ1␈↓ αL␈εβ1␈↓ λW␈ε	d␈↓ 	<␈ε	c␈↓ 
K␈ε	a␈↓ 
\␈ε	c
␈β∂
␈↓ αλ␈εβ+␈↓ αw␈εβ(␈↓ βα␈ε	S␈↓ β'␈ε↔␈␈↓ βP␈ε	S␈↓ βt␈εβ+␈↓ ∧≥␈ε	S␈↓ ∧B␈ε↔␈␈↓ ∧j␈ε	S␈↓ ¬∂␈εβ+␈↓ ¬8␈ε	S␈↓ ¬\␈ε↔␈␈↓ ε¬␈ε	S␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εR␈ε	S␈↓ εw␈ε↔␈␈↓ π ␈ε	S␈↓ πD␈εβ+␈↓ πm␈ε	S␈↓ λ
␈εβ)␈αλ+␈↓ 	{␈εβ+
␈β∂_␈↓ β∪␈εε1␈↓ β`␈εε2␈↓ ∧.␈εε3␈↓ ∧{␈εε4␈↓ ¬H␈εε5␈↓ ε⊗␈εε6␈↓ εc␈εε7␈↓ π0␈εε8␈↓ π}␈εε9
␈β∂≠␈↓ ↓m␈∧∂≠↓mα⊃␈↓ α5␈∧∂≠α5α?␈↓ λI␈∧∂≠λIα.␈↓ 	9␈∧∂≠	9α∪␈↓ 
K␈∧∂≠
Kα≡
␈β∂%␈↓ ↓m␈εβ4␈↓ α5␈εβ1␈α␈2␈↓ αV␈ε	m␈↓ λI␈εβ2␈↓ λZ␈ε	m␈↓ 	9␈ε	d␈↓ 
Q␈ε	d
␈β∂X␈↓ 	6␈ε↓⊂␈↓ 	H␈ε↓⊂␈↓ 	␈␈ε↓⊃␈↓ 
⊃␈ε↓⊃
␈β∂]␈↓ αf␈ε↓ ␈↓ 
k␈ε↓!
␈β∂h␈↓ α⎇␈ε↓∩␈↓ β∪␈ε↓∩␈↓ ∧⊗␈ε↓∪␈↓ ∧,␈ε↓∪␈↓ ∧r␈ε↓∩␈↓ ¬λ␈ε↓∩␈↓ ¬B␈ε↓∪␈↓ ¬X␈ε↓∪␈↓ ε∨␈ε↓∩␈↓ ε5␈ε↓∩␈↓ εp␈ε↓∪␈↓ πε␈ε↓∪␈↓ πL␈ε↓∩␈↓ πb␈ε↓∩␈↓ λZ␈ε↓∪␈↓ λp␈ε↓∪
␈β∂j␈↓ β>␈ε~0␈↓ ∧¬␈ε~0␈α↓0␈↓ ¬6␈ε~0␈↓ ε`␈ε~00
␈β∂n␈↓ αC␈εβ1␈↓ β,␈ε	x␈↓ βK␈ε↔␈␈↓ βt␈ε	x␈↓ ¬$␈ε	x␈↓ εN␈ε	x␈↓ π|␈ε	a␈↓ λ␈ε	c␈↓ λ!␈εβ+␈↓ λI␈ε	c␈↓ 	f␈ε	c␈↓ 
W␈εβ1
␈β⊂∧␈↓ αλ␈εβ+␈↓ ∧I␈ε↔␈␈↓ ¬v␈εβ+␈↓ π#␈εβ+␈↓ 	
␈ε↔␈␈↓ 
*␈ε↔␈␈↓ α␈εβ,
␈β⊂∩␈↓ α4␈∧⊂∩α4α.␈↓ β,␈∧⊂∩β,αf␈↓ ¬"␈∧⊂∩¬"α≡␈↓ εN␈∧⊂∩εNα≡␈↓ π|␈∧⊂∩π|α[␈↓ 	↑␈∧⊂∩	↑α≡␈↓ 
W␈∧⊂∩
Wα⊃
␈β⊂≤␈↓ α4␈εβ2␈↓ αE␈ε	m␈↓ βQ␈ε	m␈↓ ¬"␈ε	m␈↓ εO␈ε	m␈↓ λ~␈ε	m␈↓ 	↑␈ε	m␈↓ 
W␈εβ2
␈β⊂r␈↓ ¬3␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α,␈ε	S␈↓ αZ␈εβ=␈↓ β␈ε	≠␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε	a␈↓ β9␈εβ,␈↓ βH␈ε	m␈↓ βe␈εβ,␈↓ βt␈ε	c␈↓ ∧↓␈εβ),␈↓ ∧&␈ε	S␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ¬¬␈ε	≠␈↓ ¬↔␈εβ(␈↓ ¬#␈ε	a␈↓ ¬@␈εβ,␈↓ ¬N␈ε	m␈↓ ¬l␈εβ,␈↓ ¬z␈ε	a␈↓ ε␈ε	c␈↓ ε"␈εβ+␈↓ εN␈ε	c␈↓ ε[␈εβ),␈↓ ε␈␈ε	S␈↓ π-␈εβ=␈↓ π←␈ε	≠␈↓ πq␈εβ(␈↓ π|␈ε	a␈↓ λ
␈ε	b␈↓ λ~␈εβ,␈↓ λ)␈ε	m␈↓ λF␈εβ,␈↓ λU␈ε	a␈↓ λe␈ε	c␈↓ λr␈εβ),␈↓ 	↔␈ε	S␈↓ 	D␈εβ=␈↓ 	v␈ε	≠␈↓ 
λ␈εβ(␈α↓1␈α␈,␈↓ 
3␈ε	m␈↓ 
P␈εβ,␈αε0)␈α⊂=
␈β⊃↓␈↓ α=␈εε1␈↓ ∧7␈εε2␈↓ π⊂␈εε3␈↓ 	'␈εε4
␈β⊃~␈↓ 	∩␈ε~0␈↓ 
(␈ε~0
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	m␈↓ ↓z␈ε↔␈␈εβ␈α	1)(␈↓ αK␈ε	m␈↓ αr␈ε↔␈␈εβ␈α
2)/␈↓ βI␈ε	m␈↓ βg␈εβ,␈↓ β␈␈ε	S␈↓ ∧+␈εβ=␈↓ ∧[␈ε	≠␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧y␈ε	a␈↓ ¬	␈εβ,␈↓ ¬_␈ε	m␈↓ ¬5␈εβ,␈↓ ¬D␈ε	c␈↓ ¬Q␈εβ),␈↓ ¬t␈ε	S␈↓ ε ␈εβ=␈↓ εP␈ε	≠␈↓ εc␈εβ(␈↓ εn␈ε	b␈↓ ε{␈εβ,␈↓ π
␈ε	m␈↓ π'␈εβ,␈↓ π6␈ε	c␈↓ πC␈εβ),␈↓ πf␈ε	S␈↓ λ∩␈εβ=␈ε↔␈α∂␈␈↓ λd␈ε	≠␈↓ λv␈εβ(␈↓ 	↓␈ε	a␈↓ 	"␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈↓ 	l␈ε	m␈↓ 
	␈εβ,␈↓ 
_␈ε	a␈↓ 
/␈ε	c␈↓ 
<␈εβ),␈↓ 
←␈ε	S␈↓ ␈εβ=
␈β⊃)␈↓ ∧⊂␈εε5␈↓ ε¬␈εε6␈↓ πw␈εε7␈↓ 
p␈εε8
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα624␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα&␈↓ α↔␈ε~0␈↓ α9␈ε~0␈↓ βa␈ε~0␈↓ βs␈εε2␈↓ ∧\␈ε~0
␈βα*␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ ↓i␈ε	≠␈↓ ↓{␈εβ(␈↓ αε␈ε	a␈↓ α≥␈εβ(␈↓ α(␈ε	a␈↓ αF␈ε↔␈␈εβ␈αλ1),␈↓ β~␈ε	m␈↓ β7␈εβ,␈αε(␈↓ βQ␈ε	a␈↓ βh␈εβ)␈↓ β␈␈ε	c␈↓ ∧␈εβ),␈αif␈↓ ∧K␈ε	a␈↓ ∧b␈ε	a␈↓ ∧|␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ εA␈ε	m␈↓ ε←␈εβ);␈αan␈α␈d
␈βαV␈↓ β{␈ε↓X
␈βα←␈↓ ∧M␈ε↓∩␈↓ ∧c␈ε↓∩␈↓ ¬\␈ε↓∪␈↓ ¬r␈ε↓∪␈↓ ελ␈ε↓∩␈↓ ε≡␈ε↓∩␈↓ π=␈ε↓∪␈↓ πS␈ε↓∪
␈βαe␈↓ ∧|␈ε	b␈↓ ¬	␈ε	x␈↓ ¬"␈εβ+␈↓ ¬K␈ε	c␈↓ ε7␈ε	a␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	b␈↓ ε`␈ε	x␈↓ εy␈εβ+␈↓ π"␈ε	c␈↓ π/␈εβ)
␈βα{␈↓ αk␈ε	S␈↓ β⊃␈εβ=␈α
1␈α␈2
␈ββε␈↓ α{␈εε9
␈ββ	␈↓ ∧|␈∧β	∧|α\␈↓ ε7␈∧β	ε7α↓β
␈ββ∪␈↓ ¬≠␈ε	m␈↓ εj␈ε	m
␈ββ,␈↓ βb␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧↔␈εε<␈↓ ∧0␈εm
␈ββQ␈↓ ∧≠␈ε↓X
␈ββZ␈↓ ∧z␈ε↓∩␈↓ ¬⊂␈ε↓∩␈↓ ε+␈ε↓∪␈↓ εA␈ε↓∪␈↓ εW␈ε↓∩␈↓ εm␈ε↓∩␈↓ λ#␈ε↓∪␈↓ λ9␈ε↓∪
␈ββ`␈↓ ¬*␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ+␈↓ ¬k␈ε	c␈↓ ε∧␈εβ/␈↓ ε∃␈ε	d␈↓ ππ␈ε	a␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε	x␈↓ π;␈εβ+␈↓ πd␈ε	c␈↓ π|␈εβ/␈↓ λ
␈ε	d
␈ββk␈↓ ¬w␈εε0␈↓ πp␈εε0
␈ββv␈↓ β⊃␈εβ=␈α
1␈α␈2␈↓ β]␈ε	d
␈β∧∧␈↓ ¬*␈∧∧∧¬*α}␈↓ ππ␈∧∧∧ππα↓→
␈β∧∞␈↓ ¬H␈ε	m␈↓ ¬f␈εβ/␈↓ ¬v␈ε	d␈↓ π3␈ε	m␈↓ πP␈εβ/␈↓ πa␈ε	d
␈β∧'␈↓ βu␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧≠␈εx␈↓ ∧)␈εε<␈↓ ∧B␈εm␈↓ ∧Y␈εε/␈↓ ∧f␈εd
␈β∧V␈↓ ∧u␈ε↓ ␈↓ πo␈ε↓!
␈β∧X␈↓ ∧≠␈ε↓X
␈β∧a␈↓ ¬␈ε↓∩␈↓ ¬"␈ε↓∩␈↓ ¬␈␈ε↓∪␈↓ ε∃␈ε↓∪␈↓ λε␈ε↓∩␈↓ λ≤␈ε↓∩␈↓ 	↑␈ε↓∪␈↓ 	t␈ε↓∪
␈β∧g␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ εb␈ε	c␈↓ π4␈εβ1␈↓ λ6␈ε	a␈↓ λF␈εβ(␈↓ λR␈ε	x␈↓ λj␈εβ+␈↓ 	∪␈ε	c␈↓ 	,␈εβ/␈↓ 	<␈ε	d␈↓ 	O␈εβ)
␈β∧r␈↓ εn␈εε0␈↓ 	∨␈εε0
␈β∧⎇␈↓ β⊃␈εβ=␈α
1␈α␈2␈↓ β]␈ε	d␈↓ ε3␈εβ+␈↓ πλ␈ε↔␈␈↓ πH␈ε	∞
␈β¬λ␈↓ πT␈εx␈↓ πc␈εε0
␈β¬␈↓ ¬;␈∧¬¬;αA␈↓ ε←␈∧¬ε←α≡␈↓ π4␈∧¬π4α⊃␈↓ λ6␈∧¬λ6α↓$
␈β¬∃␈↓ ¬;␈ε	m␈↓ ¬Y␈εβ/␈↓ ¬i␈ε	d␈↓ ε←␈ε	m␈↓ π4␈εβ2␈↓ λh␈ε	m␈↓ 	¬␈εβ/␈↓ 	⊗␈ε	d
␈β¬.␈↓ βu␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧≠␈εx␈↓ ∧)␈εε<␈↓ ∧B␈εm␈↓ ∧Y␈εε/␈↓ ∧f␈εd
␈β¬X␈↓ ε
␈ε↓⊂␈↓ ε≤␈ε↓⊂␈↓ ε←␈ε↓⊃␈↓ εq␈ε↓⊃␈↓ πD␈ε↓⊂␈↓ πV␈ε↓⊂␈↓ λ_␈ε↓⊃␈↓ λ*␈ε↓⊃
␈β¬]␈↓ βN␈ε↓ ␈↓ λ<␈ε↓!
␈β¬n␈↓ ¬l␈ε	c␈↓ ε2␈ε	a␈↓ εC␈ε	c␈↓ πk␈ε	a␈↓ π|␈ε	c
␈β¬y␈↓ ¬x␈εε0␈↓ εO␈εε0␈↓ λλ␈εε0
␈βε∧␈↓ β⊃␈εβ=␈↓ β<␈ε	d␈↓ βe␈ε	≠␈↓ βw␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	a␈↓ ∧∪␈ε	d␈↓ ∧%␈εβ,␈↓ ∧4␈ε	m␈↓ ∧Q␈εβ,␈↓ ∧`␈ε	a␈↓ ∧q␈ε	c␈↓ ¬	␈εβ)␈αλ+␈αλ1␈α␈2␈↓ π
␈ε↔␈␈εβ␈αλ6
␈βε∂␈↓ ∧⎇␈εε0
␈βε∩␈↓ ¬j␈∧ε∩¬jα≡␈↓ ε2␈∧ε∩ε2α*␈↓ πk␈∧ε∩πkα*
␈βε≤␈↓ ¬j␈ε	m␈↓ ε=␈ε	d␈↓ πq␈ε	m
␈βε↑␈↓ πH␈εε1
␈βεa␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α+␈ε	c␈↓ αR␈εβ=␈↓ βα␈ε	c␈↓ β∃␈εβm␈α␈od␈↓ βY␈ε	d␈↓ βl␈εβ.␈α∀T␈α↓h␈α␈e␈α∞gra␈α␈nd␈α∞to␈α␈tal␈α∞wi␈α↓ll␈α∞be␈α∞ne␈α␈ar␈↓ πg␈εβwh␈α␈en␈↓ λA␈ε	d␈↓ λa␈εβi␈α↓s␈α∞sma␈α␈l␈α↓l␈α∞an␈α␈d␈α∞whe␈α␈n␈α∞the
␈βεl␈↓ α7␈εε0
␈βεo␈↓ πH␈∧εoπHα
␈βεq␈↓ πH␈εε6
␈βπ∧␈↓ βD␈εε2␈↓ πV␈ε~0␈↓ 	␈ε~0␈↓ 	.␈ε~0
␈βπ	␈↓ ↓H␈εβfra␈α␈ction␈α␈s␈↓ αS␈ε	a␈↓ αc␈εβ/␈↓ αt␈ε	m␈↓ β⊃␈εβ,␈α∞(␈↓ β3␈ε	a␈↓ βV␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧~␈ε	m␈↓ ∧8␈εβ)/␈↓ ∧T␈ε	m␈↓ ∧q␈εβ,␈α∞(␈↓ ¬∪␈ε	a␈↓ ¬#␈ε	b␈↓ ¬6␈εβmod␈↓ ¬{␈ε	m␈↓ ε_␈εβ)/␈↓ ε4␈ε	m␈↓ εQ␈εβ,␈↓ εh␈ε	b␈↓ εu␈εβ/␈↓ πε␈ε	m␈↓ π#␈εβ,␈α∂(␈↓ πF␈ε	a␈↓ πe␈ε↔␈␈εβ␈α	1)/␈↓ λ<␈ε	m␈↓ λY␈εβ,␈α∞(␈↓ λ{␈ε	a␈↓ 	∩␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	a␈↓ 	=␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈↓ 
λ␈εβmod␈↓ 
M␈ε	m␈↓ 
j␈εβ)/␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈βπ,␈↓ λM␈ε~0␈↓ 
9␈εε2
␈βπ0␈↓ ↓H␈εβ((␈↓ ↓↑␈ε	a␈↓ ↓n␈ε	d␈↓ α↓␈εβ)␈↓ α⊃␈εβmod␈↓ αV␈ε	m␈↓ αs␈εβ)/␈↓ β∂␈ε	m␈↓ β8␈εβall␈αha␈α␈v␈α␈e␈αsm␈α␈all␈α
p␈α␈artial␈αq␈α␈uotien␈α}ts.␈α∞(Note␈αthat␈↓ λ<␈ε	a␈↓ λ[␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α⊃␈α␈␈↓ 	m␈ε	b␈↓ 
α␈εβ+␈↓ 
,␈ε	b␈↓ 
N␈ε↔␈␈↓ 
w␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ #␈εβ,
␈βπX␈↓ ↓H␈εβc␈α␈f␈α↓.␈αex␈α}ercise␈α3.2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓3␈α␈↑7.)
␈βλβ␈↓ βN␈εε2␈↓ ∧p␈εε2
␈βλ∧␈↓ β3␈εε1␈↓ ∧¬␈εε1␈↓ ∧T␈εε1
␈βλπ␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	C␈↓ α0␈εβ=␈α
(␈↓ αf␈ε	s␈↓ α{␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ βC␈εβ)␈↓ β[␈εβ)/␈α␈(␈↓ ∧≥␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ ∧e␈εβ)␈↓ ∧|␈εβ),␈αwh␈α␈ere
␈βλ⊗␈↓ β3␈∧λ⊗β3α
␈↓ ∧¬␈∧λ⊗∧¬α
␈↓ ∧T␈∧λ⊗∧Tα
␈βλ_␈↓ β3␈εε2␈↓ ∧¬␈εε3␈↓ ∧T␈εε2
␈βλ.␈↓ β!␈ε↓Z
␈βλ7␈↓ βE␈εx
␈βλ?␈↓ βR␈ε
n␈↓ βb␈επ+␈α␈1
␈βλA␈↓ ε≥␈ε↓∩␈↓ π←␈ε↓∪
␈βλG␈↓ εβ␈εβ1␈↓ ε7␈εβ1␈↓ π↓␈ε	∩␈↓ πG␈ε	n␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	↑␈ε↔␈␈↓ 
π␈ε	∩
␈βλ]␈↓ αR␈ε	s␈↓ αw␈εβ=␈↓ ∧	␈ε	x␈↓ ∧~␈ε↔f␈↓ ∧+␈ε	a␈↓ ∧<␈ε	x␈↓ ∧T␈εβ+␈↓ ∧⎇␈ε	∩␈↓ ¬␈ε↔g␈↓ ¬!␈ε	d␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬O␈εβ=␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ π≠␈εβ+␈↓ πu␈εβ,␈↓ λL␈εβif␈↓ λk␈ε	x␈↓ 	∀␈εβ=␈↓ 
→␈εβ;
␈βλh␈↓ α]␈εn␈↓ λ{␈εn
␈βλk␈↓ ¬⎇␈∧λk¬⎇α≡␈↓ ε7␈∧λkε7α⊃␈↓ ε␈␈∧λkε␈α⊃␈↓ πG␈∧λkπGα∃␈↓ 	C␈∧λk	CαS
␈βλr␈↓ ε
␈εε2
␈βλu␈↓ ¬⎇␈ε	a␈↓ ε7␈εβ3␈↓ ε␈␈εβ2␈↓ πI␈εβ2␈↓ 	d␈ε	a
␈β	↓␈↓ β5␈εx
␈β	π␈↓ βB␈ε
n
␈β	⊃␈↓ β!␈ε↓Z␈↓ λ≤␈ε↓Z
␈β	~␈↓ βE␈εε1␈↓ λ@␈εε0
␈β	@␈↓ α`␈ε	s␈↓ αw␈εβ=␈↓ βW␈ε	x␈↓ βi␈ε↔f␈↓ βy␈ε	a␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧#␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	∩␈↓ ∧Z␈ε↔g␈↓ ∧p␈ε	d␈↓ ¬α␈ε	x␈↓ ¬≥␈εβ=␈↓ ¬G␈ε	s␈↓ ¬g␈εβ+␈↓ ε∂␈ε	s␈↓ ε.␈εβ+␈↓ εW␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π¬␈εβ+␈↓ π.␈ε	s␈↓ πt␈εβ+␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε	a␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	#␈εβ+␈↓ 	L␈ε	∩␈↓ 	Z␈εβ)␈↓ 	k␈ε	d␈↓ 	⎇␈ε	x
␈β	K␈↓ ¬S␈εε0␈↓ ε~␈εε1␈↓ π9␈εa␈↓ πF␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β	d␈↓ β5␈εε0␈↓ λ0␈ε~␈␈↓ λI␈ε∩␈↓ λU␈εε/␈↓ λb␈εa
␈β	|␈↓ ¬p␈εε2
␈β
␈↓ β-␈εβ1␈↓ ∧π␈ε	∩␈↓ ∧V␈ε	a␈↓ ∧n␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬b␈ε	∩
␈β
⊗␈↓ αw␈εβ=␈↓ βQ␈ε↔␈␈↓ ∧*␈εβ+␈↓ ¬2␈εβ+␈↓ ε∧␈εβ.
␈β
$␈↓ β%␈∧
$β%α"␈↓ β}␈∧
$β}α"␈↓ ∧V␈∧
$∧VαR␈↓ ¬←␈∧
$¬←α"
␈β
.␈↓ β%␈εβ3␈↓ β6␈ε	a␈↓ β}␈εβ2␈↓ ∧∞␈ε	a␈↓ ∧n␈εβ4␈↓ ∧␈␈ε	a␈↓ ¬←␈εβ2␈↓ ¬o␈ε	a
␈β
Y␈↓ ∧h␈εε2
␈β
]␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈erefo␈α␈re␈↓ α←␈ε	C␈↓ ββ␈εβ=␈α
(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ6␈↓ ∧␈ε	∩␈↓ ∧ ␈εβ+␈αλ6␈↓ ∧Z␈ε	∩␈↓ ∧t␈εβ)/␈↓ ¬⊂␈ε	a␈↓ ¬!␈εβ.
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβLet␈αε[␈↓ αM␈ε	u␈↓ αa␈εβ,␈↓ αp␈ε	v␈↓ βα␈εβ)␈αεd␈α␈eno␈α␈te␈αεth␈α␈e␈αεset␈↓ ∧\␈ε↔f␈↓ ∧r␈ε	x␈↓ ¬
␈ε↔j␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬=␈ε↔∀␈↓ ¬g␈ε	x␈↓ εα␈εβ<␈↓ ε,␈ε	v␈↓ εC␈ε↔g␈↓ εT␈εβ.␈α
We␈αεh␈α␈av␈α␈e␈↓ πf␈ε	s␈↓ πt␈εβ(␈↓ π␈␈ε	x␈↓ λ⊃␈εβ)␈α	<␈↓ λP␈ε	x␈↓ λg␈εβin␈αεth␈α␈e␈αεdisjoin␈α␈t␈αεin␈α}terva␈α␈ls
␈βB␈↓ βM␈ε↓∀␈↓ ¬_␈ε↓∪␈↓ ¬F␈ε↓∀␈↓ π∩␈ε↓∪␈↓ λ¬␈ε↓∀␈↓ 	λ␈ε↓∪
␈βH␈↓ β↑␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧∨␈ε	∩␈↓ ∧E␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬¬␈ε	∩␈↓ ¬X␈εβ2␈ε↔␈απ␈␈↓ ε→␈ε	∩␈↓ ε>␈εβ2␈ε↔␈απ␈␈↓ ε␈␈ε	∩␈↓ λ⊗␈ε	a␈↓ λ.␈ε↔␈␈↓ λW␈ε	∩
␈β↑␈↓ ∧1␈εβ,␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ε+␈εβ,␈↓ π(␈εβ,␈↓ π@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πm␈εβ,␈↓ λi␈εβ,␈αε1␈↓ 	≡␈εβ,
␈βl␈↓ β↑␈∧lβ↑αO␈↓ ∧C␈∧l∧CαR␈↓ ¬X␈∧l¬XαO␈↓ ε=␈∧lε=αR␈↓ λ⊗␈∧lλ⊗αO
␈βv␈↓ β}␈ε	a␈↓ ∧C␈ε	a␈↓ ∧[␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬w␈ε	a␈↓ ε=␈ε	a␈↓ εU␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λ6␈ε	a
␈β-␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
total␈αleng␈α␈th
␈βW␈↓ β␈ε↓X␈↓ ¬&␈ε↓X
␈β`␈↓ β←␈ε↓∩␈↓ ∧N␈ε↓∪␈↓ ¬r␈ε↓∩␈↓ ε\␈ε↓∪
␈βf␈↓ β{␈ε	j␈↓ ∧⊃␈ε↔␈␈↓ ∧:␈ε	∩␈↓ ε␈ε	j␈↓ ε"␈ε↔␈␈↓ εJ␈ε	∩␈↓ πk␈ε	a␈↓ λq␈ε	a␈↓ 		␈εβ+␈αλ1␈↓ 
<␈εβ1
␈β|␈↓ α≠␈εβ1␈απ+␈↓ ∧k␈ε↔␈␈↓ ε|␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ λε␈ε↔␈␈↓ λ/␈ε	∩␈↓ λE␈ε↔␈␈↓ 	M␈εβ+␈↓ 	v␈ε	∩␈↓ 
∞␈εβ=␈↓ 
P␈εβ.
␈β
␈↓ βy␈∧
βyαR␈↓ ε␈∧
εαN␈↓ πk␈∧
πkα⊃␈↓ λq␈∧
λqαR␈↓ 
<␈∧

<α⊃
␈β
∀␈↓ βy␈ε	a␈↓ ∧⊃␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ ε*␈ε	a␈↓ πk␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ2␈↓ 
<␈εβ2
␈β
-␈↓ α[␈εε0<␈↓ β↓␈εj␈↓ β
␈ε~∀␈↓ β&␈εa␈↓ β4␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬∀␈εε0␈α␈<␈↓ ¬:␈εj␈↓ ¬F␈ε~∀␈↓ ¬←␈εa
␈β
e␈↓ ⊃␈ε↓⊃
␈β
o␈↓ εK␈ε↓α␈↓ πY␈ε↓↓
␈β
u␈↓ 
α␈ε↓∀
␈β∞∧␈↓ 
∪␈εj␈↓ 
∨␈ε~␈␈↓ 
8␈ε∩
␈β∞
␈↓ 
[␈εj␈↓ 
h␈ε~␈␈↓ ↓␈ε∩
␈β∞∞␈↓ εZ␈εk␈↓ εh␈ε~␈␈↓ π↓␈ε∩␈↓ π#␈εk␈↓ π0␈ε~␈␈↓ πJ␈ε∩
␈β∞⊃␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβWe␈αλh␈α␈av␈α}e␈↓ β∂␈ε	s␈↓ β≤␈εβ(␈↓ β'␈ε	s␈↓ β5␈εβ(␈↓ β@␈ε	x␈↓ βR␈εβ))␈α	<␈↓ ∧≤␈ε	s␈↓ ∧)␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	x␈↓ ∧F␈εβ)␈α	<␈↓ ¬¬␈ε	x␈↓ ¬≡␈εβwh␈α␈en␈↓ ¬q␈ε	x␈↓ ε
␈εβis␈απi␈α↓n␈↓ π⊂␈εβ,␈↓ πo␈εβan␈α␈d␈↓ λ,␈ε	a␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λP␈εβ+␈↓ λt␈ε	∩␈↓ 	¬␈ε↔␈␈↓ 	)␈ε	k␈↓ 	A␈εβis␈απi␈α↓n␈↓ 
H␈εβ,␈↓ #␈εβ,
␈β∞∨␈↓ εZ␈∧∞∨εZα3␈↓ π#␈∧∞∨π#α4␈↓ 
∪␈∧∞∨
∪α1␈↓ 
Z␈∧∞∨
Zα4
␈β∞!␈↓ εm␈εa␈↓ π#␈εa␈↓ π0␈ε~␈␈εε1␈↓ 
%␈εa␈↓ 
Z␈εa␈↓ 
h␈ε~␈␈εε1
␈β∞?␈↓ 
g␈ε↓⊃
␈β∞I␈↓ ¬L␈ε↓α␈↓ ε1␈ε↓↓
␈β∞O␈↓ 	W␈ε↓∀
␈β∞↑␈↓ 	i␈εj␈↓ 	u␈ε~␈␈↓ 
∞␈ε∩
␈β∞d␈↓ 
1␈εj␈↓ 
=␈ε~␈␈↓ 
W␈ε∩
␈β∞h␈↓ ¬\␈εa␈↓ ¬i␈ε~␈␈↓ εβ␈ε∩
␈β∞k␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α0␈α	<␈↓ α?␈ε	j␈↓ αX␈ε↔∀␈↓ βα␈ε	k␈↓ β≤␈εβ<␈↓ βF␈ε	a␈↓ βW␈εβ;␈αo␈α␈r␈αwh␈α␈en␈↓ ∧i␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβis␈αin␈↓ ε∩␈εβ,␈αε1␈↓ εJ␈εβan␈α␈d␈↓ π
␈ε	a␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π3␈εβ+␈↓ π[␈ε	∩␈↓ πp␈ε↔␈␈↓ λ_␈ε	a␈↓ λ3␈εβis␈α
either␈α
in␈↓ 
≡␈εβ,␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β∞y␈↓ ¬\␈∧∞y¬\α3␈↓ 	i␈∧∞y	iα1␈↓ 
0␈∧∞y
0α4
␈β∞{␈↓ ¬n␈εa␈↓ 	{␈εa␈↓ 
0␈εa␈↓ 
>␈ε~␈␈εε1
␈β∂⊗␈↓ βb␈ε↓α␈↓ ¬
␈ε↓↓
␈β∂)␈↓ βr␈ε~b␈↓ β|␈εa␈↓ ∧	␈ε∩␈↓ ∧∃␈ε~c␈εε␈α␈+␈α↓1␈ε~␈α␈␈␈↓ ∧]␈ε∩
␈β∂7␈↓ ↓H␈εβ0␈α	<␈↓ α␈ε	j␈↓ α$␈ε↔∀␈α
b␈↓ α\␈ε	a␈↓ αl␈ε	∩␈↓ αz␈ε↔c␈εβ␈αo␈α␈r␈αin␈↓ ∧m␈εβ,␈↓ ∧|␈ε	∩␈↓ ¬_␈εβ.␈αThe␈αd␈α␈esired␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈αis
␈β∂E␈↓ βr␈∧∂Eβrαx
␈β∂G␈↓ ∧'␈εa
␈β∂b␈↓ α∞␈ε↓X␈↓ ∧K␈ε↓X
␈β∂q␈↓ β␈ε	j␈↓ β#␈ε↔␈␈↓ βL␈ε	∩␈↓ ¬F␈ε	j␈↓ ¬\␈ε↔␈␈↓ ε¬␈ε	∩␈↓ εl␈εβ1
␈β⊂π␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ε:␈εβ+␈↓ π␈εβmax␈↓ πK␈εβ(0,␈ε↔␈αεf␈↓ λε␈ε	a␈↓ λ↔␈ε	∩␈↓ λ%␈ε↔g␈εβ␈απ+␈↓ λf␈ε	∩␈↓ λ{␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)
␈β⊂∃␈↓ αq␈∧⊂∃αqα↓¬␈↓ ¬*␈∧⊂∃¬*α↓¬␈↓ εf␈∧⊂∃εfα≡
␈β⊂≤␈↓ β↓␈εε2␈↓ ¬:␈εε2␈↓ εv␈εε2
␈β⊂∨␈↓ αq␈ε	a␈↓ β∞␈εβ(␈↓ β→␈ε	a␈↓ β1␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ¬*␈ε	a␈↓ ¬G␈εβ(␈↓ ¬R␈ε	a␈↓ ¬j␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ εf␈ε	a
␈β⊂8␈↓ ↓i␈εε0<␈↓ α∂␈εj␈↓ α≠␈ε~∀␈↓ α4␈εk␈↓ αA␈εε<␈↓ αZ␈εa␈↓ ∧)␈εε0<␈↓ ∧O␈εj␈↓ ∧[␈ε~∀b␈↓ ∧}␈εa␈↓ ¬␈ε∩␈↓ ¬↔␈ε~c
␈β⊂g␈↓ ¬T␈ε↓∩␈↓ 
l␈ε↓∪
␈β⊂m␈↓ β:␈εβ1␈↓ ∧
␈εβ1␈↓ ∧d␈ε	∩␈↓ ¬9␈εβ1␈↓ ¬m␈ε↔b␈↓ ¬z␈ε	a␈↓ ε␈ε	∩␈↓ ε→␈ε↔c␈εβ(␈ε↔b␈↓ ε>␈ε	a␈↓ εN␈ε	∩␈↓ ε]␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ2␈↓ πk␈ε	∩␈↓ πy␈εβ)
␈β⊃β␈↓ β␈εβ=␈↓ βU␈εβ+␈↓ ∧.␈ε↔␈␈↓ ¬π␈εβ+␈↓ λ⊂␈εβ+␈↓ λ8␈εβmax␈↓ λw␈εβ(0,␈ε↔␈αεf␈↓ 	2␈ε	a␈↓ 	C␈ε	∩␈↓ 	Q␈ε↔g␈εβ␈απ+␈↓ 
∩␈ε	∩␈↓ 
'␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ α␈εβ,
␈β⊃⊃␈↓ β:␈∧⊃⊃β:α⊃␈↓ ∧α␈∧⊃⊃∧αα"␈↓ ∧Z␈∧⊃⊃∧Zα"␈↓ ¬3␈∧⊃⊃¬3α≡␈↓ ¬m␈∧⊃⊃¬mαα_
␈β⊃→␈↓ ¬C␈εε2
␈β⊃≠␈↓ β:␈εβ6␈↓ ∧α␈εβ6␈↓ ∧∪␈ε	a␈↓ ∧Z␈εβ2␈↓ ∧k␈ε	a␈↓ ¬3␈ε	a␈↓ ε=␈εβ2(␈↓ εY␈ε	a␈↓ εq␈ε↔␈␈εβ␈απ1)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα625
␈β∧<␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α	A↑␈α␈1.␈εβ␈α∪Perm␈α␈uta␈α␈tion␈αλregio␈α␈ns␈α	fo␈α␈r
␈β∧d␈↓ ↓H␈εβFibo␈α␈na␈α␈cci␈αgen␈α␈erato␈α␈r.
␈βε
␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈αA↑␈α␈2.␈εβ␈α≠Ru␈α␈n-len␈α␈gth␈αregio␈α␈ns␈αfo␈α␈r
␈βε1␈↓ ↓H␈εβFibo␈α␈na␈α␈cci␈αgen␈α␈erato␈α␈r.
␈βπ?␈↓ ∧E␈εε2␈↓ ε∪␈εε2␈↓ 
&␈εε2
␈βπ@␈↓ αL␈εε1␈↓ 
j␈εε1
␈βπD␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αis␈↓ αd␈εβ+␈απ(␈α↓1␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αλ3␈↓ βh␈ε	∩␈↓ β}␈εβ+␈απ3␈↓ ∧7␈ε	∩␈↓ ∧R␈εβ)/6␈↓ ∧}␈ε	a␈↓ ¬⊗␈εβ+␈↓ ¬>␈ε	O␈↓ ¬V␈εβ(1/␈↓ εβ␈ε	a␈↓ ε ␈εβ)␈αfor␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ π;␈ε	a␈↓ πK␈εβ.␈αNote␈αth␈α␈at␈α1␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αλ3␈↓ 	I␈ε	∩␈↓ 	←␈εβ+␈απ3␈↓ 
_␈ε	∩␈↓ 
<␈ε↔∃␈↓ 
{␈εβ,␈αso
␈βπR␈↓ αL␈∧πRαLα
␈↓ 
j␈∧πR
jα
␈βπT␈↓ αL␈εε6␈↓ 
j␈εε4
␈βπk␈↓ ↓H␈ε	∩␈↓ ↓a␈εβca␈α␈n't␈αbe␈αc␈α␈hose␈α␈n␈αto␈αm␈α␈ak␈α␈e␈αt␈α␈his␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
come␈α
out␈αrig␈α␈h␈α␈t.
␈βλ+␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβProcee␈α␈d␈αas␈αin␈αt␈α␈he␈αp␈α␈reviou␈α␈s␈αex␈α}ercise;␈αthe␈αsu␈α␈m␈αof␈αth␈α␈e␈αin␈α␈terv␈α␈al␈αleng␈α␈ths␈αis
␈βλt␈↓ βq␈ε↓X
␈βλ⎇␈↓ λ⊗␈ε↓∩␈↓ 	9␈ε↓∪
␈β	β␈↓ ¬P␈ε	j␈↓ π7␈εβ1␈↓ λ,␈ε	a␈↓ λD␈εβ+␈↓ λm␈ε	t␈↓ 	␈ε↔␈␈εβ␈αλ2
␈β	∞␈↓ ¬\␈εε1
␈β	→␈↓ ε=␈εβ=␈↓ 	O␈εβ.
␈β	'␈↓ ¬	␈∧	'¬	α↓(␈↓ εk␈∧	'εkα↓(
␈β	/␈↓ ¬→␈εt␈↓ ¬#␈ε~␈␈εε1␈↓ ε|␈εt␈↓ π¬␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β	1␈↓ ¬	␈ε	a␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	a␈↓ ¬l␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ εk␈ε	a␈↓ π+␈εβ(␈↓ π6␈ε	a␈↓ πN␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ λm␈ε	t
␈β	K␈↓ β≠␈εε0<␈↓ βA␈εj␈↓ βW␈ε~∀␈↓ βp␈ε~↓↓↓␈↓ ∧¬␈ε~∀␈↓ ∧≡␈εj␈↓ ∧T␈εε<␈↓ ∧m␈εa
␈β	R␈↓ βL␈επ1␈↓ ∧(␈ε
t␈↓ ∧2␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β
*␈↓ ↓H␈εβTo␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈αth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈α
len␈α␈gth␈α␈,␈α
let␈↓ ¬[␈ε	p␈↓ ε∧␈εβbe␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αof␈αa␈αrun␈αo␈α␈f␈αl␈α↓en␈α␈gth␈ε↔␈α∃␈↓ 
X␈ε	k␈↓ 
h␈εβ;␈α
the
␈β
4␈↓ ¬k␈εk
␈β
Q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αis
␈β∪␈↓ π`␈ε↓⊂␈↓ λJ␈ε↓⊃
␈β≠␈↓ αx␈ε↓X␈↓ ∧β␈ε↓X
␈β$␈↓ ∧<␈ε↓∩␈↓ ¬d␈ε↓∪
␈β&␈↓ λ\␈εa
␈β*␈↓ ∧R␈ε	a␈↓ ∧j␈εβ+␈↓ ¬∪␈ε	k␈↓ ¬+␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ εK␈εβ1␈↓ λ⊗␈ε	a␈↓ 	>␈ε	a
␈β@␈↓ β2␈ε	p␈↓ βX␈εβ=␈↓ π5␈εβ=␈↓ λq␈ε↔␈␈↓ 	r␈εβ.
␈βJ␈↓ βB␈εk
␈βN␈↓ ¬}␈∧N¬}α↓+␈↓ πv␈∧NπvαR␈↓ 	≡␈∧N	≡αR
␈βU␈↓ ε∞␈εk␈↓ ε≠␈ε~␈␈εε1
␈βX␈↓ ¬∪␈ε	k␈↓ ¬}␈ε	a␈↓ εA␈εβ(␈↓ εL␈ε	a␈↓ εd␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ πv␈ε	a␈↓ λ
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	≡␈ε	a␈↓ 	5␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βq␈↓ αy␈εk␈↓ βε␈ε~∃␈εε1␈↓ ∧β␈εk␈↓ ∧⊂␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βO␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α∂v␈α␈alue␈α∂fo␈α␈r␈α∂a␈α∂tru␈α␈l␈α↓y␈α∞ran␈α␈do␈α␈m␈α∂sequ␈α␈en␈α␈ce␈α∂w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞be␈↓ π;␈ε	e␈↓ πR␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈;␈α∩a␈α␈nd␈α∞ou␈α␈r␈α∂va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∂is␈↓ 
.␈ε	e␈↓ 
E␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α
+
␈βs␈↓ βt␈εε2
␈βw␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	e␈↓ ↓`␈εβ/␈α␈2␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ1␈α␈)/␈↓ α↑␈ε	a␈↓ αv␈εβ+␈↓ β∨␈ε	O␈↓ β7␈εβ(1/␈↓ βc␈ε	a␈↓ ∧␈εβ)␈α↓.␈ε⊂␈αNo␈α␈te:␈εβ␈αThe␈αsam␈α␈e␈αr␈α␈esult␈αho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈αfo␈α␈r␈αa␈α␈n␈αascen␈α␈din␈α␈g␈αrun␈α␈,␈αsince␈↓ 
\␈ε	U␈↓ ␈εβ>
␈β
α␈↓ 
q␈εn
␈β
∨␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ α≠␈εβif␈α	a␈α␈nd␈απon␈α␈l␈α↓y␈απif␈α	1␈ε↔␈αβ␈␈↓ ∧⊃␈ε	U␈↓ ∧@␈εβ<␈α
1␈ε↔␈αβ␈␈↓ ¬#␈ε	U␈↓ ¬o␈εβ.␈α
This␈αλw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈απlead␈απus␈αλto␈αλsu␈α␈sp␈α␈ect␈αλtha␈α␈t␈αλrun␈α␈s␈αλin␈αλli␈α↓n␈α␈ea␈α␈r
␈β
)␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε+1␈↓ ∧'␈εn␈↓ ¬9␈εn␈↓ ¬I␈εε+1
␈β
F␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈n␈α␈tial␈αseq␈α␈ue␈α␈nces␈α
migh␈α}t␈αb␈α␈e␈αsligh␈α␈tly␈α
lon␈α␈ger␈α
tha␈α␈n␈αn␈α␈orm␈α␈al,␈αso␈α
the␈α
run␈α
test␈α
sho␈α␈uld␈α
be
␈β
n␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈αsu␈α␈ch␈αg␈α␈ene␈α␈rators.
␈β∞)␈↓ ¬q␈ε~0␈↓ πS␈ε~0
␈β∞-␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈ε	x␈↓ α*␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αin␈αthe␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈al␈α[␈α↓(␈↓ ¬≥␈ε	k␈↓ ¬5␈εβ+␈↓ ¬←␈ε	␈↓ ¬␈␈ε↔␈␈↓ ε)␈ε	∩␈↓ ε7␈εβ)/␈↓ εS␈ε	a␈↓ εc␈εβ,␈αε(␈↓ ε⎇␈ε	k␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π?␈ε	␈␈↓ πa␈ε↔␈␈↓ λ␈ε	∩␈↓ λ→␈εβ)/␈↓ λ5␈ε	a␈↓ λE␈εβ)␈αfor␈αsome␈↓ 	e␈ε	k␈↓ 	v␈εβ,␈αand␈αalso␈αin
␈β∞Q␈↓ ε,␈ε~0␈↓ λb␈ε~0
␈β∞U␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
in␈α}terva␈α␈l␈α
[␈↓ βλ␈ε	␈↓ β≠␈εβ,␈↓ β)␈ε	␈␈↓ β>␈εβ).␈α⊂Let␈↓ ∧!␈ε	k␈↓ ∧H␈εβ=␈ε↔␈αd␈↓ ¬α␈ε	a␈↓ ¬∩␈ε	␈↓ ¬-␈εβ+␈↓ ¬W␈ε	∩␈↓ ¬m␈ε↔␈␈↓ ε↔␈ε	␈␈↓ ε2␈ε↔e␈εβ,␈↓ εU␈ε	k␈↓ ε|␈εβ=␈ε↔␈αd␈↓ π6␈ε	a␈↓ πG␈ε	␈␈↓ πd␈εβ+␈↓ λ
␈ε	∩␈↓ λ$␈ε↔␈␈↓ λN␈ε	␈␈↓ λi␈ε↔e␈εβ␈α␈.␈α⊃With␈αdu␈α␈e␈α
re␈α␈gard␈αto
␈β∞`␈↓ ∧/␈εε0␈↓ εd␈εε1
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ary␈α
con␈α␈ditions␈α␈,␈αw␈α␈e␈αge␈α␈t␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity
␈β∂P␈↓ ββ␈ε~0␈↓ βK␈ε~0␈↓ εE␈ε~0␈↓ 
λ␈ε~0
␈β∂S␈↓ ∧m␈εα(␈↓ π6␈εα)␈↓ λ1␈εα(␈↓ 
x␈εα)
␈β∂V␈↓ ↓f␈εβ(␈↓ ↓q␈ε	k␈↓ α∀␈ε↔␈␈↓ α=␈ε	k␈↓ αX␈εβ)(␈↓ αn␈ε	␈␈↓ β⊂␈ε↔␈␈↓ β9␈ε	␈↓ βR␈εβ)/␈↓ βm␈ε	a␈↓ ∧¬␈εβ+␈↓ ∧.␈εβma␈α␈x␈↓ ∧y␈εβ0␈α␈,␈↓ ¬_␈ε	␈␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ¬h␈ε	k␈↓ ε
␈εβ+␈↓ ε3␈ε	␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ ε|␈ε	∩␈↓ π
␈εβ)/␈↓ π&␈ε	a␈↓ πJ␈ε↔␈␈↓ πr␈εβmax␈↓ λ=␈εβ0,␈↓ λ]␈ε	␈↓ λv␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ 	*␈ε	k␈↓ 	M␈εβ+␈↓ 	u␈ε	␈↓ 
∃␈ε↔␈␈↓ 
>␈ε	∩␈↓ 
L␈εβ)/␈↓ 
h␈ε	a␈↓ ∧␈εβ.
␈β∂`␈↓ α␈εε1␈↓ αK␈εε0␈↓ ¬v␈εε1␈↓ 	9␈εε0
␈β⊂+␈↓ βA␈ε~0␈↓ ∧
␈ε~0␈↓ εP␈ε~0␈↓ π→␈ε~0
␈β⊂/␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αi␈α↓s␈α(␈↓ α@␈ε	␈␈↓ α\␈ε↔␈␈↓ β∧␈ε	␈↓ β↔␈εβ)(␈↓ β-␈ε	␈␈↓ βO␈ε↔␈␈↓ βx␈ε	␈↓ ∧⊂␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧K␈ε	∂␈↓ ∧X␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈ε↔␈αj␈↓ ¬V␈ε	∂␈↓ ¬c␈ε↔j␈εβ␈α
<␈α	2(␈↓ ε<␈ε	␈␈↓ ε↑␈ε↔␈␈↓ ππ␈ε	␈↓ π∨␈εβ)/␈↓ π;␈ε	a␈↓ πL␈εβ.
␈β⊂n␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αFig.␈αA↑1;␈αt␈α␈he␈αord␈α␈ering␈α␈s␈↓ ¬%␈ε	U␈↓ ¬Q␈εβ<␈↓ ¬|␈ε	U␈↓ ε'␈εβ<␈↓ εR␈ε	U␈↓ π␈εβa␈α␈nd␈↓ πA␈ε	U␈↓ πl␈εβ<␈↓ λ_␈ε	U␈↓ λC␈εβ<␈↓ λn␈ε	U␈↓ 	≤␈εβa␈α␈re␈αi␈α↓m␈α␈possib␈α␈l␈α↓e␈α␈;␈αthe
␈β⊂y␈↓ ¬:␈εε1␈↓ ε⊃␈εε3␈↓ εh␈εε2␈↓ πV␈εε2␈↓ λ-␈εε3␈↓ 	∧␈εε1
␈β⊃∩␈↓ ¬/␈εε1
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈αfo␈α␈ur␈αea␈α␈ch␈αh␈α␈av␈α}e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ¬?␈εβ.
␈β⊃$␈↓ ¬/␈∧⊃$¬/α
␈β⊃&␈↓ ¬/␈εε4
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα626␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈β
I␈↓ ↓p␈ε∪Fig.␈αA↑3.␈εβ␈α→Perm␈α␈ut␈α␈ation␈αre␈α␈gion␈α␈s␈αf␈α↓o␈α␈r␈αa␈αge␈α␈nera␈α␈tor␈αwith␈αp␈α␈oten␈α␈cy␈α2␈α␈;␈↓ 	∪␈ε	␈↓ 	.␈εβ=␈α
(␈↓ 	d␈ε	a␈↓ 	|␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ 
@␈ε	c␈↓ 
M␈εβ/␈↓ 
↑␈ε	m␈↓ 
{␈εβ.
␈β>␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈ε	U␈↓ α@␈εβ=␈ε↔␈α∂f␈↓ β␈ε	F␈↓ βI␈ε	U␈↓ βt␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	F␈↓ ∧B␈ε	U␈↓ ∧d␈ε↔g␈εβ.␈α∀W␈α↓e␈α∞n␈α␈eed␈↓ ε!␈ε	F␈↓ εg␈ε	U␈↓ π∩␈εβ+␈↓ π=␈ε	F␈↓ π]␈ε	U␈↓ λ
␈εβ<␈α∂1␈α∞a␈α␈nd␈↓ 	∨␈ε	F␈↓ 	?␈ε	U␈↓ 	k␈εβ+␈↓ 
∃␈ε	F␈↓ 
[␈ε	U␈↓ ␈εβ>
␈βI␈↓ α!␈εn␈↓ β∪␈εn␈↓ β#␈ε~␈␈εε1␈↓ β↑␈εε0␈↓ ∧2␈εn␈↓ ∧W␈εε1␈↓ ε4␈εk␈↓ εA␈ε~␈␈εε1␈↓ ε|␈εε0␈↓ πO␈εk␈↓ πr␈εε1␈↓ 	2␈εk␈↓ 	T␈εε0␈↓ 
(␈εk␈↓ 
5␈εε+1␈↓ 
p␈εε1
␈βf␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈.␈α∃Th␈α␈e␈α∞ha␈α␈lf␈α↓-u␈α␈nit-squ␈α␈are␈α∞in␈α
which␈↓ ¬>␈ε	U␈↓ ¬n␈εβ>␈↓ ε≥␈ε	U␈↓ εM␈εβis␈α∞bro␈α␈k␈α␈en␈α
up␈α∞a␈α␈s␈α∞sho␈α}wn␈α∞in␈α∞Fig.␈α∞A↑2,␈α∂with
␈βp␈↓ ¬S␈εε0␈↓ ε2␈εε1
␈β
␈↓ 
↓␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβv␈α␈ariou␈α␈s␈α∂v␈α␈alue␈α␈s␈α∂of␈↓ βS␈ε	k␈↓ βr␈εβi␈α↓n␈α␈dica␈α␈ted.␈α⊗Th␈α␈e␈α∂p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∞for␈α∂a␈α∞ru␈α␈n␈α∞of␈α∂len␈α␈gth␈↓ 	9␈ε	k␈↓ 	X␈εβis␈↓ 
 ␈εβif␈↓ 
C␈ε	k␈↓ 
b␈εβ=␈α⊂1␈α␈;
␈β≤␈↓ 
↓␈∧≤
↓α
␈β≡␈↓ 
↓␈εε2
␈β5␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	F␈↓ α.␈ε	F␈↓ α⎇␈ε↔␈␈εβ␈αλ1/␈↓ βH␈ε	F␈↓ βg␈ε	F␈↓ ∧-␈εβ,␈α∞if␈↓ ∧e␈ε	k␈↓ ¬↓␈εβ>␈α
1.␈α⊂The␈α
c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈α
fo␈α␈r␈α
a␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
se␈α␈-
␈β@␈↓ ↓{␈εk␈↓ α	␈ε~␈␈εε1␈↓ αA␈εk␈↓ αN␈εε+1␈↓ βZ␈εk␈↓ βz␈εk␈↓ ∧π␈εε+2
␈β]␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uen␈α␈ce␈αare␈α2␈↓ α}␈ε	k␈↓ β∞␈εβ/(␈↓ β*␈ε	k␈↓ βB␈εβ+␈απ1)!␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ2(␈↓ ∧\␈ε	k␈↓ ∧t␈εβ+␈αλ1␈α␈)/(␈↓ ¬T␈ε	k␈↓ ¬l␈εβ+␈αλ2)!;␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αtab␈α␈le␈αc␈α␈omp␈α␈ares␈αthe␈α|␈α␈rst␈αf␈α↓e␈α␈w
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s.
␈β
≡␈↓ ∧v␈ε	k␈↓ ¬π␈εβ:␈↓ π∧␈εβ1␈↓ π@␈εβ2␈↓ λα␈εβ3␈↓ λJ␈εβ4␈↓ 	∨␈εβ5
␈β
B␈↓ πε␈εε1␈↓ πB␈εε1␈↓ λ∧␈εε1␈↓ λL␈εε1␈↓ 	!␈εε1
␈β
F␈↓ β0␈εβP␈α↓ro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
in␈αFibon␈α␈acc␈α␈i␈αc␈α␈ase:
␈β
T␈↓ πε␈∧
Tπεα
␈↓ πB␈∧
TπBα
␈↓ π⎇␈∧
Tπ⎇α~␈↓ λF␈∧
TλFα~␈↓ 	~␈∧
T	~α~
␈β
V␈↓ πε␈εε2␈↓ πB␈εε3␈↓ π⎇␈εε10␈↓ λF␈εε2␈α␈4␈↓ 	~␈εε65
␈β
j␈↓ πε␈εε1␈↓ πB␈εε5␈↓ π⎇␈εε11␈↓ λF␈εε1␈α␈9␈↓ 	~␈εε29
␈β
m␈↓ β0␈εβP␈α↓ro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
in␈αran␈α␈do␈α␈m␈αcas␈α␈e:
␈β
|␈↓ πε␈∧
|πεα
␈↓ π;␈∧
|π;α~␈↓ π⎇␈∧
|π⎇α~␈↓ λ?␈∧
|λ?α&␈↓ 	∞␈∧
|	∞α3
␈β
}␈↓ πε␈εε3␈↓ π;␈εε12␈↓ π⎇␈εε60␈↓ λ?␈εε36␈α␈0␈↓ 	∞␈εε2␈α␈520
␈β∞~␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβFig.␈α
A↑3␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈α
th␈α␈e␈αva␈α␈ri␈α↓o␈α␈us␈αregion␈α␈s␈α
in␈αth␈α␈e␈α
g␈α␈ene␈α␈ral␈α
ca␈α␈se.␈α⊂Th␈α␈e␈α
\␈α␈213␈α␈"␈αregion␈αme␈α␈an␈α␈s
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓s␈εβ<␈↓ α≥␈ε	U␈↓ αH␈εβ<␈↓ αs␈ε	U␈↓ β∃␈εβ,␈αif␈↓ βG␈ε	U␈↓ βt␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧4␈ε	U␈↓ ∧`␈εβa␈α␈re␈αc␈α␈hos␈α␈en␈α
at␈α
ran␈α␈do␈α␈m;␈αth␈α␈e␈α\␈α␈321␈α␈"␈α
regio␈α␈n␈α
mean␈α␈s␈↓ 

␈ε	U␈↓ 
5␈εβ<␈↓ 
`␈ε	U␈↓ ␈εβ<
␈β∞M␈↓ ↓]␈εε2␈↓ α3␈εε1␈↓ βλ␈εε3␈↓ β]␈εε1␈↓ ∧I␈εε2␈↓ 
 ␈εε3␈↓ 
u␈εε2
␈β∞e␈↓ λ≤␈εε2
␈β∞f␈↓ εg␈εε1
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓j␈εβ,␈αe␈α␈tc.␈αT␈α↓h␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αfor␈α
123␈α
an␈α␈d␈α3␈α␈21␈α
are␈↓ ε␈␈ε↔␈␈↓ π'␈ε	␈↓ π9␈εβ/2␈απ+␈↓ λ
␈ε	␈↓ λ)␈εβ/2␈α␈;␈αthe␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ities␈αfor␈α
all
␈β∞t␈↓ ↓]␈εε1
␈β∞x␈↓ εg␈∧∞xεgα
␈β∞z␈↓ εg␈εε4
␈β∂
␈↓ ∧P␈εε2␈↓ 
R␈εε2
␈β∂∞␈↓ β&␈εε1␈↓ π:␈εε1
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈αλcase␈α␈s␈α	are␈↓ β;␈εβ+␈↓ β`␈ε	␈↓ βs␈εβ/␈α␈4␈ε↔␈α∧␈␈↓ ∧>␈ε	␈↓ ∧]␈εβ/␈α␈4.␈αTo␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλall␈α	equ␈α␈al␈α	to␈↓ πJ␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αλm␈α␈ust␈αλhav␈α}e␈α	1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α∧6␈↓ 	s␈ε	␈↓ 

␈εβ+␈α∧6␈↓ 
@␈ε	␈↓ 
h␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈β∂∨␈↓ β&␈∧∂∨β&α
␈↓ π:␈∧∂∨π:α
␈β∂!␈↓ β&␈εε8␈↓ π:␈εε6
␈β∂9␈↓ ↓H␈εβ[Th␈α␈i␈α↓s␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
e␈α␈stablish␈α␈es␈α
a␈α	th␈α␈eorem␈α	d␈α␈ue␈α	to␈α	J.␈α
N.␈α
Fra␈α␈nk␈α␈l␈α↓in␈α␈,␈ε⊂␈αM␈α␈ath␈εβ␈α␈.␈ε⊂␈α
Com␈α␈p␈εβ.␈ε∪␈α
1␈α␈7␈εβ␈α
(1␈α␈963␈α␈),␈α
28↑
␈β∂`␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈9,␈αTheo␈α␈rem␈α13␈α␈);␈αo␈α␈ther␈αre␈α␈sults␈αof␈αFran␈α␈klin's␈αp␈α␈ape␈α␈r␈αare␈αrelate␈α␈d␈αto␈αe␈α␈x␈α␈ercises␈α2␈α␈2␈αan␈α␈d␈α2␈α␈3.]
␈β⊂T␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.3␈α␈.4
␈β⊃∨␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	↔␈↓ α2␈εβis␈αalway␈α␈s␈↓ β@␈ε	m␈↓ βh␈εβand␈↓ ∧)␈ε	⊗␈↓ ∧P␈εβ=␈α
2,␈αfor␈αg␈α␈ener␈α␈ators␈αo␈α␈f␈αm␈α␈ax␈α␈i␈α↓m␈α␈u␈α␈m␈αp␈α␈eriod.
␈β⊃*␈↓ α~␈εε1␈↓ ∧;␈εε1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα627
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	V␈↓ αl␈εβbe␈αthe␈αm␈α␈atrix␈αwho␈α␈se␈αro␈α␈ws␈αare␈↓ ε'␈ε	V␈↓ εF␈εβ,␈↓ εU␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π↓␈εβ,␈↓ π⊂␈ε	V␈↓ π,␈εβ.␈αTo␈αminimize␈↓ 	∧␈ε	Y␈↓ 	$␈ε↔↓␈↓ 	5␈ε	Y␈↓ 	N␈εβ,␈αsub␈α␈ject␈αto␈αthe
␈βα6␈↓ ε9␈εε1␈↓ π#␈εt
␈βαS␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈α∞tha␈α␈t␈↓ β)␈ε	Y␈↓ βQ␈ε↔≤␈εβ␈α⊂(0␈α␈,␈↓ ∧,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈εβ,␈α¬0)␈α∂a␈α␈nd␈↓ ¬V␈ε	V␈↓ ¬n␈ε	Y␈↓ ε∃␈εβi␈α↓s␈α∞an␈α∞in␈α␈teg␈α␈er␈α∂co␈α␈lumn␈α∞v␈α}ector␈↓ 	>␈ε	X␈↓ 	Z␈εβ,␈α⊂is␈α∂e␈α␈qu␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t
␈βαv␈↓ βB␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧K␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βαz␈↓ ↓H␈εβto␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α(␈↓ β*␈ε	V␈↓ βh␈ε	X␈↓ ∧β␈εβ)␈ε↔␈α	↓␈εβ␈α	(␈↓ ∧4␈ε	V␈↓ ∧q␈ε	X␈↓ ¬
␈εβ),␈α
su␈α␈bject␈αto␈αthe␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈αth␈α␈at␈↓ λd␈ε	X␈↓ 	␈εβis␈α
a␈αno␈α␈nze␈α␈ro␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈ββ≡␈↓ ¬/␈ε~␈␈εε1
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβc␈α␈olumn␈α
v␈α␈ec␈α␈tor.␈αThe␈αco␈α␈lumn␈α␈s␈αof␈↓ ¬↔␈ε	V␈↓ ¬`␈εβa␈α␈re␈↓ ε↔␈ε	U␈↓ ε9␈εβ,␈↓ εM␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈εβ,␈↓ π∞␈ε	U␈↓ π-␈εβ.
␈ββ,␈↓ ε-␈εε1␈↓ π$␈εt
␈ββQ␈↓ α≤␈εε2␈↓ ∧␈εε3
␈ββU␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	a␈↓ α2␈ε↔⊃␈εβ␈α
2␈↓ αn␈ε	a␈↓ β↓␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απan␈α␈d␈↓ βz␈ε	a␈↓ ∧!␈ε↔⊃␈εβ␈α	3␈↓ ∧\␈ε	a␈↓ ∧o␈ε↔␈␈εβ␈αβ2␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε.␈ε	m␈↓ εL␈εβ).␈α
By␈απcon␈α␈siderin␈α␈g␈αλa␈α␈l␈α↓l␈απshor␈α␈t␈αλsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈απof␈αλ(1␈α␈5),
␈ββx␈↓ β
␈εε2␈↓ ∧6␈εε2
␈ββ|␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α	|␈α␈nd␈α	th␈α␈at␈↓ α}␈ε	↔␈↓ β#␈εβ=␈α
6␈α	a␈α␈nd␈↓ ∧'␈ε	↔␈↓ ∧L␈εβ=␈α
4␈α␈,␈α
for␈α	the␈α	re␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α	v␈α␈ec␈α␈tors␈α	(1,␈ε↔␈αε␈␈εβ2,␈α¬1)␈α	and␈αλ(1,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈α¬1),
␈β∧␈↓ β
␈εε3␈↓ ∧6␈εε4
␈β∧ ␈↓ ¬p␈εe␈↓ λT␈εe␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1␈↓ 
$␈εe
␈β∧$␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈α
i␈α↓n␈αthe␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α
cases␈α␈:␈↓ ¬π␈ε	m␈↓ ¬1␈εβ=␈↓ ¬←␈εβ2␈↓ ¬{␈ε	q␈↓ ε	␈εβ,␈↓ ε ␈ε	q␈↓ ε<␈εβod␈α␈d,␈↓ π	␈ε	e␈↓ π#␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈,␈↓ πx␈ε	a␈↓ λ⊗␈ε↔⊃␈↓ λD␈εβ2␈↓ 	∩␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
∪␈εβ2␈↓ 
.␈εβ)␈α↓,␈↓ 
Q␈ε	a␈↓ 
n␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈β∧H␈↓ β	␈εε2␈↓ β↑␈εε2␈↓ ¬1␈εe␈↓ 	?␈εe␈↓ 	J␈ε~␈␈εε1␈↓ 
␈εe
␈β∧L␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	q␈↓ αX␈εβ),␈↓ αy␈ε	↔␈↓ β!␈εβ=␈↓ βN␈ε	↔␈↓ βv␈εβ=␈α2;␈↓ ∧J␈ε	m␈↓ ∧s␈εβ=␈↓ ¬ ␈εβ3␈↓ ¬;␈ε	q␈↓ ¬J␈εβ,␈↓ ¬`␈εβgcd␈↓ ε∩␈εβ(3,␈↓ ε=␈ε	q␈↓ εL␈εβ)␈α=␈α1,␈↓ π6␈ε	e␈↓ πO␈ε↔∃␈εβ␈α2␈α␈,␈↓ λ#␈ε	a␈↓ λ?␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈ε↔␈αλε␈↓ 	.␈εβ3␈↓ 	{␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 
⎇␈εβ3␈↓ _␈εβ),
␈β∧[␈↓ β	␈εε3␈↓ β↑␈εε4
␈β∧o␈↓ βe␈εε2␈↓ ε}␈εε2␈↓ πN␈εε2
␈β∧s␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓a␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ β'␈ε	q␈↓ β6␈εβ),␈↓ βU␈ε	↔␈↓ β{␈εβ=␈α
2␈α␈;␈↓ ∧K␈ε	m␈↓ ∧q␈εβ=␈α
9␈α␈,␈↓ ¬A␈ε	a␈↓ ¬Z␈εβ=␈α
4␈αo␈α␈r␈α7,␈↓ εn␈ε	↔␈↓ π∀␈εβ=␈↓ π>␈ε	↔␈↓ πd␈εβ=␈α	5.
␈β¬α␈↓ βe␈εε4␈↓ ε}␈εε2␈↓ πN␈εε3
␈β¬#␈↓ ε1␈εε1
␈β¬&␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(a)␈α∂Th␈α␈e␈α∂u␈α␈niqu␈α␈e␈α∂c␈α␈hoice␈α∞for␈α∞(␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬M␈ε	x␈↓ ¬i␈εβ)␈α∂is␈↓ εG␈εβ(␈↓ εR␈ε	y␈↓ εn␈ε	u␈↓ π$␈ε↔␈␈↓ πP␈ε	y␈↓ πl␈ε	u␈↓ λ_␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ λH␈ε	y␈↓ λe␈ε	u␈↓ 	≠␈εβ+␈↓ 	F␈ε	y␈↓ 	b␈ε	u␈↓ 
∞␈εβ)␈α↓,␈α∂and␈α∞th␈α␈is
␈β¬1␈↓ ¬2␈εε1␈↓ ¬]␈εε2␈↓ εb␈εε1␈↓ π↓␈εε22␈↓ π←␈εε2␈↓ π␈␈εε21␈↓ λX␈εε1␈↓ λx␈εε1␈α␈2␈↓ 	V␈εε2␈↓ 	u␈εε11
␈β¬4␈↓ ε,␈∧¬4ε,α_
␈β¬7␈↓ ε,␈εm
␈β¬K␈↓ α$␈εε1
␈β¬N␈↓ ↓H␈εβis␈ε↔␈α∞⊃␈↓ α:␈εβ(␈↓ αE␈ε	y␈↓ αa␈ε	u␈↓ β↔␈εβ+␈↓ βA␈ε	y␈↓ β]␈ε	a␈↓ βn␈ε	u␈↓ ∧~␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧J␈ε	y␈↓ ∧g␈ε	u␈↓ ¬≤␈ε↔␈␈↓ ¬G␈ε	y␈↓ ¬c␈ε	a␈↓ ¬s␈ε	u␈↓ ε ␈εβ)␈ε↔␈α∞⊃␈εβ␈α∞(0,␈α¬0)␈α∞(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
1);␈α⊂i.e.,␈↓ 	4␈ε	x␈↓ 	↑␈εβan␈α␈d␈↓ 
!␈ε	x␈↓ 
K␈εβare␈α∞in␈α␈-
␈β¬Y␈↓ αT␈εε1␈↓ αt␈εε22␈↓ βQ␈εε2␈↓ ∧↓␈εε22␈↓ ∧Z␈εε1␈↓ ∧z␈εε1␈α␈2␈↓ ¬V␈εε2␈↓ επ␈εε1␈α␈2␈↓ 	C␈εε1␈↓ 
1␈εε2
␈β¬\␈↓ α∨␈∧¬\α∨α_
␈β¬↑␈↓ α∨␈εm
␈β¬q␈↓ λM␈εε2␈↓ 
m␈εε2
␈β¬v␈↓ ↓H␈εβte␈α␈gers.␈α"(b)␈α⊂Whe␈α␈n␈α⊂(␈↓ βq␈ε	x␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ)␈ε↔␈α⊃≤␈εβ␈α⊃(0,␈αε0),␈α⊃w␈α␈e␈α⊂h␈α␈av␈α}e␈α⊂(␈↓ ε{␈ε	x␈↓ π↔␈ε	u␈↓ πN␈εβ+␈↓ πz␈ε	x␈↓ λ⊗␈ε	u␈↓ λB␈εβ)␈↓ λd␈εβ+␈α(␈↓ 	≠␈ε	x␈↓ 	7␈ε	u␈↓ 	n␈εβ+␈↓ 
~␈ε	x␈↓ 
6␈ε	u␈↓ 
b␈εβ)␈↓ ␈εβ=
␈βε␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧+␈εε2␈↓ π
␈εε1␈↓ π*␈εε11␈↓ λ	␈εε2␈↓ λ)␈εε2␈α␈1␈↓ 	+␈εε1␈↓ 	J␈εε12␈↓ 
)␈εε2␈↓ 
I␈εε22
␈βε→␈↓ ↓Y␈εε2␈↓ α¬␈εε2␈↓ α[␈εε2␈↓ β;␈εε2␈↓ βf␈εε2␈↓ ∧=␈εε2␈↓ λ∃␈εε2␈↓ λ\␈εε2␈↓ 
π␈εε2␈↓ 
↑␈εε2
␈βε≥␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓f␈εβ(␈↓ ↓q␈ε	u␈↓ α"␈εβ+␈↓ αG␈ε	u␈↓ αu␈εβ)␈α∧+␈↓ β)␈ε	x␈↓ βG␈εβ(␈↓ βR␈ε	u␈↓ ∧∧␈εβ+␈↓ ∧)␈ε	u␈↓ ∧V␈εβ)␈α∧+␈α¬2␈↓ ¬≠␈ε	x␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬S␈εβ(␈↓ ¬←␈ε	u␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε;␈εβ+␈↓ εa␈ε	u␈↓ π
␈ε	u␈↓ π9␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	(␈↓ λβ␈ε	x␈↓ λ%␈εβ+␈↓ λK␈ε	x␈↓ λm␈ε↔␈␈α∧j␈↓ 	≠␈ε	x␈↓ 	7␈ε	x␈↓ 	S␈ε↔j␈εβ␈α↓)(␈↓ 	s␈ε	u␈↓ 
$␈εβ+␈↓ 
J␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∃
␈βε(␈↓ ¬+␈εε1␈↓ ¬G␈εε2␈↓ ¬r␈εε1␈α␈1␈↓ ε≡␈εε21␈↓ εt␈εε1␈α␈2␈↓ π ␈εε22␈↓ 	+␈εε1␈↓ 	G␈εε2
␈βε,␈↓ ↓Y␈εε1␈↓ α¬␈εε1␈α␈1␈↓ α[␈εε12␈↓ β;␈εε2␈↓ βf␈εε21␈↓ ∧=␈εε22␈↓ λ∃␈εε1␈↓ λ\␈εε2␈↓ 
π␈εε11␈↓ 
↑␈εε1␈α␈2
␈βεA␈↓ ↓\␈εε2␈↓ α8␈εε2
␈βεE␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓|␈εβ+␈↓ α$␈ε	u␈↓ αR␈εβ.␈α[Note␈α
that␈α
this␈αis␈αa␈αstr␈α␈ong␈α␈er␈αresu␈α␈lt␈αtha␈α␈n␈αLemm␈α␈a␈αA␈↓ λA␈εβ,␈αwhich␈α
tells␈αus␈αo␈α␈nly␈α
tha␈α␈t
␈βεT␈↓ ↓\␈εε1␈α␈1␈↓ α8␈εε12
␈βεh␈↓ ↓Y␈εε2␈↓ αA␈εε2␈↓ β"␈εε2␈↓ βe␈εε2␈↓ ∧F␈εε2␈↓ ¬_␈εε2␈↓ ¬M␈εε2␈↓ ε5␈εε2␈↓ π⊗␈εε2␈↓ π:␈εε2␈↓ πu␈εε2
␈βεl␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓s␈ε↔∀␈εβ␈α∞(␈↓ α-␈ε	u␈↓ αc␈εβ+␈↓ β∞␈ε	u␈↓ β;␈εβ)(␈↓ βQ␈ε	u␈↓ ∧π␈εβ+␈↓ ∧2␈ε	u␈↓ ∧←␈εβ)/␈↓ ∧{␈ε	m␈↓ ¬%␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	x␈↓ ¬g␈ε↔∀␈εβ␈α∞(␈↓ ε!␈ε	u␈↓ εX␈εβ+␈↓ πα␈ε	u␈↓ π/␈εβ)␈↓ πG␈εβ/␈↓ πX␈ε	m␈↓ λ↓␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α
the␈α
latter␈α
can␈α
b␈α␈e␈ε↔␈α∞∃␈εβ␈α∞1␈α␈.
␈βε{␈↓ ↓Y␈εε1␈↓ αA␈εε11␈↓ β"␈εε1␈α␈2␈↓ βe␈εε21␈↓ ∧F␈εε2␈α␈2␈↓ ¬M␈εε2␈↓ ε5␈εε11␈↓ π⊗␈εε12
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
i␈α↓d␈α␈ea␈α
is␈αesse␈α␈n␈α␈tially␈α
Gau␈α␈ss's␈αn␈α␈otion␈α
o␈α␈f␈αa␈α
red␈α␈uced␈α
b␈α␈ina␈α␈ry␈α
qu␈α␈adra␈α␈tic␈αfo␈α␈rm,␈ε⊂␈αDisq.␈α
A␈α↓r␈α␈i␈α↓th␈α␈.
␈βπ<␈↓ ↓H␈εβ(Leip␈α␈zi␈α↓g␈α␈,␈α1␈α␈80␈α␈1),␈ε↔␈αx␈εβ␈α␈171␈α␈.␈α↓]
␈βπo␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβCon␈α␈dition␈α␈s␈α∞(30␈α␈)␈α∞rema␈α␈i␈α↓n␈α
in␈α␈v␈α␈arian␈α}t;␈α⊂h␈α␈en␈α␈ce␈↓ εk␈ε	h␈↓ π	␈εβcan␈α␈no␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞zero␈α
in␈α∞s␈α␈tep␈α∞S␈α␈2,␈α∞when␈↓ 
x␈ε	a␈↓ ⊗␈εβis
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ βb␈ε	m␈↓ β␈␈εβ.␈αSin␈α␈ce␈↓ ∧k␈ε	h␈↓ ¬π␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αde␈α␈crease␈α␈s␈αin␈α
that␈αste␈α␈p,␈αS2␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s
␈βλ:␈↓ α(␈εε2␈↓ αv␈εε2␈↓ ¬∀␈ε~0
␈βλ>␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α∪␈ε	u␈↓ α<␈εβ+␈↓ αd␈ε	v␈↓ β␈ε↔∃␈↓ β6␈ε	s␈↓ βD␈εβ.␈αNote␈αt␈α␈hat␈↓ ∧r␈ε	p␈↓ ¬β␈ε	p␈↓ ¬#␈ε↔∀␈εβ␈α
0␈α
thro␈α␈ugh␈α␈ou␈α␈t␈αthe␈αc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈βλf␈↓ α␈εβThe␈α	hin␈α␈te␈α␈d␈α
ine␈α␈qua␈α␈li␈α↓ty␈α	sur␈α␈el␈α↓y␈α	h␈α␈olds␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
time␈α
step␈α	S2␈α	is␈α
per␈α␈f␈α↓o␈α␈rmed␈α␈.␈αThe␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β		␈↓ ↓V␈ε~0␈↓ βc␈ε~0␈↓ ∧A␈εε2␈↓ ¬↔␈ε~0␈↓ ¬Y␈ε~0␈↓ ¬{␈εε2␈↓ ε@␈ε~0␈↓ πw␈ε~0␈↓ λL␈ε~0␈↓ 	~␈εε2␈↓ 	e␈εε2
␈β	
␈↓ πP␈εα(␈↓ 	|␈εα)
␈β	
␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓g␈εβth␈α␈at␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈imizes␈α
(␈↓ βS␈ε	h␈↓ βp␈ε↔␈␈↓ ∧↔␈ε	q␈↓ ∧%␈ε	h␈↓ ∧6␈εβ)␈↓ ∧S␈εβ+␈απ(␈↓ ¬ε␈ε	p␈↓ ¬#␈ε↔␈␈↓ ¬J␈ε	q␈↓ ¬←␈ε	p␈↓ ¬p␈εβ)␈↓ ε⊃␈εβi␈α↓s␈↓ ε2␈ε	q␈↓ εP␈εβ=␈↓ εz␈εβroun␈α␈d␈↓ π\␈εβ(␈↓ πg␈ε	h␈↓ π⎇␈ε	h␈↓ λ∀␈εβ+␈↓ λ;␈ε	p␈↓ λR␈ε	p␈↓ λc␈εβ)/(␈↓ 	
␈ε	h␈↓ 	-␈εβ+␈↓ 	T␈ε	p␈↓ 	q␈εβ)␈↓ 
λ␈εβ,␈αb␈α␈y␈α
(24␈α␈).␈αIf
␈β	1␈↓ ↓c␈ε~0␈↓ α#␈ε~0␈↓ αE␈εε2␈↓ β_␈ε~0␈↓ βW␈ε~0␈↓ βy␈εε2␈↓ ∧J␈εε2␈↓ ¬∩␈εε2␈↓ πα␈ε~0␈↓ πn␈ε~0␈↓ 	c␈ε~0␈↓ 
#␈ε~0␈↓ 
E␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β	5␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	h␈↓ ↓n␈ε↔␈␈↓ α∀␈ε	q␈↓ α)␈ε	h␈↓ α9␈εβ)␈↓ αV␈εβ+␈α¬(␈↓ βπ␈ε	p␈↓ β"␈ε↔␈␈↓ βH␈ε	q␈↓ β]␈ε	p␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧∂␈εβ<␈↓ ∧:␈ε	h␈↓ ∧[␈εβ+␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬(␈εβw␈α␈e␈α	m␈α}ust␈α	h␈α␈av␈α␈e␈↓ εs␈ε	q␈↓ π∩␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈↓ π`␈ε	q␈↓ π}␈ε↔≤␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
he␈α␈nce␈αλ(␈↓ 	S␈ε	p␈↓ 	n␈ε↔␈␈↓ 
∀␈ε	q␈↓ 
)␈ε	p␈↓ 
:␈εβ)␈↓ 
[␈ε↔∃␈↓ ε␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β	X␈↓ αA␈ε~0␈↓ βλ␈ε~0␈↓ β*␈εε2␈↓ ∧␈εε2␈↓ ∧⎇␈ε~0␈↓ ¬E␈ε~0␈↓ π∀␈ε~0
␈β	\␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈α
(␈↓ α1␈ε	h␈↓ αP␈ε↔␈␈↓ αz␈ε	q␈↓ β∂␈ε	h␈↓ β∨␈εβ)␈↓ βC␈εβ<␈↓ βp␈ε	h␈↓ ∧
␈εβ,␈α
i.e.␈α↓,␈ε↔␈α
j␈↓ ∧m␈ε	h␈↓ ¬␈ε↔␈␈↓ ¬6␈ε	q␈↓ ¬K␈ε	h␈↓ ¬[␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ ε≡␈ε	h␈↓ ε.␈εβ,␈α
i.␈α↓e␈α␈.␈α↓,␈↓ π¬␈ε	q␈↓ π'␈εβis␈↓ πJ␈ε	q␈↓ πe␈εβor␈↓ λ∂␈ε	q␈↓ λ&␈εβ+␈α	1.␈α⊂We␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
ε␈ε	h␈↓ 
↔␈ε	u␈↓ 
3␈εβ+␈↓ 
]␈ε	p␈↓ 
n␈ε	v␈↓ ␈ε↔∃
␈β
␈↓ ↓t␈ε~0␈↓ α7␈ε~0␈↓ β4␈ε~0␈↓ βw␈ε~0␈↓ ¬≡␈εε2␈↓ ¬i␈εε2␈↓ εo␈εε2␈↓ π;␈εε2
␈β
↓␈↓ ∧r␈εε1
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	h␈↓ α␈ε↔␈␈↓ α(␈ε	q␈↓ α=␈ε	h␈↓ αM␈εβ)␈απ+␈↓ βπ␈ε	p␈↓ β_␈εβ(␈↓ β#␈ε	p␈↓ β@␈ε↔␈␈↓ βh␈ε	q␈↓ β⎇␈ε	p␈↓ ∧∞␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈α
␈␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	h␈↓ ¬1␈εβ+␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬v␈εβ),␈αso␈α
if␈↓ ε[␈ε	u␈↓ πα␈εβ+␈↓ π*␈ε	v␈↓ πQ␈εβ<␈↓ π|␈ε	s␈↓ λ∀␈εβth␈α␈e␈α
nex␈α␈t␈α
i␈α↓te␈α␈ration␈α
o␈α␈f␈αste␈α␈p␈α
S2
␈β
∩␈↓ ∧r␈∧
∩∧rα
␈β
∀␈↓ ∧r␈εε2
␈β
'␈↓ εK␈εε2␈↓ π∀␈εε2␈↓ λ⎇␈εε2␈↓ 
~␈εε2
␈β
,␈↓ ↓H␈εβwill␈α
p␈α␈reserv␈α}e␈α
th␈α␈e␈α
a␈α␈ssum␈α␈ption␈α	in␈α	th␈α␈e␈α
h␈α␈i␈α↓n␈α}t.␈αIf␈↓ ε7␈ε	u␈↓ ε\␈εβ+␈↓ πβ␈ε	v␈↓ π*␈ε↔∃␈↓ πU␈ε	s␈↓ πl␈εβ>␈α	(␈↓ λ"␈ε	u␈↓ λ;␈ε↔␈␈↓ λa␈ε	h␈↓ λr␈εβ)␈↓ 	∂␈εβ+␈α¬(␈↓ 	A␈ε	v␈↓ 	W␈ε↔␈␈↓ 	}␈ε	p␈↓ 
∂␈εβ)␈↓ 
&␈εβ,␈α
we␈α	h␈α␈av␈α␈e
␈β
O␈↓ λ5␈εε2␈↓ 	[␈εε2␈↓ 
)␈εε2␈↓ 
w␈εε2
␈β
P␈↓ ∧W␈εα(␈↓ π	␈εα)
␈β
S␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α␈j␈↓ ↓b␈ε	h␈↓ ↓r␈εβ(␈↓ ↓⎇␈ε	u␈↓ α→␈ε↔␈␈↓ αB␈ε	h␈↓ αR␈εβ)␈αλ+␈↓ β∞␈ε	p␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	v␈↓ βC␈ε↔␈␈↓ βl␈ε	p␈↓ β⎇␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α
=␈α
2␈↓ ∧c␈ε	h␈↓ ∧s␈εβ(␈↓ ∧}␈ε	h␈↓ ¬⊗␈ε↔␈␈↓ ¬?␈ε	u␈↓ ¬S␈εβ)␈αλ+␈↓ ε∂␈ε	p␈↓ ε ␈εβ(␈↓ ε+␈ε	p␈↓ εC␈ε↔␈␈↓ εl␈ε	v␈↓ ε}␈εβ)␈↓ π∨␈εβ=␈α
(␈↓ πU␈ε	u␈↓ πq␈ε↔␈␈↓ λ→␈ε	h␈↓ λ*␈εβ)␈↓ λI␈εβ+␈αλ(␈↓ λ⎇␈ε	v␈↓ 	⊗␈ε↔␈␈↓ 	?␈ε	p␈↓ 	P␈εβ)␈↓ 	o␈εβ+␈↓ 
_␈ε	h␈↓ 
=␈εβ+␈↓ 
f␈ε	p␈↓ ␈ε↔␈
␈β
w␈↓ ↓g␈εε2␈↓ α6␈εε2␈↓ βp␈εε2␈↓ ¬↔␈εε2␈↓ ¬j␈εε2␈↓ ε9␈εε2␈↓ λ#␈εε2␈↓ 	K␈εε2
␈β
{␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓{␈εβ+␈↓ α$␈ε	v␈↓ αB␈εβ)␈ε↔␈α∀␈εβ␈α(␈↓ β∂␈ε	u␈↓ β+␈ε↔␈␈↓ βT␈ε	h␈↓ βd␈εβ)␈↓ ∧∧␈εβ+␈αλ(␈↓ ∧8␈ε	v␈↓ ∧R␈ε↔␈␈↓ ∧{␈ε	p␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬.␈ε↔∀␈↓ ¬Z␈ε	h␈↓ ¬␈␈εβ+␈↓ ε(␈ε	p␈↓ εE␈εβ,␈α
h␈α␈en␈α␈ce␈α(␈↓ πC␈ε	u␈↓ π←␈ε↔␈␈↓ λλ␈ε	h␈↓ λ_␈εβ)␈↓ λ8␈εβ+␈αλ(␈↓ λl␈ε	v␈↓ 	ε␈ε↔␈␈↓ 	/␈ε	p␈↓ 	@␈εβ)␈↓ 	c␈εβis␈αminima␈α␈l␈αby
␈β≡␈↓ ∧←␈εε2␈↓ ¬-␈εε2␈↓ εr␈εε2␈↓ λ_␈εε2␈↓ 	{␈ε~0␈↓ 
G␈ε~0␈↓ ␈ε~0
␈β"␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α4.␈αF␈α↓in␈α␈ally␈αif␈αbot␈α␈h␈↓ ∧K␈ε	u␈↓ ∧s␈εβ+␈↓ ¬≤␈ε	v␈↓ ¬E␈εβan␈α␈d␈α(␈↓ ε∩␈ε	u␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εV␈ε	h␈↓ εg␈εβ)␈↓ πε␈εβ+␈αλ(␈↓ π:␈ε	v␈↓ πS␈ε↔␈␈↓ π|␈ε	p␈↓ λ
␈εβ)␈↓ λ0␈εβare␈ε↔␈α∃␈↓ 	∀␈ε	s␈↓ 	!␈εβ,␈αlet␈↓ 	g␈ε	u␈↓ 
␈εβ=␈↓ 
6␈ε	h␈↓ 
U␈ε↔␈␈↓ 
}␈ε	q␈↓ ∪␈ε	h␈↓ #␈εβ,
␈βB␈↓ εK␈εε2␈↓ π∃␈εε2
␈βF␈↓ ↓Y␈ε~0␈↓ α$␈ε~0␈↓ α↑␈ε~0␈↓ ∧
␈ε~0␈↓ ∧Z␈ε~0␈↓ ¬.␈εε2␈↓ ¬q␈εε2␈↓ εE␈ε~0␈↓ π∞␈ε~0␈↓ π␈␈εε2␈↓ λB␈εε2
␈βJ␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓i␈εβ=␈↓ α∪␈ε	p␈↓ α,␈ε↔␈␈↓ αO␈ε	q␈↓ αd␈ε	p␈↓ αu␈εβ;␈α	th␈α␈en␈απ2␈ε↔␈α␈j␈↓ βh␈ε	h␈↓ βy␈ε	u␈↓ ∧∃␈εβ+␈↓ ∧8␈ε	p␈↓ ∧I␈ε	v␈↓ ∧a␈ε↔j␈α	∀␈↓ ¬≡␈ε	h␈↓ ¬=␈εβ+␈↓ ¬`␈ε	p␈↓ επ␈ε↔∀␈↓ ε1␈ε	u␈↓ εZ␈εβ+␈↓ ε⎇␈ε	v␈↓ π!␈εβ,␈αλan␈α␈d␈↓ πo␈ε	h␈↓ λ∞␈εβ+␈↓ λ1␈ε	p␈↓ λU␈εβi␈α↓s␈αεminimal␈απb␈α␈y␈απe␈α␈x␈α␈ercise␈απ4␈α␈.
␈βy␈↓ α?␈εε2␈↓ β¬␈εε2␈↓ ∧k␈εε2␈↓ εα␈εε2␈↓ 
E␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β⎇␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβIf␈↓ α+␈ε	u␈↓ αO␈εβ+␈↓ αt␈ε	v␈↓ β≠␈ε↔∃␈↓ βF␈ε	s␈↓ β]␈εβ>␈α	(␈↓ ∧∪␈ε	u␈↓ ∧*␈ε↔␈␈↓ ∧O␈ε	h␈↓ ∧`␈εβ)␈↓ ∧{␈εβ+␈α∧(␈↓ ¬,␈ε	v␈↓ ¬A␈ε↔␈␈↓ ¬f␈ε	p␈↓ ¬w␈εβ)␈↓ ε↔␈εβin␈αλth␈α␈e␈α	p␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈αλan␈α␈sw␈α␈er,␈α	w␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α}e␈αλ(␈↓ 	o␈ε	v␈↓ 
∧␈ε↔␈␈↓ 
)␈ε	p␈↓ 
:␈εβ)␈↓ 
[␈εβ>␈↓ ¬␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β ␈↓ β⊂␈εε2␈↓ βg␈εε2␈↓ εa␈ε~0
␈β%␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈α(␈↓ α0␈ε	u␈↓ αL␈ε↔␈␈↓ αu␈ε	h␈↓ β¬␈εβ)␈↓ β'␈εβ<␈↓ βR␈ε	u␈↓ βs␈εβ;␈αan␈α␈d␈αif␈↓ ∧j␈ε	q␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ ¬.␈ε	a␈↓ ¬J␈εβ,␈αso␈αth␈α␈at␈↓ εQ␈ε	h␈↓ εr␈εβ=␈↓ π≥␈ε	a␈↓ π9␈ε	h␈↓ πQ␈εβ+␈↓ πz␈ε	u␈↓ λ∞␈εβ,␈αw␈α␈e␈αm␈α}ust␈αhav␈α}e␈↓ 	w␈ε	a␈↓ 
B␈εβ=␈α1␈α␈.␈α
It
␈β/␈↓ ¬>␈εj␈↓ π-␈εj␈↓ 
ε␈εj␈↓ 
∩␈εε+1
␈βH␈↓ β
␈εε2␈↓ ¬α␈εε2␈↓ ¬P␈εε2
␈βL␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ α}␈ε	↔␈↓ β#␈εβ=␈↓ βN␈εβmin␈↓ ∧Z␈εβ(␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬⊗␈εβ+␈↓ ¬?␈ε	p␈↓ εα␈εβ),␈αi␈α↓n␈α
the␈αn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈.␈α↓3␈α␈.3↑1␈α␈6.
␈βW␈↓ ∧¬␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧+␈εj␈↓ ∧7␈εε<␈↓ ∧P␈εt
␈β[␈↓ β
␈εε2␈↓ ¬α␈εj␈↓ ¬P␈εj␈↓ ¬\␈ε~␈␈εε1
␈βt␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈↓ αZ␈ε	m␈↓ β∂␈εβ=␈↓ β=␈ε	m␈↓ βe␈ε	p␈↓ ∧	␈εβ+␈↓ ∧3␈ε	m␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬O␈εβ=␈↓ ¬|␈ε	a␈↓ ε_␈ε	m␈↓ ε@␈ε	p␈↓ π
␈εβ+␈↓ π4␈ε	m␈↓ π\␈ε	p␈↓ λ&␈εβ+␈↓ λP␈ε	m␈↓ 	≡␈ε	p␈↓ 	l␈εβ<␈α(␈↓ 
$␈ε	a␈↓ 
H␈εβ+␈α	1␈αλ+
␈β␈␈↓ αw␈εε0␈↓ βY␈εj␈↓ βu␈εj␈↓ ∧O␈εj␈↓ ∧[␈εε+␈α↓1␈↓ ¬⊃␈εj␈↓ ¬≥␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εj␈↓ ε4␈εj␈↓ εP␈εj␈↓ ε\␈ε~␈␈εε1␈↓ πP␈εj␈↓ πl␈εj␈↓ πx␈ε~␈␈εε2␈↓ λl␈εj␈↓ λy␈εε+1␈↓ 	.␈εj␈↓ 	:␈ε~␈␈εε1␈↓ 
4␈εj
␈β
↔␈↓ ε←␈εε2␈↓ π,␈εε2
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	a␈↓ α¬␈εβ)␈↓ α⊂␈ε	m␈↓ α8␈ε	p␈↓ ββ␈ε↔∀␈εβ␈α	(␈↓ β9␈ε	A␈↓ βV␈εβ+␈αλ1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈↓ ∧a␈ε	A␈↓ ∧w␈εβ)␈↓ ¬α␈ε	m␈↓ ¬+␈ε	p␈↓ ¬l␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ εA␈ε	m␈↓ εs␈εβ+␈↓ π≠␈ε	p␈↓ πg␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈↓ λ"␈ε	m␈↓ λK␈ε	p␈↓ 	␈εβ,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αthe␈αre␈α␈sult.
␈β
&␈↓ ↓x␈εj␈↓ α,␈εj␈↓ αH␈εj␈↓ αT␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬∨␈εj␈↓ ¬:␈εj␈↓ ¬F␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ?␈εj␈↓ λ[␈εj␈↓ λg␈ε~␈␈εε1
␈β
+␈↓ ε←␈εj␈↓ π,␈εj␈↓ π8␈ε~␈␈εε1
␈β
O␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβWe␈αs␈α␈hall␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e,␈αu␈α␈sing␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α
(␈α↓1␈α␈9),␈αth␈α␈at␈↓ εx␈ε	U␈↓ π!␈ε↔↓␈↓ π2␈ε	U␈↓ π↑␈εβ=␈α
0␈αfor␈αall␈↓ 	λ␈ε	k␈↓ 	"␈ε↔≤␈↓ 	M␈ε	j␈↓ 	g␈εβi␈α↓{␈↓ 
⊂␈ε	V␈↓ 
6␈ε↔↓␈↓ 
G␈ε	V␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈β
Y␈↓ π
␈εj␈↓ πG␈εk␈↓ 
#␈εj␈↓ 
Z␈εk
␈β
v␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ α+␈ε	k␈↓ αF␈ε↔≤␈↓ αr␈ε	j␈↓ β↓␈εβ.␈α∞Assum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧\␈ε	U␈↓ ¬¬␈ε↔↓␈↓ ¬↔␈ε	U␈↓ ¬D␈εβ=␈α0␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ εp␈ε	k␈↓ π␈ε↔≤␈↓ π7␈ε	j␈↓ πF␈εβ,␈αan␈α␈d␈αlet␈↓ λN␈ε	U␈↓ λz␈εβ=␈↓ 	&␈ε	␈↓ 	D␈ε	V␈↓ 	k␈εβ+␈↓ 
∀␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
C␈εβ+␈↓ 
l␈ε	␈↓ π␈ε	V␈↓ #␈εβ.
␈β∞↓␈↓ ∧q␈εj␈↓ ¬,␈εk␈↓ λc␈εj␈↓ 	7␈εε1␈↓ 	V␈εε1␈↓ 
⎇␈εt␈↓ ~␈εt
␈β∞~␈↓ λe␈ε~␈␈εε1
␈β∞≡␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈↓ α ␈ε	U␈↓ αJ␈ε↔↓␈↓ α\␈ε	U␈↓ β␈εβ=␈↓ β9␈ε	␈↓ βd␈εβfor␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧J␈ε	k␈↓ ∧Z␈εβ,␈α∞h␈α␈enc␈α␈e␈↓ ¬O␈ε	U␈↓ ¬⎇␈εβ=␈↓ ε*␈ε	␈↓ εH␈ε	V␈↓ εf␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈↓ π@␈ε	V␈↓ πg␈ε↔↓␈↓ πy␈ε	V␈↓ λ%␈εβ=␈↓ λR␈ε	␈↓ 	
␈εβ(␈↓ 	⊗␈ε	U␈↓ 	?␈ε↔↓␈↓ 	Q␈ε	V␈↓ 	q␈εβ)␈α=␈α
0␈α
fo␈α␈r␈α
all
␈β∞(␈↓ α6␈εj␈↓ αr␈εk␈↓ βJ␈εk␈↓ ¬d␈εj␈↓ ε<␈εj␈↓ εZ␈εj␈↓ πR␈εj␈↓ λ␈εk␈↓ 	+␈εj␈↓ 	d␈εk
␈β∞-␈↓ λe␈εj
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈ε↔≤␈↓ α␈ε	j␈↓ α≠␈εβ.␈αA␈αsym␈α␈metric␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈es␈αth␈α␈e␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rse.
␈β∞x␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβClearly␈↓ β∧␈ε	↔␈↓ βN␈ε↔∀␈↓ β|␈ε	↔␈↓ ∧!␈εβ(a␈α
fa␈α␈ct␈α
used␈αimplicitly␈α
in␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
S␈↓ λP␈εβ,␈α∞since␈↓ 	;␈ε	s␈↓ 	V␈εβis␈α
n␈α␈ot␈α
ch␈α␈an␈α␈ged
␈β∂β␈↓ β∩␈εt␈↓ β≤␈εε+1␈↓ ∧
␈εt
␈β∂≤␈↓ λI␈εε1/2␈↓ 
9␈εε1/3
␈β∂≥␈↓ 	@␈εε3
␈β∂ ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α#␈ε	t␈↓ α>␈εβinc␈α␈reases␈α␈)␈α↓.␈α↔For␈↓ ∧,␈ε	t␈↓ ∧H␈εβ=␈α⊃2␈α∂th␈α␈is␈α∂i␈α↓s␈α∂eq␈α␈uiva␈α␈len␈α␈t␈α∂to␈α∂(␈↓ π`␈ε	m␈↓ π⎇␈ε	⊗␈↓ λ≠␈εβ/␈↓ λ,␈ε	→␈↓ λ>␈εβ)␈↓ λ␈␈ε↔∃␈εβ␈α⊃(␈↓ 	P␈ε	m␈↓ 	m␈ε	⊗␈↓ 
␈εβ/␈↓ 
≤␈ε	→␈↓ 
.␈εβ)␈↓ 
←␈εβ,␈α⊃i.e.,
␈β∂*␈↓ α-␈ε↓p
␈β∂+␈↓ λ∂␈εε2␈↓ 	␈␈εε3
␈β∂.␈↓ 	@␈∧∂.	@α
␈β∂0␈↓ 	@␈εε4
␈β∂E␈↓ αQ␈∧∂EαQαA
␈β∂H␈↓ β*␈εε3␈α␈/2
␈β∂J␈↓ α≥␈εε4␈↓ ¬K␈εε4␈↓ ¬⎇␈ε~␈␈εε4
␈β∂L␈↓ εT␈∧∂LεTα∪
␈β∂M␈↓ ε3␈ε↔p
␈β∂N␈↓ ↓H␈ε	⊗␈↓ ↓o␈ε↔∀␈↓ αQ␈ε	m␈↓ αo␈εβ/␈↓ α␈␈ε	→␈↓ β↔␈ε	⊗␈↓ βO␈εβ.␈αThis␈α	re␈α␈du␈α␈ces␈α	to␈↓ ¬[␈εβ1␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ ε"␈εβ/␈↓ εT␈ε	→␈↓ εp␈εβwith␈αλthe␈α	g␈α␈iv␈α␈en␈αλpa␈α␈rame␈α␈ters,␈α
b␈α␈ut␈α	fo␈α␈r␈α	large
␈β∂X␈↓ ↓Y␈εε3
␈β∂\␈↓ α≥␈∧∂\α≥α
␈↓ ¬K␈∧∂\¬Kα
␈β∂↑␈↓ α≥␈εε3␈↓ β*␈εε2␈↓ ¬K␈εε3
␈β∂u␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓p␈εβan␈α␈d␈α|␈α␈x␈α␈ed␈↓ β↓␈ε	⊗␈↓ β*␈εβthe␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α
(␈α↓3␈α␈9)␈αis␈αbette␈α␈r.
␈β⊂␈↓ β∪␈εε2
␈β⊂(␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	f␈↓ αY␈εβ(␈↓ αe␈ε	y␈↓ β↓␈εβ,␈↓ β⊂␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β<␈εβ,␈↓ βK␈ε	y␈↓ βd␈εβ)␈α=␈↓ ∧%␈ε	∩␈↓ ∧3␈εβ;␈αthen␈↓ ¬∃␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬G␈εβ(␈↓ ¬R␈ε	y␈↓ ¬n␈εβ,␈↓ ¬⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε)␈εβ,␈↓ ε8␈ε	y␈↓ εR␈εβ)␈α
=␈α
1,␈αso␈αthere␈αis␈αa␈α␈n␈αin␈α}teger␈αmatrix␈↓ 
d␈ε	W␈↓ ⊃␈εβo␈α␈f
␈β⊂3␈↓ αt␈εε1␈↓ β[␈εt␈↓ ¬b␈εε1␈↓ εH␈εt
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈α
1␈αha␈α␈ving␈α(␈↓ ∧≤␈ε	w␈↓ ∧?␈εβ,␈↓ ∧M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧z␈εβ,␈↓ ¬	␈ε	w␈↓ ¬(␈εβ)␈α
as␈αi␈α↓ts␈α|rs␈α␈t␈α
ro␈α␈w.␈α⊂(Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈e␈α
latt␈α␈er␈α
fac␈α␈t␈α
b␈α␈y␈α
in␈α␈du␈α␈ction
␈β⊂Z␈↓ ∧2␈εε1␈↓ ¬∨␈εt
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
m␈α␈agn␈α␈itud␈α␈e␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
sm␈α␈all␈α↓e␈α␈st␈α
no␈α␈nze␈α␈ro␈α
en␈α}try␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈w.)␈α⊂No␈α␈w␈α
if␈↓ 	B␈ε	X␈↓ 	j␈εβ=␈α(␈↓ 
"␈ε	x␈↓ 
>␈εβ,␈↓ 
M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
y␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β⊃α␈↓ 
2␈εε1␈↓ _␈εt
␈β⊃≠␈↓ ¬D␈ε~0␈↓ εm␈ε~0␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1␈↓ λ2␈ε~␈␈εε1
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβis␈αa␈αro␈α␈w␈αv␈α}ecto␈α␈r,␈αwe␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧6␈ε	X␈↓ ∧R␈ε	W␈↓ ∧⎇␈εβ=␈↓ ¬)␈ε	X␈↓ ¬W␈εβi{␈↓ ε␈ε	X␈↓ ε&␈εβ=␈↓ εQ␈ε	X␈↓ εs␈ε	W␈↓ π:␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ λ⊃␈ε	W␈↓ λc␈εβi␈α↓s␈αan␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αma␈α␈trix␈αo␈α␈f
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα628␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα&␈↓ 
&␈ε~0␈↓ ∞␈ε~0
␈βα*␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈α
1,␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
fo␈α␈rm␈↓ ¬⊗␈ε	g␈↓ ¬2␈εβde␈α␈|n␈α␈ed␈αby␈↓ εX␈ε	W␈↓ εy␈ε	U␈↓ π!␈εβsa␈α␈ti␈α↓s␈α␈|es␈↓ λ≤␈ε	g␈↓ λ,␈εβ(␈↓ λ7␈ε	x␈↓ λS␈εβ,␈↓ λb␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∞␈εβ,␈↓ 	≥␈ε	x␈↓ 	6␈εβ)␈α=␈↓ 	z␈ε	f␈↓ 

␈εβ(␈↓ 
∃␈ε	x␈↓ 
3␈εβ,␈↓ 
B␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
n␈εβ,␈↓ 
⎇␈ε	x␈↓ _␈εβ);
␈βα5␈↓ λG␈εε1␈↓ 	-␈εt
␈βα9␈↓ 
&␈εε1␈↓ ∞␈εt
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈rthe␈α␈rmore␈↓ β↓␈ε	g␈↓ β⊂␈εβ(1,␈αε0,␈↓ βZ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧π␈εβ,␈αε0␈α␈)␈α
=␈↓ ∧e␈ε	∩␈↓ ∧s␈εβ.
␈βα{␈↓ α␈εβWi␈α↓th␈α␈ou␈α␈t␈αεloss␈αεo␈α␈f␈αεgen␈α␈erality␈α␈,␈αλa␈α␈ssum␈α␈e␈αεth␈α␈at␈↓ ε8␈ε	f␈↓ εQ␈εβ=␈↓ ε|␈ε	g␈↓ π␈εβ.␈α
If␈αεn␈α␈o␈α␈w␈↓ πz␈ε	S␈↓ λ∀␈εβis␈αεan␈α}y␈αεo␈α␈rtho␈α␈gon␈α␈al␈αεma␈α␈tri␈α↓x␈α␈,␈απthe
␈ββ≡␈↓ λ∨␈εT␈↓ 	␈␈εT
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ α4␈ε	U␈↓ αO␈ε	S␈↓ αn␈εβde␈α␈|n␈α␈es␈αth␈α␈e␈α
same␈α
form␈α
a␈α␈s␈↓ ¬]␈ε	U␈↓ ¬x␈εβ,␈αsinc␈α␈e␈α(␈↓ εh␈ε	X␈↓ πβ␈ε	U␈↓ π≡␈ε	S␈↓ π3␈εβ)(␈↓ πI␈ε	X␈↓ πe␈ε	U␈↓ λ␈ε	S␈↓ λ∀␈εβ)␈↓ λ;␈εβ=␈α	(␈↓ λp␈ε	X␈↓ 	␈ε	U␈↓ 	'␈εβ)(␈↓ 	=␈ε	X␈↓ 	Y␈ε	U␈↓ 	t␈εβ)␈↓ 
⊃␈εβ.␈αCho␈α␈osing
␈ββJ␈↓ ↓H␈ε	S␈↓ ↓j␈εβso␈α
tha␈α␈t␈α∞its␈α∞|␈α␈rst␈α∞co␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α
is␈α∞a␈α∞m␈α}ultiple␈α∞o␈α␈f␈↓ ε@␈ε	V␈↓ εm␈εβan␈α␈d␈α
i␈α↓ts␈α
oth␈α␈er␈α∞co␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈s␈α∞are␈α
an␈α}y␈α∞su␈α␈itab␈α␈l␈α↓e
␈ββT␈↓ εS␈εε1
␈ββq␈↓ ↓H␈εβv␈α}ecto␈α␈rs,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e
␈ββ{␈↓ ¬c␈ε↓0␈↓ π]␈ε↓1
␈β∧∪␈↓ ¬{␈ε	␈↓ ε:␈ε	␈↓ εy␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πB␈ε	
␈β∧≥␈↓ ε␈εε1␈↓ εL␈εε2␈↓ πS␈εt
␈β∧:␈↓ εα␈εβ0
␈β∧<␈↓ ¬c␈ε↓B␈↓ π]␈ε↓C
␈β∧M␈↓ ε¬␈εβ.
␈β∧Q␈↓ ¬c␈ε↓@␈↓ π]␈ε↓A
␈β∧S␈↓ ∧␈␈ε	U␈↓ ¬≠␈ε	S␈↓ ¬8␈εβ=
␈β∧\␈↓ ε¬␈εβ.
␈β∧↑␈↓ π¬␈ε~0
␈β∧b␈↓ εj␈ε	U
␈β∧j␈↓ ε¬␈εβ.
␈β¬⊃␈↓ εα␈εβ0
␈β¬G␈↓ λU␈ε~0
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
some␈↓ αS␈ε	␈↓ αq␈εβ,␈↓ βπ␈ε	␈↓ β%␈εβ,␈↓ β<␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βi␈εβ,␈↓ ∧␈ε	␈↓ ∧(␈εβa␈α␈nd␈αsome␈α
(␈↓ ¬K␈ε	t␈↓ ¬←␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈ε↔␈α	α␈εβ␈α	(␈↓ εc␈ε	t␈↓ εx␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α
matrix␈↓ λ:␈ε	U␈↓ λ[␈εβ.␈α⊃Hence␈↓ 	Y␈ε	f␈↓ 	i␈εβ(␈↓ 	t␈ε	x␈↓ 
⊂␈εβ,␈↓ 
∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
L␈εβ,␈↓ 
Z␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈α
=
␈β¬P␈↓ λ,␈ε↓α
␈β¬V␈↓ αd␈εε1␈↓ β→␈εε2␈↓ ∧⊃␈εt␈↓ 
∧␈εε1␈↓ 
j␈εt
␈β¬m␈↓ λ∪␈∧¬mλ∪α∂␈↓ ≡␈∧¬m≡α∂
␈β¬n␈↓ πr␈ε↔p␈↓ 
⎇␈ε↔p
␈β¬o␈↓ βR␈εε2
␈β¬s␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	␈↓ ↓q␈ε	x␈↓ α∀␈εβ+␈↓ α<␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αj␈εβ+␈↓ β∩␈ε	␈↓ β-␈ε	x␈↓ βF␈εβ)␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧
␈ε	h␈↓ ∧≡␈εβ(␈↓ ∧)␈ε	x␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧T␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬∂␈ε	x␈↓ ¬(␈εβ).␈αI␈α↓t␈α
foll␈α↓o␈α}ws␈αtha␈α␈t␈↓ π ␈ε	␈↓ πG␈εβ=␈↓ λ∪␈ε	∩␈↓ λ8␈εβin␈αfa␈α␈ct,␈↓ 	*␈ε	␈↓ 	Q␈εβ=␈α
(␈↓ 
π␈ε	U␈↓ 
0␈ε↔↓␈↓ 
@␈ε	U␈↓ 
a␈εβ)/␈↓ ≡␈ε	∩
␈β¬}␈↓ ↓d␈εε1␈↓ α␈εε1␈↓ β$␈εt␈↓ β=␈εt␈↓ ∧8␈εε2␈↓ ¬≡␈εt␈↓ π1␈εε1␈↓ 	<␈εj␈↓ 
≤␈εε1␈↓ 
U␈εj
␈β¬␈␈↓ β=␈ε↓β
␈βε≡␈↓ ≥␈ε~0
␈βε"␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∩1␈ε↔␈α∪∀␈↓ αZ␈ε	j␈↓ α⎇␈ε↔∀␈↓ β1␈ε	t␈↓ βI␈εβ,␈α∪an␈α␈d␈α⊃tha␈α␈t␈↓ ∧z␈ε	h␈↓ ¬≤␈εβis␈α⊃a␈α⊃po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α⊃de|␈α␈nite␈α⊃qu␈α␈ad␈α␈ratic␈α⊃form␈α⊃d␈α␈e|n␈α␈ed␈α⊃b␈α␈y␈↓ α␈ε	U␈↓ #␈εβ,
␈βεK␈↓ ∧[␈∧εK∧[α∂
␈βεL␈↓ ∧9␈ε↔p
␈βεM␈↓ α{␈ε~0
␈βεQ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α,␈εβde␈α␈t␈↓ α`␈ε	U␈↓ β∩␈εβ=␈α⊂(␈↓ βO␈εβd␈α␈et␈↓ ∧α␈ε	U␈↓ ∧≡␈εβ)/␈↓ ∧[␈ε	∩␈↓ ∧i␈εβ.␈α_By␈α∂ind␈α␈uction␈α∞on␈↓ π
␈ε	t␈↓ π→␈εβ,␈α⊃t␈α␈here␈α∂are␈α∂in␈α␈t␈α␈egers␈α∂(␈↓ 	R␈ε	x␈↓ 	n␈εβ,␈↓ 	⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
)␈εβ,␈↓ 
8␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α⊂with
␈βε[␈↓ 	b␈εε2␈↓ 
H␈εt
␈βεt␈↓ β↑␈εε(␈↓ βf␈εt␈↓ βp␈ε~␈␈εε2␈α␈)␈α↓/␈α␈2␈↓ ¬≡␈εε2/␈α␈(␈↓ ¬@␈εt␈↓ ¬I␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ ε⊗␈εε1/(␈↓ ε8␈εt␈↓ εB␈ε~␈␈εε1)
␈βεu␈↓ βB␈εε4
␈βεx␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ,␈↓ α∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α:␈εβ,␈↓ αI␈ε	x␈↓ αb␈εβ)␈ε↔␈α∪∀␈εβ␈α∩(␈↓ βS␈εβ)␈↓ ∧7␈ε↔j␈↓ ∧F␈εβd␈α␈et␈↓ ∧z␈ε	U␈↓ ¬∃␈ε↔j␈↓ ¬x␈εβ/␈↓ ελ␈ε	∩␈↓ εp␈εβ,␈α∩an␈α␈d␈α⊂for␈α⊃th␈α␈ese␈α⊂in␈α␈teg␈α␈er␈α⊃v␈α␈alue␈α␈s␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can
␈βπβ␈↓ ↓s␈εε2␈↓ αY␈εt
␈βπε␈↓ βB␈∧πεβBα
␈βπλ␈↓ βB␈εε3
␈βπ≤␈↓ ε␈␈εε1␈↓ 	←␈εε2␈↓ 
#␈εε1
␈βπ ␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoo␈α␈se␈↓ α/␈ε	x␈↓ αT␈εβso␈αλthat␈ε↔␈αλj␈↓ βJ␈ε	x␈↓ βj␈εβ+␈α¬(␈↓ ∧≠␈ε	␈↓ ∧9␈ε	x␈↓ ∧Z␈εβ+␈↓ ¬␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬+␈εβ+␈↓ ¬Q␈ε	␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ε¬␈εβ)/␈↓ ε!␈ε	␈↓ ε?␈ε↔j␈α	∀␈↓ π⊂␈εβ,␈α	i.␈α↓e.,␈α	(␈↓ πj␈ε	␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ)␈εβ+␈↓ λO␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λz␈εβ+␈↓ 	 ␈ε	␈↓ 	;␈ε	x␈↓ 	T␈εβ)␈↓ 	u␈ε↔∀␈↓ 
4␈ε	∩␈↓ 
B␈εβ.␈α
H␈α↓e␈α␈nce
␈βπ*␈↓ α>␈εε1␈↓ βY␈εε1␈↓ ∧-␈εε2␈↓ ∧I␈εε2␈↓ ¬b␈εt␈↓ ¬{␈εt␈↓ ε2␈εε1␈↓ π|␈εε1␈↓ λ_␈εε1␈↓ 	1␈εt␈↓ 	J␈εt
␈βπ.␈↓ ε␈␈∧π.ε␈α
␈↓ 
#␈∧π.
#α
␈βπ0␈↓ ε␈␈εε2␈↓ 
#␈εε4
␈βπC␈↓ ¬α␈εε(␈↓ ¬␈εt␈↓ ¬∀␈ε~␈␈εε␈α↓2␈α␈)␈α↓/␈α␈2␈↓ εC␈εε2␈α␈/(␈↓ εd␈εt␈↓ εn␈ε~␈␈εε1)␈↓ π;␈εε1/␈α␈(␈↓ π]␈εt␈↓ πf␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)
␈βπD␈↓ ∧∧␈εε1␈↓ ∧g␈εε4
␈βπG␈↓ ↓H␈ε	∩␈↓ ↓f␈ε↔∀␈↓ α_␈ε	f␈↓ α(␈εβ(␈↓ α3␈ε	x␈↓ αO␈εβ,␈↓ α↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β
␈εβ,␈↓ β→␈ε	x␈↓ β2␈εβ)␈ε↔␈α⊃∀␈↓ ∧∀␈ε	∩␈↓ ∧,␈εβ+␈α(␈↓ ∧w␈εβ)␈↓ ¬\␈ε↔j␈↓ ¬k␈εβd␈α␈et␈↓ ε≡␈ε	U␈↓ ε9␈ε↔j␈↓ π≤␈εβ/␈↓ π-␈ε	∩␈↓ λ$␈εβan␈α␈d␈α∂the␈α∂d␈α␈esired␈α∂ineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity
␈βπR␈↓ αC␈εε1␈↓ β)␈εt
␈βπV␈↓ ∧∧␈∧πV∧∧α
␈↓ ∧g␈∧πV∧gα
␈βπX␈↓ ∧∧␈εε4␈↓ ∧g␈εε3
␈βπo␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α␈.
␈βλ_␈↓ α␈εβ[For␈↓ αW␈ε	t␈↓ αp␈εβ=␈α∞2␈α
th␈α␈e␈α∞re␈α␈sult␈α∞is␈α
best␈α
po␈α␈ssible.␈α∪Fo␈α␈r␈α∞ge␈α␈nera␈α␈l␈↓ λπ␈ε	t␈↓ λ∪␈εβ,␈α∞Hermite's␈α∞th␈α␈eore␈α␈m␈α∞imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s
␈βλ;␈↓ αo␈εt␈↓ αy␈εε/␈α␈2␈↓ βZ␈εt␈↓ βd␈εε(␈↓ βl␈εt␈↓ βv␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈4
␈βλ?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∞␈ε	⊗␈↓ α2␈ε↔∀␈↓ α\␈ε	→␈↓ β∩␈εβ(4/␈α␈3␈↓ βO␈εβ)␈↓ ∧=␈εβ/(␈↓ ∧Y␈ε	t␈↓ ∧e␈εβ/␈α␈2)!␈αε.␈αA␈α	fu␈α␈nd␈α␈ame␈α␈n␈α␈tal␈α	th␈α␈eore␈α␈m␈α	du␈α␈e␈α	to␈αλMink␈α}o␈α␈wski␈α	(\␈α␈E␈α↓v␈α}ery␈↓ ∃␈ε	t␈↓ !␈εβ-
␈βλJ␈↓ α∨␈εt
␈βλc␈↓ 	∀␈εt
␈βλg␈↓ ↓H␈εβd␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αλcon␈α}v␈α␈e␈α␈x␈απset␈απsymm␈α␈etric␈αλa␈α␈bo␈α␈ut␈απthe␈απor␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈απwith␈απv␈α}olum␈α␈e␈ε↔␈αλ∃␈↓ 	β␈εβ2␈↓ 	%␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αλa␈απn␈α␈on␈α␈zero
␈β	␈↓ ∧`␈εt
␈β	∂␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αp␈α␈oin␈α␈t"␈α␈)␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈↓ β⎇␈ε	⊗␈↓ ∧#␈ε↔∀␈↓ ∧P␈εβ2␈↓ ∧j␈εβ;␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αis␈αstron␈α␈ge␈α␈r␈α
th␈α␈an␈αHermite's␈αtheo␈α␈rem␈αfor␈↓ 
∧␈ε	t␈↓ 
≠␈ε↔∃␈εβ␈α9.␈α∞And
␈β	→␈↓ ∧∞␈εt
␈β	6␈↓ ↓H␈εβe␈α␈v␈α␈en␈α
stron␈α␈ger␈αresu␈α␈lts␈αare␈αk␈α␈no␈α␈wn␈α␈,␈αcf.␈α(4␈α␈1).]
␈β	n␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ αd␈ε	y␈↓ β␈εβa␈α␈nd␈↓ βM␈ε	y␈↓ βu␈εβare␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αprime,␈αw␈α␈e␈αc␈α␈an␈αsolv␈α␈e␈↓ πm␈ε	u␈↓ λ␈ε	y␈↓ λ0␈ε↔␈␈↓ λZ␈ε	u␈↓ λy␈ε	y␈↓ 	 ␈εβ=␈↓ 	L␈ε	m␈↓ 	i␈εβ;␈α
fu␈α␈rthe␈α␈rmore
␈β	x␈↓ αs␈εε1␈↓ β]␈εε2␈↓ λ␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ λm␈εε2␈↓ 		␈εε1
␈β
⊃␈↓ 
X␈εε2␈↓  ␈εε2
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓v␈εβ+␈↓ α≠␈ε	q␈↓ α*␈ε	y␈↓ αG␈εβ)␈↓ αR␈ε	y␈↓ αr␈ε↔␈␈εβ␈α∧(␈↓ β"␈ε	u␈↓ βF␈εβ+␈↓ βk␈ε	q␈↓ βy␈ε	y␈↓ ∧⊗␈εβ)␈↓ ∧!␈ε	y␈↓ ∧F␈εβ=␈↓ ∧q␈ε	m␈↓ ¬↔␈εβfo␈α␈r␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬s␈ε	q␈↓ εα␈εβ,␈α	so␈αλw␈α␈e␈α	c␈α␈an␈αλen␈α␈sure␈αλth␈α␈at␈αλ2␈ε↔j␈↓ λg␈ε	u␈↓ 	π␈ε	y␈↓ 	'␈εβ+␈↓ 	L␈ε	u␈↓ 	l␈ε	y␈↓ 
λ␈ε↔j␈α
∀␈↓ 
E␈ε	y␈↓ 
h␈εβ+␈↓ 
␈ε	y
␈β
 ␈↓ ↓f␈εε1␈↓ α:␈εε1␈↓ αa␈εε2␈↓ β5␈εε2␈↓ ∧	␈εε2␈↓ ∧1␈εε1␈↓ λz␈εε1␈↓ 	↔␈εε1␈↓ 	←␈εε2␈↓ 	|␈εε2
␈β
$␈↓ 
X␈εε1␈↓  ␈εε2
␈β
=␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αλch␈α␈oo␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αλan␈απapp␈α␈rop␈α␈riate␈αλin␈α␈teg␈α␈er␈↓ ¬@␈ε	q␈↓ ¬O␈εβ.␈α
No␈α␈w␈↓ ε,␈ε	y␈↓ εI␈εβ(␈↓ εT␈ε	u␈↓ εw␈εβ+␈↓ π≤␈ε	a␈↓ π,␈ε	u␈↓ πL␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ λ␈ε	y␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ λp␈ε	y␈↓ 	␈ε	u␈↓ 	5␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ),
␈β
G␈↓ ε<␈εε2␈↓ εg␈εε1␈↓ π@␈εε2␈↓ λ≠␈εε2␈↓ λ:␈εε1␈↓ λ␈␈εε1␈↓ 	∨␈εε2
␈β
d␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α∧␈ε	y␈↓ α&␈εβm␈α␈ust␈αεbe␈αεrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αεprime␈αεto␈↓ ¬(␈ε	m␈↓ ¬E␈εβ,␈αλh␈α␈enc␈α␈e␈↓ ε.␈ε	u␈↓ εN␈εβ+␈↓ εq␈ε	a␈↓ π↓␈ε	u␈↓ π*␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α␈.␈α
Fi␈α↓n␈α␈ally␈αεlet␈ε↔␈απj␈↓ 	≠␈ε	u␈↓ 	;␈ε	y␈↓ 	X␈εβ+␈↓ 	{␈ε	u␈↓ 
~␈ε	y␈↓ 
7␈ε↔j␈εβ␈α	=␈↓ 
t␈ε	␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β
o␈↓ α∪␈εε2␈↓ εA␈εε1␈↓ π∀␈εε2␈↓ 	.␈εε1␈↓ 	J␈εε1␈↓ 
∞␈εε2␈↓ 
*␈εε2
␈βλ␈↓ ↓\␈εε2␈↓ α+␈εε2␈↓ βD␈εε2␈↓ ∧∩␈εε2
␈β	␈↓ π#␈εε1
␈β␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α↔␈ε	u␈↓ αA␈εβ=␈↓ αl␈ε	␈␈↓ β␈ε	m␈↓ β≥␈εβ,␈↓ β1␈ε	y␈↓ βW␈εβ+␈↓ ∧␈ε	y␈↓ ∧(␈εβ=␈↓ ∧R␈ε	␈
␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬α␈εβ;␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ εY␈ε	␈↓ εu␈ε↔∀␈↓ π3␈ε	␈
␈↓ πF␈εβ,␈αan␈α␈d␈α
i␈α↓t␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αto␈α
b␈α␈e␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈α
tha␈α␈t
␈β~␈↓ π#␈∧~π#α
␈β≠␈↓ ↓\␈εε1␈↓ α+␈εε2␈↓ βD␈εε1␈↓ ∧∩␈εε2
␈β≤␈↓ π#␈εε2
␈β0␈↓ α⊃␈εε1␈↓ εv␈εε2␈↓ λi␈εε2␈↓ 	H␈εε2␈↓ 
∃␈εε2␈↓ 
J␈εε2␈↓ ∃␈εε2
␈β4␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓c␈ε↔∀␈↓ α"␈ε	␈␈↓ α@␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈␈ε	␈␈↓ β∪␈ε	␈
␈↓ β/␈ε↔∃␈εβ␈α	1.␈αTh␈α␈e␈α
id␈α␈en␈α␈tity␈α	(␈↓ ¬G␈ε	u␈↓ ¬g␈ε	y␈↓ ελ␈ε↔␈␈↓ ε/␈ε	u␈↓ εO␈ε	y␈↓ εk␈εβ)␈↓ πλ␈εβ+␈αε(␈↓ π:␈ε	u␈↓ πY␈ε	y␈↓ π{␈εβ+␈↓ λ!␈ε	u␈↓ λA␈ε	y␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ λ}␈εβ=␈α
(␈↓ 	4␈ε	u␈↓ 	Z␈εβ+␈↓ 
↓␈ε	u␈↓ 
!␈εβ)(␈↓ 
7␈ε	y␈↓ 
\␈εβ+␈↓ α␈ε	y␈↓ !␈εβ)
␈β>␈↓ ¬Z␈εε1␈↓ ¬w␈εε2␈↓ εB␈εε2␈↓ ε↑␈εε1␈↓ πM␈εε1␈↓ πi␈εε1␈↓ λ5␈εε2␈↓ λQ␈εε2␈↓ 	8␈ε↓p
␈βB␈↓ α⊃␈∧Bα⊃α
␈βC␈↓ 	H␈εε1␈↓ 
∃␈εε2␈↓ 
J␈εε1␈↓ ∃␈εε2
␈βD␈↓ α⊃␈εε2
␈βY␈↓ 	\␈∧Y	\α`
␈β↑␈↓ βL␈εε2␈↓ λ≥␈εε2
␈β←␈↓ ¬1␈εε1
␈β`␈↓ 	n␈εε2
␈βb␈↓ ↓H␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
th␈α␈at␈α	1␈α¬+␈↓ β:␈ε	␈↓ βb␈εβ=␈↓ ∧
␈ε	␈␈↓ ∧!␈ε	␈
␈↓ ∧3␈εβ.␈αIf␈↓ ∧g␈ε	␈↓ ¬α␈εβ>␈↓ ¬A␈ε	␈␈↓ ¬U␈εβ,␈α
we␈α	h␈α␈av␈α␈e␈α	2␈↓ εu␈ε	␈↓ πλ␈ε	␈
␈↓ π#␈εβ>␈α
1␈α¬+␈↓ λ
␈ε	␈↓ λ)␈εβ,␈α
i␈α↓.e.,␈↓ λz␈ε	␈
␈↓ 	∩␈ε↔␈␈↓ 	\␈ε	␈
␈↓ 
α␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 
E␈εβ<␈↓ 
p␈ε	␈↓ ␈ε↔∀
␈βn␈↓ β≥␈ε↓p
␈βp␈↓ ¬1␈∧p¬1α
␈βr␈↓ ¬1␈εε2
␈β	␈↓ βA␈∧	βAα`
␈β∞␈↓ ¬x␈εε2
␈β∂␈↓ ↓K␈εε1␈↓ αG␈εε1␈↓ ε<␈εε4
␈β⊂␈↓ βT␈εε2
␈β∩␈↓ ↓\␈ε	␈
␈↓ ↓n␈εβ.␈αB␈α↓u␈α␈t␈↓ αW␈ε	␈
␈↓ αs␈εβ<␈↓ βA␈ε	␈
␈↓ βh␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ ∧,␈εβimplies␈αth␈α␈at␈↓ ¬e␈ε	␈
␈↓ ε
␈εβ>␈↓ εL␈εβ,␈αa␈αcon␈α}trad␈α␈iction.
␈β!␈↓ ↓K␈∧!↓Kα
␈↓ αG␈∧!αGα
␈↓ ε<␈∧!ε<α
␈β#␈↓ ↓K␈εε2␈↓ αG␈εε2␈↓ ε<␈εε3
␈βJ␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ αg␈ε	a␈↓ βε␈εβis␈α∂o␈α␈dd␈α␈,␈↓ βy␈ε	y␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	y␈↓ ∧v␈εβm␈α}ust␈α∂b␈α␈e␈α∂e␈α␈v␈α␈en␈α␈.␈α↔To␈α∞av␈α}oid␈α∞solution␈α␈s␈α∂with␈↓ 	O␈ε	y␈↓ 	z␈εβand␈↓ 
?␈ε	y␈↓ 
j␈εβb␈α␈oth
␈βT␈↓ ∧	␈εε1␈↓ ∧Z␈εε2␈↓ 	←␈εε1␈↓ 
N␈εε2
␈βk␈↓ 	→␈∧k	→α⊃
␈βm␈↓ π1␈εε2␈↓ λα␈εε2␈↓ λx␈ε↔p
␈βq␈↓ ↓H␈εβe␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α∂let␈↓ αS␈ε	y␈↓ α|␈εβ=␈↓ β+␈ε	x␈↓ βP␈εβ+␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ,␈↓ ∧-␈ε	y␈↓ ∧W␈εβ=␈↓ ¬¬␈ε	x␈↓ ¬*␈ε↔␈␈↓ ¬T␈ε	x␈↓ ¬p␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
so␈α␈l␈α↓v␈α}e␈↓ π∨␈ε	x␈↓ πF␈εβ+␈↓ πp␈ε	x␈↓ λ≤␈εβ=␈↓ λJ␈ε	m␈↓ λg␈εβ/␈↓ 	→␈εβ3␈↓ 	3␈ε↔␈␈↓ 	]␈ε	∂␈↓ 	j␈εβ,␈α∞wi␈α↓t␈α␈h␈α
(␈↓ 
Z␈ε	x␈↓ 
w␈εβ,␈↓ ¬␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β|␈↓ αc␈εε1␈↓ β:␈εε1␈↓ ∧	␈εε2␈↓ ∧=␈εε2␈↓ ¬∃␈εε1␈↓ ¬d␈εε2␈↓ 
j␈εε1␈↓ ∃␈εε2
␈β
↓␈↓ π1␈εε1␈↓ λα␈εε2
␈β
→␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈α∂p␈α␈rime␈α∂a␈α␈nd␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧0␈εβev␈α}en;␈α⊃th␈α␈e␈α∂co␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈ing␈α∞m␈α␈ultiplier␈↓ λ>␈ε	a␈↓ λ]␈εβwi␈α↓ll␈α∂b␈α␈e␈α∂the␈α∞solutio␈α␈n␈α∂to
␈β
$␈↓ ∧∃␈εε1
␈β
=␈↓ ¬∞␈εe␈↓ 
n␈εk␈↓ 
|␈εε+1
␈β
A␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓v␈ε↔␈␈↓ α∨␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈↓ αF␈ε	a␈↓ α`␈ε↔⊃␈↓ β
␈ε	x␈↓ β.␈εβ+␈↓ βW␈ε	x␈↓ β|␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧⎇␈εβ2␈↓ ¬→␈εβ).␈αIt␈αis␈αn␈α␈ot␈αdi}c␈α␈ult␈αto␈αpr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ λ}␈ε	a␈↓ 	_␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
↑␈εβ2␈↓ !␈εβ)
␈β
K␈↓ ↓b␈εε2␈↓ α.␈εε1␈↓ β~␈εε2␈↓ βf␈εε1
␈β
d␈↓ βv␈εk
␈β
h␈↓ ↓H␈εβi{␈↓ ↓r␈ε	x␈↓ α~␈ε↔⊃␈εβ␈α0␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ βe␈εβ2␈↓ ∧β␈εβ),␈α∞so␈αw␈α␈e␈α
ge␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
be␈α␈st␈α
p␈α␈oten␈α␈cy␈αwhen␈↓ λ⊗␈ε	x␈↓ λ8␈εβm␈α␈od␈↓ λ|␈εβ4␈α=␈α2.␈α⊂Th␈α␈e␈α
pr␈α␈oblem
␈β
s␈↓ α↓␈εε1␈↓ λ%␈εε1
␈β∞␈↓ πβ␈εε2␈↓ πN␈εε2
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈εβre␈α␈du␈α␈ces␈α
to␈α	|n␈α␈din␈α␈g␈α
relativ␈α}ely␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
solu␈α␈tions␈α	to␈↓ εr␈ε	x␈↓ π⊗␈εβ+␈↓ π=␈ε	x␈↓ πd␈εβ=␈↓ λ∞␈ε	N␈↓ λ7␈εβwhe␈α␈re␈↓ 	⊗␈ε	N␈↓ 	?␈εβis␈α
a␈α	l␈α↓a␈α␈rge␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β∞∨␈↓ πβ␈εε1␈↓ πN␈εε2
␈β∞7␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α	th␈α␈e␈α	fo␈α␈rm␈α	4␈↓ β␈ε	k␈↓ β∃␈εβ+␈α∧1.␈α
By␈αλfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈↓ ¬→␈ε	N␈↓ ¬A␈εβo␈α}v␈α␈er␈αλthe␈αλGau␈α␈ssian␈αλin␈α␈teg␈α␈ers,␈α	w␈α␈e␈α	c␈α␈an␈αλsee␈αλtha␈α␈t␈α	so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈β∞←␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xist␈α	if␈α
a␈α␈nd␈αλon␈α␈l␈α↓y␈αλif␈α
e␈α␈ach␈αλprime␈α	fa␈α␈ctor␈α	o␈α␈f␈↓ ε␈ε	N␈↓ ε(␈εβ(o␈α}v␈α␈er␈α	th␈α␈e␈α	us␈α␈ual␈α	in␈α␈te␈α␈gers)␈α	h␈α␈as␈α	the␈αλf␈α↓o␈α␈rm␈α	4␈↓ 
X␈ε	k␈↓ 
m␈εβ+␈α¬1␈α␈.
␈β∂λ␈↓ α␈εβAcco␈α␈rding␈α∂to␈α∂a␈α∂fa␈α␈mou␈α␈s␈α⊂th␈α␈eo␈α␈rem␈α∂of␈α∂F␈α↓e␈α␈rmat,␈α⊂ev␈α␈ery␈α∞prime␈↓ λh␈ε	p␈↓ 	λ␈εβof␈α⊂t␈α␈he␈α∂form␈α∂4␈↓ 
V␈ε	k␈↓ 
p␈εβ+␈α1
␈β∂+␈↓ ∧λ␈εε2␈↓ ∧X␈εε2
␈β∂/␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αbe␈αwritten␈↓ β*␈ε	p␈↓ βG␈εβ=␈↓ βt␈ε	u␈↓ ∧≥␈εβ+␈↓ ∧G␈ε	v␈↓ ∧q␈εβ=␈α(␈↓ ¬)␈ε	u␈↓ ¬E␈εβ+␈↓ ¬o␈ε	i␈↓ ¬|␈ε	v␈↓ ε
␈εβ)(␈↓ ε$␈ε	u␈↓ ε@␈ε↔␈␈↓ εj␈ε	i␈↓ εw␈ε	v␈↓ πλ␈εβ),␈↓ π)␈ε	v␈↓ πG␈εβev␈α␈e␈α␈n,␈α
i␈α↓n␈αa␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈α
way␈αe␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈α
fo␈α␈r
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞sign␈α␈s␈α∞of␈↓ βα␈ε	u␈↓ β$␈εβan␈α␈d␈↓ βh␈ε	v␈↓ βy␈εβ.␈α∀The␈α
n␈α␈um␈α}bers␈↓ ¬f␈ε	u␈↓ ελ␈εβa␈α␈nd␈↓ εK␈ε	v␈↓ εk␈εβc␈α␈an␈α∞b␈α␈e␈α∞ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulated␈α
e}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈α∞b␈α␈y␈α∞so␈α␈l␈α↓v␈α␈ing
␈β∂{␈↓ ↓Y␈εε2
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓r␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ β←␈ε	p␈↓ βp␈εβ),␈α∞th␈α␈en␈α
ca␈α␈lculatin␈α␈g␈↓ ε
␈ε	u␈↓ ε'␈εβ+␈↓ εQ␈ε	i␈↓ ε]␈ε	v␈↓ ε{␈εβ=␈↓ π)␈εβg␈α␈cd␈↓ π[␈εβ(␈↓ πf␈ε	x␈↓ λ␈εβ+␈↓ λ*␈ε	i␈↓ λ6␈εβ,␈↓ λE␈ε	p␈↓ λV␈εβ)␈α
by␈αEuclid's␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β⊂"␈↓ π+␈εε(␈↓ π4␈εp␈↓ πB␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈4
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α∞the␈α∞Gau␈α␈ssian␈α∞in␈α␈teg␈α␈ers.␈α⊗[W␈α↓e␈α∞can␈α∞ta␈α␈k␈α␈e␈↓ εF␈ε	x␈↓ εg␈εβ=␈↓ π↔␈ε	n␈↓ λ∂␈εβm␈α␈od␈↓ λS␈ε	p␈↓ λs␈εβfo␈α␈r␈α∂almo␈α␈st␈α∂h␈α␈alf␈α∂of␈α∞all
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers␈↓ αB␈ε	n␈↓ αV␈εβ.␈αTh␈α␈is␈αap␈α␈plicatio␈α␈n␈αo␈α␈f␈αa␈α
E␈α↓u␈α␈clidea␈α␈n␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αis␈αess␈α␈en␈α␈tially␈α
the␈α
same␈α
as␈α|␈α␈nd␈α␈ing
␈β⊂q␈↓ βd␈εε2␈↓ ∧4␈εε2
␈β⊂u␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
lea␈α␈st␈α
no␈α␈nze␈α␈ro␈↓ βP␈ε	u␈↓ βy␈εβ+␈↓ ∧#␈ε	v␈↓ ∧N␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ ¬e␈ε	u␈↓ εα␈ε↔ε␈↓ ε,␈ε	x␈↓ ε=␈ε	v␈↓ ε[␈ε↔⊃␈εβ␈α0␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ&␈ε	p␈↓ λ7␈εβ).␈α↓]␈α⊂If␈α
the␈αprime␈α
fa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈β⊃_␈↓ β⊃␈εe
␈β⊃→␈↓ βd␈εe␈↓ ¬>␈εe␈↓ εb␈εe␈↓ λ2␈εe␈↓ 	V␈εe␈↓ 
z␈εr␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αof␈↓ α4␈ε	N␈↓ α↑␈εβis␈↓ β␈ε	p␈↓ β&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βS␈ε	p␈↓ ∧∧␈εβ=␈α
(␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	i␈↓ ¬↔␈ε	v␈↓ ¬2␈εβ)␈↓ ¬S␈εβ(␈↓ ¬↑␈ε	u␈↓ εε␈ε↔␈␈↓ ε/␈ε	i␈↓ ε;␈ε	v␈↓ εW␈εβ)␈↓ εw␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π$␈εβ(␈↓ π/␈ε	u␈↓ πV␈εβ+␈↓ π␈␈ε	i␈↓ λ␈ε	v␈↓ λ&␈εβ)␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε	u␈↓ λz␈ε↔␈␈↓ 	#␈ε	i␈↓ 	0␈ε	v␈↓ 	J␈εβ)␈↓ 	l␈εβ,␈αwe␈αge␈α␈t␈↓ 
j␈εβ2
␈β⊃ ␈↓ β≠␈επ1␈↓ βn␈ε
r␈↓ λ<␈ε
r␈↓ 	`␈ε
r
␈β⊃!␈↓ ¬H␈επ1␈↓ εl␈επ1
␈β⊃(␈↓ ∧M␈εε1␈↓ ¬&␈εε1␈↓ ¬q␈εε1␈↓ εJ␈εε1␈↓ πB␈εr␈↓ λ~␈εr␈↓ λf␈εr␈↓ 	>␈εr
␈β⊃,␈↓ βd␈εr
␈β⊃-␈↓ β⊃␈εε1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα629
␈βα&␈↓ ∧
␈εε2␈↓ ∧Z␈εε2
␈βα*␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈α
so␈α␈lution␈α␈s␈α
to␈↓ βx␈ε	x␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ∧s␈εβ=␈↓ ¬ ␈ε	N␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬U␈εβgcd␈↓ επ␈εβ(␈↓ ε∪␈ε	x␈↓ ε/␈εβ,␈↓ ε=␈ε	x␈↓ εY␈εβ)␈α
=␈α1,␈↓ πE␈ε	x␈↓ πn␈εβev␈α}en␈α␈,␈α∞b␈α␈y␈α
lettin␈α␈g␈ε↔␈α
j␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 
λ␈ε↔j␈εβ␈α	+␈↓ 
D␈ε	i␈↓ 
Q␈ε↔j␈↓ 
Z␈ε	x␈↓ 
v␈ε↔j␈εβ␈α=
␈βα5␈↓ ε"␈εε1␈↓ εM␈εε2␈↓ πT␈εε1␈↓ 	|␈εε2␈↓ 
i␈εε1
␈βα9␈↓ ∧
␈εε1␈↓ ∧Z␈εε2
␈βαN␈↓ αV␈εe␈↓ βy␈εe␈↓ ¬I␈εe
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓z␈εβ+␈↓ α#␈ε	i␈↓ α/␈ε	v␈↓ αK␈εβ)␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	u␈↓ β≡␈ε↔ε␈↓ βF␈ε	i␈↓ βS␈ε	v␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧;␈εβ(␈↓ ∧F␈ε	u␈↓ ∧m␈ε↔ε␈↓ ¬⊗␈ε	i␈↓ ¬#␈ε	v␈↓ ¬>␈εβ)␈↓ ¬←␈εβ;␈αan␈α␈d␈αall␈αsuc␈α␈h␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈re␈αob␈α␈tained␈α
in␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwa␈α␈y.
␈βαT␈↓ ¬S␈ε
r
␈βαU␈↓ α`␈επ1␈↓ ∧∧␈επ2
␈βα\␈↓ ↓f␈εε1␈↓ α>␈εε1␈↓ β
␈εε2␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧Z␈εr␈↓ ¬1␈εr
␈βαu␈↓ ∧N␈εe
␈βαy␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∩W␈α↓h␈α␈en␈↓ βQ␈ε	m␈↓ β⎇␈εβ=␈α∂1␈↓ ∧>␈εβ0␈↓ ∧Y␈εβ,␈α⊂a␈α∞similar␈α∞pro␈α␈cedu␈α␈re␈α∞can␈α∞b␈α␈e␈α∞used␈α␈,␈α⊂b␈α␈ut␈α∞it␈α∂is␈α∞|v␈α}e␈α∂time␈α␈s␈α∂a␈α␈s
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβm␈α}uch␈α	w␈α␈ork␈α	sinc␈α␈e␈α
w␈α␈e␈α
m␈α}ust␈α
k␈α}eep␈α	try␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	un␈α␈t␈α␈i␈α↓l␈α
|␈α␈nd␈α␈ing␈α	a␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α	with␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	1␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈0).
␈ββ,␈↓ 	≠␈εε1
␈ββB␈↓ εy␈∧βBεyα⊃
␈ββD␈↓ ∧p␈εε10␈↓ εX␈ε↔p
␈ββI␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α∂e␈α␈xa␈α␈mple,␈α∂wh␈α␈en␈↓ βt␈ε	m␈↓ ∧∨␈εβ=␈α∂1␈↓ ∧←␈εβ0␈↓ ¬↔␈εβw␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈ε↔␈α∞b␈↓ ε*␈ε	m␈↓ εG␈εβ/␈↓ εy␈εβ3␈↓ π
␈ε↔c␈εβ␈α∞=␈α∞577␈α␈35␈α␈026␈α␈91,␈α∂a␈α␈nd␈α
577␈α␈350␈α␈268␈α␈9␈α∞=
␈ββp␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈3␈ε↔␈αε↓␈εβ␈αε1␈α␈089␈α␈34␈α␈013␈α	=␈α	(7␈αε+␈αε2␈↓ ∧ ␈ε	i␈↓ ∧-␈εβ)(7␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε2␈↓ ¬⊃␈ε	i␈↓ ¬≡␈εβ)(220␈α␈3␈αε+␈αε1␈α␈020␈α␈2␈↓ εw␈ε	i␈↓ π∧␈εβ)(22␈α␈03␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈αε10␈α␈202␈↓ λ\␈ε	i␈↓ λi␈εβ).␈αOf␈α
the␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	x␈↓ ↓m␈ε↔j␈εβ␈α	+␈↓ α*␈ε	i␈↓ α7␈ε↔j␈↓ α@␈ε	x␈↓ α\␈ε↔j␈εβ␈α∞=␈α∞(7␈α	+␈α	2␈↓ ∧α␈ε	i␈↓ ∧∂␈εβ)(2␈α␈203␈α	+␈α	10␈α␈202␈↓ ¬n␈ε	i␈↓ ¬{␈εβ)␈α∞or␈α
(7␈α	+␈α
2␈↓ π∨␈ε	i␈↓ π,␈εβ)(220␈α␈3␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	102␈α␈02␈↓ 	␈ε	i␈↓ 	→␈εβ),␈α∞the␈α
former␈α
giv␈α␈e␈α␈s
␈β∧"␈↓ ↓`␈εε2␈↓ αO␈εε1
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	x␈↓ ↓m␈ε↔j␈εβ␈α	=␈α
67␈α␈008␈α	(no␈α	goo␈α␈d)␈α
a␈α␈nd␈α	the␈α
lat␈α␈ter␈α
giv␈α␈e␈α␈s␈ε↔␈α
j␈↓ εE␈ε	x␈↓ εa␈ε↔j␈εβ␈α	=␈α
7␈α␈582␈α␈0,␈ε↔␈α
j␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λ*␈ε↔j␈εβ␈α	=␈α
4␈α␈983␈α	(which␈α	i␈α↓s␈α	usab␈α␈le).
␈β∧J␈↓ ↓`␈εε1␈↓ εT␈εε1␈↓ λ≥␈εε2
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβLine␈α
9␈αof␈αTab␈α␈l␈α↓e␈α
1␈αwas␈αob␈α␈tain␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αtak␈α␈ing␈↓ ε2␈ε	x␈↓ εW␈εβ=␈α	758␈α␈20,␈↓ πi␈ε	x␈↓ λ∞␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ49␈α␈83.
␈β∧r␈↓ εA␈εε1␈↓ πx␈εε2
␈β¬λ␈↓ π\␈∧¬λπ\α⊃
␈β¬
␈↓ π⊃␈εε3␈α␈5␈↓ π;␈ε↔p
␈β¬∂␈↓ α␈εβLine␈α¬20␈α¬of␈αεth␈α␈e␈αεta␈α␈ble␈αεwa␈α␈s␈αεob␈α␈tain␈α␈ed␈α¬as␈αεfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws:␈ε↔␈αλb␈↓ π␈εβ2␈↓ π*␈εβ/␈↓ π\␈εβ3␈↓ πm␈ε↔c␈εβ␈α	=␈α	198␈α␈376␈α␈041␈α␈96;␈απ198␈α␈376␈α␈04␈α␈193
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβis␈α∞div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α∞b␈α␈y␈α∞3␈α∞so␈α∞it␈α∞is␈α∂in␈α␈eli␈α↓g␈α␈i␈α↓b␈α␈le;␈α⊂19␈α␈837␈α␈604␈α␈189␈α∞is␈α∞div␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α∂b␈α␈y␈α∞1␈α␈9,␈α∂and␈α
198␈α␈376␈α␈04␈α␈185
␈β¬Z␈↓ 	A␈εε2␈↓ 
R␈εε2
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α7,␈αan␈α␈d␈α19␈α␈837␈α␈604␈α␈181␈αb␈α␈y␈α3␈α␈;␈α19␈α␈837␈α␈604␈α␈177␈α
i␈α↓s␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αand␈α
equ␈α␈als␈α1␈α␈31␈α␈88␈↓ 	1␈εβ4␈↓ 	V␈εβ+␈απ494␈α␈3␈↓ 
A␈εβ9␈↓ 
↑␈εβ.␈αThe
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓er␈α
is␈α∞11␈α␈752␈α␈45␈α␈817␈α␈;␈α⊂a␈α
b␈α␈etter␈α∞o␈α␈ne␈α
cou␈α␈ld␈α
be␈α
foun␈α␈d␈α
i␈α↓f␈α
w␈α␈e␈α∞co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈βε-␈↓ ↓H␈εβse␈α␈arch␈α␈i␈α↓n␈α␈g.␈α
Th␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓e␈α␈r␈αon␈αline␈α24␈αwas␈αobta␈α␈ined␈αas␈αthe␈αbe␈α␈st␈αof␈αthe␈α|rst␈αsi␈α↓x␈α␈teen␈αm␈α␈u␈α␈l-
␈βεP␈↓ εX␈εε32
␈βεU␈↓ ↓H␈εβtip␈α␈l␈α↓iers␈αfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αthis␈αp␈α␈roced␈α␈ur␈α␈e␈αwhen␈↓ ¬v␈ε	m␈↓ ε≥␈εβ=␈↓ εG␈εβ2␈↓ εq␈εβ.
␈βεh␈↓ ∧3␈ε↓P␈↓ ε!␈ε↓P␈↓ ε|␈ε↓P
␈βε}␈↓ α-␈ε~0␈↓ αf␈ε~0
␈βπε␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈ε	U␈↓ α8␈ε↔↓␈↓ αE␈ε	U␈↓ αv␈εβ=␈↓ β ␈ε	U␈↓ βE␈ε↔↓␈↓ βR␈ε	U␈↓ βx␈εβ+␈α∧2␈↓ ¬∞␈ε	q␈↓ ¬%␈ε	U␈↓ ¬I␈ε↔↓␈↓ ¬V␈ε	U␈↓ ¬{␈εβ+␈↓ πZ␈ε	q␈↓ πq␈ε	q␈↓ λ
␈ε	U␈↓ λ.␈ε↔↓␈↓ λ;␈ε	U␈↓ λ]␈εβ.␈αTh␈α␈e␈α	p␈α␈artial␈αλder␈α␈i␈α↓v␈α␈ativ␈α␈e
␈βπ⊃␈↓ α!␈εj␈↓ αZ␈εj␈↓ β5␈εj␈↓ βh␈εj␈↓ ¬≠␈εi␈↓ ¬:␈εi␈↓ ¬k␈εj␈↓ πf␈εi␈↓ π⎇␈εk␈↓ λ∨␈εi␈↓ λP␈εk
␈βπ→␈↓ ∧Y␈εi␈↓ ∧d␈ε~≤␈↓ ∧⎇␈εj␈↓ εG␈εi␈↓ εQ␈ε~≤␈↓ εj␈εj␈↓ π"␈εk␈↓ π/␈ε~≤␈↓ πH␈εj
␈βπ3␈↓ ↓H␈εβwith␈αresp␈α␈ect␈αto␈↓ β.␈ε	q␈↓ βS␈εβis␈αt␈α␈wice␈αthe␈αleft-ha␈α␈nd␈αside␈αo␈α␈f␈α(26).␈αIf␈αth␈α␈e␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αca␈α␈n␈αbe␈αach␈α␈i␈α↓e␈α␈v␈α␈ed␈α␈,
␈βπ=␈↓ β:␈εk
␈βπZ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ese␈αp␈α␈artial␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α␈ativ␈α}es␈αm␈α␈ust␈αa␈α␈l␈α↓l␈αv␈α␈anish␈α␈.
␈βλ␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	u␈↓ αB␈εβ=␈α	1,␈↓ β⊃␈ε	u␈↓ βG␈εβ=␈αirration␈α␈al,␈↓ ¬∂␈ε	u␈↓ ¬D␈εβ=␈↓ ¬o␈ε	u␈↓ ε$␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βλ⊗␈↓ α∨␈εε11␈↓ β$␈εε21␈↓ ¬"␈εε1␈α␈2␈↓ εα␈εε2␈α␈2
␈βλ9␈↓ ε(␈εε2␈↓ εy␈εε2␈↓ πG␈εε2
␈βλ=␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβAfter␈αth␈α␈ree␈αEuclide␈α␈an␈αste␈α␈ps␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈↓ ε→␈ε	↔␈↓ ε>␈εβ=␈↓ εi␈εβ5␈↓ π
␈εβ+␈↓ π6␈εβ5␈↓ πS␈εβ,␈αthen␈α
S4␈αp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈es
␈βλL␈↓ ε(␈εε2
␈β	␈↓ ∧∞␈ε↓ ␈↓ ¬l␈ε↓!␈↓ π&␈ε↓ ␈↓ 	∃␈ε↓!
␈β	α␈↓ ∧5␈ε↔␈␈εβ␈α↓5␈↓ ¬*␈εβ5␈↓ ¬\␈εβ0␈↓ π=␈ε↔␈␈εβ2␈↓ λ!␈εβ1␈α␈8␈↓ λt␈εβ38
␈β	'␈↓ β?␈ε	U␈↓ βc␈εβ=␈↓ εβ␈εβ,␈↓ εZ␈ε	V␈↓ ε{␈εβ=␈↓ 	,␈εβ.
␈β	*␈↓ ∧%␈ε↔␈␈εβ18␈↓ ¬λ␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ¬\␈εβ0␈↓ π=␈ε↔␈␈εβ5␈↓ λ⊂␈ε↔␈␈εβ5␈↓ λc␈ε↔␈␈εβ␈α↓5
␈β	Q␈↓ ∧W␈εβ1␈↓ ¬λ␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ¬\␈εβ1␈↓ π↑␈εβ0␈↓ λ1␈εβ0␈↓ λc␈εβ100
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εβTra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈α␈s␈α(␈↓ βN␈ε	j␈↓ β]␈εβ,␈↓ βl␈ε	q␈↓ ∧¬␈εβ,␈↓ ∧∀␈ε	q␈↓ ∧,␈εβ,␈↓ ∧;␈ε	q␈↓ ∧T␈εβ)␈α	=␈α	(␈α↓1␈α␈,␈ε↔␈αεβ␈εβ,␈α¬0,␈αε2),␈α(2,␈ε↔␈αε␈␈εβ4,␈ε↔␈α¬β␈εβ,␈αε1␈α␈)␈α↓,␈α(3,␈α¬0,␈αε0,␈ε↔␈α¬β␈εβ),␈α(␈α↓1␈α␈,␈ε↔␈αεβ␈εβ,␈α¬0,␈αε0)␈αre␈α␈sult␈αin
␈β
≠␈↓ βx␈εε1␈↓ ∧ ␈εε2␈↓ ∧G␈εε3
␈β
R␈↓ α↑␈ε↓ ␈↓ ∧N␈ε↓!␈↓ επ␈ε↓ ␈↓ λ_␈ε↓!
␈β
U␈↓ αu␈ε↔␈␈εβ␈α↓3␈↓ βj␈εβ1␈↓ ∧=␈εβ2␈↓ ε≡␈ε↔␈␈εβ22␈↓ π∪␈ε↔␈␈εβ2␈↓ πw␈εβ1␈α␈8
␈β
z␈↓ α∂␈ε	U␈↓ α4␈εβ=␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	V␈↓ ¬]␈εβ=␈↓ λ/␈εβ,␈↓ 	ε␈ε	Z␈↓ 	&␈εβ=␈α
(0␈α!0␈α!1␈α␈).
␈β
⎇␈↓ αu␈ε↔␈␈εβ␈α↓5␈↓ βI␈ε↔␈␈εβ8␈↓ ∧≤␈ε↔␈␈εβ7␈↓ ε/␈ε↔␈␈εβ5␈↓ π∪␈ε↔␈␈εβ5␈↓ πf␈ε↔␈␈εβ5
␈β$␈↓ β↔␈εβ1␈↓ βI␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ∧=␈εβ1␈↓ εP␈εβ9␈↓ πα␈ε↔␈␈εβ31␈↓ πw␈εβ2␈α␈9
␈βc␈↓ β␈∧cβα⊃
␈βe␈↓ αj␈ε↔p
␈βi␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈↓ α≤␈ε	↔␈↓ α@␈εβ=␈↓ β␈εβ6␈↓ β≤␈εβ,␈αas␈αw␈α␈e␈αalrea␈α␈dy␈αk␈α␈ne␈α␈w␈αf␈α↓ro␈α␈m␈αex␈α}ercise␈α3.
␈βt␈↓ α*␈εε3
␈β≠␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThe␈αlarg␈α␈est␈α
a␈α␈ch␈α␈i␈α↓ev␈α␈ab␈α␈le␈↓ ∧c␈ε	q␈↓ ∧}␈εβin␈α(11),␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α}us␈αthe␈αsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈st␈α
ac␈α␈hiev␈α␈able,␈α
p␈α␈lus␈α1,␈α
is␈ε↔␈α
j␈↓ 
Z␈ε	u␈↓ 
z␈ε↔j␈εβ␈αλ+
␈β%␈↓ 
m␈εε1
␈βB␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓y␈εβ+␈ε↔␈α
j␈↓ α-␈ε	u␈↓ αJ␈ε↔j␈α
␈␈↓ β	␈ε	∞␈↓ β_␈εβ,␈α⊃wh␈α␈ere␈↓ ∧⊗␈ε	∞␈↓ ∧5␈εβ=␈α⊃1␈α∞if␈↓ ¬*␈ε	u␈↓ ¬G␈ε	u␈↓ ¬v␈εβ<␈α⊃0␈α∞for␈α∂som␈α␈e␈↓ πV␈ε	i␈↓ πr␈εβan␈α␈d␈↓ λ7␈ε	j␈↓ λF␈εβ,␈α⊂oth␈α␈erwise␈↓ 	w␈ε	∞␈↓ 
↔␈εβ=␈α⊂0␈α␈.␈α_Fo␈α␈r
␈βM␈↓ α@␈εt␈↓ ¬=␈εi␈↓ ¬[␈εj
␈βj␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple␈αif␈↓ αk␈ε	t␈↓ β␈εβ=␈α
5,␈↓ βP␈ε	u␈↓ βy␈εβ>␈α
0,␈↓ ∧I␈ε	u␈↓ ∧r␈εβ>␈α
0,␈↓ ¬B␈ε	u␈↓ ¬k␈εβ=␈α
0,␈αand␈↓ ε|␈ε	u␈↓ π&␈εβ<␈α	0,␈αthe␈αlarg␈α␈est␈αach␈α␈i␈α↓e␈α␈vab␈α␈le␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αis
␈βu␈↓ βc␈εε1␈↓ ∧\␈εε3␈↓ ¬U␈εε4␈↓ π∂␈εε5
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓`␈εβ=␈↓ α
␈ε	u␈↓ α1␈εβ+␈↓ αZ␈ε	u␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈ε	u␈↓ βQ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
and␈α
the␈αs␈α␈mallest␈αis␈↓ ε0␈ε	q␈↓ εI␈εβ=␈↓ εs␈ε	u␈↓ π~␈εβ+␈αλ1␈α	=␈ε↔␈α	␈␈α↓j␈↓ λ2␈ε	u␈↓ λR␈ε↔j␈εβ␈απ+␈αλ1.
␈β
≤␈↓ α≥␈εε1␈↓ αm␈εε2␈↓ β=␈εε3␈↓ πε␈εε5␈↓ λE␈εε5
␈β
9␈↓ α␈εβ[Note␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
h␈α}yp␈α␈erp␈α␈l␈α↓a␈α␈nes␈α	i␈α↓s␈α	un␈α␈cha␈α␈ng␈α␈ed␈α	when␈↓ λR␈ε	c␈↓ λi␈εβv␈α␈aries,␈α
he␈α␈nce␈α	the␈α	same
␈β
a␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er␈απap␈α␈plies␈απto␈απthe␈απp␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈αλo␈α␈f␈αλc␈α␈o␈α␈v␈α␈er␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ε_␈ε	L␈↓ ε6␈εβins␈α␈tead␈απo␈α␈f␈↓ πH␈ε	L␈↓ πj␈εβ.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈αλthe␈απsta␈α␈ted␈απform␈α}ula␈απis
␈β
k␈↓ π]␈εε0
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε⊂n␈α␈ot␈εβ␈απalway␈α␈s␈αλe␈α␈xac␈α␈t␈αλfo␈α␈r␈αλco␈α}v␈α␈erin␈α␈g␈↓ ∧m␈ε	L␈↓ ¬∂␈εβ,␈α	sin␈α␈ce␈απthe␈απh␈α␈y␈α␈pe␈α␈rplan␈α␈es␈απthat␈απin␈α␈te␈α␈rsect␈απthe␈απu␈α␈nit␈αλh␈α}yp␈α␈ercu␈α␈be
␈β∞∪␈↓ ¬β␈εε0
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈α	no␈α␈t␈α
all␈α
co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α	p␈α␈oin␈α␈ts␈α	of␈↓ ∧r␈ε	L␈↓ ¬∀␈εβ.␈αIn␈α	th␈α␈e␈α
ex␈α␈amp␈α␈le␈α
a␈α␈bo␈α␈v␈α}e,␈α
w␈α␈e␈α
ca␈α␈n␈α	nev␈α}er␈α
a␈α␈chiev␈α}e␈α
th␈α␈e␈α
v␈α␈alue
␈β∞;␈↓ ¬π␈εε0
␈β∞X␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓`␈εβ=␈↓ α
␈ε	u␈↓ α.␈εβ+␈↓ αT␈ε	u␈↓ αx␈εβ+␈↓ β≥␈ε	u␈↓ βA␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈αλi␈α↓n␈↓ ∧%␈ε	L␈↓ ∧P␈εβif␈↓ ∧m␈ε	u␈↓ ¬⊃␈εβ+␈↓ ¬6␈ε	u␈↓ ¬Z␈εβ+␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε)␈εβ>␈↓ εS␈ε	m␈↓ εq␈εβ;␈α	i␈α↓t␈αλi␈α↓s␈αλach␈α␈i␈α↓e␈α␈vab␈α␈le␈α	i{␈α	the␈α␈re␈α	is␈α	a␈αλsolution␈αλto
␈β∞b␈↓ α≥␈εε1␈↓ αg␈εε2␈↓ β1␈εε3␈↓ ∧:␈εε0␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬I␈εε2␈↓ ε∪␈εε3
␈β∞␈␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓k␈ε↔␈␈↓ α∪␈ε	u␈↓ α9␈ε↔␈␈↓ α`␈ε	u␈↓ βε␈ε↔␈␈↓ β.␈ε	u␈↓ βW␈εβ=␈↓ ∧α␈ε	x␈↓ ∧≡␈ε	u␈↓ ∧D␈εβ+␈↓ ∧k␈ε	x␈↓ ¬π␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	x␈↓ ¬q␈ε	u␈↓ ε↔␈εβ+␈↓ ε?␈ε	x␈↓ ε[␈ε↔j␈↓ εd␈ε	u␈↓ π∧␈ε↔j␈εβ␈α
in␈α
no␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
(␈↓ 	|␈ε	x␈↓ 
_␈εβ,␈↓ 
&␈ε	x␈↓ 
B␈εβ,␈↓ 
Q␈ε	x␈↓ 
m␈εβ,␈↓ 
|␈ε	x␈↓ _␈εβ).
␈β∂
␈↓ α&␈εε1␈↓ αt␈εε2␈↓ βA␈εε3␈↓ ∧⊃␈εε1␈↓ ∧1␈εε1␈↓ ∧{␈εε2␈↓ ¬~␈εε2␈↓ ¬d␈εε3␈↓ ε∧␈εε3␈↓ εN␈εε4␈↓ εw␈εε5␈↓ 
␈εε1␈↓ 
6␈εε2␈↓ 
a␈εε3␈↓ ␈εε4
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβIt␈α
m␈α␈ay␈αbe␈αtrue␈αtha␈α␈t␈α
the␈αstated␈αlimits␈α
are␈αalway␈α␈s␈α
ach␈α␈ieva␈α␈ble␈α
wh␈α␈en␈ε↔␈αj␈↓ 	&␈ε	u␈↓ 	E␈ε↔j␈εβ␈α	+␈↓ 
↓␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
0␈εβ+␈ε↔␈α	j␈↓ 
c␈ε	u␈↓ ␈ε↔j␈εβ␈α
is
␈β∂1␈↓ 	9␈εε1␈↓ 
w␈εt
␈β∂N␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈imal,␈αbu␈α␈t␈αthis␈αdo␈α␈es␈αno␈α␈t␈αapp␈α␈ea␈α␈r␈αt␈α␈o␈αbe␈αo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈us.]
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIt␈α∂su␈α␈}ces␈α∂to␈α∞de␈α␈termine␈α∞all␈α∂solution␈α␈s␈α∂to␈α∞(␈α↓1␈α␈5)␈α∂h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂min␈α␈i␈α↓m␈α}um␈ε↔␈α∂j␈↓ 	:␈ε	u␈↓ 	Y␈ε↔j␈εβ␈α+␈↓ 
_␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
I␈εβ+␈ε↔␈α
j␈↓ 
⎇␈ε	u␈↓ ~␈ε↔j␈εβ,
␈β⊂
␈↓ 	M␈εε1␈↓ ⊂␈εt
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈btr␈α␈acting␈α
1␈αif␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
one␈α
of␈αthese␈α
solution␈α␈s␈αha␈α␈s␈αcomp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈αopp␈α␈osite␈αsign␈α␈.
␈β⊂O␈↓ α␈εβInste␈α␈ad␈αo␈α␈f␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αd␈α␈e|n␈α␈ite␈αqua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈αfo␈α␈rms,␈αw␈α␈e␈αw␈α␈o␈α␈rk␈αwith␈↓ λc␈ε	f␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	~␈εβ,␈↓ 	)␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	U␈εβ,␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 	⎇␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	j␈↓ 
F␈ε	x␈↓ 
b␈ε	U␈↓ ␈εβ+
␈β⊂Z␈↓ 	
␈εε1␈↓ 	s␈εt␈↓ 
U␈εε1␈↓ 
w␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓v␈εβ+␈↓ α ␈ε	x␈↓ α9␈ε	U␈↓ αX␈ε↔j␈εβ,␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈ε↔␈αj␈↓ β}␈ε	Y␈↓ ∧↔␈ε↔j␈εβ␈α
=␈ε↔␈αj␈↓ ∧←␈ε	y␈↓ ∧|␈ε↔j␈εβ␈αλ+␈↓ ¬6␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬e␈εβ+␈ε↔␈αλj␈↓ ε↔␈ε	y␈↓ ε1␈ε↔j␈εβ.␈α
Ineq␈α␈uality␈α(21)␈αc␈α␈an␈αbe␈αre␈α␈place␈α␈d␈αb␈α␈y␈ε↔␈αj␈↓ 
[␈ε	x␈↓ 
w␈ε↔j␈α∀
␈β⊃↓␈↓ α/␈εt␈↓ αN␈εt␈↓ ∧o␈εε1␈↓ ε'␈εt␈↓ 
j␈εk
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβm␈α␈ax␈↓ αl␈ε↔j␈↓ αu␈ε	v␈↓ β≥␈ε↔j␈εβ)␈↓ β7␈ε	f␈↓ βG␈εβ(␈↓ βR␈ε	y␈↓ βn␈εβ,␈↓ β⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧)␈εβ,␈↓ ∧8␈ε	y␈↓ ∧R␈εβ).
␈β⊃)␈↓ α∩␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α7␈εj␈↓ αC␈ε~∀␈↓ α]␈εt␈↓ β∧␈εk␈↓ β⊃␈εj␈↓ βb␈εε1␈↓ ∧H␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα630␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα+␈↓ α␈εβTh␈α␈u␈α␈s␈αλa␈αλw␈α␈or␈α␈kab␈α␈le␈αλalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αλca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλob␈α␈tain␈α␈ed␈αλa␈α␈s␈αλfoll␈α↓o␈α}ws.␈αRe␈α␈place␈απsteps␈απS1␈αλth␈α␈rou␈α␈gh␈απS3
␈βαS␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y:␈α\␈α␈Set␈↓ αJ␈ε	U␈↓ αo␈ε↔ ␈εβ␈α	(␈↓ β$␈ε	m␈↓ βB␈εβ),␈↓ βa␈ε	V␈↓ ∧α␈ε↔ ␈εβ␈α	(1),␈↓ ∧g␈ε	r␈↓ ∧␈␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ ¬N␈ε	s␈↓ ¬e␈ε↔ ␈↓ ε⊂␈ε	m␈↓ ε-␈εβ,␈↓ εA␈ε	t␈↓ εV␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈.␈α↓"␈α
(Here␈↓ λ∂␈ε	U␈↓ λ4␈εβand␈↓ λu␈ε	V␈↓ 	↔␈εβare␈α
1␈ε↔␈απα␈εβ␈απ1␈α
ma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es;
␈βαz␈↓ ↓H␈εβth␈α}us␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o-d␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αcase␈α
will␈αbe␈α
h␈α␈an␈α␈dled␈α
b␈α␈y␈α
the␈α
gen␈α␈era␈α␈l␈αmeth␈α␈od␈α␈.␈αA␈αsp␈α␈ecial␈αp␈α␈roce␈α␈-
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ure␈αfo␈α␈r␈↓ αJ␈ε	t␈↓ αa␈εβ=␈α2␈αco␈α␈uld,␈αof␈αcou␈α␈rse,␈α
b␈α␈e␈αdev␈α␈ised.)␈α∞In␈αstep␈α␈s␈α
S␈α␈4␈αan␈α␈d␈αS␈α␈8,␈α
se␈α␈t␈↓ 	?␈ε	s␈↓ 	X␈ε↔ ␈↓ 
∧␈εβmin␈↓ 
;␈εβ(␈↓ 
G␈ε	s␈↓ 
T␈εβ,␈ε↔␈αεj␈↓ 
l␈ε	U␈↓ ∂␈ε↔j␈εβ).
␈ββ,␈↓ α␈εk
␈ββI␈↓ ↓H␈εβIn␈αste␈α␈p␈αS8,␈αset␈↓ β$␈ε	z␈↓ βF␈ε↔ ␈α
b␈↓ β}␈εβma␈α␈x␈↓ ¬↔␈ε↔j␈↓ ¬ ␈ε	v␈↓ ¬H␈ε↔j␈↓ ¬W␈ε	s␈↓ ¬e␈εβ/␈↓ ¬v␈ε	m␈↓ ε∪␈ε↔c␈εβ.␈αIn␈αstep␈αS1␈α␈0,␈αse␈α␈t␈↓ λ"␈ε	s␈↓ λ:␈ε↔ ␈↓ λe␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	'␈ε	s␈↓ 	5␈εβ,␈ε↔␈αεj␈↓ 	M␈ε	Y␈↓ 	f␈ε↔j␈αλ␈␈↓ 
 ␈ε	∞␈↓ 
0␈εβ);␈αa␈α␈nd␈αin
␈ββT␈↓ β/␈εk␈↓ ∧=␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧c␈εj␈↓ ∧o␈ε~∀␈↓ ¬λ␈εt␈↓ ¬/␈εk␈↓ ¬<␈εj
␈ββq␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αS1␈α␈1,␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈↓ βG␈ε	s␈↓ β`␈εβ=␈↓ ∧␈ε	N␈↓ ∧/␈εβ.␈α∂Ot␈α␈herwise␈αleav␈α}e␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αa␈α␈s␈αi␈α↓t␈αsta␈α␈nd␈α␈s,␈α
since␈αit␈αalrea␈α␈dy
␈ββ|␈↓ ∧%␈εt
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uce␈α␈s␈αsuitab␈α␈ly␈αsh␈α␈ort␈αv␈α␈ec␈α␈tors.␈α[␈ε⊂Math␈α␈.␈αComp␈α␈.␈ε∪␈α2␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈75),␈α82␈α␈7↑8␈α␈33.]
␈β∧I␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αk␈ε	k␈↓ β¬␈εβ>␈↓ β/␈ε	t␈↓ βE␈εβin␈α	S10␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α	if␈↓ ¬∂␈ε	Y␈↓ ¬.␈ε↔↓␈↓ ¬=␈ε	Y␈↓ ¬←␈ε↔∀␈↓ ε	␈ε	s␈↓ ε↔␈εβ,␈α
ou␈α␈tpu␈α␈t␈↓ π⊗␈ε	Y␈↓ π9␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α	␈␈↓ λ→␈ε	Y␈↓ λ2␈εβ;␈αfu␈α␈rthe␈α␈rmore␈α	i␈α↓f␈↓ 
≤␈ε	Y␈↓ 
:␈ε↔↓␈↓ 
I␈ε	Y␈↓ 
k␈εβ<␈↓ ∃␈ε	s␈↓ #␈εβ,
␈β∧q␈↓ ↓H␈εβta␈α␈k␈α␈e␈αλb␈α␈ack␈απthe␈αλp␈α␈revio␈α␈us␈αλou␈α␈tpu␈α␈t␈αλof␈αλv␈α␈ec␈α␈tors␈αλfor␈αλth␈α␈i␈α↓s␈↓ ε␈␈ε	t␈↓ π␈εβ.␈α
[In␈αλth␈α␈e␈αλau␈α␈thor␈α␈'␈α↓s␈αλex␈α␈pe␈α␈ri␈α↓e␈α␈nce␈αλp␈α␈rep␈α␈aring
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβTa␈α␈ble␈α	1␈α␈,␈α
th␈α␈ere␈α	wa␈α␈s␈α	ex␈α␈actly␈αλone␈αλv␈α␈ec␈α␈tor␈α	(a␈α␈nd␈αλi␈α↓t␈α␈s␈α	neg␈α␈ativ␈α␈e␈α␈)␈α	out␈α␈pu␈α␈t␈α	for␈α	ea␈α␈ch␈↓ 	P␈ε	↔␈↓ 	h␈εβ,␈α	ex␈α␈ce␈α␈pt␈α	wh␈α␈en
␈β¬#␈↓ 	↑␈εt
␈β¬@␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓m␈εβ=␈α
0␈αo␈α␈r␈↓ α\␈ε	y␈↓ α␈␈εβ=␈α	0.]
␈β¬K␈↓ ↓W␈εε1␈↓ αl␈εt
␈β¬q␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ(a)␈αLet␈↓ α|␈ε	x␈↓ β_␈εβ=␈↓ βD␈ε	m␈↓ βa␈εβ,␈↓ βw␈ε	y␈↓ ∧∀␈εβ=␈α
(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬␈ε	m␈↓ ¬)␈εβ)␈α↓/␈α␈3,␈↓ ¬k␈ε	v␈↓ ε≠␈εβ=␈↓ εG␈ε	y␈↓ εa␈εβ+␈↓ π
␈ε	x␈↓ π≤␈ε	∞␈↓ π>␈εβ,␈↓ πT␈ε	u␈↓ λλ␈εβ=␈ε↔␈α␈␈↓ λU␈ε	y␈↓ λo␈εβ+␈↓ 	_␈ε	∞␈↓ 	;␈εβ.␈α∞Th␈α␈en␈↓ 
)␈ε	V␈↓ 
P␈ε↔↓␈↓ 
a␈ε	V␈↓ ␈εβ=
␈β¬z␈↓ 	k␈ε↓p
␈β¬{␈↓ ¬z␈εi␈↓ ε∧␈εj␈↓ π(␈εi␈↓ π2␈εj␈↓ πg␈εi␈↓ πq␈εj␈↓ 	%␈εi␈↓ 	/␈εj␈↓ 
<␈εj␈↓ 
s␈εk
␈βε∃␈↓ 
∂␈∧ε∃
∂α∀
␈βε→␈↓ α∧␈εε2␈↓ ¬`␈εε2␈↓ λ(␈εε2
␈βε~␈↓ ↓K␈εε1␈↓ ¬(␈εε2␈↓ ε#␈εε1␈↓ πo␈εε1␈↓ 
∪␈εε2␈↓ 
`␈εα(
␈βε≥␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	m␈↓ α→␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α
fo␈α␈r␈↓ β!␈ε	j␈↓ β<␈ε↔≤␈↓ βj␈ε	k␈↓ βz␈εβ,␈↓ ∧⊃␈ε	V␈↓ ∧9␈ε↔↓␈↓ ∧K␈ε	V␈↓ ∧w␈εβ=␈↓ ¬8␈εβ(␈↓ ¬C␈ε	m␈↓ ¬v␈εβ+␈↓ ε3␈εβ)␈α↓,␈↓ εU␈ε	U␈↓ ε␈␈ε↔↓␈↓ π⊃␈ε	U␈↓ π>␈εβ=␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ=␈εβ+␈α	2),␈↓ 	→␈ε	z␈↓ 	>␈ε↔→␈↓ 
)␈ε	m␈↓ 
F␈εβ.␈↓ 
l␈εβTh␈α␈is
␈βε(␈↓ ∧#␈εk␈↓ ∧]␈εk␈↓ εj␈εj␈↓ π&␈εj␈↓ 	$␈εk
␈βε+␈↓ ↓K␈∧ε+↓Kα
␈↓ ¬(␈∧ε+¬(α
␈↓ ε#␈∧ε+ε#α
␈↓ πo␈∧ε+πoα
␈↓ 
∪␈∧ε+
∪α
␈βε-␈↓ ↓K␈εε3␈↓ ¬(␈εε3␈↓ ε#␈εε2␈↓ πo␈εε3␈↓ 
∪␈εε9
␈βεB␈↓ 	G␈εα)
␈βεE␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple␈αsatis|␈α␈es␈α(28␈α␈)␈αwith␈↓ ∧T␈ε	a␈↓ ∧m␈εβ=␈α
1␈αa␈α␈nd␈α
w␈α␈ork␈α␈s␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ π6␈ε	m␈↓ π\␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α3).
␈βεl␈↓ α␈εβ(b)␈α
In␈α␈terch␈α␈an␈α␈ge␈α
the␈α
r␈↓ ∧9␈εβ∂␈↓ ∧9␈εβo␈↓ ∧J␈εβles␈α
of␈↓ ¬ ␈ε	U␈↓ ¬F␈εβa␈α␈nd␈↓ εε␈ε	V␈↓ ε(␈εβi␈α↓n␈α
ste␈α␈p␈αS␈α␈5.␈αAlso␈α
set␈↓ λI␈ε	s␈↓ λ`␈ε↔ ␈↓ 	
␈εβmin␈↓ 	B␈εβ(␈↓ 	M␈ε	s␈↓ 	[␈εβ,␈↓ 	j␈ε	U␈↓ 
⊂␈ε↔↓␈↓ 
 ␈ε	U␈↓ 
@␈εβ)␈αfor␈α
all
␈βεw␈↓ 	␈␈εi␈↓ 
6␈εi
␈βπ∀␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓t␈εβth␈α␈at␈αcha␈α␈ng␈α␈e.␈α∂For␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α
when␈↓ ¬←␈ε	m␈↓ ελ␈εβ=␈α64␈αth␈α␈i␈α↓s␈αtran␈α␈sform␈α␈ation␈αwith␈↓ 	V␈ε	j␈↓ 	p␈εβ=␈α1,␈α
ap␈α␈plied
␈βπ∨␈↓ ↓]␈εi
␈βπ<␈↓ ↓H␈εβto␈α
the␈αm␈α␈atrices␈αof␈α(a␈α␈)␈α↓,␈αred␈α␈uc␈α␈es
␈βπx␈↓ ∧~␈ε↓ ␈↓ ε;␈ε↓!␈↓ πQ␈ε↓ ␈↓ 	∂␈ε↓!
␈βπz␈↓ ∧R␈εβ43␈↓ ¬∃␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ¬y␈ε↔␈␈εβ21␈↓ πh␈εβ22␈↓ λ+␈εβ21␈↓ λn␈εβ2␈α␈1
␈βλ∨␈↓ βN␈ε	V␈↓ βo␈εβ=␈↓ εR␈εβ,␈↓ πα␈ε	U␈↓ π'␈εβ=
␈βλ"␈↓ ∧1␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ¬6␈εβ43␈↓ ¬y␈ε↔␈␈εβ21␈↓ πh␈εβ21␈↓ λ+␈εβ22␈↓ λn␈εβ2␈α␈1
␈βλI␈↓ ∧1␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ¬∃␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ε~␈εβ43␈↓ πh␈εβ21␈↓ λ+␈εβ21␈↓ λn␈εβ2␈α␈2
␈βλS␈↓ ↓H␈εβto
␈βλT␈↓ ∧
␈ε↓ ␈↓ ε.␈ε↓!␈↓ πD␈ε↓ ␈↓ 	∪␈ε↓!
␈βλW␈↓ ∧V␈εβ1␈↓ ¬:␈εβ1␈↓ ε≡␈εβ1␈↓ πl␈εβ22␈↓ λ/␈εβ2␈α␈1␈↓ λq␈εβ21
␈βλ{␈↓ βA␈ε	V␈↓ βb␈εβ=␈↓ εE␈εβ,␈↓ εu␈ε	U␈↓ π~␈εβ=␈↓ 	*␈εβ.
␈βλ}␈↓ ∧$␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ¬)␈εβ43␈↓ ¬l␈ε↔␈␈εβ21␈↓ π[␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ λ?␈εβ1␈↓ 	α␈εβ0
␈β	&␈↓ ∧$␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ¬λ␈ε↔␈␈εβ21␈↓ ε
␈εβ43␈↓ π[␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ λ?␈εβ0␈↓ 	α␈εβ1
␈β	U␈↓ ↓H␈εβ[S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
tran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
ca␈α␈n␈α
inc␈α␈rease␈α
th␈α␈e␈α
leng␈α␈th␈α
o␈α␈f␈↓ π>␈ε	V␈↓ π\␈εβ,␈αa␈α␈n␈α
algo␈α␈rithm␈α
th␈α␈at␈α
inc␈α␈orp␈α␈orate␈α␈s
␈β	`␈↓ πP␈εj
␈β	⎇␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈α
tran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αm␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αc␈α␈arefu␈α␈l␈αto␈α
av␈α␈o␈α␈i␈α↓d␈α
in|␈α␈nite␈αloop␈α␈ing␈α␈.␈α↓]
␈β
.␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβNo,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
a␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈α
o␈α␈f␈α
non␈α␈-iden␈α}ti␈α↓t␈α␈y␈α
ma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈α
wi␈α↓th␈αall␈α
o{-diago␈α␈na␈α␈l␈α∞elem␈α␈en␈α␈ts␈α
n␈α␈on␈α␈-
␈β
U␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈αan␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓l␈αd␈α␈i␈α↓a␈α␈gon␈α␈al␈αelemen␈α}ts␈α1␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αb␈α␈e␈αthe␈αid␈α␈en␈α␈tity.
␈β
⎇␈↓ α␈εβ[Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈e␈α␈r,␈αloo␈α␈ping␈α
wo␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αpo␈α␈ssible␈αif␈αa␈αsu␈α␈bse␈α␈qu␈α␈en␈α␈t␈αtran␈α␈sform␈α␈ation␈αwith␈↓ 
8␈ε	q␈↓ 
P␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1
␈β$␈↓ ↓H␈εβw␈α␈ere␈αp␈α␈erform␈α␈ed␈αwh␈α␈en␈ε↔␈α␈␈εβ2␈↓ ∧=␈ε	V␈↓ ∧b␈ε↔↓␈↓ ∧s␈ε	V␈↓ ¬≠␈εβ=␈↓ ¬F␈ε	V␈↓ ¬l␈ε↔↓␈↓ ¬|␈ε	V␈↓ ε≠␈εβ;␈αth␈α␈e␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αrule␈αm␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αasy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c␈αwith
␈β/␈↓ ∧P␈εi␈↓ ¬¬␈εj␈↓ ¬X␈εj␈↓ ε∂␈εj
␈βL␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈t␈αto␈αsign␈αif␈αno␈α␈n-sh␈α␈orten␈α␈ing␈αtra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈α␈s␈αare␈αa␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈e␈α␈d.]
␈βy␈↓ π←␈εe␈↓ πj␈ε~␈␈εε2
␈β⎇␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβUse␈α∞the␈α∞or␈α␈dina␈α␈ry␈α∞spe␈α␈ctral␈α∞test␈α∂fo␈α␈r␈↓ ε⊂␈ε	a␈↓ ε.␈εβand␈↓ εr␈ε	m␈↓ π≡␈εβ=␈↓ πO␈εβ2␈↓ λ⊂␈εβ;␈α⊂cf.␈α∂e␈α␈x␈α␈ercise␈α∞3.2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓2␈α␈↑9.␈α∃[On
␈β$␈↓ ↓H␈εβin␈α}tuitiv␈α␈e␈αg␈α␈roun␈α␈ds,␈αth␈α␈e␈αsame␈α
answ␈α␈er␈αsh␈α␈ou␈α␈ld␈αap␈α␈ply␈αa␈α␈lso␈αwhe␈α␈n␈↓ λ.␈ε	a␈↓ λD␈εβmo␈α␈d␈↓ 	λ␈εβ8␈α	=␈α
3.]
␈βQ␈↓ 	E␈εε2␈↓ 
α␈εε3
␈βU␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	X␈↓ αs␈ε↔⊃␈↓ β"␈ε	X␈↓ βc␈εβ(mod␈α␈ulo␈α4␈α␈)␈α↓,␈α∞so␈α
it␈α∞is␈α∞a␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈α∞to␈α
let␈↓ λ≡␈ε	V␈↓ λK␈εβ=␈α∞(4␈α␈,␈αε4␈↓ 	5␈ε	a␈↓ 	R␈εβ,␈αε4␈↓ 	q␈ε	a␈↓ 
∞␈εβ)/␈↓ 
*␈ε	m␈↓ 
G␈εβ,␈↓ 
←␈ε	V␈↓ ␈εβ=
␈β←␈↓ α#␈εε4␈↓ α0␈εn␈↓ α@␈εε+4␈↓ β9␈εε4␈↓ βF␈εn␈↓ λ1␈εε1␈↓ 
q␈εε2
␈β|␈↓ ↓H␈εβ(0␈α␈,␈αε1,␈αε0␈α␈),␈↓ αB␈ε	V␈↓ αj␈εβ=␈α
(0␈α␈,␈αε0,␈αε1␈α␈)␈αde|␈α␈ne␈αth␈α␈e␈αco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αlattice␈↓ πZ␈ε	L␈↓ π{␈εβ.
␈β
π␈↓ αT␈εε3␈↓ πo␈εε0
␈β
-␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	m␈↓ αy␈εβ=␈↓ β)␈ε	p␈↓ β:␈εβ;␈α⊂an␈α∞a␈α␈na␈α␈l␈α↓y␈α␈sis␈α∂p␈α␈ara␈α␈l␈α↓leling␈α∞th␈α␈e␈α∂te␈α␈xt␈α∞can␈α∞b␈α␈e␈α∞giv␈α␈en␈α␈.␈α⊗Fo␈α␈r␈α∂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α⊂wh␈α␈en
␈β
Q␈↓ ∧⎇␈εε2
␈β
R␈↓ ∧V␈εα(␈↓ π#␈εα)
␈β
U␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓e␈εβ=␈α∪4␈α⊂w␈α␈e␈α⊂h␈α␈av␈α␈e␈↓ βD␈ε	X␈↓ ∧#␈εβ=␈↓ ∧b␈εβ(␈↓ ∧m␈ε	a␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬A␈ε	b␈↓ ¬N␈εβ)␈↓ ¬Y␈ε	X␈↓ ε1␈εβ+␈↓ ε↑␈ε	a␈↓ εn␈ε	b␈↓ ε{␈ε	X␈↓ π4␈εβmod␈↓ πy␈ε	n␈↓ λ
␈εβ,␈α∩a␈α␈nd␈α∂we␈α⊂wa␈α␈n␈α␈t␈α⊂to␈α⊂minimize
␈β
←␈↓ β[␈εn␈↓ βk␈εε+3␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε↓␈εε+1␈↓ π∩␈εn
␈β
x␈↓ ↓\␈εε2␈↓ α ␈εε2␈↓ αd␈εε2␈↓ β)␈εε2␈↓ λC␈εε2
␈β
|␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓i␈εβ+␈↓ α␈ε	u␈↓ α.␈εβ+␈↓ αP␈ε	u␈↓ αr␈εβ+␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β?␈ε↔≤␈εβ␈α	0␈αεsuch␈α¬that␈↓ ¬␈ε	u␈↓ ¬,␈εβ+␈↓ ¬N␈ε	b␈↓ ¬\␈ε	u␈↓ ¬⎇␈εβ+␈↓ ε∨␈ε	a␈↓ ε0␈ε	b␈↓ ε=␈ε	u␈↓ εf␈ε↔⊃␈↓ π⊂␈ε	u␈↓ π1␈εβ+␈↓ πT␈ε	a␈↓ πd␈ε	u␈↓ λ¬␈εβ+␈αα(␈↓ λ3␈ε	a␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λt␈ε	b␈↓ 	↓␈εβ)␈↓ 	␈ε	u␈↓ 	5␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ).
␈β∞π␈↓ ¬≡␈εε1␈↓ ¬o␈εε3␈↓ εP␈εε4␈↓ π#␈εε2␈↓ πw␈εε3␈↓ 	∨␈εε4
␈β∞␈↓ ↓\␈εε1␈↓ α ␈εε2␈↓ αd␈εε3␈↓ β)␈εε4
␈β∞$␈↓ α␈εβRep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αstep␈α␈s␈αS1␈α
thro␈α␈ugh␈α
S3␈α
by␈αth␈α␈e␈αop␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αof␈αse␈α␈tti␈α↓n␈α␈g
␈β∞↑␈↓ αE␈ε↓∩␈↓ βE␈ε↓∪␈↓ ∧}␈ε↓∩␈↓ ¬↑␈ε↓∪␈↓ π⊗␈ε↓∩␈↓ πv␈ε↓∪
␈β∞d␈↓ α←␈ε	m␈↓ β+␈εβ0␈↓ ¬_␈εβ1␈α!0␈↓ π/␈εβ1␈α!0
␈β∞t␈↓ 	A␈εε2
␈β∞z␈↓ ↓v␈ε	U␈↓ α~␈ε↔ ␈↓ β[␈εβ,␈↓ ∧2␈ε	V␈↓ ∧S␈ε↔ ␈↓ ¬t␈εβ,␈ε	␈↓ εKR␈ε↔␈α	 ␈↓ λ␈εβ,␈↓ λb␈ε	s␈↓ λy␈ε↔ ␈↓ 	$␈ε	m␈↓ 	N␈εβ,␈↓ 
%␈ε	t␈↓ 
:␈ε↔ ␈εβ␈α	2,
␈β∂∩␈↓ αe␈εβ0␈↓ β$␈ε	m␈↓ ¬_␈εβ0␈α!1␈↓ π/␈εβ0␈α!1
␈β∂Q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
out␈α␈pu␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈↓ β/␈ε	↔␈↓ βS␈εβ=␈↓ β⎇␈ε	m␈↓ ∧~␈εβ.␈αRep␈α␈lace␈αste␈α␈p␈αS␈α␈4␈αby
␈β∂\␈↓ β=␈εε2
␈β∂|␈↓ ↓q␈ε~0
␈β⊂␈↓ ↓N␈ε∪S4␈↓ ↓x␈ε∪.␈↓ α␈εβ[Adv␈α␈an␈α␈ce␈↓ β ␈ε	t␈↓ β,␈εβ.]␈α≡If␈↓ β␈␈ε	t␈↓ ∧_␈εβ=␈↓ ∧F␈ε	T␈↓ ∧]␈εβ,␈α∞the␈α
alg␈α␈orithm␈α
te␈α␈rminate␈α␈s.␈α∩Oth␈α␈erwise␈α
set␈↓ 	S␈ε	t␈↓ 	l␈ε↔ ␈↓ 
~␈ε	t␈↓ 
/␈εβ+␈α	1␈α
a␈α␈nd
␈β⊂ε␈↓ αs␈ε↓␈␈↓ β/␈ε↓↓
␈β⊂ ␈↓ β∧␈εε0␈↓ β∨␈εb
␈β⊂'␈↓ α␈ε	R␈ε↔␈α ␈ε	␈αR␈↓ βB␈εβmod␈↓ ∧π␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ.␈α∂Set␈↓ ∧w␈ε	U␈↓ ¬"␈εβto␈αthe␈αne␈α␈w␈α
ro␈α␈w␈α(␈ε↔␈␈↓ π:␈ε	r␈↓ π`␈εβ,␈ε↔␈α¬␈␈↓ λ⊂␈ε	r␈↓ λ5␈εβ,␈αε0␈α␈,␈↓ λc␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∂␈εβ,␈αε0,␈αε1␈α␈)␈α
o␈α␈f␈↓ 
∞␈ε	t␈↓ 
&␈εβelemen␈α}ts,
␈β⊂2␈↓ ¬␈εt␈↓ πF␈εε12␈↓ λ≤␈εε2␈α␈2
␈β⊂8␈↓ β∧␈εε1␈↓ β≡␈εa
␈β⊂O␈↓ α␈εβan␈α␈d␈α
set␈↓ β␈ε	u␈↓ β0␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α
for␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧n␈ε	i␈↓ ¬∧␈εβ<␈↓ ¬.␈ε	t␈↓ ¬:␈εβ.␈αSet␈↓ επ␈ε	V␈↓ ε.␈εβto␈α
the␈α
n␈α␈ew␈αro␈α␈w␈α
(0,␈↓ λ=␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λi␈εβ,␈αε0,␈↓ 	↔␈ε	m␈↓ 	5␈εβ).␈αFor␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
W␈ε	i␈↓ 
m␈εβ<␈↓ ↔␈ε	t␈↓ #␈εβ,
␈β⊂Z␈↓ β∪␈εi␈↓ β≥␈εt␈↓ ε~␈εt
␈β⊂t␈↓ βW␈εα(␈↓ ¬k␈εα)
␈β⊂w␈↓ α␈εβset␈↓ α?␈ε	q␈↓ αW␈ε↔ ␈↓ βα␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ βc␈εβ(␈↓ βn␈ε	v␈↓ ∧∀␈ε	r␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧g␈ε	v␈↓ ¬
␈ε	r␈↓ ¬2␈εβ)/␈↓ ¬N␈ε	m␈↓ ¬w␈εβ,␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε7␈ε↔ ␈↓ εb␈ε	v␈↓ πλ␈ε	r␈↓ π4␈εβ+␈↓ π[␈ε	v␈↓ λ↓␈ε	r␈↓ λ-␈ε↔␈␈↓ λU␈ε	q␈↓ λc␈ε	m␈↓ 	↓␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ 	U␈ε	U␈↓ 	⎇␈ε↔ ␈↓ 
'␈ε	U␈↓ 
M␈εβ+␈↓ 
t␈ε	q␈↓ β␈ε	U␈↓ #␈εβ.
␈β⊃↓␈↓ β⎇␈εi␈↓ ∧π␈εε1␈↓ ∧ ␈εε1␈α␈2␈↓ ∧v␈εi␈↓ ¬↓␈εε2␈↓ ¬→␈εε22␈↓ ε~␈εi␈↓ ε%␈εt␈↓ εq␈εi␈↓ ε{␈εε1␈↓ π∀␈εε1␈α␈2␈↓ πj␈εi␈↓ πu␈εε2␈↓ λ
␈εε22␈↓ 	j␈εt␈↓ 
=␈εt␈↓ →␈εi
␈β⊃≡␈↓ α␈εβFinally␈αse␈α␈t␈↓ β3␈ε	s␈↓ βJ␈ε↔ ␈↓ βt␈εβmin␈↓ ∧,␈εβ(␈↓ ∧7␈ε	s␈↓ ∧D␈εβ,␈↓ ∧S␈ε	U␈↓ ∧z␈ε↔↓␈↓ ¬
␈ε	U␈↓ ¬)␈εβ),␈↓ ¬I␈ε	k␈↓ ¬b␈ε↔ ␈↓ ε
␈ε	t␈↓ ε→␈εβ,␈↓ ε-␈ε	j␈↓ εE␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈.
␈β⊃)␈↓ ∧i␈εt␈↓ ¬ ␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα631
␈βα&␈↓ λU␈εk
␈βα*␈↓ α␈εβ[A␈αλsimilar␈αλg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈απap␈α␈plies␈αλto␈απall␈αλseq␈α␈uen␈α␈ces␈απof␈αλlen␈α␈gth␈↓ λD␈ε	p␈↓ λe␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απde|␈α␈ned␈απb␈α␈y␈απ3.2.2↑8␈α␈.
␈βαR␈↓ ↓H␈εβAd␈α␈dition␈α␈al␈απn␈α␈u␈α␈merical␈απex␈α␈amp␈α␈les␈απha␈α␈v␈α␈e␈απb␈α␈een␈απg␈α␈iv␈α␈en␈αεby␈απA.␈απGru␈α␈be,␈ε⊂␈αλZeitsch␈α␈ri␈α↓ft␈απf␈↓ 	Z␈ε⊂u␈↓ 	[␈ε⊂∪␈↓ 	l␈ε⊂r␈απang␈α␈ewan␈α␈dte
␈βαy␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈αu␈α␈nd␈α
Mec␈α␈han␈α␈ik␈ε∪␈α53␈εβ␈α
(197␈α␈3),␈αT2␈α␈23↑␈α␈T225␈α␈.]
␈ββ→␈↓ π=␈ε↓P
␈ββ4␈↓ 
+␈εε1
␈ββ8␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβThe␈απgiv␈α}en␈απsum␈απis␈αλa␈α␈t␈αλm␈α␈ost␈αλt␈α␈w␈α␈o␈απtimes␈απth␈α␈e␈αλq␈α␈uan␈α}tity␈↓ λt␈ε	r␈↓ 	β␈εβ(␈↓ 	∞␈ε	d␈↓ 	 ␈ε	k␈↓ 	1␈εβ)␈α	=␈α
1␈αα+␈↓ 
=␈ε	f␈↓ 
M␈εβ(␈↓ 
X␈ε	m␈↓ 
u␈εβ/␈↓ ε␈ε	d␈↓ _␈εβ),
␈ββF␈↓ 
*␈∧βF
*α∂
␈ββH␈↓ 
*␈εd
␈ββJ␈↓ πc␈εε0␈ε~∀␈↓ λ	␈εk␈↓ λ⊗␈ε~∀␈↓ λ0␈εm␈↓ λG␈εε/␈α␈2␈↓ λ`␈εd
␈ββ←␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere
␈β∧E␈↓ β←␈ε↓X
␈β∧T␈↓ β~␈εβ1
␈β∧j␈↓ α→␈ε	f␈↓ α)␈εβ(␈↓ α4␈ε	m␈↓ αQ␈εβ)␈↓ αf␈εβ=␈↓ ∧=␈εβcs␈α␈c␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ∧r␈ε	→␈↓ ¬¬␈ε	k␈↓ ¬∃␈εβ/␈↓ ¬&␈ε	m␈↓ ¬C␈εβ)
␈β∧x␈↓ β∀␈∧∧xβ∀α≡
␈β¬α␈↓ β∀␈ε	m
␈β¬≤␈↓ β:␈εε1␈ε~∀␈↓ β`␈εk␈↓ βm␈ε~∀␈↓ ∧π␈εm␈↓ ∧≡␈εε/2
␈β¬9␈↓ λ|␈ε↓␈
␈β¬B␈↓ β:␈ε↓Z
␈β¬D␈↓ λ∩␈ε↓⊂␈↓ λj␈ε↓⊃
␈β¬J␈↓ β↑␈εm␈↓ βv␈εε/␈α␈2
␈β¬L␈↓ 	λ␈εm␈↓ 	 ␈εε/␈α␈2
␈β¬O␈↓ λ|␈ε↓␈
␈β¬T␈↓ ε→␈ε↓∩␈↓ εS␈ε↓∪␈↓ 
↓␈ε↓∩␈↓ 
<␈ε↓∪
␈β¬[␈↓ β~␈εβ1␈↓ ε9␈εβ1␈↓ π"␈εβ1␈↓ λ5␈ε	→␈↓ 
!␈εβ1
␈β¬e␈↓ λ|␈ε↓␈
␈β¬q␈↓ αf␈εβ=␈↓ ∧∃␈εβc␈α␈sc␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	→␈↓ ∧]␈ε	x␈↓ ∧n␈εβ/␈↓ ∧␈␈ε	m␈↓ ¬≤␈εβ)␈↓ ¬-␈ε	d␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬X␈εβ+␈↓ ε↓␈ε	O␈↓ εs␈εβ=␈↓ π;␈εβln␈↓ π\␈εβtan␈↓ λY␈ε	x␈↓ 	@␈εβ+␈↓ 	i␈ε	O␈↓ 
R␈εβ.
␈β¬z␈↓ λ|␈ε↓␈
␈β¬␈␈↓ β∀␈∧¬␈β∀α≡␈↓ ε2␈∧¬␈ε2α≡␈↓ π!␈∧¬␈π!α∪␈↓ λ'␈∧¬␈λ'α.␈↓ 
≠␈∧¬␈
≠α≡
␈βελ␈↓ β∀␈ε	m␈↓ ε2␈ε	m␈↓ π!␈ε	→␈↓ λ'␈εβ2␈↓ λ8␈ε	m␈↓ 
≠␈ε	m
␈βε∀␈↓ βN␈εε1
␈βε≤␈↓ 	λ␈εε1
␈βεF␈↓ ∧≤␈ε↓P
␈βεd␈↓ ↓H␈εβ[Whe␈α␈n␈↓ α1␈ε	d␈↓ αM␈εβ=␈α	1,␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ ¬+␈ε	r␈↓ ¬:␈εβ(␈↓ ¬E␈ε	k␈↓ ¬U␈εβ)␈α	=␈α
(2/␈↓ ε@␈ε	→␈↓ εS␈εβ)␈↓ εd␈εβln␈↓ π¬␈ε	m␈↓ π)␈εβ+␈αλ1␈απ+␈αλ(2/␈↓ λ?␈ε	→␈↓ λR␈εβ)␈↓ λb␈εβl␈α↓n␈↓ λ}␈εβ(2␈↓ 	~␈ε	e␈↓ 	'␈εβ/␈↓ 	8␈ε	→␈↓ 	J␈εβ)␈αλ+␈↓ 
¬␈ε	O␈↓ 
≥␈εβ(1/␈↓ 
J␈ε	m␈↓ 
g␈εβ).]
␈βεv␈↓ ∧B␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧h␈εk␈↓ ∧u␈εε<␈↓ ¬∞␈εm
␈βπ&␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αm␈ε	m␈↓ β∀␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αc␈α␈ann␈α␈ot␈αuse␈α(52␈α␈)␈αsin␈α␈ce␈↓ εQ␈ε	k␈↓ εm␈εβwi␈α↓ll␈αbe␈αzero␈α␈.␈α
If␈↓ λK␈εβgcd␈↓ λ⎇␈εβ(␈↓ 	λ␈ε	q␈↓ 	↔␈εβ,␈↓ 	&␈ε	m␈↓ 	C␈εβ)␈α
=␈↓ 
β␈ε	d␈↓ 
⊗␈εβ,␈αth␈α␈e␈αsame
␈βπH␈↓ 
∧␈εe
␈βπI␈↓ 
V␈εe
␈βπM␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eriva␈α␈tion␈α
go␈α␈es␈α
thro␈α␈ug␈α␈h␈α
with␈↓ ∧u␈ε	m␈↓ ¬≥␈εβre␈α␈place␈α␈d␈α
by␈↓ εO␈ε	m␈↓ εl␈εβ/␈↓ ε|␈ε	d␈↓ π∂␈εβ.␈αS␈α␈up␈α␈pose␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ 	"␈ε	m␈↓ 	H␈εβ=␈↓ 	s␈ε	p␈↓ 
→␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
F␈ε	p␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βπP␈↓ 
∞␈επ1␈↓ 
a␈ε
r
␈βπ]␈↓ 
V␈εr
␈βπ↑␈↓ 
∧␈εε1
␈βπp␈↓ βM␈εf␈↓ ¬S␈εd
␈βπq␈↓ ∧≡␈εf␈↓ ε(␈εd
␈βπu␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	a␈↓ α~␈ε↔␈␈εβ␈α¬1,␈↓ α`␈ε	m␈↓ α⎇␈εβ)␈α	=␈↓ β<␈ε	p␈↓ βa␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧<␈εβand␈↓ ∧{␈ε	d␈↓ ¬↔␈εβ=␈↓ ¬B␈ε	p␈↓ ¬k␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε↔␈ε	p␈↓ εA␈εβ.␈α
I␈α↓f␈↓ εt␈ε	m␈↓ π≠␈εβis␈α	rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α	b␈α␈y␈↓ λj␈ε	m␈↓ 	π␈εβ/␈↓ 	_␈ε	d␈↓ 	4␈εβth␈α␈en␈↓ 	}␈ε	s␈↓ 
∃␈εβis␈α	rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced
␈βπx␈↓ βV␈επ1␈↓ ∧'␈ε
r␈↓ ¬←␈επ1␈↓ ε5␈ε
r
␈βλ∧␈↓ ∧≡␈εr␈↓ ε(␈εr
␈βλ¬␈↓ βM␈εε1␈↓ ¬S␈εε1
␈βλ↔␈↓ α	␈εεma␈α␈x␈↓ α8␈εε(␈α↓0␈α␈,␈↓ αT␈εe␈↓ αj␈ε~␈␈↓ ββ␈εf␈↓ β↔␈ε~␈␈↓ β0␈εd␈↓ βI␈εε)
␈βλ→␈↓ ∧∞␈εεmax␈↓ ∧>␈εε(0,␈↓ ∧Z␈εe␈↓ ∧p␈ε~␈␈↓ ¬	␈εf␈↓ ¬≡␈ε~␈␈↓ ¬7␈εd␈↓ ¬P␈εε)
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈↓ ↓x␈ε	p␈↓ βQ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⎇␈ε	p␈↓ ¬X␈εβ.
␈βλ∨␈↓ α←␈επ1␈↓ β␈επ1␈↓ β=␈επ1␈↓ ∧d␈ε
r␈↓ ¬∩␈ε
r␈↓ ¬D␈ε
r
␈βλ,␈↓ ∧∞␈εr
␈βλ-␈↓ α	␈εε1
␈βλ=␈↓ λT␈ε↓P
␈βλ[␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβThe␈α	resu␈α␈lt␈α
is␈α	clear␈α	if␈↓ ∧5␈ε	↔␈↓ ∧V␈εβis␈α
sm␈α␈all,␈α
say␈↓ ε∞␈ε	↔␈↓ ε/␈εβ<␈α	2(␈↓ εu␈ε	t␈↓ πε␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈),␈α
beca␈α␈use␈↓ λ␈␈ε	r␈↓ 	∞␈εβ(␈↓ 	→␈ε	u␈↓ 	9␈εβ,␈↓ 	H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	t␈εβ,␈↓ 
β␈ε	u␈↓ 
 ␈εβ)␈α	sum␈α␈med
␈βλa␈↓ β↔␈ε↓␈␈↓ ∧T␈ε↓↓
␈βλe␈↓ ∧C␈εt␈↓ ε≤␈εt␈↓ 	,␈εε1␈↓ 
⊗␈εt
␈βλ}␈↓ ∧K␈εt
␈βλ␈␈↓ β%␈εα(␈↓ ∧?␈εα)
␈β	α␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈ε⊂␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ α>␈ε	u␈↓ α]␈εβis␈↓ α}␈ε	O␈↓ β1␈εβ(2␈α␈/␈↓ β]␈ε	→␈↓ βo␈εβ)␈↓ ∧␈εβln␈↓ ∧!␈ε	m␈↓ ∧b␈εβ.
␈β	-␈↓ α␈εβIf␈↓ α/␈ε	↔␈↓ αT␈εβi␈α↓s␈α
larg␈α␈e,␈α∞it␈α∞is␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈nien␈α␈t␈α
to␈α
u␈α␈se␈α
the␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α
fun␈α␈ctions␈α␈:␈↓ 	∪␈ε	~␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	A␈εβ)␈α
=␈α
1␈α
if␈↓ 
F␈ε	x␈↓ 
d␈εβ=␈α∞0␈α␈,
␈β	8␈↓ α=␈εt
␈β	U␈↓ ↓H␈ε	~␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∂=␈↓ α?␈ε	x␈↓ α←␈εβif␈α∂0␈α∞<␈↓ βQ␈ε	x␈↓ βq␈ε↔∀␈↓ ∧"␈ε	m␈↓ ∧?␈εβ/␈α␈2,␈↓ ∧y␈ε	~␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	x␈↓ ¬&␈εβ)␈α∂=␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε↔␈ε↔␈␈↓ εB␈ε	x␈↓ εb␈εβif␈↓ π∧␈ε	m␈↓ π"␈εβ/␈α␈2␈α∂<␈↓ λα␈ε	x␈↓ λ"␈εβ<␈↓ λR␈ε	m␈↓ λp␈εβ;␈↓ 		␈εβtru␈α␈nc␈↓ 	W␈εβ(␈↓ 	b␈ε	x␈↓ 	s␈εβ)␈α∂=␈ε↔␈α∂b␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
[␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α∞if
␈β	|␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α∀␈↓ α∪␈ε	x␈↓ α1␈ε↔∀␈↓ α←␈ε	m␈↓ α|␈εβ/2␈α␈,␈↓ β4␈εβtrun␈α␈c␈↓ ∧α␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧≡␈εβ)␈α
=␈↓ ∧d␈ε	m␈↓ ¬
␈ε↔␈␈α	b␈εβ(␈↓ ¬L␈ε	m␈↓ ¬r␈ε↔␈␈↓ ε≤␈ε	x␈↓ ε.␈εβ)/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈α
if␈↓ π∃␈ε	m␈↓ π3␈εβ/␈α␈2␈α
<␈↓ λ∂␈ε	x␈↓ λ-␈εβ<␈↓ λZ␈ε	m␈↓ λx␈εβ;␈↓ 	∂␈ε	L␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	x␈↓ 	B␈εβ)␈α=␈α
1␈α
if␈↓ 
G␈ε	x␈↓ 
e␈εβ=␈α
0␈α␈,
␈β
!␈↓ ε`␈εα(␈↓ λV␈εα)
␈β
$␈↓ ↓H␈ε	L␈↓ ↓↑␈εβ(␈↓ ↓i␈ε	x␈↓ ↓z␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α
b␈↓ αF␈εβl␈α↓g␈↓ αf␈ε	x␈↓ αw␈ε↔c␈εβ␈αλ+␈απ1␈αi␈α↓f␈α0␈α	<␈↓ ∧5␈ε	x␈↓ ∧O␈ε↔∀␈↓ ∧z␈ε	m␈↓ ¬↔␈εβ/2,␈↓ ¬M␈ε	L␈↓ ¬c␈εβ(␈↓ ¬n␈ε	x␈↓ ε␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
␈␈↓ εl␈ε↔b␈↓ εy␈εβl␈α↓g␈↓ π∪␈εβ(␈↓ π≡␈ε	m␈↓ πC␈ε↔␈␈↓ πl␈ε	x␈↓ π⎇␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈αλ+␈απ1␈↓ λm␈εβi␈α↓f␈↓ 	
␈ε	m␈↓ 	*␈εβ/2␈α	<␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
~␈εβ<␈↓ 
E␈ε	m␈↓ 
b␈εβ;␈αa␈α␈nd
␈β
G␈↓ β'␈ε~j␈↓ β.␈εx␈↓ β=␈ε~j␈␈εε1
␈β
H␈↓ αk␈εα(␈↓ βi␈εα)␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬v␈εα)␈↓ π<␈εα(␈↓ λε␈εα)
␈β
K␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓Q␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	x␈↓ ↓m␈εβ)␈α
=␈↓ α,␈εβmax␈↓ αw␈εβ1,␈↓ β↔␈εβ2␈↓ βu␈εβ.␈αNo␈α␈te␈αtha␈α␈t␈↓ ¬#␈ε	l␈↓ ¬8␈ε	L␈↓ ¬O␈εβ(␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ¬k␈εβ)␈↓ ε␈ε↔∀␈↓ ε6␈ε	~␈↓ εG␈εβ(␈↓ εR␈ε	x␈↓ εc␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈εβ␈α	2␈↓ π3␈ε	l␈↓ πH␈ε	L␈↓ π↑␈εβ(␈↓ πi␈ε	x␈↓ π{␈εβ)␈↓ λ∩␈εβ.
␈β
v␈↓ α␈εβSa␈α␈y␈αλth␈α␈at␈αλa␈απv␈α␈ec␈α␈tor␈αλ(␈↓ ∧∀␈ε	u␈↓ ∧4␈εβ,␈↓ ∧B␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧o␈εβ,␈↓ ∧}␈ε	u␈↓ ¬~␈εβ)␈α	is␈ε⊂␈αλb␈α␈ad␈εβ␈απif␈α	it␈αλis␈αλn␈α␈on␈α␈zero␈αλa␈α␈nd␈απsatis|␈α␈es␈αλ(15).␈α
By␈αλh␈α}yp␈α␈oth␈α␈esis,
␈β↓␈↓ ∧'␈εε1␈↓ ¬⊃␈εt
␈β→␈↓ ∧_␈εε2␈↓ ¬.␈εε2␈↓ ¬}␈εε2
␈β≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αλb␈α␈ad␈απv␈α}ectors␈απsatisfy␈↓ ∧∧␈ε	u␈↓ ∧(␈εβ+␈↓ ∧L␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧v␈εβ+␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬D␈ε↔∃␈↓ ¬n␈ε	↔␈↓ ε∀␈ε↔∃␈εβ␈α	2(␈↓ εZ␈ε	t␈↓ εi␈ε↔␈␈εβ␈αβ1),␈αλand␈απit␈αλfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈απthat␈↓ 	E␈ε	~␈↓ 	V␈εβ(␈↓ 	a␈ε	u␈↓ 
↓␈εβ)␈↓ 
∩␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
>␈ε	~␈↓ 
O␈εβ(␈↓ 
Z␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∃
␈β'␈↓ ↓H␈ε↓p
␈β(␈↓ 	t␈εε1␈↓ 
m␈εt
␈β-␈↓ ∧_␈εε1␈↓ ¬.␈εt␈↓ ¬}␈εt
␈βB␈↓ ↓l␈∧B↓lα↓0
␈βD␈↓ ∧_␈∧D∧_α⊃
␈βE␈↓ βw␈ε↔p
␈βG␈↓ 	,␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈βH␈↓ ↓{␈εε2
␈βJ␈↓ ↓l␈ε	↔␈↓ α∂␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ αC␈ε	t␈↓ αV␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ β$␈ε↔∃␈↓ βO␈ε	↔␈↓ βf␈εβ/␈↓ ∧_␈εβ2␈↓ ∧)␈εβ.␈α
T␈α↓h␈α␈e␈α	v␈α␈e␈α␈ctor␈α	(␈↓ ¬m␈ε	u␈↓ ε
␈εβ,␈↓ ε≤␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εH␈εβ,␈↓ εW␈ε	u␈↓ εt␈εβ)␈α	is␈α	said␈α	to␈α	b␈α␈e␈α	in␈α	class␈↓ 	8␈ε	L␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Y␈ε	u␈↓ 	y␈εβ),␈↓ 
∪␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
N␈ε	L␈↓ 
d␈εβ(␈↓ 
o␈ε	u␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈βU␈↓ β\␈εt␈↓ ε␈εε1␈↓ εj␈εt␈↓ 	l␈εε1␈↓ α␈εt
␈βY␈↓ ↓{␈εt
␈βn␈↓ ¬[␈εt
␈βr␈↓ ↓H␈εβth␈α}us␈α∂th␈α␈ere␈α∂are␈α∂a␈α␈t␈α∂most␈α∂(2␈↓ ∧M␈εβlg␈↓ ∧m␈ε	m␈↓ ¬∀␈εβ+␈α1␈↓ ¬P␈εβ)␈↓ ¬t␈εβclasses␈α␈,␈α⊃an␈α␈d␈α∂clas␈α␈s␈α⊂(␈↓ λ∞␈ε	L␈↓ λ0␈εβ,␈↓ λ>␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λk␈εβ,␈↓ λz␈ε	L␈↓ 	→␈εβ)␈α∂co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∂at␈α∂mos␈α␈t
␈β|␈↓ λ#␈εε1␈↓ 	∂␈εt
␈β→␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓Q␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	L␈↓ ↓}␈εβ)␈↓ α∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α;␈ε	l␈↓ αD␈εβ(␈↓ αO␈ε	L␈↓ αn␈εβ)␈αv␈α}ectors.␈αOu␈α␈r␈αp␈α␈roof␈α
i␈α↓s␈α
ba␈α␈sed␈α
on␈α
sho␈α}w␈α↓in␈α␈g␈αth␈α␈at␈α
the␈α
bad␈α
v␈α}ector␈α␈s␈αin␈αe␈α␈ach␈α
|x␈α}ed
␈β#␈↓ ¬~␈ε↓P
␈β$␈↓ ↓q␈εε1␈↓ αd␈εt
␈βA␈↓ ↓H␈εβc␈α␈l␈α↓a␈α␈ss␈αcon␈α}tri␈α↓b␈α␈ut␈α␈e␈αonly␈↓ β␈␈ε	O␈↓ ∧↔␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ ∧D␈ε	↔␈↓ ∧[␈εβ)␈αto␈↓ ¬F␈ε	r␈↓ ¬T␈εβ(␈↓ ¬`␈ε	u␈↓ ¬␈␈εβ,␈↓ ε∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε:␈εβ,␈↓ εI␈ε	r␈↓ ε←␈εβ).
␈βK␈↓ ∧R␈εt␈↓ ¬s␈εε1␈↓ εU␈εt
␈βj␈↓ ∧␈∧j∧α⊃
␈βk␈↓ βj␈ε↔p
␈βp␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	⊗␈↓ αe␈εβ=␈ε↔␈α
d␈↓ β"␈εβlg␈↓ βB␈ε	↔␈↓ βY␈εβ/␈↓ ∧␈εβ2␈↓ ∧#␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔e␈εβ.␈αThe␈↓ ¬C␈ε	⊗␈↓ ¬U␈ε⊂-fold␈αtrun␈α␈ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αop␈α␈erato␈α␈r␈εβ␈αon␈αa␈αv␈α}ecto␈α␈r␈αis␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αto
␈βz␈↓ βP␈εt
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α
t␈α␈he␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αop␈α␈eration␈αrep␈α␈ea␈α␈ted␈↓ ¬]␈ε	⊗␈↓ ¬|␈εβtimes:␈α∞\Let␈↓ π0␈ε	j␈↓ πL␈εβb␈α␈e␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈imal␈α
su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ 
∀␈ε	~␈↓ 
$␈εβ(␈↓ 
0␈ε	u␈↓ 
O␈εβ)␈α>␈α1␈α␈,
␈β
"␈↓ 
C␈εj
␈β
<␈↓ 	I␈εα(
␈β
?␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
rep␈α␈lace␈↓ α}␈ε	u␈↓ β+␈εβb␈α␈y␈↓ β]␈εβtrun␈α␈c␈↓ ∧+␈εβ(␈↓ ∧6␈ε	u␈↓ ∧U␈εβ);␈α∂bu␈α␈t␈α∞d␈α␈o␈α
noth␈α␈ing␈α
if␈↓ ππ␈ε	~␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	u␈↓ πB␈εβ)␈α
=␈α∞1␈α
for␈α
all␈↓ 	∞␈ε	j␈↓ 	≥␈εβ."␈↓ 	U␈εβThis␈α∞o␈α␈pe␈α␈ration
␈β
J␈↓ β⊃␈εj␈↓ ∧I␈εj␈↓ π6␈εj
␈β
c␈↓ 	j␈ε~0␈↓ 
U␈ε~0
␈β
d␈↓ 	∞␈εα)
␈β
g␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ssen␈α␈tially␈α
th␈α␈ro␈α␈ws␈α
away␈α
o␈α␈ne␈α
b␈α␈i␈α↓t␈α
of␈α
info␈α␈rmation␈α
a␈α␈bo␈α␈ut␈α
(␈↓ πs␈ε	u␈↓ λ∪␈εβ,␈↓ λ"␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λN␈εβ,␈↓ λ]␈ε	u␈↓ λz␈εβ).␈↓ 	'␈εβI␈α↓f␈α
(␈↓ 	V␈ε	u␈↓ 	w␈εβ,␈↓ 
¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
2␈εβ,␈↓ 
A␈ε	u␈↓ 
↑␈εβ)␈α∞a␈α␈nd
␈β
q␈↓ λε␈εε1␈↓ λp␈εt
␈β
v␈↓ 	j␈εε1␈↓ 
U␈εt
␈β∞
␈↓ ↓g␈ε~00␈↓ αQ␈ε~0␈α↓0
␈β∞∞␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓s␈εβ,␈↓ αα␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α/␈εβ,␈↓ α=␈ε	u␈↓ α↑␈εβ)␈α	are␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	v␈α␈ecto␈α␈rs␈α	of␈α
t␈α␈he␈α	sam␈α␈e␈α
c␈α␈l␈α↓a␈α␈ss␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	th␈α␈e␈α
sa␈α␈me␈↓ λD␈ε	⊗␈↓ λV␈εβ-␈α↓fo␈α␈l␈α↓d␈αλtrun␈α␈cation␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α	say
␈β∞≥␈↓ ↓g␈εε1␈↓ αQ␈εt
␈β∞0␈↓ ∪␈∧∞0∪α⊃
␈β∞1␈↓ 
q␈ε↔p
␈β∞2␈↓ π¬␈ε~0␈↓ πX␈ε~00␈↓ λR␈ε~0␈↓ 	!␈ε~00␈↓ 
α␈ε⊗
␈β∞6␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ey␈αar␈α␈e␈ε⊂␈α
similar␈↓ β1␈εβ;␈α
i␈α↓n␈αth␈α␈is␈α
ca␈α␈se␈α
it␈αfollo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈↓ εU␈ε	~␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε	u␈↓ π~␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	u␈↓ πd␈εβ)␈↓ πu␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ!␈ε	~␈↓ λ2␈εβ(␈↓ λ>␈ε	u␈↓ λd␈ε↔␈␈↓ 	
␈ε	u␈↓ 	.␈εβ)␈ε↔␈α∀␈↓ 	q␈εβ2␈↓ 
≤␈εβ<␈↓ 
I␈ε	↔␈↓ 
a␈εβ/␈↓ ∪␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β∞@␈↓ 
W␈εt
␈β∞E␈↓ π¬␈εε1␈↓ πX␈εε1␈↓ λR␈εt␈↓ 	!␈εt
␈β∞Z␈↓ ε ␈εα(␈↓ 
k␈εα)
␈β∞]␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
a␈α␈n␈α␈y␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλv␈α␈ec␈α␈tors␈α	o␈α␈f␈α	th␈α␈e␈α	fo␈α␈rm␈↓ ε,␈εβ(1␈↓ εH␈ε	x␈↓ εd␈ε	x␈↓ π␈εβ)␈↓ π↔␈εβ,␈αε0,␈↓ πF␈ε	m␈↓ πg␈ε↔␈␈εβ␈α∧(1␈↓ λ(␈ε	x␈↓ λD␈εβ)␈↓ λ\␈εβ,␈α¬(␈α↓1␈α␈01␈↓ 	(␈ε	x␈↓ 	D␈ε	x␈↓ 	`␈εβ)␈↓ 	w␈εβ,␈αε(11␈α␈01␈↓ 
T␈εβ)␈↓ ␈εβare
␈β∞h␈↓ εW␈εε2␈↓ εs␈εε1␈↓ π␈εε2␈↓ λ7␈εε3␈↓ λO␈εε2␈↓ 	7␈εε5␈↓ 	S␈εε4␈↓ 	k␈εε2␈↓ 
←␈εε2
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εβsimilar␈α	when␈↓ β	␈ε	m␈↓ β/␈εβi␈α↓s␈α	large␈α	an␈α␈d␈↓ ∧↑␈ε	⊗␈↓ ∧z␈εβ=␈α	5;␈α
the␈↓ ε␈ε	⊗␈↓ ε∩␈εβ-fold␈α	trun␈α␈cation␈α	o␈α␈pera␈α␈tor␈α	suc␈α␈cessiv␈α␈ely␈α	rem␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈s
␈β∂-␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓d␈εβ,␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α∃␈εβ,␈↓ α+␈ε	x␈↓ αG␈εβ,␈↓ α]␈ε	x␈↓ αy␈εβ,␈↓ β∂␈ε	x␈↓ β+␈εβ.␈α∂S␈α␈ince␈αth␈α␈e␈αdi{eren␈α␈ce␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αba␈α␈d␈αv␈α␈ec␈α␈tors␈αsatis|␈α␈es␈α(␈α↓1␈α␈5),␈α
it␈αis␈α
imp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e
␈β∂7␈↓ ↓W␈εε1␈↓ α	␈εε2␈↓ α;␈εε3␈↓ αl␈εε4␈↓ β≡␈εε5
␈β∂T␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αun␈α␈equ␈α␈al␈α
b␈α␈ad␈αv␈α␈e␈α␈ctors␈αto␈α
b␈α␈e␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α␈.␈α⊂There␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈α
c␈α␈l␈α↓a␈α␈ss␈α
(␈↓ λ7␈ε	L␈↓ λY␈εβ,␈↓ λg␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∀␈εβ,␈↓ 	#␈ε	L␈↓ 	B␈εβ)␈αcan␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈αa␈α␈t
␈β∂←␈↓ λL␈εε1␈↓ 	8␈εt
␈β∂x␈↓ ∧U␈ε⊗
␈β∂y␈↓ αV␈εα(␈↓ ∧c␈εα)
␈β∂|␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈↓ α↔␈εβmax␈↓ αb␈εβ1,␈↓ βα␈ε	l␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	L␈↓ β8␈εβ)␈↓ βH␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βu␈ε	l␈↓ β}␈εβ(␈↓ ∧	␈ε	L␈↓ ∧(␈εβ)/␈↓ ∧D␈εβ2␈↓ ∧y␈εβb␈α␈ad␈α	v␈α}ecto␈α␈rs.␈αIf␈α
c␈α␈l␈α↓a␈α␈ss␈α
(␈↓ π)␈ε	L␈↓ πK␈εβ,␈↓ πY␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λε␈εβ,␈↓ λ∃␈ε	L␈↓ λ3␈εβ)␈α
co␈α␈n␈α␈tain␈α␈s␈α
e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈αλone␈α	b␈α␈ad
␈β⊂ε␈↓ β+␈εε1␈↓ ∧≡␈εt␈↓ π>␈εε1␈↓ λ*␈εt
␈β⊂≥␈↓ 	~␈∧⊂≥	~α⊃
␈β⊂∨␈↓ λx␈ε↔p
␈β⊂#␈↓ ↓H␈εβv␈α}ecto␈α␈r␈α∂(␈↓ α;␈ε	u␈↓ α[␈εβ,␈↓ αj␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⊗␈εβ,␈↓ β%␈ε	u␈↓ βB␈εβ),␈α⊂w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧n␈ε	r␈↓ ∧|␈εβ(␈↓ ¬π␈ε	u␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ ¬6␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬b␈εβ,␈↓ ¬q␈ε	u␈↓ ε∞␈εβ)␈ε↔␈α⊂∀␈εβ␈α⊂1␈α␈/␈↓ ε{␈ε	~␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	u␈↓ π7␈εβ)␈↓ πG␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πt␈ε	~␈↓ λ¬␈εβ(␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ-␈εβ)␈ε↔␈α∂∀␈↓ 	~␈εβ2␈↓ 	*␈εβ/␈↓ 	;␈ε	↔␈↓ 	R␈εβ;␈α∩if␈α∂it␈α∂con␈α}tain␈α␈s
␈β⊂.␈↓ αO␈εε1␈↓ β8␈εt␈↓ ¬~␈εε1␈↓ ε∧␈εt␈↓ π*␈εε1␈↓ λ#␈εt␈↓ 	I␈εt
␈β⊂G␈↓ βE␈ε⊗
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ε↔∀␈↓ ↓r␈ε	l␈↓ ↓{␈εβ(␈↓ αε␈ε	L␈↓ α(␈εβ)␈↓ α9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αe␈ε	l␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	L␈↓ β→␈εβ)/␈↓ β4␈εβ2␈↓ β←␈εβb␈α␈ad␈αv␈α}ecto␈α␈rs,␈αe␈α␈ach␈α
of␈αthem␈α
has␈↓ π≡␈ε	r␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	u␈↓ πW␈εβ,␈↓ πf␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ∩␈εβ,␈↓ λ!␈ε	u␈↓ λ>␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
1␈α␈/␈↓ 	≡␈ε	l␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	L␈↓ 	T␈εβ)␈↓ 	e␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
⊃␈ε	l␈↓ 
~␈εβ(␈↓ 
&␈ε	L␈↓ 
D␈εβ)␈α↓.
␈β⊂V␈↓ α≤␈εε1␈↓ β∂␈εt␈↓ πJ␈εε1␈↓ λ4␈εt␈↓ 	H␈εε1␈↓ 
;␈εt
␈β⊂s␈↓ α␈εα[
␈β⊂v␈↓ α⊗␈εβKoro␈α␈bo␈α}v's␈α
te␈α␈st,␈α
men␈α␈t␈α␈i␈α↓o␈α␈ned␈αa␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α
s␈α␈ection␈α␈,␈α∞wa␈α␈s␈α
to␈α|␈α␈nd␈αth␈α␈e␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um
␈β⊃~␈↓ ε∪␈εα]
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	~␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α␈ε	u␈↓ α*␈εβ)␈↓ α;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αg␈ε	~␈↓ αx␈εβ(␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β ␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈αall␈αb␈α␈ad␈α
(␈↓ ∧y␈ε	u␈↓ ¬_␈εβ,␈↓ ¬'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬S␈εβ,␈↓ ¬b␈ε	u␈↓ ¬␈␈εβ).
␈β⊃(␈↓ α≡␈εε1␈↓ β⊗␈εt␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬u␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα632␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα∧␈↓ ε"␈ε↓P
␈βα≡␈↓ β-␈εε2␈↓ β9␈ε→␈↓ βH␈εi␈↓ βS␈εε/(␈↓ βh␈εm␈↓ β␈␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ πk␈εx␈↓ λ/␈εj␈↓ λ;␈εk
␈βα"␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβLet␈↓ αN␈ε	⊂␈↓ αm␈εβ=␈↓ β ␈ε	e␈↓ ∧>␈εβa␈α␈nd␈α∂let␈↓ ¬8␈ε	S␈↓ ¬o␈εβ=␈↓ πU␈ε	|␈↓ λ!␈ε	⊂␈↓ λH␈εβ.␈α~The␈α⊂a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈α⊂of␈α⊂(5␈α␈1)␈α⊂is
␈βα%␈↓ πx␈ε
j␈↓ λβ␈επ+␈↓ λ~␈ε
l
␈βα-␈↓ ¬I␈εk␈↓ ¬V␈εl
␈βα3␈↓ εV␈ε↓P
␈βα5␈↓ εH␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ εn␈εj␈↓ εz␈εε<␈↓ π∪␈εm␈↓ π*␈ε~␈␈εε1
␈βαM␈↓ ε+␈ε~␈␈εε1␈↓ π}␈εx
␈βαN␈↓ εα␈ε⊗j␈↓ λ≠␈ε⊗j␈↓ λp␈εα(␈↓ 
T␈εα)
␈βαO␈↓ αZ␈∧αOαZα≡␈↓ 	)␈∧αO	)α≡
␈βαP␈↓ α8␈ε↔p␈↓ 	λ␈ε↔p
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	S␈↓ ↓{␈ε↔j␈εβ␈α
=␈↓ αZ␈ε	m␈↓ αw␈εβ,␈α	he␈α␈nce␈αλth␈α␈e␈αλan␈α␈alog␈αλo␈α␈f␈α	(53␈α␈)␈α	is␈↓ ε␈ε	N␈↓ πi␈ε	|␈↓ λ.␈εβ=␈↓ λX␈ε	O␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	)␈ε	m␈↓ 	L␈εβlog␈↓ 	|␈ε	m␈↓ 
→␈εβ)/␈↓ 
5␈ε	N␈↓ 
`␈εβ.␈α
The
␈βαS␈↓ λ␈ε
n
␈βα[␈↓ ↓b␈εk␈↓ ↓o␈εε0
␈βαc␈↓ ε|␈εε0␈ε~∀␈↓ π"␈εn␈↓ π2␈εε<␈↓ πL␈εN
␈βαx␈↓ ↓H␈εβa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈αthe␈α␈orem␈αn␈α␈o␈α␈w␈αstate␈α␈s␈αthat
␈ββC␈↓ ¬v␈ε↓␈␈↓ π~␈ε↓↓
␈ββH␈↓ β)␈ε↓∩␈↓ ¬_␈ε↓∪␈↓ 	 ␈ε↓∩␈↓ 
+␈ε↓∪
␈ββK␈↓ ∧e␈εt␈↓ ∧o␈εε+1␈↓ 
≡␈εt
␈ββM␈↓ βd␈∧βMβdα≡
␈ββN␈↓ βC␈ε↔p
␈ββO␈↓ βd␈ε	m␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ∧=␈ε	m␈↓ ∧Z␈εβ)␈↓ 	:␈εβ(␈↓ 	E␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	u␈ε	m␈↓ 
∪␈εβ)
␈ββ↑␈↓ αC␈εε(␈↓ αK␈εt␈↓ αU␈εε)␈↓ λ↔␈εε(␈↓ λ ␈εt␈↓ λ*␈εε)
␈ββ←␈↓ εh␈εt
␈ββe␈↓ α*␈ε	D␈↓ αf␈εβ=␈↓ β⊃␈ε	O␈↓ ¬5␈εβ+␈↓ ¬↑␈ε	O␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε?␈ε	m␈↓ ε]␈εβ)␈↓ εq␈εβ/␈↓ πα␈ε	↔␈↓ π(␈εβ,␈↓ π}␈ε	D␈↓ λ↑␈εβ=␈↓ 	λ␈ε	O␈↓ 
A␈εβ.
␈ββo␈↓ π⊂␈εt
␈ββs␈↓ βC␈∧βsβCα↓R␈↓ 	:␈∧βs	:αn
␈ββt␈↓ αC␈εN␈↓ λ↔␈εm␈↓ λ/␈ε~␈␈εε1
␈ββ|␈↓ ∧≤␈ε	N␈↓ 	e␈ε	↔
␈β∧π␈↓ 	s␈εt
␈β∧9␈↓ ∧2␈ε↓P
␈β∧R␈↓ αc␈εε(␈↓ αk␈εt␈↓ αu␈εε)
␈β∧T␈↓ βl␈εm␈↓ ∧β␈ε~␈␈εε2␈↓ ε≥␈εα[␈↓ 
v␈εα]
␈β∧W␈↓ ↓H␈εβIn␈α⊂f␈α↓a␈α␈ct,␈↓ αJ␈ε	D␈↓ β3␈ε↔∀␈↓ ∧↑␈ε	r␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	u␈↓ ¬↔␈εβ,␈↓ ¬&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬a␈ε	u␈↓ ¬}␈εβ)␈↓ ε'␈εβsu␈α␈mme␈α␈d␈α⊃o␈α␈v␈α}er␈α⊃no␈α␈nzer␈α␈o␈α⊃solution␈α␈s␈α⊃of␈α⊃(15)␈↓ ␈εβ+
␈β∧a␈↓ α∩␈ε↓P␈↓ 	V␈ε↓P
␈β∧b␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬t␈εt
␈β∧e␈↓ βl␈∧∧eβlα>
␈β∧g␈↓ βl␈εm␈↓ ∧β␈ε~␈␈εε1
␈β∧h␈↓ αc␈εm␈↓ αz␈ε~␈␈εε1
␈β∧{␈↓ ↓d␈εε1
␈β∧|␈↓ βr␈εα[␈↓ λ
␈εα]
␈β∧␈␈↓ α=␈ε	r␈↓ αL␈εβ(␈↓ αW␈ε	u␈↓ αw␈εβ,␈↓ β¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β2␈εβ,␈↓ βA␈ε	u␈↓ β]␈εβ)␈↓ β|␈εβsu␈α␈mmed␈α	o␈α␈v␈α}er␈α
all␈α
non␈α␈zero␈α	(␈↓ εx␈ε	u␈↓ π_␈εβ,␈↓ π'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πS␈εβ,␈↓ πb␈ε	u␈↓ π␈␈εβ)␈↓ λ∀␈εβ.␈αLet␈ε	␈α
R␈εβ(␈↓ 	ε␈ε	a␈↓ 	↔␈εβ)␈α	=␈↓ 
↓␈ε	r␈↓ 
⊂␈εβ(␈↓ 
≠␈ε	u␈↓ 
;␈εβ,␈↓ 
I␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
v␈εβ,␈↓ ¬␈ε	u␈↓ !␈εβ)
␈β¬	␈↓ αj␈εε1␈↓ βT␈εt␈↓ π␈εε1␈↓ πu␈εt␈↓ 
.␈εε1␈↓ _␈εt
␈β¬
␈↓ ↓K␈∧¬
↓Kα>
␈β¬∂␈↓ ↓K␈εm␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε1
␈β¬&␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈mme␈α␈d␈αλo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α	n␈α␈on␈α␈zero␈αλsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αλof␈αλ(15).␈α
Sinc␈α␈e␈↓ εS␈ε	m␈↓ εx␈εβi␈α↓s␈αλp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,␈α	each␈αλ(␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λp␈εβ,␈↓ λ␈␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	,␈εβ,␈↓ 	:␈ε	u␈↓ 	W␈εβ)␈α	ca␈α␈n␈αλbe␈αλa␈αλsolu␈α␈-
␈β¬0␈↓ εN␈ε↓P␈↓ 	+␈ε↓P
␈β¬1␈↓ λd␈εε1␈↓ 	N␈εt
␈β¬N␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈απto␈αε(1␈α␈5)␈απfor␈αεat␈αεmost␈↓ ∧
␈ε	t␈↓ ∧↔␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈αεva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈απo␈α␈f␈↓ ¬U␈ε	a␈↓ ¬e␈εβ,␈αλhe␈α␈nce␈↓ π]␈ε	R␈εβ(␈↓ π␈␈ε	a␈↓ λ⊂␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
(␈↓ λZ␈ε	t␈↓ λg␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈α␈)␈↓ 	W␈ε	r␈↓ 	e␈εβ(␈↓ 	p␈ε	u␈↓ 
⊂␈εβ,␈↓ 
∨␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
K␈εβ,␈↓ 
Z␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β¬Y␈↓ 
β␈εε1␈↓ 
m␈εt
␈β¬a␈↓ εt␈εε0<␈↓ π~␈εa␈↓ π'␈εε<␈↓ π@␈εm
␈β¬x␈↓ α[␈εt
␈β¬y␈↓ ↓`␈εα(␈↓ αe␈εα)
␈β¬|␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈ε	t␈↓ ↓x␈εβ(␈↓ αβ␈εβlog␈↓ α3␈ε	m␈↓ αP␈εβ)␈↓ αq␈εβ.␈αIt␈α	fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	av␈α␈e␈α␈rage␈α	v␈α␈alu␈α␈e␈α	of␈ε	␈α	R␈εβ(␈↓ π$␈ε	a␈↓ π5␈εβ)␈α	tak␈α}en␈α	o␈α}v␈α␈en␈αλall␈↓ 	≠␈ε	⎇␈↓ 	0␈εβ(␈↓ 	;␈ε	m␈↓ 	]␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)␈α	primitiv␈α␈e
␈βε ␈↓ βP␈εt
␈βε!␈↓ αT␈εα(␈↓ ∧t␈εα)
␈βε$␈↓ ↓H␈εβro␈α␈ots␈αis␈↓ α<␈ε	O␈↓ α`␈ε	t␈↓ αl␈εβ(␈↓ αw␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ β'␈ε	m␈↓ βE␈εβ)␈↓ βY␈εβ/␈↓ βj␈ε	⎇␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧/␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬␈εβ.
␈βεK␈↓ α␈εα(
␈βεN␈↓ α_␈εβIn␈αgen␈α␈eral␈α
1/␈↓ βX␈ε	⎇␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	n␈↓ ∧
␈εβ)␈α=␈↓ ∧Q␈ε	O␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧u␈εβlo␈α␈g␈↓ ¬%␈εβlog␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬i␈εβ/␈↓ ¬y␈ε	n␈↓ ε
␈εβ)␈α↓;␈α∞h␈α␈en␈α␈ce␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d␈α
th␈α␈at␈ε⊂␈α
fo␈α␈r␈α
all␈α
prime␈↓ ∂␈ε	m
␈βεv␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈nd␈α	for␈α	all␈↓ αf␈ε	T␈↓ βε␈ε⊂the␈α␈re␈α
ex␈α␈ists␈α
a␈α	p␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈α	root␈↓ ε!␈ε	a␈↓ ε;␈ε⊂mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π0␈ε	m␈↓ πW␈ε⊂su␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈α	the␈α	li␈α↓n␈α␈ea␈α␈r␈α
co␈α␈ngr␈α␈uen␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈βπ_␈↓ ¬y␈εε(␈↓ ε↓␈εt␈↓ ε␈εε)
␈βπ→␈↓ π-␈ε~␈␈εε1␈↓ λN␈εT
␈βπ~␈↓ π∧␈εα(␈↓ 	c␈εα)
␈βπ≥␈↓ ↓H␈ε⊂se␈α␈que␈α␈nce␈εβ␈α(1,␈↓ α|␈ε	a␈↓ β␈εβ,␈αε0,␈↓ β:␈ε	m␈↓ βX␈εβ)␈ε⊂␈αha␈α␈s␈αdiscre␈α␈pa␈α␈ncy␈↓ ¬`␈ε	D␈↓ ε@␈εβ=␈↓ εl␈ε	O␈↓ π⊂␈ε	m␈↓ πS␈ε	T␈↓ πj␈εβ(␈↓ πu␈εβlog␈↓ λ%␈ε	m␈↓ λB␈εβ)␈↓ λe␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	∃␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	F␈ε	m␈↓ 	z␈ε⊂f␈α↓o␈α␈r␈εβ␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ 
u␈ε	t␈↓ ␈ε↔∀
␈βπ.␈↓ ¬y␈εm␈↓ ε⊂␈ε~␈␈εε1
␈βπE␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ ↓←␈ε⊂.␈εβ␈α∃This␈α∞meth␈α␈od␈α∞o␈α␈f␈α∂p␈α␈roo␈α␈f␈α∂d␈α␈oes␈ε⊂␈α∞no␈α␈t␈εβ␈α∂e␈α␈xten␈α␈d␈α∞to␈α∞a␈α∞similar␈α∞result␈α∞for␈α∞li␈α↓n␈α␈ear␈α∞co␈α␈ngr␈α␈uen␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈βπh␈↓ ∧
␈εe␈↓ ¬/␈εe
␈βπm␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈rators␈α
of␈α
pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈↓ β|␈εβ2␈↓ ∧%␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ¬≡␈εβ2␈↓ ¬9␈εβ,␈α∂sin␈α␈ce␈α
for␈α
exa␈α␈mple␈α
the␈α
v␈α}ector␈α
(1,␈ε↔␈αε␈␈εβ3,␈α¬3,␈ε↔␈αε␈␈εβ1)␈α
solv␈α␈e␈α␈s
␈βλ⊂␈↓ β-␈εε2␈↓ β:␈εe␈↓ βD␈εε/3
␈βλ⊃␈↓ ¬∂␈εα)
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈5)␈αfor␈αab␈α␈ou␈α␈t␈↓ β≤␈εβ2␈↓ βi␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ ∧u␈ε	a␈↓ ¬ε␈εβ.
␈β	-␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.4␈α␈.1
␈β

␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	␈↓ α&␈εβ+␈απ(␈↓ αZ␈ε	␈␈↓ αu␈ε↔␈␈↓ β≡␈ε	␈↓ β0␈εβ)␈↓ β;␈ε	U␈↓ βW␈εβ.
␈β
F␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	U␈↓ αo␈εβ=␈↓ β~␈ε	X␈↓ β5␈εβ/␈↓ βF␈ε	m␈↓ βc␈εβ;␈ε↔␈αb␈↓ ∧¬␈ε	k␈↓ ∧∃␈ε	U␈↓ ∧1␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ ∧s␈ε	r␈↓ ¬
␈εβi{␈↓ ¬6␈ε	r␈↓ ¬N␈ε↔∀␈↓ ¬y␈ε	k␈↓ ε
␈ε	X␈↓ ε%␈εβ/␈↓ ε6␈ε	m␈↓ ε]␈εβ<␈↓ πλ␈ε	r␈↓ π≡␈εβ+␈αλ1␈αi␈α↓{␈↓ λ
␈ε	m␈↓ λ*␈ε	r␈↓ λ8␈εβ/␈↓ λI␈ε	k␈↓ λc␈ε↔∀␈↓ 	∞␈ε	X␈↓ 	4␈εβ<␈↓ 	←␈ε	m␈↓ 	|␈εβ(␈↓ 
π␈ε	r␈↓ 
≡␈εβ+␈αλ1␈α␈)/␈↓ 
s␈ε	k␈↓ ∂␈εβi{
␈β
k␈↓ λ)␈εα(␈↓ 
v␈εα)
␈β
n␈↓ ↓H␈ε↔d␈↓ ↓U␈ε	m␈↓ ↓r␈ε	r␈↓ α␈εβ/␈↓ α⊃␈ε	k␈↓ α!␈ε↔e␈α
∀␈↓ αb␈ε	X␈↓ βπ␈εβ<␈ε↔␈α
d␈↓ β>␈ε	m␈↓ β\␈εβ(␈↓ βg␈ε	r␈↓ βx␈εβ+␈αβ1␈α␈)/␈↓ ∧H␈ε	k␈↓ ∧X␈ε↔e␈εβ.␈α
T␈α↓h␈α␈e␈απexa␈α␈ct␈απpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈απis␈απ(1/␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ λ≡␈εβ)␈↓ λ5␈ε↔d␈↓ λB␈ε	m␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	r␈↓ λ{␈εβ+␈αβ1)/␈↓ 	L␈ε	k␈↓ 	\␈ε↔e␈αα␈␈αβd␈↓ 
≤␈ε	m␈↓ 
9␈ε	r␈↓ 
H␈εβ/␈↓ 
Y␈ε	k␈↓ 
i␈ε↔e␈↓ ␈εβ=
␈β∃␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	k␈↓ α↓␈εβ+␈↓ α)␈ε	∂␈↓ α6␈εβ,␈ε↔␈αj␈↓ αT␈ε	∂␈↓ αa␈ε↔j␈εβ␈α	<␈α
1/␈↓ β?␈ε	m␈↓ β]␈εβ.
␈βR␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβIf␈α
full-wo␈α␈rd␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
are␈α	giv␈α␈en␈α␈,␈αth␈α␈e␈α
resu␈α␈lt␈α
wi␈α↓ll␈α
be␈α
su␈α␈}cien␈α}tly␈α
ran␈α␈do␈α␈m␈α
as␈α
in
␈βy␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α2.␈αBut␈αif␈αa␈αli␈α↓n␈α␈ear␈αco␈α␈ngru␈α␈en␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αis␈αu␈α␈sed,␈↓ λ↓␈ε	k␈↓ λ≥␈εβm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αprime␈αto
␈β!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
mo␈α␈du␈α␈lus␈↓ β
␈ε	m␈↓ β'␈εβ,␈α∞lest␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
h␈α␈av␈α␈e␈αa␈α
v␈α}ery␈α
sh␈α␈ort␈α
p␈α␈eriod␈α␈,␈α∞b␈α␈y␈α
th␈α␈e␈α
resu␈α␈lts␈α
of␈α
S␈α␈ection
␈βH␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.1.␈αFor␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈α
i␈α↓f␈↓ ∧#␈ε	k␈↓ ∧=␈εβ=␈α	2␈α
an␈α␈d␈↓ ¬B␈ε	m␈↓ ¬j␈εβis␈α
ev␈α␈en␈α␈,␈αth␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α
will␈αat␈α
b␈α␈est␈αb␈α␈e␈α
altern␈α␈ately␈α
0
␈βp␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
1.␈αThe␈αme␈α␈tho␈α␈d␈αis␈αsl␈α↓o␈α}w␈α␈er␈αtha␈α␈n␈α(1)␈αin␈αn␈α␈early␈αe␈α␈v␈α␈ery␈α
case␈α␈,␈αso␈αit␈αis␈αno␈α␈t␈αrecom␈α␈men␈α␈ded␈α␈.
␈β
,␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβma␈α␈x␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε	X␈↓ αz␈εβ,␈↓ β	␈ε	X␈↓ β,␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ βk␈ε	x␈↓ ∧π␈εβif␈α
and␈α	only␈α
if␈↓ ¬M␈ε	X␈↓ ¬z␈ε↔∀␈↓ ε%␈ε	x␈↓ ε@␈εβand␈↓ π␈ε	X␈↓ π-␈ε↔∀␈↓ πX␈ε	x␈↓ πi␈εβ;␈↓ π⎇␈εβmin␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ@␈ε	X␈↓ λc␈εβ,␈↓ λr␈ε	X␈↓ 	⊗␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ 	U␈ε	x␈↓ 	p␈εβi␈α↓f␈α
an␈α␈d␈α
on␈α␈ly␈α
if
␈β
7␈↓ αm␈εε1␈↓ β ␈εε2␈↓ ¬d␈εε1␈↓ π↔␈εε2␈↓ λW␈εε1␈↓ 		␈εε2
␈β
T␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓u␈ε↔∃␈↓ α ␈ε	x␈↓ α=␈εβan␈α␈d␈↓ α}␈ε	X␈↓ β,␈ε↔∃␈↓ βW␈ε	x␈↓ βi␈εβ.␈αThe␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αtha␈α␈t␈αt␈α␈w␈α␈o␈αind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈αev␈α␈en␈α}ts␈αboth␈αh␈α␈ap␈α␈pen␈αis␈αthe
␈β
←␈↓ ↓←␈εε1␈↓ β⊗␈εε2
␈β
|␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈αo␈α␈f␈αthe␈αind␈α␈ividu␈α␈al␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈i␈α↓es␈α␈.
␈β∞8␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβOb␈α␈tain␈α
ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
u␈α␈niform␈α
d␈α␈eviate␈α␈s␈↓ εA␈ε	U␈↓ εb␈εβ,␈↓ εy␈ε	U␈↓ π≠␈εβ.␈α∩Se␈α␈t␈↓ πr␈ε	X␈↓ λ~␈ε↔ ␈↓ λH␈ε	U␈↓ λj␈εβ.␈α∩If␈↓ 	(␈ε	U␈↓ 	W␈ε↔∃␈↓ 
¬␈ε	p␈↓ 
⊗␈εβ,␈α∞set␈↓ 
c␈ε	X␈↓ ␈ε↔ 
␈β∞C␈↓ εV␈εε1␈↓ π∂␈εε2␈↓ λ]␈εε2␈↓ 	=␈εε1
␈β∞`␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ax␈↓ απ␈εβ(␈↓ α∩␈ε	X␈↓ α-␈εβ,␈↓ α<␈ε	U␈↓ α↑␈εβ),␈αλwhe␈α␈re␈↓ βV␈ε	U␈↓ β␈␈εβi␈α↓s␈απa␈απth␈α␈ird␈απun␈α␈iform␈απd␈α␈eviate␈α␈.␈α
I␈α↓f␈↓ π_␈ε	U␈↓ πC␈ε↔∃␈↓ πm␈ε	p␈↓ λ↓␈εβ+␈↓ λ$␈ε	q␈↓ λ3␈εβ,␈αλalso␈απse␈α␈t␈↓ 	3␈ε	X␈↓ 	W␈ε↔ ␈↓ 
α␈εβma␈α␈x␈↓ 
A␈εβ(␈↓ 
L␈ε	X␈↓ 
g␈εβ,␈↓ 
v␈ε	U␈↓ _␈εβ),
␈β∞j␈↓ αQ␈εε3␈↓ βl␈εε3␈↓ π-␈εε1␈↓ ␈εε4
␈β∂π␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α&␈ε	U␈↓ αR␈εβis␈α
a␈α	fou␈α␈rth␈α	un␈α␈if␈α↓o␈α␈rm␈α
d␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈te.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α	meth␈α␈od␈α	ca␈α␈n␈α
o␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly␈α	b␈α␈e␈α
ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈d␈α	to␈α
a␈α␈n␈α␈y
␈β∂∩␈↓ α<␈εε4
␈β∂/␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓,␈α	a␈α␈nd␈αλin␈α␈dee␈α␈d␈αλev␈α}en␈αλto␈αλin|␈α␈nite␈αλp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αλseries␈αλ(as␈αλsho␈α}wn␈αλfor␈αλex␈α␈amp␈α␈le␈αλi␈α↓n␈απAl␈α↓g␈α␈orithm
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβS␈↓ ↓Z␈εβ,␈αw␈α↓h␈α␈ich␈αu␈α␈ses␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓za␈α␈tion␈αin␈α␈stead␈α
of␈αmax␈α␈imization␈α␈).
␈β⊂↓␈↓ α␈εβAlterna␈α␈tiv␈α␈ely,␈α⊃w␈α␈e␈α∂cou␈α␈l␈α↓d␈α∂p␈α␈roce␈α␈ed␈α⊂a␈α␈s␈α⊂follo␈α␈ws␈α⊂(su␈α␈gg␈α␈ested␈α∂by␈α∂M␈α␈.␈α⊂D.␈α⊂Mac␈α␈L␈α↓a␈α␈ren):␈α∀If
␈β⊂%␈↓ λ6␈εα(␈↓ 
¬␈εα)
␈β⊂(␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓s␈εβ<␈↓ α≥␈ε	p␈↓ α.␈εβ,␈α
se␈α␈t␈↓ αr␈ε	X␈↓ β↔␈ε↔ ␈↓ βA␈ε	U␈↓ βc␈εβ/␈↓ βt␈ε	p␈↓ ∧¬␈εβ;␈α	oth␈α␈erwise␈α	if␈↓ ¬F␈ε	U␈↓ ¬q␈εβ<␈↓ ε≠␈ε	p␈↓ ε0␈εβ+␈↓ εV␈ε	q␈↓ εe␈εβ,␈α	set␈↓ π(␈ε	X␈↓ πM␈ε↔ ␈↓ πw␈εβmax␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	U␈↓ λs␈ε↔␈␈↓ 	→␈ε	p␈↓ 	*␈εβ)/␈↓ 	E␈ε	q␈↓ 	T␈εβ,␈↓ 	c␈ε	U␈↓ 
⊃␈εβ;␈α
o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈β⊂3␈↓ ↓]␈εε1␈↓ βV␈εε1␈↓ ¬[␈εε1␈↓ λc␈εε1␈↓ 	x␈εε2
␈β⊂M␈↓ β	␈εα(␈↓ ¬K␈εα)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβse␈α␈t␈↓ ↓{␈ε	X␈↓ α ␈ε↔ ␈↓ αJ␈εβmax␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈ε	U␈↓ βI␈ε↔␈␈↓ βq␈ε	p␈↓ ∧	␈ε↔␈␈↓ ∧1␈ε	q␈↓ ∧@␈εβ)/␈↓ ∧[␈ε	r␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ∧y␈ε	U␈↓ ¬≠␈εβ,␈↓ ¬)␈ε	U␈↓ ¬W␈εβ.␈αTh␈α␈is␈αme␈α␈thod␈α
re␈α␈quires␈α
less␈αtime␈α
tha␈α␈n␈α
the␈α
oth␈α␈er␈αto
␈β⊂Z␈↓ β6␈εε1␈↓ ¬∞␈εε2␈↓ ¬?␈εε3
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rm␈α
d␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈tes,␈α
alth␈α␈oug␈α␈h␈αit␈α
in␈α␈v␈α}olv␈α␈es␈αfurt␈α␈her␈αarithm␈α␈etical␈αope␈α␈ration␈α␈s␈α
a␈α␈nd
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβit␈αis␈αsli␈α↓g␈α␈h␈α␈tly␈αless␈αsta␈α␈ble␈αn␈α␈u␈α␈merica␈α␈ll␈α↓y␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα633
␈β¬∞␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α
A↑4.␈εβ␈α≥Region␈αof␈α
\ac␈α␈cep␈α␈tanc␈α␈e"
␈β¬5␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
of␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α6.
␈βε4␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈ε	F␈↓ α#␈εβ(␈↓ α.␈ε	x␈↓ α@␈εβ)␈α	=␈↓ α␈␈ε	A␈↓ β ␈εβ/(␈↓ β<␈ε	A␈↓ βf␈εβ+␈↓ ∧∞␈ε	A␈↓ ∧0␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬0␈ε	A␈↓ ¬]␈εβa␈α␈nd␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ εJ␈εβare␈αth␈α␈e␈αarea␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
Fi␈α↓g␈α␈.␈αA↑␈α␈4;␈αso
␈βε?␈↓ β∀␈εε1␈↓ βR␈εε1␈↓ ∧#␈εε2␈↓ ¬E␈εε1␈↓ ε3␈εε2
␈βεf␈↓ ∧`␈ε↓p
␈βεl␈↓ ∧4␈ε↓R
␈βε{␈↓ ∧L␈εx
␈βπ↓␈↓ ¬∧␈∧π↓¬∧α`
␈βπλ␈↓ ¬W␈εε2
␈βπ
␈↓ ¬∧␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬E␈ε	y␈↓ ¬j␈ε	d␈↓ ¬|␈ε	y
␈βπ
␈↓ εK␈εβ2␈↓ λε␈εβ2
␈βπ~␈↓ λN␈∧π~λNα←
␈βπ≠␈↓ λ-␈ε↔p
␈βπ≥␈↓ ∧E␈εε0
␈βπ ␈↓ 	 ␈εε2
␈βπ!␈↓ ∧←␈ε↓p
␈βπ#␈↓ β>␈ε	F␈↓ βU␈εβ(␈↓ β`␈ε	x␈↓ βr␈εβ)␈α	=␈↓ ε≠␈εβ=␈↓ εe␈εβarcsin␈↓ π@␈ε	x␈↓ πY␈εβ+␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λN␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	-␈εβ.
␈βπ'␈↓ ∧5␈ε↓R
␈βπ1␈↓ ∧4␈∧π1∧4α↓[␈↓ εJ␈∧π1εJα∪␈↓ λ¬␈∧π1λ¬α∪
␈βπ6␈↓ ∧M␈εε1
␈βπ:␈↓ εJ␈ε	→␈↓ λ¬␈ε	→
␈βπ<␈↓ ¬β␈∧π<¬βα`
␈βπC␈↓ ¬W␈εε2
␈βπE␈↓ ¬β␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬D␈ε	y␈↓ ¬i␈ε	d␈↓ ¬{␈ε	y
␈βπX␈↓ ∧F␈εε0
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αλof␈α	termin␈α␈ation␈αλat␈α	step␈α	2␈αλi␈α↓s␈↓ ε1␈ε	p␈↓ εK␈εβ=␈↓ εu␈ε	→␈↓ πλ␈εβ/4␈α␈,␈α
ea␈α␈ch␈α	time␈α	ste␈α␈p␈α	2␈α	is␈α	enc␈α␈ou␈α␈n␈α␈tered␈α␈,␈α
so
␈βλ;␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αex␈α}ecu␈α␈tions␈αof␈αstep␈α
2␈αhas␈αth␈α␈e␈αgeom␈α␈etric␈αdistribu␈α␈tion.␈αTh␈α␈e␈αcha␈α␈racte␈α␈ri␈α↓s␈α␈ti␈α↓c␈α␈s
␈βλ?␈↓ π←␈ε↓p
␈βλZ␈↓ λβ␈∧λZλβαu
␈βλ`␈↓ β←␈εα(␈↓ λx␈εα)
␈βλc␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthis␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αare␈↓ βk␈εβmin␈α1␈α␈,␈αa␈α␈v␈α␈e␈α4␈α␈/␈↓ ¬0␈ε	→␈↓ ¬B␈εβ,␈αma␈α␈x␈ε↔␈α1␈εβ,␈αdev␈α
(4/␈↓ πB␈ε	→␈↓ πT␈εβ)␈↓ λβ␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λD␈ε	→␈↓ λW␈εβ/␈α␈4␈↓ 	∧␈εβ,␈αby␈α
ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α17.
␈β	∃␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβIf␈↓ α,␈ε	k␈↓ αF␈εβ=␈α	1␈α
th␈α␈en␈↓ βV␈ε	n␈↓ β}␈εβ=␈↓ ∧)␈ε	n␈↓ ∧G␈εβan␈α␈d␈α
t␈α␈he␈α
p␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈α
is␈α
trivial.␈αOth␈α␈erwise␈α
it␈α
is␈α
alway␈α␈s␈α
po␈α␈ssible␈α
to
␈β	 ␈↓ βi␈εε1
␈β	=␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈↓ α	␈ε	i␈↓ α ␈ε↔≤␈↓ αJ␈ε	j␈↓ αc␈εβsuch␈α	tha␈α␈t␈↓ βv␈ε	n␈↓ ∧≥␈ε↔∀␈↓ ∧G␈ε	n␈↓ ∧e␈ε↔∀␈↓ ¬∂␈ε	n␈↓ ¬.␈εβ.␈αF␈α↓ill␈↓ ¬␈␈ε	B␈↓ ε'␈εβwith␈↓ εr␈ε	n␈↓ π~␈εβcub␈α␈es␈α
of␈α
color␈↓ λk␈ε	C␈↓ 	⊗␈εβan␈α␈d␈↓ 	V␈ε	n␈↓ 	p␈ε↔␈␈↓ 
_␈ε	n␈↓ 
@␈εβof␈α
colo␈α␈r
␈β	G␈↓ ∧	␈εi␈↓ ¬"␈εj␈↓ ε∩␈εi␈↓ π¬␈εi␈↓ 	↓␈εi␈↓ 
+␈εi
␈β	d␈↓ ↓H␈ε	C␈↓ ↓j␈εβ,␈αthen␈α
dec␈α␈rease␈↓ βN␈ε	n␈↓ βx␈εβby␈↓ ∧(␈ε	n␈↓ ∧D␈ε↔␈␈↓ ∧m␈ε	n␈↓ ¬⊗␈εβa␈α␈nd␈α
el␈α↓imin␈α␈ate␈αco␈α␈l␈α↓o␈α␈r␈↓ π8␈ε	C␈↓ πY␈εβ.␈αWe␈αare␈αleft␈αwith␈αthe␈αsa␈α␈me␈αsor␈α␈t
␈β	o␈↓ ↓↑␈εj␈↓ βa␈εj␈↓ ¬␈εi␈↓ πO␈εi
␈β
␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αprob␈α␈lem␈αb␈α␈ut␈αwith␈↓ βy␈ε	k␈↓ ∧∀␈εβredu␈α␈ced␈α
by␈α
1;␈αby␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,␈αit's␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le.
␈β
3␈↓ α␈εβThe␈αλfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α	can␈αλb␈α␈e␈α	use␈α␈d␈α	to␈αλcomp␈α␈ut␈α␈e␈α	the␈↓ λ␈ε	P␈↓ λ!␈εβan␈α␈d␈↓ λ←␈ε	Y␈↓ 	↓␈εβtab␈α␈les:␈α
F␈α↓o␈α␈rm␈α	a␈αλl␈α↓ist␈α	o␈α␈f
␈β
[␈↓ ↓H␈εβp␈α␈airs␈α(␈↓ α%␈ε	p␈↓ αA␈εβ,␈αε1)␈↓ αr␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε	p␈↓ βF␈εβ,␈↓ βU␈ε	k␈↓ βe␈εβ)␈αand␈αsort␈αit␈αby␈α|rst␈αco␈α␈mp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts,␈αobta␈α␈ining␈αa␈αl␈α↓ist␈α(␈↓ 	Q␈ε	q␈↓ 	j␈εβ,␈↓ 	x␈ε	a␈↓ 
∀␈εβ)␈↓ 
%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
Q␈εβ(␈↓ 
]␈ε	q␈↓ 
v␈εβ,␈↓ ¬␈ε	a␈↓ !␈εβ)
␈β
f␈↓ α5␈εε1␈↓ β9␈εk␈↓ 	]␈εε1␈↓ 
λ␈εε1␈↓ 
i␈εk␈↓ ∀␈εk
␈ββ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α+␈ε	q␈↓ αR␈ε↔∀␈↓ βα␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β8␈ε↔∀␈↓ βh␈ε	q␈↓ ∧∂␈εβand␈↓ ∧S␈ε	n␈↓ ∧v␈εβ=␈↓ ¬&␈ε	k␈↓ ¬6␈εβ.␈α⊗R␈α␈epea␈α␈t␈α∂t␈α␈he␈α∞follo␈α␈wing␈α∞op␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞un␈α}til␈↓ 
␈ε	n␈↓ 
#␈εβ=␈α∂0␈α␈:␈α∩Se␈α␈t
␈β
␈↓ α7␈εε1␈↓ βt␈εk
␈β*␈↓ ↓H␈ε	P␈↓ ↓←␈εβ[␈↓ ↓i␈ε	a␈↓ α
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1]␈ε↔␈α ␈↓ βλ␈ε	k␈↓ β→␈ε	q␈↓ β>␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧␈ε	Y␈↓ ∧_␈εβ[␈↓ ∧"␈ε	a␈↓ ∧F␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈]␈ε↔␈α ␈↓ ¬B␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ.␈α∂Delete␈α(␈↓ εy␈ε	q␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π!␈ε	a␈↓ π=␈εβ)␈αand␈α(␈↓ λ"␈ε	q␈↓ λ>␈εβ,␈↓ λM␈ε	a␈↓ λm␈εβ),␈α
th␈α␈en␈αin␈α␈sert␈αthe␈αne␈α␈w
␈β5␈↓ ↓x␈εε1␈↓ β%␈εε1␈↓ ∧1␈εε1␈↓ ¬Q␈εa␈↓ π¬␈εε1␈↓ π0␈εε1␈↓ λ.␈εn␈↓ λ\␈εn
␈β;␈↓ ¬↑␈ε
n
␈βO␈↓ α ␈εα(␈↓ ∧7␈εα)
␈βR␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈try␈↓ α,␈ε	q␈↓ αO␈ε↔␈␈εβ␈αλ(1/␈↓ β$␈ε	k␈↓ β<␈ε↔␈␈↓ βe␈ε	q␈↓ β⎇␈εβ)␈α↓,␈↓ ∧↔␈ε	a␈↓ ∧N␈εβin␈α␈to␈αits␈αpr␈α␈ope␈α␈r␈αplace␈αin␈α
the␈αlist␈αan␈α␈d␈αde␈α␈creas␈α␈e␈↓ 	Z␈ε	n␈↓ 	y␈εβby␈α1␈α␈.
␈β\␈↓ α8␈εn␈↓ βq␈εε1␈↓ ∧'␈εn
␈βy␈↓ α␈εβ(If␈↓ α4␈ε	p␈↓ αY␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈/␈↓ β%␈ε	k␈↓ β<␈εβthe␈απa␈α␈lgorith␈α␈m␈απwil␈α↓l␈απn␈α␈ev␈α␈er␈αεpu␈α␈t␈↓ εN␈ε	x␈↓ εq␈εβin␈αεthe␈↓ πI␈ε	Y␈↓ πh␈εβtab␈α␈l␈α↓e␈α␈;␈α	th␈α␈i␈α↓s␈αεf␈α↓a␈α␈ct␈απis␈απus␈α␈ed␈απimp␈α␈li␈α↓c␈α␈i␈α↓tly
␈β∧␈↓ αD␈εj␈↓ ε↑␈εj
␈β!␈↓ ↓H␈εβin␈α
Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αM␈↓ β+␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈α
attemp␈α␈ts␈αto␈α
max␈α␈imize␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈αth␈α␈at␈↓ 
⊃␈ε	V␈↓ 
3␈εβ<␈↓ 
]␈ε	P␈↓ ⊃␈εβin
␈β,␈↓ 
q␈εK
␈βI␈↓ ↓H␈εβ(3␈α␈),␈αb␈α␈y␈α	always␈α	rob␈α␈bing␈α	from␈α	the␈α	riche␈α␈st␈α
rem␈α␈aining␈α	eleme␈α␈n␈α␈t␈α
a␈α␈nd␈α	giv␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
it␈α	to␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈oor␈α␈est.
␈βp␈↓ ↓H␈εβHo␈α}we␈α␈v␈α␈er,␈α∂it␈α∞i␈α↓s␈α∞v␈α}ery␈α∞d␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈α∞to␈α∞d␈α␈etermin␈α␈e␈α∞the␈α∞ab␈α␈solu␈α␈te␈α∞minim␈α␈u␈α␈m␈α∞of␈α∞this␈α∞pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α␈,
␈β
_␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αsu␈α␈ch␈αa␈αta␈α␈sk␈αis␈αat␈αlea␈α␈st␈αas␈αdi}c␈α␈ult␈αas␈αth␈α␈e␈α\b␈α␈i␈α↓n␈α␈-pa␈α␈cking␈α
pro␈α␈blem"␈α␈;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αCh␈α␈ap␈α␈ter␈α7.)
␈β
J␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβRep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ β	␈ε	P␈↓ β3␈εβby␈α(␈↓ βo␈ε	j␈↓ ∧¬␈εβ+␈↓ ∧.␈ε	P␈↓ ∧M␈εβ)/␈↓ ∧i␈ε	k␈↓ ¬∧␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬⎇␈ε	j␈↓ ε∃␈εβ<␈↓ ε?␈ε	k␈↓ εP␈εβ.
␈β
U␈↓ β≤␈εj␈↓ ∧A␈εj
␈β
↑␈↓ ¬5␈ε↓p
␈β
y␈↓ ¬Y␈∧
y¬Yα4␈↓ π<␈επ2
␈β
⎇␈↓ ∧M␈ε~00␈↓ ε/␈εε2␈↓ π∀␈ε~␈␈↓ π.␈εx␈↓ πG␈εε/2
␈β∞↓␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβCon␈α␈sider␈αth␈α␈e␈αsign␈α
of␈↓ ∧=␈ε	f␈↓ ∧Z␈εβ(␈↓ ∧e␈ε	x␈↓ ∧v␈εβ)␈α
=␈↓ ¬Y␈εβ2/␈↓ ¬z␈ε	→␈↓ ε∩␈εβ(␈↓ ε≥␈ε	x␈↓ εC␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ππ␈ε	e␈↓ π`␈εβ.
␈β∞4␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβLet␈↓ αG␈ε	S␈↓ αm␈εβ=␈α
(␈↓ β#␈ε	j␈↓ β7␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈α↓/␈α␈5␈α	for␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬→␈ε	j␈↓ ¬2␈ε↔∀␈εβ␈α	16␈α	a␈α␈nd␈↓ εF␈ε	p␈↓ π≥␈εβ=␈↓ πH␈ε	F␈↓ π←␈εβ(␈↓ πj␈ε	S␈↓ λ,␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ λb␈ε	F␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	S␈↓ 	!␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ 	X␈ε	p␈↓ 	⎇␈εβfo␈α␈r␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
s␈ε	j␈↓ ␈ε↔∀
␈β∞>␈↓ αX␈εj␈↓ εU␈εj␈↓ εa␈εε+␈α↓1␈α␈5␈↓ πz␈εj␈↓ λπ␈εε+1␈↓ 	∃␈εj␈↓ 	g␈εj
␈β∞X␈↓ ε%␈εα(␈↓ 	C␈εα)
␈β∞[␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈5;␈αalso␈αlet␈↓ αr␈ε	p␈↓ β&␈εβ=␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧∪␈ε	F␈↓ ∧*␈εβ(3)␈αan␈α␈d␈↓ ¬≡␈ε	p␈↓ ¬R␈εβ=␈α
0.␈↓ ε1␈εβEq␈α␈.␈α(␈α↓1␈α␈5)␈αd␈α␈e|n␈α␈es␈↓ λ≡␈ε	p␈↓ λ:␈εβ,␈↓ λO␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ|␈εβ,␈↓ 	⊃␈ε	p␈↓ 	:␈εβ.␈↓ 	[␈εβTh␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β∞f␈↓ βα␈εε31␈↓ ¬.␈εε32␈↓ λ-␈εε1␈↓ 	 ␈εε15
␈β∂β␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αex␈α}ercise␈α7␈αcan␈αn␈α␈o␈α␈w␈αb␈α␈e␈αu␈α␈sed␈αwi␈α↓t␈α␈h␈↓ ¬Q␈ε	k␈↓ ¬k␈εβ=␈α32␈αto␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ πu␈ε	P␈↓ λ ␈εβan␈α␈d␈↓ λa␈ε	Y␈↓ 	↓␈εβ,␈αafter␈αwhich␈αw␈α␈e␈αwill
␈β∂∞␈↓ λλ␈εj␈↓ λu␈εj
␈β∂+␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ α]␈ε	Y␈↓ βπ␈ε↔∀␈εβ␈α
15␈αfor␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧Z␈ε	j␈↓ ∧s␈ε↔∀␈εβ␈α
32.␈α
S␈α␈et␈↓ ε⊂␈ε	P␈↓ ε:␈ε↔ ␈↓ εe␈ε	P␈↓ π≡␈εβ(wh␈α␈ich␈αi␈α↓s␈α0)␈αa␈α␈nd␈↓ 	∀␈ε	Y␈↓ 	>␈ε↔ ␈↓ 	j␈ε	Y␈↓ 
⊗␈εβ.␈α
Then␈αse␈α␈t
␈β∂5␈↓ αq␈εj␈↓ ε#␈εε0␈↓ εy␈εε3␈α␈2␈↓ 	'␈εε0␈↓ 	⎇␈εε32
␈β∂O␈↓ ∧d␈εε1
␈β∂R␈↓ ↓H␈ε	Z␈↓ ↓o␈ε↔ ␈εβ␈α	1/␈α␈(5␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈απ5␈↓ β↔␈ε	P␈↓ β6␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ∧
␈ε	Y␈↓ ∧6␈ε↔ ␈↓ ∧u␈ε	Y␈↓ ¬≠␈ε↔␈␈↓ ¬D␈ε	Z␈↓ ¬m␈εβfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ εe␈ε	j␈↓ ε⎇␈εβ<␈α
32␈α␈;␈↓ π↑␈ε	Q␈↓ λ	␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈/(5␈↓ λq␈ε	P␈↓ 	⊂␈εβ)␈αfor␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
∨␈ε	j␈↓ 
7␈ε↔∀␈εβ␈α	15.
␈β∂\␈↓ ¬>␈ε↓p
␈β∂]␈↓ ↓Y␈εj␈↓ β*␈εj␈↓ ∧!␈εj␈↓ ¬λ␈εj␈↓ ¬V␈εj␈↓ πt␈εj␈↓ 	∧␈εj
␈β∂↑␈↓ ε≠␈ε↓␈␈↓ λ↔␈ε↓↓
␈β∂`␈↓ ∧d␈∧∂`∧dα
␈β∂b␈↓ ∧d␈εε5
␈β∂w␈↓ ¬b␈∧∂w¬bα4␈↓ ε↑␈επ2␈↓ πf␈επ2
␈β∂|␈↓ ε6␈ε~␈␈↓ εO␈εx␈↓ εi␈εε/␈α␈2␈↓ πA␈ε~␈␈↓ πZ␈εj␈↓ πr␈εε/␈α␈50
␈β⊂␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	h␈↓ αg␈εβ=␈α1/␈α␈5␈αand␈↓ ∧∃␈ε	f␈↓ ∧]␈εβ(␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ∧z␈εβ)␈α=␈↓ ¬b␈εβ2␈α␈/␈↓ εβ␈ε	→␈↓ ε)␈ε	e␈↓ π
␈ε↔␈␈↓ π4␈ε	e␈↓ λ%␈εβ/␈↓ λ6␈ε	p␈↓ 	⊃␈εβfor␈↓ 	F␈ε	S␈↓ 	o␈ε↔∀␈↓ 
≤␈ε	x␈↓ 
9␈ε↔∀␈↓ 
f␈ε	S␈↓ ␈εβ+
␈β⊂
␈↓ ∧∨␈εj␈↓ ∧+␈εε+15␈↓ λF␈εj␈↓ λR␈εε+15␈↓ 	W␈εj␈↓ 
w␈εj
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ.␈α↔Th␈α␈en␈α∞l␈α↓et␈↓ βε␈ε	a␈↓ β1␈εβ=␈↓ βb␈ε	f␈↓ ∧+␈εβ(␈↓ ∧6␈ε	S␈↓ ∧S␈εβ)␈α∂fo␈α␈r␈α∂1␈ε↔␈α∂∀␈↓ ¬u␈ε	j␈↓ ε∀␈ε↔∀␈εβ␈α⊂5␈α␈,␈↓ εn␈ε	b␈↓ π⊗␈εβ=␈↓ πG␈ε	f␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ≠␈ε	S␈↓ λ7␈εβ)␈α∂for␈α∂6␈ε↔␈α∂∀␈↓ 	Z␈ε	j␈↓ 	x␈ε↔∀␈εβ␈α⊂15␈α␈,␈↓ 
d␈ε	b␈↓ ␈εβ=
␈β⊂2␈↓ β⊗␈εj␈↓ βl␈εj␈↓ βy␈εε+1␈α␈5␈↓ ∧G␈εj␈↓ εz␈εj␈↓ πQ␈εj␈↓ π]␈εε+15␈↓ λ+␈εj␈↓ 
p␈εj
␈β⊂K␈↓ α	␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ ↓i␈ε	h␈↓ ↓y␈ε	f␈↓ αH␈εβ(␈↓ αS␈ε	S␈↓ αx␈εβ+␈↓ β!␈ε	h␈↓ β2␈εβ)␈αfor␈α1␈ε↔␈α∀␈↓ ∧G␈ε	j␈↓ ∧b␈ε↔∀␈εβ␈α5,␈α
an␈α␈d␈↓ ¬w␈ε	a␈↓ ε≡␈εβ=␈↓ εK␈ε	f␈↓ π∪␈εβ(␈↓ π∨␈ε	x␈↓ π:␈εβ)␈αλ+␈α	(␈↓ λα␈ε	x␈↓ λ&␈ε↔␈␈↓ λO␈ε	S␈↓ λl␈εβ)␈↓ λw␈ε	b␈↓ 	∂␈εβ/␈↓ 	 ␈ε	h␈↓ 	=␈εβfor␈α6␈ε↔␈α∀␈↓ 
;␈ε	j␈↓ 
U␈ε↔∀␈εβ␈α15␈α␈,
␈β⊂Z␈↓ αc␈εj␈↓ επ␈εj␈↓ εU␈εj␈↓ εa␈εε+15␈↓ π.␈εj␈↓ λ∩␈εj␈↓ λ`␈εj␈↓ 	β␈εj
␈β⊂↑␈↓ α	␈εj␈↓ α∃␈εε+15
␈β⊂r␈↓ ¬}␈ε~0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α+␈ε	x␈↓ αT␈εβi␈α↓s␈α∞th␈α␈e␈α∞ro␈α␈ot␈α∞of␈α∞th␈α␈e␈α∞equ␈α␈ation␈↓ ¬n␈ε	f␈↓ εK␈εβ=␈ε↔␈α∞␈␈↓ π≠␈ε	b␈↓ π3␈εβ/␈↓ πD␈ε	h␈↓ πU␈εβ.␈α∀Fina␈α␈l␈α↓ly␈α
set␈↓ 	≡␈ε	D␈↓ 
α␈ε↔ ␈↓ 
1␈ε	a␈↓ 
M␈εβ/␈↓ 
↑␈ε	b␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β⊃↓␈↓ α:␈εj␈↓ π'␈εj␈↓ 	5␈εj␈↓ 	A␈εε+␈α↓1␈α␈5␈↓ 
A␈εj␈↓ 
j␈εj
␈β⊃ε␈↓ ¬}␈εj␈↓ ε
␈εε+15
␈β⊃~␈↓ λ∪␈εε(␈α↓2␈↓ λ(␈εj␈↓ λ5␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈50
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	j␈↓ α$␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈5␈αεan␈α␈d␈↓ β1␈ε	E␈↓ ∧
␈ε↔ ␈εβ␈α	25␈α␈/␈↓ ∧i␈ε	j␈↓ ∧}␈εβfor␈α¬1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬q␈ε	j␈↓ ε	␈ε↔∀␈εβ␈α
5␈α␈,␈↓ εT␈ε	E␈↓ π0␈ε↔ ␈εβ␈α	1/␈α␈(␈↓ λε␈ε	e␈↓ 		␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α␈)␈αεfor␈αε6␈ε↔␈α	∀␈↓ 
?␈ε	j␈↓ 
W␈ε↔∀␈εβ␈α
15␈α␈.
␈β⊃)␈↓ βE␈εj␈↓ βQ␈εε+15␈↓ εh␈εj␈↓ εt␈εε+15
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα634␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα+␈↓ α␈εβTab␈α␈le␈α⊂1␈α∂was␈α⊂c␈α␈omp␈α␈uted␈α∂wh␈α␈i␈α↓le␈α∂mak␈α␈ing␈α∂use␈α∂of␈α⊂th␈α␈e␈α⊂fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α⊂in␈α}termed␈α␈iate␈α⊂v␈α␈alu␈α␈es:
␈βαS␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	p␈↓ ↓o␈εβ,␈↓ ↓}␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ α*␈εβ,␈↓ α9␈ε	p␈↓ αb␈εβ)␈α	=␈α
(.156␈α␈,␈α.14␈α␈7,␈α.1␈α␈33,␈α.116␈α␈,␈α.09␈α␈7,␈α.␈α↓0␈α␈78,␈α.060␈α␈,␈α.04␈α␈4,␈α.␈α↓0␈α␈32,␈α.022␈α␈,␈α.01␈α␈4,␈α.␈α↓0␈α␈09,␈α.005␈α␈,
␈βα]␈↓ ↓b␈εε1␈↓ αI␈εε3␈α␈1
␈βαz␈↓ ↓H␈εβ.00␈α␈3,␈α.0␈α␈02,␈α.0␈α␈02,␈α.0␈α␈05,␈α
.␈α↓0␈α␈07,␈α
.␈α↓0␈α␈09,␈α
.␈α↓0␈α␈10,␈α
.␈α↓0␈α␈09,␈α
.␈α↓0␈α␈09␈α␈,␈α.␈α↓0␈α␈08␈α␈,␈α.006␈α␈,␈α.005␈α␈,␈α.004␈α␈,␈α.002␈α␈,␈α.002␈α␈,␈α.001␈α␈,
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβ.00␈α␈1,␈α.003␈α␈)␈α↓;␈α(␈↓ α⎇␈ε	x␈↓ β→␈εβ,␈↓ β(␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βT␈εβ,␈↓ βc␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α	=␈α
(1␈α␈.␈α↓1␈α␈15␈α␈,␈α1.3␈α␈04,␈α1.50␈α␈2,␈α1.70␈α␈0,␈α1.899␈α␈,␈α2␈α␈.␈α↓0␈α␈99,␈α2.2␈α␈98,␈α2.49␈α␈7,␈α2.697␈α␈,
␈ββ,␈↓ β␈εε6␈↓ βr␈εε15
␈ββI␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈.␈α↓8␈α␈96␈α␈)␈α↓;␈α	(␈↓ α=␈ε	a␈↓ αY␈εβ,␈↓ αh␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β∀␈εβ,␈↓ β#␈ε	a␈↓ βK␈εβ)␈α
=␈α	(7.5,␈α
9␈α␈.␈α↓1␈α␈,␈α
9␈α␈.␈α↓5␈α␈,␈α
9.8␈α␈,␈α
9.9,␈α	10.0␈α␈,␈α
10␈α␈.␈α↓0␈α␈,␈α
10␈α␈.1,␈α
1␈α␈0.1,␈α
1␈α␈0.1,␈α	10.1,␈α	10␈α␈.␈α↓2␈α␈,␈α
10␈α␈.␈α↓2␈α␈,
␈ββT␈↓ αL␈εε1␈↓ β2␈εε15
␈ββq␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈0.2,␈α1␈α␈0.2);␈↓ αs␈ε	b␈↓ β␈εβ,␈↓ β≠␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βG␈εβ,␈↓ βV␈ε	b␈↓ β{␈εβ)␈α
=␈α
(␈α↓1␈α␈4.9,␈α1␈α␈1.7,␈α10␈α␈.9,␈α10␈α␈.␈α↓4␈α␈,␈α10␈α␈.␈α↓1␈α␈,␈α10.1␈α␈,␈α10.2,␈α1␈α␈0.3,␈α1␈α␈0.4,␈α1␈α␈0.5,␈α10␈α␈.␈α↓6␈α␈,
␈ββ|␈↓ α␈␈εε1␈↓ βb␈εε1␈α␈5
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈0.7,␈α10␈α␈.␈α↓7␈α␈,␈α1␈α␈0.8,␈α10.9␈α␈)␈α↓.
␈β∧/␈↓ πm␈ε↓R
␈β∧>␈↓ λ¬␈εx
␈β∧E␈↓ ∧-␈επ2␈↓ 
0␈επ2
␈β∧I␈↓ βK␈εε9/␈α␈2␈↓ ∧
␈ε~␈␈↓ ∧#␈εt␈↓ ∧8␈εε/␈α␈2␈↓ 
␈ε~␈␈εε␈α↓(␈↓ 
"␈εx␈↓ 
<␈ε~␈␈εε9␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∧M␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβLet␈↓ αM␈ε	g␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	t␈↓ αs␈εβ)␈α⊂=␈↓ β>␈ε	e␈↓ βq␈ε	t␈↓ β⎇␈ε	e␈↓ ∧`␈εβfo␈α␈r␈↓ ¬↔␈ε	t␈↓ ¬2␈ε↔∃␈εβ␈α⊂3␈α␈.␈α⊗Sin␈α␈ce␈↓ εm␈ε	G␈↓ πε␈εβ(␈↓ π⊃␈ε	x␈↓ π"␈εβ)␈α∂=␈↓ λ→␈ε	g␈↓ λ(␈εβ(␈↓ λ3␈ε	t␈↓ λ?␈εβ)␈↓ λP␈ε	d␈↓ λb␈ε	t␈↓ λ}␈εβ=␈α∂1␈ε↔␈α	␈␈↓ 	s␈ε	e␈↓ β␈εβ,␈α⊂a
␈β∧`␈↓ π}␈εε0
␈β∧q␈↓ 	h␈ε~␈␈εε1
␈β∧u␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈α
v␈α␈ariab␈α␈le␈↓ βE␈ε	X␈↓ βn␈εβwith␈α
d␈α␈en␈α␈si␈α↓ty␈↓ ¬2␈ε	g␈↓ ¬O␈εβca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
com␈α␈pu␈α␈ted␈α
b␈α␈y␈α
se␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈↓ λy␈ε	X␈↓ 	!␈ε↔ ␈↓ 	N␈ε	G␈↓ 

␈εβ(1␈ε↔␈α	␈␈↓ 
\␈ε	V␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈β¬∀␈↓ ∧π␈επ2␈↓ ¬R␈επ2
␈β¬⊗␈↓ ↓i␈∧¬⊗↓iα↓⊃
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε↔p␈↓ βd␈ε~␈␈↓ β⎇␈εt␈↓ ∧∩␈εε/2␈↓ ¬0␈ε~␈␈↓ ¬I␈εt␈↓ ¬↑␈εε/␈α␈2
␈β¬≤␈↓ ↓i␈εβ9␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ2␈↓ α@␈εβln␈↓ αa␈ε	V␈↓ αy␈εβ.␈αN␈α␈o␈α␈w␈↓ βW␈ε	e␈↓ ∧5␈ε↔∀␈εβ␈α	(␈↓ ∧j␈ε	t␈↓ ∧v␈εβ/3␈α␈)␈↓ ¬#␈ε	e␈↓ ε␈εβfo␈α␈r␈↓ ε1␈ε	t␈↓ εF␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈,␈α
so␈αλw␈α␈e␈α	ob␈α␈tain␈αλa␈α	v␈α␈alid␈α	re␈α␈j␈α↓e␈α␈ction␈αλmeth␈α␈od
␈β¬D␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αacc␈α␈ept␈↓ β␈ε	X␈↓ β&␈εβwi␈α↓th␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ ¬≡␈ε	f␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬9␈ε	X␈↓ ¬U␈εβ)/␈↓ ¬p␈ε	c␈↓ ¬⎇␈ε	g␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε_␈ε	X␈↓ ε4␈εβ)␈α	=␈α
3␈α␈/␈↓ π∀␈ε	X␈↓ π/␈εβ.
␈β¬[␈↓ 	T␈ε↓R
␈β¬i␈↓ 	l␈ε~1
␈β¬p␈↓ 	*␈επ2␈↓ 
;␈επ2
␈β¬u␈↓ β"␈ε~0␈↓ λ>␈ε~␈␈εε1␈↓ 	≤␈εx␈↓ 	6␈εε/␈α␈2␈↓ 
_␈ε~␈␈↓ 
1␈εt␈↓ 
F␈εε/2␈↓  ␈εε2
␈β¬y␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβWe␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ β∩␈ε	f␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βE␈εβ)␈α	=␈↓ ∧∧␈ε	x␈↓ ∧∃␈ε	f␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	x␈↓ ∧B␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α¬1␈α	<␈α
0␈α	fo␈α␈r␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε#␈ε↔∃␈εβ␈α
0,␈α
s␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ πA␈ε	f␈↓ πQ␈εβ(␈↓ π\␈ε	x␈↓ πm␈εβ)␈α
=␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λi␈ε↔␈␈↓ 	∂␈ε	e␈↓ 
␈ε	e␈↓ 
e␈ε	d␈↓ 
w␈ε	t␈↓ β␈εβ/␈↓ ∀␈ε	t
␈βε␈↓ 	e␈εx
␈βε≤␈↓ ¬λ␈εε2␈↓ ¬Y␈εε2
␈βε ␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓{␈ε	x␈↓ α⊗␈εβ>␈α
0␈α␈.␈αLet␈↓ β#␈ε	x␈↓ β=␈εβ=␈↓ βh␈ε	a␈↓ ∧4␈εβan␈α␈d␈↓ ∧u␈ε	y␈↓ ¬≥␈εβ=␈↓ ¬H␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ+␈αλ2␈↓ ε,␈εβln␈↓ εN␈εβ2␈α␈;␈αt␈α␈hen
␈βε+␈↓ βw␈εj␈↓ ∧β␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βεD␈↓ αD␈ε↓p␈↓ ¬→␈ε↓p␈↓ πO␈ε↓p
␈βεI␈↓ β"␈ε↓R
␈βεX␈↓ β:␈ε~1
␈βε←␈↓ αh␈∧ε←αhα4␈↓ ∧λ␈επ2␈↓ ¬=␈∧ε←¬=α4␈↓ ε*␈επ2␈↓ πs␈∧ε←πsα4␈↓ λa␈επ2
␈βεc␈↓ βf␈ε~␈␈↓ β␈␈εt␈↓ ∧∀␈εε/␈α␈2␈↓ εβ␈ε~␈␈↓ ε≤␈εx␈↓ ε6␈εε/␈α␈2␈↓ λ9␈ε~␈␈↓ λS␈εx␈↓ λl␈εε/2␈↓ 
↓␈ε~␈␈↓ 
~␈εj
␈βεd␈↓ ¬λ␈εε1␈↓ π?␈εε1
␈βεg␈↓ αh␈εβ2/␈↓ β
␈ε	→␈↓ βY␈ε	e␈↓ ∧2␈ε	d␈↓ ∧E␈ε	t␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬=␈εβ2␈α␈/␈↓ ¬↑␈ε	→␈↓ ¬v␈ε	e␈↓ εO␈ε	f␈↓ ε←␈εβ(␈↓ εj␈ε	y␈↓ ε|␈εβ)␈α	<␈↓ πs␈εβ2/␈↓ λ∀␈ε	→␈↓ λ,␈ε	e␈↓ 	¬␈ε	f␈↓ 	∃␈εβ(␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	2␈εβ)␈α	=␈↓ 	p␈εβ2␈↓ 
&␈εβ,
␈βεu␈↓ ¬λ␈∧εu¬λα
␈↓ π?␈∧εuπ?α
␈βεw␈↓ ¬λ␈εε2␈↓ π?␈εε2
␈βεz␈↓ β3␈εy
␈βπ(␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α$␈ε	y␈↓ α@␈εβ>␈↓ αj␈ε	a␈↓ βε␈εβ.
␈βπ2␈↓ αz␈εj
␈βπX␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβTak␈α}e␈↓ αa␈ε	b␈↓ ββ␈εβ=␈↓ β/␈ε	⊗␈↓ βM␈εβ;␈αco␈α␈nside␈α␈r␈αno␈α}w␈αthe␈αpro␈α␈blem␈αwi␈α↓th␈↓ π3␈ε	⊗␈↓ π[␈εβ=␈α
0␈αfor␈αeach␈↓ 	$␈ε	j␈↓ 	3␈εβ.␈α
In␈αm␈α␈atrix␈αn␈α␈ota␈α␈-
␈βπc␈↓ αm␈εj␈↓ β@␈εj␈↓ πD␈εj
␈βπ|␈↓ ππ␈εT
␈βλ␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n,␈α∞if␈↓ α9␈ε	Y␈↓ α↑␈εβ=␈↓ β␈ε	A␈↓ β"␈ε	X␈↓ β=␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ∧6␈ε	A␈↓ ∧X␈εβ=␈α
(␈↓ ¬⊃␈ε	a␈↓ ¬7␈εβ),␈α∞w␈α␈e␈α
n␈α␈eed␈↓ ε[␈ε	A␈↓ εq␈ε	A␈↓ π&␈εβ=␈↓ πS␈ε	C␈↓ π{␈εβ=␈α(␈↓ λ3␈ε	c␈↓ λV␈εβ).␈α⊃[In␈α
o␈α␈ther␈αnot␈α␈ation␈α␈,␈α∞if
␈βλ
␈↓ α≠␈ε↓P␈↓ π
␈ε↓P
␈βλ␈↓ ¬ ␈εi␈↓ ¬+␈εj␈↓ λ?␈εi␈↓ λJ␈εj
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓p␈εβ=␈↓ αF␈ε	a␈↓ αo␈ε	X␈↓ β∀␈εβ,␈αth␈α␈en␈α
th␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α
of␈↓ ε$␈ε	Y␈↓ εB␈ε	Y␈↓ εl␈εβis␈↓ π8␈ε	a␈↓ π`␈ε	a␈↓ λλ␈εβ.␈α↓]␈αIf␈αth␈α␈is␈αmat␈α␈ri␈α↓x␈α
eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
can
␈βλ2␈↓ ↓[␈εj␈↓ αV␈εj␈↓ αb␈εk␈↓ βε␈εk␈↓ ε7␈εi␈↓ εU␈εj␈↓ πH␈εi␈↓ πR␈εk␈↓ πo␈εj␈↓ π{␈εk
␈βλO␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αλso␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈απfor␈↓ ββ␈ε	A␈↓ β→␈εβ,␈α	it␈αλca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλso␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈απwhen␈↓ ¬a␈ε	A␈↓ ¬␈␈εβis␈αλtrian␈α␈gula␈α␈r,␈α	since␈↓ λ
␈ε	A␈↓ λ-␈εβ=␈↓ λW␈ε	B␈↓ λn␈ε	U␈↓ 	⊃␈εβfo␈α␈r␈αλsom␈α␈e␈αλorth␈α␈og␈α␈ona␈α␈l
␈βλs␈↓ ε∃␈εT
␈βλw␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ α3␈ε	U␈↓ αW␈εβan␈α␈d␈α	so␈α␈me␈α	trian␈α␈gula␈α␈r␈↓ ¬↓␈ε	B␈↓ ¬↔␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈↓ ¬h␈ε	B␈↓ ¬␈␈ε	B␈↓ ε0␈εβ=␈↓ ε[␈ε	C␈↓ εv␈εβ.␈αTh␈α␈e␈α	d␈α␈esired␈α	trian␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α	solutio␈α␈n␈α	can␈αλbe
␈β	~␈↓ ¬I␈εε2␈↓ λ≥␈εε2␈↓ λs␈εε2
␈β	≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α	by␈α	solv␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ ¬9␈ε	a␈↓ ¬k␈εβ=␈↓ ε⊗␈ε	c␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εO␈ε	a␈↓ εw␈ε	a␈↓ π)␈εβ=␈↓ πT␈ε	c␈↓ πy␈εβ,␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ<␈εβ+␈↓ λc␈ε	a␈↓ 	⊗␈εβ=␈↓ 	@␈ε	c␈↓ 	e␈εβ,␈↓ 	y␈ε	a␈↓ 
!␈ε	a␈↓ 
S␈εβ=␈↓ 
}␈ε	c␈↓ #␈εβ,
␈β	)␈↓ ε"␈εε11␈↓ ε↑␈εε11␈↓ ππ␈εε2␈α␈1␈↓ π`␈εε1␈α␈2␈↓ 	L␈εε22␈↓ 
λ␈εε11␈↓ 
1␈εε31␈↓ 
␈εε13
␈β	.␈↓ ¬I␈εε11␈↓ λ≥␈εε2␈α␈1␈↓ λs␈εε22
␈β	F␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓p␈ε	a␈↓ α#␈εβ+␈↓ αO␈ε	a␈↓ αx␈ε	a␈↓ β1␈εβ=␈↓ βc␈ε	c␈↓ ∧λ␈εβ,␈↓ ∧"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧N␈εβ,␈α⊃su␈α␈ccessiv␈α}ely␈α∂for␈↓ εZ␈ε	a␈↓ πβ␈εβ,␈↓ π≥␈ε	a␈↓ πF␈εβ,␈↓ π←␈ε	a␈↓ λλ␈εβ,␈↓ λ"␈ε	a␈↓ λK␈εβ,␈↓ λd␈ε	a␈↓ 	
␈εβ,␈α⊃etc␈α␈.␈α→[␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α(The
␈β	P␈↓ 
-␈ε↓P
␈β	Q␈↓ ↓W␈εε21␈↓ α␈εε3␈α␈1␈↓ α↑␈εε22␈↓ βπ␈εε32␈↓ βo␈εε2␈α␈3␈↓ εj␈εε11␈↓ π,␈εε21␈↓ πo␈εε22␈↓ λ1␈εε31␈↓ λt␈εε32
␈β	j␈↓  ␈εε2
␈β	k␈↓ 
!␈εα(␈↓ ∀␈εα)
␈β	n␈↓ ↓H␈εβc␈α␈o␈α␈va␈α␈ri␈α↓a␈α␈nc␈α␈e␈αmatrix␈αm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αsemid␈α␈e|n␈α␈ite,␈α
sin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ 
Y␈ε	y␈↓ 
t␈ε	Y
␈β	w␈↓ ↓l␈ε↓P
␈β	x␈↓ 
h␈εj␈↓ λ␈εj
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβis␈↓ α↔␈ε	c␈↓ α:␈ε	y␈↓ αU␈ε	y␈↓ αp␈εβ,␈α∂which␈α∞m␈α}ust␈α∞b␈α␈e␈α∞no␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e.␈α∀And␈α
there␈α
i␈α↓s␈α∞a␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α∞a␈α∞so␈α␈lution␈α
when␈↓ 
m␈ε	C␈↓ ⊗␈εβis
␈β
 ␈↓ α#␈εi␈↓ α.␈εj␈↓ αJ␈εi␈↓ αd␈εj
␈β
9␈↓ ¬M␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
=␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ositiv␈α␈e␈α
sem␈α␈i␈α↓d␈α␈e|n␈α␈ite,␈α∞since␈↓ ∧\␈ε	C␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬2␈ε	U␈↓ ¬s␈εβdiag␈↓ ε0␈εβ(␈↓ ε;␈ε	∃␈↓ ε[␈εβ,␈↓ εi␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π⊗␈εβ,␈↓ π%␈ε	∃␈↓ πG␈εβ)␈↓ πR␈ε	U␈↓ πn␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈α
the␈α
eige␈α␈n␈α␈va␈α␈lues␈↓ 
T␈ε	∃␈↓ ␈εβare
␈β
G␈↓ εN␈εε1␈↓ π7␈εn␈↓ 
g␈εj
␈β
`␈↓ βg␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧v␈∧
`∧vα ␈↓ ε␈∧
`εα#
␈β
a␈↓ ∧U␈ε↔p␈↓ ¬←␈ε↔p
␈β
d␈↓ ↓H␈εβn␈α␈on␈α␈neg␈α␈ativ␈α␈e␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ βL␈ε	U␈↓ ∧
␈εβd␈α␈iag␈↓ ∧J␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	∃␈↓ ¬∃␈εβ,␈↓ ¬$␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬P␈εβ,␈↓ ε␈ε	∃␈↓ ε#␈εβ)␈↓ ε.␈ε	U␈↓ εU␈εβis␈αa␈αso␈α␈lution␈α␈.␈α↓]
␈β
o␈↓ ¬λ␈εε1␈↓ ε∪␈εn
␈β∃␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈ε	F␈↓ α#␈εβ(␈↓ α.␈ε	x␈↓ α@␈εβ/␈↓ αP␈ε	c␈↓ α]␈εβ)␈αif␈↓ β∪␈ε	c␈↓ β)␈εβ>␈α
0␈α␈,␈αa␈αs␈α␈tep␈αfu␈α␈nction␈α
if␈↓ ¬}␈ε	c␈↓ ε∀␈εβ=␈α	0,␈αand␈α
1␈ε↔␈απ␈␈↓ πe␈ε	F␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	x␈↓ λ→␈εβ/␈↓ λ)␈ε	c␈↓ λ6␈εβ)␈αi␈α↓f␈↓ λl␈ε	c␈↓ 	α␈εβ<␈α
0␈α␈.
␈β,␈↓ βI␈ε↓R␈↓ ε}␈ε↓R
␈β:␈↓ βa␈ε~1␈↓ π⊗␈ε~1
␈βJ␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβDistribu␈α␈tion␈↓ ∧∩␈ε	F␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε	x␈↓ ∧U␈ε↔␈␈↓ ∧⎇␈ε	t␈↓ ¬	␈εβ)␈↓ ¬~␈ε	d␈↓ ¬,␈ε	F␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	t␈↓ ¬c␈εβ).␈αDen␈α␈sity␈↓ πG␈ε	f␈↓ π↑␈εβ(␈↓ πi␈ε	x␈↓ λα␈ε↔␈␈↓ λ*␈ε	t␈↓ λ6␈εβ)␈↓ λA␈ε	f␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε	t␈↓ λo␈εβ)␈↓ 	␈ε	d␈↓ 	∩␈ε	t␈↓ 	≡␈εβ.␈αTh␈α␈is␈αi␈α↓s␈αca␈α␈l␈α↓led␈α
the
␈βT␈↓ ∧$␈εε1␈↓ ¬?␈εε2␈↓ πQ␈εε1␈↓ λL␈εε2
␈β\␈↓ βZ␈ε~␈1␈↓ π∂␈ε~␈1
␈βq␈↓ ↓H␈ε⊂c␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈n␈εβ␈αof␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈en␈α
distribu␈α␈tion␈α␈s.
␈β∧␈↓ λL␈ε↓R
␈β∪␈↓ λd␈ε~1
␈β"␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIt␈α∞is␈α∞cl␈α↓e␈α␈ar␈α∞th␈α␈at␈↓ βt␈ε	f␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	t␈↓ ∧≠␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ ∧d␈ε	c␈↓ ∧q␈ε	g␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬␈ε	t␈↓ ¬↔␈εβ)␈α∂fo␈α␈r␈α∞all␈↓ ε→␈ε	t␈↓ ε3␈εβa␈α␈s␈α∞requ␈α␈ired.␈α∀Sin␈α␈ce␈↓ 	β␈ε	g␈↓ 	∩␈εβ(␈↓ 	≡␈ε	t␈↓ 	)␈εβ)␈↓ 	:␈ε	d␈↓ 	M␈ε	t␈↓ 	g␈εβ=␈α∞1␈α∞w␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β4␈↓ λ]␈εε0
␈βE␈↓ αT␈εa␈↓ αa␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬⊃␈ε~␈␈↓ ¬+␈εt
␈βI␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	t␈↓ ↓n␈εβ)␈α
=␈↓ α-␈ε	C␈↓ αH␈ε	t␈↓ β⊂␈εβfor␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧ε␈ε	t␈↓ ∧≤␈εβ<␈α	1,␈↓ ∧i␈ε	C␈↓ ¬∧␈ε	e␈↓ ¬=␈εβfor␈↓ ¬o␈ε	t␈↓ ε∧␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,␈α
whe␈α␈re␈↓ π0␈ε	C␈↓ πT␈εβ=␈↓ π␈␈ε	a␈↓ λ∂␈ε	e␈↓ λ≤␈εβ/(␈↓ λ8␈ε	a␈↓ λM␈εβ+␈↓ λs␈ε	e␈↓ 	␈εβ).␈αA␈α	ra␈α␈nd␈α␈om␈α	v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e
␈βm␈↓ 
O␈εε1/␈↓ 
i␈εa
␈βq␈↓ ↓H␈εβwith␈α
den␈α␈sity␈↓ β∞␈ε	g␈↓ β+␈εβis␈α∞easy␈α
to␈α
obta␈α␈in␈α∞a␈α␈s␈α∞a␈α∞mix␈α␈ture␈α
of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞d␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈↓ 	7␈ε	G␈↓ 	Y␈εβ(␈↓ 	e␈ε	x␈↓ 	v␈εβ)␈α∞=␈↓ 
>␈ε	x␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β|␈↓ 	M␈εε1
␈β
∃␈↓ ¬β␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬)␈εx
␈β
→␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	x␈↓ α'␈εβ<␈α	1,␈αan␈α␈d␈↓ β7␈ε	G␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βe␈ε	x␈↓ βv␈εβ)␈α
=␈α	1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧v␈ε	e␈↓ ¬B␈εβfor␈↓ ¬v␈ε	x␈↓ ε⊃␈ε↔∃␈εβ␈α	1:
␈β
#␈↓ βM␈εε2
␈β
O␈↓ α∩␈ε∪G␈α␈1.␈↓ αP␈εβ[␈α↓In␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ize␈α␈.␈α↓]␈α∩S␈α␈et␈↓ ∧2␈ε	p␈↓ ∧M␈ε↔ ␈↓ ∧w␈ε	e␈↓ ¬∧␈εβ/(␈↓ ¬ ␈ε	a␈↓ ¬4␈εβ+␈↓ ¬Y␈ε	e␈↓ ¬f␈εβ).␈α
(T␈α↓h␈α␈is␈αλi␈α↓s␈αλth␈α␈e␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈αλth␈α␈at␈↓ 	≤␈ε	G␈↓ 	G␈εβsho␈α␈uld␈αλb␈α␈e␈αλused␈α␈.)
␈β
Y␈↓ 	2␈εε1
␈β
⎇␈↓ α∩␈ε∪G␈α␈2.␈↓ αP␈εβ[␈α↓Ge␈α␈nera␈α␈te␈↓ βj␈ε	G␈↓ ∧∂␈εβdev␈α␈i␈α↓a␈α␈te.]␈α≥Ge␈α␈nera␈α␈te␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈αun␈α␈if␈α↓o␈α␈rm␈α
d␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈tes␈↓ 	x␈ε	U␈↓ 
∪␈εβ,␈↓ 
)␈ε	V␈↓ 
A␈εβ,␈α
where
␈β∞!␈↓ εε␈εε1␈α␈/␈↓ ε∨␈εa␈↓ πN␈ε~␈␈↓ πh␈εX
␈β∞%␈↓ αP␈ε	V␈↓ αt␈ε↔≤␈εβ␈α0.␈α∂If␈↓ βl␈ε	U␈↓ ∧∩␈εβ<␈↓ ∧?␈ε	p␈↓ ∧P␈εβ,␈αset␈↓ ¬≠␈ε	X␈↓ ¬A␈ε↔ ␈↓ ¬n␈ε	V␈↓ ε9␈εβa␈α␈nd␈↓ ε{␈ε	q␈↓ π∃␈ε↔ ␈↓ πA␈ε	e␈↓ π⎇␈εβ;␈α
oth␈α␈erwise␈αset␈↓ 	]␈ε	X␈↓ 
∧␈ε↔ ␈εβ␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
s␈εβl␈α↓n␈↓ ∃␈ε	V
␈β∞I␈↓ βo␈εa␈↓ β⎇␈ε~␈␈εε1
␈β∞M␈↓ αP␈εβand␈↓ β⊃␈ε	q␈↓ β)␈ε↔ ␈↓ βT␈ε	X␈↓ ∧"␈εβ.␈α(No␈α}w␈↓ ¬∂␈ε	X␈↓ ¬5␈εβha␈α␈s␈αden␈α␈sity␈↓ εe␈ε	g␈↓ εu␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ πJ␈ε	q␈↓ πb␈εβ=␈↓ λ␈ε	f␈↓ λ≤␈εβ(␈↓ λ'␈ε	X␈↓ λC␈εβ)/␈↓ λ↑␈ε	c␈↓ λk␈ε	g␈↓ λ{␈εβ(␈↓ 	ε␈ε	X␈↓ 	"␈εβ).)
␈β∞{␈↓ α∩␈ε∪G␈α␈3.␈↓ αP␈εβ[␈α↓Re␈α␈j␈α↓e␈α␈ct?]␈α~G␈α␈ener␈α␈ate␈αa␈αn␈α␈ew␈αun␈α␈if␈α↓o␈α␈rm␈αd␈α␈eviate␈↓ πH␈ε	U␈↓ πc␈εβ.␈αIf␈↓ λ_␈ε	U␈↓ λ=␈ε↔∃␈↓ λg␈ε	q␈↓ λv␈εβ,␈αreturn␈α
to␈αG2␈α␈.
␈β∞⎇␈↓ 
r␈∧∞⎇
r≠∂
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αi␈α↓te␈α␈ration␈α␈s␈αi␈α↓s␈↓ ¬Z␈ε	c␈↓ ¬p␈εβ=␈α	(␈↓ ε&␈ε	a␈↓ ε=␈εβ+␈↓ εf␈ε	e␈↓ εs␈εβ)/␈↓ π∂␈ε	e␈↓ π≤␈εβ␈(␈↓ π;␈ε	a␈↓ πS␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α
<␈α	1.4.
␈β∂Y␈↓ α␈εβIt␈αis␈α
possib␈α␈l␈α↓e␈α
to␈α
strea␈α␈mli␈α↓n␈α␈e␈αt␈α␈his␈αp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈αin␈α
sev␈α}eral␈αwa␈α␈ys.␈αFirst,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
repla␈α␈ce␈↓ ∃␈ε	V
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αan␈αexp␈α␈on␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈α
d␈α␈eviate␈↓ ∧R␈ε	Y␈↓ ∧w␈εβo␈α␈f␈α
m␈α␈ean␈α1␈α␈,␈α
gen␈α␈era␈α␈ted␈αb␈α␈y␈αAlgorith␈α␈m␈αS␈↓ 	≤␈εβ,␈α
sa␈α␈y,␈α
a␈α␈nd␈αt␈α␈hen␈αw␈α␈e
␈β⊂$␈↓ α\␈ε~␈␈↓ αu␈εY␈↓ β	␈εε/␈↓ β∃␈εa␈↓ 
≤␈ε~␈␈↓ 
5␈εX
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβse␈α␈t␈↓ ↓|␈ε	X␈↓ α#␈ε↔ ␈↓ αO␈ε	e␈↓ β/␈εβo␈α␈r␈↓ βX␈ε	X␈↓ β␈␈ε↔ ␈εβ␈α1␈αλ+␈↓ ∧m␈ε	Y␈↓ ¬∩␈εβin␈αth␈α␈e␈αt␈α␈w␈α␈o␈αcase␈α␈s.␈α∂M␈α␈oreo␈α}v␈α␈er,␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αset␈↓ 	8␈ε	q␈↓ 	Q␈ε↔ ␈↓ 	}␈ε	p␈↓ 
∂␈ε	e␈↓ 
V␈εβi␈α↓n␈αthe
␈β⊂L␈↓ ¬∀␈εa␈↓ ¬!␈ε~␈␈εε1
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈rst␈α
case␈α
an␈α␈d␈↓ β⊃␈ε	q␈↓ β)␈ε↔ ␈↓ βS␈ε	p␈↓ βk␈εβ+␈αε(␈α↓1␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧\␈ε	p␈↓ ∧m␈εβ)␈↓ ∧x␈ε	X␈↓ ¬Q␈εβi␈α↓n␈α	the␈α
seco␈α␈nd␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
can␈α
u␈α␈se␈α
the␈α
o␈α␈ri␈α↓g␈α␈inal␈↓ 	y␈ε	U␈↓ 
∨␈εβin␈α␈stead␈α
o␈α␈f
␈β⊂s␈↓ 	?␈εε1/␈↓ 	X␈εa
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α	newly␈α	gen␈α␈erated␈α	on␈α␈e␈α
in␈α
ste␈α␈p␈α
G3.␈α
F␈α↓in␈α␈all␈α↓y␈α	if␈↓ εM␈ε	U␈↓ εr␈εβ<␈↓ π≤␈ε	p␈↓ π-␈εβ/␈↓ π>␈ε	e␈↓ πU␈εβw␈α␈e␈α
ca␈α␈n␈α
ac␈α␈cep␈α␈t␈↓ 	'␈ε	V␈↓ 	p␈εβimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α␈,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈oid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈lation␈α
of␈↓ ∧V␈ε	q␈↓ ∧p␈εβab␈α␈ou␈α␈t␈α3␈α␈0␈αp␈α␈ercen␈α}t␈αof␈αthe␈αtime␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα635
␈βα%␈↓ ∧f␈ε~b␈↓ ∧p␈εx␈↓ ∧}␈ε~c
␈βα&␈↓ λ2␈εα(␈↓ 	y␈εα)
␈βα)␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ α@␈ε	F␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε	x␈↓ αs␈εβ)␈α
=␈α1␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧J␈ε	p␈↓ ∧[␈εβ)␈↓ ¬λ␈εβ,␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ ¬T␈ε	x␈↓ ¬r␈ε↔∃␈εβ␈α0.␈α≥(b)␈↓ π␈ε	G␈↓ π%␈εβ(␈↓ π0␈ε	z␈↓ π=␈εβ)␈α
=␈↓ λα␈ε	p␈↓ λ∪␈ε	z␈↓ λ!␈εβ/␈↓ λ>␈εβ1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	O␈ε	p␈↓ 	`␈εβ)␈↓ 	k␈ε	z␈↓ 
¬␈εβ.␈α≥(c)␈α
M␈α␈ean
␈βαN␈↓ ∧F␈∧αN∧FαR
␈βαO␈↓ ∧%␈ε↔p
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	p␈↓ ↓z␈εβ,␈α	stand␈α␈ard␈αλde␈α␈viation␈↓ ∧F␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬π␈ε	p␈↓ ¬_␈εβ/␈↓ ¬)␈ε	p␈↓ ¬:␈εβ.␈α
To␈α	d␈α␈o␈α	th␈α␈e␈α	latter␈α	c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α	obs␈α␈erv␈α␈e␈α	t␈α␈hat␈αλi␈α↓f␈↓ 
C␈ε	H␈↓ 
↑␈εβ(␈↓ 
i␈ε	z␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βαt␈↓ βo␈ε~0␈↓ εα␈ε~00␈↓ ε}␈ε~0␈↓ λ␈ε~0␈↓ λ9␈εε2
␈βαu␈↓ πX␈εα(␈↓ λ-␈εα)
␈βαx␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓]␈εβ+␈αε(1␈ε↔␈αε␈␈↓ αM␈ε	q␈↓ α\␈εβ)␈↓ αg␈ε	z␈↓ αu␈εβ,␈α
then␈↓ βS␈ε	H␈↓ βu␈εβ(1)␈α	=␈α	1␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬∞␈ε	q␈↓ ¬'␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬f␈ε	H␈↓ ε∞␈εβ(1)␈αε+␈↓ εc␈ε	H␈↓ π∧␈εβ(1)␈ε↔␈αε␈␈↓ πd␈ε	H␈↓ λε␈εβ(1)␈↓ λO␈εβ=␈↓ λy␈ε	q␈↓ 	λ␈εβ(1␈ε↔␈αε␈␈↓ 	Q␈ε	q␈↓ 	`␈εβ),␈αso␈α	the␈α
m␈α␈ean
␈ββ ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α	v␈α␈arian␈α␈ce␈α	of␈α	1/␈↓ βQ␈ε	H␈↓ βl␈εβ(␈↓ βw␈ε	z␈↓ ∧¬␈εβ)␈α	are␈↓ ∧O␈ε	q␈↓ ∧c␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	and␈↓ ¬b␈ε	q␈↓ ¬q␈εβ(␈↓ ¬|␈ε	q␈↓ ε⊂␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈),␈α
respe␈α␈ctiv␈α␈ely.␈α
(See␈α	S␈α␈ection␈α	1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈0.)␈αIn␈α	th␈α␈is
␈ββH␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase,␈↓ α↔␈ε	q␈↓ α/␈εβ=␈α
1␈α␈/␈↓ α{␈ε	p␈↓ β␈εβ;␈αthe␈αe␈α␈xtra␈αfa␈α␈ctor␈↓ ¬⊃␈ε	z␈↓ ¬*␈εβin␈αth␈α␈e␈αn␈α}umer␈α␈ator␈αo␈α␈f␈↓ πS␈ε	G␈↓ πl␈εβ(␈↓ πw␈ε	z␈↓ λ¬␈εβ)␈αinc␈α␈rease␈α␈s␈αt␈α␈he␈αme␈α␈an␈αb␈α␈y␈αo␈α␈ne.
␈ββx␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αG␈ε	N␈↓ αq␈ε↔ ␈↓ β≡␈ε	N␈↓ βL␈εβ+␈↓ βv␈ε	N␈↓ ∧$␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
whe␈α␈re␈↓ ¬V␈ε	N␈↓ ελ␈εβa␈α␈nd␈↓ εJ␈ε	N␈↓ ε|␈εβind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈tly␈αh␈α␈av␈α}e␈α
th␈α␈e␈α
g␈α␈eom␈α␈etric␈α
d␈α␈is-
␈β∧α␈↓ β7␈εε1␈↓ ∧∂␈εε2␈↓ ¬o␈εε1␈↓ εc␈εε2
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εβtrib␈α␈ution␈α
for␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ ∧4␈ε	p␈↓ ∧E␈εβ.␈α(Cons␈α␈i␈α↓d␈α␈er␈αthe␈α
gen␈α␈eratin␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈α␈.␈α↓)
␈β∧O␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αF␈ε	N␈↓ αo␈ε↔ ␈↓ β~␈ε	N␈↓ βG␈εβ+␈↓ βp␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	N␈↓ ∧r␈ε↔␈␈↓ ¬≠␈ε	t␈↓ ¬'␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈αth␈α␈e␈↓ εW␈ε	N␈↓ ππ␈εβha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αgeo␈α␈metric␈αdistribu␈α␈tion␈αfor␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β∧Z␈↓ β3␈εε1␈↓ ∧a␈εt␈↓ εp␈εj
␈β∧w␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈i␈α↓s␈α
i␈α↓s␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αfailure␈α␈s␈αbefo␈α␈re␈αthe␈↓ ε)␈ε	t␈↓ ε5␈εβth␈αsu␈α␈cces␈α␈s,␈αwh␈α␈en␈αa␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈αind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈β¬∨␈↓ ↓H␈εβtria␈α␈l␈α↓s␈αa␈α␈re␈αmad␈α␈e␈αea␈α␈ch␈αof␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αsu␈α␈cceed␈α␈s␈αwith␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈↓ π⎇␈ε	p␈↓ λ∞␈εβ.)
␈β¬C␈↓ β\␈εε1␈↓ λ&␈εα(␈↓ 
>␈εα)
␈β¬F␈↓ α␈εβFor␈↓ αL␈ε	t␈↓ αc␈εβ=␈↓ β∂␈ε	p␈↓ β+␈εβ=␈↓ βl␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αi␈α↓n␈αgen␈α␈eral␈αwhen␈αthe␈αm␈α␈ean␈αv␈α␈alue␈↓ λ2␈εβn␈α␈am␈α␈ely␈↓ 	'␈ε	t␈↓ 	3␈εβ(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
⊃␈εβ)/␈↓ 
-␈ε	p␈↓ 
V␈εβof␈αthe
␈β¬L␈↓ 	&␈ε↓␈␈↓ 

␈ε↓↓
␈β¬T␈↓ β\␈∧¬Tβ\α
␈β¬V␈↓ β\␈εε2
␈β¬f␈↓ 	4␈εt␈↓ 	=␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈+␈↓ 	|␈εn
␈β¬j␈↓ 
,␈εt␈↓ ≤␈εn
␈β¬n␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈αs␈α␈mall,␈αwe␈α
can␈α
simp␈α␈l␈α↓y␈α
ev␈α␈alu␈α␈ate␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈↓ λR␈ε	p␈↓ λ{␈εβ=␈↓ 
≠␈ε	p␈↓ 
5␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ␈ε	p␈↓ ⊃␈εβ)
␈β¬x␈↓ λb␈εn
␈β¬}␈↓ 	X␈εn
␈βε∃␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onse␈α␈cutiv␈α}ely␈αfor␈↓ βH␈ε	n␈↓ βe␈εβ=␈α
0␈α␈,␈α1␈α␈,␈α2␈α␈,␈↓ ∧␈␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬1␈εβa␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αalgo␈α␈rithm:
␈βεE␈↓ ¬z␈εt
␈βεI␈↓ α∃␈ε∪B1.␈↓ αP␈εβ[␈α↓In␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ize␈α␈.␈α↓]␈α⊃Set␈↓ ∧1␈ε	N␈↓ ∧Z␈ε↔ ␈εβ␈α	0,␈↓ ¬'␈ε	q␈↓ ¬?␈ε↔ ␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ ε∧␈εβ,␈↓ ε⊗␈ε	r␈↓ ε.␈ε↔ ␈↓ εX␈ε	q␈↓ εg␈εβ,␈α	a␈α␈nd␈απgen␈α␈erate␈αλa␈απran␈α␈do␈α␈m␈αλun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rm␈αλd␈α␈eviate
␈βεq␈↓ αP␈ε	U␈↓ αl␈εβ.␈α
(␈α↓We␈α	wi␈α↓ll␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ ∧O␈ε	q␈↓ ∧g␈εβ=␈↓ ¬⊃␈ε	p␈↓ ¬B␈εβand␈↓ εα␈ε	r␈↓ ε→␈εβ=␈↓ εD␈ε	p␈↓ εf␈εβ+␈↓ π␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π9␈εβ+␈↓ π←␈ε	p␈↓ λ⊂␈εβdu␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α	this␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m,␈α
which
␈βε|␈↓ ¬!␈εN␈↓ εT␈εε0␈↓ πo␈εN
␈βπ→␈↓ αP␈εβstop␈α␈s␈αa␈α␈s␈αsoo␈α␈n␈αas␈↓ ∧C␈ε	U␈↓ ∧g␈εβ<␈↓ ¬∩␈ε	r␈↓ ¬ ␈εβ.␈α↓)
␈βπF␈↓ α∃␈ε∪B2.␈↓ αP␈εβ[␈α↓S␈α␈earc␈α␈h.]␈αI␈α↓f␈↓ βy␈ε	U␈↓ ∧≥␈ε↔∃␈↓ ∧H␈ε	r␈↓ ∧V␈εβ,␈αse␈α␈t␈↓ ¬≡␈ε	N␈↓ ¬G␈ε↔ ␈↓ ¬q␈ε	N␈↓ ε↔␈εβ+␈αλ1,␈↓ εe␈ε	q␈↓ ε⎇␈ε↔ ␈↓ π'␈ε	q␈↓ π6␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λα␈ε	p␈↓ λ∪␈εβ)(␈↓ λ)␈ε	t␈↓ λ<␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈απ+␈↓ 	&␈ε	N␈↓ 	D␈εβ)␈α↓/␈↓ 	`␈ε	N␈↓ 	␈␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	r␈↓ 
+␈ε↔ ␈↓ 
V␈ε	r␈↓ 
l␈εβ+␈↓ ∀␈ε	q␈↓ #␈εβ,
␈βπn␈↓ αP␈εβand␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈i␈α↓s␈αste␈α␈p.
␈βπp␈↓ ¬!␈∧πp¬!≠∂
␈βλ"␈↓ α␈εβ[An␈α∂in␈α␈tere␈α␈sting␈α∂tec␈α␈hn␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈α∂fo␈α␈r␈α∂the␈α∂n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α∂bin␈α␈omial␈α∂distrib␈α␈ution␈α␈,␈α⊃fo␈α␈r␈α⊂a␈α␈rbitra␈α␈ri␈α↓ly
␈βλI␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈α
rea␈α␈l␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
o␈α␈f␈↓ βa␈ε	t␈↓ βm␈εβ,␈αh␈α␈as␈α
b␈α␈een␈α	su␈α␈gges␈α␈ted␈α
b␈α␈y␈α	R.␈α
L␈↓ π␈εβ∞␈↓ π
␈εβe␈↓ π≠␈εβger:␈αFirst␈α
g␈α␈ene␈α␈rate␈α
a␈α	ran␈α␈do␈α␈m␈α
ga␈α␈mma
␈βλq␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈↓ α<␈ε	X␈↓ αc␈εβo␈α␈f␈αo␈α␈rder␈↓ βa␈ε	t␈↓ βl␈εβ,␈αth␈α␈en␈αlet␈↓ ∧⎇␈ε	N␈↓ ¬'␈εβb␈α␈e␈αa␈αran␈α␈do␈α␈m␈αPoisson␈α
dev␈α␈iate␈αof␈αme␈α␈an␈↓ 	T␈ε	X␈↓ 	o␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
;␈ε	p␈↓ 
L␈εβ)/␈↓ 
h␈ε	p␈↓ 
y␈εβ.]
␈β	!␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβR1␈↓ α?␈εβ=␈α
1␈απ+␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βw␈ε	A␈↓ ∧
␈εβ/␈ε	R␈εβ)␈ε↔␈απ↓␈↓ ∧X␈εβR1␈↓ ¬α␈εβ.␈αW␈α↓h␈α␈en␈αR2␈αis␈αpe␈α␈rformed␈α␈,␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ates␈αwith
␈β	I␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ αt␈ε	I␈↓ ββ␈εβ/␈ε	␈α␈R␈εβ;␈αwh␈α␈en␈αR3␈α
i␈α↓s␈αp␈α␈erform␈α␈ed,␈αit␈αgoe␈α␈s␈αto␈αR1␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ 	S␈ε	E␈↓ 	j␈εβ/␈ε	R␈εβ.␈αWe␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
α␈↓ αE␈εβR1␈↓ β7␈ε	R␈εβ/␈↓ β←␈ε	A␈↓ ∧p␈ε	R␈εβ/␈↓ ¬_␈ε	A␈↓ ε`␈ε	R␈εβ/␈↓ πλ␈ε	A␈↓ 	π␈ε	R␈εβ/␈↓ 	/␈ε	A
␈β
)␈↓ αE␈εβR2␈↓ βN␈εβ0␈↓ ∧p␈ε	R␈εβ/␈↓ ¬_␈ε	A␈↓ εv␈εβ0␈↓ 	π␈ε	R␈εβ/␈↓ 	/␈ε	A
␈β
Q␈↓ αE␈εβR3␈↓ βN␈εβ0␈↓ ¬ε␈εβ0␈↓ ε`␈ε	R␈εβ/␈↓ πλ␈ε	A␈↓ λT␈ε	R␈εβ/␈↓ λ|␈ε	A␈↓ 	→␈ε↔␈␈↓ 	B␈ε	I␈↓ 	Q␈εβ/␈↓ 	b␈ε	A
␈β
y␈↓ αE␈εβR4␈↓ β7␈ε	R␈εβ/␈↓ β←␈ε	A␈↓ ∧=␈ε	R␈εβ/␈↓ ∧e␈ε	A␈↓ ¬α␈ε↔␈␈↓ ¬+␈ε	I␈↓ ¬:␈εβ/␈↓ ¬K␈ε	A␈↓ ε)␈ε	R␈εβ/␈↓ εP␈ε	A␈↓ εn␈ε↔␈␈↓ π↔␈ε	E␈↓ π.␈εβ/␈↓ π?␈ε	A␈↓ λ≥␈ε	R␈εβ/␈↓ λE␈ε	A␈↓ λb␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	I␈↓ 	~␈εβ/␈↓ 	*␈ε	A␈↓ 	H␈ε↔␈␈↓ 	q␈ε	E␈↓ 
λ␈εβ/␈↓ 
→␈ε	A
␈β∨␈↓ αW␈ε↓p␈↓ ¬)␈ε↓p
␈β:␈↓ α{␈∧:α{α/␈↓ ¬M␈∧:¬Mα4
␈βC␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	R␈εβ␈α	=␈↓ α{␈εβ8/␈↓ β≤␈ε	e␈↓ β3␈ε↔→␈εβ␈α	1.71␈α␈153␈α␈;␈↓ ∧←␈ε	A␈↓ ∧}␈εβ=␈↓ ¬M␈ε	→␈↓ ¬←␈εβ/2␈↓ ε
␈ε↔→␈εβ␈α	1.25␈α␈331␈α␈.␈αS␈α␈ince
␈βm␈↓ βK␈ε↓Z
␈β{␈↓ π	␈ε↓␈␈↓ λg␈ε↓↓
␈β∃␈↓ ∧*␈∧∃∧*αb
␈β⊗␈↓ ∧	␈ε↔p
␈β_␈↓ εc␈εε3/2␈↓ 	∪␈εε2
␈β→␈↓ π≠␈εε2␈↓ λW␈εε2
␈β≤␈↓ βu␈ε	u␈↓ ∧*␈ε	a␈↓ ∧B␈ε↔␈␈↓ ∧j␈ε	b␈↓ ∧x␈ε	u␈↓ ¬⊃␈ε	d␈↓ ¬$␈ε	u␈↓ ¬A␈εβ=␈α	(␈↓ ¬w␈ε	a␈↓ ε∞␈ε↔␈␈↓ ε7␈ε	b␈↓ εD␈ε	u␈↓ εX␈εβ)␈↓ π+␈εβ(␈↓ π6␈ε	a␈↓ πN␈ε↔␈␈↓ πw␈ε	b␈↓ λ∧␈ε	u␈↓ λ_␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λu␈εβ/␈↓ 	ε␈ε	b␈↓ 	 ␈εβ,
␈β*␈↓ π≠␈∧*π≠α
␈↓ λW␈∧*λWα
␈β-␈↓ π≠␈εε5␈↓ λW␈εε3
␈βX␈↓ β⊂␈ε↓R
␈βg␈↓ β(␈εa␈↓ β5␈εε/␈↓ βB␈εb
␈βp␈↓ ∧π␈∧p∧παb
␈βr␈↓ βf␈ε↔p␈↓ ¬}␈εε5␈α␈/2␈↓ εA␈εε2
␈βs␈↓ ¬W␈εε4
␈βv␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αI␈ε	I␈↓ αc␈εβ=␈↓ βR␈ε	u␈↓ ∧π␈ε	a␈↓ ∧∨␈ε↔␈␈↓ ∧H␈ε	b␈↓ ∧U␈ε	u␈↓ ∧o␈ε	d␈↓ ¬↓␈ε	u␈↓ ¬ ␈εβ=␈↓ ¬m␈ε	a␈↓ ε#␈εβ/␈↓ ε4␈ε	b␈↓ εZ␈εβwhe␈α␈re␈↓ π;␈ε	a␈↓ πW␈εβ=␈α4(1␈αλ+␈↓ λa␈εβln␈↓ 	α␈ε	c␈↓ 	∂␈εβ)␈α
a␈α␈nd␈↓ 	h␈ε	b␈↓ 
↓␈εβ=␈α4␈↓ 
>␈ε	c␈↓ 
K␈εβ;␈α
wh␈α␈en
␈β
β␈↓ ¬S␈ε↓p
␈β
¬␈↓ ¬P␈∧
¬¬Pα~
␈β
π␈↓ ¬P␈εε15
␈β
	␈↓ β!␈εε0
␈β
≡␈↓ ¬w␈∧
≡¬wα/
␈β
"␈↓ α∃␈εε1/4
␈β
#␈↓ ¬B␈εε5
␈β
&␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓↑␈εβ=␈↓ αλ␈ε	e␈↓ α;␈εβ,␈↓ αN␈ε	I␈↓ αg␈εβh␈α␈as␈α	its␈α
m␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈α	valu␈α␈e␈↓ ¬w␈εβ5␈α␈/␈↓ ε_␈ε	e␈↓ ε.␈ε↔→␈εβ␈α
1␈α␈.␈α↓1␈α␈302␈α␈0.␈αFina␈α␈ll␈α↓y␈α	th␈α␈e␈α	foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈ration
␈β
5␈↓ ¬B␈∧
5¬Bα
␈β
7␈↓ ¬B␈εε6
␈β
N␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈α␈ulas␈αa␈α␈re␈αne␈α␈eded␈α
for␈↓ ∧*␈ε	E␈↓ ∧A␈εβ:
␈β
m␈↓ ↓x␈ε↓Z
␈β∞∪␈↓ αB␈∧∞∪αBα↓β
␈β∞∀␈↓ α!␈ε↔p
␈β∞∃␈↓ λJ␈∧∞∃λJα↓β
␈β∞⊗␈↓ λ(␈ε↔p
␈β∞_␈↓ ∧(␈εε1␈↓ ∧F␈εε2␈↓ ∧c␈ε~␈␈εε3/␈α␈2␈↓ πU␈εε1␈↓ λβ␈ε~␈␈εε1
␈β∞~␈↓ β8␈εε2␈↓ 	@␈εε2
␈β∞≤␈↓ αB␈ε	b␈↓ αP␈ε	u␈↓ αk␈ε↔␈␈↓ β∀␈ε	a␈↓ β$␈ε	u␈↓ βJ␈ε	d␈↓ β]␈ε	u␈↓ βz␈εβ=␈↓ ∧9␈ε	b␈↓ ∧R␈ε	a␈↓ ¬"␈εβa␈α␈rcsin␈↓ ¬w␈εβ(2␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε'␈ε	a␈↓ ε7␈εβ/␈↓ εH␈ε	b␈↓ ε\␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈απ+␈↓ πe␈ε	b␈↓ πr␈ε	a␈↓ λJ␈ε	b␈↓ λW␈ε	u␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ 	≠␈ε	a␈↓ 	+␈ε	u␈↓ 	L␈εβ(2␈↓ 	h␈ε	u␈↓ 	|␈ε	a␈↓ 
␈εβ/␈↓ 
≥␈ε	b␈↓ 
2␈ε↔␈␈εβ␈απ1),
␈β∞*␈↓ ∧(␈∧∞*∧(α
␈↓ πU␈∧∞*πUα
␈β∞,␈↓ ∧(␈εε8␈↓ πU␈εε4
␈β∞H␈↓ ↓u␈ε↓Z
␈β∞Q␈↓ α≡␈ε↓p
␈β∞R␈↓ ¬x␈ε↓p
␈β∞U␈↓ ¬j␈ε↓␈␈↓ 	%␈ε↓↓
␈β∞l␈↓ αB␈∧∞lαBα↓β
␈β∞m␈↓ ε≤␈∧∞mε≤α↓β
␈β∞s␈↓ ∧J␈εε1␈↓ ∧g␈εε2␈↓ ¬∧␈ε~␈␈εε3/2
␈β∞t␈↓ β8␈εε2␈↓ π∩␈εε2
␈β∞u␈↓ λ∧␈∧∞uλ∧α⊃␈↓ 	∀␈∧∞u	∀α⊃
␈β∞v␈↓ πc␈ε↔p␈↓ λs␈ε↔p
␈β∞w␈↓ αB␈ε	b␈↓ αP␈ε	u␈↓ αk␈εβ+␈↓ β∀␈ε	a␈↓ β$␈ε	u␈↓ βJ␈ε	d␈↓ β]␈ε	u␈↓ βz␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧Z␈ε	b␈↓ ∧t␈ε	a␈↓ ¬I␈εβln␈↓ ε≤␈ε	b␈↓ ε)␈ε	u␈↓ εE␈εβ+␈↓ εm␈ε	a␈↓ ε}␈ε	u␈↓ π&␈εβ+␈↓ πN␈ε	u␈↓ λ∧␈ε	a␈↓ λ≤␈εβ+␈↓ λD␈ε	b␈↓ λR␈εβ/␈α␈2␈↓ 	∀␈ε	a
␈β∂¬␈↓ ∧J␈∧∂¬∧Jα
␈β∂π␈↓ ∧J␈εε8
␈β∂∀␈↓ π`␈ε↓p
␈β∂/␈↓ λ∧␈∧∂/λ∧α↓β
␈β∂4␈↓ π;␈ε~␈␈εε1
␈β∂5␈↓ π
␈εε1
␈β∂6␈↓ λz␈εε2
␈β∂8␈↓ ε`␈εβ+␈↓ π≥␈ε	b␈↓ π*␈ε	a␈↓ λ∧␈ε	b␈↓ λ∩␈ε	u␈↓ λ-␈εβ+␈↓ λV␈ε	a␈↓ λf␈ε	u␈↓ 	␈εβ(2␈↓ 	(␈ε	u␈↓ 	<␈ε	a␈↓ 	L␈εβ/␈↓ 	]␈ε	b␈↓ 	r␈εβ+␈απ1),
␈β∂F␈↓ π
␈∧∂Fπ
α
␈β∂I␈↓ π
␈εε4
␈β∂r␈↓ ε:␈εε2␈↓ π_␈εx␈↓ π&␈ε~␈␈εε1
␈β∂v␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α#␈ε	a␈↓ α4␈εβ,␈↓ αC␈ε	b␈↓ αY␈εβ>␈α
0␈α␈.␈α
Let␈απth␈α␈e␈απte␈α␈st␈απin␈αεstep␈αεR3␈αεbe␈αε\␈↓ ε≡␈ε	X␈↓ εO␈ε↔∃␈εβ␈α
4␈↓ π␈ε	e␈↓ πL␈εβ/␈↓ π\␈ε	U␈↓ πy␈ε↔␈␈εβ␈αα4␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λ>␈εβ"␈α␈;␈α	th␈α␈en␈αεthe␈αεex␈α␈terior␈απre␈α␈gion
␈β⊂↔␈↓ λα␈∧⊂↔λαα↓π
␈β⊂_␈↓ π`␈ε↔p
␈β⊂~␈↓ π ␈εx
␈β⊂≠␈↓ ππ␈εα(␈↓ λ∂␈εε2␈↓ λ≠␈εx␈↓ 		␈εα)
␈β⊂≡␈↓ ↓H␈εβh␈α␈its␈α
th␈α␈e␈α
t␈α␈op␈αof␈αthe␈αrecta␈α␈ng␈α␈l␈α↓e␈αwh␈α␈en␈↓ ¬L␈ε	u␈↓ ¬l␈εβ=␈↓ ε→␈ε	r␈↓ ε'␈εβ(␈↓ ε2␈ε	x␈↓ εD␈εβ)␈α=␈↓ π∪␈ε	e␈↓ π7␈ε↔␈␈↓ λα␈ε	e␈↓ λ1␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ λj␈ε	e␈↓ λw␈ε	x␈↓ 	∃␈εβ/␈α␈2␈↓ 	6␈ε	e␈↓ 	C␈ε	x␈↓ 	T␈εβ.␈α⊂(Inc␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ta␈α␈ll␈α↓y␈α␈,
␈β⊂E␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈εβ(␈↓ ↓a␈ε	x␈↓ ↓s␈εβ)␈α
reach␈α␈es␈αits␈α
max␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α
valu␈α␈e␈αa␈α␈t␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬b␈εβ=␈α	1/␈α␈2,␈αa␈α
poin␈α}t␈αwhe␈α␈re␈αit␈αis␈ε⊂␈αn␈α␈ot␈εβ␈α
di{␈α↓e␈α␈ren␈α␈tia␈α␈ble!)␈αW␈α↓e
␈β⊂T␈↓ β1␈ε↓p
␈β⊂Y␈↓ αb␈ε↓R
␈β⊂h␈↓ αz␈εr␈↓ βε␈εε(␈↓ β∂␈εx␈↓ β≥␈εε)
␈β⊂o␈↓ βU␈∧⊂oβUα/
␈β⊂p␈↓ ∧U␈∧⊂p∧Uα↓β
␈β⊂r␈↓ ∧4␈ε↔p
␈β⊂s␈↓ π[␈εx␈↓ πi␈ε~␈␈εε1
␈β⊂t␈↓ β%␈εα(␈↓ ¬X␈εα)
␈β⊂u␈↓ ¬K␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	E␈↓ α7␈εβ=␈↓ βU␈εβ2/␈↓ βw␈ε	e␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧U␈ε	b␈↓ ∧b␈ε	u␈↓ ∧}␈ε↔␈␈↓ ¬'␈ε	a␈↓ ¬7␈ε	u␈↓ ¬i␈ε	d␈↓ ¬|␈ε	u␈↓ ε≠␈εβwhe␈α␈re␈↓ ε{␈ε	b␈↓ π∩␈εβ=␈α
4␈↓ πN␈ε	e␈↓ λ~␈εβan␈α␈d␈↓ λ[␈ε	a␈↓ λu␈εβ=␈α
4␈↓ 	0␈ε	x␈↓ 	B␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um
␈β⊃
␈↓ αs␈εε0
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α
of␈↓ αG␈ε	E␈↓ αj␈εβo␈α␈ccu␈α␈rs␈αnea␈α␈r␈↓ ∧→␈ε	x␈↓ ∧4␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ.35␈α␈,␈αwh␈α␈ere␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ π∨␈ε	E␈↓ π?␈ε↔→␈εβ␈α
.2␈α␈941␈α␈0.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα636␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αεby␈αεG.␈αλM␈α␈arsa␈α␈gli␈α↓a␈α␈.)␈α∂Con␈α␈sider␈απth␈α␈e␈απ\c␈α␈on␈α␈tin␈α}uou␈α␈s␈απPoisson␈αεdistribu␈α␈tion"␈↓ 
A␈ε	G␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βα8␈↓ ↓H␈ε↓R
␈βαF␈↓ ↓`␈ε~1
␈βαR␈↓ α␈ε~␈␈↓ α%␈εt␈↓ α:␈εx␈↓ αH␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βαV␈↓ ↓}␈ε	e␈↓ α.␈ε	t␈↓ αt␈ε	d␈↓ βε␈ε	t␈↓ β∩␈εβ/␈(␈↓ βB␈ε	x␈↓ βT␈εβ),␈αλfor␈↓ ∧!␈ε	x␈↓ ∧;␈εβ>␈α
0␈α␈;␈α	i␈α↓f␈↓ ¬$␈ε	X␈↓ ¬G␈εβhas␈απthis␈απdistribu␈α␈tion␈απthe␈α␈n␈ε↔␈απb␈↓ λC␈ε	X␈↓ λ←␈ε↔c␈εβ␈απi␈α↓s␈απP␈α↓o␈α␈isson␈απdistrib␈α␈uted␈α␈,
␈βαh␈↓ ↓Y␈ε⊗
␈βα⎇␈↓ ∧↑␈ε~␈␈↓ ∧w␈ε⊗␈↓ ¬_␈εx
␈ββ↓␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α≤␈ε	G␈↓ α5␈εβ(␈↓ α@␈ε	x␈↓ αZ␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α
␈␈↓ βT␈ε	G␈↓ βm␈εβ(␈↓ βx␈ε	x␈↓ ∧
␈εβ)␈α
=␈↓ ∧Q␈ε	e␈↓ ¬ε␈ε	⊗␈↓ ¬&␈εβ/␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬I␈εβ!.␈α∪If␈↓ ε∩␈ε	⊗␈↓ ε2␈εβis␈α∞la␈α␈rge,␈↓ π3␈ε	G␈↓ πZ␈εβis␈α∞ap␈α␈pro␈α}ximat␈α␈el␈α↓y␈α
n␈α␈orma␈α␈l,␈α∂he␈α␈nce
␈ββ%␈↓ ↓a␈ε~␈␈εε1
␈ββ&␈↓ αε␈εα(␈↓ α[␈εα)
␈ββ)␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ α∩␈ε	F␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈ε	x␈↓ αP␈εβ)␈↓ αo␈εβis␈αλap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈απlinea␈α␈r,␈α	whe␈α␈re␈↓ ε'␈ε	F␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	x␈↓ εe␈εβ)␈αλis␈αλth␈α␈e␈αλd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αλfo␈α␈r␈αλa␈αλn␈α␈orma␈α␈l
␈ββ4␈↓ α%␈ε⊗␈↓ ε9␈ε⊗
␈ββN␈↓ πE␈εα(␈↓ 	∧␈εα)
␈ββQ␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈α∂with␈α∞me␈α␈an␈α∞an␈α␈d␈α∞va␈α␈rianc␈α␈e␈↓ ¬8␈ε	⊗␈↓ ¬J␈εβ;␈α⊂i␈α↓.e.,␈↓ ε&␈ε	F␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	x␈↓ εd␈εβ)␈α∂=␈↓ π.␈ε	F␈↓ πQ␈εβ(␈↓ π]␈ε	x␈↓ πx␈ε↔␈␈↓ λ#␈ε	⊗␈↓ λ5␈εβ)/␈↓ λr␈ε	⊗␈↓ 	⊂␈εβ,␈α⊂wh␈α␈ere␈↓ 
␈ε	F␈↓ 
#␈εβ(␈↓ 
/␈ε	x␈↓ 
@␈εβ)␈α∂is␈α∞the
␈ββR␈↓ λr␈∧βRλrα∪
␈ββS␈↓ λQ␈ε↔p
␈ββ[␈↓ ε9␈ε⊗
␈ββx␈↓ ↓H␈εβn␈α␈orm␈α␈al␈αdistrib␈α␈ution␈αfu␈α␈nction␈α(10␈α␈).␈α
Let␈↓ ¬}␈ε	g␈↓ ε∞␈εβ(␈↓ ε→␈ε	x␈↓ ε*␈εβ)␈αb␈α␈e␈αa␈α␈n␈αe}cien␈α}tl␈α↓y␈αco␈α␈mpu␈α␈tab␈α␈le␈αfu␈α␈nction␈αsu␈α␈ch
␈β∧≤␈↓ α0␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧≥␈↓ αV␈εα(␈↓ β+␈εα)
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈ε↔␈α	j␈↓ α↔␈ε	G␈↓ αb␈ε	F␈↓ ββ␈εβ(␈↓ β∞␈ε	x␈↓ β ␈εβ)␈↓ β<␈ε↔␈␈↓ βc␈ε	g␈↓ βr␈εβ(␈↓ β⎇␈ε	x␈↓ ∧∂␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α	<␈↓ ∧W␈ε	∂␈↓ ∧m␈εβfor␈ε↔␈α	␈␈α↓1␈εβ␈α	<␈↓ ε⊗␈ε	x␈↓ ε0␈εβ<␈ε↔␈α
1␈εβ;␈α
we␈α	ca␈α␈n␈α	no␈α}w␈α
g␈α␈enera␈α␈te␈α	P␈α↓o␈α␈i␈α↓ss␈α␈on␈α	de␈α␈viate␈α␈s
␈β∧*␈↓ αu␈ε⊗
␈β∧G␈↓ ↓H␈εβe␈α␈}cien␈α␈tly␈αεas␈απfollo␈α␈ws:␈α
G␈α␈enera␈α␈te␈απa␈απn␈α␈orma␈α␈l␈αλd␈α␈eviat␈α␈e␈↓ εt␈ε	X␈↓ π⊂␈εβ,␈αλan␈α␈d␈απset␈↓ λ∞␈ε	Y␈↓ λ0␈ε↔ ␈↓ λZ␈ε	g␈↓ λj␈εβ(␈↓ λu␈ε	⊗␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	N␈ε	⊗␈↓ 	f␈ε	X␈↓ 
α␈εβ),␈↓ 
≡␈ε	N␈↓ 
F␈ε↔ ␈α
b␈↓ 
}␈ε	Y␈↓ ⊗␈ε↔c␈εβ,
␈β∧I␈↓ 	N␈∧∧I	Nα∪
␈β∧J␈↓ 	-␈ε↔p
␈β∧l␈↓ α|␈εε1
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓u␈ε↔ ␈αb␈↓ α.␈ε	Y␈↓ αO␈εβ+␈↓ β␈ε↔c␈εβ.␈α∞If␈ε↔␈αj␈↓ β[␈ε	Y␈↓ β|␈ε↔␈␈↓ ∧%␈ε	M␈↓ ∧H␈ε↔j␈εβ␈α>␈↓ ¬λ␈ε	∂␈↓ ¬∃␈εβ,␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈↓ ε_␈ε	N␈↓ ε7␈εβ;␈α
o␈α␈therwise␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈↓ λP␈ε	M␈↓ λz␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αor␈↓ 	j␈ε	M␈↓ 
␈εβ,␈α
a␈α␈ccord␈α␈ing
␈β∧⎇␈↓ α|␈∧∧⎇α|α
␈β∧␈␈↓ α|␈εε2
␈β¬∪␈↓ α	␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β¬∀␈↓ α/␈εα(␈↓ β∧␈εα)
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈↓ ↓p␈ε	G␈↓ α;␈ε	F␈↓ αR␈εβ(␈↓ α]␈ε	X␈↓ αy␈εβ)␈↓ β→␈εβ<␈↓ βD␈ε	M␈↓ βr␈εβo␈α␈r␈αno␈α␈t.
␈β¬>␈↓ α␈εβThis␈αap␈α␈pr␈α␈oach␈α
ap␈α␈plies␈αalso␈αto␈α
the␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αd␈α␈istri␈α↓b␈α␈utio␈α␈n,␈αwi␈α↓th
␈β¬p␈↓ ∧␈ε↓Z
␈β¬y␈↓ ∧/␈εε1
␈βε→␈↓ ∧U␈εx␈↓ ∧c␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬t␈εn␈↓ ε∧␈ε~␈␈↓ ε≡␈εx
␈βε∨␈↓ β⊗␈ε	G␈↓ β/␈εβ(␈↓ β;␈ε	x␈↓ βL␈εβ)␈α	=␈↓ ∧A␈ε	u␈↓ ¬	␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬U␈ε	u␈↓ ¬i␈εβ)␈↓ ε1␈ε	d␈↓ εD␈ε	u␈↓ εX␈εβ␈(␈↓ εw␈ε	t␈↓ π␈εβ+␈απ1)/␈(␈↓ π␈␈ε	x␈↓ λ⊃␈εβ)␈(␈↓ λ;␈ε	t␈↓ λN␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	I␈εβ),
␈βεC␈↓ ∧∨␈εp
␈βεt␈↓ α?␈ε~␈␈εε1
␈βεx␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈ε↔␈αb␈↓ α&␈ε	G␈↓ αe␈εβ(␈↓ αp␈ε	U␈↓ β␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈αi␈α↓s␈αb␈α␈ino␈α␈mial␈αw␈α↓ith␈α
pa␈α␈ramete␈α␈rs␈α(␈↓ ε[␈ε	t␈↓ εg␈εβ,␈↓ εv␈ε	p␈↓ ππ␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ π↑␈ε	G␈↓ λα␈εβis␈αapp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ately␈αn␈α␈orm␈α␈al.
␈βπ)␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβYes.␈α
Th␈α␈e␈απseco␈α␈nd␈απm␈α␈etho␈α␈d␈απca␈α␈lculate␈α␈s␈ε↔␈απj␈↓ ε␈ε	c␈↓ ε→␈ε	o␈↓ ε&␈ε	s␈↓ ε4␈εβ2␈↓ εE␈ε	∩␈↓ εS␈ε↔j␈εβ,␈αλw␈α↓h␈α␈ere␈↓ πJ␈ε	∩␈↓ π←␈εβis␈απun␈α␈if␈α↓o␈α␈rmly␈απd␈α␈istri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈απb␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈βπP␈↓ ↓H␈εβ0␈α
and␈↓ α$␈ε	→␈↓ α7␈εβ/␈α␈2.␈α(L␈α↓e␈α␈t␈↓ β4␈ε	U␈↓ βY␈εβ=␈↓ ∧β␈ε	r␈↓ ∧_␈εβc␈α␈os␈↓ ∧I␈ε	∩␈↓ ∧X␈εβ,␈↓ ∧l␈ε	V␈↓ ¬
␈εβ=␈↓ ¬8␈ε	r␈↓ ¬L␈εβsin␈↓ ¬z␈ε	∩␈↓ ελ␈εβ.␈α↓)
␈βπ}␈↓ α⊂␈εε2␈α␈1
␈βλ↓␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α7␈εβ=␈α(.101␈α␈01␈↓ βK␈εβ)␈↓ βb␈εβ.␈α∞In␈αgen␈α␈eral,␈αthe␈αbina␈α␈ry␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αis␈αform␈α␈ed␈αby␈αusing␈α1␈αfo␈α␈r␈ε↔␈α←␈εβ,
␈βλ␈↓ βV␈εε2
␈βλ∂␈↓ α⊂␈∧λ∂α⊂α~
␈βλ⊃␈↓ α⊂␈εε3␈α␈2
␈βλ)␈↓ ↓H␈εβ0␈αfor␈ε↔␈α↑␈εβ,␈αf␈α↓r␈α␈om␈αleft␈αto␈αrig␈α␈h␈α␈t,␈αth␈α␈en␈αsu}x␈α␈ing␈α1.␈α
Th␈α␈i␈α↓s␈αtech␈α␈niqu␈α␈e␈α[cf.␈α
K.␈αD.␈αTo␈α␈che␈α␈r,␈ε⊂␈αJ.␈αRo␈α␈y␈α␈.
␈βλP␈↓ ↓H␈ε⊂S␈α␈tat.␈α
S␈α␈oc␈ε∪␈α∀B-16␈εβ␈α	(␈α↓1␈α␈954␈α␈),␈α4␈α␈9]␈α
can␈α	l␈α↓e␈α␈ad␈α	to␈α
e}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α
ge␈α␈nera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
bits␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
a
␈βλx␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α¬pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ βA␈ε	p␈↓ βR␈εβ,␈απa␈α␈nd␈α¬it␈αεca␈α␈n␈α¬also␈αεb␈α␈e␈αεa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α¬to␈α¬th␈α␈e␈αεge␈α␈ometric␈α¬an␈α␈d␈αεb␈α␈ino␈α␈mial␈αεdistrib␈α␈ution␈α␈s.
␈β	
␈↓ β∪␈ε↓P
␈β	$␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈ε⊗␈↓ πC␈ε~␈␈↓ π\␈ε⊗␈↓ λo␈εn
␈β	)␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ(a)␈αλTru␈α␈e,␈↓ βL␈εβPr␈↓ βm␈εβ(␈↓ βx␈ε	N␈↓ ∧'␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε	k␈↓ ∧b␈εβ)␈↓ ∧r␈εβP␈α↓r␈↓ ¬∀␈εβ(␈↓ ¬∨␈ε	N␈↓ ¬N␈εβ=␈↓ ¬x␈ε	n␈↓ ε∂␈ε↔␈␈↓ ε4␈ε	k␈↓ εD␈εβ)␈α	=␈↓ πβ␈ε	e␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ␈ε	⊗␈↓ λ"␈εβ+␈↓ λF␈ε	⊗␈↓ λd␈εβ)␈↓ λ␈␈εβ/␈↓ 	⊂␈ε	n␈↓ 	$␈εβ!.␈α⊃(b)␈αλFalse,␈αλun␈α␈l␈α↓es␈α␈s
␈β	,␈↓ π7␈επ1␈↓ πj␈επ2
␈β	3␈↓ ∧⊃␈εε1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ λ∩␈εε1␈↓ λW␈εε2
␈β	;␈↓ β9␈εk
␈β	P␈↓ ↓H␈ε	⊗␈↓ ↓o␈εβ=␈α	0;␈αothe␈α␈rwi␈α↓se␈↓ βR␈ε	N␈↓ β␈␈ε↔␈␈↓ ∧(␈ε	N␈↓ ∧Y␈εβmig␈α␈h␈α␈t␈αbe␈α
neg␈α␈ativ␈α␈e.
␈β	[␈↓ ↓Y␈εε2␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧A␈εε2
␈β
↓␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβLet␈αthe␈α
bina␈α␈ry␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α
of␈↓ ¬l␈ε	p␈↓ ελ␈εβbe␈α(.␈↓ εI␈ε	b␈↓ εb␈ε	b␈↓ εz␈ε	b␈↓ π_␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πE␈εβ)␈↓ π\␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αp␈α␈roc␈α␈eed␈αa␈α␈s␈αfoll␈α↓o␈α}ws.
␈β
␈↓ εU␈εε1␈↓ εn␈εε2␈↓ πε␈εε3␈↓ πP␈εε2
␈β
8␈↓ α∃␈ε∪B1.␈↓ αP␈εβ[␈α↓In␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ize␈α␈.␈α↓]␈α~S␈α␈et␈↓ ∧>␈ε	m␈↓ ∧e␈ε↔ ␈↓ ¬⊂␈ε	t␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈ε	N␈↓ ¬Y␈ε↔ ␈εβ␈α
0,␈↓ ε*␈ε	j␈↓ εC␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈.␈α
(Du␈α␈ring␈αth␈α␈i␈α↓s␈αalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm,␈↓ 	r␈ε	m␈↓ 
≠␈εβrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈s
␈β
←␈↓ αP␈εβthe␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλof␈αλsim␈α␈ulate␈α␈d␈αλun␈α␈iform␈αλd␈α␈eviate␈α␈s␈αλw␈α↓h␈α␈ose␈αλre␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈αλto␈↓ 	*␈ε	p␈↓ 	C␈εβis␈αλstill␈α	u␈α␈nk␈α␈no␈α␈wn␈α␈,
␈βπ␈↓ αP␈εβsi␈α↓n␈α␈ce␈απthe␈α␈y␈απmatc␈α␈h␈↓ ∧H␈ε	p␈↓ ∧`␈εβi␈α↓n␈απt␈α␈heir␈απl␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈↓ ε>␈ε	j␈↓ εP␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈απbits;␈α	a␈α␈nd␈↓ λ⊂␈ε	N␈↓ λ6␈εβis␈αλth␈α␈e␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αλo␈α␈f␈αλsim␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈ted
␈β.␈↓ αP␈εβdev␈α␈iates␈αk␈α␈no␈α␈wn␈α
to␈αbe␈α
l␈α↓e␈α␈ss␈αthan␈↓ ε≤␈ε	p␈↓ ε-␈εβ.)
␈β]␈↓ α∃␈ε∪B2.␈↓ αP␈εβ[␈α↓Loo␈α␈k␈απat␈απn␈α␈ext␈απcolu␈α␈mn␈απof␈απbits.]␈α⊂Ge␈α␈nera␈α␈te␈απa␈απran␈α␈dom␈απin␈α␈t␈α␈eger␈↓ 	π␈ε	M␈↓ 	1␈εβwith␈απth␈α␈e␈αλb␈α␈inom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈βα␈↓ ∧?␈εε1
␈β¬␈↓ αP␈εβdistribu␈α␈tion␈α	(␈↓ ∧⊂␈ε	m␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧P␈εβ).␈α(No␈α}w␈↓ ¬E␈ε	M␈↓ ¬r␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ts␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
un␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn␈α	de␈α␈viates␈α	tha␈α␈t
␈β∪␈↓ ∧?␈∧∪∧?α
␈β∃␈↓ ∧?␈εε2
␈β-␈↓ αP␈εβf␈α↓a␈α␈il␈αto␈α
match␈↓ ∧_␈ε	b␈↓ ∧0␈εβ.␈α↓)␈αS␈α␈et␈↓ ¬	␈ε	m␈↓ ¬0␈ε↔ ␈↓ ¬Z␈ε	m␈↓ ¬␈␈ε↔␈␈↓ ε(␈ε	M␈↓ εJ␈εβ,␈αand␈α
if␈↓ π?␈ε	b␈↓ π`␈εβ=␈α
1␈α
set␈↓ λZ␈ε	N␈↓ 	α␈ε↔ ␈↓ 	-␈ε	N␈↓ 	S␈εβ+␈↓ 	|␈ε	M␈↓ 
≡␈εβ.
␈β7␈↓ ∧$␈εj␈↓ πK␈εj
␈β\␈↓ α∃␈ε∪B3.␈↓ αP␈εβ[␈α↓Do␈α␈ne?␈α␈]␈α≥If␈↓ β{␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ=␈α0␈αor␈αif␈α
the␈αrem␈α␈aining␈αb␈α␈i␈α↓ts␈α(.␈↓ πg␈ε	b␈↓ λ%␈ε	b␈↓ λi␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	∃␈εβ)␈↓ 	9␈εβof␈↓ 	b␈ε	p␈↓ 	␈␈εβare␈αall␈α
zero␈α␈,
␈βf␈↓ πs␈εj␈↓ π␈␈εε+␈α↓1␈↓ λ1␈εj␈↓ λ=␈εε+␈α↓2␈↓ 	 ␈εε2
␈β
β␈↓ αP␈εβthe␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α	t␈α␈ermina␈α␈tes.␈αOth␈α␈erwise,␈α
se␈α␈t␈↓ π"␈ε	j␈↓ π:␈ε↔ ␈↓ πd␈ε	j␈↓ πx␈εβ+␈α¬1␈α	a␈α␈nd␈α	re␈α␈turn␈αλto␈α	step␈αλB␈α↓2␈α␈.
␈β
¬␈↓ ~␈∧
¬~≠∂
␈β
:␈↓ ↓H␈εβ[Whe␈α␈n␈↓ α1␈ε	b␈↓ αR␈εβ=␈α
1␈αfo␈α␈r␈αin␈α␈|n␈α␈i␈α↓t␈α␈el␈α↓y␈α
man␈α}y␈↓ ¬5␈ε	j␈↓ ¬D␈εβ,␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αitera␈α␈tions␈↓ 	>␈ε	A␈↓ 	h␈εβsa␈α␈tis|es
␈β
E␈↓ α=␈εj␈↓ 	S␈εt
␈β
n␈↓ εL␈ε↓X
␈β
w␈↓ π¬␈ε↓∩␈↓ π/␈ε↓∪
␈β
⎇␈↓ ε*␈εβ1␈↓ π≠␈ε	n
␈β∞∀␈↓ βG␈ε	A␈↓ βr␈εβ=␈α	0;␈↓ ¬∧␈ε	A␈↓ ¬3␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ πE␈ε	A␈↓ πh␈εβ,␈↓ λ_␈εβfor␈↓ λL␈ε	n␈↓ λi␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.
␈β∞≡␈↓ β\␈εε0␈↓ ¬→␈εn␈↓ π[␈εk
␈β∞"␈↓ ε"␈∧∞"ε"α!
␈β∞)␈↓ ε2␈εn
␈β∞+␈↓ ε"␈εβ2␈↓ π≥␈ε	k
␈β∞E␈↓ ε←␈εk
␈β∞`␈↓ β1␈ε↓P
␈β∞z␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ εe␈εz␈↓ λ?␈εz␈↓ λJ␈εε/2␈↓ 
[␈ε~␈␈↓ 
u␈εz
␈β∞{␈↓ λ	␈εε1
␈β∞}␈↓ ↓H␈εβLettin␈α␈g␈↓ α?␈ε	A␈↓ αU␈εβ(␈↓ α`␈ε	z␈↓ αn␈εβ)␈α=␈↓ β]␈ε	A␈↓ ∧α␈ε	z␈↓ ∧ ␈εβ/␈↓ ∧1␈ε	n␈↓ ∧E␈εβ!,␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬f␈ε	A␈↓ ¬|␈εβ(␈↓ επ␈ε	z␈↓ ε∃␈εβ)␈α=␈↓ εX␈ε	e␈↓ εx␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈απ+␈↓ πd␈ε	A␈↓ πz␈εβ(␈↓ λ→␈ε	z␈↓ λ'␈εβ)␈↓ λ2␈ε	e␈↓ λd␈εβ.␈α∞Therefo␈α␈re␈↓ 
∀␈ε	A␈↓ 
+␈εβ(␈↓ 
6␈ε	z␈↓ 
C␈εβ)␈↓ 
N␈ε	e␈↓ ␈εβ=
␈β∂	␈↓ βr␈εn
␈β∂
␈↓ ∧(␈ε↓P␈↓ πo␈ε↓P␈↓ λ	␈∧∂
λ	α
␈β∂∂␈↓ λ	␈εε2
␈β∂"␈↓ ε⊂␈ε
k
␈β∂'␈↓ α∞␈ε~␈␈↓ α'␈εz␈↓ β␈εε1␈↓ β6␈ε~␈␈↓ βO␈εz␈↓ β[␈εε/␈α␈2␈↓ ¬R␈ε~␈␈↓ ¬k␈εz␈↓ ¬w␈εε/␈↓ εβ␈εε2␈↓ π"␈ε~␈␈↓ π;␈εz␈↓ λ↑␈εn␈↓ 	7␈εn␈↓ 	G␈εε+1␈↓ 
B␈εn
␈β∂(␈↓ 	⎇␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈β∂+␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈αβ␈␈↓ α↓␈ε	e␈↓ α6␈εβ+␈↓ α[␈ε	A␈↓ αq␈εβ(␈↓ β⊂␈ε	z␈↓ β≡␈εβ)␈↓ β)␈ε	e␈↓ β⎇␈εβ=␈↓ ¬↓␈εβ(1␈ε↔␈αβ␈␈↓ ¬E␈ε	e␈↓ ε≤␈εβ)␈α
=␈α	1␈ε↔␈α∧␈␈↓ π∃␈ε	e␈↓ πJ␈εβ+␈↓ λP␈ε	z␈↓ λo␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	,␈εβ)␈↓ 	m␈εβ/␈↓ 
	␈ε	n␈↓ 
≥␈εβ!␈α↓(␈↓ 
2␈εβ2␈↓ 
V␈ε↔␈␈εβ␈α∧1)␈↓ #␈εβ,
␈β∂9␈↓ β␈∧∂9βα
␈β∂;␈↓ β␈εε2
␈β∂=␈↓ ∧N␈εk␈↓ ∧[␈ε~∃␈εε0␈↓ λ∃␈εn␈↓ λ%␈ε~∃␈εε1
␈β∂R␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd
␈β∂}␈↓ β∪␈ε↓X
␈β⊂π␈↓ βM␈ε↓∩␈↓ βw␈ε↓∪
␈β⊂	␈↓ ∧Y␈εk␈↓ ∧f␈εε+1
␈β⊂∞␈↓ βc␈ε	n␈↓ ∧⊂␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧M␈εβ)␈↓ ε∞␈ε	V␈↓ λ␈ε	␈
␈↓ λd␈εβ1
␈β⊂_␈↓ ε ␈εn␈↓ ε0␈εε+␈α↓1
␈β⊂≡␈↓ 
Q␈ε~␈␈εε1
␈β⊂$␈↓ ↓r␈ε	A␈↓ α(␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ ¬_␈εβ=␈α
1␈απ+␈↓ εi␈εβ=␈↓ π∀␈εβlg␈↓ π3␈ε	n␈↓ πO␈εβ+␈↓ λ8␈εβ+␈↓ 	␈εβ+␈↓ 	)␈ε	f␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	n␈↓ 	←␈εβ)␈απ+␈↓ 
~␈ε	O␈↓ 
2␈εβ(␈↓ 
=␈ε	n␈↓ 
w␈εβ)
␈β⊂.␈↓ απ␈εm␈↓ 	3␈εε0
␈β⊂2␈↓ ∧⊂␈∧⊂2∧⊂α|␈↓ επ␈∧⊂2επαU␈↓ π{␈∧⊂2π{α2␈↓ λd␈∧⊂2λdα⊃
␈β⊂9␈↓ ∧/␈εk
␈β⊂;␈↓ βd␈ε	k␈↓ ∧∨␈εβ2␈↓ ∧D␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ επ␈ε	n␈↓ ε#␈εβ+␈αλ1␈↓ π{␈εβln␈↓ λ≤␈εβ2␈↓ λd␈εβ2
␈β⊂U␈↓ β∀␈εk␈↓ β!␈ε~∃␈εε1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αn␈α␈otatio␈α␈n␈αof␈αex␈α}ercise␈α5.2␈α␈.␈α↓2␈α␈↑48␈α␈.␈α↓]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα637
␈βα¬␈↓ 
↔␈ε↓p
␈βα
␈↓ 
;␈ε↓P
␈βα ␈↓ 
;␈∧α 
;αh
␈βα&␈↓ ⊗␈εε2
␈βα(␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβGen␈α␈erate␈αa␈αran␈α␈do␈α␈m␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α(␈↓ ¬↔␈ε	y␈↓ ¬4␈εβ,␈↓ ¬B␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ¬}␈ε	y␈↓ ε≡␈εβ)␈αon␈αth␈α␈e␈α
u␈α␈nit␈αsph␈α␈ere,␈α
an␈α␈d␈αlet␈↓ 	N␈ε	~␈↓ 	j␈εβ=␈↓ 
g␈ε	a␈↓ ∧␈ε	y␈↓ #␈εβ.
␈βα2␈↓ ¬'␈εε1␈↓ ε
␈εn␈↓ 
v␈εk
␈βα3␈↓ 	∃␈ε↓p
␈βα7␈↓ ⊗␈εk
␈βαN␈↓ 	9␈∧αN	9α>
␈βαS␈↓ πk␈εn␈↓ π{␈εε+1
␈βαT␈↓ 	I␈εε2␈↓ 	i␈εε2
␈βαW␈↓ ↓H␈εβGe␈α␈nera␈α␈te␈α∞an␈α
ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α∞u␈α␈niform␈α
dev␈α␈iate␈↓ εA␈ε	U␈↓ ε\␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞if␈↓ πZ␈ε	~␈↓ λ!␈ε	U␈↓ λJ␈εβ<␈↓ λy␈ε	K␈↓ 	9␈ε	a␈↓ 	W␈ε	y␈↓ 	v␈εβ,␈α∂ou␈α␈tpu␈α␈t␈α∞the
␈βαf␈↓ 	I␈εk␈↓ 	i␈εk
␈βαg␈↓ λ↑␈ε↓P␈↓ 
#␈ε↓P
␈ββ↓␈↓ π?␈εε2␈↓ 	9␈εε2␈↓ 	Q␈εn␈↓ 	a␈εε+␈α↓1␈↓ 
←␈εε2␈↓ 
␈␈εε2
␈ββ¬␈↓ ↓H␈εβp␈α␈oin␈α␈t␈α(␈↓ α+␈ε	y␈↓ αG␈εβ/␈↓ αX␈ε	~␈↓ αh␈εβ,␈↓ αw␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β$␈εβ,␈↓ β2␈ε	y␈↓ βR␈εβ/␈↓ βc␈ε	~␈↓ βt␈εβ);␈α∞oth␈α␈erwise␈α
sta␈α␈rt␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r.␈α⊃Here␈↓ π#␈ε	K␈↓ πX␈εβ=␈↓ λ¬␈εβmin␈↓ λ=␈ε↔f␈↓ λS␈εβ(␈↓ 	
␈ε	a␈↓ 	&␈ε	y␈↓ 	F␈εβ)␈↓ 
π␈εβ/(␈↓ 
O␈ε	a␈↓ 
l␈ε	y␈↓ ␈εβ)␈ε↔␈αj
␈ββ⊂␈↓ α:␈εε1␈↓ βB␈εn␈↓ 	→␈εk
␈ββ∃␈↓ 	9␈εk␈↓ 
←␈εk␈↓ 
␈␈εk
␈ββ⊗␈↓ ↓H␈ε↓P
␈ββ0␈↓ αε␈εε2␈↓ β2␈εn␈↓ βB␈ε~␈␈εε1␈↓ π@␈εn␈↓ πQ␈εε+1␈↓ λm␈εn
␈ββ1␈↓ ¬+␈εα(␈↓ π4␈εα)
␈ββ4␈↓ ↓s␈ε	y␈↓ α≤␈εβ=␈α
1␈↓ α]␈ε↔g␈↓ αw␈εβ=␈↓ β!␈ε	a␈↓ βs␈εβif␈↓ ∧∩␈ε	n␈↓ ∧&␈ε	a␈↓ ∧O␈ε↔∃␈↓ ∧z␈ε	a␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε	n␈↓ ¬]␈εβ+␈αλ1␈α␈)/(␈↓ ε=␈ε	a␈↓ εa␈εβ+␈↓ π	␈ε	a␈↓ π)␈εβ)␈↓ πv␈εβ(␈↓ λα␈ε	a␈↓ λ≡␈ε	a␈↓ λ>␈εβ/␈↓ λN␈ε	n␈↓ λb␈εβ)␈↓ 		␈εβo␈α␈therwise.
␈ββ?␈↓ ∧6␈εn␈↓ ¬
␈εε1␈↓ εM␈εε1␈↓ π→␈εn␈↓ λ⊃␈εε1␈↓ λ-␈εn
␈ββC␈↓ αε␈εk␈↓ β2␈εn
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.4␈α␈.2
␈β∧r␈↓ β"␈ε↓␈␈↓ βq␈ε↓↓␈↓ 	W␈ε↓␈␈↓ 
L␈ε↓↓
␈β¬␈↓ β3␈εN␈↓ βK␈ε~␈␈↓ βd␈εt␈↓ 	i␈εN␈↓ 
␈ε~␈␈↓ 
→␈εt␈↓ 
#␈ε~␈␈εε1
␈β¬∀␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈α
are␈↓ ∧	␈εβway␈α␈s␈α
to␈α
pick␈↓ ¬K␈ε	n␈↓ ¬e␈ε↔␈␈↓ ε␈ε	m␈↓ ε4␈εβreco␈α␈rds␈α
from␈α
t␈α␈he␈α
last␈↓ λk␈ε	N␈↓ 	⊂␈ε↔␈␈↓ 	8␈ε	t␈↓ 	D␈εβ;␈↓ 
d␈εβway␈α␈s
␈β¬$␈↓ β0␈εn␈↓ β@␈ε~␈␈↓ βZ␈εm␈↓ 	e␈εn␈↓ 	v␈ε~␈␈↓ 
∂␈εm␈↓ 
&␈ε~␈␈εε1
␈β¬;␈↓ ↓H␈εβto␈α
pick␈↓ α8␈ε	n␈↓ αT␈ε↔␈␈↓ α⎇␈ε	m␈↓ β!␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfro␈α␈m␈↓ ∧5␈ε	N␈↓ ∧\␈ε↔␈␈↓ ¬∧␈ε	t␈↓ ¬_␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αafter␈αse␈α␈l␈α↓e␈α␈cting␈αth␈α␈e␈α(␈↓ πw␈ε	t␈↓ λ
␈εβ+␈αλ1)st␈αitem.
␈β¬r␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβSt␈α␈ep␈αS3␈αwil␈α↓l␈αnev␈α}er␈αgo␈αto␈αstep␈αS5␈αwh␈α␈en␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αreco␈α␈rds␈αleft␈αto␈αb␈α␈e␈αe␈α␈xam␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈βε~␈↓ ↓H␈εβis␈αeq␈α␈ual␈αto␈↓ αi␈ε	n␈↓ β∧␈ε↔␈␈↓ β-␈ε	m␈↓ βJ␈εβ.
␈βεQ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβWe␈α	sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αλn␈α␈ot␈α	co␈α␈nfu␈α␈se␈α	\␈α␈con␈α␈dition␈α␈al"␈α	a␈α␈nd␈αλ\u␈α␈nc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓"␈αλp␈α␈roba␈α␈biliti␈α↓e␈α␈s.␈αThe␈αλqu␈α␈an␈α␈-
␈βεx␈↓ ↓H␈εβtity␈↓ αλ␈ε	m␈↓ α0␈εβde␈α␈pen␈α␈ds␈α
ran␈α␈dom␈α␈l␈α↓y␈α
on␈α
th␈α␈e␈αselec␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
that␈α
took␈α
p␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αa␈α␈mon␈α␈g␈αt␈α␈he␈α|␈α␈rst␈↓ 
⊂␈ε	t␈↓ 
&␈εβelemen␈α}ts;
␈βπ ␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αtak␈α␈e␈αthe␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈αp␈α␈ossible␈αc␈α␈hoice␈α␈s␈αtha␈α␈t␈αco␈α␈uld␈αhav␈α}e␈αo␈α␈ccu␈α␈rred␈αamon␈α␈g␈αthese
␈βπG␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ts,␈αλw␈α␈e␈αλwill␈αλ|n␈α␈d␈αλth␈α␈at␈απ(␈↓ ∧O␈ε	n␈↓ ∧f␈ε↔␈␈↓ ¬
␈ε	m␈↓ ¬'␈εβ)/(␈↓ ¬N␈ε	N␈↓ ¬p␈ε↔␈␈↓ ε∀␈ε	t␈↓ ε ␈εβ)␈αλis␈αλe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ πB␈ε	n␈↓ πV␈εβ/␈↓ πg␈ε	N␈↓ λ
␈εβon␈απthe␈απav␈α}erag␈α␈e.␈α
F␈α↓o␈α␈r␈αλex␈α␈amp␈α␈le,
␈βπo␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈er␈αλth␈α␈e␈αλseco␈α␈nd␈απelemen␈α}t;␈α	if␈αλthe␈αλ|␈α␈rst␈αλelem␈α␈en␈α␈t␈αλwa␈α␈s␈αλselected␈απin␈αλt␈α␈he␈αλsa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈απ(␈α↓t␈α␈his␈αλha␈α␈pp␈α␈en␈α␈s
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβwith␈αλpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ β;␈ε	n␈↓ βO␈εβ/␈↓ β←␈ε	N␈↓ β}␈εβ),␈α
th␈α␈e␈αλsecon␈α␈d␈αλelemen␈α}t␈α	is␈α	se␈α␈l␈α↓e␈α␈cted␈αλwith␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈αλ(␈↓ 	J␈ε	n␈↓ 	b␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)/(␈↓ 
?␈ε	N␈↓ 
b␈ε↔␈␈εβ␈α∧1);
␈βλ>␈↓ ↓H␈εβif␈α
th␈α␈e␈α
|rs␈α␈t␈α
elemen␈α}t␈α
was␈α
n␈α␈ot␈α
selec␈α␈ted,␈α
the␈α	seco␈α␈nd␈α	i␈α↓s␈α
s␈α␈el␈α↓e␈α␈cted␈α	wi␈α↓th␈α	p␈α␈roba␈α␈bility␈↓ 
␈ε	n␈↓ 
 ␈εβ/(␈↓ 
<␈ε	N␈↓ 
`␈ε↔␈␈εβ␈αε1).
␈βλc␈↓ λv␈εα(␈↓ 
w␈εα)
␈βλf␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈rall␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αof␈αselect␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αse␈α␈con␈α␈d␈αeleme␈α␈n␈α␈t␈αis␈α
(␈↓ λ(␈ε	n␈↓ λ<␈εβ/␈↓ λL␈ε	N␈↓ λk␈εβ)␈↓ 	α␈εβ(␈↓ 	∞␈ε	n␈↓ 	*␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/(␈↓ 
␈ε	N␈↓ 
2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ␈εβ+
␈β	
␈↓ αb␈εα(␈↓ ∧	␈εα)
␈β	
␈↓ ↓H␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ α∪␈ε	n␈↓ α(␈εβ/␈↓ α8␈ε	N␈↓ αW␈εβ)␈↓ αn␈ε	n␈↓ βα␈εβ/(␈↓ β≡␈ε	N␈↓ βD␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ∧H␈ε	n␈↓ ∧\␈εβ/␈↓ ∧m␈ε	N␈↓ ¬␈εβ.
␈β	D␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβFrom␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm,
␈β	{␈↓ ∧A␈ε↓⊂␈↓ ¬⎇␈ε↓⊃
␈β
∩␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬3␈ε↔␈␈↓ ¬\␈ε	m␈↓ π"␈ε	n␈↓ π=␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ πq␈ε	m␈↓ λ∃␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)
␈β
(␈↓ αm␈ε	p␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	m␈↓ β'␈εβ,␈↓ β6␈ε	t␈↓ βI␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α
=␈↓ ∧S␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε∂␈ε	p␈↓ ε ␈εβ(␈↓ ε+␈ε	m␈↓ εH␈εβ,␈↓ εW␈ε	t␈↓ εc␈εβ)␈απ+␈↓ λ↑␈ε	p␈↓ λn␈εβ(␈↓ λz␈ε	m␈↓ 	≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 	f␈ε	t␈↓ 	r␈εβ).
␈β
6␈↓ ¬_␈∧
6¬_αb␈↓ π"␈∧
6π"α↓9
␈β
?␈↓ ¬≠␈ε	N␈↓ ¬A␈ε↔␈␈↓ ¬j␈ε	t␈↓ πP␈ε	N␈↓ πw␈ε↔␈␈↓ λ∨␈ε	t
␈βπ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αde␈α␈si␈α↓re␈α␈d␈αform␈α}ula␈αca␈α␈n␈αbe␈α
pro␈α␈v␈α}ed␈αb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction␈αo␈α␈n␈↓ πA␈ε	t␈↓ πM␈εβ.␈αIn␈αp␈α␈articu␈α␈l␈α↓a␈α␈r,␈↓ 	-␈ε	p␈↓ 	>␈εβ(␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	]␈εβ,␈↓ 	l␈ε	N␈↓ 

␈εβ)␈α
=␈α	1.
␈β>␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβIn␈α
th␈α␈e␈α
no␈α␈tation␈α
o␈α␈f␈α∞e␈α␈x␈α␈ercise␈α
4␈α␈,␈α∞the␈α
p␈α␈rob␈α␈ability␈α
th␈α␈at␈↓ π{␈ε	t␈↓ λ∀␈εβ=␈↓ λB␈ε	k␈↓ λ`␈εβa␈α␈t␈α
termina␈α␈tion␈α
is␈↓ 
e␈ε	q␈↓ ␈εβ=
␈βD␈↓ ∧!␈ε↓␈␈↓ ∧e␈ε↓↓␈↓ ¬∧␈ε↓␈␈↓ ¬)␈ε↓↓
␈βG␈↓ π+␈ε↓P
␈βH␈↓ 
q␈εk
␈β↑␈↓ ∧0␈εk␈↓ ∧>␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬∩␈εN
␈βe␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	n␈↓ ↓x␈εβ,␈↓ αε␈ε	k␈↓ α↔␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ αR␈ε	p␈↓ αc␈εβ(␈↓ αn␈ε	n␈↓ βα␈εβ,␈↓ β⊃␈ε	k␈↓ β)␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈α	=␈↓ ∧s␈εβ/␈↓ ¬7␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αi␈α↓s␈↓ λ:␈ε	k␈↓ λK␈ε	q␈↓ λm␈εβ=␈α
(␈↓ 	#␈ε	N␈↓ 	I␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ 

␈ε	n␈↓ 
!␈εβ/(␈↓ 
=␈ε	n␈↓ 
Y␈εβ+␈απ1).
␈βp␈↓ λW␈εk
␈βv␈↓ ∧/␈εn␈↓ ∧?␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬∃␈εn
␈βx␈↓ πQ␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ πv␈εk␈↓ λ∧␈ε~∀␈↓ λ≥␈εN
␈β∧␈↓ β!␈ε↓P
␈β"␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβSimilarly␈α␈,␈↓ ∧0␈ε	k␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε	k␈↓ ∧↑␈εβ+␈αα1)␈↓ ¬≥␈ε	q␈↓ ¬@␈εβ=␈α	(␈↓ ¬u␈ε	N␈↓ ε⊗␈εβ+␈αα2)(␈↓ ε`␈ε	N␈↓ π↓␈εβ+␈αβ1␈α␈)␈↓ π@␈ε	n␈↓ πT␈εβ/(␈↓ πp␈ε	n␈↓ λε␈εβ+␈αβ2␈α␈);␈α	the␈αεvaria␈α␈nce␈απis␈απth␈α␈erefore
␈β-␈↓ ¬)␈εk
␈β5␈↓ βG␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ βl␈εk␈↓ βz␈ε~∀␈↓ ∧∪␈εN
␈βL␈↓ ¬1␈εε2
␈βP␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	N␈↓ ↓y␈εβ+␈αλ1␈α␈)(␈↓ αI␈ε	N␈↓ αo␈ε↔␈␈↓ β_␈ε	n␈↓ β,␈εβ)␈↓ β7␈ε	n␈↓ βK␈εβ/␈α␈(␈↓ βf␈ε	n␈↓ ∧α␈εβ+␈αλ2␈α␈)(␈↓ ∧Q␈ε	n␈↓ ∧m␈εβ+␈αλ1␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬>␈εβ.
␈β
π␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβSu␈α␈pp␈α␈ose␈αth␈α␈e␈αcho␈α␈ice␈αi␈α↓s␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬∩␈ε	x␈↓ ¬8␈εβ<␈↓ ¬b␈ε	x␈↓ ελ␈εβ<␈↓ ε3␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εc␈εβ<␈↓ π∞␈ε	x␈↓ π8␈ε↔∀␈↓ πb␈ε	N␈↓ λ↓␈εβ.␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ λT␈ε	x␈↓ λy␈εβ=␈α
0,␈↓ 	I␈ε	x␈↓ 
_␈εβ=␈↓ 
C␈ε	N␈↓ 
j␈εβ+␈αλ1␈α␈.
␈β
⊂␈↓ εW␈ε↓Q
␈β
⊃␈↓ ¬!␈εε1␈↓ ¬r␈εε2␈↓ π≡␈εn␈↓ λc␈εε0␈↓ 	Y␈εn␈↓ 	i␈εε+1
␈β
.␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αch␈α␈oice␈αis␈αob␈α␈tained␈α
with␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ ε∩␈ε	p␈↓ ε,␈εβ=␈↓ π←␈ε	p␈↓ πx␈εβ,␈αw␈α↓h␈α␈ere
␈β
9␈↓ πn␈εt
␈β
A␈↓ εy␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π∨␈εt␈↓ π(␈ε~∀␈↓ πA␈εN
␈β∞¬␈↓ ∧	␈ε	N␈↓ ∧/␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ∧c␈ε	t␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬k␈ε	n␈↓ εε␈εβ+␈↓ ε/␈ε	m
␈β∞≠␈↓ β8␈ε	p␈↓ β[␈εβ=␈↓ π_␈εβfor␈↓ πL␈ε	x␈↓ π|␈εβ<␈↓ λ&␈ε	t␈↓ λ<␈εβ<␈↓ λf␈ε	x␈↓ 	3␈εβ;
␈β∞&␈↓ βH␈εt␈↓ π[␈εm␈↓ λv␈εm␈↓ 	
␈εε+1
␈β∞)␈↓ ∧	␈∧∞)∧	ααD
␈β∞3␈↓ ∧R␈ε	N␈↓ ∧x␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ¬,␈ε	t␈↓ ¬?␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)
␈β∞M␈↓ ∧1␈ε	n␈↓ ∧M␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε	m
␈β∞c␈↓ β8␈ε	p␈↓ β[␈εβ=␈↓ π_␈εβfor␈↓ πL␈ε	t␈↓ πa␈εβ=␈↓ λ␈ε	x␈↓ λX␈εβ.
␈β∞n␈↓ βH␈εt␈↓ λ≠␈εm␈↓ λ2␈εε+␈α↓1
␈β∞q␈↓ ∧	␈∧∞q∧	α↓2
␈β∞{␈↓ ∧	␈ε	N␈↓ ∧/␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ∧c␈ε	t␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)
␈β∂J␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α∞d␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈α
prod␈α␈uc␈α␈t␈↓ ¬8␈ε	p␈↓ ¬W␈εβis␈↓ ¬{␈ε	N␈↓ ε~␈εβ!;␈α∂the␈α∞n␈α}um␈α␈erato␈α␈r␈α∞con␈α}tain␈α␈s␈α∞the␈α
terms␈↓ 
=␈ε	N␈↓ 
e␈ε↔␈␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∂q␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓j␈ε↔␈␈↓ α∞␈ε	n␈↓ α&␈ε↔␈␈εβ␈αβ1,␈↓ αm␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β→␈εβ,␈α	1␈αλfo␈α␈r␈αλtho␈α␈se␈↓ ∧H␈ε	t␈↓ ∧T␈εβ's␈αλtha␈α␈t␈αλare␈αλn␈α␈ot␈↓ ε$␈ε	x␈↓ ε5␈εβ's,␈α	an␈α␈d␈αλth␈α␈e␈αλterms␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λ?␈εβ,␈↓ λP␈ε	n␈↓ λh␈ε↔␈␈εβ␈αβ1,␈↓ 	/␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	[␈εβ,␈α	1␈αλfor␈απthose␈↓ 
␈ε	t␈↓ ⊗␈εβ's
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈ε⊂␈αλare␈↓ αB␈ε	x␈↓ αS␈εβ'␈α↓s.␈α
Henc␈α␈e␈↓ β]␈ε	p␈↓ βw␈εβ=␈α	(␈↓ ∧,␈ε	N␈↓ ∧O␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε	n␈↓ ¬	␈εβ)!␈↓ ¬≥␈ε	n␈↓ ¬1␈εβ!/␈↓ ¬K␈ε	N␈↓ ¬j␈εβ!.␈ε⊂␈α∪Ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈:␈↓ π!␈ε	n␈↓ π?␈εβ=␈α	3,␈↓ λ␈ε	N␈↓ λ4␈εβ=␈α
8␈α␈,␈α
(␈↓ 	
␈ε	x␈↓ 	)␈εβ,␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	T␈εβ,␈↓ 	c␈ε	x␈↓ 	␈␈εβ)␈α	=␈α	(␈α↓2␈α␈,␈αε3,␈α¬7);
␈β⊂$␈↓ 	≤␈εε1␈↓ 	G␈εε2␈↓ 	r␈εε3
␈β⊂=␈↓ α⊂␈εε5␈↓ α$␈εε3␈↓ α8␈εε2␈↓ αL␈εε4␈↓ α`␈εε3␈↓ αt␈εε2␈↓ βλ␈εε1␈↓ β≤␈εε1
␈β⊂A␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓b␈εβ=␈↓ β,␈εβ.
␈β⊂O␈↓ α⊂␈∧⊂Oα⊂α
␈↓ α$␈∧⊂Oα$α
␈↓ α8␈∧⊂Oα8α
␈↓ αL␈∧⊂OαLα
␈↓ α`␈∧⊂Oα`α
␈↓ αt␈∧⊂Oαtα
␈↓ βλ␈∧⊂Oβλα
␈↓ β≤␈∧⊂Oβ≤α
␈β⊂Q␈↓ α⊂␈εε8␈↓ α$␈εε7␈↓ α8␈εε6␈↓ αL␈εε5␈↓ α`␈εε4␈↓ αt␈εε3␈↓ βλ␈εε2␈↓ β≤␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβThe␈αre␈α␈serv␈α␈o␈α␈i␈α↓r␈αg␈α␈ets␈αsev␈α␈e␈α␈n␈αreco␈α␈rds:␈α1,␈α2,␈α3␈α␈,␈α5␈α␈,␈α9␈α␈,␈α13␈α␈,␈α1␈α␈6.␈αTh␈α␈e␈α|n␈α␈al␈αsamp␈α␈le␈αcon␈α␈si␈α↓sts␈αo␈α␈f
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβre␈α␈cord␈α␈s␈α2,␈α5,␈α16.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα638␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b3.4.2
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβDelete␈α∞step␈α∞R6␈α∞a␈α␈nd␈α∞th␈α␈e␈α∞va␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈↓ ¬|␈ε	m␈↓ ε~␈εβ.␈α∃Rep␈α␈lace␈α∞th␈α␈e␈↓ πu␈ε	I␈↓ λ∩␈εβta␈α␈ble␈α∞by␈α∞a␈α∞ta␈α␈ble␈α∞of␈α∂re␈α␈cord␈α␈s,
␈βαS␈↓ ↓H␈εβin␈α␈i␈α↓tia␈α␈l␈α↓ized␈α	to␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈↓ ∧β␈ε	n␈↓ ∧!␈εβreco␈α␈rds␈α
in␈α	step␈α	R1,␈αa␈α␈nd␈α	with␈α
th␈α␈e␈α
ne␈α␈w␈α
recor␈α␈d␈α
rep␈α␈lacing␈α	the␈↓ 
j␈ε	M␈↓ 
␈εβth
␈βαz␈↓ ↓H␈εβta␈α␈ble␈αen␈α}try␈αin␈αste␈α␈p␈αR4.
␈ββ1␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβArgu␈α␈ing␈αas␈αi␈α↓n␈αS␈α␈ection␈α1.2␈α␈.␈α↓1␈α␈0,␈αwhich␈αco␈α␈nsid␈α␈ers␈αth␈α␈e␈αsp␈α␈ecial␈αc␈α␈ase␈↓ 	_␈ε	n␈↓ 	7␈εβ=␈α
1,␈αw␈α␈e␈αsee␈αtha␈α␈t
␈ββY␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αge␈α␈nera␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αfu␈α␈nction␈α
is
␈β∧%␈↓ βD␈ε↓∩␈↓ ¬Q␈ε↓∪␈↓ ¬g␈ε↓∩␈↓ πs␈ε↓∪␈↓ λ;␈ε↓∩␈↓ 
∨␈ε↓∪
␈β∧+␈↓ ∧␈εβ1␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ε"␈εβ2␈↓ π-␈ε	n␈↓ λT␈ε	N␈↓ λ{␈ε↔␈␈↓ 	#␈ε	n␈↓ 	t␈ε	n
␈β∧;␈↓ β4␈εn
␈β∧A␈↓ α5␈ε	G␈↓ αO␈εβ(␈↓ αZ␈ε	z␈↓ αg␈εβ)␈α
=␈↓ β&␈ε	z␈↓ ∧>␈εβ+␈↓ ¬C␈ε	z␈↓ ε`␈εβ+␈↓ πe␈ε	z␈↓ λ∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	C␈εβ+␈↓ 
∩␈ε	z␈↓ 
5␈εβ.
␈β∧O␈↓ β↑␈∧∧Oβ↑αU␈↓ ∧j␈∧∧O∧jαU␈↓ ε␈∧∧OεαU␈↓ π
␈∧∧Oπ
αU␈↓ λT␈∧∧OλTαc␈↓ 	o␈∧∧O	oα∨
␈β∧Y␈↓ β↑␈ε	n␈↓ βz␈εβ+␈απ1␈↓ ∧j␈ε	n␈↓ ¬ε␈εβ+␈απ1␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ+␈απ2␈↓ π
␈ε	n␈↓ π(␈εβ+␈αλ2␈↓ λw␈ε	N␈↓ 	o␈ε	N
␈β¬∂␈↓ βC␈ε↓P
␈β¬-␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
m␈α␈ean␈α	is␈↓ βα␈ε	n␈↓ β≤␈εβ+␈↓ ∧M␈εβ(␈↓ ∧X␈ε	n␈↓ ∧l␈εβ/␈↓ ∧|␈ε	t␈↓ ¬λ␈εβ)␈α
=␈↓ ¬G␈ε	n␈↓ ¬[␈εβ(1␈αε+␈↓ ε$␈ε	H␈↓ εV␈ε↔␈␈↓ ε⎇␈ε	H␈↓ π#␈εβ);␈α
an␈α␈d␈α
t␈α␈he␈α	varia␈α␈nce␈α	i␈α↓s␈↓ 	\␈ε	n␈↓ 	p␈εβ(␈↓ 	{␈ε	H␈↓ 
.␈ε↔␈␈↓ 
U␈ε	H␈↓ 
z␈εβ)␈ε↔␈αε␈
␈β¬8␈↓ ε9␈εN␈↓ π∩␈εn␈↓ 
⊃␈εN␈↓ 
j␈εn
␈β¬@␈↓ βi␈εn␈↓ βy␈εε<␈↓ ∧∩␈εt␈↓ ∧≤␈ε~∀␈↓ ∧5␈εN
␈β¬X␈↓ α∂␈εε(2)
␈β¬Y␈↓ ↓\␈εε2␈↓ αw␈εε(␈α↓2␈α␈)
␈β¬]␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβ(␈↓ ↓s␈ε	H␈↓ α3␈ε↔␈␈↓ α\␈ε	H␈↓ β∃␈εβ).
␈β¬l␈↓ αw␈εn
␈β¬m␈↓ α∂␈εN
␈βε⊂␈↓ βG␈ε~␈␈εε1
␈βε∀␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ(Note␈α
t␈α␈hat␈↓ β5␈ε	→␈↓ βy␈εβ=␈α
(␈↓ ∧2␈ε	b␈↓ ∧H␈ε	t␈↓ ∧T␈εβ)␈↓ ∧e␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬⊃␈εβ(␈↓ ¬≤␈ε	b␈↓ ¬5␈εβ3␈α␈)(␈↓ ¬\␈ε	b␈↓ ¬t␈εβ2),␈α∞so␈αwe␈αseek␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αthat␈α
g␈α␈oes␈α
fro␈α␈m␈α
the
␈βε∨␈↓ ∧>␈εt␈↓ ¬(␈εε3␈↓ ¬h␈εε2
␈βε7␈↓ ¬)␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βε<␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α
of␈↓ βL␈ε	→␈↓ βl␈εβto␈α
th␈α␈at␈α
for␈↓ ¬↔␈ε	→␈↓ ¬O␈εβ.)␈α∩Se␈α␈t␈↓ ε1␈ε	b␈↓ εU␈ε↔ ␈↓ π∧␈ε	j␈↓ π ␈εβfor␈α
1␈ε↔␈α∀␈↓ λ!␈ε	j␈↓ λ=␈ε↔∀␈↓ λk␈ε	t␈↓ λw␈εβ.␈α∩Th␈α␈en␈α
for␈↓ 
!␈ε	j␈↓ 
=␈εβ=␈α
2,␈α∞3␈α␈,
␈βεF␈↓ ε=␈εj
␈βεc␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ αλ␈ε	t␈↓ α≡␈εβ(␈α↓in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
ord␈α␈er)␈αin␈α␈t␈α␈ercha␈α␈ng␈α␈e␈↓ ¬$␈ε	b␈↓ ¬E␈ε↔$␈↓ ¬p␈ε	b␈↓ ε∀␈εβ.␈αFi␈α↓n␈α␈ally␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ πN␈ε	j␈↓ πf␈εβ=␈↓ λ⊂␈ε	t␈↓ λ≤␈εβ,␈↓ λ0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ]␈εβ,␈α3␈α␈,␈α2␈α(in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
ord␈α␈er)␈αse␈α␈t
␈βεn␈↓ ¬0␈εj␈↓ ¬|␈εa
␈βεv␈↓ ε	␈ε
j
␈βπλ␈↓ αL␈εα(␈↓ 	
␈εα)
␈βπ␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓u␈ε↔ ␈↓ α ␈ε	b␈↓ α8␈εβ.␈↓ αX␈εβThe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
i␈α↓s␈αb␈α␈ased␈α
on␈α
the␈αfac␈α␈t␈αthat␈α(␈↓ π0␈ε	a␈↓ πI␈ε	t␈↓ πU␈εβ)␈↓ π`␈ε	→␈↓ λ¬␈εβ=␈↓ λ0␈ε	→␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	b␈↓ λm␈ε	t␈↓ λy␈εβ).
␈βπ∃␈↓ ↓T␈εa␈↓ α,␈εj␈↓ π?␈εt␈↓ πp␈εε1␈↓ λ@␈εε1␈↓ λc␈εt
␈βπ≥␈↓ ↓a␈ε
j
␈βπB␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβRen␈α}um␈α␈b␈α␈ering␈απt␈α␈he␈απd␈α␈eck␈απ0␈α␈,␈αλ1,␈↓ ¬↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬D␈εβ,␈αλ2␈↓ ¬f␈ε	n␈↓ ¬|␈ε↔␈␈εβ␈αα2,␈αλw␈α␈e␈απ|n␈α␈d␈απth␈α␈at␈↓ πq␈ε	s␈↓ λε␈εβta␈α␈k␈α␈es␈↓ λX␈ε	x␈↓ λp␈εβi␈α↓n␈α}to␈απ(2␈↓ 	L␈ε	x␈↓ 	]␈εβ)␈↓ 	n␈εβm␈α␈od␈↓ 
2␈εβ(2␈↓ 
N␈ε	n␈↓ 
d␈ε↔␈␈εβ␈αα1),
␈βπe␈↓ 	⎇␈εε2
␈βπi␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓`␈εβtak␈α␈e␈α␈s␈↓ α7␈ε	x␈↓ αT␈εβi␈α↓n␈α}to␈α(␈↓ β$␈ε	x␈↓ β=␈εβ+␈αλ1)␈↓ ∧λ␈εβm␈α␈od␈↓ ∧L␈εβ(2␈↓ ∧h␈ε	n␈↓ ¬∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α
W␈α↓e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α(␈↓ εv␈ε	c␈↓ π∂␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈e␈α␈d␈αb␈α␈y␈↓ λB␈ε	s␈↓ λO␈εβ)␈α=␈↓ 	⊃␈ε	c␈↓ 	≡␈ε	s␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 	b␈ε	s␈↓ 	p␈ε	c␈↓ 
	␈εβ.␈α∞Th␈α␈erefore
␈βλ
␈↓ λ`␈εi␈↓ λx␈εk␈↓ 	|␈ε⎇␈↓ 
∞␈εε(2␈↓ 
#␈εn␈↓ 
3␈ε~␈␈εε1)
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈α
p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ β1␈ε	c␈↓ β>␈εβ's␈α
an␈α␈d␈↓ ∧$␈ε	s␈↓ ∧2␈εβ's␈α
ca␈α␈n␈α
be␈α
tr␈α␈ansfo␈α␈rmed␈α
in␈α}to␈α
the␈α
fo␈α␈rm␈↓ λR␈ε	s␈↓ λk␈ε	c␈↓ 	¬␈εβ.␈α∩Also␈↓ 	l␈εβ2␈↓ 
n␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈βλ4␈↓ ∧c␈ε⎇␈↓ ∧t␈εε(␈α↓2␈↓ ¬	␈εn␈↓ ¬~␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ ε'␈εε2␈↓ ε4␈εn␈↓ εD␈ε~␈␈εε1
␈βλ6␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β[␈εα)
␈βλ9␈↓ ↓b␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α∞(2␈↓ αw␈ε	n␈↓ β∃␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈↓ βg␈εβ;␈α⊃sin␈α␈ce␈↓ ∧U␈ε	s␈↓ ¬V␈εβan␈α␈d␈↓ ε~␈ε	c␈↓ εx␈εβare␈α∞th␈α␈e␈α∞i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓ty␈α
perm␈α}utat␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈α∂at␈α∞mos␈α␈t
␈βλ`␈↓ ↓H␈εβ(2␈↓ ↓c␈ε	n␈↓ ↓␈␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ αC␈ε	⎇␈↓ αX␈εβ(2␈↓ αt␈ε	n␈↓ β∂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αa␈α␈rran␈α␈gem␈α␈en␈α␈ts␈αa␈α␈re␈αpo␈α␈ssible.␈α(The␈ε⊂␈αe␈α␈xac␈α␈t␈εβ␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈αdi{eren␈α}t␈αarra␈α␈nge␈α␈-
␈β	∧␈↓ 	V␈εk␈↓ 
&␈εj␈↓  ␈εj
␈β	λ␈↓ ↓H␈εβm␈α␈en␈α␈ts␈αi␈α↓s␈α(2␈↓ αg␈ε	n␈↓ ββ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ βG␈ε	k␈↓ βX␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧M␈ε	k␈↓ ∧i␈εβi␈α↓s␈αthe␈αord␈α␈er␈αo␈α␈f␈α2␈αmod␈α␈ulo␈α(2␈↓ πs␈ε	n␈↓ λ∂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈).␈α
For␈αif␈↓ 	I␈ε	s␈↓ 	n␈εβ=␈↓ 
→␈ε	c␈↓ 
2␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ ∪␈ε	c
␈β	+␈↓ βl␈εk␈↓ ∧:␈εj
␈β	/␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈x␈α␈es␈α	the␈α
c␈α␈ard␈α	0,␈αs␈α␈o␈↓ β↑␈ε	s␈↓ ∧α␈εβ=␈↓ ∧-␈ε	c␈↓ ∧O␈εβ=␈↓ ∧z␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈α␈.␈α↓)␈αFo␈α␈r␈α
furth␈α␈er␈α
d␈α␈etails,␈αsee␈ε⊂␈α	SIAM␈α	Review␈ε∪␈α
3␈εβ␈α	(196␈α␈1),
␈β	W␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈93↑␈α␈297␈α␈.
␈β
∞␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αC␈ε	Y␈↓ αl␈ε↔ ␈↓ β⊗␈ε	j␈↓ β.␈εβfo␈α␈r␈↓ β←␈ε	t␈↓ βo␈ε↔␈␈↓ ∧∀␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ<␈↓ ∧\␈ε	j␈↓ ∧t␈ε↔∀␈↓ ¬∨␈ε	t␈↓ ¬+␈εβ.␈α
The␈α␈n␈α	fo␈α␈r␈↓ εD␈ε	j␈↓ ε\␈εβ=␈↓ ππ␈ε	t␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π%␈ε	t␈↓ π5␈ε↔␈␈εβ␈α∧1,␈↓ π⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ)␈εβ,␈↓ λ<␈ε	t␈↓ λL␈ε↔␈␈↓ λq␈ε	n␈↓ 		␈εβ+␈α∧1␈αλdo␈αλthe␈αλfollo␈α␈wing
␈β
→␈↓ αV␈εj
␈β
6␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈tions␈α␈:␈αSet␈↓ β*␈ε	k␈↓ βC␈ε↔ ␈α
b␈↓ β{␈ε	j␈↓ ∧
␈ε	U␈↓ ∧%␈ε↔c␈εβ␈αε+␈αε1.␈αIf␈↓ ¬$␈ε	k␈↓ ¬=␈εβ>␈↓ ¬h␈ε	t␈↓ ¬z␈ε↔␈␈↓ ε!␈ε	n␈↓ ε?␈εβth␈α␈en␈α
se␈α␈t␈↓ π<␈ε	X␈↓ πi␈ε↔ ␈↓ λ∪␈ε	Y␈↓ λ>␈εβan␈α␈d␈↓ λ}␈ε	Y␈↓ 	(␈ε↔ ␈↓ 	R␈ε	Y␈↓ 	r␈εβ;␈α
oth␈α␈erwise␈α
if
␈β
@␈↓ πT␈εj␈↓ λ'␈εk␈↓ 	⊃␈εk␈↓ 	f␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈εβ=␈↓ α␈ε	X␈↓ α8␈εβfor␈α
so␈α␈me␈↓ β=␈ε	i␈↓ βS␈εβ>␈↓ β}␈ε	j␈↓ ∧↔␈εβ(a␈α
sy␈α␈m␈α␈bo␈α␈l␈αta␈α␈ble␈α
algo␈α␈rithm␈α
co␈α␈uld␈α
b␈α␈e␈α
use␈α␈d),␈αth␈α␈en␈α
se␈α␈t␈↓ 	x␈ε	X␈↓ 
$␈ε↔ ␈↓ 
O␈ε	Y␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β
h␈↓ α#␈εi␈↓ 
∂␈εj␈↓ 
b␈εi
␈β¬␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓q␈ε↔ ␈↓ α≥␈ε	Y␈↓ α<␈εβ;␈α
oth␈α␈erwise␈αset␈↓ ∧≤␈ε	X␈↓ ∧J␈ε↔ ␈↓ ∧v␈ε	k␈↓ ¬π␈εβ.␈α∞(The␈αid␈α␈ea␈αis␈αto␈αlet␈↓ π3␈ε	Y␈↓ λ ␈εβ,␈↓ λ5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λb␈εβ,␈↓ λw␈ε	Y␈↓ 	#␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈↓ 
3␈ε	X␈↓ #␈εβ,
␈β∂␈↓ ↓[␈εi␈↓ α0␈εj␈↓ ∧3␈εj␈↓ πG␈εt␈↓ πP␈ε~␈␈↓ πi␈εn␈↓ πz␈εε+1␈↓ 	␈εj␈↓ 
J␈εt␈↓ 
T␈ε~␈␈↓ 
m␈εn␈↓ 
⎇␈εε+␈α↓1
␈β,␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ α	␈ε	X␈↓ α-␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αi␈α↓f␈↓ β$␈ε	i␈↓ β;␈εβ>␈↓ βg␈ε	j␈↓ ∧α␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧C␈ε	X␈↓ ∧o␈ε↔∀␈↓ ¬≠␈ε	t␈↓ ¬/␈ε↔␈␈↓ ¬X␈ε	n␈↓ ¬x␈εβalso␈αto␈αlet␈↓ π⊗␈ε	Y␈↓ π@␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈↓ λP␈ε	X␈↓ 	∧␈εβ,␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈αex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f
␈β7␈↓ α ␈εj␈↓ ∧Z␈εi␈↓ π)␈εi␈↓ λg␈εX
␈β?␈↓ λz␈ε
i
␈βT␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αP.)
␈βλ␈↓ ¬∂␈εε1
␈β␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβWe␈α	may␈αλassu␈α␈me␈α	th␈α␈at␈↓ ∧D␈ε	n␈↓ ∧a␈ε↔∀␈↓ ¬ ␈ε	N␈↓ ¬?␈εβ,␈α	oth␈α␈erwise␈α	i␈α↓t␈α	s␈α␈u}ce␈α␈s␈α	to␈α	|␈α␈nd␈α	t␈α␈he␈↓ 	⊂␈ε	N␈↓ 	3␈ε↔␈␈↓ 	Y␈ε	n␈↓ 	v␈εβelemen␈α}ts␈ε⊂␈α	no␈α␈t
␈β→␈↓ ¬∂␈∧→¬∂α
␈β≠␈↓ ¬∂␈εε2
␈β3␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈αsa␈α␈mple.␈α∞Using␈αa␈αh␈α␈ash␈αta␈α␈ble␈αo␈α␈f␈α
size␈α2␈↓ ε:␈ε	n␈↓ εN␈εβ,␈α
th␈α␈e␈αidea␈αis␈αto␈αgen␈α␈era␈α␈te␈αran␈α␈dom␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βZ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
1␈αa␈α␈nd␈↓ β#␈ε	N␈↓ βB␈εβ,␈αstorin␈α␈g␈αth␈α␈em␈αin␈α
the␈α
tab␈α␈l␈α↓e␈α
and␈α
d␈α␈i␈α↓sc␈α␈ard␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αd␈α␈up␈α␈li␈α↓ca␈α␈tes,␈αun␈α}til␈↓ 
 ␈ε	n␈↓ 
?␈εβdistinc␈α␈t
␈β
α␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
bee␈α␈n␈α
g␈α␈ener␈α␈ated␈α␈.␈α⊃The␈α
a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
n␈α}um␈α}bers␈α
g␈α␈ene␈α␈rated␈αis
␈β
)␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓g␈εβ/␈↓ ↓w␈ε	N␈↓ α~␈εβ+␈↓ α?␈ε	N␈↓ α↑␈εβ/␈α␈(␈↓ αz␈ε	N␈↓ β≤␈ε↔␈␈εβ␈α∧1)␈α∧+␈↓ ∧ε␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧1␈εβ+␈↓ ∧V␈ε	N␈↓ ∧u␈εβ/␈α␈(␈↓ ¬⊂␈ε	N␈↓ ¬3␈ε↔␈␈↓ ¬X␈ε	n␈↓ ¬p␈εβ+␈α∧1)␈α	<␈α
2␈↓ εu␈ε	n␈↓ π	␈εβ,␈α	by␈αλex␈α}ercise␈αλ3.3.2↑␈α␈10␈α␈,␈α
a␈α␈nd␈αλth␈α␈e␈αλav␈α␈e␈α␈rage
␈β
Q␈↓ ↓H␈εβtime␈α	to␈α	p␈α␈roce␈α␈ss␈α
ea␈α␈ch␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	i␈α↓s␈↓ ¬
␈ε	O␈↓ ¬"␈εβ(1).␈αWe␈α	wan␈α}t␈α
to␈α	o␈α␈utp␈α␈ut␈α	the␈α	resu␈α␈lts␈α
in␈α	in␈α␈creasin␈α␈g␈α	ord␈α␈er,
␈β
y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈α∞can␈α
be␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞as␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws:␈α⊃Using␈α∞a␈α␈n␈α∞o␈α␈rdere␈α␈d␈α∞h␈α␈ash␈α∞ta␈α␈ble␈α∞(ex␈α}ercise␈α∞6.4↑␈α␈66)␈α∞with
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εβline␈α␈ar␈αλpro␈α␈bing␈α␈,␈α	the␈αλh␈α␈ash␈απtab␈α␈l␈α↓e␈αλwill␈αλapp␈α␈ear␈αλa␈α␈s␈αλi␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αλh␈α␈ad␈αλb␈α␈een␈απi␈α↓n␈α␈serted␈απi␈α↓n␈απincre␈α␈asing
␈β∞H␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈α␈.␈α∂Th␈α}us␈αif␈αw␈α␈e␈αu␈α␈se␈αa␈αmo␈α␈no␈α␈tonic␈αh␈α␈ash␈αad␈α␈dress␈αs␈α␈uch␈αas␈ε↔␈αd␈↓ λ⊗␈ε	n␈↓ λ*␈ε	k␈↓ λ:␈εβ/␈↓ λK␈ε	N␈↓ λj␈ε↔e␈εβ␈αfo␈α␈r␈αthe␈αk␈α}ey␈↓ 
1␈ε	k␈↓ 
A␈εβ,␈αi␈α↓t␈αwill
␈β∞o␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αa␈αsimple␈αma␈α␈tter␈αto␈αoutp␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αk␈α␈ey␈α␈s␈α
in␈αso␈α␈rted␈αo␈α␈rder␈αb␈α␈y␈αmak␈α␈ing␈αat␈αmo␈α␈st␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αp␈α␈asse␈α␈s
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αtab␈α␈le.
␈β⊂ ␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.5
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβA␈↓ α-␈ε	b␈↓ α:␈εβ-ary␈αλsequ␈α␈en␈α␈ce,␈α	y␈α␈es␈α	(c␈α␈f␈α↓.␈α	e␈α␈x␈α␈ercise␈αλ2);␈α
a␈αλ[␈αε0,␈αε1␈α␈)␈α	sequ␈α␈en␈α␈ce,␈α
n␈α␈o␈αλ(␈α↓sin␈α␈ce␈α	o␈α␈nly␈αλ|n␈α␈i␈α↓te␈α␈l␈α↓y␈αλma␈α␈n␈α␈y
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αare␈αas␈α␈sume␈α␈d␈αby␈α
the␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α␈s)␈α↓.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα639
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβIt␈α
is␈α	1-distribu␈α␈ted␈α	an␈α␈d␈α	2-d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α␈,␈α
bu␈α␈t␈α
n␈α␈ot␈α	3-distribu␈α␈ted␈α	(th␈α␈e␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	111
␈βαR␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αapp␈α␈ea␈α␈rs).
␈ββ∧␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβCf.␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
3.2.2↑1␈α␈7;␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αthe␈α␈re␈αwi␈α↓th␈α
a␈αp␈α␈eriod␈αo␈α␈f␈αl␈α↓en␈α␈gth␈α
27.
␈ββ2␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ¬∞␈εε2␈↓ ¬5␈εε1␈↓ ¬\␈εε1␈↓ ε∧␈εε1␈↓ ε+␈εε1␈↓ εR␈εε2␈↓ εz␈εε2␈↓ π!␈εε2␈↓ πH␈εε2␈↓ πp␈εε2␈↓ λ↔␈εε2␈↓ λ>␈εε2␈↓ λf␈εε2
␈ββ5␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α	sequ␈α␈en␈α␈ce␈α
b␈α␈egins␈↓ ∧O␈εβ,␈↓ ∧w␈εβ,␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬E␈εβ,␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ε∀␈εβ,␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εc␈εβ,␈↓ π
␈εβ,␈↓ π1␈εβ,␈↓ πY␈εβ,␈↓ λ␈εβ,␈↓ λ'␈εβ,␈↓ λO␈εβ,␈↓ λv␈εβ,␈α
etc.␈αWhe␈α␈n␈↓ 
'␈ε	n␈↓ 
D␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α3␈α␈,
␈ββD␈↓ ∧?␈∧βD∧?α
␈↓ ∧f␈∧βD∧fα
␈↓ ¬∞␈∧βD¬∞α
␈↓ ¬5␈∧βD¬5α
␈↓ ¬\␈∧βD¬\α
␈↓ ε∧␈∧βDε∧α
␈↓ ε+␈∧βDε+α
␈↓ εR␈∧βDεRα
␈↓ εz␈∧βDεzα
␈↓ π!␈∧βDπ!α
␈↓ πH␈∧βDπHα
␈↓ πp␈∧βDπpα
␈↓ λ↔␈∧βDλ↔α
␈↓ λ>␈∧βDλ>α
␈↓ λf␈∧βDλfα
␈ββF␈↓ ∧?␈εε3␈↓ ∧f␈εε3␈↓ ¬∞␈εε3␈↓ ¬5␈εε3␈↓ ¬\␈εε3␈↓ ε∧␈εε3␈↓ ε+␈εε3␈↓ εR␈εε3␈↓ εz␈εε3␈↓ π!␈εε3␈↓ πH␈εε3␈↓ πp␈εε3␈↓ λ↔␈εε3␈↓ λ>␈εε3␈↓ λf␈εε3
␈ββY␈↓ π
␈εε2␈↓ π~␈εk␈↓ π'␈ε~␈␈εε1␈↓ λr␈εε2␈↓ λ␈␈εk␈↓ 
"␈εε2␈↓ 
.␈εk
␈ββ]␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈,␈α
15␈α␈,␈↓ α∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αO␈εβw␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ βJ␈ε	↔␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βe␈ε	n␈↓ βy␈εβ)␈α	=␈α
1,␈α	1,␈α
5␈α␈,␈α
5,␈↓ ¬E␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εβso␈α	th␈α␈at␈↓ εb␈ε	↔␈↓ εq␈εβ(␈↓ ε|␈εβ2␈↓ πQ␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)␈α	=␈↓ λG␈ε	↔␈↓ λV␈εβ(␈↓ λb␈εβ2␈↓ 	⊃␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈α
=␈α	(␈↓ 
⊃␈εβ2␈↓ 
@␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/3␈α␈;
␈β∧↓␈↓ ¬≠␈εε1␈↓ πU␈εε2
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α#␈ε	↔␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	n␈↓ αR␈εβ)/␈↓ αn␈ε	n␈↓ β␈εβoscillates␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈↓ ¬5␈εβan␈α␈d␈α
ap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈α␈l␈α↓y␈↓ πf␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
no␈α
limit␈αe␈α␈xists.␈αThe␈α
p␈α␈rob␈α␈-
␈β∧∪␈↓ ¬≠␈∧∧∪¬≠α
␈↓ πU␈∧∧∪πUα
␈β∧∃␈↓ ¬≠␈εε3␈↓ πU␈εε3
␈β∧,␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αis␈αun␈α␈de|␈α␈ne␈α␈d.
␈β∧Q␈↓ α␈εα(
␈β∧T␈↓ α_␈εβThe␈αm␈α␈etho␈α␈ds␈αof␈αSe␈α␈ction␈α4.2.4␈αsh␈α␈o␈α␈w,␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α␈e␈α␈r,␈α
tha␈α␈t␈α
a␈αn␈α}um␈α␈erical␈αvalu␈α␈e␈ε⊂␈αcan␈εβ␈αm␈α␈ean␈α␈-
␈β∧{␈↓ ↓H␈εβin␈α␈gfully␈αb␈α␈e␈αassign␈α␈ed␈α
to
␈β¬?␈↓ β"␈εβ1
␈β¬U␈↓ α→␈εβPr␈↓ α:␈εβ(␈↓ αE␈ε	U␈↓ αt␈εβ<␈↓ β6␈εβ)␈α
=␈↓ βu␈εβP␈α↓r␈↓ ∧↔␈εβ(␈↓ ∧"␈εβlea␈α␈ding␈α
digit␈αof␈αth␈α␈e␈αrad␈α␈i␈α↓x␈α␈-4␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α
of␈↓ 	5␈ε	n␈↓ 	Q␈εβ+␈απ1␈αis␈α1␈↓ 
G␈εβ),
␈β¬`␈↓ αZ␈εn
␈β¬c␈↓ β"␈∧¬cβ"α⊃
␈β¬m␈↓ β"␈εβ2
␈βε+␈↓ βA␈εε1␈↓ β[␈εα)
␈βε.␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ α<␈εβlog␈↓ αy␈εβ2␈α	=␈↓ βQ␈εβ.
␈βε=␈↓ αg␈εε4␈↓ βA␈∧ε=βAα
␈βε?␈↓ βA␈εε2
␈βε`␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβIf␈↓ α/␈ε	↔␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	n␈↓ αh␈εβ),␈↓ β	␈ε	↔␈↓ β$␈εβ(␈↓ β/␈ε	n␈↓ βC␈εβ),␈↓ βd␈ε	↔␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβ),␈↓ ∧?␈ε	↔␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε	n␈↓ ∧x␈εβ)␈α
are␈αth␈α␈e␈αcou␈α␈n␈α␈ts␈αcorre␈α␈spon␈α␈din␈α␈g␈αto␈αthe␈αfou␈α␈r␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities,
␈βεk␈↓ α=␈εε1␈↓ β↔␈εε2␈↓ βr␈εε3␈↓ ∧M␈εε4
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ αC␈ε	↔␈↓ α↑␈εβ(␈↓ αi␈ε	n␈↓ α⎇␈εβ)␈α∧+␈↓ β2␈ε	↔␈↓ βM␈εβ(␈↓ βX␈ε	n␈↓ βl␈εβ)␈α	=␈↓ ∧+␈ε	↔␈↓ ∧E␈εβ(␈↓ ∧P␈ε	n␈↓ ∧e␈εβ)␈α∧+␈↓ ¬~␈ε	↔␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	n␈↓ ¬T␈εβ)␈α	for␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ εF␈ε	n␈↓ εZ␈εβ.␈αS␈α␈o␈α	th␈α␈e␈α	d␈α␈esired␈α	re␈α␈sult␈α	follo␈α␈ws␈α	by␈αλad␈α␈dition
␈βπ∪␈↓ αQ␈εε1␈↓ β@␈εε2␈↓ ∧9␈εε3␈↓ ¬(␈εε4
␈βπ0␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αl␈α↓imits.
␈βπa␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβBy␈αex␈α}ercise␈α5␈αa␈α␈nd␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,
␈βλπ␈↓ π[␈ε↓X
␈βλ)␈↓ βe␈εα(␈↓ π	␈εα)␈↓ λH␈εα(␈↓ 	≠␈εα)
␈βλ,␈↓ βD␈εβPr␈↓ βq␈ε	S␈↓ ∧∞␈εβ(␈↓ ∧→␈ε	n␈↓ ∧-␈εβ)␈↓ ∧C␈εβfor␈αsome␈↓ ¬J␈ε	j␈↓ ¬Y␈εβ,␈α∂1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε6␈ε	j␈↓ εN␈ε↔∀␈↓ εy␈ε	k␈↓ π≡␈εβ=␈↓ λ'␈εβPr␈↓ λT␈ε	S␈↓ λq␈εβ(␈↓ λ|␈ε	n␈↓ 	⊂␈εβ)␈↓ 	'␈εβ.
␈βλ7␈↓ ∧α␈εj␈↓ λe␈εj
␈βλ]␈↓ πI␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ πo␈εj␈↓ π{␈ε~∀␈↓ λ∀␈εk
␈β	
␈↓ ↓H␈εβAs␈↓ ↓x␈ε	k␈↓ α⊃␈ε↔!␈α
1␈εβ,␈αt␈α␈he␈αlatte␈α␈r␈αis␈αa␈αm␈α␈on␈α␈oton␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αbo␈α␈un␈α␈de␈α␈d␈αby␈α
1,␈αso␈αit␈αcon␈α}v␈α␈erg␈α␈es;␈αan␈α␈d
␈β	/␈↓ π*␈ε↓X
␈β	Q␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ εX␈εα)␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λj␈εα)
␈β	T␈↓ β}␈εβP␈α↓r␈↓ ∧,␈ε	S␈↓ ∧H␈εβ(␈↓ ∧S␈ε	n␈↓ ∧g␈εβ)␈↓ ∧}␈εβfo␈α␈r␈αsome␈↓ ε¬␈ε	j␈↓ ε≥␈ε↔∃␈εβ␈α	1␈↓ εm␈ε↔∃␈↓ πv␈εβPr␈↓ λ#␈ε	S␈↓ λ@␈εβ(␈↓ λK␈ε	n␈↓ λ←␈εβ)
␈β	←␈↓ ∧<␈εj␈↓ λ4␈εj
␈β	n␈↓ β}␈∧	nβ}α"
␈β
ε␈↓ π_␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π>␈εj␈↓ πJ␈ε~∀␈↓ πc␈εk
␈β
4␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	all␈↓ α%␈ε	k␈↓ α5␈εβ.␈αFor␈αλa␈α	co␈α␈un␈α}terex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈αλto␈αλequ␈α␈ali␈α↓t␈α␈y,␈α	i␈α↓t␈αλi␈α↓s␈αλnot␈αλha␈α␈rd␈α	to␈αλarr␈α␈ang␈α␈e␈α	th␈α␈i␈α↓n␈α␈gs␈αλso␈α	th␈α␈at␈↓ 
f␈ε	S␈↓ α␈εβ(␈↓ 
␈ε	n␈↓ !␈εβ)
␈β
?␈↓ 
v␈εj
␈β
Y␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ¬s␈εα)
␈β
\␈↓ ↓H␈εβis␈αalway␈α␈s␈αtru␈α␈e␈αfor␈ε⊂␈αsome␈↓ ∧#␈ε	j␈↓ ∧2␈εβ,␈αy␈α}et␈↓ ∧␈␈εβP␈α↓r␈↓ ¬,␈ε	S␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	n␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ε	␈εβ=␈α	0␈αfor␈ε⊂␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ π1␈ε	j␈↓ π@␈εβ.
␈β
f␈↓ ¬=␈εj
␈β
o␈↓ β#␈ε↓P
␈β
␈↓ ∧"␈εα(␈↓ ¬␈εα)
␈β
␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	p␈↓ αt␈εβ=␈↓ ∧↓␈εβPr␈↓ ∧.␈ε	S␈↓ ∧U␈εβ(␈↓ ∧`␈ε	n␈↓ ∧t␈εβ)␈↓ ¬␈εβ.␈α∪The␈α
result␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈α
prec␈α␈edin␈α␈g␈α∞ex␈α}ercise␈α∞ca␈α␈n␈α∞b␈α␈e␈α∞g␈α␈ene␈α␈ral-
␈β_␈↓ α\␈εi␈↓ ∧?␈εi␈↓ ∧I␈εj
␈β≡␈↓ ¬T␈ε↓P
␈β ␈↓ βI␈εj␈↓ βU␈ε~∃␈εε1
␈β9␈↓ αW␈εα(␈↓ ¬∩␈εα)␈↓ εS␈εα(␈↓ π&␈εα)
␈β<␈↓ ↓H␈εβize␈α␈d␈αto␈↓ α6␈εβP␈α↓r␈↓ αc␈ε	S␈↓ β␈εβ(␈↓ β␈ε	n␈↓ β∨␈εβ)␈↓ β5␈εβf␈α↓o␈α␈r␈αsome␈↓ ∧=␈ε	j␈↓ ∧V␈ε↔∃␈εβ␈α1␈↓ ¬)␈ε↔∃␈↓ ε2␈εβPr␈↓ ε←␈ε	S␈↓ ε|␈εβ(␈↓ ππ␈ε	n␈↓ π≠␈εβ)␈↓ π2␈εβ,␈αfor␈ε⊂␈αa␈α␈n␈α␈y␈εβ␈αdisjoin␈α}t␈αstate␈α␈men␈α␈ts␈↓ 
\␈ε	S␈↓ 
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε	n␈↓ _␈εβ).
␈βF␈↓ αt␈εj␈↓ εp␈εj␈↓ 
m␈εj
␈βL␈↓ π%␈ε↓P
␈βN␈↓ ¬z␈εj␈↓ εε␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βV␈↓ α6␈∧Vα6α"␈↓ ε2␈∧Vε2α"
␈βg␈↓ βp␈εα(␈↓ εZ␈εα)␈↓ λ"␈εα(␈↓ 
p␈εα)
␈βj␈↓ ↓H␈εβS␈α␈o␈α∞w␈α␈e␈α∂h␈α␈av␈α}e␈α∞1␈α∂=␈↓ βO␈εβPr␈↓ β|␈ε	S␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	n␈↓ ∧C␈εβ)␈↓ ∧Y␈εβfor␈αso␈α␈me␈↓ ¬`␈ε	i␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	j␈↓ ε→␈ε↔∃␈εβ␈α∂1␈↓ εu␈ε↔∃␈↓ λ↓␈εβPr␈↓ λ.␈ε	S␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε	n␈↓ λu␈εβ)␈↓ 	␈εβfor␈αso␈α␈me␈↓ 
∩␈ε	j␈↓ 
0␈ε↔∃␈εβ␈α∂1␈↓ ␈ε↔∃
␈βu␈↓ ∧
␈εi␈↓ ∧_␈εj␈↓ λ?␈εi␈↓ λI␈εj
␈βz␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β⎇␈↓ πK␈εi␈↓ πV␈ε~∃␈εε1
␈β∧␈↓ λ↓␈∧∧λ↓α"
␈β⊗␈↓ ∧↑␈εα(␈↓ π&␈εα)
␈β→␈↓ α$␈ε	p␈↓ αJ␈εβ=␈α1,␈α
an␈α␈d␈αhe␈α␈nce␈↓ ∧=␈εβPr␈↓ ∧j␈ε	S␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	n␈↓ ¬1␈εβ)␈↓ ¬G␈εβfor␈αso␈α␈me␈↓ εN␈ε	j␈↓ εi␈ε↔∃␈εβ␈α1␈↓ π=␈εβ=␈↓ πj␈ε	p␈↓ λ¬␈εβ.␈α∂Giv␈α␈en␈↓ 	␈ε	∂␈↓ 	_␈εβ>␈α0,␈α
let␈↓ 
≥␈ε	I␈↓ 
8␈εβbe␈αlarge
␈β#␈↓ α3␈εi␈↓ ∧{␈εi␈↓ ¬ε␈εj␈↓ πz␈εi
␈β(␈↓ β+␈ε↓P
␈β+␈↓ ↓n␈εi␈↓ ↓x␈ε~∃␈εε1
␈β2␈↓ ∧=␈∧2∧=α"
␈βF␈↓ ↓H␈εβe␈α␈nou␈α␈gh␈α
so␈αth␈α␈at␈↓ ∧,␈ε	p␈↓ ∧P␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬;␈ε	∂␈↓ ¬H␈εβ.␈αLet
␈βQ␈↓ ∧<␈εi
␈βY␈↓ βQ␈εε1␈ε~∀␈↓ βw␈εi␈↓ ∧α␈ε~∀␈↓ ∧≠␈εI
␈β
∃␈↓ 	M␈εα)
␈β
_␈↓ αb␈ε	≡␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β
␈ε	N␈↓ β)␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ βs␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈↓ ¬∩␈ε	n␈↓ ¬/␈εβ<␈↓ ¬Z␈ε	N␈↓ ε∧␈εβwith␈↓ εO␈ε	S␈↓ εw␈εβ(␈↓ πα␈ε	n␈↓ π⊗␈εβ)␈αtru␈α␈e␈αfor␈αsome␈↓ λy␈ε	j␈↓ 	∩␈ε↔∃␈εβ␈α	1␈↓ 	Y␈εβ/␈↓ 	i␈ε	N␈↓ 
λ␈εβ.
␈β
"␈↓ αt␈εi␈↓ ε`␈εi␈↓ εk␈εj
␈β
D␈↓ αB␈ε↓P␈↓ 	*␈ε↓P
␈β
b␈↓ ↓H␈εβClea␈α␈rly␈↓ βC␈ε	≡␈↓ β←␈εβ(␈↓ βj␈ε	N␈↓ ∧	␈εβ)␈ε↔␈α∂∀␈εβ␈α⊂1␈α␈,␈α⊂an␈α␈d␈α∞for␈α∂a␈α␈ll␈α∂l␈α↓a␈α␈rge␈α∞en␈α␈oug␈α␈h␈↓ πu␈ε	N␈↓ λ#␈εβw␈α␈e␈α∞hav␈α}e␈↓ 
+␈ε	≡␈↓ 
G␈εβ(␈↓ 
R␈ε	N␈↓ 
q␈εβ)␈ε↔␈α∂∃
␈β
m␈↓ βT␈εi␈↓ 
<␈εi
␈β
r␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β
u␈↓ αh␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β
␈εi␈↓ β_␈ε~∀␈↓ β1␈εI␈↓ 	P␈εε2␈ε~␈α␈∀␈↓ 	u␈εi␈↓ 
␈ε~∀␈↓ 
→␈εI
␈β∞⊂␈↓ αI␈ε	p␈↓ αk␈ε↔␈␈↓ β∀␈ε	∂␈↓ β!␈εβ;␈αhe␈α␈nce␈↓ ∧∪␈ε	≡␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε	N␈↓ ∧[␈εβ)␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬]␈ε	≡␈↓ ¬|␈εβ(␈↓ επ␈ε	N␈↓ ε&␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ εa␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π⊂␈ε↔␈␈↓ π9␈ε	≡␈↓ πW␈εβ(␈↓ πb␈ε	N␈↓ λ↓␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈εβ␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	β␈ε	p␈↓ 	'␈ε↔␈␈↓ 	P␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	␈␈ε↔␈␈↓ 
(␈ε	p␈↓ 
K␈εβ+␈↓ 
t␈ε	∂␈↓ ␈ε↔∀
␈β∞~␈↓ αY␈εi␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ¬o␈εε2␈↓ πK␈εI␈↓ 	∩␈εε2␈↓ 
7␈εI
␈β∞"␈↓ ↓n␈εε2␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εi␈↓ α≡␈ε~∀␈↓ α7␈εI
␈β∞=␈↓ π∨␈∧∞=π∨α"
␈β∞>␈↓ π@␈εα(␈↓ 	z␈εα)
␈β∞A␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αλ(1␈ε↔␈αε␈␈↓ αS␈ε	∂␈↓ αg␈ε↔␈␈↓ β∂␈ε	p␈↓ β+␈εβ)␈απ+␈↓ βf␈ε	∂␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧'␈ε	p␈↓ ∧J␈εβ+␈απ2␈↓ ¬β␈ε	∂␈↓ ¬⊂␈εβ.␈αThis␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈αth␈α␈at␈↓ π∨␈εβPr␈↓ πL␈ε	S␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ↓␈ε	n␈↓ λ∃␈εβ)␈↓ λ ␈εβfo␈α␈r␈αsome␈↓ 	'␈ε	j␈↓ 	?␈ε↔∃␈εβ␈α	1␈↓ 
∂␈ε↔∀␈↓ 
:␈ε	p␈↓ 
]␈εβ+␈αλ2␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ;
␈β∞L␈↓ β∨␈εε1␈↓ ∧6␈εε1␈↓ π]␈εε1␈↓ πi␈εj␈↓ 
J␈εε1
␈β∞f␈↓ αJ␈εα(␈↓ ¬∩␈εα)
␈β∞i␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α(␈εβP␈α↓r␈↓ αV␈ε	S␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β
␈ε	n␈↓ β≡␈εβ)␈↓ β)␈εβfor␈αsom␈α␈e␈↓ ∧0␈ε	j␈↓ ∧P␈ε↔∃␈εβ␈α⊃1␈↓ ¬/␈εβ=␈↓ ¬`␈ε	p␈↓ ¬⎇␈εβ,␈α⊃a␈α␈nd␈α∂th␈α␈e␈α∂desired␈α∞result␈α∂ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈α⊂fo␈α␈r␈↓ 
β␈ε	i␈↓ 
 ␈εβ=␈α⊃1␈α␈.␈α→By
␈β∞s␈↓ αf␈εε1␈↓ αs␈εj␈↓ ¬p␈εε1
␈β∂⊂␈↓ ↓H␈εβsy␈α␈mme␈α␈try␈αof␈αth␈α␈e␈αh␈α␈y␈α␈po␈α␈these␈α␈s,␈αit␈αh␈α␈olds␈αfor␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ πc␈ε	i␈↓ πp␈εβ.
␈β∂B␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβAdd␈α
tog␈α␈ethe␈α␈r␈αt␈α␈he␈αp␈α␈rob␈α␈abiliti␈α↓e␈α␈s␈αf␈α↓o␈α␈r␈↓ εβ␈ε	j␈↓ ε∩␈εβ,␈↓ ε'␈ε	j␈↓ ε=␈εβ+␈↓ εf␈ε	d␈↓ εx␈εβ,␈↓ π␈ε	j␈↓ π#␈εβ+␈απ2␈↓ π\␈ε	d␈↓ πo␈εβ,␈↓ λβ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ5␈εβin␈αDe␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αE.
␈β∂t␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβli␈α↓m␈α¬su␈α␈p␈↓ β4␈εβ(␈↓ β@␈ε	a␈↓ βg␈εβ+␈↓ ∧⊂␈ε	b␈↓ ∧,␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧k␈εβlim␈αεs␈α␈up␈↓ ε→␈ε	a␈↓ ε@␈εβ+␈↓ εi␈εβlim␈α¬sup␈↓ λ↔␈ε	b␈↓ λ3␈εβ;␈αhen␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αge␈α␈t
␈β∂␈␈↓ βO␈εn␈↓ ∧≤␈εn␈↓ ε(␈εn␈↓ λ#␈εn
␈β⊂β␈↓ αr␈εn␈↓ βα␈ε~!1␈↓ ¬P␈εn␈↓ ¬a␈ε~!1␈↓ πN␈εn␈↓ π←␈ε~!1
␈β⊂9␈↓ ∧D␈εε2␈↓ εh␈εε2␈↓ πd␈εε2␈↓ λ`␈εε2␈↓ 	M␈εε2
␈β⊂<␈↓ β3␈εα(␈↓ εt␈εα)
␈β⊂?␈↓ αM␈εβli␈α↓m␈α¬su␈α␈p␈↓ β?␈εβ(␈↓ βJ␈ε	y␈↓ β}␈ε↔␈␈↓ ∧'␈ε	␈↓ ∧9␈εβ)␈↓ ∧X␈εβ+␈↓ ¬↓␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬/␈εβ+␈αλ(␈↓ ¬c␈ε	y␈↓ ε"␈ε↔␈␈↓ εJ␈ε	␈↓ ε\␈εβ)␈↓ π	␈ε↔∀␈↓ π4␈ε	m␈↓ πQ␈ε	␈↓ πx␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ λ1␈ε	m␈↓ λN␈ε	␈↓ λt␈εβ+␈↓ 	≥␈ε	m␈↓ 	:␈ε	␈↓ 	c␈εβ=␈α	0,
␈β⊂I␈↓ βZ␈εε1␈↓ βf␈εn␈↓ ¬s␈εm␈↓ ε
␈εn
␈β⊂e␈↓ α←␈εn␈↓ αo␈ε~!1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αcan␈α
ha␈α␈pp␈α␈en␈αo␈α␈nly␈αif␈αeac␈α␈h␈α(␈↓ ¬;␈ε	y␈↓ ¬o␈ε↔␈␈↓ ε↔␈ε	␈↓ ε*␈εβ)␈αten␈α␈ds␈αto␈α
zero␈α␈.
␈β⊃)␈↓ ¬K␈εj␈↓ ¬W␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα640␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIn␈αth␈α␈e␈αev␈α␈alua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αsum␈α
i␈α↓n␈α
Eq.␈α(␈α↓2␈α␈2).
␈βα\␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈ε↔h␈↓ α↔␈ε	U␈↓ αI␈ε↔i␈εβ␈αis␈↓ β↓␈ε	k␈↓ β⊃␈εβ-distribu␈α␈ted␈α
i␈α↓f␈ε↔␈αh␈↓ ∧q␈ε	U␈↓ ¬↔␈ε↔i␈εβ␈αis␈α(2,␈αε2␈↓ ε	␈ε	k␈↓ ε~␈εβ)-d␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d.
␈βαf␈↓ α,␈εε2␈↓ α9␈εn␈↓ ¬ε␈εn
␈ββ∞␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	f␈↓ αV␈εβ(␈↓ αa␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ,␈↓ β␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β8␈εβ,␈↓ βG␈ε	x␈↓ βd␈εβ)␈α	=␈α
1␈απi␈α↓f␈↓ ∧X␈ε	u␈↓ ∧u␈ε↔∀␈↓ ¬ ␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬←␈εβ(␈↓ ¬j␈ε	x␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∃␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εA␈εβ,␈↓ εP␈ε	x␈↓ εl␈εβ)␈α
<␈↓ π+␈ε	v␈↓ π=␈εβ;␈↓ πO␈ε	f␈↓ π←␈εβ(␈↓ πj␈ε	x␈↓ λε␈εβ,␈↓ λ∃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λA␈εβ,␈↓ λP␈ε	x␈↓ λm␈εβ)␈α	=␈α
0␈απoth␈α␈erwise.␈αTh␈α␈en
␈ββ_␈↓ αp␈εε1␈↓ βW␈εk␈↓ ¬y␈εε1␈↓ ε←␈εk␈↓ πy␈εε1␈↓ λ←␈εk
␈ββ5␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α
The␈α␈orem␈αB.
␈ββg␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβLet
␈β∧%␈↓ α≤␈ε	p␈↓ αB␈εβ=␈↓ αl␈εβP␈α↓r␈↓ β∞␈εβ(␈↓ β→␈ε	U␈↓ βI␈εβbeg␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αa␈αga␈α␈p␈αof␈αlen␈α␈gth␈↓ ε⊗␈ε	k␈↓ ε.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)
␈β∧/␈↓ α+␈εk␈↓ β.␈εn
␈β∧I␈↓ β∞␈εα(␈↓ 
L␈εα)
␈β∧L␈↓ αB␈εβ=␈↓ αl␈εβP␈α↓r␈↓ β~␈ε	U␈↓ βn␈ε↔2␈εβ␈α	[␈↓ ∧≠␈ε	␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε	␈␈↓ ∧P␈εβ),␈↓ ∧r␈ε	U␈↓ ¬ ␈ε↔3␈εβ␈α
[␈↓ ¬M␈ε	␈↓ ¬←␈εβ,␈↓ ¬n␈ε	␈␈↓ εα␈εβ),␈↓ ε$␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εP␈εβ,␈↓ εf␈ε	U␈↓ πa␈ε↔3␈εβ␈α	[␈↓ λ∞␈ε	␈↓ λ ␈εβ,␈↓ λ/␈ε	␈␈↓ λC␈εβ),␈↓ λd␈ε	U␈↓ 	←␈ε↔2␈εβ␈α
[␈↓ 
␈ε	␈↓ 
≡␈εβ,␈↓ 
-␈ε	␈␈↓ 
A␈εβ)
␈β∧W␈↓ β/␈εn␈↓ β?␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬π␈εn␈↓ ε{␈εn␈↓ π␈εε+␈↓ π%␈εk␈↓ π2␈ε~␈␈εε2␈↓ λz␈εn␈↓ 	
␈εε+␈↓ 	#␈εk␈↓ 	0␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧n␈↓ α⎇␈εε2␈↓ βr␈εk␈↓ β␈␈ε~␈␈εε1
␈β∧t␈↓ αB␈εβ=␈↓ αl␈ε	p␈↓ β
␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βV␈ε	p␈↓ βg␈εβ)␈↓ ∧%␈εβ.
␈β¬:␈↓ α␈εβIt␈α∞re␈α␈mains␈α
to␈α
tran␈α␈sl␈α↓a␈α␈te␈α∞t␈α␈his␈α∞in␈α␈to␈α
th␈α␈e␈α∞p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
tha␈α␈t␈↓ λ'␈ε	f␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	n␈↓ λV␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ 	∀␈ε	f␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	n␈↓ 	L␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈α∞=␈↓ 
N␈ε	k␈↓ 
←␈εβ.␈α∩L␈α↓e␈α␈t
␈β¬←␈↓ αI␈εα(␈↓ πA␈εα)
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	n␈↓ αα␈εβ)␈α∞=␈↓ αU␈εβn␈α␈um␈α}ber␈αo␈α␈f␈↓ βu␈ε	j␈↓ ∧
␈ε↔∀␈↓ ∧7␈ε	n␈↓ ∧V␈εβwi␈α↓th␈↓ ¬"␈ε	f␈↓ ¬2␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	j␈↓ ¬L␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ επ␈ε	f␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε"␈ε	j␈↓ ε9␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈α	=␈↓ π1␈ε	k␈↓ πM␈εβ;␈α∂l␈α↓et␈↓ λ_␈ε	⊗␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	n␈↓ λV␈εβ)␈α∞=␈α∞(n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈↓ 
M␈ε	j␈↓ 
j␈ε↔∀␈↓ _␈ε	n
␈β¬l␈↓ ↓V␈εk␈↓ λ*␈εk
␈βε	␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α⊃␈ε	U␈↓ α<␈εβth␈α␈e␈α	b␈α␈eginn␈α␈ing␈α	o␈α␈f␈α	a␈α	ga␈α␈p␈α	o␈α␈f␈α	l␈α↓en␈α␈gth␈↓ ε␈ε	k␈↓ ε!␈ε↔␈␈εβ␈α¬1);␈α
a␈α␈nd␈αλl␈α↓e␈α␈t␈↓ πb␈ε	⊗␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ∀␈εβ)␈α	similarly␈α	c␈α␈oun␈α}t␈α	th␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βε∀␈↓ α'␈εj
␈βε.␈↓ ε7␈εα(␈↓ ε⎇␈εα)␈↓ λ)␈εα(␈↓ λo␈εα)
␈βε1␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ α3␈ε	j␈↓ αL␈ε↔∀␈↓ αw␈ε	n␈↓ β⊗␈εβwith␈↓ βb␈ε	U␈↓ ∧
␈ε↔2␈εβ␈α	[␈↓ ∧9␈ε	␈↓ ∧K␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε	␈␈↓ ∧o␈εβ).␈αW␈α↓e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ε→␈ε	⊗␈↓ εC␈ε	f␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε	n␈↓ εr␈εβ)␈↓ π∪␈εβ=␈↓ π=␈ε	↔␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	n␈↓ πw␈εβ)␈α↓,␈↓ λ↔␈ε	⊗␈↓ λ5␈ε	f␈↓ λE␈εβ(␈↓ λP␈ε	n␈↓ λd␈εβ)␈↓ 	¬␈εβ=␈↓ 	0␈ε	n␈↓ 	D␈εβ.␈αAs␈↓ 
	␈ε	n␈↓ 
&␈ε↔!␈α
1␈εβ,␈αw␈α␈e
␈βε<␈↓ βw␈εj␈↓ ε*␈εk␈↓ πK␈εk
␈βεY␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ αi␈ε	f␈↓ αx␈εβ(␈↓ ββ␈ε	n␈↓ β_␈εβ)␈ε↔␈α	!␈α	1␈εβ␈α↓,␈αhe␈α␈nce
␈βπ≤␈↓ 	R␈εk␈↓ 	←␈ε~␈␈εε1
␈βπ∨␈↓ ∧∧␈εα(␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬n␈εα(␈↓ π'␈εα)
␈βπ"␈↓ αf␈ε	↔␈↓ β↓␈εβ(␈↓ β␈ε	n␈↓ β ␈εβ)␈α↓/␈↓ β<␈ε	n␈↓ βY␈εβ=␈↓ ∧⊂␈ε	⊗␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	f␈↓ ∧I␈εβ(␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧i␈εβ))/␈↓ ¬∂␈ε	f␈↓ ¬∨␈εβ(␈↓ ¬*␈ε	n␈↓ ¬>␈εβ)␈↓ ¬]␈ε↔↓␈↓ ¬z␈ε	f␈↓ ε	␈εβ(␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε(␈εβ)␈α↓/␈↓ εD␈ε	⊗␈↓ εV␈εβ(␈↓ εb␈ε	f␈↓ εq␈εβ(␈↓ ε|␈ε	n␈↓ π⊃␈εβ))␈↓ π<␈ε↔!␈↓ πg␈ε	p␈↓ λβ␈εβ/␈↓ λ∀␈ε	p␈↓ λ.␈εβ=␈↓ λY␈ε	p␈↓ λj␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	6␈ε	p␈↓ 	G␈εβ)␈↓ 
¬␈εβ.
␈βπ-␈↓ αt␈εk␈↓ ∧!␈εk␈↓ πv␈εk
␈βπl␈↓ ↓H␈εβ[We␈αha␈α␈v␈α␈e␈αo␈α␈nly␈αm␈α␈ade␈αu␈α␈se␈αof␈αth␈α␈e␈αfact␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αis␈α(␈↓ λ⊂␈ε	k␈↓ λ(␈εβ+␈αλ1)-d␈α␈i␈α↓s␈α␈tri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d.]
␈βλ≡␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet
␈βλ\␈↓ αt␈ε	p␈↓ β~␈εβ=␈↓ βE␈εβPr␈↓ βf␈εβ(␈↓ βq␈ε	U␈↓ ∧"␈εβb␈α␈egins␈αa␈α
run␈α
of␈αleng␈α␈th␈↓ εm␈ε	k␈↓ ε⎇␈εβ)
␈βλf␈↓ β∧␈εk␈↓ ∧ε␈εn
␈β	∞␈↓ β~␈εβ=␈↓ βE␈εβPr␈↓ βf␈εβ(␈↓ βq␈ε	U␈↓ ∧F␈εβ>␈↓ ∧p␈ε	U␈↓ ¬∨␈εβ<␈↓ ¬J␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬z␈εβ<␈↓ ε$␈ε	U␈↓ π∨␈εβ>␈↓ πJ␈ε	U␈↓ λ⊗␈εβ)
␈β	→␈↓ ∧ε␈εn␈↓ ∧↔␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬ε␈εn␈↓ ε:␈εn␈↓ εJ␈εε+␈↓ εc␈εk␈↓ εp␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π←␈εn␈↓ πp␈εε+␈↓ λ	␈εk
␈β	;␈↓ ∧=␈ε↓ ␈↓ 	i␈ε↓!
␈β	F␈↓ ∧T␈ε↓∩␈↓ ¬;␈ε↓∪␈↓ ¬Q␈ε↓∩␈↓ ε8␈ε↓∪␈↓ ε}␈ε↓∩␈↓ πe␈ε↓∪␈↓ λ+␈ε↓∩␈↓ 	∩␈ε↓∪
␈β	L␈↓ βx␈εβ1␈↓ ∧j␈ε	k␈↓ ¬↓␈εβ+␈αλ2␈↓ ¬g␈ε	k␈↓ ¬␈␈εβ+␈απ1␈↓ π∀␈ε	k␈↓ π,␈εβ+␈απ2␈↓ λA␈ε	k␈↓ λY␈εβ+␈αλ2
␈β	c␈↓ β~␈εβ=␈↓ εU␈ε↔␈␈↓ λβ␈ε↔␈␈↓ 	0␈εβ+␈απ1
␈β	q␈↓ βH␈∧	qβHαq
␈β	z␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε	k␈↓ βk␈εβ+␈αλ2)!␈↓ ¬
␈εβ1␈↓ επ␈εβ1␈↓ π4␈εβ1␈↓ λa␈εβ1
␈β
5␈↓ βy␈ε	k␈↓ ¬␈ε	k␈↓ ¬_␈εβ+␈αλ1
␈β
K␈↓ β~␈εβ=␈↓ ∧D␈ε↔␈
␈β
Z␈↓ βH␈∧
ZβHαq␈↓ ∧q␈∧
Z∧qαq
␈β
c␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε	k␈↓ βk␈εβ+␈αλ1)!␈↓ ∧q␈εβ(␈↓ ∧|␈ε	k␈↓ ¬∪␈εβ+␈αλ2)!
␈β)␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈α⊂ex␈α}ercise␈α⊂3␈α␈.3.2↑1␈α␈3).␈α~No␈α}w␈α⊂pro␈α␈ceed␈α∂as␈α⊂in␈α∂the␈α∂prev␈α␈ious␈α∂ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α⊂to␈α⊂tr␈α␈ansfe␈α␈r␈α⊂this␈α⊂to
␈βN␈↓ ↓i␈εα(␈↓ ∧λ␈εα)
␈βQ␈↓ ↓H␈εβPr␈↓ ↓u␈ε	f␈↓ α¬␈εβ(␈↓ α⊂␈ε	n␈↓ α$␈εβ)␈ε↔␈αα␈␈↓ αT␈ε	f␈↓ αd␈εβ(␈↓ αo␈ε	n␈↓ β¬␈ε↔␈␈εβ␈αα1)␈α	=␈↓ βw␈ε	k␈↓ ∧∀␈εβ.␈α
[We␈απha␈α␈v␈α␈e␈απa␈α␈ssum␈α␈ed␈απo␈α␈nly␈αεthat␈αεthe␈απse␈α␈que␈α␈nce␈αεi␈α↓s␈απ(␈↓ 	∨␈ε	k␈↓ 	1␈εβ+␈αα2)-d␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d.]
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβFor␈↓ αK␈ε	s␈↓ αY␈εβ,␈↓ αh␈ε	t␈↓ α⎇␈ε↔∃␈εβ␈α	0␈αlet
␈βG␈↓ αM␈ε	p␈↓ α{␈εβ=␈↓ β&␈εβPr␈↓ βG␈εβ(␈↓ βR␈ε	X␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬β␈ε	X␈↓ ελ␈ε↔≤␈↓ ε3␈ε	X␈↓ π9␈ε↔≤␈↓ πc␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∀␈ε↔≤␈↓ λ>␈ε	X
␈βQ␈↓ α]␈εs␈↓ αh␈εt␈↓ βi␈εn␈↓ βy␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ∧∨␈εt␈↓ ∧)␈ε~␈␈εε3␈↓ ¬~␈εn␈↓ ¬*␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬P␈εt␈↓ ¬Y␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ εJ␈εn␈↓ εZ␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ π␈εt␈↓ π
␈ε~␈␈εε1␈↓ λU␈εn␈↓ λf␈ε~␈␈εε1
␈βn␈↓ ε?␈εβa␈α␈nd␈↓ π␈ε	X␈↓ π0␈εβ=␈↓ π[␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈ε	X␈↓ 	␈ε↔≤␈↓ 	5␈ε	X
␈βy␈↓ π↔␈εn␈↓ λM␈εn␈↓ λ]␈εε+␈↓ λv␈εs␈↓ 	L␈εn␈↓ 	]␈εε+␈↓ 	v␈εs␈↓ 
↓␈εε+1
␈β
≥␈↓ β4␈εε1␈↓ βP␈εs␈↓ β[␈εε+2␈↓ ∧↓␈εt␈↓ ∧␈εε+3
␈β
!␈↓ α{␈εβ=␈α
(␈↓ βE␈εβ)␈↓ ∧0␈εβ;
␈β
/␈↓ β4␈∧
/β4α
␈β
1␈↓ β4␈εε2
␈β
f␈↓ λq␈εε1␈↓ 	
␈εε2␈↓ 	→␈εt␈↓ 	#␈εε+1
␈β
j␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓⎇␈ε	t␈↓ α∀␈ε↔∃␈εβ␈α0␈αlet␈↓ β∂␈ε	q␈↓ β0␈εβ=␈↓ β]␈εβPr␈↓ β}␈εβ(␈↓ ∧	␈ε	X␈↓ ¬∩␈εβ=␈↓ ¬>␈ε	X␈↓ εF␈ε↔≤␈↓ εs␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π%␈ε↔≤␈↓ πR␈ε	X␈↓ λ∨␈εβ)␈α=␈α(␈↓ 	α␈εβ)␈↓ 	I␈εβ.␈α∂By␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α
7␈α␈,
␈β
s␈↓ εr␈ε↓P
␈β
t␈↓ β≠␈εt␈↓ ∧!␈εn␈↓ ∧1␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧W␈εt␈↓ ∧`␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ¬U␈εn␈↓ ¬f␈ε~␈␈εε2␈↓ ε␈εt␈↓ ε∃␈ε~␈␈εε1␈↓ πi␈εn␈↓ πz␈ε~␈␈εε1
␈β
x␈↓ λq␈∧
xλqα
␈β
z␈↓ λq␈εε2
␈β∞∞␈↓ λ~␈εε2
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εβPr␈↓ ↓i␈εβ(␈↓ ↓t␈ε	X␈↓ α'␈εβis␈αno␈α␈t␈αthe␈αb␈α␈egin␈α␈ning␈αo␈α␈f␈αa␈αcou␈α␈po␈α␈n␈αset)␈α	=␈↓ πM␈ε	q␈↓ πl␈εβ=␈↓ λ+␈εβ;␈↓ λ?␈εβPr␈↓ λ`␈εβ(␈↓ λl␈ε	X␈↓ 	≡␈εβis␈αthe␈αb␈α␈eginn␈α␈ing␈αo␈α␈f
␈β∞≤␈↓ α␈εn␈↓ πY␈εt␈↓ 	β␈εn
␈β∞ ␈↓ λ~␈∧∞ λ~α
␈β∞!␈↓ ¬λ␈ε↓P
␈β∞"␈↓ λ~␈εε3
␈β∞$␈↓ π_␈εt␈↓ π"␈ε~∃␈εε0
␈β∞;␈↓ εz␈εs␈↓ π¬␈εε+1
␈β∞<␈↓ ε?␈εε1␈↓ ε↑␈εε1
␈β∞?␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oup␈α␈on␈α
set␈αof␈αleng␈α␈th␈↓ β{␈ε	s␈↓ ∧⊂␈εβ+␈αλ2␈α␈)␈α
=␈↓ ¬c␈ε	p␈↓ ε⊃␈εβ=␈↓ εP␈εβ(␈↓ εo␈εβ)␈↓ π+␈εβ.␈αNo␈α␈w␈αpro␈α␈ceed␈α
as␈αin␈αex␈α}ercise␈α1␈α␈3.
␈β∞J␈↓ ¬s␈εs␈↓ ¬}␈εt
␈β∞M␈↓ ε?␈∧∞Mε?α
␈↓ ε↑␈∧∞Mε↑α
␈β∞O␈↓ ε?␈εε3␈↓ ε↑␈εε2
␈β∞R␈↓ ¬.␈εt␈↓ ¬8␈ε~∃␈εε0
␈β∞u␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α
b␈α␈y␈α
R.␈α
P␈α↓.␈α
Sta␈α␈nley␈α␈.␈α↓)␈α↔Wh␈α␈enev␈α}er␈α
the␈α
s␈α␈ub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈e␈↓ λD␈ε	S␈↓ λa␈εβ=␈α
(␈↓ 	↔␈ε	b␈↓ 	*␈ε↔␈␈εβ␈απ1),␈α
(␈↓ 
␈ε	b␈↓ 
 ␈ε↔␈␈εβ␈αε2),␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈β∂≤␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈,␈α0,␈α0␈α␈,␈α1,␈↓ α↑␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β
␈εβ,␈α(␈↓ β*␈ε	b␈↓ β?␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈)␈α↓,␈α(␈↓ ∧$␈ε	b␈↓ ∧8␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈αa␈α␈pp␈α␈ears,␈αa␈αc␈α␈oup␈α␈on␈αse␈α␈t␈αm␈α␈u␈α␈st␈αe␈α␈nd␈αat␈αth␈α␈e␈αrigh␈α}t␈αo␈α␈f␈↓ 
=␈ε	S␈↓ 
Q␈εβ,␈αsince
␈β∂D␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈αcou␈α␈po␈α␈n␈αset␈αi␈α↓s␈αco␈α␈mplete␈α␈d␈αi␈α↓n␈αthe␈α|rs␈α␈t␈α
h␈α␈alf␈α
o␈α␈f␈↓ π≥␈ε	S␈↓ π1␈εβ.␈α⊂We␈αno␈α}w␈α
p␈α␈roce␈α␈ed␈αto␈αcalcu␈α␈late␈αthe
␈β∂l␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
th␈α␈at␈α
a␈α
cou␈α␈po␈α␈n␈α
set␈α
be␈α␈gins␈α
at␈α
po␈α␈siti␈α↓o␈α␈n␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π=␈εβby␈α
m␈α␈anip␈α␈ulatin␈α␈g␈α
the␈α
p␈α␈roba␈α␈biliti␈α↓e␈α␈s
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α	the␈α	last␈α	p␈α␈ri␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈pp␈α␈eara␈α␈nce␈α	of␈↓ ¬$␈ε	S␈↓ ¬B␈εβen␈α␈ds␈α	at␈α	po␈α␈siti␈α↓o␈α␈n␈↓ π/␈ε	n␈↓ πH␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈,␈↓ λ∩␈ε	n␈↓ λ,␈ε↔␈␈εβ␈α¬2,␈α
e␈α␈tc.,␈α
as␈α	i␈α↓n␈α	e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	15␈α␈.
␈β⊂A␈↓ λ←␈∧⊂Aλ←α"
␈β⊂E␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβProcee␈α␈d␈αas␈αin␈αt␈α␈he␈αp␈α␈roof␈αo␈α␈f␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈αA␈αto␈αcalcu␈α␈late␈↓ πr␈εβPr␈↓ λ≡␈εβan␈α␈d␈↓ λ←␈εβPr␈↓ 	␈εβ.
␈β⊂←␈↓ πr␈∧⊂←πrα"
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α	b␈α␈y␈α
T.␈α	Herzog␈α␈.␈α↓)␈α∃Yes;␈α
e.g.,␈α
th␈α␈e␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈ε↔␈α	h␈↓ πV␈ε	U␈↓ λ)␈ε↔i␈εβ␈α	when␈ε↔␈α	h␈↓ 	≡␈ε	U␈↓ 	C␈ε↔i␈εβ␈α
satsi|␈α␈es␈α
R4␈α	(o␈α␈r
␈β⊃↓␈↓ 	3␈εn
␈β⊃α␈↓ πl␈ε~b␈↓ πu␈εn␈↓ λε␈εε/␈α␈2␈ε~c
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβe␈α␈v␈α␈en␈α
i␈α↓ts␈αw␈α␈ea␈α␈k␈α␈er␈αv␈α}ersion␈α␈),␈αcf.␈αex␈α}ercise␈α33␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα641
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβPr␈↓ α-␈εβ(␈↓ α8␈ε	Z␈↓ αd␈ε↔2␈↓ βπ␈ε	M␈↓ β0␈εβ,␈↓ β?␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βk␈εβ,␈↓ βz␈ε	Z␈↓ ∧q␈ε↔2␈↓ ¬∀␈ε	M␈↓ ¬>␈εβ)␈α
=␈↓ ¬⎇␈ε	p␈↓ ε∞␈εβ(␈↓ ε→␈ε	M␈↓ εC␈εβ)␈↓ εS␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈ε	p␈↓ π⊃␈εβ(␈↓ π≤␈ε	M␈↓ πE␈εβ)␈α↓,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ λG␈ε	M␈↓ λp␈εβ,␈↓ 	¬␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	1␈εβ,␈↓ 	E␈ε	M␈↓ 	x␈ε↔2␈α
M␈εβ␈α␈.
␈βα5␈↓ αJ␈εn␈↓ β#␈εε1␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≤␈εε+␈↓ ∧5␈εk␈↓ ∧B␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬1␈εk␈↓ ε6␈εε1␈↓ π8␈εk␈↓ λd␈εε1␈↓ 	b␈εk
␈βα\␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβIf␈α
th␈α␈e␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
is␈↓ ∧_␈ε	k␈↓ ∧(␈εβ-d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α␈,␈α
the␈α
limit␈α
is␈α
z␈α␈ero␈α
b␈α␈y␈αi␈α↓n␈α}tegra␈α␈tion␈αan␈α␈d␈α
Th␈α␈eore␈α␈m␈α
B␈↓ #␈εβ.
␈βββ␈↓ ↓H␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α}ersely,␈αn␈α␈ote␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ∧/␈ε	f␈↓ ∧>␈εβ(␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧t␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬!␈εβ,␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬L␈εβ)␈αha␈α␈s␈αan␈αa␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈tely␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ergen␈α}t␈αFourier␈αse␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈ββ∞␈↓ ∧Y␈εε1␈↓ ¬?␈εk
␈ββ+␈↓ ∧q␈ε↓X
␈ββN␈↓ πS␈εα(␈↓ 
↔␈εα)
␈ββQ␈↓ αH␈ε	f␈↓ αX␈εβ(␈↓ αc␈ε	x␈↓ α␈␈εβ,␈↓ β∞␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β:␈εβ,␈↓ βI␈ε	x␈↓ βf␈εβ)␈α	=␈↓ ¬w␈ε	a␈↓ ελ␈εβ(␈↓ ε∪␈ε	c␈↓ ε+␈εβ,␈↓ ε:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εg␈εβ,␈↓ εu␈ε	c␈↓ π∂␈εβ)␈↓ π∨␈εβexp␈↓ π←␈εβ2␈↓ πp␈ε	→␈↓ λα␈ε	i␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ~␈ε	c␈↓ λ3␈ε	x␈↓ λV␈εβ+␈↓ λ␈␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	-␈εβ+␈↓ 	V␈ε	c␈↓ 	o␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈↓ 
#␈εβ,
␈ββ[␈↓ αr␈εε1␈↓ βX␈εk␈↓ ε∨␈εε1␈↓ πα␈εk␈↓ λ&␈εε1␈↓ λB␈εε1␈↓ 	b␈εk␈↓ 	␈␈εk
␈β∧α␈↓ ∧$␈ε~␈␈α↓1␈εε<␈↓ ∧p␈εc␈↓ ¬ε␈εε,␈↓ ¬
␈εε...␈↓ ¬"␈εε,␈↓ ¬)␈εc␈↓ ¬?␈εε<␈ε~␈α↓1
␈β∧
␈↓ ∧z␈επ1␈↓ ¬3␈ε
k
␈β∧5␈↓ βj␈ε↓P
␈β∧P␈↓ βO␈εε1
␈β∧S␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αG␈εβl␈α↓im␈↓ ∧⎇␈ε	f␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬↔␈ε	U␈↓ ¬=␈εβ,␈↓ ¬L␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬x␈εβ,␈↓ επ␈ε	U␈↓ εy␈εβ)␈α	=␈↓ π8␈ε	a␈↓ πH␈εβ(0,␈↓ πs␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ∨␈εβ,␈αε0)␈απ+␈↓ λz␈ε	∂␈↓ 	∩␈εβ,␈αwhere
␈β∧↑␈↓ αv␈εN␈↓ β
␈ε~!1␈↓ ¬-␈εn␈↓ ε≤␈εn␈↓ ε-␈εε+␈↓ εF␈εk␈↓ εS␈ε~␈␈εε1␈↓ 	ε␈εr
␈β∧b␈↓ βI␈∧∧bβIα_
␈β∧d␈↓ βI␈εN
␈β∧f␈↓ ∧⊂␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧6␈εn␈↓ ∧F␈εε<␈↓ ∧←␈εN
␈β¬β␈↓ ¬m␈ε↓X
␈β¬(␈↓ ∧a␈ε↔j␈↓ ∧j␈ε	∂␈↓ ¬α␈ε↔j␈α	∀␈↓ εU␈ε↔j␈↓ ε←␈ε	a␈↓ εo␈εβ(␈↓ εz␈ε	c␈↓ π∪␈εβ,␈↓ π"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πN␈εβ,␈↓ π]␈ε	c␈↓ πv␈εβ)␈ε↔j␈εβ,
␈β¬3␈↓ ∧v␈εr␈↓ πε␈εε1␈↓ πi␈εk
␈β¬Z␈↓ ¬?␈ε~j␈↓ ¬F␈εc␈↓ ¬\␈ε~j␈εε,␈↓ ¬j␈εε...␈↓ ¬␈␈εε,␈ε~j␈↓ ε
␈εc␈↓ ε#␈ε~j␈εε>␈↓ εD␈εr
␈β¬b␈↓ ¬P␈επ1␈↓ ε↔␈ε
k
␈βε(␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓p␈ε	∂␈↓ α∀␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αmad␈α␈e␈αarb␈α␈itrarily␈αsma␈α␈ll␈α↓.␈αHen␈α␈ce␈αthis␈αlimit␈αi␈α↓s␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto
␈βε3␈↓ ↓|␈εr
␈βε`␈↓ ¬-␈ε↓Z␈↓ ε⊂␈ε↓Z
␈βεi␈↓ ¬Q␈εε1␈↓ ε4␈εε1
␈βπ∂␈↓ βg␈ε	a␈↓ βx␈εβ(0,␈↓ ∧"␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧O␈εβ,␈αε0␈α␈)␈α
=␈↓ ¬c␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εF␈ε	f␈↓ εV␈εβ(␈↓ εa␈ε	x␈↓ ε⎇␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π8␈εβ,␈↓ πG␈ε	x␈↓ πc␈εβ)␈↓ πt␈ε	d␈↓ λε␈ε	x␈↓ λ(␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λT␈ε	d␈↓ λg␈ε	x␈↓ 	β␈εβ,
␈βπ→␈↓ εp␈εε1␈↓ πV␈εk␈↓ λ⊗␈εε1␈↓ λv␈εk
␈βπ2␈↓ ¬A␈εε0␈↓ ε$␈εε0
␈βπh␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αE␈α↓q␈α␈.␈α∞(8␈α␈)␈α
hold␈α␈s␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α
all␈α
su}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈α
smo␈α␈oth␈αfun␈α␈ctions␈↓ πm␈ε	f␈↓ π|␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈α
of␈α
the␈α
p␈α␈roo␈α␈f
␈βλ∂␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈ws␈α	tha␈α␈t␈α
t␈α␈he␈α	fun␈α␈ction␈α	in␈α	(9)␈α	ca␈α␈n␈α	be␈α	ap␈α␈pro␈α}xima␈α␈ted␈α	by␈αλsmoo␈α␈th␈α	fun␈α␈ction␈α␈s␈α
to␈α	a␈α␈n␈α␈y␈α	d␈α␈esired
␈βλ7␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ccu␈α␈racy␈α␈.
␈βλh␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αAMM␈ε∪␈α7␈α␈5␈εβ␈α(19␈α␈68),␈α26␈α␈0↑2␈α␈64.
␈β	~␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβThis␈αfollo␈α␈ws␈αimmed␈α␈iately␈αfro␈α␈m␈αex␈α}ercise␈α22␈α␈.
␈β	H␈↓ 
␈εε1
␈β	K␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβIf␈αthe␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αis␈αequ␈α␈idistribu␈α␈ted,␈αthe␈αd␈α␈en␈α␈omin␈α␈ator␈αin␈αCo␈α␈rollary␈αS␈α
app␈α␈roa␈α␈che␈α␈s␈↓ #␈εβ,
␈β	Z␈↓ ε␈∧	Zεα~
␈β	\␈↓ ε␈εε12
␈β	s␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αn␈α}ume␈α␈rator␈αa␈α␈pp␈α␈roac␈α␈hes␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈α
in␈αth␈α␈i␈α↓s␈αex␈α}ercise.
␈β
%␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈α
Ma␈α␈th␈εβ.␈ε⊂␈α
Com␈α␈p␈εβ.␈ε∪␈α
17␈εβ␈α	(196␈α␈3),␈α5␈α␈0↑5␈α␈4.␈α[Con␈α␈sider␈α
a␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α
the␈α	foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
ex␈α␈am␈α␈ple␈α
by␈α	A.␈α
G.
␈β
L␈↓ ↓H␈εβWate␈α␈rman␈α␈:␈α∞L␈α↓e␈α␈t␈ε↔␈α
h␈↓ βB␈ε	U␈↓ βh␈ε↔i␈εβ␈αbe␈αan␈αeq␈α␈uidistribu␈α␈ted␈α[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈α
a␈α␈nd␈ε↔␈αh␈↓ λr␈ε	X␈↓ 	~␈ε↔i␈εβ␈αan␈ε↔␈α1␈εβ-distribu␈α␈ted
␈β
W␈↓ βW␈εn␈↓ 		␈εn
␈β
t␈↓ ↓H␈εβb␈α␈inar␈α␈y␈αseq␈α␈uen␈α␈ce.␈αLet␈↓ ∧␈ε	V␈↓ ∧,␈εβ=␈↓ ∧V␈ε	U␈↓ ¬8␈εβo␈α␈r␈α1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε ␈ε	U␈↓ πα␈εβa␈α␈cco␈α␈rding␈α
as␈↓ λ@␈ε	X␈↓ λr␈εβis␈α0␈α
or␈α1␈α␈.␈αTh␈α␈en␈ε↔␈α
h␈↓ 
↑␈ε	V␈↓ ␈ε↔i␈εβ␈αis
␈β
}␈↓ ∧∩␈εn␈↓ λW␈εn␈↓ 
p␈εn
␈βα␈↓ ∧u␈ε~p␈↓ ¬∂␈∧α¬∂α⊃␈↓ ε?␈ε~p␈↓ εX␈∧αεXα⊃
␈ββ␈↓ ∧l␈ε~d␈↓ ¬∂␈εn␈↓ ¬#␈ε~e␈↓ ε5␈ε~d␈↓ εX␈εn␈↓ εm␈ε~e
␈β_␈↓ π$␈εε1
␈β≠␈↓ ↓H␈εβe␈α␈quid␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈αa␈α␈nd␈αwhite,␈αb␈α␈ut␈↓ ¬∩␈εβPr␈↓ ¬3␈εβ(␈↓ ¬>␈ε	V␈↓ ¬k␈εβ=␈↓ ε↔␈ε	V␈↓ ε←␈εβ)␈α=␈↓ π4␈εβ.␈α∞Let␈↓ λ	␈ε	W␈↓ λ?␈εβ=␈α(␈↓ λv␈ε	V␈↓ 	 ␈ε↔␈␈↓ 	J␈ε	∂␈↓ 	f␈εβ)␈↓ 	v␈εβmod␈↓ 
;␈εβ1␈αwhere
␈β&␈↓ ¬P␈εn␈↓ ε)␈εn␈↓ ε:␈εε+1␈↓ λ$␈εn␈↓ 	λ␈εn␈↓ 	V␈εn
␈β)␈↓ π$␈∧)π$α
␈β,␈↓ π$␈εε2
␈βC␈↓ ↓H␈ε↔h␈↓ ↓S␈ε	∂␈↓ ↓o␈ε↔i␈εβ␈α	i␈α↓s␈α	an␈α}y␈α	seq␈α␈uen␈α␈ce␈α	th␈α␈at␈α	dec␈α␈reases␈α	mo␈α␈no␈α␈ton␈α␈i␈α↓ca␈α␈ll␈α↓y␈αλto␈α	0;␈α
the␈α␈n␈ε↔␈α	h␈↓ λ3␈ε	W␈↓ λ←␈ε↔i␈εβ␈α
is␈α	equ␈α␈idistribu␈α␈ted␈α	a␈α␈nd
␈βN␈↓ ↓←␈εn␈↓ λO␈εn
␈βg␈↓ ¬¬␈εε3
␈βk␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ite,␈αy␈α}et␈↓ αd␈εβPr␈↓ β¬␈εβ(␈↓ β⊂␈ε	W␈↓ βF␈εβ<␈↓ βp␈ε	W␈↓ ∧B␈εβ)␈α	=␈↓ ¬∃␈εβ.]
␈βu␈↓ β,␈εn␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≤␈εε+1
␈βy␈↓ ¬¬␈∧y¬¬α
␈β{␈↓ ¬¬␈εε4
␈β→␈↓ λK␈εε1
␈β≤␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβLet␈ε↔␈α∞h␈↓ αX␈ε	U␈↓ α⎇␈ε↔i␈εβ␈α∂b␈α␈e␈ε↔␈α∞1␈εβ␈α↓-d␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d,␈α∂and␈α∞c␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈er␈α∞the␈α∞sequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α∞h␈↓ λ\␈εβ(␈↓ λg␈ε	X␈↓ 	_␈εβ+␈↓ 	C␈ε	U␈↓ 	h␈εβ)␈ε↔i␈εβ.␈α⊗Th␈α␈i␈α↓s␈α∞is␈α∂3␈α␈-
␈β'␈↓ αm␈εn␈↓ λ}␈εn␈↓ 	X␈εn
␈β*␈↓ λK␈∧*λKα
␈β,␈↓ λK␈εε2
␈βD␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ted,␈αusin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αfact␈αth␈α␈at␈ε↔␈αh␈↓ ¬!␈ε	U␈↓ ¬G␈ε↔i␈εβ␈αis␈α(16,␈αε3␈α␈)-distribu␈α␈ted␈α␈.
␈βN␈↓ ¬7␈εn
␈βq␈↓ 	r␈εE
␈βu␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβIf␈↓ α,␈ε	x␈↓ αG␈εβ=␈↓ αq␈ε	x␈↓ β∞␈ε	x␈↓ β/␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β[␈ε	x␈↓ β␈␈εβis␈α
an␈α}y␈α
b␈α␈inary␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er,␈αw␈α␈e␈α
ca␈α␈n␈α
co␈α␈nsid␈α␈er␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈↓ 	c␈ε	↔␈↓ 
¬␈εβ(␈↓ 
⊂␈ε	n␈↓ 
$␈εβ)␈α
of␈α
time␈α␈s
␈β
␈↓ β↓␈εε1␈↓ β≥␈εε2␈↓ βk␈εt
␈β
∧␈↓ 	r␈εx
␈β
→␈↓ 	U␈εO
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓r␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α∨␈ε	X␈↓ β~␈εβ=␈↓ βI␈ε	x␈↓ βZ␈εβ,␈α∂where␈α
1␈ε↔␈α∞∀␈↓ ¬#␈ε	p␈↓ ¬B␈ε↔∀␈↓ ¬q␈ε	n␈↓ ε∪␈εβa␈α␈nd␈↓ εV␈ε	p␈↓ εu␈εβis␈α∞ev␈α}en␈α␈.␈α∀Similarly␈α␈,␈α∂let␈↓ 	E␈ε	↔␈↓ 	h␈εβ(␈↓ 	s␈ε	n␈↓ 
π␈εβ)␈α∞co␈α␈un␈α}t␈α∞the
␈β
'␈↓ ↓←␈εp␈↓ α6␈εp␈↓ αD␈εε+␈↓ α]␈εt␈↓ αf␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
,␈↓ 	U␈εx
␈β
@␈↓ ¬j␈εE␈↓ εg␈εO
␈β
D␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αtime␈α␈s␈αwh␈α␈en␈↓ ∧⊗␈ε	p␈↓ ∧3␈εβis␈αo␈α␈dd␈α␈.␈αLet␈↓ ¬[␈ε	↔␈↓ ¬⎇␈εβ(␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ)␈απ+␈↓ εW␈ε	↔␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈ε	n␈↓ π→␈εβ)␈α	=␈↓ πX␈ε	↔␈↓ πt␈εβ(␈↓ π␈␈ε	n␈↓ λ∪␈εβ).␈αNo␈α}w
␈β
O␈↓ πf␈εx
␈β
S␈↓ ¬j␈εx␈↓ εg␈εx
␈β
l␈↓ β	␈ε↓X␈↓ ∧x␈ε↓X␈↓ εg␈ε↓X␈↓ 	0␈ε↓X
␈β∞␈↓ α→␈εE␈↓ βS␈εE␈↓ ¬A␈εO␈↓ π0␈εE␈↓ 	y␈εO
␈β∞∩␈↓ α	␈ε	↔␈↓ α+␈εβ(␈↓ α6␈ε	n␈↓ αJ␈εβ)␈α
=␈↓ βC␈ε	↔␈↓ ∧~␈εβ(␈↓ ∧%␈ε	n␈↓ ∧9␈εβ)␈ε↔␈α	→␈↓ ¬2␈ε	↔␈↓ ε	␈εβ(␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε(␈εβ)␈ε↔␈α	→␈↓ π ␈ε	↔␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	n␈↓ λ⊗␈εβ)␈ε↔␈α
→␈↓ λU␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	¬␈ε↔→␈↓ 	i␈ε	↔␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
`␈εβ)
␈β∞!␈↓ α→␈εε0␈↓ βS␈εε0␈ε~␈α␈ββ␈↓ βx␈εε...␈↓ ∧
␈ε~β␈↓ ¬A␈ε~β␈εε0␈ε~␈α␈β␈↓ ¬g␈εε...␈↓ ¬|␈ε~β␈↓ π0␈ε~β␈α␈β␈εε0␈↓ πV␈εε...␈↓ πk␈ε~β␈↓ 	y␈ε~ββ␈α␈β␈↓ 
∨␈εε...␈↓ 
4␈εε0
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈↓ αe␈ε	↔␈↓ αu␈εβ's␈α
i␈α↓n␈αthese␈α
su␈α␈mma␈α␈tions␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
2␈↓ ε5␈ε	k␈↓ εS␈εβsu␈α␈bsc␈α␈ri␈α↓p␈α␈ts,␈α∞2␈↓ λ␈ε	k␈↓ λ$␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α
o␈α␈f␈α∞wh␈α␈ich␈α
ar␈α␈e␈α
asterisk␈α␈s
␈β∞⎇␈↓ 	%␈εε2␈↓ 	2␈εk␈↓ 	?␈ε~␈␈εε1
␈β∂↓␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈ean␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλth␈α␈at␈αλthe␈α␈y␈αλare␈αλb␈α␈eing␈απsumm␈α␈ed␈αλo␈α␈v␈α}er←eac␈α␈h␈αλsum␈απi␈α↓s␈αλta␈α␈k␈α␈en␈απo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ 	∃␈εβ2␈↓ 	m␈εβco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α␈s
␈β∂)␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αzero␈α␈s␈αan␈α␈d␈αon␈α␈es),␈αan␈α␈d␈αwh␈α␈ere␈α\␈ε↔→␈εβ"␈αd␈α␈eno␈α␈tes␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ate␈αequ␈α␈ali␈α↓ty␈α(ex␈α}cep␈α␈t␈αfor␈αan␈αerro␈α␈r
␈β∂P␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αat␈αmost␈α2␈↓ αy␈ε	k␈↓ β∃␈εβd␈α␈ue␈αto␈α
end␈α
con␈α␈dition␈α␈s).␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αw␈α␈e␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈at
␈β∂⎇␈↓ βA␈ε↓⊂␈↓ πL␈ε↓⊃
␈β⊂∧␈↓ βS␈ε↓X␈↓ ε∪␈ε↓X
␈β⊂∪␈↓ ↓n␈εβ1␈↓ β+␈εβ1
␈β⊂#␈↓ α5␈εE
␈β⊂)␈↓ α∧␈εβ2␈↓ α∃␈ε	k␈↓ α%␈ε	↔␈↓ αG␈εβ(␈↓ αR␈ε	n␈↓ αf␈εβ)␈α
=␈↓ ∧␈ε	↔␈↓ ∧b␈εβ(␈↓ ∧m␈ε	n␈↓ ¬↓␈εβ)␈απ+␈↓ ¬<␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬j␈εβ+␈↓ εL␈ε	↔␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	n␈↓ πA␈εβ)
␈β⊂4␈↓ ∧~␈ε~β␈εε0␈ε~␈α␈β␈↓ ∧@␈εε...␈↓ ∧U␈ε~β␈↓ εZ␈ε~ββ␈α␈β␈↓ π␈εε...␈↓ π∃␈εε0
␈β⊂7␈↓ ↓m␈∧⊂7↓mα∃␈↓ β)␈∧⊂7β)α∃
␈β⊂8␈↓ α5␈εε0
␈β⊂A␈↓ ↓m␈ε	n␈↓ β)␈ε	n
␈β⊂↑␈↓ π?␈ε↓X
␈β⊂g␈↓ 
:␈ε↓∩␈↓ 
l␈ε↓∪
␈β⊂m␈↓ π)␈εβ1␈↓ 
V␈εβ1
␈β⊂⎇␈↓ 	6␈εE
␈β⊃␈↓ πs␈εα(␈↓ 	~␈εα)
␈β⊃β␈↓ εz␈εβ+␈↓ π␈␈ε	r␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε	x␈↓ λ*␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ λe␈ε	s␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	∂␈εβ)␈↓ 	&␈ε	↔␈↓ 	H␈εβ(␈↓ 	S␈ε	n␈↓ 	g␈εβ)␈↓ 	z␈εβ+␈↓ 
"␈ε	O␈↓ α␈εβ,
␈β⊃⊃␈↓ π'␈∧⊃⊃π'α∃␈↓ 
T␈∧⊃⊃
Tα∃
␈β⊃∩␈↓ 	6␈εx
␈β⊃≠␈↓ π'␈ε	n␈↓ 
T␈ε	n
␈β⊃4␈↓ πQ␈εx
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα642␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα*␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α&␈ε	x␈↓ α@␈εβ=␈↓ αk␈ε	x␈↓ β␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β9␈ε	x␈↓ βk␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈↓ ∧k␈ε	r␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	x␈↓ ¬⊗␈εβ)␈α	zero␈α␈s␈α	in␈α	o␈α␈dd␈αλpo␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α	a␈α␈nd␈↓ λ%␈ε	s␈↓ λ3␈εβ(␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λO␈εβ)␈α	zeros␈αλi␈α↓n␈αλev␈α}en␈α	p␈α␈osition␈α␈s.
␈βα5␈↓ αz␈εε1␈↓ βH␈εε2␈↓ βU␈εk
␈βαN␈↓ λX␈εε2␈↓ λe␈εk␈↓ λr␈ε~␈␈εε1␈↓ 	D␈εε2␈↓ 	Q␈εk
␈βαR␈↓ ↓H␈εβBy␈α∂(2␈↓ α≠␈ε	k␈↓ α,␈εβ)-distrib␈α␈ution␈α␈,␈α⊃th␈α␈e␈α⊂p␈α␈are␈α␈n␈α␈th␈α␈esized␈α∂qu␈α␈an␈α}tity␈α∂tend␈α␈s␈α∂to␈↓ λ,␈ε	k␈↓ λ=␈εβ(␈↓ λH␈εβ2␈↓ 	_␈εβ)/␈↓ 	4␈εβ2␈↓ 	o␈εβ=␈↓ 
 ␈ε	k␈↓ 
1␈εβ/␈α␈2.␈α_The
␈βαu␈↓ ε∀␈εE␈↓ 
,␈εE
␈βαy␈↓ ↓H␈εβre␈α␈mainin␈α␈g␈α
su␈α␈m␈α
is␈α
c␈α␈l␈α↓ea␈α␈rly␈α
a␈α	ma␈α␈xim␈α␈um␈α	if␈↓ ε∧␈ε	↔␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	n␈↓ εE␈εβ)␈α
=␈↓ π∧␈ε	↔␈↓ π ␈εβ(␈↓ π+␈ε	n␈↓ π?␈εβ)␈α
when␈↓ λ*␈ε	r␈↓ λ8␈εβ(␈↓ λD␈ε	x␈↓ λU␈εβ)␈α	>␈↓ 	∀␈ε	s␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	>␈εβ),␈α
and␈↓ 
≤␈ε	↔␈↓ 
>␈εβ(␈↓ 
I␈ε	n␈↓ 
]␈εβ)␈α	=␈α
0
␈ββ∧␈↓ π∩␈εx
␈ββλ␈↓ ε∀␈εx␈↓ 
,␈εx
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	r␈↓ α-␈εβ(␈↓ α8␈ε	x␈↓ αJ␈εβ)␈α	<␈↓ β	␈ε	s␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β3␈εβ).␈αSo␈αt␈α␈he␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αof␈αth␈α␈e␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t-h␈α␈and␈α
side␈αb␈α␈eco␈α␈mes
␈ββW␈↓ βq␈ε↓X
␈ββ`␈↓ ¬0␈ε↓∩␈↓ ¬V␈ε↓∪␈↓ ¬l␈ε↓∩␈↓ ε∪␈ε↓∪␈↓ ε)␈ε↓≡␈↓ λ	␈ε↓∩␈↓ 	␈ε↓∪␈↓ 	⊗␈ε↓≡
␈ββf␈↓ βλ␈ε	k␈↓ ¬F␈ε	k␈↓ εα␈ε	k␈↓ π0␈ε	k␈↓ λ∨␈εβ2␈↓ λ/␈ε	k␈↓ λG␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈ββv␈↓ ε←␈εε2␈↓ εk␈εk␈↓ 	M␈εε2␈↓ 	Y␈εk
␈ββ|␈↓ β$␈εβ+␈↓ ∧I␈εβ(␈↓ ∧U␈ε	r␈↓ ∧k␈ε↔␈␈↓ ¬∪␈ε	s␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ εN␈εβ2␈↓ πα␈εβ=␈↓ πL␈εβ+␈↓ πu␈ε	k␈↓ 	<␈εβ2␈↓ 	f␈εβ.
␈β∧
␈↓ βλ␈∧∧
βλα⊃␈↓ π0␈∧∧
π0α⊃
␈β∧∀␈↓ βλ␈εβ2␈↓ ¬G␈ε	r␈↓ εβ␈ε	s␈↓ π0␈εβ2␈↓ λG␈ε	k
␈β∧-␈↓ βM␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ βr␈εs␈↓ β}␈εε<␈↓ ∧↔␈εr␈↓ ∧#␈ε~∀␈↓ ∧<␈εk
␈β∧x␈↓ αY␈∧∧xαYα"␈↓ ¬z␈εE
␈β∧|␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈↓ αY␈εβPr␈↓ αz␈εβ(␈↓ β¬␈ε	X␈↓ βB␈εβ=␈α
0)␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧=␈εβlim␈α¬sup␈↓ ¬k␈ε	↔␈↓ ε␈εβ(␈α↓2␈↓ ε(␈ε	n␈↓ ε<␈εβ)/␈↓ εX␈ε	n␈↓ εl␈εβ,␈αso␈αthe␈α
proo␈α␈f␈αi␈α↓s␈αc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te.␈ε⊂␈α~No␈α␈te:
␈β¬π␈↓ β≤␈εε2␈↓ β)␈εn
␈β¬␈↓ ¬"␈εn␈↓ ¬3␈ε~!1␈↓ ¬z␈εε0
␈β¬A␈↓ βU␈ε↓X
␈β¬J␈↓ ∧∂␈ε↓∩␈↓ ∧9␈ε↓∪␈↓ ∧O␈ε↓∩␈↓ ∧y␈ε↓∪␈↓ λ∧␈ε↓∩␈↓ 	␈ε↓∪
␈β¬P␈↓ ∧%␈ε	n␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ λ~␈εβ2␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λF␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β¬`␈↓ ε}␈εε2␈↓ π
␈εn␈↓ π~␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β¬f␈↓ ¬∀␈εβmax␈↓ ¬S␈εβ(␈↓ ¬↑␈ε	r␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	s␈↓ ε	␈εβ)␈↓ ε≡␈εβ=␈α	2␈↓ εY␈ε	n␈↓ εm␈εβ2␈↓ πH␈εβ+␈↓ πp␈ε	n␈↓ 	⊗␈εβ;
␈β¬}␈↓ ∧'␈ε	r␈↓ ∧h␈ε	s␈↓ λC␈ε	n
␈βε↔␈↓ β`␈εr␈↓ βl␈εε,␈↓ βs␈εs
␈βε<␈↓ β\␈ε↓X
␈βεE␈↓ ∧⊗␈ε↓∩␈↓ ∧@␈ε↓∪␈↓ ∧V␈ε↓∩␈↓ ¬␈ε↓∪␈↓ λ∧␈ε↓∩␈↓ 	␈ε↓∪
␈βεK␈↓ ∧,␈ε	n␈↓ ∧l␈ε	n␈↓ λ~␈εβ2␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λF␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βε[␈↓ ε}␈εε2␈↓ π
␈εn␈↓ π~␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈βεa␈↓ ¬≤␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ ¬S␈εβ(␈↓ ¬↑␈ε	r␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	s␈↓ ε	␈εβ)␈↓ ε≡␈εβ=␈α	2␈↓ εY␈ε	n␈↓ εm␈εβ2␈↓ πH␈ε↔␈␈↓ πp␈ε	n␈↓ 	⊗␈εβ.
␈βεy␈↓ ∧/␈ε	r␈↓ ∧o␈ε	s␈↓ λC␈ε	n
␈βπ∩␈↓ βg␈εr␈↓ βs␈εε,␈↓ βz␈εs
␈βπf␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	f␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	x␈↓ β↓␈εβ,␈↓ β⊂␈ε	x␈↓ β,␈εβ,␈↓ β:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βg␈εβ,␈↓ βv␈ε	x␈↓ ∧∨␈εβ)␈α=␈↓ ∧a␈εβsig␈α␈n␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬I␈ε↔␈␈↓ ¬r␈ε	x␈↓ ε⊗␈εβ+␈↓ ε@␈ε	x␈↓ εc␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	x␈↓ π1␈εβ+␈↓ πZ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ	␈ε↔␈␈↓ λ2␈ε	x␈↓ λ[␈εβ).␈α∞Con␈α␈struc␈α␈t␈αa␈αd␈α␈i␈α↓re␈α␈cted
␈βπq␈↓ αt␈εε1␈↓ β∨␈εε2␈↓ ∧¬␈εε2␈↓ ∧∩␈εk␈↓ ¬4␈εε1␈↓ εα␈εε2␈↓ εO␈εε3␈↓ π≤␈εε4␈↓ λA␈εε2␈↓ λN␈εk
␈βλ
␈↓ βε␈εε2␈↓ β∪␈εk
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εβg␈α␈rap␈α␈h␈α
with␈↓ αv␈εβ2␈↓ β-␈εβno␈α␈des␈αl␈α↓a␈α␈beled␈α(␈↓ ¬	␈ε	E␈↓ ¬!␈εβ;␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ,␈↓ ¬Z␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ επ␈εβ,␈↓ ε∃␈ε	x␈↓ εd␈εβ)␈α
and␈α(␈↓ πJ␈ε	O␈↓ πb␈εβ;␈↓ πq␈ε	x␈↓ λ
␈εβ,␈↓ λ≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λH␈εβ,␈↓ λW␈ε	x␈↓ 	&␈εβ),␈α∞whe␈α␈re␈α
eac␈α␈h␈↓ 
x␈ε	x␈↓ ⊗␈εβis
␈βλ→␈↓ ¬?␈εε1␈↓ ε%␈εε2␈↓ ε1␈εk␈↓ ε?␈ε~␈␈εε1␈↓ λ↓␈εε1␈↓ λg␈εε2␈↓ λs␈εk␈↓ 	␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ6␈↓ ↓H␈εβe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈α∞0␈α∞or␈α∞1.␈α∃Let␈α∞th␈α␈ere␈α∞be␈α∞1␈α	+␈↓ ¬0␈ε	f␈↓ ¬?␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	x␈↓ ¬g␈εβ,␈↓ ¬u␈ε	x␈↓ ε⊃␈εβ,␈↓ ε ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εM␈εβ,␈↓ ε[␈ε	x␈↓ π¬␈εβ)␈α∞d␈α␈i␈α↓re␈α␈cted␈α∞a␈α␈rcs␈α∞f␈α↓ro␈α␈m␈α∞(␈↓ 	F␈ε	E␈↓ 	]␈εβ;␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 
λ␈εβ,␈↓ 
↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
D␈εβ,␈↓ 
R␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βλ@␈↓ ¬Z␈εε1␈↓ ε¬␈εε2␈↓ εk␈εε2␈↓ εw␈εk␈↓ 	|␈εε1␈↓ 
b␈εε2␈↓ 
n␈εk␈↓ 
|␈ε~␈␈εε1
␈βλ]␈↓ ↓H␈εβto␈α	(␈↓ ↓{␈ε	O␈↓ α∪␈εβ;␈↓ α!␈ε	x␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αy␈εβ,␈↓ βπ␈ε	x␈↓ β1␈εβ),␈α
and␈α	1␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧M␈ε	f␈↓ ∧]␈εβ(␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ¬∧␈εβ,␈↓ ¬∪␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ,␈↓ ¬>␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬j␈εβ,␈↓ ¬y␈ε	x␈↓ ε"␈εβ)␈αd␈α␈irected␈α	arcs␈α
lead␈α␈ing␈α
fro␈α␈m␈α
(␈↓ 	E␈ε	O␈↓ 	]␈εβ;␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 
λ␈εβ,␈↓ 
↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
D␈εβ,␈↓ 
R␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βλh␈↓ α1␈εε2␈↓ β↔␈εε2␈↓ β#␈εk␈↓ ∧x␈εε1␈↓ ¬#␈εε2␈↓ ε	␈εε2␈↓ ε∃␈εk␈↓ 	|␈εε1␈↓ 
b␈εε2␈↓ 
n␈εk␈↓ 
|␈ε~␈␈εε1
␈β	¬␈↓ ↓H␈εβto␈α
(␈↓ ↓}␈ε	E␈↓ α∃␈εβ;␈↓ α$␈ε	x␈↓ α@␈εβ,␈↓ αO␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α{␈εβ,␈↓ β
␈ε	x␈↓ β3␈εβ).␈α∩W␈α↓e␈α
|␈α␈nd␈α
th␈α␈at␈α
ea␈α␈ch␈α
no␈α␈de␈α
ha␈α␈s␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
arcs␈α
lead␈α␈ing␈α
in␈α␈to
␈β	∂␈↓ α3␈εε2␈↓ β→␈εε2␈↓ β&␈εk
␈β	,␈↓ ↓H␈εβit␈α∂as␈α∂th␈α␈ose␈α∂lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂ou␈α␈t;␈α∩fo␈α␈r␈α⊂e␈α␈xa␈α␈mple,␈α⊂(␈↓ ε␈ε	E␈↓ ε#␈εβ;␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εM␈εβ,␈↓ ε\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈εβ,␈↓ π↔␈ε	x␈↓ πf␈εβ)␈α⊂h␈α␈as␈α∂1␈ε↔␈α
␈␈↓ 	ε␈ε	f␈↓ 	⊗␈εβ(0,␈↓ 	A␈ε	x␈↓ 	]␈εβ,␈↓ 	l␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
_␈εβ,␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈α
+
␈β	7␈↓ εA␈εε1␈↓ π'␈εε2␈↓ π3␈εk␈↓ πA␈ε~␈␈εε1␈↓ 	P␈εε1␈↓ 
6␈εε2␈↓ 
C␈εk␈↓ 
P␈ε~␈␈εε1
␈β	T␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α	␈␈↓ α
␈ε	f␈↓ α≤␈εβ(␈α↓1␈α␈,␈↓ αG␈ε	x␈↓ αc␈εβ,␈↓ αr␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β≡␈εβ,␈↓ β-␈ε	x␈↓ β|␈εβ)␈α∞l␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈α∞in␈α∞an␈α␈d␈α∞1␈α	+␈↓ ε>␈ε	f␈↓ εN␈εβ(␈↓ εY␈ε	x␈↓ εu␈εβ,␈↓ π∧␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π0␈εβ,␈↓ π?␈ε	x␈↓ λ∞␈εβ,␈αε0)␈α	+␈α
1␈α	+␈↓ 	2␈ε	f␈↓ 	B␈εβ(␈↓ 	M␈ε	x␈↓ 	i␈εβ,␈↓ 	x␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
$␈εβ,␈↓ 
3␈ε	x␈↓ α␈εβ,␈αε1␈α␈)
␈β	←␈↓ αV␈εε1␈↓ β<␈εε2␈↓ βI␈εk␈↓ βV␈ε~␈␈εε1␈↓ εh␈εε1␈↓ πN␈εε2␈↓ π[␈εk␈↓ πh␈ε~␈␈εε1␈↓ 	\␈εε1␈↓ 
B␈εε2␈↓ 
O␈εk␈↓ 
\␈ε~␈␈εε1
␈β	|␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rcs␈α∞l␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈α∞ou␈α␈t,␈α⊂a␈α␈nd␈↓ ∧∩␈ε	f␈↓ ∧!␈εβ(␈↓ ∧-␈ε	x␈↓ ∧>␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	x␈↓ ∧i␈εβ,␈↓ ∧x␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈ε	x␈↓ εα␈εβ)␈α∞=␈ε↔␈α∂␈␈↓ εm␈ε	f␈↓ ε|␈εβ(␈↓ πλ␈ε	x␈↓ π$␈εβ,␈↓ π2␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π←␈εβ,␈↓ πn␈ε	x␈↓ λ=␈εβ,␈↓ λK␈ε	x␈↓ λ]␈εβ).␈α∃Dro␈α␈p␈α∞all␈α∂n␈α␈od␈α␈es␈α∞tha␈α␈t
␈β
ε␈↓ ∧\␈εε1␈↓ ¬B␈εε2␈↓ ¬O␈εk␈↓ ¬\␈ε~␈␈εε1␈↓ π↔␈εε1␈↓ π⎇␈εε2␈↓ λ
␈εk␈↓ λ↔␈ε~␈␈εε1
␈β
#␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈α∞no␈α∞p␈α␈ath␈α␈s␈α∞l␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈α∞eithe␈α␈r␈α∂in␈α∞o␈α␈r␈α∞ou␈α␈t,␈α⊂i.e.,␈α∂(␈↓ εk␈ε	E␈↓ πβ␈εβ;␈↓ π⊃␈ε	x␈↓ π-␈εβ,␈↓ π<␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈εβ,␈↓ πw␈ε	x␈↓ λF␈εβ)␈α∂if␈↓ 	α␈ε	f␈↓ 	∩␈εβ(0,␈↓ 	=␈ε	x␈↓ 	Y␈εβ,␈↓ 	g␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
∀␈εβ,␈↓ 
#␈ε	x␈↓ 
r␈εβ)␈α∞=
␈β
.␈↓ π!␈εε1␈↓ λπ␈εε2␈↓ λ∪␈εk␈↓ λ!␈ε~␈␈εε1␈↓ 	L␈εε1␈↓ 
2␈εε2␈↓ 
?␈εk␈↓ 
L␈ε~␈␈εε1
␈β
K␈↓ ↓H␈εβ+1,␈α⊃or␈α⊂(␈↓ αM␈ε	O␈↓ αe␈εβ;␈↓ αt␈ε	x␈↓ β⊂␈εβ,␈↓ β∨␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βK␈εβ,␈↓ βZ␈ε	x␈↓ ∧)␈εβ)␈α⊂if␈↓ ∧i␈ε	f␈↓ ∧x␈εβ(␈α↓1␈α␈,␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬N␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε	␈ε	x␈↓ εX␈εβ)␈α∩=␈ε↔␈α∩␈␈εβ1.␈α~The␈α⊂re␈α␈sulting␈α⊂d␈α␈irected␈α∂gra␈α␈ph
␈β
U␈↓ ββ␈εε1␈↓ βi␈εε2␈↓ βv␈εk␈↓ ∧β␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬2␈εε1␈↓ ε_␈εε2␈↓ ε%␈εk␈↓ ε2␈ε~␈␈εε1
␈β
r␈↓ ↓H␈εβis␈α∂seen␈α∂to␈α∂b␈α␈e␈α∂con␈α␈ne␈α␈cted␈α␈,␈α⊃since␈α∂w␈α␈e␈α∂ca␈α␈n␈α∂get␈α∂from␈α∂a␈α␈n␈α␈y␈α∂n␈α␈ode␈α∂to␈α∂(␈↓ λm␈ε	E␈↓ 	∧␈εβ;␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈↓ 
⊃␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
=␈εβ,␈αε1␈α␈)␈α⊂a␈α␈nd
␈β~␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αth␈α␈is␈αto␈αan␈α}y␈αd␈α␈esired␈αn␈α␈ode␈α␈.␈α
B␈α↓y␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈α2.3␈α␈.␈α↓4␈α␈.␈α↓2␈α␈G␈↓ πH␈εβ,␈αthe␈α␈re␈αis␈αa␈αcy␈α}cli␈α↓c␈αp␈α␈ath␈αtrav␈α}ersing
␈β>␈↓ ¬=␈εε2␈↓ ¬J␈εk␈↓ ¬W␈εε+1
␈βB␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈α⊃a␈α␈rc;␈α∃th␈α␈i␈α↓s␈α⊃p␈α␈ath␈α⊃h␈α␈as␈α⊃l␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈↓ ¬,␈εβ2␈↓ ¬⎇␈εβ,␈α∪a␈α␈nd␈α⊃w␈α␈e␈α⊃ma␈α␈y␈α⊃assu␈α␈me␈α⊃tha␈α␈t␈α∩it␈α⊃starts␈α⊃at␈α⊃n␈α␈ode
␈βi␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	E␈↓ ↓j␈εβ;␈αε0␈α␈,␈↓ α_␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αE␈εβ,␈α¬0).␈αCo␈α␈nstru␈α␈ct␈α	a␈α	cy␈α}cli␈α↓c␈α	se␈α␈que␈α␈nce␈α	with␈↓ εc␈ε	X␈↓ π⊂␈εβ=␈↓ π:␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πj␈εβ=␈↓ λ∃␈ε	X␈↓ λu␈εβ=␈α	0,␈α
a␈α␈nd␈↓ 
α␈ε	X␈↓ ␈εβ=
␈βt␈↓ εz␈εε1␈↓ λ,␈εε2␈↓ λ9␈εk␈↓ λF␈ε~␈␈εε1␈↓ 
→␈εn␈↓ 
)␈εε+2␈↓ 
O␈εk␈↓ 
\␈ε~␈␈εε1
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ αα␈εβi␈α↓f␈α⊃the␈↓ αh␈ε	n␈↓ α|␈εβth␈α⊃a␈α␈rc␈α∩o␈α␈f␈α∩th␈α␈e␈α∩p␈α␈ath␈α⊃is␈α⊃from␈α⊃(␈↓ ε4␈ε	E␈↓ εL␈εβ;␈↓ εZ␈ε	x␈↓ εv␈εβ,␈↓ π¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π2␈εβ,␈↓ π@␈ε	x␈↓ λ∂␈εβ)␈α∩to␈α⊃(␈↓ λf␈ε	O␈↓ λ}␈εβ;␈↓ 	
␈ε	x␈↓ 	)␈εβ,␈↓ 	8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	d␈εβ,␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
≤␈εβ)␈α∩or␈α⊃from
␈β≠␈↓ ↓W␈εε2␈↓ ↓d␈εk␈↓ εj␈εε1␈↓ πP␈εε2␈↓ π\␈εk␈↓ πj␈ε~␈␈εε1␈↓ 	≥␈εε2␈↓ 
β␈εε2␈↓ 
∂␈εk
␈β8␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	O␈↓ ↓k␈εβ;␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α⊗␈εβ,␈↓ α$␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αQ␈εβ,␈↓ α`␈ε	x␈↓ β/␈εβ)␈αto␈α(␈↓ βy␈ε	E␈↓ ∧⊂␈εβ;␈↓ ∧∨␈ε	x␈↓ ∧;␈εβ,␈↓ ∧J␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧v␈εβ,␈↓ ¬¬␈ε	x␈↓ ¬.␈εβ).␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αth␈α␈e␈αgra␈α␈ph␈αfo␈α␈r␈↓ λe␈ε	k␈↓ λ␈␈εβ=␈α
2␈αis␈αsho␈α}wn␈αin␈αFi␈α↓g␈α␈.
␈βC␈↓ α	␈εε1␈↓ αo␈εε2␈↓ α|␈εk␈↓ β	␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧.␈εε2␈↓ ¬∀␈εε2␈↓ ¬!␈εk
␈β`␈↓ ↓H␈εβA↑␈α␈5;␈α∞the␈α
a␈α␈rcs␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
cy␈α␈clic␈α
p␈α␈ath␈α
a␈α␈re␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈red␈α
fro␈α␈m␈α
1␈α
to␈α
3␈α␈2,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
cy␈α}cli␈α↓c␈α
se␈α␈que␈α␈nce
␈β
∧␈↓ 
f␈εε11
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβis␈α∞(0␈α␈000␈α␈100␈α␈011␈α␈00␈α␈101␈α␈010␈α␈011␈α␈011␈α␈101␈α␈111␈α␈10␈α␈)␈α↓(0␈α␈000␈α␈1␈↓ εz␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εβ).␈α∪Note␈α
tha␈α␈t␈↓ λm␈εβPr␈↓ 	∞␈εβ(␈↓ 	→␈ε	X␈↓ 	[␈εβ=␈α∞0)␈α
=␈↓ ⊃␈εβin
␈β
∩␈↓ 	1␈εε2␈↓ 	=␈εn
␈β
⊗␈↓ 
f␈∧
⊗
fα~
␈β
_␈↓ 
f␈εε16
␈β
/␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αseq␈α␈ue␈α␈nce.␈αTh␈α␈e␈αs␈α␈equ␈α␈ence␈α
is␈α
cl␈α↓e␈α␈arly␈α
(2␈↓ ε
␈ε	k␈↓ ε≥␈εβ)-distribu␈α␈ted,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
eac␈α␈h␈α
(␈α↓2␈↓ 	≡␈ε	k␈↓ 	/␈εβ)-tu␈α␈ple␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
W␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β␈ε	x
␈β
:␈↓ 
)␈εε1␈↓ 
E␈εε2␈↓ ∪␈εε2␈↓ ∨␈εk
␈β
W␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈rs␈α∂1␈α	+␈↓ αv␈ε	f␈↓ βε␈εβ(␈↓ β⊃␈ε	x␈↓ β-␈εβ,␈↓ β<␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βh␈εβ,␈↓ βw␈ε	x␈↓ ∧ ␈εβ)␈α
+␈α
1␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬%␈ε	f␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	x␈↓ ¬\␈εβ,␈↓ ¬k␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε↔␈εβ,␈↓ ε&␈ε	x␈↓ εO␈εβ)␈α∂=␈α⊂2␈α∞time␈α␈s␈α∂in␈α∞the␈α∞cy␈α}cle.␈α⊗Th␈α␈e␈α∞f␈α↓a␈α␈ct␈α∞tha␈α␈t
␈β
a␈↓ β ␈εε1␈↓ ∧ε␈εε2␈↓ ∧∪␈εk␈↓ ¬P␈εε1␈↓ ε6␈εε2␈↓ εB␈εk
␈β
}␈↓ ↓H␈εβPr␈↓ ↓i␈εβ(␈↓ ↓t␈ε	X␈↓ α5␈εβ=␈α
0)␈α
ha␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α
desired␈αvalu␈α␈e␈α
come␈α␈s␈α∞fro␈α␈m␈α
the␈α
fact␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
m␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
on
␈β∞	␈↓ α␈εε2␈↓ α_␈εn
␈β∞&␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞righ␈α}t-ha␈α␈nd␈α
side␈α∞in␈α
the␈α
pro␈α␈of␈α∞of␈α
the␈α∞p␈α␈rece␈α␈ding␈α
ex␈α}ercise␈α∞h␈α␈as␈α∞b␈α␈een␈α
ach␈α␈iev␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α∞th␈α␈is
␈β∞N␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ruction␈α␈.
␈β∞␈␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβUse␈α
Algorith␈α␈m␈α
W␈αwith␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈↓ ¬!␈ε↔R␈↓ ¬S␈εβselecting␈α
th␈α␈e␈α
en␈α}ti␈α↓re␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈.␈α[For␈α
a␈α
g␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation
␈β∂	␈↓ ¬<␈εε1
␈β∂≡␈↓ 	S␈ε⊂∞
␈β∂&␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞this␈α∞ty␈α␈pe␈α
of␈α∞no␈α␈nra␈α␈nd␈α␈om␈α∞b␈α␈eh␈α␈av␈α␈i␈α↓o␈α␈r␈α∞in␈α∞R5␈α␈-␈α↓s␈α␈equ␈α␈ence␈α␈s,␈α∂see␈α∞J␈α␈ean␈α
Vil␈α↓le,␈↓ 	O␈ε⊂E␈↓ 	f␈ε⊂tu␈α␈de␈α
Critique
␈β∂N␈↓ ↓H␈ε⊂d␈α␈e␈αla␈αnot␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αde␈αCo␈α␈l␈α↓lec␈α␈ti␈α↓f␈εβ␈α(Paris,␈α
19␈α␈39),␈α55↑␈α␈62.␈α∂Perh␈α␈ap␈α␈s␈α
R6␈αi␈α↓s␈αalso␈αto␈α␈o␈αw␈α␈eak␈α␈,␈α
from␈αth␈α␈is
␈β∂u␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈nd␈α␈po␈α␈i␈α↓n␈α}t.]
␈β⊂"␈↓ αq␈ε~0␈↓ πQ␈ε~00␈↓ λI␈ε~0
␈β⊂&␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβIf␈ε↔␈αλR␈εβ,␈↓ αU␈ε↔R␈↓ α␈␈εβa␈α␈re␈αλcom␈α␈pu␈α␈tab␈α␈l␈α↓e␈αλs␈α␈ub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈e␈αλrules,␈α	s␈α␈o␈αλis␈↓ π5␈ε↔R␈↓ πg␈εβ=␈ε↔␈α	R␈↓ λ-␈ε↔R␈↓ λW␈εβde|␈α␈ne␈α␈d␈αλb␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλfollo␈α␈wing
␈β⊂J␈↓ αw␈ε~00
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈ns:␈↓ αg␈ε	f␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	x␈↓ β.␈εβ,␈↓ β=␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βi␈εβ,␈↓ βx␈ε	x␈↓ ∧>␈εβ)␈α∞=␈α∞1␈α
i␈α↓{␈ε↔␈α∞R␈εβ␈α∞d␈α␈e|␈α␈nes␈α∞th␈α␈e␈α∞su␈α␈bseq␈α␈ue␈α␈nce␈↓ λd␈ε	x␈↓ 		␈εβ,␈↓ 	!␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	M␈εβ,␈↓ 	e␈ε	x␈↓ 
→␈εβof␈↓ 
C␈ε	x␈↓ 
←␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈β⊂Y␈↓ β!␈εε0␈↓ ∧π␈εn␈↓ ∧_␈ε~␈␈εε1␈↓ λs␈εr␈↓ 	t␈εr␈↓ 
R␈εε0
␈β⊂]␈↓ αw␈εn
␈β⊂`␈↓ λ⎇␈επ1␈↓ 	␈␈ε
k
␈β⊂r␈↓ πJ␈ε~0
␈β⊂v␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α
␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ βα␈ε	k␈↓ β≠␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈αa␈α␈nd␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧g␈ε	r␈↓ ¬	␈εβ<␈↓ ¬3␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬c␈εβ<␈↓ ε∞␈ε	r␈↓ ε0␈εβ<␈↓ ε[␈ε	n␈↓ εz␈εβa␈α␈nd␈↓ π;␈ε	f␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	x␈↓ λλ␈εβ,␈↓ λ↔␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λC␈εβ,␈↓ λR␈ε	x␈↓ λx␈εβ)␈α
=␈α	1.
␈β⊃␈↓ ↓W␈εn␈↓ ↓g␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧s␈εε1␈↓ ε~␈εk␈↓ πr␈εr␈↓ λa␈εr
␈β⊃¬␈↓ πJ␈εk
␈β⊃λ␈↓ π⎇␈επ1␈↓ λl␈ε
k
␈β⊃→␈↓ βN␈ε~0␈↓ ¬∞␈ε~0
␈β⊃~␈↓ ∧↓␈εα(␈↓ ∧f␈εα)
␈β⊃≥␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈ε↔␈αh␈↓ αd␈ε	X␈↓ β␈ε↔iR␈↓ β2␈ε↔R␈↓ β←␈εβi␈α↓s␈↓ ∧
␈ε↔h␈↓ ∧_␈ε	X␈↓ ∧?␈ε↔iR␈↓ ∧r␈ε↔R␈↓ ¬∀␈εβ.␈αThe␈αresu␈α␈lt␈αfoll␈α↓o␈α}ws␈αi␈α↓m␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈tely.
␈β⊃(␈↓ α{␈εn␈↓ ∧/␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα643
␈βπ#␈↓ α{␈ε∪Fi␈α↓g␈α␈.␈αA↑␈α␈5.␈εβ␈α→Di␈α↓r␈α␈ected␈α
grap␈α␈h␈αfor␈αth␈α␈e␈αco␈α␈nstru␈α␈ction␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
30.
␈βλ≠␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈↓ αl␈ε	∂␈↓ ββ␈εβ>␈α	0,␈α
|n␈α␈d␈↓ ∧∪␈ε	N␈↓ ∧C␈εβsu␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ ¬U␈ε	N␈↓ ¬⎇␈εβ>␈↓ ε(␈ε	N␈↓ εX␈εβimp␈α␈li␈α↓es␈α
th␈α␈at␈α
bo␈α␈th␈ε↔␈α
j␈↓ λe␈ε	↔␈↓ λ␈␈εβ(␈↓ 	
␈ε	N␈↓ 	)␈εβ)/␈↓ 	E␈ε	N␈↓ 	j␈ε↔␈␈↓ 
∩␈ε	p␈↓ 
#␈ε↔j␈εβ␈α	<␈↓ 
`␈ε	∂␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βλ&␈↓ ∧,␈εε0␈↓ εA␈εε0␈↓ λs␈εr
␈βλC␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	↔␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈ε	N␈↓ α∀␈εβ)/␈↓ α0␈ε	N␈↓ αW␈ε↔␈␈↓ β↓␈ε	p␈↓ β∩␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ βS␈ε	∂␈↓ β`␈εβ.␈α⊂Th␈α␈en␈α|n␈α␈d␈↓ ¬∃␈ε	N␈↓ ¬G␈εβsuch␈αth␈α␈at␈↓ ε↑␈ε	N␈↓ π	␈εβ>␈↓ π6␈ε	N␈↓ πh␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
th␈α␈at␈↓ 	$␈ε	t␈↓ 	R␈εβis␈↓ 	t␈ε	r␈↓ 
'␈εβor␈↓ 
R␈ε	s␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈βλM␈↓ ↓←␈εs␈↓ ¬.␈εε1␈↓ πO␈εε1␈↓ 	-␈εN␈↓ 
␈εM␈↓ 
]␈εM
␈βλj␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈↓ α≠␈ε	M␈↓ αG␈εβ>␈↓ αq␈ε	N␈↓ β↔␈εβ.␈αNo␈α␈w␈↓ βx␈ε	N␈↓ ∧ ␈εβ>␈↓ ∧K␈ε	N␈↓ ∧{␈εβi␈α↓m␈α␈plies␈αtha␈α␈t
␈βλu␈↓ β
␈εε0␈↓ ∧d␈εε1
␈β	→␈↓ α␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓␈␈↓ βm␈ε↓␈␈↓ ε~␈ε↓␈␈↓ εZ␈ε↓␈␈↓ 
∩␈ε↓␈
␈β	/␈↓ α␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓␈␈↓ βm␈ε↓␈␈↓ ε~␈ε↓␈␈↓ εZ␈ε↓␈␈↓ 
∩␈ε↓␈
␈β	;␈↓ α≤␈ε	↔␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	N␈↓ α]␈εβ)␈↓ β|␈ε	↔␈↓ ∧⊗␈εβ(␈↓ ∧"␈ε	N␈↓ ∧G␈εβ)␈απ+␈↓ ¬α␈ε	↔␈↓ ¬≠␈εβ(␈↓ ¬&␈ε	N␈↓ ¬J␈εβ)␈↓ εj␈ε	↔␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	N␈↓ π4␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ πo␈ε	p␈↓ λ␈ε	N␈↓ λ-␈εβ+␈↓ λV␈ε	↔␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε	N␈↓ 	≡␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	Y␈ε	p␈↓ 	j␈ε	N
␈β	E␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α)␈εt␈↓ β-␈ε↓␈␈↓ βm␈ε↓␈␈↓ ∧
␈εr␈↓ ∧;␈εr␈↓ ¬⊂␈εs␈↓ ¬?␈εs␈↓ ε~␈ε↓␈␈↓ εZ␈ε↓␈␈↓ εx␈εr␈↓ π(␈εr␈↓ λ→␈εr␈↓ λc␈εs␈↓ 	∪␈εs␈↓ 
β␈εs␈↓ 
∩␈ε↓␈
␈β	Q␈↓ αs␈ε↔␈␈↓ β≤␈ε	p␈↓ βB␈εβ=␈↓ ¬a␈ε↔␈␈↓ ε	␈ε	p␈↓ ε0␈εβ=␈↓ 
'␈εβ<␈↓ 
R␈ε	∂␈↓ 
←␈εβ.
␈β	Z␈↓ α␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓␈␈↓ βm␈ε↓␈␈↓ ε~␈ε↓␈␈↓ εZ␈ε↓␈␈↓ 
∩␈ε↓␈
␈β	←␈↓ α≤␈∧	←α≤αM␈↓ β|␈∧	←β|α↓Z␈↓ εj␈∧	←εjαβ%
␈β	h␈↓ α2␈ε	N␈↓ ∧Z␈ε	N␈↓ π␈␈ε	N␈↓ λ,␈εβ+␈↓ λU␈ε	N
␈β	s␈↓ λ_␈εr␈↓ λn␈εs
␈β
C␈↓ λ_␈εb␈↓ λ#␈ε~␈␈εε2␈↓ λ{␈εa␈↓ 	←␈εa␈↓ 
r␈εa
␈β
H␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβFor␈α
ex␈α␈am␈α␈ple,␈α∞if␈α
th␈α␈e␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αof␈↓ π'␈ε	t␈↓ π@␈εβis␈α
(1␈↓ λπ␈εβ0␈↓ λQ␈εβ1␈↓ λj␈εβ0␈↓ 	≤␈εβ1␈αλ1␈↓ 	N␈εβ0␈↓ 
␈εβ1␈↓ 
→␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
H␈εβ1␈↓ 
a␈εβ0␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β
K␈↓ 	λ␈επ1␈↓ 	l␈επ2␈↓ 
␈␈ε
k
␈β
R␈↓ ↔␈εε2
␈β
k␈↓ αG␈εa
␈β
o␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α	\␈↓ α7␈εβ0␈↓ αU␈εβ"␈αλstand␈α␈s␈α	for␈α	a␈α	seq␈α␈uen␈α␈ce␈α	of␈↓ ¬L␈ε	a␈↓ ¬f␈εβco␈α␈nse␈α␈cutiv␈α}e␈α
z␈α␈eros,␈α
let␈α	th␈α␈e␈α	rule␈↓ 	⊗␈ε↔R␈↓ 	E␈εβa␈α␈ccep␈α␈t␈↓ 
*␈ε	U␈↓ 
Y␈εβif␈α
a␈α␈nd
␈β
z␈↓ 	2␈εt␈↓ 
@␈εn
␈β↔␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nly␈αif␈ε↔␈αb␈↓ α>␈ε	b␈↓ αK␈ε	U␈↓ β↔␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ βX␈ε	a␈↓ βt␈εβ,␈↓ ∧λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧5␈εβ,␈ε↔␈αb␈↓ ∧V␈ε	b␈↓ ∧c␈ε	U␈↓ ¬/␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ ¬p␈ε	a␈↓ ε␈εβ.
␈β!␈↓ αa␈εn␈↓ αq␈ε~␈␈↓ β
␈εk␈↓ βh␈εε1␈↓ ∧y␈εn␈↓ ¬	␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬␈␈εk
␈βG␈↓ π/␈εa
␈βK␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	a␈↓ αq␈εβ=␈↓ β≤␈ε	s␈↓ β@␈εβan␈α␈d␈↓ ∧α␈ε	a␈↓ ∧Y␈εβ=␈↓ ¬¬␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬D␈ε↔f␈↓ ¬Z␈ε	s␈↓ ¬⎇␈ε↔j␈εβ␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ εX␈ε	k␈↓ εs␈εβ<␈↓ π∨␈εβ2␈↓ πW␈ε↔g␈↓ πh␈εβ.␈α∞Co␈α␈nstru␈α␈ct␈αa␈αsub␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ce␈αru␈α␈l␈α↓e
␈βN␈↓ π<␈ε
m
␈βV␈↓ αY␈εε0␈↓ β(␈εε0␈↓ ∧⊃␈εm␈↓ ∧(␈εε+␈α↓1␈↓ ¬e␈εk
␈βo␈↓ λ(␈εa
␈βs␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
se␈α␈l␈α↓e␈α␈cts␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈↓ βo␈ε	X␈↓ ∧ ␈εβif␈α
and␈α	on␈α␈ly␈α
if␈↓ ¬e␈ε	n␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε-␈ε	s␈↓ εO␈εβfor␈α
so␈α␈me␈↓ πT␈ε	k␈↓ πm␈εβ<␈↓ λ_␈εβ2␈↓ λK␈εβ,␈α
when␈↓ 	4␈ε	a␈↓ 	d␈ε↔∀␈↓ 
∂␈ε	n␈↓ 
,␈εβ<␈↓ 
W␈ε	a␈↓ #␈εβ.
␈βu␈↓ λ5␈ε
m
␈β}␈↓ ∧ε␈εn␈↓ ε8␈εk␈↓ 	D␈εm␈↓ 
f␈εm␈↓ 
⎇␈εε+␈α↓1
␈β↔␈↓ ∧X␈εε1
␈β≠␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈↓ α∨␈εβlim␈↓ β≤␈ε	↔␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	a␈↓ β↑␈εβ)/␈↓ βy␈ε	a␈↓ ∧)␈εβ=␈↓ ∧h␈εβ.
␈β%␈↓ αM␈εm␈↓ αd␈ε~!1␈↓ βF␈εm␈↓ ∧	␈εm
␈β)␈↓ ∧X␈∧)∧Xα
␈β+␈↓ ∧X␈εε2
␈βO␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	b␈↓ αe␈εβan␈α␈d␈↓ β(␈ε	k␈↓ βE␈εβbe␈αarb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry␈α
b␈α␈ut␈α
|␈α␈x␈α␈e␈α␈d␈α
in␈α␈te␈α␈gers␈α
g␈α␈reater␈αthan␈α1.␈α⊃Let␈↓ 	>␈ε	Y␈↓ 	n␈εβ=␈ε↔␈αb␈↓ 
(␈ε	b␈↓ 
5␈ε	U␈↓ 
[␈ε↔c␈εβ.␈α⊃An
␈βZ␈↓ 	Q␈εn␈↓ 
K␈εn
␈βw␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rbitrar␈α␈y␈αin|␈α␈nite␈αsu␈α␈bs␈α␈equ␈α␈ence␈ε↔␈α
h␈↓ ¬␈ε	Z␈↓ ¬.␈ε↔i␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	h␈↓ ¬x␈ε	Y␈↓ ε%␈ε↔iR␈εβ␈α
dete␈α␈rmined␈α
by␈α
algo␈α␈rithms␈↓ 	X␈ε↔S␈↓ 	v␈εβan␈α␈d␈ε↔␈α
R␈εβ␈α(as␈αin
␈β
↓␈↓ ¬≡␈εn␈↓ ε␈εs
␈β
λ␈↓ ε∃␈ε
n
␈β
≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
proo␈α␈f␈α∞of␈α
Theo␈α␈rem␈α
M)␈α∞c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈α
i␈α↓n␈α
a␈α
stra␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈tfor␈α␈w␈α↓a␈α␈rd␈α
bu␈α␈t␈α∞n␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈α
ho␈α␈pe␈α␈l␈α↓es␈α␈s
␈β
B␈↓ ∧-␈ε~0␈↓ ¬#␈ε~0
␈β
F␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ann␈α␈er␈α∂to␈α∂algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈ms␈↓ ∧~␈ε↔S␈↓ ∧B␈εβand␈↓ ¬π␈ε↔R␈↓ ¬9␈εβth␈α␈at␈α∂i␈α↓n␈α␈spe␈α␈ct␈↓ ε{␈ε	X␈↓ π≠␈εβ,␈↓ π5␈ε	X␈↓ π|␈εβ,␈↓ λ∃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λB␈εβ,␈↓ λ[␈ε	X␈↓ 	0␈εβan␈α␈d/␈α␈or␈α∂select␈↓ α␈ε	X␈↓ #␈εβ,
␈β
P␈↓ π∩␈εt␈↓ πL␈εt␈↓ πV␈εε+1␈↓ λs␈εt␈↓ λ|␈εε+␈↓ 	∃␈εs␈↓ ~␈εt
␈β
m␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α∞␈εβ,␈↓ α#␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αO␈εβ,␈↓ αd␈ε	X␈↓ ∧)␈εβof␈ε↔␈αh␈↓ ∧[␈ε	X␈↓ ¬β␈ε↔i␈εβ␈αif␈αa␈α␈nd␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ εc␈ε↔S␈↓ π↓␈εβan␈α␈d␈ε↔␈αR␈εβ␈αinsp␈α␈ect␈αan␈α␈d/␈α␈or␈αselect␈↓ 
$␈ε	Y␈↓ 
C␈εβ,␈αwhere
␈β
x␈↓ ↓←␈εt␈↓ ↓h␈εε+␈α↓1␈↓ ∧r␈εn␈↓ 
7␈εs
␈β
y␈↓ α{␈εt␈↓ β¬␈εε+␈↓ β≡␈εεmin␈↓ βH␈εε(␈↓ βP␈εk␈↓ β]␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈,␈↓ ∧
␈εs␈↓ ∧∃␈εε)
␈β∞⊃␈↓ ε#␈ε~0␈↓ π_␈ε~0
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓w␈εβ=␈α∂(␈α↓0␈α␈.␈↓ αL␈ε	X␈↓ αm␈ε	X␈↓ β9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βf␈ε	X␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ∧C␈εβ.␈α∃Al␈α↓g␈α␈orithm␈α␈s␈↓ ε⊃␈ε↔S␈↓ ε8␈εβan␈α␈d␈↓ ε|␈ε↔R␈↓ π-␈εβd␈α␈etermin␈α␈e␈α∂a␈α␈n␈α∞i␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈α∂1␈α␈-distribu␈α␈ted
␈β∞ ␈↓ ↓]␈εs␈↓ αd␈εt␈↓ β∧␈εt␈↓ β∞␈εε+1␈↓ β⎇␈εt␈↓ ∧ε␈εε+␈↓ ∧ ␈εs␈↓ ∧6␈εε2
␈β∞=␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈bse␈α␈qu␈α␈ence␈α	of␈ε↔␈α
h␈↓ β2␈ε	X␈↓ βZ␈ε↔i␈εβ␈α
an␈α␈d␈α
in␈α
fa␈α␈ct␈α
(as␈α
in␈α
ex␈α}ercise␈α
32␈α␈)␈α
this␈α
sub␈α␈seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
is␈ε↔␈α
1␈εβ␈α↓-d␈α␈istribu␈α␈ted␈α
so
␈β∞G␈↓ βJ␈εn
␈β∞`␈↓ λ'␈∧∞`λ'α"
␈β∞d␈↓ ↓H␈εβit␈αis␈α
(␈↓ α_␈ε	k␈↓ α(␈εβ,␈αε1)-d␈α␈istri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d.␈α∂Hen␈α␈ce␈αw␈α␈e␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈at␈↓ ε7␈εβP␈α↓r␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε	Z␈↓ π⊃␈εβ=␈↓ π=␈ε	a␈↓ πN␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ λ'␈εβP␈α↓r␈↓ λH␈εβ(␈↓ λT␈ε	Z␈↓ 	↓␈εβ=␈↓ 	-␈ε	a␈↓ 	>␈εβ)␈αdi{er␈αfrom␈α1/␈↓ ∨␈ε	b
␈β∞o␈↓ εu␈εn␈↓ λe␈εn
␈β∞}␈↓ ε7␈∧∞}ε7α"
␈β∂λ␈↓ β4␈εk
␈β∂␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αless␈αth␈α␈an␈α
1/␈↓ β$␈εβ2␈↓ βB␈εβ.
␈β∂4␈↓ α␈εβ[The␈αλresu␈α␈l␈α↓t␈αλof␈αλthis␈αλex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α	is␈αλtrue␈αλif␈α	\R6␈α␈"␈αλi␈α↓s␈αλrep␈α␈laced␈αλco␈α␈nsisten␈α}tly␈αλby␈αλ\␈α␈R4"␈αλor␈αλ\R5"␈α␈;
␈β∂\␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αit␈αis␈αfalse␈αif␈α\␈α␈R1"␈αis␈αu␈α␈sed,␈αsince␈↓ ¬P␈ε	X␈↓ ε_␈εβmigh␈α}t␈αb␈α␈e␈αide␈α␈n␈α␈tically␈αze␈α␈ro.]
␈β∂d␈↓ ¬s␈ε
n
␈β∂h␈↓ ¬h␈εβ(␈↓ εα␈εβ)
␈β∂y␈↓ ¬u␈επ2
␈β⊂↔␈↓ ¬:␈εε1
␈β⊂~␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβFor␈↓ αP␈ε	n␈↓ αv␈ε↔∃␈εβ␈α∩2␈α⊂rep␈α␈lace␈↓ ∧@␈ε	U␈↓ ¬↓␈εβb␈α␈y␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬U␈ε	U␈↓ ε⊃␈εβ+␈↓ ε=␈ε	∞␈↓ εY␈εβ),␈α∩where␈↓ πe␈ε	∞␈↓ λ∪␈εβ=␈α∩0␈α⊂o␈α␈r␈α⊂1␈α⊂acco␈α␈rdin␈α␈g␈α⊂as␈α⊂the
␈β⊂%␈↓ ∧e␈επ2␈↓ ¬{␈επ2␈↓ εI␈εn␈↓ πq␈εn
␈β⊂)␈↓ ∧U␈εn␈↓ ¬:␈∧⊂)¬:α
␈↓ ¬k␈εn
␈β⊂+␈↓ ¬:␈εε2
␈β⊂?␈↓ ∪␈εε1
␈β⊂B␈↓ ↓H␈εβse␈α␈t␈ε↔␈α∞f␈↓ α∂␈ε	U␈↓ β≤␈εβ,␈↓ β+␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε	U␈↓ ∧=␈ε↔g␈εβ␈α
con␈α}tains␈α
an␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈α∞o␈α␈r␈α∞od␈α␈d␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞elemen␈α}ts␈α∞less␈α∞th␈α␈an␈↓ #␈εβ.
␈β⊂M␈↓ αk␈επ2␈↓ ∧␈επ2
␈β⊂P␈↓ α$␈εε(␈↓ α,␈εn␈↓ α=␈ε~␈␈εε1␈↓ αc␈εε)␈↓ αv␈εε+1␈↓ β{␈εn␈↓ ∧↔␈ε~␈␈εε1␈↓ ∪␈∧⊂P∪α
␈β⊂R␈↓ ∪␈εε2
␈β⊂j␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Ad␈α␈van␈α␈ces␈αin␈αM␈α␈ath␈εβ␈α␈.␈ε∪␈α1␈α␈4␈εβ␈α(19␈α␈74),␈α33␈α␈3↑3␈α␈34.]
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αActa␈αArith␈α␈metica␈ε∪␈α2␈α␈1␈εβ␈α(197␈α␈2),␈α45↑␈α␈50.␈αTh␈α␈e␈αbest␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αv␈α␈alue␈α
of␈↓ 	W␈ε	c␈↓ 	o␈εβi␈α↓s␈αu␈α␈nk␈α␈no␈α}wn.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα644␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβIf␈αev␈α␈er␈α␈y␈αon␈α␈e-digit␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αto␈αa␈αran␈α␈dom␈αtab␈α␈l␈α↓e␈αy␈α␈ields␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αta␈α␈ble,␈α
a␈α␈ll␈α
ta␈α␈bles␈αare
␈βαS␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αε(␈α↓o␈α␈r␈απn␈α␈one␈αεare␈α␈)␈α↓.␈α	I␈α↓f␈αεwe␈αεdo␈α␈n't␈απa␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈αεdeg␈α␈rees␈απo␈α␈f␈απran␈α␈do␈α␈mne␈α␈ss,␈αλthe␈αεan␈α␈sw␈α␈er␈απm␈α␈u␈α␈st␈απth␈α␈erefore
␈βαz␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e,␈α\No␈α␈t␈αa␈α␈lways."
␈β∧"␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞3.6
␈β¬∪␈↓ α␈ε∃RA␈α␈NDI␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈J␈↓ ∧→␈ε∃9F
␈β¬⊗␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ ε∩␈εβS␈α␈tore␈α
exit␈αloca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β¬;␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃8F
␈β¬>␈↓ ε∩␈εβS␈α␈tore␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ πh␈ε	k␈↓ πx␈εβ.
␈β¬b␈↓ β≥␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃XRA␈α␈ND
␈β¬e␈↓ ε∩␈εβr␈α␈A␈↓ ε@␈ε↔ ␈↓ εj␈ε	X␈↓ πε␈εβ.
␈βε
␈↓ β≥␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ∧→␈ε∃7F
␈βε
␈↓ ε∩␈εβr␈α␈A␈α↓X␈↓ εX␈ε↔ ␈↓ πα␈ε	a␈↓ π∪␈ε	X␈↓ π.␈εβ.
␈βε1␈↓ β≥␈ε∃IN␈α␈CX␈↓ ∧→␈ε∃100␈α␈9
␈βε4␈↓ ε∩␈εβr␈α␈X␈↓ ε@␈ε↔ ␈εβ␈α	(␈↓ εu␈ε	a␈↓ πε␈ε	X␈↓ π)␈εβ+␈↓ πQ␈ε	c␈↓ π↑␈εβ)␈↓ πo␈εβmod␈↓ λ4␈ε	m␈↓ λQ␈εβ.
␈βεY␈↓ β≥␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧→␈ε∃5
␈βε\␈↓ ε∩␈εβr␈α␈A␈↓ ε@␈ε↔ ␈εβ␈α	(␈↓ εu␈ε	a␈↓ πε␈ε	X␈↓ π)␈εβ+␈↓ πQ␈ε	c␈↓ π↑␈εβ)␈↓ πo␈εβmod␈↓ λ4␈ε	m␈↓ λQ␈εβ.
␈βπ↓␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃XRA␈α␈ND
␈βπ∧␈↓ ε∩␈εβS␈α␈tore␈↓ εh␈ε	X␈↓ π∧␈εβ.
␈βπ(␈↓ β≥␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ∧→␈ε∃8F
␈βπ+␈↓ ε∩␈εβr␈α␈A␈↓ ε@␈ε↔ ␈α	b␈↓ εw␈ε	k␈↓ πλ␈ε	X␈↓ π#␈εβ/␈↓ π4␈ε	m␈↓ πQ␈ε↔c␈εβ.
␈βπP␈↓ β≥␈ε∃IN␈α␈CA␈↓ ∧→␈ε∃1
␈βπS␈↓ ε∩␈εβAd␈α␈d␈α1␈α␈,␈αso␈α
tha␈α␈t␈α1␈ε↔␈αλ∀␈↓ λ4␈ε	Y␈↓ λV␈ε↔∀␈↓ 	↓␈ε	k␈↓ 	⊃␈εβ.
␈βπw␈↓ α␈ε∃9H␈↓ β≥␈ε∃JM␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃*
␈βπz␈↓ ε∩␈εβRe␈α␈turn␈α␈.
␈βλ∨␈↓ α␈ε∃XR␈α␈AND␈↓ β≥␈ε∃CO␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃1
␈βλ"␈↓ ε∩␈εβVa␈α␈lue␈αof␈↓ π↔␈ε	X␈↓ π2␈εβ;␈↓ πG␈ε	X␈↓ πt␈εβ=␈α	1.
␈βλ-␈↓ π↑␈εε0
␈βλG␈↓ α␈ε∃8H␈↓ β≥␈ε∃CO␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃0
␈βλJ␈↓ ε∩␈εβTe␈α␈mp␈αsto␈α␈rage␈α
of␈↓ λ␈ε	k␈↓ λ≤␈εβ.
␈βλn␈↓ α␈ε∃7H␈↓ β≥␈ε∃CO␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃314␈α␈159␈α␈262␈α␈1
␈βλq␈↓ ε∩␈εβTh␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ier␈↓ πo␈ε	a␈↓ π␈␈εβ.
␈βλs␈↓ λ-␈∧λsλ-≠∂
␈β	3␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβPutting␈αa␈αran␈α␈do␈α␈m-n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αge␈α␈nera␈α␈tor␈αi␈α↓n␈α}to␈αa␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈αmak␈α}es␈αth␈α␈e␈αre␈α␈sults␈αe␈α␈ssen␈α␈tia␈α␈l␈α↓ly
␈β	Z␈↓ ↓H␈εβu␈α␈np␈α␈red␈α␈i␈α↓c␈α␈table␈α	to␈αλthe␈α	p␈α␈rogr␈α␈amme␈α␈r.␈αIf␈α	the␈α	b␈α␈eh␈α␈avior␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	ma␈α␈chin␈α␈e␈α	on␈αλeach␈αλpro␈α␈blem␈α	w␈α␈ere
␈β
α␈↓ ↓H␈εβk␈α␈no␈α}wn␈α	in␈αλad␈α␈va␈α␈nce␈α␈,␈α
few␈αλpro␈α␈gram␈α␈s␈α	w␈α␈ou␈α␈ld␈α	e␈α␈v␈α␈er␈αλbe␈αλwri␈α↓t␈α␈ten.␈α
As␈α	Tu␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αλhas␈αλsaid␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	a␈α␈ction␈α␈s
␈β
)␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞a␈α∞c␈α␈omp␈α␈uter␈α
qu␈α␈i␈α↓te␈α
often␈ε⊂␈α
d␈α␈o␈εβ␈α∞su␈α␈rprise␈α∞its␈α
prog␈α␈ramm␈α␈er,␈α∂esp␈α␈ecially␈α
when␈α
a␈α
pro␈α␈gram␈α
is
␈β
Q␈↓ ↓H␈εβb␈α␈eing␈α
deb␈α␈ug␈α␈ged␈α␈.
␈β
|␈↓ α␈εβSo␈α
the␈αw␈α␈o␈α␈rl␈α↓d␈α
ha␈α␈d␈αb␈α␈etter␈αwatc␈α␈h␈αou␈α␈t.
␈β$␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.1
␈β
ε␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ10␈α␈10,␈α10␈α␈11,␈α10␈α␈00,␈↓ ∧⊃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧=␈εβ,␈α1␈α␈100␈α␈0,␈α110␈α␈01␈α␈,␈α1␈α␈111␈α␈0.
␈β
G␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈ε↔␈α␈␈εβ110␈α␈001␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ1␈α␈1.001␈α␈001␈α␈001␈α␈001␈↓ ¬k␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε_␈εβ,␈α11␈α␈.001␈α␈001␈α␈000␈α␈011␈α␈111␈α␈1␈↓ λa␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	∪␈εβ.
␈β
r␈↓ α␈εβ(b)␈α1␈α␈101␈α␈001␈α␈1,␈α110␈α␈1.001␈α␈01␈α␈100␈α␈101␈α␈1␈↓ ¬m␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε%␈εβ,␈α11␈α␈1.01␈α␈100␈α␈100␈α␈010␈α␈000␈α␈0␈↓ λn␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	 ␈εβ.
␈β∞~␈↓ α<␈∧∞~α<α⊃␈↓ αn␈∧∞~αnα⊃␈↓ α␈␈∧∞~α␈α⊃␈↓ β$␈∧∞~β$α⊃␈↓ β←␈∧∞~β←α⊃␈↓ βp␈∧∞~βpα⊃␈↓ ∧C␈∧∞~∧Cα⊃␈↓ ∧S␈∧∞~∧Sα⊃␈↓ ε3␈∧∞~ε3α⊃␈↓ εv␈∧∞~εvα⊃
␈β∞≡␈↓ α␈εβ(c)␈↓ α<␈εβ1␈↓ αM␈εβ1␈α␈1␈↓ αn␈εβ1␈↓ α␈␈εβ1␈↓ β∂␈εβ,␈↓ β$␈εβ1␈↓ β4␈εβ0.0␈↓ β←␈εβ1␈↓ βp␈εβ1␈↓ ∧␈εβ011␈α␈0␈↓ ∧C␈εβ1␈↓ ∧S␈εβ1␈↓ ∧d␈εβ01␈α␈1␈↓ ¬⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬B␈εβ,␈α1␈α␈0.011␈↓ ε3␈εβ1␈↓ εD␈εβ11␈α␈1␈↓ εv␈εβ1␈↓ ππ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π9␈εβ.
␈β∞I␈↓ α␈εβ(d)␈ε↔␈α␈␈εβ9.4,␈ε↔␈α␈␈↓ βG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βs␈εβ758␈α␈241␈α␈75␈α␈824␈α␈13,␈↓ ¬`␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εβ562␈α␈951␈α␈413␈α␈.
␈β∂␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ(10␈α␈101␈α␈13.2␈↓ β&␈εβ)␈↓ βH␈εβ.
␈β∂∃␈↓ β1␈εε2␈↓ β=␈εi
␈β∂L␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(a)␈αBet␈α␈w␈α␈een␈αrA␈αan␈α␈d␈αrX.␈α(b␈α␈)␈αTh␈α␈e␈αrema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αin␈αrX␈αha␈α␈s␈αr␈α␈adix␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αb␈α␈ytes␈α3
␈β∂t␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α4␈α␈;␈αthe␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈αin␈αrA␈αh␈α␈as␈αra␈α␈dix␈αpo␈α␈in␈α␈t␈αone␈αb␈α␈yte␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αof␈αthe␈αleast␈αsi␈α↓g␈α␈ni|␈α␈can␈α}t
␈β⊂≠␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ortion␈α
of␈αth␈α␈e␈αregister.
␈β⊂Y␈↓ εs␈εp␈↓ ∃␈εp
␈β⊂]␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβIt␈αh␈α␈as␈α
be␈α␈en␈α
sub␈α␈tracte␈α␈d␈α
from␈α
999␈↓ ¬a␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε
␈εβ9␈α	=␈α
1␈↓ εb␈εβ0␈↓ ππ␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈αins␈α␈tead␈α
of␈α
from␈α
10␈α␈00␈↓ 
β␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
0␈εβ0␈αλ=␈α
1␈↓ ¬␈εβ0␈↓ #␈εβ.
␈β⊃~␈↓ αg␈εp␈↓ αu␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧,␈εp␈↓ ∧:␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε∪␈εp␈↓ ε!␈ε~␈␈εε1␈↓ πN␈εp␈↓ π[␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a,c)␈↓ αV␈εβ2␈↓ β"␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓(␈↓ ∧≤␈εβ2␈↓ ∧h␈ε↔␈␈εβ␈απ1);␈α→(␈α↓b␈α␈)␈↓ εα␈εβ2␈↓ εN␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈ε↔␈α␈␈↓ π=␈εβ2␈↓ λ↓␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα645
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβA␈α
ten's␈α
com␈α␈pleme␈α␈n␈α␈t␈α
repr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tion␈α
for␈α
a␈α
n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ λp␈ε	x␈↓ 	∞␈εβcan␈α
b␈α␈e␈α
ob␈α␈tained␈αby
␈βαO␈↓ β↔␈εn
␈βαS␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈ering␈α1␈↓ βπ␈εβ0␈↓ β/␈εβ+␈↓ βY␈ε	x␈↓ βv␈εβ(wh␈α␈ere␈↓ ∧a␈ε	n␈↓ ¬↓␈εβis␈αlarge␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈αfor␈αth␈α␈is␈αto␈αbe␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e)␈αa␈α␈nd␈αex␈α␈tend␈α␈ing␈αit
␈βαz␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
left␈α
wi␈α↓th␈αin|␈α␈nitely␈α
m␈α␈an␈α␈y␈αnin␈α␈es.␈α⊃The␈α
n␈α␈ines'␈α
co␈α␈mplem␈α␈en␈α␈t␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈αcan␈αbe
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α	in␈α
th␈α␈e␈α
u␈α␈su␈α␈al␈α
ma␈α␈nn␈α␈er.␈α(These␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α
r␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	are␈α
e␈α␈qua␈α␈l␈α
for␈α
n␈α␈on␈α}termin␈α␈ating
␈ββI␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ecima␈α␈l␈α↓s,␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈αth␈α␈e␈αn␈α␈i␈α↓n␈α␈es'␈αc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}t␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αh␈α␈as␈αthe␈αform␈↓ 	←␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
↔␈ε	a␈↓ 
'␈εβ)999␈α␈99␈↓ ε␈εβ.␈α¬.␈αε.
␈ββq␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈αthe␈αten␈α␈'␈α↓s␈αcom␈α␈plemen␈α}t␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈↓ λ∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ0␈εβ(␈↓ λ;␈ε	a␈↓ λS␈εβ+␈αλ1)000␈α␈0␈↓ 	[␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 

␈εβ.)␈α
The␈αrep␈α␈-
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	may␈α	be␈α	con␈α␈si␈α↓d␈α␈ered␈α	sen␈α␈sible␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
re␈α␈gard␈α	th␈α␈e␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
the␈α	i␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈α
su␈α␈m␈↓ 
c␈ε	N␈↓ ␈εβ=
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβ9␈απ+␈απ90␈απ+␈αλ9␈α␈00␈απ+␈αλ9␈α␈000␈απ+␈↓ ∧/␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧`␈εβas␈ε↔␈α␈␈εβ1,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε!␈ε	N␈↓ εG␈ε↔␈␈εβ␈αλ10␈↓ π⊃␈ε	N␈↓ π9␈εβ=␈α
9␈α␈.
␈β∧l␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈α
a␈α␈lso␈α	ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α
3␈α␈1,␈α
wh␈α␈i␈α↓ch␈αλcon␈α␈si␈α↓d␈α␈ers␈↓ ε∨␈ε	p␈↓ ε0␈εβ-ad␈α␈i␈α↓c␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	syste␈α␈ms.␈αTh␈α␈e␈α
la␈α␈tter␈α	agree␈α	with
␈β¬∀␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ ↓⎇␈ε	p␈↓ α∞␈εβ'␈α↓s␈απco␈α␈mpleme␈α␈n␈α␈t␈απno␈α␈tation␈α␈s␈αλco␈α␈nside␈α␈red␈απhe␈α␈re,␈α	fo␈α␈r␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απwhose␈απra␈α␈dix-␈↓ 	F␈ε	p␈↓ 	↑␈εβrep␈α␈resen␈α}tation
␈β¬;␈↓ ↓H␈εβis␈αte␈α␈rminat␈α␈i␈α↓n␈α␈g,␈αbu␈α␈t␈αth␈α␈ere␈αis␈αn␈α␈o␈αsimp␈α␈le␈αrelation␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α
|eld␈α
of␈↓ 	⊂␈ε	p␈↓ 	!␈εβ-a␈α␈dic␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αa␈α␈nd
␈β¬c␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α|␈α␈el␈α↓d␈α
of␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈βελ␈↓ α␈ε↓P␈↓ β,␈ε↓P
␈βε"␈↓ αl␈εj␈↓ ∧l␈εk␈↓ ∧y␈ε~␈␈εε1␈↓ εg␈εk␈↓ εt␈εj
␈βε&␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ αD␈ε	a␈↓ α←␈ε	b␈↓ βα␈εβ=␈↓ β↑␈εβ(␈↓ βi␈ε	a␈↓ ∧↑␈ε	b␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬O␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬⎇␈εβ+␈↓ ε&␈ε	a␈↓ εN␈εβ)␈↓ εZ␈ε	b␈↓ π␈εβ.
␈βε0␈↓ αS␈εj␈↓ βy␈εk␈↓ ∧ε␈εj␈↓ ∧∩␈εε+␈↓ ∧+␈εk␈↓ ∧9␈ε~␈␈εε1␈↓ ε5␈εk␈↓ εB␈εj
␈βε8␈↓ α2␈εj␈↓ βR␈εj
␈βεj␈↓ α␈ε∃A␈α∀BAD␈α∀AD0␈α␈BE␈α∀FACA␈α␈DE␈α∀FAD␈α␈ED
␈βεm␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ ¬⎇␈εβ.␈α&[␈ε⊂Note:␈εβ␈α_Oth␈α␈er␈α∩p␈α␈ossible␈α⊃\n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∩se␈α␈n␈α␈ten␈α␈ces"
␈βπ⊃␈↓ αX␈ε∃D␈α␈0␈α
A␈αD␈α␈EED␈αA␈αDE␈α␈CAD␈α␈E␈↓ ¬A␈ε∃A␈αC␈α␈AD␈αFED␈αA␈αB␈α␈ABE␈αBE␈α␈EF␈↓ λ←␈ε∃C0C␈α␈0A␈↓ 	]␈ε∃C␈α␈0FF␈α␈EE␈↓ 
n␈ε∃B0B
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈uld␈αbe␈↓ ¬+␈εβ;␈↓ λJ␈εβ,␈↓ 	G␈εβ,␈↓ 
Y␈εβ;
␈βπ9␈↓ ↓H␈ε∃F␈α␈ACE␈α␈D␈αA␈αDE␈α␈AD␈αD0␈α␈D0
␈βπ<␈↓ ∧␈εβ.]
␈βπz␈↓ α␈ε↓∀␈↓ ¬H␈ε↓∃␈↓ ε
␈ε↓∀␈↓ 	h␈ε↓∃
␈βπ}␈↓ α ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ αL␈εβ,␈↓ α[␈ε	a␈↓ αw␈εβ,␈↓ βε␈ε	a␈↓ β"␈εβ,␈↓ β1␈ε	a␈↓ βM␈εβ,␈↓ β\␈ε	a␈↓ βx␈εβ;␈↓ ∧
␈ε	a␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧R␈ε	a␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬≤␈εβ.␈α¬.␈αε.
␈βλα␈↓ ε≥␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εJ␈εβ,␈↓ εY␈ε	A␈↓ ε{␈εβ,␈↓ π	␈ε	A␈↓ π+␈εβ,␈↓ π:␈ε	A␈↓ π\␈εβ,␈↓ πk␈ε	A␈↓ λ
␈εβ;␈↓ λ∨␈ε	A␈↓ λZ␈εβ,␈↓ λm␈ε	A␈↓ 	(␈εβ,␈↓ 	<␈εβ.␈αε.␈αε.
␈βλ	␈↓ αj␈εε3␈↓ β∃␈εε2␈↓ β@␈εε1␈↓ βk␈εε0␈↓ ∧~␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧b␈ε~␈␈εε2
␈βλ
␈↓ εn␈εε3␈↓ π∨␈εε2␈↓ πO␈εε1␈↓ λ␈εε0␈↓ λ4␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	α␈ε~␈␈εε2
␈βλ⊗␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ ¬←␈εβ=␈↓ 	v␈εβ,␈αif
␈βλ&␈↓ α ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ αL␈εβ,␈↓ α↑␈ε	b␈↓ αw␈εβ,␈↓ β	␈ε	b␈↓ β"␈εβ,␈↓ β4␈ε	b␈↓ βM␈εβ,␈↓ β←␈ε	b␈↓ βx␈εβ;␈↓ ∧∞␈ε	b␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧V␈ε	b␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬≤␈εβ.␈α¬.␈αε.
␈βλ*␈↓ ε≥␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εJ␈εβ,␈↓ εZ␈ε	B␈↓ ε{␈εβ,␈↓ π␈ε	B␈↓ π+␈εβ,␈↓ π<␈ε	B␈↓ π\␈εβ,␈↓ πm␈ε	B␈↓ λ
␈εβ;␈↓ λ!␈ε	B␈↓ λZ␈εβ,␈↓ λn␈ε	B␈↓ 	(␈εβ,␈↓ 	<␈εβ.␈αε.␈αε.
␈βλ1␈↓ αj␈εε3␈↓ β∃␈εε2␈↓ β@␈εε1␈↓ βk␈εε0␈↓ ∧~␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧b␈ε~␈␈εε2
␈βλ5␈↓ εn␈εε3␈↓ π∨␈εε2␈↓ πO␈εε1␈↓ λ␈εε0␈↓ λ4␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	α␈ε~␈␈εε2
␈β	λ␈↓ βn␈ε↓∀␈↓ εY␈ε↓∃
␈β	
␈↓ β|␈ε	a␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ∧y␈ε	a␈↓ ¬h␈εβ,␈↓ ¬w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε#␈εβ,␈↓ ε2␈ε	a
␈β	∀␈↓ ∧␈εk␈↓ ∧E␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬	␈εk␈↓ ¬B␈ε~␈␈εε2␈↓ εB␈εk
␈β	≤␈↓ ∧↔␈ε
j␈↓ ∧#␈επ+␈α␈1␈↓ ¬∃␈ε
j␈↓ ¬ ␈επ+1␈↓ εN␈ε
j
␈β	$␈↓ β→␈ε	A␈↓ βC␈εβ=␈↓ εg␈εβ,␈↓ π>␈ε	B␈↓ πg␈εβ=␈↓ λ⊃␈ε	b␈↓ 	α␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	/␈ε	b␈↓ 	R␈εβ,
␈β	/␈↓ β.␈εj␈↓ πQ␈εj␈↓ λ≥␈εk␈↓ λW␈ε~␈␈εε1␈↓ 	;␈εk
␈β	1␈↓ ∧⎇␈ε	b␈↓ ¬h␈εβ,␈↓ ¬w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε#␈εβ,␈↓ ε6␈ε	b
␈β	7␈↓ λ*␈ε
j␈↓ λ5␈επ+1␈↓ 	G␈ε
j
␈β	<␈↓ ¬	␈εk␈↓ ¬B␈ε~␈␈εε2␈↓ εB␈εk
␈β	D␈↓ ¬∃␈ε
j␈↓ ¬ ␈επ+1␈↓ εN␈ε
j
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈ε↔␈αh␈↓ α3␈ε	k␈↓ αR␈ε↔i␈εβ␈αis␈αan␈α␈y␈α
in|␈α␈nite␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αof␈αin␈α␈te␈α␈gers␈αwith␈↓ π1␈ε	k␈↓ πz␈εβ>␈↓ λ%␈ε	k␈↓ λ@␈εβ.
␈β
"␈↓ αB␈εn␈↓ π?␈εj␈↓ πK␈εε+1␈↓ λ3␈εj
␈β
Z␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(The␈α∞follo␈α␈wing␈α∞algo␈α␈rithm␈α∞w␈α␈ork␈α␈s␈α∂b␈α␈oth␈α∞for␈α∞add␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈α∞or␈α∞sub␈α␈traction␈α␈,␈α⊂d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞on
␈βα␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈eth␈α␈er␈αthe␈αp␈α␈lus␈αor␈αm␈α␈i␈α↓n␈α}us␈αsign␈α
is␈αc␈α␈ho␈α␈sen.)
␈β-␈↓ α␈εβSt␈α␈art␈α∞by␈α
setting␈↓ ∧λ␈ε	k␈↓ ∧'␈ε↔ ␈↓ ∧V␈ε	a␈↓ ¬*␈ε↔ ␈↓ ¬Z␈ε	a␈↓ ε.␈ε↔ ␈↓ ε↑␈ε	b␈↓ π/␈ε↔ ␈↓ π↑␈ε	b␈↓ λ/␈ε↔ ␈εβ␈α∂0␈α␈;␈α⊂then␈α
for␈↓ 
∞␈ε	m␈↓ 
:␈εβ=␈α∂0␈α␈,␈α⊂1␈α␈,
␈β8␈↓ ∧f␈εn␈↓ ∧v␈εε+1␈↓ ¬j␈εn␈↓ ¬z␈εε+2␈↓ εj␈εn␈↓ εz␈εε+1␈↓ πj␈εn␈↓ π{␈εε+2
␈βU␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ α	␈ε	n␈↓ α%␈εβ+␈αλ2␈αd␈α␈o␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α␈:␈α
Se␈α␈t␈↓ ¬&␈ε	c␈↓ ¬T␈ε↔ ␈↓ ε␈ε	a␈↓ ε.␈ε↔ε␈↓ εX␈ε	b␈↓ πβ␈εβ+␈↓ π,␈ε	k␈↓ π<␈εβ;␈α
th␈α␈en␈αi␈α↓f␈↓ λ?␈ε	c␈↓ λl␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈αset␈↓ 	r␈ε	k␈↓ 

␈ε↔ ␈α␈␈εβ1␈αa␈α␈nd
␈β`␈↓ ¬2␈εm␈↓ ε∂␈εm␈↓ εd␈εm␈↓ λK␈εm
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓y␈ε↔ ␈↓ α(␈ε	c␈↓ αU␈ε↔␈␈εβ␈α
2␈α␈;␈α⊂oth␈α␈erwise␈α∞if␈↓ ∧b␈ε	c␈↓ ¬∀␈εβ<␈α∞0,␈α∂s␈α␈et␈↓ ε"␈ε	k␈↓ εA␈ε↔ ␈εβ␈α∞1␈α∞a␈α␈nd␈↓ πR␈ε	c␈↓ λ∧␈ε↔ ␈↓ λ3␈ε	c␈↓ λ`␈εβ+␈α	2;␈α⊂o␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α
(␈α↓i.e.,␈α∂if
␈βπ␈↓ ↓T␈εm␈↓ α4␈εm␈↓ ∧n␈εm␈↓ π↑␈εm␈↓ λ?␈εm
␈β$␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	c␈↓ α9␈ε↔∀␈εβ␈α	1),␈αset␈↓ βG␈ε	k␈↓ βa␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β/␈↓ α_␈εm
␈βg␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ(a)␈αεS␈α␈ub␈α␈trac␈α␈t␈ε↔␈αεε␈εβ(␈↓ βn␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧~␈ε	a␈↓ ∧6␈εβ0␈↓ ∧G␈ε	a␈↓ ∧c␈εβ0␈↓ ∧t␈εβ)␈↓ ¬*␈εβfrom␈ε↔␈α¬ε␈εβ␈α↓(␈↓ ε&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εS␈ε	a␈↓ εo␈εβ0␈↓ π␈ε	a␈↓ π≤␈εβ0␈↓ π,␈ε	a␈↓ πH␈εβ)␈↓ π␈␈εβin␈α¬the␈α¬neg␈α␈ab␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α¬sy␈α␈stem.␈α	(See
␈βr␈↓ ∧*␈εε3␈↓ ∧W␈εε1␈↓ ∧␈␈ε~␈␈εε2␈↓ εb␈εε4␈↓ π∂␈εε2␈↓ π<␈εε0␈↓ πT␈ε~␈␈εε2
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ7␈α␈.␈α↓1␈α␈↑18␈απf␈α↓o␈α␈r␈αλa␈αλtri␈α↓c␈α␈kier␈αλsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.)␈α∩(b)␈αλSu␈α␈btr␈α␈act␈αλ(␈↓ λ↓␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ-␈ε	b␈↓ λF␈εβ0␈↓ λW␈ε	b␈↓ λo␈εβ0␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	 ␈εβfro␈α␈m␈α	(␈↓ 	⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
*␈ε	b␈↓ 
B␈εβ0␈↓ 
S␈ε	b␈↓ 
k␈εβ0␈↓ 
|␈ε	b␈↓ ∃␈εβ)
␈β
→␈↓ λ9␈εε3␈↓ λc␈εε1␈↓ 	␈εε2␈↓ 
6␈εε4␈↓ 
←␈εε2␈↓ λ␈εε0␈↓  ␈εε2
␈β
6␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
syste␈α␈m.
␈β
v␈↓ εn␈εε1
␈β
y␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ(1.90␈α␈909␈α␈0␈↓ β~␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βG␈εβ)␈↓ ∧∞␈εβ=␈α	(0.09␈α␈090␈α␈9␈↓ ¬G␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬s␈εβ)␈↓ ε:␈εβ=␈↓ π¬␈εβ.
␈β∞∧␈↓ βR␈ε~␈␈εε10␈↓ ¬}␈ε~␈␈εε10
␈β∞π␈↓ εh␈∧∞πεhα~
␈β∞
␈↓ εh␈εε11
␈β∞:␈↓ ¬o␈εβ1␈α⊂1␈α⊂3␈α⊂2␈α⊂1␈↓ πK␈εβ[␈α↓5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ4␈↓ λ&␈ε	i␈↓ λ3␈εβ]
␈β∞a␈↓ ¬o␈εβ1␈α⊂1␈α⊂3␈α⊂2␈α⊂1␈↓ πK␈εβ[␈α↓5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ4␈↓ λ&␈ε	i␈↓ λ3␈εβ]
␈β∂β␈↓ ¬q␈∧∂β¬qα↓∩
␈β∂∂␈↓ ¬o␈εβ1␈α⊂1␈α⊂3␈α⊂2␈α⊂1
␈β∂6␈↓ ¬O␈εβ1␈α⊂1␈α⊂2␈α∂0␈α⊂2
␈β∂K␈↓ ↓V␈ε∪14.
␈β∂↑␈↓ ¬.␈εβ1␈α⊂2␈α⊂1␈α⊂2␈α⊂3
␈β⊂ε␈↓ ¬∞␈εβ1␈α⊂1␈α⊂3␈α⊂2␈α∂1
␈β⊂-␈↓ ∧n␈εβ1␈α∂1␈α⊂3␈α⊂2␈α⊂1
␈β⊂O␈↓ ∧l␈∧⊂O∧lαα∀
␈β⊂]␈↓ ∧l␈εβ0␈α⊂1␈α⊂0␈α∂3␈α⊂1␈α⊂1␈α⊂2␈α⊂0␈α⊂1␈↓ πK␈εβ[␈α↓9␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ40␈↓ λ7␈ε	i␈↓ λC␈εβ]
␈β⊃~␈↓ α:␈εε10␈↓ αp␈εε1
␈β⊃≥␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε↔␈␈↓ αW␈εβ,␈↓ βπ␈εβ],␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αrecta␈α␈ngle␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αin␈α
F␈α↓ig.␈αA↑6␈α␈.
␈β⊃+␈↓ α:␈∧⊃+α:α~␈↓ αj␈∧⊃+αjα~
␈β⊃-␈↓ α:␈εε11␈↓ αj␈εε1␈α␈1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα646␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}4.1
␈β¬7␈↓ εt␈ε∪Fig.␈α
A↑6␈α␈.␈εβ␈α≥F␈α↓u␈α␈nd␈α␈am␈α␈en␈α␈ta␈α␈l␈α∞re␈α␈gion
␈β¬←␈↓ εt␈εβfo␈α␈r␈αqua␈α␈ter-imag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.
␈βεL␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIt␈απi␈α↓s␈απtem␈α␈pting␈απto␈αεtry␈απto␈απdo␈απt␈α␈his␈απi␈α↓n␈απa␈αεv␈α␈ery␈απsimp␈α␈le␈απway,␈αλb␈α␈y␈απusin␈α␈g␈απthe␈απru␈α␈l␈α↓e␈απ2␈α	=␈α	(110␈α␈0␈↓ 
q␈εβ)
␈βεV␈↓ 
|␈εi␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈βεs␈↓ ↓H␈εβto␈αta␈α␈k␈α␈e␈αca␈α␈re␈αo␈α␈f␈αca␈α␈rries;␈αb␈α␈ut␈αtha␈α␈t␈αlea␈α␈ds␈αto␈αa␈αnon␈α}termin␈α␈ating␈αme␈α␈tho␈α␈d␈αi␈α↓f,␈αf␈α↓o␈α␈r␈αe␈α␈xa␈α␈mple,␈αw␈α␈e
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εβtry␈α
to␈αa␈α␈dd␈α1␈α
to␈α(11␈α␈101␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧P␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1.
␈βπ&␈↓ ∧⊗␈εi␈↓ ∧!␈ε~␈␈εε1
␈βπC␈↓ α␈εβThe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αd␈α␈oes␈αth␈α␈e␈αjob␈αb␈α␈y␈αp␈α␈ro␈α␈vid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αfou␈α␈r␈αrelated␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈ms␈α(n␈α␈amely
␈βπf␈↓ 	p␈εP
␈βπj␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αadd␈α␈ing␈αo␈α␈r␈αsub␈α␈tractin␈α␈g␈α1␈αor␈↓ ¬␈ε	i␈↓ ¬_␈εβ)␈α↓.␈α∞If␈↓ ¬]␈ε	␈↓ ¬|␈εβis␈αa␈αstrin␈α␈g␈αof␈αzero␈α␈s␈αand␈αon␈α␈es,␈α
let␈↓ 	↑␈ε	␈↓ 
∂␈εβb␈α␈e␈αa␈αstring
␈βλ∞␈↓ ¬	␈εP␈↓ λL␈ε~␈␈↓ λe␈εP␈↓ 	!␈εQ␈↓ 	]␈ε~␈␈↓ 	v␈εQ
␈βλ∩␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
zeros␈α
a␈α␈nd␈αon␈α␈es␈α
suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈α
(␈↓ ∧w␈ε	␈↓ ¬≤␈εβ)␈↓ ¬d␈εβ=␈α
(␈↓ ε≥␈ε	␈↓ ε/␈εβ)␈↓ εs␈εβ+␈α	1;␈α∞an␈α␈d␈α
let␈↓ λ:␈ε	␈↓ λx␈εβ,␈↓ 	∂␈ε	␈↓ 	4␈εβ,␈↓ 	K␈ε	␈↓ 
↔␈εβb␈α␈e␈α
d␈α␈e|n␈α␈ed
␈βλ≤␈↓ ¬'␈εi␈↓ ¬2␈ε~␈␈εε1␈↓ ε:␈εi␈↓ εE␈ε~␈␈εε1
␈βλ9␈↓ ↓H␈εβsimilarly␈α␈,␈αwith␈ε↔␈α␈␈εβ1,␈α+␈↓ ∧
␈ε	i␈↓ ∧~␈εβ,␈αand␈ε↔␈α
␈␈↓ ¬⊂␈ε	i␈↓ ¬(␈εβrespe␈α␈ctiv␈α␈ely␈αin␈α
place␈αo␈α␈f␈α+␈α↓1␈α␈.␈αTh␈α␈en
␈βλ{␈↓ αP␈εP␈↓ ∧t␈εP␈↓ ¬M␈εQ␈↓ πn␈εQ␈↓ λG␈εP␈↓ 	h␈εQ␈↓ 
A␈ε~␈␈↓ 
Z␈εQ
␈β	␈↓ α↔␈εβ(␈↓ α"␈ε	␈↓ α5␈εβ0␈↓ αE␈εβ)␈↓ αl␈εβ=␈↓ β↔␈ε	␈↓ β)␈εβ1;␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧Y␈εβ1␈↓ ∧i␈εβ)␈↓ ¬⊂␈εβ=␈↓ ¬;␈ε	␈↓ ¬`␈ε	x␈↓ ¬r␈εβ0␈α␈.␈↓ π5␈εβ(␈↓ π@␈ε	␈↓ πR␈εβ0␈↓ πc␈εβ)␈↓ λ
␈εβ=␈↓ λ5␈ε	␈↓ λZ␈εβ1;␈↓ 	/␈εβ(␈↓ 	:␈ε	␈↓ 	L␈εβ1␈↓ 	]␈εβ)␈↓ 
∧␈εβ=␈↓ 
/␈ε	␈↓ 
n␈εβ0␈α␈.
␈β	"␈↓ α7␈ε~␈␈↓ αP␈εP␈↓ β)␈ε~␈␈↓ βB␈εQ␈↓ ∧[␈ε~␈␈↓ ∧t␈εP␈↓ πU␈ε~␈␈↓ πn␈εQ␈↓ λG␈εQ␈↓ 	O␈ε~␈␈↓ 	h␈εQ␈↓ 
A␈ε~␈␈↓ 
Z␈εP
␈β	(␈↓ ↓m␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	␈↓ α
␈ε	x␈↓ α≠␈εβ0␈↓ α,␈εβ)␈↓ αl␈εβ=␈↓ β↔␈ε	␈↓ βV␈ε	x␈↓ βg␈εβ1;␈↓ ∧"␈εβ(␈↓ ∧-␈ε	␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧P␈εβ)␈↓ ¬⊂␈εβ=␈↓ ¬;␈ε	␈↓ ¬M␈εβ0.␈↓ π≤␈εβ(␈↓ π'␈ε	␈↓ π9␈εβ0␈↓ πJ␈εβ)␈↓ λ
␈εβ=␈↓ λ5␈ε	␈↓ λZ␈εβ1;␈↓ 	⊗␈εβ(␈↓ 	!␈ε	␈↓ 	3␈εβ1␈↓ 	D␈εβ)␈↓ 
∧␈εβ=␈↓ 
/␈ε	␈↓ 
m␈εβ0.
␈β	k␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α4␈εβstan␈α␈ds␈αfor␈αeithe␈α␈r␈α
0␈αor␈α1,␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈e␈αstrings␈αar␈α␈e␈α
e␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αon␈αth␈α␈e␈αleft␈α
with␈αz␈α␈eros␈αif
␈β
∪␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eces␈α␈sary.␈α
The␈αλp␈α␈roces␈α␈ses␈α	will␈α	clea␈α␈rl␈α↓y␈απalways␈αλterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate.␈α
Hen␈α␈ce␈αλev␈α␈ery␈αλn␈α}um␈α}ber␈αλof␈αλthe␈αλform
␈β
;␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓←␈εβ+␈↓ αλ␈ε	b␈↓ α∃␈ε	i␈↓ α-␈εβwi␈α↓th␈↓ αy␈ε	a␈↓ β∃␈εβa␈α␈nd␈↓ βU␈ε	b␈↓ βn␈εβin␈α␈te␈α␈gers␈αis␈αrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e␈αin␈α
the␈↓ π5␈ε	i␈↓ πI␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
system␈α␈.
␈β
l␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβNo␈α
(in␈αspite␈α
o␈α␈f␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
28␈α␈)␈α↓;␈α∞th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈α
ca␈α␈nn␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈α
so␈αrepre␈α␈sen␈α␈ted␈α␈.␈α⊃Th␈α␈i␈α↓s␈αcan
␈β∀␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αpro␈α}v␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αco␈α␈nstru␈α␈cting␈αa␈αse␈α␈t␈↓ ¬!␈ε	S␈↓ ¬@␈εβas␈αi␈α↓n␈α
F␈α↓ig␈α␈.␈α1.␈αWe␈αdo␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈ε↔␈α␈␈↓ 
u␈ε	i␈↓ ␈εβ=
␈β;␈↓ ↓H␈εβ(0␈α␈.␈α↓1␈α␈111␈↓ α5␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αa␈εβ)␈↓ β≥␈εβ,␈↓ β1␈ε	i␈↓ βG␈εβ=␈α
(1␈α␈00.11␈α␈11␈↓ ¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬-␈εβ)␈↓ ¬h␈εβ.
␈βF␈↓ αl␈εε1+␈↓ β∩␈εi␈↓ ¬8␈εε1␈α␈+␈↓ ¬]␈εi
␈βm␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	S␈↓ αu␈εβbe␈αthe␈α
s␈α␈et␈α
of␈α
p␈α␈oin␈α␈ts␈α
(␈↓ ¬-␈ε	a␈↓ ¬I␈ε	a␈↓ ¬e␈ε	a␈↓ ε↓␈ε	a␈↓ ε≥␈ε	a␈↓ ε9␈ε	a␈↓ εU␈ε	a␈↓ εr␈ε	a␈↓ π∞␈εβ)␈↓ πI␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈α
ea␈α␈ch␈↓ 	⊂␈ε	a␈↓ 	9␈εβi␈α↓s␈α0␈α
or␈α
1␈α␈.␈α⊃(Th␈α␈u␈α␈s,
␈βx␈↓ α\␈εε0␈↓ ¬<␈εε7␈↓ ¬X␈εε6␈↓ ¬u␈εε5␈↓ ε⊃␈εε4␈↓ ε-␈εε3␈↓ εI␈εε2␈↓ εe␈εε1␈↓ π↓␈εε0␈↓ π→␈εi␈↓ π#␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	∨␈εk
␈β∃␈↓ ↓H␈ε	S␈↓ ↓s␈εβis␈α∞g␈α␈iv␈α␈en␈α
by␈α
th␈α␈e␈α∞2␈α␈56␈α
i␈α↓n␈α}terior␈α
dots␈α
sho␈α}wn␈α∞in␈α
Fi␈α↓g␈α␈.␈α∞1,␈α∞i␈α↓f␈α∞t␈α␈hat␈α
pictu␈α␈re␈α∞is␈α∞m␈α}ultiplied␈α
by
␈β∨␈↓ ↓X␈εε0
␈β<␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈6.)␈αWe␈α
|␈α␈rst␈α
sho␈α}w␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧≥␈ε	S␈↓ ∧;␈εβi␈α↓s␈α	closed␈α␈:␈αIf␈↓ ¬f␈ε	y␈↓ εα␈εβ,␈↓ ε⊗␈ε	y␈↓ ε2␈εβ,␈↓ εE␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εβis␈α
an␈α	in|␈α␈nite␈α
su␈α␈bset␈α	of␈↓ 	=␈ε	S␈↓ 	Q␈εβ,␈αw␈α␈e␈α	hav␈α}e␈↓ 
b␈ε	y␈↓ ␈εβ=
␈βF␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βG␈↓ ¬v␈εε1␈↓ ε&␈εε2␈↓ 
r␈εn
␈β`␈↓ αu␈ε~␈␈↓ β∞␈εk
␈βd␈↓ α&␈ε	a␈↓ αS␈εβ1␈↓ αd␈εβ6␈↓ β≠␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈α	each␈↓ ∧W␈ε	a␈↓ ¬
␈εβis␈α
in␈↓ ¬R␈ε	S␈↓ ¬o␈εβ.␈αCo␈α␈nstru␈α␈ct␈α
a␈α	tr␈α␈ee␈α
wh␈α␈ose␈α	n␈α␈ode␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
(␈↓ 	v␈ε	a␈↓ 
"␈εβ,␈↓ 
1␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
]␈εβ,␈↓ 
l␈ε	a␈↓ _␈εβ),
␈βn␈↓ α6␈εn␈↓ αF␈εk␈↓ ∧f␈εn␈↓ ∧v␈εk␈↓ ¬c␈εε0␈↓ 
¬␈εn␈↓ 
∃␈εε1␈↓ 
|␈εn␈↓ ␈εr
␈βv␈↓ ↓n␈εk␈↓ ↓{␈ε~∃␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
1␈ε↔␈α∀␈↓ αG␈ε	r␈↓ αa␈ε↔∀␈↓ β∂␈ε	n␈↓ β#␈εβ,␈α
an␈α␈d␈αlet␈α
a␈αno␈α␈de␈αof␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αtree␈αbe␈αan␈αan␈α␈cestor␈αof␈α
a␈α␈no␈α␈ther␈αno␈α␈de␈αi␈α↓f␈α
it␈αi␈α↓s␈αan
␈β
3␈↓ ↓H␈εβin␈α␈i␈α↓tia␈α␈l␈α
sub␈α␈seq␈α␈uen␈α␈ce␈αof␈αthat␈αn␈α␈ode␈α␈.␈α⊂By␈αth␈α␈e␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈ity␈αlemma␈αth␈α␈is␈α
tre␈α␈e␈α
h␈α␈as␈αan␈αin␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈αp␈α␈ath
␈β
=␈↓ ¬8␈ε↓P
␈β
W␈↓ εT␈ε~␈␈↓ εm␈εk
␈β
[␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ ↓o␈εβ,␈↓ ↓}␈ε	a␈↓ α~␈εβ,␈↓ α)␈ε	a␈↓ αE␈εβ,␈↓ αT␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β␈εβ),␈αand␈α
it␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws␈αthat␈↓ ε⊗␈ε	a␈↓ ε3␈εβ1␈↓ εD␈εβ6␈↓ πε␈εβis␈αa␈αlimit␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αof␈ε↔␈αf␈↓ 	 ␈ε	y␈↓ 	<␈εβ,␈↓ 	K␈ε	y␈↓ 	g␈εβ,␈↓ 	v␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
"␈ε↔g␈εβ␈αin␈↓ 
e␈ε	S␈↓ 
z␈εβ.
␈β
e␈↓ ↓b␈εε1␈↓ α
␈εε2␈↓ α8␈εε3␈↓ ε&␈εk␈↓ 	0␈εε1␈↓ 	[␈εε2
␈β
m␈↓ ¬↑␈εk␈↓ ¬k␈ε~∃␈εε1
␈β∞∧␈↓ 	~␈εk
␈β∞λ␈↓ α␈εβBy␈αλth␈α␈e␈αλa␈α␈nsw␈α␈er␈απto␈αλex␈α}ercise␈αλ1␈α␈6,␈α	a␈α␈l␈α↓l␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αλo␈α␈f␈αλthe␈απform␈απ(␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ∨␈εβ+␈↓ λC␈ε	b␈↓ λQ␈ε	i␈↓ λ]␈εβ)␈α↓/␈α␈1␈↓ 	
␈εβ6␈↓ 	/␈εβare␈αλre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tab␈α␈le,
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α"␈ε	a␈↓ α@␈εβan␈α␈d␈↓ β∧␈ε	b␈↓ β∨␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs.␈α∃Th␈α␈erefo␈α␈re␈α∞if␈↓ ε$␈ε	x␈↓ εC␈εβan␈α␈d␈↓ ππ␈ε	y␈↓ π'␈εβare␈α∞a␈α␈rbitrary␈α
reals␈α∞a␈α␈nd␈↓ 
λ␈ε	k␈↓ 
&␈ε↔∃␈εβ␈α∂1␈α␈,␈α∂the
␈β∞S␈↓ βK␈εk␈↓ ∧W␈εk␈↓ ¬N␈εk
␈β∞W␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ αA␈ε	z␈↓ αe␈εβ=␈α(␈ε↔b␈εβ1␈↓ β;␈εβ6␈↓ βY␈ε	x␈↓ βj␈ε↔c␈εβ␈αλ+␈ε↔␈α	b␈εβ1␈↓ ∧G␈εβ6␈↓ ∧d␈ε	y␈↓ ∧w␈ε↔c␈↓ ¬∧␈ε	i␈↓ ¬⊃␈εβ)/␈α␈1␈↓ ¬=␈εβ6␈↓ ¬g␈εβi␈α↓s␈αin␈↓ ε2␈ε	S␈↓ εO␈εβ+␈↓ εy␈ε	m␈↓ π≡␈εβ+␈↓ πH␈ε	n␈↓ π\␈ε	i␈↓ πu␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α
so␈α␈me␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ 	|␈ε	m␈↓ 
&␈εβa␈α␈nd␈↓ 
h␈ε	n␈↓ 
|␈εβ.␈α∂It
␈β∞b␈↓ αL␈εk
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α
be␈α
sho␈α␈wn␈α
th␈α␈at␈↓ β]␈ε	S␈↓ βx␈εβ+␈↓ ∧ ␈ε	m␈↓ ∧D␈εβ+␈↓ ∧l␈ε	n␈↓ ¬␈ε	i␈↓ ¬_␈εβis␈αb␈α␈oun␈α␈de␈α␈d␈αa␈α␈way␈α
from␈α
the␈α
origin␈α
when␈α
(␈↓ 	↑␈ε	m␈↓ 	{␈εβ,␈↓ 

␈ε	n␈↓ 
≡␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈εβ␈α
(0,␈α¬0).
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβCo␈α␈nse␈α␈que␈α␈n␈α␈tly␈α
if␈ε↔␈α∞j␈↓ βE␈ε	x␈↓ βV␈ε↔j␈εβ␈α∞an␈α␈d␈ε↔␈α
j␈↓ ∧9␈ε	y␈↓ ∧L␈ε↔j␈εβ␈α
are␈α
|x␈α}ed␈α
an␈α␈d␈↓ ε2␈ε	k␈↓ εP␈εβis␈α
su}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈α
large␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ 	␈␈ε	z␈↓ 
$␈ε↔2␈↓ 
K␈ε	S␈↓ 
`␈εβ,␈α∞a␈α␈nd
␈β∂1␈↓ 

␈εk
␈β∂N␈↓ ↓H␈εβlim␈↓ α;␈ε	z␈↓ α]␈εβ=␈↓ βπ␈ε	x␈↓ β ␈εβ+␈↓ βI␈ε	y␈↓ β[␈ε	i␈↓ βs␈εβis␈αi␈α↓n␈↓ ∧;␈ε	S␈↓ ∧P␈εβ.
␈β∂Y␈↓ ↓v␈εk␈↓ αβ␈ε~!1␈↓ αF␈εk
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβIf␈↓ α/␈ε	m␈↓ αX␈εβ>␈↓ β¬␈ε	u␈↓ β%␈εβor␈↓ βP␈ε	m␈↓ βy␈εβ<␈↓ ∧&␈ε	l␈↓ ∧/␈εβ,␈α
|n␈α␈d␈↓ ¬	␈ε	a␈↓ ¬%␈ε↔2␈↓ ¬K␈ε	D␈↓ ¬q␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πλ␈ε	m␈↓ π1␈ε↔⊃␈↓ π↑␈ε	a␈↓ πz␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ{␈ε	b␈↓ 	λ␈εβ)␈α↓;␈α
the␈αde␈α␈si␈α↓r␈α␈ed␈αrepre␈α␈-
␈β⊂#␈↓ ¬⎇␈ε~0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβse␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αwi␈α↓ll␈αbe␈αa␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f␈↓ ¬`␈ε	m␈↓ ε
␈εβ=␈α
(␈↓ εC␈ε	m␈↓ εh␈ε↔␈␈↓ π⊂␈ε	a␈↓ π!␈εβ)/␈↓ π=␈ε	b␈↓ πU␈εβfollo␈α␈w␈α␈ed␈αb␈α␈y␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	_␈εβ.␈αNo␈α␈te␈αtha␈α␈t␈↓ 
G␈ε	m␈↓ 
n␈εβ>␈↓ _␈ε	u
␈β⊂K␈↓ β∪␈ε~0␈↓ εC␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈↓ α8␈ε	l␈↓ αK␈εβ<␈↓ αu␈ε	m␈↓ β"␈εβ<␈↓ βM␈ε	m␈↓ βj␈εβ;␈↓ β}␈ε	m␈↓ ∧%␈εβ<␈↓ ∧P␈ε	l␈↓ ∧d␈εβimp␈α␈l␈α↓ies␈↓ ¬U␈ε	m␈↓ ¬{␈εβ<␈↓ ε&␈ε	m␈↓ εS␈εβ<␈↓ ε⎇␈ε	u␈↓ π⊃␈εβ;␈αs␈α␈o␈αthe␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αtermin␈α␈ates.
␈β⊂w␈↓ α␈εβ[There␈αare␈αno␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αwh␈α␈en␈↓ ¬@␈ε	b␈↓ ¬X␈εβ=␈α
2.␈α
The␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈αwi␈α↓ll␈αb␈α␈e␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αi{␈α0␈ε↔␈α
2␈↓ 
␈ε	D␈↓ #␈εβ;
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβn␈α␈on␈α}un␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈α∞repr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tion␈α∞occ␈α␈urs␈α∂fo␈α␈r␈α∂ex␈α␈amp␈α␈le␈α∂wh␈α␈en␈↓ πJ␈ε	D␈↓ πs␈εβ=␈ε↔␈α∂f␈␈εβ3,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈α¬7␈ε↔g␈εβ,␈↓ 	p␈ε	b␈↓ 
␈εβ=␈α⊂3␈α␈,␈α⊂since
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα647
␈βα&␈↓ αD␈∧α&αDα⊃␈↓ αv␈∧α&αvα⊃␈↓ 
|␈εb␈↓ π␈ε~␈␈εε3
␈βα*␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	␈↓ ↓e␈εβ)␈↓ α
␈εβ=␈α∞(␈↓ αD␈εβ3␈↓ αT␈εβ77␈↓ αv␈εβ3␈↓ βε␈ε	␈↓ β→␈εβ)␈↓ β0␈εβ.␈α∪When␈↓ ∧/␈ε	b␈↓ ∧I␈ε↔∃␈εβ␈α∞3␈α
it␈α∞is␈α∞n␈α␈ot␈α
di}cu␈α␈lt␈α∞to␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α
there␈α
are␈α
ex␈α␈actly␈↓ 
k␈εβ2
␈βα5␈↓ ↓p␈εε3␈↓ β$␈εε3
␈βαN␈↓ ∪␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α	sets␈↓ ββ␈ε	D␈↓ β%␈εβi␈α↓n␈α	wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈ε↔␈α	j␈↓ ∧3␈ε	a␈↓ ∧C␈ε↔j␈εβ␈α	<␈↓ ¬␈ε	b␈↓ ¬↔␈εβfor␈α	all␈↓ ¬v␈ε	a␈↓ ε∂␈ε↔2␈↓ ε2␈ε	D␈↓ εK␈εβ.␈αFurth␈α␈ermor␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α	set␈↓ 	␈ε	D␈↓ 	.␈εβ=␈ε↔␈α	f␈εβ0,␈α
1,␈α
2␈ε↔␈α∧␈␈↓ 
m␈ε	∂␈↓ ε␈ε	b␈↓ #␈εβ,
␈βα\␈↓ 
y␈εε2
␈βαu␈↓ α0␈εn␈↓ ∧b␈εn␈↓ ε⊗␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈εβ3␈ε↔␈απ␈␈↓ α
␈ε	∂␈↓ α"␈ε	b␈↓ α@␈εβ,␈↓ αU␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βα␈εβ,␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β-␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧_␈ε	∂␈↓ ∧U␈ε	b␈↓ ∧s␈εβ,␈↓ ¬λ␈ε	b␈↓ ¬≥␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε	␈ε	b␈↓ ε&␈ε↔g␈εβ␈αgiv␈α␈e␈α␈s␈αun␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns,␈αf␈α↓o␈α␈r␈αall␈↓ 
W␈ε	b␈↓ 
p␈ε↔∃␈εβ␈α3
␈ββ∧␈↓ α⊗␈εε3␈↓ ∧$␈εb␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	n␈↓ α&␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈αwhen␈α
eac␈α␈h␈↓ ∧_␈ε	∂␈↓ ∧;␈εβis␈α0␈αor␈α1.]
␈ββ,␈↓ ∧$␈εj
␈ββO␈↓ ¬T␈εε1␈α␈11␈↓ π	␈εε1␈↓ π&␈εε222␈↓ 	=␈εε12␈α␈34␈α␈56␈↓ 
→␈εε777
␈ββS␈↓ αZ␈∧βSαZα⊃␈↓ αk␈∧βSαkα⊃␈↓ α{␈∧βSα{α⊃␈↓ βs␈∧βSβsα⊃␈↓ ¬%␈∧βS¬%α⊃␈↓ εd␈∧βSεdα⊃␈↓ 	_␈∧βS	_α⊃
␈ββW␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ(a)␈α
0.␈↓ αZ␈εβ1␈↓ αk␈εβ1␈↓ α{␈εβ1␈↓ β⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βE␈εβ=␈↓ βs␈εβ1␈↓ ∧β␈εβ.␈α↓8␈α␈88␈↓ ∧D␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧x␈εβ=␈↓ ¬%␈εβ1␈↓ ¬6␈εβ8.␈↓ εβ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε6␈εβ=␈↓ εd␈εβ1␈↓ εu␈εβ8␈↓ π→␈εβ.␈↓ πU␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ	␈εβ=␈↓ λ7␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λj␈εβ=␈↓ 	_␈εβ1␈↓ 	)␈εβ8␈↓ 
␈εβ.␈↓ 
H␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
|␈εβha␈α␈s
␈ββg␈↓ ¬T␈εε7␈α␈77␈↓ π	␈εε7␈↓ π&␈εε666␈↓ 	=␈εε76␈α␈54␈α␈32␈↓ 
→␈εε111
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ine␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s.␈α∩(b)␈αλA␈αλ\␈↓ ∧e␈ε	D␈↓ ∧}␈εβ-frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n"␈αλ.␈↓ ε≤␈ε	a␈↓ ε8␈ε	a␈↓ εZ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π	␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αλlies␈αλbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈ε↔␈αλ␈␈εβ1/9␈απand␈απ+␈α↓7␈α␈1/9␈α␈.
␈β∧	␈↓ ε+␈εε1␈↓ εG␈εε2
␈β∧"␈↓ ∞␈εk
␈β∧&␈↓ ↓H␈εβS␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈↓ αG␈ε	x␈↓ α`␈εβhas␈αλten␈αλo␈α␈r␈α	mo␈α␈re␈↓ ∧F␈ε	D␈↓ ∧←␈εβ-␈α↓d␈α␈ecima␈α␈l␈α	rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s.␈αTh␈α␈en␈αλfor␈αλsu}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈αλlarge␈↓ 
J␈ε	k␈↓ 
Z␈εβ,␈α
1␈↓ 
⎇␈εβ0␈↓ ≠␈ε	x
␈β∧J␈↓ 	D␈εk
␈β∧N␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αte␈α␈n␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈αth␈α␈at␈αd␈α␈i␈α↓{er␈αt␈α␈o␈αth␈α␈e␈αleft␈αof␈αth␈α␈e␈αd␈α␈ecimal␈αp␈α␈oin␈α␈t:␈α
1␈↓ 	3␈εβ0␈↓ 	Q␈ε	x␈↓ 	m␈εβ=␈↓ 
→␈ε	n␈↓ 
A␈εβ+␈↓ 
j␈ε	f␈↓ ␈εβ=
␈β∧X␈↓ 
,␈εε1␈↓ 
t␈εε1
␈β∧u␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓x␈εβ=␈↓ α"␈ε	n␈↓ αU␈εβ+␈↓ α⎇␈ε	f␈↓ β+␈εβwh␈α␈ere␈α
each␈↓ ∧V␈ε	f␈↓ ∧v␈εβi␈α↓s␈α
a␈↓ ¬2␈ε	D␈↓ ¬K␈εβ-fraction␈α␈.␈αBy␈α
un␈α␈i␈α↓q␈α␈uen␈α␈ess␈α
of␈αin␈α}teger␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s,
␈β¬␈↓ α5␈εε10␈↓ βπ␈εε10␈↓ ∧`␈εj
␈β¬≥␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α␈ε	n␈↓ α(␈εβare␈α	distinct,␈α
sa␈α␈y␈↓ ∧_␈ε	n␈↓ ∧A␈εβ<␈↓ ∧l␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≤␈εβ<␈↓ ¬G␈ε	n␈↓ ¬s␈εβ,␈α
he␈α␈nce␈↓ εa␈ε	n␈↓ π∪␈ε↔␈␈↓ π:␈ε	n␈↓ πc␈ε↔∃␈εβ␈α	9;␈α
bu␈α␈t␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	implies␈↓ 
≤␈ε	f␈↓ 
8␈ε↔␈␈↓ 
←␈ε	f␈↓ ␈ε↔∃
␈β¬(␈↓ α∪␈εj␈↓ ∧,␈εε1␈↓ ¬Z␈εε1␈α␈0␈↓ εt␈εε10␈↓ πM␈εε1␈↓ 
&␈εε1␈↓ 
i␈εε1␈α␈0
␈β¬E␈↓ ↓H␈εβ9␈α>␈α∞7␈α␈1/9␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α
(␈ε↔␈␈εβ1/␈α␈9),␈α∞a␈α
con␈α}trad␈α␈i␈α↓c␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α≡(c)␈α
An␈α␈y␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
the␈α
form␈α
0.␈↓ 	V␈ε	a␈↓ 	r␈ε	a␈↓ 
∀␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
@␈εβ,␈α∞where
␈β¬O␈↓ 	e␈εε1␈↓ 
α␈εε2
␈β¬h␈↓ ∧f␈∧¬h∧fα⊃␈↓ ¬⊃␈ε~0␈↓ ¬.␈ε~0␈↓ εj␈ε~0
␈β¬l␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α↔␈ε	a␈↓ αB␈εβis␈ε↔␈α∂␈␈εβ␈α↓1␈α∞or␈α∂8␈α␈,␈α⊃e␈α␈qua␈α␈l␈α↓s␈↓ ∧f␈εβ1␈↓ ∧w␈εβ.␈↓ ¬␈ε	a␈↓ ¬≥␈ε	a␈↓ ¬@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬v␈εβwh␈α␈ere␈↓ εZ␈ε	a␈↓ πε␈εβ=␈↓ π7␈ε	a␈↓ π]␈εβ+␈α
9␈α∂(an␈α␈d␈α∂it␈α∂ev␈α}en␈α∞has␈α∂six␈ε⊂␈α∞more
␈β¬w␈↓ α'␈εj␈↓ πG␈εj
␈β¬{␈↓ ¬⊃␈εε1␈↓ ¬.␈εε2␈↓ εj␈εj
␈βε∀␈↓ βi␈ε~00␈↓ ∧ε␈ε~00
␈βε∃␈↓ β.␈∧ε∃β.α⊃
␈βε_␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈↓ β.␈εβ1␈↓ β?␈εβ8␈α␈.␈↓ βY␈ε	a␈↓ βv␈ε	a␈↓ ∧_␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧E␈εβ,␈αetc␈α␈.␈α↓).
␈βε(␈↓ βi␈εε1␈↓ ∧ε␈εε2
␈βεN␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβWe␈α
can␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α}ert␈α
to␈α
such␈α	a␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
by␈α	using␈α
a␈α
m␈α␈etho␈α␈d␈α
li␈α↓k␈α}e␈α
tha␈α␈t␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈α
in
␈βεv␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtest␈αfo␈α␈r␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}erting␈α
to␈αba␈α␈lanc␈α␈ed␈αter␈α␈nary␈α␈.
␈βπ∨␈↓ α␈εβIn␈α∂co␈α␈n␈α␈trast␈α∂to␈α∂th␈α␈e␈α⊂s␈α␈ystem␈α␈s␈α⊂o␈α␈f␈α⊂ex␈α}ercise␈α∂20,␈α⊂zero␈α∂ca␈α␈n␈α∂be␈α∂rep␈α␈resen␈α}ted␈α∂in␈α∂in|␈α␈nitely
␈βπ(␈↓ ¬\␈ε↓P
␈βπB␈↓ πN␈ε~␈␈↓ πg␈εk
␈βπC␈↓ ¬_␈εε1␈↓ εv␈εε1
␈βπF␈↓ ↓H␈εβm␈α␈an␈α␈y␈α
way␈α␈s,␈α∂a␈α␈l␈α↓l␈α
obta␈α␈ined␈α
from␈↓ ¬1␈εβ+␈↓ ε5␈εβ(␈ε↔␈␈εβ4␈↓ πε␈εβ)␈ε↔␈α	↓␈εβ␈α	1␈↓ π=␈εβ0␈↓ λα␈εβ(or␈α
from␈α
the␈α
neg␈α␈ativ␈α␈e␈α
of␈α∞th␈α␈is
␈βπT␈↓ ¬_␈∧πT¬_α
␈↓ εv␈∧πTεvα
␈βπV␈↓ ¬_␈εε2␈↓ εv␈εε2
␈βπY␈↓ εα␈εk␈↓ ε∂␈ε~∃␈εε1
␈βπr␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n)␈αby␈αm␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αit␈αby␈αa␈αpo␈α␈w␈α␈e␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
t␈α␈en.␈α∞The␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈αof␈αun␈α␈ity␈αare
␈βλ⊗␈↓ ↓\␈εε1␈↓ α ␈εε1␈↓ αI␈εε1␈↓ β
␈εε1␈↓ ∧π␈εε1␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ¬E␈εε1␈↓ ε
␈εε1␈↓ πf␈εε1␈↓ λ*␈εε1␈↓ 
ε␈εε1␈↓ 
K␈εε1
␈βλ→␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ ↓t␈ε↔␈␈↓ α1␈εβ,␈↓ αa␈εβ+␈↓ β≥␈εβ,␈α5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ3␈↓ ∧∨␈ε↔␈␈↓ ∧\␈εβ,␈α5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ4␈↓ ¬]␈εβ+␈↓ ε~␈εβ,␈α50␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ45␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ3␈↓ π}␈ε↔␈␈↓ λ:␈εβ,␈α50␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ45␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ4␈↓ 
≡␈εβ+␈↓ 
[␈εβ,␈αetc.,
␈βλ(␈↓ ↓\␈∧λ(↓\α
␈↓ α ␈∧λ(α α
␈↓ αI␈∧λ(αIα
␈↓ β
␈∧λ(β
α
␈↓ ∧π␈∧λ(∧πα
␈↓ ∧K␈∧λ(∧Kα
␈↓ ¬E␈∧λ(¬Eα
␈↓ ε
␈∧λ(ε
α
␈↓ πf␈∧λ(πfα
␈↓ λ*␈∧λ(λ*α
␈↓ 
ε␈∧λ(
εα
␈↓ 
K␈∧λ(
Kα
␈βλ*␈↓ ↓\␈εε2␈↓ α ␈εε2␈↓ αI␈εε2␈↓ β
␈εε2␈↓ ∧π␈εε2␈↓ ∧K␈εε2␈↓ ¬E␈εε2␈↓ ε
␈εε2␈↓ πf␈εε2␈↓ λ*␈εε2␈↓ 
ε␈εε2␈↓ 
K␈εε2
␈βλ=␈↓ ∧→␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬⊃␈ε~␈␈εε2
␈βλ>␈↓ αM␈εε1␈↓ βR␈εε1
␈βλA␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈ε↔␈αε␈↓ αf␈εβ=␈α
(␈ε↔ε␈εβ4␈↓ βb␈εβ)(1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧G␈εβ+␈απ1␈↓ ¬␈εβ0␈↓ ¬>␈εβ+␈↓ ¬g␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε∪␈εβ).␈α[␈ε⊂␈α↓AM␈α␈M␈ε∪␈α57␈εβ␈α
(␈α↓1␈α␈95␈α␈0),␈α9␈α␈0↑9␈α␈3.]
␈βλO␈↓ αM␈∧λOαMα
␈↓ βR␈∧λOβRα
␈βλQ␈↓ αM␈εε2␈↓ βR␈εε2
␈βλY␈↓ π\␈ε↓P
␈βλs␈↓ 	≡␈εk␈↓ 
R␈ε~␈␈↓ 
l␈εt
␈βλw␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈α∞so␈α␈me␈α∞ap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imation␈↓ ¬*␈ε	b␈↓ ¬L␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬x␈ε	b␈↓ ε⊃␈ε	b␈↓ ε8␈εβwith␈α∞erro␈α␈r␈↓ λd␈ε	b␈↓ λ⎇␈εβ1␈↓ 	∞␈εβ0␈↓ 	5␈ε↔␈␈↓ 	`␈ε	x␈↓ 
↓␈εβ>␈α∂1␈↓ 
B␈εβ0␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β	α␈↓ ¬6␈εn␈↓ ε∧␈εε1␈↓ ε≥␈εε0␈↓ λp␈εk
␈β	
␈↓ λα␈εε0␈ε~∀␈↓ λ(␈εk␈↓ λ5␈ε~∀␈↓ λN␈εn
␈β	∨␈↓ 	↓␈ε~␈␈↓ 	~␈εt
␈β	#␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈εβ>␈α
0␈α␈,␈αw␈α␈e␈αwill␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αho␈α}w␈αto␈α
redu␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αerror␈αb␈α␈y␈αap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈α
1␈↓ λp␈εβ0␈↓ 	#␈εβ.␈α(The␈αp␈α␈roce␈α␈ss␈αcan
␈β	-␈↓ ¬⊗␈ε↓P
␈β	G␈↓ εY␈εk
␈β	K␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α
starte␈α␈d␈α
by␈α	|n␈α␈ding␈α	a␈α
suitab␈α␈le␈↓ ε≡␈ε	b␈↓ ε8␈εβ1␈↓ εH␈εβ0␈↓ εo␈εβ>␈↓ π~␈ε	x␈↓ π+␈εβ;␈αthe␈α␈n␈α
a␈α
|n␈α␈ite␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αre␈α␈du␈α␈ction␈α␈s
␈β	U␈↓ ε+␈εk
␈β	]␈↓ ¬<␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬b␈εk␈↓ ¬o␈ε~∀␈↓ ε	␈εn
␈β	w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αty␈α␈pe␈αwi␈α↓ll␈α
m␈α␈ak␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
e␈α␈rror␈αl␈α↓e␈α␈ss␈α
th␈α␈an␈↓ ε4␈ε	∂␈↓ εA␈εβ.)␈α∂Simp␈α␈l␈α↓y␈αc␈α␈hoo␈α␈se␈↓ λB␈ε	m␈↓ λj␈εβ>␈↓ 	↔␈ε	n␈↓ 	8␈εβso␈αlarg␈α␈e␈α
th␈α␈at␈αthe
␈β
~␈↓ ¬π␈εm␈↓ λ≠␈ε~␈␈↓ λ4␈εt
␈β
≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ecima␈α␈l␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧v␈εβ0␈↓ ¬≡␈ε	␈↓ ¬=␈εβh␈α␈as␈αa␈αon␈α␈e␈αin␈αp␈α␈osition␈α1␈↓ λ
␈εβ0␈↓ λJ␈εβa␈α␈nd␈αno␈αon␈α␈es␈αin␈αp␈α␈osition␈α␈s
␈β
B␈↓ ↓i␈ε~␈␈↓ αα␈εt␈↓ α␈εε+1␈↓ αh␈ε~␈␈↓ β↓␈εt␈↓ β␈εε+2␈↓ ∧(␈εn␈↓ ¬F␈εm␈↓ ∃␈εm
␈β
F␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ ↓X␈εβ0␈↓ α2␈εβ,␈α1␈↓ αW␈εβ0␈↓ β0␈εβ,␈↓ βE␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βr␈εβ,␈α1␈↓ ∧↔␈εβ0␈↓ ∧8␈εβ.␈α
Th␈α␈en␈α1␈↓ ¬6␈εβ0␈↓ ¬↑␈ε	␈↓ ¬x␈εβ+␈αλ(a␈αsu␈α␈i␈α↓t␈α␈able␈αsum␈αof␈αpo␈α}we␈α␈rs␈αo␈α␈f␈α10␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α1␈↓ ∧␈εβ0
␈β
O␈↓ αu␈ε↓P␈↓ ∧y␈ε↓P
␈β
i␈↓ α*␈εn␈↓ ∧8␈εk␈↓ ε;␈εk␈↓ π~␈ε~␈␈↓ π3␈εt
␈β
m␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
1␈↓ α→␈εβ0␈↓ α:␈εβ)␈απ+␈↓ β⎇␈ε	b␈↓ ∧⊗␈εβ1␈↓ ∧'␈εβ0␈↓ ∧N␈ε↔→␈↓ ε↓␈ε	b␈↓ ε~␈εβ1␈↓ ε+␈εβ0␈↓ εP␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ π	␈εβ0␈↓ π=␈εβ.
␈β
x␈↓ ∧	␈εk␈↓ ε
␈εk
␈β␈↓ β≠␈εε0␈ε~∀␈↓ βA␈εk␈↓ βN␈ε~∀␈↓ βg␈εn␈↓ ¬∨␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬E␈εk␈↓ ¬R␈ε~∀␈↓ ¬k␈εn
␈β␈↓ β←␈ε↓P
␈β%␈↓ ∧h␈ε~␈␈↓ ¬↓␈εk
␈β)␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α	set␈↓ β↓␈ε	S␈↓ β∨␈εβ=␈↓ βI␈ε↔f␈↓ ∧>␈ε	a␈↓ ∧[␈ε	b␈↓ ¬_␈ε↔j␈↓ ¬*␈ε	a␈↓ ¬P␈ε↔2␈↓ ¬s␈ε	D␈↓ ε∩␈ε↔g␈↓ ε,␈εβis␈α	closed␈α	a␈α␈s␈α
in␈α	ex␈α}ercise␈α	18,␈α
h␈α␈en␈α␈ce␈α	measu␈α␈rab␈α␈le,
␈β4␈↓ ∧M␈εk␈↓ ¬:␈εk
␈β9␈↓ εr␈ε↓S
␈β<␈↓ ∧¬␈εk␈↓ ∧∪␈ε~∃␈εε1
␈βW␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αλi␈α↓n␈αλfact␈α	it␈α	has␈α	p␈α␈ositiv␈α␈e␈α	me␈α␈asu␈α␈re.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε≥␈ε	b␈↓ ε*␈ε	S␈↓ εH␈εβ=␈↓ πE␈εβ(␈↓ πP␈ε	a␈↓ πf␈εβ+␈↓ λ␈ε	S␈↓ λ ␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	:␈ε	b␈↓ 	G␈ε	⊗␈↓ 	Y␈εβ(␈↓ 	d␈ε	S␈↓ 	y␈εβ)␈α	=␈↓ 
8␈ε	⊗␈↓ 
J␈εβ(␈↓ 
U␈ε	b␈↓ 
b␈ε	S␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∀
␈βg␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ β`␈ε↓P
␈βi␈↓ π⊂␈εa␈↓ π≡␈ε~2␈↓ π1␈εD
␈β↓␈↓ 	␈␈ε~0
␈βα␈↓ λB␈εα(␈↓ 
W␈εα)
␈β¬␈↓ α(␈ε	⊗␈↓ α:␈εβ(␈↓ αE␈ε	a␈↓ α↑␈εβ+␈↓ βλ␈ε	S␈↓ β≤␈εβ)␈α=␈↓ ∧A␈ε	⊗␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	S␈↓ ∧r␈εβ)␈α=␈↓ ¬6␈ε	b␈↓ ¬C␈ε	⊗␈↓ ¬V␈εβ(␈↓ ¬a␈ε	S␈↓ ¬u␈εβ),␈α∞a␈α␈nd␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ λ/␈ε	⊗␈↓ λN␈εβ(␈↓ λY␈ε	a␈↓ λq␈εβ+␈↓ 	≠␈ε	S␈↓ 	0␈εβ)␈ε↔␈αλ\␈εβ␈α	(␈↓ 	o␈ε	a␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
7␈ε	S␈↓ 
L␈εβ)␈↓ 
o␈εβ=␈α0
␈β_␈↓ ↓n␈εa␈↓ ↓{␈ε~2␈↓ α∂␈εD␈↓ ∧ε␈εa␈↓ ∧∪␈ε~2␈↓ ∧'␈εD
␈β-␈↓ αu␈ε~0
␈β1␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	a␈↓ α9␈ε↔≤␈↓ αd␈ε	a␈↓ β¬␈ε↔2␈↓ β)␈ε	D␈↓ βB␈εβ.␈αNo␈α␈w␈↓ ∧$␈ε	T␈↓ ∧G␈εβh␈α␈as␈αmeasu␈α␈re␈αzero␈αsinc␈α␈e␈αit␈αis␈αa␈αu␈α␈nion␈αo␈α␈f␈αco␈α␈un␈α␈ta␈α␈bly␈αma␈α␈n␈α␈y␈αset␈α␈s
␈βT␈↓ β→␈εk␈↓ ¬/␈ε~0␈↓ π¬␈ε~0
␈βU␈↓ β&␈εα(␈↓ ε⊂␈εα)
␈βX␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αform␈α
1␈↓ βλ␈εβ0␈↓ β2␈ε	n␈↓ βM␈εβ+␈αλ((␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧$␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	S␈↓ ∧a␈εβ)␈ε↔␈αλ\␈εβ␈απ(␈↓ ¬≡␈ε	a␈↓ ¬<␈εβ+␈↓ ¬e␈ε	S␈↓ ¬y␈εβ)␈α↓)␈↓ ε≤␈εβ,␈↓ ε0␈ε	a␈↓ εJ␈ε↔≤␈↓ εt␈ε	a␈↓ π␈εβ,␈αeach␈α
of␈αmea␈α␈sure␈αz␈α␈ero.
␈β
↓␈↓ α␈εβ[The␈απse␈α␈t␈↓ β¬␈ε	T␈↓ β$␈εβc␈α␈an␈α␈not␈απb␈α␈e␈απem␈α␈pty␈α␈,␈αλsi␈α↓n␈α␈ce␈απth␈α␈e␈απrea␈α␈l␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απca␈α␈nn␈α␈ot␈απb␈α␈e␈απwritten␈απa␈α␈s␈απa␈απco␈α␈un␈α}tab␈α␈l␈α↓e
␈β
)␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nion␈αλo␈α␈f␈α	disjoin␈α}t,␈α
clo␈α␈sed,␈α	bo␈α␈un␈α␈ded␈αλse␈α␈ts;␈α
cf.␈ε⊂␈α	AMM␈ε∪␈αλ8␈α␈4␈εβ␈α	(19␈α␈77␈α␈)␈α↓,␈α	82␈α␈7↑8␈α␈28.␈α
If␈↓ 	?␈ε	D␈↓ 	a␈εβh␈α␈as␈αλl␈α↓e␈α␈ss␈α	th␈α␈an␈↓ ∨␈ε	b
␈β
P␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ts,␈α
the␈α
se␈α␈t␈αo␈α␈f␈αn␈α}um␈α}bers␈α
rep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e␈α
with␈α
ra␈α␈dix␈↓ πY␈ε	b␈↓ πp␈εβan␈α␈d␈α
dig␈α␈i␈α↓ts␈α
fro␈α␈m␈↓ 	X␈ε	D␈↓ 	|␈εβh␈α␈as␈α
mea␈α␈sure
␈β
x␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero.␈αIf␈↓ α8␈ε	D␈↓ α]␈εβh␈α␈as␈αmo␈α␈re␈αtha␈α␈n␈↓ ∧9␈ε	b␈↓ ∧Q␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts␈αan␈α␈d␈αrep␈α␈resen␈α}ts␈αall␈αreals,␈↓ λ;␈ε	T␈↓ λ↑␈εβh␈α␈as␈αin|␈α␈nite␈αm␈α␈easu␈α␈re.]
␈β∞*␈↓ αw␈εk␈↓ β@␈ε~0␈↓ ¬←␈ε~0␈↓ π'␈ε~0␈↓ πa␈εk␈↓ 
B␈ε~0
␈β∞.␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈ε↔f␈↓ α"␈εβ2␈↓ α3␈ε	a␈↓ αH␈ε↔↓␈εβ␈α¬1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β	␈εβ+␈↓ β/␈ε	a␈↓ βO␈ε↔j␈εβ␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧&␈ε	a␈↓ ∧@␈εβ<␈α	5,␈αε0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬N␈ε	a␈↓ ¬n␈εβ<␈α
2␈↓ ε/␈ε↔g␈↓ εI␈εβo␈α␈r␈↓ εp␈ε↔f␈↓ πε␈εβ5␈↓ π⊗␈ε	a␈↓ π2␈ε↔↓␈εβ␈α¬1␈↓ πP␈εβ0␈↓ πs␈εβ+␈↓ λ→␈ε	a␈↓ λ3␈ε↔j␈εβ␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	
␈ε	a␈↓ 	#␈εβ<␈α
5,␈α¬0␈ε↔␈α	∀␈↓ 
2␈ε	a␈↓ 
R␈εβ<␈α	2␈↓ ∪␈ε↔g␈↓ #␈εβ,
␈β∞U␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓␈␈ε	k␈↓ α∨␈ε↔∃␈εβ␈α⊂0.␈α↔[R.␈α⊂L.␈α∂Grah␈α␈am␈α∂a␈α␈nd␈α∞D.␈α∂W␈α↓.␈α∂M␈α␈atula␈α∞hav␈α}e␈α∂sh␈α␈o␈α␈wn␈α∂th␈α␈at␈α∂th␈α␈ere␈α∂a␈α␈re␈α∂no␈α∞more
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβse␈α␈ts␈αof␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α
d␈α␈igits␈αwi␈α↓th␈αthe␈α␈se␈αpro␈α␈perties.␈α∞And␈αAnd␈α␈rew␈αOdlyz␈α␈k␈α␈o␈αh␈α␈as␈αsho␈α}wn␈αth␈α␈at␈αthe
␈β∂%␈↓ ↓H␈εβre␈α␈striction␈αto␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αi␈α↓s␈αsu␈α␈pe␈α␈r⎇o␈α␈us,␈αin␈αth␈α␈e␈αsense␈α
tha␈α␈t␈αif␈αth␈α␈e␈αsmallest␈αt␈α␈w␈α␈o␈αe␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ ∪␈ε	D
␈β∂.␈↓ λu␈ε↓P
␈β∂H␈↓ 	}␈εk
␈β∂L␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
0␈α
an␈α␈d␈α
1␈α␈,␈α∞all␈α∞th␈α␈e␈α
d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈α
m␈α}ust␈α
b␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs.␈ε⊂␈α≡Proo␈α␈f:␈εβ␈α⊂Let␈↓ λ⊂␈ε	S␈↓ λ1␈εβ=␈↓ λ←␈ε↔f␈↓ 	T␈ε	a␈↓ 	p␈ε	b␈↓ 
↔␈ε↔j␈↓ 
-␈ε	a␈↓ 
W␈ε↔2␈↓ 
⎇␈ε	D␈↓ ≤␈ε↔g
␈β∂W␈↓ 	c␈εk␈↓ 
=␈εk
␈β∂\␈↓ π
␈ε↓S
␈β∂←␈↓ 	≠␈εk␈↓ 	(␈εε<␈α↓0
␈β∂v␈↓ 
U␈ε~0
␈β∂z␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	X␈↓ α0␈εβ=␈↓ α\␈ε↔f␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε	a␈↓ β"␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βO␈ε	a␈↓ βk␈εβ)␈↓ ∧␈ε↔j␈↓ ∧ ␈ε	a␈↓ ∧G␈ε↔2␈↓ ∧l␈ε	D␈↓ ¬␈ε↔g␈↓ ¬≠␈εβ;␈α
th␈α␈en␈α[0,␈ε↔␈α¬1␈εβ␈α↓)␈α=␈↓ π←␈εβ(␈↓ πj␈ε	x␈↓ λβ␈εβ+␈↓ λ-␈ε	S␈↓ λA␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈α(␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	H␈εβ+␈↓ 	q␈ε	S␈↓ 
ε␈εβ)␈ε↔␈αλ\␈εβ␈αλ(␈↓ 
D␈ε	x␈↓ 
d␈εβ+␈↓ 
␈ε	S␈↓ !␈εβ)
␈β⊂∧␈↓ β␈εn␈↓ β↑␈εε0␈↓ βv␈εb␈↓ ∧/␈εk
␈β⊂␈↓ π(␈εx␈↓ π6␈ε~2␈↓ πJ␈εX
␈β⊂!␈↓ ∧j␈ε~0
␈β⊂%␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α∞m␈α␈easu␈α␈re␈α∞zer␈α␈o␈α∞for␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧)␈ε↔≤␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ∧}␈ε↔2␈↓ ¬&␈ε	X␈↓ ¬A␈εβ.␈α∀We␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α
(0,␈αε1␈α␈)␈ε↔␈α∂∩␈↓ πq␈ε	S␈↓ λ¬␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞b␈α␈y␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α
on␈↓ 
[␈ε	m␈↓ π␈εβw␈α␈e
␈β⊂M␈↓ ↓H␈εβwill␈α∞pro␈α}v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈α∞(␈↓ β<␈ε	m␈↓ βY␈εβ,␈↓ βh␈ε	m␈↓ ∧∂␈εβ+␈α	1)␈ε↔␈α
∩␈↓ ¬⊃␈ε	x␈↓ ¬A␈εβ+␈↓ ¬l␈ε	S␈↓ ε∞␈εβfo␈α␈r␈α∞som␈α␈e␈↓ π~␈ε	x␈↓ πN␈ε↔2␈↓ πv␈ε	X␈↓ λ⊃␈εβ.␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ λm␈ε	x␈↓ 	!␈ε↔2␈↓ 	I␈ε	X␈↓ 	r␈εβb␈α␈e␈α∞su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈β⊂X␈↓ ¬!␈εm␈↓ π)␈εm␈↓ λ|␈εm
␈β⊂u␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	m␈↓ ↓p␈εβ,␈↓ ↓␈␈ε	m␈↓ α&␈εβ+␈↓ αQ␈ε	∂␈↓ α]␈εβ)␈ε↔␈α
\␈εβ␈α
(␈↓ β∨␈ε	x␈↓ βO␈εβ+␈↓ βz␈ε	S␈↓ ∧∞␈εβ)␈α∂h␈α␈as␈α∞pos␈α␈i␈α↓tiv␈α␈e␈α∞m␈α␈easu␈α␈re␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∂a␈α␈ll␈↓ πR␈ε	∂␈↓ πn␈εβ>␈α∂0␈α␈.␈α∃Then␈↓ 	'␈ε	x␈↓ 	\␈ε↔∀␈↓ 
␈ε	m␈↓ 
)␈εβ,␈α⊂a␈α␈nd␈↓ ε␈ε	x
␈β⊂␈␈↓ β.␈εm␈↓ 	6␈εm␈↓ ∃␈εm
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αan␈αin␈α}teger␈αlest␈↓ ∧%␈ε	x␈↓ ∧s␈εβ+␈↓ ¬≤␈ε	S␈↓ ¬<␈εβo␈α␈v␈α␈erla␈α␈p␈↓ ε2␈ε	x␈↓ εa␈εβ+␈↓ π
␈ε	S␈↓ π+␈εβto␈α␈o␈αm␈α␈u␈α␈ch.␈α∞If␈↓ λm␈ε	x␈↓ 	∨␈εβ>␈α0,␈αthe␈αfac␈α␈t␈αtha␈α␈t
␈β⊃'␈↓ εA␈εm␈↓ λ⎇␈εm
␈β⊃(␈↓ ∧4␈ε~b␈↓ ∧>␈εx␈↓ ∧a␈ε~c
␈β⊃.␈↓ ∧K␈ε
m
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα648␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}4.1
␈βα*␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	m␈↓ ↓v␈ε↔␈␈↓ α≤␈ε	x␈↓ αC␈εβ,␈↓ αR␈ε	m␈↓ αu␈ε↔␈␈↓ β≤␈ε	x␈↓ βH␈εβ+␈αε1␈α␈)␈ε↔␈αε\␈↓ ∧.␈ε	S␈↓ ∧L␈εβh␈α␈as␈α	positiv␈α␈e␈α	mea␈α␈sure␈α	implies␈α
b␈α␈y␈α	i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α	th␈α␈at␈α
th␈α␈is␈α
mea␈α␈sure
␈βα5␈↓ α,␈εm␈↓ β+␈εm
␈βαR␈↓ ↓H␈εβis␈α1,␈αan␈α␈d␈α(␈↓ α]␈ε	m␈↓ αz␈εβ,␈↓ β	␈ε	m␈↓ β.␈εβ+␈α	1␈α␈)␈ε↔␈α∩␈↓ ∧*␈ε	x␈↓ ∧Y␈εβ+␈↓ ¬α␈ε	S␈↓ ¬#␈εβsin␈α␈ce␈↓ ¬u␈ε	S␈↓ ε⊗␈εβis␈αclo␈α␈sed.␈α∞If␈↓ πH␈ε	x␈↓ πz␈εβ=␈α0␈αand␈α(␈↓ 	∂␈ε	m␈↓ 	,␈εβ,␈↓ 	;␈ε	m␈↓ 	a␈εβ+␈αλ1)␈ε↔␈α
@∩␈↓ 
]␈ε	S␈↓ 
q␈εβ,␈α
w␈α␈e
␈βα\␈↓ ∧:␈εm␈↓ πX␈εm
␈βαu␈↓ βQ␈ε~0␈↓ ε%␈ε~0␈↓ λG␈ε~0
␈βαy␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ αk␈ε	m␈↓ β∪␈εβ<␈↓ β?␈ε	x␈↓ βs␈εβ<␈↓ ∧∨␈ε	m␈↓ ∧D␈εβ+␈α	1␈αfo␈α␈r␈αsome␈↓ ε∀␈ε	x␈↓ εG␈ε↔2␈↓ εl␈ε	X␈↓ πλ␈εβ,␈αwhere␈α(␈↓ λ
␈ε	m␈↓ λ'␈εβ,␈↓ λ6␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ)␈ε↔␈α∩␈↓ 	!␈ε	S␈↓ 	5␈εβ;␈α
b␈α␈ut␈αth␈α␈en␈α1␈αλ+␈↓ _␈ε	S
␈ββλ␈↓ βQ␈εm␈↓ ε%␈εm␈↓ λG␈εm
␈ββ≥␈↓ α[␈ε~0
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈erlap␈α␈s␈↓ αI␈ε	x␈↓ αy␈εβ+␈↓ β"␈ε	S␈↓ β6␈εβ.␈α↓]
␈ββ0␈↓ α[␈εm
␈ββI␈↓ α␈εβ[If␈απw␈α␈e␈απd␈α␈rop␈αεth␈α␈e␈απres␈α␈tri␈α↓c␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αε0␈ε↔␈α	2␈↓ ¬4␈ε	D␈↓ ¬M␈εβ,␈αλthe␈α␈re␈ε⊂␈απar␈α␈e␈εβ␈απma␈α␈n␈α␈y␈αεoth␈α␈er␈αεcases,␈απsome␈αεof␈απwh␈α␈ich␈αεare␈αεqu␈α␈i␈α↓te
␈ββp␈↓ ↓H␈εβin␈α}teresting␈α␈,␈α∞espe␈α␈ci␈α↓a␈α␈ll␈α↓y␈α
t␈α␈he␈α
sets␈ε↔␈α
f␈εβ1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈αε5␈α␈,␈αε6,␈α¬7,␈αε8,␈α¬9,␈αε1␈α␈0␈ε↔g␈εβ,␈ε↔␈α∞f␈εβ1␈α␈,␈αε2,␈α¬3,␈αε4,␈α¬5,␈αε5␈α␈1,␈αε52␈α␈,␈αε53␈α␈,␈αε54␈α␈,␈αε55␈ε↔g␈εβ␈α␈,
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈αf␈εβ2␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈,␈αε5,␈α¬6,␈αε52␈α␈,␈αε53␈α␈,␈αε54␈α␈,␈αε55,␈α¬56␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α⊃Altern␈α␈ativ␈α}ely␈α
if␈α
w␈α␈e␈αall␈α↓o␈α}w␈α
ne␈α␈gativ␈α}e␈α
dig␈α␈i␈α↓ts␈αw␈α␈e␈α
ob␈α␈tain
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβm␈α␈an␈α␈y␈α
oth␈α␈er␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α
by␈α
the␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αo␈α␈f␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α19,␈αp␈α␈lus␈αfu␈α␈rther␈αse␈α␈ts␈αli␈α↓k␈α}e␈ε↔␈αf␈␈εβ1,␈α0␈α␈,␈α1␈α␈,␈α2␈α␈,
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈,␈α4,␈α5,␈α6,␈α7,␈α1␈α␈8␈ε↔g␈εβ␈αwhich␈αd␈α␈on't␈αmeet␈αthe␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈αo␈α␈f␈αth␈α␈at␈αe␈α␈x␈α␈ercise;␈αit␈αapp␈α␈ears␈αho␈α␈pe␈α␈l␈α↓es␈α␈s
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβto␈α
|n␈α␈d␈αa␈αn␈α␈ice␈αch␈α␈arac␈α␈terization␈α
of␈αall␈αsolution␈α␈s␈αwith␈αne␈α␈gativ␈α}e␈αdigits.]
␈β¬>␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβA␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αwh␈α␈ose␈α
ba␈α␈se␈↓ ¬M␈ε	b␈↓ ¬e␈εβrep␈α␈resen␈α}tation␈α
ha␈α␈s␈↓ πy␈ε	m␈↓ λ!␈εβcon␈α␈secu␈α␈tiv␈α␈e␈α
(␈↓ 	]␈ε	b␈↓ 	q␈ε↔␈␈εβ␈απ1)'s␈αto␈α
the
␈β¬a␈↓ π=␈εn␈↓ λ~␈εm␈↓ 	≡␈εn␈↓ 	.␈εε+␈↓ 	G␈εm
␈β¬e␈↓ ↓H␈εβrig␈α␈h␈α␈t␈α∂o␈α␈f␈α∂the␈α∞d␈α␈ecimal␈α∂p␈α␈oin␈α␈t␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∞the␈α∞form␈↓ π∩␈ε	c␈↓ π∨␈εβ/␈↓ π0␈ε	b␈↓ πW␈εβ+␈α
(␈↓ λ
␈ε	b␈↓ λ<␈ε↔␈␈↓ λg␈ε	∩␈↓ λu␈εβ)/␈↓ 	⊃␈ε	b␈↓ 	←␈εβ,␈α∂where␈↓ 
[␈ε	c␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βε
␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓k␈εβa␈α␈re␈α∂no␈α␈nn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈α∂in␈α␈te␈α␈gers␈α∂a␈α␈nd␈α∞0␈α⊂<␈↓ ¬y␈ε	∩␈↓ ε↔␈ε↔∀␈εβ␈α⊂1␈α␈.␈α↔So␈α∞i␈α↓f␈↓ πN␈ε	u␈↓ πb␈εβ/␈↓ πr␈ε	v␈↓ λ∪␈εβh␈α␈as␈α∂th␈α␈is␈α∂form,␈α⊂w␈α␈e␈α∂|␈α␈nd␈α∞tha␈α␈t
␈βε0␈↓ ↓U␈εm␈↓ ↓l␈εε+␈↓ α¬␈εn␈↓ αp␈εm␈↓ βf␈εm␈↓ 
F␈εm
␈βε4␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α⊗␈ε	u␈↓ α6␈εβ=␈↓ αc␈ε	b␈↓ βλ␈ε	c␈↓ β∃␈ε	v␈↓ β.␈εβ+␈↓ βX␈ε	b␈↓ β⎇␈ε	v␈↓ ∧↔␈ε↔␈␈↓ ∧A␈ε	∩␈↓ ∧O␈ε	v␈↓ ∧`␈εβ.␈α⊃Th␈α␈erefo␈α␈re␈↓ ε∪␈ε	∩␈↓ ε!␈ε	v␈↓ ε?␈εβi␈α↓s␈αan␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
th␈α␈at␈α
is␈α
a␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 
9␈ε	b␈↓ 
]␈εβ.␈α⊃Bu␈α␈t
␈βεX␈↓ βC␈εm
␈βεY␈↓ βt␈εα(
␈βε\␈↓ ↓H␈εβ0␈α<␈↓ α∩␈ε	∩␈↓ α ␈ε	v␈↓ α>␈ε↔∀␈↓ αk␈ε	v␈↓ βλ␈εβ<␈↓ β6␈ε	b␈↓ βZ␈εβ.␈↓ ∧␈εβTh␈α␈ere␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈rbitrarily␈αl␈α↓o␈α␈ng␈αrun␈α␈s␈α
of␈α
o␈α␈the␈α␈r␈α
digits␈↓ 	e␈ε	a␈↓ 	u␈ε	a␈↓ 
¬␈ε	a␈↓ 
⊗␈ε	a␈↓ 
&␈ε	a␈↓ 
7␈εβ,␈α
if␈α
0␈ε↔␈α∀
␈βπ↓␈↓ λ∀␈εα)
␈βπ∧␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓a␈εβ<␈↓ α␈ε	b␈↓ α ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αfor␈αex␈α␈amp␈α␈le␈αi␈α↓n␈α
the␈αr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ πε␈ε	a␈↓ π⊗␈εβ/(␈↓ π2␈ε	b␈↓ πG␈ε↔␈␈εβ␈απ1).
␈βπ2␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβThe␈αλproo␈α␈f␈α	of␈α	\su␈α␈}cien␈α␈cy"␈αλi␈α↓s␈α	a␈αλstraigh␈α}tforward␈αλgen␈α␈era␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	u␈α␈sual␈α	p␈α␈roof␈α	fo␈α␈r
␈βπZ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ase␈↓ α∂␈ε	b␈↓ α≤␈εβ,␈α	b␈α␈y␈αλsuc␈α␈cessiv␈α␈ely␈απcon␈α␈structin␈α␈g␈αλthe␈αλd␈α␈esired␈απrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α
The␈αλp␈α␈roo␈α␈f␈α	o␈α␈f␈α	\␈α␈nec␈α␈essity"
␈βπd␈↓ ε{␈ε↓P
␈βλα␈↓ ↓H␈εβb␈α␈reak␈α␈s␈α
i␈α↓n␈α}to␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
pa␈α␈rts:␈α⊂If␈↓ ∧@␈ε	␈␈↓ ¬∀␈εβis␈α∞g␈α␈reater␈α
th␈α␈an␈↓ π]␈ε	c␈↓ πv␈ε	␈␈↓ λ!␈εβfor␈α
some␈↓ 	-␈ε	n␈↓ 	A␈εβ,␈α∞th␈α␈en␈↓ 
&␈ε	␈␈↓ 
u␈ε↔␈␈↓ ∨␈ε	∂
␈βλ␈↓ ∧Q␈εn␈↓ ∧a␈εε+1␈↓ πi␈εk␈↓ λπ␈εk␈↓ 
6␈εn␈↓ 
G␈εε+1
␈βλ⊃␈↓ εr␈ε↓P
␈βλ∀␈↓ π!␈εk␈↓ π.␈ε~∀␈↓ πG␈εn
␈βλ/␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α
no␈α
rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α
for␈α∞s␈α␈mall␈↓ ¬"␈ε	∂␈↓ ¬/␈εβ.␈α∪If␈↓ ¬o␈ε	␈␈↓ εC␈ε↔∀␈↓ πT␈ε	c␈↓ πm␈ε	␈␈↓ λ→␈εβfor␈α
all␈↓ 	␈ε	n␈↓ 	∀␈εβ,␈α∂b␈α␈ut␈α
equ␈α␈ality␈α∞d␈α␈oe␈α␈s
␈βλ:␈↓ ε␈εn␈↓ ε⊂␈εε+1␈↓ π`␈εk␈↓ π}␈εk
␈βλB␈↓ π_␈εk␈↓ π%␈ε~∀␈↓ π>␈εn
␈βλ[␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈α∞a␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α∞h␈α␈old␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α∞ca␈α␈n␈α∞sh␈α␈o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∞th␈α␈ere␈α∞a␈α␈re␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈α∞fo␈α␈r␈α∞certa␈α␈i␈α↓n␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
V␈εβ.␈α∀[See
␈β	α␈↓ ↓H␈ε⊂Tra␈α␈nsa␈α␈ctions␈αo␈α␈f␈αthe␈αRo␈α}yal␈αS␈α␈ociety␈αo␈α␈f␈αCan␈α␈ada␈εβ␈α␈,␈αse␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈αII␈α↓I,␈ε∪␈α46␈εβ␈α
(␈α↓1␈α␈95␈α␈2),␈α4␈α␈5↑5␈α␈5.]
␈β	1␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβProof␈α
by␈α	i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α
o␈α␈n␈ε↔␈α
j␈↓ ∧]␈ε	n␈↓ ∧q␈ε↔j␈εβ␈α↓:␈αIf␈↓ ¬/␈ε	n␈↓ ¬N␈εβis␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
tak␈α}e␈↓ λ∧␈ε	e␈↓ λ&␈εβ>␈α
0␈α␈,␈αan␈α␈d␈α
the␈α
re␈α␈sult␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws
␈β	<␈↓ λ⊂␈εε0
␈β	Y␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α
ind␈α␈uctio␈α␈n,␈α∞since␈↓ βn␈ε	n␈↓ ∧α␈εβ/␈α␈2␈α
has␈α
a␈α
u␈α␈niqu␈α␈e␈α∞su␈α␈ch␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n.␈α∩If␈↓ λU␈ε	n␈↓ λv␈εβis␈α∞o␈α␈dd␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
tak␈α␈e
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε	e␈↓ ↓k␈εβ=␈α
0,␈αan␈α␈d␈αthe␈αprob␈α␈lem␈αr␈α␈edu␈α␈ces␈αto␈αrep␈α␈resen␈α}ting␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓(␈↓ πC␈ε	n␈↓ π←␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)/2;␈αif␈αthe␈αlatter␈αqua␈α␈n␈α␈tity␈αis
␈β
␈↓ ↓T␈εε0
␈β
(␈↓ ↓H␈εβe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈α	ze␈α␈ro␈α	or␈α	o␈α␈ne,␈α	ther␈α␈e␈α	i␈α↓s␈αλobv␈α␈iou␈α␈sl␈α↓y␈αλon␈α␈l␈α↓y␈αλon␈α␈e␈α	way␈αλto␈α	p␈α␈roce␈α␈ed,␈α	othe␈α␈rwi␈α↓se␈αλi␈α↓t␈α	h␈α␈as␈α	a␈αλun␈α␈ique
␈β
P␈↓ ↓H␈εβre␈α␈v␈α␈ersin␈α␈g␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction.
␈β
w␈↓ α␈εβ[It␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
tha␈α␈t␈α∞e␈α␈v␈α␈ery␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
ha␈α␈s␈α∞ex␈α␈actly␈ε⊂␈α
t␈α␈w␈α␈o␈εβ␈α
su␈α␈ch␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α∞with
␈β∨␈↓ ↓H␈ε⊂d␈α␈ecre␈α␈asing␈εβ␈αe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts␈↓ ∧¬␈ε	e␈↓ ∧'␈εβ>␈↓ ∧Q␈ε	e␈↓ ∧s␈εβ>␈↓ ¬≡␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬N␈εβ>␈↓ ¬x␈ε	e␈↓ ε∞␈εβ:␈αone␈α
w␈α↓ith␈↓ π+␈ε	t␈↓ πB␈εβev␈α␈en␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αwith␈↓ 
,␈ε	t␈↓ 
C␈εβod␈α␈d.]
␈β*␈↓ ∧⊃␈εε0␈↓ ∧]␈εε1␈↓ ε∧␈εt
␈βN␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβA␈α
p␈α␈roof␈αl␈α↓ik␈α␈e␈αtha␈α␈t␈α
of␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α27␈αmay␈αb␈α␈e␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en.␈α⊂No␈α␈te␈α
th␈α␈at␈↓ λc␈ε	a␈↓ λ|␈εβ+␈↓ 	%␈ε	b␈↓ 	3␈ε	i␈↓ 	L␈εβi␈α↓s␈αa␈α
m␈α}ultiple␈α
o␈α␈f
␈βv␈↓ ↓H␈εβ1␈απ+␈↓ αλ␈ε	i␈↓ α ␈εβby␈α
a␈αcom␈α␈plex␈α
i␈α↓n␈α}teger␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ ε'␈ε	a␈↓ ε?␈εβ+␈↓ εh␈ε	b␈↓ π␈εβis␈αev␈α␈en␈α␈.
␈β%␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβIt␈αsu␈α␈}ces␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αa␈α␈n␈α␈y␈αcollection␈ε↔␈αf␈↓ εT␈ε	T␈↓ εt␈εβ,␈↓ πβ␈ε	T␈↓ π#␈εβ,␈↓ π2␈ε	T␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈ε↔g␈εβ␈αsa␈α␈ti␈α↓s␈α␈f␈α↓y␈α␈ing␈αP␈α↓ro␈α␈pe␈α␈rty␈αB␈αm␈α␈ay
␈β/␈↓ εh␈εε0␈↓ π↔␈εε1␈↓ πF␈εε2
␈βL␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αo␈α␈btain␈α␈ed␈αb␈α␈y␈α
collaps␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αso␈α␈me␈αco␈α␈ll␈α↓ec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε↔␈αf␈↓ ε=␈ε	S␈↓ εZ␈εβ,␈↓ εi␈ε	S␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π∃␈ε	S␈↓ π3␈εβ,␈↓ πA␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πn␈ε↔g␈εβ␈α␈,␈αwh␈α␈ere␈↓ λs␈ε	S␈↓ 	→␈εβ=␈ε↔␈α
f␈εβ␈α␈0,␈αε1␈α␈,␈↓ 
∪␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
@␈εβ,␈↓ 
N␈ε	b␈↓ 
c␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔g
␈βW␈↓ εN␈εε0␈↓ εz␈εε1␈↓ π&␈εε2␈↓ 	β␈εε0
␈βt␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
all␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ βe␈ε	S␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧↔␈ε	S␈↓ ∧4␈εβ,␈↓ ∧I␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧{␈εβa␈α␈re␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αof␈↓ εh␈ε	b␈↓ εv␈εβ.
␈β}␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧(␈εε2
␈β
≠␈↓ α␈εβTo␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α	th␈α␈e␈α	latter␈αλstatem␈α␈en␈α␈t,␈α	w␈α␈e␈α	may␈αλas␈α␈sume␈αλtha␈α␈t␈α	1␈ε↔␈α	2␈↓ λ1␈ε	T␈↓ λZ␈εβan␈α␈d␈α	th␈α␈at␈αλthere␈αλi␈α↓s␈αλa␈α	leas␈α␈t
␈β
&␈↓ λE␈εε0
␈β
C␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈↓ αA␈ε	b␈↓ αW␈εβ>␈α
1␈α	su␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈↓ ∧,␈ε	b␈↓ ∧C␈ε↔3␈↓ ∧f␈ε	T␈↓ ¬ε␈εβ.␈αWe␈α	wi␈α↓ll␈α	pro␈α␈v␈α}e,␈α
b␈α␈y␈α	i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α	o␈α␈n␈↓ λ`␈ε	n␈↓ λt␈εβ,␈α
th␈α␈at␈α	i␈α↓f␈↓ 	k␈ε	n␈↓ 	␈␈ε	b␈↓ 
⊗␈ε↔@2␈↓ 
9␈ε	T␈↓ 
Y␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈β
N␈↓ ∧y␈εε0␈↓ 
L␈εε0
␈β
k␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈ε	b␈↓ ↓q␈εβ+␈απ1,␈↓ α?␈ε	n␈↓ αS␈ε	b␈↓ αh␈εβ+␈αλ2␈α␈,␈↓ β6␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βc␈εβ,␈↓ βx␈ε	n␈↓ ∧␈ε	b␈↓ ∧ ␈εβ+␈↓ ∧I␈ε	b␈↓ ∧↑␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αare␈αno␈α␈t␈αin␈αan␈α}y␈αof␈αthe␈↓ π←␈ε	T␈↓ π␈␈εβ's;␈αb␈α␈ut␈αif␈↓ 	π␈ε	n␈↓ 	≠␈ε	b␈↓ 	2␈ε↔2␈↓ 	V␈ε	T␈↓ 	v␈εβ,␈αth␈α␈en␈αso␈αare
␈β
u␈↓ πs␈εj␈↓ 	i␈εε0
␈β∞∩␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈ε	b␈↓ ↓q␈εβ+␈αλ1,␈↓ αA␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ αm␈εβ,␈↓ βα␈ε	n␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β,␈εβ+␈↓ βU␈ε	b␈↓ βj␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈.␈α∂Th␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αth␈α␈en␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws␈α
with␈↓ πg␈ε	S␈↓ λ∂␈εβ=␈↓ λ<␈ε↔f␈↓ λR␈ε	n␈↓ λf␈ε	b␈↓ λ}␈ε↔j␈↓ 	∩␈ε	n␈↓ 	&␈ε	b␈↓ 	>␈ε↔2␈↓ 	c␈ε	T␈↓ 
	␈ε↔g␈↓ 
→␈εβ,␈↓ 
/␈ε	S␈↓ 
W␈εβ=␈↓ β␈ε	T␈↓ #␈εβ,
␈β∞≥␈↓ πx␈εε1␈↓ 	v␈εε0␈↓ 
@␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β∞:␈↓ ↓H␈ε	S␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈ε	T␈↓ α9␈εβ,␈αetc.
␈β∞D␈↓ ↓X␈εε3␈↓ α,␈εε2
␈β∞a␈↓ α␈εβIf␈↓ α*␈ε	n␈↓ α>␈ε	b␈↓ αU␈ε↔3␈↓ αx␈ε	T␈↓ β_␈εβ,␈α	the␈α␈n␈↓ βs␈ε	n␈↓ ∧π␈ε	b␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ∧H␈ε	t␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬π␈ε	t␈↓ ¬!␈εβ+␈↓ ¬F␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬s␈εβ,␈α	wh␈α␈ere␈↓ εb␈ε	t␈↓ εy␈εβ,␈↓ π␈ε	t␈↓ π!␈εβ,␈↓ π3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πb␈εβare␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α	o␈α␈f␈↓ 	H␈ε	b␈↓ 	U␈εβ;␈α	he␈α␈nce␈↓ 
A␈ε	t␈↓ 
a␈εβ<␈↓ ␈ε	n␈↓ ∨␈ε	b
␈β∞l␈↓ β␈εε0␈↓ ∧R␈εε0␈↓ ¬⊃␈εε1␈↓ εl␈εε1␈↓ π∃␈εε2␈↓ 
K␈εε0
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβis␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
of␈↓ β*␈ε	b␈↓ β7␈εβ.␈αBy␈α	i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,␈α(␈↓ ¬&␈ε	t␈↓ ¬C␈εβ+␈↓ ¬j␈ε	k␈↓ ¬{␈εβ)␈αε+␈↓ ε3␈ε	t␈↓ εP␈εβ+␈↓ εx␈ε	t␈↓ π∀␈εβ+␈↓ π<␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ πm␈εβis␈α
the␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈↓ 
D␈ε	n␈↓ 
X␈ε	b␈↓ 
k␈εβ+␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β∂∀␈↓ ¬0␈εε0␈↓ ε=␈εε1␈↓ πα␈εε2
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α0␈α	<␈↓ α@␈ε	k␈↓ αY␈εβ<␈↓ β∧␈ε	b␈↓ β⊃␈εβ;␈αh␈α␈en␈α␈ce␈↓ ∧α␈ε	n␈↓ ∧⊗␈ε	b␈↓ ∧+␈εβ+␈↓ ∧S␈ε	k␈↓ ∧m␈ε↔3␈↓ ¬⊂␈ε	T␈↓ ¬;␈εβfor␈αa␈α␈n␈α␈y␈↓ ε.␈ε	j␈↓ ε=␈εβ.
␈β∂;␈↓ ¬$␈εj
␈β∂X␈↓ α␈εβIf␈↓ α.␈ε	n␈↓ αB␈ε	b␈↓ αZ␈ε↔2␈↓ α␈␈ε	T␈↓ β+␈εβan␈α␈d␈α0␈α
<␈↓ ∧5␈ε	k␈↓ ∧P␈εβ<␈↓ ∧|␈ε	b␈↓ ¬	␈εβ,␈α
let␈αth␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈αo␈α␈f␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ ␈ε	b␈↓ λ6␈εβ+␈↓ λ←␈ε	k␈↓ λ{␈εβbe␈↓ 	)␈ε	t␈↓ 	G␈εβ+␈↓ 	q␈ε	t␈↓ 
∂␈εβ+␈↓ 
9␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 
e␈εβ.␈α∞W␈α↓e
␈β∂c␈↓ β∪␈εε0␈↓ 	3␈εε0␈↓ 	{␈εε1
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α	h␈α␈av␈α␈e␈↓ β␈ε	t␈↓ β∨␈εβ=␈↓ βJ␈ε	n␈↓ β↑␈ε	b␈↓ βp␈εβ+␈↓ ∧⊗␈ε	k␈↓ ∧0␈εβfor␈↓ ∧b␈ε	j␈↓ ∧z␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,␈α
lest␈↓ εβ␈ε	n␈↓ ε↔␈ε	b␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εP␈ε	b␈↓ εf␈εβhav␈α}e␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	(␈↓ 	`␈ε	b␈↓ 	r␈ε↔␈␈↓ 
→␈ε	k␈↓ 
)␈εβ)␈α¬+␈↓ 
←␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ+
␈β⊂
␈↓ β
␈εj
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	n␈↓ ↓g␈ε	b␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α≤␈ε	k␈↓ α,␈εβ)␈αβ+␈↓ α←␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β∂␈εβ=␈α	(␈↓ βD␈ε	n␈↓ βX␈ε	b␈↓ βf␈εβ)␈αβ+␈↓ ∧_␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧B␈εβ+␈↓ ∧g␈ε	b␈↓ ∧w␈εβ+␈↓ ¬≠␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬H␈εβ.␈α
By␈αλin␈α␈du␈α␈ction,␈↓ π&␈ε	t␈↓ πB␈εβmod␈↓ λπ␈ε	b␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λH␈ε	k␈↓ λX␈εβ;␈α	and␈απth␈α␈e␈αλrep␈α␈resen␈α}tation
␈β⊂2␈↓ π0␈εε0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈ε	b␈↓ ↓r␈εβ=␈α
(␈↓ α(␈ε	t␈↓ αF␈ε↔␈␈↓ αn␈ε	k␈↓ α␈␈εβ)␈απ+␈↓ β:␈ε	t␈↓ βX␈εβ+␈↓ ∧↓␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧3␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈αthat␈↓ ¬l␈ε	t␈↓ ε␈εβ=␈↓ ε6␈ε	n␈↓ εJ␈ε	b␈↓ ε←␈εβ+␈↓ ππ␈ε	k␈↓ π_␈εβ.
␈β⊂Z␈↓ α2␈εε0␈↓ βD␈εε1␈↓ ¬v␈εε0
␈β⊂w␈↓ α␈εβ[Referen␈α␈ce:␈ε⊂␈α∞Nieu␈α␈w␈αA␈α↓r␈α␈chief␈αv␈α␈o␈α␈or␈αW␈α↓isk␈α␈un␈α␈de␈εβ␈α(3)␈ε∪␈α4␈εβ␈α(195␈α␈6),␈α
15␈α␈↑17␈α␈.␈α∂A␈α
|␈α␈nite␈αan␈α␈alog␈αo␈α␈f
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
result␈α
was␈α
d␈α␈eriv␈α␈ed␈α	by␈α
P.␈α
A.␈αM␈α␈acM␈α␈aho␈α␈n,␈ε⊂␈α
Com␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ato␈α␈ry␈α
An␈α␈alysis␈ε∪␈α
1␈εβ␈α
(19␈α␈15),␈α
217␈α␈↑22␈α␈3.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα649
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ(a)␈αλLet␈↓ αu␈ε	A␈↓ β≡␈εβbe␈αλth␈α␈e␈αλset␈αλof␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬q␈εβwh␈α␈ose␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈απdo␈α␈es␈αλno␈α␈t␈αλi␈α↓n␈α}v␈α␈olv␈α}e␈↓ 
∀␈ε	b␈↓ 
,␈εβ;␈α
th␈α␈en␈απby
␈βα5␈↓ β
␈εj␈↓ 
 ␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
un␈α␈ique␈α␈ness␈α
p␈α␈rope␈α␈rty,␈↓ ∧7␈ε	n␈↓ ∧U␈ε↔2␈↓ ∧x␈ε	A␈↓ ¬$␈εβi{␈↓ ¬K␈ε	n␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε
␈ε	b␈↓ ε/␈ε↔3␈↓ εR␈ε	A␈↓ εs␈εβ.␈αCon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈tly␈↓ λW␈ε	n␈↓ λt␈ε↔2␈↓ 	↔␈ε	A␈↓ 	C␈εβi{␈↓ 	k␈ε	n␈↓ 
¬␈εβ+␈απ2␈↓ 
=␈ε	b␈↓ 
←␈ε↔2␈↓ α␈ε	A␈↓ #␈εβ.
␈βα\␈↓ ¬
␈εj␈↓ ε~␈εj␈↓ εg␈εj␈↓ 	,␈εj␈↓ 
I␈εj␈↓ ↔␈εj
␈βαy␈↓ ↓H␈εβIt␈α
foll␈α↓o␈α}ws␈αth␈α␈at,␈αfor␈↓ β\␈ε	j␈↓ βu␈ε↔≤␈↓ ∧∨␈ε	k␈↓ ∧0␈εβ,␈↓ ∧D␈ε	n␈↓ ∧a␈ε↔2␈↓ ¬∧␈ε	A␈↓ ¬,␈ε↔\␈↓ ¬K␈ε	A␈↓ ¬x␈εβi{␈↓ ε ␈ε	n␈↓ ε;␈εβ+␈απ2␈↓ εt␈ε	b␈↓ π␈ε	b␈↓ π/␈ε↔2␈↓ πR␈ε	A␈↓ πz␈ε↔\␈↓ λ→␈ε	A␈↓ λ;␈εβ.␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ 	␈ε	m␈↓ 	4␈εβb␈α␈e␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈ββ∧␈↓ ¬→␈εj␈↓ ¬`␈εk␈↓ π␈εj␈↓ π_␈εk␈↓ πg␈εj␈↓ λ.␈εk
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers␈↓ αD␈ε	n␈↓ αb␈ε↔2␈↓ βπ␈ε	A␈↓ β1␈ε↔\␈↓ βQ␈ε	A␈↓ β␈␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ¬]␈ε	n␈↓ ¬{␈εβ<␈α2␈↓ ε8␈ε	b␈↓ εP␈ε	b␈↓ εj␈εβ.␈α∞Th␈α␈en␈αth␈α␈is␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈al␈αcon␈α}tains␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ ∂␈ε	m
␈ββ,␈↓ β≤␈εj␈↓ βf␈εk␈↓ εD␈εj␈↓ ε\␈εk
␈ββI␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers␈α	th␈α␈at␈α	are␈α	in␈↓ βb␈ε	A␈↓ ∧
␈εβb␈α␈ut␈α	n␈α␈ot␈↓ ¬↓␈ε	A␈↓ ¬$␈εβ,␈α
e␈α␈xa␈α␈ctly␈↓ ε)␈ε	m␈↓ εP␈εβin␈↓ εu␈ε	A␈↓ π!␈εβb␈α␈ut␈α	n␈α␈ot␈↓ λ∃␈ε	A␈↓ λ7␈εβ,␈α	and␈αλexa␈α␈ctly␈↓ 	{␈ε	m␈↓ 
"␈εβin␈α	n␈α␈eithe␈α␈r
␈ββS␈↓ βw␈εj␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ π
␈εk␈↓ λ*␈εj
␈ββp␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓s␈εβnor␈↓ α.␈ε	A␈↓ αQ␈εβ;␈αh␈α␈en␈α␈ce␈α
4␈↓ βQ␈ε	m␈↓ βx␈εβ=␈α	2␈↓ ∧3␈ε	b␈↓ ∧K␈ε	b␈↓ ∧d␈εβ.␈αThere␈α␈fore␈↓ ε∂␈ε	b␈↓ ε2␈εβan␈α␈d␈↓ εr␈ε	b␈↓ π⊗␈εβca␈α␈nn␈α␈ot␈α
bot␈α␈h␈αb␈α␈e␈α
od␈α␈d.␈αBut␈α
at␈α
l␈α↓e␈α␈ast␈α
one
␈ββ{␈↓ ↓]␈εj␈↓ αC␈εk␈↓ ∧?␈εj␈↓ ∧W␈εk␈↓ ε≠␈εj␈↓ ε}␈εk
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓j␈εβis␈αod␈α␈d,␈α
of␈αc␈α␈ourse␈α␈,␈αsince␈α
od␈α␈d␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αca␈α␈n␈α
be␈α
rep␈α␈resen␈α}ted.␈α(b␈α␈)␈αAcco␈α␈rdin␈α␈g␈αto␈α
(a␈α␈)␈αw␈α␈e␈α
can
␈β∧"␈↓ ↓T␈εj
␈β∧<␈↓ λo␈εε1␈↓ 	1␈εε1
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβre␈α␈n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αthe␈↓ β⊗␈ε	b␈↓ β$␈εβ's␈αso␈αtha␈α␈t␈↓ ∧8␈ε	b␈↓ ∧\␈εβi␈α↓s␈αodd␈αa␈α␈nd␈↓ ε↓␈ε	b␈↓ ε~␈εβ,␈↓ ε/␈ε	b␈↓ εH␈εβ,␈↓ ε]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π⊂␈εβa␈α␈re␈αev␈α}en;␈αth␈α␈en␈↓ 	␈ε	b␈↓ 	_␈εβ,␈↓ 	A␈ε	b␈↓ 	Z␈εβ,␈↓ 	o␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
"␈εβm␈α␈u␈α␈st␈αalso
␈β∧J␈↓ ∧D␈εε0␈↓ ε
␈εε1␈↓ ε;␈εε2␈↓ 	␈εε1␈↓ 	M␈εε2
␈β∧N␈↓ λo␈∧∧Nλoα
␈↓ 	1␈∧∧N	1α
␈β∧P␈↓ λo␈εε2␈↓ 	1␈εε2
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αa␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
ba␈α␈si␈α↓s,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αiterate␈α␈d.
␈β¬⊂␈↓ α␈εβ(c)␈αIf␈α
it␈αi␈α↓s␈αa␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αb␈α␈asis,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈αa␈α␈nd␈αn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈↓ 	"␈ε	d␈↓ 	?␈εβ's␈α
fo␈α␈r␈α
a␈α␈rbitra␈α␈ri␈α↓ly
␈β¬≠␈↓ 	2␈εk
␈β¬4␈↓ ¬∨␈εn
␈β¬8␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈↓ α_␈ε	k␈↓ α(␈εβ,␈αin␈α	ord␈α␈er␈α
to␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈ε↔␈α
ε␈↓ ¬∞␈εβ2␈↓ ¬9␈εβwh␈α␈en␈↓ ε∂␈ε	n␈↓ ε-␈εβis␈α
larg␈α␈e.␈αCon␈α}v␈α␈e␈α␈rsely,␈α
the␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α}w␈α↓in␈α␈g␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β¬`␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αb␈α␈e␈αus␈α␈ed:
␈βε~␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε	k␈↓ ∧∩␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈βεT␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈2.␈↓ α␈εβ[Don␈α␈e?]␈α~If␈↓ β2␈ε	n␈↓ βO␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αte␈α␈rminat␈α␈e.
␈βπ
␈↓ ¬<␈εk
␈βπ∞␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈3.␈↓ α␈εβ[Cho␈α␈ose.]␈α∂If␈↓ β=␈ε	n␈↓ βY␈εβis␈απo␈α␈dd␈α␈,␈α	in␈α␈clud␈α␈e␈↓ ¬+␈εβ2␈↓ ¬I␈ε	d␈↓ ¬m␈εβin␈απth␈α␈e␈απrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈,␈α	a␈α␈nd␈αεreplac␈α␈e␈↓ 	N␈ε	n␈↓ 	i␈εβby␈αε(␈↓ 
!␈ε	n␈↓ 
7␈ε↔␈␈↓ 
Z␈ε	d␈↓ 
w␈εβ)/2␈α␈.
␈βπ→␈↓ ¬Y␈εk␈↓ 
j␈εk
␈βπ6␈↓ α␈εβOth␈α␈erwise␈αset␈↓ β]␈ε	n␈↓ βz␈ε↔ ␈↓ ∧%␈ε	n␈↓ ∧9␈εβ/2␈α␈.
␈βπp␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈4.␈↓ α␈εβ[Adv␈α␈an␈α␈ce␈↓ β≡␈ε	k␈↓ β/␈εβ.]␈α→Incre␈α␈ase␈↓ ∧Z␈ε	k␈↓ ∧u␈εβby␈α
1␈αan␈α␈d␈αretu␈α␈rn␈αto␈α
S2.
␈βπr␈↓ πb␈∧πrπb≠∂
␈βλ*␈↓ α␈εβAt␈απeach␈απste␈α␈p␈απthe␈απch␈α␈oice␈απi␈α↓s␈απforc␈α␈ed;␈α	fu␈α␈rthe␈α␈rmore␈απstep␈απS␈α␈3␈απdec␈α␈reases␈ε↔␈απj␈↓ 	~␈ε	n␈↓ 	.␈ε↔j␈εβ␈αλu␈α␈nless␈↓ 
≥␈ε	n␈↓ 
;␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ ε␈ε	d␈↓ #␈εβ,
␈βλ5␈↓ ⊗␈εk
␈βλR␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈αthe␈α
algorith␈α␈m␈αm␈α␈us␈α␈t␈αt␈α␈ermina␈α␈te.
␈βλ{␈↓ α␈εβ(d)␈α
Tw␈α␈o␈α
itera␈α␈tions␈α	of␈α
step␈α␈s␈α
S2↑␈α␈S4␈α	i␈α↓n␈α	the␈α	prec␈α␈edin␈α␈g␈α
algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α
will␈αt␈α␈ransfo␈α␈rm␈α
4␈↓ 
e␈ε	m␈↓ ␈ε↔!
␈β	#␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ,␈α4␈↓ α
␈ε	m␈↓ α/␈εβ+␈απ1␈ε↔␈α	!␈↓ β≤␈ε	m␈↓ β@␈εβ+␈αλ5,␈α4␈↓ ∧∨␈ε	m␈↓ ∧C␈εβ+␈αλ2␈ε↔␈α	!␈↓ ¬1␈ε	m␈↓ ¬U␈εβ+␈αλ7,␈α4␈↓ ε4␈ε	m␈↓ εX␈εβ+␈αλ3␈ε↔␈α	!␈↓ πE␈ε	m␈↓ πj␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈αArg␈α␈uing␈α
as␈αin␈αex␈α}ercise␈α19␈α␈,
␈β	J␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αn␈α␈eed␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
sho␈α}w␈αtha␈α␈t␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αtermin␈α␈ates␈αfor␈ε↔␈α␈␈εβ2␈ε↔␈α	∀␈↓ λ9␈ε	n␈↓ λW␈ε↔∀␈εβ␈α	8;␈αall␈αoth␈α␈er␈αva␈α␈lues␈αo␈α␈f
␈β	r␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓f␈εβare␈α
m␈α␈o␈α␈v␈α␈ed␈α	to␈α␈ward␈α	this␈α
i␈α↓n␈α}terv␈α␈al.␈αIn␈α
this␈α
ran␈α␈ge␈α
3␈ε↔␈α	!␈α	␈␈εβ␈α↓1␈ε↔␈α	!␈α	␈␈εβ␈α↓2␈ε↔␈αλ!␈εβ␈α
6␈ε↔␈α	!␈εβ␈α	8␈ε↔␈α	!␈εβ␈α
2␈ε↔␈α	!␈εβ␈α	7␈ε↔␈α	!␈εβ␈α
0
␈β
∃␈↓ ¬C␈εε0␈↓ ε?␈εε1␈↓ π*␈εε2␈↓ λ&␈εε3␈↓ 	"␈εε5␈↓ 
∨␈εε9␈↓ 
␈εε10
␈β
~␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αλ4␈ε↔␈α	!␈εβ␈α
1␈ε↔␈α	!␈εβ␈α	5␈ε↔␈α	!␈εβ␈α
6␈α␈.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α	1␈α	=␈α
7␈ε↔␈α∧↓␈↓ ¬2␈εβ2␈↓ ¬T␈ε↔␈␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α∧↓␈↓ ε.␈εβ2␈↓ εP␈εβ+␈α¬7␈ε↔␈α¬↓␈↓ π~␈εβ2␈↓ π<␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈3␈ε↔␈α¬↓␈↓ λ⊗␈εβ2␈↓ λ8␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈3␈ε↔␈α¬↓␈↓ 	∩␈εβ2␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α∧↓␈↓ 
∞␈εβ2␈↓ 
0␈εβ+␈α¬7␈ε↔␈α∧↓␈↓ 
y␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β
C␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∩Th␈α␈e␈α∞ch␈α␈oice␈↓ ∧≠␈ε	d␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧O␈ε	d␈↓ ∧k␈εβ,␈↓ ¬β␈ε	d␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬8␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬m␈εβ=␈α∞5,␈ε↔␈α∂␈␈εβ3,␈α∂3,␈α∂5,␈ε↔␈α∂␈␈εβ3,␈α∂3␈α␈,␈↓ λS␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	λ␈εβalso␈α∞y␈α␈i␈α↓eld␈α␈s␈α∞a␈α∞bin␈α␈ary
␈β
N␈↓ ∧+␈εε0␈↓ ∧←␈εε1␈↓ ¬∪␈εε2
␈β
k␈↓ ↓H␈εβb␈α␈asis.␈α↔F␈α↓o␈α␈r␈α∂f␈α↓u␈α␈rth␈α␈er␈α∂deta␈α␈i␈α↓ls␈α∂see␈ε⊂␈α∂M␈α␈ath␈α␈.␈α⊂Co␈α␈mp.␈ε∪␈α∂18␈εβ␈α∞(␈α↓1␈α␈96␈α␈4),␈α⊃5␈α␈37↑␈α␈546␈α␈;␈α∩A.␈α∂D.␈α∂San␈α␈ds,␈ε⊂␈α⊂Acta
␈β∩␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈emat␈α␈i␈α↓ca␈εβ␈α␈,␈αAc␈α␈ad.␈αS␈α␈ci.␈αHu␈α␈ng␈α␈.␈α↓,␈ε∪␈α8␈εβ␈α(19␈α␈57),␈α65␈α␈↑86␈α␈.
␈βL␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ(Se␈α␈e␈αalso␈αth␈α␈e␈αrelated␈α
ex␈α␈e␈α␈rcises␈α3.2.2↑␈α␈11,␈α4.3.2␈α␈↑13␈α␈,␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓2␈α␈↑22␈α␈.)
␈βv␈↓ α␈εβ(a)␈αBy␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αn␈α}ume␈α␈rator␈αan␈α␈d␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor␈αby␈αsuitab␈α␈le␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈ers␈αof␈α2,␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ay
␈β≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β!␈εβ=␈α
(␈↓ β\␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧	␈ε	u␈↓ ∧(␈ε	u␈↓ ∧H␈ε	u␈↓ ∧h␈εβ)␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬L␈ε	v␈↓ ¬g␈εβ=␈α
(␈↓ ε"␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εO␈ε	v␈↓ εj␈ε	v␈↓ π¬␈ε	v␈↓ π!␈εβ)␈↓ πD␈εβa␈α␈re␈α2-ad␈α␈i␈α↓c␈αin␈α␈t␈α␈egers,␈αwhere␈↓ 
C␈ε	v␈↓ 
h␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β(␈↓ ∧≤␈εε2␈↓ ∧;␈εε1␈↓ ∧[␈εε0␈↓ ∧s␈εε2␈↓ ε]␈εε2␈↓ εy␈εε1␈↓ π∀␈εε0␈↓ π,␈εε2␈↓ 
Q␈εε0
␈βA␈↓ 
∂␈εε(␈↓ 
_␈εn␈↓ 
(␈εε)
␈βE␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈απf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓in␈α␈g␈απcomp␈α␈uta␈α␈tiona␈α␈l␈αλmet␈α␈hod␈απn␈α␈o␈α␈w␈απdete␈α␈rmines␈↓ πF␈ε	w␈↓ π←␈εβ,␈αλusing␈απth␈α␈e␈αλn␈α␈ota␈α␈tion␈↓ 	{␈ε	u␈↓ 
8␈εβto␈απsta␈α␈nd
␈βi␈↓ εβ␈εn
␈βm␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αthe␈αin␈α␈te␈α␈ger␈α(␈↓ β.␈ε	u␈↓ β⎇␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧)␈ε	u␈↓ ∧I␈εβ)␈↓ ∧j␈εβ=␈↓ ¬∀␈ε	u␈↓ ¬.␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬r␈εβ2␈↓ ε≡␈εβwhen␈↓ εu␈ε	n␈↓ π∪␈εβ>␈α	0:
␈βw␈↓ βA␈εn␈↓ βQ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧<␈εε0␈↓ ∧T␈εε2
␈β
∩␈↓ 
↑␈εε(␈↓ 
f␈εn␈↓ 
v␈εε)
␈β
⊗␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	w␈↓ αz␈εβ=␈↓ β(␈ε	u␈↓ βH␈εβ.␈α⊃Fo␈α␈r␈↓ ∧"␈ε	n␈↓ ∧C␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α∞2,␈↓ ¬?␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬l␈εβ,␈α
assu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈αf␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈α
a␈α␈n␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈↓ 
E␈ε	w␈↓ ␈εβ=
␈β
!␈↓ αa␈εε0␈↓ β;␈εε0
␈β
:␈↓ ∧4␈εε(␈↓ ∧<␈εn␈↓ ∧M␈εε)␈↓ ¬~␈εε(␈↓ ¬#␈εn␈↓ ¬3␈εε)␈↓ ¬T␈εε(␈↓ ¬]␈εn␈↓ ¬m␈εε)␈↓ π⊃␈εn␈↓ 	 ␈εε(␈↓ 	(␈εn␈↓ 	8␈εε+1)␈↓ 
,␈εε(␈↓ 
4␈εn␈↓ 
D␈εε+␈α↓1␈α␈)␈↓ ␈εε(␈↓ ∀␈εn␈↓ $␈εε)
␈β
>␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	w␈↓ α$␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αQ␈ε	w␈↓ αt␈εβ)␈↓ β∪␈εβsu␈α␈ch␈απtha␈α␈t␈↓ ∧ ␈ε	u␈↓ ∧↑␈ε↔⊃␈↓ ¬	␈ε	v␈↓ ¬;␈ε	w␈↓ ¬␈␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ π␈εβ2␈↓ π!␈εβ).␈α
Then␈απw␈α␈e␈απhav␈α}e␈↓ 	␈ε	u␈↓ 	p␈ε↔⊃␈↓ 
~␈ε	v␈↓ 
s␈ε	w
␈β
H␈↓ ↓i␈εn␈↓ ↓y␈ε~␈␈εε1␈↓ αg␈εε0␈↓ α␈␈εε2
␈β
a␈↓ αZ␈εn␈↓ εu␈εε(␈↓ ε}␈εn␈↓ π∞␈εε+1)␈↓ πz␈εε(␈↓ λα␈εn␈↓ λ∪␈εε+1)␈↓ λZ␈εε(␈↓ λb␈εn␈↓ λr␈εε)␈↓ 	a␈εn␈↓ 	q␈εε+1␈↓ ∪␈εn
␈β
e␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αj␈εβ),␈α
hen␈α␈ce␈↓ βd␈ε	w␈↓ ∧∪␈εβ=␈α
0␈α	or␈α
1␈α	acc␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
a␈α␈s␈α
(␈↓ εa␈ε	u␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πi␈ε	v␈↓ λA␈ε	w␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	␈εβmod␈↓ 	P␈εβ2␈↓ 
 ␈εβi␈α↓s␈α	0␈α
or␈↓ α␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β
p␈↓ βz␈εn
␈β∞␈↓ εz␈εk
␈β∞∂␈↓ α␈εβ(b)␈αF␈α↓in␈α␈d␈αthe␈αsmallest␈αi␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈↓ ¬9␈ε	k␈↓ ¬U␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ εj␈εβ2␈↓ π∩␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈α2␈↓ λj␈ε	n␈↓ 	¬␈εβ+␈αλ1).␈α
The␈α␈n␈αwe␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β∞3␈↓ β]␈εk␈↓ λ↓␈εk␈↓ λ∞␈ε~␈␈εε1
␈β∞7␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(2␈↓ α¬␈ε	n␈↓ α≡␈εβ+␈α¬1)␈α	=␈↓ β∀␈ε	m␈↓ β1␈εβ/␈α␈(␈↓ βM␈εβ2␈↓ βo␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈)␈α
for␈α	so␈α␈me␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈↓ ε+␈ε	m␈↓ εH␈εβ,␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ π∨␈ε	m␈↓ πF␈εβ<␈↓ πp␈εβ2␈↓ λ4␈εβ.␈αLet␈↓ 	β␈ε	␈↓ 	≡␈εβbe␈α	the␈↓ 
↓␈ε	k␈↓ 
⊃␈εβ-bit␈α	bin␈α␈ary
␈β∞↑␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α
o␈α␈f␈↓ βK␈ε	m␈↓ βi␈εβ;␈α∞th␈α␈en␈α(␈α↓0␈α␈.␈↓ ∧r␈ε	␈↓ ¬¬␈ε	␈↓ ¬↔␈ε	␈↓ ¬/␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬[␈εβ)␈↓ ε␈εβtimes␈α2␈↓ εk␈ε	n␈↓ πλ␈εβ+␈α	1␈αis␈α
(0.111␈↓ λO␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	∨␈εβ=␈α
1␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈α
bin␈α␈ary
␈β∞i␈↓ ¬f␈εε2␈↓ 	ε␈εε2
␈β∂ε␈↓ ↓H␈εβsy␈α␈stem,␈αan␈α␈d␈α(␈↓ β⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β>␈ε	␈↓ βP␈ε	␈↓ βb␈ε	␈↓ βu␈εβ)␈↓ ∧↔␈εβti␈α↓m␈α␈es␈α2␈↓ ¬↓␈ε	n␈↓ ¬≤␈εβ+␈αλ1␈αis␈α(␈↓ ε∪␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε?␈εβ11␈α␈1␈↓ εq␈εβ)␈↓ π∩␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α
i␈α↓n␈α
the␈α2␈α␈-adic␈αsy␈α␈stem.
␈β∂⊂␈↓ ∧␈εε2␈↓ ε|␈εε2
␈β∂+␈↓ ¬h␈εe
␈β∂/␈↓ α␈εβ(c)␈αIf␈↓ α↑␈ε	u␈↓ α}␈εβis␈αration␈α␈al,␈αsay␈↓ ∧a␈ε	u␈↓ ∧}␈εβ=␈↓ ¬*␈ε	m␈↓ ¬G␈εβ/␈↓ ¬X␈εβ2␈↓ ¬s␈ε	n␈↓ ε∩␈εβw␈α↓h␈α␈ere␈↓ εs␈ε	n␈↓ π∪␈εβis␈αod␈α␈d␈αan␈α␈d␈αpositiv␈α␈e␈α␈,␈αthe␈α2-a␈α␈dic␈αrepre␈α␈-
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβse␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α
o␈α␈f␈↓ α{␈ε	u␈↓ β→␈εβis␈α	period␈α␈ic,␈α
bec␈α␈ause␈α	th␈α␈e␈α
set␈α	of␈α
n␈α}um␈α}bers␈α	wi␈α↓th␈α	p␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c␈α	ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α␈s␈α
inc␈α␈l␈α↓u␈α␈de␈α␈s
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε↔␈␈εβ1/␈↓ α
␈ε	n␈↓ α.␈εβa␈α␈nd␈α∂is␈α⊂clo␈α␈sed␈α∂un␈α␈der␈α∂th␈α␈e␈α⊂o␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∂of␈α∂neg␈α␈ation␈α␈,␈α⊃division␈α∂b␈α␈y␈α∂2,␈α⊃a␈α␈nd␈α∂ad␈α␈dition␈α␈.
␈β⊂"␈↓ λM␈ε∃␈↓ 	2␈ε~␈␈↓ 	K␈ε⊗
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α}ersely,␈α	if␈↓ β↔␈ε	u␈↓ βu␈εβ=␈↓ ∧∨␈ε	u␈↓ ∧R␈εβfor␈αλall␈↓ ¬/␈ε	N␈↓ ¬W␈ε↔∃␈↓ εα␈ε	⊗␈↓ ε∀␈εβ,␈α	th␈α␈e␈αλ2-ad␈α␈i␈α↓c␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλ(␈↓ λ<␈εβ2␈↓ λa␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈)␈↓ 	!␈εβ2␈↓ 	Z␈ε	u␈↓ 	v␈εβis␈α	a␈α␈n␈αλin␈α␈teg␈α␈er.
␈β⊂1␈↓ β+␈εN␈↓ βB␈εε+␈↓ β[␈ε∃␈↓ ∧2␈εN
␈β⊂P␈↓ α␈εβ(d)␈απT␈α↓h␈α␈e␈αλs␈α␈qua␈α␈re␈αλo␈α␈f␈αλan␈α}y␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλform␈απ(␈↓ εm␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π→␈ε	u␈↓ π9␈ε	u␈↓ πY␈εβ1␈↓ πi␈εβ)␈↓ λ	␈εβh␈α␈as␈αλth␈α␈e␈αλfo␈α␈rm␈αλ(␈↓ 	S␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈εβ0␈α␈01␈↓ 
2␈εβ)␈↓ 
I␈εβ,␈α	he␈α␈nce
␈β⊂Z␈↓ π,␈εε2␈↓ πL␈εε1␈↓ πt␈εε2␈↓ 
=␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α	is␈αn␈α␈ece␈α␈ssary␈α␈.␈αT␈α↓o␈α	sho␈α}w␈αth␈α␈e␈α
su}␈α␈cienc␈α␈y,␈αw␈α␈e␈α
c␈α␈an␈α
u␈α␈se␈α
th␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈roced␈α␈ure
␈β⊃≥␈↓ β↑␈∧⊃≥β↑α∃
␈β⊃≡␈↓ β=␈ε↔p
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβto␈α
comp␈α␈ut␈α␈e␈↓ αw␈ε	v␈↓ β∩␈εβ=␈↓ β↑␈ε	n␈↓ β⎇␈εβwhe␈α␈n␈↓ ∧T␈ε	n␈↓ ∧n␈εβm␈α␈od␈↓ ¬2␈εβ8␈α	=␈α	1:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα650␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}4.1
␈βα*␈↓ ↓O␈ε∪H1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α∨Set␈↓ ∧↓␈ε	m␈↓ ∧,␈ε↔ ␈εβ␈α∞(␈↓ ∧f␈ε	n␈↓ ¬∧␈ε↔␈␈εβ␈α	1)/8␈α␈,␈↓ εβ␈ε	k␈↓ ε!␈ε↔ ␈εβ␈α∂2␈α␈,␈↓ εy␈ε	v␈↓ π#␈ε↔ ␈εβ␈α∞1,␈↓ π{␈ε	v␈↓ λ$␈ε↔ ␈εβ␈α∞0,␈↓ λ|␈ε	v␈↓ 	≠␈ε↔ ␈εβ␈α∞1.␈α∀(Du␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α∞th␈α␈is
␈βα5␈↓ πλ␈εε0␈↓ λ	␈εε1
␈βαN␈↓ πR␈εε2␈↓ λg␈εk␈↓ λt␈εε+1
␈βαR␈↓ α␈εβalgo␈α␈rithm␈αw␈α␈e␈αwill␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ∧b␈ε	v␈↓ ∧⎇␈εβ=␈α	(␈↓ ¬3␈ε	v␈↓ ¬z␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε&␈ε	v␈↓ εB␈ε	v␈↓ ε]␈εβ)␈↓ π␈εβa␈α␈nd␈↓ π@␈ε	v␈↓ πh␈εβ=␈↓ λ∩␈ε	n␈↓ λ.␈ε↔␈␈↓ λV␈εβ2␈↓ 	~␈ε	m␈↓ 	7␈εβ.)
␈βα\␈↓ ¬A␈εk␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε5␈εε1␈↓ εP␈εε0␈↓ εh␈εε2
␈ββ¬␈↓ ↓O␈ε∪H2.␈↓ α␈εβ[Tran␈α␈sform.]␈α≡If␈↓ ∧α␈ε	m␈↓ ∧,␈εβi␈α↓s␈α
ev␈α}en␈α␈,␈α∞set␈↓ ¬↑␈ε	v␈↓ επ␈ε↔ ␈εβ␈α
0,␈↓ ε]␈ε	m␈↓ ππ␈ε↔ ␈↓ π5␈ε	m␈↓ πR␈εβ/␈α␈2.␈α∩Oth␈α␈erwise␈α
set␈↓ 	c␈ε	v␈↓ 
␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ 
a␈ε	m␈↓ ␈ε↔ 
␈ββ⊂␈↓ ¬m␈εk␈↓ 	r␈εk
␈ββ)␈↓ β7␈εk␈↓ βD␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬B␈εk
␈ββ-␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	m␈↓ α<␈ε↔␈␈↓ αe␈ε	v␈↓ α⎇␈ε↔␈␈↓ β&␈εβ2␈↓ βj␈εβ)/␈α␈2,␈↓ ∧*␈ε	v␈↓ ∧E␈ε↔ ␈↓ ∧p␈ε	v␈↓ ¬λ␈εβ+␈↓ ¬1␈εβ2␈↓ ¬O␈εβ.
␈ββ`␈↓ ↓O␈ε∪H3.␈↓ α␈εβ[Adv␈α␈an␈α␈ce␈↓ β≡␈ε	k␈↓ β/␈εβ.]␈α→Incre␈α␈ase␈↓ ∧Z␈ε	k␈↓ ∧u␈εβby␈α
1␈αan␈α␈d␈αretu␈α␈rn␈αto␈α
H2.
␈ββb␈↓ πg␈∧βbπg≠∂
␈β∧∀␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβA␈αgen␈α␈eraliza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αap␈α␈pe␈α␈ars␈αin␈ε⊂␈αM␈α␈ath.␈αCo␈α␈mp.␈ε∪␈α29␈εβ␈α
(␈α↓1␈α␈975␈α␈),␈α8␈α␈4↑8␈α␈6.
␈β¬∩␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.2␈α␈.1
␈β¬d␈↓ ¬ ␈ε≠@␈↓ 	{␈ε≠@
␈β¬e␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	N␈↓ α>␈εβ=␈α∪(62,␈α¬+␈α↓.60␈α
22␈α52␈α0␈α␈0);␈↓ ¬'␈ε	h␈↓ ¬J␈εβ=␈α∀(3␈α␈7,␈αε+.10␈α54␈α5␈α␈0␈α00␈α␈)␈α↓.␈α≤Note␈α⊃th␈α␈at␈α⊃1␈α␈0␈↓ 
β␈ε	h␈↓ 
$␈εβw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α⊂be
␈βε
␈↓ ↓H␈εβ(3␈α␈8,␈αε+.01␈απ05␈απ4␈α␈5␈απ00).
␈βε<␈↓ α→␈εE␈↓ α,␈ε~␈␈↓ αE␈εq␈↓ β*␈ε~␈␈↓ βC␈εp␈↓ β}␈ε~␈␈↓ ∧↔␈εq␈↓ ∧#␈ε~␈␈↓ ∧<␈εp␈↓ ∧z␈εE␈↓ ¬␈ε~␈␈↓ ¬%␈εq␈↓ ε
␈ε~␈␈↓ ε#␈εp␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εq␈↓ πβ␈ε~␈␈εε1
␈βε@␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈ε	b␈↓ αQ␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ β≥␈ε	b␈↓ βQ␈εβ),␈↓ βp␈ε	b␈↓ ∧J␈εβ;␈↓ ∧l␈ε	b␈↓ ¬1␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬⎇␈ε	b␈↓ ε1␈εβ),␈↓ εQ␈ε	b␈↓ π)␈εβ.
␈βεs␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αo␈ε	e␈↓ β␈εβd␈α␈oe␈α␈s␈α∂n␈α␈ot␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α∞its␈α∞sma␈α␈l␈α↓lest␈α∞v␈α␈alue␈α␈,␈α⊂th␈α␈e␈α∞mos␈α␈t␈α∂sig␈α␈ni|ca␈α␈n␈α␈t␈α∞\o␈α␈ne␈α␈"␈α∞bit␈α∞(which
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈ears␈αin␈αa␈α␈ll␈αsu␈α␈ch␈αn␈α␈orma␈α␈li␈α↓z␈α␈ed␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers)␈αne␈α␈ed␈αn␈α␈ot␈αap␈α␈pea␈α␈r␈αin␈αthe␈α
comp␈α␈ute␈α␈r␈αwo␈α␈rd.
␈βπN␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(51␈α␈,␈αε+␈α↓.1␈α␈020␈α␈987␈α␈7);␈α(5␈α␈0,␈αε+.123␈α␈460␈α␈00);␈α
(53,␈α¬+␈α↓.99␈α␈999␈α␈99␈α␈9).␈αThe␈α	third␈α	answ␈α␈e␈α␈r␈α
w␈α␈ould␈α	be
␈βπv␈↓ ↓H␈εβ(5␈α␈4,␈αε+.100␈α␈000␈α␈00)␈αif␈αthe␈α|␈α␈rst␈αop␈α␈eran␈α␈d␈αh␈α␈ad␈α
been␈α
(45,␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α↓.50␈α␈00␈α␈000␈α␈0).
␈βλ)␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	x␈↓ αH␈ε↔_␈↓ αr␈ε	y␈↓ β⊂␈εβa␈α␈nd␈↓ βP␈ε	m␈↓ βx␈εβis␈αan␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈αth␈α␈en␈↓ ε↓␈ε	m␈↓ ε≡␈ε	b␈↓ ε2␈εβ+␈↓ ε[␈ε	x␈↓ εu␈ε↔_␈↓ π ␈ε	m␈↓ π=␈ε	b␈↓ πQ␈εβ+␈↓ πz␈ε	y␈↓ λ␈εβ.␈αF␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 	␈␈ε↔_␈↓ 
)␈ε	y␈↓ 
G␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓Y␈εβ/␈↓ ↓j␈ε	b␈↓ α↓␈ε↔_␈↓ α,␈ε	y␈↓ α?␈εβ/␈↓ αP␈ε	b␈↓ α]␈εβ,␈αb␈α␈y␈αcon␈α␈siderin␈α␈g␈αa␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αca␈α␈ses.␈α
Ano␈α␈the␈α␈r␈αcru␈α␈cial␈αp␈α␈rop␈α␈erty␈αis␈αtha␈α␈t␈↓ 
<␈ε	x␈↓ 
Y␈εβa␈α␈nd␈↓ ~␈ε	y
␈βλy␈↓ ↓H␈εβwill␈αr␈α␈oun␈α␈d␈αto␈α
the␈αsa␈α␈me␈αin␈α␈teg␈α␈er,␈αwhen␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈↓ ε&␈ε	x␈↓ εA␈ε↔_␈↓ εl␈ε	y␈↓ ε}␈εβ.
␈β	≤␈↓ βε␈ε~␈␈↓ β∨␈εp␈↓ β-␈ε~␈␈εε2␈↓ ε6␈εp␈↓ εD␈εε+2
␈β	!␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈αif␈↓ αy␈ε	b␈↓ βS␈ε	F␈↓ β⎇␈ε↔≤␈↓ ∧(␈ε	f␈↓ ∧K␈εβw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αh␈α␈av␈α␈e␈α(␈↓ ε)␈ε	b␈↓ εj␈ε	f␈↓ πα␈εβ)␈↓ π∪␈εβmo␈α␈d␈↓ πW␈ε	b␈↓ πn␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈;␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αt␈α␈he␈αtran␈α␈sform␈α␈ation
␈β	+␈↓ βe␈εv␈↓ ∧2␈εv␈↓ εt␈εv
␈β	H␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈v␈α␈es␈↓ α,␈ε	f␈↓ αR␈εβun␈α␈cha␈α␈nge␈α␈d␈α∞u␈α␈nless␈↓ ∧a␈ε	e␈↓ ¬π␈ε↔␈␈↓ ¬2␈ε	e␈↓ ¬Z␈ε↔∃␈εβ␈α∂2␈α␈.␈α∃S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ π∩␈ε	u␈↓ π4␈εβwas␈α∞n␈α␈orma␈α␈l␈α↓ize␈α␈d,␈α∂it␈α∞i␈α↓s␈α∞n␈α␈on␈α␈zero␈α∞a␈α␈nd
␈β	S␈↓ α6␈εv␈↓ ∧m␈εu␈↓ ¬>␈εv
␈β	l␈↓ β	␈ε~␈␈εε1␈↓ βo␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧↑␈ε~␈␈εε2
␈β	p␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	f␈↓ ↓t␈εβ+␈↓ α∨␈ε	f␈↓ α7␈ε↔j␈εβ␈α
>␈↓ α|␈ε	b␈↓ β8␈ε↔␈␈↓ βb␈ε	b␈↓ ∧"␈ε↔∃␈↓ ∧P␈ε	b␈↓ ¬β␈εβ:␈α⊂the␈α
lead␈α␈ing␈α
n␈α␈onz␈α␈ero␈α
digit␈α
of␈↓ λD␈ε	f␈↓ λh␈εβ+␈↓ 	∩␈ε	f␈↓ 	8␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α
be␈α
at␈α
mos␈α␈t
␈β	z␈↓ ↓[␈εu␈↓ α)␈εv␈↓ λO␈εu␈↓ 	≤␈εv
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α∞place␈α␈s␈α∂to␈α∂th␈α␈e␈α∂righ␈α}t␈α∂of␈α∂th␈α␈e␈α∂ra␈α␈dix␈α∂p␈α␈oin␈α␈t,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞the␈α∞rou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂o␈α␈pera␈α␈tion␈α∞w␈α↓ill␈α∂con␈α}v␈α␈er␈α␈t
␈β
;␈↓ ↓U␈εp␈↓ ↓c␈εε+␈↓ ↓|␈εj
␈β
?␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ αλ␈εβ(␈↓ α∪␈ε	f␈↓ α6␈εβ+␈↓ α`␈ε	f␈↓ αx␈εβ)␈α
to␈αan␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ¬E␈ε	j␈↓ ¬`␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈.␈α⊂The␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
wil␈α↓l␈α
b␈α␈e␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
c␈α␈an␈αsho␈α}w
␈β
J␈↓ α≥␈εu␈↓ αj␈εv
␈β
b␈↓ α∨␈εp␈↓ α-␈εε+␈↓ αF␈εj␈↓ αR␈εε+␈α↓1␈↓ ∧>␈εp␈↓ ∧K␈εε+␈↓ ∧e␈εj␈↓ ∧q␈εε+1␈↓ ¬⎇␈ε~␈␈↓ ε⊗␈εp␈↓ ε$␈ε~␈␈εε2
␈β
g␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∩␈ε	b␈↓ αx␈εβ(␈↓ ββ␈ε	f␈↓ β'␈εβ+␈↓ βQ␈ε	f␈↓ βj␈εβ)␈ε↔␈α
_␈↓ ∧0␈ε	b␈↓ ¬↔␈εβ(␈↓ ¬"␈ε	f␈↓ ¬E␈εβ+␈↓ ¬o␈ε	b␈↓ εI␈ε	F␈↓ εj␈εβ).␈α∪By␈α
th␈α␈e␈α∞p␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α
pa␈α␈ragra␈α␈ph␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β
q␈↓ β∞␈εu␈↓ β[␈εv␈↓ ¬,␈εu␈↓ ε\␈εv
␈β
␈↓ ↓U␈εp␈↓ ↓c␈εε+2␈↓ βJ␈εp␈↓ βX␈εε+2␈↓ ¬2␈εp␈↓ ¬@␈εε+2␈↓ εJ␈ε~␈␈↓ εd␈εp␈↓ εq␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β∞␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α	␈εβ(␈↓ α∀␈ε	f␈↓ α7␈εβ+␈↓ α`␈ε	f␈↓ αy␈εβ)␈ε↔␈α_␈↓ β=␈ε	b␈↓ β}␈ε	f␈↓ ∧!␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	F␈↓ ∧w␈εβ=␈↓ ¬$␈ε	b␈↓ ¬e␈εβ(␈↓ ¬p␈ε	f␈↓ ε∪␈εβ+␈↓ ε=␈ε	b␈↓ π↔␈ε	F␈↓ π8␈εβ),␈α
which␈αimplies␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈esired␈αresu␈α␈lt
␈β→␈↓ α≡␈εu␈↓ αj␈εv␈↓ ∧λ␈εu␈↓ ∧]␈εv␈↓ ¬{␈εu␈↓ π*␈εv
␈β6␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ α*␈ε	j␈↓ αB␈ε↔∀␈εβ␈α	1.
␈β↑␈↓ α␈εβNote␈αth␈α␈at,␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ ∧π␈ε	b␈↓ ∧≡␈εβ>␈α
2␈αis␈αev␈α␈e␈α␈n,␈αsu␈α␈ch␈αa␈α␈n␈αin␈α␈teg␈α␈er␈↓ πF␈ε	F␈↓ πr␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αex␈α␈i␈α↓sts;␈αbu␈α␈t␈αwh␈α␈en␈↓ 
Z␈ε	b␈↓ 
q␈εβ=␈α
2
␈βh␈↓ πX␈εv
␈β¬␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α	requ␈α␈i␈α↓r␈α␈e␈↓ αe␈ε	p␈↓ α|␈εβ+␈αε3␈α	bits␈α
(let␈α
2␈↓ ∧G␈ε	F␈↓ ∧r␈εβb␈α␈e␈α
an␈α	in␈α␈te␈α␈ger).␈αWhe␈α␈n␈↓ π+␈ε	b␈↓ πB␈εβis␈α
o␈α␈dd␈α␈,␈αa␈α␈n␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈↓ 	E␈ε	F␈↓ 	o␈εβalway␈α␈s␈α
ex␈α␈i␈α↓st␈α␈s
␈β⊂␈↓ ∧Z␈εv␈↓ 	W␈εv
␈β)␈↓ π=␈εε1
␈β-␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈αin␈αth␈α␈e␈αcase␈αo␈α␈f␈αd␈α␈ivision␈α␈,␈αwh␈α␈en␈αa␈α
remain␈α␈der␈αo␈α␈f␈↓ πN␈ε	b␈↓ πf␈εβis␈αpo␈α␈ssible.
␈β;␈↓ π=␈∧;π=α
␈β=␈↓ π=␈εε2
␈β`␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(Con␈α␈sider␈απth␈α␈e␈αλc␈α␈ase␈↓ ∧_␈ε	e␈↓ ∧>␈εβ=␈↓ ∧h␈ε	e␈↓ ¬β␈εβ,␈↓ ¬∀␈ε	f␈↓ ¬8␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ ε∧␈ε	f␈↓ ε$␈εβin␈απProg␈α␈ram␈απA␈↓ πb␈εβ.)␈α
Register␈απA␈απretain␈α␈s␈αλits␈απprev␈α␈iou␈α␈s
␈βk␈↓ ∧$␈εu␈↓ ∧t␈εv␈↓ ¬≡␈εu␈↓ ε∞␈εv
␈β
¬␈↓ αe␈ε∃AD␈α␈D
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈n,␈αas␈αin␈↓ β#␈εβ.
␈β
8␈↓ 
≠␈εε1
␈β
;␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβSa␈α␈y␈αλthat␈αλa␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	is␈αλnorm␈α␈alized␈αλi␈α↓{␈α	it␈α	is␈α	z␈α␈ero␈αλor␈α	its␈α	fra␈α␈ction␈αλpa␈α␈rt␈α	satis|␈α␈es␈↓ 
5␈εβ<␈ε↔␈α
j␈↓ 
i␈ε	f␈↓ 
y␈ε↔j␈εβ␈α	<
␈β
I␈↓ 
≠␈∧
I
≠α
␈β
K␈↓ 
≠␈εε6
␈β
←␈↓ ↓K␈εε1
␈β
c␈↓ ↓\␈εβ.␈αA␈α(␈↓ α≡␈ε	p␈↓ α6␈εβ+␈απ1)-p␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αa␈α␈ccum␈α}ulato␈α␈r␈αsu}␈α␈ces␈αfo␈α␈r␈αad␈α␈dition␈α
an␈α␈d␈αsu␈α␈btra␈α␈ction␈α␈;␈αro␈α␈un␈α␈din␈α␈g␈α(ex␈α}cep␈α␈t
␈β
q␈↓ ↓K␈∧
q↓Kα
␈β
s␈↓ ↓K␈εε2
␈β∞
␈↓ ↓H␈εβd␈α␈urin␈α␈g␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ision)␈αis␈α
equ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈αto␈αtr␈α␈un␈α␈cation␈α␈.␈αA␈α
v␈α␈ery␈α
p␈α␈l␈α↓ea␈α␈san␈α}t␈αsys␈α␈tem␈αind␈α␈eed␈α␈!␈αW␈α↓e␈α
migh␈α}t
␈β∞2␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈α	n␈α}um␈α}bers␈αλwi␈α↓th␈αλex␈α}cess-ze␈α␈ro␈α	e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t,␈α	i␈α↓n␈α␈serted␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αλth␈α␈e␈α	|␈α␈rst␈α	an␈α␈d␈αλsub␈α␈sequ␈α␈en␈α}t
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εβd␈α␈igits␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αa␈α␈nd␈α
co␈α␈mp␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈te␈α␈d␈α
i␈α↓f␈α
the␈α
fractio␈α␈n␈α
i␈α↓s␈α
neg␈α␈ativ␈α␈e␈α␈,␈αso␈α
that␈α
|x␈α}ed␈α␈-␈α↓p␈α␈oin␈α}t
␈β∂↓␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈αis␈αp␈α␈reserv␈α}ed.
␈β∂5␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ(a)␈α
(06␈α␈,␈αε+.␈α↓1␈α␈234␈α␈56␈α␈79)␈ε↔␈α	λ␈εβ␈αλ(␈α↓0␈α␈6,␈ε↔␈αε␈␈εβ.12␈α␈345␈α␈678␈α␈),␈α≡(0␈α␈1,␈αε+.103␈α␈456␈α␈78␈α␈)␈ε↔␈α	λ␈εβ␈α	(00,␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α↓.94␈α␈00␈α␈000␈α␈0);
␈β∂\␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α(␈α↓9␈α␈9,␈αε+.87␈α␈654␈α␈321␈α␈)␈ε↔␈αλλ␈↓ ∧"␈εβitself␈↓ ∧h␈εβ,␈α→(99,␈αε+.99␈α␈999␈α␈999␈α␈)␈ε↔␈αλλ␈εβ␈απ(␈α↓9␈α␈1,␈αε+.500␈α␈00␈α␈000␈α␈)␈α↓.
␈β⊂⊂␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε	a␈↓ α&␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓5␈α␈0,␈αε+.100␈α␈000␈α␈00),␈↓ ∧y␈ε	b␈↓ ¬⊂␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓4␈α␈1,␈αε+.20␈α␈000␈α␈000␈α␈),␈↓ πc␈ε	c␈↓ πy␈εβ=␈↓ λ$␈ε	a␈↓ λ4␈εβ,␈↓ λF␈ε	d␈↓ λa␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ41,␈α¬+␈α↓.80␈α␈00␈α␈000␈α␈0),
␈β⊂7␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈εβ=␈α
(11␈α␈,␈αε+.␈α↓1␈α␈000␈α␈000␈α␈0).
␈β⊂k␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(50␈α␈,␈αε+␈α↓.9␈α␈999␈α␈900␈α␈0)␈ε↔␈απλ␈εβ␈αλ(55,␈α¬+␈α↓.99␈α␈999␈α␈00␈α␈0).
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(50␈α␈,␈αε+␈α↓.1␈α␈000␈α␈000␈α␈1)␈ε↔␈απ␈
␈εβ␈αλ(50,␈α¬+␈α↓.99␈α␈999␈α␈99␈α␈0).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.2.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα651
␈βα&␈↓ ε<␈ε~␈␈↓ εU␈εp␈↓ 
≥␈ε~␈␈↓ 
6␈εp
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈α
0␈α<␈ε↔␈αj␈↓ β↓␈ε	f␈↓ β≤␈ε↔j␈εβ␈α<␈ε↔␈αj␈↓ βg␈ε	f␈↓ β␈␈ε↔j␈εβ␈α↓,␈α
th␈α␈en␈ε↔␈αj␈↓ ∧u␈ε	f␈↓ ¬⊂␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ ¬[␈ε	f␈↓ ¬s␈ε↔j␈α	␈␈↓ ε.␈ε	b␈↓ εc␈εβ;␈α
hen␈α␈ce␈α1/␈↓ πx␈ε	b␈↓ λ⊃␈εβ<␈ε↔␈αj␈↓ λH␈ε	f␈↓ λb␈εβ/␈↓ λs␈ε	f␈↓ 	␈ε↔j␈α∀␈εβ␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
⊂␈ε	b␈↓ 
D␈εβ/␈ε↔j␈↓ 
↑␈ε	f␈↓ 
v␈ε↔j␈εβ␈α<
␈βα5␈↓ β␈εu␈↓ βq␈εv␈↓ ∧␈␈εu␈↓ ¬e␈εv␈↓ λR␈εu␈↓ λ⎇␈εv␈↓ 
h␈εv
␈βαN␈↓ α⊗␈ε~␈␈↓ α/␈εp␈↓ λF␈ε~␈␈↓ λ←␈εp␈↓ 
y␈ε~␈␈↓ ∩␈εp
␈βαO␈↓ πa␈εα(␈↓ 	M␈εα)
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ αλ␈ε	b␈↓ α=␈εβ.␈αIf␈α0␈α	<␈ε↔␈α
j␈↓ β@␈ε	f␈↓ βX␈ε↔j␈α
∀␈α
j␈↓ ∧∨␈ε	f␈↓ ∧9␈ε↔j␈εβ␈α↓,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈α1␈α␈/␈↓ ¬x␈ε	b␈↓ ε∞␈εβ<␈ε↔␈α
j␈↓ εB␈ε	f␈↓ ε]␈εβ/␈↓ εm␈ε	f␈↓ πε␈ε↔j␈εβ/␈↓ π ␈ε	b␈↓ π6␈ε↔∀␈↓ πm␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ8␈ε	b␈↓ λm␈εβ)/␈α␈(␈α↓1␈α␈/␈↓ 	5␈ε	b␈↓ 	B␈εβ)␈↓ 	Y␈εβ/␈↓ 	j␈ε	b␈↓ 
␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
l␈ε	b␈↓  ␈εβ.
␈βα\␈↓ βJ␈εv␈↓ ∧)␈εu␈↓ εL␈εu␈↓ εw␈εv
␈ββλ␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈α
J.␈α
Micha␈α␈el␈α∞Yo␈α␈he,␈ε⊂␈α∞IEEE␈α
Transa␈α␈ction␈α␈s␈ε∪␈α∞C␈α␈↑22␈εβ␈α
(1␈α␈973␈α␈),␈α∞577␈α␈↑58␈α␈6;␈α∞cf.␈α∞a␈α␈l␈α↓so␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈ββ0␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈.␈α↓2␈α␈.2↑2␈α␈4.
␈ββp␈↓ α␈ε∃FI␈α␈X␈↓ αt␈ε∃S␈α␈TJ␈↓ βp␈ε∃9␈α␈F
␈ββs␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ ¬S␈εβF␈α↓loa␈α␈t-to-|␈α␈x␈αsu␈α␈brou␈α␈tine:
␈β∧_␈↓ αt␈ε∃S␈α␈TA␈↓ βp␈ε∃T␈α␈EMP
␈β∧?␈↓ αt␈ε∃L␈α␈D1␈↓ βp␈ε∃T␈α␈EMP(␈α␈EXP␈α␈)
␈β∧B␈↓ ¬S␈εβrI␈↓ ¬k␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ ε0␈ε	e␈↓ ε=␈εβ.
␈β∧g␈↓ αt␈ε∃S␈α␈LA␈↓ βp␈ε∃1
␈β∧j␈↓ ¬S␈εβrA␈↓ εα␈ε↔ ␈α	ε␈↓ εS␈ε	f␈↓ εh␈ε	f␈↓ ε}␈ε	f␈↓ π∪␈ε	f␈↓ π(␈εβ0.
␈β¬∂␈↓ αt␈ε∃J␈α␈AZ␈↓ βp␈ε∃9␈α␈F
␈β¬∩␈↓ ¬S␈εβI␈α↓s␈αin␈α␈pu␈α␈t␈αzero?
␈β¬6␈↓ αt␈ε∃D␈α␈EC1␈↓ βp␈ε∃1
␈β¬↑␈↓ αt␈ε∃C␈α␈MPA␈↓ βp␈ε∃=␈α␈0=(1␈α␈:1)
␈β¬a␈↓ ¬S␈εβI␈α↓f␈αlea␈α␈ding␈α
by␈α␈te␈αi␈α↓s␈αz␈α␈ero,
␈βε¬␈↓ αt␈ε∃J␈α␈E␈↓ βp␈ε∃*␈α␈-4
␈βελ␈↓ ¬u␈εβsh␈α␈if␈α↓t␈αleft␈αa␈α␈gain␈α␈.
␈βε-␈↓ αt␈ε∃E␈α␈NN1␈↓ βp␈ε∃-␈α␈Q-4,␈α␈1
␈βεU␈↓ αt␈ε∃J␈α␈1N␈↓ βp␈ε∃F␈α␈IXOV␈α␈FLO
␈βεX␈↓ ¬S␈εβI␈α↓s␈αm␈α␈agn␈α␈itud␈α␈e␈αtoo␈αla␈α␈rge?
␈βε|␈↓ αt␈ε∃E␈α␈NTX␈↓ βp␈ε∃0
␈βπ$␈↓ αt␈ε∃S␈α␈RAX␈↓ βp␈ε∃0␈α␈,1
␈βπK␈↓ αt␈ε∃C␈α␈MPX␈↓ βp␈ε∃=␈α␈1//2␈α␈=
␈βπs␈↓ αt␈ε∃J␈α␈L␈↓ βp␈ε∃9␈α␈F
␈βλ≠␈↓ αt␈ε∃J␈α␈G␈↓ βp␈ε∃*␈α␈+2
␈βλB␈↓ αt␈ε∃J␈α␈AO␈↓ βp␈ε∃9␈α␈F
␈βλj␈↓ αt␈ε∃S␈α␈TA␈↓ βp␈ε∃*␈α␈+1(0␈α␈:0)
␈βλm␈↓ ¬S␈εβRoun␈α␈d,␈αif␈αnec␈α␈essary␈α␈.
␈β	⊃␈↓ αt␈ε∃I␈α␈NCA␈↓ βp␈ε∃1
␈β	∀␈↓ ¬S␈εβAdd␈ε↔␈αε␈εβ1␈α(o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αi␈α↓m␈α␈possib␈α␈l␈α↓e␈α␈).
␈β	9␈↓ α␈ε∃9H␈↓ αt␈ε∃J␈α␈MP␈↓ βp␈ε∃*
␈β	<␈↓ ¬S␈εβE␈α↓x␈α␈it␈αf␈α↓r␈α␈om␈αsu␈α␈brou␈α␈tine.
␈β	>␈↓ λ5␈∧	>λ5≠∂
␈β	⎇␈↓ α␈ε∃FP␈↓ αt␈ε∃S␈α␈TJ␈↓ βp␈ε∃E␈α␈XITF
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ ε;␈εβFract␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈αp␈α␈art␈αsu␈α␈brou␈α␈tine:
␈β
$␈↓ αt␈ε∃J␈α␈OV␈↓ βp␈ε∃O␈α␈FLO
␈β
'␈↓ ε;␈εβEnsu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈αi␈α↓s␈αo␈α␈{␈α↓.
␈β
L␈↓ αt␈ε∃S␈α␈TA␈↓ βp␈ε∃T␈α␈EMP␈↓ ε;␈ε∃TE␈α␈MP
␈β
O␈↓ π↔␈ε↔ ␈↓ πB␈ε	u␈↓ πV␈εβ.
␈β
s␈↓ αt␈ε∃E␈α␈NTX␈↓ βp␈ε∃0
␈β≠␈↓ αt␈ε∃S␈α␈LA␈↓ βp␈ε∃1
␈β≡␈↓ ε;␈εβrA␈↓ εi␈ε↔ ␈↓ π∀␈ε	f␈↓ π.␈εβ.
␈β)␈↓ π≡␈εu
␈βC␈↓ αt␈ε∃L␈α␈D2␈↓ βp␈ε∃T␈α␈EMP(␈α␈EXP␈α␈)
␈βF␈↓ ε;␈εβrI␈↓ εS␈εβ2␈ε↔␈α	 ␈↓ π↔␈ε	e␈↓ π4␈εβ.
␈βP␈↓ π#␈εu
␈βj␈↓ αt␈ε∃D␈α␈EC2␈↓ βp␈ε∃Q
␈β∩␈↓ αt␈ε∃J␈α␈2NP␈↓ βp␈ε∃*␈α␈+3
␈β9␈↓ αt␈ε∃S␈α␈LA␈↓ βp␈ε∃0␈α␈,2
␈β<␈↓ ε;␈εβRem␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αin␈α}teger␈αp␈α␈art␈αof␈↓ 	↔␈ε	u␈↓ 	+␈εβ.
␈βa␈↓ αt␈ε∃E␈α␈NT2␈↓ βp␈ε∃0
␈β
	␈↓ αt␈ε∃J␈α␈ANN␈↓ βp␈ε∃1␈α␈F
␈β
0␈↓ αt␈ε∃E␈α␈NN2␈↓ βp␈ε∃0␈α␈,2
␈β
3␈↓ ε;␈εβFract␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αis␈αneg␈α␈ativ␈α␈e␈α␈:␈α|␈α␈nd
␈β
X␈↓ αt␈ε∃S␈α␈RAX␈↓ βp␈ε∃0␈α␈,2
␈β
[␈↓ ε\␈εβits␈αcomp␈α␈lemen␈α}t.
␈β
␈␈↓ αt␈ε∃E␈α␈NT2␈↓ βp␈ε∃0
␈β∞'␈↓ αt␈ε∃J␈α␈AZ␈↓ βp␈ε∃*␈α␈+2
␈β∞O␈↓ αt␈ε∃I␈α␈NCA␈↓ βp␈ε∃1
␈β∞v␈↓ αt␈ε∃A␈α␈DD␈↓ βp␈ε∃W␈α␈M1
␈β∞y␈↓ ε;␈εβAd␈α␈d␈αw␈α␈ord␈α
si␈α↓z␈α␈e␈αmin␈α␈u␈α␈s␈αone␈α␈.
␈β∂≡␈↓ α␈ε∃1H␈↓ αt␈ε∃I␈α␈NC2␈↓ βp␈ε∃Q
␈β∂!␈↓ ε;␈εβPrepa␈α␈re␈αto␈αn␈α␈orma␈α␈li␈α↓ze␈α
the␈αa␈α␈nsw␈α␈er.
␈β∂E␈↓ αt␈ε∃J␈α␈MP␈↓ βp␈ε∃N␈α␈ORM
␈β∂H␈↓ ε;␈εβNo␈α␈rmalize,␈αrou␈α␈nd␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
exit.
␈β∂m␈↓ α␈ε∃8H␈↓ αt␈ε∃E␈α␈QU␈↓ βp␈ε∃1␈α␈(1:1␈α␈)
␈β⊂∃␈↓ α␈ε∃WM␈α␈1␈↓ αt␈ε∃C␈α␈ON␈↓ βp␈ε∃8␈α␈B-1,␈α␈8B-␈α␈1(1␈α␈:4)
␈β⊂_␈↓ ε;␈εβWord␈α
si␈α↓z␈α␈e␈αmin␈α␈u␈α␈s␈αone
␈β⊂~␈↓ 	∞␈∧⊂~	∞≠∂
␈β⊂K␈↓ λT␈εα(␈↓ 
λ␈εα)
␈β⊂N␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIf␈ε↔␈α
j␈↓ α9␈ε	c␈↓ αF␈ε↔j␈α
∃␈α
j␈↓ β∪␈ε	d␈↓ β&␈ε↔j␈εβ,␈α∞th␈α␈en␈α
set␈↓ ∧J␈ε	r␈↓ ∧e␈ε↔ ␈↓ ¬∪␈ε	d␈↓ ¬/␈ε↔␈↓ ¬Y␈ε	c␈↓ ¬f␈εβ,␈↓ ¬⎇␈ε	s␈↓ ε↔␈ε↔ ␈↓ εF␈ε	c␈↓ ε[␈ε↔λ␈εβ␈α
(␈↓ π⊃␈ε	r␈↓ π(␈ε↔␈
␈↓ πR␈ε	d␈↓ πe␈εβ);␈↓ λπ␈ε	x␈↓ λ&␈ε↔ ␈↓ λ`␈ε	a␈↓ λy␈ε↔λ␈εβ␈α	(␈↓ 	.␈ε	b␈↓ 	D␈ε↔␈
␈↓ 	n␈ε	r␈↓ 	⎇␈εβ)␈↓ 
≥␈ε↔␈↓ 
G␈ε	s␈↓ 
U␈εβ,␈↓ 
l␈ε	y␈↓ ␈ε↔ 
␈β⊂s␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αy␈εα)␈↓ 	&␈εα(␈↓ 
X␈εα)
␈β⊂v␈↓ ↓T␈ε	b␈↓ ↓i␈ε↔␈	␈εβ␈αλ(␈↓ α≥␈ε	a␈↓ α6␈ε↔␈
␈↓ α←␈ε	r␈↓ αn␈εβ)␈↓ β
␈ε↔␈↓ β7␈ε	s␈↓ βD␈εβ.␈α∂Oth␈α␈erwise␈αset␈↓ ¬/␈ε	r␈↓ ¬I␈ε↔ ␈↓ ¬u␈ε	c␈↓ ε
␈ε↔␈↓ ε3␈ε	d␈↓ εF␈εβ,␈↓ ε\␈ε	s␈↓ εt␈ε↔ ␈↓ π!␈ε	d␈↓ π;␈ε↔λ␈εβ␈α	(␈↓ πp␈ε	r␈↓ λε␈ε↔␈
␈↓ λ0␈ε	c␈↓ λ=␈εβ);␈↓ λ↑␈ε	x␈↓ λz␈ε↔ ␈↓ 	2␈εβ(␈↓ 	>␈ε	a␈↓ 	V␈ε↔␈
␈↓ 	␈␈ε	r␈↓ 
∞␈εβ)␈ε↔␈αλλ␈↓ 
K␈ε	b␈↓ 
l␈ε↔␈↓ ∃␈ε	s␈↓ #␈εβ,
␈β⊃~␈↓ α∞␈εα(␈↓ β<␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈ε↔ ␈↓ α~␈εβ(␈↓ α%␈ε	b␈↓ α:␈ε↔␈
␈↓ αb␈ε	r␈↓ αq␈εβ)␈ε↔␈απ␈	␈↓ β,␈ε	a␈↓ βP␈ε↔␈↓ βx␈ε	s␈↓ ∧ε␈εβ.␈αThen␈↓ ∧q␈ε	x␈↓ ¬
␈εβ+␈↓ ¬2␈ε	i␈↓ ¬?␈ε	y␈↓ ¬]␈εβis␈αth␈α␈e␈αdesired␈α
ap␈α␈pro␈α}ximatio␈α␈n␈αto␈α(␈↓ 	;␈ε	a␈↓ 	R␈εβ+␈↓ 	{␈ε	b␈↓ 
λ␈ε	i␈↓ 
∃␈εβ)/(␈↓ 
<␈ε	c␈↓ 
P␈εβ+␈↓ 
y␈ε	d␈↓ ␈ε	i␈↓ _␈εβ).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα652␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.2.1
␈βα*␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂CA␈α␈CM␈ε∪␈απ5␈εβ␈αλ(19␈α␈63),␈α	4␈α␈35.␈α
Oth␈α␈er␈αλalg␈α␈orithm␈α␈s␈αλfor␈αλco␈α␈mplex␈απarith␈α␈metic␈αλan␈α␈d␈αλfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλev␈α␈alu␈α␈ation
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αλgiv␈α}en␈απby␈απP␈α↓.␈αλWyn␈α␈n,␈ε⊂␈αλB␈α↓IT␈ε∪␈απ2␈εβ␈αλ(19␈α␈62),␈α	2␈α␈32␈α␈↑25␈α␈5;␈α	see␈αλa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αλPau␈α␈l␈α	Fried␈α␈l␈α↓a␈α␈nd␈α␈,␈ε⊂␈α	CA␈α␈CM␈ε∪␈απ10␈εβ␈απ(196␈α␈7),
␈βαy␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈65.]
␈ββ-␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αRob␈α␈ert␈αM␈α␈orris,␈ε⊂␈αIEE␈α↓E␈αTra␈α␈nsa␈α␈ctions␈ε∪␈αC↑2␈α␈0␈εβ␈α(19␈α␈71),␈α15␈α␈78↑␈α␈157␈α␈9.␈α
Error␈αa␈α␈naly␈α␈sis␈αis
␈ββU␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αεd␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t␈αεwith␈α¬such␈α¬sy␈α␈stems,␈απso␈α¬i␈α↓n␈α}terva␈α␈l␈αεarithm␈α␈etic␈αεis␈αεcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈gly␈α¬more␈αεd␈α␈esirab␈α␈le.
␈β∧	␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβFor␈απp␈α␈ositiv␈α␈e␈αεn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈:␈α
sh␈α␈ift␈απfraction␈αεleft␈απu␈α␈n␈α␈til␈↓ π
␈ε	f␈↓ π*␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αλthen␈αεro␈α␈un␈α␈d,␈αλth␈α␈en␈αεi␈α↓f␈απt␈α␈he␈απfra␈α␈ction
␈β∧∀␈↓ π∀␈εε1
␈β∧1␈↓ ↓H␈εβis␈α	zero␈α	(roun␈α␈din␈α␈g␈α
o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w)␈α
sh␈α␈ift␈α
it␈α
righ␈α}t␈α
ag␈α␈ain.␈α
F␈α↓o␈α␈r␈α
n␈α␈egat␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers:␈α
shift␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	l␈α↓e␈α␈ft
␈β∧X␈↓ ↓H␈εβu␈α␈n␈α␈til␈↓ α⊗␈ε	f␈↓ α6␈εβ=␈α	0,␈αthe␈α␈n␈αro␈α␈un␈α␈d,␈αth␈α␈en␈α
i␈α↓f␈α
the␈α
f␈α↓r␈α␈action␈α
is␈αzero␈α
(rou␈α␈nd␈α␈ing␈α
un␈α␈der⎇␈α␈o␈α␈w)␈αsh␈α␈ift␈αit␈αrigh␈α}t
␈β∧c␈↓ α ␈εε1
␈β¬␈↓ ↓H␈εβa␈α␈gain␈α␈.
␈β¬1␈↓ α␈εα(
␈β¬4␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α_␈εβ43␈αα+␈αβ(␈α↓1␈απif␈↓ β ␈ε	e␈↓ βD␈εβ<␈↓ βn␈ε	e␈↓ ∧␈εβ)␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈αβ(1␈απi␈α↓f␈απfraction␈απo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w)␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈α∧(1␈α␈0␈αλif␈αλres␈α␈ult␈αλzer␈α␈o)␈αβ+␈αβ(4␈αλif␈αλma␈α␈gn␈α␈i␈α↓tu␈α␈de␈απis
␈β¬?␈↓ β,␈εv␈↓ βz␈εu
␈β¬\␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈ded␈αλu␈α␈p)␈α∧+␈α¬(1␈αλif␈α	|rst␈αλroun␈α␈din␈α␈g␈α	d␈α␈igit␈α	is␈↓ ε→␈ε	b␈↓ ε&␈εβ/2␈α␈)␈α¬+␈α∧(␈α↓5␈αλif␈α	rou␈α␈nd␈α␈ing␈αλdigits␈α	a␈α␈re␈↓ 	V␈ε	b␈↓ 	c␈εβ/2␈α∧0␈↓ 
∨␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
K␈εβ0)␈α∧+␈α¬(7
␈βε␈↓ πL␈εα)
␈βεβ␈↓ ↓H␈εβif␈α
rou␈α␈nd␈α␈ing␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w)␈αε+␈αε7␈↓ ∧1␈ε	N␈↓ ∧V␈εβ+␈↓ ∧⎇␈ε	A␈↓ ¬∀␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈αε+␈αε(1␈α␈1␈α
if␈↓ εR␈ε	N␈↓ εz␈εβ>␈α
0))␈↓ πX␈ε	u␈↓ πl␈εβ,␈α
where␈↓ λ↑␈ε	N␈↓ 	π␈εβis␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈f␈α
l␈α↓e␈α␈ft
␈βε+␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ifts␈α
d␈α␈urin␈α␈g␈α	no␈α␈rmalizatio␈α␈n,␈↓ ∧a␈ε	A␈↓ ¬␈εβ=␈α
1␈α	if␈α	rX␈α	receiv␈α␈e␈α␈s␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈α	d␈α␈igits␈α	(␈α↓o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈↓ 	z␈ε	A␈↓ 
→␈εβ=␈α
0␈α␈).␈αThe
␈βεR␈↓ ↓H␈εβm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αtime␈αo␈α␈f␈α7␈α␈3␈↓ βx␈ε	u␈↓ ∧↔␈εβocc␈α␈urs␈αfor␈αe␈α␈xam␈α␈ple␈αwhe␈α␈n
␈βπ#␈↓ β ␈ε	u␈↓ β=␈εβ=␈α
+50␈απ0␈α␈1␈απ00␈απ00␈απ00␈α␈,␈↓ ¬⎇␈ε	v␈↓ ε_␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓4␈α␈6␈απ49␈απ99␈απ9␈α␈9␈αλ9␈α␈9,␈↓ λX␈ε	b␈↓ λn␈εβ=␈α
10␈α␈0.
␈βπp␈↓ 	z␈εε1
␈βπs␈↓ ↓H␈εβ[Th␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αt␈α␈i␈α↓m␈α␈e,␈αc␈α␈onsid␈α␈ering␈αt␈α␈he␈αd␈α␈ata␈αin␈αS␈α␈ection␈α
4.2.4,␈αwill␈αb␈α␈e␈αab␈α␈out␈α4␈α␈5␈↓ 

␈ε	u␈↓ 
≡␈εβ.]
␈βλα␈↓ 	z␈∧λα	zα
␈βλ∧␈↓ 	z␈εε2
␈βλs␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.2␈α␈.2
␈β	G␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	u␈↓ α'␈ε↔␈	␈↓ αP␈ε	v␈↓ αk␈εβ=␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β1␈ε↔λ␈απ␈␈↓ β{␈ε	v␈↓ ∧∃␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧a␈ε	v␈↓ ∧z␈ε↔λ␈↓ ¬#␈ε	u␈↓ ¬@␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ ε↔␈ε	v␈↓ ε0␈ε↔λ␈απ␈␈↓ εz␈ε	u␈↓ π∞␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ πy␈ε	v␈↓ λ∩␈ε↔␈	␈↓ λ;␈ε	u␈↓ λO␈εβ).
␈β	{␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈ε	u␈↓ α(␈ε↔λ␈↓ αR␈ε	x␈↓ αo␈ε↔∃␈↓ β≤␈ε	u␈↓ β8␈ε↔λ␈εβ␈αλ0␈α=␈↓ ∧*␈ε	u␈↓ ∧>␈εβ,␈α
by␈α(8),␈α
(2␈α␈)␈α↓,␈α
(6␈α␈);␈α∞h␈α␈enc␈α␈e␈α
b␈α␈y␈α(8)␈αaga␈α␈in,␈α
(␈↓ λn␈ε	u␈↓ 	
␈ε↔λ␈↓ 	4␈ε	x␈↓ 	E␈εβ)␈ε↔␈α	λ␈↓ 
α␈ε	v␈↓ 
∨␈ε↔∃␈↓ 
L␈ε	u␈↓ 
h␈ε↔λ␈↓ ∩␈ε	v␈↓ #␈εβ.
␈β
#␈↓ ↓H␈εβS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈α(8)␈αan␈α␈d␈α(6)␈αtog␈α␈eth␈α␈er␈αwi␈α↓th␈α
(2)␈αimply␈α
that␈α(␈↓ π7␈ε	u␈↓ πR␈ε↔λ␈↓ π{␈ε	x␈↓ λ␈εβ)␈ε↔␈αλλ␈εβ␈απ(␈↓ λS␈ε	v␈↓ λk␈ε↔λ␈↓ 	∀␈ε	y␈↓ 	&␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	(␈↓ 	p␈ε	u␈↓ 
␈ε↔λ␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈ε↔␈απλ␈↓ ↓␈ε	v␈↓ ∪␈εβ.
␈β
W␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	u␈↓ α1␈εβ=␈α∩8␈α␈.000␈α␈000␈α␈1,␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧/␈εβ=␈α⊃1.25␈α␈000␈α␈08,␈↓ ε
␈ε	w␈↓ ε4␈εβ=␈α⊃8.00␈α␈000␈α␈08;␈α∩(␈↓ λ≠␈ε	u␈↓ λ:␈ε↔␈
␈↓ λf␈ε	v␈↓ λw␈εβ)␈ε↔␈α␈
␈↓ 	8␈ε	w␈↓ 	b␈εβ=␈α∩8␈α␈0.000␈α␈064␈α␈,
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓c␈ε↔␈
␈εβ␈αλ(␈↓ α↔␈ε	v␈↓ α0␈ε↔␈
␈↓ αX␈ε	w␈↓ αq␈εβ)␈α	=␈α
80␈α␈.␈α↓0␈α␈000␈α␈57␈α␈.
␈β3␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβYes;␈αlet␈α1/␈↓ β&␈ε	u␈↓ βC␈ε↔→␈↓ βm␈ε	v␈↓ ∧λ␈εβ=␈↓ ∧3␈ε	w␈↓ ∧K␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬@␈ε	v␈↓ ¬\␈εβi␈α↓s␈αlarg␈α␈e.
␈βg␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβNot␈αa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys;␈αin␈αd␈α␈ecimal␈αarith␈α␈metic␈αtak␈α}e␈↓ εP␈ε	u␈↓ εm␈εβ=␈↓ π_␈ε	v␈↓ π2␈εβ=␈α
9.
␈β↔␈↓ π≡␈ε~␈␈↓ π7␈εp
␈β≠␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a)␈αλYes.␈α∩(b)␈αλOnly␈αλfo␈α␈r␈↓ ∧=␈ε	b␈↓ ∧M␈εβ+␈↓ ∧r␈ε	p␈↓ ¬
␈ε↔∀␈εβ␈α	4␈αλ(try␈↓ ε⊂␈ε	u␈↓ ε-␈εβ=␈α
1␈ε↔␈αβ␈␈↓ π⊃␈ε	b␈↓ πE␈εβ).␈α[W.␈α	M␈α␈.␈α	Ka␈α␈han␈απobs␈α␈erv␈α␈es␈αλth␈α␈at␈αλthe
␈β?␈↓ ∧l␈ε~␈␈εε1␈↓ ε!␈ε~␈␈εε1/␈α␈2
␈β@␈↓ λz␈εα(␈↓ 
!␈εα)
␈βC␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈ε⊂␈απdo␈α␈es␈εβ␈αλh␈α␈old␈αλwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ ∧↑␈ε	b␈↓ ¬≠␈ε↔∀␈↓ ¬E␈ε	f␈↓ ¬i␈ε↔∀␈↓ ε∀␈ε	b␈↓ ε`␈εβ.␈α
It␈αλfollo␈α␈ws␈αλth␈α␈at␈αλ1␈ε↔␈αα␈↓ 	ε␈εβ1␈ε↔␈αβ␈εβ␈αβ(␈α↓1␈ε↔␈αα␈↓ 
α␈ε	u␈↓ 
⊗␈εβ)␈↓ 
6␈εβ=␈α	1␈ε↔␈αβ␈↓ _␈ε	u
␈βM␈↓ ¬O␈εu
␈βj␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ α*␈ε	u␈↓ α>␈εβ.]
␈β
≡␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	u␈↓ αL␈εβa␈α␈nd␈↓ β␈ε	v␈↓ β(␈εβare␈α
con␈α␈secu␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g-b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,␈↓ π␈␈ε	u␈↓ λ~␈ε↔λ␈↓ λB␈ε	v␈↓ λ]␈εβ=␈α	2␈↓ 	_␈ε	u␈↓ 	7␈εβor␈α
2␈↓ 	p␈ε	v␈↓ 
↓␈εβ.␈αW␈α↓h␈α␈en␈α
i␈α↓t␈α
is
␈β
%␈↓ β[␈ε↓b␈↓ ∧7␈ε↓b␈↓ ¬-␈ε↓b
␈β
B␈↓ β↑␈εε2␈↓ ∧:␈εε2␈↓ ¬0␈εε2
␈β
F␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	v␈↓ ↓r␈εβwe␈αλoften␈αλh␈α␈av␈α␈e␈↓ β@␈ε	u␈↓ βy␈ε↔λ␈↓ ∧≡␈ε	v␈↓ ∧Y␈εβ<␈α
2␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬F␈εβ.␈αFor␈αλexa␈α␈mple,␈↓ π!␈ε	u␈↓ π>␈εβ=␈α
(.10␈↓ λ$␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λQ␈εβ0␈α␈01␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	~␈εβ,␈↓ 	-␈ε	v␈↓ 	G␈εβ=␈α
(.10␈↓ 
-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
Z␈εβ0␈α␈10␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β
L␈↓ βc␈ε↓b␈↓ ∧E␈ε↓b
␈β
Q␈↓ 	∞␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β
i␈↓ βf␈εε2␈↓ ∧H␈εε2
␈β
n␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓c␈ε↔λ␈↓ α␈ε	v␈↓ α&␈εβ=␈α
2␈↓ αb␈ε	v␈↓ αs␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ βH␈ε	u␈↓ ∧∧␈εβ+␈↓ ∧-␈ε	v␈↓ ∧h␈εβ=␈α	(.␈α↓1␈α␈0␈↓ ¬M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬z␈εβ0␈α␈11␈↓ ε,␈εβ)␈↓ εC␈εβ.
␈β
x␈↓ ε7␈εε2
␈β∞"␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ(a)␈ε↔␈α_␈εβ,␈ε↔␈α→␈εβ;␈α→(b)␈ε↔␈α_␈εβ,␈ε↔␈α→␈εβ;␈α~(c␈α␈)␈ε↔␈α_␈εβ,␈ε↔␈α→␈εβ␈α↓;␈α→(d)␈ε↔␈α_␈εβ;␈α~(e)␈ε↔␈α_␈εβ.
␈β∞R␈↓ πλ␈εe␈↓ π"␈ε~␈␈↓ π;␈εq␈↓ πc␈εe␈↓ λ␈ε~␈␈↓ λ→␈εq␈↓ 	T␈εe␈↓ 	l␈ε~␈␈↓ 
¬␈εq␈↓ 
.␈εe␈↓ 
K␈ε~␈␈↓ 
d␈εq
␈β∞V␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε↔j␈↓ α∃␈ε	u␈↓ α4␈ε↔␈␈↓ α←␈ε	w␈↓ αx␈ε↔j␈α⊂∀␈α⊃j␈↓ βL␈ε	u␈↓ βj␈ε↔␈␈↓ ∧⊗␈ε	v␈↓ ∧'␈ε↔j␈εβ␈α+␈ε↔␈α
j␈↓ ∧o␈ε	v␈↓ ¬␈ε↔␈␈↓ ¬6␈ε	w␈↓ ¬O␈ε↔j␈α⊃∀␈↓ ε~␈ε	∂␈↓ ε8␈εβmin␈↓ εp␈εβ(␈↓ ε{␈ε	b␈↓ πG␈εβ,␈↓ πV␈ε	b␈↓ λ%␈εβ)␈α+␈↓ λf␈ε	∂␈↓ 	∧␈εβmin␈↓ 	<␈εβ(␈↓ 	G␈ε	b␈↓ 
∩␈εβ,␈↓ 
 ␈ε	b␈↓ 
p␈εβ)␈ε↔␈α⊂∀
␈β∞X␈↓ π∪␈ε
u␈↓ πn␈ε
w␈↓ 	←␈ε
v␈↓ 
8␈ε
w
␈β∞`␈↓ ε&␈εε1␈↓ λr␈εε2
␈β∞y␈↓ ↓m␈εe␈↓ απ␈ε~␈␈↓ α ␈εq␈↓ ββ␈εe␈↓ β ␈ε~␈␈↓ β9␈εq␈↓ ¬P␈εe␈↓ ¬i␈ε~␈␈↓ εβ␈εq␈↓ ε+␈εe␈↓ εH␈ε~␈␈↓ εa␈εq
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈ε	∂␈↓ ↓`␈ε	b␈↓ α4␈εβ+␈↓ α]␈ε	∂␈↓ αv␈ε	b␈↓ βO␈ε↔∀␈εβ␈α(␈↓ ∧ε␈ε	∂␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧O␈ε	∂␈↓ ∧h␈εβ)␈↓ ∧x␈εβmax␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε	b␈↓ ε∂␈εβ,␈↓ ε≥␈ε	b␈↓ εm␈εβ).␈α
Th␈α␈e␈αres␈α␈ult␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αbe␈αstren␈α␈gthe␈α␈ned␈αin
␈β∂␈↓ ↓x␈ε
u␈↓ β
␈ε
w␈↓ ¬Z␈ε
u␈↓ ε5␈ε
w
␈β∂λ␈↓ ↓T␈εε1␈↓ αi␈εε2␈↓ ∧∩␈εε1␈↓ ∧[␈εε2
␈β∂%␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ral,␈α∞sin␈α␈ce␈α
for␈αexa␈α␈mple␈α
w␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αhav␈α}e␈↓ ε8␈ε	e␈↓ εa␈εβv␈α}ery␈α
sm␈α␈all␈α
com␈α␈pare␈α␈d␈α
to␈αbo␈α␈th␈↓ 
~␈ε	e␈↓ 
A␈εβa␈α␈nd␈↓ β␈ε	e␈↓ #␈εβ,
␈β∂0␈↓ εD␈εu␈↓ 
&␈εv␈↓ ∂␈εw
␈β∂M␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αmea␈α␈ns␈αth␈α␈at␈↓ βw␈ε	u␈↓ ∧∩␈ε↔␈␈↓ ∧;␈ε	w␈↓ ∧←␈εβmigh␈α}t␈αbe␈αfa␈α␈i␈α↓rly␈αla␈α␈rge␈αu␈α␈nd␈α␈er␈αthe␈αh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses.
␈β⊂↓␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβWe␈αha␈α␈v␈α␈e␈α(.␈↓ β*␈ε	a␈↓ βL␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βx␈ε	a␈↓ ∧;␈ε	a␈↓ ∧Y␈εβ)␈↓ ∧v␈ε↔␈
␈εβ␈αλ(.9␈↓ ¬J␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬v␈εβ99␈↓ ε↔␈εβ)␈↓ ε7␈εβ=␈α	(.␈↓ εv␈ε	a␈↓ π↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πD␈ε	a␈↓ λπ␈εβ(␈↓ λ∩␈ε	a␈↓ λ7␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	≥␈εβif␈↓ 	<␈ε	a␈↓ 	c␈ε↔∃␈εβ␈α	1;␈αhere␈α
\9"
␈β⊂␈↓ β:␈εε1␈↓ ∧λ␈εp␈↓ ∧⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧K␈εp␈↓ ∧d␈εb␈↓ ε"␈εb␈↓ π¬␈εε1␈↓ πS␈εp␈↓ πa␈ε~␈␈εε1␈↓ λ"␈εp␈↓ 	ε␈εb␈↓ 	L␈εp
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈nd␈α␈s␈α
for␈↓ αf␈ε	b␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈.␈α⊂Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α∞(.␈↓ ¬3␈ε	a␈↓ ¬U␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε↓␈ε	a␈↓ εD␈ε	a␈↓ εb␈εβ)␈↓ π␈ε↔␈
␈εβ␈α	(1.0␈↓ πe␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ⊃␈εβ0␈↓ λ"␈εβ)␈↓ λD␈εβ=␈α(.␈↓ 	ε␈ε	a␈↓ 	'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	T␈ε	a␈↓ 
↔␈εβ0␈↓ 
'␈εβ)␈↓ 
>␈εβ,␈α
so␈αthe
␈β⊂3␈↓ ¬B␈εε1␈↓ ε⊂␈εp␈↓ ε≡␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εT␈εp␈↓ εm␈εb␈↓ λ-␈εb␈↓ 	∃␈εε1␈↓ 	c␈εp␈↓ 	q␈ε~␈␈εε1␈↓ 
3␈εb
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈αλis␈αλnot␈αλmo␈α␈noto␈α␈ne␈αλif␈↓ ¬&␈ε	b␈↓ ¬<␈εβ>␈α
2␈αλan␈α␈d␈↓ ε>␈ε	a␈↓ εe␈ε↔∃␈εβ␈α	2.␈αBu␈α␈t␈α	wh␈α␈en␈↓ λF␈ε	b␈↓ λ]␈εβ=␈α	2,␈α	th␈α␈i␈α↓s␈αλarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αλcan
␈β⊂Z␈↓ εN␈εp
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αλexten␈α␈de␈α␈d␈αλto␈αλsho␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈ε⊂␈αλis␈εβ␈α	m␈α␈ono␈α␈ton␈α␈e;␈α
o␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly␈αλth␈α␈e␈α	\␈α␈certain␈αλco␈α␈mpu␈α␈ter"
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβh␈α␈ad␈↓ αλ␈ε	b␈↓ α∨␈εβ>␈α	2.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.2.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα653
␈βα&␈↓ λ0␈εp
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβWi␈α↓th␈α␈ou␈α␈t␈α
lo␈α␈ss␈α
o␈α␈f␈α
gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ity␈α␈,␈α
l␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ ¬q␈εβb␈α␈e␈αan␈αin␈α␈teg␈α␈er,␈ε↔␈α
j␈↓ πP␈ε	x␈↓ πb␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ λ#␈ε	b␈↓ λ>␈εβ.␈α⊂If␈↓ λy␈ε	e␈↓ 	∩␈ε↔∀␈εβ␈α0␈αth␈α␈en␈↓ 
)␈ε	t␈↓ 
@␈εβ=␈α0.␈α∂If
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ0␈α	<␈↓ α␈ε	e␈↓ α"␈ε↔∀␈↓ αM␈ε	p␈↓ αh␈εβth␈α␈en␈↓ β2␈ε	x␈↓ βI␈ε↔␈␈↓ βp␈ε	t␈↓ ∧ε␈εβha␈α␈s␈α
at␈α	most␈↓ ¬8␈ε	p␈↓ ¬N␈εβ+␈αε1␈α
d␈α␈igits,␈αth␈α␈e␈α
lea␈α␈st␈α
sign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α}t␈α
be␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
z␈α␈ero.␈αIf␈↓ 
[␈ε	e␈↓ 
q␈εβ>␈↓ ≤␈ε	p
␈βαu␈↓ 
_␈εe
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε	x␈↓ α,␈ε↔␈␈↓ αU␈ε	t␈↓ αj␈εβ=␈α
0␈α␈.␈α[Th␈α␈e␈αresult␈αh␈α␈olds␈αa␈α␈l␈α↓so␈α
un␈α␈der␈αth␈α␈e␈αw␈α␈eak␈α}er␈αh␈α␈y␈α␈po␈α␈thesis␈ε↔␈αj␈↓ 	1␈ε	t␈↓ 	=␈ε↔j␈εβ␈α	<␈α
2␈↓ 
␈ε	b␈↓ 
#␈εβ.]
␈ββ%␈↓ λ>␈εp␈↓ λL␈ε~␈␈εε1
␈ββ)␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈α∂th␈α␈at␈↓ βU␈ε	e␈↓ ∧␈εβ=␈↓ ∧1␈ε	p␈↓ ∧B␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε	e␈↓ ¬∧␈ε↔∀␈εβ␈α∂0␈α␈,␈↓ ¬]␈ε	u␈↓ ε␈εβ>␈α∂0.␈α⊗C␈α␈ase␈α∞1,␈↓ π↑␈ε	u␈↓ λ↓␈εβ>␈↓ λ1␈ε	b␈↓ λr␈εβ.␈α∃Case␈α∞(1b␈α␈)␈α↓,␈↓ 
7␈ε	w␈↓ 
←␈εβ=␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈ββ3␈↓ βa␈εu␈↓ ∧f␈εv
␈ββL␈↓ β1␈ε~0␈↓ ∧#␈ε~0␈↓ ¬∃␈ε~0␈α↓0␈↓ ε∞␈ε~0␈α↓0
␈ββM␈↓ α#␈εε1␈↓ πo␈εε1
␈ββP␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	v␈↓ ↓b␈ε↔j␈α
∀␈↓ α3␈εβ.␈αThen␈↓ β≥␈ε	u␈↓ β@␈εβ=␈↓ βk␈ε	u␈↓ β␈␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	v␈↓ ∧3␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ ¬↓␈ε	u␈↓ ¬+␈εβ=␈↓ ¬V␈ε	u␈↓ ¬j␈εβ,␈↓ ¬⎇␈ε	v␈↓ ε$␈εβ=␈α
0.␈α
If␈ε↔␈α
j␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π.␈ε↔j␈εβ␈α	=␈↓ λ	␈εβa␈α␈nd␈α	mo␈α␈re␈α
g␈α␈ener␈α␈al␈α
rou␈α␈nd␈α␈ing␈α	is
␈ββ←␈↓ α#␈∧β←α#α
␈↓ πo␈∧β←πoα
␈ββa␈↓ α#␈εε2␈↓ πo␈εε2
␈ββt␈↓ ¬_␈ε~0␈↓ εM␈ε~0␈α↓0
␈ββu␈↓ ∪␈εε1
␈ββx␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ermitted␈α
we␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αalso␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬∧␈ε	u␈↓ ¬(␈εβ=␈↓ ¬R␈ε	u␈↓ ¬n␈ε↔ε␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ε<␈ε	v␈↓ εd␈εβ=␈ε↔␈α
π␈εβ1␈α␈.␈αCase␈α(1c),␈↓ λq␈ε	w␈↓ 	∀␈εβ=␈↓ 	>␈ε	u␈↓ 	Z␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ 
(␈ε	v␈↓ 
C␈ε↔∀␈α
␈␈↓ #␈εβ,
␈β∧ε␈↓ ∪␈∧∧ε∪α
␈β∧λ␈↓ ∪␈εε2
␈β∧≠␈↓ β-␈ε~0␈↓ ¬2␈ε~0␈↓ εK␈ε~0␈α↓0␈↓ πJ␈ε~0␈α↓0␈↓ 
p␈εp␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧ ␈↓ ↓H␈ε	e␈↓ ↓m␈εβ=␈α0.␈α∞Then␈↓ β→␈ε	u␈↓ β?␈εβ=␈↓ βk␈ε	u␈↓ ∧␈εβor␈↓ ∧5␈ε	u␈↓ ∧Q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ¬!␈ε	v␈↓ ¬C␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ1,␈↓ ε7␈ε	u␈↓ εc␈εβ=␈↓ π∂␈ε	u␈↓ π#␈εβ,␈↓ π9␈ε	v␈↓ πb␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈αor␈α0.␈α∞Case␈α2␈α␈,␈↓ 
↔␈ε	u␈↓ 
6␈εβ=␈↓ 
b␈ε	b␈↓ #␈εβ.
␈β∧*␈↓ ↓T␈εv
␈β∧C␈↓ 
S␈ε~0
␈β∧D␈↓ ∧l␈εε1␈↓ 
→␈εε1
␈β∧G␈↓ ↓H␈εβCa␈α␈se␈α(2a␈α␈),␈↓ αf␈ε	w␈↓ β
␈εβ=␈↓ β5␈ε	u␈↓ βQ␈εβ+␈α	1␈α␈,␈↓ ∧ ␈ε	v␈↓ ∧<␈ε↔∃␈↓ ∧|␈εβ,␈↓ ¬⊃␈ε	e␈↓ ¬6␈εβ=␈α0␈α␈.␈α∞Lik␈α␈e␈α(␈α↓1␈α␈a).␈α
Case␈α(2␈α␈b),␈↓ λC␈ε	w␈↓ λf␈εβ=␈↓ 	∩␈ε	u␈↓ 	&␈εβ,␈ε↔␈αj␈↓ 	E␈ε	v␈↓ 	V␈ε↔j␈α∀␈↓ 
)␈εβ,␈↓ 
?␈ε	u␈↓ 
c␈ε↔∃␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β∧R␈↓ ¬≥␈εv
␈β∧U␈↓ ∧l␈∧∧U∧lα
␈↓ 
→␈∧∧U
→α
␈β∧W␈↓ ∧l␈εε2␈↓ 
→␈εε2
␈β∧k␈↓ ¬O␈εε1␈↓ ελ␈ε~0␈↓ πW␈ε~0
␈β∧o␈↓ ↓H␈εβLik␈α␈e␈α(1b␈α␈).␈αCase␈α(2␈α␈c),␈↓ β⎇␈ε	w␈↓ ∧∨␈εβ=␈↓ ∧J␈ε	u␈↓ ∧↑␈εβ,␈ε↔␈αj␈↓ ∧|␈ε	v␈↓ ¬
␈ε↔j␈α
∀␈↓ ¬←␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	u␈↓ ε_␈εβ<␈↓ εB␈ε	u␈↓ εV␈εβ.␈αThen␈↓ πB␈ε	u␈↓ πf␈εβ=␈↓ λ⊃␈ε	u␈↓ λ-␈ε↔␈␈↓ λV␈ε	j␈↓ λe␈εβ/␈↓ λu␈ε	b␈↓ 	∞␈εβwh␈α␈ere␈↓ 	n␈ε	v␈↓ 
	␈εβ=␈↓ 
4␈ε	j␈↓ 
C␈εβ/␈↓ 
T␈ε	b␈↓ 
h␈εβ+␈↓ ⊃␈ε	v
␈β∧y␈↓  ␈εε1
␈β∧⎇␈↓ ¬O␈∧∧⎇¬Oα
␈β∧␈␈↓ ¬O␈εε2
␈β¬∩␈↓ β∞␈ε~␈␈εε1␈↓ λ@␈ε~0␈↓ 	7␈ε~00␈↓ 
4␈ε~00
␈β¬∪␈↓ αq␈εε1␈↓ ε{␈εε1
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈αj␈↓ α∩␈ε	v␈↓ α.␈ε↔j␈α
∀␈↓ β↓␈ε	b␈↓ β@␈εβfo␈α␈r␈αsom␈α␈e␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈te␈α␈ger␈↓ ε2␈ε	j␈↓ εL␈ε↔∀␈↓ π␈ε	b␈↓ π→␈εβ;␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ λ/␈ε	v␈↓ λQ␈εβ=␈α0␈α␈,␈↓ 	#␈ε	u␈↓ 	N␈εβ=␈↓ 	y␈ε	u␈↓ 

␈εβ,␈↓ 
"␈ε	v␈↓ 
K␈εβ=␈↓ 
v␈ε	j␈↓ ¬␈εβ/␈↓ ⊗␈ε	b␈↓ #␈εβ.
␈β¬!␈↓ α!␈εε1
␈β¬%␈↓ αq␈∧¬%αqα
␈↓ ε{␈∧¬%ε{α
␈β¬'␈↓ αq␈εε2␈↓ ε{␈εε2
␈β¬:␈↓ 
P␈ε~␈␈εε1
␈β¬;␈↓ 
3␈εε1
␈β¬>␈↓ ↓H␈εβCa␈α␈se␈α∞(2d␈α␈),␈↓ αm␈ε	w␈↓ β∪␈εβ<␈↓ βB␈ε	u␈↓ βW␈εβ.␈α∪The␈α␈n␈↓ ∧M␈ε	w␈↓ ∧s␈εβ=␈↓ ¬"␈ε	u␈↓ ¬@␈ε↔␈␈↓ ¬j␈ε	j␈↓ ¬y␈εβ/␈↓ ε
␈ε	b␈↓ ε%␈εβwh␈α␈ere␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π'␈εβ=␈ε↔␈α∞␈␈↓ πw␈ε	j␈↓ λε␈εβ/␈↓ λ↔␈ε	b␈↓ λ-␈εβ+␈↓ λX␈ε	v␈↓ 	↓␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ 	M␈ε	v␈↓ 	i␈ε↔j␈α∞∀␈↓ 
C␈ε	b␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β¬I␈↓ λf␈εε1␈↓ 	\␈εε1
␈β¬L␈↓ 
3␈∧¬L
3α
␈β¬N␈↓ 
3␈εε2
␈β¬a␈↓ ε∂␈ε~0␈↓ ε9␈ε~00␈↓ 	ε␈ε~0␈↓ 	,␈ε~0␈α↓0
␈β¬f␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈↓ ∧π␈ε	j␈↓ ∧!␈ε↔∀␈↓ ∧N␈ε	b␈↓ ∧[␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α(␈↓ ¬}␈ε	v␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ ε%␈ε	u␈↓ εE␈εβ)␈α=␈α(␈ε↔␈␈↓ π4␈ε	j␈↓ πC␈εβ/␈↓ πT␈ε	b␈↓ πa␈εβ,␈↓ πp␈ε	u␈↓ λ∧␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈α(␈↓ λr␈ε	u␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	≠␈ε	v␈↓ 	9␈εβ)␈α=␈α(␈↓ 
π␈ε	u␈↓ 
≠␈εβ,␈ε↔␈α¬␈␈↓ 
K␈ε	j␈↓ 
Z␈εβ/␈↓ 
j␈ε	b␈↓ 
x␈εβ)␈αo␈α␈r
␈βε	␈↓ πX␈ε~␈␈εε1␈↓ 
∞␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈βε
␈↓ ↓H␈εα(␈↓ βS␈εα)␈↓ π;␈εε1
␈βε
␈↓ ↓T␈ε	u␈↓ ↓n␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈/␈↓ α6␈ε	b␈↓ αC␈εβ,␈αε(1␈ε↔␈αε␈␈↓ β≠␈ε	j␈↓ β*␈εβ)/␈↓ βF␈ε	b␈↓ β←␈εβ,␈α
the␈α	l␈α↓a␈α␈tter␈α
ca␈α␈se␈α
on␈α␈ly␈α
wh␈α␈en␈↓ εh␈ε	v␈↓ π␈εβ=␈↓ πK␈ε	b␈↓ π}␈εβ.␈αIn␈α	all␈α
cases␈↓ 	9␈ε	u␈↓ 	R␈ε↔␈	␈↓ 	z␈ε	u␈↓ 
≥␈εβ=␈↓ 
H␈ε	u␈↓ 
b␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈βε_␈↓ εv␈εε1
␈βε≠␈↓ π;␈∧ε≠π;α
␈βε≥␈↓ π;␈εε2
␈βε1␈↓ α→␈ε~0␈↓ β%␈ε~0␈↓ ∧⊗␈ε~0␈↓ ¬'␈ε~0␈α↓0␈↓ ε~␈ε~00␈↓ π,␈ε~00
␈βε5␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓`␈ε↔␈	␈↓ αλ␈ε	v␈↓ α)␈εβ=␈↓ αS␈ε	v␈↓ αl␈ε↔␈␈↓ β∀␈ε	v␈↓ β+␈εβ,␈↓ β?␈ε	u␈↓ βZ␈ε↔␈	␈↓ ∧α␈ε	u␈↓ ∧&␈εβ=␈↓ ∧P␈ε	u␈↓ ∧k␈ε↔␈␈↓ ¬∪␈ε	u␈↓ ¬4␈εβ,␈↓ ¬H␈ε	v␈↓ ¬`␈ε↔␈	␈↓ ελ␈ε	v␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εZ␈ε	v␈↓ εr␈ε↔␈␈↓ π~␈ε	v␈↓ π8␈εβ,␈αrou␈α␈nd␈α␈(␈↓ λ,␈ε	w␈↓ λL␈ε↔␈␈↓ λt␈ε	u␈↓ 	∂␈ε↔␈␈↓ 	7␈ε	v␈↓ 	H␈εβ)␈α
=␈↓ 
π␈ε	w␈↓ 
'␈ε↔␈␈↓ 
O␈ε	u␈↓ 
j␈ε↔␈␈↓ ∩␈ε	v␈↓ #␈εβ.
␈βεd␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈αroun␈α␈d(␈↓ βE␈ε	x␈↓ βV␈εβ)␈α=␈α0␈αi{␈↓ ∧a␈ε	x␈↓ ∧}␈εβ=␈α0,␈α
w␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈α|n␈α␈d␈αa␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αset␈αof␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈αpa␈α␈i␈α↓rs␈α(␈↓ 
a␈ε	m␈↓ 
␈␈εβ,␈↓ 
␈ε	n␈↓ !␈εβ)
␈βπλ␈↓ 
o␈εp
␈βπ␈↓ ↓H␈εβwith␈αthe␈αp␈α␈rope␈α␈rty␈αthat␈↓ ∧$␈ε	m␈↓ ∧J␈ε↔␈↓ ∧t␈ε	n␈↓ ¬∀␈εβi␈α↓s␈αan␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
i{␈↓ π↓␈ε	m␈↓ π≡␈εβ/␈↓ π/␈ε	n␈↓ πO␈εβi␈α↓s.␈α⊂Assu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈ε↔␈α
j␈↓ 	M␈ε	m␈↓ 	k␈ε↔j␈εβ,␈ε↔␈αεj␈↓ 
␈ε	n␈↓ 
 ␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ 
b␈ε	b␈↓ 
⎇␈εβ.␈α⊂If
␈βπ3␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ/␈↓ ↓v␈ε	n␈↓ α↔␈εβis␈α∞a␈α␈n␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
then␈↓ ∧*␈ε	m␈↓ ∧P␈ε↔␈↓ ∧z␈ε	n␈↓ ¬≠␈εβ=␈↓ ¬J␈ε	m␈↓ ¬g␈εβ/␈↓ ¬w␈ε	n␈↓ ε→␈εβis␈α
also.␈α∩Con␈α}v␈α␈erse␈α␈l␈α↓y␈α
if␈↓ λ←␈ε	m␈↓ λ⎇␈εβ/␈↓ 	
␈ε	n␈↓ 	/␈εβis␈α
no␈α␈t␈α∞a␈α␈n␈α
in␈α␈teg␈α␈er,
␈βπW␈↓ λ@␈εε1␈ε~␈␈↓ λf␈εp␈↓ 
p␈εp␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπX␈↓ πN␈εε1
␈βπ[␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈↓ αε␈ε	m␈↓ α,␈ε↔␈↓ αV␈ε	n␈↓ αw␈εβis,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α1/␈ε↔␈α␈j␈↓ ∧Q␈ε	n␈↓ ∧e␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ ¬0␈ε	m␈↓ ¬V␈ε↔␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε≥␈ε↔␈␈↓ εF␈ε	m␈↓ εd␈εβ/␈↓ εt␈ε	n␈↓ πλ␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ π←␈ε↔j␈↓ πh␈ε	m␈↓ λ¬␈εβ/␈↓ λ⊗␈ε	n␈↓ λ*␈ε↔j␈↓ λ3␈ε	b␈↓ λt␈εβ,␈α∞h␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α
j␈↓ 	r␈ε	m␈↓ 
∂␈ε↔j␈εβ␈α>␈α
2␈↓ 
b␈ε	b␈↓ #␈εβ.
␈βπi␈↓ πN␈∧πiπNα
␈βπk␈↓ πN␈εε2
␈βπ}␈↓ εW␈εp␈↓ εe␈ε~␈␈εε1␈↓ 	↔␈εp
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβOu␈α␈r␈α
answ␈α␈e␈α␈r␈α∞is␈α
there␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈α
to␈α
requ␈α␈i␈α↓re␈ε↔␈α
j␈↓ ¬W␈ε	m␈↓ ¬t␈ε↔j␈α∞∀␈εβ␈α
2␈↓ εJ␈ε	b␈↓ π_␈εβan␈α␈d␈α
0␈α
<␈ε↔␈α
j␈↓ λ1␈ε	n␈↓ λE␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ 	
␈ε	b␈↓ 	%␈εβ.␈α∩(Sligh␈α}tl␈α↓y␈α
w␈α␈e␈α␈ak␈α␈e␈α␈r
␈βλ*␈↓ ↓H␈εβh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses␈αare␈α
also␈αpo␈α␈ssible.)
␈βλZ␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈ε↔j␈εβ(␈↓ α ␈ε	u␈↓ α9␈ε↔␈
␈↓ α↑␈ε	v␈↓ αp␈εβ)␈ε↔␈α∧␈
␈↓ β%␈ε	w␈↓ βB␈ε↔␈␈↓ βg␈ε	u␈↓ β{␈ε	v␈↓ ∧
␈ε	w␈↓ ∧&␈ε↔j␈α	∀␈α
j␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	u␈↓ ¬∂␈ε↔␈
␈↓ ¬5␈ε	v␈↓ ¬F␈εβ)␈ε↔␈α¬␈
␈↓ ¬{␈ε	w␈↓ ε_␈ε↔␈␈εβ␈α¬(␈↓ εI␈ε	u␈↓ εa␈ε↔␈
␈↓ ππ␈ε	v␈↓ π_␈εβ)␈↓ π#␈ε	w␈↓ π<␈ε↔j␈εβ␈α¬+␈ε↔␈α∧j␈↓ πy␈ε	w␈↓ λ⊃␈ε↔j␈αεj␈↓ λ)␈ε	u␈↓ λB␈ε↔␈
␈↓ λg␈ε	v␈↓ λ⎇␈ε↔␈␈↓ 	#␈ε	u␈↓ 	7␈ε	v␈↓ 	H␈ε↔j␈α
∀␈↓ 
¬␈ε	∞␈↓ ␈εβ+
␈βλe␈↓ 
⊃␈εε(␈↓ 
~␈εu␈↓ 
*␈ε~␈
␈↓ 
C␈εv␈↓ 
Q␈εε)␈ε~␈α↓␈
␈↓ 
s␈εw
␈βλ⎇␈↓ ↓U␈εe␈↓ ↓r␈ε~␈␈↓ α␈εq␈↓ α↔␈ε~␈␈↓ α0␈εl
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ αI␈ε	∞␈↓ β→␈ε↔∀␈εβ␈α
(1␈α	+␈↓ ∧⊗␈ε	b␈↓ ∧#␈εβ)␈↓ ∧.␈ε	∞␈↓ ¬0␈εβ.␈α∩N␈α␈o␈α␈w␈ε↔␈α
j␈↓ ε#␈ε	e␈↓ π-␈ε↔␈␈↓ πW␈ε	e␈↓ λY␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α
2,␈α∞s␈α␈o␈α
w␈α␈e␈α
may␈αtak␈α␈e
␈β	∧␈↓ ↓←␈ε
w␈↓ α6␈ε
w
␈β	␈↓ αU␈εu␈↓ αe␈ε~␈
␈↓ α}␈εv
␈β	
␈↓ ∧:␈εε(␈↓ ∧C␈εu␈↓ ∧S␈ε~␈
␈↓ ∧l␈εv␈↓ ∧{␈εε)␈ε~␈
␈↓ ¬≤␈εw␈↓ ε/␈εε(␈↓ ε7␈εu␈↓ εG␈ε~␈
␈↓ εa␈εv␈↓ εo␈εε)␈ε~␈
␈↓ π⊃␈εw␈↓ πc␈εu␈↓ πt␈ε~␈
␈εε(␈↓ λ∃␈εv␈↓ λ#␈ε~␈
␈↓ λ=␈εw␈↓ λQ␈εε)
␈β	%␈↓ α␈εε1␈↓ β∞␈εε2␈ε~␈α␈␈␈↓ β4␈εp
␈β	)␈↓ ↓H␈ε	∂␈↓ ↓↑␈εβ=␈↓ α≤␈εβ(1␈αλ+␈↓ αh␈ε	b␈↓ αu␈εβ)␈↓ β↓␈ε	b␈↓ βA␈εβ.
␈β	7␈↓ α␈∧	7αα
␈β	9␈↓ α␈εε2
␈β	X␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈ε	u␈↓ α+␈ε↔∀␈↓ αW␈ε	v␈↓ αu␈εβimp␈α␈l␈α↓ies␈αth␈α␈at␈α(␈↓ ∧;␈ε	u␈↓ ∧W␈ε↔λ␈↓ ¬␈ε	u␈↓ ¬∀␈εβ)␈ε↔␈α	␈εβ␈αλ2␈ε↔␈α∀␈εβ␈α(␈↓ ε$␈ε	u␈↓ ε@␈ε↔λ␈↓ εi␈ε	v␈↓ ε{␈εβ)␈ε↔␈αλ␈εβ␈αλ2␈ε↔␈α∀␈εβ␈α(␈↓ λ
␈ε	v␈↓ λ$␈ε↔λ␈↓ λM␈ε	v␈↓ λ↑␈εβ)␈ε↔␈α	␈εβ␈αλ2,␈αso␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition
␈β
␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈α
for␈α
all␈↓ βλ␈ε	u␈↓ β*␈εβa␈α␈nd␈↓ βm␈ε	v␈↓ ∧␈εβi{␈α∞it␈α∞h␈α␈olds␈α
whe␈α␈nev␈α}er␈↓ εJ␈ε	u␈↓ εk␈εβ=␈↓ π~␈ε	v␈↓ π+␈εβ.␈α∪For␈α
ba␈α␈se␈↓ λU␈ε	b␈↓ λo␈εβ=␈α∞2␈α␈,␈α∂th␈α␈e␈α∞c␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈α
is
␈β
'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈erefo␈α␈re␈α
a␈α␈lways␈αsatis|␈α␈ed␈α(ba␈α␈rring␈αo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w);␈α∞b␈α␈ut␈αfor␈↓ πR␈ε	b␈↓ πk␈εβ>␈α2␈αthere␈αar␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ 
J␈ε	v␈↓ 
g␈ε↔≤␈↓ ∀␈ε	w
␈β
O␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ α\␈ε	v␈↓ αu␈ε↔λ␈↓ β≡␈ε	v␈↓ β9␈εβ=␈↓ βd␈ε	w␈↓ ∧¬␈ε↔λ␈↓ ∧-␈ε	w␈↓ ∧F␈εβ,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition␈αfa␈α␈i␈α↓ls.␈α[On␈αthe␈αo␈α␈ther␈αha␈α␈nd␈α␈,␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈α␈ula
␈β
t␈↓ α␈εα(␈↓ βD␈εα)
␈β
w␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓c␈ε↔λ␈↓ α_␈εβ(␈↓ α#␈ε	v␈↓ α<␈ε↔␈	␈↓ αd␈ε	u␈↓ αx␈εβ)␈ε↔␈αλ␈εβ␈απ2␈↓ β[␈εβdo␈α␈es␈αgiv␈α}e␈αa␈αmidp␈α␈oin␈α␈t␈αin␈α
the␈αco␈α␈rrect␈αra␈α␈ng␈α␈e.␈ε⊂␈αProo␈α␈f:␈εβ␈αIt␈αsu␈α␈}ces␈αt␈α␈o␈αsho␈α}w
␈β≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∩␈ε	u␈↓ α/␈εβ+␈α	(␈↓ αd␈ε	v␈↓ α}␈ε↔␈	␈↓ β(␈ε	u␈↓ β<␈εβ)␈ε↔␈α	␈εβ␈α	2␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧F␈ε	v␈↓ ∧W␈εβ,␈α∞i␈α↓.e.,␈α∞(␈↓ ¬;␈ε	v␈↓ ¬U␈ε↔␈	␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε∀␈εβ)␈ε↔␈αλ␈εβ␈α
2␈ε↔␈α∀␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π7␈ε↔␈␈↓ πb␈ε	u␈↓ πv␈εβ;␈α∞an␈α␈d␈α
it␈α∞is␈α
ea␈α␈sy␈α
to␈α
v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈αtha␈α␈t
␈βB␈↓ α,␈εε1
␈βC␈↓ α≥␈εα(␈↓ β9␈εα)
␈βF␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ α=␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ β∩␈εβ(␈↓ β≥␈ε	x␈↓ β.␈εβ)␈↓ βO␈ε↔∀␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ ∧x␈ε	x␈↓ ¬∩␈ε↔∃␈εβ␈α
0.]
␈βT␈↓ α,␈∧Tα,α
␈βV␈↓ α,␈εε2
␈βW␈↓ ¬d␈ε↓P␈↓ λ
␈ε↓P␈↓ 
0␈ε↓P
␈βu␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α∂Ex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈α∂ch␈α␈an␈α␈ges␈α∞occu␈α␈r␈α∂a␈α␈t␈↓ ε2␈εβ=␈α⊂1␈α␈1.111␈α␈111␈α␈,␈↓ λX␈εβ=␈α⊂10␈α␈1.11␈α␈111␈α␈,␈↓ ␈εβ=
␈β␈␈↓ αl␈ε↓P␈↓ ¬∨␈ε↓P␈↓ π↑␈ε↓P
␈βλ␈↓ ε
␈εε10␈↓ λ0␈εε91␈↓ 
V␈εε90␈α␈1
␈β≥␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈001␈α␈.110␈α␈2,␈↓ βO␈εβ=␈α1␈α␈000␈α␈1.020␈α␈,␈↓ ε∞␈εβ=␈α100␈α␈000␈α␈.␈α↓9␈α␈1,␈↓ λ[␈εβ=␈α1␈α␈000␈α␈000␈α␈.␈α↓0␈α␈;␈α
th␈α␈erefore
␈β&␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β/␈↓ β∩␈εε9␈α␈00␈α␈1␈↓ ¬E␈εε9␈α␈00␈α␈09␈↓ λ∧␈εε900␈α␈81␈α␈9
␈βD␈↓ αO␈εβ=␈α
1␈α␈109␈α␈099␈α␈.1.
␈βU␈↓ αD␈ε↓P
␈βW␈↓ ↓n␈εε1␈α␈00␈α␈000␈α␈0
␈βs␈↓ α␈εβ(b)␈↓ βL␈εβ1.234␈α␈567␈α␈9␈α⊃=␈α⊃1␈α␈224␈α␈782␈α␈.␈α↓1␈α␈,␈α⊃an␈α␈d␈α∂(␈α↓1␈α␈4)␈α⊂tr␈α␈i␈α↓es␈α∂to␈α∂tak␈α}e␈α⊂th␈α␈e␈α⊂sq␈α␈uar␈α␈e␈α⊂ro␈α␈ot␈α⊂o␈α␈f
␈β
ε␈↓ αj␈εε1␈ε~∀␈↓ β⊂␈εk␈↓ β≥␈ε~∀␈↓ β7␈εn
␈β
≡␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓7
␈β
∨␈↓ π{␈εα(
␈β
"␈↓ ↓H␈ε↔␈␈εβ.00␈α␈531␈α␈870␈α␈53.␈αBut␈α(15␈α␈)␈αand␈α
(16)␈αa␈α␈re␈αexa␈α␈ct␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αc␈α␈ase.␈↓ λπ␈εβIf␈↓ λ(␈ε	x␈↓ λN␈εβ=␈α
1␈απ+␈ε↔␈αλb␈εβ(␈↓ 	R␈ε	k␈↓ 	i␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈α␈2␈ε↔c␈εβ1␈↓ 
m␈εβ0␈↓ #␈εβ,
␈β
,␈↓ λ8␈εk
␈β
F␈↓ ¬V␈εα)
␈β
I␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈5)␈αan␈α␈d␈α(16␈α␈)␈αh␈α␈av␈α}e␈αerrors␈αo␈α␈f␈αorde␈α␈r␈↓ ¬8␈ε	n␈↓ ¬L␈εβ.
␈β
n␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ε␈␈εα)
␈β
q␈↓ α␈εβ(c)␈αWe␈αn␈α␈eed␈α
to␈α
sho␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ ¬ε␈ε	u␈↓ ¬!␈ε↔λ␈↓ ¬U␈εβ(␈↓ ¬`␈ε	v␈↓ ¬x␈ε↔␈	␈↓ ε ␈ε	u␈↓ ε4␈εβ)␈ε↔␈απ␈↓ εn␈ε	k␈↓ π∃␈εβl␈α↓ies␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈↓ λN␈ε	u␈↓ λl␈εβan␈α␈d␈↓ 	-␈ε	v␈↓ 	>␈εβ;␈αsee␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α15␈α␈.
␈β∞"␈↓ α␈ε∃FC␈α␈MP␈↓ βλ␈ε∃STJ␈↓ ∧∧␈ε∃9F
␈β∞%␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ ε&␈εβFl␈α↓o␈α␈ating␈α
poin␈α}t␈αcomp␈α␈arison␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine:
␈β∞J␈↓ βλ␈ε∃JOV␈↓ ∧∧␈ε∃OFLO
␈β∞M␈↓ ε&␈εβEnsu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w␈αis␈αo{.
␈β∞q␈↓ βλ␈ε∃STA␈↓ ∧∧␈ε∃TEMP
␈β∂→␈↓ βλ␈ε∃LDA␈α␈N␈↓ ∧∧␈ε∃TEMP
␈β∂≤␈↓ ε&␈ε	v␈↓ εA␈ε↔ ␈α	␈␈↓ π
␈ε	v␈↓ π≡␈εβ.
␈β∂N␈↓ ↓i␈εβ(Cop␈α␈y␈αh␈α␈ere␈αlines␈α0␈α␈7-20␈α
of␈αP␈α↓ro␈α␈gram␈α
4.2.1A.)
␈β∂}␈↓ βλ␈ε∃LDX␈↓ ∧∧␈ε∃FV(0␈α␈:0)
␈β⊂↓␈↓ ε&␈εβSet␈αrX␈αto␈α
zero␈αwith␈αs␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈αof␈↓ 	6␈ε	f␈↓ 	N␈εβ.
␈β⊂␈↓ 	@␈εv
␈β⊂%␈↓ βλ␈ε∃DEC␈α␈1␈↓ ∧∧␈ε∃5
␈β⊂M␈↓ βλ␈ε∃J1N␈↓ ∧∧␈ε∃*+2
␈β⊂t␈↓ βλ␈ε∃ENT␈α␈1␈↓ ∧∧␈ε∃0
␈β⊂w␈↓ ε&␈εβRepla␈α␈ce␈αlarge␈αd␈α␈i{␈α↓e␈α␈renc␈α␈e␈αi␈α↓n␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t␈α␈s
␈β⊃≤␈↓ βλ␈ε∃SRA␈α␈X␈↓ ∧∧␈ε∃5,1
␈β⊃∨␈↓ εn␈εβby␈α
a␈αsma␈α␈l␈α↓ler␈αo␈α␈ne.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα654␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.2.2
␈βα(␈↓ βλ␈ε∃ADD␈↓ ∧∧␈ε∃FU
␈βα+␈↓ ε&␈εβrA␈↓ εT␈ε↔ ␈↓ ε␈␈εβdi{eren␈α␈ce␈αof␈αo␈α␈pera␈α␈nd␈α␈s.
␈βαP␈↓ βλ␈ε∃JOV␈↓ ∧∧␈ε∃7F
␈βαS␈↓ ε&␈εβFraction␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w:␈αn␈α␈ot␈ε↔␈α_␈εβ.
␈βαw␈↓ βλ␈ε∃CMP␈α␈A␈↓ ∧∧␈ε∃EPSI␈α␈LON␈α␈(1:␈α␈5)
␈ββ∨␈↓ βλ␈ε∃JG␈↓ ∧∧␈ε∃8F
␈ββ"␈↓ ε&␈εβJu␈α␈mp␈αif␈αno␈α␈t␈ε↔␈α_␈εβ␈α↓.
␈ββF␈↓ βλ␈ε∃JL␈↓ ∧∧␈ε∃6F
␈ββI␈↓ ε&␈εβJu␈α␈mp␈αif␈ε↔␈α_␈εβ.
␈ββn␈↓ βλ␈ε∃JXZ␈↓ ∧∧␈ε∃9F
␈ββq␈↓ ε&␈εβJu␈α␈mp␈αif␈ε↔␈α_␈εβ.
␈β∧⊗␈↓ βλ␈ε∃JXP␈↓ ∧∧␈ε∃1F
␈β∧→␈↓ ε&␈εβIf␈ε↔␈αj␈↓ εQ␈εβrA␈↓ εv␈ε↔j␈εβ␈α	=␈↓ π3␈ε	∂␈↓ π@␈εβ,␈αch␈α␈eck␈αsig␈α␈n␈αof␈↓ 	≤␈εβrA␈↓ 	H␈ε↔α␈↓ 	q␈εβrX␈↓ 
⊗␈εβ.
␈β∧=␈↓ βλ␈ε∃JAP␈↓ ∧∧␈ε∃9F
␈β∧@␈↓ ε&␈εβJu␈α␈mp␈αif␈ε↔␈α_␈εβ.␈α(␈↓ πc␈εβrA␈↓ λ⊃␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈)
␈β∧e␈↓ βλ␈ε∃JMP␈↓ ∧∧␈ε∃8F
␈β¬␈↓ α␈ε∃7H␈↓ βλ␈ε∃ENT␈α␈X␈↓ ∧∧␈ε∃1
␈β¬4␈↓ βλ␈ε∃SRC␈↓ ∧∧␈ε∃1
␈β¬7␈↓ ε&␈εβMa␈α␈k␈α␈e␈αrA␈αno␈α␈nze␈α␈ro␈αwith␈αsa␈α␈me␈αsign␈α␈.
␈β¬\␈↓ βλ␈ε∃JMP␈↓ ∧∧␈ε∃8F
␈βεβ␈↓ α␈ε∃1H␈↓ βλ␈ε∃JAP␈↓ ∧∧␈ε∃8F
␈βεε␈↓ ε&␈εβJu␈α␈mp␈αif␈αno␈α␈t␈ε↔␈α_␈εβ␈α↓.␈α(␈↓ λ≡␈εβrA␈↓ λL␈ε↔≤␈εβ␈α
0)
␈βε+␈↓ α␈ε∃6H␈↓ βλ␈ε∃ENT␈α␈A␈↓ ∧∧␈ε∃0
␈βεR␈↓ α␈ε∃8H␈↓ βλ␈ε∃CMP␈α␈A␈↓ ∧∧␈ε∃=0=
␈βεU␈↓ ε&␈εβSet␈αc␈α␈omp␈α␈arison␈α
i␈α↓n␈α␈dica␈α␈tor.
␈βεz␈↓ α␈ε∃9H␈↓ βλ␈ε∃JMP␈↓ ∧∧␈ε∃*
␈βε⎇␈↓ ε&␈εβExit␈αfrom␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈.
␈βε␈␈↓ 	π␈∧ε␈	π≠∂
␈βπ9␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβLet␈↓ αM␈ε	␈
␈↓ αz␈εβ=␈↓ β,␈ε	∞␈↓ βU␈εβ=␈↓ ∧π␈ε	⊃␈↓ ∧5␈εβ=␈↓ ∧g␈ε	≠␈↓ ¬∀␈εβ=␈α⊂0␈α∂for␈↓ ε≥␈ε	k␈↓ ε>␈εβ>␈↓ εo␈ε	n␈↓ πβ␈εβ.␈α_It␈α⊂su␈α␈}ces␈α∂to␈α∂|␈α␈nd␈α∞the␈α∂co␈α␈e}cien␈α}t␈α⊂o␈α␈f
␈βπD␈↓ α]␈εk␈↓ β8␈εk␈↓ ∧_␈εk␈↓ ∧v␈εk
␈βπa␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓d␈εβ,␈α
sin␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈αcoe}␈α␈cien␈α␈t␈αof␈↓ ∧K␈ε	x␈↓ ∧u␈εβwill␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈αsame␈αex␈α}cept␈αwith␈αall␈α
su␈α␈bscrip␈α␈ts␈α
in␈α␈crease␈α␈d␈αby
␈βπk␈↓ ↓W␈εε1␈↓ ∧[␈εk
␈βλλ␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈.␈α∩Let␈α
(␈↓ β␈ε	f␈↓ β_␈εβ,␈↓ β&␈ε	g␈↓ βA␈εβ)␈α
d␈α␈eno␈α␈te␈α
the␈α
c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α
of␈↓ εG␈ε	x␈↓ εp␈εβi␈α↓n␈α(␈↓ π$␈ε	s␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πo␈ε	c␈↓ λ	␈εβ,␈↓ λ↔␈ε	c␈↓ λ1␈εβ)␈α
resp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈.␈α∩Th␈α␈en␈↓ 
h␈ε	f␈↓ ␈εβ=
␈βλ∪␈↓ β
␈εk␈↓ β3␈εk␈↓ εW␈εε1␈↓ π/␈εk␈↓ π{␈εk␈↓ λ$␈εk␈↓ 
r␈εε1
␈βλ0␈↓ ↓H␈εβ(1␈α¬+␈↓ α∂␈ε	⊃␈↓ α,␈εβ)(␈α↓1␈ε↔␈α∧␈␈↓ α␈␈ε	␈
␈↓ β!␈ε↔␈␈↓ βG␈ε	␈
␈↓ βc␈ε	∞␈↓ ∧↓␈ε↔␈␈↓ ∧(␈ε	␈
␈↓ ∧D␈ε	≠␈↓ ∧f␈ε↔␈␈↓ ¬␈ε	∞␈↓ ¬%␈ε	≠␈↓ ¬F␈ε↔␈␈↓ ¬m␈ε	␈
␈↓ ε	␈ε	∞␈↓ ε"␈ε	≠␈↓ ε>␈εβ),␈↓ ε\␈ε	g␈↓ ε␈␈εβ=␈α
(1␈α¬+␈↓ πq␈ε	∞␈↓ λ
␈εβ)(1␈α¬+␈↓ λ\␈ε	⊃␈↓ λz␈εβ)(␈↓ 	⊂␈ε	␈
␈↓ 	1␈εβ+␈↓ 	X␈ε	≠␈↓ 	y␈εβ+␈↓ 
 ␈ε	␈
␈↓ 
<␈ε	≠␈↓ 
Y␈εβ),␈α
a␈α␈nd
␈βλ;␈↓ α ␈εε1␈↓ β∂␈εε1␈↓ βW␈εε1␈↓ βo␈εε1␈↓ ∧8␈εε1␈↓ ∧T␈εε1␈↓ ¬_␈εε1␈↓ ¬5␈εε1␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ ε∃␈εε1␈↓ ε2␈εε1␈↓ εi␈εε1␈↓ π⎇␈εε1␈↓ λm␈εε1␈↓ 	 ␈εε1␈↓ 	h␈εε1␈↓ 
0␈εε1␈↓ 
L␈εε1
␈βλX␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓h␈εβ=␈α
(1␈ε↔␈αβ␈␈↓ αW␈ε	␈
␈↓ αt␈ε	≠␈↓ β∃␈ε↔␈␈↓ β:␈ε	∞␈↓ βS␈ε	≠␈↓ βt␈ε↔␈␈↓ ∧→␈ε	␈
␈↓ ∧6␈ε	∞␈↓ ∧O␈ε	≠␈↓ ∧l␈εβ)␈↓ ∧w␈ε	f␈↓ ¬8␈εβ+␈α∧(␈↓ ¬h␈ε	␈
␈↓ ελ␈ε↔␈␈↓ ε-␈ε	⊃␈↓ εO␈εβ+␈↓ εt␈ε	␈
␈↓ π⊃␈ε	∞␈↓ π.␈εβ+␈↓ πS␈ε	␈
␈↓ πp␈ε	⊃␈↓ λ⊃␈εβ+␈↓ λ6␈ε	␈
␈↓ λS␈ε	∞␈↓ λl␈ε	⊃␈↓ 	∞␈εβ+␈↓ 	3␈ε	␈
␈↓ 	P␈ε	⊃␈↓ 	n␈ε	≠␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
3␈ε	∞␈↓ 
M␈ε	⊃␈↓ 
k␈ε	≠␈↓ ␈εβ+
␈βλb␈↓ ↓R␈εk␈↓ αg␈εk␈↓ β∧␈εk␈↓ βF␈εk␈↓ βc␈εk␈↓ ∧(␈εk␈↓ ∧B␈εk␈↓ ∧←␈εk␈↓ ¬↓␈εk␈↓ ¬∞␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬x␈εk␈↓ ε>␈εk␈↓ π∧␈εk␈↓ π≥␈εk␈↓ πc␈εk␈↓ λ␈εk␈↓ λF␈εk␈↓ λ←␈εk␈↓ λ⎇␈εk␈↓ 	C␈εk␈↓ 	a␈εk␈↓ 	}␈εk␈↓ 
?␈εk␈↓ 
]␈εk␈↓ 
z␈εk
␈βλ␈␈↓ ↓H␈ε	␈
␈↓ ↓e␈ε	∞␈↓ ↓}␈ε	⊃␈↓ α≤␈ε	≠␈↓ α9␈εβ)␈↓ αD␈ε	g␈↓ β∧␈εβ,␈↓ β→␈ε	g␈↓ β>␈εβ=␈↓ βk␈ε	≠␈↓ ∧λ␈εβ(1␈απ+␈↓ ∧U␈ε	␈
␈↓ ∧r␈εβ)(1␈αλ+␈↓ ¬J␈ε	∞␈↓ ¬c␈εβ)␈↓ ¬n␈ε	f␈↓ ε4␈ε↔␈␈εβ␈αλ(1␈αλ+␈↓ π*␈ε	∞␈↓ πC␈εβ)(␈↓ πZ␈ε	␈
␈↓ π␈␈εβ+␈↓ λ(␈ε	␈
␈↓ λE␈ε	⊃␈↓ λk␈εβ+␈↓ 	∀␈ε	⊃␈↓ 	2␈ε	≠␈↓ 	W␈εβ+␈↓ 
␈ε	␈
␈↓ 
≥␈ε	⊃␈↓ 
;␈ε	≠␈↓ 
X␈εβ)␈↓ 
c␈ε	g␈↓ #␈εβ,
␈β	
␈↓ ↓W␈εk␈↓ ↓q␈εk␈↓ α∞␈εk␈↓ α+␈εk␈↓ αQ␈εk␈↓ α↑␈ε~␈␈εε1␈↓ β&␈εk␈↓ βz␈εk␈↓ ∧d␈εk␈↓ ¬V␈εk␈↓ ¬x␈εk␈↓ εε␈ε~␈␈εε1␈↓ π6␈εk␈↓ πi␈εk␈↓ λ8␈εk␈↓ λV␈εk␈↓ 	%␈εk␈↓ 	B␈εk␈↓ 
⊂␈εk␈↓ 
.␈εk␈↓ 
K␈εk␈↓ 
p␈εk␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β	'␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∞1␈α
<␈↓ αK␈ε	k␈↓ αi␈ε↔∀␈↓ β_␈ε	n␈↓ β,␈εβ.␈α∪Th␈α}us␈↓ ∧≡␈ε	f␈↓ ∧F␈εβ=␈α∞1␈α	+␈↓ ¬9␈ε	⊃␈↓ ¬←␈ε↔␈␈↓ ε
␈ε	␈
␈↓ ε/␈εβ+␈α
(4␈↓ εu␈ε	n␈↓ π↔␈εβterm␈α␈s␈α∞of␈α
2nd␈α
o␈α␈rder)␈α	+␈α	(high␈α␈er␈α∞o␈α␈rde␈α␈r
␈β	1␈↓ ∧(␈εn␈↓ ¬J␈εε1␈↓ ε~␈εε1
␈β	J␈↓ ¬␈εε2
␈β	N␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rms)␈α=␈α1␈αλ+␈↓ β∨␈ε	⊃␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βn␈ε	␈
␈↓ ∧∩␈εβ+␈↓ ∧<␈ε	O␈↓ ∧T␈εβ(␈↓ ∧←␈ε	n␈↓ ∧s␈ε	∂␈↓ ¬
␈εβ)␈αis␈α
su␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈αs␈α␈mall.␈α⊂[Th␈α␈e␈α
K␈α␈aha␈α␈n␈αsum␈α␈mation␈αfo␈α␈rm␈α␈ula
␈β	Y␈↓ β/␈εε1␈↓ β}␈εε1
␈β	v␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈s␈α|␈α␈rst␈α
pu␈α␈blished␈α	i␈α↓n␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α
8␈εβ␈α
(1␈α␈965␈α␈),␈α40␈α␈;␈αcf.␈ε⊂␈αProc.␈α
IFI␈α↓P␈α
Con␈α␈gress␈εβ␈α
(19␈α␈71),␈ε∪␈α2␈εβ␈α␈,␈α12␈α␈32.␈αFo␈α␈r
␈β
≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈no␈α␈ther␈αap␈α␈pro␈α␈ach␈αto␈αacc␈α␈ura␈α␈te␈αsu␈α␈mma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αse␈α␈e␈αR.␈αJ␈α␈.␈αHan␈α␈son␈α␈,␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α18␈εβ␈α(197␈α␈5),␈α57␈α␈↑58␈α␈.
␈β
E␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈α	a␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α	G.␈α	Boh␈α␈l␈α↓e␈α␈nd␈α␈er,␈ε⊂␈α
IEEE␈α	Tran␈α␈s.␈ε∪␈α	C↑26␈εβ␈αλ(197␈α␈7),␈α
6␈α␈21␈α␈↑63␈α␈2,␈α
fo␈α␈r␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈ms␈α	th␈α␈at␈αλcomp␈α␈ute
␈β
m␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈d(␈↓ α(␈ε	x␈↓ αK␈εβ+␈↓ αt␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β"␈εβ+␈↓ βK␈ε	x␈↓ βk␈εβ)␈αa␈α␈nd␈αro␈α␈un␈α␈d(␈↓ ¬"␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε∂␈εβ)␈ε⊂␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈εβ␈α␈,␈αgiv␈α␈en␈ε↔␈α
f␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ(␈εβ,␈↓ λ7␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λc␈εβ,␈↓ λr␈ε	x␈↓ 	∩␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α↓]
␈β
w␈↓ α7␈εε1␈↓ βZ␈εn␈↓ ¬1␈εε1␈↓ ¬␈␈εn␈↓ λ≠␈εε1␈↓ 	↓␈εn
␈β%␈↓ 	B␈εε1
␈β)␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβBy␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈of␈α
of␈α
The␈α␈orem␈α
C␈↓ ¬(␈εβ,␈α
(␈α↓4␈α␈7)␈α
fails␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ π↓␈ε	e␈↓ π.␈εβ=␈↓ π\␈ε	p␈↓ πz␈εβo␈α␈nly␈α
if␈ε↔␈α
j␈↓ λp␈ε	v␈↓ 	α␈ε↔j␈εβ␈α	+␈↓ 	←␈ε↔∃␈αj␈↓ 
⊗␈ε	w␈↓ 
7␈ε↔␈␈↓ 
a␈ε	u␈↓ 
u␈ε↔j␈α
∃
␈β3␈↓ π
␈εw
␈β7␈↓ 	B␈∧7	Bα
␈β9␈↓ 	B␈εε2
␈βL␈↓ ↓U␈εp␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε1␈↓ αG␈ε~␈␈εε1␈↓ εn␈ε~␈␈↓ ππ␈εp
␈βM␈↓ ¬v␈εε1
␈βP␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α⊂␈εβ+␈↓ α:␈ε	b␈↓ αm␈εβ;␈αhen␈α␈ce␈ε↔␈αj␈↓ βi␈ε	f␈↓ ∧∧␈ε↔j␈α
∃␈αj␈↓ ∧M␈ε	f␈↓ ∧e␈ε↔j␈α∃␈εβ␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εε␈ε	b␈↓ ε≠␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈↓ ε`␈ε	b␈↓ π∃␈εβ.␈α∞Th␈α␈is␈αrath␈α␈er␈αrare␈αcase,␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈ε↔␈αj␈↓ ¬␈ε	f␈↓ #␈ε↔j
␈β[␈↓ βs␈εu␈↓ ∧W␈εv␈↓ ∂␈εw
␈β←␈↓ ¬v␈∧←¬vα
␈βa␈↓ ¬v␈εε2
␈βx␈↓ ↓H␈εβb␈α␈efore␈α
n␈α␈orm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈α	tak␈α␈e␈α␈s␈α
i␈α↓ts␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
va␈α␈lue␈α
2,␈α
is␈α
nece␈α␈ssary␈α	and␈α	su}␈α␈cien␈α␈t␈α
for␈α
fa␈α␈i␈α↓lu␈α␈re.
␈β0␈↓ π↓␈ε~d␈↓ π
␈εp␈↓ π_␈εε/2␈ε~␈α␈e
␈β4␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αby␈αG.␈αW.␈αV␈α↓e␈α␈l␈α↓tk␈α␈am␈α␈p.)␈α≠Let␈↓ ε-␈ε	c␈↓ εD␈εβ=␈↓ εp␈εβ2␈↓ πC␈εβ+␈αλ1;␈αwe␈αmay␈αassu␈α␈me␈αthat␈↓ 
K␈ε	p␈↓ 
g␈ε↔∃␈εβ␈α2␈α␈,
␈βX␈↓ ¬|␈ε~0␈↓ λk␈ε~0␈↓ 	D␈ε~0
␈β\␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓s␈ε	c␈↓ α
␈εβis␈α∞re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tab␈α␈le.␈α∩F␈α↓irst␈α
co␈α␈mpu␈α␈te␈↓ ¬h␈ε	u␈↓ ε⊂␈εβ=␈↓ ε>␈ε	u␈↓ ε[␈ε↔␈
␈↓ π¬␈ε	c␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π*␈ε	u␈↓ πV␈εβ=␈α∞(␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ-␈ε↔␈	␈↓ λW␈ε	u␈↓ λq␈εβ)␈ε↔␈α	λ␈↓ 	0␈ε	u␈↓ 	J␈εβ,␈↓ 	a␈ε	u␈↓ 
∞␈εβ=␈↓ 
<␈ε	u␈↓ 
Y␈ε↔␈	␈↓ β␈ε	u␈↓ #␈εβ;
␈βf␈↓ π=␈εε1␈↓ 	t␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β␈␈↓ αn␈ε~0␈↓ ¬M␈ε~0␈↓ ε"␈ε~0␈↓ 
x␈ε~0
␈β
β␈↓ ↓H␈εβsimilarly␈α␈,␈↓ α\␈ε	v␈↓ β␈εβ=␈↓ β.␈ε	v␈↓ βH␈ε↔␈
␈↓ βr␈ε	c␈↓ β␈␈εβ,␈↓ ∧⊗␈ε	v␈↓ ∧>␈εβ=␈α
(␈↓ ∧w␈ε	v␈↓ ¬⊃␈ε↔␈	␈↓ ¬;␈ε	v␈↓ ¬S␈εβ)␈ε↔␈α	λ␈↓ ε⊃␈ε	v␈↓ ε(␈εβ,␈↓ ε?␈ε	v␈↓ εg␈εβ=␈↓ π∃␈ε	v␈↓ π/␈ε↔␈	␈↓ πY␈ε	v␈↓ πt␈εβ.␈α∩Th␈α␈en␈α
se␈α␈t␈↓ 	≥␈ε	w␈↓ 	C␈ε↔ ␈↓ 	q␈ε	u␈↓ 

␈ε↔␈
␈↓ 
7␈ε	v␈↓ 
I␈εβ,␈↓ 
`␈ε	w␈↓ ␈ε↔ 
␈β
∞␈↓ ∧%␈εε1␈↓ εN␈εε2␈↓ πh␈εε1
␈β
(␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε↔␈εα)
␈β
+␈↓ ↓T␈εβ((␈↓ ↓j␈ε	u␈↓ α⊃␈ε↔␈
␈↓ α:␈ε	v␈↓ α\␈ε↔␈	␈↓ β¬␈ε	w␈↓ β≡␈εβ)␈ε↔␈απλ␈εβ␈αλ(␈↓ βd␈ε	u␈↓ ∧␈ε↔␈
␈↓ ∧4␈ε	v␈↓ ∧O␈εβ))␈ε↔␈αλλ␈εβ␈αλ(␈↓ ¬!␈ε	u␈↓ ¬H␈ε↔␈
␈↓ ¬p␈ε	v␈↓ ε␈εβ)␈↓ ε*␈ε↔λ␈εβ␈αλ(␈↓ ε↑␈ε	u␈↓ π¬␈ε↔␈
␈↓ π.␈ε	v␈↓ πI␈εβ).
␈β
6␈↓ ↓⎇␈εε1␈↓ αH␈εε1␈↓ βw␈εε1␈↓ ∧C␈εε2␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ¬␈␈εε1␈↓ εq␈εε2␈↓ π=␈εε2
␈β
U␈↓ α␈εβIt␈α∞su}c␈α␈es␈α∞to␈α∞pro␈α␈v␈α}e␈α∞this␈α∞when␈↓ ¬N␈ε	u␈↓ ¬b␈εβ,␈↓ ¬q␈ε	v␈↓ ε⊃␈εβ>␈α∂0␈α∞an␈α␈d␈↓ π$␈ε	e␈↓ πO␈εβ=␈↓ π␈␈ε	e␈↓ λ*␈εβ=␈↓ λZ␈ε	p␈↓ λj␈εβ,␈α⊂so␈α∞th␈α␈at␈↓ 	z␈ε	u␈↓ 
≤␈εβand␈↓ 
`␈ε	v␈↓ ␈εβare
␈β
`␈↓ π0␈εu␈↓ λ␈εu
␈β
x␈↓ α}␈εp␈↓ β␈ε~␈␈εε1␈↓ βQ␈εp␈↓ ε}␈εp␈↓ π␈ε~␈␈εε1␈↓ λJ␈εp␈↓ 	e␈ε~d␈↓ 	o␈εp␈↓ 	|␈εε/2␈ε~e
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers␈ε↔␈α	2␈εβ␈α	[␈↓ αm␈εβ2␈↓ β2␈εβ,␈↓ β@␈εβ2␈↓ β←␈εβ).␈αTh␈α␈en␈↓ ∧S␈ε	u␈↓ ∧p␈εβ=␈↓ ¬≠␈ε	u␈↓ ¬@␈εβ+␈↓ ¬f␈ε	u␈↓ ε∂␈εβwh␈α␈ere␈↓ εm␈εβ2␈↓ π;␈ε↔∀␈↓ πe␈ε	u␈↓ λ∞␈ε↔∀␈↓ λ9␈εβ2␈↓ λW␈εβ,␈↓ λj␈ε	u␈↓ 	⊂␈εβm␈α␈od␈↓ 	T␈εβ2␈↓ 
)␈εβ=␈α	0,␈α
a␈α␈nd
␈β∞π␈↓ ¬.␈εε1␈↓ ¬y␈εε2␈↓ πy␈εε1␈↓ λ}␈εε1
␈β∞ ␈↓ α?␈ε~d␈↓ αH␈εp␈↓ αV␈εε/2␈ε~e␈α␈␈␈εε␈α↓1␈↓ 
o␈ε~0
␈β∞$␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓q␈ε↔j␈α	∀␈↓ α.␈εβ2␈↓ β∨␈εβ;␈αsimilarly␈↓ ∧=␈ε	v␈↓ ∧W␈εβ=␈↓ ¬α␈ε	v␈↓ ¬%␈εβ+␈↓ ¬N␈ε	v␈↓ ¬i␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αop␈α␈eration␈α␈s␈αdu␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈αo␈α␈f␈↓ 
V␈ε	w␈↓ ␈εβare
␈β∞/␈↓ ↓d␈εε2␈↓ ¬⊃␈εε1␈↓ ¬\␈εε2
␈β∞H␈↓ ε1␈εp␈↓ ε?␈ε~␈␈εε1
␈β∞L␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xac␈α␈t,␈α
b␈α␈ecau␈α␈se␈↓ β&␈ε	w␈↓ βF␈ε↔␈␈↓ βp␈ε	u␈↓ ∧∂␈ε	v␈↓ ∧7␈εβis␈αa␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈↓ ε!␈εβ2␈↓ εq␈εβwith␈ε↔␈αj␈↓ πG␈ε	w␈↓ πg␈ε↔␈␈↓ λ⊃␈ε	u␈↓ λ0␈ε	v␈↓ λL␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ 	∃␈ε	w␈↓ 	6␈ε↔␈␈↓ 	←␈ε	u␈↓ 	s␈ε	v␈↓ 
∧␈ε↔j␈εβ␈α	+␈ε↔␈αλj␈↓ 
H␈ε	u␈↓ 
h␈ε	v␈↓ ␈εβ+
␈β∞V␈↓ ∧β␈εε1␈↓ ∧≡␈εε1␈↓ λ$␈εε1␈↓ λ?␈εε1␈↓ 
[␈εε2␈↓ 
w␈εε1
␈β∞o␈↓ β;␈εp␈↓ βI␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧/␈εp␈↓ ∧=␈εε+␈ε~d␈↓ ∧`␈εp␈↓ ∧n␈εε/␈α␈2␈ε~e␈↓ ¬Q␈εp␈↓ ¬←␈ε~␈␈εε1
␈β∞s␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈ε	v␈↓ α
␈εβ+␈↓ α2␈ε	u␈↓ αR␈ε	v␈↓ αm␈ε↔j␈α
∀␈↓ β*␈εβ2␈↓ βv␈εβ+␈↓ ∧≡␈εβ2␈↓ ¬_␈εβ+␈↓ ¬A␈εβ2␈↓ ε¬␈εβ;␈αan␈α␈d␈ε↔␈αj␈↓ εc␈ε	w␈↓ πβ␈ε↔␈␈↓ π+␈ε	u␈↓ πK␈ε	v␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ⊗␈ε	u␈↓ λ6␈ε	v␈↓ λQ␈ε↔j␈α
∀␈α	j␈↓ 	↔␈ε	w␈↓ 	7␈ε↔␈␈↓ 	`␈ε	u␈↓ 	t␈ε	v␈↓ 
¬␈ε↔j␈εβ␈αλ+␈ε↔␈απj␈↓ 
H␈ε	u␈↓ 
g␈ε	v␈↓ 
y␈ε↔j␈εβ␈α	<
␈β∞}␈↓ ↓[␈εε1␈↓ ↓v␈εε2␈↓ αE␈εε2␈↓ αa␈εε2␈↓ π?␈εε1␈↓ πZ␈εε1␈↓ λ)␈εε1␈↓ λE␈εε2␈↓ 
[␈εε2
␈β∂↔␈↓ ↓X␈εp␈↓ ↓f␈ε~␈␈εε1␈↓ αM␈ε~d␈↓ αV␈εp␈↓ αd␈εε/2␈ε~e␈α␈␈␈εε␈α↓1␈α␈+␈↓ βF␈εp␈↓ λ:␈ε~d␈↓ λD␈εp␈↓ λQ␈εε/2␈ε~e
␈β∂≠␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α∪␈εβ+␈↓ α<␈εβ2␈↓ βT␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧I␈ε	w␈↓ ∧i␈ε↔␈␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬1␈ε	v␈↓ ¬T␈ε↔␈␈↓ ¬⎇␈ε	u␈↓ ε≤␈ε	v␈↓ εC␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ λ)␈εβ2␈↓ λt␈εβ.
␈β∂&␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ¬@␈εε1␈↓ ε⊂␈εε1␈↓ ε+␈εε2
␈β∂S␈↓ ∧↑␈εp␈↓ ∧l␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εD␈εp␈↓ πw␈εε2␈↓ λ∧␈εp␈↓ λ∩␈ε~␈␈εε1
␈β∂W␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβWe␈α
m␈α␈ay␈αa␈α␈ssume␈αth␈α␈at␈↓ ∧Q␈ε	b␈↓ ¬≡␈ε↔∀␈↓ ¬J␈ε	u␈↓ ¬↑␈εβ,␈↓ ¬m␈ε	v␈↓ ε
␈εβ<␈↓ ε7␈ε	b␈↓ εR␈εβ.␈α∂If␈↓ π␈ε	u␈↓ π ␈ε	v␈↓ π=␈ε↔∀␈↓ πj␈ε	b␈↓ λD␈εβth␈α␈en␈↓ 	⊃␈ε	x␈↓ 	8␈εβ=␈↓ 	e␈ε	u␈↓ 	y␈ε	v␈↓ 
∪␈ε↔␈␈↓ 
<␈ε	r␈↓ 
W␈εβwhere
␈β∂b␈↓ 	 ␈εε1
␈β∂{␈↓ α(␈εε1␈↓ αE␈εp␈↓ αS␈ε~␈␈εε1␈↓ λn␈εε1␈↓ 	␈εp␈↓ 	→␈ε~␈␈εε1␈↓ 	]␈εp␈↓ 	k␈ε~␈␈εε1␈↓ 
O␈εε1
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	r␈↓ ↓←␈ε↔j␈α∞∀␈↓ α8␈ε	b␈↓ αy␈εβ,␈α∞h␈α␈enc␈α␈e␈↓ βo␈ε	x␈↓ ∧_␈εβ=␈↓ ∧F␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬≠␈εβ(␈↓ ¬&␈ε	u␈↓ ¬C␈ε↔␈␈↓ ¬m␈ε	r␈↓ ¬|␈εβ/␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε≡␈εβ)␈α
=␈↓ εd␈ε	x␈↓ π
␈εβ(since␈ε↔␈α
j␈↓ πu␈ε	r␈↓ λ∧␈εβ/␈↓ λ∀␈ε	v␈↓ λ&␈ε↔j␈α
∀␈↓ λ}␈ε	b␈↓ 	?␈εβ/␈↓ 	P␈ε	b␈↓ 
≥␈ε↔∀␈↓ 
`␈εβ,␈α∞a␈α␈nd
␈β⊂	␈↓ β}␈εε2␈↓ εs␈εε0
␈β⊂
␈↓ α(␈∧⊂
α(α
␈↓ λn␈∧⊂
λnα
␈↓ 
O␈∧⊂
Oα
␈β⊂∂␈↓ α(␈εε2␈↓ λn␈εε2␈↓ 
O␈εε2
␈β⊂"␈↓ ∧∨␈εp␈↓ ∧-␈ε~␈␈εε1␈↓ πd␈εε2␈↓ πq␈εp␈↓ π␈␈ε~␈␈εε1
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈li␈α↓ty␈α∞implies␈↓ β@␈ε	v␈↓ βa␈εβ=␈↓ ∧⊃␈ε	b␈↓ ∧a␈εβhen␈α␈ce␈↓ ¬B␈ε	r␈↓ ¬`␈εβ=␈α⊂0␈α␈).␈α↔If␈↓ εq␈ε	u␈↓ π¬␈ε	v␈↓ π&␈εβ>␈↓ πW␈ε	b␈↓ λ3␈εβthe␈α␈n␈↓ 	β␈ε	x␈↓ 	.␈εβ=␈↓ 	←␈ε	u␈↓ 	s␈ε	v␈↓ 
∂␈ε↔␈␈↓ 
:␈ε	r␈↓ 
W␈εβwhere
␈β⊂1␈↓ 	∩␈εε1
␈β⊂J␈↓ α"␈εε1␈↓ α?␈εp␈↓ ¬j␈εp␈↓ ε,␈εε1␈↓ πu␈εp␈↓ 	→␈εp
␈β⊂K␈↓ 
x␈εα(
␈β⊂N␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	r␈↓ ↓←␈ε↔j␈α∀␈↓ α2␈ε	b␈↓ αM␈εβ,␈αhe␈α␈nce␈↓ β?␈ε	x␈↓ β[␈εβ/␈↓ βl␈ε	v␈↓ ∧π␈ε↔∀␈↓ ∧2␈ε	u␈↓ ∧N␈ε↔␈␈↓ ∧w␈ε	r␈↓ ¬ε␈εβ/␈↓ ¬⊗␈ε	v␈↓ ¬2␈εβ<␈↓ ¬]␈ε	b␈↓ ε␈εβ+␈↓ ε=␈ε	b␈↓ εV␈εβa␈α␈nd␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π=␈ε↔∀␈↓ πh␈ε	b␈↓ λβ␈εβ.␈α
If␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λa␈εβ=␈↓ 	␈ε	b␈↓ 	3␈εβt␈α␈hen␈↓ 	␈␈ε	x␈↓ 
%␈εβ=␈↓ 
P␈ε	x␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β⊂X␈↓ βN␈εε1␈↓ π&␈εε2␈↓ λJ␈εε2␈↓ 
∞␈εε3␈↓ 
`␈εε1
␈β⊂\␈↓ α"␈∧⊂\α"α
␈↓ ε,␈∧⊂\ε,α
␈β⊂↑␈↓ α"␈εε2␈↓ ε,␈εε2
␈β⊂q␈↓ αq␈εp␈↓ ∧j␈εp␈↓ εu␈εp␈↓ λ'␈εε2␈↓ λ3␈εp␈↓ λA␈ε~␈␈εε1
␈β⊂r␈↓ β,␈εε1␈↓ ¬Z␈εα)
␈β⊂u␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈αλ(␈↓ αd␈ε	b␈↓ ββ␈ε↔␈␈↓ β=␈εβ)␈↓ βH␈ε	v␈↓ βb␈ε↔∀␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧2␈ε↔∀␈↓ ∧]␈ε	b␈↓ ∧x␈εβ(␈↓ ¬β␈ε	v␈↓ ¬_␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈↓ ¬f␈εβ.␈α
If␈↓ ε_␈ε	x␈↓ ε=␈εβ<␈↓ εh␈ε	b␈↓ π␈εβan␈α␈d␈↓ πJ␈ε	x␈↓ πo␈εβ>␈↓ λ→␈ε	b␈↓ λo␈εβthen␈αλlet␈↓ 	f␈ε	x␈↓ 
␈εβ=␈↓ 
6␈ε	x␈↓ 
R␈εβ/␈↓ 
c␈ε	v␈↓ 
x␈εβ+␈↓ ≡␈ε	q
␈β⊃␈↓ ∧≤␈εε1␈↓ ε'␈εε2␈↓ πY␈εε1␈↓ 	v␈εε2␈↓ 
F␈εε1
␈β⊃∧␈↓ β,␈∧⊃∧β,α
␈β⊃ε␈↓ β,␈εε2
␈β⊃→␈↓ 	2␈εp␈↓ 
l␈εε2␈↓ 
y␈εp␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β⊃~␈↓ β∧␈εε1
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈ε↔␈αj␈↓ α2␈ε	q␈↓ αA␈ε↔j␈α
∀␈↓ β∀␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧+␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ=␈↓ ∧⎇␈εβrou␈α␈nd␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ+␈↓ ε*␈ε	q␈↓ ε9␈ε	v␈↓ εJ␈εβ)␈α=␈↓ π␈ε	x␈↓ π(␈εβ.␈α
F␈α↓in␈α␈ally␈αif␈↓ λR␈ε	x␈↓ λy␈εβ<␈↓ 	$␈ε	b␈↓ 	K␈εβan␈α␈d␈↓ 

␈ε	x␈↓ 
3␈εβ=␈↓ 
←␈ε	b
␈β⊃(␈↓ ∧:␈εε3␈↓ ¬m␈εε1␈↓ π≠␈εε1␈↓ λa␈εε2␈↓ 
≤␈εε1
␈β⊃+␈↓ β∧␈∧⊃+β∧α
␈β⊃-␈↓ β∧␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.2.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα655
␈βα'␈↓ αs␈εε2␈↓ β␈εp␈↓ β∞␈ε~␈␈εε1
␈βα+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	x␈↓ α6␈εβ<␈↓ αf␈ε	b␈↓ βB␈εβth␈α␈en␈↓ ∧⊃␈ε	x␈↓ ∧<␈εβ=␈↓ ∧l␈ε	x␈↓ ¬⊗␈εβby␈α
the␈α∞|␈α␈rst␈α∂c␈α␈ase␈α∞ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈.␈α⊗Th␈α␈is␈α∂situ␈α␈ation␈α∞a␈α␈rises␈α∞e.␈α↓g␈α␈.␈α∂fo␈α␈r
␈βα6␈↓ α≠␈εε3␈↓ ∧!␈εε4␈↓ ∧{␈εε2
␈βαS␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓↑␈εβ=␈α
1␈α␈0,␈↓ α>␈ε	p␈↓ αX␈εβ=␈α
2,␈↓ β(␈ε	u␈↓ βE␈εβ=␈α
19␈α␈,␈↓ ∧&␈ε	v␈↓ ∧@␈εβ=␈α
5␈α␈5,␈↓ ¬ ␈ε	x␈↓ ¬F␈εβ=␈α	10␈α␈00,␈↓ εG␈ε	x␈↓ εl␈εβ=␈α
18␈α␈,␈↓ πM␈ε	x␈↓ πr␈εβ=␈α	990␈α␈.
␈βα]␈↓ ¬0␈εε1␈↓ εW␈εε2␈↓ π\␈εε3
␈ββ␈↓ 	␈␈ε~␈␈↓ 
_␈εp
␈ββ↓␈↓ 	b␈εε1
␈ββ¬␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβLet␈ε↔␈αb␈↓ αV␈ε	u␈↓ αj␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ β+␈ε	n␈↓ β?␈εβ,␈αso␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧E␈ε	u␈↓ ∧h␈εβm␈α␈od␈↓ ¬5␈εβ1␈α	=␈↓ ¬z␈ε	u␈↓ ε∃␈ε↔␈	␈↓ ε>␈ε	n␈↓ ε\␈εβ=␈↓ πε␈ε	u␈↓ π"␈ε↔␈␈↓ πJ␈ε	n␈↓ πf␈εβ+␈↓ λ∂␈ε	r␈↓ λ(␈εβw␈α↓h␈α␈ere␈ε↔␈αj␈↓ 	∩␈ε	r␈↓ 	!␈ε↔j␈α	∀␈↓ 	r␈ε	b␈↓ 
&␈εβ;␈αw␈α␈e␈αwish
␈ββ∪␈↓ 	b␈∧β∪	bα
␈ββ∃␈↓ 	b␈εε2
␈ββ,␈↓ ↓H␈εβto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αro␈α␈un␈α␈d(␈↓ βl␈ε	n␈↓ ∧π␈ε↔␈␈↓ ∧0␈ε	r␈↓ ∧?␈εβ)␈α
=␈↓ ∧␈␈ε	n␈↓ ¬∪␈εβ.␈αThe␈αres␈α␈ult␈αis␈αclear␈αif␈ε↔␈αj␈↓ πd␈ε	n␈↓ πx␈ε↔j␈εβ␈α
>␈α
1;␈αand␈↓ 	≤␈ε	r␈↓ 	5␈εβ=␈α
0␈αwh␈α␈en␈↓ 
S␈ε	n␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈ββP␈↓ πk␈εε1␈↓ λ	␈ε~␈␈↓ λ"␈εp
␈ββT␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α1,␈α
so␈αth␈α␈e␈αon␈α␈l␈α↓y␈αsub␈α␈tl␈α↓e␈αc␈α␈ase␈αis␈α
wh␈α␈en␈↓ ¬m␈ε	n␈↓ ε␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈↓ π␈ε	r␈↓ π~␈εβ=␈ε↔␈α␈␈↓ π|␈ε	b␈↓ λ0␈εβ.␈α∂Th␈α␈e␈αi␈α↓d␈α␈en␈α␈t␈α␈i␈α↓ty␈αf␈α↓a␈α␈il␈α↓s␈αi{␈↓ 
⎇␈ε	b␈↓ ⊗␈εβis
␈ββb␈↓ πk␈∧βbπkα
␈ββd␈↓ πk␈εε2
␈ββw␈↓ ∧≠␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬o␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ π↑␈ε~␈␈↓ πw␈εp␈↓ λ]␈ε~␈␈↓ λv␈εp
␈ββx␈↓ λ?␈εε3␈↓ 	∂␈εα(
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αof␈α4␈αan␈α␈d␈ε↔␈α␈␈↓ ∧∞␈ε	b␈↓ ∧K␈εβ<␈↓ ∧w␈ε	u␈↓ ¬∃␈εβ<␈ε↔␈α␈␈↓ ¬b␈ε	b␈↓ ε!␈εβan␈α␈d␈↓ εb␈ε	u␈↓ ε|␈εβmo␈α␈d␈↓ π@␈εβ2␈↓ πQ␈ε	b␈↓ λ⊂␈εβ=␈↓ λO␈ε	b␈↓ 	≠␈εβe.g.,␈↓ 	c␈ε	p␈↓ 	}␈εβ=␈α
3,␈↓ 
O␈ε	b␈↓ 
g␈εβ=␈α8␈α␈,
␈β∧
␈↓ λ?␈∧∧
λ?α
␈β∧␈↓ λ?␈εε2
␈β∧ ␈↓ β∨␈εα)
␈β∧#␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓e␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓(.01␈α␈24␈↓ βλ␈εβ)␈↓ β+␈εβ.
␈β∧.␈↓ β∪␈εε8
␈β∧R␈↓ π(␈ε⊗o␈↓ λ≤␈ε⊗n␈↓ 	h␈ε⊗n␈↓ 
l␈ε⊗n
␈β∧U␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβLet␈↓ αD␈ε	u␈↓ αb␈εβ=␈α	[␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β4␈εβ,␈↓ βC␈ε	u␈↓ βc␈εβ],␈↓ β|␈ε	v␈↓ ∧↔␈εβ=␈α
[␈↓ ∧K␈ε	v␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧t␈ε	v␈↓ ¬∂␈εβ].␈α
The␈α␈n␈↓ ¬⎇␈ε	u␈↓ ε∪␈ε↔λ␈↓ ε5␈ε	v␈↓ εP␈εβ=␈α	[␈↓ πβ␈ε	u␈↓ πM␈ε	v␈↓ πh␈εβ,␈↓ πw␈ε	u␈↓ λA␈ε	v␈↓ λ\␈εβ],␈αλwhe␈α␈re␈↓ 	Q␈ε	x␈↓ 
∞␈ε	y␈↓ 
*␈εβ=␈↓ 
T␈ε	y␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β∧[␈↓ π-␈επ+␈↓ λ ␈επ+␈↓ 	m␈επ+␈↓ 
q␈επ+
␈β∧`␈↓ β-␈εl␈↓ βV␈εr␈↓ ∧↑␈εl␈↓ ¬β␈εr␈↓ π≠␈εl␈↓ π`␈εl␈↓ λ
␈εr␈↓ λP␈εr
␈β∧z␈↓ ↓←␈ε⊗n␈↓ ∧$␈ε⊗n␈↓ πP␈ε⊗n
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α∧␈εβ+0␈α	=␈↓ αj␈ε	x␈↓ βε␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ βh␈ε	x␈↓ βy␈εβ,␈↓ ∧∞␈ε	x␈↓ ∧J␈ε↔␈␈εβ0␈α	=␈↓ ¬0␈ε	x␈↓ ¬L␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ε.␈ε	x␈↓ εH␈ε↔≤␈εβ␈α
+0,␈↓ π9␈ε	x␈↓ πv␈εβ+␈ε↔1␈εβ␈α
=␈α	+␈ε↔1␈εβ␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ 
≠␈ε	x␈↓ 
6␈ε↔≤␈α
␈1␈εβ,
␈β¬β␈↓ ↓c␈επ+␈↓ ∧)␈επ+␈↓ πU␈επ+
␈β¬!␈↓ α!␈ε⊗n␈↓ ¬Q␈ε⊗o␈↓ εc␈εα(␈↓ π>␈ε⊗n␈↓ λ(␈εα)
␈β¬$␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε	x␈↓ αF␈ε↔␈␈α↓1␈εβ␈α
n␈α␈eed␈α␈n't␈α
b␈α␈e␈α
d␈α␈e|␈α␈ned␈α␈;␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬v␈ε	y␈↓ ε∃␈εβ=␈ε↔␈α␈␈↓ εo␈εβ(␈ε↔␈␈↓ π≤␈ε	x␈↓ π-␈εβ)␈↓ π↑␈εβ(␈ε↔␈␈↓ λ
␈ε	y␈↓ λ≥␈εβ)␈↓ λ4␈εβ.␈α⊂If␈↓ λp␈ε	x␈↓ 	
␈ε↔λ␈↓ 	3␈ε	y␈↓ 	R␈εβwo␈α␈uld␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w
␈β¬+␈↓ α&␈επ+␈↓ ¬V␈επ+␈↓ πB␈επ+
␈β¬I␈↓ 	D␈ε⊗n
␈β¬L␈↓ ↓H␈εβin␈αn␈α␈orma␈α␈l␈α⎇o␈α␈ating␈α␈-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αb␈α␈ecau␈α␈se␈↓ εJ␈ε	x␈↓ εc␈εβ+␈↓ π␈ε	y␈↓ π*␈εβis␈αto␈α␈o␈αl␈α↓a␈α␈rge,␈αth␈α␈en␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	i␈ε	y␈↓ 
π␈εβis␈α+␈ε↔1␈εβ␈αa␈α␈nd
␈β¬R␈↓ 	H␈επ+
␈β¬p␈↓ ↓←␈ε⊗o
␈β¬s␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α∧␈ε	y␈↓ α"␈εβis␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈rgest␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tab␈α␈le␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r.
␈β¬z␈↓ ↓c␈επ+
␈βε≠␈↓ α␈εβFor␈αsu␈α␈btra␈α␈ction,␈αlet␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧O␈ε↔␈	␈↓ ∧x␈ε	v␈↓ ¬∪␈εβ=␈↓ ¬=␈ε	u␈↓ ¬Y␈ε↔λ␈εβ␈απ(␈ε↔␈α↓␈␈↓ ε.␈ε	v␈↓ ε?␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈ε↔␈α␈␈↓ π`␈ε	v␈↓ π{␈εβ=␈α	[␈ε↔␈α↓␈␈↓ λP␈ε	v␈↓ λk␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ 	≠␈ε	v␈↓ 	5␈εβ]␈α↓.
␈βε&␈↓ λ←␈εr␈↓ 	.␈εl
␈βεC␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α
i␈α↓s␈αso␈α␈mewh␈α␈at␈αmore␈α
comp␈α␈li␈α↓c␈α␈ated␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αcorr␈α␈ect␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αis␈αto␈αlet
␈βπ␈↓ αN␈εα[␈↓ βE␈ε⊗o␈↓ ∧8␈ε⊗o␈↓ ¬,␈ε⊗o␈↓ ε ␈ε⊗o␈↓ πr␈ε⊗n␈↓ λf␈ε⊗n␈↓ 	Z␈ε⊗n␈↓ 
N␈ε⊗n␈↓ →␈εα]
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓b␈ε↔␈
␈↓ α	␈ε	v␈↓ α$␈εβ=␈↓ α↑␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈ε	u␈↓ βj␈ε	v␈↓ ∧¬␈εβ,␈↓ ∧∀␈ε	u␈↓ ∧↑␈ε	v␈↓ ∧y␈εβ,␈↓ ¬λ␈ε	u␈↓ ¬R␈ε	v␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬{␈ε	u␈↓ εF␈ε	v␈↓ εa␈εβ),␈↓ π∧␈εβma␈α␈x␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	u␈↓ λ_␈ε	v␈↓ λ2␈εβ,␈↓ λA␈ε	u␈↓ 	␈ε	v␈↓ 	&␈εβ,␈↓ 	5␈ε	u␈↓ 	␈␈ε	v␈↓ 
~␈εβ,␈↓ 
)␈ε	u␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ∞␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βπ∀␈↓ βJ␈ε≠α␈↓ ∧=␈ε≠α␈↓ ¬1␈ε≠α␈↓ ε%␈ε≠α␈↓ πw␈ε≠α␈↓ λj␈ε≠α␈↓ 	←␈ε≠α␈↓ 
R␈ε≠α
␈βπ→␈↓ β8␈εl␈↓ β⎇␈εl␈↓ ∧+␈εl␈↓ ∧m␈εr␈↓ ¬≠␈εr␈↓ ¬e␈εl␈↓ ε∞␈εr␈↓ εT␈εr␈↓ πe␈εl␈↓ λ+␈εl␈↓ λY␈εl␈↓ 	~␈εr␈↓ 	H␈εr␈↓ 
∩␈εl␈↓ 
<␈εr␈↓ α␈εr
␈βπV␈↓ α@␈ε⊗n␈↓ βG␈ε⊗n␈↓ ∧+␈ε⊗n␈↓ ε∂␈ε⊗o␈↓ πX␈ε⊗n␈↓ λ=␈ε⊗n
␈βπY␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α)␈ε	x␈↓ αe␈ε	y␈↓ ββ␈εβ=␈↓ β/␈ε	y␈↓ βm␈ε	x␈↓ β}␈εβ,␈↓ ∧∀␈ε	x␈↓ ∧K␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ∧w␈ε	y␈↓ ¬
␈εβ)␈α=␈ε↔␈α␈␈εβ(␈↓ ¬x␈ε	x␈↓ ε5␈ε	y␈↓ εG␈εβ)␈α=␈α(␈ε↔␈␈↓ π6␈ε	x␈↓ πG␈εβ)␈↓ π}␈ε	y␈↓ λ⊂␈εβ;␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λc␈εβ+0␈α=␈α(+0␈αfor␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
f␈εβ>␈α0␈α␈,
␈βπ`␈↓ αE␈ε≠α␈↓ βL␈ε≠α␈↓ ∧/␈ε≠α␈↓ ε∀␈ε≠α␈↓ π]␈ε≠α␈↓ λB␈ε≠α
␈βπ}␈↓ βb␈ε⊗n␈↓ ¬?␈ε⊗n␈↓ εS␈ε⊗n
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε↔␈␈εβ0␈α∂for␈↓ αA␈ε	x␈↓ αc␈εβ<␈α⊃0␈α␈);␈↓ βK␈ε	x␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈εβ0␈α⊂=␈ε↔␈α⊃␈␈εβ(␈↓ ¬(␈ε	x␈↓ ¬d␈εβ+␈α↓0␈α␈)␈α↓;␈↓ ε<␈ε	x␈↓ εy␈εβ+␈ε↔1␈εβ␈α⊃=␈α⊂(␈α↓+␈ε↔1␈εβ␈α⊂fo␈α␈r␈↓ 	∪␈ε	x␈↓ 	4␈εβ>␈α⊃+0,␈ε↔␈α⊃␈1␈εβ␈α⊂fo␈α␈r
␈βλπ␈↓ βg␈ε≠α␈↓ ¬D␈ε≠α␈↓ εX␈ε≠α
␈βλ&␈↓ α↑␈εα(
␈βλ)␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓b␈εβ<␈ε↔␈α
␈␈εβ0).␈↓ αj␈εβIt␈αis␈αpossib␈α␈l␈α↓e␈α
to␈αd␈α␈etermin␈α␈e␈αthe␈αm␈α␈i␈α↓n␈α
an␈α␈d␈αm␈α␈ax␈αsimp␈α␈ly␈αb␈α␈y␈αloo␈α␈king␈α
at␈αth␈α␈e␈αsign␈α␈s
␈βλP␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	u␈↓ α∂␈εβ,␈↓ α%␈ε	u␈↓ αD␈εβ,␈↓ α[␈ε	v␈↓ αu␈εβ,␈α
an␈α␈d␈↓ βM␈ε	v␈↓ βh␈εβ,␈α
there␈α␈by␈αco␈α␈mpu␈α␈ting␈αon␈α␈ly␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αo␈α␈f␈α
the␈αeigh␈α}t␈α
p␈α␈rod␈α␈ucts␈α␈,␈α∞e␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈α
wh␈α␈en
␈βλ[␈↓ απ␈εl␈↓ α8␈εr␈↓ αm␈εl␈↓ β\␈εr
␈βλx␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓r␈εβ<␈α0␈α<␈↓ αg␈ε	u␈↓ β∪␈εβa␈α␈nd␈↓ βU␈ε	v␈↓ βz␈εβ<␈α0␈α<␈↓ ∧o␈ε	v␈↓ ¬
␈εβ;␈α∞in␈αth␈α␈e␈αlatter␈αca␈α␈se␈α
w␈α␈e␈αco␈α␈mp␈α␈ute␈αfou␈α␈r␈α
p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ts,␈α
an␈α␈d␈αthe
␈β	α␈↓ ↓←␈εl␈↓ αz␈εr␈↓ βg␈εl␈↓ ∧}␈εr
␈β	≤␈↓ βG␈ε⊗o␈↓ ∧<␈ε⊗o␈↓ ε∧␈ε⊗n␈↓ εx␈ε⊗n␈↓ πV␈εα)
␈β	∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er␈αis␈α[␈↓ α`␈εβmin␈↓ β_␈εβ(␈↓ β#␈ε	u␈↓ βm␈ε	v␈↓ ∧λ␈εβ,␈↓ ∧↔␈ε	u␈↓ ∧a␈ε	v␈↓ ∧|␈εβ),␈↓ ¬⊗␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬T␈εβ(␈↓ ¬`␈ε	u␈↓ ε*␈ε	v␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε	u␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π8␈εβ)]␈α↓.
␈β	&␈↓ βL␈ε≠α␈↓ ∧@␈ε≠α␈↓ ε	␈ε≠α␈↓ ε⎇␈ε≠α
␈β	*␈↓ β:␈εl␈↓ β|␈εr␈↓ ∧*␈εr␈↓ ∧t␈εl␈↓ ¬w␈εl␈↓ ε<␈εl␈↓ εf␈εr␈↓ π,␈εr
␈β	G␈↓ α␈εβFinally,␈↓ β␈ε	u␈↓ β*␈ε↔␈↓ βU␈ε	v␈↓ βt␈εβi␈α↓s␈α∞u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α∞if␈↓ ¬W␈ε	v␈↓ ε␈εβ<␈α∂0␈α∞<␈↓ ε␈␈ε	v␈↓ π~␈εβ;␈α⊃o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈α∞w␈α␈e␈α∞use␈α∞th␈α␈e␈α∞f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈α∂fo␈α␈r
␈β	R␈↓ ¬j␈εl␈↓ π∞␈εr
␈β	k␈↓ πp␈ε~␈␈εε1␈↓ λs␈ε~␈␈εε1␈↓ 
\␈ε~␈␈εε1
␈β	l␈↓ 
$␈ε⊗n
␈β	o␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈↓ βi␈ε	v␈↓ ∧∂␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧O␈ε	v␈↓ ∧u␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
respe␈α␈ctiv␈α␈ely␈αb␈α␈y␈↓ π←␈ε	v␈↓ λ!␈εβan␈α␈d␈↓ λb␈ε	v␈↓ 	→␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈↓ 

␈ε	x␈↓ 
J␈ε	y␈↓ ␈εβ=
␈β	u␈↓ 
)␈ε≠α
␈β	y␈↓ β|␈εl␈↓ ∧↑␈εr
␈β	}␈↓ πp␈εr␈↓ λw␈εl
␈β
∩␈↓ αz␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧␈␈ε~␈␈εε1␈↓ πλ␈ε~␈␈εε1
␈β
∪␈↓ ↓←␈ε⊗n␈↓ αB␈ε⊗o␈↓ βj␈ε⊗o
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α∧␈ε	y␈↓ α↔␈εβ,␈↓ α+␈ε	x␈↓ αg␈ε	y␈↓ β)␈εβ=␈↓ βS␈ε	x␈↓ ∧⊂␈ε	y␈↓ ∧"␈εβ,␈α(␈ε↔ε␈εβ0␈↓ ∧t␈εβ)␈↓ ¬.␈εβ=␈ε↔␈α
ε1␈εβ,␈α(␈ε↔␈α↓ε1␈↓ ε⎇␈εβ)␈↓ π7␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈εβ0.
␈β
≥␈↓ ↓i␈επ/␈↓ αG␈ε≠α␈↓ βu␈επ/
␈β
;␈↓ α␈εα(
␈β
>␈↓ α_␈εβCf.␈α
E␈α↓.␈α
R.␈α∞Ha␈α␈nsen␈α␈,␈ε⊂␈α∞Ma␈α␈th.␈α
Com␈α␈p.␈ε∪␈α
22␈εβ␈α
(19␈α␈68),␈α∞3␈α␈74↑␈α␈384␈α␈.␈α∩An␈α
a␈α␈lterna␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
sch␈α␈eme,␈α∞in
␈β
e␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n␈α
b␈α␈y␈α
0␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈α
no␈α	error␈α
me␈α␈ssage␈α␈s␈α
and␈α	i␈α↓n␈α}terv␈α␈als␈α
may␈α	be␈α
n␈α␈eigh␈α␈b␈α␈orh␈α␈oo␈α␈ds␈α
of␈ε↔␈α
1␈εβ,
␈β
␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αbee␈α␈n␈αprop␈α␈ose␈α␈d␈α
b␈α␈y␈αW.␈α
M.␈α
K␈α␈aha␈α␈n.␈α∂I␈α↓n␈αKa␈α␈ha␈α␈n's␈α
sc␈α␈hem␈α␈e,␈α
for␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α
th␈α␈e␈α
rec␈α␈i␈α↓p␈α␈roca␈α␈l
␈β5␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
[␈ε↔␈α↓␈␈εβ1,␈α¬+␈α↓1␈α␈]␈α∞is␈α
[+1,␈ε↔␈αε␈␈εβ1],␈α∞a␈α␈nd␈αan␈α
a␈α␈ttemp␈α␈t␈α
to␈α
m␈α␈u␈α␈ltiply␈α
a␈α␈n␈α
in␈α␈te␈α␈rval␈α
co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈α
0␈αby␈αan
␈β\␈↓ ↓H␈εβin␈α}terva␈α␈l␈αλc␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈ε↔␈αε1␈εβ␈αλy␈α␈ields␈απ[␈ε↔␈1␈εβ␈α↓,␈α¬+␈ε↔␈α↓1␈εβ],␈αλthe␈απse␈α␈t␈απof␈απall␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α
Se␈α␈e␈ε⊂␈απNum␈α␈erical␈απAna␈α␈l␈α↓y␈α␈sis␈εβ,
␈β↓␈↓ 	↔␈εα)
␈β∧␈↓ ↓H␈εβUn␈α␈iv.␈αMich␈α␈i␈α↓g␈α␈an␈αEn␈α␈gine␈α␈ering␈αS␈α␈um␈α␈mer␈αCon␈α␈f.␈αN␈α␈otes␈αNo␈α␈.␈α6␈α␈818␈α(1␈α␈968␈α␈).
␈β6␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβCan␈α␈cellation␈α
rev␈α}eals␈ε⊂␈αp␈α␈reviou␈α␈s␈εβ␈αerro␈α␈rs␈αin␈αt␈α␈he␈αc␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈↓ λg␈ε	u␈↓ 	ε␈εβan␈α␈d␈↓ 	G␈ε	v␈↓ 	X␈εβ.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β]␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓k␈ε	∂␈↓ απ␈εβis␈α∂small,␈α⊃w␈α␈e␈α∂o␈α␈ften␈α∂g␈α␈et␈α∂po␈α␈or␈α∂acc␈α␈ura␈α␈cy␈α∂wh␈α␈en␈α∂co␈α␈mpu␈α␈ting␈↓ λ>␈ε	f␈↓ λM␈εβ(␈↓ λX␈ε	x␈↓ λt␈εβ+␈↓ 	∨␈ε	∂␈↓ 	,␈εβ)␈ε↔␈α
␈	␈↓ 	m␈ε	f␈↓ 	⎇␈εβ(␈↓ 
λ␈ε	x␈↓ 
→␈εβ),␈α⊂beca␈α␈use
␈β
¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞rou␈α␈nd␈α␈ed␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈↓ ∧↑␈ε	f␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	x␈↓ ¬∪␈εβ+␈↓ ¬>␈ε	∂␈↓ ¬K␈εβ)␈α∞de␈α␈stro␈α␈y␈α␈s␈α∞m␈α␈uch␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞i␈α↓n␈α␈form␈α␈ation␈α∞a␈α␈bo␈α␈ut␈↓ 
F␈ε	∂␈↓ 
S␈εβ.␈α∀It␈α∞is
␈β
*␈↓ λx␈εα(␈↓ 
a␈εα)
␈β
-␈↓ ↓H␈εβd␈α␈esirab␈α␈le␈αto␈αrewrite␈αsu␈α␈ch␈αform␈α␈u␈α␈las␈αas␈↓ ¬k␈ε	∂␈↓ ¬␈␈ε↔␈
␈↓ ε(␈ε	g␈↓ ε8␈εβ(␈↓ εC␈ε	x␈↓ εT␈εβ,␈↓ εc␈ε	∂␈↓ εp␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓ πp␈ε	g␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ≥␈εβ,␈↓ λ+␈ε	∂␈↓ λ8␈εβ)␈α
=␈↓ 	∧␈ε	f␈↓ 	∀␈εβ(␈↓ 	∨␈ε	x␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	a␈ε	∂␈↓ 	n␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
*␈ε	f␈↓ 
:␈εβ(␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
V␈εβ)␈↓ 
m␈εβ/␈↓ 
}␈ε	∂␈↓ ⊗␈εβis
␈β
P␈↓ ε{␈εε2
␈β
R␈↓ ≠␈∧
R≠α∩
␈β
S␈↓ 
z␈ε↔p
␈β
T␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈rst␈α
co␈α␈mpu␈α␈ted␈αsym␈α␈b␈α␈olically.␈α⊂Th␈α␈u␈α␈s,␈α∞if␈↓ ¬x␈ε	f␈↓ ελ␈εβ(␈↓ ε∪␈ε	x␈↓ ε%␈εβ)␈α=␈↓ εi␈ε	x␈↓ π∀␈εβthen␈↓ πb␈ε	g␈↓ πr␈εβ(␈↓ π⎇␈ε	x␈↓ λ∞␈εβ,␈↓ λ≥␈ε	∂␈↓ λ*␈εβ)␈α=␈α
2␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	→␈εβ+␈↓ 	C␈ε	∂␈↓ 	P␈εβ;␈α∞i␈α↓f␈↓ 
	␈ε	f␈↓ 
_␈εβ(␈↓ 
#␈ε	x␈↓ 
5␈εβ)␈α=␈↓ ≠␈ε	x
␈β
y␈↓ βh␈∧
yβhαO
␈β
z␈↓ βG␈ε↔p␈↓ ¬λ␈∧
z¬λα∩
␈β
{␈↓ ∧g␈ε↔p
␈β
|␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε	g␈↓ α#␈εβ(␈↓ α.␈ε	x␈↓ α@␈εβ,␈↓ αN␈ε	∂␈↓ α[␈εβ)␈α
=␈α	1/(␈↓ βh␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ+␈↓ ∧)␈ε	∂␈↓ ∧>␈εβ+␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ ¬∨␈εβ).
␈β∞.␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αMa␈α␈th.␈αComp␈α␈.␈ε∪␈α32␈εβ␈α(19␈α␈78),␈α22␈α␈7↑2␈α␈32.
␈β∂&␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.2␈α␈.3
␈β∂u␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβFirst,␈α(␈↓ αs␈ε	w␈↓ β ␈εβ,␈↓ β/␈ε	w␈↓ βQ␈εβ)␈α
=␈α(.57␈α␈3,␈αε.24␈α␈8);␈αthen␈↓ ε∂␈ε	w␈↓ ε<␈ε	v␈↓ εW␈εβ/␈↓ εg␈ε	v␈↓ π_␈εβ=␈α
.␈α↓2␈α␈90;␈αso␈αthe␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis␈α(.57␈α␈2,␈αε.95␈α␈8).
␈β⊂␈↓ β	␈εm␈↓ βI␈εl␈↓ ε%␈εm␈↓ εO␈εl␈↓ εv␈εm
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αi␈α↓n␈α
fact␈αis␈αthe␈αc␈α␈orrect␈αre␈α␈sult␈αto␈αsix␈αd␈α␈ecima␈α␈l␈α↓s.
␈β⊂O␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβThe␈απan␈α␈sw␈α␈er␈αλis␈αλn␈α␈ot␈απa{ected␈α␈,␈α	sinc␈α␈e␈αλth␈α␈e␈αλn␈α␈orma␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈απrou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αλtr␈α␈un␈α␈cates␈απto␈αλe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈απplace␈α␈s
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
can␈α
nev␈α}er␈αlook␈α
at␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈articu␈α␈lar␈αby␈α␈te␈αp␈α␈osition.␈α(S␈α␈caling␈αto␈α
the␈αleft␈αo␈α␈ccur␈α␈s␈αat␈αmos␈α␈t
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nce␈α
du␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αn␈α␈orma␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αsince␈α
the␈αinp␈α␈uts␈αa␈α␈re␈αno␈α␈rmalized␈α␈.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα656␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.2.3
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβOv␈α␈e␈α␈r⎇o␈α}w␈αλo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly␈απca␈α␈nn␈α␈ot␈απoc␈α␈cur␈απat␈απline␈απ0␈α␈9,␈αλsince␈απw␈α␈e␈απare␈απa␈α␈dd␈α␈ing␈απt␈α␈w␈α␈o-b␈α␈yte␈απq␈α␈ua␈α␈n␈α␈tities,
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αa␈α␈t␈α
l␈α↓in␈α␈e␈α2␈α␈2,␈αsin␈α␈ce␈α
w␈α␈e␈αa␈α␈re␈α
ad␈α␈ding␈α
fo␈α␈ur-b␈α␈yte␈α
qu␈α␈an␈α}ti␈α↓ties.␈αIn␈α
line␈α
3␈α␈0␈α
w␈α␈e␈αa␈α␈re␈α
comp␈α␈ut␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
the
␈βαz␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈m␈αo␈α␈f␈αthree␈α
four␈α␈-␈α↓b␈α␈yte␈α
qu␈α␈an␈α␈tities,␈αso␈α
this␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w.␈αFin␈α␈all␈α↓y␈α␈,␈αi␈α↓n␈α
line␈α3␈α␈2,␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβis␈αimp␈α␈ossible␈αb␈α␈ecau␈α␈se␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈du␈α␈ct␈↓ ¬9␈ε	f␈↓ ¬T␈ε	f␈↓ ¬w␈εβm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈αu␈α␈nity.
␈ββ,␈↓ ¬C␈εu␈↓ ¬↑␈εv
␈ββU␈↓ α|␈ε∃JOV␈α∀OFL␈α␈O;␈α∀ENT␈α␈1␈α∃0
␈ββX␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβInse␈α␈rt␈α
\␈↓ ¬H␈εβ"␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αline␈α␈s␈α
0␈α␈3␈α
a␈α␈nd␈α0␈α␈4.␈α∂Replac␈α␈e␈α
line␈α␈s␈α
2␈α␈1↑2␈α␈2␈αby
␈ββ⎇␈↓ ↓X␈ε∃ADD␈α∀TE␈α␈MP(A␈α␈BS)␈α␈;␈α∃J␈α␈NOV␈α∀*+2␈α␈;␈α∃I␈α␈NC1␈α∀1␈↓ 
≤␈ε∃S␈α␈LAX␈α∀5;
␈β∧␈↓ ↓H␈εβ\␈↓ εZ␈εβ",␈α
a␈α␈nd␈αch␈α␈ang␈α␈e␈α
line␈α␈s␈α
28␈α␈↑3␈α␈1␈α
to␈α\
␈β∧$␈↓ ↓H␈ε∃A␈α␈DD␈α∀TEMP␈α␈;␈α∃J␈α␈NOV␈α∀*+2␈α␈;␈α∃I␈α␈NC1␈α∀1;␈α∀ENT␈α␈X␈α∃0␈α␈,1;␈α∀SRC␈α∀5
␈β∧'␈↓ λB␈εβ"␈α␈.␈α∂Th␈α␈is␈αad␈α␈ds␈α|␈α␈v␈α␈e␈αlines␈αo␈α␈f
␈β∧O␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ode␈α
and␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
1,␈α2,␈αor␈α3␈αu␈α␈nits␈αof␈αex␈α}ecu␈α␈tion␈αtime␈α␈.
␈β¬α␈↓ α|␈ε∃JO␈α␈V␈α∃O␈α␈FLO␈↓ 
Z␈ε∃S␈α␈RAX
␈β¬¬␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβInse␈α␈rt␈α\␈↓ ∧!␈εβ"␈αafter␈αl␈α↓in␈α␈e␈α06␈α␈.␈α∞Cha␈α␈ng␈α␈e␈αli␈α↓n␈α␈es␈α2␈α␈2,␈α
3␈α␈1,␈α39␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈ely␈αto␈α\
␈β¬*␈↓ ↓H␈ε∃0␈α␈,1␈↓ αA␈ε∃S␈α␈LAX␈α∀5␈↓ βx␈ε∃AD␈α␈D␈α∃A␈α␈CC␈↓ 	4␈ε∃DE␈α␈C2␈α∃1␈α␈;␈α∃J␈α␈NOV
␈β¬-␈↓ αε␈εβ"␈α␈,␈α⊃\␈↓ β=␈εβ",␈α⊂\␈↓ ¬	␈εβ"␈α␈.␈α_B␈α↓e␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α∂li␈α↓n␈α␈es␈α∂40␈α∂a␈α␈nd␈α∂4␈α␈1,␈α⊃in␈α␈sert␈α∂\
␈β¬Q␈↓ ↓H␈ε∃D␈α␈NOR␈α␈M;␈α∃I␈α␈NC2␈α∀1;␈α∀INC␈α␈X␈α∃1␈α␈;␈α∃S␈α␈RC␈α∃1␈↓ 
	␈ε∃DEC␈α∀1
␈β¬T␈↓ ε␈εβ".␈α_[I␈α↓t␈α␈'␈α↓s␈α∂temp␈α␈ting␈α∂to␈α∂rem␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∂\␈↓ 
q␈εβ"␈α∂in
␈β¬y␈↓ α]␈ε∃STZ␈α∀EXP␈α␈O␈↓ ¬?␈ε∃I␈α␈NC2␈α∀1
␈β¬|␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α
of␈α
\␈↓ ∧β␈εβ",␈α
bu␈α␈t␈α
the␈α␈n␈α
\␈↓ ε;␈εβ"␈α
m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
o␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈α
rI␈α↓2␈α␈!]␈αThis␈α
ad␈α␈ds␈α
six␈α
lines␈α
o␈α␈f
␈βε#␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ode␈α␈;␈α	the␈απti␈α↓m␈α␈e␈ε⊂␈αλd␈α␈ecrea␈α␈ses␈εβ␈αλb␈α␈y␈αλ3␈↓ ∧c␈ε	u␈↓ ∧w␈εβ,␈α	u␈α␈nless␈αλth␈α␈ere␈απi␈α↓s␈απfraction␈απo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w,␈α	wh␈α␈en␈απi␈α↓t␈απi␈α↓n␈α␈crea␈α␈ses␈αλb␈α␈y␈αλ7␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈βεc␈↓ α␈ε∃DO␈α␈UBLE␈↓ β2␈ε∃S␈α␈TJ␈↓ ∧.␈ε∃EX␈α␈ITD␈α␈F
␈βεf␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ ε&␈εβCon␈α}v␈α␈ert␈αto␈α
dou␈α␈ble␈αp␈α␈recision␈α␈:
␈βπ␈↓ β2␈ε∃E␈α␈NTX␈↓ ∧.␈ε∃0
␈βπ∞␈↓ ε&␈εβClear␈αrX.
␈βπ2␈↓ β2␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧.␈ε∃TE␈α␈MP
␈βπZ␈↓ β2␈ε∃L␈α␈D2␈↓ ∧.␈ε∃TE␈α␈MP(␈α␈EXP␈α␈)
␈βπ]␈↓ ε&␈εβrI␈↓ ε>␈εβ2␈ε↔␈α	 ␈↓ πβ␈ε	e␈↓ π⊂␈εβ.
␈βλα␈↓ β2␈ε∃I␈α␈NC2␈↓ ∧.␈ε∃QQ␈α␈-Q
␈βλ¬␈↓ ε&␈εβCorre␈α␈ct␈αfor␈αdi{eren␈α␈ce␈αin␈αex␈α}cess.
␈βλ)␈↓ β2␈ε∃S␈α␈TZ␈↓ ∧.␈ε∃EX␈α␈PO␈↓ ε&␈ε∃EXP␈α␈O
␈βλ,␈↓ πα␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈βλQ␈↓ β2␈ε∃S␈α␈LAX␈↓ ∧.␈ε∃1
␈βλT␈↓ ε&␈εβRemo␈α}v␈α␈e␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t.
␈βλx␈↓ β2␈ε∃J␈α␈MP␈↓ ∧.␈ε∃DN␈α␈ORM
␈βλ{␈↓ ε&␈εβNorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈e␈αan␈α␈d␈αex␈α␈i␈α↓t.
␈β	.␈↓ α␈ε∃SI␈α␈NGLE␈↓ β2␈ε∃S␈α␈TJ␈↓ ∧.␈ε∃EX␈α␈ITF
␈β	1␈↓ ε&␈εβCon␈α}v␈α␈ert␈αto␈α
si␈α↓n␈α␈gle␈αp␈α␈recision:
␈β	U␈↓ β2␈ε∃J␈α␈OV␈↓ ∧.␈ε∃OF␈α␈LO
␈β	X␈↓ ε&␈εβEnsu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w␈αis␈αo{.
␈β	⎇␈↓ β2␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧.␈ε∃TE␈α␈MP
␈β
$␈↓ β2␈ε∃L␈α␈D2␈↓ ∧.␈ε∃TE␈α␈MP(␈α␈EXP␈α␈D)
␈β
'␈↓ ε&␈εβrI␈↓ ε>␈εβ2␈ε↔␈α	 ␈↓ πβ␈ε	e␈↓ π⊂␈εβ.
␈β
L␈↓ β2␈ε∃D␈α␈EC2␈↓ ∧.␈ε∃QQ␈α␈-Q
␈β
O␈↓ ε&␈εβCorre␈α␈ct␈αfor␈αdi{eren␈α␈ce␈αin␈αex␈α}cess.
␈β
t␈↓ β2␈ε∃S␈α␈LAX␈↓ ∧.␈ε∃2
␈β
w␈↓ ε&␈εβRemo␈α}v␈α␈e␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t.
␈β≠␈↓ β2␈ε∃J␈α␈MP␈↓ ∧.␈ε∃NO␈α␈RM
␈β≡␈↓ ε&␈εβNorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈e,␈αro␈α␈un␈α␈d,␈αan␈α␈d␈αex␈α␈it.
␈β ␈↓ 	↑␈∧ 	↑≠∂
␈βT␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβAll␈αth␈α␈ree␈αro␈α␈utine␈α␈s␈αgiv␈α␈e␈αz␈α␈ero␈αas␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αif␈αand␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
if␈αthe␈αex␈α␈act␈αre␈α␈sult␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
be
␈β|␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero,␈α	so␈αλw␈α␈e␈αλn␈α␈eed␈απno␈α␈t␈αλwo␈α␈rry␈αλa␈α␈bou␈α␈t␈αλzero␈απden␈α␈omin␈α␈ators␈αλin␈απthe␈αλex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈ns␈αλfo␈α␈r␈α	re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈e␈αλerro␈α␈r.
␈β$␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
w␈α␈o␈α␈rst␈α
ca␈α␈se␈α
o␈α␈f␈α
the␈αad␈α␈dition␈αrou␈α␈tine␈αis␈α
pr␈α␈etty␈αba␈α␈d:␈α∞Vi␈α↓su␈α␈alized␈αin␈αdecima␈α␈l␈α
no␈α␈tation␈α␈,
␈βG␈↓ λ≥␈ε~␈␈εε7␈↓ 	x␈ε~␈␈εε8
␈βK␈↓ ↓H␈εβif␈αthe␈αinp␈α␈ut␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α1.000␈α␈000␈α␈0␈αan␈α␈d␈α.999␈α␈999␈α␈99,␈αthe␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis␈↓ λ⊂␈ε	b␈↓ λO␈εβinste␈α␈ad␈αo␈α␈f␈↓ 	k␈ε	b␈↓ 
≡␈εβ;␈α
th␈α}us␈αthe
␈βs␈↓ ↓H␈εβm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αrelativ␈α}e␈αerror␈↓ ∧-␈ε	∞␈↓ ∧P␈εβi␈α↓s␈↓ ∧r␈ε	b␈↓ ¬ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αwhe␈α␈re␈↓ ε4␈ε	b␈↓ εM␈εβis␈αth␈α␈e␈αby␈α␈te␈αsize.
␈β⎇␈↓ ∧9␈εε1
␈β
≠␈↓ α␈εβFor␈αεm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α¬and␈α¬div␈α␈i␈α↓sion␈α␈,␈απw␈α␈e␈αεmay␈α¬assu␈α␈me␈αεth␈α␈at␈αεth␈α␈e␈αεexp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αεo␈α␈f␈αεbo␈α␈th␈αεop␈α␈era␈α␈nd␈α␈s
␈β
@␈↓ α␈ε∃QQ
␈β
C␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈↓ α)␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αtha␈α␈t␈αbo␈α␈th␈αo␈α␈pe␈α␈rand␈α␈s␈αar␈α␈e␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e.␈α∞Th␈α␈e␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αerro␈α␈r␈αin␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αis
␈β
k␈↓ ↓H␈εβre␈α␈adily␈αbou␈α␈nd␈α␈ed␈αby␈αcon␈α␈siderin␈α␈g␈αFig.␈α4:␈α
Wh␈α␈en␈↓ εl␈ε	u␈↓ π␈ε	v␈↓ π≤␈ε↔∃␈εβ␈α
1/␈↓ πi␈ε	b␈↓ πv␈εβ,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ 	T␈ε	u␈↓ 	h␈ε	v␈↓ 
↓␈ε↔␈␈↓ 
*␈ε	u␈↓ 
F␈ε↔␈
␈↓ 
o␈ε	v␈↓ ␈εβ<
␈β∞∞␈↓ ↓f␈ε~␈␈εε9␈↓ β⊗␈ε~␈␈εε9␈↓ λ_␈ε~␈␈εε8␈↓ 	[␈εε2
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβ3␈↓ ↓X␈ε	b␈↓ α
␈εβ+␈αα(␈↓ α;␈ε	b␈↓ αJ␈ε↔␈␈εβ␈αα1)␈↓ β	␈ε	b␈↓ β<␈εβ,␈αλso␈αεthe␈αεrelativ␈α␈e␈αεerror␈αεi␈α↓s␈αεbo␈α␈un␈α␈ded␈αεby␈αε(␈↓ π=␈ε	b␈↓ πL␈εβ+␈αα2)␈↓ λ␈ε	b␈↓ λ>␈εβ.␈α
Wh␈α␈en␈απ1␈α␈/␈↓ 	N␈ε	b␈↓ 	q␈ε↔∀␈↓ 
≠␈ε	u␈↓ 
/␈ε	v␈↓ 
J␈εβ<␈α
1␈α␈/␈↓ ⊗␈ε	b␈↓ #␈εβ,
␈β∞6␈↓ ¬,␈ε~␈␈εε9
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ β≥␈ε	u␈↓ β1␈ε	v␈↓ βK␈ε↔␈␈↓ βv␈ε	u␈↓ ∧∀␈ε↔␈
␈↓ ∧?␈ε	v␈↓ ∧↑␈εβ<␈α∂3␈↓ ¬∨␈ε	b␈↓ ¬R␈εβ,␈α∂so␈α∞th␈α␈e␈α∞relativ␈α␈e␈α∞erro␈α␈r␈α∞i␈α↓n␈α
this␈α∞case␈α∞is␈α∞bo␈α␈un␈α␈ded␈α
by
␈β∞]␈↓ ↓f␈ε~␈␈εε9␈↓ β∪␈ε~␈␈εε7␈↓ 
/␈ε~␈␈εε7
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβ3␈↓ ↓X␈ε	b␈↓ α␈εβ/␈↓ α≤␈ε	u␈↓ α0␈ε	v␈↓ αK␈ε↔∀␈εβ␈α	3␈↓ βε␈ε	b␈↓ β9␈εβ.␈αWe␈αtak␈α␈e␈↓ ∧Q␈ε	∞␈↓ ∧u␈εβto␈αb␈α␈e␈αthe␈αlar␈α␈ger␈αof␈αth␈α␈e␈αt␈α␈w␈α␈o␈αestima␈α␈tes,␈αnam␈α␈ely␈α3␈↓ 
"␈ε	b␈↓ 
U␈εβ.
␈β∞l␈↓ ∧]␈εε2
␈β∂
␈↓ α␈εβDivision␈α∞req␈α␈uires␈α∞a␈α∞more␈α∞ca␈α␈reful␈α∞ana␈α␈lysis␈α∂o␈α␈f␈α∂Prog␈α␈ram␈α∞D␈↓ λH␈εβ.␈α⊗Th␈α␈e␈α∞qua␈α␈n␈α␈tity␈α∞ac␈α␈tua␈α␈l␈α↓ly
␈β∂-␈↓ π6␈ε~00␈↓ λ2␈ε~0␈↓ 	λ␈ε~000
␈β∂.␈↓ εH␈εα(␈↓ 	~␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈α∞b␈α␈y␈α∞the␈α∞sub␈α␈rou␈α␈tine␈α∞i␈α↓s␈↓ ¬"␈ε	␈↓ ¬>␈ε↔␈␈↓ ¬i␈ε	∞␈↓ εβ␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	b␈↓ ε;␈ε	∂␈↓ εT␈εβ(␈↓ ε←␈ε	␈↓ ε{␈ε↔␈␈↓ π&␈ε	∞␈↓ πB␈εβ)(␈↓ πY␈ε	␈␈↓ πw␈ε↔␈␈↓ λ"␈ε	∞␈↓ λ8␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ λx␈ε	∞␈↓ 	0␈ε↔␈␈↓ 	[␈ε	∞␈↓ 
ε␈εβwhe␈α␈re␈↓ 
j␈ε	␈↓ ␈εβ=
␈β∂<␈↓ 	g␈εn
␈β∂U␈↓ 
∧␈ε~0␈↓ 
)␈ε~0␈α↓0␈↓ 
T␈ε~0␈α↓00
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ αε␈εβ+␈↓ α1␈ε	∂␈↓ α>␈ε	u␈↓ α\␈εβ)␈α↓/␈↓ αx␈ε	b␈↓ β¬␈ε	v␈↓ β+␈εβ,␈↓ βC␈ε	␈␈↓ βe␈εβ=␈↓ ∧∪␈ε	v␈↓ ∧.␈εβ/␈↓ ∧?␈ε	b␈↓ ∧L␈ε	v␈↓ ∧r␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α∞t␈α␈he␈α
no␈α␈nn␈α␈egativ␈α}e␈α∞tru␈α␈nc␈α␈ation␈α
erro␈α␈rs␈α∞(␈↓ 	V␈ε	∞␈↓ 	f␈εβ,␈↓ 	u␈ε	∞␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
→␈ε	∞␈↓ 
6␈εβ,␈↓ 
E␈ε	∞␈↓ 
g␈εβ)␈α∞are
␈β∂d␈↓ ↓f␈εm␈↓ αU␈εl␈↓ β∀␈εm␈↓ ∧&␈εl␈↓ ∧[␈εm
␈β∂⎇␈↓ ∧ ␈ε~␈␈εε10␈↓ ∧n␈ε~␈␈εε5␈↓ ¬0␈ε~␈␈εε5␈↓ ¬r␈ε~␈␈εε6
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α
l␈α↓es␈α␈s␈αtha␈α␈n␈α
(␈↓ ∧∪␈ε	b␈↓ ∧R␈εβ,␈↓ ∧a␈ε	b␈↓ ¬∀␈εβ,␈↓ ¬#␈ε	b␈↓ ¬V␈εβ,␈↓ ¬e␈ε	b␈↓ ε_␈εβ);␈α|␈α␈nally␈↓ π≤␈ε	∞␈↓ πC␈εβ(the␈α
trun␈α␈cation␈α
d␈α␈uring␈α
n␈α␈orma␈α␈l␈α↓iza␈α␈-
␈β⊂␈↓ π(␈εn
␈β⊂$␈↓ ε⊂␈ε~␈␈εε9␈↓ εo␈ε~␈␈εε8
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n)␈αλis␈απno␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈απand␈αεl␈α↓e␈α␈ss␈αλth␈α␈an␈απeith␈α␈er␈↓ εα␈ε	b␈↓ ε=␈εβor␈↓ εb␈ε	b␈↓ π∃␈εβ,␈αλdep␈α␈en␈α␈ding␈απo␈α␈n␈απwheth␈α␈er␈απscaling␈απo␈α␈ccur␈α␈s
␈β⊂L␈↓ 	+␈εε2␈↓ 	↑␈εε2␈↓ 	{␈ε~0000␈↓ ∪␈ε~0␈α↓000
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α	n␈α␈ot.␈α
The␈αλac␈α␈tual␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αλof␈αλthe␈αλqu␈α␈otien␈α}t␈α	is␈↓ ε#␈ε	␈↓ ε6␈εβ/␈α␈(1␈α∧+␈↓ π␈ε	b␈↓ π_␈ε	∂␈↓ π%␈ε	␈␈↓ π:␈εβ)␈α	=␈↓ πy␈ε	␈↓ λ∂␈ε↔␈␈↓ λ4␈ε	b␈↓ λA␈ε	∂␈↓ λN␈ε	␈↓ λ`␈ε	␈␈↓ λx␈εβ+␈↓ 	≡␈ε	b␈↓ 	7␈ε	␈↓ 	J␈ε	␈␈↓ 	k␈ε	∞␈↓ 
∀␈εβ,␈α	wh␈α␈ere␈↓ β␈ε	∞
␈β⊂s␈↓ 	I␈ε~0␈α↓000␈↓ 
#␈εε2␈↓ 
q␈ε~␈␈εε10
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβis␈απthe␈απnon␈α␈ne␈α␈gativ␈α}e␈αλerro␈α␈r␈αλd␈α␈ue␈απto␈απtrun␈α␈cation␈απo␈α␈f␈αλthe␈απin|␈α␈nite␈απseries␈αλ(2);␈α	h␈α␈ere␈↓ 	9␈ε	∞␈↓ 	l␈εβ<␈↓ 
⊗␈ε	∂␈↓ 
9␈εβ=␈↓ 
d␈ε	b␈↓ #␈εβ,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈α∞it␈α∞is␈α∞a␈α␈n␈α
altern␈α␈ating␈α
series.␈α∪The␈α
relativ␈α␈e␈α
error␈α
is␈α∞the␈α␈refore␈α
the␈α
ab␈α␈solute␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∞o␈α␈f
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.2.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα657
␈βα&␈↓ ↓⎇␈ε~0␈↓ α←␈ε~00␈↓ β␈␈ε~000␈↓ ε␈ε~0␈↓ ε!␈ε~0␈α↓0␈↓ π⊂␈εε2␈↓ π1␈εε2␈↓ πN␈ε~0000
␈βα*␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓`␈ε	∂␈↓ ↓m␈ε	∞␈↓ α␈εβ+␈↓ α5␈ε	b␈↓ αB␈ε	∂␈↓ αO␈ε	∞␈↓ αl␈ε	␈␈↓ β␈εβ/␈↓ β⊃␈ε	␈↓ β+␈εβ+␈↓ βU␈ε	b␈↓ βb␈ε	∂␈↓ βo␈ε	∞␈↓ ∧∩␈εβ/␈↓ ∧"␈ε	␈↓ ∧5␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(␈↓ ∧⎇␈ε	∞␈↓ ¬
␈εβ/␈↓ ¬≥␈ε	␈↓ ¬8␈εβ+␈↓ ¬a␈ε	b␈↓ ¬o␈ε	∂␈↓ ¬|␈ε	∞␈↓ ε∩␈ε	∞␈↓ ε.␈εβ/␈↓ ε?␈ε	␈↓ εY␈εβ+␈↓ πβ␈ε	b␈↓ π≥␈ε	␈␈↓ π>␈ε	∞␈↓ πo␈εβ+␈↓ λ→␈ε	∞␈↓ λ5␈εβ/␈↓ λF␈ε	␈↓ λX␈εβ),␈α
times␈α(1␈αλ+␈↓ 
!␈ε	b␈↓ 
.␈ε	∂␈↓ 
;␈ε	␈␈↓ 
P␈εβ).␈α∂The
␈βα5␈↓ λ%␈εn
␈βαN␈↓ π0␈ε~␈␈εε9␈↓ λ∃␈ε~␈␈εε8␈↓ λz␈ε~␈␈εε8
␈βαR␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ositiv␈α␈e␈αterms␈αin␈α
th␈α␈is␈α
ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈αare␈αbo␈α␈un␈α␈ded␈αb␈α␈y␈↓ π#␈ε	b␈↓ π↑␈εβ+␈↓ λλ␈ε	b␈↓ λC␈εβ+␈↓ λm␈ε	b␈↓ 	 ␈εβ,␈α
an␈α␈d␈αthe␈αneg␈α␈ativ␈α␈e
␈βαu␈↓ ∧∃␈ε~␈␈εε8␈↓ ∧p␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈2␈↓ ¬Y␈ε~␈␈εε8
␈βαy␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rms␈αλare␈αλbo␈α␈un␈α␈de␈α␈d␈αλby␈↓ ∧λ␈ε	b␈↓ ∧>␈εβ+␈↓ ∧c␈ε	b␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬K␈ε	b␈↓ επ␈εβp␈α␈lus␈αλthe␈αλc␈α␈on␈α␈trib␈α␈ution␈απby␈αλth␈α␈e␈αλno␈α␈rmalizing␈αλp␈α␈ha␈α␈se,
␈ββ≥␈↓ βw␈ε~␈␈εε␈α↓7
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈α	can␈α	be␈α	ab␈α␈ou␈α␈t␈↓ βj␈ε	b␈↓ ∧'␈εβin␈α	mag␈α␈nitud␈α␈e.␈αIt␈α
is␈α
t␈α␈herefo␈α␈re␈α
clea␈α␈r␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈oten␈α}tiall␈α↓y␈α	g␈α␈reates␈α␈t
␈ββD␈↓ π␈ε~␈␈εε8
␈ββI␈↓ ↓H␈εβp␈α␈art␈απof␈απthe␈απre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈απerror␈απco␈α␈mes␈απdu␈α␈ring␈απth␈α␈e␈αλn␈α␈orm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈απp␈α␈ha␈α␈se,␈αλand␈αεthat␈↓ 	S␈ε	∞␈↓ 	u␈εβ=␈α	(␈↓ 
*␈ε	b␈↓ 
:␈εβ+␈αβ2␈α␈)␈↓ 
y␈ε	b
␈ββS␈↓ 	←␈εε3
␈ββp␈↓ ↓H␈εβis␈αa␈αsa␈α␈fe␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α
for␈αthe␈αr␈α␈el␈α↓a␈α␈tiv␈α␈e␈αerro␈α␈r.
␈β∧'␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβAdd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n:␈αIf␈↓ βA␈ε	e␈↓ βf␈ε↔∀␈↓ ∧⊃␈ε	e␈↓ ∧2␈εβ+␈απ1,␈αthe␈α
en␈α}ti␈α↓re␈α
relativ␈α␈e␈α
erro␈α␈r␈αocc␈α␈urs␈αd␈α␈urin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αn␈α␈orm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation
␈β∧2␈↓ βM␈εu␈↓ ∧≥␈εv
␈β∧J␈↓ ¬*␈ε~␈␈εε7
␈β∧O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ha␈α␈se,␈α	so␈αλi␈α↓t␈αλis␈α	b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αλab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αλb␈α␈y␈↓ ¬≤␈ε	b␈↓ ¬O␈εβ.␈αIf␈↓ εα␈ε	e␈↓ ε'␈ε↔∃␈↓ εR␈ε	e␈↓ εp␈εβ+␈α∧2,␈α	an␈α␈d␈αλi␈α↓f␈αλthe␈αλsign␈α␈s␈α	a␈α␈re␈α	th␈α␈e␈αλsame␈α␈,␈α
a␈α␈gain
␈β∧Y␈↓ ε∞␈εu␈↓ ε↑␈εv
␈β∧v␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αen␈α␈tire␈αerro␈α␈r␈αmay␈αb␈α␈e␈αascrib␈α␈ed␈αto␈αn␈α␈orma␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n;␈α
if␈α
th␈α␈e␈αsign␈α␈s␈α
a␈α␈re␈αopp␈α␈osite,␈α
th␈α␈e␈αerro␈α␈r
␈β¬≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ue␈α	t␈α␈o␈α	shifting␈αλdigits␈α	ou␈α␈t␈α	of␈α	the␈αλregister␈α	is␈α	in␈α	th␈α␈e␈α	op␈α␈posite␈α	d␈α␈irection␈αλfrom␈α	th␈α␈e␈α	sub␈α␈sequ␈α␈en␈α}t
␈β¬A␈↓ 
"␈ε~␈␈εε7
␈β¬E␈↓ ↓H␈εβe␈α␈rror␈α
in␈α␈tro␈α␈du␈α␈ced␈α
d␈α␈urin␈α␈g␈α
no␈α␈rmalizatio␈α␈n.␈αBoth␈α	of␈α
the␈α␈se␈α
errors␈α
a␈α␈re␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α	by␈↓ 
∀␈ε	b␈↓ 
G␈εβ,␈αhe␈α␈nce
␈β¬i␈↓ α!␈ε~␈␈εε7
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ ↓j␈εβ=␈↓ α∀␈ε	b␈↓ αG␈εβ.␈α(␈α↓Th␈α␈is␈αi␈α↓s␈αsu␈α␈bsta␈α␈n␈α␈tially␈αb␈α␈etter␈αth␈α␈en␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈lt␈αi␈α↓n␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α7.)
␈β¬x␈↓ ↓T␈εε1
␈βε∩␈↓ 	_␈ε~␈␈εε8
␈βε⊗␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈:␈αAn␈α
ana␈α␈lysis␈αas␈αin␈αex␈α}ercise␈α7␈αg␈α␈iv␈α␈es␈↓ πZ␈ε	∞␈↓ π|␈εβ=␈α	(␈↓ λ1␈ε	b␈↓ λF␈εβ+␈αλ2␈α␈)␈↓ 	
␈ε	b␈↓ 	=␈εβ.
␈βε ␈↓ πf␈εε2
␈βπ≡␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.2␈α␈.4
␈βπt␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈α
fra␈α␈ction␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w␈α
c␈α␈an␈α	occu␈α␈r␈α
on␈α␈ly␈α
wh␈α␈en␈α	the␈α	ope␈α␈ran␈α␈ds␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
th␈α␈e␈α
sam␈α␈e␈α
sign␈α␈,␈αth␈α␈is
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εβis␈α∂th␈α␈e␈α∂pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α∞tha␈α␈t␈α∂fraction␈α∞o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w␈α∂o␈α␈ccu␈α␈rs␈α∂divid␈α␈ed␈α∂b␈α␈y␈α∂th␈α␈e␈α∂pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α∞tha␈α␈t␈α∂the
␈βλ@␈↓ ε<␈εα(␈↓ εK␈εε1␈↓ π3␈εα)
␈βλC␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈nd␈α␈s␈αha␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈e␈αsame␈α
si␈α↓g␈α␈n,␈αna␈α␈mely,␈α7%/␈↓ ε\␈εβ(9␈α␈1%␈α↓)␈↓ πH␈ε↔→␈εβ␈α	15%.
␈βλR␈↓ εK␈∧λRεKα
␈βλT␈↓ εK␈εε2
␈βλz␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβlog␈↓ αU␈εβ2.4␈ε↔␈απ␈␈↓ β0␈εβlog␈↓ βy␈εβ2.3␈ε↔␈α	→␈εβ␈α
1␈α␈.␈α↓8␈α␈48␈α␈34%.
␈β		␈↓ α7␈εε1␈α␈0␈↓ β[␈εε1␈α␈0
␈β	1␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α
pag␈α␈es␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
be␈αu␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α
gra␈α␈y␈α(same␈α
as␈α\ra␈α␈nd␈α␈om␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αon␈α
a␈αslide␈αru␈α␈le").
␈β	h␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβThe␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α	th␈α␈at␈α	1␈α␈0␈↓ ∧`␈ε	f␈↓ ¬λ␈ε↔∀␈↓ ¬3␈ε	r␈↓ ¬K␈εβis␈α	(␈↓ ¬u␈ε	r␈↓ ελ␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/1␈α␈0␈α¬+␈α¬(␈↓ π2␈ε	r␈↓ πE␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/1␈α␈00␈α¬+␈↓ λu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	%␈εβ=␈α	(␈↓ 	Z␈ε	r␈↓ 	n␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)/9.␈α
So␈α	in
␈β	r␈↓ ∧j␈εU
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αcas␈α␈e␈αthe␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αd␈α␈igits␈αar␈α␈e␈ε⊂␈αun␈α␈iformly␈εβ␈αdistribu␈α␈ted␈α␈;␈α
e.g.,␈αlead␈α␈ing␈αdigit␈α1␈αocc␈α␈urs␈αwith
␈β
4␈↓ αw␈εε1
␈β
7␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ βλ␈εβ.
␈β
E␈↓ αw␈∧
Eαwα
␈β
G␈↓ αw␈εε9
␈β
j␈↓ 	3␈εε1
␈β
n␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβThe␈απpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈απtha␈α␈t␈αλthe␈α␈re␈αλare␈απthre␈α␈e␈αλlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλz␈α␈ero␈αλb␈α␈its␈αλi␈α↓s␈↓ λ!␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ λk␈εβ2␈α	=␈↓ 	C␈εβ;␈α	the␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β
|␈↓ 	3␈∧
|	3α
␈β
⎇␈↓ λL␈εε16
␈β
}␈↓ 	3␈εε4
␈β∩␈↓ λ	␈εε1
␈β∃␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
th␈α␈ere␈α
are␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
lead␈α␈ing␈α
ze␈α␈ro␈α
bits␈α
is␈↓ ¬p␈εβlog␈↓ ε9␈εβ4␈ε↔␈αε␈␈↓ εx␈εβlo␈α␈g␈↓ πA␈εβ2␈α	=␈↓ λ→␈εβ;␈αan␈α␈d␈α
similarly␈α
for␈α
the␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈β#␈↓ λ	␈∧#λ	α
␈β$␈↓ ε~␈εε16␈↓ π"␈εε16
␈β&␈↓ λ	␈εε4
␈β:␈↓ λ≠␈εε1
␈β=␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈αcases.␈α
The␈α\␈α␈av␈α␈e␈α␈rage␈α␈"␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αlea␈α␈ding␈αzero␈αbits␈αis␈α1␈↓ λ+␈εβ,␈αso␈αth␈α␈e␈α\a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge"␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βK␈↓ λ≠␈∧Kλ≠α
␈βM␈↓ λ≠␈εε2
␈βa␈↓ ∧Z␈εε1
␈βe␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
\␈α␈signi|␈α␈can␈α}t␈αbits"␈αis␈↓ ∧∀␈ε	p␈↓ ∧-␈εβ+␈↓ ∧k␈εβ.␈α∞The␈αw␈α␈orst␈αca␈α␈se,␈↓ εt␈ε	p␈↓ π
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αb␈α␈i␈α↓ts,␈αocc␈α␈urs␈αho␈α}w␈α␈ev␈α␈er␈αwith␈αra␈α␈the␈α␈r
␈βs␈↓ ∧Z␈∧s∧Zα
␈βu␈↓ ∧Z␈εε2
␈β␈↓ ↓H␈εβh␈α␈igh␈αλpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α␈.␈αIn␈αλp␈α␈ractice,␈α	it␈α	is␈α	u␈α␈sua␈α␈l␈α↓ly␈αλne␈α␈cessa␈α␈ry␈α	to␈αλb␈α␈ase␈αλerror␈αλestimate␈α␈s␈α	on␈αλth␈α␈e␈α	w␈α␈ors␈α␈t
␈β4␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase,␈α∂sin␈α␈ce␈α∞a␈α
cha␈α␈in␈α∞of␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞is␈α∞o␈α␈nly␈α
as␈α∞stro␈α␈ng␈α
as␈α∞its␈α∞w␈α␈ea␈α␈k␈α␈est␈α
l␈α↓in␈α␈k.␈α∀In␈α
th␈α␈e␈α∞erro␈α␈r
␈β[␈↓ ↓H␈εβa␈α␈na␈α␈l␈α↓y␈α␈sis␈α
of␈αSec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α4.2.2,␈α
th␈α␈e␈α
u␈α␈pp␈α␈er␈αbou␈α␈nd␈αo␈α␈n␈αrelativ␈α␈e␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αerror␈αfor␈α⎇oa␈α␈ting-h␈α␈ex
␈β␈␈↓ ↓z␈εε1␈ε~␈␈↓ α ␈εp
␈β
β␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α.␈εβ.␈αIn␈αthe␈αbin␈α␈ary␈αca␈α␈se␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αhav␈α}e␈↓ ε∀␈ε	p␈↓ ε-␈εβ+␈αλ1␈αsign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α}t␈αb␈α␈its␈αa␈α␈t␈αall␈αtime␈α␈s␈α(cf.␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈β
&␈↓ πW␈ε~␈␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ⊗␈εp
␈β
+␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈.␈α↓2␈α␈.1↑3␈α␈),␈α∂wi␈α↓th␈α
relat␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α∞rou␈α␈nd␈α␈ing␈α
errors␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α
by␈↓ πF␈εβ2␈↓ λ#␈εβ.␈α∀Exte␈α␈nsiv␈α␈e␈α
comp␈α␈uta␈α␈tiona␈α␈l
␈β
R␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈erience␈α
con␈α␈|rm␈α␈s␈α∞th␈α␈at␈α∞⎇␈α␈oatin␈α␈g-bin␈α␈ary␈α
(ev␈α␈e␈α␈n␈α∞with␈↓ πM␈ε	p␈↓ π↑␈εβ-bit␈α∞p␈α␈recision␈α
instea␈α␈d␈α∞o␈α␈f␈↓ 
L␈ε	p␈↓ 
f␈εβ+␈α
1␈α␈)
␈β
z␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uce␈α␈s␈αsi␈α↓g␈α␈ni|␈α␈can␈α␈t␈α␈l␈α↓y␈α
more␈αa␈α␈ccu␈α␈rate␈αres␈α␈ults␈αtha␈α␈n␈α(␈↓ π'␈ε	p␈↓ π?␈εβ+␈αλ2)-b␈α␈i␈α↓t␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g-h␈α␈ex.
␈β∞"␈↓ α␈εβSw␈α␈e␈α␈eney␈α␈'s␈αλtab␈α␈les␈αλsh␈α␈o␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈αλhe␈α␈xa␈α␈decima␈α␈l␈αλarithm␈α␈etic␈αλca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλd␈α␈one␈απa␈αλlittle␈αλfaste␈α␈r,␈α	since
␈β∞J␈↓ ↓H␈εβfew␈α␈e␈α␈r␈α
cy␈α}cles␈αare␈αne␈α␈eded␈αwhen␈αsc␈α␈ali␈α↓n␈α␈g␈αto␈αth␈α␈e␈α
rig␈α␈h␈α␈t␈αor␈αno␈α␈rmalizing␈αto␈αth␈α␈e␈α
left.␈α∂Bu␈α␈t␈α
th␈α␈is
␈β∞r␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ct␈α
is␈α
insign␈α␈i|ca␈α␈n␈α␈t␈α
c␈α␈omp␈α␈ared␈α	to␈α	the␈α	sub␈α␈stan␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈α
adv␈α␈an␈α}tag␈α␈es␈α
of␈↓ λQ␈ε	b␈↓ λg␈εβ=␈α
2␈α	o␈α␈v␈α}er␈α
ot␈α␈her␈α
r␈α␈adice␈α␈s
␈β∂→␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αλalso␈αλTheo␈α␈rem␈αλ4.2.2C␈αλan␈α␈d␈αλex␈α}ercises␈αλ4.2.2↑␈α␈15,␈α	21␈α␈),␈α
e␈α␈spec␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈αλsin␈α␈ce␈αλ⎇oa␈α␈ting-b␈α␈inary␈απcan
␈β∂A␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αma␈α␈de␈αa␈α␈s␈αfa␈α␈st␈αas␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g-hex␈α
with␈αon␈α␈ly␈αa␈αtin␈α␈y␈α
incre␈α␈ase␈αin␈αto␈α␈tal␈αpro␈α␈cessor␈αc␈α␈ost.
␈β∂Y␈↓ ¬_␈ε↓P
␈β∂s␈↓ ε%␈εk␈↓ ε2␈εm␈↓ εo␈εk␈↓ πy␈εk␈↓ λε␈εm␈↓ 	)␈εk␈↓ 
≡␈εk
␈β∂u␈↓ ¬U␈εα(␈↓ λ(␈εα)
␈β∂x␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβFor␈α
ex␈α␈amp␈α␈le,␈αsu␈α␈pp␈α␈ose␈α
th␈α␈at␈↓ ¬a␈ε	F␈↓ ¬x␈εβ(␈α↓1␈↓ ε∀␈εβ0␈↓ εO␈ε↔↓␈↓ ε←␈εβ5␈↓ ε⎇␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ π5␈ε	F␈↓ πL␈εβ(␈α↓1␈↓ πh␈εβ0␈↓ λ≥␈εβ)␈↓ λ>␈εβ=␈↓ λh␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	_␈εβ5␈↓ 	6␈εβ/␈↓ 	L␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	⎇␈εβ1␈↓ 

␈εβ0␈↓ 
5␈εβan␈α␈d␈α
also
␈β⊂↓␈↓ α⊂␈ε↓P
␈β⊂
␈↓ ¬>␈εm
␈β⊂≠␈↓ β(␈εk␈↓ β5␈εm␈↓ βu␈εk␈↓ ¬↓␈εk␈↓ ¬∞␈εm␈↓ ε1␈εk␈↓ π&␈εk
␈β⊂≤␈↓ αM␈εα(␈↓ ¬1␈εα)
␈β⊂∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	F␈↓ α{␈εβ(1␈↓ β↔␈εβ0␈↓ βT␈ε↔↓␈↓ βd␈εβ4␈↓ ∧α␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧=␈ε	F␈↓ ∧U␈εβ(1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬%␈εβ)␈↓ ¬F␈εβ=␈↓ ¬p␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε ␈εβ4␈↓ ε>␈εβ/␈↓ εU␈εβlo␈α␈g␈↓ π¬␈εβ1␈↓ π∃␈εβ0␈↓ π3␈εβ;␈αthen
␈β⊂2␈↓ α6␈εm
␈β⊂a␈↓ ∧ε␈ε↓X
␈β⊂p␈↓ λZ␈εβ5
␈β⊃␈↓ ¬∂␈εk␈↓ ¬≤␈εm␈↓ ¬\␈εk␈↓ εh␈εk␈↓ εu␈εm␈↓ π5␈εk
␈β⊃β␈↓ ∧?␈εα(␈↓ πM␈εα)
␈β⊃ε␈↓ ∧K␈ε	F␈↓ ∧b␈εβ(1␈↓ ∧}␈εβ0␈↓ ¬;␈ε↔↓␈↓ ¬K␈εβ5␈↓ ¬i␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε$␈ε	F␈↓ ε;␈εβ(␈α↓1␈↓ εW␈εβ0␈↓ π∀␈ε↔↓␈↓ π$␈εβ4␈↓ πB␈εβ)␈↓ πc␈εβ=␈↓ λ
␈εβlog
␈β⊃∀␈↓ λZ␈∧⊃∀λZα⊃
␈β⊃∃␈↓ λ8␈εε1␈α␈0
␈β⊃≡␈↓ λZ␈εβ4
␈β⊃7␈↓ ∧∀␈εm
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα658␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.2.4
␈βα*␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ α)␈ε	k␈↓ α9␈εβ.␈αBu␈α␈t␈αn␈α␈o␈α␈w␈αlet␈↓ ∧β␈ε	∂␈↓ ∧~␈εβbe␈α
a␈αsma␈α␈ll␈αpositiv␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er,␈αan␈α␈d␈αc␈α␈hoo␈α␈se␈↓ λ↑␈ε	∞␈↓ λw␈εβ>␈α	0␈αso␈α
tha␈α␈t␈↓ 
-␈ε	F␈↓ 
D␈εβ(␈↓ 
O␈ε	x␈↓ 
a␈εβ)␈α	<␈↓ ∨␈ε	∂
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α0␈α	<␈↓ α@␈ε	x␈↓ α[␈εβ<␈↓ β¬␈ε	∞␈↓ β∃␈εβ,␈αan␈α␈d␈αch␈α␈oose␈↓ ∧T␈ε	M␈↓ ∧␈␈εβ>␈α
0␈αso␈α
that␈↓ ε7␈ε	F␈↓ εN␈εβ(␈↓ εY␈ε	x␈↓ εj␈εβ)␈α
>␈α	1␈ε↔␈απ␈␈↓ πj␈ε	∂␈↓ λα␈εβfor␈↓ λ6␈ε	x␈↓ λP␈εβ>␈↓ λ{␈ε	M␈↓ 	≡␈εβ.␈αWe␈αcan␈α
tak␈α}e␈↓ 
s␈ε	k␈↓ ∂␈εβso
␈βαu␈↓ βα␈ε~␈␈↓ β≤␈εk␈↓ βR␈εk␈↓ ∧␈␈εk
␈βαy␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈αth␈α␈at␈α1␈↓ αr␈εβ0␈↓ β0␈ε↔↓␈↓ βA␈εβ5␈↓ βh␈εβ<␈↓ ∧∪␈ε	∞␈↓ ∧-␈εβand␈↓ ∧n␈εβ4␈↓ ¬∃␈εβ>␈↓ ¬@␈ε	M␈↓ ¬b␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αby␈α
the␈αmo␈α␈no␈α␈ton␈α␈i␈α↓c␈α␈i␈α↓ty␈α
of␈↓ 	/␈ε	F␈↓ 	F␈εβ,
␈ββ≥␈↓ α
␈ε↓X␈↓ ε⊗␈ε↓X
␈ββ=␈↓ β∪␈εk␈↓ β!␈εm␈↓ βa␈εk␈↓ ∧m␈εk␈↓ ∧z␈εm␈↓ ¬:␈εk␈↓ π$␈εk␈↓ π1␈εm␈↓ πq␈εk␈↓ λ⎇␈εk␈↓ 	␈εε(␈↓ 	∪␈εm␈↓ 	*␈ε~␈␈εε1)␈↓ 
↓␈εk
␈ββ@␈↓ αD␈εα(␈↓ ¬R␈εα)␈↓ εU␈εα(␈↓ 
→␈εα)
␈ββC␈↓ αP␈ε	F␈↓ αg␈εβ(1␈↓ ββ␈εβ0␈↓ β?␈ε↔↓␈↓ βP␈εβ5␈↓ βn␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧)␈ε	F␈↓ ∧@␈εβ(1␈↓ ∧\␈εβ0␈↓ ¬→␈ε↔↓␈↓ ¬)␈εβ4␈↓ ¬G␈εβ)␈↓ ¬g␈ε↔∀␈↓ εa␈ε	F␈↓ εx␈εβ(1␈↓ π∀␈εβ0␈↓ πP␈ε↔↓␈↓ πa␈εβ5␈↓ π␈␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ λ:␈ε	F␈↓ λQ␈εβ(1␈↓ λm␈εβ0␈↓ 	`␈ε↔↓␈↓ 	q␈εβ5␈↓ 
∞␈εβ)
␈ββt␈↓ α→␈εm␈↓ ε∩␈εm␈↓ ε)␈ε~∀␈εε0
␈β∧ε␈↓ ε[␈ε↓X
␈β∧&␈↓ πh␈εk␈↓ πv␈εε(␈↓ π}␈εm␈↓ λ∃␈εε+␈α↓1␈α␈)␈↓ λl␈εk␈↓ 	x␈εk␈↓ 
¬␈εm␈↓ 
E␈εk
␈β∧)␈↓ π→␈εα(␈↓ 
↑␈εα)
␈β∧,␈↓ ε.␈εβ+␈↓ π%␈ε	F␈↓ π<␈εβ(1␈↓ πX␈εβ0␈↓ λK␈ε↔↓␈↓ λ\␈εβ4␈↓ λy␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	5␈ε	F␈↓ 	L␈εβ(1␈↓ 	h␈εβ0␈↓ 
$␈ε↔↓␈↓ 
5␈εβ4␈↓ 
S␈εβ)
␈β∧]␈↓ εV␈εm␈↓ εn␈ε~∃␈εε0
␈β¬	␈↓ εV␈ε~␈␈↓ εo␈εk␈↓ π
␈εk␈↓ λY␈εk␈↓ λw␈εk
␈β¬∂␈↓ ¬g␈εβ=␈↓ ε∩␈ε	F␈↓ ε)␈εβ(1␈↓ εE␈εβ0␈↓ ε|␈εβ5␈↓ π~␈εβ)␈απ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ⊗␈ε	F␈↓ λ-␈εβ(1␈↓ λI␈εβ0␈↓ λg␈εβ4␈↓ 	∧␈εβ)␈α
<␈α	2␈↓ 	T␈ε	∂␈↓ 	a␈εβ.
␈β¬W␈↓ ∧*␈εn␈↓ λG␈εn␈↓ 	\␈εn
␈β¬[␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αo␈ε	s␈↓ β
␈εβ>␈↓ β8␈ε	r␈↓ βG␈εβ,␈↓ β↑␈ε	P␈↓ β}␈εβ(1␈↓ ∧~␈εβ0␈↓ ∧;␈ε	s␈↓ ∧I␈εβ)␈α
is␈α∞1␈α
for␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈↓ ε2␈ε	n␈↓ εF␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
0␈α
whe␈α␈n␈ε↔␈α
b␈εβ1␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λW␈ε	s␈↓ λe␈ε↔c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α
b␈εβ1␈↓ 	K␈εβ0␈↓ 	l␈ε	r␈↓ 	{␈ε↔c␈εβ.␈α∩The␈α
leas␈α␈t
␈β¬f␈↓ βq␈εε0
␈βεβ␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβfo␈α␈r␈αwhich␈αthis␈αh␈α␈ap␈α␈pen␈α␈s␈αmay␈αbe␈αarb␈α␈i␈α↓tr␈α␈aril␈α↓y␈αlarge␈α␈,␈α
so␈αno␈αun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rm␈αb␈α␈oun␈α␈d␈αc␈α␈an␈αbe␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βε*␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓⎇␈ε	N␈↓ α"␈εβ(␈↓ α-␈ε	∂␈↓ α:␈εβ)␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈αof␈↓ ∧7␈ε	s␈↓ ∧E␈εβ.␈α∂(I␈α↓n␈αgen␈α␈eral,␈α
ca␈α␈l␈α↓cu␈α␈lus␈αtex␈α␈tboo␈α␈ks␈αpr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αsuch␈αa␈αu␈α␈niform
␈βε5␈↓ α⊗␈εε0
␈βεR␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈α
wo␈α␈uld␈αimp␈α␈ly␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αl␈α↓imit␈αfun␈α␈ction␈↓ εA␈ε	S␈↓ ε←␈εβ(␈↓ εj␈ε	s␈↓ εw␈εβ)␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ous,␈αan␈α␈d␈αit␈αisn't.)
␈βε]␈↓ εR␈εε0
␈βεb␈↓ ε=␈ε↓␈␈↓ πα␈ε↓↓␈↓ πZ␈ε↓␈␈↓ λ≡␈ε↓↓
␈βε|␈↓ εK␈εn␈↓ ε\␈ε~␈␈εε1␈↓ πh␈εn␈↓ πy␈ε~␈␈εε1
␈βπβ␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	q␈↓ αc␈εβ,␈↓ αz␈ε	q␈↓ β∩␈εβ,␈↓ β)␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β\␈εβbe␈αsuc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈↓ ¬!␈ε	P␈↓ ¬A␈εβ(␈↓ ¬M␈ε	n␈↓ ¬a␈εβ)␈α=␈↓ ε%␈ε	q␈↓ π_␈εβ+␈↓ πB␈ε	q␈↓ λ5␈εβ+␈↓ λ←␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ 	∩␈εβfor␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ 	x␈ε	n␈↓ 
␈εβ.␈α⊂It␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws
␈βπ∞␈↓ αW␈εε1␈↓ βε␈εε2␈↓ ¬5␈εε0␈↓ ε1␈εε1␈↓ πN␈εε2
␈βπ⊂␈↓ βr␈ε↓␈␈↓ ∧6␈ε↓↓␈↓ ¬N␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓
␈βπ∀␈↓ ε`␈εε0␈↓ π⎇␈εε1
␈βπ+␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬\␈εn␈↓ ¬m␈ε~␈␈εε1
␈βπ.␈↓ β)␈ε~␈␈↓ βB␈εm␈↓ ¬¬␈ε~␈␈↓ ¬≡␈εm
␈βπ2␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	P␈↓ α;␈εβ(␈↓ αF␈ε	n␈↓ αZ␈εβ)␈α	=␈↓ β→␈εβ1␈↓ βZ␈ε	q␈↓ ∧L␈εβ+␈↓ ∧u␈εβ2␈↓ ¬6␈ε	q␈↓ ε(␈εβ+␈↓ εP␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πα␈εβf␈α↓o␈α␈r␈αall␈↓ πd␈ε	m␈↓ λ
␈εβan␈α␈d␈↓ λN␈ε	n␈↓ λb␈εβ.
␈βπ=␈↓ α#␈εm␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬B␈εε2
␈βπB␈↓ ∧∃␈εε0␈↓ ¬q␈εε1
␈βπc␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβWhen␈α
1␈α∞<␈↓ β=␈ε	r␈↓ βZ␈εβ<␈α∞10␈α∞th␈α␈e␈α∞ge␈α␈nera␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∞fu␈α␈nctio␈α␈n␈↓ π!␈ε	C␈↓ π<␈εβ(␈↓ πG␈ε	z␈↓ πU␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α∞p␈α␈oles␈α∞a␈α␈t␈α∞the␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α␈s
␈βλ␈↓ ↓H␈εβ1␈απ+␈↓ αλ␈ε	w␈↓ α/␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈↓ β#␈ε	w␈↓ βS␈εβ=␈α
2␈↓ ∧∞␈ε	→␈↓ ∧!␈ε	n␈↓ ∧5␈ε	i␈↓ ∧A␈εβ/␈↓ ∧X␈εβln␈↓ ∧y␈εβ10␈α␈,␈αh␈α␈en␈α␈ce
␈βλ⊗␈↓ α≡␈εn␈↓ β9␈εn
␈βλ@␈↓ ¬D␈ε↓X
␈βλK␈↓ π/␈ε~␈␈↓ πH␈εw␈↓ πn␈εεln␈↓ λπ␈εr
␈βλO␈↓ βw␈εβlo␈α␈g␈↓ ∧@␈ε	r␈↓ ∧V␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εα␈εβ1␈απ+␈↓ εC␈ε	w␈↓ π"␈ε	e␈↓ λ≠␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈βλQ␈↓ πZ␈ε
n
␈βλZ␈↓ εY␈εn
␈βλ↑␈↓ ∧!␈εε10
␈βλe␈↓ β␈ε	C␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε	z␈↓ β4␈εβ)␈α	=␈↓ ¬~␈εβ+␈↓ 	⊂␈εβ+␈↓ 	9␈ε	E␈↓ 	P␈εβ(␈↓ 	[␈ε	z␈↓ 	i␈εβ)
␈βλs␈↓ βw␈∧λsβwα↓→␈↓ εα␈∧λsεααh␈↓ εq␈∧λsεqαα∃
␈βλ⎇␈↓ ∧≤␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧\␈ε	z␈↓ ε#␈ε	w␈↓ εq␈εβ(␈↓ ε|␈εβln␈↓ π≥␈εβ10)(␈↓ πU␈ε	z␈↓ πj␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λS␈ε	w␈↓ λz␈εβ)
␈β	π␈↓ ε9␈εn␈↓ λj␈εn
␈β	⊗␈↓ ¬C␈εn␈↓ ¬S␈ε~≤␈εε␈α↓0
␈β	@␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	E␈↓ α?␈εβ(␈↓ αJ␈ε	z␈↓ αX␈εβ)␈αis␈αana␈α␈lytic␈αin␈αth␈α␈e␈αen␈α␈tire␈αp␈α␈lane␈α␈.␈αTh␈α}us␈αif␈↓ π"␈ε	∩␈↓ π:␈εβ=␈↓ πd␈εβarcta␈α␈n␈↓ λA␈εβ(2␈↓ λ]␈ε	→␈↓ λo␈εβ/␈↓ 	¬␈εβl␈α↓n␈↓ 	'␈εβ1␈α␈0),
␈β	x␈↓ ∧Z␈ε↓X
␈β
↓␈↓ ¬,␈ε↓∩␈↓ π¬␈ε↓∪
␈β
β␈↓ ¬X␈ε~␈␈↓ ¬q␈εw␈↓ ε↔␈εεln␈↓ ε0␈εr
␈β
π␈↓ ∧&␈εβ2␈↓ ¬K␈ε	e␈↓ εC␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β
	␈↓ εβ␈ε
n
␈β
≥␈↓ ↓i␈ε	c␈↓ α⊗␈εβ=␈↓ α@␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ β
␈ε	r␈↓ β ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬∀␈ε↔<␈↓ π"␈εβ+␈↓ πK␈ε	e
␈β
'␈↓ ↓u␈εm␈↓ πW␈εm
␈β
+␈↓ ∧
␈∧
+∧
αC␈↓ ¬F␈∧
+¬Fα↓<
␈β
,␈↓ αk␈εε10
␈β
2␈↓ εj␈εm
␈β
5␈↓ ∧
␈εβln␈↓ ∧.␈εβ10␈↓ ¬F␈ε	w␈↓ ¬m␈εβ(1␈απ+␈↓ ε8␈ε	w␈↓ ε←␈εβ)
␈β
?␈↓ ¬\␈εn␈↓ εO␈εn
␈β
N␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ∧i␈εε>0
␈β
|␈↓ λ∞␈ε↓∩␈↓ 
k␈ε↓∪
␈βα␈↓ ∧
␈εβsin␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧↑␈ε	∩␈↓ ∧t␈εβ+␈απ2␈↓ ¬-␈ε	→␈↓ ¬E␈εβlog␈↓ ε∞␈ε	r␈↓ ε≥␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ εX␈εβsin␈↓ π↓␈εβ(␈↓ π␈ε	m␈↓ π)␈ε	∩␈↓ π7␈εβ)␈↓ 	@␈εβ1
␈β⊃␈↓ ¬p␈εε1␈α␈0
␈β_␈↓ α⊗␈εβ=␈↓ α@␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ β
␈ε	r␈↓ β ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αλ+␈↓ πN␈εβ+␈↓ πv␈ε	O␈↓ ↓␈εβ.
␈β&␈↓ ∧
␈∧&∧
αβ6␈↓ λ(␈∧&λ(αα@
␈β'␈↓ αk␈εε10
␈β.␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ¬I␈εε2␈↓ ε?␈εε2␈↓ εL␈εα)␈↓ εX␈εm␈↓ εo␈εε/2
␈β1␈↓ ∧G␈ε	→␈↓ ∧e␈εβ1␈απ+␈αλ4␈↓ ¬7␈ε	→␈↓ ¬V␈εβ/(␈↓ ¬r␈εβln␈↓ ε∪␈εβ10␈↓ ε4␈εβ)
␈β6␈↓ λ(␈εα(␈↓ 	)␈εε2␈↓ 
∨␈εε2␈↓ 
+␈εα)␈↓ 
7␈εm␈↓ 
O␈εε/␈α␈2
␈β9␈↓ λ4␈εβ1␈απ+␈αλ16␈↓ 	⊗␈ε	→␈↓ 	5␈εβ/(␈↓ 	Q␈εβln␈↓ 	r␈εβ10␈↓ 
∀␈εβ)
␈βε␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβWhen␈α∞(␈↓ α{␈εβlog␈↓ β6␈ε	U␈↓ βQ␈εβ)␈↓ βb␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧&␈εβ1␈α∂is␈α∞un␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈α∂d␈α␈istribu␈α␈ted␈α∞i␈α↓n␈α∞[␈α¬0,␈αε1),␈α∂so␈α∂is␈α∂(␈↓ 	∨␈εβlog␈↓ 	Z␈εβ1␈α␈/␈↓ 	{␈ε	U␈↓ 
⊗␈εβ)␈↓ 
'␈εβmo␈α␈d␈↓ 
k␈εβ1␈α∂=
␈β∃␈↓ β%␈εb␈↓ 	I␈εb
␈β-␈↓ ↓H␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ α∪␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ αO␈ε	U␈↓ αj␈εβ)␈↓ αz␈εβmod␈↓ β?␈εβ1.
␈β<␈↓ α>␈εb
␈βJ␈↓ ∧λ␈ε↓R␈↓ εn␈ε↓R
␈βY␈↓ ∧ ␈εz␈↓ πε␈εε1
␈βh␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβWe␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ β~␈ε	h␈↓ β*␈εβ(␈↓ β5␈ε	z␈↓ βC␈εβ)␈α
=␈↓ ∧C␈ε	f␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	x␈↓ ∧p␈εβ)␈↓ ¬␈ε	d␈↓ ¬∪␈ε	x␈↓ ¬*␈ε	g␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬D␈ε	z␈↓ ¬R␈εβ/␈↓ ¬c␈ε	b␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ)/␈↓ ε≥␈ε	b␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εD␈εβ+␈↓ π→␈ε	f␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε	x␈↓ πE␈εβ)␈↓ πV␈ε	d␈↓ πh␈ε	x␈↓ π␈␈ε	g␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ~␈ε	z␈↓ λ'␈εβ/␈↓ λ8␈ε	x␈↓ λI␈εβ)␈α↓/␈↓ λe␈ε	x␈↓ λw␈εβ,␈α
and␈αthe␈αsame␈α
h␈α␈old␈α␈s
␈βz␈↓ ∧→␈εε1/␈↓ ∧3␈εb␈↓ ε␈␈εz
␈β
∧␈↓ α\␈ε↓R␈↓ ¬9␈ε↓R
␈β
∩␈↓ αt␈εz␈↓ ¬Q␈εε1
␈β
"␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓{␈ε	l␈↓ α¬␈εβ(␈↓ α⊂␈ε	z␈↓ α≡␈εβ)␈α	=␈↓ β↔␈ε	f␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε	x␈↓ βC␈εβ)␈↓ βT␈ε	d␈↓ βg␈ε	x␈↓ β}␈ε	l␈↓ ∧π␈εβ(␈↓ ∧∩␈ε	z␈↓ ∧ ␈εβ/␈↓ ∧0␈ε	b␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧O␈εβ)/␈↓ ∧k␈ε	b␈↓ ∧x␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ+␈↓ ¬c␈ε	f␈↓ ¬s␈εβ(␈↓ ¬}␈ε	x␈↓ ε⊂␈εβ)␈↓ ε ␈ε	d␈↓ ε3␈ε	x␈↓ εJ␈ε	l␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε	z␈↓ εl␈εβ/␈↓ ε|␈ε	x␈↓ π∞␈εβ)/␈↓ π*␈ε	x␈↓ π;␈εβ,␈αhen␈α␈ce
␈β
4␈↓ αm␈εε1/␈↓ βπ␈εb␈↓ ¬J␈εz
␈β
b␈↓ βz␈ε↓Z␈↓ πE␈ε↓Z
␈β
k␈↓ ∧≡␈εz␈↓ πi␈εε1
␈β
{␈↓ α1␈ε	h␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	z␈↓ αZ␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ β∃␈ε	l␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β*␈ε	z␈↓ β7␈εβ)␈↓ ¬"␈ε	g␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	z␈↓ ¬J␈εβ/␈↓ ¬[␈ε	b␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ε5␈ε	l␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	z␈↓ εW␈εβ/␈↓ εg␈ε	b␈↓ εu␈ε	x␈↓ πε␈εβ)␈↓ λe␈ε	g␈↓ λu␈εβ(␈↓ 	␈ε	z␈↓ 	∞␈εβ/␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	0␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ 	k␈ε	l␈↓ 	t␈εβ(␈↓ 	␈␈ε	z␈↓ 

␈εβ/␈↓ 
≡␈ε	x␈↓ 
/␈εβ)
␈β∞⊃␈↓ βO␈εβ=␈↓ ∧8␈ε	f␈↓ ∧H␈εβ(␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ∧d␈εβ)␈↓ ∧u␈ε	d␈↓ ¬π␈ε	x␈↓ π≤␈εβ+␈↓ π{␈ε	f␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ⊗␈ε	x␈↓ λ'␈εβ)␈↓ λ8␈ε	d␈↓ λJ␈ε	x␈↓ 
>␈εβ.
␈β∞∨␈↓ α1␈∧∞∨α1α↓∩␈↓ ¬"␈∧∞∨¬"α↓p␈↓ λe␈∧∞∨λeα↓U
␈β∞)␈↓ αc␈ε	l␈↓ αl␈εβ(␈↓ αw␈ε	z␈↓ β¬␈εβ)␈↓ ¬k␈ε	l␈↓ ¬t␈εβ(␈↓ ε␈ε	z␈↓ ε
␈εβ/␈↓ ε≡␈ε	b␈↓ ε+␈ε	x␈↓ ε=␈εβ)␈↓ 	(␈ε	l␈↓ 	1␈εβ(␈↓ 	<␈ε	z␈↓ 	J␈εβ/␈↓ 	[␈ε	x␈↓ 	l␈εβ)
␈β∞4␈↓ ∧∞␈εε1/␈↓ ∧'␈εb␈↓ πY␈εz
␈β∞\␈↓ ¬o␈ε↓R␈↓ π⎇␈ε↓R
␈β∞k␈↓ επ␈εz␈↓ λ∃␈εε1
␈β∞w␈↓ β2␈ε⊗j␈εα(␈↓ ∧Z␈εα)␈↓ ¬/␈ε⊗j
␈β∞z␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ince␈↓ α∨␈ε	f␈↓ α/␈εβ(␈↓ α:␈ε	x␈↓ αK␈εβ)␈ε↔␈α∃␈εβ␈α
0,␈↓ βH␈ε	h␈↓ βX␈εβ(␈↓ βc␈ε	z␈↓ βq␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧-␈ε	l␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε	z␈↓ ∧O␈εβ)␈↓ ∧f␈εβ)/␈↓ ¬α␈ε	l␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬⊗␈ε	z␈↓ ¬$␈εβ)␈↓ ¬C␈ε↔∀␈↓ ε*␈ε	f␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εE␈ε	x␈↓ εV␈εβ)␈↓ εg␈ε	d␈↓ εy␈ε	x␈↓ π⊂␈ε	A␈↓ π&␈εβ(␈↓ π1␈ε	g␈↓ πA␈εβ)␈αλ+␈↓ λ'␈ε	f␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	x␈↓ λS␈εβ)␈↓ λd␈ε	d␈↓ λv␈ε	x␈↓ 	
␈ε	A␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	g␈↓ 	>␈εβ)␈αfor␈αall␈↓ 
8␈ε	z␈↓ 
F␈εβ,␈αhe␈α␈nce
␈β∂
␈↓ ε␈εε1␈α␈/␈↓ ε→␈εb␈↓ λ∞␈εz
␈β∂'␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓↑␈εβ(␈↓ ↓i␈ε	h␈↓ ↓y␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ α8␈ε	A␈↓ αN␈εβ(␈↓ αZ␈ε	g␈↓ αi␈εβ).␈αBy␈αs␈α␈ymm␈α␈etry,␈↓ ∧c␈ε	A␈↓ ∧y␈εβ(␈↓ ¬∧␈ε	h␈↓ ¬∃␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬T␈ε	A␈↓ ¬j␈εβ(␈↓ ¬u␈ε	f␈↓ ε¬␈εβ).␈α[␈ε⊂B␈α↓e␈α␈l␈α↓l␈αSy␈α␈stem␈αTe␈α␈ch.␈αJ.␈ε∪␈α49␈εβ␈α
(␈α↓1␈α␈970␈α␈),␈α1␈α␈609␈α␈↑16␈α␈25␈α␈.␈α↓]
␈β∂X␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβLet␈↓ αE␈ε	X␈↓ αj␈εβ=␈α
(␈↓ β ␈εβlog␈↓ β[␈ε	U␈↓ βv␈εβ)␈↓ ∧π␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧K␈εβ1␈απand␈↓ ¬!␈ε	Y␈↓ ¬B␈εβ=␈α
(␈↓ ¬x␈εβlog␈↓ ε3␈ε	V␈↓ εK␈εβ)␈↓ ε\␈εβm␈α␈od␈↓ π ␈εβ1,␈αλso␈απtha␈α␈t␈↓ λ,␈ε	X␈↓ λO␈εβa␈α␈nd␈↓ 	␈ε	Y␈↓ 	,␈εβare␈απind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈tly
␈β∂g␈↓ βJ␈εb␈↓ ε#␈εb
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈αd␈α␈istri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈αin␈α[␈α¬0,␈αε1␈α␈)␈α↓.␈α∞N␈α␈o␈αleft␈αshift␈αis␈αne␈α␈eded␈αif␈αand␈αon␈α␈ly␈αif␈↓ 	v␈ε	X␈↓ 
~␈εβ+␈↓ 
C␈ε	Y␈↓ 
g␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈,
␈β⊂$␈↓ ¬*␈εε1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αocc␈α␈urs␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ ¬;␈εβ.
␈β⊂6␈↓ ¬*␈∧⊂6¬*α
␈β⊂8␈↓ ¬*␈εε2
␈β⊂L␈↓ ¬B␈εε1
␈β⊂O␈↓ α␈εβ(Similarly␈α␈,␈α∞the␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
is␈↓ ¬←␈εβth␈α␈at␈α
⎇o␈α␈ating␈α␈-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
division␈αby␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α4.2.1M
␈β⊂]␈↓ ¬B␈∧⊂]¬Bα
␈β⊂←␈↓ ¬B␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eed␈α␈s␈απno␈απn␈α␈orma␈α␈li␈α↓z␈α␈ation␈απsh␈α␈ifts;␈α	this␈απn␈α␈eed␈α␈s␈αλo␈α␈nly␈απth␈α␈e␈απw␈α␈eak␈α}er␈απassu␈α␈mp␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈απth␈α␈at␈απbo␈α␈th␈απop␈α␈era␈α␈nd␈α␈s
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tl␈α↓y␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈e␈ε⊂␈αsam␈α␈e␈εβ␈αdistribu␈α␈tion.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.2.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα659
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβFor␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}enien␈α␈ce,␈αthe␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈re␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αh␈α␈ere␈αfo␈α␈r␈↓ λ→␈ε	b␈↓ λ1␈εβ=␈α10␈α␈.␈α∞If␈↓ 	7␈ε	k␈↓ 	S␈εβ=␈α
0,␈α
t␈α␈he␈αp␈α␈rob␈α␈-
␈βαS␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αof␈αa␈αc␈α␈arry␈αis
␈ββ3␈↓ ∧M␈ε↓Z
␈ββ>␈↓ ∧;␈εε2
␈ββF␈↓ βE␈ε↓∩␈↓ ∧%␈ε↓∪
␈ββL␈↓ βw␈εβ1␈↓ ¬l␈ε	d␈↓ ¬}␈ε	x␈↓ ε≥␈ε	d␈↓ ε/␈ε	y
␈ββb␈↓ εE␈εβ.
␈ββp␈↓ β↑␈∧βpβ↑αC␈↓ ¬l␈∧βp¬lα$␈↓ ε≥␈∧βpε≥α%
␈ββy␈↓ ∧d␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬	␈εx␈↓ ¬_␈εε,␈↓ ¬∨␈εy␈↓ ¬.␈ε~∀␈εε1␈α␈0
␈ββz␈↓ β↑␈εβl␈α↓n␈↓ ∧␈εβ1␈α␈0␈↓ ¬u␈ε	x␈↓ ε&␈ε	y
␈β∧⊃␈↓ ∧m␈εx␈↓ ∧|␈εε+␈↓ ¬∃␈εy␈↓ ¬$␈ε~∃␈εε10
␈β∧G␈↓ ↓H␈εβ(S␈α␈ee␈αFig.␈αA↑7.)␈αThe␈αv␈α␈alue␈α
of␈αthe␈αin␈α}tegra␈α␈l␈αis
␈β¬π␈↓ αm␈ε↓Z␈↓ βb␈ε↓Z␈↓ ¬.␈ε↓Z␈↓ ε⊗␈ε↓Z
␈β¬⊂␈↓ β⊃␈εε10␈↓ ∧ε␈εε10␈↓ ¬R␈εε1␈↓ ε:␈εε10
␈β¬ ␈↓ β4␈ε	d␈↓ βF␈ε	y␈↓ ∧A␈ε	d␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ¬h␈ε	d␈↓ ¬{␈ε	y␈↓ εu␈ε	d␈↓ ππ␈ε	x
␈β¬6␈↓ ∧p␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ π≥␈εβ,
␈β¬D␈↓ β4␈∧¬Dβ4α%␈↓ ∧A␈∧¬D∧Aα$␈↓ ¬h␈∧¬D¬hα%␈↓ εu␈∧¬Dεuα$
␈β¬N␈↓ β=␈ε	y␈↓ ∧J␈ε	x␈↓ ¬r␈ε	y␈↓ ε}␈ε	x
␈β¬Z␈↓ β↓␈εε0␈↓ βv␈εε10␈ε~␈α␈␈␈↓ ∧(␈εy␈↓ ¬B␈εε0␈↓ ε*␈εε10␈ε~␈␈↓ ε]␈εy
␈β¬q␈↓ 	J␈ε∪F␈α↓ig.␈αA↑7␈α␈.
␈βε<␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd
␈βεw␈↓ ↓H␈ε↓Z␈↓ ∧@␈ε↓Z
␈βπ␈↓ ↓l␈εt␈↓ ∧d␈εt
␈βπ
␈↓ αT␈ε↓∩␈↓ βv␈ε↓∪␈↓ ∧s␈ε↓∩␈↓ πr␈ε↓∪
␈βπ␈↓ εs␈εε2␈↓ 	M␈εε2␈↓ 
0␈εε3
␈βπ⊂␈↓ ↓␈␈ε	d␈↓ α⊃␈ε	y␈↓ β(␈εβ1␈↓ ¬∃␈εβ1␈↓ ¬u␈ε	y␈↓ εa␈ε	y␈↓ λu␈ε	t␈↓ 	A␈ε	t␈↓ 
$␈ε	t
␈βπ&␈↓ α2␈εβl␈α↓n␈↓ ∧∃␈εβ=␈↓ ¬9␈εβ+␈↓ ε#␈εβ+␈↓ π≥␈εβ+␈↓ πE␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ
␈ε	d␈↓ λ ␈ε	y␈↓ λ<␈εβ=␈↓ 	∂␈εβ+␈↓ 	j␈εβ+␈↓ 
U␈εβ+␈↓ 
w␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ #␈εβ.
␈βπ5␈↓ ↓␈␈∧π5↓␈α%␈↓ αm␈∧π5αmα↓ε␈↓ ¬
␈∧π5¬
α"␈↓ ¬f␈∧π5¬fα2␈↓ εO␈∧π5εOαC␈↓ λj␈∧π5λjα"␈↓ 	4␈∧π5	4α2␈↓ 
∂␈∧π5
∂αC
␈βπ>␈↓ αλ␈ε	y␈↓ αm␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ β.␈ε	y␈↓ β@␈εβ/10␈↓ ¬
␈εβ1␈α␈0␈↓ ¬f␈εβ2␈α␈00␈↓ εO␈εβ30␈α␈00␈↓ λj␈εβ10␈↓ 	4␈εβ40␈α␈0␈↓ 
∂␈εβ90␈α␈00
␈βπJ␈↓ ↓\␈εε0␈↓ ∧T␈εε0
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈α∞latte␈α␈r␈α∞in␈α␈teg␈α␈ral␈α∞is␈α∞esse␈α␈n␈α␈tially␈α∞a␈α
\d␈α␈il␈α↓o␈α␈garith␈α␈m.")␈α∪Henc␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈roba␈α␈bility␈α∞o␈α␈f␈α∞a␈α∞c␈α␈arry
␈βλ~␈↓ ¬E␈ε↓P
␈βλ4␈↓ ∧%␈εε2␈↓ ∧O␈εε2␈↓ ε\␈εε2␈↓ π
␈εn
␈βλ8␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	k␈↓ α;␈εβ=␈α0␈αi␈α↓s␈α(␈α↓1␈α␈/␈↓ βW␈εβl␈α↓n␈↓ βy␈εβ1␈α␈0␈↓ ∧~␈εβ)␈↓ ∧2␈εβ(␈↓ ∧=␈ε	→␈↓ ∧\␈εβ/6␈ε↔␈απ␈␈εβ␈α	2␈↓ ε&␈εβ1/␈↓ εH␈ε	n␈↓ εh␈εβ1␈↓ εy␈εβ0␈↓ π~␈εβ)␈α=␈α.27␈α␈154␈α␈.␈α∞[␈ε⊂␈α↓N␈α␈ote:␈εβ␈α
When␈↓ 
⊗␈ε	b␈↓ 
.␈εβ=␈α2␈αa␈α␈nd
␈βλH␈↓ 	=␈ε↓P
␈βλK␈↓ ¬k␈εn␈↓ ¬{␈ε~∃␈εε1
␈βλb␈↓ 
T␈εε2␈↓ 
r␈εn
␈βλf␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αfraction␈α
o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈ε⊂␈α
alway␈α␈s␈εβ␈αo␈α␈ccurs␈α␈,␈αso␈α
this␈α
deriv␈α␈ation␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈s␈αth␈α␈at␈↓ 
∨␈εβ1/␈↓ 
@␈ε	n␈↓ 
a␈εβ2␈↓ ␈εβ=
␈βλx␈↓ 	c␈εn␈↓ 	t␈ε~∃␈εε1
␈β	∂␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ β%␈εε2
␈β	⊂␈↓ αL␈εε1
␈β	∪␈↓ ↓H␈ε	→␈↓ ↓g␈εβ/␈α␈12␈ε↔␈απ␈␈↓ α]␈εβ(␈↓ αh␈εβln␈↓ β	␈εβ2␈↓ β~␈εβ)␈↓ β2␈εβ.]
␈β	"␈↓ αL␈∧	"αLα
␈β	$␈↓ αL␈εε2
␈β	<␈↓ α␈εβWhen␈↓ αl␈ε	k␈↓ βε␈εβ>␈α	0,␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis
␈β
∧␈↓ β$␈ε↓Z␈↓ ∧;␈ε↓Z
␈β
λ␈↓ βa␈επ1␈ε≠␈␈↓ ∧α␈ε
k
␈β
␈↓ βH␈εε1␈↓ βT␈εε0␈↓ ∧←␈εε10
␈β

␈↓ π∂␈ε↓X␈↓ λa␈ε↓X
␈β
∞␈↓ β⊃␈εε2␈↓ εk␈εε2
␈β
⊗␈↓ α≠␈ε↓∩␈↓ α{␈ε↓∪␈↓ ¬u␈ε↓∩␈↓ εU␈ε↓∪␈↓ εx␈ε↓∩␈↓ 
9␈ε↓∪
␈β
≥␈↓ αN␈εβ1␈↓ ∧
␈ε	d␈↓ ∧ ␈ε	y␈↓ ¬~␈ε	d␈↓ ¬,␈ε	x␈↓ ε(␈εβ1␈↓ πu␈εβ1␈↓ 	b␈εβ1
␈β
3␈↓ ¬K␈εβ=␈↓ λ8␈ε↔␈␈↓ 
O␈εβ.
␈β
A␈↓ α5␈∧
Aα5αC␈↓ ∧
␈∧
A∧
α%␈↓ ¬~␈∧
A¬~α$␈↓ ε∂␈∧
Aε∂αC␈↓ πM␈∧
AπMα`␈↓ 	 ␈∧
A	 α↓↔
␈β
H␈↓ πa␈εε2␈↓ λ∂␈εn␈↓ λ∨␈εk␈↓ 	4␈εε2␈↓ 	b␈εn␈↓ 	r␈εε(␈↓ 	z␈εk␈↓ 
λ␈εε+1␈α␈)
␈β
J␈↓ α5␈εβln␈↓ αV␈εβ10␈↓ ∧⊗␈ε	y␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ε∂␈εβln␈↓ ε0␈εβ10␈↓ πM␈ε	n␈↓ πn␈εβ1␈↓ π}␈εβ0␈↓ 	 ␈ε	n␈↓ 	@␈εβ1␈↓ 	Q␈εβ0
␈β
S␈↓ βQ␈ε≠␈␈↓ βg␈ε
k
␈β
V␈↓ β8␈εε1␈↓ βD␈εε0␈↓ ∧O␈εε10␈ε~␈␈↓ ¬α␈εy
␈β
d␈↓ π∞␈εn␈↓ π≡␈ε~∃␈εε1␈↓ λ`␈εn␈↓ λq␈ε~∃␈εε1
␈β<␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αwhe␈α␈n␈↓ αs␈ε	b␈↓ β
␈εβ=␈α
1␈α␈0,␈αfra␈α␈ction␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αsho␈α␈uld␈αoc␈α␈cur␈αwith␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α.272␈↓ 	←␈ε	p␈↓ 
β␈εβ+␈αλ.017␈↓ 
g␈ε	p␈↓ ␈εβ+
␈βG␈↓ 	o␈εε0␈↓ 
w␈εε1
␈βd␈↓ ↓H␈εβ.00␈α␈2␈↓ αβ␈ε	p␈↓ α#␈εβ+␈↓ αI␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αu␈εβ.␈αWhe␈α␈n␈↓ βg␈ε	b␈↓ β⎇␈εβ=␈α
2␈αλthe␈αλcorr␈α␈espo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλ|gu␈α␈res␈α	a␈α␈re␈↓ πg␈ε	p␈↓ λπ␈εβ+␈α¬.65␈α␈5␈↓ λh␈ε	p␈↓ 		␈εβ+␈α∧.288␈↓ 	i␈ε	p␈↓ 

␈εβ+␈α∧.␈α↓1␈α␈37␈↓ 
k␈ε	p␈↓ ␈εβ+
␈βn␈↓ α∪␈εε2␈↓ πv␈εε0␈↓ λx␈εε1␈↓ 	y␈εε2␈↓ 
z␈εε3
␈β␈↓ ↓H␈εβ.06␈α␈7␈↓ αβ␈ε	p␈↓ α'␈εβ+␈↓ αO␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ α|␈εβ.
␈β⊗␈↓ α∪␈εε4
␈β4␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈α⊂if␈α⊂w␈α␈e␈α⊂u␈α␈se␈α⊂th␈α␈e␈α⊂pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈α⊂fro␈α␈m␈α⊂Sw␈α␈e␈α␈eney␈α␈'s␈α⊂|rst␈α∂table,␈α⊃div␈α␈i␈α↓d␈α␈ing␈α∂by␈α∂.␈α↓9␈α␈2␈α⊂to
␈β\␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓imin␈α␈ate␈α∂z␈α␈ero␈α∂o␈α␈pe␈α␈rand␈α␈s␈α∂a␈α␈nd␈α∞assu␈α␈ming␈α∞tha␈α␈t␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈roba␈α␈biliti␈α↓e␈α␈s␈α∂are␈α∞i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α∂o␈α␈f␈α∂the
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈nd␈αλsigns,␈α	w␈α␈e␈α	pred␈α␈ict␈α	a␈α	p␈α␈rob␈α␈ability␈α	o␈α␈f␈α
a␈α␈bo␈α␈ut␈α	14␈αλperc␈α␈en␈α␈t␈α	wh␈α␈en␈↓ λt␈ε	b␈↓ 	
␈εβ=␈α
1␈α␈0,␈α
in␈α␈stead␈αλof␈α	the
␈β
+␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈5␈α
perc␈α␈en␈α␈t␈α
in␈α
ex␈α}ercise␈α
1.␈αFor␈↓ ∧k␈ε	b␈↓ ¬α␈εβ=␈α	2,␈α
we␈α
p␈α␈red␈α␈i␈α↓c␈α␈t␈αa␈α␈bou␈α␈t␈α
48␈α
p␈α␈ercen␈α}t,␈αwhile␈α
the␈α
ta␈α␈ble␈α
yield␈α␈s
␈β
S␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈4␈αp␈α␈erce␈α␈n␈α␈t.␈α
Th␈α␈ese␈αresults␈αare␈αcerta␈α␈i␈α↓n␈α␈ly␈αin␈αag␈α␈reeme␈α␈n␈α␈t␈αwi␈α↓th␈α␈in␈αt␈α␈he␈αl␈α↓imits␈αof␈αe␈α␈xp␈α␈erimen␈α␈ta␈α␈l
␈β
z␈↓ ↓H␈εβe␈α␈rror.
␈β∞2␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αk␈ε	k␈↓ β¬␈εβ=␈α	0,␈αth␈α␈e␈α
lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α
is␈α
1␈α
if␈α
and␈α	on␈α␈l␈α↓y␈α	i␈α↓f␈α
th␈α␈ere␈α
is␈α
a␈α
carr␈α␈y.␈α(It␈α
i␈α↓s␈α
p␈α␈ossible␈α
fo␈α␈r
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εβfra␈α␈ction␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w␈αand␈αsu␈α␈bseq␈α␈ue␈α␈n␈α␈t␈α
ro␈α␈un␈α␈ding␈αto␈αyield␈αa␈α
lead␈α␈ing␈αdigit␈α
o␈α␈f␈α
2,␈α
when␈↓ 
L␈ε	b␈↓ 
e␈ε↔∃␈εβ␈α
4␈α␈,
␈β∂↓␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αw␈α␈e␈αa␈α␈re␈αign␈α␈oring␈αr␈α␈oun␈α␈din␈α␈g␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈.␈α↓)␈α∞Th␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αof␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis
␈β∂)␈↓ ↓H␈εβ.27␈α␈2␈α	<␈↓ α7␈εβlog␈↓ β␈εβ2,␈αas␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈α
i␈α↓n␈α
the␈αp␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈αex␈α}ercise.
␈β∂8␈↓ αa␈εε10
␈β∂R␈↓ α␈εβWhen␈↓ αl␈ε	k␈↓ βε␈εβ>␈α	0,␈αthe␈αlea␈α␈ding␈α
digit␈αis␈α1␈αwith␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y
␈β⊂→␈↓ αc␈ε↓Z␈↓ βu␈ε↓Z␈↓ πQ␈ε↓Z␈↓ λc␈ε↓Z
␈β⊂≥␈↓ β ␈επ1␈ε≠␈α↓␈␈↓ βB␈ε
k␈↓ λ∞␈επ1␈ε≠␈α↓␈␈↓ λ0␈ε
k
␈β⊂"␈↓ βπ␈εε1␈↓ β∀␈εε0␈↓ πu␈εε1␈↓ λα␈εε0
␈β⊂#␈↓ αA␈εε2␈↓ π/␈εε2
␈β⊂,␈↓ ↓K␈ε↓∩␈↓ α+␈ε↓∪␈↓ αM␈ε↓∩␈↓ ¬o␈ε↓∪␈↓ ε9␈ε↓∩␈↓ π→␈ε↓∪␈↓ π;␈ε↓∩␈↓ 	|␈ε↓∪
␈β⊂2␈↓ ↓⎇␈εβ1␈↓ βG␈ε	d␈↓ βZ␈ε	y␈↓ ¬G␈ε	d␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ εk␈εβ1␈↓ λ5␈ε	d␈↓ λH␈ε	y␈↓ 	U␈ε	d␈↓ 	g␈ε	x
␈β⊂H␈↓ ε∞␈εβ<␈↓ 
≤␈εβ=␈↓ 
F␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ⊂␈εβ2␈α␈.
␈β⊂V␈↓ ↓d␈∧⊂V↓dαC␈↓ βG␈∧⊂VβGα%␈↓ ¬G␈∧⊂V¬Gα$␈↓ εR␈∧⊂VεRαC␈↓ λ5␈∧⊂Vλ5α%␈↓ 	U␈∧⊂V	Uα$
␈β⊂W␈↓ 
q␈εε1␈α␈0
␈β⊂←␈↓ ∧(␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧N␈εx␈↓ ∧\␈εε<␈α↓2␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬≠␈εy
␈β⊂`␈↓ ↓d␈εβl␈α↓n␈↓ αε␈εβ1␈α␈0␈↓ βP␈ε	y␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ εR␈εβln␈↓ εt␈εβ1␈α␈0␈↓ λ>␈ε	y␈↓ 	↑␈ε	x
␈β⊂h␈↓ β⊂␈ε≠␈␈↓ β'␈ε
k␈↓ π}␈ε≠␈␈↓ λ∃␈ε
k
␈β⊂k␈↓ αw␈εε1␈↓ β∧␈εε0␈↓ πe␈εε1␈↓ πr␈εε0␈↓ λw␈εε1␈ε~∀␈↓ 	≥␈εx␈↓ 	+␈ε~∀␈εε␈α↓2
␈β⊂v␈↓ ∧␈εεor␈↓ ∧+␈εε10␈ε~␈α␈␈␈↓ ∧]␈εy␈↓ ∧l␈ε~∀␈↓ ¬ε␈εx␈↓ ¬∀␈εε<10
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα660␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.2.4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβTo␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈e␈αλh␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αλ[which␈απis␈αλd␈α␈ue␈αλt␈α␈o␈αλLan␈α␈da␈α␈u,␈ε⊂␈α	Prac␈α␈e␈αλma␈α␈tema␈α␈ty␈α␈czn␈α␈o-|␈α␈zy␈α␈c␈α␈zne␈ε∪␈απ21␈εβ␈απ(191␈α␈0),
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈03↑␈α␈113␈α␈],␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈α|␈α␈rst␈αtha␈α␈t␈↓ ∧X␈εβlim␈αεsu␈α␈p␈↓ ¬C␈ε	a␈↓ ¬l␈εβ=␈↓ ε↔␈ε	∃␈↓ ε4␈εβ>␈α	0.␈αLet␈↓ π@␈ε	∂␈↓ πV␈εβ=␈↓ λ↓␈ε	∃␈↓ λ∀␈εβ/(␈↓ λ0␈ε	∃␈↓ λJ␈εβ+␈απ4␈↓ 	β␈ε	M␈↓ 	&␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
ch␈α␈oose␈↓ 
e␈ε	N␈↓ ∂␈εβso
␈βα\␈↓ ¬S␈εn
␈βαv␈↓ ∧≡␈εε1
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈ε↔␈α
j␈↓ α_␈ε	a␈↓ α;␈εβ+␈↓ αb␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β⊂␈εβ+␈↓ β7␈ε	a␈↓ βW␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ ∧5␈ε	∂␈↓ ∧B␈ε	∃␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧t␈εβfo␈α␈r␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬T␈ε	n␈↓ ¬q␈εβ>␈↓ ε≤␈ε	N␈↓ ε;␈εβ.␈αLet␈↓ π␈ε	n␈↓ π)␈εβ>␈↓ πS␈ε	N␈↓ πr␈εβ/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ λL␈ε	∂␈↓ λY␈εβ),␈↓ λx␈ε	n␈↓ 	⊗␈εβ>␈α	5/␈↓ 	a␈ε	∂␈↓ 	y␈εβb␈α␈e␈α
such␈α	tha␈α␈t
␈ββ∧␈↓ α(␈εε1␈↓ βG␈εn
␈ββλ␈↓ ∧_␈∧βλ∧_α~
␈ββ
␈↓ ∧_␈εε10
␈ββ≡␈↓ α!␈εε1␈↓ λP␈εε1
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓r␈εβ>␈↓ α1␈ε	∃␈↓ αE␈εβ.␈α
Th␈α␈en,␈αb␈α␈y␈αi␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,␈↓ ¬
␈ε	a␈↓ ¬[␈ε↔∃␈↓ εε␈ε	a␈↓ ε.␈ε↔␈␈↓ εW␈ε	k␈↓ εh␈ε	M␈↓ π
␈εβ/(␈↓ π&␈ε	n␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πk␈ε	∂␈↓ πx␈ε	n␈↓ λ␈εβ)␈α
>␈↓ λa␈ε	∃␈↓ 	␈εβfor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ 	{␈ε	k␈↓ 
∃␈εβ<␈↓ 
A␈ε	∂␈↓ 
N␈ε	n␈↓ 
b␈εβ,␈αa␈α␈nd
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε↓P
␈ββ,␈↓ ↓W␈εn␈↓ ¬~␈εn␈↓ ¬*␈ε~␈␈↓ ¬C␈εk␈↓ ε⊗␈εn
␈ββ/␈↓ α!␈∧β/α!α
␈↓ λP␈∧β/λPα
␈ββ1␈↓ α!␈εε2␈↓ λP␈εε4
␈ββE␈↓ β\␈εε1␈↓ ¬/␈εε1
␈ββI␈↓ βλ␈ε	a␈↓ β.␈ε↔∃␈↓ βl␈ε	∃␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	∂␈↓ ∧_␈ε	n␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α	>␈↓ ¬@␈ε	∃␈↓ ¬S␈ε	∂␈↓ ¬`␈ε	n␈↓ ¬t␈εβ.␈αB␈α↓u␈α␈t
␈ββS␈↓ β↔␈εk
␈ββW␈↓ β\␈∧βWβ\α
␈↓ ¬/␈∧βW¬/α
␈ββY␈↓ β\␈εε4␈↓ ¬/␈εε5
␈ββ[␈↓ ↓n␈εn␈↓ ↓}␈ε~␈␈↓ α↔␈ε∂␈↓ α"␈εn␈↓ α2␈εε<␈↓ αL␈εk␈↓ αY␈ε~∀␈↓ αr␈εn
␈ββt␈↓ β∧␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ ¬-␈ε↓␈␈↓ λg␈ε↓␈
␈β∧α␈↓ β⊂␈ε↓P␈↓ ¬9␈ε↓P␈↓ π∞␈ε↓P
␈β∧	␈↓ β∧␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ ¬-␈ε↓␈␈↓ λg␈ε↓␈
␈β∧≥␈↓ 	+␈εε1
␈β∧∨␈↓ β∧␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ ¬-␈ε↓␈␈↓ λg␈ε↓␈
␈β∧ ␈↓ ∧Q␈ε	a␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ εA␈ε	a␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ λK␈ε	a␈↓ λ⎇␈ε↔∀␈↓ 	;␈ε	∂␈↓ 	H␈ε	∃␈↓ 	\␈ε	n
␈β∧+␈↓ ∧`␈εk␈↓ εQ␈εk␈↓ λZ␈εk
␈β∧.␈↓ 	+␈∧∧.	+α
␈β∧0␈↓ 	+␈εε5
␈β∧3␈↓ β6␈εn␈↓ βG␈ε~␈␈↓ β`␈ε∂␈↓ βk␈εn␈↓ β{␈εε<␈↓ ∧∀␈εk␈↓ ∧"␈ε~∀␈↓ ∧;␈εn␈↓ ¬←␈εε1␈ε~∀␈↓ ε¬␈εk␈↓ ε∩␈ε~∀␈↓ ε+␈εn␈↓ π4␈εε1␈ε~∀␈↓ πZ␈εk␈↓ πg␈ε~∀␈↓ λ␈εn␈↓ λ⊃␈ε~␈␈↓ λ*␈ε∂␈↓ λ5␈εn
␈β∧n␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α→␈ε	n␈↓ α4␈ε↔␈␈↓ α]␈ε	∂␈↓ αj␈ε	n␈↓ βπ␈εβ>␈↓ β2␈ε	N␈↓ βQ␈εβ.␈αA␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r␈αcon␈α}tradictio␈α␈n␈αap␈α␈plies␈αif␈↓ πN␈εβl␈α↓im␈α¬i␈α↓n␈↓ λ≡␈εβf␈↓ λ0␈ε	a␈↓ λY␈εβ<␈α	0.
␈β∧y␈↓ λ?␈εn
␈β¬⊗␈↓ α␈εβAssu␈α␈ming␈α∞tha␈α␈t␈↓ βs␈ε	P␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	n␈↓ ∧c␈εβ)␈ε↔␈α∂!␈↓ ¬.␈ε	∃␈↓ ¬P␈εβa␈α␈s␈↓ ¬|␈ε	n␈↓ ε∨␈ε↔!␈α⊂1␈εβ,␈α⊂let␈↓ π>␈ε	a␈↓ πj␈εβ=␈↓ λ~␈ε	P␈↓ λE␈εβ(␈↓ λP␈ε	k␈↓ λ`␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ 	 ␈ε	∃␈↓ 	4␈εβ.␈α⊗If␈↓ 	x␈ε	m␈↓ 
$␈εβ>␈α⊂0␈α␈,␈α⊂the
␈β¬ ␈↓ ∧ε␈εm␈↓ ∧≡␈εε+1␈↓ πM␈εk␈↓ λ.␈εm
␈β¬=␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓r␈εβsat␈α␈i␈α↓sfy␈α
th␈α␈e␈α∞h␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α
hin␈α␈t␈α
(cf.␈α∞Eq.␈α∞4␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓2␈α␈↑1␈α␈5),␈α∂sin␈α␈ce␈α
0␈ε↔␈α
∀␈↓ 	%␈ε	P␈↓ 	P␈εβ(␈↓ 	[␈ε	k␈↓ 	k␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈εβ␈α
1;␈α∂he␈α␈nce
␈β¬H␈↓ ↓W␈εk␈↓ 	9␈εm
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε	P␈↓ ↓r␈εβ(␈↓ ↓⎇␈ε	n␈↓ α⊃␈εβ)␈ε↔␈α
!␈↓ αP␈ε	∃␈↓ αd␈εβ.
␈β¬p␈↓ ↓[␈εm
␈βε⊗␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈α
F␈α↓ib␈α␈ona␈α␈cci␈α
Qua␈α␈rterly␈ε∪␈α
7␈εβ␈α
(196␈α␈9),␈α4␈α␈74↑␈α␈475␈α␈.␈α(P␈α↓er␈α␈si␈αDiaco␈α␈nis␈α
[␈α↓Ph␈α␈.␈α↓D.␈α
the␈α␈si␈α↓s␈α␈,␈αHarv␈α␈ard
␈βε=␈↓ ↓H␈εβUn␈α␈iv␈α␈ersity␈α␈,␈α
197␈α␈4]␈αhas␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αam␈α␈ong␈αo␈α␈the␈α␈r␈α
th␈α␈ings␈αth␈α␈at␈αthe␈αd␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αby
␈βεe␈↓ ↓H␈εβre␈α␈pea␈α␈ted␈απa␈α␈v␈α␈era␈α␈ging␈αεi␈α↓s␈απw␈α␈ea␈α␈k␈α␈er␈απt␈α␈han␈αεha␈α␈rmon␈α␈ic␈απpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α␈,␈αλi␈α↓n␈αεthe␈αεfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈απp␈α␈recise␈απsen␈α␈se:␈α	If
␈βπ
␈↓ ↓H␈εβlim␈↓ αE␈εβli␈α↓m␈α¬in␈↓ β∃␈εβf␈↓ βi␈ε	P␈↓ ∧∀␈εβ(␈↓ ∧∨␈ε	n␈↓ ∧3␈εβ)␈α
=␈↓ ∧s␈εβlim␈↓ ¬p␈εβli␈α↓m␈α¬su␈α␈p␈↓ π≡␈ε	P␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε	n␈↓ πh␈εβ)␈α
=␈↓ λ(␈ε	∃␈↓ λG␈εβth␈α␈en␈αth␈α␈e␈αha␈α␈rmon␈α␈i␈α↓c␈αp␈α␈rob␈α␈-
␈βπ↔␈↓ ↓v␈εm␈↓ α
␈ε~!1␈↓ β!␈εn␈↓ β1␈ε~!1␈↓ β|␈εm␈↓ ¬!␈εm␈↓ ¬8␈ε~!1␈↓ π2␈εm
␈βπ≤␈↓ εV␈εn␈↓ εf␈ε~!1
␈βπ,␈↓ π>␈επ2␈↓ 	␈επ2
␈βπ0␈↓ π0␈εk␈↓ λs␈εk␈↓ 	␈εε+␈↓ 	$␈εk
␈βπ4␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
is␈↓ αV␈ε	∃␈↓ αj␈εβ.␈α⊃On␈αthe␈α
o␈α␈the␈α␈r␈α
han␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
stat␈α␈emen␈α}t␈α
\1␈↓ π ␈εβ0␈↓ πU␈ε↔∀␈↓ λβ␈ε	n␈↓ λ$␈εβ<␈α1␈↓ λb␈εβ0␈↓ 	?␈εβfo␈α␈r␈α
some␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βπX␈↓ ¬Y␈εε1
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓c␈εβ>␈α
0"␈αh␈α␈as␈αl␈α↓o␈α␈garith␈α␈mic␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈↓ ¬i␈εβ,␈αwhile␈αrep␈α␈eat␈α␈ed␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ging␈αne␈α␈v␈α␈er␈αse␈α␈ttl␈α↓e␈α␈s␈αdo␈α}wn␈αto
␈βπj␈↓ ¬Y␈∧πj¬Yα
␈βπl␈↓ ¬Y␈εε2
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αit␈αan␈α␈y␈α
pa␈α␈rticular␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity.)
␈βλ⊗␈↓ ¬g␈ε↓P
␈βλ4␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	p␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	a␈↓ αw␈εβ)␈α=␈↓ β;␈ε	P␈↓ βS␈εβ(␈↓ β↑␈ε	L␈↓ ∧␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ ∧Z␈ε	p␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	a␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬⊗␈ε	b␈↓ ¬#␈εβ)␈α=␈↓ εj␈ε	p␈↓ ε{␈εβ(␈↓ πε␈ε	k␈↓ π↔␈εβ)␈αfor␈α
1␈ε↔␈α∀␈↓ λ-␈ε	a␈↓ λI␈εβ<␈↓ λv␈ε	b␈↓ 	β␈εβ.␈α⊂Sinc␈α␈e␈↓ 	u␈ε	L␈↓ 
#␈εβ=␈↓ 
P␈ε	L␈↓ ∀␈ε↔[
␈βλ?␈↓ βs␈εa␈↓ 

␈εa␈↓ 
e␈εε10␈↓ 
␈␈εa
␈βλG␈↓ ε
␈εa␈↓ ε~␈ε~∀␈↓ ε3␈εk␈↓ ε@␈εε<␈↓ εZ␈εb
␈βλ`␈↓ π≤␈εα(␈↓ λs␈εα)
␈βλc␈↓ ↓H␈ε	L␈↓ α1␈ε↔[␈↓ αR␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β↓␈ε↔[␈↓ β!␈ε	L␈↓ ∧∂␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧s␈ε	a␈↓ ¬∧␈εβ,␈αwe␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ε≠␈ε	p␈↓ ε,␈εβ(␈↓ ε8␈ε	a␈↓ εH␈εβ)␈α=␈↓ π␈ε	p␈↓ π(␈εβ1␈α␈0␈↓ πI␈ε	a␈↓ πY␈εβ,␈αε10(␈↓ λ∃␈ε	a␈↓ λ-␈εβ+␈α	1␈α␈)␈↓ 	␈εβb␈α␈y␈α(i)␈α↓.␈α∞F␈α↓u␈α␈rthe␈α␈rmore
␈βλm␈↓ ↓]␈εε10␈↓ ↓v␈εa␈↓ αβ␈εε+␈α↓1␈↓ β6␈εε10␈↓ βO␈εa␈↓ β]␈εε+9
␈β	π␈↓ 	8␈εα(␈↓ 
n␈εα)
␈β	
␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α≠␈ε	P␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	S␈↓ αR␈εβ)␈α
=␈↓ β_␈ε	P␈↓ β/␈εβ(2␈↓ βK␈ε	S␈↓ β←␈εβ)␈α	+␈↓ ∧≥␈ε	P␈↓ ∧5␈εβ(2␈↓ ∧Q␈ε	S␈↓ ∧n␈εβ+␈α	1␈α␈)␈α∞b␈α␈y␈α
(i),␈α∞(ii␈α↓),␈α
(␈α↓iii),␈α∞w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ λ5␈ε	p␈↓ λF␈εβ(␈↓ λQ␈ε	a␈↓ λa␈εβ)␈α
=␈↓ 	'␈ε	p␈↓ 	D␈εβ2␈↓ 	T␈ε	a␈↓ 	e␈εβ,␈α¬2(␈↓ 
∂␈ε	a␈↓ 
(␈εβ+␈α	1)␈↓ 
z␈εβ.␈α⊃It
␈β	.␈↓ ∧2␈εm␈↓ ∧k␈εn␈↓ ¬+␈εm␈↓ ¬c␈εn
␈β	2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ α}␈ε	p␈↓ β∂␈εβ(␈↓ β~␈ε	a␈↓ β*␈εβ,␈↓ β9␈ε	b␈↓ βF␈εβ)␈α
=␈↓ ∧¬␈ε	p␈↓ ∧⊗␈εβ(␈↓ ∧!␈εβ2␈↓ ∧I␈εβ1␈↓ ∧Z␈εβ0␈↓ ∧{␈ε	a␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬~␈εβ2␈↓ ¬B␈εβ1␈↓ ¬S␈εβ0␈↓ ¬t␈ε	b␈↓ ε↓␈εβ)␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ εy␈ε	m␈↓ π⊗␈εβ,␈↓ π%␈ε	n␈↓ πB␈ε↔∃␈εβ␈α
0.
␈β	U␈↓ β←␈ε~0␈↓ ∧π␈ε~0␈↓ ε∃␈ε~0␈↓ ε7␈ε~0
␈β	Z␈↓ α␈εβIf␈α
1␈α	<␈↓ αp␈ε	b␈↓ α⎇␈εβ/␈↓ β∞␈ε	a␈↓ β(␈εβ<␈↓ βR␈ε	b␈↓ βf␈εβ/␈↓ βv␈ε	a␈↓ ∧↔␈εβth␈α␈en␈↓ ∧a␈ε	p␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧⎇␈ε	a␈↓ ¬
␈εβ,␈↓ ¬≤␈ε	b␈↓ ¬)␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬h␈ε	p␈↓ ¬y␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	a␈↓ ε≠␈εβ,␈↓ ε*␈ε	b␈↓ ε=␈εβ).␈αThe␈α	rea␈α␈son␈α	is␈α
th␈α␈at␈α	the␈α␈re␈α
e␈α␈xist␈α
in␈α}tegers␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β	y␈↓ ∧␈ε≠0␈↓ ∧D␈ε≠0␈↓ πz␈ε≠0␈↓ λ1␈ε≠0
␈β	⎇␈↓ α∞␈ε~0␈↓ α=␈ε~0␈↓ βu␈εm␈↓ ∧3␈εn␈↓ ∧Z␈ε~0␈↓ ¬&␈εm␈↓ ¬←␈εn␈↓ εF␈εm␈↓ ε␈␈εn␈↓ πb␈εm␈↓ λ!␈εn␈↓ λD␈ε~0
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈εβ,␈↓ ↓q␈ε	m␈↓ α∀␈εβ,␈↓ α)␈ε	n␈↓ αO␈εβsuch␈αth␈α␈at␈↓ βd␈εβ2␈↓ ∧∩␈εβ1␈↓ ∧#␈εβ0␈↓ ∧I␈ε	a␈↓ ∧j␈ε↔∀␈↓ ¬⊗␈εβ2␈↓ ¬>␈εβ1␈↓ ¬N␈εβ0␈↓ ¬o␈ε	a␈↓ ε
␈εβ<␈↓ ε5␈εβ2␈↓ ε]␈εβ1␈↓ εn␈εβ0␈↓ π∂␈ε	b␈↓ π&␈ε↔∀␈↓ πR␈εβ2␈↓ π␈␈εβ1␈↓ λ⊂␈εβ0␈↓ λ7␈ε	b␈↓ λV␈εβa␈α␈s␈αa␈αcon␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈e␈αo␈α␈f␈αthe
␈β
)␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ct␈α
tha␈α␈t␈↓ αV␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βε␈εβ2/␈↓ β-␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ β]␈εβ10␈α
is␈α
irration␈α␈al,␈α∞h␈α␈enc␈α␈e␈α
w␈α␈e␈α
can␈αap␈α␈ply␈α
(v␈α␈).␈α∩(Cf.␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
3.5↑␈α␈22␈α
with
␈β
P␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓e␈εβ=␈α∞1␈α
an␈α␈d␈↓ αv␈ε	U␈↓ β)␈εβ=␈↓ βW␈ε	n␈↓ βq␈εβlog␈↓ ∧!␈εβ2/␈↓ ∧H␈εβlog␈↓ ∧x␈εβ1␈α␈0.)␈α∪In␈α
pa␈α␈rti␈α↓c␈α␈ular,␈↓ π⊃␈ε	p␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	a␈↓ π>␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ λ¬␈ε	p␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	a␈↓ λ:␈εβ+␈α
1␈α␈),␈α∂a␈α␈nd␈α
it␈α∞follo␈α␈ws␈α
tha␈α␈t
␈β
[␈↓ β␈εn
␈β
x␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	a␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ αβ␈ε	b␈↓ α⊂␈εβ)/␈↓ α,␈ε	p␈↓ α=␈εβ(␈↓ αH␈ε	a␈↓ αX␈εβ,␈↓ αg␈ε	b␈↓ α|␈εβ+␈απ1)␈ε↔␈α	∃␈εβ␈α
(␈↓ β␈␈ε	b␈↓ ∧∀␈ε↔␈␈↓ ∧<␈ε	a␈↓ ∧M␈εβ)/(␈↓ ∧t␈ε	b␈↓ ¬λ␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬r␈ε	a␈↓ εα␈εβ).␈α(Cf.␈αEq.␈α4.2.2↑␈α␈15.)
␈β≠␈↓ εG␈ε~0␈↓ εj␈ε~0␈↓ 	$␈ε~0␈↓ 	K␈ε~0
␈β ␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈α⊂w␈α␈e␈α⊂ca␈α␈n␈α⊂p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α⊂th␈α␈at␈↓ ¬β␈ε	p␈↓ ¬∀␈εβ(␈↓ ¬∨␈ε	a␈↓ ¬/␈εβ,␈↓ ¬>␈ε	b␈↓ ¬K␈εβ)␈α∩=␈↓ ε≠␈ε	p␈↓ ε,␈εβ(␈↓ ε7␈ε	a␈↓ εN␈εβ,␈↓ ε]␈ε	b␈↓ εp␈εβ)␈α⊂when␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈↓ λ#␈ε	b␈↓ λ1␈εβ/␈↓ λA␈ε	a␈↓ λc␈εβ=␈↓ 	⊗␈ε	b␈↓ 	*␈εβ/␈↓ 	:␈ε	a␈↓ 	Q␈εβ;␈α∪for␈↓ 
&␈ε	p␈↓ 
7␈εβ(␈↓ 
B␈ε	a␈↓ 
R␈εβ,␈↓ 
a␈ε	b␈↓ 
n␈εβ)␈α∩=
␈βC␈↓ α¬␈εn␈↓ αV␈εn␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧]␈εn␈↓ ε>␈ε~0␈↓ εa␈ε~0
␈βG␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(1␈↓ ↓t␈εβ0␈↓ α∃␈ε	a␈↓ α&␈εβ,␈α¬1␈↓ αE␈εβ0␈↓ αf␈ε	b␈↓ αs␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ β2␈ε	c␈↓ βO␈ε	p␈↓ β←␈εβ(␈α↓1␈↓ β{␈εβ0␈↓ ∧≤␈ε	a␈↓ ∧-␈εβ,␈α¬1␈↓ ∧L␈εβ0␈↓ ∧m␈ε	b␈↓ ¬␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬v␈ε	c␈↓ ε∩␈ε	p␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε.␈ε	a␈↓ εE␈εβ,␈↓ εT␈ε	b␈↓ εg␈εβ),␈α
for␈α
a␈α␈rbitra␈α␈ri␈α↓ly␈α	larg␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α
of␈↓ 
0␈ε	n␈↓ 
D␈εβ,␈α
where
␈βR␈↓ β>␈εn␈↓ εα␈εn
␈βk␈↓ α9␈εn␈↓ βm␈εn␈↓ εg␈ε~␈␈↓ π␈εn
␈βl␈↓ β-␈εα/(␈↓ ¬"␈εα)
␈βo␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓m␈εβ=␈α
1␈↓ α(␈εβ0␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	b␈↓ αi␈ε↔␈␈↓ β∩␈ε	a␈↓ β"␈εβ)␈↓ βK␈εβ1␈↓ β\␈εβ0␈↓ β⎇␈εβ(␈↓ ∧λ␈ε	b␈↓ ∧≥␈ε↔␈␈↓ ∧E␈ε	a␈↓ ∧V␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬7␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ ε"␈ε	O␈↓ ε:␈εβ(1␈↓ εV␈εβ0␈↓ π⊂␈εβ).
␈βy␈↓ ↓T␈εn
␈β∩␈↓ εB␈εn␈↓ εn␈εn␈↓ πk␈εn␈↓ λ(␈εn␈↓ λ8␈ε~␈␈εε1␈↓ 	S␈εn␈↓ 	c␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
%␈εε2␈↓ 
B␈εn␈↓ 
S␈ε~␈␈εε2
␈β⊗␈↓ α␈εβFor␈αan␈α␈y␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈ger␈↓ ∧u␈ε	n␈↓ ¬∃␈εβw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε∃␈ε	p␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εR␈εβ,␈↓ εa␈ε	b␈↓ ε}␈εβ)␈α
=␈↓ π>␈ε	p␈↓ πO␈εβ(␈↓ πZ␈ε	a␈↓ π{␈εβ,␈↓ λ
␈ε	b␈↓ λ↔␈ε	a␈↓ λ↑␈εβ)␈αλ+␈↓ 	→␈ε	p␈↓ 	*␈εβ(␈↓ 	5␈ε	b␈↓ 	C␈ε	a␈↓ 
	␈εβ,␈↓ 
_␈ε	b␈↓ 
2␈ε	a␈↓ 
x␈εβ)␈αλ+
␈β6␈↓ λ=␈ε≠0␈↓ 
↓␈ε≠0
␈β:␈↓ αH␈εn␈↓ αX␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ β+␈εn␈↓ ¬9␈εm␈↓ ε∃␈εn␈↓ ε{␈εm␈↓ π∩␈εε+␈α↓1␈↓ λ&␈εm␈↓ 	∧␈εn␈↓ 	j␈εm␈↓ 
π␈εε+1
␈β>␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓v␈εβ+␈↓ α∨␈ε	p␈↓ α0␈εβ(␈↓ α;␈ε	b␈↓ α}␈ε	a␈↓ β∂␈εβ,␈↓ β≥␈ε	b␈↓ β;␈εβ)␈α	=␈↓ βz␈ε	n␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧∨␈εβ(␈↓ ∧*␈ε	a␈↓ ∧;␈εβ,␈↓ ∧I␈ε	b␈↓ ∧W␈εβ).␈αIf␈α1␈↓ ¬)␈εβ0␈↓ ¬Z␈ε↔∀␈↓ ε¬␈ε	a␈↓ ε/␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈↓ εj␈εβ0␈↓ πC␈εβand␈α
1␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λL␈ε↔∀␈↓ λw␈ε	b␈↓ 	≡␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈↓ 	Y␈εβ0␈↓ 
8␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β]␈↓ β	␈ε≠0␈↓ ε!␈ε≠0
␈βa␈↓ α¬␈εm␈↓ α≤␈εε+1␈↓ αr␈εm␈↓ ∧α␈εn␈↓ ∧.␈εn␈↓ ¬B␈εm␈↓ ε
␈εm␈↓ ε'␈εε+1
␈βf␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(1␈↓ ↓t␈εβ0␈↓ αB␈εβ,␈αε1␈↓ αb␈εβ0␈↓ β∂␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ βV␈ε	p␈↓ βf␈εβ(␈↓ βr␈ε	a␈↓ ∧∩␈εβ,␈↓ ∧!␈ε	b␈↓ ∧?␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬¬␈ε	p␈↓ ¬⊗␈εβ(1␈↓ ¬2␈εβ0␈↓ ¬Z␈εβ,␈αε1␈↓ ¬y␈εβ0␈↓ εM␈εβ)␈α
by␈α(v).␈α∩But␈↓ λ≡␈ε	p␈↓ λ/␈εβ(1,␈αε1␈α␈0)␈α
=␈α∞1␈α
b␈α␈y␈α
(iv),␈α∞he␈α␈nce
␈β
¬␈↓ αd␈ε≠0
␈β
	␈↓ α¬␈εm␈↓ αL␈εm␈↓ βE␈ε~0␈↓ ¬≡␈ε~0␈↓ λv␈εn␈↓ 
'␈εn
␈β

␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(1␈↓ ↓t␈εβ0␈↓ α≤␈εβ,␈αε1␈↓ α<␈εβ0␈↓ αi␈εβ)␈α
=␈↓ β(␈ε	m␈↓ βR␈ε↔␈␈↓ βy␈ε	m␈↓ ∧ ␈εβfor␈α
all␈↓ ¬␈ε	m␈↓ ¬-␈ε↔∃␈↓ ¬X␈ε	m␈↓ ¬u␈εβ.␈αWe␈α
con␈α␈clud␈α␈e␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α
b␈↓ λ∨␈εβlog␈↓ λh␈ε	b␈↓ 	ε␈ε↔c␈αε␈␈αεb␈↓ 	M␈εβlog␈↓ 
⊗␈ε	a␈↓ 
7␈ε↔c␈αε␈␈εβ␈αε1␈ε↔␈α	∀
␈β
≤␈↓ λJ␈εε1␈α␈0␈↓ 	x␈εε1␈α␈0
␈β
1␈↓ βG␈εn␈↓ ∧{␈εn
␈β
5␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈ε	p␈↓ ↓m␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	a␈↓ αλ␈εβ,␈↓ α↔␈ε	b␈↓ α$␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈α
b␈↓ αp␈εβlog␈↓ β9␈ε	b␈↓ βW␈ε↔c␈εβ␈απ+␈ε↔␈αλb␈↓ ∧!␈εβlog␈↓ ∧j␈ε	a␈↓ ¬␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ εF␈ε	n␈↓ εZ␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ π/␈ε	p␈↓ π@␈εβ(␈↓ πK␈ε	a␈↓ π[␈εβ,␈↓ πj␈ε	b␈↓ πw␈εβ)␈α
=␈↓ λ6␈εβlog␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	b␈↓ 	∩␈εβ/␈↓ 	#␈ε	a␈↓ 	3␈εβ).
␈β
D␈↓ β≠␈εε1␈α␈0␈↓ ∧K␈εε10␈↓ λa␈εε1␈α␈0
␈β
\␈↓ α␈εβ[This␈α
ex␈α}ercise␈α
was␈α	i␈α↓n␈α␈spired␈α	by␈α	D.␈α
I.␈α
A.␈α
Cohe␈α␈n,␈α
who␈α	pro␈α␈v␈α}ed␈α	a␈α
sligh␈α␈tly␈α	w␈α␈eak␈α}er␈α
resu␈α␈lt
␈β∞∧␈↓ ↓H␈εβin␈ε⊂␈α
J.␈αCom␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ato␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈αTh␈α␈eory␈εβ␈α
(A)␈ε∪␈α20␈εβ␈α(19␈α␈76),␈α36␈α␈7↑3␈α␈70.]
␈β∞v␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.1
␈β∂?␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβIf␈αthe␈↓ αg␈ε	i␈↓ αs␈εβth␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αto␈αb␈α␈e␈αad␈α␈de␈α␈d␈αis␈↓ ¬n␈ε	u␈↓ ε∃␈εβ=␈α
(␈↓ εK␈ε	u␈↓ εu␈ε	u␈↓ π%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πR␈ε	u␈↓ λ␈εβ)␈↓ λ⊗␈εβ,␈αuse␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
A␈αw␈α↓ith␈α
step
␈β∂J␈↓ ε↓␈εi␈↓ ε↑␈εi␈↓ εi␈εε1␈↓ πλ␈εi␈↓ π∪␈εε2␈↓ πe␈εi␈↓ πo␈εn␈↓ λ␈εb
␈β∂g␈↓ ↓H␈εβA2␈α
cha␈α␈nge␈α␈d␈αto␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α␈:
␈β⊂_␈↓ α∀␈ε∪A2#␈α␈.␈↓ αX␈εβ[Ad␈α␈d␈αdig␈α␈i␈α↓ts.]␈αSe␈α␈t
␈β⊂[␈↓ αh␈ε	w␈↓ β∀␈ε↔ ␈εβ␈α	(␈↓ βI␈ε	u␈↓ β|␈εβ+␈↓ ∧$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧R␈εβ+␈↓ ∧z␈ε	u␈↓ ¬8␈εβ+␈↓ ¬`␈ε	k␈↓ ¬p␈εβ)␈↓ ε↓␈εβmo␈α␈d␈↓ εE␈ε	b␈↓ εS␈εβ,␈↓ πβ␈εβa␈α␈nd␈↓ πZ␈ε	k␈↓ πs␈ε↔ ␈α
b␈εβ(␈↓ λ6␈ε	u␈↓ λh␈εβ+␈↓ 	⊃␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	>␈εβ+␈↓ 	g␈ε	u␈↓ 
$␈εβ+␈↓ 
L␈ε	k␈↓ 
]␈εβ)/␈↓ 
x␈ε	b␈↓ ε␈ε↔c␈εβ.
␈β⊂f␈↓ α}␈εj␈↓ β\␈εε1␈↓ βi␈εj␈↓ ¬
␈εm␈↓ ¬%␈εj␈↓ λI␈εε1␈↓ λU␈εj␈↓ 	z␈εm␈↓ 
⊃␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αof␈↓ ∧3␈ε	k␈↓ ∧O␈εβis␈↓ ∧p␈ε	m␈↓ ¬∃␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈αso␈αstep␈α
A3␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αto␈αb␈α␈e␈αaltere␈α␈d␈αif␈↓ 
_␈ε	m␈↓ 
?␈εβ>␈↓ 
i␈ε	b␈↓ 
w␈εβ.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα661
␈βα(␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T1␈↓ β[␈ε∃N
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ ¬.␈εβ1
␈βαP␈↓ α←␈ε∃JO␈α␈V␈↓ β[␈ε∃OF␈α␈LO
␈βαS␈↓ ¬.␈εβ1␈↓ ¬x␈εβEnsu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αis␈αo␈α␈{␈α↓.
␈βαw␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈TA␈↓ β[␈ε∃0
␈βαz␈↓ ¬.␈εβ1␈↓ ¬x␈ε	k␈↓ ε∩␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈ββ∨␈↓ α␈ε∃2H␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T2␈↓ β[␈ε∃0
␈ββ"␈↓ ¬'␈ε	N␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ εβ␈εβrI␈↓ ε≠␈εβ2␈ε↔␈α	⊃␈↓ ε`␈εβn␈α␈ex␈α␈t␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αof␈↓ λ+␈ε	k␈↓ λ<␈εβ)
␈ββF␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T3␈↓ β[␈ε∃M*␈α␈N-N,␈α␈1␈↓ ¬x␈εα(␈↓ ε∧␈ε∃LO␈α␈C␈↓ π6␈ε∃U␈↓ 	2␈εα)
␈ββI␈↓ ¬'␈ε	N␈↓ εB␈εβ(␈↓ εM␈ε	u␈↓ εw␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ πR␈εβ+␈↓ π{␈ε	n␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ~␈ε	i␈↓ λ.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈↓ 	#␈ε	j
␈ββT␈↓ ε`␈εi␈↓ εk␈εj
␈ββn␈↓ α␈ε∃3H␈↓ α←␈ε∃AD␈α␈D␈↓ β[␈ε∃U,␈α␈3
␈ββq␈↓ ¬∃␈ε	M␈↓ ¬8␈ε	N␈↓ ¬x␈εβrA␈↓ ε&␈ε↔ ␈↓ εQ␈εβrA␈↓ ε⎇␈εβ+␈↓ π&␈ε	u␈↓ πP␈εβ.
␈ββ|␈↓ π9␈εi␈↓ πD␈εj
␈β∧⊗␈↓ α←␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ β[␈ε∃*+␈α␈2
␈β∧→␈↓ ¬∃␈ε	M␈↓ ¬8␈ε	N
␈β∧=␈↓ α←␈ε∃IN␈α␈C2␈↓ β[␈ε∃1
␈β∧@␈↓ ¬(␈ε	K␈↓ ¬x␈εβCarry␈α
on␈α␈e.
␈β∧e␈↓ α←␈ε∃DE␈α␈C3␈↓ β[␈ε∃N
␈β∧h␈↓ ¬∃␈ε	M␈↓ ¬8␈ε	N␈↓ ¬x␈εβRep␈α␈eat␈αfor␈↓ π≡␈ε	m␈↓ πD␈ε↔∃␈↓ πo␈ε	i␈↓ λ¬␈ε↔∃␈εβ␈α	0.
␈β¬␈↓ α←␈ε∃J3␈α␈P␈↓ β[␈ε∃3B␈↓ ¬x␈εα(␈↓ λ↔␈εα)
␈β¬∂␈↓ ¬∃␈ε	M␈↓ ¬8␈ε	N␈↓ ε∧␈εβrI␈↓ ε≤␈εβ3␈ε↔␈α	⊃␈↓ εa␈ε	n␈↓ εu␈εβ(␈↓ π␈ε	i␈↓ π∀␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈↓ λλ␈ε	j
␈β¬4␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃W,␈α␈1
␈β¬7␈↓ ¬'␈ε	N␈↓ ¬x␈ε	w␈↓ ε#␈ε↔ ␈↓ εN␈εβrA␈↓ εs␈εβ.
␈β¬B␈↓ ε∞␈εj
␈β¬\␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈TA␈↓ β[␈ε∃0,␈α␈2
␈β¬←␈↓ ¬'␈ε	N␈↓ ¬x␈ε	k␈↓ ε∩␈ε↔ ␈↓ ε<␈εβrI␈↓ εT␈εβ2.
␈βεβ␈↓ α←␈ε∃DE␈α␈C1␈↓ β[␈ε∃1
␈βεε␈↓ ¬'␈ε	N
␈βε+␈↓ α←␈ε∃J1␈α␈P␈↓ β[␈ε∃2B
␈βε.␈↓ ¬'␈ε	N␈↓ ¬x␈εβRep␈α␈eat␈αfor␈↓ π≡␈ε	n␈↓ π;␈ε↔∃␈↓ πe␈ε	j␈↓ π}␈ε↔∃␈εβ␈α	0.
␈βεR␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃W
␈βεU␈↓ ¬.␈εβ1␈↓ ¬x␈εβSto␈α␈re␈α|n␈α␈al␈αca␈α␈rry␈αin␈↓ λ↔␈ε	w␈↓ λ:␈εβ.
␈βεW␈↓ λh␈∧εWλh≠∂
␈βε`␈↓ λ-␈εε0
␈βπ!␈↓ ¬P␈εε1
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβRu␈α␈nn␈α␈ing␈αtime␈α␈,␈αa␈α␈ssumin␈α␈g␈αth␈α␈at␈↓ ∧⎇␈ε	K␈↓ ¬"␈εβ=␈↓ ¬`␈ε	M␈↓ εβ␈ε	N␈↓ ε"␈εβ,␈αi␈α↓s␈α5␈α␈.5␈↓ πα␈ε	M␈↓ π%␈ε	N␈↓ πK␈εβ+␈αλ7␈↓ λ∧␈ε	N␈↓ λ+␈εβ+␈απ4␈αcy␈α}cles.
␈βπ2␈↓ ¬P␈∧π2¬Pα
␈βπ5␈↓ ¬P␈εε2
␈βπa␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβWe␈αmay␈αma␈α␈k␈α␈e␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αassertio␈α␈n␈αb␈α␈efore␈αA1␈α␈:␈α
\␈↓ πt␈ε	n␈↓ λ∪␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈;␈α
an␈α␈d␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ 	n␈ε	u␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
≠␈ε	v␈↓ 
?␈εβ<␈↓ 
k␈ε	b␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈βπk␈↓ 
↓␈εi␈↓ 
)␈εi
␈βλλ␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α∞∀␈↓ α↔␈ε	i␈↓ α2␈ε↔∀␈↓ αb␈ε	n␈↓ αv␈εβ.␈α↓"␈α∀Before␈α∞A2,␈α∂w␈α␈e␈α∞assert:␈α⊃\1␈ε↔␈α∞∀␈↓ εS␈ε	j␈↓ εq␈ε↔∀␈↓ π!␈ε	n␈↓ π5␈εβ;␈α⊂0␈ε↔␈α∞∀␈↓ λ≥␈ε	u␈↓ λ;␈εβ,␈↓ λJ␈ε	v␈↓ λr␈εβ<␈↓ 	"␈ε	b␈↓ 	=␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α∞1␈ε↔␈α∂∀␈↓ 
D␈ε	i␈↓ 
←␈ε↔∀␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ;
␈βλ∪␈↓ λ0␈εi␈↓ λY␈εi
␈βλ0␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	w␈↓ α6␈εβ<␈↓ αa␈ε	b␈↓ αy␈εβfor␈↓ β-␈ε	j␈↓ βE␈εβ<␈↓ βp␈ε	i␈↓ ∧ε␈ε↔∀␈↓ ∧0␈ε	n␈↓ ∧D␈εβ;␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬≥␈ε	k␈↓ ¬7␈ε↔∀␈εβ␈α	1;␈αan␈α␈d
␈βλ;␈↓ α"␈εi
␈β	π␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βe␈ε	u␈↓ ∧0␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧\␈ε	u␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬≥␈εβ+␈αλ(␈↓ ¬Q␈ε	v␈↓ ε↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈ε	v␈↓ εb␈εβ)␈↓ πα␈εβ=␈α	(␈↓ π7␈ε	k␈↓ πH␈ε	w␈↓ λ∃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ε	w␈↓ λh␈εβ)␈↓ λ}␈εβ.'␈α↓'
␈β	⊃␈↓ βx␈εj␈↓ ∧∧␈εε+␈α↓1␈↓ ∧o␈εn␈↓ ¬␈εb␈↓ ¬`␈εj␈↓ ¬l␈εε+1␈↓ εR␈εn␈↓ εm␈εb␈↓ π↑␈εj␈↓ πj␈εε+1␈↓ λX␈εn␈↓ λs␈εb
␈β	↑␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αlatter␈αsta␈α␈temen␈α}t␈αmea␈α␈ns␈αmo␈α␈re␈αpre␈α␈ci␈α↓s␈α␈el␈α↓y␈α
tha␈α␈t
␈β
∂␈↓ β<␈ε↓X␈↓ ¬'␈ε↓X␈↓ λ∃␈ε↓X
␈β
.␈↓ ∧2␈εn␈↓ ∧B␈ε~␈␈↓ ∧[␈εt␈↓ ε→␈εn␈↓ ε)␈ε~␈␈↓ εB␈εt␈↓ π≥␈εn␈↓ π-␈ε~␈␈↓ πG␈εj␈↓ 	∞␈εn␈↓ 	≡␈ε~␈␈↓ 	7␈εt
␈β
4␈↓ ∧λ␈ε	u␈↓ ∧%␈ε	b␈↓ ∧l␈εβ+␈↓ ¬s␈ε	v␈↓ ε␈ε	b␈↓ εU␈εβ=␈↓ π␈ε	k␈↓ π⊂␈ε	b␈↓ πZ␈εβ+␈↓ λa␈ε	w␈↓ 	↓␈ε	b␈↓ 	A␈εβ.
␈β
?␈↓ ∧≠␈εt␈↓ εα␈εt␈↓ λw␈εt
␈β
f␈↓ β*␈εj␈↓ β6␈εε<␈↓ βO␈εt␈↓ βY␈ε~∀␈↓ βr␈εn␈↓ ¬∃␈εj␈↓ ¬!␈εε<␈↓ ¬:␈εt␈↓ ¬D␈ε~∀␈↓ ¬]␈εn␈↓ λβ␈εj␈↓ λ∂␈εε<␈↓ λ(␈εt␈↓ λ2␈ε~∀␈↓ λK␈εn
␈β)␈↓ ↓H␈εβBefo␈α␈re␈αA3␈α␈,␈αw␈α␈e␈αa␈α␈ssert:␈α\1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧↑␈ε	j␈↓ ∧v␈ε↔∀␈↓ ¬"␈ε	n␈↓ ¬6␈εβ;␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε⊃␈ε	u␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	v␈↓ ε`␈εβ<␈↓ π␈ε	b␈↓ π$␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ∨␈ε	i␈↓ λ5␈ε↔∀␈↓ λ`␈ε	n␈↓ λu␈εβ;␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	O␈ε	w␈↓ 	z␈εβ<␈↓ 
%␈ε	b␈↓ 
>␈εβfor␈↓ 
r␈ε	j␈↓ ␈ε↔∀
␈β3␈↓ ε$␈εi␈↓ εL␈εi␈↓ 	e␈εi
␈βP␈↓ ↓H␈ε	i␈↓ ↓`␈ε↔∀␈↓ α␈ε	n␈↓ α ␈εβ;␈α
0␈ε↔␈α∀␈↓ α␈␈ε	k␈↓ β~␈ε↔∀␈εβ␈α1␈α␈;␈α∞a␈α␈nd␈α(␈↓ ∧;␈ε	u␈↓ ∧←␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈ε	u␈↓ ¬/␈εβ)␈↓ ¬N␈εβ+␈αλ(␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε"␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εO␈ε	v␈↓ εn␈εβ)␈↓ π∂␈εβ=␈α(␈↓ πG␈ε	k␈↓ πW␈ε	w␈↓ π␈␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ+␈ε	w␈↓ λR␈εβ)␈↓ λh␈εβ."␈α∞After␈αA␈α↓3␈α␈,␈α
w␈α␈e␈αasser␈α␈t
␈β[␈↓ ∧N␈εj␈↓ ¬∨␈εn␈↓ ¬:␈εb␈↓ ε⊃␈εj␈↓ ε]␈εn␈↓ εy␈εb␈↓ πm␈εj␈↓ λA␈εn␈↓ λ]␈εb
␈βx␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αε0␈ε↔␈α	∀␈↓ αP␈ε	w␈↓ αz␈εβ<␈↓ β$␈ε	b␈↓ β8␈εβfor␈αε1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧,␈ε	i␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧m␈ε	n␈↓ ¬↓␈εβ;␈αλ0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬V␈ε	w␈↓ εα␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈;␈α	a␈α␈nd␈αε(␈↓ π⊗␈ε	u␈↓ π;␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πh␈ε	u␈↓ λ␈εβ)␈↓ λ#␈εβ+␈αα(␈↓ λQ␈ε	v␈↓ λr␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	≡␈ε	v␈↓ 	=␈εβ)␈↓ 	\␈εβ=␈α
(␈↓ 
∩␈ε	w␈↓ 
:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
g␈ε	w␈↓ 
␈εβ)␈↓ #␈εβ.
␈ββ␈↓ αf␈εi␈↓ ¬l␈εε0␈↓ π)␈εε1␈↓ π{␈εn␈↓ λ⊗␈εb␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	-␈εn␈↓ 	H␈εb␈↓ 
(␈εε0␈↓ 
⎇␈εn␈↓ _␈εb
␈β"␈↓ α␈εβIt␈α
is␈α
a␈α	simp␈α␈l␈α↓e␈α	ma␈α␈tter␈α
to␈α	co␈α␈mplete␈α	th␈α␈e␈α
p␈α␈roof␈α	by␈α	v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α␈ing␈α	the␈α	ne␈α␈cessary␈α	imp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈βJ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
the␈αa␈α␈ssertion␈α␈s␈αan␈α␈d␈αby␈α
sho␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈at␈αthe␈α
algorith␈α␈m␈αalway␈α␈s␈αtermin␈α␈ates.
␈β
ε␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α≤␈ε∪B␈α↓1␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	j␈↓ β)␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ βy␈ε	w␈↓ ∧%␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β
⊃␈↓ ∧∂␈εε0
␈β
C␈↓ α≤␈ε∪B␈α↓2␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	t␈↓ β&␈ε↔ ␈↓ βQ␈ε	u␈↓ βw␈εβ+␈↓ ∧ ␈ε	v␈↓ ∧;␈εβ,␈↓ ∧O␈ε	w␈↓ ∧z␈ε↔ ␈↓ ¬%␈ε	t␈↓ ¬6␈εβmod␈↓ ¬{␈ε	b␈↓ ελ␈εβ,␈↓ ε≤␈ε	i␈↓ ε3␈ε↔ ␈↓ ε]␈ε	j␈↓ εl␈εβ.
␈β
M␈↓ βd␈εj␈↓ ∧/␈εj␈↓ ∧e␈εj
␈β
␈␈↓ α≤␈ε∪B␈α↓3␈α␈.␈↓ αX␈εβIf␈↓ αy␈ε	t␈↓ β∂␈ε↔∃␈↓ β:␈ε	b␈↓ βG␈εβ,␈αset␈↓ ∧⊂␈ε	i␈↓ ∧'␈ε↔ ␈↓ ∧R␈ε	i␈↓ ∧f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ¬5␈ε	t␈↓ ¬K␈ε↔ ␈↓ ¬v␈ε	w␈↓ ε≡␈εβ+␈αλ1,␈↓ εl␈ε	w␈↓ π↔␈ε↔ ␈↓ πB␈ε	t␈↓ πT␈εβm␈α␈od␈↓ λ_␈ε	b␈↓ λ%␈εβ,␈αan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αthis␈αstep␈αu␈α␈n␈α␈til
␈β∞
␈↓ ε␈εi␈↓ πα␈εi
␈β∞'␈↓ αX␈ε	t␈↓ αm␈εβ<␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β%␈εβ.
␈β∞c␈↓ α≤␈ε∪B␈α↓4␈α␈.␈↓ αX␈εβIn␈α␈crea␈α␈se␈↓ βW␈ε	j␈↓ βq␈εβby␈α
one␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
i␈α↓f␈↓ ¬H␈ε	j␈↓ ¬`␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε*␈εβg␈α␈o␈αba␈α␈ck␈αto␈α
B␈α↓2␈α␈.
␈β∞e␈↓ λ#␈∧∞eλ#≠∂
␈β∂$␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α→␈ε∪C1␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	j␈↓ β)␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ βy␈ε	i␈↓ ∧∂␈ε↔ ␈εβ␈α	0,␈↓ ∧↑␈ε	r␈↓ ∧v␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β∂a␈↓ α→␈ε∪C2␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β∩␈ε	t␈↓ β)␈ε↔ ␈↓ βV␈ε	u␈↓ β⎇␈εβ+␈↓ ∧'␈ε	v␈↓ ∧B␈εβ.␈α∂If␈↓ ∧|␈ε	t␈↓ ¬∪␈ε↔∃␈↓ ¬@␈ε	b␈↓ ¬M␈εβ,␈α
set␈↓ ε_␈ε	w␈↓ εD␈ε↔ ␈↓ εq␈ε	r␈↓ ππ␈εβ+␈α	1,␈↓ πX␈ε	w␈↓ λε␈ε↔ ␈εβ␈α0␈αfo␈α␈r␈↓ 	¬␈ε	i␈↓ 	≥␈εβ<␈↓ 	I␈ε	k␈↓ 	e␈εβ<␈↓ 
∩␈ε	j␈↓ 
 ␈εβ;␈α∞th␈α␈en␈αse␈α␈t
␈β∂l␈↓ βi␈εj␈↓ ∧6␈εj␈↓ ε.␈εi␈↓ πn␈εk
␈β⊂	␈↓ αX␈ε	i␈↓ αo␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε	j␈↓ β6␈εβan␈α␈d␈↓ βx␈ε	r␈↓ ∧⊃␈ε↔ ␈↓ ∧=␈ε	t␈↓ ∧O␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬∪␈ε	b␈↓ ¬!␈εβ.␈α∞Oth␈α␈erwise␈αif␈↓ εv␈ε	t␈↓ π
␈εβ<␈↓ π9␈ε	b␈↓ πN␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈,␈α
set␈↓ λS␈ε	w␈↓ λ}␈ε↔ ␈↓ 	*␈ε	r␈↓ 	9␈εβ,␈↓ 	N␈ε	w␈↓ 	|␈ε↔ ␈↓ 
)␈ε	b␈↓ 
>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfo␈α␈r
␈β⊂∪␈↓ λi␈εi␈↓ 	d␈εk
␈β⊂0␈↓ αX␈ε	i␈↓ αn␈εβ<␈↓ β_␈ε	k␈↓ β2␈εβ<␈↓ β\␈ε	j␈↓ βk␈εβ;␈αth␈α␈en␈αs␈α␈et␈↓ ∧␈␈ε	i␈↓ ¬∃␈ε↔ ␈↓ ¬@␈ε	j␈↓ ¬Z␈εβan␈α␈d␈↓ ε≠␈ε	r␈↓ ε3␈ε↔ ␈↓ ε]␈ε	t␈↓ εi␈εβ.
␈β⊂m␈↓ α→␈ε∪C3␈α␈.␈↓ αX␈εβIn␈α␈crea␈α␈se␈↓ β\␈ε	j␈↓ βz␈εβb␈α␈y␈α∂on␈α␈e.␈α_If␈↓ ¬'␈ε	j␈↓ ¬F␈ε↔∀␈↓ ¬w␈ε	n␈↓ ε␈εβ,␈α⊃go␈α∂b␈α␈ack␈α∂t␈α␈o␈α∂C2;␈α∩o␈α␈therwise␈α∂set␈↓ 	l␈ε	w␈↓ 
≥␈ε↔ ␈↓ 
O␈ε	r␈↓ 
]␈εβ,␈α⊃a␈α␈nd
␈β⊂w␈↓ 
α␈εi
␈β⊃∀␈↓ αX␈ε	w␈↓ β∧␈ε↔ ␈↓ β/␈ε	b␈↓ βC␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfor␈↓ ∧<␈ε	i␈↓ ∧R␈εβ<␈↓ ∧|␈ε	k␈↓ ¬⊗␈ε↔∀␈↓ ¬@␈ε	n␈↓ ¬T␈εβ.
␈β⊃⊗␈↓ εβ␈∧⊃⊗εβ≠∂
␈β⊃∨␈↓ αn␈εk
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα662␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.1
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αl␈ε	j␈↓ β∧␈εβ=␈α	3,␈αfor␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈α
we␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ ε⊃␈ε	k␈↓ ε+␈εβ=␈α	0␈α
wi␈α↓th␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
(␈↓ λr␈ε	b␈↓ 	ε␈εβ+␈απ1)/␈α␈2␈↓ 	k␈ε	b␈↓ 	x␈εβ;␈↓ 
␈ε	k␈↓ 
&␈εβ=␈α	1␈αwith
␈βαO␈↓ αs␈εα(␈↓ ∧⊃␈εα)
␈βαR␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β␈ε	b␈↓ β∨␈ε↔␈␈εβ␈απ1)/2␈↓ ∧∧␈ε	b␈↓ ∧≥␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ ¬
␈ε	b␈↓ ¬↔␈εβ),␈αna␈α␈mely␈αt␈α␈he␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
that␈α
a␈αca␈α␈rry␈α
occu␈α␈rs␈αan␈α␈d␈α
tha␈α␈t
␈βαv␈↓ λ(␈εα(␈↓ 	J␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
prec␈α␈eding␈α
d␈α␈igit␈α∞wa␈α␈sn't␈↓ ∧X␈ε	b␈↓ ∧n␈ε↔␈␈εβ␈α	1;␈↓ ¬A␈ε	k␈↓ ¬↑␈εβ=␈α∞2␈α
with␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	b␈↓ λU␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)/2␈↓ 	=␈ε	b␈↓ 	V␈εβ(1/␈↓ 
α␈ε	b␈↓ 
∂␈εβ)␈α↓(1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α
1␈α␈/␈↓ ␈ε	b␈↓ _␈εβ);
␈ββ≡␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ε"␈εα)
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	k␈↓ α-␈εβ=␈α⊂3␈α∂with␈α∂p␈α␈roba␈α␈bility␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	b␈↓ ¬-␈ε↔␈␈εβ␈α
1)/␈α␈2␈↓ ε∃␈ε	b␈↓ ε.␈εβ(1/␈↓ ε[␈ε	b␈↓ εh␈εβ)(1/␈↓ π∨␈ε	b␈↓ π-␈εβ)(1␈α␈)␈α↓.␈α↔For␈α∂|x␈α}ed␈↓ 	↔␈ε	k␈↓ 	6␈εβw␈α␈e␈α∂may␈α∞add␈α∞the
␈ββI␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈α
as␈↓ β3␈ε	j␈↓ βP␈εβv␈α␈aries␈α
from␈α
1␈α
to␈↓ ¬M␈ε	n␈↓ ¬a␈εβ;␈α∞this␈α
giv␈α␈es␈α
th␈α␈e␈α
mean␈αn␈α␈um␈α}ber␈α
of␈α
times␈α
th␈α␈e␈α∞c␈α␈arry
␈ββp␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rop␈α␈aga␈α␈tes␈αb␈α␈ack␈↓ β@␈ε	k␈↓ β[␈εβp␈α␈l␈α↓a␈α␈ces,
␈β∧=␈↓ ¬=␈ε↓∩␈↓ ε}␈ε↓∩␈↓ πm␈ε↓∪␈↓ λK␈ε↓∪
␈β∧C␈↓ ∧k␈ε	b␈↓ ¬␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ πX␈εβ1␈↓ λ7␈εβ1
␈β∧Y␈↓ ∧
␈ε	m␈↓ ∧=␈εβ=␈↓ ¬S␈εβ(␈↓ ¬↑␈ε	n␈↓ ¬y␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ εc␈ε	k␈↓ εs␈εβ)␈↓ π∀␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ
␈εβ+␈↓ λa␈εβ.
␈β∧c␈↓ ∧&␈εk
␈β∧g␈↓ ∧k␈∧∧g∧kαN␈↓ πX␈∧∧gπXα⊃␈↓ λ7␈∧∧gλ7α⊃
␈β∧n␈↓ ¬~␈εk
␈β∧q␈↓ ∧|␈εβ2␈↓ ¬
␈ε	b␈↓ πZ␈ε	b␈↓ λ8␈ε	b
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβAs␈αa␈α
chec␈α␈k,␈αw␈α␈e␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αc␈α␈arries␈αis
␈βε∞␈↓ εA␈ε↓ ␈↓ 	9␈ε↓!
␈βε⊃␈↓ 	
␈εn
␈βε→␈↓ πr␈ε↓∩␈↓ λI␈ε↓∩␈↓ λw␈ε↓∪␈↓ 	#␈ε↓∪
␈βε∨␈↓ ε-␈εβ1␈↓ π?␈εβ1␈↓ λb␈εβ1
␈βε5␈↓ β≠␈ε	m␈↓ βL␈εβ+␈απ2␈↓ ∧¬␈ε	m␈↓ ∧5␈εβ+␈↓ ∧↑␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬␈εβ+␈↓ ¬5␈ε	n␈↓ ¬I␈ε	m␈↓ ¬␈␈εβ=␈↓ εX␈ε	n␈↓ εt␈ε↔␈␈↓ λλ␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	P␈εβ,
␈βε@␈↓ β8␈εε1␈↓ ∧!␈εε2␈↓ ¬e␈εn
␈βεC␈↓ ε-␈∧εCε-α⊃␈↓ π ␈∧εCπ αN␈↓ λb␈∧εCλbα⊃
␈βεM␈↓ ε-␈εβ2␈↓ π ␈ε	b␈↓ π5␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λd␈ε	b
␈βπ*␈↓ ↓H␈εβin␈α
agree␈α␈men␈α}t␈αwith␈α
(6).
␈βπg␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈N1␈↓ β[␈ε∃N␈↓ εD␈ε∃2H␈↓ π↔␈ε∃LD␈α␈A␈↓ λ∪␈ε∃W+N␈α␈+1,␈α␈2
␈βπj␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ ¬≤␈εβ1␈↓ 	O␈ε	K
␈βλ∂␈↓ α←␈ε∃JO␈α␈V␈↓ β[␈ε∃OF␈α␈LO␈↓ π↔␈ε∃IN␈α␈CA␈↓ λ∪␈ε∃1
␈βλ∩␈↓ ¬≤␈εβ1␈↓ 	O␈ε	K
␈βλ6␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈Z␈↓ β[␈ε∃W␈↓ π↔␈ε∃ST␈α␈A␈↓ λ∪␈ε∃W+N␈α␈+1,␈α␈2
␈βλ9␈↓ ¬≤␈εβ1␈↓ 	O␈ε	K
␈βλ↑␈↓ α␈ε∃1H␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃U+␈α␈N+1,␈α␈1␈↓ π↔␈ε∃DE␈α␈C2␈↓ λ∪␈ε∃1
␈βλa␈↓ ¬∃␈ε	N␈↓ 	O␈ε	K
␈β	¬␈↓ α←␈ε∃AD␈α␈D␈↓ β[␈ε∃V+␈α␈N+1,␈α␈1␈↓ π↔␈ε∃JO␈α␈V␈↓ λ∪␈ε∃2B
␈β	λ␈↓ ¬∃␈ε	N␈↓ 	O␈ε	K
␈β	-␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃W+␈α␈N+1,␈α␈1␈↓ εD␈ε∃3H␈↓ π↔␈ε∃IN␈α␈C2␈↓ λ∪␈ε∃1
␈β	0␈↓ ¬∃␈ε	N␈↓ 	N␈ε	N
␈β	U␈↓ α←␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ β[␈ε∃3F␈↓ π↔␈ε∃J2␈α␈N␈↓ λ∪␈ε∃1B
␈β	X␈↓ ¬∃␈ε	N␈↓ 	N␈ε	N
␈β	|␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T2␈↓ β[␈ε∃-1␈α␈,1
␈β	␈␈↓ ¬~␈ε	L
␈β
↓␈↓ 
⊃␈∧
↓
⊃≠∂
␈β
F␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
run␈α␈nin␈α␈g␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α
dep␈α␈en␈α␈ds␈α
on␈↓ ∧}␈ε	L␈↓ ¬∀␈εβ,␈αt␈α␈he␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
position␈α␈s␈α
i␈α↓n␈α	which␈↓ 	
␈ε	u␈↓ 	2␈εβ+␈↓ 	Z␈ε	v␈↓ 	}␈ε↔∃␈↓ 
(␈ε	b␈↓ 
6␈εβ;␈α
and␈α	on
␈β
P␈↓ 	 ␈εj␈↓ 	i␈εj
␈β
m␈↓ ↓H␈ε	K␈↓ ↓c␈εβ,␈α
the␈α	to␈α␈tal␈α
n␈α}um␈α}ber␈α	of␈α	carries.␈α
It␈α
is␈α	no␈α␈t␈α
d␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈α	to␈α	see␈α	th␈α␈at␈↓ λ≥␈ε	K␈↓ λB␈εβi␈α↓s␈α	th␈α␈e␈α	same␈α	qu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈αλtha␈α␈t
␈β∃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈ears␈α
in␈α
Prog␈α␈ram␈α
A␈↓ ∧∞␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α
an␈α␈alysis␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
text␈α
sh␈α␈o␈α␈ws␈α
tha␈α␈t␈↓ λG␈ε	L␈↓ λk␈εβh␈α␈as␈α
th␈α␈e␈α
av␈α␈er␈α␈age␈α
v␈α␈alue
␈β8␈↓ πQ␈ε~␈␈εε1␈↓ λ4␈ε~␈␈εε2␈↓ 	o␈ε~␈␈↓ 
λ␈εn
␈β9␈↓ ↓g␈εα(␈↓ β¬␈εα)␈↓ εY␈εε1
␈β<␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓s␈εβ(␈↓ ↓}␈ε	b␈↓ α∩␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/2␈↓ αx␈ε	b␈↓ β⊃␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ βg␈ε	K␈↓ ∧∞␈εβh␈α␈as␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ εi␈εβ(␈↓ εt␈ε	N␈↓ π≠␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	b␈↓ π}␈ε↔␈␈↓ λ'␈ε	b␈↓ λb␈ε↔␈␈↓ 	
␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	9␈ε↔␈␈↓ 	b␈ε	b␈↓ 
_␈εβ).␈αSo␈αif␈αw␈α␈e
␈βK␈↓ εY␈∧KεYα
␈βM␈↓ εY␈εε2
␈βd␈↓ ↓H␈εβign␈α␈ore␈αt␈α␈erms␈αof␈αor␈α␈der␈α1␈α␈/␈↓ ∧'␈ε	b␈↓ ∧4␈εβ,␈αth␈α␈e␈αrun␈α␈nin␈α␈g␈αtime␈αis␈α9␈↓ ε|␈ε	N␈↓ π"␈εβ+␈↓ πK␈ε	L␈↓ πh␈εβ+␈αλ7␈↓ λ"␈ε	K␈↓ λE␈εβ+␈απ3␈ε↔␈α	→␈εβ␈α
1␈α␈3␈↓ 	S␈ε	N␈↓ 	y␈εβ+␈αλ3␈αcy␈α}cles.
␈β
␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∂S␈α␈ince␈αa␈αcarry␈αoc␈α␈curs␈αalmo␈α␈st␈α
h␈α␈alf␈α
of␈αthe␈αtime,␈α
it␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈α
m␈α␈ore␈αe}cien␈α}t␈α
to
␈β5␈↓ ↓H␈εβd␈α␈elay␈αstorin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈lt␈αby␈αon␈α␈e␈αste␈α␈p.␈α
This␈αlead␈α␈s␈αto␈αa␈αso␈α␈mewha␈α␈t␈αlon␈α␈ger␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈αw␈α↓h␈α␈ose
␈β\␈↓ ↓H␈εβru␈α␈nn␈α␈ing␈αtime␈αis␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈α12␈↓ ¬1␈ε	N␈↓ ¬W␈εβ+␈αλ5␈αcy␈α␈c␈α␈l␈α↓e␈α␈s,␈αba␈α␈sed␈αon␈αth␈α␈e␈αsomewh␈α␈at␈αmor␈α␈e␈αd␈α␈etailed
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβin␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulated␈α
in␈αex␈α}ercise␈α7.
␈β
;␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβRep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α\␈↓ β~␈ε	b␈↓ β'␈εβ"␈αb␈α␈y␈α\␈↓ ∧β␈ε	b␈↓ ∧E␈εβ"␈αe␈α␈v␈α␈ery␈α␈where␈α
i␈α↓n␈α
step␈αA2␈α␈.
␈β
F␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ∧ ␈ε~␈␈↓ ∧9␈εj
␈β
s␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈αlines␈α06␈αan␈α␈d␈α0␈α␈7␈αw␈α␈ere␈αin␈α␈terc␈α␈ha␈α␈nge␈α␈d,␈αw␈α␈e␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αalmost␈αalway␈α␈s␈αh␈α␈av␈α␈e␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w,␈αbu␈α␈t
␈β∞≠␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gister␈α
A␈α
migh␈α}t␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
a␈αneg␈α␈ativ␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈α
at␈α
line␈α
0␈α␈8,␈α∞so␈αthis␈α
w␈α␈ou␈α␈ld␈α
n␈α␈ot␈α
w␈α␈ork␈α␈.␈α⊃If␈α
the␈α
in␈α␈-
␈β∞B␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈uction␈α␈s␈α
on␈α
lines␈α
05␈α
a␈α␈nd␈α
0␈α␈6␈α
w␈α␈ere␈α
in␈α␈terch␈α␈an␈α␈ged␈α␈,␈αth␈α␈e␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈αo␈α␈f␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈ws␈α
occu␈α␈rring␈α
in
␈β∞j␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbe␈αsl␈α↓igh␈α}tly␈αd␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈αin␈αsom␈α␈e␈αca␈α␈ses,␈αbu␈α␈t␈αth␈α␈e␈αpr␈α␈ogra␈α␈m␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αstill␈αbe
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈εβrig␈α␈h␈α␈t.
␈β∂I␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈αSe␈α␈t␈↓ αw␈ε	j␈↓ β⊂␈ε↔ ␈εβ␈α	1;␈α~(b␈α␈)␈αi␈α↓f␈↓ ∧A␈ε	u␈↓ ∧i␈εβ<␈↓ ¬∀␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ,␈αtermin␈α␈ate␈α[␈↓ εd␈ε	u␈↓ πα␈εβ<␈↓ π,␈ε	v␈↓ π>␈εβ];␈αif␈↓ π{␈ε	u␈↓ λ#␈εβ=␈↓ λN␈ε	v␈↓ λt␈εβa␈α␈nd␈↓ 	5␈ε	j␈↓ 	M␈εβ=␈↓ 	w␈ε	n␈↓ 
␈εβ,␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β∂T␈↓ ∧T␈εj␈↓ ¬#␈εj␈↓ λ∞␈εj␈↓ λ]␈εj
␈β∂q␈↓ ↓H␈εβ[␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓q␈εβ=␈↓ α∨␈ε	v␈↓ α1␈εβ];␈α∞if␈↓ αs␈ε	u␈↓ β≡␈εβ=␈↓ βL␈ε	v␈↓ βt␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧7␈ε	j␈↓ ∧R␈εβ<␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬∀␈εβ,␈α∞se␈α␈t␈↓ ¬`␈ε	j␈↓ ¬|␈ε↔ ␈↓ ε*␈ε	j␈↓ εA␈εβ+␈α	1␈α
an␈α␈d␈α
re␈α␈pea␈α␈t␈α
(␈α↓b␈α␈);␈α∞i␈α↓f␈↓ 	∃␈ε	u␈↓ 	@␈εβ>␈↓ 	n␈ε	v␈↓ 
	␈εβ,␈α∞term␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β∂{␈↓ βε␈εj␈↓ β[␈εj␈↓ 	(␈εj␈↓ 	⎇␈εj
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εβ[␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓q␈εβ>␈↓ α≡␈ε	v␈↓ α0␈εβ].␈α⊂This␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m␈α
ten␈α␈ds␈αto␈α
b␈α␈e␈α
q␈α␈uite␈α
fa␈α␈st,␈α∞sin␈α␈ce␈α
th␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αusu␈α␈ally␈α
lo␈α␈w␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	j␈↓ α*␈εβwill␈αh␈α␈av␈α}e␈αto␈αget␈αv␈α}ery␈α
high␈α
befor␈α␈e␈αwe␈α
enco␈α␈un␈α}ter␈αa␈αca␈α␈se␈αwith␈↓ 	λ␈ε	u␈↓ 	0␈ε↔≤␈↓ 	[␈ε	v␈↓ 	v␈εβ.
␈β⊂J␈↓ 	≠␈εj␈↓ 	j␈εj
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβUse␈α
Algo␈α␈rithm␈αS␈α
with␈↓ ∧Z␈ε	u␈↓ ¬ε␈εβ=␈α0␈αan␈α␈d␈↓ ε∪␈ε	v␈↓ ε:␈εβ=␈↓ εg␈ε	w␈↓ π	␈εβ.␈α⊃An␈α␈oth␈α␈er␈α
\␈α␈borr␈α␈o␈α␈w"␈α
will␈α
occu␈α␈r␈α
a␈α␈t␈α
the
␈β⊃α␈↓ ∧m␈εj␈↓ ε!␈εj␈↓ ε⎇␈εj
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβe␈α␈nd␈αo␈α␈f␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈;␈αth␈α␈is␈αti␈α↓m␈α␈e␈αi␈α↓t␈αsh␈α␈ou␈α␈ld␈αbe␈α
i␈α↓g␈α␈no␈α␈red.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα663
␈βα≠␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈TX␈↓ β[␈ε∃N␈↓ εD␈ε∃ADD␈↓ π@␈ε∃CARR␈α␈Y
␈βα≡␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ ∧s␈εβ1␈↓ λQ␈ε	N
␈βαB␈↓ α←␈ε∃JO␈α␈V␈↓ β[␈ε∃OF␈α␈LO␈↓ εD␈ε∃JNO␈α␈V␈↓ π@␈ε∃*+2
␈βαE␈↓ ∧s␈εβ1␈↓ λQ␈ε	N
␈βαj␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈TX␈↓ β[␈ε∃0␈↓ εD␈ε∃INC␈α␈X␈↓ π@␈ε∃1
␈βαm␈↓ ∧s␈εβ1␈↓ λS␈ε	K
␈ββ⊃␈↓ α␈ε∃2H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈X␈↓ β[␈ε∃CA␈α␈RRY␈↓ εD␈ε∃STA␈↓ π@␈ε∃W,1
␈ββ∀␈↓ ∧l␈ε	N␈↓ λQ␈ε	N
␈ββ9␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃U,␈α␈1␈↓ εD␈ε∃DEC␈α␈1␈↓ π@␈ε∃1
␈ββ<␈↓ ∧l␈ε	N␈↓ λQ␈ε	N
␈ββa␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃V␈↓ εD␈ε∃J1P␈↓ π@␈ε∃2B
␈ββd␈↓ ∧l␈ε	N␈↓ λQ␈ε	N
␈β∧λ␈↓ α←␈ε∃SL␈α␈C␈↓ β[␈ε∃5␈↓ εD␈ε∃STX␈↓ π@␈ε∃W
␈β∧␈↓ ∧l␈ε	N␈↓ λX␈εβ1
␈β∧
␈↓ 	∃␈∧∧
	∃≠∂
␈β∧?␈↓ λ<␈εε1
␈β∧B␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αrun␈α␈nin␈α␈g␈αtime␈αis␈α23␈↓ ∧⊗␈ε	N␈↓ ∧=␈εβ+␈↓ ∧e␈ε	K␈↓ ¬λ␈εβ+␈αλ5␈αcy␈α}cles,␈αan␈α␈d␈↓ εv␈ε	K␈↓ π≥␈εβis␈αrou␈α␈gh␈α␈ly␈↓ λL␈ε	N␈↓ λk␈εβ.
␈β∧Q␈↓ λ<␈∧∧Qλ<α
␈β∧S␈↓ λ<␈εε2
␈β∧s␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβThe␈α
k␈α␈e␈α␈y␈α∞in␈α␈du␈α␈ctiv␈α␈e␈α
assertio␈α␈n␈α∞is␈α
the␈α
on␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∞sh␈α␈ou␈α␈ld␈α∞b␈α␈e␈α∞v␈α␈alid␈α
at␈α∞th␈α␈e␈α
beg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈α∞o␈α␈f
␈β¬≠␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αM4␈α␈;␈αa␈α␈ll␈αo␈α␈thers␈αa␈α␈re␈αread␈α␈il␈α↓y␈α
|lled␈αin␈α
from␈αth␈α␈i␈α↓s␈αo␈α␈ne,␈αwhich␈α
is␈αas␈αfollo␈α␈ws:␈α\1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
O␈ε	i␈↓ 
e␈ε↔∀␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ;
␈β¬C␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α
∀␈↓ α∂␈ε	j␈↓ α(␈ε↔∀␈↓ αT␈ε	m␈↓ αq␈εβ;␈α
0␈ε↔␈α
∀␈↓ βN␈ε	u␈↓ βx␈εβ<␈↓ ∧#␈ε	b␈↓ ∧<␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬8␈ε	r␈↓ ¬Q␈ε↔∀␈↓ ¬⎇␈ε	n␈↓ ε⊃␈εβ;␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ εm␈ε	v␈↓ π∪␈εβ<␈↓ π?␈ε	b␈↓ πX␈εβfor␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ λS␈ε	r␈↓ λl␈ε↔∀␈↓ 	_␈ε	m␈↓ 	6␈εβ;␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ 
∩␈ε	w␈↓ 
?␈εβ<␈↓ 
k␈ε	b␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β¬M␈↓ βa␈εr␈↓ ε|␈εr␈↓ 
(␈εr
␈β¬j␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓`␈εβ<␈↓ α
␈ε	r␈↓ α"␈ε↔∀␈↓ αM␈ε	m␈↓ αq␈εβ+␈↓ β~␈ε	n␈↓ β.␈εβ;␈α0␈ε↔␈αλ∀␈↓ ∧π␈ε	k␈↓ ∧!␈εβ<␈↓ ∧K␈ε	b␈↓ ∧X␈εβ;␈αa␈α␈nd
␈βε(␈↓ ∧/␈εm␈↓ ∧F␈εε+␈↓ ∧←␈εn␈↓ ∧p␈ε~␈␈↓ ¬	␈εi␈↓ ¬∪␈ε~␈␈↓ ¬-␈εj␈↓ 
-␈εm␈↓ 
D␈ε~␈␈↓ 
]␈εj
␈βε.␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	w␈↓ αH␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ αt␈ε	w␈↓ βK␈εβ)␈↓ βi␈εβ+␈↓ ∧⊃␈ε	k␈↓ ∧"␈ε	b␈↓ ¬B␈εβ=␈↓ ¬l␈ε	u␈↓ ελ␈ε↔α␈εβ␈αλ(␈↓ ε<␈ε	v␈↓ πα␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π.␈ε	v␈↓ πT␈εβ)␈↓ πr␈εβ+␈απ(␈↓ λ&␈ε	u␈↓ λo␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	≠␈ε	u␈↓ 	?␈εβ)␈↓ 	\␈ε↔α␈↓ 
¬␈ε	v␈↓ 
 ␈ε	b␈↓ 
i␈εβ.␈α↓''
␈βε8␈↓ α⊂␈εj␈↓ α≤␈εε+␈α↓1␈↓ β
␈εm␈↓ β!␈εε+␈↓ β;␈εn␈↓ βV␈εb␈↓ εJ␈εj␈↓ εV␈εε+␈α↓1␈↓ π=␈εm␈↓ π←␈εb␈↓ λ9␈εi␈↓ λC␈εε+␈α↓1␈↓ 	.␈εn␈↓ 	J␈εb␈↓ 
∪␈εj
␈βεq␈↓ ↓H␈εβ(For␈αth␈α␈e␈αp␈α␈recise␈αmea␈α␈ning␈α
of␈αthis␈αn␈α␈otation␈α␈,␈αsee␈αth␈α␈e␈αans␈α␈we␈α␈r␈αto␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.)
␈βπ≡␈↓ πB␈ε~␈␈↓ π[␈εn␈↓ πk␈ε~␈␈εε1
␈βπ∨␈↓ λ&␈εα(
␈βπ"␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThe␈αe␈α␈rror␈αis␈αn␈α␈on␈α␈ne␈α␈gativ␈α␈e␈αa␈α␈nd␈α
l␈α↓e␈α␈ss␈αth␈α␈an␈α
(␈↓ εT␈ε	n␈↓ εp␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈)␈↓ π4␈ε	b␈↓ λ⊃␈εβ.␈↓ λ2␈εβS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rl␈α↓y␈α␈,␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αigno␈α␈re␈αthe
␈βπF␈↓ λO␈ε~␈␈↓ λh␈εn␈↓ λx␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈βπJ␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈α␈s␈α
wi␈α↓th␈↓ β~␈ε	i␈↓ β-␈εβ+␈↓ βT␈ε	j␈↓ βl␈εβ>␈↓ ∧↔␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ+␈αε3,␈α
the␈α	error␈α
is␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α
(␈↓ πe␈ε	n␈↓ π␈␈ε↔␈␈εβ␈αε3)␈↓ λB␈ε	b␈↓ 	≡␈εβ,␈αet␈α␈c.␈α↓;␈α
bu␈α␈t,␈αin␈α	some
␈βπn␈↓  ␈εα)
␈βπq␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ases,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αco␈α␈mp␈α␈ute␈αa␈α␈ll␈αo␈α␈f␈αthe␈α
pro␈α␈du␈α␈cts␈αif␈αw␈α␈e␈αwa␈α␈n␈α␈t␈αto␈α
get␈α
the␈αt␈α␈rue␈αro␈α␈un␈α␈de␈α␈d␈αres␈α␈ult.
␈βλ"␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α ␈ε∪S1␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	r␈↓ β)␈ε↔ ␈εβ␈α	0,␈↓ βx␈ε	j␈↓ ∧⊃␈ε↔ ␈εβ␈α	1.
␈βλS␈↓ α ␈ε∪S2␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	w␈↓ β<␈ε↔ ␈α
b␈εβ(␈↓ β␈␈ε	r␈↓ ∧∞␈ε	b␈↓ ∧"␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	u␈↓ ∧j␈εβ)/␈↓ ¬ε␈ε	v␈↓ ¬↔␈ε↔c␈εβ,␈↓ ¬9␈ε	r␈↓ ¬P␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ εε␈ε	r␈↓ ε∃␈ε	b␈↓ ε)␈εβ+␈↓ εR␈ε	u␈↓ εq␈εβ)␈↓ πα␈εβmo␈α␈d␈↓ πF␈ε	v␈↓ πX␈εβ.
␈βλ↑␈↓ β'␈εj␈↓ ∧↑␈εj␈↓ εe␈εj
␈β	∧␈↓ α ␈ε∪S3␈α␈.␈↓ αX␈εβIn␈α␈crea␈α␈se␈↓ βW␈ε	j␈↓ βq␈εβby␈α
1,␈αand␈α
retu␈α␈rn␈αto␈αS␈α␈2␈αif␈↓ εc␈ε	j␈↓ ε|␈ε↔∀␈↓ π&␈ε	n␈↓ π:␈εβ.
␈β	ε␈↓ πh␈∧	επh≠∂
␈β	:␈↓ β#␈εn␈↓ ∧C␈εn␈↓ ∧T␈ε~␈␈εε1
␈β	;␈↓ ¬:␈εα(␈↓ π≠␈εα)␈↓ πh␈εα(␈↓ 	~␈εα)
␈β	>␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈ε	u␈↓ α ␈εβ/␈↓ α1␈ε	v␈↓ αK␈εβ>␈↓ αv␈ε	u␈↓ β⊗␈ε	b␈↓ β3␈εβ/(␈↓ βO␈ε	v␈↓ βr␈εβ+␈απ1)␈↓ ∧6␈ε	b␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ ¬-␈ε	b␈↓ ¬F␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈α␈(␈↓ ε4␈ε	v␈↓ εV␈εβ+␈αλ1)␈↓ π0␈εβ>␈↓ πZ␈ε	b␈↓ πt␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ1/(␈↓ λa␈ε	b␈↓ λn␈εβ/2␈α␈)␈↓ 	0␈εβ=␈↓ 	Z␈ε	b␈↓ 	o␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈.
␈β	I␈↓ β	␈εε0␈↓ β↑␈εε1␈↓ εB␈εε1
␈β	k␈↓ ¬z␈εn␈↓ ε
␈ε~␈␈εε1
␈β	o␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	u␈↓ α7␈ε	b␈↓ αK␈εβ+␈↓ αt␈ε	u␈↓ β∀␈εβ)/(␈↓ β;␈ε	v␈↓ β]␈εβ+␈αλ1)␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧V␈ε	u␈↓ ∧j␈εβ/␈α␈(␈↓ ¬¬␈ε	v␈↓ ¬(␈εβ+␈αλ1)␈↓ ¬m␈ε	b␈↓ ε9␈εβ<␈↓ εd␈ε	u␈↓ εx␈εβ/␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π~␈εβ.
␈β	z␈↓ α*␈εε0␈↓ βπ␈εε1␈↓ βI␈εε1␈↓ ¬∀␈εε1
␈β
≤␈↓ ∧/␈εn␈↓ ∧?␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬P␈εn␈↓ ¬`␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ εp␈εn␈↓ π␈ε~␈␈εε2␈↓ 	&␈εn␈↓ 	7␈ε~␈␈εε1␈↓ 
G␈εn␈↓ 
X␈ε~␈␈εε2
␈β
 ␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	u␈↓ α)␈ε↔␈␈↓ αS␈εβ∂␈↓ αT␈ε	q␈↓ αb␈ε	v␈↓ β↓␈ε↔∀␈↓ β0␈ε	u␈↓ βM␈ε↔␈␈↓ βw␈εβ∂␈↓ βx␈ε	q␈↓ ∧π␈ε	v␈↓ ∧"␈ε	b␈↓ ∧n␈ε↔␈␈↓ ¬_␈εβ∂␈↓ ¬→␈ε	q␈↓ ¬(␈ε	v␈↓ ¬C␈ε	b␈↓ ε∀␈εβ=␈↓ εC␈ε	u␈↓ εb␈ε	b␈↓ π/␈εβ+␈↓ πY␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ	␈εβ+␈↓ λ4␈ε	u␈↓ λ`␈εβ+␈↓ 	
␈εβ∂␈↓ 	␈ε	r␈↓ 	→␈ε	b␈↓ 	f␈ε↔␈␈↓ 
∂␈εβ∂␈↓ 
⊂␈ε	q␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
:␈ε	b␈↓ ␈εβ<
␈β
+␈↓ ∧∃␈εε1␈↓ ¬6␈εε2␈↓ εV␈εε2␈↓ λG␈εn␈↓ 
.␈εε2
␈β
D␈↓ ↓U␈εn␈↓ ↓e␈ε~␈␈εε2
␈β
H␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α␈εβ(␈↓ α⊗␈ε	u␈↓ α=␈εβ+␈αλ1␈απ+␈↓ β&␈εβ∂␈↓ β'␈ε	r␈↓ β5␈ε	b␈↓ βJ␈ε↔␈␈↓ βr␈εβ∂␈↓ βs␈ε	q␈↓ ∧↓␈ε	v␈↓ ∧≥␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
0␈α␈.␈αS␈α␈ince␈↓ ¬W␈ε	u␈↓ ¬s␈ε↔␈␈↓ ε≠␈εβ∂␈↓ ε≤␈ε	q␈↓ ε*␈ε	v␈↓ εE␈εβ<␈α
0␈α␈,␈↓ π∃␈ε	q␈↓ π-␈εβ<␈↓ πV␈εβ∂␈↓ πW␈ε	q␈↓ πf␈εβ.
␈β
R␈↓ α)␈εε2␈↓ ∧⊂␈εε2
␈β
t␈↓ εm␈εn␈↓ ε⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λW␈εn␈↓ λg␈ε~␈␈εε2␈↓ 
M␈εn␈↓ 
]␈ε~␈␈εε1
␈β
v␈↓ 	
␈εα)
␈β
y␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβIf␈↓ α/␈ε	q␈↓ αI␈ε↔∀␈↓ αv␈εβ∂␈↓ αw␈ε	q␈↓ β∞␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈α
then␈↓ ∧,␈ε	u␈↓ ∧L␈εβ<␈α(␈↓ ¬β␈εβ∂␈↓ ¬∧␈ε	q␈↓ ¬≠␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈↓ ¬`␈ε	v␈↓ ¬}␈εβ<␈↓ ε*␈εβ∂␈↓ ε+␈ε	q␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εE␈ε	v␈↓ ε`␈ε	b␈↓ π,␈εβ+␈αλ(␈↓ π`␈ε	v␈↓ λ∧␈εβ+␈α	1␈α␈)␈↓ λJ␈ε	b␈↓ 	!␈ε↔␈␈↓ 	K␈ε	v␈↓ 	h␈εβ<␈↓ 
∀␈εβ∂␈↓ 
∃␈ε	q␈↓ 
$␈ε	v␈↓ 
?␈ε	b␈↓ ␈εβ+
␈ββ␈↓ εS␈εε1␈↓ πo␈εε2␈↓ 
3␈εε1
␈β≤␈↓ ↓␈␈εn␈↓ α∂␈ε~␈␈εε2␈↓ αj␈εn␈↓ αz␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧D␈εn␈↓ ∧T␈ε~␈␈εε1␈↓ ε(␈εn␈↓ ε8␈ε~␈␈εε2␈↓ π∪␈εn␈↓ π#␈ε~␈␈εε1␈↓ λc␈εn␈↓ 	G␈εn␈↓ 	X␈ε~␈␈εε1␈↓ 
R␈εn␈↓ 
b␈ε~␈␈εε2
␈β ␈↓ ↓G␈εβ∂␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈ε	v␈↓ ↓r␈ε	b␈↓ α8␈εβ+␈↓ α]␈ε	b␈↓ β#␈ε↔␈␈↓ βG␈ε	v␈↓ βb␈ε↔∀␈↓ ∧␈εβ∂␈↓ ∧
␈ε	q␈↓ ∧≠␈ε	v␈↓ ∧7␈ε	b␈↓ ∧⎇␈εβ+␈α∧(␈↓ ¬-␈ε	b␈↓ ¬9␈εβ∂␈↓ ¬:␈ε	r␈↓ ¬L␈εβ+␈↓ ¬p␈ε	u␈↓ ε⊂␈εβ)␈↓ ε≠␈ε	b␈↓ εa␈εβ+␈↓ πε␈ε	b␈↓ πL␈ε↔␈␈↓ πp␈ε	v␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ6␈ε	u␈↓ λU␈ε	b␈↓ λv␈εβ+␈↓ 	~␈ε	u␈↓ 	:␈ε	b␈↓ 
↓␈εβ+␈↓ 
%␈ε	u␈↓ 
E␈ε	b␈↓ ␈εβ+
␈β+␈↓ ↓e␈εε2␈↓ ∧*␈εε1␈↓ εβ␈εε2␈↓ λI␈εε0␈↓ 	.␈εε1␈↓ 
8␈εε2
␈βD␈↓ ↓U␈εn␈↓ ↓e␈ε~␈␈εε1␈↓ β@␈εn␈↓ ∧2␈εn␈↓ ∧C␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬K␈εn␈↓ ¬[␈ε~␈␈εε2
␈βH␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α∃␈ε↔␈␈↓ α@␈ε	v␈↓ αb␈ε↔∀␈↓ β∪␈ε	u␈↓ β2␈ε	b␈↓ βZ␈εβ+␈↓ ∧¬␈ε	u␈↓ ∧%␈ε	b␈↓ ∧r␈εβ+␈↓ ¬≡␈ε	u␈↓ ¬=␈ε	b␈↓ ε⊃␈ε↔∀␈↓ εB␈ε	u␈↓ εV␈εβ.␈α↔In␈α∂o␈α␈the␈α␈r␈α∂wo␈α␈rds,␈↓ λk␈ε	u␈↓ 	∂␈εβ<␈↓ 	@␈ε	u␈↓ 	T␈εβ,␈α⊂an␈α␈d␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∂is␈α∂a
␈βR␈↓ β&␈εε0␈↓ ∧_␈εε1␈↓ ¬1␈εε2
␈βo␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tra␈α␈diction␈α␈.
␈β≤␈↓ πh␈εn␈↓ πy␈ε~␈␈εε2␈↓ 	)␈εn␈↓ 	:␈ε~␈␈εε1␈↓ 
<␈εn␈↓ 
L␈ε~␈␈εε2
␈β ␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈α∞th␈α␈at␈↓ βT␈ε	u␈↓ βq␈ε↔␈␈↓ ∧≤␈ε	q␈↓ ∧+␈ε	v␈↓ ∧J␈εβ<␈α∂(1␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	3/␈↓ ¬k␈ε	b␈↓ ¬x␈εβ)␈↓ εβ␈ε	v␈↓ ε∀␈εβ;␈α⊂the␈α␈n␈↓ ε{␈εβ∂␈↓ ε|␈ε	q␈↓ π␈εβ(␈↓ π⊗␈ε	v␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ π[␈ε	b␈↓ λ≡␈εβ)␈α∂<␈↓ λf␈εβ∂␈↓ λg␈ε	q␈↓ λv␈εβ(␈↓ 	↓␈ε	v␈↓ 	≤␈ε	b␈↓ 	i␈εβ+␈↓ 
∪␈ε	v␈↓ 
/␈ε	b␈↓ 
r␈εβ)␈ε↔␈α∞∀
␈β+␈↓ 	∂␈εε1␈↓ 
"␈εε2
␈βD␈↓ ↓u␈εn␈↓ αZ␈εn␈↓ αk␈ε~␈␈εε1␈↓ βf␈εn␈↓ βv␈ε~␈␈εε2␈↓ λ¬␈εn␈↓ λ⊗␈ε~␈␈εε2
␈βH␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈ε	b␈↓ α	␈εβ+␈↓ α-␈ε	u␈↓ αM␈ε	b␈↓ β∀␈εβ+␈↓ β9␈ε	u␈↓ βY␈ε	b␈↓ ∧%␈ε↔∀␈↓ ∧P␈ε	u␈↓ ∧d␈εβ;␈α	hen␈α␈ce␈αλ1␈α	=␈↓ ε∀␈εβ∂␈↓ ε∀␈ε	q␈↓ ε'␈ε↔␈␈↓ εL␈ε	q␈↓ εd␈εβ<␈↓ π∞␈ε	u␈↓ π"␈εβ/(␈↓ π>␈ε	v␈↓ πS␈ε↔␈␈↓ πx␈ε	b␈↓ λ;␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ λo␈ε	u␈↓ 	β␈εβ/␈↓ 	∀␈ε	v␈↓ 	)␈εβ+␈α∧1␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈α∧3␈α␈/␈↓ 
(␈ε	b␈↓ 
5␈εβ;␈α
th␈α␈at␈αλis,
␈βR␈↓ ↓[␈εε0␈↓ αA␈εε1␈↓ βL␈εε2
␈β
ε␈↓ ¬↔␈ε↓∩␈↓ ε9␈ε↓∪␈↓ πβ␈ε↓∩␈↓ λ%␈ε↓∪
␈β
	␈↓ ¬←␈εn␈↓ ¬o␈ε~␈␈εε2␈↓ πK␈εn␈↓ π[␈ε~␈␈εε1
␈β

␈↓ ∧3␈εβ3␈↓ ∧␈␈ε	u␈↓ ¬Q␈ε	b␈↓ π=␈ε	b
␈β
#␈↓ ∧Q␈εβ<␈↓ εX␈εβ<␈↓ λ;␈εβ.
␈β
1␈↓ ∧3␈∧
1∧3α⊃␈↓ ∧␈␈∧
1∧␈α∃␈↓ ¬1␈∧
1¬1α↓¬␈↓ π≥␈∧
1π≥α↓¬
␈β
8␈↓ ¬␈␈εn␈↓ ε⊂␈ε~␈␈εε2␈↓ πk␈εn␈↓ π|␈ε~␈␈εε2
␈β
:␈↓ ∧5␈ε	b␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬1␈ε	v␈↓ ¬I␈ε↔␈␈↓ ¬r␈ε	b␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π5␈ε↔␈␈↓ π↑␈ε	b
␈β
{␈↓ βi␈εn␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧Y␈ε~␈␈εε2
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβFina␈α␈ll␈α↓y␈α␈,␈α
th␈α␈erefo␈α␈re,␈↓ β\␈ε	b␈↓ ∧↓␈εβ+␈α	3␈↓ ∧;␈ε	b␈↓ ¬	␈εβ>␈α3␈↓ ¬F␈ε	v␈↓ ¬W␈εβ;␈α
bu␈α␈t␈αthis␈αco␈α␈n␈α␈tra␈α␈dicts␈αth␈α␈e␈αsize␈αof␈↓ 	;␈ε	v␈↓ 	V␈εβ,␈αun␈α␈l␈α↓es␈α␈s␈↓ 
N␈ε	b␈↓ 
f␈ε↔∀␈εβ␈α3␈α␈,
␈β∞
␈↓ 	I␈εε1
␈β∞'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αex␈α}ercise␈αis␈αob␈α␈viou␈α␈sly␈αtru␈α␈e␈αwhen␈↓ ε⊃␈ε	b␈↓ ε(␈ε↔∀␈εβ␈α	3.
␈β∞U␈↓ εw␈εε41
␈β∞X␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	u␈↓ αe␈εβ=␈α
4␈α␈100␈α␈,␈↓ βf␈ε	v␈↓ ∧␈εβ=␈α
5␈α␈88.␈αWe␈α	|rst␈α
tr␈α␈y␈↓ ε#␈εβ∂␈↓ ε$␈ε	q␈↓ ε<␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ π∀␈ε↔c␈εβ␈α	=␈α
8␈α␈,␈αb␈α␈ut␈α	8␈ε↔␈αε↓␈εβ␈αε8␈αλ>␈α
10␈α␈(41␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈αε40)␈α¬+␈αε0␈α	=
␈β∞f␈↓ εw␈∧∞fεwα~
␈β∞h␈↓ ε⎇␈εε5
␈β∂␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈0.␈α∂The␈α␈n␈αw␈α␈e␈α
se␈α␈t␈↓ β@␈εβ∂␈↓ βA␈ε	q␈↓ β[␈εβ=␈α7,␈α
an␈α␈d␈αno␈α}w␈α
w␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α7␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ8␈α<␈α10␈α␈(41␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ35)␈αλ+␈α	0␈α=␈α60.␈α∂Bu␈α␈t␈α
7␈αtime␈α␈s
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈88␈αequ␈α␈als␈α41␈α␈16,␈αso␈αthe␈αtr␈α␈ue␈αq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αis␈↓ ε∩␈ε	q␈↓ ε+␈εβ=␈α6.␈α
(Incid␈α␈en␈α␈ta␈α␈l␈α↓ly␈α␈,␈α
th␈α␈is␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈αsho␈α␈ws␈αtha␈α␈t
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αB␈αc␈α␈an␈α␈not␈αb␈α␈e␈αimpro␈α}v␈α␈ed␈α
un␈α␈der␈αth␈α␈e␈αgiv␈α}en␈αh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses,␈αwhen␈↓ 	~␈ε	b␈↓ 	1␈εβ=␈α	10.)
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβOb␈α␈viou␈α␈sl␈α↓y␈↓ β/␈ε	v␈↓ β@␈ε↔b␈↓ βM␈ε	b␈↓ βZ␈εβ/(␈↓ βv␈ε	v␈↓ ∧⊃␈εβ+␈α
1)␈ε↔c␈εβ␈α∂<␈α∂(␈↓ ¬/␈ε	v␈↓ ¬J␈εβ+␈α
1)␈ε↔b␈↓ ε≡␈ε	b␈↓ ε+␈εβ/␈α␈(␈↓ εG␈ε	v␈↓ εb␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔c␈α∂∀␈εβ␈α⊂(␈↓ λ␈ε	v␈↓ λ≠␈εβ+␈α
1␈α␈)␈↓ λa␈ε	b␈↓ λo␈εβ/␈α␈(␈↓ 	
␈ε	v␈↓ 	%␈εβ+␈α
1)␈α∂=␈↓ 
+␈ε	b␈↓ 
9␈εβ;␈α⊂also␈α∞if
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓g␈ε↔∃␈α∞b␈↓ α#␈ε	b␈↓ α0␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈α∞w␈α␈e␈α
obv␈α␈iou␈α␈sl␈α↓y␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬	␈ε	v␈↓ ¬≠␈ε↔b␈↓ ¬(␈ε	b␈↓ ¬5␈εβ/␈α␈(␈↓ ¬Q␈ε	v␈↓ ¬k␈εβ+␈α	1)␈ε↔c␈α∞∃␈↓ ε{␈ε	v␈↓ π~␈ε↔∃␈α∞b␈↓ πV␈ε	b␈↓ πc␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ.␈α∪F␈α↓in␈α␈all␈α↓y␈α␈,␈α∂a␈α␈ssume␈α
tha␈α␈t␈α∞1␈ε↔␈α
∀
␈β⊂L␈↓ ¬O␈εα(␈↓ π(␈εα)
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓f␈εβ<␈ε↔␈α
b␈↓ α ␈ε	b␈↓ α.␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ.␈α⊃Then␈↓ βO␈ε	v␈↓ βa␈ε↔b␈↓ βn␈ε	b␈↓ β{␈εβ/(␈↓ ∧↔␈ε	v␈↓ ∧1␈εβ+␈α	1␈α␈)␈ε↔␈α↓c␈εβ␈α>␈↓ ¬>␈ε	v␈↓ ¬[␈ε	b␈↓ ¬i␈εβ/␈α␈(␈↓ ε∧␈ε	v␈↓ ε≡␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	1␈↓ π@␈ε↔∃␈↓ πn␈ε	b␈↓ π{␈εβ/2␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α
1␈ε↔␈α∃␈α
b␈↓ 	(␈ε	b␈↓ 	5␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈α	␈␈εβ␈α	1,␈α
beca␈α␈use
␈β⊂t␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ β6␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓e␈ε	b␈↓ ↓r␈εβ/(␈↓ α∞␈ε	v␈↓ α)␈εβ+␈α1␈α␈)␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α
1␈↓ βL␈ε↔␈␈εβ␈α
(␈↓ ∧α␈ε	b␈↓ ∧⊂␈εβ/␈α␈2␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α
1)␈α∂=␈α⊂(␈↓ ¬M␈ε	b␈↓ ¬[␈εβ/␈α␈2␈ε↔␈α
␈␈↓ ε1␈ε	v␈↓ εL␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)(␈↓ π≡␈ε	v␈↓ π:␈ε↔␈␈εβ␈α
1)/␈α␈(␈↓ λ≤␈ε	v␈↓ λ8␈εβ+␈α
1)␈ε↔␈α∂∃␈εβ␈α⊂0.␈α↔Fina␈α␈ll␈α↓y␈α∞since
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈ε↔b␈↓ ↓f␈ε	b␈↓ ↓s␈εβ/(␈↓ α∂␈ε	v␈↓ α(␈εβ+␈απ1)␈ε↔c␈εβ␈α	>␈ε↔␈α
b␈↓ β:␈ε	b␈↓ βG␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈αλ␈␈εβ␈απ1,␈αwe␈α
m␈α␈ust␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ ε≤␈ε	v␈↓ ε.␈ε↔b␈↓ ε;␈ε	b␈↓ εH␈εβ/(␈↓ εd␈ε	v␈↓ ε|␈εβ+␈αλ1)␈ε↔c␈α	∃␈α
b␈↓ λ∂␈ε	b␈↓ λ≤␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα664␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.1
␈βα%␈↓ 	↓␈εε3␈α␈5
␈βα&␈↓ ε␈εε1
␈βα)␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβThe␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αis␈αonly␈↓ ∧k␈εβlog␈↓ ¬&␈εβ2,␈αnot␈↓ ε≤␈εβ.␈α∞(F␈α↓o␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α
if␈↓ λ,␈ε	b␈↓ λD␈εβ=␈↓ λp␈εβ2␈↓ 	~␈εβ,␈αthe␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αis
␈βα7␈↓ ε␈∧α7εα
␈βα8␈↓ ¬⊗␈εb
␈βα9␈↓ ε␈εε2
␈βαM␈↓ β-␈εε1
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ately␈↓ βC␈εβ;␈α
this␈α	is␈α
st␈α␈i␈α↓ll␈α	high␈αλeno␈α␈ugh␈αλto␈α	warra␈α␈n␈α␈t␈α	th␈α␈e␈α	spec␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
te␈α␈st␈α	f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	←␈ε	d␈↓ 	{␈εβ=␈α
1␈αλi␈α↓n␈αλstep␈α␈s
␈βα←␈↓ β&␈∧α←β&α~
␈βαa␈↓ β&␈εε35
␈βαx␈↓ ↓H␈εβD1␈α
an␈α␈d␈αD8.)
␈ββL␈↓ β=␈ε∃ENT␈α␈A␈↓ ∧9␈ε∃1
␈ββO␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α↔␈ε	00␈α␈2␈↓ εd␈εβ1
␈ββs␈↓ β=␈ε∃ADD␈↓ ∧9␈ε∃V+1
␈ββv␈↓ α↔␈ε	00␈α␈3␈↓ εd␈εβ1
␈β∧≠␈↓ β=␈ε∃STA␈↓ ∧9␈ε∃TEM␈α␈P
␈β∧≡␈↓ α↔␈ε	00␈α␈4␈↓ εd␈εβ1
␈β∧B␈↓ β=␈ε∃ENT␈α␈A␈↓ ∧9␈ε∃1
␈β∧E␈↓ α↔␈ε	00␈α␈5␈↓ εd␈εβ1
␈β∧j␈↓ β=␈ε∃JOV␈↓ ∧9␈ε∃1F
␈β∧m␈↓ α↔␈ε	00␈α␈6␈↓ εd␈εβ1␈↓ π\␈εβJu␈α␈mp␈αif␈↓ λX␈ε	v␈↓ λ⎇␈εβ=␈↓ 	'␈ε	b␈↓ 	<␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.
␈β∧x␈↓ λg␈εε1
␈β¬∩␈↓ β=␈ε∃ENT␈α␈X␈↓ ∧9␈ε∃0
␈β¬∃␈↓ α↔␈ε	00␈α␈7␈↓ εd␈εβ1
␈β¬9␈↓ β=␈ε∃DIV␈↓ ∧9␈ε∃TEM␈α␈P
␈β¬<␈↓ α↔␈ε	00␈α␈8␈↓ εd␈εβ1␈↓ π\␈εβOthe␈α␈rwi␈α↓se␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ 
↓␈ε	b␈↓ 
∞␈εβ/(␈↓ 
*␈ε	v␈↓ 
L␈εβ+␈αλ1).
␈β¬G␈↓ 
8␈εε1
␈β¬a␈↓ β=␈ε∃JOV␈↓ ∧9␈ε∃DIV␈α␈BYZE␈α␈RO
␈β¬d␈↓ α↔␈ε	00␈α␈9␈↓ εd␈εβ1␈↓ π\␈εβJu␈α␈mp␈αif␈↓ λX␈ε	v␈↓ λ⎇␈εβ=␈α	0.
␈β¬n␈↓ λg␈εε1
␈βελ␈↓ αj␈ε∃1H␈↓ β=␈ε∃STA␈↓ ∧9␈ε∃D
␈βε␈↓ α↔␈ε	01␈α␈0␈↓ εd␈εβ1
␈βε0␈↓ β=␈ε∃DEC␈α␈A␈↓ ∧9␈ε∃1
␈βε3␈↓ α↔␈ε	01␈α␈1␈↓ εd␈εβ1
␈βεX␈↓ β=␈ε∃JAN␈α␈Z␈↓ ∧9␈ε∃*+3
␈βε[␈↓ α↔␈ε	01␈α␈2␈↓ εd␈εβ1␈↓ π\␈εβJu␈α␈mp␈αif␈↓ λX␈ε	d␈↓ λt␈ε↔≤␈εβ␈α
1␈α␈.
␈βε␈␈↓ β=␈ε∃STZ␈↓ ∧9␈ε∃U
␈βπα␈↓ α↔␈ε	01␈α␈3␈↓ εA␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ π↓␈ε	A
␈βπ'␈↓ β=␈ε∃JMP␈↓ ∧9␈ε∃D2
␈βπ*␈↓ α↔␈ε	01␈α␈4␈↓ εA␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ π↓␈ε	A
␈βπN␈↓ β=␈ε∃ENT␈α␈1␈↓ ∧9␈ε∃N
␈βπQ␈↓ α↔␈ε	01␈α␈5␈↓ εa␈ε	A␈↓ π\␈εβMu␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈↓ λe␈ε	v␈↓ 	α␈εβb␈α␈y␈↓ 	2␈ε	d␈↓ 	D␈εβ.
␈βπv␈↓ β=␈ε∃ENT␈α␈X␈↓ ∧9␈ε∃0
␈βπy␈↓ α↔␈ε	01␈α␈6␈↓ εa␈ε	A
␈βλ≡␈↓ αj␈ε∃2H␈↓ β=␈ε∃STX␈↓ ∧9␈ε∃CAR␈α␈RY
␈βλ!␈↓ α↔␈ε	01␈α␈7␈↓ εR␈ε	A␈↓ εh␈ε	N
␈βλE␈↓ β=␈ε∃LDA␈↓ ∧9␈ε∃V,1
␈βλH␈↓ α↔␈ε	01␈α␈8␈↓ εR␈ε	A␈↓ εh␈ε	N
␈βλm␈↓ β=␈ε∃MUL␈↓ ∧9␈ε∃D
␈βλp␈↓ α↔␈ε	01␈α␈9␈↓ εR␈ε	A␈↓ εh␈ε	N
␈β	↔␈↓ α"␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π\␈εβ(as␈αin␈αex␈α}ercise␈α13␈α␈)
␈β	<␈↓ β=␈ε∃J1P␈↓ ∧9␈ε∃2B
␈β	?␈↓ α↔␈ε	02␈α␈6␈↓ εR␈ε	A␈↓ εh␈ε	N
␈β	d␈↓ β=␈ε∃ENT␈α␈1␈↓ ∧9␈ε∃M+N
␈β	g␈↓ α↔␈ε	02␈α␈7␈↓ εa␈ε	A␈↓ π\␈εβ(No␈α␈w␈↓ λ4␈εβrX␈↓ λb␈εβ=␈α
0.)
␈β
␈↓ αj␈ε∃2H␈↓ β=␈ε∃STX␈↓ ∧9␈ε∃CAR␈α␈RY
␈β
∞␈↓ α↔␈ε	02␈α␈8␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈εβ(␈↓ ε>␈ε	M␈↓ εh␈εβ+␈↓ π⊃␈ε	N␈↓ π0␈εβ)␈↓ π\␈εβMu␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈↓ λe␈ε	u␈↓ 	∧␈εβby␈↓ 	4␈ε	d␈↓ 	G␈εβ.
␈β
3␈↓ β=␈ε∃LDA␈↓ ∧9␈ε∃U,1
␈β
6␈↓ α↔␈ε	02␈α␈9␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈εβ(␈↓ ε>␈ε	M␈↓ εh␈εβ+␈↓ π⊃␈ε	N␈↓ π0␈εβ)
␈β
]␈↓ α"␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π\␈εβ(as␈αin␈αex␈α}ercise␈α13␈α␈)
␈βα␈↓ β=␈ε∃J1P␈↓ ∧9␈ε∃2B
␈β¬␈↓ α↔␈ε	03␈α␈7␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈εβ(␈↓ ε>␈ε	M␈↓ εh␈εβ+␈↓ π⊃␈ε	N␈↓ π0␈εβ)
␈β*␈↓ β=␈ε∃STX␈↓ ∧9␈ε∃U
␈β-␈↓ α↔␈ε	03␈α␈8␈↓ εa␈ε	A
␈β/␈↓ λ↓␈∧/λ↓≠∂
␈βv␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ(Se␈α␈e␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
of␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α16.)
␈βJ␈↓ αj␈ε∃D8␈↓ β=␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧9␈ε∃D
␈βM␈↓ α↔␈ε	1␈α␈01␈↓ ε/␈εβ1␈↓ εs␈εβ(Rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αwill␈αbe␈αleft␈αin␈αloca␈α␈-
␈βq␈↓ β=␈ε∃DE␈α␈CA␈↓ ∧9␈ε∃1␈↓ λ
␈ε∃U␈α␈+M+␈α␈1␈↓ 	⎇␈ε∃U+␈α␈M+N
␈βt␈↓ α↔␈ε	1␈α␈02␈↓ ε/␈εβ1␈↓ π;␈εβtions␈↓ λ␈␈εβthro␈α␈ug␈α␈h␈↓ 
d␈εβ)
␈β
→␈↓ β=␈ε∃JA␈α␈Z␈↓ ∧9␈ε∃DO␈α␈NE
␈β
≤␈↓ α↔␈ε	1␈α␈03␈↓ ε/␈εβ1␈↓ εs␈εβTermin␈α␈ate␈αif␈↓ λ5␈ε	d␈↓ λQ␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β
@␈↓ β=␈ε∃EN␈α␈N1␈↓ ∧9␈ε∃N
␈β
C␈↓ α↔␈ε	1␈α␈04␈↓ ε,␈ε	A␈↓ εs␈εβrI␈↓ π␈εβ1␈ε↔␈α	⊃␈↓ πP␈ε	j␈↓ πf␈ε↔␈␈↓ λ∂␈ε	n␈↓ λ*␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈;␈↓ λx␈ε	j␈↓ 	⊂␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈.
␈β
h␈↓ β=␈ε∃EN␈α␈TA␈↓ ∧9␈ε∃0
␈β
k␈↓ α↔␈ε	1␈α␈05␈↓ ε,␈ε	A␈↓ εs␈ε	r␈↓ π␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β∞⊂␈↓ αj␈ε∃1H␈↓ β=␈ε∃LD␈α␈X␈↓ ∧9␈ε∃U+␈α␈M+N+␈α␈1,1
␈β∞∪␈↓ α↔␈ε	1␈α␈06␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈ε	N␈↓ εs␈εβrAX␈↓ π9␈ε↔ ␈↓ πd␈ε	r␈↓ πs␈ε	b␈↓ λπ␈εβ+␈↓ λ0␈ε	u␈↓ 	␈εβ.
␈β∞≥␈↓ λC␈εm␈↓ λZ␈εε+␈↓ λt␈εj
␈β∞7␈↓ β=␈ε∃DI␈α␈V␈↓ ∧9␈ε∃D
␈β∞:␈↓ α↔␈ε	1␈α␈07␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈ε	N
␈β∞←␈↓ β=␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧9␈ε∃U+␈α␈M+N+␈α␈1,1
␈β∞b␈↓ α↔␈ε	1␈α␈08␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈ε	N
␈β∂ε␈↓ β=␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧9␈ε∃5
␈β∂	␈↓ α↔␈ε	1␈α␈09␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈ε	N␈↓ εs␈ε	r␈↓ π␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ πA␈ε	r␈↓ πO␈ε	b␈↓ πd␈εβ+␈↓ λ
␈ε	u␈↓ λb␈εβmo␈α␈d␈↓ 	&␈ε	d␈↓ 	9␈εβ.
␈β∂∀␈↓ λ ␈εm␈↓ λ7␈εε+␈↓ λP␈εj
␈β∂.␈↓ β=␈ε∃IN␈α␈C2␈↓ ∧9␈ε∃1
␈β∂1␈↓ α↔␈ε	1␈α␈10␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈ε	N␈↓ εs␈ε	j␈↓ π␈ε↔ ␈↓ π6␈ε	j␈↓ πL␈εβ+␈αλ1.
␈β∂V␈↓ β=␈ε∃J2␈α␈N␈↓ ∧9␈ε∃1B
␈β∂Y␈↓ α↔␈ε	1␈α␈11␈↓ ε≥␈ε	A␈↓ ε3␈ε	N␈↓ εs␈εβRep␈α␈eat␈αfor␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ]␈ε	j␈↓ λu␈ε↔∀␈↓ 	 ␈ε	n␈↓ 	4␈εβ.
␈β∂[␈↓ 	b␈∧∂[	b≠∂
␈β⊂3␈↓ ↓H␈εβAt␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
p␈α␈oin␈α␈t,␈α
the␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈ision␈α
ro␈α␈utine␈α
is␈α
com␈α␈plete;␈α
an␈α␈d␈α
by␈α	the␈α
n␈α␈ext␈α
ex␈α}ercise,␈α
register␈α
AX␈α
is
␈β⊂[␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero.
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβIt␈αis␈↓ αP␈ε	d␈↓ αc␈ε	u␈↓ α⎇␈εβm␈α␈od␈↓ βA␈ε	d␈↓ βS␈ε	v␈↓ βn␈εβ=␈↓ ∧→␈ε	d␈↓ ∧+␈εβ(␈↓ ∧6␈ε	u␈↓ ∧P␈εβm␈α␈od␈↓ ¬∀␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα665
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβFor␈α
con␈α}v␈α␈en␈α␈ienc␈α␈e,␈α∞l␈α↓e␈α␈t␈α∞u␈α␈s␈α
assu␈α␈me␈α
tha␈α␈t␈↓ ε/␈ε	v␈↓ εM␈εβhas␈α
a␈α
d␈α␈ecimal␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
at␈α
the␈α
left,␈α∞i.␈α↓e␈α␈.␈α↓,␈↓ 
m␈ε	v␈↓ ␈εβ=
␈βαO␈↓ ¬a␈εε1
␈βαS␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	v␈↓ ↓n␈εβ.␈↓ ↓w␈ε	v␈↓ α∪␈ε	v␈↓ α3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α`␈εβ)␈↓ αv␈εβ.␈αAfter␈αstep␈αN␈α␈1␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬z␈ε↔∀␈↓ ε%␈ε	v␈↓ ε?␈εβ<␈α
1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈↓ πL␈ε	b␈↓ πY␈εβ:␈αf␈α↓o␈α␈r
␈βα]␈↓ ↓a␈εε0␈↓ αε␈εε1␈↓ α!␈εε2␈↓ αk␈εb
␈βαa␈↓ ¬a␈∧αa¬aα
␈βαc␈↓ ¬a␈εε2
␈ββ␈↓ βg␈ε↓⊗␈↓ ∧[␈ε↓↔
␈ββ∩␈↓ ∧α␈ε	b␈↓ ∧↔␈εβ+␈απ1␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε	b␈↓ ¬S␈εβ+␈αλ1)␈↓ εc␈ε	v␈↓ εu␈εβ(1␈απ+␈απ1/␈↓ πb␈ε	b␈↓ πo␈εβ)␈↓ 	ε␈εβ1
␈ββ(␈↓ βP␈ε	v␈↓ ∧t␈ε↔∀␈↓ ε%␈εβ=␈↓ λ↔␈εβ<␈α
1␈απ+␈↓ 	~␈εβ,
␈ββ6␈↓ β{␈∧β6β{α]␈↓ ¬"␈∧β6¬"αv␈↓ εS␈∧β6εSα↓7␈↓ 	ε␈∧β6	εα⊃
␈ββ?␈↓ β{␈ε	v␈↓ ∧≡␈εβ+␈απ1␈↓ ¬/␈ε	v␈↓ ¬R␈εβ+␈απ1␈↓ εS␈εβ(1/␈↓ ε␈␈ε	b␈↓ π
␈εβ)(␈↓ π#␈ε	v␈↓ πF␈εβ+␈απ1)␈↓ 	λ␈ε	b
␈ββJ␈↓ ∧
␈εε1␈↓ ¬>␈εε1␈↓ π2␈εε1
␈ββe␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd
␈β∧␈↓ βg␈ε↓⊗␈↓ ∧[␈ε↓↔
␈β∧ε␈↓ ∧α␈ε	b␈↓ ∧↔␈εβ+␈απ1␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε	b␈↓ ¬S␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε=␈ε	v␈↓ εX␈εβ)␈↓ π≡␈εβ1␈↓ π7␈ε	v␈↓ πR␈εβ(␈↓ π]␈ε	b␈↓ πr␈εβ+␈απ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ[␈ε	v␈↓ λv␈εβ)
␈β∧⊂␈↓ εL␈εε1␈↓ πE␈εε1␈↓ λj␈εε1
␈β∧≤␈↓ βP␈ε	v␈↓ ∧t␈ε↔∃␈↓ εp␈ε↔∃␈↓ 	¬␈εβ.
␈β∧*␈↓ β{␈∧∧*β{α]␈↓ ¬"␈∧∧*¬"α↓A␈↓ π≡␈∧∧*π≡α⊃␈↓ π7␈∧∧*π7α↓K
␈β∧4␈↓ β{␈ε	v␈↓ ∧≡␈εβ+␈απ1␈↓ ¬U␈ε	v␈↓ ¬w␈εβ+␈αλ1␈↓ π ␈ε	b␈↓ πn␈ε	v␈↓ λ⊃␈εβ+␈απ1
␈β∧>␈↓ ∧
␈εε1␈↓ ¬c␈εε1␈↓ π⎇␈εε1
␈β∧n␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αlatter␈αq␈α␈uan␈α}tity␈αtak␈α}es␈αits␈αsmallest␈αva␈α␈lue␈αwh␈α␈en␈↓ π!␈ε	v␈↓ πF␈εβ=␈α	1,␈αsince␈αit␈αis␈αa␈αcon␈α}v␈α␈ex␈α
fun␈α␈ction
␈β∧y␈↓ π0␈εε1
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αo␈α␈ther␈αe␈α␈xtrem␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αis␈αgrea␈α␈ter.
␈β¬=␈↓ α␈εβThe␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈αin␈α
step␈αN2␈α
may␈α
be␈αwritten
␈β¬s␈↓ ¬␈␈ε↓⊗␈↓ πλ␈ε↓↔
␈β¬y␈↓ ε∪␈ε	b␈↓ ε ␈εβ(␈↓ ε+␈ε	b␈↓ ε@␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ π≤␈ε	v
␈βε∂␈↓ ¬:␈ε	v␈↓ ¬U␈ε↔ ␈↓ π1␈εβ,
␈βε≥␈↓ ε∪␈∧ε≥ε∪αr␈↓ π≤␈∧ε≥π≤α∩
␈βε'␈↓ ε≡␈ε	v␈↓ ε@␈εβ+␈αλ1␈↓ π≡␈ε	b
␈βε2␈↓ ε,␈εε1
␈βεc␈↓ ↓H␈εβso␈α
w␈α␈e␈αsee␈αas␈αa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧&␈ε	v␈↓ ∧C␈εβwill␈αn␈α␈ev␈α}er␈αbec␈α␈ome␈ε↔␈α∃␈εβ␈α	1␈απ+␈αλ1/␈↓ π↑␈ε	b␈↓ πl␈εβ.
␈βπ␈↓ α␈εβThe␈α
minim␈α␈um␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ ∧e␈ε	v␈↓ ¬α␈εβa␈α␈fter␈αon␈α␈e␈αiteration␈α
of␈αstep␈α
N2␈αis␈ε↔␈α∃
␈βπA␈↓ ↓e␈ε↓∩␈↓ β?␈ε↓∪␈↓ ∧"␈ε↓∩␈↓ ¬|␈ε↓∪␈↓ εi␈ε↓∩␈↓ λt␈ε↓∪␈↓ 	
␈ε↓∩␈↓ 	t␈ε↓∪
␈βπG␈↓ ↓␈␈ε	b␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	b␈↓ α,␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ β ␈ε	v␈↓ βY␈ε	v␈↓ ∧<␈ε	b␈↓ ∧I␈εβ(␈↓ ∧T␈ε	b␈↓ ∧i␈εβ+␈απ1)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬]␈ε	v␈↓ ε⊗␈ε	v␈↓ πα␈ε	b␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	b␈↓ π/␈εβ+␈αλ1)␈απ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λe␈ε	t␈↓ 	$␈ε	t␈↓ 	7␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βπR␈↓ β/␈εε1␈↓ ¬l␈εε1␈↓ ε%␈εε1
␈βπ]␈↓ βw␈ε↔∃␈↓ ε>␈εβ=
␈βπk␈↓ ↓␈␈∧πk↓␈α↓=␈↓ βY␈∧πkβYα∩␈↓ ∧<␈∧πk∧<α↓=␈↓ ε⊗␈∧πkε⊗α≤␈↓ πα␈∧πkπαα↓o␈↓ 	$␈∧πk	$αM
␈βπr␈↓ ε$␈εε2␈↓ 	K␈εε2
␈βπu␈↓ α/␈ε	v␈↓ αR␈εβ+␈αλ1␈↓ β[␈ε	b␈↓ ∧l␈ε	v␈↓ ¬∂␈εβ+␈απ1␈↓ ε↔␈ε	b␈↓ πs␈ε	t␈↓ 	=␈ε	b
␈βπ␈␈↓ α>␈εε1␈↓ ∧{␈εε1
␈βλ&␈↓ λd␈ε↓∩␈↓ 
p␈ε↓∪
␈βλ,␈↓ π-␈εβ1␈↓ πz␈εβ2␈↓ λK␈εβ1␈↓ 	:␈ε	b␈↓ 	G␈εβ(␈↓ 	R␈ε	b␈↓ 	g␈εβ+␈απ1)␈αλ+␈απ1
␈βλB␈↓ ε>␈εβ=␈α
1␈απ+␈↓ πI␈εβ+␈↓ λ~␈ε↔␈␈↓ λz␈ε	t␈↓ 	
␈εβ+␈↓ ε␈εβ,
␈βλP␈↓ π-␈∧λPπ-α⊃␈↓ πu␈∧λPπuα~␈↓ λG␈∧λPλGα~␈↓ 	:␈∧λP	:α↓3
␈βλW␈↓ λα␈εε2␈↓ λT␈εε2
␈βλZ␈↓ π/␈ε	b␈↓ πu␈ε	b␈↓ λG␈ε	b␈↓ 

␈ε	t
␈β	⊗␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓i␈ε	t␈↓ α␈εβ=␈↓ α-␈ε	v␈↓ αQ␈εβ+␈α	1␈α␈.␈α⊂The␈αminim␈α␈u␈α␈m␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αqu␈α␈an␈α␈tity␈αoc␈α␈curs␈αfor␈↓ λ∂␈ε	t␈↓ λ'␈εβ=␈↓ λT␈ε	b␈↓ λa␈εβ/2␈αλ+␈α	1␈α␈;␈α∞a␈αl␈α↓o␈α}w␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd
␈β	 ␈↓ α<␈εε1
␈β	=␈↓ ↓H␈εβis␈α⊂1␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α3␈α␈/2␈↓ αg␈ε	b␈↓ αt␈εβ.␈α~Hen␈α␈ce␈↓ β}␈ε	v␈↓ ∧*␈ε↔∃␈↓ ∧]␈ε	b␈↓ ∧t␈ε↔␈␈εβ␈α2,␈α⊃after␈α⊂o␈α␈ne␈α∂i␈α↓te␈α␈ration␈α∂of␈α⊂step␈α∂N2␈α␈.␈α~Fi␈α↓n␈α␈ally,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂h␈α␈av␈α␈e
␈β	H␈↓ ∧␈εε1
␈β	a␈↓ β←␈εε2
␈β	e␈↓ ↓H␈εβ(1␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ3␈α␈/2␈↓ αC␈ε	b␈↓ αQ␈εβ)(1␈αε+␈απ1␈α␈/␈↓ βG␈ε	b␈↓ βT␈εβ)␈↓ βu␈εβ>␈α
1␈α␈,␈αwhe␈α␈n␈↓ ¬~␈ε	b␈↓ ¬1␈ε↔∃␈εβ␈α	5,␈αso␈α
a␈α␈t␈αm␈α␈ost␈α
t␈α␈wo␈α
m␈α␈ore␈α
iteration␈α␈s␈α
are␈α
ne␈α␈ede␈α␈d.␈αThe
␈β

␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssertion␈α
i␈α↓s␈αe␈α␈asil␈α↓y␈α
v␈α␈eri|␈α␈ed␈αwh␈α␈en␈↓ ¬≥␈ε	b␈↓ ¬3␈εβ<␈α
5␈α␈.
␈β
=␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβTrue␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈α(␈↓ βC␈ε	u␈↓ βh␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∀␈ε	u␈↓ ∧]␈εβ)␈↓ ∧|␈εβ<␈↓ ¬'␈ε	v␈↓ ¬8␈εβ.
␈β
G␈↓ βV␈εj␈↓ ∧'␈εj␈↓ ∧3␈εε+␈↓ ∧M␈εn␈↓ ∧h␈εb
␈β
m␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβIn␈α∞Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈ms␈α∞A␈α∞an␈α␈d␈α∞S␈↓ ∧d␈εβ,␈α∂su␈α␈ch␈α∞o␈α␈v␈α}erlap␈α
i␈α↓s␈α∞p␈α␈ossible␈α∞if␈α∞the␈α∞alg␈α␈orithm␈α␈s␈α∂a␈α␈re␈α∞rewritten
␈β∀␈↓ ↓H␈εβsligh␈α}tl␈α↓y␈α␈;␈α∞e.g.,␈α∞i␈α↓n␈αAlgorith␈α␈m␈α
A␈↓ ∧t␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
cou␈α␈l␈α↓d␈αrewrite␈α
step␈αA2␈α
th␈α␈u␈α␈s:␈α⊂\␈α␈Set␈↓ 	-␈ε	t␈↓ 	E␈ε↔ ␈↓ 	s␈ε	u␈↓ 
≠␈εβ+␈↓ 
E␈ε	v␈↓ 
i␈εβ+␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β∨␈↓ 
ε␈εj␈↓ 
T␈εj
␈β<␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓s␈ε↔ ␈↓ α≡␈ε	t␈↓ α/␈εβmo␈α␈d␈↓ αs␈ε	b␈↓ β↓␈εβ,␈↓ β∃␈ε	k␈↓ β/␈ε↔ ␈α	b␈↓ βf␈ε	t␈↓ βr␈εβ/␈↓ ∧β␈ε	b␈↓ ∧⊂␈ε↔c␈εβ."
␈βG␈↓ ↓↑␈εj
␈βd␈↓ α␈εβIn␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
M␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧¬␈ε	v␈↓ ∧*␈εβmay␈α
be␈α
in␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αloc␈α␈ation␈α
as␈↓ πy␈ε	w␈↓ λ≠␈εβ.␈αIn␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
D␈↓ 
⊂␈εβ,␈αit␈αis␈αmos␈α␈t
␈βn␈↓ ∧∀␈εj␈↓ λ∂␈εj
␈β␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈v␈α}enien␈α}t␈α
(as␈α
in␈α
Prog␈α␈ram␈α
D␈↓ ∧d␈εβ,␈αex␈α}ercise␈α
26␈α␈)␈α
to␈α
let␈↓ ε␈␈ε	r␈↓ π≥␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πI␈ε	r␈↓ πp␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
same␈α	as␈↓ 	M␈ε	u␈↓ 
#␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
O␈ε	u␈↓ #␈εβ;
␈β⊗␈↓ π␈εε1␈↓ πU␈εn␈↓ 	`␈εm␈↓ 	x␈εε+1␈↓ 
b␈εm␈↓ 
z␈εε+␈↓ ∪␈εn
␈β3␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αw␈α␈e␈αcan␈αalso␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧
␈ε	q␈↓ ∧)␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧U␈ε	q␈↓ ¬∧␈εβth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αa␈α␈s␈↓ ε;␈ε	u␈↓ ε`␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈ε	u␈↓ π7␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈vid␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈αn␈α␈o␈αa␈α␈l␈α↓te␈α␈ration␈αof␈↓ 
␈ε	u
␈β=␈↓ ∧⊗␈εε0␈↓ ∧a␈εm␈↓ εN␈εε0␈↓ π ␈εm␈↓  ␈εj
␈βW␈↓ 	F␈ε∃J1␈α␈P␈α∃2␈α␈B
␈βZ␈↓ ↓H␈εβis␈α
m␈α␈ade␈α	i␈α↓n␈α	step␈α	D6.␈α(Line␈α	098␈α	of␈α
Prog␈α␈ram␈α
D␈α	can␈α	safely␈α	be␈α	cha␈α␈nge␈α␈d␈α
to␈α	\␈↓ 
B␈εβ",␈α
since
␈β
α␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓r␈εβisn't␈αu␈α␈sed␈αin␈αth␈α␈e␈αsu␈α␈bseq␈α␈uen␈α}t␈αcalcu␈α␈lation␈α␈.␈α↓)
␈β

␈↓ ↓[␈εj
␈β
2␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβCon␈α␈sider␈αthe␈αsitua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈α
Fig.␈α
6␈αwi␈α↓t␈α␈h␈↓ ε;␈ε	u␈↓ ε[␈εβ=␈α(␈↓ π∪␈ε	u␈↓ π2␈ε	u␈↓ π|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ)␈ε	u␈↓ λr␈εβ)␈↓ 	⊗␈εβas␈αin␈α
Algo␈α␈rithm␈αD␈↓ #␈εβ.
␈β
=␈↓ π&␈εj␈↓ πE␈εj␈↓ πQ␈εε+1␈↓ λ<␈εj␈↓ λH␈εε+␈↓ λa␈εn␈↓ λ⎇␈εε3
␈β
Z␈↓ ↓H␈εβIf␈α
the␈α
lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
no␈α␈nze␈α␈ro␈α∞d␈α␈igits␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬!␈ε	u␈↓ ¬B␈εβan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	v␈↓ ε$␈εβha␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞sign␈α␈,␈α∞set␈↓ 	∞␈ε	r␈↓ 	)␈ε↔ ␈↓ 	X␈ε	u␈↓ 	u␈ε↔␈␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
1␈εβ,␈↓ 
H␈ε	q␈↓ 
d␈ε↔ ␈εβ␈α∞1␈α␈;
␈β∞↓␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α	set␈↓ β
␈ε	r␈↓ β%␈ε↔ ␈↓ βO␈ε	u␈↓ βi␈εβ+␈↓ ∧⊂␈ε	v␈↓ ∧"␈εβ,␈↓ ∧5␈ε	q␈↓ ∧M␈ε↔ ␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α␈.␈αNo␈α␈w␈α
if␈ε↔␈α
j␈↓ ε0␈ε	r␈↓ ε?␈ε↔j␈εβ␈α	>␈ε↔␈α
j␈↓ π¬␈ε	u␈↓ π→␈ε↔j␈εβ,␈αo␈α␈r␈α
i␈α↓f␈ε↔␈α
j␈↓ λ¬␈ε	r␈↓ λ∪␈ε↔j␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	j␈↓ λZ␈ε	u␈↓ λn␈ε↔j␈εβ␈α
a␈α␈nd␈α	the␈α	|rst␈α
n␈α␈on␈α␈zero
␈β∞)␈↓ ↓H␈εβd␈α␈igit␈α
o␈α␈f␈↓ α?␈ε	u␈↓ β3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β←␈ε	u␈↓ ∧@␈εβh␈α␈as␈α
t␈α␈he␈αsame␈αsign␈αa␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈αof␈↓ 	q␈ε	r␈↓ 
␈εβ,␈α
set␈↓ 
K␈ε	q␈↓ 
f␈ε↔ ␈εβ␈α0␈α␈;
␈β∞3␈↓ αR␈εj␈↓ α↑␈εε+␈↓ αw␈εn␈↓ βλ␈εε+1␈↓ βs␈εm␈↓ ∧
␈εε+␈↓ ∧#␈εn
␈β∞P␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈αse␈α␈t␈↓ β∂␈ε	u␈↓ β4␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈ε	u␈↓ ∧4␈εβequ␈α␈al␈αto␈αth␈α␈e␈αdigits␈αof␈↓ εo␈ε	r␈↓ ε⎇␈εβ.
␈β∞[␈↓ β#␈εj␈↓ βt␈εj␈↓ ∧␈εε+␈↓ ∧→␈εn
␈β∂␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβValu␈α␈es␈α
to␈α	100␈α␈0␈α
d␈α␈ecima␈α␈l␈α
and␈α	1␈α␈100␈α	octa␈α␈l␈α
plac␈α␈es␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α	be␈α␈en␈α	comp␈α␈ute␈α␈d␈α
b␈α␈y␈α	R.␈α
P␈α↓.␈α
Bren␈α}t,
␈β∂(␈↓ ↓H␈εβCo␈α␈mp␈α␈.␈αCe␈α␈n␈α␈tre␈αTech␈α␈.␈αRep.␈α47␈α
(Can␈α␈b␈α␈erra␈α␈:␈αAu␈α␈stralian␈αNa␈α␈t.␈αU␈α↓n␈α␈iv.,␈α197␈α␈5).
␈β∂T␈↓ β)␈εe
␈β∂X␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	d␈↓ αj␈εβ=␈↓ β_␈εβ2␈↓ βA␈εβso␈αtha␈α␈t␈↓ ∧5␈ε	b␈↓ ∧O␈εβ>␈↓ ∧⎇␈ε	d␈↓ ¬⊂␈ε	v␈↓ ¬8␈ε↔∃␈↓ ¬e␈ε	b␈↓ ¬s␈εβ/␈α␈2.␈α⊃Instea␈α␈d␈α
of␈α
n␈α␈orma␈α␈l␈α↓izin␈α␈g␈↓ 	¬␈ε	u␈↓ 	&␈εβan␈α␈d␈↓ 	i␈ε	v␈↓ 
π␈εβi␈α↓n␈αstep␈α
D1␈α␈,
␈β∂c␈↓ ¬≡␈εε1
␈β∂|␈↓ ε∂␈ε~0␈↓ ε-␈ε~0␈↓ ε|␈εe
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈ly␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α
the␈α
t␈α␈wo␈α
lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
digits␈↓ ¬}␈ε	v␈↓ ε≤␈ε	v␈↓ εE␈εβo␈α␈f␈↓ εk␈εβ2␈↓ ππ␈εβ(␈↓ π∩␈ε	v␈↓ π-␈ε	v␈↓ πH␈ε	v␈↓ πd␈εβ)␈↓ λ∧␈εβby␈α
shifting␈α
left␈↓ 	g␈ε	e␈↓ 	␈␈εβb␈α␈i␈α↓ts.␈αIn␈α
step
␈β⊂
␈↓ π ␈εε1␈↓ π<␈εε2␈↓ πW␈εε3␈↓ πo␈εb
␈β⊂∂␈↓ ε∂␈εε1␈↓ ε-␈εε2
␈β⊂#␈↓ αZ␈ε~0␈↓ βπ␈ε~0␈↓ ε¬␈ε~0␈↓ ε4␈ε~0␈↓ πλ␈ε~0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβD3␈α␈,␈αu␈α␈se␈α
(␈↓ αI␈ε	v␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈ε	v␈↓ β∀␈εβ)␈α
inste␈α␈ad␈α
o␈α␈f␈α
(␈↓ ∧L␈ε	v␈↓ ∧g␈εβ,␈↓ ∧v␈ε	v␈↓ ¬⊃␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
(␈↓ ¬q␈ε	u␈↓ ε⊃␈εβ,␈↓ ε ␈ε	u␈↓ εf␈εβ,␈↓ εt␈ε	u␈↓ π:␈εβ)␈α
i␈α↓n␈α␈stead␈α	of␈α
(␈↓ λr␈ε	u␈↓ 	⊃␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	u␈↓ 	e␈εβ,␈↓ 	t␈ε	u␈↓ 
9␈εβ),␈α
where
␈β⊂2␈↓ ∧Z␈εε1␈↓ ¬∧␈εε2␈↓ 	¬␈εj␈↓ 	3␈εj␈↓ 	?␈εε+1␈↓ 
π␈εj␈↓ 
∪␈εε+2
␈β⊂6␈↓ αZ␈εε1␈↓ βπ␈εε2␈↓ ε¬␈εj␈↓ ε4␈εj␈↓ ε@␈εε+1␈↓ πλ␈εj␈↓ π∃␈εε+2
␈β⊂K␈↓ αj␈ε~0␈↓ β
␈ε~0␈↓ βP␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈↓ αV␈ε	u␈↓ αv␈ε	u␈↓ β<␈ε	u␈↓ ∧
␈εβa␈α␈re␈αλob␈α␈taine␈α␈d␈αλfrom␈αλ(␈↓ ε≤␈ε	u␈↓ ε;␈ε	u␈↓ π␈ε	u␈↓ πE␈ε	u␈↓ λ
␈εβ)␈↓ λ(␈εβb␈α␈y␈αλshifting␈απl␈α↓e␈α␈ft␈↓ 
β␈ε	e␈↓ 
_␈εβb␈α␈its.␈αO␈α␈mit
␈β⊂Z␈↓ ε/␈εj␈↓ εN␈εj␈↓ εZ␈εε+1␈↓ π∪␈εj␈↓ π∨␈εε+2␈↓ πX␈εj␈↓ πd␈εε+3␈↓ λ∃␈εb
␈β⊂↑␈↓ αj␈εj␈↓ β
␈εj␈↓ β⊗␈εε+1␈↓ βP␈εj␈↓ β\␈εε+2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈αλb␈α␈y␈↓ αn␈ε	d␈↓ β	␈εβin␈αλstep␈αλD8.␈α
(In␈αλessen␈α␈ce,␈↓ ¬Z␈ε	u␈↓ ¬v␈εβan␈α␈d␈↓ ε4␈ε	v␈↓ εN␈εβare␈αλb␈α␈ei␈α↓n␈α␈g␈αλ\v␈α␈i␈α↓r␈α␈tually"␈αλsh␈α␈ifted.␈α
This␈αλmeth␈α␈od
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈v␈α␈es␈αc␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αwh␈α␈en␈↓ ∧7␈ε	m␈↓ ∧←␈εβis␈αs␈α␈mall␈αcomp␈α␈ared␈α
to␈↓ π_␈ε	n␈↓ π,␈εβ.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα666␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.2
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.2
␈βαv␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈απsolution␈απis␈αλun␈α␈iqu␈α␈e␈αλsince␈απ7␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈α∧1␈α␈1␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈αβ13␈α	=␈α	100␈α␈1.␈α
The␈αλ\␈α␈con␈α␈struc␈α␈ti␈α↓v␈α}e"␈αλp␈α␈roo␈α␈f␈αλof␈αλTh␈α␈eorem
␈ββ→␈↓ ¬?␈εε6␈↓ ε←␈εε10␈↓ λ
␈εε1␈α␈2
␈ββ~␈↓ ∧N␈εα(␈↓ λ&␈εα)
␈ββ≥␈↓ ↓H␈εβC␈αεtells␈απu␈α␈s␈απth␈α␈at␈αεthe␈αεan␈α␈sw␈α␈er␈αεi␈α↓s␈↓ ∧Z␈εβ(11␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓13␈↓ ¬4␈εβ)␈↓ ¬L␈εβ+␈αα6␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓(␈α↓7␈ε↔↓␈εβ␈αα13␈↓ εT␈εβ)␈↓ εz␈εβ+␈α↓5␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈αα(7␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓11␈↓ λ↓␈εβ)␈↓ λ7␈εβmod␈↓ λ|␈εβ1␈α␈001␈α␈.␈α
But␈αεthis␈αεansw␈α␈e␈α␈r
␈ββE␈↓ ↓H␈εβis␈αp␈α␈erha␈α␈ps␈αn␈α␈ot␈αex␈α␈plicit␈αeno␈α␈ug␈α␈h!␈α∞By␈α(23␈α␈)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π∪␈ε	v␈↓ π9␈εβ=␈α1,␈↓ λ␈ε	v␈↓ λ1␈εβ=␈α(␈α↓6␈ε↔␈απ␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈α	8␈↓ 	v␈εβmo␈α␈d␈↓ 
:␈εβ11␈α
=␈α7␈α␈,
␈ββO␈↓ π"␈εε1␈↓ λ~␈εε2
␈ββi␈↓ α↔␈εα(␈↓ βt␈εα)
␈ββl␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α#␈εβ(5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ7␈↓ ∧π␈ε↔↓␈εβ␈αλ6␈↓ ∧.␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧r␈εβ13␈α	=␈α
6␈α␈,␈αso␈↓ ε∃␈ε	u␈↓ ε3␈εβ=␈α	6␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈1␈απ+␈αλ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈απ+␈απ1␈α	=␈α
5␈α␈12.
␈ββw␈↓ ↓V␈εε3
␈β∧≡␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβNo.␈α
Th␈α␈ere␈απis␈απat␈απmo␈α␈st␈απon␈α␈e␈απsuc␈α␈h␈↓ ¬6␈ε	u␈↓ ¬J␈εβ;␈α	th␈α␈e␈απad␈α␈dition␈α␈al␈απcon␈α␈dition␈↓ λ8␈ε	u␈↓ λa␈ε↔⊃␈↓ 	␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	<␈ε↔⊃␈↓ 	g␈ε	u␈↓ 
∂␈εβ(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈)
␈β∧)␈↓ λL␈εε1␈↓ 	z␈εr
␈β∧F␈↓ ↓H␈εβis␈αεne␈α␈cessa␈α␈ry␈αεan␈α␈d␈αεsu␈α␈}cien␈α␈t␈α␈,␈αλan␈α␈d␈αεit␈αεfollo␈α␈ws␈αεtha␈α␈t␈αεsuch␈α¬a␈αεgen␈α␈era␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αεis␈αεno␈α␈t␈απv␈α}ery␈αεin␈α}teresting␈α␈.
␈β∧t␈↓ εt␈εα(␈↓ 	∨␈εα)
␈β∧w␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	u␈↓ α,␈ε↔⊃␈↓ αX␈ε	u␈↓ βα␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧β␈ε	m␈↓ ∧*␈εβ)␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈αtha␈α␈t␈↓ ¬}␈ε	u␈↓ ε≥␈ε↔⊃␈↓ εJ␈ε	u␈↓ π␈εβmod␈α␈ulo␈↓ πx␈εβgcd␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈ε	m␈↓ λ\␈εβ,␈↓ λk␈ε	m␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	+␈εβ,␈α
so␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition
␈β¬α␈↓ αl␈εi␈↓ ∧ ␈εi␈↓ ε]␈εi␈↓ λR␈εi␈↓ 	π␈εj
␈β¬≤␈↓ αJ␈εα(␈↓ ∧t␈εα)
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓q␈ε↔⊃␈↓ α≡␈ε	u␈↓ αV␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ βN␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧2␈εβ,␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧i␈εβ)␈↓ ¬
␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α
s␈α␈urely␈αho␈α␈ld␈α
if␈αthere␈αis␈α
a␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α⊂Fu␈α␈rthe␈α␈rmore␈αif
␈β¬)␈↓ ↓[␈εi␈↓ α1␈εj␈↓ ∧'␈εi␈↓ ∧]␈εj
␈β¬F␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓f␈ε↔⊃␈↓ α∩␈ε	v␈↓ α-␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ β/␈ε	m␈↓ βW␈εβ)␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧Q␈ε	j␈↓ ∧`␈εβ,␈αthen␈↓ ¬B␈ε	u␈↓ ¬↑␈ε↔␈␈↓ επ␈ε	v␈↓ ε$␈εβis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ λ
␈εβlcm␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε	m␈↓ λu␈εβ,␈↓ 	∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	0␈εβ,␈↓ 	?␈ε	m␈↓ 	g␈εβ)␈α=␈↓ 
(␈ε	m␈↓ 
F␈εβ;␈αhe␈α␈nce
␈β¬Q␈↓ βK␈εj␈↓ λh␈εε1␈↓ 	[␈εr
␈β¬n␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αis␈αat␈αm␈α␈ost␈αon␈α␈e␈αsolut␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈βε⊗␈↓ α␈εβThe␈α∞p␈α␈roo␈α␈f␈α∂c␈α␈an␈α∞n␈α␈o␈α␈w␈α∞be␈α
comp␈α␈leted␈α∞in␈α
a␈α∞no␈α␈nco␈α␈nstru␈α␈ctiv␈α␈e␈α∞m␈α␈ann␈α␈er␈α∞by␈α
cou␈α␈n␈α␈tin␈α␈g␈α∞the
␈βε=␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞di{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈↓ βt␈ε	r␈↓ ∧α␈εβ-tup␈α␈les␈α∞(␈↓ ∧⎇␈ε	u␈↓ ¬≥␈εβ,␈↓ ¬,␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬X␈εβ,␈↓ ¬g␈ε	u␈↓ εε␈εβ)␈α∞satisfyin␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈α∞con␈α␈dition␈α␈s␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ 	d␈ε	u␈↓ 
⊃␈εβ<␈↓ 
@␈ε	m␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βεH␈↓ ¬⊂␈εε1␈↓ ¬z␈εr␈↓ 	w␈εj␈↓ 
]␈εj
␈βεb␈↓ αR␈εα(␈↓ ∧}␈εα)
␈βεe␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓t␈ε↔⊃␈↓ α$␈ε	u␈↓ α↑␈εβmod␈α␈ulo␈↓ βX␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε	m␈↓ ∧<␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	m␈↓ ∧s␈εβ)␈↓ ¬
␈εβ.␈α⊗If␈α∂t␈α␈his␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞i␈α↓s␈↓ π2␈ε	m␈↓ πO␈εβ,␈α⊂th␈α␈ere␈α∞m␈α␈ust␈α∞be␈α∞a␈α∞solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞since
␈βεo␈↓ ↓[␈εi␈↓ α8␈εj␈↓ ∧1␈εi␈↓ ∧g␈εj
␈βπ␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓l␈εβmod␈↓ α1␈ε	m␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αi␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β$␈ε	u␈↓ β=␈εβmod␈↓ ∧α␈ε	m␈↓ ∧*␈εβ)␈↓ ∧>␈εβtak␈α}es␈α	o␈α␈n␈↓ ¬>␈ε	m␈↓ ¬d␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈α	v␈α␈alu␈α␈es␈α	as␈↓ πc␈ε	u␈↓ λ␈εβgo␈α␈es␈α	fro␈α␈m␈↓ 	∪␈ε	a␈↓ 	,␈εβto␈↓ 	R␈ε	a␈↓ 	g␈εβ+␈↓ 

␈ε	m␈↓ 
*␈εβ.␈α
Assume
␈βπ↔␈↓ αM␈εε1␈↓ ∧≡␈εr
␈βπ4␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	u␈↓ α0␈εβ,␈↓ α?␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αk␈εβ,␈↓ αz␈ε	u␈↓ βK␈εβh␈α␈av␈α}e␈αb␈α␈een␈αch␈α␈osen␈αsa␈α␈ti␈α↓s␈α␈f␈α↓y␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αgiv␈α}en␈αcon␈α␈dition␈α␈s;␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αn␈α␈o␈α␈w␈αpick
␈βπ?␈↓ α#␈εε1␈↓ β
␈εr␈↓ β→␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπY␈↓ αA␈εα(␈↓ ∧g␈εα)
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓p␈ε↔⊃␈↓ α≠␈ε	u␈↓ αM␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ β?␈εβg␈α␈cd␈↓ βq␈εβ(␈↓ β|␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ,␈↓ ∧3␈ε	m␈↓ ∧\␈εβ)␈↓ ∧z␈εβfo␈α␈r␈απ1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬n␈ε	j␈↓ εε␈εβ<␈↓ ε0␈ε	r␈↓ ε?␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈αεby␈αεth␈α␈e␈απge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈d␈απCh␈α␈inese␈αεRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r
␈βπf␈↓ ↓[␈εr␈↓ α.␈εj␈↓ ∧_␈εj␈↓ ∧O␈εr
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αfor␈↓ βλ␈ε	r␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
el␈α↓e␈α␈men␈α}ts␈αthere␈αa␈α␈re
␈βλ@␈↓ αj␈εα(␈↓ ε6␈εα)␈↓ πa␈εα(␈↓ 
0␈εα)
␈βλC␈↓ ↓⎇␈ε	m␈↓ α%␈εβ/␈↓ α6␈εβlcm␈↓ αv␈εβg␈α␈cd␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	m␈↓ β\␈εβ,␈↓ βk␈ε	m␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧h␈εβgcd␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε	m␈↓ ¬t␈εβ,␈↓ εα␈ε	m␈↓ ε+␈εβ)␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈ε	m␈↓ π≡␈εβ/␈↓ π/␈εβgcd␈↓ πm␈εβlcm␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε	m␈↓ λU␈εβ,␈↓ λd␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	⊂␈εβ,␈↓ 	∨␈ε	m␈↓ 	m␈εβ),␈↓ 
π␈ε	m
␈βλN␈↓ α→␈εr␈↓ βO␈εε1␈↓ ∧π␈εr␈↓ ¬B␈εr␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε1␈↓ ε∨␈εr␈↓ π∩␈εr␈↓ λH␈εε1␈↓ 	;␈εr␈↓ 	H␈ε~␈␈εε1␈↓ 
$␈εr
␈βλk␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈εβlcm␈↓ π*␈εβ(␈↓ π5␈ε	m␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πm␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ→␈εβ,␈↓ λ(␈ε	m␈↓ λP␈εβ)/␈↓ λl␈εβlcm␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	m␈↓ 	T␈εβ,␈↓ 	c␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
∂␈εβ,␈↓ 
≡␈ε	m␈↓ 
l␈εβ)
␈βλu␈↓ πQ␈εε1␈↓ λD␈εr␈↓ 	G␈εε1␈↓ 
:␈εr␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈β	0␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈ys␈αεto␈α¬do␈αεth␈α␈is.␈α
[This␈αεp␈α␈roof␈αεis␈αεb␈α␈ased␈α¬on␈αεid␈α␈en␈α␈tities␈αε(10␈α␈),␈αλ(1␈α␈1),␈απ(12),␈απan␈α␈d␈αε(14␈α␈)␈αεof␈αεSe␈α␈ction␈α¬4.5.2.]
␈β	X␈↓ α␈εβA␈αcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αpro␈α␈of␈α[␈α↓A.␈αS.␈αF␈α↓r␈α␈aen␈α␈k␈α␈el,␈ε⊂␈αProc␈α␈.␈αAme␈α␈r.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε∪␈α1␈α␈5␈εβ␈α(196␈α␈3),␈α7␈α␈90↑␈α␈791␈α␈]
␈β	␈␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ralizi␈α↓n␈α␈g␈α(24)␈αcan␈αb␈α␈e␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈αa␈α␈s␈α
follo␈α␈ws.␈α⊂Let␈↓ εn␈ε	M␈↓ π"␈εβ=␈↓ πO␈εβlcm␈↓ λβ␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	m␈↓ λ7␈εβ,␈↓ λF␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λr␈εβ,␈↓ 	↓␈ε	m␈↓ 	*␈εβ);␈α
w␈α␈e␈α
wish␈αto␈α|␈α␈nd
␈β

␈↓ π␈εj␈↓ λ+␈εε1␈↓ 	≥␈εj
␈β
'␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓e␈εβ=␈↓ α⊂␈ε	v␈↓ α+␈ε	M␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βY␈εβ+␈↓ ∧↓␈ε	v␈↓ ∧≥␈ε	M␈↓ ∧N␈εβ+␈↓ ∧v␈ε	v␈↓ ¬∩␈εβ,␈αwhere␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ εL␈ε	v␈↓ εp␈εβ<␈↓ π≠␈ε	M␈↓ πD␈εβ/␈↓ πU␈ε	M␈↓ λ#␈εβ.␈αAssum␈α␈e␈αt␈α␈hat␈↓ 	{␈ε	v␈↓ 
⊗␈εβ,␈↓ 
+␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
W␈εβ,␈↓ 
l␈ε	v
␈β
2␈↓ α∨␈εr␈↓ αH␈εr␈↓ αT␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧⊂␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ¬¬␈εε1␈↓ ε[␈εj␈↓ π8␈εj␈↓ πq␈εj␈↓ π⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 

␈εε1␈↓ 
{␈εj␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β
O␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈αalread␈α␈y␈αb␈α␈een␈α
dete␈α␈rmined␈α␈;␈αt␈α␈hen␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αso␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈gru␈α␈ence
␈β_␈↓ βG␈ε	v␈↓ βb␈ε	M␈↓ ∧8␈εβ+␈↓ ∧a␈ε	v␈↓ ¬!␈ε	M␈↓ ¬w␈εβ+␈↓ ε ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εN␈εβ+␈↓ εw␈ε	v␈↓ π≠␈ε↔⊃␈↓ πF␈ε	u␈↓ πn␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ λp␈ε	m␈↓ 	_␈εβ).
␈β"␈↓ βV␈εj␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εj␈↓ ¬J␈ε~␈␈εε2␈↓ πε␈εε1␈↓ πY␈εj␈↓ 	␈εj
␈β]␈↓ εβ␈εα(␈↓ λ-␈εα)
␈β`␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α⊗␈ε	v␈↓ αW␈ε	M␈↓ β.␈εβ+␈↓ βW␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧ε␈εβ+␈↓ ∧0␈ε	v␈↓ ∧V␈ε↔⊃␈↓ ¬α␈ε	u␈↓ ¬+␈ε↔⊃␈↓ ¬X␈ε	u␈↓ ε∂␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ πε␈εβgcd␈↓ π8␈εβ(␈↓ πC␈ε	m␈↓ πk␈εβ,␈↓ πy␈ε	m␈↓ λ"␈εβ)␈↓ λE␈εβfor␈↓ λz␈ε	i␈↓ 	∩␈εβ<␈↓ 	>␈ε	j␈↓ 	Y␈εβby␈αh␈α}yp␈α␈oth␈α␈esis,
␈βk␈↓ α%␈εj␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ αt␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧>␈εε1␈↓ ¬∃␈εi␈↓ ¬k␈εj␈↓ π`␈εi␈↓ λ⊗␈εj
␈βλ␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓p␈ε	c␈↓ απ␈εβ=␈↓ α1␈ε	u␈↓ αX␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ β␈ε	v␈↓ βL␈ε	M␈↓ ∧"␈εβ+␈↓ ∧K␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧y␈εβ+␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬=␈εβ)␈αis␈αa␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f
␈β∪␈↓ αD␈εj␈↓ β~␈εj␈↓ β&␈ε~␈␈εε1␈↓ βi␈εj␈↓ βu␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬0␈εε1
␈βN␈↓ β;␈εα(␈↓ ππ␈εα)
␈βQ␈↓ βπ␈εβlcm␈↓ βG␈εβg␈α␈cd␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε	m␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε	m␈↓ ∧d␈εβ),␈↓ ∧}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβgcd␈↓ ¬k␈εβ(␈↓ ¬v␈ε	m␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε	m␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π≤␈εβ=␈↓ πG␈εβg␈α␈cd␈↓ πy␈εβ(␈↓ λ∧␈ε	M␈↓ λR␈εβ,␈↓ λa␈ε	m␈↓ 		␈εβ)␈α
=␈↓ 	H␈ε	d␈↓ 	d␈εβ.
␈β\␈↓ ∧ ␈εε1␈↓ ∧X␈εj␈↓ ε∪␈εj␈↓ ε∨␈ε~␈␈εε1␈↓ εp␈εj␈↓ λ ␈εj␈↓ λ,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ⎇␈εj␈↓ 	X␈εj
␈β
~␈↓ ↓H␈εβWe␈α
there␈α␈fore␈α∞m␈α}ust␈α
solv␈α␈e␈↓ ∧>␈ε	v␈↓ ∧Y␈ε	M␈↓ ¬5␈ε↔⊃␈↓ ¬d␈ε	c␈↓ ¬}␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ π␈ε	m␈↓ π(␈εβ).␈α∪B␈α↓y␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∞algo␈α␈rithm␈α
ther␈α␈e␈α∞is␈α∞a
␈β
%␈↓ ∧M␈εj␈↓ ∧v␈εj␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ π≤␈εj
␈β
B␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ α@␈ε	c␈↓ αc␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ βw␈ε	c␈↓ ∧∂␈ε	M␈↓ ∧g␈ε↔⊃␈↓ ¬⊃␈ε	d␈↓ ¬6␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ε8␈ε	m␈↓ ε`␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αmay␈α
tak␈α}e
␈β
L␈↓ αL␈εj␈↓ ∧β␈εj␈↓ ∧,␈εj␈↓ ∧8␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬!␈εj␈↓ εT␈εj
␈β∞␈↓ ∧⎇␈ε	v␈↓ ¬!␈εβ=␈α
(␈↓ ¬W␈ε	c␈↓ ¬t␈ε	c␈↓ ε↓␈εβ)␈α↓/␈↓ ε≥␈ε	d␈↓ ε>␈εβmod␈↓ πβ␈εβ(␈↓ π∞␈ε	m␈↓ π6␈εβ/␈↓ πG␈ε	d␈↓ πc␈εβ).
␈β∞∃␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬c␈εj␈↓ ε-␈εj␈↓ π*␈εj␈↓ πV␈εj
␈β∞T␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈te␈αth␈α␈at,␈αas␈αin␈αth␈α␈e␈αno␈α␈nco␈α␈nstru␈α␈ctiv␈α␈e␈αp␈α␈roof,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ πE␈ε	m␈↓ πm␈εβ/␈↓ π}␈ε	d␈↓ λ#␈εβ=␈↓ λM␈ε	M␈↓ λv␈εβ/␈↓ 	ε␈ε	M␈↓ 	U␈εβ.
␈β∞↑␈↓ πa␈εj␈↓ λ
␈εj␈↓ λj␈εj␈↓ 	#␈εj␈↓ 	/␈ε~␈␈εε1
␈β∂¬␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(After␈↓ αn␈ε	m␈↓ β ␈εβ=␈α	91␈α	=␈α	7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ13␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αu␈α␈sed␈α
up␈α
all␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈α
of␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
or␈α
more␈α
od␈α␈d␈α
prime␈α␈s
␈β∂⊂␈↓ β
␈εε4
␈β∂-␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈α10␈α␈0,␈αso␈↓ ∧s␈ε	m␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈εβm␈α␈ust␈αa␈α␈ll␈αb␈α␈e␈αprime␈α␈.␈α↓)
␈β∂7␈↓ ¬∂␈εε5
␈β∂p␈↓ α8␈ε	m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ7␈α␈9,␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ7␈α␈3,␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ71,␈↓ πL␈ε	m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ67,␈↓ 	(␈ε	m␈↓ 	g␈εβ=␈↓ 
⊃␈εβ61,
␈β∂{␈↓ αU␈εε7␈↓ ∧1␈εε8␈↓ ε␈εε9␈↓ πh␈εε10␈↓ 	D␈εε11
␈β⊂#␈↓ α8␈ε	m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ5␈α␈9,␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ5␈α␈3,␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ47,␈↓ πL␈ε	m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ43,␈↓ 	(␈ε	m␈↓ 	g␈εβ=␈↓ 
⊃␈εβ41,
␈β⊂-␈↓ αU␈εε1␈α␈2␈↓ ∧1␈εε1␈α␈3␈↓ ε␈εε14␈↓ πh␈εε15␈↓ 	D␈εε16
␈β⊂U␈↓ α8␈ε	m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ3␈α␈7,␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ3␈α␈1,␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ29,␈↓ πL␈ε	m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ23,␈↓ 	(␈ε	m␈↓ 	g␈εβ=␈↓ 
⊃␈εβ17,
␈β⊂`␈↓ αU␈εε1␈α␈7␈↓ ∧1␈εε1␈α␈8␈↓ ε␈εε19␈↓ πh␈εε20␈↓ 	D␈εε21
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
w␈α␈e␈αare␈αstu␈α␈ck␈α(␈↓ ∧!␈ε	m␈↓ ∧←␈εβ=␈α
1␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈o␈αgo␈α␈od␈α␈)␈α↓.
␈β⊃)␈↓ ∧=␈εε22
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα667
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβNo.␈αTh␈α␈e␈αobv␈α␈iou␈α␈s␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈,
␈βα←␈↓ εN␈ε↓Y
␈βα}␈↓ ∧j␈εε4␈↓ ¬π␈εε2␈↓ ¬$␈εε2␈↓ ¬R␈εε1␈↓ π'␈ε~b␈↓ π0␈εεlog␈↓ πb␈εε10␈α␈0␈ε~c
␈ββ∧␈↓ ∧Y␈εβ3␈↓ ∧v␈εβ5␈↓ ¬∀␈εβ7␈↓ ¬1␈εβ1␈↓ ¬B␈εβ1␈↓ ¬←␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε∂␈εβ=␈↓ π⊗␈ε	p␈↓ λ∩␈εβ,
␈ββπ␈↓ πQ␈ε
p
␈ββ1␈↓ εG␈εp␈↓ εZ␈εεo␈α␈dd
␈ββI␈↓ ε<␈εp␈↓ εN␈εεprime
␈β∧#␈↓ ¬6␈εε4␈↓ εW␈εε2
␈β∧'␈↓ ↓H␈εβis␈α∂atta␈α␈ined␈α∞i␈α↓f␈α∂w␈α␈e␈α∂ch␈α␈oose␈↓ ∧;␈ε	m␈↓ ∧t␈εβ=␈↓ ¬%␈εβ3␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬\␈ε	m␈↓ ε∃␈εβ=␈↓ εF␈εβ5␈↓ εd␈εβ,␈α⊂etc.␈α↔(I␈α↓t␈α∂is␈α∂mo␈α␈re␈α∂di}cu␈α␈lt,␈α⊃h␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α␈e␈α␈r,␈α⊃to
␈β∧1␈↓ ∧W␈εε1␈↓ ¬x␈εε2
␈β∧N␈↓ ↓H␈εβm␈α␈aximize␈↓ α[␈ε	m␈↓ β
␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β6␈ε	m␈↓ βh␈εβwh␈α␈en␈↓ ∧=␈ε	r␈↓ ∧T␈εβi␈α↓s␈α	|␈α␈x␈α␈ed␈α␈,␈α
o␈α␈r␈α	to␈α	ma␈α␈ximize␈↓ π-␈ε	m␈↓ πZ␈εβ+␈↓ λ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ,␈εβ+␈↓ λR␈ε	m␈↓ 	β␈εβas␈α	w␈α␈e␈α	w␈α␈ou␈α␈ld␈α	at␈α␈temp␈α␈t
␈β∧Y␈↓ αx␈εε1␈↓ βS␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ λn␈εr
␈β∧q␈↓ ∧L␈εm
␈β∧v␈↓ ↓H␈εβto␈α
do␈αwh␈α␈en␈αu␈α␈sing␈α
mod␈α␈uli␈↓ ∧;␈εβ2␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α↓)
␈β∧y␈↓ ∧c␈ε
j
␈β¬,␈↓ ¬␈εe␈↓ ¬e␈εf␈↓ ε
␈εg␈↓ ε%␈εk␈↓ π↓␈εf␈↓ π:␈εk␈↓ λh␈εg␈↓ 
G␈εe␈↓  ␈εf
␈β¬0␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a)␈α∞If␈↓ αe␈ε	e␈↓ β↓␈εβ=␈↓ β0␈ε	f␈↓ βI␈εβ+␈↓ βt␈ε	k␈↓ ∧∧␈ε	g␈↓ ∧∀␈εβ,␈α∂then␈↓ ∧{␈εβ2␈↓ ¬%␈εβ=␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ¬r␈εβ(␈↓ ¬⎇␈εβ2␈↓ ε~␈εβ)␈↓ εA␈ε↔⊃␈↓ εp␈εβ2␈↓ π↔␈ε↔↓␈↓ π*␈εβ1␈↓ πV␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λW␈εβ2␈↓ λ}␈ε↔␈␈εβ␈α
1).␈α∀So␈α
i␈α↓f␈↓ 
6␈εβ2␈↓ 
`␈ε↔⊃␈↓ ∂␈εβ2
␈β¬T␈↓ αZ␈εg␈↓ ∧P␈εe␈↓ ∧←␈εεmod␈↓ ¬∪␈εg␈↓ ¬d␈εf␈↓ ¬u␈εεmod␈↓ ε)␈εg␈↓ πQ␈εg
␈β¬X␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αl␈ε↔␈␈εβ␈αε1),␈α
we␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧@␈εβ2␈↓ ¬)␈ε↔⊃␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ε?␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π@␈εβ2␈↓ πd␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈);␈αan␈α␈d␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
lat␈α␈ter␈α
qu␈α␈an␈α␈-
␈β¬{␈↓ ∧f␈εg
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εβtities␈αl␈α↓ie␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
z␈α␈ero␈αand␈↓ ∧V␈εβ2␈↓ ∧|␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π→␈ε	e␈↓ π,␈εβmo␈α␈d␈↓ πp␈ε	g␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ9␈ε	f␈↓ λN␈εβmod␈↓ 	∪␈ε	g␈↓ 	"␈εβ.␈α≥(b)␈αBy␈α
p␈α␈art␈α(a),
␈βε#␈↓ α%␈εd␈↓ βN␈εε(␈↓ βV␈εc␈↓ βa␈ε~␈␈εε1)␈↓ ∧∂␈εd␈↓ ∧↑␈εe␈↓ εJ␈εd␈↓ πr␈εε(␈↓ π{␈εc␈↓ λε␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ λ4␈εd␈↓ 	α␈εd␈↓ 
%␈εc␈↓ 
0␈εd
␈βε'␈↓ ↓H␈εβ(1␈απ+␈↓ α∃␈εβ2␈↓ α<␈εβ+␈↓ αe␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ+␈↓ β=␈εβ2␈↓ ∧≡␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ(␈↓ ∧M␈εβ2␈↓ ∧q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈α⊃␈εβ␈α(1␈αλ+␈↓ ε9␈εβ2␈↓ ε`␈εβ+␈↓ π
␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π8␈εβ+␈↓ πb␈εβ2␈↓ λB␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈α	(␈↓ λr␈εβ2␈↓ 	→␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓ 
∃␈εβ2␈↓ 
G␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α
⊃
␈βεK␈↓ ↓X␈εc␈↓ ↓c␈εe␈↓ αs␈εε1␈↓ ¬ ␈εf
␈βεO␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓u␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α	⊃␈↓ αb␈εβ2␈↓ βπ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	=␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ¬⊂␈εβ2␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈βπε␈↓ α␈εα(␈↓ αg␈εα(␈↓ πl␈εα))
␈βπ	␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α_␈ε	u␈↓ α?␈ε↔␈␈↓ αs␈ε	v␈↓ β⊗␈εβ+␈↓ β?␈ε	m␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∃␈εβ+␈↓ ∧>␈ε	m␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ∧r␈ε	v␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬>␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬l␈εβ+␈↓ ε∃␈ε	m␈↓ εc␈ε	v␈↓ π#␈εβ)␈↓ π4␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π`␈εβ)␈↓ λ	␈ε	c␈↓ λ3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ`␈ε	c
␈βπ∀␈↓ α+␈εj␈↓ βα␈εε1␈↓ β[␈εε1␈↓ ∧↓␈εε2␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ¬↓␈εε3␈↓ ε1␈εj␈↓ ε=␈ε~␈␈εε2␈↓ εr␈εj␈↓ ε}␈ε~␈␈εε1␈↓ λ∃␈εε1␈↓ λ"␈εj
␈βπ∃␈↓ λl␈εε(␈↓ λt␈εj␈↓ 	␈ε~␈␈εε1)␈↓ 	.␈εj
␈βπ/␈↓ αX␈εβ=␈α	(␈↓ β
␈ε	u␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β]␈ε	v␈↓ βx␈εβ)␈↓ ∧β␈ε	c␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈ε	c␈↓ ¬<␈ε↔␈␈↓ ¬d␈ε	m␈↓ ε
␈ε	v␈↓ ε)␈ε	c␈↓ εG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εs␈ε	c␈↓ πU␈ε↔␈␈↓ π}␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βπ:␈↓ β ␈εj␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧∂␈εε1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ε↓␈εε1␈↓ ε≤␈εε2␈↓ ε5␈εε1
␈βπ;␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εj␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬(␈εj␈↓ ε␈␈εε(␈↓ πλ␈εj␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1)␈↓ πB␈εj
␈βπW␈↓ π!␈ε↔␈␈↓ πI␈ε	m␈↓ πx␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ$␈ε	m␈↓ λs␈ε	v␈↓ 	3␈ε	c␈↓ 	]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈ε	c
␈βπa␈↓ πf␈εε1␈↓ λA␈εj␈↓ λM␈ε~␈␈εε2␈↓ 	↓␈εj␈↓ 	
␈ε~␈␈εε1␈↓ 	?␈εε1␈↓ 	L␈εj
␈βπb␈↓ 
⊗␈εε(␈↓ 
≡␈εj␈↓ 
*␈ε~␈␈εε1)␈↓ 
X␈εj
␈βλ	␈↓ αX␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ β
␈ε	u␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β]␈ε	v␈↓ βx␈εβ)␈↓ ∧β␈ε	c␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈ε	c␈↓ ¬<␈ε↔␈␈↓ ¬d␈ε	v␈↓ ε␈ε	c␈↓ ε*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εV␈ε	c␈↓ π8␈ε↔␈␈↓ πa␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∂␈ε↔␈␈↓ λ8␈ε	v␈↓ λy␈ε	c
␈βλ∀␈↓ β ␈εj␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧∂␈εε1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ¬s␈εε2␈↓ ε␈εε2␈↓ ε_␈εj␈↓ λG␈εj␈↓ λS␈ε~␈␈εε1
␈βλ∃␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εj␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬(␈εj␈↓ εb␈εε(␈↓ εk␈εj␈↓ εw␈ε~␈␈εε1)␈↓ π%␈εj␈↓ 	¬␈εε(␈↓ 	
␈εj␈↓ 	→␈ε~␈␈εε1)␈↓ 	G␈εj
␈βλ8␈↓ βα␈εα(␈↓ π3␈εα)
␈βλ;␈↓ αX␈εβ=␈↓ β∀␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β@␈εβ((␈↓ βV␈ε	u␈↓ β⎇␈ε↔␈␈↓ ∧&␈ε	v␈↓ ∧A␈εβ)␈↓ ∧L␈ε	c␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬!␈ε	v␈↓ ¬<␈εβ)␈↓ ¬G␈ε	c␈↓ ¬s␈ε↔␈␈↓ ε≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ εs␈ε	v␈↓ πE␈ε	c␈↓ λ)␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	*␈ε	m␈↓ 	S␈εβ).
␈βλF␈↓ βi␈εj␈↓ ∧4␈εε1␈↓ ∧X␈εε1␈↓ ∧e␈εj␈↓ ¬/␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ ¬`␈εj␈↓ πα␈εj␈↓ π∞␈ε~␈␈εε1␈↓ 	G␈εj
␈βλG␈↓ πQ␈εε(␈↓ πY␈εj␈↓ πe␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ λ∀␈εj
␈βλv␈↓ α␈εβThis␈α
meth␈α␈od␈α
o␈α␈f␈αrewriting␈α
th␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αu␈α␈ses␈α
the␈α
sam␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α
o␈α␈pera␈α␈-
␈β	≥␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α
an␈α␈d␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
con␈α␈stan␈α}ts;␈α∞bu␈α␈t␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈f␈α
con␈α␈stan␈α}ts␈α
i␈α↓s␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
on␈α␈l␈α↓y␈αif␈α
we␈αord␈α␈er␈α
the
␈β	E␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈li␈αso␈αth␈α␈at␈↓ β)␈ε	m␈↓ β[␈εβ<␈↓ ∧ε␈ε	m␈↓ ∧9␈εβ<␈↓ ∧d␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬∃␈εβ<␈↓ ¬@␈ε	m␈↓ ¬i␈εβ,␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αn␈α␈eed␈αa␈αtab␈α␈le␈αo␈α␈f␈↓ 

␈ε	m␈↓ 
6␈εβmod␈↓ 
{␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β	P␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧#␈εε2␈↓ ¬]␈εr␈↓ 
&␈εi␈↓ ↔␈εj
␈β	m␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αord␈α␈ering␈α
of␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈αmig␈α␈h␈α␈t␈αsee␈α␈m␈αto␈αr␈α␈equ␈α␈i␈α↓re␈α
more␈α
com␈α␈pu␈α␈tation␈α
tha␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ade
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓⎇␈εβthe␈αlarg␈α␈est,␈↓ β.␈ε	m␈↓ βc␈εβthe␈αne␈α␈xt␈αl␈α↓a␈α␈rgest␈α␈,␈α
etc.,␈α
since␈αth␈α␈ere␈αare␈αman␈α}y␈αmore␈αo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈αbe
␈β
∨␈↓ ↓d␈εε1␈↓ βJ␈εε2
␈β
<␈↓ ↓H␈εβd␈α␈on␈α␈e␈α
mod␈α␈ulo␈↓ β␈ε	m␈↓ β>␈εβtha␈α␈n␈α
mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ¬␈ε	m␈↓ ¬)␈εβ;␈αb␈α␈ut␈α
sinc␈α␈e␈↓ εI␈ε	v␈↓ εn␈εβca␈α␈n␈α
be␈α	as␈α
large␈α	as␈↓ λu␈ε	m␈↓ 	$␈ε↔␈␈εβ␈αε1,␈α
w␈α␈e␈α
are␈α	bette␈α␈r
␈β
F␈↓ β(␈εr␈↓ ¬≥␈εε1␈↓ εX␈εj␈↓ 	⊃␈εj
␈β
c␈↓ ↓H␈εβo␈α␈{␈α∞with␈↓ αG␈ε	m␈↓ α⎇␈εβ<␈↓ β*␈ε	m␈↓ β`␈εβ<␈↓ ∧
␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧@␈εβ<␈↓ ∧n␈ε	m␈↓ ¬#␈εβi␈α↓n␈α(23)␈α
a␈α␈l␈α↓s␈α␈o.␈α⊃So␈αthis␈α
id␈α␈ea␈α
ap␈α␈pe␈α␈ars␈α
to␈αbe␈α
p␈α␈refera␈α␈ble␈α
to
␈β
n␈↓ αd␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ¬
␈εr
␈β␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
form␈α␈u␈α␈las␈α
i␈α↓n␈α	the␈α
tex␈α␈t,␈αa␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
th␈α␈e␈α
form␈α␈u␈α␈las␈α
in␈α
the␈α
te␈α␈xt␈α
are␈α
a␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈geo␈α␈us␈α
whe␈α␈n␈α
the
␈β3␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈li␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈αfo␈α␈rm␈α(14),␈αas␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αin␈α
Sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α4.3␈α␈.␈α↓3␈α␈.
␈βj␈↓ ¬C␈εα(␈↓ 
∞␈εα)
␈βm␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε	m␈↓ α`␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β␈ε	m␈↓ β5␈ε	v␈↓ βa␈ε↔⊃␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬∀␈ε	m␈↓ ¬T␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εβ(␈α↓(␈↓ ε↔␈ε	u␈↓ ε@␈ε↔␈␈↓ εl␈ε	v␈↓ πλ␈εβ)␈↓ π∪␈ε	c␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πn␈ε	v␈↓ λ	␈εβ)␈↓ λ∀␈ε	c␈↓ λD␈ε↔␈␈↓ λp␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	!␈ε↔␈␈↓ 	M␈ε	v␈↓ 
∨␈ε	c␈↓ ␈ε↔⊃
␈βx␈↓ α(␈εj␈↓ α4␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ β)␈εε1␈↓ βD␈εj␈↓ ∧0␈εj␈↓ ∧<␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬0␈εε1␈↓ ε*␈εj␈↓ ε{␈εε1␈↓ π∨␈εε1␈↓ π+␈εj␈↓ π⎇␈εε2␈↓ λ ␈εε2␈↓ λ-␈εj␈↓ 	\␈εj␈↓ 	h␈ε~␈␈εε1
␈βy␈↓ 
+␈εε(␈↓ 
4␈εj␈↓ 
@␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ 
n␈εj
␈β∩␈↓ αv␈εα(␈↓ ε∩␈εα)
␈β∃␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ α≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αH␈ε	m␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β4␈εβ(␈↓ β?␈ε	u␈↓ βc␈ε↔␈␈↓ ∧	␈ε	v␈↓ ∧%␈εβ)␈↓ ∧0␈ε	c␈↓ ∧Y␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬+␈ε↔␈␈↓ ¬Q␈ε	v␈↓ ε#␈ε	c␈↓ πβ␈ε↔␈␈↓ π)␈ε	v␈↓ πi␈ε	m␈↓ λ=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λj␈ε	m␈↓ 	≤␈ε↔⊃␈↓ 	F␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	v␈ε↔⊃␈↓ 
!␈ε	u␈↓ 
E␈ε↔␈␈↓ 
k␈ε	v␈↓ ␈ε↔␈
␈β∨␈↓ ↓d␈εj␈↓ ↓p␈ε~␈␈εε2␈↓ αd␈εε1␈↓ βS␈εj␈↓ ∧_␈εε1␈↓ ∧<␈εε1␈↓ ∧H␈εj␈↓ ¬`␈εj␈↓ ¬l␈ε~␈␈εε2␈↓ π8␈εj␈↓ πD␈ε~␈␈εε1␈↓ λε␈εj␈↓ λ∩␈ε~␈␈εε2␈↓ 	ε␈εε1␈↓ 
4␈εj␈↓ 
z␈εε1
␈β ␈↓ ε/␈εε(␈↓ ε8␈εj␈↓ εD␈ε~␈␈εε2)␈↓ εr␈εj
␈β<␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈ε	m␈↓ α∪␈ε↔␈␈↓ α<␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αj␈ε↔␈␈↓ β∪␈ε	v␈↓ βT␈ε	m␈↓ ∧'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈ε	m␈↓ ¬ε␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ επ␈ε	m␈↓ ε0␈εβ).
␈βG␈↓ ↓V␈εε2␈↓ ↓␈␈εε1␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈ε~␈␈εε1␈↓ βp␈εj␈↓ β|␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧p␈εε1␈↓ ε$␈εj
␈βt␈↓ α←␈εα(␈↓ πC␈εα)
␈βw␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε	u␈↓ α5␈ε↔ ␈↓ αk␈εβ(␈↓ α|␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	v␈↓ βN␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	v␈↓ ¬
␈εβ)␈↓ ¬_␈ε	m␈↓ ¬n␈εβ+␈↓ ε↔␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εC␈εβ)␈↓ εN␈ε	m␈↓ ε␈␈εβ+␈↓ π(␈ε	v␈↓ πT␈εβmod␈↓ λ→␈ε	m␈↓ λA␈εβ,␈↓ λa␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	
␈εβ,
␈β
↓␈↓ α∨␈εr␈↓ βB␈εr␈↓ βk␈εr␈↓ βw␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧[␈εr␈↓ ∧h␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬5␈εr␈↓ ¬A␈ε~␈␈εε2␈↓ εk␈εε1␈↓ π6␈εε1␈↓ λ5␈εr
␈β
≡␈↓ ε5␈ε	u␈↓ ε↑␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ π∀␈ε	v␈↓ π/␈ε	m␈↓ π`␈εβ+␈↓ λλ␈ε	v␈↓ λ$␈εβ)␈↓ λ4␈εβmod␈↓ λy␈ε	m␈↓ 	"␈εβ,␈↓ 	A␈ε	u␈↓ 	j␈ε↔ ␈↓ 
∃␈ε	v␈↓ 
6␈εβmo␈α␈d␈↓ 
z␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β
)␈↓ εH␈εε2␈↓ π#␈εε2␈↓ πL␈εε1␈↓ λ↔␈εε1␈↓ 	∃␈εε2␈↓ 	T␈εε1␈↓ 
$␈εε1␈↓ ↔␈εε1
␈β
V␈↓ α␈εα(
␈β
Y␈↓ α_␈εβThe␈αco␈α␈mpu␈α␈tation␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈αd␈α␈on␈α␈e␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αord␈α␈er,␈αif␈αw␈α␈e␈αwa␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlet␈↓ 	N␈ε	u␈↓ 	y␈εβan␈α␈d␈↓ 
:␈ε	v␈↓ 
a␈εβsh␈α␈are
␈β
c␈↓ 	a␈εj␈↓ 
I␈εj
␈β
⎇␈↓ πβ␈εα)
␈β∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αmemo␈α␈ry␈αloc␈α␈ation␈α␈s,␈αa␈α␈s␈αthey␈α
can␈α
i␈α↓n␈α
(23).
␈β∞;␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αre␈α␈de|␈α␈ne␈α
the␈α
\mo␈α␈d"␈α
op␈α␈erato␈α␈r␈αso␈αth␈α␈at␈α
i␈α↓t␈α
pro␈α␈du␈α␈ces␈αresid␈α␈ues␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αsy␈α␈mmetr␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβra␈α␈ng␈α␈e,␈α
th␈α␈e␈α	ba␈α␈si␈α↓c␈α	fo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈α	(␈α↓2␈α␈),␈α
(3),␈α
(4␈α␈)␈α
fo␈α␈r␈α	arithm␈α␈etic␈α	and␈αλ(23),␈α	(24)␈α	for␈α	co␈α␈n␈α␈v␈α}ersion␈α	r␈α␈emain
␈β∂π␈↓ λ`␈εα(
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλsa␈α␈me,␈α	a␈α␈nd␈απthe␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ∧A␈ε	u␈↓ ∧]␈εβin␈απ(␈α↓2␈α␈4)␈αλlies␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλde␈α␈si␈α↓r␈α␈ed␈αλra␈α␈ng␈α␈e␈αλ(10).␈↓ λl␈εβHere␈αλ(2␈α␈4)␈αλis␈αλa␈ε⊂␈αλb␈α␈alan␈α␈ced
␈β∂.␈↓ λs␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε⊂m␈α␈i␈α↓x␈α}ed-ra␈α␈dix␈εβ␈αn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
g␈α␈en␈α␈eralizing␈α\␈α␈balan␈α␈ced␈αterna␈α␈ry"␈αn␈α␈ota␈α␈tion.␈↓ 	~␈εβThe␈αco␈α␈mpa␈α␈rison␈αo␈α␈f
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α}um␈α}bers␈α
ma␈α␈y␈α
still␈α∞b␈α␈e␈α
do␈α␈ne␈α
fro␈α␈m␈α
left␈α
to␈α
righ␈α␈t␈α␈,␈α∞i␈α↓n␈αthe␈α
simp␈α␈le␈α
man␈α␈ne␈α␈r␈α∞d␈α␈escrib␈α␈ed␈α
in
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtext.␈αFurth␈α␈ermo␈α␈re,␈αit␈αis␈αpossib␈α␈l␈α↓e␈αto␈αreta␈α␈i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ π⎇␈ε	u␈↓ λ'␈εβin␈αa␈αsin␈α␈gle␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈ord␈α␈,
␈β⊂␈↓ λ⊂␈εj
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈αsi␈α↓g␈α␈ne␈α␈d␈αmag␈α␈nitu␈α␈de␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αwith␈α␈i␈α↓n␈α
the␈αco␈α␈mpu␈α␈ter,␈αev␈α␈en␈α
i␈α↓f␈↓ 	w␈ε	m␈↓ 
+␈εβis␈αalmos␈α␈t
␈β⊂3␈↓ 
∪␈εj
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβt␈α␈wice␈α
th␈α␈e␈αw␈α␈o␈α␈rd␈α
si␈α↓z␈α␈e.␈αBut␈α
the␈α
arith␈α␈metic␈α
op␈α␈eration␈α␈s␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α
to␈α(1␈α␈1)␈α
and␈α
(1␈α␈2)␈α
are␈α
more
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t,␈αso␈α
it␈αap␈α␈pe␈α␈ars␈αth␈α␈at␈α
on␈α
most␈α
comp␈α␈ut␈α␈ers␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
i␈α↓d␈α␈ea␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
resu␈α␈lt␈αin␈αs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αslo␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈tion.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα668␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.2
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y
␈βαL␈↓ ¬V␈ε↓∩␈↓ λ_␈ε↓∪
␈βαR␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧e␈εβ+␈αλ1␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε ␈εβ+␈αλ1␈↓ π+␈ε	m␈↓ π[␈εβ+␈αλ1
␈βα]␈↓ ε␈εε1␈↓ πG␈εr
␈βαh␈↓ ¬,␈εβ=␈↓ ε]␈εβ,␈↓ εl␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π_␈εβ,␈↓ λ.␈εβ.
␈βαv␈↓ ∧A␈∧αv∧Aα←␈↓ ¬p␈∧αv¬pαj␈↓ π+␈∧αvπ+αj
␈ββ␈↓ ∧g␈εβ2␈↓ ε≤␈εβ2␈↓ πW␈εβ2
␈ββ8␈↓ β∞␈εm␈↓ β%␈εε+1
␈ββ?␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈te␈αλthat␈αλ2␈↓ αm␈ε	t␈↓ α⎇␈ε↔↓␈↓ βX␈ε↔⊃␈↓ ∧α␈ε	t␈↓ ∧↔␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ¬→␈ε	m␈↓ ¬6␈εβ).␈αIn␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α	if␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π"␈εβis␈α	re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αλprime␈αλto␈↓ 	S␈ε	m␈↓ 	p␈εβ,␈α
th␈α␈en␈αλw␈α␈e␈αλcan
␈ββN␈↓ β∞␈∧βNβ∞α>
␈ββP␈↓ β&␈εε2
␈ββc␈↓ ε
␈ε~0␈↓ εe␈ε~0␈↓ πM␈ε~0␈↓ 	$␈ε~0
␈ββg␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α(b␈α␈y␈αEuclid's␈αalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm)␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ¬|␈ε	v␈↓ ε≥␈εβ=␈α
(␈↓ εS␈ε	v␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π-␈εβ,␈↓ π;␈ε	v␈↓ πV␈εβ)␈αsuch␈αth␈α␈at␈↓ 	↓␈ε	v␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	4␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ);
␈ββv␈↓ εe␈εε1␈↓ πJ␈εr
␈β∧␈↓ 	␈ε~0
␈β∧∂␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈en␈α
if␈↓ αy␈ε	u␈↓ β→␈εβi␈α↓s␈αkn␈α␈o␈α␈wn␈αto␈α
b␈α␈e␈α
a␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αof␈↓ εK␈ε	v␈↓ εi␈εβw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ πl␈ε	u␈↓ λ␈εβ/␈↓ λ⊂␈ε	v␈↓ λ.␈εβ=␈↓ λ[␈ε	u␈↓ λo␈ε	v␈↓ 	π␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
latter␈αis
␈β∧6␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈αwith␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ εs␈ε	v␈↓ π⊂␈εβis␈αn␈α␈ot␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ 
	␈ε	m␈↓ 
'␈εβ,␈αd␈α␈ivision
␈β∧↑␈↓ ↓H␈εβis␈αm␈α␈u␈α␈ch␈αm␈α␈ore␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult.
␈β¬∂␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβOb␈α␈viou␈α␈s␈αfrom␈α(11␈α␈),␈αif␈αw␈α␈e␈αrepla␈α␈ce␈↓ ¬l␈ε	m␈↓ ε ␈εβb␈α␈y␈↓ εP␈ε	m␈↓ εm␈εβ.
␈β¬~␈↓ ελ␈εj
␈β¬=␈↓ αN␈εε2␈↓ ε1␈εn␈↓ ⊃␈εn
␈β¬A␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ α<␈ε	x␈↓ α`␈ε↔␈␈↓ βε␈ε	x␈↓ β!␈εβ=␈α	(␈↓ βV␈ε	x␈↓ βm␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈)␈↓ ∧/␈ε	x␈↓ ∧J␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α1␈↓ ε!␈εβ0␈↓ εB␈εβ)␈α	is␈α
eq␈α␈uiva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α	to␈α	(␈↓ λG␈ε	x␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈)␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	:␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ␈ε	p␈↓ !␈εβ)
␈β¬i␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓x␈ε	p␈↓ α∩␈εβ=␈α	2␈αλa␈α␈nd␈απ5␈α␈.␈α
E␈α↓ith␈α␈er␈↓ ∧↔␈ε	x␈↓ ∧0␈εβor␈↓ ∧U␈ε	x␈↓ ∧i␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απm␈α␈u␈α␈st␈αλb␈α␈e␈απa␈απm␈α␈ultiple␈απof␈↓ πV␈ε	p␈↓ πg␈εβ,␈α	a␈α␈nd␈απth␈α␈en␈απth␈α␈e␈αλo␈α␈the␈α␈r␈αλis␈απrelativ␈α␈ely
␈βε␈↓ α↑␈εn␈↓ πw␈εn␈↓ 	(␈εn␈↓ 
X␈εn
␈βε⊂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α
to␈↓ αM␈ε	p␈↓ αn␈εβ;␈αso␈α
eithe␈α␈r␈↓ ∧λ␈ε	x␈↓ ∧#␈εβor␈↓ ∧K␈ε	x␈↓ ∧c␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
be␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f␈↓ πf␈ε	p␈↓ λπ␈εβ.␈αIf␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λR␈εβmod␈↓ 	↔␈εβ2␈↓ 	A␈εβ=␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 
β␈εβm␈α␈od␈↓ 
G␈εβ5␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈βε4␈↓ ∧e␈εn␈↓ 	b␈εn␈↓ ∪␈εn
␈βε8␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αhav␈α}e␈↓ βh␈ε	x␈↓ β␈␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧D␈εβ1␈↓ ∧T␈εβ0␈↓ ∧␈␈εβ=␈α	0␈αor␈α1;␈αhen␈α␈ce␈αau␈α␈tomo␈α␈rph␈α␈s␈αhav␈α}e␈↓ λv␈ε	x␈↓ 	
␈εβmod␈↓ 	R␈εβ2␈↓ 	|␈ε↔≤␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
>␈εβmo␈α␈d␈↓ α␈εβ5␈↓ #␈εβ.
␈βε[␈↓ α␈␈εn␈↓ π␈εε2␈↓ πO␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ 	∀␈εε3␈↓ 
⊂␈εn
␈βε←␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
If␈↓ α~␈ε	x␈↓ α5␈εβ=␈↓ α←␈ε	q␈↓ αn␈ε	p␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β<␈ε	r␈↓ βJ␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧=␈ε	r␈↓ ∧T␈εβ=␈α
0␈α	or␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ ε/␈ε	r␈↓ εG␈ε↔⊃␈↓ εr␈ε	r␈↓ π⊗␈ε↔⊃␈↓ πA␈ε	r␈↓ π\␈εβ,␈α
so␈α
3␈↓ λ'␈ε	x␈↓ λK␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈↓ 	α␈ε	x␈↓ 	*␈ε↔⊃␈εβ␈α	(6␈↓ 	p␈ε	q␈↓ 	␈␈ε	p␈↓ 
 ␈ε	r␈↓ 
4␈εβ+␈αε3␈↓ 
l␈ε	r␈↓ 
z␈εβ)␈ε↔␈αε␈
␈βπβ␈↓ αβ␈εn␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ∧g␈εn␈↓ ε∨␈ε~0␈↓ π*␈εε2␈↓ λ,␈εε3␈↓ λg␈εε2␈↓ 	E␈εε2␈↓ 
∨␈εε3
␈βπ∧␈↓ εY␈εα(␈↓ λ9␈εα)
␈βππ␈↓ ↓H␈εβ(6␈↓ ↓c␈ε	q␈↓ ↓r␈ε	p␈↓ α∪␈ε	r␈↓ α)␈εβ+␈αλ2␈↓ αc␈ε	r␈↓ αq␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ β0␈ε	r␈↓ βH␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ∧J␈ε	p␈↓ ∧w␈εβ)␈α↓.␈α→(c)␈αLet␈↓ ε∩␈ε	c␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εe␈εβ3(␈↓ π↓␈ε	c␈↓ π∞␈ε	x␈↓ π∨␈εβ)␈↓ π>␈ε↔␈␈εβ␈αλ2(␈↓ λβ␈ε	c␈↓ λ⊂␈ε	x␈↓ λ!␈εβ)␈↓ λE␈εβ/␈↓ λV␈ε	x␈↓ λ⎇␈εβ=␈α	3␈↓ 	8␈ε	c␈↓ 	Y␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ 
∩␈ε	c␈↓ 
,␈ε	x␈↓ 
=␈εβ.
␈βπ/␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αSinc␈α␈e␈αt␈α␈he␈α
last␈↓ ∧3␈ε	k␈↓ ∧N␈εβdig␈α␈i␈α↓ts␈α
of␈α
an␈↓ ¬|␈ε	n␈↓ ε⊂␈εβ-d␈α␈igit␈αa␈α␈uto␈α␈morp␈α␈h␈α
form␈α
a␈↓ λ{␈ε	k␈↓ 	␈εβ-digit␈α
aut␈α␈omor␈α␈ph␈α␈,␈αit
␈βπV␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αsen␈α␈se␈αto␈αsp␈α␈eak␈αof␈αthe␈αt␈α␈wo␈ε↔␈α1␈εβ-digit␈αa␈α␈uto␈α␈morp␈α␈hs,␈↓ πf␈ε	x␈↓ λβ␈εβa␈α␈nd␈α1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	ε␈ε	x␈↓ 	↔␈εβ,␈αwhich␈αa␈α␈re␈α1␈α␈0-ad␈α␈i␈α↓c
␈βπ}␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α(cf.␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.1↑␈α␈31).␈αThe␈αset␈αo␈α␈f␈α10-ad␈α␈ic␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αi␈α↓s␈αeq␈α␈uiv␈α␈alen␈α␈t␈αu␈α␈nd␈α␈er␈αmod␈α␈ula␈α␈r
␈βλ%␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αto␈αth␈α␈e␈αset␈αo␈α␈f␈αo␈α␈rdere␈α␈d␈αpa␈α␈i␈α↓rs␈α(␈↓ ¬|␈ε	u␈↓ ε≤␈εβ,␈↓ ε+␈ε	u␈↓ εJ␈εβ),␈αwhe␈α␈re␈↓ πK␈ε	u␈↓ πv␈εβis␈αa␈α2-ad␈α␈ic␈αn␈α}um␈α}ber␈αan␈α␈d␈↓ 
O␈ε	u␈↓ 
z␈εβis␈αa
␈βλ0␈↓ ε∂␈εε1␈↓ ε>␈εε2␈↓ π↑␈εε1␈↓ 
b␈εε2
␈βλM␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈-adic␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er.
␈β	C␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.3
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε∪1␈α␈.␈↓ α␈εβ27␈ε↔␈απα␈εβ␈απ47:␈↓ βP␈εβ18␈ε↔␈απα␈εβ␈απ42:␈↓ ¬∀␈εβ09␈ε↔␈απα␈εβ␈απ05:␈↓ εX␈εβ27␈α␈18␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ4␈α␈742␈α␈:
␈β
5␈↓ αE␈εβ08␈↓ ∧	␈εβ04␈↓ ¬M␈εβ00␈↓ π⊃␈εβ126␈α␈9
␈β
]␈↓ αV␈εβ08␈↓ ∧~␈εβ04␈↓ ¬↑␈εβ00␈↓ π3␈εβ1␈α␈26␈α␈9
␈β∧␈↓ α5␈ε↔␈␈εβ15␈↓ ∧~␈εβ14␈↓ ¬=␈ε↔␈␈εβ45␈↓ π⊃␈ε↔␈␈εβ␈α↓0␈α␈04␈α␈5
␈β,␈↓ αV␈εβ49␈↓ ∧~␈εβ16␈↓ ¬↑␈εβ45␈↓ π3␈εβ0␈α␈75␈α␈6
␈βT␈↓ αg␈εβ4␈α␈9␈↓ ∧+␈εβ1␈α␈6␈↓ ¬o␈εβ4␈α␈5␈↓ πT␈εβ0␈α␈756
␈βw␈↓ αG␈∧wαGαA␈↓ ∧␈∧w∧αA␈↓ ¬O␈∧w¬OαA␈↓ π∃␈∧wπ∃α↓α
␈β∧␈↓ αE␈εβ126␈α␈9␈↓ ∧	␈εβ075␈α␈6␈↓ ¬M␈εβ004␈α␈5␈↓ π⊃␈εβ128␈α␈88␈α␈756
␈β#␈↓ ∧	␈ε↓p␈↓ ¬l␈ε↓p
␈β$␈↓ α␈ε↓p
␈β>␈↓ ∧-␈∧>∧-α↓α␈↓ ε⊂␈∧>ε⊂α↓S
␈β?␈↓ α0␈∧?α0α↓≤
␈βF␈↓ β&␈∧Fβ&α→␈↓ ¬↔␈∧F¬↔α→␈↓ π
␈∧Fπ
α→␈↓ λB␈∧FλBα→␈↓ 
⊃␈∧F
⊃α`
␈βH␈↓ β¬␈ε↔p␈↓ ∧u␈ε↔p␈↓ εi␈ε↔p␈↓ λ!␈ε↔p␈↓ 	o␈ε↔p
␈βI␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α0␈ε	Q␈↓ αP␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ β&␈ε	Q␈↓ β?␈ε↔c␈↓ βZ␈ε↔∀␈↓ ∧-␈ε	Q␈↓ ∧M␈εβ+␈↓ ¬↔␈ε	Q␈↓ ¬=␈εβ<␈↓ ε⊂␈ε	Q␈↓ ε0␈εβ+␈απ2␈↓ π
␈ε	Q␈↓ π*␈εβ+␈αλ1␈↓ πq␈εβ=␈↓ λB␈ε	Q␈↓ λd␈εβ+␈α	1,␈α∂so␈ε↔␈α
b␈↓ 
⊃␈ε	Q␈↓ 
0␈εβ+␈ε	␈αλR␈↓ 
p␈ε↔c␈α∞∀
␈βn␈↓ ↓v␈∧n↓vα→
␈βo␈↓ ↓U␈ε↔p
␈βq␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓v␈ε	Q␈↓ α∞␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1.
␈β
≡␈↓ 	I␈εQ␈↓ 
[␈εR
␈β
"␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αl␈ε	k␈↓ βπ␈ε↔∀␈εβ␈α	2,␈αth␈α␈e␈αresult␈αis␈αtru␈α␈e,␈αs␈α␈o␈αassum␈α␈e␈αthat␈↓ πC␈ε	k␈↓ π]␈εβ>␈α
2␈α␈.␈α
Let␈↓ λk␈ε	q␈↓ 	∞␈εβ=␈↓ 	9␈εβ2␈↓ 	h␈εβ,␈↓ 	⎇␈ε	r␈↓ 
∨␈εβ=␈↓ 
J␈εβ2␈↓ 
z␈εβ,␈αso
␈β
&␈↓ 	[␈ε
k␈↓ 
n␈ε
k
␈β
-␈↓ λw␈εk␈↓ 
λ␈εk
␈β
F␈↓ 	␈␈εR␈↓ 
c␈εQ
␈β
G␈↓ β∪␈∧
Gβ∪α$
␈β
H␈↓ αq␈ε↔p
␈β
J␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α␈ε	R␈↓ α:␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ β∪␈ε	Q␈↓ β6␈ε↔c␈εβ␈απand␈↓ ∧λ␈ε	Q␈↓ ∧4␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	Q␈↓ ¬+␈εβ+␈↓ ¬O␈ε	R␈↓ ε→␈εβ.␈α
We␈αλm␈α}ust␈απsho␈α}w␈αλtha␈α␈t␈αλ1␈αα+␈αβ(␈↓ 	λ␈ε	R␈↓ 	/␈εβ+␈αβ1)␈↓ 	o␈εβ2␈↓ 
(␈ε↔∀␈↓ 
R␈εβ2␈↓ #␈εβ;
␈β
N␈↓ 
∩␈ε
k␈↓ 
u␈ε
k␈↓ ↓␈ε≠␈␈επ1
␈β
U␈↓ α#␈εk␈↓ β)␈εk␈↓ ∧≡␈εk␈↓ ∧u␈εk␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εk␈↓ ¬s␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∨␈εk
␈β
m␈↓ 	`␈εR␈↓ ↓␈εε2␈↓ 
␈εR
␈β
r␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
ineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity␈α	isn't␈α
clo␈α␈se␈α
at␈α	all,␈αo␈α␈ne␈α	way␈α	i␈α↓s␈α	to␈α
o␈α␈bser␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α	1␈αε+␈αε(␈↓ λc␈ε	R␈↓ 	
␈εβ+␈α¬1)␈↓ 	O␈εβ2␈↓ 
λ␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α¬+␈↓ 
p␈εβ2
␈β
u␈↓ 	s␈ε
k␈↓  ␈ε
k
␈β
|␈↓ λz␈εk
␈β∞→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απ2␈↓ α⊗␈ε	R␈↓ αC␈εβ<␈↓ αn␈ε	Q␈↓ β?␈εβwh␈α␈en␈↓ ∧∩␈ε	k␈↓ ∧,␈εβ>␈α	2.␈α
(The␈απfact␈απtha␈α␈t␈αλ2␈↓ ε[␈ε	R␈↓ πλ␈εβ<␈↓ π3␈ε	Q␈↓ λ∧␈εβis␈αλre␈α␈adily␈απpro␈α}v␈α␈ed␈απb␈α␈y␈αλin␈α␈du␈α␈ction
␈β∞$␈↓ α-␈εk␈↓ β∧␈εk␈↓ β⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ εr␈εk␈↓ πI␈εk␈↓ πV␈ε~␈␈εε1
␈β∞A␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α→␈ε	R␈↓ αk␈ε↔␈␈↓ β∪␈ε	R␈↓ βA␈ε↔∀␈εβ␈α	1␈αan␈α␈d␈↓ ∧H␈ε	Q␈↓ ∧s␈ε↔␈␈↓ ¬≠␈ε	Q␈↓ ¬n␈ε↔∃␈εβ␈α	2.)
␈β∞K␈↓ α0␈εk␈↓ α=␈εε+␈α↓1␈↓ β*␈εk␈↓ ∧↑␈εk␈↓ ¬2␈εk␈↓ ¬?␈ε~␈␈εε1
␈β∞n␈↓ ¬O␈εε2␈↓ εB␈εε2␈↓ π#␈εε2␈↓ λ∀␈εε2
␈β∞r␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβFor␈↓ αH␈ε	j␈↓ α`␈εβ=␈α
1,␈↓ β.␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βZ␈εβ,␈↓ βl␈ε	r␈↓ β{␈εβ,␈α	ca␈α␈lculate␈↓ ¬∃␈ε	U␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	j␈↓ ¬[␈εβ),␈↓ ¬y␈ε	j␈↓ επ␈ε	U␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε3␈ε	j␈↓ εO␈εβ),␈↓ εl␈ε	V␈↓ π	␈εβ(␈↓ π∀␈ε	j␈↓ π0␈εβ),␈↓ πM␈ε	j␈↓ π\␈ε	V␈↓ πz␈εβ(␈↓ λ¬␈ε	j␈↓ λ!␈εβ);␈α	an␈α␈d␈αλby␈αλr␈α␈ecurs␈α␈i␈α↓v␈α}ely␈αλcalling
␈β∞⎇␈↓ ¬*␈εe␈↓ ε≥␈εo␈↓ ε␈␈εe␈↓ πo␈εo
␈β∂~␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈,␈αc␈α␈alculat␈α␈e
␈β∂Z␈↓ ¬Q␈εε2␈↓ εb␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λX␈εε2
␈β∂]␈↓ ¬
␈εα(␈↓ εz␈εα)(␈↓ λp␈εα)
␈β∂`␈↓ ∧⊂␈ε	W␈↓ ∧2␈εβ(␈↓ ∧=␈ε	j␈↓ ∧L␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬⊗␈ε	U␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε	j␈↓ ¬]␈εβ)␈αλ+␈↓ ε_␈ε	j␈↓ ε'␈ε	U␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	j␈↓ εo␈εβ)␈↓ π∩␈ε	V␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	j␈↓ πV␈εβ)␈απ+␈↓ λ⊃␈ε	j␈↓ λ ␈ε	V␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε	j␈↓ λe␈εβ)␈↓ λ|␈εβ,
␈β∂k␈↓ ¬,␈εe␈↓ ε=␈εo␈↓ π$␈εe␈↓ λ2␈εo
␈β⊂α␈↓ ¬Q␈εε2␈↓ εb␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λX␈εε2
␈β⊂¬␈↓ ¬
␈εα(␈↓ εz␈εα)(␈↓ λp␈εα)
␈β⊂λ␈↓ βo␈ε	W␈↓ ∧⊂␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ∧=␈ε	j␈↓ ∧L␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬⊗␈ε	U␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε	j␈↓ ¬]␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε_␈ε	j␈↓ ε'␈ε	U␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	j␈↓ εo␈εβ)␈↓ π∩␈ε	V␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	j␈↓ πV␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ λ⊃␈ε	j␈↓ λ ␈ε	V␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε	j␈↓ λe␈εβ)␈↓ λ|␈εβ;
␈β⊂∩␈↓ ¬,␈εe␈↓ ε=␈εo␈↓ π$␈εe␈↓ λ2␈εo
␈β⊂L␈↓ ∧$␈εε2␈↓ ¬␈εε1␈↓ πf␈εε2␈↓ λB␈εε1
␈β⊂M␈↓ ¬⊃␈εα(␈↓ π␈εα)␈↓ λS␈εα(␈↓ 
B␈εα)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞then␈α∞w␈α␈e␈α∂h␈α␈av␈α␈e␈↓ βc␈ε	W␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε	j␈↓ ∧1␈εβ)␈α∂=␈↓ ¬≥␈ε	W␈↓ ¬>␈εβ(␈↓ ¬I␈ε	j␈↓ ¬X␈εβ)␈α
+␈↓ ε_␈ε	W␈↓ ε9␈εβ(␈ε↔␈␈↓ εe␈ε	j␈↓ εt␈εβ)␈↓ π␈εβ,␈↓ π%␈ε	W␈↓ πL␈εβ(␈↓ πW␈ε	j␈↓ πs␈εβ)␈α∂=␈↓ λ←␈ε	W␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	j␈↓ 	~␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ 	Z␈ε	W␈↓ 	{␈εβ(␈ε↔␈␈↓ 
'␈ε	j␈↓ 
6␈εβ)␈↓ 
N␈εβ.␈α↔Also
␈β⊂Z␈↓ β␈␈εe␈↓ π@␈εo
␈β⊂↑␈↓ ¬␈∧⊂↑¬α
␈↓ λB␈∧⊂↑λBα
␈β⊂`␈↓ ¬␈εε2␈↓ λB␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈alculat␈α␈e␈↓ αR␈ε	W␈↓ αy␈εβ(0)␈α	=␈↓ βT␈ε	U␈↓ βo␈εβ(0)␈↓ ∧⊗␈ε	V␈↓ ∧.␈εβ(0␈α␈).␈αNo␈α}w␈αc␈α␈onst␈α␈ruct␈αd␈α␈i␈α↓{ere␈α␈nce␈αta␈α␈bles␈αfor␈↓ λr␈ε	W␈↓ 	#␈εβand␈↓ 	d␈ε	W␈↓ 
␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αare
␈β⊃α␈↓ αn␈εe␈↓ 	
␈εe␈↓ 
␈εo
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αwh␈α␈ose␈αre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈grees␈αa␈α␈re␈↓ ε)␈ε	r␈↓ εC␈εβan␈α␈d␈↓ π∧␈ε	r␈↓ π~␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα669
␈βα+␈↓ α␈εβThis␈απm␈α␈etho␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεsize␈απof␈απth␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απb␈α␈eing␈απh␈α␈an␈α␈dled␈α␈,␈αλan␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αadd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns.␈α∞Its␈αon␈α␈l␈α↓y␈αdisa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈ge␈αis␈αa␈αlon␈α␈ger␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈α(sinc␈α␈e␈αthe
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tro␈α␈l␈α∞is␈α∞so␈α␈mewh␈α␈at␈α
more␈α
com␈α␈plex␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
so␈α␈me␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α∞c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
m␈α␈us␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞with
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈ned␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈)␈α↓.
␈ββE␈↓ 	f␈εε2␈↓ 
≤␈εε2␈↓ 
R␈εε2
␈ββJ␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∂p␈α␈ossibility␈α∞w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞p␈α␈erh␈α␈aps␈α∞b␈α␈e␈α∂to␈α∞e␈α␈valu␈α␈ate␈↓ π{␈ε	W␈↓ λ0␈εβan␈α␈d␈↓ λt␈ε	W␈↓ 	*␈εβa␈α␈t␈↓ 	V␈εβ1␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
␈εβ2␈↓ 
)␈εβ,␈↓ 
A␈εβ4␈↓ 
↑␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈ββT␈↓ λ↔␈εe␈↓ 	⊂␈εo
␈ββm␈↓ ↓c␈εr␈↓ ↓{␈εε2
␈ββq␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβ2␈↓ ↓p␈εβ)␈↓ απ␈εβ;␈α⊂a␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈α∞i␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈α
are␈α∞la␈α␈rger,␈α∂th␈α␈e␈α∞c␈α␈alculatio␈α␈ns␈α∞a␈α␈re␈α∞faste␈α␈r,␈α∂since␈α
all
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
by␈α
sh␈α␈i␈α↓ftin␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
all␈αdiv␈α␈i␈α↓sion␈α␈s␈αa␈α␈re␈αb␈α␈y␈αb␈α␈inary␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αo␈α␈f␈αthe
␈β∧<␈↓ α(␈εj␈↓ αP␈εk
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈↓ α↔␈εβ2␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈εβ2␈↓ αd␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α(Simp␈α␈le␈αpro␈α␈ced␈α␈ures␈αa␈α␈re␈αav␈α␈ail␈α↓a␈α␈ble␈αfor␈αd␈α␈ividin␈α␈g␈αby␈α
such␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.)
␈β∧s␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSt␈α␈art␈αthe␈↓ β≥␈ε	q␈↓ β+␈εβ,␈↓ β:␈ε	r␈↓ βU␈εβseq␈α␈uen␈α␈ces␈αou␈α␈t␈αwith␈↓ ¬u␈ε	q␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈↓ ε\␈ε	q␈↓ π↓␈εβla␈α␈rge␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈αso␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αineq␈α␈uality␈αin
␈β∧}␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εh␈εε1
␈β¬≠␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α∞3␈α∂is␈α∂v␈α␈alid.␈α⊗Then␈α∞w␈α␈e␈α∂will␈α∂|n␈α␈d␈α∞i␈α↓n␈α∞th␈α␈e␈α∂form␈α}ulas␈α∞ana␈α␈l␈α↓o␈α␈go␈α␈us␈α∂to␈α∞tho␈α␈se␈α∂p␈α␈reced␈α␈ing
␈β¬>␈↓ π8␈∧¬>π8α,
␈β¬@␈↓ π⊗␈ε↔p␈↓ λ≥␈∧¬@λ≥αM
␈β¬A␈↓ π|␈ε↔p
␈β¬E␈↓ εq␈εε1␈α␈+␈↓ π8␈εε2␈↓ πD␈εQ␈↓ πc␈ε~␈␈↓ λ≥␈εε2␈↓ λ*␈εQ
␈β¬J␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εT␈εα)
␈β¬M␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αλC␈απthat␈↓ β7␈ε	⊃␈↓ β↑␈ε↔!␈εβ␈α	0␈αλa␈α␈nd␈↓ ∧↑␈ε	⊃␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬;␈εβ1␈αα+␈α∧1␈α␈/(2␈↓ ε0␈ε	r␈↓ εI␈εβ)␈↓ ε`␈εβ2␈↓ πV␈ε
k␈↓ λ<␈ε
k␈↓ λH␈επ+1␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	Q␈↓ 	≡␈εβ/␈↓ 	/␈ε	Q␈↓ 	x␈εβ).␈α
The␈απfacto␈α␈r
␈β¬X␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧o␈εε2␈↓ ε<␈εk␈↓ 	⊃␈εk␈↓ 	E␈εk␈↓ 	R␈εε+1
␈β¬u␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓k␈εβ/␈↓ ↓|␈ε	Q␈↓ αP␈ε↔!␈εβ␈α1␈αa␈α␈s␈↓ βD␈ε	k␈↓ β←␈ε↔!␈α1␈εβ,␈α
so␈αw␈α␈e␈αcan␈αign␈α␈ore␈αit␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈↓ 	S␈ε	⊃␈↓ 	{␈εβ<␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
j␈ε	∂␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β¬}␈↓ ∧t␈ε↓p␈↓ πz␈ε↓p
␈β¬␈␈↓ ↓↑␈εk␈↓ α∩␈εk␈↓ α∨␈εε+1␈↓ 	d␈εε2
␈βε↓␈↓ β?␈ε↓p
␈βε→␈↓ ¬_␈∧ε→¬_αα+␈↓ λ≡␈∧ε→λ≡ααb
␈βε≤␈↓ βc␈∧ε≤βcαZ
␈βε!␈↓ ε<␈∧ε!ε<α5␈↓ 	?␈∧ε!	?α5
␈βε"␈↓ ε~␈ε↔p␈↓ 	≡␈ε↔p
␈βε$␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αlarg␈α␈e␈↓ αI␈ε	k␈↓ αZ␈εβ.␈α∞No␈α␈w␈↓ βc␈εβ2␈↓ βt␈ε	Q␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ¬_␈εβ2␈↓ ¬)␈ε	Q␈↓ ¬T␈εβ+␈αλ2␈ε↔␈α␈d␈↓ ε<␈εβ2␈↓ εL␈ε	Q␈↓ εu␈ε↔e␈εβ␈απ+␈αλ2␈↓ πN␈ε↔∃␈↓ λ≡␈εβ(2␈↓ λ:␈ε	Q␈↓ λe␈εβ+␈απ2␈↓ 	?␈εβ2␈↓ 	P␈ε	Q␈↓ 	{␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈απ1␈↓ ␈ε↔∃
␈βε.␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧↔␈εε+1␈↓ ¬?␈εk␈↓ εb␈εk␈↓ λP␈εk␈↓ 	f␈εk
␈βεK␈↓ εd␈ε~␈␈εε1/␈α␈(␈α↓3␈↓ π+␈εR␈↓ πJ␈εε)
␈βεL␈↓ ↓i␈∧εL↓iα5␈↓ ¬%␈εα(␈↓ εG␈εα)
␈βεN␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βεO␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ ↓z␈ε	Q␈↓ α∨␈εβ+␈α↓1␈αα+␈αα1␈α␈/(3␈↓ β4␈ε	R␈↓ βX␈εβ).␈α
Hen␈α␈ce␈↓ ∧T␈ε	⊃␈↓ ∧z␈ε↔∀␈↓ ¬1␈εβ1␈α↓+␈αα1/␈α␈(2␈↓ ε#␈ε	r␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εS␈εβ2␈↓ πS␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ λ ␈εβlg␈↓ λ@␈ε	⊃␈↓ λf␈εβ<␈α
0␈αεfor␈αεl␈α↓a␈α␈rge␈αεeno␈α␈ugh␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ.
␈βεS␈↓ π>␈ε
k
␈βεZ␈↓ α⊂␈εk␈↓ βK␈εk␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ε/␈εk␈↓ λP␈εε2
␈βεw␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αAlgorith␈α␈m␈α
C␈α
can␈α	also␈α
b␈α␈e␈α
mod␈α␈i|ed␈α	to␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α
a␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈↓ 	↓␈ε	q␈↓ 	→␈εβ,␈↓ 	-␈ε	q␈↓ 	E␈εβ,␈↓ 	Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈εβof␈α
a␈α	si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈βπ↓␈↓ 	
␈εε0␈↓ 	9␈εε1
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβty␈α␈pe␈αth␈α␈at␈αi␈α↓s␈αba␈α␈sed␈αon␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβ,␈αso␈αth␈α␈at␈↓ ¬$␈ε	n␈↓ ¬B␈ε↔→␈↓ ¬n␈ε	q␈↓ ε∂␈εβ+␈↓ ε8␈ε	q␈↓ πα␈εβafter␈αstep␈αC1␈α␈.␈α
This␈αmod␈α␈i|ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αl␈α↓e␈α␈ad␈α␈s
␈βπ)␈↓ ¬z␈εk␈↓ εD␈εk␈↓ εQ␈εε+1
␈βπF␈↓ ↓H␈εβto␈α
the␈αe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ate␈α(19␈α␈).
␈βπy␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈απcom␈α␈mon␈απdiviso␈α␈r␈αλof␈αλ6␈↓ ∧q␈ε	q␈↓ ¬β␈εβ+␈↓ ¬'␈ε	d␈↓ ¬K␈εβand␈απ6␈↓ ε~␈ε	q␈↓ ε,␈εβ+␈↓ εP␈ε	d␈↓ εt␈εβm␈α␈ust␈αλa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αλdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αλth␈α␈eir␈αλdi{erenc␈α␈e␈↓ 
C␈ε	d␈↓ 
c␈ε↔␈␈↓ π␈ε	d␈↓ #␈εβ.
␈βπ␈␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α%␈ε↓↓
␈βλβ␈↓ ¬7␈εε1␈↓ ε`␈εε2␈↓ 
S␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βλ→␈↓ α→␈εε6
␈βλ ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈↓ α=␈εβd␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈α	are␈α	2,␈α
3,␈α
4,␈α
6,␈α
8␈α␈,␈α1␈α␈,␈α
2,␈α
4,␈α
6,␈α
1,␈α
3,␈α
5␈α␈,␈α2␈α␈,␈α
4,␈α
2,␈α
so␈α	we␈α	m␈α␈u␈α␈st␈α
on␈α␈ly␈α	sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈βλ1␈↓ α→␈εε2
␈βλH␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α	most␈α	on␈α␈e␈α	of␈α	the␈α	g␈α␈iv␈α␈en␈α	n␈α}um␈α}bers␈α	is␈α	div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α	b␈α␈y␈α	ea␈α␈ch␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	primes␈α	2␈α␈,␈α
3,␈α
5␈α␈.␈αClearly␈α	o␈α␈nly
␈βλp␈↓ ↓H␈εβ6␈↓ ↓X␈ε	q␈↓ ↓n␈εβ+␈απ2␈α
is␈αev␈α}en,␈α
and␈α
o␈α␈nly␈α
6␈↓ ∧B␈ε	q␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈αis␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈α3;␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈ere␈α
i␈α↓s␈α
at␈α
most␈α
on␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f
␈β	↔␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈↓ α>␈ε	q␈↓ αa␈ε↔@⊃␈↓ β␈εβ3␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
5).
␈β	"␈↓ αJ␈εk
␈β	F␈↓ ∧∩␈εk␈↓ πO␈εk␈↓ λy␈εk␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
∨␈εk
␈β	J␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε	t␈↓ α2␈ε↔∀␈εβ␈α∂6␈↓ αr␈ε	t␈↓ β9␈εβ+␈↓ βd␈ε	c␈↓ βq␈ε	k␈↓ ∧↓␈εβ3␈↓ ∧-␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α∞some␈α∞co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ εD␈ε	c␈↓ εQ␈εβ;␈α⊃so␈↓ π↔␈ε	t␈↓ π.␈εβ/␈↓ π>␈εβ6␈↓ πk␈ε↔∀␈↓ λ≠␈ε	t␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈εβ6␈↓ 	6␈εβ+␈↓ 	a␈ε	c␈↓ 	n␈ε	k␈↓ 	}␈εβ/␈↓ 
∂␈εβ2␈↓ 
;␈ε↔∀␈↓ 
k␈ε	t␈↓ ␈εβ+
␈β	S␈↓ ↓Z␈ε↓P
␈β	T␈↓ α⊗␈εk␈↓ α|␈εk␈↓ β
␈ε~␈␈εε1␈↓ π ␈εk␈↓ λ%␈εk␈↓ λ2␈ε~␈␈εε1␈↓ 
u␈εε0
␈β	m␈↓ αm␈εj␈↓ ¬Z␈εk
␈β	q␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	j␈↓ αL␈εβ/␈↓ α]␈εβ2␈↓ αy␈εβ)␈α
=␈↓ β8␈ε	M␈↓ β[␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈↓ ∧C␈ε	t␈↓ ∧d␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε	M␈↓ ¬8␈ε↔↓␈↓ ¬I␈εβ6␈↓ ¬g␈εβ.
␈β	|␈↓ ∧M␈εk
␈β
∧␈↓ α␈εj␈↓ α␈ε~∃␈εε1
␈β
(␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈αλana␈α␈log␈α	o␈α␈f␈α	E␈α↓q␈α␈.␈α
(4␈α␈0)␈α	w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αλb␈α␈reak␈αλdo␈α␈wn␈α␈.␈αIn␈αλfact␈α	it␈α	is␈α	impo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α	to␈α	\␈α␈un␈α}tran␈α␈sform"
␈β
P␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α|n␈α␈i␈α↓te␈αFou␈α␈ri␈α↓e␈α␈r␈α
tran␈α␈sform␈αof␈α(␈↓ ¬∨␈ε	a␈↓ ¬<␈εβ,␈↓ ¬J␈ε	a␈↓ ¬f␈εβ,␈↓ ¬u␈ε	a␈↓ ε⊃␈εβ,␈↓ ε ␈ε	a␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εM␈εβmo␈α␈d␈↓ π⊃␈εβ15␈αwhen␈↓ λ_␈ε	|␈↓ λ9␈εβ=␈α2␈α␈,␈α∞sin␈α␈ce␈αi␈α↓n␈α␈forma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis
␈β
Z␈↓ ¬/␈εε0␈↓ ¬Z␈εε1␈↓ ε¬␈εε2␈↓ ε0␈εε3
␈β
w␈↓ ↓H␈εβlos␈α␈t␈αd␈α␈ur␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αtran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈rocess␈α␈.
␈β*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε	K␈↓ α(␈ε	u␈↓ β>␈εβ.
␈β6␈↓ α;␈εε(␈ε~␈␈↓ α\␈εr␈↓ αh␈εε)␈↓ αu␈εεmod␈↓ β)␈εK
␈β]␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβWe␈αn␈α␈eed␈↓ β⊗␈ε	k␈↓ β0␈ε↔∀␈↓ β[␈ε	l␈↓ βk␈εβ+␈αλ3␈αso␈αthat␈↓ ¬"␈ε	|␈↓ ¬B␈εβi␈α↓s␈αw␈α␈ell-␈α↓d␈α␈e|␈α␈ned␈α␈,␈αan␈α␈d␈↓ πe␈ε	l␈↓ πv␈εβ+␈αλ3␈ε↔␈α	∀␈↓ λd␈ε	n␈↓ 	∧␈εβs␈α␈o␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rod␈α␈uct␈α␈s
␈β|␈↓ ↓M␈εβ∂␈↓ ↓l␈εβ∂
␈β∧␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓h␈ε	V␈↓ α⊃␈εβh␈α␈av␈α}e␈αfew␈α␈er␈αb␈α␈i␈α↓ts␈αth␈α␈an␈α
the␈αp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈↓ ¬z␈ε	u␈↓ ε∞␈ε	v␈↓ ε ␈εβ.␈α[Sch␈↓ εq␈εβ∪␈↓ εq␈εβo␈↓ πα␈εβn␈α␈ha␈α␈ge␈αob␈α␈serv␈α}es␈αtha␈α␈t␈αw␈α␈e␈αcou␈α␈ld␈αac␈α␈tua␈α␈l␈α↓ly
␈β∂␈↓ ↓←␈εt␈↓ ↓|␈εt
␈β$␈↓ ∧M␈ε
n␈↓ ∧]␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ ¬L␈ε
n␈↓ ¬[␈ε≠␈␈επ2␈↓ λ↓␈ε
n
␈β(␈↓ ∧-␈εε3␈ε~↓␈↓ ∧A␈εε2␈↓ ¬?␈εε2␈↓ ελ␈εε2␈↓ πu␈εε2
␈β,␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈↓ α≡␈ε	k␈↓ α7␈εβ=␈↓ αb␈ε	l␈↓ αr␈εβ+␈αλ4,␈αsince␈α(␈↓ ∧≥␈εβ2␈↓ ¬ε␈ε↔␈␈↓ ¬/␈εβ2␈↓ ¬⎇␈εβ)␈↓ ε≡␈ε↔⊃␈εβ␈α
2␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ πd␈εβ2␈↓ λ_␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓.]
␈βZ␈↓ β&␈ε~00
␈β[␈↓ 
e␈εε3
␈β←␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈αThe␈↓ β¬␈ε	W␈↓ β?␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈α\rea␈α␈d␈αo{"␈αfrom␈αth␈α␈e␈αbina␈α␈ry␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αpro␈α␈du␈α␈ct␈αof␈αt␈α␈wo␈↓ 
u␈ε	k␈↓ ε␈ε	K␈↓ !␈εβ-
␈βm␈↓ 
e␈∧m
eα
␈βn␈↓ β ␈εr
␈βo␈↓ 
e␈εε2
␈β
α␈↓ β)␈ε~0␈↓ ∧B␈ε~0␈↓ ∧f␈ε~0␈↓ ¬r␈ε~0␈↓ πλ␈ε~0␈↓ π(␈ε~0␈↓ λr␈ε~0
␈β
ε␈↓ ↓H␈εβb␈α␈it␈α
n␈α}um␈α}bers␈α(␈↓ β∞␈ε	U␈↓ β{␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧'␈ε	U␈↓ ∧K␈ε	U␈↓ ∧n␈εβ)␈↓ ¬&␈ε↔α␈εβ␈αλ(␈↓ ¬Z␈ε	V␈↓ εD␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εp␈ε	V␈↓ π⊂␈ε	V␈↓ π1␈εβ)␈↓ π`␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ λW␈ε	U␈↓ 	¬␈εβ=␈↓ 	2␈ε	U␈↓ 	Y␈εβm␈α␈od␈↓ 
≥␈εβ(␈↓ 
(␈ε	K␈↓ 
>␈εβ/2␈α␈)␈α
a␈α␈nd
␈β
⊃␈↓ ¬ε␈επ3␈↓ ¬⊃␈ε
k␈↓ πH␈επ3␈↓ πS␈ε
k␈↓ 	G␈εj
␈β
∀␈↓ ∧y␈εε2␈↓ π<␈εε2
␈β
∃␈↓ β%␈εK␈↓ β6␈εε/2␈ε~␈α␈␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧>␈εε1␈↓ ∧b␈εε0␈↓ ¬n␈εK␈↓ ¬␈␈εε/2␈ε~␈α␈␈␈εε␈α↓1␈↓ π∧␈εε1␈↓ π$␈εε0␈↓ λn␈εj
␈β
*␈↓ ↓←␈ε~0␈↓ πK␈εε1.6
␈β
.␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ ↓q␈εβ=␈↓ α≠␈ε	V␈↓ α?␈εβmod␈↓ β∧␈εβ(␈↓ β∂␈ε	K␈↓ β%␈εβ/␈α␈2).␈αTh␈α␈is␈α	pr␈α␈odu␈α␈ct␈α	c␈α␈an␈αλbe␈αλfou␈α␈nd␈αλin␈↓ π␈ε	O␈↓ π%␈εβ(␈↓ π0␈ε	K␈↓ πk␈εβ)␈α
=␈↓ λ*␈ε	O␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	N␈↓ λl␈εβ)␈α	step␈α␈s␈α	b␈α␈y␈α	K␈α␈aratsu␈α␈ba␈α␈'s
␈β
8␈↓ α.␈εj
␈β
=␈↓ ↓[␈εj
␈β
Q␈↓ ∧	␈ε~0␈↓ ∧\␈εε2␈↓ ∧h␈εL␈↓ λ|␈ε~00␈↓ 	↑␈ε~0␈↓ 
1␈εε2␈↓ 
=␈εL
␈β
U␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d.␈α~(b␈α␈)␈↓ β␈ε	W␈↓ β=␈εβ=␈↓ βh␈ε	W␈↓ ∧↔␈εβ+␈αλ(␈↓ ∧K␈εβ2␈↓ ¬α␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ ¬F␈ε	x␈↓ ¬X␈εβ,␈αwhere␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ π∩␈ε	x␈↓ π-␈εβ<␈↓ πW␈ε	K␈↓ πm␈εβ/2␈αa␈α␈nd␈↓ λ[␈ε	W␈↓ 	∩␈ε↔⊃␈↓ 	=␈ε	W␈↓ 	l␈εβ+␈↓ 
∃␈εβ(␈↓ 
 ␈εβ2␈↓ 
W␈εβ+␈απ1)␈↓ ≠␈ε	x
␈β
`␈↓ β'␈εr
␈β
d␈↓ ∧β␈εr␈↓ λv␈εr␈↓ 	X␈εr
␈β
y␈↓ εh␈ε~00␈↓ πG␈ε~0
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	K␈↓ α←␈εβ/2␈α␈);␈α
sin␈α␈ce␈↓ βs␈ε	k␈↓ ∧
␈ε↔∀␈εβ␈α2␈↓ ∧I␈ε	L␈↓ ∧←␈εβ,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬u␈ε	x␈↓ ε⊃␈εβ=␈α
(␈↓ εG␈ε	W␈↓ ε⎇␈ε↔␈␈↓ π&␈ε	W␈↓ πM␈εβ)␈↓ π↑␈εβmod␈↓ λ#␈εβ(␈↓ λ.␈ε	K␈↓ λD␈εβ/␈α␈2).␈α~(␈α↓S␈α␈pe␈α␈cial␈αca␈α␈se␈αo␈α␈f␈αthe
␈β∞␈↓ εc␈εr␈↓ πA␈εr
␈β∞%␈↓ ↓H␈εβCh␈α␈inese␈α
remain␈α␈der␈αth␈α␈eore␈α␈m.)
␈β∞W␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβIf␈α∞it␈α∞ta␈α␈k␈α␈es␈↓ β,␈ε	T␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	n␈↓ βc␈εβ)␈α∞c␈α␈y␈α␈cles␈α
to␈α∞m␈α␈u␈α␈ltiply␈↓ ε⊃␈ε	n␈↓ ε%␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α∂w␈α␈e␈α
can␈α
a␈α␈ccom␈α␈plish␈α∞th␈α␈e␈α∞m␈α}ulti-
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α∞o␈α␈f␈↓ α}␈ε	m␈↓ β≠␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞b␈α␈y␈↓ ∧⊂␈ε	n␈↓ ∧$␈εβ-bit␈α∞by␈α
brea␈α␈kin␈α␈g␈α∞the␈↓ εb␈ε	n␈↓ εv␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞in␈α␈to␈ε↔␈α∞d␈↓ 	π␈ε	n␈↓ 	≠␈εβ/␈↓ 	+␈ε	m␈↓ 	I␈ε↔e␈↓ 	d␈ε	m␈↓ 
↓␈εβ-bit␈α∞gro␈α␈up␈α␈s,
␈β∂&␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈ε↔␈α
d␈↓ α+␈ε	n␈↓ α?␈εβ/␈↓ αP␈ε	m␈↓ αm␈ε↔e␈↓ αz␈ε	T␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	m␈↓ β:␈εβ)␈αε+␈↓ βs␈ε	O␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ+␈↓ ∧Y␈ε	m␈↓ ∧w␈εβ)␈α
op␈α␈eration␈α␈s.␈αThe␈α
resu␈α␈l␈α↓ts␈α
of␈αth␈α␈is␈αsec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
there␈α␈fore␈α
giv␈α␈e␈α
an
␈β∂N␈↓ ↓H␈εβe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ated␈α
run␈α␈ning␈α
time␈αof␈↓ ∧N␈ε	O␈↓ ∧f␈εβ(␈↓ ∧q␈ε	n␈↓ ¬␈εβlog␈↓ ¬;␈ε	m␈↓ ¬↑␈εβlog␈↓ ε∞␈εβlog␈↓ ε>␈ε	m␈↓ ε[␈εβ).
␈β⊂↓␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβAn␈α∞a␈α␈uto␈α␈mato␈α␈n␈α∞ca␈α␈nn␈α␈ot␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬1␈ε	z␈↓ ¬W␈εβ=␈α∂1␈α
un␈α}ti␈α↓l␈α∞it␈α∞ha␈α␈s␈↓ πY␈ε	c␈↓ πt␈ε↔∃␈εβ␈α∂2␈α␈,␈α∂and␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α∞|rst␈α∞fo␈α␈r
␈β⊂␈↓ ¬=␈εε2
␈β⊂(␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓}␈εβa␈α␈t␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α
3␈↓ βπ␈ε	j␈↓ β∨␈ε↔␈␈εβ␈α	1.␈α⊃It␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈↓ ¬T␈ε	M␈↓ ε
␈εβca␈α␈nn␈α␈ot␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πJ␈ε	z␈↓ πb␈ε	z␈↓ πy␈ε	z␈↓ λ≡␈ε↔≤␈εβ␈α
00␈α␈0␈α
un␈α}til␈α∞time␈α
3␈α␈(␈↓ 
F␈ε	j␈↓ 
]␈ε↔␈␈εβ␈α	1).
␈β⊂3␈↓ ↓d␈εj␈↓ ¬q␈εj␈↓ πU␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ∧␈εε0
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈α∂if␈↓ β;␈ε	M␈↓ βr␈εβh␈α␈as␈↓ ∧0␈ε	z␈↓ ∧V␈ε↔≤␈εβ␈α∞0␈α∞at␈α∞time␈↓ ε≡␈ε	t␈↓ ε*␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α␈no␈α␈t␈α∞cha␈α␈ng␈α␈e␈α∞this␈α∞to␈↓ 	H␈ε	z␈↓ 	m␈εβ=␈α∂0␈α∞with␈α␈ou␈α␈t
␈β⊂Z␈↓ βX␈εj␈↓ ∧;␈εε0␈↓ 	S␈εε0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈{␈α↓e␈α␈cting␈α	the␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t;␈α
bu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α	can␈α␈no␈α␈t␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈{␈α↓e␈α␈cted␈α	by␈α	th␈α␈is␈α
v␈α␈alue␈α	of␈↓ 	T␈ε	z␈↓ 	v␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α
a␈α␈t␈α
leas␈α␈t
␈β⊃α␈↓ 	←␈εε0
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβtime␈↓ α∃␈ε	t␈↓ α*␈εβ+␈↓ αT␈ε	j␈↓ αk␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬S␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	j␈↓ ε∀␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ π→␈ε	n␈↓ π-␈εβ.␈α⊃Sin␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
arg␈α␈umen␈α}t␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈av␈α␈e
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα670␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.3
␈βα*␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α∞th␈α␈at␈α∞3␈α␈(␈↓ β_␈ε	j␈↓ β0␈ε↔␈␈εβ␈α
1)␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧3␈ε	t␈↓ ∧?␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞4␈α␈(␈↓ εL␈ε	j␈↓ εd␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α∞∀␈εβ␈α∞2␈↓ πx␈ε	n␈↓ λ␈εβ,␈α∞tha␈α␈t␈α∞is,␈↓ 	≤␈ε	j␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈ε↔␈α
∀␈↓ 
,␈ε	n␈↓ 
@␈εβ/␈α␈2,␈α∂i.e.,
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓`␈ε↔∀␈α	b␈↓ α↔␈ε	n␈↓ α+␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1␈α␈.
␈βαu␈↓ 
Y␈εn
␈βαy␈↓ α␈εβFurth␈α␈ermo␈α␈re,␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α
is␈α
the␈α
b␈α␈est␈α
po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α
bo␈α␈un␈α␈d,␈α∞sinc␈α␈e␈α
the␈α
inp␈α␈uts␈↓ 	-␈ε	u␈↓ 	N␈εβ=␈↓ 	|␈ε	v␈↓ 
~␈εβ=␈↓ 
H␈εβ2␈↓ 
r␈ε↔␈␈εβ␈α	1
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quire␈αth␈α␈e␈αuse␈αo␈α␈f␈↓ βQ␈ε	M␈↓ ∧¬␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧g␈ε	j␈↓ ¬␈ε↔∀␈α
b␈↓ ¬7␈ε	n␈↓ ¬L␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1.␈α(For␈αex␈α␈am␈α␈ple,␈αn␈α␈ote␈αfro␈α␈m␈αTable␈α1␈αth␈α␈at␈↓ β␈ε	M
␈ββ,␈↓ βn␈εj␈↓  ␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈εβis␈αn␈α␈eede␈α␈d␈αto␈αm␈α}ultiply␈αt␈α␈w␈α␈o-b␈α␈it␈αn␈α␈um␈α}bers,␈αat␈αtime␈α
3.)
␈β∧2␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.4
␈β∧p␈↓ βM␈εα(␈↓ πz␈εα)
␈β∧s␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβWe␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ β↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε	a␈↓ ∧=␈ε	b␈↓ ¬␈εβ+␈↓ ¬4␈ε	a␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε⊃␈ε	b␈↓ εa␈εβ+␈↓ π	␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π6␈εβ+␈↓ π↑␈ε	a␈↓ λ␈ε	b␈↓ λ*␈εβ+␈↓ λR␈ε	a␈↓ λy␈εβb␈α␈y␈α
ad␈α␈din␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
m␈α}ulti-
␈β∧}␈↓ ∧%␈εm␈↓ ∧I␈εm␈↓ ∧`␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬D␈εm␈↓ ¬[␈ε~␈␈εε2␈↓ ε≥␈εm␈↓ ε5␈ε~␈␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ↔␈εε1␈↓ λb␈εε0
␈β¬≠␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lying␈α
i␈α↓n␈α
the␈↓ β∞␈ε	B␈↓ β8␈εβsyste␈α␈m.
␈β¬%␈↓ β!␈εj
␈β¬O␈↓ ∧/␈εβT␈α↓.␈↓ ¬*␈εβ=␈α
2␈α␈0(cwt.␈↓ εs␈εβ=␈α
8(st.␈↓ λ≡␈εβ=␈α
1␈α␈4(lb.␈↓ 	@␈εβ=␈α	16␈αo␈α␈z.)))
␈β¬}␈↓ α
␈εβS␈α␈tart␈αwith␈αzer␈α␈o␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ0␈↓ 
⊂␈εβ0
␈βε%␈↓ α
␈εβAdd␈α
3␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ0␈↓ 
⊂␈εβ3
␈βεM␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α24␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ4␈↓ 
⊂␈εβ8
␈βεu␈↓ α
␈εβAdd␈α
9␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ5␈↓ 
⊂␈εβ1
␈βπ≤␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α60␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ2␈↓ π ␈εβ5␈↓ λ\␈εβ9␈↓ 	␈␈εβ12
␈βπD␈↓ α
␈εβAdd␈α
12␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ2␈↓ π ␈εβ5␈↓ λK␈εβ10␈↓ 
⊂␈εβ8
␈βπk␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α60␈↓ ∧8␈εβ8␈↓ ¬l␈εβ3␈↓ π ␈εβ1␈↓ λ\␈εβ0␈↓ 
⊂␈εβ0
␈βλ∪␈↓ α
␈εβAdd␈α
37␈↓ ∧8␈εβ8␈↓ ¬l␈εβ3␈↓ π ␈εβ1␈↓ λ\␈εβ2␈↓ 
⊂␈εβ5
␈βλK␈↓ ↓H␈εβ(Ad␈α␈dition␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αb␈α␈y␈αa␈αcon␈α␈stan␈α␈t␈αin␈αa␈αmix␈α␈ed␈α␈-rad␈α␈i␈α↓x␈αsystem␈αa␈α␈re␈α
re␈α␈adily␈αd␈α␈one
␈βλs␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈ple␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈αo␈α␈f␈αt␈α␈he␈αu␈α␈sua␈α␈l␈αca␈α␈rry␈αru␈α␈le;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αex␈α}ercise␈α4.3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑9.)
␈β	"␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβWe␈α∞c␈α␈omp␈α␈ute␈ε↔␈α
b␈↓ β`␈ε	u␈↓ βt␈εβ/␈↓ ∧¬␈ε	B␈↓ ∧%␈ε↔c␈εβ,␈ε↔␈α∞bb␈↓ ∧c␈ε	u␈↓ ∧w␈εβ/␈↓ ¬λ␈ε	B␈↓ ¬(␈ε↔c␈εβ/␈↓ ¬E␈ε	B␈↓ ¬e␈ε↔c␈εβ,␈α∂e␈α␈tc.,␈α∂an␈α␈d␈α
the␈α
rem␈α␈aind␈α␈ers␈α
are␈↓ 	:␈ε	A␈↓ 	\␈εβ,␈↓ 	t␈ε	A␈↓ 
⊗␈εβ,␈α∞etc␈α␈.␈α∪The
␈β	-␈↓ ∧_␈εε0␈↓ ¬≠␈εε0␈↓ ¬Y␈εε1␈↓ 	P␈εε0␈↓ 
	␈εε1
␈β	J␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈αis␈αd␈α␈one␈α
i␈α↓n␈α
the␈↓ ∧∃␈ε	b␈↓ ∧8␈εβsy␈α␈stem.
␈β	T␈↓ ∧!␈εj
␈β	}␈↓ ∧␈εβd.␈↓ ¬∀␈εβ=␈α	24(h␈α␈.␈↓ εC␈εβ=␈α
6␈α␈0(m.␈↓ πs␈εβ=␈α
60␈α
s.␈α↓))
␈β
-␈↓ αα␈εβSta␈α␈rt␈αw␈α↓ith␈↓ β#␈ε	u␈↓ ∧⊃␈εβ3␈↓ ¬E␈εβ9␈↓ εp␈εβ12␈↓ λ$␈εβ37
␈β
U␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α1␈α␈6␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ5␈↓ π↓␈εβ4␈↓ λ$␈εβ32␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	5
␈β
|␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α1␈α␈4␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ εp␈εβ21␈↓ λ$␈εβ45␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	2
␈β$␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α8␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ2␈↓ λ$␈εβ43␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	1
␈βK␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α2␈α␈0␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ0␈↓ λ5␈εβ8␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	3
␈βs␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈ε↔␈α1␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ0␈↓ λ5␈εβ0␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	8
␈β+␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈sw␈α␈er:␈εβ␈α8␈αT.␈α3␈α
cwt.␈α1␈αst.␈α2␈αlb.␈α5␈αoz␈α␈.
␈β[␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈α∂follo␈α␈wing␈α∂p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α⊂d␈α␈ue␈α∂to␈α∂G.␈α⊂L.␈α⊂S␈α␈teele␈α∂Jr.␈α∂and␈α∂J␈α␈on␈α∂L.␈α⊂White␈α∂ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈s
␈β
α␈↓ ↓H␈εβTa␈α␈ran␈α␈t␈α␈o's␈αalgorith␈α␈m␈αfor␈↓ ∧*␈ε	B␈↓ ∧I␈εβ=␈α
2␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈inally␈αp␈α␈ub␈α␈li␈α↓sh␈α␈ed␈αin␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α2␈εβ,␈α7␈α(Ju␈α␈ly␈α19␈α␈59),␈α27␈α␈.
␈β
/␈↓ ↓O␈ε∪A1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε	M␈↓ ∧$␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ∧t␈ε	U␈↓ ¬∨␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β
9␈↓ ¬	␈εε0
␈β
[␈↓ ↓O␈ε∪A2.␈↓ α␈εβ[Don␈α␈e?]␈α⊗If␈↓ β,␈ε	u␈↓ βJ␈εβ<␈↓ βt␈ε	∂␈↓ ∧␈εβo␈α␈r␈↓ ∧2␈ε	u␈↓ ∧O␈εβ>␈α
1␈ε↔␈α¬␈␈↓ ¬6␈ε	∂␈↓ ¬C␈εβ,␈α
go␈α	to␈α	step␈α	A4.␈α(Ot␈α␈herwise␈α	no␈↓ λ⎇␈ε	M␈↓ 	 ␈εβ-p␈α␈lace␈α	fraction␈α	will
␈β∞β␈↓ α␈εβsatisfy␈α
the␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.)
␈β∞0␈↓ ↓O␈ε∪A3.␈↓ α␈εβ[Tran␈α␈sform.]␈α~S␈α␈et␈↓ ∧∀␈ε	M␈↓ ∧@␈ε↔ ␈↓ ∧j␈ε	M␈↓ ¬∀␈εβ+␈αλ1,␈↓ ¬b␈ε	U␈↓ ε4␈ε↔ ␈α
b␈↓ εl␈ε	B␈↓ πα␈ε	u␈↓ π⊗␈ε↔c␈εβ,␈↓ π7␈ε	u␈↓ πU␈ε↔ ␈↓ π␈␈ε	B␈↓ λ⊗␈ε	u␈↓ λ/␈εβmod␈↓ λt␈εβ1␈α␈,␈↓ 	→␈ε	∂␈↓ 	/␈ε↔ ␈↓ 	Y␈ε	B␈↓ 	p␈ε	∂␈↓ 	⎇␈εβ,␈αan␈α␈d␈αret␈α␈urn
␈β∞:␈↓ ¬w␈ε~␈␈↓ ε⊃␈εM
␈β∞W␈↓ α␈εβto␈α
A2.␈α∩(This␈α
tran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
retu␈α␈rns␈α
us␈α
to␈α
essen␈α}tially␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞st␈α␈ate␈α
w␈α␈e␈α∞w␈α␈er␈α␈e␈α∞in
␈β∞␈␈↓ α␈εβbe␈α␈fore:␈αth␈α␈e␈αre␈α␈mainin␈α␈g␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αi␈α↓s␈αto␈αcon␈α}v␈α␈ert␈↓ π∪␈ε	u␈↓ π2␈εβto␈↓ π\␈ε	U␈↓ λα␈εβwi␈α↓t␈α␈h␈αf␈α↓e␈α␈w␈α␈est␈αra␈α␈dix-␈↓ 
␈ε	B␈↓ 
,␈εβplace␈α␈s␈αso
␈β∂&␈↓ α␈εβth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ α↑␈ε	U␈↓ β↓␈ε↔␈␈↓ β+␈ε	u␈↓ β?␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ β␈␈ε	∂␈↓ ∧␈εβ.␈α∞No␈α␈te,␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈αthat␈↓ εS␈ε	∂␈↓ εk␈εβmay␈αno␈α␈w␈αb␈α␈e␈ε↔␈α∃␈εβ␈α1;␈αi␈α↓n␈αth␈α␈i␈α↓s␈αc␈α␈ase␈αw␈α␈e␈αco␈α␈uld
␈β∂N␈↓ α␈εβgo␈α
i␈α↓m␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈tely␈αto␈αste␈α␈p␈αA4␈αins␈α␈tead␈α
of␈αstoring␈α
the␈αn␈α␈ew␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ 	 ␈ε	∂␈↓ 	-␈εβ.)
␈β∂w␈↓ ∧⊂␈εε1␈↓ πU␈εε1
␈β∂{␈↓ ↓O␈ε∪A4.␈↓ α␈εβ[Rou␈α␈nd␈α␈.␈α↓]␈α→If␈↓ βD␈ε	u␈↓ βa␈ε↔∃␈↓ ∧ ␈εβ,␈αi␈α↓n␈α␈crea␈α␈se␈↓ ¬2␈ε	U␈↓ επ␈εβb␈α␈y␈α1␈α␈.␈α(If␈↓ π	␈ε	u␈↓ π&␈εβ=␈↓ πp␈εβex␈α␈actly,␈αan␈α␈oth␈α␈er␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αru␈α␈l␈α↓e
␈β⊂¬␈↓ ¬H␈ε~␈␈↓ ¬a␈εM
␈β⊂	␈↓ ∧⊂␈∧⊂	∧⊂α
␈↓ πU␈∧⊂	πUα
␈β⊂␈↓ ∧⊂␈εε2␈↓ πU␈εε2
␈β⊂"␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈αas␈α\␈α␈increa␈α␈se␈↓ ∧∂␈ε	U␈↓ ∧c␈εβby␈α
1␈αon␈α␈ly␈αwhe␈α␈n␈αit␈αi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈"␈αmigh␈α}t␈αbe␈αp␈α␈referre␈α␈d.)
␈β⊂$␈↓ 
,␈∧⊂$
,≠∂
␈β⊂-␈↓ ∧$␈ε~␈␈↓ ∧>␈εM
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tep␈α
A4␈αwill␈αn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αincrea␈α␈se␈↓ ∧]␈ε	U␈↓ ¬1␈εβfro␈α␈m␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε≡␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αto␈↓ π
␈ε	B␈↓ π ␈εβ;␈αfo␈α␈r␈αi␈α↓f␈↓ λλ␈ε	U␈↓ λZ␈εβ=␈↓ 	∧␈ε	B␈↓ 	"␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊂Z␈↓ ∧r␈ε~␈␈↓ ¬␈εM␈↓ λ≥␈ε~␈␈↓ λ6␈εM
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓u␈εβ>␈α
0,␈αbu␈α␈t␈αn␈α␈o␈α(␈↓ β>␈ε	M␈↓ βh␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)-plac␈α␈e␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αw␈α↓a␈α␈s␈αsu␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈αac␈α␈cura␈α␈te.␈α
Stee␈α␈l␈α↓e␈αan␈α␈d␈αWh␈α␈i␈α↓te␈αgo
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αto␈αc␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈er␈α⎇o␈α␈ating␈α␈-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αcon␈α}v␈α␈ersion␈α␈s␈αin␈αth␈α␈eir␈αp␈α␈ap␈α␈er␈α[to␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα671
␈βα&␈↓ αp␈εk␈↓ βB␈εk␈↓ ∧↓␈εk
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(a)␈α1/␈↓ α←␈εβ2␈↓ βε␈εβ=␈↓ β1␈εβ5␈↓ βO␈εβ/␈α␈1␈↓ βp␈εβ0␈↓ ∧∞␈εβ.␈α→(b)␈αEv␈α␈ery␈α
prime␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ π8␈ε	b␈↓ πP␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ λA␈ε	B␈↓ λW␈εβ.
␈βαh␈↓ αX␈εn
␈βαl␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβI{␈α1␈↓ αG␈εβ0␈↓ αp␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈α	∀␈↓ β]␈ε	c␈↓ βs␈εβ<␈↓ ∧≡␈ε	w␈↓ ∧6␈εβ,␈αc␈α␈f␈α↓.␈α(3).
␈ββ-␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε	␈↓ α≡␈ε	u␈↓ α=␈ε↔∀␈↓ αh␈ε	u␈↓ α|␈ε	x␈↓ β_␈ε↔∀␈↓ βC␈ε	␈↓ βU␈ε	u␈↓ βq␈εβ+␈↓ ∧~␈ε	u␈↓ ∧.␈εβ/␈↓ ∧?␈ε	w␈↓ ∧b␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε	␈↓ ¬ ␈ε	u␈↓ ¬<␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αhen␈α␈ce␈ε↔␈αb␈↓ εt␈ε	␈↓ ππ␈ε	u␈↓ π≠␈ε↔c␈α
∀␈α
b␈↓ πj␈ε	u␈↓ π}␈ε	x␈↓ λ⊂␈ε↔c␈α
∀␈α
b␈↓ λ←␈ε	␈↓ λr␈ε	u␈↓ 	
␈εβ+␈α	1␈ε↔␈α␈c␈εβ.␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,
␈ββU␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αsp␈α␈ecial␈αcase␈α
cited␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬*␈ε	u␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬Y␈εβ<␈↓ ε∧␈ε	␈↓ ε⊗␈ε	u␈↓ ε1␈εβ+␈↓ εZ␈ε	␈↓ εw␈εβand␈ε↔␈α
b␈↓ πE␈ε	␈↓ πW␈ε	u␈↓ πk␈ε↔c␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	b␈↓ λ9␈ε	␈↓ λK␈ε	u␈↓ λg␈εβ+␈↓ 	⊂␈ε	␈↓ 	)␈ε↔␈␈↓ 	R␈ε	∂␈↓ 	←␈ε↔c␈εβ.
␈β∧&␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T1␈↓ β[␈ε∃0
␈β∧)␈↓ ↓g␈ε∪8.
␈β∧N␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃U
␈β∧u␈↓ α␈ε∃1H␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃=1␈α␈//10␈α␈=
␈β¬≥␈↓ α␈ε∃3H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈β¬E␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃=-␈α␈10=
␈β¬l␈↓ α←␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ β[␈ε∃5
␈βε∀␈↓ α←␈ε∃AD␈α␈D␈↓ β[␈ε∃U
␈βε;␈↓ α←␈ε∃JA␈α␈NN␈↓ β[␈ε∃2F
␈βεc␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈βεf␈↓ ¬*␈εβ(Can␈α
occu␈α␈r␈αon␈α␈ly␈αon
␈βπ␈↓ α←␈ε∃DE␈α␈CA␈↓ β[␈ε∃1
␈βπ∞␈↓ ¬r␈εβth␈α␈e␈α|rst␈αitera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,
␈βπ2␈↓ α←␈ε∃JM␈α␈P␈↓ β[␈ε∃3B
␈βπ5␈↓ ¬r␈εβby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α7.)
␈βπZ␈↓ α␈ε∃2H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃AN␈α␈SWER␈α␈,1
␈βπ]␈↓ ¬*␈εβ(Ma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αmin␈α␈u␈α␈s␈αz␈α␈ero.)
␈βλ↓␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈βλ)␈↓ α←␈ε∃IN␈α␈C1␈↓ β[␈ε∃1
␈βλQ␈↓ α←␈ε∃JA␈α␈P␈↓ β[␈ε∃1B
␈βλV␈↓ ¬O␈∧λV¬O≠∂
␈β	⊃␈↓ α?␈ε~0␈↓ ¬-␈ε~0
␈β	∩␈↓ λ)␈εα(␈↓ 
u␈εα)
␈β	∃␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α.␈ε	x␈↓ αQ␈εβis␈αan␈αin␈α␈te␈α␈ger,␈↓ ∧_␈ε	x␈↓ ∧1␈ε↔␈␈↓ ∧Z␈ε	∂␈↓ ∧q␈ε↔∀␈↓ ¬≤␈ε	x␈↓ ¬=␈ε↔∀␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ,␈αthen␈α
(␈α↓1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈↓ πH␈ε	n␈↓ π\␈εβ)␈↓ πg␈ε	x␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ5␈εβ(1␈απ+␈αλ1/␈↓ 	"␈ε	n␈↓ 	6␈εβ)␈↓ 	B␈ε	∂␈↓ 	V␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓ 
a␈ε	n␈↓ ␈ε↔∀
␈β	9␈↓ ↓Y␈ε~0␈↓ α.␈ε~0
␈β	=␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓g␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ α≤␈ε	x␈↓ α4␈εβ/␈↓ αE␈ε	n␈↓ αY␈ε↔c␈α	∀␈εβ␈α	(␈α↓1␈απ+␈απ1/␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ)␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧7␈εβ.␈αH␈α↓e␈α␈nce␈αif␈↓ ¬M␈ε	␈↓ ¬j␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
f␈α↓r␈α␈action␈α
satisfyin␈α␈g
␈β
∩␈↓ β=␈ε~␈␈εε35
␈β
↔␈↓ α:␈εβ1␈α␈/10␈ε↔␈απ␈␈↓ β,␈εβ2␈↓ βy␈εβ<␈↓ ∧#␈ε	␈↓ ∧?␈εβ=␈α	(.␈α↓0␈α␈001␈α␈100␈α␈11␈α␈001␈α␈100␈α␈110␈α␈011␈α␈001␈α␈100␈α␈11␈α␈001␈α␈1␈↓ 	#␈εβ)␈↓ 	D␈εβ<␈α
1␈α␈/10␈α␈,
␈β
"␈↓ 	.␈εε2
␈β
r␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t␈↓ ββ␈ε	␈↓ β⊗␈ε	u␈↓ β1␈ε↔␈␈↓ βZ␈ε	∂␈↓ βp␈ε↔∀␈↓ ∧≠␈ε	v␈↓ ∧5␈ε↔∀␈↓ ∧`␈ε	␈↓ ∧r␈ε	u␈↓ ¬⊃␈εβat␈αth␈α␈e␈αen␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈,␈αwh␈α␈ere
␈βI␈↓ βk␈εε7␈↓ 	4␈εε3
␈βM␈↓ β&␈ε	∂␈↓ β=␈εβ=␈↓ ∧α␈εβ+␈αλ(.␈α↓1␈α␈00␈α␈010␈α␈001␈α␈010␈α␈100␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈010␈α␈101␈α␈000␈α␈1␈↓ λe␈εβ)␈↓ 	ε␈εβ<␈↓ 	D␈εβ.
␈βW␈↓ λp␈εε2
␈β[␈↓ βk␈∧[βkα
␈↓ 	4␈∧[	4α
␈β]␈↓ βk␈εε8␈↓ 	4␈εε2
␈β$␈↓ ∧T␈εα(␈↓ εH␈εα)
␈β'␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α)␈ε	u␈↓ α=␈εβ/␈α␈10␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε2␈α	<␈↓ βa␈ε	u␈↓ βu␈εβ/1␈α␈0␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧`␈ε	∂␈↓ ∧t␈εβ+␈αε(1/␈α␈10␈ε↔␈αε␈␈↓ ε⊗␈ε	␈↓ ε)␈εβ)␈↓ ε4␈ε	u␈↓ ε]␈ε↔∀␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π"␈ε↔∀␈↓ πM␈ε	␈↓ π←␈ε	u␈↓ π|␈εβ<␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λ;␈εβ/1␈α␈0.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ 	W␈ε	v␈↓ 	s␈εβis␈α
an␈α	in␈α␈teg␈α␈er,
␈βO␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roof␈αis␈αcom␈α␈plete.
␈β
⊃␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(a)␈α
Sh␈α␈i␈α↓ft␈α
righ␈α␈t␈α
on␈α␈e;␈α_(b)␈α
Extra␈α␈ct␈αleft␈α
bit␈αo␈α␈f␈αea␈α␈ch␈α
gro␈α␈up␈α␈;␈α_(c)␈αS␈α␈hift␈αre␈α␈sult␈αo␈α␈f␈α(b␈α␈)␈αrigh␈α}t
␈β
8␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α␈;␈α↔(d␈α␈)␈α
Sh␈α␈ift␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α	of␈α
(c)␈α
righ␈α}t␈α
on␈α␈e,␈α
an␈α␈d␈α
a␈α␈dd␈α	to␈α
re␈α␈sult␈α
o␈α␈f␈α
(␈α↓c␈α␈);␈α↔(e␈α␈)␈α
Su␈α␈btra␈α␈ct␈α
resu␈α␈lt␈α
of␈α
(d␈α␈)
␈β
`␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αo␈α␈f␈α(a␈α␈).
␈β∞8␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α8␈εβ5␈↓ αM␈εβ.␈↓ αY␈εβ7␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂1
␈β∞←␈↓ α␈ε↔␈␈↓ α8␈εβ1␈α⊃0
␈β∂α␈↓ α8␈∧∂αα8α1
␈β∂∂␈↓ α8␈εβ4␈α⊃7␈↓ αn␈εβ.␈↓ α{␈εβ7␈α⊂2␈α⊂1
␈β∂7␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ9␈α⊂4
␈β∂Z␈↓ α8␈∧∂Zα8αQ
␈β∂g␈↓ α8␈εβ3␈α⊃8␈α⊂3␈↓ β∂␈εβ.␈↓ β≤␈εβ2␈α⊂1
␈β⊂∂␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ7␈α⊂6␈α⊂6
␈β⊂2␈↓ α8␈∧⊂2α8αr
␈β⊂?␈↓ α8␈εβ3␈α⊃0␈α⊂6␈α⊂6␈↓ β0␈εβ.␈↓ β=␈εβ1
␈β⊂g␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ6␈α⊂1␈α⊂3␈α⊃2
␈β⊃	␈↓ α8␈∧⊃	α8α↓∩
␈β⊃↔␈↓ α8␈εβ2␈α⊃4␈α⊂5␈α⊂2␈α⊃9␈↓ ∧⊗␈ε⊂Answ␈α␈er:␈εβ␈α(24␈α␈529␈↓ ¬s␈εβ)␈↓ ε_␈ε⊂.
␈β⊃"␈↓ ¬}␈εε10
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα672␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}4.4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβFirst␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}ert␈α
the␈α
te␈α␈rnar␈α␈y␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αto␈α
n␈α␈on␈α␈ary␈α
(ra␈α␈dix␈α
9␈α␈)␈αn␈α␈otat␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈αt␈α␈hen␈α
p␈α␈roc␈α␈eed␈α
a␈α␈s␈αin
␈βαR␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ctal-to-d␈α␈ecima␈α␈l␈αcon␈α}v␈α␈er␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
bu␈α␈t␈αwith␈α␈ou␈α␈t␈αd␈α␈ou␈α␈bling.␈αDe␈α␈cimal␈α
to␈α
non␈α␈ary␈α	i␈α↓s␈α
simil␈α↓a␈α␈r.␈αIn␈α
the
␈βαy␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αe␈α␈xa␈α␈mple,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈ββE␈↓ ↓t␈εβ1␈↓ αλ␈εβ.␈↓ α∃␈εβ7␈α⊂6␈α⊂4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3
␈ββl␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1
␈β∧∂␈↓ ↓t␈∧∧∂↓tα1
␈β∧≤␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂6␈↓ α)␈εβ.␈↓ α6␈εβ6␈α⊂4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ π∞␈εβ9␈↓ π"␈εβ.␈↓ π/␈εβ8␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃6␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π/␈εβ9
␈β∧g␈↓ ↓t␈∧∧g↓tαQ␈↓ εm␈∧∧gεmαQ
␈β∧t␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂5␈α⊃0␈↓ αK␈εβ.␈↓ αW␈εβ4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂1␈α⊂8␈↓ πC␈εβ.␈↓ πP␈εβ7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4
␈β¬≤␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃5␈α⊂0␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂1␈α⊃8
␈β¬?␈↓ ↓t␈∧¬?↓tαr␈↓ εm␈∧¬?εmαr
␈β¬L␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂3␈α⊃5␈α⊂4␈↓ αl␈εβ.␈↓ αy␈εβ7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂3␈α⊂1␈α⊃6␈↓ πe␈εβ.␈↓ πq␈εβ6␈α⊃5␈α⊂4
␈β¬t␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃3␈α⊂5␈α⊂4␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂3␈α⊃1␈α⊂6
␈βε⊗␈↓ ↓t␈∧ε⊗↓tα↓∩␈↓ εm␈∧ε⊗εmα↓∩
␈βε$␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂2␈α⊃1␈α⊂9␈α⊂3␈↓ β
␈εβ.␈↓ β~␈εβ2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂4␈α⊂4␈α⊃8␈α⊂3␈↓ λε␈εβ.␈↓ λ∪␈εβ5␈α⊂4
␈βεL␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃2␈α⊂1␈α⊂9␈α⊃3␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂4␈α⊃4␈α⊂8␈α⊂3
␈βεn␈↓ ↓t␈∧εn↓tα↓3␈↓ εm␈∧εnεmα↓3
␈βε|␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂0␈α⊃9␈α⊂7␈α⊂3␈α⊃9␈↓ β/␈εβ.␈↓ β;␈εβ3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂6␈α⊂0␈α⊃4␈α⊂2␈α⊂8␈↓ λ'␈εβ.␈↓ λ4␈εβ4
␈βπ#␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃0␈α⊂9␈α⊂7␈α⊃3␈α⊂9␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂6␈α⊃0␈α⊂4␈α⊂2␈α⊂8
␈βπF␈↓ ↓t␈∧πF↓tα↓S␈↓ εm␈∧πFεmα↓S
␈βπT␈↓ α∃␈εβ9␈α⊃8␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4␈↓ ∧∀␈ε⊂A␈α↓n␈α␈sw␈α␈er:␈εβ␈α(987␈α␈654␈↓ εα␈εβ)␈↓ ε'␈ε⊂.␈↓ εm␈εβ1␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃4␈α⊂7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ 	
␈ε⊂Answ␈α␈er␈α␈:␈εβ␈α(17␈α␈647␈α␈23␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈ε⊂.
␈βπ↑␈↓ ε
␈εε10␈↓ ↔␈εε9
␈βλ.␈↓ α␈ε∃BU␈α␈F␈↓ β≥␈ε∃AL␈α␈F␈↓ ∧→␈ε∃.  ␈α␈  
␈βλ1␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ π"␈εβ(␈α↓Ra␈α␈dix␈αp␈α␈oin␈α}t␈αo␈α␈n␈α|␈α␈rst␈αli␈α↓n␈α␈e)
␈βλU␈↓ β≥␈ε∃OR␈α␈IG␈↓ ∧→␈ε∃*+3␈α␈9
␈βλ⎇␈↓ α␈ε∃ST␈α␈ART␈↓ β≥␈ε∃JO␈α␈V␈↓ ∧→␈ε∃OFL␈α␈O
␈β	␈↓ π"␈εβE␈α↓n␈α␈sure␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w␈αis␈αo{.
␈β	$␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T2␈↓ ∧→␈ε∃-40
␈β	'␈↓ π"␈εβSet␈αb␈α␈u{er␈αp␈α␈oin␈α␈ter.
␈β	L␈↓ α␈ε∃8H␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T3␈↓ ∧→␈ε∃10
␈β	O␈↓ π"␈εβSet␈αloo␈α␈p␈αco␈α␈un␈α}ter.
␈β	t␈↓ α␈ε∃1H␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T1
␈β	w␈↓ ∧→␈ε	m␈↓ π"␈εβB␈α↓e␈α␈gin␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈αro␈α␈utin␈α␈e.
␈β
≠␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈TX␈↓ ∧→␈ε∃0
␈β
C␈↓ α␈ε∃2H␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧→␈ε∃CAR␈α␈RY
␈β
m␈↓ β≥␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π"␈εβ(␈α↓S␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑13␈α␈,␈αwith
␈β⊃␈↓ λQ␈εε9
␈β∩␈↓ β≥␈ε∃J1␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃2B␈↓ 	)␈ε∃W␈↓ 	r␈ε∃U
␈β∃␈↓ πj␈ε	v␈↓ λ¬␈εβ=␈α
1␈↓ λ@␈εβ0␈↓ λi␈εβa␈α␈nd␈↓ 	G␈εβ=␈↓ 
π␈εβ.)
␈β:␈↓ β≥␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧→␈ε∃5
␈β=␈↓ π"␈εβrA␈↓ πQ␈ε↔ ␈↓ π{␈εβnex␈α␈t␈αnin␈α␈e␈αdigits.
␈βa␈↓ β≥␈ε∃CH␈α␈AR
␈β	␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+40␈α␈,2(␈α␈2:5)
␈β␈↓ π"␈εβStor␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αnin␈α␈e␈αdigits.
␈β0␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+41␈α␈,2
␈βX␈↓ β≥␈ε∃IN␈α␈C2␈↓ ∧→␈ε∃2
␈β[␈↓ π"␈εβI␈α↓n␈α␈crea␈α␈se␈αbu␈α␈{er␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ter.
␈β
␈↓ β≥␈ε∃DE␈α␈C3␈↓ ∧→␈ε∃1
␈β
'␈↓ β≥␈ε∃J3␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃1B
␈β
*␈↓ π"␈εβRepea␈α␈t␈αten␈αtime␈α␈s.
␈β
O␈↓ β≥␈ε∃OU␈α␈T␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+20␈α␈,2(␈α␈PRIN␈α␈TER␈α␈)
␈β
v␈↓ β≥␈ε∃J2␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃8B
␈β
y␈↓ π"␈εβRepea␈α␈t␈αun␈α}til␈αb␈α␈oth␈αline␈α␈s␈αprin␈α␈te␈α␈d.
␈β
{␈↓ ∪␈∧
{∪≠∂
␈β∞5␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	K␈↓ αf␈εβ(␈↓ αq␈ε	n␈↓ βε␈εβ)␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
ste␈α␈ps␈α
re␈α␈quired␈αto␈αcon␈α␈v␈α}ert␈α
a␈α␈n␈↓ λU␈ε	n␈↓ λi␈εβ-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β∞Y␈↓ 
4␈εn
␈β∞]␈↓ ↓H␈εβto␈α
bin␈α␈ary␈α
an␈α␈d␈α∞a␈α␈t␈α∞the␈α
same␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α∞to␈α
comp␈α␈ute␈α
the␈α
bina␈α␈ry␈α∞re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈α∞1␈↓ 
#␈εβ0␈↓ 
D␈εβ.␈α∀Th␈α␈en
␈β∂↓␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬P␈εα)
␈β∂∧␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αI␈ε	K␈↓ αe␈εβ(2␈↓ β↓␈ε	n␈↓ β∃␈εβ)␈ε↔␈α∀␈εβ␈α2␈↓ βh␈ε	K␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	n␈↓ ∧"␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧←␈ε	O␈↓ ¬β␈ε	M␈↓ ¬%␈εβ(␈↓ ¬0␈ε	n␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ.␈ε⊂␈α≠Proof:␈εβ␈α
Giv␈α␈en␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ λz␈ε	U␈↓ 	 ␈εβ=␈α(␈↓ 	W␈ε	u␈↓ 
3␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
←␈ε	u␈↓ 
␈␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β∂∂␈↓ 	k␈εε2␈↓ 	w␈εn␈↓ 
π␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
r␈εε0␈↓ 
␈εε10
␈β∂(␈↓ λW␈εn
␈β∂,␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αN␈ε	U␈↓ αz␈εβ=␈α	(␈↓ β/␈ε	u␈↓ ∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧7␈ε	u␈↓ ∧Z␈εβ)␈↓ ¬
␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬J␈ε	U␈↓ ¬u␈εβ=␈α
(␈↓ ε+␈ε	u␈↓ εz␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π&␈ε	u␈↓ πF␈εβ)␈↓ πu␈εβan␈α␈d␈α1␈↓ λF␈εβ0␈↓ λg␈εβ,␈αi␈α↓n␈α
2␈↓ 	3␈ε	K␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Y␈ε	n␈↓ 	m␈εβ)␈αcy␈α␈cles,␈αth␈α␈en
␈β∂6␈↓ αd␈εε1␈↓ βB␈εε2␈↓ βO␈εn␈↓ β←␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧J␈εn␈↓ ∧f␈εε1␈α␈0␈↓ ¬←␈εε0␈↓ ε>␈εn␈↓ εN␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π9␈εε0␈↓ πQ␈εε10
␈β∂O␈↓ βL␈εn␈↓ ¬H␈εε2␈↓ ¬U␈εn␈↓ εE␈εn␈↓ π∩␈εn
␈β∂P␈↓ πs␈εα(␈↓ λL␈εα)
␈β∂S␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αR␈ε	U␈↓ α{␈εβ=␈α∂1␈↓ β<␈εβ0␈↓ β]␈ε	U␈↓ ∧λ␈εβ+␈↓ ∧3␈ε	U␈↓ ∧c␈εβan␈α␈d␈α∞1␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ¬t␈εβ=␈α∞1␈↓ ε4␈εβ0␈↓ ε↑␈ε↔↓␈εβ␈α
1␈↓ πα␈εβ0␈↓ π1␈εβin␈↓ π[␈ε	O␈↓ π␈␈ε	M␈↓ λ"␈εβ(␈↓ λ-␈ε	n␈↓ λA␈εβ)␈↓ λf␈εβcy␈α}cles.␈α∃It␈α∞follo␈α␈ws␈α∞tha␈α␈t
␈β∂↑␈↓ βr␈εε1␈↓ ∧H␈εε0
␈β∂w␈↓ ↓␈␈εn␈↓ β1␈εn␈↓ ∧K␈εn␈↓ ∧[␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εn␈↓ ε≤␈ε~␈␈εε2␈↓ λ←␈εn
␈β∂x␈↓ αf␈εα(␈↓ π)␈εα)␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ{␈εα)
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε	K␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈εβ2␈↓ α∂␈εβ)␈α
=␈↓ αN␈ε	O␈↓ αr␈ε	M␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈εβ2␈↓ βA␈εβ)␈απ+␈αλ2␈↓ ∧
␈ε	M␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈εβ2␈↓ ¬↓␈εβ)␈αλ+␈απ4␈↓ ¬M␈ε	M␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈εβ2␈↓ εA␈εβ)␈αλ+␈↓ ε⎇␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π>␈εβ=␈↓ πi␈ε	O␈↓ λ
␈ε	n␈↓ λ!␈ε	M␈↓ λC␈εβ(␈↓ λO␈εβ2␈↓ λo␈εβ)␈↓ 	π␈εβ.
␈β⊂∨␈↓ λy␈εn
␈β⊂ ␈↓ α␈εα(
␈β⊂#␈↓ α_␈εβSimilarly␈α␈,␈αSch␈↓ βc␈εβ∪␈↓ βc␈εβo␈↓ βt␈εβn␈α␈ha␈α␈ge␈αh␈α␈as␈α
ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈αth␈α␈at␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
con␈α}v␈α␈ert␈α
a␈α(␈↓ λi␈εβ2␈↓ 	∂␈εβlg␈↓ 	/␈εβ1␈α␈0)-bit␈α
n␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊃␈ε	U
␈β⊂F␈↓ λ|␈ε
n␈↓ 	␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂J␈↓ ¬M␈εn␈↓ λo␈εε2␈↓ 
B␈εn␈↓ 
R␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂K␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ¬h␈εα)␈↓ 	x␈εα(
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αb␈α␈inary␈αto␈αde␈α␈cimal,␈αin␈↓ ∧V␈ε	O␈↓ ∧{␈ε	n␈↓ ¬∂␈ε	M␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬<␈εβ2␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ε␈εβstep␈α␈s.␈α
Fi␈α↓rs␈α␈t␈αform␈↓ λ␈ε	V␈↓ λ"␈εβ=␈α1␈↓ λ↑␈εβ0␈↓ 	8␈εβi␈α↓n␈↓ 	`␈ε	O␈↓ 
∧␈ε	M␈↓ 
&␈εβ(␈↓ 
2␈εβ2␈↓ 
x␈εβ)␈αλ+
␈β⊂r␈↓ αε␈εn␈↓ α⊗␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧C␈εn
␈β⊂s␈↓ β!␈εα)␈↓ βy␈εα(
␈β⊂v␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈εβ2␈↓ α<␈εβ)␈αε+␈↓ αu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β6␈εβ=␈↓ βa␈ε	O␈↓ ∧¬␈ε	M␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ))␈α
step␈α␈s,␈αth␈α␈en␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ π!␈ε	U␈↓ πL␈εβ=␈α	(␈↓ λ↓␈ε	U␈↓ λ"␈εβmod␈↓ λg␈ε	V␈↓ λ}␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 	S␈ε	U␈↓ 	}␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ 
6␈ε	U␈↓ 
Q␈εβ/␈↓ 
b␈ε	V␈↓ 
z␈ε↔c␈εβ␈α
in
␈β⊃␈↓ π6␈εε0␈↓ 	i␈εε1
␈β⊃→␈↓ α*␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓`␈εα(␈↓ π∧␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈ε	M␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈εβ2␈↓ α:␈εβ))␈αfu␈α␈rthe␈α␈r␈αs␈α␈teps,␈αth␈α␈en␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ert␈↓ ¬k␈ε	U␈↓ ε_␈εβan␈α␈d␈↓ εY␈ε	U␈↓ ε{␈εβ.
␈β⊃(␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εn␈εε1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα673
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	U␈↓ αu␈εβ=␈↓ β$␈εβrou␈α␈nd␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε	u␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈ε	P␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬-␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ=␈↓ ¬|␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ ε\␈εβ(␈↓ εg␈ε	U␈↓ πα␈εβ,␈↓ π⊃␈ε	p␈↓ π"␈εβ).␈α∀We␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓ 
∃␈ε	u␈↓ 
7␈ε↔≤␈εβ␈α∞0,␈α∂so
␈βα5␈↓ βy␈εB␈↓ εQ␈εb
␈βαN␈↓ 
↓␈εe␈↓ 
␈ε~␈␈εε1
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊃␈ε	U␈↓ α9␈ε↔≤␈εβ␈α0␈αand␈↓ βF␈ε	v␈↓ βc␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈.␈ε⊂␈α≥Case␈α1␈εβ,␈↓ ¬A␈ε	v␈↓ ¬←␈εβ<␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε ␈εβ:␈α∂Det␈α␈ermine␈↓ π\␈ε	e␈↓ πv␈εβan␈α␈d␈↓ λ8␈ε	E␈↓ λ\␈εβsuch␈αth␈α␈at␈↓ 	t␈ε	b␈↓ 
>␈εβ<␈↓ 
k␈ε	u␈↓ ␈ε↔∀
␈βαu␈↓ ↓U␈εe␈↓ α
␈εE␈↓ α∨␈ε~␈␈εε1␈↓ βm␈εE␈↓ ε:␈εE␈↓ εM␈ε~␈␈↓ εf␈εP␈↓ 	π␈εe␈↓ 	∩␈ε~␈␈↓ 	+␈εp␈↓ 
F␈εP␈↓ 
X␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βαv␈↓ ε∀␈εε1␈↓ λj␈εε1
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓`␈εβ,␈↓ ↓w␈ε	B␈↓ αR␈ε↔∀␈↓ β␈ε	U␈↓ β(␈εβ<␈↓ βV␈ε	B␈↓ β␈␈εβ.␈α∩Th␈α␈en␈↓ ∧s␈ε	u␈↓ ¬∀␈ε↔∀␈↓ ¬B␈ε	U␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε$␈ε	B␈↓ πε␈εβan␈α␈d␈↓ πI␈ε	U␈↓ πq␈ε↔∀␈↓ λ∨␈ε	u␈↓ λ<␈ε↔␈␈↓ λz␈ε	b␈↓ 	9␈εβ;␈α∂h␈α␈enc␈α␈e␈↓ 
/␈ε	B␈↓ ␈ε↔∀
␈ββλ␈↓ ε∀␈∧βλε∀α
␈↓ λj␈∧βλλjα
␈ββ
␈↓ ε∀␈εε2␈↓ λj␈εε2
␈ββ≥␈↓ ↓↑␈εP␈↓ ↓q␈ε~␈␈↓ α
␈εE␈↓ β
␈εP␈↓ β ␈ε~␈␈↓ β9␈εE␈↓ ∧,␈εp␈↓ ∧:␈ε~␈␈↓ ∧S␈εe␈↓ ¬>␈εp
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α≤␈ε	U␈↓ αF␈εβ<␈↓ αw␈ε	B␈↓ βK␈ε	u␈↓ βn␈ε↔∀␈↓ ∧∨␈ε	b␈↓ ∧↑␈ε	u␈↓ ¬↓␈ε↔∀␈↓ ¬1␈ε	b␈↓ ¬L␈εβ.␈ε⊂␈α!C␈α␈ase␈α∞2␈εβ,␈↓ εt␈ε	v␈↓ π∀␈εβ>␈↓ πE␈ε	u␈↓ πY␈εβ:␈α∩Deter␈α␈mine␈↓ 	~␈ε	e␈↓ 	6␈εβan␈α␈d␈↓ 	z␈ε	E␈↓ 
 ␈εβsu␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t
␈ββD␈↓ ↓U␈εe␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ β$␈εe␈↓ β↑␈εE␈↓ βp␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬E␈εE␈↓ λ≥␈εE␈↓ λ/␈ε~␈␈↓ λH␈εP␈↓ 
q␈εe␈↓ 
|␈ε~␈␈↓ ∃␈εp
␈ββE␈↓ πv␈εε1␈↓ 
T␈εε1
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α∀␈ε↔∀␈↓ αD␈ε	u␈↓ αg␈εβ<␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β/␈εβ,␈↓ βH␈ε	B␈↓ ∧%␈εβ<␈↓ ∧U␈ε	U␈↓ ∧␈␈ε↔∀␈↓ ¬/␈ε	B␈↓ ¬W␈εβ.␈α⊗Th␈α␈en␈↓ εP␈ε	u␈↓ εs␈ε↔∃␈↓ π#␈ε	U␈↓ πH␈ε↔␈␈↓ λπ␈ε	B␈↓ λi␈εβand␈↓ 	.␈ε	U␈↓ 	X␈ε↔∃␈↓ 
λ␈ε	u␈↓ 
%␈εβ+␈↓ 
d␈ε	b␈↓ #␈εβ;
␈ββW␈↓ πv␈∧βWπvα
␈↓ 
T␈∧βW
Tα
␈ββY␈↓ πv␈εε2␈↓ 
T␈εε2
␈ββl␈↓ α9␈εP␈↓ αL␈ε~␈␈εε1␈↓ β<␈εP␈↓ βO␈ε~␈␈↓ βh␈εE␈↓ ∧d␈εE␈↓ ∧v␈ε~␈␈↓ ¬∂␈εP␈↓ ¬w␈εP␈↓ ε
␈ε~␈␈↓ ε#␈εE␈↓ π
␈εp␈↓ π_␈ε~␈␈↓ π1␈εe␈↓ λ⊃␈εp
␈ββp␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α#␈ε	B␈↓ α{␈ε↔∀␈↓ β&␈ε	B␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	U␈↓ ∧&␈ε↔␈␈↓ ∧M␈ε	B␈↓ ¬"␈εβ)␈α	<␈↓ ¬a␈ε	B␈↓ ε5␈ε	u␈↓ εR␈ε↔∀␈↓ ε⎇␈ε	b␈↓ π<␈ε	u␈↓ πY␈εβ<␈↓ λ∧␈ε	b␈↓ λ∨␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α	pro␈α␈v␈α}ed␈α	tha␈α␈t
␈β∧∀␈↓ ↓↑␈εP␈↓ ↓q␈ε~␈␈εε1␈↓ αW␈εp
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α ␈εβ<␈↓ αJ␈ε	b␈↓ αp␈εβwhen␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈↓ ∧β␈ε	v␈↓ ∧≡␈ε↔≤␈↓ ∧I␈ε	u␈↓ ∧]␈εβ.
␈β∧;␈↓ βx␈εP␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧r␈εp
␈β∧?␈↓ α␈εβCon␈α}v␈α␈er␈α␈sely,␈αif␈↓ βa␈ε	B␈↓ ∧:␈εβ<␈↓ ∧e␈ε	b␈↓ ¬␈εβ,␈αth␈α␈e␈αa␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈αpro␈α␈of␈αs␈α␈ugg␈α␈ests␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αmost␈αli␈α↓k␈α}ely␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈↓ α[␈ε	u␈↓ αx␈ε↔≤␈↓ β"␈ε	v␈↓ β>␈εβwi␈α↓ll␈αo␈α␈ccu␈α␈r␈αwhe␈α␈n␈↓ ¬+␈ε	u␈↓ ¬J␈εβis␈αa␈α
po␈α}w␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ π␈ε	b␈↓ π$␈εβa␈α␈nd␈α
at␈α
the␈α
sam␈α␈e␈αtime␈α
it␈αis␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αto␈α
a
␈β¬
␈↓ ∧∨␈εP␈↓ ∧2␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧e␈εp␈↓ ¬?␈εP␈↓ ¬R␈ε~␈␈εε1␈↓ ε¬␈εp␈↓ εe␈εp␈↓ πO␈εP␈↓ πa␈ε~␈␈εε1␈↓ 	$␈εP␈↓ 	7␈ε~␈␈εε1␈↓ 
E␈εp
␈β¬␈↓ εH␈εε1␈↓ π(␈εε1␈↓ λ<␈εε1␈↓ 
⊃␈εε1␈↓ λ␈εε1
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ αP␈ε	B␈↓ αg␈εβ.␈α
W␈α↓e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧	␈ε	B␈↓ ∧W␈ε	b␈↓ ∧⎇␈εβ<␈↓ ¬)␈ε	B␈↓ ¬x␈ε	b␈↓ ε≠␈εβ+␈↓ εX␈ε	b␈↓ ε{␈ε↔␈␈↓ π8␈ε	B␈↓ λ∂␈ε↔␈␈↓ λW␈εβ=␈α(␈↓ 	∞␈ε	B␈↓ 	d␈εβ+␈↓ 
"␈εβ)(␈↓ 
8␈ε	b␈↓ 
[␈ε↔␈␈↓ _␈εβ);
␈β¬≥␈↓ εH␈∧¬≥εHα
␈↓ π(␈∧¬≥π(α
␈↓ λ<␈∧¬≥λ<α
␈↓ 
⊃␈∧¬≥
⊃α
␈↓ λ␈∧¬≥λα
␈β¬∨␈↓ εH␈εε2␈↓ π(␈εε2␈↓ λ<␈εε4␈↓ 
⊃␈εε2␈↓ λ␈εε2
␈β¬2␈↓ ∧Q␈ε~␈␈↓ ∧k␈εp␈↓ ε-␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εS␈εP
␈β¬3␈↓ ∧4␈εε1␈↓ εε␈εε1
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈α
1␈α
<␈↓ αr␈ε	␈↓ β∩␈εβ=␈α
1/␈α␈(1␈ε↔␈α	␈␈↓ ∧D␈ε	b␈↓ ∧x␈εβ)␈α∞<␈α
1␈αλ+␈↓ ε↔␈ε	B␈↓ εr␈εβ=␈↓ π!␈ε	␈␈↓ π5␈εβ.␈α∩There␈α
a␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈↓ 	j␈ε	e␈↓ 
∧␈εβan␈α␈d␈↓ 
G␈ε	E␈↓ 
l␈εβsu␈α␈ch
␈β¬D␈↓ ∧4␈∧¬D∧4α
␈↓ εε␈∧¬Dεεα
␈β¬F␈↓ ∧4␈εε2␈↓ εε␈εε2
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∪␈εβlog␈↓ αU␈ε	␈↓ αu␈εβ<␈↓ β%␈ε	e␈↓ β8␈εβlo␈α␈g␈↓ βy␈ε	b␈↓ ∧⊂␈ε↔␈␈↓ ∧;␈ε	E␈↓ ∧`␈εβ<␈↓ ¬⊂␈εβlog␈↓ ¬R␈ε	␈␈↓ ¬f␈εβ,␈α∂since␈α∞Wey␈α␈l␈α↓'s␈α∞th␈α␈eorem␈α∞(ex␈α}ercise␈α∞3.5␈α␈↑22␈α␈)␈α∂imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s
␈β¬m␈↓ α=␈εB␈↓ βb␈εB␈↓ ¬;␈εB
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αa␈α␈n␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ ∧)␈ε	e␈↓ ∧B␈εβwith␈α0␈α<␈↓ ¬W␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε→␈ε	␈↓ ε7␈εβ<␈α(␈↓ εn␈ε	e␈↓ π↓␈εβlog␈↓ π=␈εβ)␈↓ πN␈εβm␈α␈od␈↓ λ∩␈εβ1␈α<␈↓ λ[␈εβlo␈α␈g␈↓ 	≤␈ε	␈␈↓ 	<␈εβ<␈α1␈αwhen␈↓ 
↑␈εβlo␈α␈g␈↓ ∨␈ε	b
␈βε∀␈↓ εα␈εB␈↓ π+␈εB␈↓ 	¬␈εB␈↓ λ␈εB
␈βε)␈↓ ∧O␈εe␈↓ ¬␈εE
␈βε-␈↓ ↓H␈εβis␈α
i␈α↓rra␈α␈tiona␈α␈l␈α↓.␈α∩Hence␈↓ βs␈ε	␈↓ ∧∪␈εβ<␈↓ ∧A␈ε	b␈↓ ∧Y␈εβ/␈↓ ∧j␈ε	B␈↓ ¬ ␈εβ<␈↓ ¬O␈ε	␈␈↓ ¬c␈εβ,␈α∂fo␈α␈r␈α∞som␈α␈e␈↓ ππ␈ε	e␈↓ π!␈εβand␈↓ πe␈ε	E␈↓ π|␈εβ.␈α∪(S␈α␈uch␈↓ λw␈ε	e␈↓ 	⊃␈εβand␈↓ 	U␈ε	E␈↓ 	z␈εβm␈α␈ay␈α
also␈α
be
␈βεU␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αapp␈α␈lying␈αthe␈αthe␈α␈ory␈αof␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfraction␈α␈s,␈αsee␈αS␈α␈ectio␈α␈n␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓3␈α␈.)␈α∞No␈α}w␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βεx␈↓ αG␈εe␈↓ βV␈εE␈↓ ¬D␈εE␈↓ εK␈εe
␈βε|␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ α.␈εβ(␈↓ α9␈ε	b␈↓ αQ␈εβ,␈↓ α`␈ε	P␈↓ αx␈εβ)␈α
=␈↓ β?␈ε	B␈↓ βh␈εβ,␈α∞and␈α
ro␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬#␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	B␈↓ ¬V␈εβ,␈↓ ¬e␈ε	p␈↓ ¬v␈εβ)␈α∞<␈↓ ε>␈ε	b␈↓ εV␈εβ.␈α∪[␈ε⊂CA␈α␈CM␈ε∪␈α
11␈εβ␈α
(196␈α␈8),␈α∂4␈α␈7↑␈α␈50;␈ε⊂␈α∂Proc.␈α∞Am␈α␈er.
␈βππ␈↓ α≥␈εB␈↓ ¬_␈εb
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α19␈εβ␈α
(196␈α␈8),␈α7␈α␈16␈α␈↑72␈α␈3.]
␈βπS␈↓ αy␈ε∃FO␈α␈FOF␈α␈OFO␈↓ λλ␈εα(␈↓ 
#␈εα)
␈βπV␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	m␈↓ αA␈εβ=␈α(␈↓ ∧∨␈εβ)␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε	c␈↓ ∧}␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ10/␈α␈16␈αmak␈α}es␈↓ π4␈ε	U␈↓ π[␈εβ=␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	u␈↓ λ>␈ε	u␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ 	λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	4␈εβ(␈↓ 	@␈ε	u␈↓ 	←␈ε	u␈↓ 	␈␈εβ)␈↓ 
U␈εβ;␈α∞th␈α␈en
␈βπ`␈↓ α(␈εε1␈↓ ∧*␈εε1␈α␈6␈↓ ∧e␈εε1␈↓ λ2␈εε7␈↓ λR␈εε6␈↓ λi␈εε10␈↓ 	S␈εε1␈↓ 	r␈εε0␈↓ 

␈εε10␈↓ 
/␈εε25␈α␈6
␈βπy␈↓ ¬V␈εε2␈↓ ε∃␈εε2
␈βπz␈↓ α9␈ε∃FF␈α␈OOF␈α␈FOO␈↓ πp␈εα(␈↓ 
X␈εα)
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓␈␈εβ=␈α∞(␈↓ β←␈εβ)␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε	c␈↓ ∧A␈εβ=␈α∂1␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	1␈↓ ¬F␈εβ0␈↓ ¬c␈εβ/1␈↓ ε∧␈εβ6␈↓ ε0␈εβm␈α␈ak␈α}es␈↓ π↔␈ε	U␈↓ π@␈εβ=␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	u␈↓ λ&␈ε	u␈↓ λF␈ε	u␈↓ λf␈ε	u␈↓ 	ε␈εβ)␈↓ 	*␈εβ(␈↓ 	5␈ε	u␈↓ 	U␈ε	u␈↓ 	t␈ε	u␈↓ 
∀␈ε	u␈↓ 
4␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈βλλ␈↓ ↓d␈εε2␈↓ βj␈εε1␈α␈6␈↓ ∧'␈εε2␈↓ λ~␈εε7␈↓ λ:␈εε6␈↓ λY␈εε5␈↓ λy␈εε4␈↓ 	⊃␈εε1␈α␈0␈↓ 	H␈εε3␈↓ 	h␈εε2␈↓ 
λ␈εε1␈↓ 
'␈εε0␈↓ 
?␈εε10␈↓ 
d␈εε65␈α␈536
␈βλ!␈↓ ε⊗␈εε4␈↓ εT␈εε4
␈βλ"␈↓ α{␈ε∃F␈α␈FFF␈α␈OOOO
␈βλ%␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	m␈↓ αA␈εβ=␈α∞(␈↓ ∧ ␈εβ)␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	c␈↓ ¬α␈εβ=␈α
1␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	1␈↓ ε¬␈εβ0␈↓ ε"␈εβ/1␈↓ εC␈εβ6␈↓ εn␈εβ|n␈α␈ishes␈α
the␈α
job␈α␈.␈α∪(Cf.␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
14␈α␈.␈α∪Th␈α␈is
␈βλ0␈↓ α'␈εε3␈↓ ∧+␈εε16␈↓ ∧h␈εε3
␈βλM␈↓ ↓H␈εβte␈α␈chn␈α␈ique␈α
i␈α↓s␈αd␈α␈ue␈αto␈α
Ro␈α␈y␈αA.␈αKeir,␈αcirca␈α19␈α␈58␈α␈.␈α↓)
␈β	F␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.1
␈β
∩␈↓ ∧a␈ε~0␈↓ ¬/␈ε~0
␈β
⊗␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβTest␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈αo␈α␈r␈αno␈α␈t␈↓ ∧;␈ε	u␈↓ ∧O␈ε	v␈↓ ∧p␈εβ<␈↓ ¬≠␈ε	u␈↓ ¬5␈ε	v␈↓ ¬G␈εβ,␈αsinc␈α␈e␈αthe␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tors␈αare␈α
positiv␈α␈e␈α␈.
␈β
H␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	c␈↓ αD␈εβ>␈α	1␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈αb␈α␈oth␈↓ ∧H␈ε	u␈↓ ∧\␈εβ/␈↓ ∧m␈ε	d␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬K␈ε	v␈↓ ¬]␈εβ/␈↓ ¬m␈ε	d␈↓ ε␈εβ,␈αthe␈α␈n␈↓ ε`␈ε	c␈↓ εm␈ε	d␈↓ π␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈αboth␈↓ λI␈ε	u␈↓ λh␈εβan␈α␈d␈↓ 	)␈ε	v␈↓ 	:␈εβ.
␈β
v␈↓ ∧≡␈εe␈↓ εv␈ε~0␈↓ π∞␈ε~0␈↓ 	e␈εe␈↓ 
r␈εe␈↓ &␈ε~0
␈β
z␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	p␈↓ α←␈εβbe␈αλp␈α␈rime.␈α
If␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧1␈εβi␈α↓s␈αλa␈απdivisor␈αλo␈α␈f␈↓ ¬w␈ε	u␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈↓ εb␈ε	u␈↓ ε|␈ε	v␈↓ π≤␈εβfor␈↓ πM␈ε	e␈↓ πc␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,␈α	the␈α␈n␈αλeithe␈α␈r␈↓ 	T␈ε	p␈↓ 	t␈ε↔∧␈↓ 
λ␈ε	u␈↓ 
$␈εβa␈α␈nd␈↓ 
b␈ε	p␈↓ ↓␈ε↔∧␈↓ ∃␈ε	v
␈β≡␈↓ αβ␈εe␈↓ αC␈ε~0␈↓ β)␈εe␈↓ ∧l␈εe␈↓ ε
␈ε~0␈↓ εr␈ε~0
␈β"␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈↓ ↓r␈ε	p␈↓ α⊗␈ε↔∧␈↓ α/␈ε	u␈↓ αV␈εβan␈α␈d␈↓ β_␈ε	p␈↓ β<␈ε↔∧␈↓ βU␈ε	v␈↓ βg␈εβ;␈α
hen␈α␈ce␈↓ ∧[␈ε	p␈↓ ∧␈␈ε↔∧␈↓ ¬_␈εβgcd␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	u␈↓ ¬j␈εβ,␈↓ ¬x␈ε	v␈↓ ε⊂␈εβ)␈↓ ε!␈εβg␈α␈cd␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε	u␈↓ εx␈εβ,␈↓ ππ␈ε	v␈↓ π_␈εβ).␈α⊂The␈αcon␈α}v␈α␈er␈α␈se␈α
follo␈α␈ws␈αby␈αrev␈α}ersing
␈βI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αarg␈α␈um␈α␈en␈α␈t.
␈βw␈↓ ¬U␈ε~0␈↓ ¬{␈ε~0␈↓ 	.␈ε~0␈↓ 
{␈ε~0
␈β|␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	d␈↓ αp␈εβ=␈↓ β#␈ε	g␈↓ β3␈ε	c␈↓ β@␈ε	d␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε	u␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧∩␈εβ),␈↓ ∧2␈ε	d␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬β␈εβgcd␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	u␈↓ ¬[␈εβ,␈↓ ¬j␈ε	v␈↓ ε↓␈εβ);␈α
th␈α␈e␈αansw␈α␈e␈α␈r␈αis␈↓ πl␈ε	w␈↓ λ∂␈εβ=␈α
(␈↓ λE␈ε	u␈↓ λY␈εβ/␈↓ λj␈ε	d␈↓ 	ε␈εβ)(␈↓ 	≤␈ε	v␈↓ 	4␈εβ/␈↓ 	E␈ε	d␈↓ 	a␈εβ)␈↓ 	l␈εβsign␈↓ 
%␈εβ(␈↓ 
0␈ε	v␈↓ 
B␈εβ),␈↓ 
b␈ε	w␈↓ ␈εβ=
␈βε␈↓ αY␈εε1␈↓ ∧A␈εε2␈↓ λz␈εε1␈↓ 	T␈εε2
␈β∨␈↓ ↓p␈ε~0
␈β#␈↓ ↓H␈ε↔j␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	u␈↓ ↓v␈εβ/␈↓ απ␈ε	d␈↓ α#␈εβ)(␈↓ α9␈ε	v␈↓ αK␈εβ/␈↓ α[␈ε	d␈↓ αw␈εβ)␈ε↔␈α↓j␈εβ,␈αwith␈αa␈α\␈α␈divid␈α␈e␈αby␈α
zero"␈α
error␈αm␈α␈essag␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ πt␈ε	v␈↓ λ∞␈εβ=␈α
0.
␈β.␈↓ α⊗␈εε2␈↓ αk␈εε1
␈βQ␈↓ λs␈ε~0
␈βU␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε	d␈↓ α1␈εβ=␈α
10␈α␈,␈↓ β∩␈ε	t␈↓ β'␈εβ=␈α	17␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ27␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈2␈α	=␈ε↔␈α
␈␈εβ20␈α␈5,␈↓ εA␈ε	d␈↓ εg␈εβ=␈α	5,␈↓ π6␈ε	w␈↓ πX␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ41,␈↓ λZ␈ε	w␈↓ 	α␈εβ=␈α
1␈α␈68.
␈β`␈↓ α≤␈εε1␈↓ εQ␈εε2
␈β
β␈↓ α\␈ε~00␈↓ β0␈ε~0␈↓ ∧λ␈ε~00␈↓ ∧Z␈ε~0␈↓ λB␈ε~00␈↓ 	∂␈ε~00␈↓ 
y␈ε~00
␈β
π␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	u␈↓ αr␈εβ=␈↓ β≤␈ε	u␈↓ β6␈εβ/␈↓ βG␈ε	d␈↓ βc␈εβ,␈↓ βv␈ε	v␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ∧H␈ε	v␈↓ ∧`␈εβ/␈↓ ∧q␈ε	d␈↓ ¬
␈εβ;␈α
w␈α␈e␈α
wa␈α␈n␈α␈t␈α
t␈α␈o␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ π←␈εβgcd␈↓ λ⊃␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	u␈↓ λ0␈ε	v␈↓ λT␈εβ+␈↓ λ{␈ε	u␈↓ 	≠␈ε	v␈↓ 	-␈εβ,␈↓ 	<␈ε	d␈↓ 	X␈εβ)␈α	=␈↓ 
↔␈εβg␈α␈cd␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	u␈↓ 
h␈ε	v␈↓ ␈εβ+
␈β
∩␈↓ βW␈εε1␈↓ ¬␈εε1␈↓ 	K␈εε1
␈β
+␈↓ ↓\␈ε~00␈↓ α9␈ε~00␈↓ αW␈ε~00␈↓ ε2␈ε~00␈↓ 
¬␈ε~00
␈β
/␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓h␈ε	v␈↓ ↓z␈εβ,␈↓ αλ␈ε	d␈↓ α%␈ε	u␈↓ αE␈ε	v␈↓ αc␈εβ).␈α∞I␈α↓f␈↓ β(␈ε	p␈↓ βE␈εβis␈αa␈αp␈α␈rime␈αth␈α␈at␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ε≡␈ε	u␈↓ ε>␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ π!␈ε	p␈↓ π>␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	J␈εβo␈α␈r␈↓ 	s␈ε	v␈↓ 
⊃␈εβ,␈α
so␈↓ 
Q␈ε	p␈↓ 
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈β
9␈↓ α_␈εε1
␈β
R␈↓ β∞␈ε~00␈↓ β`␈ε~00␈↓ 	↑␈ε~00
␈β
V␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ αi␈ε	u␈↓ α⎇␈ε	v␈↓ β#␈εβ+␈↓ βL␈ε	u␈↓ βm␈ε	v␈↓ β}␈εβ.␈α∞A␈α
similar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αh␈α␈olds␈αfo␈α␈r␈αprime␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈αo␈α␈f␈↓ 	M␈ε	v␈↓ 	k␈εβ,␈αso␈αn␈α␈o␈αprime
␈β
z␈↓ α⎇␈ε~00␈↓ β≠␈ε~00
␈β
}␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ αi␈ε	u␈↓ β	␈ε	v␈↓ β2␈εβa{ect␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈en␈α
gcd␈α␈.
␈β∞,␈↓ β↓␈εε2␈↓ ∧2␈εε2␈↓ ¬!␈εε2
␈β∞0␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	N␈↓ α=␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ αv␈εβ)␈↓ β∀␈εβ+␈αλ(␈↓ βH␈ε	N␈↓ βn␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ ∧&␈εβ)␈↓ ∧G␈εβ=␈α
2␈↓ ¬β␈ε	N␈↓ ¬5␈ε↔␈␈εβ␈απ(6␈↓ ¬y␈ε	N␈↓ ε∨␈ε↔␈␈εβ␈απ5).␈αIf␈αth␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈α
are␈↓ λm␈ε	n␈↓ 	↓␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓t␈εβ+␈απ1␈αbits␈αma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αnec␈α␈essary␈α
to␈αrep␈α␈resen␈α}t␈↓ ε;␈ε	t␈↓ εG␈εβ.
␈β∂
␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβFor␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈απa␈α␈nd␈αεdivision␈αεthese␈αεqua␈α␈n␈α␈tities␈απwil␈α↓l␈απob␈α␈ey␈απth␈α␈e␈απru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈↓ 	:␈ε	x␈↓ 	L␈εβ/0␈αλ=␈↓ 
!␈εβsign␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔1␈εβ,
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈ε↔␈αλα␈↓ αQ␈ε	x␈↓ αm␈εβ=␈↓ β_␈ε	x␈↓ β1␈ε↔α␈εβ␈αλ(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)␈α
=␈α
(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)/␈↓ ¬R␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ ε:␈εβs␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	x␈↓ π∂␈εβ)␈ε↔1␈εβ␈α↓,␈↓ πQ␈ε	x␈↓ πb␈εβ/(␈ε↔ε1␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈,␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈αth␈α␈at␈↓ 
y␈ε	x␈↓ ⊗␈εβis
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nite␈α	an␈α␈d␈α	no␈α␈nze␈α␈ro,␈α
witho␈α␈ut␈α	cha␈α␈nge␈α	to␈α	th␈α␈e␈α
a␈α␈lgorith␈α␈ms␈α
d␈α␈escrib␈α␈ed.␈α
F␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
the␈α	algo␈α␈-
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβrith␈α␈ms␈αλca␈α␈n␈αλrea␈α␈dily␈αλb␈α␈e␈αλmod␈α␈i|ed␈απso␈αλth␈α␈at␈αλ0/␈α␈0␈α	=␈α
0␈ε↔␈αβα␈εβ␈αβ(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)␈ε↔␈αβα␈εβ␈α∧0␈αλ=␈α
\(0␈α␈/0)"␈α␈,␈α	where
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλlatte␈α␈r␈αλis␈αλa␈αλr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλo␈α␈f␈αλ\u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈";␈α	an␈α␈d␈αλso␈απtha␈α␈t␈αλif␈αλeithe␈α␈r␈αλop␈α␈eran␈α␈d␈αλis␈αλ\␈α␈un␈α␈de␈α␈|n␈α␈ed"
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈sult␈α
will␈α
be␈α\un␈α␈de␈α␈|n␈α␈ed"␈αalso.␈α⊂S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
m␈α}ultiplication␈αan␈α␈d␈αdivision␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α∞yield␈α∞the␈α␈se␈α∂fairly␈α∞na␈α␈tural␈α∞rules␈α∂o␈α␈f␈α∂\e␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α∂a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c,"␈α∂it␈α∂is␈α∂so␈α␈metimes␈α∞w␈α␈orth
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈αto␈αm␈α␈odify␈αth␈α␈e␈αad␈α␈dition␈αa␈α␈nd␈αsu␈α␈btr␈α␈action␈αo␈α␈pe␈α␈ration␈α␈s␈αso␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈ey␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α
the␈αru␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα674␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.1
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓[␈ε↔ε␈αα1␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	ε␈α↓1␈εβ,␈↓ β'␈ε	x␈↓ β:␈ε↔ε␈εβ␈αβ(␈ε↔␈1␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	π1␈εβ␈α↓,␈αλfor␈↓ ¬n␈ε	x␈↓ εε␈εβ|␈α␈nite;␈α	(␈ε↔ε1␈εβ)␈αα+␈αβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	ε1␈αβ␈␈εβ␈αα(␈ε↔π1␈εβ␈α↓)␈α	=␈ε↔␈α
ε1␈εβ,
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈ε↔π1␈εβ)␈α
=␈α	(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈α	=␈α
(0/␈α␈0);␈αan␈α␈d␈αif␈αe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αor␈αb␈α␈oth␈α
ope␈α␈ran␈α␈ds␈αis␈α(0/0␈α␈),␈αso
␈βαy␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t.␈αEqu␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈αtests␈αa␈α␈nd␈αc␈α␈omp␈α␈arison␈α␈s␈αmay␈α
be␈αtre␈α␈ated␈α
i␈α↓n␈α
a␈αsimilar␈αma␈α␈nn␈α␈er.
␈ββ!␈↓ α␈εβThe␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈αre␈α␈mark␈α␈s␈αa␈α␈re␈αin␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈αof␈α\o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w"␈αi␈α↓n␈α␈dica␈α␈tions.␈αIf␈ε↔␈α1␈εβ␈αis␈αbeing␈αu␈α␈sed
␈ββI␈↓ ↓H␈εβto␈α	s␈α␈ugg␈α␈est␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w,␈α	i␈α↓t␈α	is␈α	i␈α↓n␈α␈corre␈α␈ct␈α	to␈α	l␈α↓e␈α␈t␈α
1␈α␈/␈ε↔1␈εβ␈α	be␈α	eq␈α␈ual␈α	to␈α	zero␈α␈,␈α
lest␈α	i␈α↓n␈α␈acc␈α␈ura␈α␈te␈α
r␈α␈esults␈α	be
␈ββp␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gard␈α␈ed␈αλa␈α␈s␈α	t␈α␈rue␈αλan␈α␈sw␈α␈ers.␈α
It␈α	is␈αλfar␈αλbe␈α␈tter␈αλto␈αλrep␈α␈resen␈α}t␈α	o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αλby␈απ(␈α↓0␈α␈/0␈α␈)␈α↓,␈α	a␈α␈nd␈αλt␈α␈o␈αλadh␈α␈ere␈αλto
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	con␈α}v␈α␈en␈α}tion␈α	th␈α␈at␈α	the␈α	resu␈α␈l␈α↓t␈α	of␈α	an␈α}y␈α	op␈α␈eration␈αλi␈α↓s␈α	u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α	if␈α
a␈α␈t␈α
lea␈α␈st␈α
o␈α␈ne␈α	of␈α	the␈α	inp␈α␈ut␈α␈s
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβis␈α
u␈α␈nd␈α␈e|␈α␈ned␈α␈.␈α⊃Th␈α␈i␈α↓s␈αtyp␈α␈e␈α
of␈α
o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈α
ind␈α␈ication␈αha␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
ad␈α␈va␈α␈n␈α␈tag␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
|␈α␈na␈α␈l␈α
results␈α
o␈α␈f
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈αre␈α␈v␈α␈ea␈α␈l␈αex␈α␈actly␈α
which␈αa␈α␈nsw␈α␈ers␈αa␈α␈re␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αa␈α␈nd␈αwh␈α␈ich␈αa␈α␈re␈αno␈α␈t.
␈β¬⊗␈↓ αf␈ε~0␈↓ βT␈ε~0
␈β¬~␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ/␈↓ αR␈ε	u␈↓ αv␈ε↔≤␈↓ β ␈ε	v␈↓ β2␈εβ/␈↓ βB␈ε	v␈↓ βZ␈εβ,␈αthe␈α␈n
␈β¬d␈↓ βW␈ε~0␈↓ ∧"␈ε~0␈↓ ¬
␈ε~0␈↓ ¬"␈ε~0␈↓ ¬u␈ε~0␈↓ εu␈ε~0␈↓ π↑␈εε2␈↓ πj␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ 	⊃␈εε2␈↓ 	≥␈εn␈↓ 	l␈ε~0
␈β¬j␈↓ αd␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈α
j␈↓ β2␈ε	u␈↓ βF␈ε	v␈↓ βe␈ε↔␈␈↓ ∧∞␈ε	u␈↓ ∧(␈ε	v␈↓ ∧9␈ε↔j␈εβ␈α
=␈↓ ∧v␈ε	u␈↓ ¬⊃␈ε	v␈↓ ¬(␈ε↔j␈εβ␈α↓(␈↓ ¬=␈ε	u␈↓ ¬Q␈εβ/␈↓ ¬a␈ε	u␈↓ ¬|␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εB␈ε	v␈↓ εS␈εβ/␈↓ εd␈ε	v␈↓ ε|␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α	<␈ε↔␈α
j␈↓ πM␈εβ2␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε	u␈↓ λ~␈εβ/␈↓ λ*␈ε	u␈↓ λE␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ 	␈εβ2␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	v␈↓ 	J␈εβ/␈↓ 	[␈ε	v␈↓ 	r␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α↓;
␈βε6␈↓ 
*␈εα(
␈βε9␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
q␈α␈uan␈α}tities␈α∞d␈α␈i{␈α↓e␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α
by␈αmore␈α
th␈α␈an␈α
u␈α␈nity␈α
c␈α␈ann␈α␈ot␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
same␈α
\␈α␈⎇oo␈α␈r."␈↓ 
6␈εβIn␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈βεa␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rds,␈αthe␈α|␈α␈rst␈α2␈↓ β?␈ε	n␈↓ β↑␈εβbits␈αto␈αth␈α␈e␈αrigh␈α␈t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αbin␈α␈ary␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αar␈α␈e␈αeno␈α␈ugh␈α
to␈αch␈α␈arac␈α␈terize␈αthe
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αfract␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈α
wh␈α␈en␈αth␈α␈ere␈αare␈↓ ¬r␈ε	n␈↓ εε␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈αd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tors.␈α∂We␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αimpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓s␈αto
␈βπ-␈↓ ¬C␈εε1␈↓ λ∂␈εε1␈↓ 
E␈εα)
␈βπ0␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓t␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αbits,␈αfor␈αif␈↓ βU␈ε	n␈↓ βs␈εβ=␈α	4␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬b␈εβ=␈α
(.000␈α␈100␈α␈11␈↓ π,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πY␈εβ)␈↓ πp␈εβ,␈↓ λ.␈εβ=␈α
(.000␈α␈100␈α␈10␈↓ 	x␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
$␈εβ)␈↓ 
<␈εβ.
␈βπ;␈↓ πd␈εε2␈↓ 
0␈εε2
␈βπ>␈↓ ¬<␈∧π>¬<α~␈↓ λλ␈∧π>λλα~
␈βπ@␈↓ ¬<␈εε13␈↓ λλ␈εε14
␈βπa␈↓ ∧c␈∧πa∧cα⊃
␈βπb␈↓ ∧B␈ε↔p
␈βπc␈↓ ∧;␈ε~0␈↓ ¬&␈ε~0␈α↓0␈↓ π⊗␈ε~0
␈βπg␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβTo␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α
by␈α
(␈↓ βf␈ε	v␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ∧*␈ε	v␈↓ ∧c␈εβ5␈↓ ∧y␈εβ)/␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬3␈εβ,␈α∞whe␈α␈n␈↓ ε#␈ε	v␈↓ εB␈εβan␈α␈d␈↓ π¬␈ε	v␈↓ π*␈εβare␈α
n␈α␈ot␈α
bo␈α␈th␈α
zero␈α␈,␈α∞m␈α␈ultiply␈α
b␈α␈y␈α
the
␈βλλ␈↓ βn␈∧λλβnα⊃
␈βλ
␈↓ βG␈ε~0␈↓ βM␈ε↔p␈↓ ∧!␈ε~00␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ¬9␈ε~0␈εε␈α↓2
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εβre␈α␈ciproc␈α␈al,␈α(␈↓ αt␈ε	v␈↓ β␈ε↔␈␈↓ β5␈ε	v␈↓ βn␈εβ5␈↓ ∧∧␈εβ)␈↓ ∧∂␈ε	v␈↓ ∧-␈εβ/(␈↓ ∧I␈ε	v␈↓ ∧o␈ε↔␈␈εβ␈απ5␈↓ ¬(␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ),␈αa␈α␈nd␈α
redu␈α␈ce␈αto␈αlo␈α}we␈α␈st␈αterms.
␈β	␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.2
␈β	↑␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβSu␈α␈bs␈α␈ti␈α↓tu␈α␈te␈αmin␈α␈,␈αma␈α␈x,␈α+␈αcon␈α␈si␈α↓ste␈α␈n␈α␈tly␈αfo␈α␈r␈αg␈α␈cd␈α␈,␈αlcm,␈ε↔␈αα␈εβ.
␈β
⊃␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβFor␈αprime␈↓ β*␈ε	p␈↓ β:␈εβ,␈αlet␈↓ β␈␈ε	u␈↓ ∧ ␈εβ,␈↓ ∧5␈ε	v␈↓ ∧↑␈εβ,␈↓ ∧r␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬3␈ε	v␈↓ ¬k␈εβbe␈αth␈α␈e␈αexp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ λ∃␈ε	p␈↓ λ1␈εβin␈αth␈α␈e␈αcan␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈β
≠␈↓ ∧∩␈εp␈↓ ∧C␈εε1␈↓ ∧P␈εp␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈εp
␈β
8␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α∂of␈↓ αH␈ε	u␈↓ α\␈εβ,␈↓ αu␈ε	v␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βV␈εβ,␈↓ βp␈ε	v␈↓ ∧∂␈εβ.␈α↔By␈α∂h␈α␈y␈α␈po␈α␈thes␈α␈i␈α↓s,␈↓ ε→␈ε	u␈↓ εJ␈ε↔∀␈↓ ε{␈ε	v␈↓ π.␈εβ+␈↓ πZ␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ␈εβ+␈↓ λ6␈ε	v␈↓ λc␈εβ.␈α↔W␈α↓e␈α∂m␈α␈u␈α␈st␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α∂tha␈α␈t
␈β
C␈↓ β∧␈εε1␈↓ β␈␈εn␈↓ ε,␈εp␈↓ π
␈εε1␈↓ π↔␈εp␈↓ λE␈εn␈↓ λU␈εp
␈β
`␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓s␈ε↔∀␈↓ α ␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε	u␈↓ ββ␈εβ,␈↓ β∩␈ε	v␈↓ β;␈εβ)␈αλ+␈↓ βx␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧P␈εβmin␈↓ ¬π␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬3␈εβ,␈↓ ¬B␈ε	v␈↓ ¬o␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈αthis␈αis␈αcertain␈α␈l␈α↓y␈αtru␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ 	)␈ε	u␈↓ 	V␈εβis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an
␈β
k␈↓ ↓[␈εp␈↓ αu␈εp␈↓ β!␈εε1␈↓ β-␈εp␈↓ ¬&␈εp␈↓ ¬Q␈εn␈↓ ¬a␈εp␈↓ 	<␈εp
␈βλ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αequ␈α␈al␈αto␈αea␈α␈ch␈↓ β<␈ε	v␈↓ βd␈εβ,␈αo␈α␈r␈αi␈α↓f␈↓ ∧A␈ε	u␈↓ ∧m␈εβis␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αtha␈α␈n␈αsom␈α␈e␈↓ εl␈ε	v␈↓ π∃␈εβ.
␈β∩␈↓ βK␈εj␈↓ βW␈εp␈↓ ∧T␈εp␈↓ ε{␈εj␈↓ ππ␈εp
␈β:␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε⊂So␈α␈lution␈α1␈α␈:␈εβ␈α
A␈αon␈α␈e-to-on␈α␈e␈αcorre␈α␈spon␈α␈de␈α␈nce␈αis␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αif␈αw␈α␈e␈αset␈↓ 	∀␈ε	u␈↓ 	2␈εβ=␈↓ 	↑␈εβg␈α␈cd␈↓ 
⊂␈εβ(␈↓ 
≠␈ε	d␈↓ 
-␈εβ,␈↓ 
<␈ε	n␈↓ 
P␈εβ),␈↓ 
p␈ε	v␈↓ ␈εβ=
␈β]␈↓ λ_␈εe
␈β↑␈↓ ↓\␈εε2␈↓ ¬J␈εε2␈↓ λk␈εe
␈βb␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβ/␈↓ ↓}␈εβl␈α↓cm␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	d␈↓ αP␈εβ,␈↓ α←␈ε	n␈↓ αs␈εβ)␈α
for␈α
each␈α
d␈α␈ivisor␈↓ ∧s␈ε	d␈↓ ¬⊂␈εβof␈↓ ¬6␈ε	n␈↓ ¬W␈εβ.␈ε⊂␈α_S␈α␈olu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
2:␈εβ␈αIf␈↓ π@␈ε	n␈↓ π]␈εβ=␈↓ λπ␈ε	p␈↓ λ.␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λZ␈ε	p␈↓ 	↓␈εβ,␈αthe␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
i␈α↓n␈α
e␈α␈ach
␈βe␈↓ λ#␈επ1␈↓ λv␈ε
r
␈βq␈↓ λk␈εr
␈βr␈↓ λ_␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈αis␈α(2␈↓ αK␈ε	e␈↓ αk␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ β5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈εβ(␈α↓2␈↓ β⎇␈ε	e␈↓ ∧≥␈εβ+␈απ1).
␈β∀␈↓ αW␈εε1␈↓ ∧	␈εr
␈β=␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.2.1.2↑␈α␈15(a␈α␈).
␈βp␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSh␈α␈ift␈↓ α]␈ε	u␈↓ α|␈εβa␈α␈nd␈↓ β<␈ε	v␈↓ βX␈εβrigh␈α}t␈αu␈α␈n␈α␈til␈αn␈α␈either␈α
is␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈α3␈α␈,␈αreme␈α␈m␈α␈berin␈α␈g␈αt␈α␈he␈α
pro␈α␈per␈α
po␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
3␈α	tha␈α␈t␈α
wil␈α↓l␈α
a␈α␈pp␈α␈ear␈α	in␈α
th␈α␈e␈α
g␈α␈cd␈α␈.␈αE␈α↓a␈α␈ch␈α	sub␈α␈seq␈α␈uen␈α}t␈α
iteratio␈α␈n␈α
se␈α␈ts␈↓ λY␈ε	t␈↓ λn␈ε↔ ␈↓ 	→␈ε	u␈↓ 	2␈εβ+␈↓ 	Y␈ε	v␈↓ 	t␈εβor␈↓ 
≠␈ε	t␈↓ 
0␈ε↔ ␈↓ 
[␈ε	u␈↓ 
t␈ε↔␈␈↓ ≠␈ε	v
␈β
?␈↓ ↓H␈εβ(wh␈α␈i␈α↓c␈α␈hev␈α}er␈α
i␈α↓s␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈α
3),␈αsh␈α␈if␈α↓ts␈↓ ¬Y␈ε	t␈↓ ¬o␈εβrigh␈α}t␈αu␈α␈n␈α␈til␈α
i␈α↓t␈α
is␈α
not␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈ltiple␈α
of␈α
3,␈αth␈α␈en␈α
re␈α␈place␈α␈s
␈β
f␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ax␈↓ απ␈εβ(␈↓ α∩␈ε	u␈↓ α&␈εβ,␈↓ α4␈ε	v␈↓ αF␈εβ)␈αby␈α
the␈α
result.
␈β∞/␈↓ ∧7␈ε	u␈↓ ¬T␈ε	v␈↓ π+␈ε	t
␈β∞a␈↓ ∧_␈εβ1␈α␈363␈α␈4␈↓ ¬3␈εβ24␈α␈140␈↓ εN␈εβ105␈α␈06␈α␈,␈α3␈α␈502␈α␈;
␈β∂	␈↓ ∧_␈εβ1␈α␈363␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ3␈α␈502␈↓ εN␈εβ171␈α␈36␈α␈,␈α5␈α␈712␈α␈,␈α1␈α␈904␈α␈;
␈β∂0␈↓ ∧(␈εβ190␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ3␈α␈502␈↓ εN␈εβ540␈α␈6,␈α18␈α␈02;
␈β∂X␈↓ ∧(␈εβ190␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ1␈α␈802␈↓ εN␈εβ102␈α␈,␈α3␈α␈4;
␈β∂␈␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ1␈α␈802␈↓ εN␈εβ183␈α␈6,␈α61␈α␈2,␈α204␈α␈,␈α6␈α␈8;
␈β⊂'␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬e␈εβ68␈↓ εN␈εβ102␈α␈,␈α3␈α␈4;
␈β⊂O␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬e␈εβ34␈↓ εN␈εβ0.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈↓ β[␈εβgcd␈↓ ∧
␈εβ(409␈α␈02,␈α¬241␈α␈40)␈α	=␈α
3␈α␈4␈αis␈αno␈α}w␈αo␈α}v␈α␈erwh␈α␈elming␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα675
␈βα&␈↓ πR␈εε1
␈βα)␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβThe␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈α
both␈↓ ¬≥␈ε	u␈↓ ¬>␈εβand␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε!␈εβar␈α␈e␈α∞ev␈α}en␈α
i␈α↓s␈↓ πb␈εβ;␈α∂the␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
th␈α␈at␈α∞b␈α␈oth␈α
are
␈βα7␈↓ πR␈∧α7πRα
␈βα9␈↓ πR␈εε4
␈βαM␈↓ βd␈εε1
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiples␈αλof␈αλfou␈α␈r␈αλi␈α↓s␈↓ βz␈εβ;␈α
etc␈α␈.␈αTh␈α}us␈↓ ¬≤␈ε	A␈↓ ¬;␈εβh␈α␈as␈αλth␈α␈e␈αλdistribu␈α␈tion␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αλb␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλgen␈α␈eratin␈α␈g␈αλfun␈α␈ction
␈βα←␈↓ β↑␈∧α←β↑α~
␈βαa␈↓ β↑␈εε1␈α␈6
␈ββ⊗␈↓ πQ␈εβ3␈α␈/4
␈ββ(␈↓ ∧I␈εε3␈↓ ¬∀␈εε3␈↓ ¬r␈εε3␈↓ ε↔␈εε2
␈ββ,␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬*␈ε	z␈↓ ¬@␈εβ+␈↓ ε	␈ε	z␈↓ ε+␈εβ+␈↓ εS␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πβ␈εβ=␈↓ λ%␈εβ.
␈ββ:␈↓ ∧I␈∧β:∧Iα
␈↓ ¬
␈∧β:¬
α~␈↓ ¬l␈∧β:¬lα~␈↓ π2␈∧β:π2αp
␈ββ<␈↓ ∧I␈εε4␈↓ ¬
␈εε16␈↓ ¬l␈εε64
␈ββD␈↓ π2␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ πr␈ε	z␈↓ λ␈εβ/4
␈ββm␈↓ εe␈ε↓p
␈β∧λ␈↓ π	␈∧∧λπ	α↓"
␈β∧
␈↓ β	␈εε1␈↓ π∩␈εε2␈↓ πV␈εε1␈↓ λ~␈εε1␈↓ λb␈εε2
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αme␈α␈an␈α
i␈α↓s␈↓ β→␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
the␈α
stan␈α␈da␈α␈rd␈αd␈α␈evia␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈↓ π*␈εβ+␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ4␈εβ=␈↓ λr␈εβ.␈αIf␈↓ 	(␈ε	u␈↓ 	<␈εβ,␈↓ 	J␈ε	v␈↓ 	g␈εβa␈α␈re␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈-
␈β∧≡␈↓ β	␈∧∧≡β	α
␈↓ π∩␈∧∧≡π∩α
␈↓ πV␈∧∧≡πVα
␈↓ λ~␈∧∧≡λ~α
␈↓ λb␈∧∧≡λbα
␈β∧ ␈↓ β	␈εε3␈↓ π∩␈εε9␈↓ πV␈εε3␈↓ λ~␈εε9␈↓ λb␈εε3
␈β∧4␈↓ π#␈εN
␈β∧8␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈tly␈α
a␈α␈nd␈α	un␈α␈if␈α↓o␈α␈rmly␈α
d␈α␈istribu␈α␈ted␈α
with␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε+␈ε	u␈↓ ε?␈εβ,␈↓ εM␈ε	v␈↓ εh␈εβ<␈↓ π∪␈εβ2␈↓ π;␈εβ,␈α
then␈α	som␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α
co␈α␈rrection␈α	term␈α␈s
␈β∧←␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αne␈α␈eded␈α␈;␈αthe␈αm␈α␈ean␈αis␈αth␈α␈en␈αa␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y
␈β¬α␈↓ ∧¬␈ε↓X
␈β¬!␈↓ α↑␈εN␈↓ βB␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧m␈εN␈↓ ¬∧␈ε~␈␈↓ ¬≡␈εk␈↓ ¬w␈εε2␈↓ π+␈εN␈↓ λ∂␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∨␈εN␈↓ 
β␈ε~␈␈εε2
␈β¬#␈↓ ε;␈εε1␈↓ ε␈␈εε4
␈β¬'␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈εβ2␈↓ α⎇␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ β7␈εβ)␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈εβ2␈↓ ¬2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬l␈εβ)␈↓ ε
␈εβ=␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ π∂␈εβ(␈↓ π~␈εβ2␈↓ πJ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λβ␈εβ)␈↓ λ<␈εβ+␈↓ λd␈ε	N␈↓ 	β␈εβ(␈↓ 	∞␈εβ2␈↓ 	>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	x␈εβ)␈↓ 
)␈εβ.
␈β¬5␈↓ ε;␈∧¬5ε;α
␈↓ ε␈␈∧¬5ε␈α
␈β¬7␈↓ ε;␈εε3␈↓ ε␈␈εε3
␈β¬X␈↓ βm␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧∪␈εk␈↓ ∧ ␈ε~∀␈↓ ∧9␈εN
␈βε∀␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αk␈ε	u␈↓ α␈␈εβ,␈↓ β
␈ε	v␈↓ β(␈εβare␈α	no␈α␈t␈α
b␈α␈oth␈α	e␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α
eac␈α␈h␈α	of␈α
th␈α␈e␈α	case␈α␈s␈α
(ev␈α}en,␈α
o␈α␈dd␈α␈),␈α
(odd␈α␈,␈α
ev␈α␈e␈α␈n),␈α
(od␈α␈d,␈α
o␈α␈dd␈α␈)
␈βε8␈↓ 	(␈εε1
␈βε<␈↓ ↓H␈εβis␈α∞equ␈α␈ally␈α∞pro␈α␈ba␈α␈ble,␈α∂an␈α␈d␈↓ ∧<␈ε	B␈↓ ∧a␈εβ=␈α∂1,␈α∂0,␈α∂0␈α∞in␈α∞the␈α␈se␈α∞cases.␈α∃Hen␈α␈ce␈↓ λP␈ε	B␈↓ λu␈εβ=␈↓ 	G␈εβon␈α∞t␈α␈he␈α∞av␈α}erag␈α␈e.
␈βεJ␈↓ 	(␈∧εJ	(α
␈βεL␈↓ 	(␈εε3
␈βεc␈↓ ↓H␈εβAc␈α␈tually,␈α	as␈α	in␈α	e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ6,␈α
a␈αλsmall␈α	corre␈α␈ction␈αλcou␈α␈l␈α↓d␈αλbe␈αλgiv␈α␈en␈αλto␈α	b␈α␈e␈α	strictly␈α	a␈α␈ccu␈α␈rate␈α	wh␈α␈en
␈βππ␈↓ β¬␈εN
␈βπ␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	u␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈ε	v␈↓ αJ␈εβ<␈↓ αt␈εβ2␈↓ β≤␈εβ;␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬↑␈ε	B␈↓ ¬}␈εβ=␈α	1␈αis␈αa␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y
␈βπ-␈↓ ∧↑␈ε↓X
␈βπM␈↓ β7␈εN␈↓ ∧≠␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬F␈εN␈↓ ¬]␈ε~␈␈↓ ¬w␈εk␈↓ ε`␈εN␈↓ εx␈ε~␈␈↓ π⊃␈εk␈↓ λF␈εN␈↓ 	*␈ε~␈␈εε1
␈βπO␈↓ πV␈εε1␈↓ λ~␈εε1
␈βπS␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈εβ2␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ∧⊂␈εβ)␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈εβ2␈↓ ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ εP␈εβ2␈↓ π(␈εβ=␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈εβ2␈↓ λe␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	∨␈εβ)␈↓ 	P␈εβ.
␈βπa␈↓ πV␈∧πaπVα
␈↓ λ~␈∧πaλ~α
␈βπc␈↓ πV␈εε3␈↓ λ~␈εε3
␈βλ∧␈↓ ∧F␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧l␈εk␈↓ ∧y␈ε~∀␈↓ ¬∩␈εN
␈βλ>␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε	E␈↓ α0␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αsub␈α␈tractio␈α␈n␈αcy␈α␈c␈α␈l␈α↓es␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ πI␈ε	u␈↓ πi␈εβ>␈↓ λ∃␈ε	v␈↓ λ'␈εβ,␈α
p␈α␈lus␈αon␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ 	c␈ε	u␈↓ 
β␈εβi␈α↓s␈αod␈α␈d␈αafte␈α␈r
␈βλf␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αB1.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αth␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈αfro␈α␈m␈α(␈↓ εβ␈ε	u␈↓ ε↔␈εβ,␈↓ ε&␈ε	v␈↓ ε7␈εβ)␈αto␈α(␈↓ π↓␈ε	v␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π!␈ε	u␈↓ π5␈εβ),␈αthe␈αv␈α␈alue␈α
of␈↓ 	
␈ε	C␈↓ 	3␈εβsta␈α␈ys␈αu␈α␈nch␈α␈an␈α␈ged␈α␈,
␈β	
␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈↓ α≡␈ε	E␈↓ α@␈εβbeco␈α␈mes␈↓ βD␈ε	C␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧∞␈ε	E␈↓ ∧0␈εβor␈↓ ∧Y␈ε	C␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬#␈ε	E␈↓ ¬A␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈;␈αth␈α␈e␈αlatte␈α␈r␈αcase␈α
occu␈α␈rs␈αi{␈↓ λv␈ε	u␈↓ 	∃␈εβan␈α␈d␈↓ 	V␈ε	v␈↓ 	r␈εβare␈α
bo␈α␈th␈αo␈α␈dd
␈β	1␈↓ πε␈εN
␈β	2␈↓ ε¬␈εε1␈↓ εI␈εε2
␈β	5␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αstep␈α
B␈α↓1␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
this␈αha␈α␈s␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εZ␈εβ/␈α␈(␈↓ εu␈εβ2␈↓ π%␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓.␈αHen␈α␈ce
␈β	C␈↓ ε¬␈∧	Cε¬α
␈↓ εI␈∧	CεIα
␈β	E␈↓ ε¬␈εε3␈↓ εI␈εε3
␈β	x␈↓ πf␈εN
␈β	y␈↓ εe␈εε1␈↓ π)␈εε2
␈β	⎇␈↓ ∧!␈ε	E␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬∞␈ε	C␈↓ ¬P␈ε↔␈␈↓ ¬y␈ε	E␈↓ ε9␈ε↔␈␈↓ ε⎇␈ε↔␈␈↓ π:␈εβ/␈α␈(␈↓ πU␈εβ2␈↓ λ¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈β
π␈↓ ∧5␈εεa␈α␈ve␈↓ ¬$␈εεa␈α␈ve␈↓ ε␈εεav␈α␈e
␈β
␈↓ εe␈∧
εeα
␈↓ π)␈∧
π)α
␈β

␈↓ εe␈εε3␈↓ π)␈εε3
␈β
N␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβThe␈αbina␈α␈ry␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α|rst␈α
g␈α␈ets␈α
to␈α
B6␈α
with␈↓ π⊂␈ε	u␈↓ π1␈εβ=␈α
1␈α␈963␈α␈,␈↓ λ8␈ε	v␈↓ λV␈εβ=␈α
1␈α␈35␈α␈9;␈α∞then␈↓ 
+␈ε	t␈↓ 
C␈ε↔ ␈εβ␈α
604␈α␈,
␈β
v␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈02,␈αλ151␈α␈,␈α	etc␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αλg␈α␈cd␈απi␈α↓s␈απ302␈α␈.␈α
Usi␈α↓n␈α␈g␈απA␈α↓lg␈α␈orithm␈απX␈αλw␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απth␈α␈at␈αλ2␈ε↔␈αα↓␈εβ␈αβ314␈α␈08␈ε↔␈αα␈␈εβ␈α∧2␈α␈3␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈αβ2␈α␈718␈α	=␈α	302␈α␈.
␈β'␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(a)␈αTw␈α␈o␈αin␈α}teger␈α␈s␈αa␈α␈re␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αi{␈αth␈α␈ey␈αa␈α␈re␈αn␈α␈ot␈αbo␈α␈th␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αb␈α␈y␈αan␈α}y␈αprime
␈βO␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er.␈α∂(b␈α␈)␈απRearra␈α␈nge␈α␈men␈α}t␈απof␈απthe␈αεsum␈απin␈απ(a␈α␈),␈αλi␈α↓n␈αεterms␈απo␈α␈f␈απthe␈απd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tors␈↓ 	u␈ε	k␈↓ 
∞␈εβ=␈↓ 
9␈ε	p␈↓ 
[␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈βY␈↓ 
I␈εε1␈↓ ↔␈εr
␈βr␈↓ 	↓␈εε2␈↓ 	␈␈εε2
␈βs␈↓ ↓H␈εα(␈↓ πr␈εα)
␈βv␈↓ ↓T␈εβNo␈α␈te␈αεtha␈α␈t␈αεeach␈α¬of␈αεth␈α␈e␈αεsums␈αεin␈αε(a␈α␈)␈απa␈α␈nd␈α¬(b)␈αεis␈αεactu␈α␈all␈α↓y␈α¬|n␈α␈ite.␈↓ λ␈εβ(c)␈αε(␈↓ λA␈ε	n␈↓ λU␈εβ/␈↓ λf␈ε	k␈↓ λv␈εβ)␈↓ 	∞␈ε↔␈␈ααb␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	R␈εβ/␈↓ 	b␈ε	k␈↓ 	s␈ε↔c␈↓ 
∃␈εβ=␈↓ 
@␈ε	O␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	n␈↓ 
w␈εβ/␈↓ λ␈ε	k␈↓ _␈εβ),
␈β␈↓ α@␈ε↓P␈↓ ¬∩␈ε↓P␈↓ λy␈ε↓P
␈β~␈↓ ∧L␈εε2
␈β≡␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓r␈ε	q␈↓ α↔␈ε↔␈␈↓ βH␈ε	⊗␈↓ β[␈εβ(␈↓ βf␈ε	k␈↓ βv␈εβ)(␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧ ␈εβ/␈↓ ∧1␈ε	k␈↓ ∧A␈εβ)␈↓ ∧e␈εβ=␈↓ ε~␈ε	O␈↓ ε2␈εβ(␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ/␈↓ εb␈ε	k␈↓ εr␈εβ)␈α=␈↓ π6␈ε	O␈↓ πN␈εβ(␈↓ πY␈ε	n␈↓ πm␈ε	H␈↓ λ∪␈εβ).␈α≤(␈α↓d␈α␈)␈↓ 	P␈ε	⊗␈↓ 	b␈εβ(␈↓ 	m␈ε	d␈↓ 
␈εβ)␈α=␈↓ 
D␈ε	∞␈↓ 
m␈εβ.␈α⊂[In
␈β(␈↓ ↓}␈εn␈↓ λβ␈εn␈↓ 
P␈εε1␈↓ 
\␈εn
␈β0␈↓ αf␈εε1␈ε~∀␈↓ β␈εk␈↓ β→␈ε~∀␈↓ β3␈εn␈↓ ¬8␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬↑␈εk␈↓ ¬k␈ε~∀␈↓ ε∧␈εn␈↓ 	∨␈εd␈↓ 	-␈ε~∧␈↓ 	:␈εn
␈βK␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ct,␈αwe␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈α
more␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αresult
␈β⎇␈↓ ¬∀␈ε↓⊂␈↓ ¬B␈ε↓⊃
␈β
∧␈↓ ∧ ␈ε↓X␈↓ εb␈ε↓X
␈β
¬␈↓ πc␈εs
␈β

␈↓ π≤␈ε↓∩␈↓ πM␈ε↓∪
␈β
⊂␈↓ ¬T␈εs
␈β
∀␈↓ ¬*␈ε	n␈↓ π5␈ε	n
␈β
$␈↓ ε'␈εs
␈β
*␈↓ ∧Y␈ε	⊗␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	d␈↓ ¬	␈εβ)␈↓ ¬h␈εβ=␈↓ ε∪␈ε	n␈↓ ε:␈ε↔␈␈↓ πv␈εβ+␈↓ λ∨␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λK␈εβ,
␈β
8␈↓ ¬*␈∧
8¬*α∃␈↓ π5␈∧
8π5α∃
␈β
A␈↓ ¬+␈ε	d␈↓ π7␈ε	p
␈β
[␈↓ ∧$␈εd␈↓ ∧3␈ε~∧␈↓ ∧?␈εn
␈β∞+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞in␈α
p␈α␈art␈α
(b),␈α∞where␈α
th␈α␈e␈α∞s␈α␈ums␈α
are␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
the␈α
prime␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈α
of␈↓ λ`␈ε	n␈↓ λt␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
is␈α∞e␈α␈qua␈α␈l␈α∞to
␈β∞M␈↓ ¬G␈εe
␈β∞N␈↓ ↓\␈εs␈↓ αe␈εs␈↓ ∧-␈εs␈↓ ε~␈εe
␈β∞R␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓g␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ αT␈ε	p␈↓ αr␈εβ)␈↓ βα␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β/␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ ∧≤␈ε	p␈↓ ∧9␈εβ)␈αif␈↓ ∧o␈ε	n␈↓ ¬␈εβ=␈↓ ¬6␈ε	p␈↓ ¬]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε	␈ε	p␈↓ ε0␈εβ.␈α↓]
␈β∞U␈↓ ¬R␈επ1␈↓ ε%␈ε
r
␈β∞b␈↓ αe␈εε1␈↓ ∧-␈εr␈↓ ε~␈εr
␈β∞c␈↓ ¬G␈εε1
␈β∞z␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α
Similarly,␈α	w␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απtha␈α␈t␈αλa␈αλset␈αλof␈↓ ε(␈ε	k␈↓ εA␈εβin␈α}tegers␈αλis␈αλrelativ␈α}el␈α↓y␈απprime␈αλwith␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β∂∧␈↓ ↓v␈ε↓P
␈β∂≡␈↓ β
␈εk
␈β∂∨␈↓ ↓X␈εα/(␈↓ β~␈εα)
␈β∂"␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ αX␈εβ1/␈↓ αy␈ε	n␈↓ β&␈εβ.␈α∩Th␈α␈is␈α
pro␈α␈of␈α
of␈α
Th␈α␈eorem␈αD␈α
i␈α↓s␈αdu␈α␈e␈α
to␈α
F.␈α
Merte␈α␈ns,␈ε⊂␈α∞J␈α␈.␈α∞f␈↓ 	>␈ε⊂u␈↓ 	?␈ε⊂∪␈↓ 	P␈ε⊂r␈α
die␈α
re␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈α
u␈α␈nd
␈β∂4␈↓ α≤␈εn␈↓ α-␈ε~∃␈εε1
␈β∂M␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈ng␈α␈ew.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α
77␈εβ␈α
(1␈α␈874␈α␈),␈α28␈α␈9↑2␈α␈91␈α␈.␈αT␈α↓h␈α␈e␈α
tec␈α␈hn␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈α
a␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y␈α	giv␈α}es␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈ch␈α	stron␈α␈ger␈α
res␈α␈ult,
␈β∂q␈↓ β≡␈ε~␈␈εε2␈↓ βX␈εε2
␈β∂r␈↓ π>␈εα[␈↓ 	α␈εα)␈↓ 	]␈εα[␈↓  ␈εα)
␈β∂u␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α¬tha␈α␈t␈απ6␈↓ β␈ε	→␈↓ βD␈ε	n␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧π␈ε	O␈↓ ∧∨␈εβ(␈↓ ∧*␈ε	n␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε	n␈↓ ¬λ␈εβ)␈αεpairs␈αεof␈αεin␈α␈te␈α␈gers␈↓ ε}␈ε	u␈↓ π≠␈ε↔2␈↓ πH␈ε	f␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	n␈↓ πw␈εβ)␈α↓,␈↓ λ⊃␈ε	f␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λ@␈εβ)␈α↓+␈↓ λn␈ε	n␈↓ 	∞␈εβ,␈↓ 	∨␈ε	v␈↓ 	:␈ε↔2␈↓ 	g␈ε	g␈↓ 	v␈εβ(␈↓ 
↓␈ε	n␈↓ 
⊗␈εβ),␈↓ 
/␈ε	g␈↓ 
?␈εβ(␈↓ 
J␈ε	n␈↓ 
↑␈εβ)␈α↓+␈↓ ␈ε	n
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime␈α␈,␈αfor␈αa␈α␈rbitrar␈α␈y␈↓ ¬<␈ε	f␈↓ ¬W␈εβan␈α␈d␈↓ ε_␈ε	g␈↓ ε'␈εβ.
␈β⊂J␈↓ αq␈εε2␈↓ εX␈εε2␈↓ 	ε␈εε2
␈β⊂K␈↓ ∧ ␈εε1␈↓ ∧a␈εε1
␈β⊂N␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈α
6␈α␈/␈↓ α↑␈ε	→␈↓ βπ␈εβtimes␈α
1␈α¬+␈↓ ∧6␈εβ+␈↓ ∧q␈εβ,␈αn␈α␈amely␈α	49/␈α␈(6␈↓ εF␈ε	→␈↓ εe␈εβ)␈ε↔␈α	→␈εβ␈α
.82␈α␈746␈α␈.␈α↔(b␈α␈)␈α
6/␈↓ λt␈ε	→␈↓ 	≥␈εβtimes␈α	1/1␈α¬+␈αε2/4␈α¬+
␈β⊂\␈↓ ∧ ␈∧⊂\∧ α
␈↓ ∧a␈∧⊂\∧aα
␈β⊂↑␈↓ ∧ ␈εε4␈↓ ∧a␈εε9
␈β⊂s␈↓ ∧∪␈εα(
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈/9␈απ+␈↓ α)␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αU␈εβ,␈αnam␈α␈ely␈ε↔␈α1␈εβ.␈↓ ∧∨␈εβThis␈αis␈αtru␈α␈e␈αin␈α
spite␈αo␈α␈f␈αthe␈α
result␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α12␈α␈,␈αand␈α
in␈α
spite␈αo␈α␈f
␈β⊃~␈↓ 	O␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfact␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ¬>␈εβln␈↓ ¬←␈εβgcd␈↓ ε⊃␈εβ(␈↓ ε≤␈ε	u␈↓ ε0␈εβ,␈↓ ε?␈ε	v␈↓ εP␈εβ)␈αis␈αa␈αsm␈α␈all␈α↓,␈α|␈α␈nite␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα676␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	≠␈↓ α[␈εβ(␈↓ αg␈ε	n␈↓ α{␈εβ)␈αb␈α␈e␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ π2␈ε	n␈↓ πF␈εβ.␈αThe␈α
answ␈α␈e␈α␈r␈αis
␈ββ∧␈↓ ∧)␈ε↓X␈↓ εg␈ε↓X
␈ββ¬␈↓ π[␈εε2
␈ββ
␈↓ εQ␈ε↓∩␈↓ πE␈ε↓∪
␈ββ∂␈↓ λ2␈εε2
␈ββ∀␈↓ ¬M␈εβ6␈↓ ε6␈εβ6␈↓ π+␈εβ1␈↓ λ∨␈ε	→
␈ββ*␈↓ ∧b␈ε	≠␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	k␈↓ ¬⊂␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈↓ ε␈εβ=␈↓ πq␈εβ=␈↓ λB␈εβ.
␈ββ8␈↓ ¬7␈∧β8¬7α=␈↓ ε.␈∧β8ε.α ␈↓ π$␈∧β8π$α≥␈↓ λ∨␈∧β8λ∨α 
␈ββ?␈↓ ¬J␈εε2␈↓ ¬g␈εε2␈↓ εA␈εε2␈↓ π5␈εε2
␈ββA␈↓ ¬7␈ε	→␈↓ ¬V␈ε	k␈↓ ε.␈ε	→␈↓ π$␈ε	k␈↓ λ&␈εβ6
␈ββ[␈↓ ∧)␈εk␈↓ ∧7␈ε~∃␈εε1␈↓ εh␈εk␈↓ εu␈ε~∃␈εε1
␈β∧C␈↓ ↓H␈εβ[Th␈α␈u␈α␈s,␈αλthe␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈ε⊂␈αλless␈εβ␈απtha␈α␈n␈απ2,␈α	a␈α␈l␈α↓t␈α␈hou␈α␈gh␈απth␈α␈ere␈απare␈απalways␈απat␈απleast␈απt␈α␈wo␈απco␈α␈mmo␈α␈n␈απdivisor␈α␈s
␈β∧j␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	u␈↓ α>␈εβa␈α␈nd␈↓ α}␈ε	v␈↓ β≠␈εβare␈α
not␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime.]
␈β¬1␈↓ αP␈εε1␈↓ β≠␈εε1␈↓ ¬↓␈εε1␈↓ ¬E␈εε1␈↓ ε`␈εε1␈↓ π@␈εε1␈↓ λ∧␈εε1
␈β¬4␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ1␈απ+␈↓ αh␈εβ+␈↓ β9␈εβ+␈↓ βb␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧∩␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ ¬_␈εβ+␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε3␈ε↔␈␈↓ εp␈εβ(1␈απ+␈↓ πW␈εβ+␈↓ λ≠␈εβ+␈↓ λD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ).
␈β¬C␈↓ αP␈∧¬CαPα
␈↓ β∃␈∧¬Cβ∃α~␈↓ ¬↓␈∧¬C¬↓α
␈↓ ¬E␈∧¬C¬Eα
␈↓ ε`␈∧¬Cε`α
␈↓ π@␈∧¬Cπ@α
␈↓ λ∧␈∧¬Cλ∧α
␈β¬E␈↓ αP␈εε9␈↓ β∃␈εε2␈α␈5␈↓ ¬↓␈εε4␈↓ ¬E␈εε9␈↓ ε`␈εε4␈↓ π@␈εε4␈↓ λ∧␈εε9
␈β¬}␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈ε	v␈↓ α1␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ α⎇␈ε	v␈↓ β∞␈εβ/␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β?␈εβ,␈↓ βS␈ε	v␈↓ βx␈εβ=␈ε↔␈α
π␈↓ ∧D␈ε	u␈↓ ∧X␈εβ/␈↓ ∧i␈ε	u␈↓ ¬∀␈εβ(th␈α␈e␈αsign␈αd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈αo␈α␈n␈αwh␈α␈ether␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αiter␈α␈ation␈α␈s
␈βε	␈↓ α≠␈εε1␈↓ β2␈εε3␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧|␈εε3
␈βε&␈↓ ↓H␈εβis␈αe␈α␈v␈α␈en␈αor␈αod␈α␈d).␈α
This␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αfrom␈αthe␈αfact␈αth␈α␈at␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π/␈εβan␈α␈d␈↓ πq␈ε	v␈↓ λ_␈εβa␈α␈re␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αprime␈αto␈αe␈α␈ach
␈βε1␈↓ π↔␈εε1␈↓ π␈␈εε2
␈βεN␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α	(thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α	algorith␈α␈m),␈α
an␈α␈d␈α
th␈α␈at␈↓ ε=␈ε	v␈↓ εY␈ε	u␈↓ εv␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ πB␈ε	v␈↓ π]␈ε	v␈↓ πn␈εβ.␈α[H␈α↓e␈α␈nce␈↓ λl␈ε	v␈↓ 	π␈ε	u␈↓ 	%␈εβ=␈↓ 	O␈εβlcm␈↓ 
β␈εβ(␈↓ 
∞␈ε	u␈↓ 
"␈εβ,␈↓ 
1␈ε	v␈↓ 
B␈εβ)␈α
at␈α	the
␈βεX␈↓ εL␈εε1␈↓ πP␈εε2␈↓ λ{␈εε1
␈βεu␈↓ ↓H␈εβc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αo␈α␈f␈αthe␈αalgo␈α␈rithm,␈αb␈α␈ut␈αthis␈αis␈αn␈α␈ot␈αan␈αesp␈α␈ecially␈αe␈α␈}cien␈α␈t␈αway␈αto␈αcomp␈α␈ut␈α␈e␈αth␈α␈e␈αleas␈α␈t
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ommo␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le.␈αFo␈α␈r␈αa␈αgen␈α␈eraliza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αsee␈αex␈α}ercise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓1␈α␈↑18␈α␈.]
␈βπG␈↓ εF␈εε1␈↓ λ∃␈εε1
␈βπJ␈↓ α␈εβG.␈α
E.␈α
Coll␈α↓in␈α␈s␈α
ha␈α␈s␈α
ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α
j␈↓ ¬e␈ε	u␈↓ ε¬␈ε↔j␈α	∀␈↓ εV␈ε	v␈↓ εg␈εβ/␈↓ εx␈ε	u␈↓ π_␈εβ,␈ε↔␈α
j␈↓ π4␈ε	u␈↓ πT␈ε↔j␈α	∀␈↓ λ%␈ε	u␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε	u␈↓ λi␈εβ,␈αat␈α	the␈α
te␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f
␈βπU␈↓ ¬x␈εε1␈↓ π␈εε3␈↓ πG␈εε2␈↓ λ]␈εε3
␈βπX␈↓ εF␈∧πXεFα
␈↓ λ∃␈∧πXλ∃α
␈βπ[␈↓ εF␈εε2␈↓ λ∃␈εε2
␈βπr␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αX␈↓ β␈εβ,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈αi␈α↓n␈αcertain␈αtr␈α␈i␈α↓v␈α␈ial␈α
c␈α␈ases,␈α
sin␈α␈ce␈αthe␈α|␈α␈na␈α␈l␈α
v␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ 	5␈ε	q␈↓ 	P␈εβis␈αusu␈α␈ally␈ε↔␈α∃␈εβ␈α2␈α␈.
␈βλ~␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αbou␈α␈nd␈α␈s␈αthe␈αs␈α␈i␈α↓ze␈α
of␈ε↔␈αj␈↓ ∧/␈ε	u␈↓ ∧N␈ε↔j␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ ¬-␈ε	u␈↓ ¬L␈ε↔j␈εβ␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α␈out␈αth␈α␈e␈αex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm.
␈βλ$␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬@␈εε2
␈βλc␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβApp␈α␈ly␈α⊂Algorith␈α␈m␈α⊂X␈α⊂to␈↓ ∧o␈ε	v␈↓ ¬⊃␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬W␈ε	m␈↓ ¬t␈εβ,␈α∩th␈α}us␈α⊂o␈α␈btain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂a␈α⊂v␈α␈alue␈↓ λu␈ε	x␈↓ 	⊗␈εβsuc␈α␈h␈α⊂tha␈α␈t␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
F␈ε	v␈↓ 
i␈ε↔⊃␈εβ␈α∩1
␈β	␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	m␈↓ αf␈εβ)␈α↓.␈α~(Th␈α␈i␈α↓s␈αcan␈αb␈α␈e␈αdon␈α␈e␈αby␈αsimp␈α␈l␈α↓ify␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈αX␈αso␈αthat␈↓ 	8␈ε	u␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	m␈ε	v␈↓ 
λ␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ 
↑␈ε	t␈↓ ␈εβare
␈β	⊗␈↓ 	K␈εε2␈↓ 	{␈εε2␈↓ 
h␈εε2
␈β	3␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈α∞c␈α␈omp␈α␈uted␈α␈,␈α∂sinc␈α␈e␈α∞the␈α␈y␈α∞a␈α␈re␈α∞ne␈α␈v␈α␈er␈α∞u␈α␈sed␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈α∞an␈α␈sw␈α␈er.)␈α∨Then␈α
set␈↓ 	A␈ε	w␈↓ 	g␈ε↔ ␈↓ 
↔␈ε	u␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
A␈εβmod␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β	V␈↓ λ%␈εε2
␈β	Z␈↓ ↓H␈εβ[It␈αfollo␈α␈ws,␈α
a␈α␈s␈αi␈α↓n␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α30,␈αthat␈αth␈α␈is␈αproc␈α␈ess␈αrequ␈α␈ires␈↓ πn␈ε	O␈↓ λε␈εβ(␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ2␈εβ)␈αun␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈α
o␈α␈f␈αti␈α↓m␈α␈e,␈α
wh␈α␈en␈αit␈αis
␈β
α␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ β6␈ε	n␈↓ βJ␈εβ-b␈α␈it␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈αAn␈α
altern␈α␈ativ␈α␈e␈α
to␈αAlgo␈α␈rithm␈α
X␈αapp␈α␈ear␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
ex␈α}ercise␈α3␈α␈5.]
␈β
L␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈αSet␈↓ αx␈ε	t␈↓ β_␈εβ=␈↓ βC␈ε	x␈↓ β\␈εβ+␈αλ2␈↓ ∧⊗␈ε	y␈↓ ∧0␈εβ+␈αλ3␈↓ ∧i␈ε	z␈↓ ∧w␈εβ;␈αth␈α␈en␈α3␈↓ ¬i␈ε	t␈↓ επ␈εβ+␈↓ ε0␈ε	y␈↓ εJ␈εβ+␈αλ2␈↓ πβ␈ε	z␈↓ π≠␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α5␈↓ π|␈ε	t␈↓ λ~␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ λS␈ε	y␈↓ λm␈ε↔␈␈εβ␈αλ20␈↓ 	8␈ε	z␈↓ 	O␈εβ=␈α
3.␈αEli␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β
V␈↓ βα␈εε1␈↓ ¬s␈εε1␈↓ λε␈εε1
␈β
s␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓Z␈εβ,␈α∞the␈α␈n␈α
14␈↓ αa␈ε	t␈↓ β␈ε↔␈␈εβ␈α	14␈↓ βL␈ε	z␈↓ βf␈εβ=␈α
6:␈α⊂No␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈.␈α≡(b)␈α
This␈α
time␈α
14␈↓ λβ␈ε	t␈↓ λ"␈ε↔␈␈εβ␈α	14␈↓ λn␈ε	z␈↓ 	λ␈εβ=␈α
0.␈α∩Divid␈α␈e␈α∞b␈α␈y␈α
14␈α␈,
␈β
}␈↓ αk␈εε1␈↓ λ
␈εε1
␈β≠␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓imin␈α␈ate␈↓ αX␈ε	t␈↓ αo␈εβ;␈αth␈α␈e␈αgen␈α␈eral␈αsolu␈α␈tion␈αis␈↓ ¬N␈ε	x␈↓ ¬i␈εβ=␈α	8␈↓ ε$␈ε	z␈↓ ε9␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈,␈↓ ππ␈ε	y␈↓ π"␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ5␈↓ λ≡␈ε	z␈↓ λ,␈εβ,␈↓ λA␈ε	z␈↓ λY␈εβarb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry.
␈β&␈↓ αb␈εε1
␈βe␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	u␈↓ αj␈εβ,␈↓ β␈ε	u␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β5␈ε	u␈↓ βU␈εβ,␈↓ βk␈ε	v␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε	v␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	v␈↓ ∧t␈εβbe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈recision␈αvaria␈α␈bles,␈α
in␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αto␈↓ 	h␈ε	u␈↓ 
λ␈εβan␈α␈d␈↓ 
J␈ε	v␈↓ 
[␈εβ.␈α∂The
␈βp␈↓ α]␈εε1␈↓ β∪␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ βy␈εε1␈↓ ∧*␈εε2␈↓ ∧[␈εε3
␈β
␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α	a␈α␈lgorith␈α␈m␈α	will␈α	ac␈α␈t␈α	th␈α␈e␈α	sa␈α␈me␈αλon␈↓ ε
␈ε	u␈↓ ε5␈εβand␈↓ εt␈ε	v␈↓ π↔␈εβas␈α	Algo␈α␈rithm␈αλL␈α	d␈α␈oes␈αλon␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
	␈εβa␈α␈nd␈↓ 
G␈ε	v␈↓ 
X␈εβ.␈αNe␈α␈w
␈β↔␈↓ ε ␈εε3␈↓ πα␈εε3
␈β4␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiprec␈α␈i␈α↓sion␈αope␈α␈ration␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
t␈α␈o␈α
s␈α␈et␈↓ ¬[␈ε	t␈↓ ¬r␈ε↔ ␈↓ ε∨␈ε	A␈↓ ε5␈ε	u␈↓ εT␈εβ,␈↓ εj␈ε	t␈↓ π↓␈ε↔ ␈↓ π.␈ε	t␈↓ πB␈εβ+␈↓ πl␈ε	B␈↓ λα␈ε	v␈↓ λ≥␈εβ,␈↓ λ3␈ε	w␈↓ λW␈ε↔ ␈↓ 	∧␈ε	C␈↓ 	∨␈ε	u␈↓ 	>␈εβ,␈↓ 	T␈ε	w␈↓ 	x␈ε↔ ␈↓ 
%␈ε	w␈↓ 
F␈εβ+␈↓ 
o␈ε	D␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β?␈↓ εH␈εj␈↓ λ⊃␈εj␈↓ 	2␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β\␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓s␈ε↔ ␈↓ α ␈ε	t␈↓ α,␈εβ,␈↓ αC␈ε	v␈↓ αj␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	w␈↓ β=␈εβfo␈α␈r␈α
all␈↓ ∧"␈ε	j␈↓ ∧1␈εβ,␈α
i␈α↓n␈αstep␈αL4;␈α∞a␈α␈l␈α↓so␈αif␈↓ ε[␈ε	B␈↓ ε}␈εβ=␈α0␈αi␈α↓n␈αth␈α␈at␈α
step␈αto␈αset␈↓ 	c␈ε	t␈↓ 	{␈ε↔ ␈↓ 
(␈ε	u␈↓ 
P␈ε↔␈␈↓ 
z␈ε	q␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈βf␈↓ ↓[␈εj␈↓ αQ␈εj␈↓ 
;␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β
β␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓p␈ε↔ ␈↓ α≠␈ε	v␈↓ α5␈εβ,␈↓ αI␈ε	v␈↓ αm␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	t␈↓ β-␈εβfor␈α
all␈↓ ∧
␈ε	j␈↓ ∧&␈εβan␈α␈d␈α
for␈↓ ¬→␈ε	q␈↓ ¬1␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ ¬h␈ε	u␈↓ ελ␈εβ/␈↓ ε→␈ε	v␈↓ ε4␈ε↔c␈εβ.␈αA␈α
simil␈α↓a␈α␈r␈α
mod␈α␈i|ca␈α␈tion␈α
is␈α
ma␈α␈de␈α
to␈α	step␈α
L1
␈β
∞␈↓ ↓[␈εj␈↓ α)␈εj␈↓ αX␈εj␈↓ ¬{␈εε3␈↓ ε'␈εε3
␈β
+␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	v␈↓ α
␈εβi␈α↓s␈αsm␈α␈all␈α↓.␈αThe␈α
i␈α↓n␈α␈ne␈α␈r␈αlo␈α␈op␈α(ste␈α␈ps␈αL2␈αan␈α␈d␈αL3)␈αis␈αun␈α␈ch␈α␈ang␈α␈ed␈α␈.
␈β
6␈↓ ↓v␈εε3
␈β
u␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	m␈↓ αJ␈ε	n␈↓ αg␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αthe␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓a␈α␈ttice-po␈α␈in␈α␈t␈α
mod␈α␈el␈αin␈α
th␈α␈e␈α
test␈α
are␈α
ex␈α␈act,␈αso␈α
w␈α␈e
␈β∞≥␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ βL␈ε	m␈↓ βs␈ε↔∃␈↓ ∧≡␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ>␈α	0.␈ε⊂␈αVali␈α↓d␈α␈a␈αv␈α␈i␈εβ␈α↓,␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αv␈α␈alues␈αh␈α␈av␈α}e␈αbe␈α␈en␈αob␈α␈tain␈α␈ed:
␈β∞b␈↓ 	m␈εt␈↓ 
V␈εt␈↓ 
←␈εε+␈α↓1
␈β∞g␈↓ α␈ε⊂Case␈α	1␈εβ,␈↓ β↓␈ε	m␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈ε	n␈↓ βf␈εβ.␈α⊗F␈α↓ro␈α␈m␈α
(␈↓ ∧j␈ε	n␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬
␈ε	n␈↓ ¬!␈εβ)␈α
w␈α␈e␈α
go␈α
to␈α	(␈↓ εD␈ε	n␈↓ ε↑␈ε↔␈␈↓ πε␈ε	t␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π ␈ε	n␈↓ π4␈εβ)␈αwith␈α	prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈↓ 	?␈ε	t␈↓ 	K␈εβ/␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 	|␈ε↔␈␈εβ␈απ5␈α␈/␈↓ 
E␈εβ2␈↓ ␈εβ+
␈β∂
␈↓ ↓z␈εε2␈↓ αε␈εt
␈β∂␈↓ ε>␈εε1␈↓ εv␈εε7␈↓ π.␈εε27
␈β∂∞␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α⊂␈εβ,␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∞2␈ε↔␈α
∀␈↓ β+␈ε	t␈↓ βD␈εβ<␈↓ βs␈ε	n␈↓ ∧π␈εβ.␈α∪(These␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
are␈↓ εT␈εβ,␈↓ π␈εβ,␈↓ πQ␈εβ,␈↓ πi␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ≠␈εβ.)␈α∪To␈α
(0,␈↓ 	#␈ε	n␈↓ 	7␈εβ)␈α∞th␈α␈e␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β∂≤␈↓ ε7␈∧∂≤ε7α~␈↓ εo␈∧∂≤εoα~␈↓ π(␈∧∂≤π(α&
␈β∂≡␈↓ ε7␈εε16␈↓ εo␈εε64␈↓ π(␈εε2␈α␈56
␈β∂2␈↓ α ␈εn␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ β;␈εn␈↓ ∧1␈εε2␈↓ ∧=␈εn␈↓ ∧N␈ε~␈␈εε2
␈β∂6␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓k␈ε	n␈↓ ↓␈␈εβ/␈↓ α⊂␈εβ2␈↓ α←␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈/␈↓ β+␈εβ2␈↓ βU␈εβ+␈α	1␈α␈/␈↓ ∧ ␈εβ2␈↓ ∧s␈εβ.␈α∩To␈α
(␈↓ ¬O␈ε	n␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬r␈ε	k␈↓ εβ␈εβ)␈α
th␈α␈e␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α
is␈α
the␈α
sa␈α␈me␈α
as␈α
to␈α
(␈↓ 
~␈ε	k␈↓ 
*␈εβ,␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
M␈εβ).␈α∩The
␈β∂Y␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε1
␈β∂]␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αtermina␈α␈tes␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α1/␈↓ ε≥␈εβ2␈↓ εd␈εβ.
␈β⊂$␈↓ 	`␈εε1
␈β⊂'␈↓ α␈ε⊂Case␈απ2␈εβ␈α␈,␈↓ α|␈ε	m␈↓ β"␈εβ=␈↓ βM␈ε	n␈↓ βc␈εβ+␈αβ1␈α␈.␈α⊂From␈απ(␈↓ ¬∩␈ε	n␈↓ ¬(␈εβ+␈αβ1,␈↓ ¬k␈ε	n␈↓ ¬␈␈εβ)␈αλw␈α␈e␈απge␈α␈t␈αλto␈απ(␈↓ π#␈ε	n␈↓ π7␈εβ,␈↓ πF␈ε	n␈↓ πZ␈εβ)␈απwith␈απpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ 	x␈εβwh␈α␈en␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
h␈εβ>␈α
1␈α␈,
␈β⊂6␈↓ 	`␈∧⊂6	`α
␈β⊂8␈↓ 	`␈εε8
␈β⊂K␈↓ π<␈εt␈↓ πF␈εε+3␈↓ λK␈εε2␈↓ λW␈εt␈↓ λa␈εε+1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
0␈α
whe␈α␈n␈↓ α`␈ε	n␈↓ α⎇␈εβ=␈α
1␈α␈;␈αto␈α
(␈↓ β␈␈ε	n␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧@␈ε	t␈↓ ∧L␈εβ,␈↓ ∧[␈ε	n␈↓ ∧o␈εβ)␈α
with␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
1␈α␈1/␈↓ π,␈εβ2␈↓ πr␈ε↔␈␈εβ␈αε3/␈↓ λ:␈εβ2␈↓ 	π␈εβ,␈α
for␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
∩␈ε	t␈↓ 
'␈εβ<␈↓ 
Q␈ε	n␈↓ 
k␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈.
␈β⊂r␈↓ 	⊗␈εn␈↓ 	&␈εε+1␈↓ 
-␈εε2␈↓ 
:␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε1
␈β⊂s␈↓ βY␈εε5␈↓ ∧λ␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈ese␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αare␈↓ βp␈εβ,␈↓ ∧_␈εβ,␈↓ ∧,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↑␈εβ.)␈αW␈α↓e␈α
get␈α
to␈α(1,␈↓ εB␈ε	n␈↓ εV␈εβ)␈αwi␈α↓th␈α
p␈α␈rob␈α␈ability␈α5␈α␈/␈↓ 	¬␈εβ2␈↓ 	S␈ε↔␈␈εβ␈απ3/␈↓ 
≤␈εβ2␈↓ 
p␈εβ,␈αfo␈α␈r
␈β⊃¬␈↓ βS␈∧⊃¬βSα~␈↓ ∧λ␈∧⊃¬∧λα
␈β⊃π␈↓ βS␈εε16␈↓ ∧λ␈εε4
␈β⊃~␈↓ ¬\␈εn␈↓ εN␈εε2␈↓ ε[␈εn␈↓ εk␈ε~␈␈εε1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ>␈α	1;␈αto␈α(0,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β≤␈εβ)␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α3␈α␈/␈↓ ¬K␈εβ2␈↓ ¬s␈ε↔␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ε=␈εβ2␈↓ π⊃␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα677
␈βα+␈↓ α␈ε⊂Case␈α
3␈εβ,␈↓ βα␈ε	m␈↓ β)␈ε↔∃␈↓ βT␈ε	n␈↓ βo␈εβ+␈αλ2␈α␈.␈α~Th␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈αa␈α␈re␈αgiv␈α␈en␈α
by␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αtab␈α␈le:
␈βαi␈↓ εU␈εm␈↓ εl␈ε~␈␈↓ π¬␈εn␈↓ π∃␈εε+␈α↓2␈↓ λ6␈εm␈↓ λM␈εε+1
␈βαm␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧ ␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ3␈α␈/␈↓ εD␈εβ2␈↓ πC␈ε↔␈␈↓ πk␈ε	∞␈↓ λ∀␈εβ/␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λs␈εβ;
␈βαw␈↓ πw␈εn␈↓ λλ␈εε1
␈ββ↔␈↓ ¬s␈εt␈↓ ε↑␈εm␈↓ εv␈ε~␈␈↓ π∂␈εn␈↓ π∨␈εε+␈↓ π8␈εt␈↓ πB␈εε+1
␈ββ≠␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	t␈↓ βy␈εβ,␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε∧␈εβ+␈απ3/␈↓ εN␈εβ2␈↓ πh␈εβ,␈↓ λ>1␈α	<␈↓ 	β␈ε	t␈↓ 	_␈εβ<␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	W␈εβ;
␈ββF␈↓ ¬s␈εn␈↓ εe␈εm
␈ββJ␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧↓␈εβ,␈↓ ∧∂␈ε	n␈↓ ∧#␈εβ)␈α↓:␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε
␈εβ+␈αλ1/␈↓ εT␈εβ2␈↓ ε|␈εβ,␈↓ πS␈ε	n␈↓ πp␈εβ>␈α
1␈α␈;
␈ββu␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+1␈↓ π␈εm␈↓ π"␈ε~␈␈εε1
␈ββy␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧P␈ε	n␈↓ ∧d␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε0␈εβ+␈αλ1␈α␈/␈↓ εz␈εβ2␈↓ πH␈εβ;
␈β∧$␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+␈↓ ε≤␈εt
␈β∧(␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈↓ ∧1␈ε	t␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	n␈↓ ∧←␈εβ)␈α↓:␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε|1␈α	<␈↓ πA␈ε	t␈↓ πV␈εβ<␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λN␈ε	n␈↓ λb␈εβ;
␈β∧S␈↓ ¬s␈εm␈↓ ε
␈ε~␈␈εε1
␈β∧W␈↓ β∀␈εβ(0,␈↓ β?␈ε	n␈↓ βS␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε0␈εβ.
␈β¬$␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α	Altho␈α␈ugh␈αεthese␈απex␈α␈act␈απp␈α␈rob␈α␈abiliti␈α↓e␈α␈s␈αλwill␈αλce␈α␈rtainly␈απimp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈απo␈α␈n␈απthe␈απlattice␈α␈-␈α↓p␈α␈oin␈α}t
␈β¬L␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ode␈α␈l␈α
con␈α␈sidered␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t,␈α∞th␈α␈ey␈αl␈α↓e␈α␈ad␈αto␈α
re␈α␈curre␈α␈nce␈αrelation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
m␈α␈uc␈α␈h␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
com␈α␈-
␈β¬s␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lexity␈α␈;␈αan␈α␈d␈α
they␈α	wi␈α↓ll␈αn␈α␈ot␈α
pr␈α␈o␈α␈vid␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
true␈α
b␈α␈eha␈α␈vior␈α
of␈α
Algorith␈α␈m␈α
B␈↓ 	≥␈εβ,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
for␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈βε≠␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
th␈α␈at␈↓ βr␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧R␈ε	v␈↓ ∧c␈εβ)␈α
=␈α	5␈α
is␈α
di{eren␈α}t␈α
from␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α	tha␈α␈t␈↓ 	Y␈εβgcd␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
⊗␈ε	u␈↓ 
*␈εβ,␈↓ 
9␈ε	v␈↓ 
J␈εβ)␈α
=␈α	7.]
␈βε.␈↓ βe␈ε↓P␈↓ λT␈ε↓P
␈βεH␈↓ ∧}␈ε~␈␈↓ ¬↔␈εk␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εn␈↓ 	m␈ε~␈␈↓ 
ε␈εk
␈βεL␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	A␈↓ αj␈εβ=␈↓ β≥␈ε	a␈↓ β9␈εβ+␈↓ ∧m␈εβ2␈↓ ¬$␈ε	A␈↓ εS␈εβ+␈↓ ε␈␈εβ2␈↓ π9␈ε	b␈↓ πY␈εβ=␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ(␈εβ+␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 
∪␈ε	A␈↓ ␈εβ+
␈βεW␈↓ α!␈εn␈↓ α2␈εε+1
␈βεX␈↓ ¬9␈εε(␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈εε+1)(␈↓ ε	␈εn␈↓ ε→␈ε~␈␈↓ ε2␈εk␈↓ ε?␈εε)␈↓ 
(␈εn␈↓ 
9␈εε(␈↓ 
A␈εn␈↓ 
Q␈ε~␈␈↓ 
k␈εk␈↓ 
x␈εε)
␈βε←␈↓ ∧␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧1␈εk␈↓ ∧>␈ε~∀␈↓ ∧W␈εn␈↓ λz␈εε1␈ε~∀␈↓ 	 ␈εk␈↓ 	-␈ε~∀␈↓ 	F␈εn
␈βεu␈↓ αE␈ε~␈␈↓ α↑␈εn␈↓ β;␈ε~␈␈↓ βT␈εn␈↓ λY␈ε~␈␈↓ λr␈εn
␈βεv␈↓ ↓K␈εε1␈↓ ∧l␈εε1␈↓ ε≥␈εε1␈↓ π↑␈εε1
␈βεy␈↓ ↓\␈ε	c␈↓ ↓i␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ α4␈εβ2␈↓ αo␈εβ)␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈εβ2␈↓ βe␈ε	b␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧'␈ε	a␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧|␈ε	A␈↓ ¬p␈εβ+␈↓ ε-␈εβ(␈↓ ε8␈ε	A␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π∞␈ε	a␈↓ π∨␈εβ)␈αλ+␈↓ πo␈ε	c␈↓ π|␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λH␈εβ2␈↓ 	α␈εβ);␈αno␈α}w␈αsu␈α␈bstitu␈α␈te␈αfo␈α␈r
␈βπ∧␈↓ εM␈εn
␈βπ¬␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬"␈εε(␈↓ ¬*␈εn␈↓ ¬:␈ε~␈␈εε1)
␈βππ␈↓ ↓K␈∧ππ↓Kα
␈↓ ∧l␈∧ππ∧lα
␈↓ ε≥␈∧ππε≥α
␈↓ π↑␈∧πππ↑α
␈βπ	␈↓ ↓K␈εε2␈↓ ∧l␈εε2␈↓ ε≥␈εε2␈↓ π↑␈εε2
␈βπ!␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α?␈εβfrom␈α(36␈α␈).
␈βπ,␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε(␈↓ ↓v␈εn␈↓ αε␈ε~␈␈εε1)
␈βπR␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβThe␈α
path␈α␈s␈α∞de␈α␈scribed␈α
in␈α∞the␈α
hin␈α␈t␈α∞h␈α␈av␈α}e␈α∞the␈α∞sa␈α␈me␈α∞p␈α␈rob␈α␈ability,␈α∂b␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈α∞sub␈α␈sequ␈α␈en␈α}t
␈βπy␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈απof␈απthe␈απa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απh␈α␈as␈απa␈απdi{eren␈α}t␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity;␈αλth␈α␈us␈↓ λ.␈ε	∃␈↓ λJ␈εβ=␈↓ λu␈ε	k␈↓ 	λ␈εβ+␈αα1␈απwi␈α↓th␈αεprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βλ≥␈↓ ↓X␈ε~␈␈↓ ↓q␈εk
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ αε␈εβti␈α↓m␈α␈es␈αλth␈α␈e␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈απtha␈α␈t␈↓ ∧␈␈ε	∃␈↓ ¬≠␈εβ=␈α
1.␈α
Let␈απthe␈απlatter␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈απb␈α␈e␈↓ 	α␈ε	p␈↓ 	∪␈εβ.␈α
We␈αλk␈α␈no␈α}w␈αλfrom␈απthe
␈βλE␈↓ εq␈εε3␈↓ πt␈εε2␈↓ 	⊗␈εε1␈↓ 	X␈εε1
␈βλI␈↓ ↓H␈εβte␈α␈xt␈α
tha␈α␈t␈↓ αT␈ε	∃␈↓ αq␈εβ=␈α
0␈α	w␈α↓ith␈α	app␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ate␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈↓ π↓␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ λ∞␈εβ=␈↓ λ8␈ε	p␈↓ λI␈εβ(1␈αε+␈↓ 	-␈εβ+␈↓ 	o␈εβ+␈↓ 
⊗␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
C␈εβ)␈α	=␈α
2␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈βλW␈↓ εq␈∧λWεqα
␈↓ πt␈∧λWπtα
␈↓ 	⊗␈∧λW	⊗α
␈↓ 	X␈∧λW	Xα
␈βλY␈↓ εq␈εε5␈↓ πt␈εε5␈↓ 	⊗␈εε2␈↓ 	X␈εε4
␈βλl␈↓ 	≠␈εε2
␈βλm␈↓ ∧π␈εε2␈↓ ∧K␈εε3␈↓ ¬∂␈εε4␈↓ π≠␈εε1␈↓ π←␈εε1␈↓ λ#␈εε1
␈βλp␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αis␈↓ β&␈ε	p␈↓ β7␈εβ(1␈αλ+␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧c␈εβ+␈↓ ¬'␈εβ+␈↓ ¬O␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬|␈εβ)␈α	=␈↓ ε;␈ε	p␈↓ εK␈εβ(␈α↓1␈απ+␈↓ π3␈εβ+␈↓ πw␈εβ+␈↓ λ;␈εβ+␈↓ λc␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	⊂␈εβ)␈↓ 	1␈εβ=␈α	4␈↓ 	l␈ε	p␈↓ 	⎇␈εβ.␈α[The␈αex␈α␈ac␈α␈t
␈βλ}␈↓ ∧π␈∧λ}∧πα
␈↓ ∧K␈∧λ}∧Kα
␈↓ ¬∂␈∧λ}¬∂α
␈↓ π≠␈∧λ}π≠α
␈↓ π←␈∧λ}π←α
␈↓ λ#␈∧λ}λ#α
␈β	␈↓ ∧π␈εε2␈↓ ∧K␈εε4␈↓ ¬∂␈εε8␈↓ π≠␈εε2␈↓ π←␈εε4␈↓ λ#␈εε8
␈β	∀␈↓ ∧D␈εε1␈↓ ¬λ␈εε6␈↓ ¬H␈εε1␈↓ ¬d␈εn␈↓ π`␈εε1␈↓ λ$␈εε16␈↓ λq␈εε1␈↓ 	
␈εn
␈β	_␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ β<␈ε	∃␈↓ βY␈εβ=␈α	1␈αis␈↓ ∧\␈ε↔␈␈↓ ¬_␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈εβ)␈↓ ¬␈␈εβif␈↓ ε∨␈ε	m␈↓ εE␈εβ>␈↓ εp␈ε	n␈↓ π
␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈↓ πx␈ε↔␈␈↓ λA␈εβ(␈ε↔␈␈↓ 	α␈εβ)␈↓ 	(␈εβif␈↓ 	H␈ε	m␈↓ 	n␈εβ=␈↓ 
→␈ε	n␈↓ 
6␈ε↔∃␈εβ␈α	2.]
␈β	&␈↓ ∧D␈∧	&∧Dα
␈↓ ¬λ␈∧	&¬λα
␈↓ ¬H␈∧	&¬Hα
␈↓ π`␈∧	&π`α
␈↓ λ$␈∧	&λ$α~␈↓ λq␈∧	&λqα
␈β	(␈↓ ∧D␈εε5␈↓ ¬λ␈εε5␈↓ ¬H␈εε4␈↓ π`␈εε5␈↓ λ+␈εε5␈↓ λq␈εε4
␈β	E␈↓ ¬H␈εm␈↓ εl␈εm␈↓ πβ␈εε+1
␈β	I␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈α	for␈α
|␈α␈x␈α␈ed␈↓ ∧+␈ε	v␈↓ ∧F␈εβan␈α␈d␈α	for␈↓ ¬8␈εβ2␈↓ ¬i␈εβ<␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε1␈εβ<␈↓ ε[␈εβ2␈↓ π)␈εβ,␈α
when␈↓ λ∩␈ε	m␈↓ λ9␈εβis␈α
larg␈α␈e,␈α
eac␈α␈h␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α␈-
␈β	q␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ift␈αcy␈α␈cle␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αre␈α␈du␈α␈ces␈ε↔␈αb␈↓ ¬a␈εβlg␈↓ ε↓␈ε	u␈↓ ε∃␈ε↔c␈εβ␈αb␈α␈y␈αt␈α␈w␈α␈o␈α␈,␈αo␈α␈n␈αthe␈α
av␈α␈e␈α␈rage.
␈β
≡␈↓ ∧→␈εm␈↓ ∧0␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈+␈↓ ∧o␈ε∞␈↓ 	∀␈εN
␈β
"␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβExa␈α␈ctly␈α
(␈↓ β∪␈ε	N␈↓ β8␈ε↔␈␈↓ β`␈ε	m␈↓ β⎇␈εβ)␈↓ ∧λ␈εβ2␈↓ ¬%␈εβin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ε ␈ε	u␈↓ ε>␈εβin␈αt␈α␈he␈α
ran␈α␈ge␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ<␈ε	u␈↓ λY␈εβ<␈↓ 	∧␈εβ2␈↓ 	7␈εβh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αb␈↓ 
∩␈εβlg␈↓ 
1␈ε	u␈↓ 
E␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β
%␈↓ ∧z␈ε
m␈↓ ¬∂␈επ0
␈β
I␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈↓ α↔␈ε	u␈↓ α6␈εβha␈α␈s␈αb␈α␈een␈α
shifted␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αu␈α␈n␈α␈til␈αi␈α↓t␈αis␈αod␈α␈d.
␈β
\␈↓ ∧Y␈ε↓P
␈β
v␈↓ ∧	␈εε2␈↓ ∧⊗␈εN␈↓ ∧.␈ε~␈␈εε2␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εm␈↓ π∂␈ε~␈␈↓ π(␈εn
␈β
w␈↓ π8␈εα(␈↓ 
A␈εα)
␈β
z␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α
|␈α␈rst␈α
su␈α␈m␈α
i␈α↓s␈↓ βy␈εβ2␈↓ ε≤␈ε	m␈↓ ε9␈ε	n␈↓ εM␈εβ2␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε	␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ∂␈ε	␈␈↓ λ#␈εβ)␈↓ λ/␈ε	N␈↓ λT␈εβ+␈↓ λ{␈ε	␈
␈↓ 	∀␈ε↔␈␈↓ 	;␈ε	␈↓ 	M␈ε	m␈↓ 	q␈ε↔␈␈↓ 
_␈ε	␈␈↓ 
-␈ε	n␈↓ 
M␈εβ.␈αS␈α␈ince
␈β
␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ εα␈ε↓P
␈β
␈↓ ∧␈␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬%␈εm␈↓ ¬<␈εε<␈↓ ¬U␈εn␈↓ ¬f␈εε<␈↓ ¬␈␈εN
␈β$␈↓ βλ␈ε~␈␈↓ β!␈εm␈↓ ¬␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬1␈εn␈↓ λ(␈ε~␈␈↓ λA␈εm␈↓ 	]␈εε2␈↓ 
m␈εε1␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈β(␈↓ αZ␈ε	m␈↓ αw␈εβ2␈↓ βA␈εβ=␈α
2␈ε↔␈␈εβ(␈↓ ∧)␈ε	n␈↓ ∧=␈εβ+␈α↓1␈α␈)␈↓ ∧z␈εβ2␈↓ ¬G␈εβa␈α␈nd␈↓ π∀␈ε	m␈↓ π1␈εβ(␈↓ π=␈ε	m␈↓ πZ␈ε↔␈␈εβ1)␈↓ λ↔␈εβ2␈↓ λa␈εβ=␈α
4␈ε↔␈␈εβ(␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	j␈εβ+␈↓ 
␈ε	n␈↓ 
∨␈εβ+␈α↓2␈α␈)␈↓ 
\␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈β8␈↓ ∧≥␈ε↓P
␈β;␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εm␈↓ α+␈εε<␈↓ αD␈εn␈↓ ε(␈εε0␈ε~∀␈↓ εN␈εm␈↓ εe␈εε<␈↓ ε}␈εn
␈βR␈↓ βM␈εε2␈↓ βZ␈εN␈↓ βr␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬T␈ε~␈␈↓ ¬n␈εn␈↓ 	r␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ 
↔␈εn
␈βS␈↓ ¬}␈εα(
␈βV␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
sum␈α
on␈↓ αt␈ε	m␈↓ β≤␈εβis␈↓ β=␈εβ2␈↓ ¬0␈ε	n␈↓ ¬D␈εβ2␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	␈
␈↓ ε.␈ε↔␈␈↓ εV␈ε	␈↓ εo␈εβ+␈απ(␈↓ π"␈ε	␈↓ π;␈εβ+␈↓ πc␈ε	␈␈↓ πx␈εβ)␈↓ λβ␈ε	N␈↓ λ"␈εβ)(2␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ(␈↓ 	α␈ε	n␈↓ 	≥␈εβ+␈απ1)␈↓ 	a␈εβ2␈↓ 
.␈ε↔␈␈↓ 
V␈ε	␈↓ 
i␈εβ(4␈ε↔␈αε␈
␈βg␈↓ εO␈ε↓P
␈βi␈↓ ∧C␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧y␈εε<␈↓ ¬∩␈εN
␈β↓␈↓ ↓g␈εε2␈↓ β	␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ β/␈εn␈↓ ∧m␈εε2␈↓ ∧z␈εN␈↓ ¬∩␈ε~␈␈εε2␈↓ λπ␈ε~␈␈↓ λ ␈εn␈↓ 	m␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ 
∩␈εn
␈βα␈↓ ∧≥␈εα)␈↓ ¬8␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈β¬␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	n␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α≡␈ε	n␈↓ α7␈εβ+␈α∧2)␈↓ αx␈εβ2␈↓ β?␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ βu␈ε	␈␈↓ ∧	␈ε	n␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧]␈εβ2␈↓ ¬D␈εβ(␈↓ ¬O␈ε	␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε␈ε	␈␈↓ ε ␈εβ)␈↓ ε+␈ε	N␈↓ πb␈ε	n␈↓ πv␈εβ2␈↓ λ0␈εβ(2␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α∧(␈↓ 	α␈ε	n␈↓ 	~␈εβ+␈α¬1)␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 
#␈εβ)␈α∧+␈↓ 
X␈ε	O␈↓ 
p␈εβ(1)␈↓ #␈εβ.
␈β↔␈↓ εu␈εε0␈ε~∀␈↓ π≠␈εn␈↓ π,␈εε<␈↓ πE␈εN
␈β/␈↓ λo␈ε~␈␈εε2␈↓ 

␈εε3
␈β0␈↓ 	∀␈εα(␈↓ 	q␈εε4␈↓ 
→␈εα)␈↓ 
`␈εε11
␈β3␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αth␈α␈e␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈α
(␈↓ ∧&␈ε	␈↓ ∧@␈εβ+␈↓ ∧i␈ε	␈␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬	␈ε	N␈↓ ¬4␈εβin␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis␈αf␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈αto␈αb␈α␈e␈↓ λ↑␈εβ2␈↓ 	 ␈εβ4␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ(␈↓ 
α␈εβ)␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
⎇␈εβ.␈α∞A
␈βA␈↓ 	q␈∧A	qα
␈↓ 
`␈∧A
`α~
␈βC␈↓ 	q␈εε3␈↓ 
`␈εε27
␈β[␈↓ ↓H␈εβsimilar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ies␈αto␈α
the␈αo␈α␈ther␈αsu␈α␈m.
␈β
α␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α
Th␈α␈e␈ε⊂␈α	e␈α␈xac␈α␈t␈εβ␈α	v␈α␈alue␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	s␈α␈ums␈αλmay␈αλb␈α␈e␈α	o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αλafter␈αλsome␈αλted␈α␈ious␈αλcalcu␈α␈lation
␈β
*␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αm␈α␈ean␈α␈s␈αof␈αthe␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a
␈β
\␈↓ βP␈ε↓X␈↓ π␈ε↓X
␈β
h␈↓ ε␈εm␈↓ π⎇␈εk␈↓ λ$␈εm␈↓ λ;␈ε~␈␈↓ λT␈εk␈↓ λu␈εn␈↓ 	¬␈εε+␈↓ 	≡␈εk
␈β
l␈↓ ¬F␈ε	m␈↓ ¬c␈εβ!␈↓ ¬r␈ε	z␈↓ π`␈ε	m␈↓ λ⊂␈ε	n␈↓ λg␈ε	z
␈β
z␈↓ π⎇␈∧
zπ⎇α∞␈↓ λ$␈∧
zλ$α>
␈β
|␈↓ ∧.␈εm␈↓ ∧Y␈εk
␈β∞α␈↓ ∧≡␈ε	k␈↓ ∧K␈ε	z␈↓ ∧o␈εβ=␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ 	/␈εβ,
␈β∞∂␈↓ ∧.␈∧∞∂∧.α_
␈β∞⊂␈↓ ¬≥␈∧∞⊂¬≥α↓"␈↓ π`␈∧∞⊂π`α↓L
␈β∞↔␈↓ εα␈εm␈↓ ε→␈εε+␈α↓1␈↓ λ↑␈εk␈↓ λl␈εε+1
␈β∞→␈↓ ¬≥␈εβ(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬i␈ε	z␈↓ ¬w␈εβ)␈↓ πz␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λF␈ε	z␈↓ λS␈εβ)
␈β∞3␈↓ β<␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ βa␈εk␈↓ βo␈εε<␈↓ ∧λ␈εn␈↓ εs␈εε0␈ε~∀␈↓ π→␈εk␈↓ π&␈ε~∀␈↓ π?␈εm
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈α
summ␈α␈ation␈αb␈α␈y␈αp␈α␈arts.]
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβSo␈α␈lving␈α∞a␈α∂rec␈α␈urren␈α␈ce␈α∂similar␈α∂to␈α∞(34),␈α⊂w␈α␈e␈α∂|␈α␈nd␈α∞tha␈α␈t␈α∂the␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∂o␈α␈f␈α∂ti␈α↓m␈α␈es␈α∂is␈↓ 
f␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈β∂;␈↓ 
|␈εm␈↓ ∪␈εn
␈β∂T␈↓ λJ␈εn␈↓ 
∞␈εn
␈β∂U␈↓ ε'␈εε8␈↓ 	→␈εε128␈↓ 	s␈εε1
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	A␈↓ α`␈εβ=␈α
1,␈↓ β1␈ε	A␈↓ βl␈εβ=␈α
(␈↓ ∧#␈ε	n␈↓ ∧>␈εβ+␈αλ3)/␈α␈2,␈↓ ¬9␈ε	A␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ ε?␈ε↔␈␈εβ␈αλ(3␈↓ π∧␈ε	n␈↓ π∨␈εβ+␈αλ13␈α␈)/(9␈ε↔␈απ↓␈↓ λ9␈εβ2␈↓ λZ␈εβ)␈αλ+␈↓ 	C␈εβ(␈ε↔␈␈↓ 
β␈εβ)␈↓ 
*␈εβif␈↓ 
J␈ε	n␈↓ 
h␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,
␈β∂c␈↓ α=␈εε00␈↓ βF␈εε0␈↓ βR␈εn␈↓ ¬N␈εn␈↓ ¬↑␈εn
␈β∂f␈↓ ε'␈∧∂fε'α
␈↓ 	→␈∧∂f	→α&␈↓ 	s␈∧∂f	sα
␈β∂h␈↓ ε'␈εε5␈↓ 	 ␈εε4␈α␈5␈↓ 	s␈εε4
␈β∂|␈↓ α>␈εε8␈↓ βf␈εn␈↓ ∧6␈εε16␈↓ ¬β␈εε1␈↓ ¬∨␈εn
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α∂␈εβ=␈↓ αW␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈/(3␈ε↔␈αλ↓␈↓ βV␈εβ2␈↓ βw␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧S␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬∀␈εβ)␈↓ ¬;␈εβif␈↓ ¬[␈ε	m␈↓ εβ␈εβ>␈↓ ε/␈ε	n␈↓ εM␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈.␈α∞S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αthe␈αcon␈α␈dition␈↓ 	D␈ε	u␈↓ 	c␈εβ=␈α
1␈αor␈↓ 
T␈ε	v␈↓ 
p␈εβ=␈α1
␈β⊂
␈↓ ↓]␈εm␈↓ ↓t␈εn
␈β⊂∞␈↓ α>␈∧⊂∞α>α
␈↓ ∧6␈∧⊂∞∧6α~␈↓ ¬β␈∧⊂∞¬βα
␈β⊂⊂␈↓ α>␈εε5␈↓ ∧6␈εε15␈↓ ¬β␈εε4
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβis␈α
ther␈α␈efore␈α
satis|␈α␈ed␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
a␈α␈bo␈α␈ut␈α
1.6␈α
times␈α
i␈α↓n␈αan␈α
av␈α}erag␈α␈e␈α∞r␈α␈un␈α␈,␈α∂it␈α
i␈α↓s␈α
no␈α␈t␈α∞w␈α␈o␈α␈rth␈α
mak␈α␈ing
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsugg␈α␈ested␈αtes␈α␈t␈αea␈α␈ch␈αtime␈αst␈α␈ep␈αB␈α↓5␈αis␈αperfo␈α␈rmed␈α␈.␈α
(Of␈αco␈α␈urse␈αthe␈αlattice␈αmo␈α␈del␈αis␈αno␈α␈t
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈tely␈α
a␈α␈ccu␈α␈rate,␈α
bu␈α␈t␈α
it␈α
seem␈α␈s␈α
reaso␈α␈na␈α␈ble␈α
to␈α	be␈α␈l␈α↓iev␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
it␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α
too␈α	ina␈α␈ccur␈α␈ate␈α
fo␈α␈r
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αapp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈.␈α↓)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα678␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα∧␈↓ βw␈ε↓P
␈βα≡␈↓ ∧g␈ε~␈␈↓ ¬↓␈εd␈↓ λl␈εd␈↓ 	2␈ε~␈␈εε1
␈βα∨␈↓ ε}␈εα(
␈βα"␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αC␈ε	F␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β(␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧W␈εβ2␈↓ ¬∃␈εβp␈α␈rob␈α␈ability␈αth␈α␈at␈↓ π
␈ε	X␈↓ πC␈εβ<␈α⊃1␈α⊂a␈α␈nd␈↓ λ[␈εβ2␈↓ λz␈εβ/(␈↓ 	⊗␈ε	X␈↓ 	b␈ε↔␈␈εβ␈α1)␈α⊃<␈↓ 
n␈ε	x␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈βα-␈↓ αU␈εn␈↓ αf␈εε+1␈↓ π!␈εn
␈βα2␈↓ 	2␈εn
␈βα3␈↓ ¬j␈ε↓P
␈βα5␈↓ ∧≥␈εd␈↓ ∧+␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βαM␈↓ ∧;␈εd␈↓ εZ␈ε~␈␈↓ εt␈εd␈↓ λ?␈εd␈↓ λ←␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
V␈εd
␈βαN␈↓ ¬≤␈εα)␈↓ πα␈εα(
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓␈␈εβ>␈α⊃1␈α∂a␈α␈nd␈α∞(␈↓ β ␈ε	X␈↓ βR␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)/␈↓ ∧*␈εβ2␈↓ ∧Y␈εβ<␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬8␈εβ=␈↓ εJ␈εβ2␈↓ π∞␈ε	F␈↓ π1␈εβ(1/␈α␈(␈α↓1␈α	+␈↓ λ/␈εβ2␈↓ λN␈ε	x␈↓ 	¬␈εβ))␈α+␈↓ 	Q␈ε	F␈↓ 	t␈εβ(1␈α
+␈↓ 
E␈εβ2␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈ε↔␈α
␈
␈βα[␈↓ ↓←␈εn␈↓ β8␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ 	d␈εn
␈βαa␈↓ ∧{␈ε↓P
␈βαc␈↓ ε⊂␈εd␈↓ ε≡␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βα{␈↓ ¬l␈ε~␈␈↓ ε¬␈εd␈↓ πT␈εd␈↓ 	u␈εd␈↓ 
∃␈ε~␈␈εε1
␈βα|␈↓ α⊃␈εα)␈↓ ε∀␈εα(␈↓ 
Q␈εα)
␈βα␈␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓j␈εβ(␈α↓1␈α␈)␈↓ α≥␈εβ.␈α"(b␈α␈)␈↓ β␈ε	G␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε	x␈↓ βh␈εβ)␈α⊃=␈α⊂1␈ε↔␈α
␈␈↓ ¬[␈εβ2␈↓ ε ␈ε	G␈↓ εF␈εβ(1/␈α␈(␈α↓1␈α	+␈↓ πD␈εβ2␈↓ πc␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈α↓)␈ε↔␈α
␈␈↓ λ@␈ε	G␈↓ λg␈εβ(1␈α␈/(1␈α
+␈↓ 	d␈εβ2␈↓ 
∧␈ε	x␈↓ 
;␈εβ))␈↓ 
]␈εβ.␈α!(␈α↓c␈α␈)
␈ββ
␈↓ ↓Z␈εn␈↓ β⊗␈εn␈↓ β&␈εε+1␈↓ ε6␈εn␈↓ λV␈εn
␈ββ⊂␈↓ αI␈ε↓P␈↓ 	*␈ε↓P
␈ββ∩␈↓ ¬!␈εd␈↓ ¬0␈ε~∃␈εε1
␈ββ*␈↓ β9␈ε~␈␈↓ βR␈εd␈↓ λ⊗␈εd␈↓ 
~␈ε~␈␈↓ 
3␈εd
␈ββ+␈↓ ¬P␈εα(␈↓ λj␈εα)␈↓ π␈εα(
␈ββ.␈↓ ↓H␈ε	H␈↓ ↓m␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α
␈εβ)␈α	=␈↓ β)␈εβ2␈↓ βg␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ ¬\␈ε	Y␈↓ ε	␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε	x␈↓ εK␈εβan␈α␈d␈αε(1␈ε↔␈α↓␈␈↓ πF␈ε	Y␈↓ πj␈εβ)/␈↓ λ¬␈εβ2␈↓ λ.␈ε↔∀␈↓ λX␈ε	x␈↓ λ␈␈εβ=␈↓ 

␈εβ2␈↓ 
H␈εβm␈α␈ax␈↓ ∪␈εβ0␈α␈,
␈ββ8␈↓ ↓]␈εn␈↓ ¬o␈εn␈↓ πY␈εn
␈ββ@␈↓ αo␈εd␈↓ α⎇␈ε~∃␈εε1␈↓ 	P␈εd␈↓ 	↑␈ε~∃␈εε1
␈ββX␈↓ βI␈εd
␈ββY␈↓ βt␈εα)
␈ββ\␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ αF␈ε	G␈↓ αl␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ β8␈εβ2␈↓ βW␈ε	x␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧␈εβ.
␈ββg␈↓ ↓↑␈εn␈↓ α\␈εn
␈β∧¬␈↓ α␈εβSt␈α␈arting␈αλwi␈α↓th␈↓ βU␈ε	G␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∀␈εβ)␈α
=␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ∧n␈εβw␈α␈e␈αλget␈α	ra␈α␈pid␈α	c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce␈α␈s␈α	to␈α	a␈αλl␈α↓imiting␈αλdistribu␈α␈tion␈αλwhere
␈β∧⊂␈↓ βk␈εε0
␈β∧W␈↓ αε␈εα(␈↓ βn␈εα)
␈β∧Z␈↓ α∩␈ε	G␈↓ α+␈εβ(.1),␈↓ αj␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β⊗␈εβ,␈↓ β%␈ε	G␈↓ β>␈εβ(.9)␈↓ ∧β␈εβ=␈α
(.27␈α␈50,␈αε.4␈α␈346␈α␈,␈αε.554␈α␈4,␈αε.65␈α␈07,␈αε.7␈α␈310␈α␈,␈αε.799␈α␈5,␈αε.85␈α␈90,␈α¬.␈α↓9␈α␈114␈α␈,␈αε.958␈α␈1).
␈β¬~␈↓ λ∨␈ε↓R
␈β¬)␈↓ λ7␈εε1
␈β¬5␈↓ ∧*␈εα(␈↓ πj␈εα)
␈β¬8␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	ex␈α␈pect␈α␈ed␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ ∧∂␈εβln␈↓ ∧6␈εβmax␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	u␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈ε	v␈↓ ¬R␈εβ)/␈↓ ¬x␈εβmax␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	u␈↓ π␈εβ,␈↓ π≠␈ε	v␈↓ π←␈εβ)␈↓ λ␈εβis␈↓ λI␈ε	H␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε	t␈↓ 	ε␈εβ)␈↓ 	⊗␈ε	d␈↓ 	)␈ε	t␈↓ 	5␈εβ/␈↓ 	E␈ε	t␈↓ 	Q␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α	Bren␈α}t␈α	ha␈α␈s
␈β¬C␈↓ ¬∀␈εn␈↓ ¬A␈εn␈↓ εV␈εn␈↓ εf␈εε+1␈↓ π)␈εn␈↓ π:␈εε+1␈↓ λ↑␈εn
␈β¬K␈↓ λ0␈εε0
␈β¬`␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈wn␈α
that␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αwritten
␈βε"␈↓ αn␈ε↓Z␈↓ ∧Q␈ε↓Z␈↓ π?␈ε↓Z
␈βε'␈↓ λ7␈ε
k
␈βε+␈↓ β∩␈εε1␈↓ ∧u␈εε1/␈α␈3␈↓ πc␈εε1␈α␈/(1+␈↓ λ*␈εε2␈↓ λC␈εε)
␈βε,␈↓ εI␈ε↓X
␈βε;␈↓ β1␈ε	G␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈ε	t␈↓ βn␈εβ)␈↓ ¬&␈ε	G␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε	t␈↓ ¬d␈εβ)␈↓ λz␈ε	G␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	t␈↓ 	7␈εβ)
␈βεF␈↓ βG␈εn␈↓ ¬<␈εn␈↓ 	⊂␈εn
␈βεK␈↓ π∪␈ε~␈␈↓ π,␈εk
␈βεQ␈↓ ∧β␈ε	d␈↓ ∧∃␈ε	t␈↓ ∧(␈ε↔␈␈↓ ¬z␈ε	d␈↓ ε
␈ε	t␈↓ ε ␈εβ+␈↓ πα␈εβ2␈↓ 	←␈ε	d␈↓ 	q␈ε	t␈↓ 	⎇␈εβ.
␈βε←␈↓ β1␈∧ε←β1αI␈↓ ¬$␈∧ε←¬$αM␈↓ λg␈∧ε←λgαo
␈βεi␈↓ βO␈ε	t␈↓ ¬$␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬e␈ε	t␈↓ λg␈ε	t␈↓ λs␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	>␈ε	t␈↓ 	J␈εβ)
␈βεq␈↓ λ'␈ε
k␈↓ λ3␈επ+1
␈βεu␈↓ βα␈εε1␈α␈/3␈↓ ∧e␈εε0␈↓ πS␈εε1␈α␈/(1+␈↓ λ~␈εε2␈↓ λU␈εε)
␈βπα␈↓ εI␈εk␈↓ εV␈ε~∃␈εε1
␈βπo␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβBy␈α	ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
t␈α␈he␈α	len␈α␈gth␈α	is␈↓ ¬∀␈ε	m␈↓ ¬6␈εβ+␈ε↔␈α¬b␈↓ ¬i␈ε	n␈↓ ¬⎇␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈α	when␈↓ π	␈ε	m␈↓ π0␈ε↔∃␈↓ πZ␈ε	n␈↓ πn␈εβ,␈α
ex␈α␈c␈α␈ept␈α	th␈α␈at␈α	wh␈α␈en␈↓ 
β␈ε	m␈↓ 
)␈εβ=␈↓ 
T␈ε	n␈↓ 
q␈εβ=␈α
1
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αis␈ε⊂␈αno␈εβ␈α
pa␈α␈th␈αto␈α(0␈α␈,␈αε0).
␈βλL␈↓ β@␈εn␈↓ ∧K␈εn
␈βλM␈↓ β#␈εα(␈↓ ∧[␈εα)
␈βλP␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	a␈↓ αv␈εβ=␈↓ β/␈εβ2␈↓ βY␈ε↔␈␈εβ␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧@␈εβ)␈↓ ∧g␈εβ/3␈α␈;␈α∞the␈α␈n␈↓ ¬l␈ε	a␈↓ ε	␈εβ,␈↓ ε∨␈ε	a␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εQ␈ε	a␈↓ εm␈εβ,␈↓ π∧␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π6␈εβ=␈α
0␈α␈,␈α∞1␈α␈,␈α∞1␈α␈,␈α
3,␈α
5,␈α
11,␈α
21␈α␈,␈↓ 
⊗␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
H␈εβ.␈α⊂(Th␈α␈is
␈βλ[␈↓ αZ␈εn␈↓ ¬|␈εε0␈↓ ε.␈εε1␈↓ εa␈εε2
␈βλx␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈αof␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
h␈α␈as␈αan␈αin␈α␈tere␈α␈sti␈α↓n␈α␈g␈αpa␈α␈ttern␈αof␈αzeros␈αan␈α␈d␈αon␈α␈es␈α
in␈αits␈αbina␈α␈ry␈αrepre␈α␈-
␈β	≠␈↓ 	α␈εn
␈β	∨␈↓ ↓H␈εβse␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n.␈α⊗No␈α␈te␈α∞that␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧:␈εβ=␈↓ ∧j␈ε	a␈↓ ¬:␈εβ+␈α
2␈↓ ¬u␈ε	a␈↓ ε;␈εβ,␈α∂and␈↓ π_␈ε	a␈↓ πA␈εβ+␈↓ πl␈ε	a␈↓ λA␈εβ=␈↓ λq␈εβ2␈↓ 	∩␈εβ.)␈α⊗For␈↓ 	}␈ε	m␈↓ 
*␈εβ>␈↓ 
[␈ε	n␈↓ 
o␈εβ,␈α∂l␈α↓e␈α␈t
␈β	*␈↓ ∧≠␈εn␈↓ ∧z␈εn␈↓ ¬
␈ε~␈␈εε1␈↓ ε¬␈εn␈↓ ε∃␈ε~␈␈εε2␈↓ π'␈εn␈↓ π|␈εn␈↓ λ␈εε+1
␈β	C␈↓ α/␈εm␈↓ αF␈εε+1
␈β	G␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α≡␈εβ2␈↓ αv␈ε↔␈␈↓ β"␈ε	a␈↓ βg␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε	v␈↓ ∧#␈εβ=␈↓ ∧U␈ε	a␈↓ ¬≠␈εβ.␈α_F␈α↓o␈α␈r␈↓ ε␈ε	m␈↓ ε.␈εβ=␈↓ ε←␈ε	n␈↓ π∧␈εβ>␈α⊃0,␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ λ∃␈ε	u␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λk␈ε	a␈↓ 	1␈εβ,␈↓ 	K␈ε	v␈↓ 	m␈εβ=␈α⊃2␈↓ 
/␈ε	a␈↓ 
u␈εβ,␈α⊃o␈α␈r
␈β	Q␈↓ β1␈εn␈↓ βB␈εε+2␈↓ ∧e␈εn␈↓ ∧u␈εε+2␈↓ λ{␈εn␈↓ 	␈εε+2␈↓ 
?␈εn␈↓ 
O␈εε+1
␈β	n␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓e␈εβ=␈α	2␈↓ α ␈ε	a␈↓ αf␈εβ,␈↓ αx␈ε	v␈↓ β∪␈εβ=␈↓ β>␈ε	a␈↓ ∧␈εβ(dep␈α␈end␈α␈ing␈α	o␈α␈n␈α	wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α	is␈α	l␈α↓a␈α␈rger).␈α
Ano␈α␈ther␈α	ex␈α␈am␈α␈ple␈α	for␈↓ 
β␈ε	m␈↓ 
)␈εβ=␈↓ 
T␈ε	n␈↓ 
q␈εβ>␈α
0
␈β	y␈↓ α0␈εn␈↓ α@␈εε+1␈↓ βM␈εn␈↓ β]␈εε+␈α↓2
␈β
∩␈↓ α@␈εn␈↓ αQ␈εε+1␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧.␈εε+1
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓h␈ε	u␈↓ α¬␈εβ=␈↓ α0␈εβ2␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ βH␈ε	v␈↓ βb␈εβ=␈↓ ∧
␈εβ2␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈α␈;␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
ta␈α␈k␈α␈es␈α
m␈α␈ore␈α
sh␈α␈ifts,␈αan␈α␈d␈α
g␈α␈iv␈α␈es␈↓ λ}␈ε	C␈↓ 	"␈εβ=␈↓ 	L␈ε	n␈↓ 	f␈εβ+␈απ1␈α␈,␈↓ 
2␈ε	D␈↓ 
T␈εβ=␈α
2␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β
>␈↓ ↓H␈ε	E␈↓ ↓h␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β
w␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβThis␈αis␈αa␈α
pro␈α␈blem␈α
where␈α
it␈αap␈α␈pea␈α␈rs␈αto␈α
be␈αn␈α␈eces␈α␈sary␈α
to␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈ε⊂␈αmor␈α␈e␈εβ␈αtha␈α␈n␈α
w␈α↓a␈α␈s␈αask␈α}ed
␈β≡␈↓ ↓H␈εβju␈α␈st␈αλto␈απpro␈α}v␈α␈e␈απwhat␈απwas␈αλa␈α␈sk␈α␈ed␈α␈.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈αλu␈α␈s␈αλpro␈α}v␈α␈e␈απthe␈απfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g:␈ε⊂␈α	I␈α↓f␈↓ λ∃␈ε	u␈↓ λ1␈ε⊂an␈α␈d␈↓ λn␈ε	v␈↓ 	λ␈ε⊂a␈α␈re␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈απi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈βF␈↓ ↓H␈ε⊂Algo␈α␈rithm␈αB␈α
d␈α␈oes␈ε↔␈α∀␈εβ␈α1␈α	+␈ε↔␈αλb␈↓ ∧S␈εβlg␈↓ ∧s␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	u␈↓ ¬Q␈εβ,␈↓ ¬←␈ε	v␈↓ ¬q␈εβ)␈ε↔c␈ε⊂␈αsub␈α␈traction␈αste␈α␈ps;␈α
and␈αif␈α
e␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈αh␈α␈olds␈α␈,␈α∞th␈α␈en
␈βn␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈εβlg␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	u␈↓ α∃␈εβ+␈↓ α>␈ε	v␈↓ αO␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	>␈ε↔␈α
b␈↓ β(␈εβlg␈↓ βG␈εβmax␈↓ ∧ε␈εβ(␈↓ ∧⊃␈ε	u␈↓ ∧%␈εβ,␈↓ ∧4␈ε	v␈↓ ∧F␈εβ)␈ε↔c␈ε⊂.
␈β↔␈↓ α␈εβFor␈αcon␈α}v␈α␈en␈α␈ienc␈α␈e,␈αlet␈αu␈α␈s␈αa␈α␈ssume␈αth␈α␈at␈↓ ε"␈ε	u␈↓ ε?␈ε↔∃␈↓ εj␈ε	v␈↓ ε|␈εβ;␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ πA␈ε	m␈↓ πg␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ λ∨␈εβlg␈↓ λ?␈ε	u␈↓ λS␈ε↔c␈εβ,␈↓ λt␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ 	I␈εβl␈α↓g␈↓ 	i␈ε	v␈↓ 	z␈ε↔c␈εβ;␈αa␈α␈nd␈αlet␈αu␈α␈s
␈β>␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈αth␈α␈e␈α\latt␈α␈i␈α↓ce␈α␈-poin␈α}t"␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈olog␈α␈y,␈αsay␈α␈ing␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈α
are␈α\␈α␈at␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α(␈↓ 	␈ε	m␈↓ 	(␈εβ,␈↓ 	7␈ε	n␈↓ 	K␈εβ)."␈αThe␈α
proo␈α␈f␈αis
␈βf␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction␈αo␈α␈n␈↓ β:␈ε	m␈↓ β←␈εβ+␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ.
␈β
∨␈↓ α␈ε⊂Case␈α1␈εβ,␈↓ β∧␈ε	m␈↓ β+␈εβ=␈↓ βV␈ε	n␈↓ βk␈εβ.␈α~Clearly␈α␈,␈ε↔␈αb␈↓ ¬≠␈εβl␈α↓g␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	u␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε	v␈↓ ε⊗␈εβ)␈ε↔␈α↓c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α
b␈↓ εq␈εβlg␈↓ π⊂␈ε	u␈↓ π%␈ε↔c␈εβ␈αin␈αthis␈αca␈α␈se.␈α
If␈↓ 	→␈ε	u␈↓ 	7␈εβ=␈↓ 	b␈ε	v␈↓ 	␈␈εβthe␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αis
␈β
G␈↓ ↓H␈εβtriv␈α␈i␈α↓a␈α␈l;␈α∞oth␈α␈erwise␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ex␈α␈t␈α
su␈α␈btra␈α␈ction-sh␈α␈ift␈α
cy␈α}cl␈α↓e␈αtak␈α}es␈α
u␈α␈s␈α
to␈αa␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
(␈↓ 	T␈ε	m␈↓ 	z␈ε↔␈␈↓ 
#␈ε	k␈↓ 
4␈εβ,␈↓ 
B␈ε	m␈↓ 
`␈εβ).␈α⊂By
␈β
n␈↓ ↓H␈εβin␈α␈du␈α␈ction,␈α
at␈α
m␈α␈ost␈↓ β\␈ε	m␈↓ β␈␈εβ+␈αε1␈α
furth␈α␈er␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α
s␈α␈teps␈α
will␈α
be␈α
req␈α␈uired␈α␈;␈αb␈α␈ut␈α
if␈↓ 	␈␈ε	m␈↓ 
"␈εβ+␈απ1␈α	more
␈β∞∩␈↓ ¬"␈ε~␈␈↓ ¬;␈εr
␈β∞∪␈↓ ∧≤␈εα(␈↓ επ␈εα)
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈re␈εβ␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αb␈↓ ∧α␈εβlg␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧M␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε	v␈↓ ¬ε␈εβ)␈↓ ¬∩␈εβ2␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬v␈ε	v␈↓ ε∪␈ε↔c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α	b␈↓ εa␈εβlg␈↓ π↓␈ε	v␈↓ π∩␈ε↔c␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ λ∩␈ε	r␈↓ λ*␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α
is␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αrigh␈α}t
␈β∞9␈↓ λλ␈ε~␈␈↓ λ"␈εr
␈β∞>␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ifts␈αthat␈αw␈α␈ere␈αmad␈α␈e.␈α∂Th␈α␈is␈α
is␈αimp␈α␈ossible,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈α(␈↓ π⊗␈ε	u␈↓ π2␈ε↔␈␈↓ π[␈ε	v␈↓ πm␈εβ)␈↓ πx␈εβ2␈↓ λ6␈εβ+␈↓ λ←␈ε	v␈↓ λ|␈εβ<␈α(␈↓ 	3␈ε	u␈↓ 	O␈ε↔␈␈↓ 	y␈ε	v␈↓ 

␈εβ)␈αλ+␈↓ 
G␈ε	v␈↓ 
c␈εβ=␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β∞e␈↓ ↓H␈εβS␈α␈o␈αat␈αm␈α␈ost␈↓ αp␈ε	m␈↓ β_␈εβfurth␈α␈er␈αstep␈α␈s␈αare␈αn␈α␈eede␈α␈d.
␈β∂≡␈↓ α␈ε⊂Case␈α2␈εβ␈α␈,␈↓ β¬␈ε	m␈↓ β.␈εβ>␈↓ β[␈ε	n␈↓ βo␈εβ.␈α≠The␈αne␈α␈xt␈αsub␈α␈tract␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αstep␈αta␈α␈k␈α␈es␈αus␈αto␈α(␈↓ λW␈ε	m␈↓ λ|␈ε↔␈␈↓ 	&␈ε	k␈↓ 	6␈εβ,␈↓ 	E␈ε	n␈↓ 	Y␈εβ),␈α
an␈α␈d␈αat␈αmos␈α␈t
␈β∂F␈↓ ↓H␈εβ1␈αλ+␈↓ α␈εβma␈α␈x␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε	m␈↓ α|␈ε↔␈␈↓ β'␈ε	k␈↓ β7␈εβ,␈↓ βF␈ε	n␈↓ βZ␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ ∧"␈ε	m␈↓ ∧M␈εβfurt␈α␈her␈α∞s␈α␈teps␈α
w␈α↓ill␈α∞be␈α
requ␈α␈ired.␈α∪No␈α␈w␈α
i␈α↓f␈↓ 	␈ε	m␈↓ 	7␈εβfu␈α␈rthe␈α␈r␈α∞step␈α␈s␈ε⊂␈α∞are
␈β∂i␈↓ ε∂␈ε~0␈↓ πF␈ε~␈␈↓ π←␈εr
␈β∂n␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quired␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β>␈εβh␈α␈as␈αbee␈α␈n␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αb␈α␈y␈↓ ¬{␈ε	u␈↓ ε∨␈εβ=␈α	(␈↓ εU␈ε	u␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π→␈ε	v␈↓ π*␈εβ)␈↓ π5␈εβ2␈↓ πw␈εβfo␈α␈r␈αso␈α␈me␈↓ λ}␈ε	r␈↓ 	⊗␈ε↔∃␈εβ␈α
1.␈αB␈α↓y␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,
␈β⊂⊃␈↓ α∞␈ε~0
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈εβlg␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	u␈↓ α≠␈εβ+␈↓ αD␈ε	v␈↓ αU␈εβ)␈ε↔c␈α
∃␈↓ β!␈ε	m␈↓ β?␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e
␈β⊂c␈↓ πF␈ε~0
␈β⊂f␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ε≥␈εα)
␈β⊂i␈↓ α2␈ε↔b␈↓ α?␈εβlg␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	u␈↓ β␈εβ+␈↓ β(␈ε	v␈↓ β:␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	=␈ε↔␈α	b␈↓ ∧∩␈εβl␈α↓g␈↓ ∧2␈εβ2␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	u␈↓ ∧u␈ε↔␈␈↓ ¬≡␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ)/2␈απ+␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε)␈ε↔c␈α	∃␈α
b␈↓ εw␈εβlg␈↓ π⊗␈εβ2(␈↓ π2␈ε	u␈↓ πT␈εβ+␈↓ π|␈ε	v␈↓ λ∞␈εβ)␈ε↔c␈α	∃␈↓ λZ␈ε	m␈↓ λ}␈εβ+␈αλ1␈α	>␈ε↔␈α	b␈↓ 	x␈εβl␈α↓g␈↓ 
_␈ε	u␈↓ 
,␈ε↔c␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα679
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβSu␈α␈bt␈α␈ract␈α
the␈↓ βM␈ε	k␈↓ β↑␈εβt␈α␈h␈α
colum␈α␈n␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈α
the␈α
2␈↓ ε∀␈ε	k␈↓ ε$␈εβth,␈α3␈↓ εh␈ε	k␈↓ εy␈εβth␈α␈,␈α4␈↓ π=␈ε	k␈↓ πM␈εβth␈α␈,␈αetc.,␈αfor␈↓ λ{␈ε	k␈↓ 	∃␈εβ=␈α	1,␈α2,␈α
3,␈↓ 
-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
←␈εβ.␈αThe
␈βα5␈↓ 
'␈ε↓P
␈βαS␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈α
is␈α	a␈α
trian␈α␈gu␈α␈lar␈α
m␈α␈atrix␈α	wi␈α↓th␈↓ ¬-␈ε	x␈↓ ¬S␈εβon␈α	th␈α␈e␈α
d␈α␈iago␈α␈na␈α␈l␈α
i␈α↓n␈α	c␈α␈olumn␈↓ λT␈ε	k␈↓ λd␈εβ,␈α
where␈↓ 	V␈ε	m␈↓ 	|␈εβ=␈↓ ¬␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈βα]␈↓ ¬<␈εk␈↓ ∃␈εd
␈βαe␈↓ 
M␈εd␈↓ 
\␈ε~∧␈↓ 
h␈εm
␈ββ␈↓ ↓H␈εβIt␈α	fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αλthat␈↓ β~␈ε	x␈↓ βJ␈εβ=␈↓ βu␈ε	⎇␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε	m␈↓ ∧3␈εβ),␈α	so␈α	th␈α␈e␈α	de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α	is␈↓ ππ␈ε	⎇␈↓ π≤␈εβ(1)␈↓ πC␈ε	⎇␈↓ πY␈εβ(2␈α␈)␈↓ λ¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈ε	⎇␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε	n␈↓ λf␈εβ).␈α[In␈αλgen␈α␈eral,␈α
\␈α␈Smith␈α␈'s
␈ββ
␈↓ β*␈εm
␈ββ$␈↓ ε`␈εα(␈↓ π↑␈εα)
␈ββ'␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t,␈α↓"␈αin␈αwhich␈αth␈α␈e␈α
(␈↓ ∧o␈ε	i␈↓ ∧|␈εβ,␈↓ ¬
␈ε	j␈↓ ¬→␈εβ)␈α
elem␈α␈en␈α␈t␈αi␈α↓s␈↓ εP␈ε	f␈↓ εl␈εβg␈α␈cd␈↓ π≡␈εβ(␈↓ π)␈ε	i␈↓ π6␈εβ,␈↓ πD␈ε	j␈↓ πS␈εβ)␈↓ πw␈εβfor␈αan␈αa␈α␈rbitrary␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓ 
p␈ε	f␈↓ ␈εβ,␈α
is
␈ββ1␈↓ αB␈ε↓Q␈↓ βP␈ε↓P
␈ββO␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈α	to␈↓ ∧.␈ε	⊗␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε	m␈↓ ∧i␈εβ/␈↓ ∧y␈ε	d␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬↔␈ε	f␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	d␈↓ ¬D␈εβ),␈α	by␈αλt␈α␈he␈αλsam␈α␈e␈αλargu␈α␈men␈α}t.␈αS␈α␈ee␈αλL.␈α	E.␈α	D␈α␈i␈α↓c␈α␈kson␈α␈,␈ε⊂␈α	History
␈ββa␈↓ αd␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β	␈εm␈↓ β!␈ε~∀␈↓ β:␈εn␈↓ βv␈εd␈↓ ∧∧␈ε~∧␈↓ ∧⊃␈εm
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε⊂o␈α␈f␈αthe␈αTh␈α␈eory␈α
of␈αNum␈α}bers␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Ne␈α␈w␈αY␈α↓o␈α␈rk:␈αCh␈α␈elsea,␈α19␈α␈52),␈α122␈α␈↑1␈α␈23.]
␈β∧,␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβTo␈α
dete␈α␈rmine␈↓ β`␈ε	A␈↓ ∧∧␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧G␈ε	r␈↓ ∧c␈εβsuc␈α␈h␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬|␈ε	u␈↓ ε≥␈εβ=␈↓ εL␈ε	A␈↓ εb␈ε	v␈↓ ε|␈εβ+␈↓ π'␈ε	r␈↓ π5␈εβ,␈α∂0␈ε↔␈α
∀␈↓ λ→␈ε	r␈↓ λ5␈εβ<␈↓ λd␈ε	v␈↓ λu␈εβ,␈α∂u␈α␈sing␈α
ord␈α␈ina␈α␈ry␈α
l␈α↓o␈α␈ng
␈β∧P␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬8␈εα)
␈β∧S␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈,␈αta␈α␈k␈α␈es␈↓ β ␈ε	O␈↓ βD␈εβ(␈α↓1␈α¬+␈↓ ∧
␈εβlo␈α␈g␈↓ ∧=␈ε	A␈↓ ∧S␈εβ)(␈↓ ∧i␈εβlog␈↓ ¬→␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ)␈↓ ¬N␈εβun␈α␈its␈α
of␈α	ti␈α↓m␈α␈e.␈αIf␈α
th␈α␈e␈α
q␈α␈uotien␈α}ts␈α
d␈α␈uring␈α	th␈α␈e␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β∧{␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈↓ αβ␈ε	A␈↓ α%␈εβ,␈↓ α=␈ε	A␈↓ α←␈εβ,␈↓ αx␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β$␈εβ,␈↓ β=␈ε	A␈↓ βi␈εβ,␈α⊂the␈α␈n␈↓ ∧R␈ε	A␈↓ ∧s␈ε	A␈↓ ¬≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬G␈ε	A␈↓ εβ␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε	u␈↓ εG␈εβ,␈α⊂so␈↓ π␈εβlog␈↓ π<␈ε	A␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ∪␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λC␈εβ+␈↓ λn␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	∨␈ε	A␈↓ 	Z␈ε↔∀␈↓ 
␈εβlog␈↓ 
;␈ε	u␈↓ 
O␈εβ.␈α⊗Also
␈β¬ε␈↓ α_␈εε1␈↓ αR␈εε2␈↓ βR␈εm␈↓ ∧g␈εε1␈↓ ¬	␈εε2␈↓ ¬]␈εm␈↓ πR␈εε1␈↓ 	4␈εm
␈β¬#␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈ε	O␈↓ α1␈εβ(␈↓ α<␈εβlog␈↓ αl␈ε	u␈↓ β␈εβ).
␈β¬O␈↓ ∧#␈εu␈↓ ¬g␈εv␈↓ π
␈εu␈↓ π!␈εεmod␈↓ πU␈εv
␈β¬S␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβIn␈αgen␈α␈eral,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α(␈↓ ∧∩␈ε	a␈↓ ∧<␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬π␈εβm␈α␈od␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	a␈↓ ¬⎇␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α=␈↓ ε|␈ε	a␈↓ πl␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
(cf.␈α
Eq.␈α4.3.2↑1␈α␈9),␈α
w␈α␈e␈α
|␈α␈nd
␈β¬v␈↓ α]␈εm␈↓ βU␈εn␈↓ ∧u␈εεgcd␈↓ ¬≠␈εε(␈↓ ¬#␈εm␈↓ ¬:␈εε,␈↓ ¬A␈εn␈↓ ¬R␈εε)
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈εβg␈α␈cd␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈ε	a␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βD␈ε	a␈↓ βl␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α	=␈↓ ∧d␈ε	a␈↓ ¬b␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ λ}␈ε	a␈↓ 	∞␈εβ.
␈βε&␈↓ ∧↔␈εε2
␈βε'␈↓ β≥␈εα(␈↓ ¬.␈εα)
␈βε*␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβYes,␈α∂to␈↓ β¬␈ε	O␈↓ β)␈ε	n␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈εβlog␈↓ βx␈ε	n␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈εβlog␈↓ ∧←␈εβlog␈↓ ¬∂␈ε	n␈↓ ¬#␈εβ)␈↓ ¬:␈εβ,␈α⊂e␈α␈v␈α␈en␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∞also␈α∞ne␈α␈ed␈α∞to␈α∞com␈α␈pu␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∂o␈α␈f
␈βεR␈↓ ↓H␈εβp␈α␈artial␈α∞quo␈α␈tien␈α␈ts␈α∞tha␈α␈t␈α∂w␈α␈o␈α␈uld␈α∞be␈α∞co␈α␈mpu␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∂Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈;␈α⊃see␈α∞A.␈α∂S␈α␈ch␈↓ 
=␈εβ∪␈↓ 
=␈εβo␈↓ 
N␈εβnh␈α␈ag␈α␈e,
␈βεz␈↓ ↓H␈ε⊂Ac␈α␈ta␈αIn␈α␈forma␈α␈tica␈ε∪␈α1␈εβ␈α(1␈α␈971␈α␈),␈α13␈α␈9↑1␈α␈44.␈α[B␈α↓u␈α␈t␈αAlgo␈α␈rithm␈αL␈αis␈αbette␈α␈r␈αin␈αpra␈α␈ctice␈αun␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈↓ 
w␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈βπ!␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xtrem␈α␈ely␈αlarge␈α␈.␈α↓]
␈βπQ␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβKeep␈α	trac␈α␈k␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
mos␈α␈t␈αs␈α␈i␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈α
a␈α␈nd␈α	l␈α↓e␈α␈ast␈α
sign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α}t␈α
w␈α␈ord␈α␈s␈α
of␈α
the␈α
o␈α␈pe␈α␈rand␈α␈s␈α
(the
␈βπy␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈αsign␈α␈i|ca␈α␈n␈α␈t␈αis␈αu␈α␈sed␈αto␈αgu␈α␈ess␈αth␈α␈e␈αsign␈αof␈↓ εP␈ε	t␈↓ εg␈εβand␈αth␈α␈e␈αleast␈αsig␈α␈ni|ca␈α␈n␈α␈t␈αis␈αto␈αde␈α␈termine
␈βλ ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αa␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈αof␈αr␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αsh␈α␈i␈α↓ft),␈αwh␈α␈i␈α↓le␈αb␈α␈uildin␈α␈g␈αa␈α2␈ε↔␈απα␈εβ␈απ2␈αm␈α␈atrix␈↓ λ∞␈ε	A␈↓ λ/␈εβo␈α␈f␈αsi␈α↓n␈α␈gle-p␈α␈recision␈αin␈α}teger␈α␈s
␈βλ*␈↓ αv␈ε↓␈␈↓ β∀␈ε↓↓␈↓ β]␈ε↓␈␈↓ ∧∃␈ε↓↓
␈βλ@␈↓ β{␈ε≠0
␈βλD␈↓ β∧␈εu␈↓ βk␈εu␈↓ ∧↓␈εw
␈βλH␈↓ 
¬␈ε~0␈↓ 
m␈ε~0
␈βλL␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
t␈α␈hat␈↓ α`␈ε	A␈↓ β/␈εβ=␈↓ ∧#␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ¬≤␈ε	w␈↓ ¬B␈εβis␈α
the␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈α␈r␈α∞w␈α␈o␈α␈rd␈α
size␈α
an␈α␈d␈α
wh␈α␈ere␈↓ 	q␈ε	u␈↓ 
_␈εβand␈↓ 
[␈ε	v␈↓ ␈εβare
␈βλY␈↓ βz␈ε≠0
␈βλ\␈↓ β¬␈εv␈↓ βl␈εv␈↓ ∧␈εw
␈βλt␈↓ ↓H␈εβsm␈α␈aller␈α	th␈α␈an␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β ␈εβa␈α␈nd␈↓ β↑␈ε	v␈↓ βo␈εβ.␈α(Ins␈α␈tead␈αλof␈αλdivid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλthe␈αλsim␈α␈ulate␈α␈d␈α	o␈α␈dd␈αλo␈α␈pera␈α␈nd␈αλb␈α␈y␈α	2␈α␈,␈α
m␈α}ultiply␈αλthe
␈β	≠␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈αon␈α␈e␈αby␈α2␈α␈,␈α
un␈α}ti␈α↓l␈αob␈α␈taining␈αm␈α}ultiples␈αof␈↓ εU␈ε	w␈↓ εz␈εβa␈α␈fter␈α
e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ λ@␈εβl␈α↓g␈↓ λ`␈ε	w␈↓ 	¬␈εβshifts.)␈α∂Exp␈α␈erimen␈α␈t␈α␈s
␈β	C␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈is␈αλalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αλru␈α␈nn␈α␈ing␈απfou␈α␈r␈αλtimes␈αλa␈α␈s␈αλfast␈αλa␈α␈s␈αλAlgorith␈α␈m␈αλL␈↓ λ4␈εβ,␈α	o␈α␈n␈αλa␈α␈t␈αλleast␈αλo␈α␈ne␈απcom␈α␈pu␈α␈ter.
␈β	s␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α
by␈αM␈α␈icha␈α␈el␈αPen␈α␈k.)
␈β
!␈↓ ↓O␈ε∪Y1.␈↓ α␈εβ[Fi␈α↓n␈α␈d␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2.]␈α→Sa␈α␈me␈αas␈αste␈α␈p␈αB1.
␈β
N␈↓ ↓O␈ε∪Y2.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α≥S␈α␈et␈α
(␈↓ ∧λ␈ε	u␈↓ ∧(␈εβ,␈↓ ∧7␈ε	u␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(1,␈αε0␈α␈,␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε'␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α(␈↓ π␈ε	v␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈ε	v␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	v␈↓ π|␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ λK␈ε	v␈↓ λ]␈εβ,␈αε1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	.␈ε	u␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Q␈ε	v␈↓ 	c␈εβ).␈α⊂If␈↓ 
*␈ε	u␈↓ 
K␈εβis␈α
o␈α␈dd␈α␈,
␈β
Y␈↓ ∧≠␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ ∧x␈εε3␈↓ π≠␈εε1␈↓ πE␈εε2␈↓ πo␈εε3
␈β
v␈↓ α␈εβset␈α(␈↓ αK␈ε	t␈↓ αb␈εβ,␈↓ αp␈ε	t␈↓ βπ␈εβ,␈↓ β⊗␈ε	t␈↓ β,␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(0,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈ε↔␈α¬␈␈↓ ∧x␈ε	v␈↓ ¬	␈εβ)␈αan␈α␈d␈αgo␈α
to␈αY4.␈αOthe␈α␈rwi␈α↓se␈α
set␈α(␈↓ λN␈ε	t␈↓ λe␈εβ,␈↓ λt␈ε	t␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	→␈ε	t␈↓ 	0␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(1␈α␈,␈αε0,␈↓ 
9␈ε	u␈↓ 
M␈εβ).
␈β↓␈↓ αU␈εε1␈↓ αz␈εε2␈↓ β ␈εε3␈↓ λX␈εε1␈↓ λ}␈εε2␈↓ 	#␈εε3
␈β$␈↓ ↓O␈ε∪Y3.␈↓ α␈εβ[Halv␈α␈e␈↓ αu␈ε	t␈↓ β␈εβ.]␈α∨If␈↓ βa␈ε	t␈↓ ∧¬␈εβan␈α␈d␈↓ ∧I␈ε	t␈↓ ∧m␈εβare␈α
bo␈α␈th␈α∞e␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α∂set␈α∞(␈↓ π∪␈ε	t␈↓ π)␈εβ,␈↓ π8␈ε	t␈↓ πO␈εβ,␈↓ π]␈ε	t␈↓ πt␈εβ)␈ε↔␈α∞ ␈εβ␈α∞(␈↓ λG␈ε	t␈↓ λ↑␈εβ,␈↓ λl␈ε	t␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	∩␈ε	t␈↓ 	(␈εβ)/2;␈α∂oth␈α␈erwise␈α∞se␈α␈t
␈β/␈↓ α␈␈εε3␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧S␈εε2␈↓ π≥␈εε1␈↓ πB␈εε2␈↓ πg␈εε3␈↓ λQ␈εε1␈↓ λv␈εε2␈↓ 	≤␈εε3
␈βL␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	t␈↓ α.␈εβ,␈↓ α=␈ε	t␈↓ αS␈εβ,␈↓ αb␈ε	t␈↓ αx␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(␈↓ βB␈ε	t␈↓ βY␈εβ+␈↓ β{␈ε	v␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε	t␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧T␈ε	u␈↓ ∧h␈εβ,␈↓ ∧w␈ε	t␈↓ ¬
␈εβ)/2.␈α	(In␈αεth␈α␈e␈αεlatte␈α␈r␈αεcase␈α␈,␈↓ πP␈ε	t␈↓ πf␈εβ+␈↓ λλ␈ε	v␈↓ λ∨␈εβan␈α␈d␈↓ λ[␈ε	t␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ 	∪␈ε	u␈↓ 	-␈εβwi␈α↓ll␈αεb␈α␈oth␈α¬be␈α¬ev␈α␈en␈α␈.)
␈βV␈↓ α!␈εε1␈↓ αF␈εε2␈↓ αl␈εε3␈↓ βL␈εε1␈↓ ∧%␈εε2␈↓ ¬↓␈εε3␈↓ πZ␈εε1␈↓ λe␈εε2
␈βy␈↓ ↓O␈ε∪Y4.␈↓ α␈εβ[Is␈↓ α8␈ε	t␈↓ αZ␈εβev␈α}en?]␈α→If␈↓ βl␈ε	t␈↓ ∧∞␈εβis␈αev␈α␈en␈α␈,␈αgo␈αb␈α␈ack␈α
to␈αY3.
␈β∧␈↓ αB␈εε3␈↓ βv␈εε3
␈β'␈↓ ↓O␈ε∪Y5.␈↓ α␈εβ[Reset␈↓ αn␈εβm␈α␈ax␈↓ β,␈εβ(␈↓ β8␈ε	u␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε	v␈↓ ∧↓␈εβ).␈α↓]␈α⊃If␈↓ ∧M␈ε	t␈↓ ∧m␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α	set␈αλ(␈↓ ¬v␈ε	u␈↓ ε∃␈εβ,␈↓ ε$␈ε	u␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε	u␈↓ εs␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α	(␈↓ π=␈ε	t␈↓ πS␈εβ,␈↓ πb␈ε	t␈↓ πx␈εβ,␈↓ λπ␈ε	t␈↓ λ≡␈εβ);␈α	oth␈α␈erwise␈αλse␈α␈t␈αλ(␈↓ 
π␈ε	v␈↓ 
#␈εβ,␈↓ 
1␈ε	v␈↓ 
M␈εβ,␈↓ 
[␈ε	v␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	 
␈β2␈↓ βK␈εε3␈↓ βu␈εε3␈↓ ∧W␈εε3␈↓ ε	␈εε1␈↓ ε7␈εε2␈↓ εf␈εε3␈↓ πF␈εε1␈↓ πl␈εε2␈↓ λ⊃␈εε3␈↓ 
⊗␈εε1␈↓ 
@␈εε2␈↓ 
j␈εε3
␈βO␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	v␈↓ α0␈ε↔␈␈↓ αY␈ε	t␈↓ αo␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β;␈ε↔␈␈↓ βc␈ε	t␈↓ βz␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧*␈ε	t␈↓ ∧A␈εβ).
␈βY␈↓ αc␈εε1␈↓ βm␈εε2␈↓ ∧4␈εε3
␈β⎇␈↓ ↓O␈ε∪Y6.␈↓ α␈εβ[Su␈α␈btra␈α␈ct.]␈α≤S␈α␈et␈α(␈↓ ∧ε␈ε	t␈↓ ∧≥␈εβ,␈↓ ∧,␈ε	t␈↓ ∧B␈εβ,␈↓ ∧Q␈ε	t␈↓ ∧h␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ ¬5␈ε	u␈↓ ¬U␈εβ,␈↓ ¬d␈ε	u␈↓ ε∧␈εβ,␈↓ ε∩␈ε	u␈↓ ε2␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(␈↓ εz␈ε	v␈↓ π∃␈εβ,␈↓ π$␈ε	v␈↓ π?␈εβ,␈↓ πN␈ε	v␈↓ πi␈εβ)␈α↓.␈α∞The␈α␈n␈αif␈↓ 	¬␈ε	t␈↓ 	&␈εβ<␈α0␈α␈,␈α
set␈α(␈↓ 
9␈ε	t␈↓ 
P␈εβ,␈↓ 
↑␈ε	t␈↓ 
u␈εβ)␈ε↔␈α 
␈β
π␈↓ ∧⊂␈εε1␈↓ ∧6␈εε2␈↓ ∧[␈εε3␈↓ ¬I␈εε1␈↓ ¬w␈εε2␈↓ ε&␈εε3␈↓ π	␈εε1␈↓ π3␈εε2␈↓ π]␈εε3␈↓ 	∂␈εε1␈↓ 
C␈εε1␈↓ 
h␈εε2
␈β
$␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	t␈↓ α4␈εβ+␈↓ α[␈ε	v␈↓ αl␈εβ,␈↓ α{␈ε	t␈↓ β_␈ε↔␈␈↓ β?␈ε	u␈↓ βS␈εβ).␈αIf␈↓ ∧∩␈ε	t␈↓ ∧2␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αg␈α␈o␈α
ba␈α␈ck␈α
to␈α	B3.␈αOth␈α␈erwise␈α
the␈α	algorith␈α␈m␈α
termin␈α␈ates␈α
with
␈β
/␈↓ α!␈εε1␈↓ β¬␈εε2␈↓ ∧≤␈εε3
␈β
H␈↓ β=␈εk
␈β
L␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	u␈↓ α7␈εβ,␈↓ αF␈ε	u␈↓ αe␈εβ,␈↓ αt␈ε	u␈↓ β≠␈ε↔↓␈↓ β,␈εβ2␈↓ βJ␈εβ)␈αas␈αth␈α␈e␈αou␈α␈tpu␈α␈t.
␈β
N␈↓ ¬R␈∧
N¬R≠∂
␈β
V␈↓ α*␈εε1␈↓ αY␈εε2␈↓ βπ␈εε3
␈β∞␈↓ α␈εβIt␈α∞is␈α∂c␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈α∞tha␈α␈t␈α∞the␈α∞rela␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞in␈α∞(16␈α␈)␈α∞are␈α∞pr␈α␈eserv␈α␈e␈α␈d,␈α∂an␈α␈d␈α∞th␈α␈at␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ 	e␈ε	u␈↓ 
∧␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	v␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
=␈ε	t␈↓ 
b␈ε↔∀␈↓ ∩␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β∞
␈↓ 	x␈εε1␈↓ 
"␈εε1␈↓ 
G␈εε1
␈β∞'␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α∃␈↓ α∀␈ε	u␈↓ α3␈εβ,␈↓ αB␈ε	v␈↓ α↑␈εβ,␈↓ αl␈ε	t␈↓ β⊂␈ε↔∃␈α
␈␈↓ β`␈ε	u␈↓ ∧↓␈εβafter␈α
ea␈α␈ch␈α
of␈α
step␈α␈s␈α∞Y2␈α␈↑Y6.␈α∩If␈↓ πA␈ε	u␈↓ πb␈εβis␈α∞o␈α␈dd␈α
a␈α␈fter␈α∞st␈α␈ep␈α
Y2,␈α∞the␈α␈n␈α
step
␈β∞2␈↓ α'␈εε2␈↓ αQ␈εε2␈↓ αv␈εε2
␈β∞O␈↓ ↓H␈εβY3␈αcan␈αbe␈αsi␈α↓m␈α␈pli|ed␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈↓ ∧Z␈ε	t␈↓ ∧|␈εβand␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬a␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈oth␈αev␈α␈en␈αi{␈↓ π←␈ε	t␈↓ λ↓␈εβis␈αev␈α␈e␈α␈n;␈α
similarly␈α␈,␈α
if␈↓ 
.␈ε	v␈↓ 
K␈εβi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈,
␈β∞Z␈↓ ∧d␈εε1␈↓ ¬H␈εε2␈↓ πi␈εε2
␈β∞w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α⊗␈ε	t␈↓ α9␈εβand␈↓ α|␈ε	t␈↓ β ␈εβare␈α
b␈α␈oth␈αev␈α␈en␈αi{␈↓ ¬#␈ε	t␈↓ ¬G␈εβis␈α
ev␈α␈e␈α␈n.␈α∩Th␈α}us,␈α∞a␈α␈s␈α
i␈α↓n␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
X,␈α
it␈α
i␈α↓s␈α
p␈α␈ossible␈α
to
␈β∂↓␈↓ α ␈εε1␈↓ βε␈εε2␈↓ ¬-␈εε1
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈pp␈α␈ress␈αall␈αc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αin␈α␈v␈α␈o␈α␈lving␈↓ ¬B␈ε	u␈↓ ¬a␈εβ,␈↓ ¬v␈ε	v␈↓ ε⊃␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ εg␈ε	t␈↓ ε}␈εβ,␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈α
that␈↓ λe␈ε	v␈↓ 	α␈εβis␈αod␈α␈d␈αafter␈αstep␈α
Y␈α↓2␈α␈.
␈β∂)␈↓ ¬U␈εε2␈↓ ε¬␈εε2␈↓ εq␈εε2
␈β∂F␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αcon␈α␈dition␈αi␈α↓s␈αo␈α␈ften␈αk␈α␈no␈α}wn␈αin␈αa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ce␈α(e.g.,␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ π←␈ε	v␈↓ π⎇␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αan␈α␈d␈αw␈α␈e␈αa␈α␈re␈αtry␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto
␈β∂i␈↓ αc␈ε~␈␈εε1
␈β∂m␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αO␈ε	u␈↓ β∀␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ∧
␈ε	v␈↓ ∧≠␈εβ).
␈β⊂[␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.3
␈β⊃∨␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α
run␈α␈ning␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈αi␈α↓s␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α19␈α␈.02␈↓ ¬d␈ε	T␈↓ εα␈εβ+␈αλ6,␈αjust␈αa␈α
tri␈α↓⎇␈α␈e␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αth␈α␈an␈αProg␈α␈ram␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.2A.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα680␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα≡␈↓ α␈ε↓∩␈↓ π<␈ε↓∪
␈βα$␈↓ α&␈ε	Q␈↓ αL␈εβ(␈↓ αW␈ε	x␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε	x␈↓ β≡␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈εβ,␈↓ βh␈ε	x␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧\␈εβ)␈↓ ∧␈␈ε	Q␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε≡␈εβ,␈↓ ε,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	x␈↓ π-␈εβ)
␈βα/␈↓ α<␈εn␈↓ αg␈εε1␈↓ β∩␈εε2␈↓ βx␈εn␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬⊗␈εn␈↓ ¬&␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ εw␈εn␈↓ ππ␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βα:␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ πR␈εβ.
␈βαR␈↓ α(␈ε	Q␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β≤␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε	x␈↓ ∧+␈εβ,␈↓ ∧:␈ε	x␈↓ ∧Z␈εβ)␈↓ ¬∃␈ε	Q␈↓ ¬a␈εβ(␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ελ␈εβ,␈↓ ε↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εβ,␈↓ εR␈ε	x␈↓ π_␈εβ)
␈βα]␈↓ α>␈εn␈↓ αO␈ε~␈␈εε1␈↓ β∂␈εε2␈↓ βu␈εn␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧I␈εn␈↓ ¬+␈εn␈↓ ¬;␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ¬|␈εε2␈↓ εb␈εn␈↓ εr␈ε~␈␈εε1
␈ββπ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	Q␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	x␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αh␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β$␈ε	x␈↓ βC␈εβ).
␈ββ⊃␈↓ α"␈εn␈↓ αM␈εε1␈↓ β3␈εn
␈ββ<␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβBy␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αor␈αb␈α␈y␈αta␈α␈king␈α
the␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈αo␈α␈f␈αthe␈αma␈α␈trix␈αp␈α␈rodu␈α␈ct␈αin␈αex␈α}ercise␈α2␈α␈.
␈ββq␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβWhen␈α∞th␈α␈e␈↓ β,␈ε	x␈↓ β>␈εβ's␈α∂a␈α␈re␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e,␈α∂the␈↓ ¬c␈ε	q␈↓ ¬r␈εβ's␈α∂o␈α␈f␈α∂(9)␈α∞are␈α∞po␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e,␈α⊂a␈α␈nd␈↓ λ}␈ε	q␈↓ 	O␈εβ>␈↓ 	␈␈ε	q␈↓ 
B␈εβ;␈α⊂he␈α␈nce
␈ββ|␈↓ 	
␈εn␈↓ 	~␈εε+1␈↓ 
␈εn␈↓ 
≤␈ε~␈␈εε1
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβ(9␈α␈)␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈lterna␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
se␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈α
of␈α
d␈α␈ecrea␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
te␈α␈rms,␈α∞a␈α␈nd␈αit␈α
con␈α}v␈α␈erg␈α␈es␈α
i{␈↓ 	0␈ε	q␈↓ 	M␈ε	q␈↓ 
≠␈ε↔!␈α
1␈εβ.␈α⊃By
␈β∧#␈↓ 	<␈εn␈↓ 	Y␈εn␈↓ 	i␈εε+1
␈β∧<␈↓ 	ε␈εn
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβin␈α␈du␈α␈ction,␈α
if␈α∞th␈α␈e␈↓ βD␈ε	x␈↓ βU␈εβ's␈α
are␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
than␈↓ ¬t␈ε	∂␈↓ ε↓␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ π≠␈ε	q␈↓ πD␈ε↔∃␈↓ πq␈ε	c␈↓ π}␈εβ(1␈α	+␈↓ λM␈ε	∂␈↓ λZ␈εβ/␈α␈2␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	⊗␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓ 
∂␈ε	c␈↓ 
)␈εβis␈α
cho␈α␈sen
␈β∧K␈↓ π'␈εn
␈β∧d␈↓ 
N␈εn
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβsm␈α␈all␈α∞e␈α␈no␈α␈ugh␈αto␈α
ma␈α␈k␈α␈e␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓n␈α␈equ␈α␈ality␈α
v␈α␈alid␈α
for␈↓ π¬␈ε	n␈↓ π%␈εβ=␈α
1␈α
a␈α␈nd␈α2.␈α⊃But␈α
if␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	o␈εβ=␈α1/␈↓ 
>␈εβ2␈↓ 
l␈εβth␈α␈en
␈β∧r␈↓ 	R␈εn
␈β¬␈↓ β
␈εn
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓m␈ε↔∀␈εβ␈α
2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ αz␈εβ2␈↓ β≠␈εβ.
␈β¬~␈↓ ↓T␈εn
␈β¬E␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβIt␈α∞s␈α␈u}ce␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈↓ ∧w␈ε	A␈↓ ¬&␈εβ=␈↓ ¬U␈ε	B␈↓ ¬u␈εβ;␈α∂a␈α␈nd␈α
fro␈α␈m␈α∞th␈α␈e␈α
fact␈α
tha␈α␈t␈α∞0␈ε↔␈α
∀␈α
?␈↓ 	J␈ε	x␈↓ 	f␈εβ,␈↓ 	u␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
!␈εβ,␈↓ 
0␈ε	x␈↓ 
P␈ε↔?␈εβ␈α<␈α∞1
␈β¬O␈↓ ¬
␈εε1␈↓ ¬h␈εε1␈↓ 	Y␈εε1␈↓ 
?␈εn
␈β¬l␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ α[␈ε	x␈↓ αw␈εβ,␈↓ βε␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β2␈εβ,␈↓ βA␈ε	x␈↓ βl␈εβa␈α␈re␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ π"␈ε	B␈↓ πK␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ1␈α␈/␈↓ λ$␈ε	X␈↓ λ@␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ 	␈ε	A␈↓ 	"␈εβ.
␈β¬w␈↓ αj␈εε1␈↓ βP␈εn␈↓ π5␈εε1␈↓ 	⊗␈εε1
␈βε!␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβOn␈α␈l␈α↓y␈α
1␈αε2␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈ε	n␈↓ β]␈εβan␈α␈d␈↓ ∧!␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧g␈εβ2␈α¬1.␈α∨(T␈α↓h␈α␈e␈α∞v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈↓ π␈ε	x␈↓ π6␈εβapp␈α␈ears␈α∞in␈α∞e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ 	U␈ε	F␈↓ 	z␈ε	F␈↓ 
R␈εβter␈α␈ms;
␈βε,␈↓ π≠␈εk␈↓ 	h␈εk␈↓ 

␈εn␈↓ 
≥␈ε~␈␈↓ 
6␈εk
␈βεI␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α'␈ε	x␈↓ αP␈εβan␈α␈d␈↓ β∪␈ε	x␈↓ βA␈εβc␈α␈an␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
b␈α␈e␈α
perm␈α␈u␈α␈ted␈α
in␈α␈to␈↓ εY␈ε	x␈↓ πα␈εβand␈↓ πF␈ε	x␈↓ πe␈εβ.␈α∪If␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λN␈εβan␈α␈d␈↓ 	⊃␈ε	x␈↓ 	?␈εβa␈α␈re␈α∞|␈α␈x␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α
the
␈βεT␈↓ α6␈εε1␈↓ β#␈εn␈↓ εh␈εε1␈↓ πU␈εn␈↓ λ4␈εε1␈↓ 	!␈εn
␈βεq␈↓ ↓H␈εβp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈,␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εF␈εβ,␈↓ ε[␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π≠␈ε	x␈↓ πl␈εβar␈α␈e␈αalso␈α|␈α␈x␈α␈ed␈α␈.␈α↓)
␈βε{␈↓ ε:␈εε2␈↓ π+␈εn␈↓ π;␈ε~␈␈εε1
␈βπ&␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThis␈αis␈αequ␈α␈ivalen␈α}t␈αto
␈βπq␈↓ β4␈ε	Q␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	A␈↓ ∧W␈εβ,␈↓ ∧e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	A␈↓ ¬C␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬}␈ε	X␈↓ ε→␈ε	Q␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε	A␈↓ π<␈εβ,␈↓ πK␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πw␈εβ,␈↓ λε␈ε	A␈↓ λ(␈εβ)␈↓ 	≠␈εβ1
␈βπ|␈↓ βJ␈εn␈↓ βZ␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ∧!␈εn␈↓ ∧1␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬6␈εε2␈↓ ε/␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈εε1␈↓ πε␈εn␈↓ π⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ λ≠␈εε1
␈βλλ␈↓ λ@␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ 	;␈εβ,
␈βλ⊗␈↓ β4␈∧λ⊗β4α¬␈↓ 	⊂␈∧λ⊗	⊂α(
␈βλ∨␈↓ βm␈ε	Q␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈ε	A␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ∧x␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬%␈εβ,␈↓ ¬4␈ε	A␈↓ ¬U␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε⊃␈ε	X␈↓ ε,␈ε	Q␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε	A␈↓ πβ␈εβ,␈↓ π∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π?␈εβ,␈↓ πM␈ε	A␈↓ πo␈εβ)␈↓ 	⊂␈ε	X
␈βλ*␈↓ ∧β␈εn␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ¬I␈εε2␈↓ εB␈εn␈↓ εs␈εn␈↓ πc␈εε1␈↓ 	'␈εn
␈βλm␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
by␈α
(␈α↓6␈α␈)␈αthis␈αis␈αequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈αt␈α␈o
␈β	;␈↓ ∧*␈ε	Q␈↓ ∧w␈εβ(␈↓ ¬α␈ε	A␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬←␈εβ,␈↓ ¬n␈ε	A␈↓ ε∪␈εβ)␈αλ+␈↓ εO␈ε	X␈↓ εv␈ε	Q␈↓ πB␈εβ(␈↓ πM␈ε	A␈↓ πo␈εβ,␈↓ π}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ*␈εβ,␈↓ λ9␈ε	A␈↓ 	¬␈εβ)
␈β	E␈↓ ∧A␈εn␈↓ ∧Q␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬↔␈εε2␈↓ εβ␈εn␈↓ εf␈εn␈↓ π␈εn␈↓ π≤␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ πc␈εε2␈↓ λN␈εn␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1
␈β	Q␈↓ βW␈ε	X␈↓ β|␈εβ=␈↓ 	∪␈εβ.
␈β	←␈↓ ∧*␈∧	←∧*α∧f
␈β	h␈↓ ∧=␈ε	Q␈↓ ∧d␈εβ(␈↓ ∧o␈ε	A␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬ ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬[␈ε	A␈↓ ε␈εβ)␈αλ+␈↓ ε<␈ε	X␈↓ εc␈ε	Q␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	A␈↓ π\␈εβ,␈↓ πk␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ&␈ε	A␈↓ λr␈εβ)
␈β	s␈↓ ∧T␈εn␈↓ ¬∧␈εε1␈↓ ¬p␈εn␈↓ εS␈εn␈↓ εy␈εn␈↓ π
␈ε~␈␈εε1␈↓ πP␈εε1␈↓ λ<␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε1
␈β
D␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ(a)␈αBy␈α
d␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n.␈α_(b),␈α(d␈α␈)␈αPro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
when␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π≠␈εβ=␈α	1,␈αthe␈α␈n␈α
app␈α␈ly␈α
(␈α↓a␈α␈)␈αto␈α
get␈α
the␈α
resu␈α␈lt
␈β
k␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αgen␈α␈eral␈↓ αn␈ε	n␈↓ βα␈εβ.␈α~(c)␈αPro␈α␈v␈α}e␈αwhen␈↓ ¬λ␈ε	n␈↓ ¬%␈εβ=␈↓ ¬P␈ε	k␈↓ ¬h␈εβ+␈απ1,␈αthen␈α
ap␈α␈ply␈α(a).
␈β ␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	A␈↓ αY␈εβ>␈α	0,␈αthe␈α␈n␈↓ βt␈ε	B␈↓ ∧≥␈εβ=␈α
0,␈↓ ∧m␈ε	B␈↓ ¬⊗␈εβ=␈↓ ¬A␈ε	A␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬w␈ε	B␈↓ ε!␈εβ=␈↓ εK␈ε	A␈↓ εm␈εβ,␈↓ π↓␈ε	B␈↓ π+␈εβ=␈↓ πU␈ε	A␈↓ πw␈εβ,␈↓ λ␈ε	B␈↓ λ5␈εβ=␈↓ λ`␈ε	A␈↓ 	↓␈εβ,␈↓ 	⊗␈ε	B␈↓ 	?␈εβ=␈↓ 	j␈ε	A␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
 ␈ε	m␈↓ 
G␈εβ=␈α	5.␈αIf
␈β+␈↓ αC␈εε0␈↓ ∧π␈εε0␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬V␈εε0␈↓ ε␈εε2␈↓ ε`␈εε1␈↓ π∃␈εε3␈↓ πk␈εε2␈↓ λ∨␈εε4␈↓ λu␈εε3␈↓ 	)␈εε5␈↓ 	␈␈εε4
␈βH␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓t␈εβ=␈α0␈α␈,␈αthen␈↓ β∩␈ε	B␈↓ β<␈εβ=␈↓ βh␈ε	A␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧∨␈ε	B␈↓ ∧J␈εβ=␈↓ ∧u␈ε	A␈↓ ¬↔␈εβ,␈↓ ¬,␈ε	B␈↓ ¬W␈εβ=␈↓ εβ␈ε	A␈↓ ε$␈εβ,␈↓ ε:␈ε	B␈↓ εd␈εβ=␈↓ π⊂␈ε	A␈↓ π2␈εβ,␈↓ πG␈ε	m␈↓ πo␈εβ=␈α
3.␈α
If␈↓ λc␈ε	A␈↓ 	⊂␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈αan␈α␈d␈↓ 
;␈ε	A␈↓ 
g␈εβ=␈α1␈α␈,
␈βR␈↓ ↓]␈εε0␈↓ β%␈εε0␈↓ β⎇␈εε1␈↓ ∧3␈εε1␈↓ ¬␈εε2␈↓ ¬@␈εε2␈↓ ε_␈εε3␈↓ εM␈εε3␈↓ π%␈εε4␈↓ λy␈εε0␈↓ 
P␈εε1
␈βo␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∩␈ε	B␈↓ α;␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ β∩␈ε	A␈↓ β:␈εβ+␈αε2␈α␈),␈↓ ∧⊂␈ε	B␈↓ ∧9␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ ¬π␈ε	B␈↓ ¬1␈εβ=␈↓ ¬[␈ε	A␈↓ εβ␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈,␈↓ εN␈ε	B␈↓ εw␈εβ=␈↓ π!␈ε	A␈↓ πC␈εβ,␈↓ πW␈ε	m␈↓ π⎇␈εβ=␈α
3␈α␈.␈αIf␈↓ λl␈ε	A␈↓ 	↔␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈α	and␈↓ 
=␈ε	A␈↓ 
h␈εβ>␈α
1␈α␈,
␈βz␈↓ α&␈εε0␈↓ β(␈εε2␈↓ ∧#␈εε1␈↓ ¬≠␈εε2␈↓ ¬q␈εε3␈↓ εa␈εε3␈↓ π7␈εε4␈↓ 	↓␈εε0␈↓ 
R␈εε1
␈β↔␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε	B␈↓ α?␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓2␈α␈,␈↓ β3␈ε	B␈↓ β]␈εβ=␈↓ ∧
␈ε	A␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈α␈,␈↓ ¬β␈ε	B␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε	A␈↓ ¬|␈εβ,␈↓ ε⊃␈ε	B␈↓ ε<␈εβ=␈↓ εh␈ε	A␈↓ π
␈εβ,␈↓ π∨␈ε	B␈↓ πJ␈εβ=␈↓ πv␈ε	A␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ.␈ε	m␈↓ λV␈εβ=␈α5␈α␈.␈α∞If␈↓ 	L␈ε	A␈↓ 	x␈εβ<␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
th␈α␈en
␈β"␈↓ α(␈εε0␈↓ βF␈εε2␈↓ ∧∨␈εε1␈↓ ¬⊗␈εε3␈↓ ¬o␈εε2␈↓ ε%␈εε4␈↓ ε⎇␈εε3␈↓ π3␈εε5␈↓ λ␈εε4␈↓ 	a␈εε0
␈β?␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓r␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1,␈↓ αd␈ε	B␈↓ β∞␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ β↑␈ε	B␈↓ ∧λ␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧U␈ε	A␈↓ ∧}␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈↓ ¬M␈ε	B␈↓ ¬w␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ εG␈ε	B␈↓ εq␈εβ=␈↓ π≤␈ε	A␈↓ πF␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ λ∀␈ε	B␈↓ λ>␈εβ=␈↓ λj␈ε	A␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	B␈↓ 	J␈εβ=␈↓ 	u␈ε	A␈↓ 
↔␈εβ,␈↓ 
,␈ε	B␈↓ 
V␈εβ=␈↓ ↓␈ε	A␈↓ #␈εβ.
␈βI␈↓ ↓[␈εε0␈↓ αw␈εε1␈↓ βr␈εε2␈↓ ∧j␈εε0␈↓ ¬`␈εε3␈↓ ε[␈εε4␈↓ π2␈εε1␈↓ λ(␈εε5␈↓ λ␈␈εε2␈↓ 	4␈εε6␈↓ 
␈εε3␈↓ 
@␈εε7␈↓ ↔␈εε4
␈βf␈↓ ↓H␈εβ[Actu␈α␈ally,␈α
th␈α␈e␈α
las␈α␈t␈α
th␈α␈ree␈α	cases␈α	in␈α␈v␈α}olv␈α␈e␈α	eigh␈α}t␈α
su␈α␈bca␈α␈ses;␈α
if␈α
an␈α}y␈α	of␈α	the␈↓ 	↓␈ε	B␈↓ 	↔␈εβ'␈α↓s␈α	is␈α
se␈α␈t␈α
to␈α	zer␈α␈o,␈α
the
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈α\␈α␈collap␈α␈sed␈αtog␈α␈ethe␈α␈r"␈αb␈α␈y␈αusin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αrule␈αof␈αex␈α}ercise␈α9(c).␈α
Fo␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β
5␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓h␈ε	A␈↓ α∃␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈↓ β	␈ε	A␈↓ β6␈εβ=␈↓ βb␈ε	A␈↓ ∧∂␈εβ=␈α1,␈α
w␈α␈e␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ εd␈ε	B␈↓ π∂␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ(␈↓ πh␈ε	A␈↓ λ∩␈εβ+␈αλ2),␈↓ λm␈ε	B␈↓ 	_␈εβ=␈↓ 	D␈ε	A␈↓ 	n␈εβ+␈α	1␈α␈,␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
f␈εβ=␈α1␈α␈.
␈β
@␈↓ ↓⎇␈εε0␈↓ β≡␈εε1␈↓ βw␈εε3␈↓ εx␈εε0␈↓ π⎇␈εε2␈↓ 	␈εε1␈↓ 	Y␈εε4
␈β
]␈↓ ↓H␈εβDo␈α␈ub␈α␈le␈αcollap␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αoc␈α␈curs␈αwh␈α␈en␈↓ ¬⊃␈ε	A␈↓ ¬<␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓2␈α␈,␈↓ ε-␈ε	A␈↓ εX␈εβ=␈α	1.]
␈β
h␈↓ ¬&␈εε0␈↓ εB␈εε1
␈β∞∞␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ 
o␈ε~0
␈β∞∩␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	q␈↓ αr␈εβ=␈↓ β∨␈ε	Q␈↓ βE␈εβ(␈↓ βP␈ε	A␈↓ βr␈εβ,␈↓ ∧↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε	A␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ¬β␈ε	q␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε	Q␈↓ ε↓␈εβ(␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε,␈εβ,␈↓ ε:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εg␈εβ,␈↓ εv␈ε	B␈↓ π→␈εβ)␈α↓,␈↓ π:␈ε	p␈↓ πf␈εβ=␈↓ λ∪␈ε	Q␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	A␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	≠␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	G␈εβ,␈↓ 	V␈ε	A␈↓ 	{␈εβ)␈α↓,␈αand␈↓ 
←␈ε	p␈↓ ␈εβ=
␈β∞≥␈↓ αV␈εn␈↓ β5␈εn␈↓ βf␈εε1␈↓ ∧R␈εn␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε∨␈εε1␈↓ π	␈εn␈↓ πJ␈εn␈↓ λ)␈εn␈↓ λ9␈εε+1␈↓ λ␈␈εε0␈↓ 	k␈εn
␈β∞!␈↓ ¬∩␈εn␈↓ 
o␈εn
␈β∞6␈↓ 	k␈ε~0␈↓ 
7␈ε~0
␈β∞:␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ α∀␈εβ(␈↓ α∨␈ε	B␈↓ α?␈εβ,␈↓ αN␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αz␈εβ,␈↓ β	␈ε	B␈↓ β-␈εβ).␈αWe␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ ∧Q␈ε	X␈↓ ∧v␈εβ=␈α
(␈↓ ¬,␈ε	p␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	p␈↓ εJ␈ε	X␈↓ εx␈εβ)␈α↓/␈α␈(␈↓ π∨␈ε	q␈↓ πG␈εβ+␈↓ πm␈ε	q␈↓ λ6␈ε	X␈↓ λe␈εβ),␈↓ 	β␈ε	Y␈↓ 	%␈εβ=␈α	(␈↓ 	Z␈ε	p␈↓ 
␈εβ+␈↓ 
&␈ε	p␈↓ 
m␈ε	Y␈↓ ⊃␈εβ)/
␈β∞D␈↓ ↓↑␈εn␈↓ ↓n␈εε+1␈↓ α2␈εε0␈↓ β≤␈εn␈↓ ¬;␈εm␈↓ ε
␈εm␈↓ ε$␈ε~␈␈εε1␈↓ εa␈εm␈↓ π+␈εm␈↓ πy␈εm␈↓ λ⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ λM␈εm␈↓ ␈εn
␈β∞I␈↓ 	k␈εn␈↓ 
7␈εn␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈β∞]␈↓ ↓b␈ε~0␈↓ α3␈ε~0
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	q␈↓ ↓z␈εβ+␈↓ α$␈ε	q␈↓ αi␈ε	Y␈↓ β
␈εβ);␈α∞th␈α␈erefore␈αif␈↓ ∧↑␈ε	X␈↓ ¬→␈εβ=␈↓ ¬F␈ε	Y␈↓ ¬j␈εβ,␈α∞t␈α␈he␈α
sta␈α␈ted␈αrelation␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈↓ 	≡␈ε	X␈↓ 	G␈εβa␈α␈nd␈↓ 
	␈ε	Y␈↓ 
/␈εβh␈α␈olds␈αby
␈β∞l␈↓ α⎇␈εn␈↓ ∧u␈εm␈↓ ¬Z␈εn
␈β∞p␈↓ ↓b␈εn␈↓ α3␈εn␈↓ αC␈ε~␈␈εε1
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβ(8␈α␈).␈α
Co␈α␈n␈α␈v␈α}ersely,␈αi␈α↓f␈↓ βY␈ε	X␈↓ β}␈εβ=␈α
(␈↓ ∧5␈ε	q␈↓ ∧C␈ε	Y␈↓ ∧d␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	r␈↓ ¬≠␈εβ)/(␈↓ ¬B␈ε	s␈↓ ¬P␈ε	Y␈↓ ¬p␈εβ+␈↓ ε→␈ε	t␈↓ ε%␈εβ),␈ε↔␈αj␈↓ εN␈ε	q␈↓ ε]␈ε	t␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π→␈ε	r␈↓ π(␈ε	s␈↓ π6␈ε↔j␈εβ␈α	=␈α1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αt␈α␈hat␈↓ 
P␈ε	s␈↓ 
g␈ε↔∃␈εβ␈α0␈α␈,
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈αs␈α␈ho␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
the␈α
par␈α␈ti␈α↓a␈α␈l␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈α
of␈↓ εi␈ε	X␈↓ π∂␈εβan␈α␈d␈↓ πP␈ε	Y␈↓ πs␈εβev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α
a␈α␈gree,␈αb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction
␈β∂T␈↓ 
<␈ε~0
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈↓ ↓v␈ε	s␈↓ α∧␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αresult␈αis␈αc␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈αwhen␈↓ ¬α␈ε	s␈↓ ¬~␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αb␈α␈y␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α9(d).␈αIf␈↓ λ¬␈ε	s␈↓ λ≥␈εβ>␈α	0,␈αlet␈↓ 	≥␈ε	q␈↓ 	5␈εβ=␈↓ 	`␈ε	a␈↓ 	q␈ε	s␈↓ 
ε␈εβ+␈↓ 
/␈ε	s␈↓ 
C␈εβ,␈αwhere
␈β∂|␈↓ α~␈ε~0␈↓ ε$␈ε~0␈↓ 
¬␈ε~0
␈β∂⎇␈↓ ∧y␈εα(␈↓ πS␈εα)
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	s␈↓ α)␈εβ<␈↓ αT␈ε	s␈↓ αb␈εβ.␈αTh␈α␈en␈↓ βK␈ε	X␈↓ βp␈εβ=␈↓ ∧≠␈ε	a␈↓ ∧1␈εβ+␈αε1/␈↓ ¬¬␈εβ(␈↓ ¬⊂␈ε	s␈↓ ¬≡␈ε	Y␈↓ ¬=␈εβ+␈↓ ¬d␈ε	t␈↓ ¬p␈εβ)/␈α␈(␈↓ ε↔␈ε	s␈↓ ε+␈ε	Y␈↓ εI␈εβ+␈↓ εp␈ε	r␈↓ π¬␈ε↔␈␈↓ π,␈ε	a␈↓ π<␈ε	t␈↓ πH␈εβ)␈↓ π←␈εβ;␈αsin␈α␈ce␈↓ λC␈ε	s␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	r␈↓ λp␈ε↔␈␈↓ 	↔␈ε	a␈↓ 	(␈ε	t␈↓ 	4␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ 	k␈ε	t␈↓ 	w␈ε	s␈↓ 
∃␈εβ=␈↓ 
?␈ε	s␈↓ 
M␈ε	r␈↓ 
a␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	t␈↓ ∀␈ε	q␈↓ #␈εβ,
␈β⊂#␈↓ α⊗␈ε~0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	s␈↓ α'␈εβ<␈↓ αR␈ε	s␈↓ α←␈εβ,␈αw␈α␈e␈αkn␈α␈o␈α␈w␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αan␈α␈d␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α1␈α␈0␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αpartia␈α␈l␈αqu␈α␈otien␈α}ts␈αo␈α␈f␈↓ 
P␈ε	X␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓l␈εβev␈α␈e␈α␈n␈α␈tua␈α␈ll␈α↓y␈αag␈α␈ree.␈α≠[␈ε⊂Note:␈εβ␈α
Th␈α␈e␈αfact␈αthat␈↓ ε5␈ε	m␈↓ ε←␈εβis␈αa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αo␈α␈dd␈αi␈α↓n␈αex␈α}ercise␈α10␈αsho␈α}ws,␈α
b␈α␈y␈αa
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈α
i␈α↓n␈α␈spe␈α␈ction␈α
of␈α
this␈α
pro␈α␈of,␈α∞tha␈α␈t␈↓ ¬S␈ε	X␈↓ ε∞␈εβ=␈↓ ε=␈ε	Y␈↓ εn␈εβif␈α
and␈αonly␈α
if␈↓ λ@␈ε	X␈↓ λi␈εβ=␈α
(␈↓ 	"␈ε	q␈↓ 	1␈ε	Y␈↓ 	S␈εβ+␈↓ 	⎇␈ε	r␈↓ 
␈εβ)/␈α␈(␈↓ 
3␈ε	s␈↓ 
@␈ε	Y␈↓ 
b␈εβ+␈↓ ␈ε	t␈↓ _␈εβ),
␈β⊃↓␈↓ ¬j␈εm␈↓ εP␈εn
␈β⊃~␈↓ ∧␈εm␈↓ ∧"␈ε~␈␈↓ ∧;␈εn
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	q␈↓ α7␈ε	t␈↓ αJ␈ε↔␈␈↓ αs␈ε	r␈↓ β↓␈ε	s␈↓ β_␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧L␈εβ.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα681
␈βα"␈↓ ¬∪␈εε2␈↓ πa␈εε2
␈βα&␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ(a)␈α
S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ β∪␈ε	V␈↓ β5␈ε	V␈↓ ∧π␈εβ=␈↓ ∧2␈ε	D␈↓ ∧Q␈ε↔␈␈↓ ∧x␈ε	U␈↓ ¬∨␈εβ,␈αw␈α␈e␈α
k␈α␈no␈α}w␈α
that␈↓ π␈ε	D␈↓ π∨␈ε↔␈␈↓ πF␈ε	U␈↓ λ≥␈εβi␈α↓s␈α	a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α	of␈↓ 	␈␈ε	V␈↓ 
G␈εβ;␈αhe␈α␈nce
␈βα1␈↓ β%␈εn␈↓ βH␈εn␈↓ βX␈εε+1␈↓ 
⊃␈εn␈↓ 
"␈εε+1
␈βα5␈↓ ¬∂␈εn␈↓ π]␈εn␈↓ πn␈εε+1
␈βαN␈↓ ∧␈∧αN∧α~
␈βαP␈↓ βk␈ε↔p
␈βαT␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈απind␈α␈uction␈↓ β¬␈ε	X␈↓ β5␈εβ=␈α
(␈↓ ∧␈ε	D␈↓ ∧(␈ε↔␈␈↓ ∧L␈ε	U␈↓ ∧q␈εβ)/␈↓ ¬
␈ε	V␈↓ ¬0␈εβ,␈αλwhere␈↓ ε≡␈ε	U␈↓ εK␈εβan␈α␈d␈↓ πλ␈ε	V␈↓ π2␈εβare␈απi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers.␈α
[␈α↓N␈α␈ote␈απtha␈α␈t␈αλth␈α␈e␈αλid␈α␈en␈α␈tity
␈βα←␈↓ β≤␈εn␈↓ ∧a␈εn␈↓ ¬∨␈εn␈↓ ε3␈εn␈↓ π≠␈εn
␈βα|␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ α≥␈εβ=␈↓ αL␈ε	A␈↓ αq␈εβ(␈↓ α|␈ε	U␈↓ βQ␈ε↔␈␈↓ β{␈ε	U␈↓ ∧ ␈εβ)␈α	+␈↓ ∧←␈ε	V␈↓ ¬5␈εβm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈α∞it␈α
un␈α␈nece␈α␈ssary␈α
to␈α
d␈α␈ivide␈α
wh␈α␈en␈↓ 	e␈ε	V␈↓ 
;␈εβis␈α∞b␈α␈eing
␈ββπ␈↓ ↓Z␈εn␈↓ ↓j␈εε+␈α↓1␈↓ αa␈εn␈↓ β∩␈εn␈↓ β"␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ ∧q␈εn␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ 	x␈εn␈↓ 
λ␈εε+1
␈ββ$␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α␈.␈α↓]
␈ββE␈↓ ∧∂␈∧βE∧∂α~␈↓ εS␈∧βEεSα~
␈ββF␈↓ βn␈ε↔p␈↓ ε1␈ε↔p
␈ββK␈↓ α␈εβ(b)␈απLet␈↓ αu␈ε	Y␈↓ β↔␈εβ=␈α	(␈ε↔␈α↓␈␈↓ ∧∂␈ε	D␈↓ ∧*␈ε↔␈␈↓ ∧N␈ε	U␈↓ ∧i␈εβ)/␈↓ ¬¬␈ε	V␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬.␈ε	Y␈↓ ¬[␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈↓ εS␈ε	D␈↓ εn␈ε↔␈␈↓ π⊃␈ε	U␈↓ π7␈εβ)/␈↓ πS␈ε	V␈↓ πu␈εβ.␈α
The␈απsta␈α␈ted␈απide␈α␈n␈α␈tity␈απo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈ββV␈↓ ¬A␈εn␈↓ π'␈εn␈↓ πe␈εn
␈ββm␈↓ β}␈∧βmβ}α~␈↓ ¬∃␈∧βm¬∃α~
␈ββn␈↓ β]␈ε↔p␈↓ ∧t␈ε↔p
␈ββs␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈αb␈α␈y␈αre␈α␈placin␈α␈g␈↓ β}␈ε	D␈↓ ∧#␈εβb␈α␈y␈ε↔␈α␈␈↓ ¬∃␈ε	D␈↓ ¬9␈εβi␈α↓n␈α
the␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α(a).␈αWe␈αh␈α␈av␈α}e
␈β∧@␈↓ ∧*␈ε	Y␈↓ ∧L␈εβ=␈α
(␈↓ ¬α␈ε	p␈↓ ¬"␈εβ/␈↓ ¬2␈ε	Y␈↓ ¬]␈εβ+␈↓ εε␈ε	p␈↓ εL␈εβ)/(␈↓ εs␈ε	q␈↓ π∂␈εβ/␈↓ π ␈ε	Y␈↓ πK␈εβ+␈↓ πt␈ε	q␈↓ λ6␈εβ),
␈β∧K␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬F␈εn␈↓ ε⊗␈εn␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈␈εn␈↓ π3␈εn␈↓ λ␈εn␈↓ λ⊂␈ε~␈␈εε1
␈β¬
␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	p␈↓ αS␈εβan␈α␈d␈↓ β∀␈ε	q␈↓ β;␈εβare␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
i␈α↓n␈α
pa␈α␈rt␈α(c)␈αof␈αthis␈αex␈α}ercise;␈αhen␈α␈ce
␈β¬_␈↓ α8␈εn␈↓ β ␈εn
␈β¬Z␈↓ β\␈ε	Y␈↓ ∧	␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈↓ ∧`␈ε	q␈↓ ∧|␈εβ/␈↓ ¬
␈ε	q␈↓ ¬O␈εβ)(␈↓ ¬e␈ε	Y␈↓ εε␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εN␈εβ/␈↓ ε←␈ε	q␈↓ ε{␈εβ)/(␈↓ π"␈ε	Y␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πk␈ε	p␈↓ λ1␈εβ/␈↓ λA␈ε	q␈↓ 	∧␈εβ).
␈β¬e␈↓ βp␈εn␈↓ ∧l␈εn␈↓ ¬→␈εn␈↓ ¬)␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε>␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ π{␈εn␈↓ λ␈ε~␈␈εε1␈↓ λM␈εn␈↓ λ↑␈ε~␈␈εε1
␈βε'␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αby␈α(12␈α␈),␈↓ βπ␈ε	p␈↓ βL␈εβ/␈↓ β]␈ε	q␈↓ ∧+␈εβan␈α␈d␈↓ ∧l␈ε	p␈↓ ¬␈εβ/␈↓ ¬≥␈ε	q␈↓ ¬E␈εβare␈αextre␈α␈mely␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αto␈↓ λ∪␈ε	X␈↓ λ/␈εβ;␈αsince␈↓ 	⊗␈ε	X␈↓ 	<␈ε↔≤␈↓ 	h␈ε	Y␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
⊗␈ε	Y␈↓ 
6␈ε↔␈␈↓ 
←␈ε	p␈↓ 
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε	q
␈βε2␈↓ β⊗␈εn␈↓ β'␈ε~␈␈εε1␈↓ βi␈εn␈↓ βy␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧|␈εn␈↓ ¬)␈εn␈↓ 
o␈εn␈↓ ≤␈εn
␈βεO␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	Y␈↓ α'␈ε↔␈␈↓ αO␈ε	p␈↓ β∃␈εβ/␈↓ β&␈ε	q␈↓ βr␈εβwil␈α↓l␈αh␈α␈av␈α}e␈αt␈α␈he␈α
same␈α
sign␈α
a␈α␈s␈↓ εv␈ε	Y␈↓ π∃␈ε↔␈␈↓ π=␈ε	X␈↓ πc␈εβfor␈α
all␈αlarge␈↓ 	∃␈ε	n␈↓ 	)␈εβ.␈αThis␈α
pro␈α␈v␈α}es␈α
tha␈α␈t
␈βεY␈↓ α←␈εn␈↓ αo␈ε~␈␈εε1␈↓ β2␈εn␈↓ βB␈ε~␈␈εε1
␈βεp␈↓ λ≥␈∧εpλ≥α~
␈βεr␈↓ π|␈ε↔p
␈βεv␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓x␈εβ<␈α
0␈αfor␈α
all␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ β⎇␈ε	n␈↓ ∧⊃␈εβ;␈α∞h␈α␈ence␈α0␈α
<␈↓ ¬Q␈ε	X␈↓ ε¬␈εβ<␈↓ ε3␈ε	X␈↓ εc␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	Y␈↓ π=␈εβ=␈α
2␈↓ λ≥␈ε	D␈↓ λ6␈εβ/␈↓ λG␈ε	V␈↓ λj␈εβ;␈↓ 	↓␈ε	V␈↓ 	1␈εβm␈α}ust␈α
b␈α␈e␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e.
␈βπ↓␈↓ ↓[␈εn␈↓ ¬h␈εn␈↓ εJ␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ λY␈εn␈↓ 	∪␈εn
␈βπ_␈↓ β␈∧π_βα~␈↓ εv␈∧π_εvα~␈↓ 	i␈∧π_	iα~
␈βπ→␈↓ αk␈ε↔p␈↓ εU␈ε↔p␈↓ 	G␈ε↔p
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβAlso␈↓ α∩␈ε	U␈↓ α@␈εβ<␈↓ β␈ε	D␈↓ β%␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈↓ ∧␈ε	X␈↓ ∧<␈εβ>␈α	0.␈αHenc␈α␈e␈↓ ¬m␈ε	V␈↓ ε→␈εβ<␈α
2␈↓ εv␈ε	D␈↓ π∂␈εβ,␈αsince␈↓ πu␈ε	V␈↓ λ!␈ε↔∀␈↓ λK␈ε	A␈↓ λq␈ε	V␈↓ 	≥␈εβ<␈↓ 	i␈ε	D␈↓ 
	␈εβ+␈↓ 
2␈ε	U␈↓ 
⎇␈εβ.
␈βπ)␈↓ α'␈εn␈↓ ∧"␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ λπ␈εn␈↓ λa␈εn␈↓ 	β␈εn␈↓ 
G␈εn␈↓ 
W␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπ@␈↓ 
∪␈∧π@
∪α~
␈βπA␈↓ 	q␈ε↔p
␈βπF␈↓ α␈εβFinally,␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α}t␈α
to␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ ¬H␈ε	U␈↓ ¬v␈εβ>␈α
0.␈αS␈α␈ince␈↓ π≠␈ε	X␈↓ πL␈εβ<␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ 	_␈ε	U␈↓ 	G␈εβ>␈↓ 
∪␈ε	D␈↓ 
2␈ε↔␈␈↓ 
Y␈ε	V␈↓ 
{␈εβ,␈αso
␈βπP␈↓ ¬]␈εn␈↓ π3␈εn␈↓ 	-␈εn␈↓ 
k␈εn
␈βπg␈↓ ε⊃␈∧πgε⊃α~
␈βπh␈↓ ¬p␈ε↔p
␈βπm␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αneed␈αon␈α␈ly␈αco␈α␈nsid␈α␈er␈αth␈α␈e␈αcase␈↓ ¬⊗␈ε	V␈↓ ¬D␈εβ>␈↓ ε⊃␈ε	D␈↓ ε*␈εβ;␈αthen␈↓ π␈ε	U␈↓ π<␈εβ=␈↓ πh␈ε	A␈↓ λ∞␈ε	V␈↓ λ8␈ε↔␈␈↓ λ`␈ε	U␈↓ 	6␈ε↔∃␈↓ 	b␈ε	V␈↓ 
␈ε↔␈␈↓ 
5␈ε	U␈↓ ␈εβ>
␈βπx␈↓ ¬)␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ π⎇␈εn␈↓ λ ␈εn␈↓ λv␈εn␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε1␈↓ 	u␈εn␈↓ 
J␈εn␈↓ 
[␈ε~␈␈εε1
␈βλ∂␈↓ ↓i␈∧λ∂↓iα~
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βλ∃␈↓ ↓i␈ε	D␈↓ α	␈ε↔␈␈↓ α2␈ε	U␈↓ α⎇␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αt␈α␈his␈αi␈α↓s␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αalrea␈α␈dy␈α
obs␈α␈erv␈α␈ed␈α␈.
␈βλ∨␈↓ αG␈εn␈↓ αX␈ε~␈␈εε1
␈βλ6␈↓ ε1␈∧λ6ε1α~␈↓ λ`␈∧λ6λ`α~
␈βλ8␈↓ ε∂␈ε↔p␈↓ λ>␈ε↔p
␈βλ<␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α	I␈α↓n␈αεth␈α␈e␈αεrepe␈α␈ating␈αεcy␈α}cle␈απw␈α␈e␈αεha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε1␈ε	D␈↓ εK␈εβ+␈↓ εn␈ε	U␈↓ π≤␈εβ=␈↓ πG␈ε	A␈↓ πm␈ε	V␈↓ λ⊃␈εβ+␈α↓(␈↓ λ`␈ε	D␈↓ λz␈ε↔␈␈↓ 	≥␈ε	U␈↓ 	h␈εβ)␈α	>␈↓ 
'␈ε	V␈↓ 
J␈εβ;␈αλhe␈α␈nce
␈βλG␈↓ πβ␈εn␈↓ π\␈εn␈↓ π␈␈εn␈↓ 	2␈εn␈↓ 	B␈ε~␈␈εε1␈↓ 
9␈εn
␈βλ↑␈↓ α↓␈∧λ↑α↓α~␈↓ ε␈∧λ↑εα~␈↓ λs␈∧λ↑λsα~
␈βλ←␈↓ ↓`␈ε↔p␈↓ ¬j␈ε↔p␈↓ λR␈ε↔p
␈βλd␈↓ ↓H␈ε↔b␈εβ(␈↓ α↓␈ε	D␈↓ α≤␈εβ+␈↓ α>␈ε	U␈↓ β
␈εβ)/␈↓ β&␈ε	V␈↓ βn␈ε↔c␈εβ␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ ∧<␈ε	A␈↓ ¬	␈εβ+␈↓ ¬,␈ε	V␈↓ ¬N␈εβ/(␈↓ ε␈ε	D␈↓ ε&␈εβ+␈↓ εI␈ε	U␈↓ εo␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ π:␈ε	A␈↓ λ∂␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ(␈↓ λs␈ε	D␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	0␈ε	U␈↓ 	V␈εβ)/␈↓ 	r␈ε	V␈↓ 
:␈ε↔c␈εβ.␈α
Th␈α␈u␈α␈s,
␈βλo␈↓ αT␈εn␈↓ αd␈εε+1␈↓ β8␈εn␈↓ βH␈εε+␈α↓1␈↓ ∧Q␈εn␈↓ ∧a␈εε+␈α↓1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ε↑␈εn␈↓ πP␈εn␈↓ π`␈εε+1␈↓ 	F␈εn␈↓ 
∧␈εn␈↓ 
∀␈εε+␈α↓1
␈β	␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α≤␈εβi␈α↓s␈α	d␈α␈etermin␈α␈ed␈α	b␈α␈y␈↓ ∧⊗␈ε	U␈↓ ∧k␈εβan␈α␈d␈↓ ¬*␈ε	V␈↓ ¬s␈εβ;␈α
w␈α␈e␈α	ca␈α␈n␈α	dete␈α␈rmine␈α	(␈↓ λ∃␈ε	U␈↓ λ;␈εβ,␈↓ λI␈ε	V␈↓ λl␈εβ)␈α
fro␈α␈m␈α	(␈↓ 	Y␈ε	U␈↓ 
%␈εβ,␈↓ 
4␈ε	V␈↓ 
|␈εβ)␈α
in
␈β	⊗␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε+1␈↓ ∧,␈εn␈↓ ∧<␈εε+1␈↓ ¬<␈εn␈↓ ¬M␈εε+1␈↓ λ*␈εn␈↓ λ\␈εn␈↓ 	o␈εn␈↓ 	␈␈εε+1␈↓ 
F␈εn␈↓ 
V␈εε+␈α↓1
␈β	-␈↓ ¬l␈∧	-¬lα~␈↓ λY␈∧	-λYα~
␈β	.␈↓ ¬K␈ε↔p␈↓ λ7␈ε↔p
␈β	3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d.␈α
In␈αλfact,␈α	wh␈α␈en␈αλ0␈α	<␈↓ ∧t␈ε	V␈↓ ¬ ␈εβ<␈↓ ¬l␈ε	D␈↓ ε	␈εβ+␈↓ ε.␈ε	U␈↓ ε\␈εβa␈α␈nd␈απ0␈α	<␈↓ π↑␈ε	U␈↓ λ
␈εβ<␈↓ λY␈ε	D␈↓ λr␈εβ,␈α	th␈α␈e␈αλarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈ts␈αλab␈α␈o␈α␈v␈α␈e
␈β	>␈↓ ¬π␈εn␈↓ εC␈εn␈↓ πs␈εn
␈β	U␈↓ ∧c␈∧	U∧cα~␈↓ λB␈∧	UλBα~
␈β	V␈↓ ∧A␈ε↔p␈↓ λ ␈ε↔p
␈β	[␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α∞th␈α␈at␈α∞0␈α
<␈↓ β=␈ε	V␈↓ ∧∪␈εβ<␈↓ ∧c␈ε	D␈↓ ¬¬␈εβ+␈↓ ¬/␈ε	U␈↓ ελ␈εβand␈α
0␈α
<␈↓ π→␈ε	U␈↓ πr␈εβ<␈↓ λB␈ε	D␈↓ λ`␈εβ;␈α∂moreo␈α}v␈α␈er,␈α∞if␈α∞the␈α
pa␈α␈ir
␈β	e␈↓ βO␈εn␈↓ β←␈εε+␈α↓1␈↓ ¬E␈εn␈↓ ¬U␈εε+1␈↓ π.␈εn␈↓ π>␈εε+1
␈β	|␈↓ ε↑␈∧	|ε↑α~␈↓ 	?␈∧	|	?α~
␈β	}␈↓ ∧→␈ε~0␈↓ ∧F␈ε~0␈↓ εβ␈ε~0␈↓ ε=␈ε↔p␈↓ π9␈ε~0␈↓ λd␈ε~0␈↓ 	≡␈ε↔p␈↓ 
M␈ε~0
␈β
α␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	U␈↓ α≡␈εβ,␈↓ α-␈ε	V␈↓ αv␈εβ)␈απfollo␈α␈ws␈αλ(␈↓ β}␈ε	U␈↓ ∧∨␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	V␈↓ ∧L␈εβ)␈αλwith␈απ0␈α	<␈↓ ¬k␈ε	V␈↓ ε∪␈εβ<␈↓ ε↑␈ε	D␈↓ εz␈εβ+␈↓ π≡␈ε	U␈↓ πG␈εβa␈α␈nd␈απ0␈α	<␈↓ λH␈ε	U␈↓ λs␈εβ<␈↓ 	?␈ε	D␈↓ 	X␈εβ,␈αλthen␈↓ 
2␈ε	U␈↓ 
\␈εβ=␈↓ π␈ε	U
␈β

␈↓ ↓h␈εn␈↓ ↓x␈εε+␈α↓1␈↓ α?␈εn␈↓ αP␈εε+1␈↓ ≤␈εn
␈β
$␈↓ 
α␈∧
$
αα~
␈β
%␈↓ 	a␈ε↔p
␈β
&␈↓ α∨␈ε~0
␈β
*␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	V␈↓ α.␈εβ=␈↓ αY␈ε	V␈↓ α|␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈α	(␈↓ β{␈ε	U␈↓ ∧!␈εβ,␈↓ ∧0␈ε	V␈↓ ∧S␈εβ)␈ε⊂␈α
is␈α
p␈α␈art␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
cy␈α}cle␈α
if␈α
an␈α␈d␈α	only␈α	if␈↓ λF␈εβ0␈αλ<␈↓ 	
␈ε	V␈↓ 	6␈εβ<␈↓ 
α␈ε	D␈↓ 
!␈εβ+␈↓ 
G␈ε	U␈↓ 
w␈ε⊂a␈α␈nd
␈β
5␈↓ αk␈εn␈↓ ∧⊃␈εn␈↓ ∧B␈εn␈↓ 	≤␈εn␈↓ 
]␈εn
␈β
L␈↓ βπ␈∧
Lβπα~
␈β
M␈↓ αe␈ε↔p
␈β
R␈↓ ↓H␈εβ0␈α	<␈↓ α␈ε	U␈↓ α;␈εβ<␈↓ βπ␈ε	D␈↓ β ␈ε⊂.
␈β
\␈↓ α!␈εn
␈βλ␈↓ βP␈ε↔␈␈↓ βq␈ε	V␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εK␈ε	q␈↓ εg␈ε	X␈↓ π
␈ε↔␈␈↓ π3␈ε	p␈↓ πS␈εβ)(␈↓ πi␈ε	q␈↓ λ¬␈ε	Y␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λN␈ε	p␈↓ λn␈εβ)
␈β∪␈↓ ∧∧␈εn␈↓ ∧∀␈εε+1␈↓ εW␈εn␈↓ πB␈εn␈↓ πu␈εn␈↓ λ↑␈εn
␈β∨␈↓ α␈εβ(c)␈↓ ∧G␈εβ=␈↓ ∧q␈ε	X␈↓ ¬→␈ε	Y␈↓ ¬F␈εβ=␈↓ 	H␈εβ.
␈β)␈↓ ¬λ␈εn␈↓ ¬,␈εn
␈β-␈↓ βP␈∧-βPαj␈↓ ¬t␈∧-¬tαβQ
␈β6␈↓ βs␈ε	V␈↓ ¬t␈εβ(␈↓ ¬␈␈ε	q␈↓ εA␈ε	X␈↓ εd␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	p␈↓ πS␈εβ)(␈↓ πi␈ε	q␈↓ λ+␈ε	Y␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ λt␈ε	p␈↓ 	:␈εβ)
␈βA␈↓ ∧ε␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ ε≠␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π≤␈εn␈↓ π-␈ε~␈␈εε1␈↓ πu␈εn␈↓ λ¬␈ε~␈␈εε1␈↓ 	β␈εn␈↓ 	∀␈ε~␈␈εε1
␈βm␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈ere␈αis␈αalso␈αa␈α
comp␈α␈an␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αide␈α␈n␈α␈tity,␈αn␈α␈amely
␈β4␈↓ ε}␈εε2␈↓ 	m␈εn
␈β7␈↓ εK␈εα(␈↓ λπ␈εα)
␈β:␈↓ αH␈ε	V␈↓ α←␈ε	p␈↓ β␈ε	p␈↓ βM␈εβ+␈↓ βu␈ε	U␈↓ ∧⊃␈εβ(␈↓ ∧≤␈ε	p␈↓ ∧<␈ε	q␈↓ ¬¬␈εβ+␈↓ ¬.␈ε	p␈↓ ¬t␈ε	q␈↓ ε⊂␈εβ)␈αλ+␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε	U␈↓ π∩␈ε↔␈␈↓ π:␈ε	D␈↓ πS␈εβ)/␈↓ πo␈ε	V␈↓ λ∪␈ε	q␈↓ λ/␈ε	q␈↓ λ{␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 	b␈εβ)␈↓ 	}␈ε	U␈↓ 
#␈εβ.
␈βE␈↓ αo␈εn␈↓ β∂␈εn␈↓ β ␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧+␈εn␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧X␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εn␈↓ λ∨␈εn␈↓ λ;␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε1␈↓ 
∪␈εn
␈β
π␈↓ α␈εβ(d)␈α
If␈↓ α`␈ε	X␈↓ β⊃␈εβ=␈↓ β;␈ε	X␈↓ βt␈εβf␈α↓o␈α␈r␈αso␈α␈me␈↓ ∧z␈ε	n␈↓ ¬_␈ε↔≤␈↓ ¬B␈ε	m␈↓ ¬`␈εβ,␈αt␈α␈hen␈↓ ε?␈ε	X␈↓ εe␈εβis␈αa␈α␈n␈αirra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αth␈α␈at␈αsa␈α␈tis|es␈α
the
␈β
∩␈↓ αw␈εn␈↓ βR␈εm
␈β
/␈↓ ↓H␈εβq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈αe␈α␈qua␈α␈tion␈α(␈↓ βn␈ε	q␈↓ ∧
␈ε	X␈↓ ∧-␈ε↔␈␈↓ ∧V␈ε	p␈↓ ∧v␈εβ)/␈α␈(␈↓ ¬≥␈ε	q␈↓ ¬←␈ε	X␈↓ εα␈ε↔␈␈↓ ε*␈ε	p␈↓ εp␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ π:␈ε	q␈↓ π]␈ε	X␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ)␈ε	p␈↓ λP␈εβ)/(␈↓ λw␈ε	q␈↓ 	@␈ε	X␈↓ 	c␈ε↔␈␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
X␈εβ)␈α↓.
␈β
9␈↓ βz␈εn␈↓ ∧e␈εn␈↓ ¬)␈εn␈↓ ¬9␈ε~␈␈εε1␈↓ ε:␈εn␈↓ εJ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ πF␈εm␈↓ λ9␈εm␈↓ 	β␈εm␈↓ 	~␈ε~␈␈εε1␈↓ 
≠␈εm␈↓ 
3␈ε~␈␈εε1
␈β
a␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβAs␈α⊃in␈α⊂ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α⊂9,␈α∩w␈α␈e␈α⊃ne␈α␈ed␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂v␈α␈erify␈α⊂the␈α⊂stated␈α⊂iden␈α}tities␈α⊃whe␈α␈n␈↓ 	u␈ε	c␈↓ 
∪␈εβis␈α⊃th␈α␈e␈α⊃las␈α␈t
␈β∞	␈↓ ↓H␈εβp␈α␈artial␈α⊃quo␈α␈tien␈α␈t,␈α∪an␈α␈d␈α⊃this␈α∩v␈α}eri|c␈α␈ation␈α⊃is␈α∩triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓.␈α≡No␈α␈w␈α∩Hu␈α␈rwitz's␈α∩ru␈α␈l␈α↓e␈α⊃giv␈α␈e␈α␈s␈α∩2␈α␈/␈↓ 
j␈ε	e␈↓ ␈εβ=
␈β∞0␈↓ ↓H␈ε↔?␈εβ␈α␈1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈,␈αε0,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈αε0␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε3,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε2␈α␈,␈αε5,␈↓ π,␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πX␈ε↔?␈εβ.␈α
Tak␈α␈ing␈απthe␈απrecip␈α␈roca␈α␈l␈α↓,␈αλcollap␈α␈s-
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβin␈α␈g␈αo␈α␈ut␈α
the␈α
zeros␈α
as␈αin␈α
ex␈α}ercise␈α9␈α␈,␈αan␈α␈d␈αt␈α␈akin␈α␈g␈αn␈α␈ote␈α
of␈αth␈α␈e␈αp␈α␈atte␈α␈rn␈αth␈α␈at␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd
␈β∞{␈↓ ¬T␈∧∞{¬Tααj
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αex␈α}ercise␈α16␈α␈)␈αtha␈α␈t␈↓ β{␈ε	e␈↓ ∧λ␈εβ/2␈α	=␈α	1␈απ+␈ε↔␈αλ?␈εβ␈α¬2,␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ¬d␈ε	m␈↓ ε	␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αε3,␈αε1␈α␈,␈αε2␈↓ π!␈ε	m␈↓ πE␈εβ+␈αλ1,␈αε1␈α␈,␈αε3␈↓ λ>␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈↓ λc␈ε	m␈↓ 		␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.␈α~[␈ε⊂S␈α␈chriften␈α
de␈α␈r
␈β∂'␈↓ ↓H␈ε⊂p␈α␈h␈α␈y␈α␈s.-␈↓ α ␈ε⊂∪␈↓ α ␈ε⊂o␈↓ α0␈ε⊂k␈α␈o␈α␈n.␈αGesellsch␈α␈aft␈αzu␈αK␈↓ ∧y␈ε⊂∪␈↓ ∧y␈ε⊂o␈↓ ¬	␈ε⊂nigsb␈α␈erg␈ε∪␈α3␈α␈2␈εβ␈α(18␈α␈91),␈α59␈α␈↑62␈α␈.␈α↓]
␈β∂V␈↓ α␈εα(
␈β∂Y␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α_␈εβThis␈α∞p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α∞ma␈α␈i␈α↓n␈α}tains␈α
f␈α↓o␈α␈ur␈α∞in␈α}tegers␈α
(␈↓ εp␈ε	A␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π∃␈ε	B␈↓ π,␈εβ,␈↓ π;␈ε	C␈↓ πU␈εβ,␈↓ πd␈ε	D␈↓ π⎇␈εβ)␈α∞wi␈α↓th␈α
th␈α␈e␈α∞in␈α␈v␈α␈arian␈α}t␈α∞mean␈α␈ing
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
\␈α␈ou␈α␈r␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αjob␈αi␈α↓s␈α
to␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fra␈α␈ction␈αfor␈α
(␈↓ 	π␈ε	A␈↓ 	≥␈ε	y␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	b␈ε	B␈↓ 	x␈εβ)/(␈↓ 
∨␈ε	C␈↓ 
:␈ε	y␈↓ 
U␈εβ+␈↓ 
␈␈ε	D␈↓ _␈εβ),
␈β⊂%␈↓ ¬G␈εα)
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α)␈ε	y␈↓ αH␈εβis␈αthe␈αinp␈α␈ut␈αy␈α␈e␈α␈t␈α
to␈αc␈α␈ome."␈↓ ¬←␈εβIn␈α␈i␈α↓tially␈αset␈↓ π∪␈ε	j␈↓ π-␈ε↔ ␈↓ πZ␈ε	k␈↓ πu␈ε↔ ␈εβ␈α0,␈α
(␈↓ λT␈ε	A␈↓ λj␈εβ,␈↓ λy␈ε	B␈↓ 	∂␈εβ,␈↓ 	≡␈ε	C␈↓ 	9␈εβ,␈↓ 	G␈ε	D␈↓ 	`␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ 
/␈ε	a␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
N␈ε	b␈↓ 
[␈εβ,␈↓ 
j␈ε	c␈↓ 
w␈εβ,␈↓ ε␈ε	d␈↓ _␈εβ);
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α∂in␈α␈pu␈α␈t␈↓ αt␈ε	x␈↓ β∨␈εβan␈α␈d␈α∂se␈α␈t␈α⊂(␈↓ ∧'␈ε	A␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧L␈ε	B␈↓ ∧b␈εβ,␈↓ ∧q␈ε	C␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬~␈ε	D␈↓ ¬3␈εβ)␈ε↔␈α⊃ ␈εβ␈α⊂(␈↓ ε␈ε	A␈↓ ε!␈ε	x␈↓ εG␈εβ+␈↓ εr␈ε	B␈↓ πλ␈εβ,␈↓ π↔␈ε	A␈↓ π-␈εβ,␈↓ π<␈ε	C␈↓ πW␈ε	x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ(␈ε	D␈↓ λA␈εβ,␈↓ λP␈ε	C␈↓ λk␈εβ),␈↓ 	∂␈ε	j␈↓ 	.␈ε↔ ␈↓ 	←␈ε	j␈↓ 	x␈εβ+␈α1␈α␈,␈α⊃o␈α␈ne␈α∂o␈α␈r
␈β⊂Z␈↓ β∧␈εj␈↓ ε0␈εj␈↓ πf␈εj
␈β⊂t␈↓ π≡␈εα(
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αt␈α␈i␈α↓m␈α␈es␈αu␈α␈n␈α␈til␈↓ βD␈ε	C␈↓ βg␈εβ+␈↓ ∧⊂␈ε	D␈↓ ∧5␈εβh␈α␈as␈αt␈α␈he␈αsame␈αsi␈α↓g␈α␈n␈αas␈↓ εm␈ε	C␈↓ πλ␈εβ.␈↓ π*␈εβWhe␈α␈n␈↓ λ␈ε	j␈↓ λ$␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈αa␈α␈nd␈αthe␈αinp␈α␈ut␈αh␈α␈as␈αno␈α␈t
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rmina␈α␈ted,␈αλw␈α␈e␈απkn␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈at␈απ1␈α	<␈↓ ¬α␈ε	y␈↓ ¬≡␈εβ<␈ε↔␈α
1␈εβ;␈α	an␈α␈d␈απwhe␈α␈n␈↓ π␈ε	C␈↓ π*␈εβ+␈↓ πM␈ε	D␈↓ πn␈εβh␈α␈as␈απthe␈απsa␈α␈me␈απsi␈α↓g␈α␈n␈απas␈↓ 
⊂␈ε	C␈↓ 
2␈εβw␈α␈e␈αλk␈α␈no␈α}w
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα682␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα&␈↓ 	u␈εα)
␈βα)␈↓ ↓H␈εβth␈α␈erefo␈α␈re␈α	tha␈α␈t␈α
(␈↓ β$␈ε	A␈↓ β:␈ε	y␈↓ βQ␈εβ+␈↓ βw␈ε	B␈↓ ∧∞␈εβ)/␈α␈(␈↓ ∧4␈ε	C␈↓ ∧O␈ε	y␈↓ ∧g␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	D␈↓ ¬&␈εβ)␈α	lies␈α	bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α	(␈↓ εz␈ε	A␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π;␈ε	B␈↓ πR␈εβ)/␈α␈(␈↓ πy␈ε	C␈↓ λ_␈εβ+␈↓ λ>␈ε	D␈↓ λW␈εβ)␈α
a␈α␈nd␈↓ 	*␈ε	A␈↓ 	A␈εβ/␈↓ 	Q␈ε	C␈↓ 	l␈εβ.␈↓ 
␈εβNo␈α}w␈α	come␈α␈s
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αge␈α␈nera␈α␈l␈αstep:␈αIf␈αno␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αl␈α↓ies␈αs␈α␈tri␈α↓c␈α␈tl␈α↓y␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α(␈↓ π7␈ε	A␈↓ πT␈εβ+␈↓ π⎇␈ε	B␈↓ λ∪␈εβ)/(␈↓ λ:␈ε	C␈↓ λ\␈εβ+␈↓ 	¬␈ε	D␈↓ 	≡␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 	t␈ε	A␈↓ 
␈εβ/␈↓ 
≠␈ε	C␈↓ 
6␈εβ,␈αout␈α␈pu␈α␈t
␈βαx␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓v␈ε↔ ␈αb␈↓ α/␈ε	A␈↓ αE␈εβ/␈↓ αU␈ε	C␈↓ αp␈ε↔c␈εβ,␈αan␈α␈d␈αs␈α␈et␈α(␈↓ ∧∪␈ε	A␈↓ ∧)␈εβ,␈↓ ∧8␈ε	B␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧]␈ε	C␈↓ ∧x␈εβ,␈↓ ¬π␈ε	D␈↓ ¬ ␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α
(␈↓ ¬l␈ε	C␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∃␈ε	D␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	A␈↓ ε[␈ε↔␈␈↓ π∧␈ε	X␈↓ π(␈ε	C␈↓ πC␈εβ,␈↓ πR␈ε	B␈↓ πp␈ε↔␈␈↓ λ→␈ε	X␈↓ λ=␈ε	D␈↓ λW␈εβ),␈↓ λw␈ε	k␈↓ 	⊃␈ε↔ ␈↓ 	=␈ε	k␈↓ 	U␈εβ+␈αλ1␈α␈;␈α
o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈βββ␈↓ ↓←␈εk␈↓ π≠␈εk␈↓ λ0␈εk
␈ββ ␈↓ ↓H␈εβin␈α␈pu␈α␈t␈↓ α!␈ε	x␈↓ αG␈εβan␈α␈d␈αset␈α(␈↓ βG␈ε	A␈↓ β]␈εβ,␈↓ βl␈ε	B␈↓ ∧α␈εβ,␈↓ ∧⊃␈ε	C␈↓ ∧,␈εβ,␈↓ ∧;␈ε	D␈↓ ∧T␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(␈↓ ¬≡␈ε	A␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ ε%␈ε	A␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εJ␈ε	C␈↓ εe␈ε	x␈↓ πλ␈εβ+␈↓ π0␈ε	D␈↓ πI␈εβ,␈↓ πX␈ε	C␈↓ πs␈εβ),␈↓ λ∪␈ε	j␈↓ λ+␈ε↔ ␈↓ λV␈ε	j␈↓ λl␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αThe␈α
gen␈α␈eral␈αstep
␈ββ+␈↓ α0␈εj␈↓ ¬D␈εj␈↓ εt␈εj
␈ββH␈↓ ↓H␈εβis␈α
re␈α␈pea␈α␈ted␈αad␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈itum.␈α⊂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞if␈α
at␈αan␈α␈y␈αtime␈αthe␈ε⊂␈α|n␈α␈al␈↓ λ5␈ε	x␈↓ λ↑␈εβis␈α
in␈α␈pu␈α␈t,␈α∞th␈α␈e␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈ββR␈↓ λE␈εj
␈ββo␈↓ ↓H␈εβimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α	s␈α␈w␈α↓itch␈α␈es␈α	gea␈α␈rs:␈αIt␈α	ou␈α␈tpu␈α␈ts␈α
t␈α␈he␈α	con␈α}tin␈α␈ue␈α␈d␈α	fraction␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α
(␈↓ 	β␈ε	A␈↓ 	→␈ε	x␈↓ 	:␈εβ+␈↓ 	`␈ε	B␈↓ 	v␈εβ)/(␈↓ 
≥␈ε	C␈↓ 
8␈ε	x␈↓ 
Y␈εβ+␈↓ 
␈␈ε	D␈↓ _␈εβ),
␈ββz␈↓ 	(␈εj␈↓ 
G␈εj
␈β∧↔␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m,␈αan␈α␈d␈αtermin␈α␈ates.
␈β∧?␈↓ α␈εβThe␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈wing␈α∞t␈α␈ablea␈α␈u␈α∞sho␈α}ws␈α∂th␈α␈e␈α∞w␈α␈ork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞for␈α∞the␈α∞req␈α␈uest␈α␈ed␈α∞ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α⊂wh␈α␈ere␈α∞the
␈β∧E␈↓ α4␈ε↓␈␈↓ α␈␈ε↓↓
␈β∧←␈↓ αG␈εB␈↓ αh␈εA
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ β_␈εβb␈α␈egins␈α
at␈α
th␈α␈e␈αu␈α␈pp␈α␈er␈α
l␈α↓eft␈α
co␈α␈rner,␈αt␈α␈hen␈α
sh␈α␈if␈α↓t␈α␈s␈αrigh␈α}t␈αo␈α␈ne␈α
on␈α
in␈α␈pu␈α␈t,␈αdo␈α}w␈α↓n␈α	one
␈β∧w␈↓ αF␈εD␈↓ αg␈εC
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αou␈α␈tp␈α␈ut:
␈β¬Y␈↓ αB␈∧¬YαBαλK
␈β¬[␈↓ αA␈∧¬[αAα␈↓ ␈∧¬[α
␈β¬e␈↓ αA␈∧¬eαA(α␈↓ ␈∧¬e(α
␈β¬l␈↓ βα␈ε	x␈↓ βW␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧e␈εβ5␈↓ ¬Q␈εβ1␈↓ ε=␈εβ1␈↓ π)␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ 	↓␈εβ1␈↓ 	m␈εβ2␈↓ 
H␈ε↔1
␈β¬w␈↓ β⊃␈εj
␈βε
␈↓ αA␈∧ε
αAα␈↓ ␈∧ε
α
␈βε↔␈↓ ↓h␈∧ε↔↓hα	%
␈βε→␈↓ ↓h␈∧ε→↓hα␈↓ αA␈∧ε→αAα␈↓ ␈∧ε→α
␈βε$␈↓ ↓h␈∧ε$↓h(α␈↓ αA␈∧ε$αA(α␈↓ ␈∧ε$(α
␈βε+␈↓ α␈ε	X␈↓ α|␈εβ39␈↓ βh␈εβ97␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ58␈↓ ¬∞␈ε↔␈␈εβ193
␈βε6␈↓ α#␈εk
␈βεL␈↓ ↓h␈∧εL↓h(α␈↓ αA␈∧εLαA(α␈↓ ␈∧εL(α
␈βεS␈↓ ↓}␈ε↔␈␈εβ2␈↓ α[␈ε↔␈␈εβ25␈↓ βG␈ε↔␈␈εβ62␈↓ ∧T␈εβ37␈↓ ¬/␈εβ123
␈βεs␈↓ ↓h␈∧εs↓h(α␈↓ αA␈∧εsαA(α␈↓ ␈∧εs(α
␈βεz␈↓ α∨␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ16␈↓ ¬@␈εβ53
␈βπ≠␈↓ ↓h␈∧π≠↓h(α␈↓ αA␈∧π≠αA(α␈↓ ␈∧π≠(α
␈βπ"␈↓ α∨␈εβ3␈↓ ∧e␈εβ5␈↓ ¬@␈εβ17␈↓ ε,␈εβ22␈↓ π_␈εβ39
␈βπB␈↓ ↓h␈∧πB↓h(α␈↓ αA␈∧πBαA(α␈↓ ␈∧πB(α
␈βπI␈↓ α∨␈εβ7␈↓ ∧e␈εβ1␈↓ ¬Q␈εβ2␈↓ ε=␈εβ3␈↓ π)␈εβ5␈↓ λ∃␈εβ8
␈βπj␈↓ ↓h␈∧πj↓h(α␈↓ αA␈∧πjαA(α␈↓ ␈∧πj(α
␈βπq␈↓ α∨␈εβ1␈↓ ε=␈εβ1␈↓ π)␈εβ4␈↓ λ∃␈εβ5␈↓ λp␈εβ14
␈βλ∩␈↓ ↓h␈∧λ∩↓h(α␈↓ αA␈∧λ∩αA(α␈↓ ␈∧λ∩(α
␈βλ→␈↓ α∨␈εβ1␈↓ π)␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ3␈↓ 	↓␈εβ7
␈βλ9␈↓ ↓h␈∧λ9↓h(α␈↓ αA␈∧λ9αA(α␈↓ ␈∧λ9(α
␈βλ@␈↓ α∨␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ 	↓␈εβ7␈↓ 	m␈εβ9␈↓ 
H␈εβ25
␈βλa␈↓ ↓h␈∧λa↓h(α␈↓ αA␈∧λaαA(α␈↓ ␈∧λa(α
␈βλh␈↓ α∂␈εβ1␈α␈3␈↓ λ∃␈εβ1␈↓ 	↓␈εβ0␈↓ 	m␈εβ1␈↓ 
Y␈εβ2
␈β	λ␈↓ ↓h␈∧	λ↓h(α␈↓ αA␈∧	λαA(α␈↓ ␈∧	λ(α
␈β	∂␈↓ α∨␈εβ2␈↓ 
Y␈εβ1
␈β	0␈↓ ↓h␈∧	0↓h(α␈↓ αA␈∧	0αA(α␈↓ ␈∧	0(α
␈β	7␈↓ α∂␈ε↔1␈↓ 
Y␈εβ0
␈β	X␈↓ ↓h␈∧	X↓hα␈↓ αA␈∧	XαAα␈↓ ␈∧	Xα
␈β	b␈↓ ↓h␈∧	b↓hα	%
␈β
≡␈↓ ↓H␈εβM␈α␈.␈αMe␈α␈nd␈↓ αJ␈εβ␈
␈↓ αK␈εβe␈↓ αZ␈εβs␈αFra␈α␈nce␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αth␈α␈at␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αqu␈α␈otien␈α}ts␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αper␈αqu␈α␈otien␈α}t␈αin␈α␈pu␈α␈t
␈β
F␈↓ ↓H␈εβis␈α
asy␈α␈mpt␈α␈otically␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α	bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
1/␈↓ ¬p␈ε	r␈↓ ε	␈εβa␈α␈nd␈↓ εI␈ε	r␈↓ εW␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πJ␈ε	r␈↓ πb␈εβ=␈α
2␈ε↔␈α␈b␈↓ λ*␈ε	K␈↓ λF␈εβ(␈ε↔j␈↓ λZ␈ε	a␈↓ λk␈ε	d␈↓ 	β␈ε↔␈␈↓ 	+␈ε	b␈↓ 	8␈ε	c␈↓ 	E␈ε↔j␈εβ␈α↓)/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈αε+␈απ1␈α
an␈α␈d␈↓ ⊃␈ε	K
␈β
m␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈αin␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α38;␈αth␈α␈i␈α↓s␈αbo␈α␈un␈α␈d␈αis␈αb␈α␈est␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈.␈α≠[␈ε⊂T␈α↓o␈α␈pics␈αi␈α↓n␈αNu␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β∃␈↓ ↓H␈ε⊂Th␈α␈eory␈εβ␈α␈,␈αed.␈αby␈α
P␈α↓.␈αTu␈α␈r␈↓ ∧␈εβ∞␈↓ ∧␈εβa␈↓ ∧≤␈εβn,␈ε⊂␈αCo␈α␈l␈α↓loq␈α␈uia␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈αJ␈↓ π∩␈ε⊂∞␈↓ π∩␈ε⊂a␈↓ π"␈ε⊂nos␈αBo␈α␈l␈α↓y␈α␈ai␈ε∪␈α13␈εβ␈α(1␈α␈976␈α␈),␈α1␈α␈83↑␈α␈194␈α␈.␈α↓]
␈β=␈↓ α␈εβThe␈α∞abo␈α}v␈α␈e␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α∞can␈α∞be␈α∂g␈α␈en␈α␈eralized␈α∞to␈α∂com␈α␈pu␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∂con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α∂frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂fo␈α␈r
␈βe␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈ε	y␈↓ α∂␈εβ+␈↓ α9␈ε	b␈↓ αF␈ε	x␈↓ α`␈εβ+␈↓ β	␈ε	c␈↓ β⊗␈ε	y␈↓ β1␈εβ+␈↓ βZ␈ε	d␈↓ βm␈εβ)/␈α␈(␈↓ ∧∪␈ε	A␈↓ ∧*␈ε	x␈↓ ∧;␈ε	y␈↓ ∧V␈εβ+␈↓ ∧␈␈ε	B␈↓ ¬∃␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬Y␈ε	C␈↓ ¬s␈ε	y␈↓ ε∞␈εβ+␈↓ ε8␈ε	D␈↓ εQ␈εβ)␈αfrom␈αth␈α␈ose␈αof␈↓ λ9␈ε	x␈↓ λW␈εβa␈α␈nd␈↓ 	→␈ε	y␈↓ 	7␈εβ(i␈α↓n␈αp␈α␈articu␈α␈lar,␈α
to
␈β
␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈αsu␈α␈ms␈αan␈α␈d␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈α␈)␈α↓;␈αsee␈αR.␈αW.␈αG␈α␈ospe␈α␈r,␈αto␈α
app␈α␈ea␈α␈r.
␈β?␈↓ 
∧␈εε3
␈βC␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIt␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ π⊗␈ε	f␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	z␈↓ πJ␈εβ)␈α	=␈↓ λ	␈ε	z␈↓ λ↔␈εβ/␈α␈(2␈↓ λC␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ+␈αλ1)␈απ+␈↓ 	S␈ε	O␈↓ 	k␈εβ(␈↓ 	v␈ε	z␈↓ 
⊃␈εβ)␈αis␈αan␈αo␈α␈dd
␈βM␈↓ π ␈εn
␈βj␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
wi␈α↓th␈α
a␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈n␈α␈t␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α
series␈α
in␈α
a␈α∞n␈α␈eigh␈α}bo␈α␈rhoo␈α␈d␈α
of␈α
the␈α
origin␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈at␈α
it
␈β
∩␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈tis|es␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α}tial␈αequ␈α␈ation␈α␈.␈αHen␈α␈ce
␈β
↑␈↓ βI␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε↔␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εk␈ε~␈␈εε1␈↓ λd␈ε~␈␈εε1
␈β
d␈↓ α<␈ε	f␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε	z␈↓ αl␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
?␈↓ β<␈ε	z␈↓ βw␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	f␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε	z␈↓ ∧O␈εβ)␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ ¬≡␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬O␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ ε
␈ε	z␈↓ ε=␈εβ,␈αε3␈↓ ε]␈ε	z␈↓ π⊂␈εβ,␈↓ π∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πL␈εβ,␈α¬(2␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ⊃␈εβ+␈αλ1)␈↓ λV␈ε	z␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	f␈↓ 	z␈εβ(␈↓ 
¬␈ε	z␈↓ 
∪␈εβ)␈ε↔?␈εβ.
␈β
o␈↓ αG␈εε0␈↓ ∧)␈εε1␈↓ 	D␈εn␈↓ 	T␈εε+1
␈β∞2␈↓ ¬C␈ε~␈␈εε1␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ λ
␈ε~␈␈εε1
␈β∞6␈↓ ↓H␈εβIt␈α
rem␈α␈ains␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈↓ ∧.␈εβli␈α↓m␈↓ ¬%␈ε↔?␈↓ ¬5␈ε	z␈↓ ¬i␈εβ,␈αε3␈↓ ελ␈ε	z␈↓ ε<␈εβ,␈↓ εK␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εw␈εβ,␈αε(2␈↓ π"␈ε	n␈↓ π<␈εβ+␈αε1)␈↓ π␈␈ε	z␈↓ λ3␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ λw␈ε	f␈↓ 	∞␈εβ(␈↓ 	→␈ε	z␈↓ 	'␈εβ).␈α[Actua␈α␈ll␈α↓y␈α	E␈α↓u␈α␈ler,
␈β∞A␈↓ ∧\␈εn␈↓ ∧m␈ε~!1␈↓ 	↓␈εε0
␈β∞↑␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ge␈α∩2␈α␈4,␈α∀ob␈α␈taine␈α␈d␈α∩co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α⊃fraction␈α⊃exp␈α␈an␈α␈sions␈α⊃f␈α↓o␈α␈r␈α∩the␈α⊃con␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈α∩m␈α␈ore␈α∩g␈α␈enera␈α␈l
␈β∂↓␈↓ ∧∂␈ε~0␈↓ ¬!␈εm␈↓ εI␈εm␈↓ ε`␈ε~␈␈εε1␈↓ λλ␈εε2
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i{␈α↓er␈α␈en␈α␈tial␈α⊂eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ ∧␈ε	f␈↓ ∧≤␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	z␈↓ ∧4␈εβ)␈α∩=␈↓ ¬β␈ε	a␈↓ ¬∀␈ε	z␈↓ ¬C␈εβ+␈↓ ¬o␈ε	b␈↓ ¬|␈ε	f␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε"␈ε	z␈↓ ε0␈εβ)␈↓ ε;␈ε	z␈↓ π⊂␈εβ+␈↓ π<␈ε	c␈↓ πI␈ε	f␈↓ πd␈εβ(␈↓ πo␈ε	z␈↓ π|␈εβ)␈↓ λ∀␈εβ;␈α∪b␈α␈ut␈α∂he␈α⊂d␈α␈id␈α⊂n␈α␈ot␈α⊂b␈α␈oth␈α␈er␈α⊂to
␈β∂⊂␈↓ εε␈εn␈↓ πS␈εn
␈β∂∀␈↓ ∧␈εn
␈β∂-␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
con␈α}v␈α␈er␈α␈gen␈α␈ce,␈α∞sin␈α␈ce␈α
form␈α␈al␈α
man␈α␈ipu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈α
a␈α␈nd␈αin␈α␈tu␈α␈i␈α↓tion␈αw␈α␈ere␈α
g␈α␈ood␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈α
in␈αthe
␈β∂T␈↓ ↓H␈εβe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈tee␈α␈n␈α␈th␈αc␈α␈en␈α␈tu␈α␈ry.]
␈β∂⎇␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈αλare␈αλsev␈α}eral␈αλways␈αλto␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλthe␈αλd␈α␈esired␈αλlimiti␈α↓n␈α␈g␈αλequ␈α␈ation␈α␈.␈α
F␈α↓irst,␈α	letting␈↓ 
C␈ε	f␈↓ 
↑␈εβ(␈↓ 
i␈ε	z␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β⊂ε␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β⊂λ␈↓ 
N␈εn
␈β⊂ ␈↓ α;␈εk
␈β⊂%␈↓ α␈ε	a␈↓ α-␈ε	z␈↓ αH␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αa␈α␈rgue␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈αth␈α␈e␈αequ␈α␈ation
␈β⊂/␈↓ α⊂␈εn␈↓ α ␈εk
␈β⊂7␈↓ ↓n␈εk
␈β⊂q␈↓ ∧w␈εε2␈↓ εi␈εε4
␈β⊂w␈↓ ↓i␈εβ(2␈↓ α¬␈ε	n␈↓ α ␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ αe␈ε	a␈↓ β_␈εβ+␈αλ(2␈↓ β]␈ε	n␈↓ βx␈εβ+␈αλ3)␈↓ ∧=␈ε	a␈↓ ∧i␈ε	z␈↓ ¬␈εβ+␈αλ(2␈↓ ¬O␈ε	n␈↓ ¬k␈εβ+␈απ5)␈↓ ε/␈ε	a␈↓ ε\␈ε	z␈↓ ε⎇␈εβ+␈↓ π&␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈β⊃↓␈↓ αt␈εn␈↓ β∧␈εε1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ∧]␈εε3␈↓ ε?␈εn␈↓ εO␈εε5
␈β⊃_␈↓ 	$␈εε3␈↓ 

␈εε5␈↓ 
␈␈εε2
␈β⊃≡␈↓ π)␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ λ ␈ε	a␈↓ λ<␈ε	z␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λz␈ε	a␈↓ 	⊗␈ε	z␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	`␈ε	a␈↓ 	⎇␈ε	z␈↓ 
≡␈εβ+␈↓ 
G␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
s␈εβ)
␈β⊃)␈↓ λ/␈εε1␈↓ 		␈εε3␈↓ 	p␈εε5
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα683
␈βα$␈↓ αV␈εk␈↓ λ&␈εk␈↓ λ3␈εε+1
␈βα(␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ αK␈εβ)␈↓ αc␈ε	a␈↓ β]␈εβis␈α	a␈α	sum␈α	o␈α␈f␈α
term␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	form␈↓ π¬␈ε	c␈↓ π≡␈εβ/(2␈↓ πK␈ε	n␈↓ πd␈εβ+␈α¬1␈↓ λ≠␈εβ)␈↓ λY␈εβ(2␈↓ λt␈ε	n␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	4␈ε	b␈↓ 	Z␈εβ)␈↓ 	j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
↔␈εβ(2␈↓ 
2␈ε	n␈↓ 
K␈εβ+␈↓ 
r␈ε	b␈↓ _␈εβ),
␈βα3␈↓ π⊃␈εk␈↓ 	@␈εk␈↓ 	M␈εε1␈↓ 
}␈εk␈↓ ␈εk
␈βα4␈↓ αs␈εn␈↓ ββ␈εε(␈α↓2␈↓ β_␈εk␈↓ β%␈εε+␈α↓1␈α␈)
␈βαP␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈↓ αg␈ε	c␈↓ β∞␈εβa␈α␈nd␈↓ βQ␈ε	b␈↓ ∧⊂␈εβa␈α␈re␈α∞p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∞in␈α}tegers␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ λ-␈ε	n␈↓ λA␈εβ.␈α∀For␈α∞e␈α␈xam␈α␈ple,␈ε↔␈α∂␈␈↓ 
Q␈ε	a␈↓ ␈εβ=
␈βαZ␈↓ αs␈εk␈↓ β]␈εk␈↓ βj␈εm␈↓ 
`␈εn␈↓ 
q␈εε7
␈βαs␈↓ αW␈εε4␈↓ εb␈εε4␈↓ π]␈εε2
␈βαw␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈/(2␈↓ α¬␈ε	n␈↓ α~␈εβ+␈α↓1␈↓ αL␈εβ)␈↓ αd␈εβ(2␈↓ β␈ε	n␈↓ β∃␈εβ+␈α↓3␈α␈)(2␈↓ βn␈ε	n␈↓ ∧β␈εβ+␈α↓5)(2␈↓ ∧]␈ε	n␈↓ ∧q␈εβ+␈α↓7)␈α↓+␈α↓1/␈α␈(2␈↓ ε∂␈ε	n␈↓ ε$␈εβ+␈α↓1␈↓ εW␈εβ)␈↓ εn␈εβ(2␈↓ π
␈ε	n␈↓ π∨␈εβ+␈α↓3␈↓ πR␈εβ)␈↓ πi␈εβ(␈α↓2␈↓ λ¬␈ε	n␈↓ λ~␈εβ+␈α↓7).␈α
Th␈α}us␈ε↔␈αεj␈↓ 	C␈ε	a␈↓ 
'␈ε↔j␈α	∀␈α
j␈↓ 
m␈ε	a␈↓ ~␈ε↔j␈εβ,
␈ββα␈↓ 
|␈εn␈↓ 
␈εk
␈βββ␈↓ 	S␈εε(␈↓ 	[␈εn␈↓ 	k␈εε+1)␈↓ 
→␈εk
␈ββ∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ α⊃␈ε	f␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε	z␈↓ αE␈εβ)␈ε↔j␈α	∀␈↓ β
␈εβta␈α␈n␈↓ βB␈ε↔j␈↓ βL␈ε	z␈↓ βY␈ε↔j␈εβ␈αfor␈ε↔␈αj␈↓ ∧*␈ε	z␈↓ ∧8␈ε↔j␈εβ␈α	<␈↓ ∧u␈ε	→␈↓ ¬π␈εβ/2␈α␈.␈αTh␈α␈is␈αu␈α␈niform␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ λ_␈ε	f␈↓ λ3␈εβ(␈↓ λ>␈ε	z␈↓ λL␈εβ)␈α
mak␈α}es␈αth␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce
␈ββ*␈↓ α≠␈εn␈↓ λ"␈εn
␈ββG␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈α
v␈α}ery␈α	simp␈α␈le.␈αCa␈α␈reful␈α	stud␈α␈y␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈is␈α	argu␈α␈men␈α}t␈α	rev␈α␈e␈α␈als␈α	that␈α	th␈α␈e␈α	po␈α}w␈α␈er␈α	series␈α	for␈↓ 
n␈ε	f␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∀␈ε	z␈↓ !␈εβ)
␈ββQ␈↓ 
x␈εn
␈ββk␈↓ ¬'␈∧βk¬'αf
␈ββm␈↓ ¬¬␈ε↔p
␈ββn␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y␈αcon␈α␈v␈α}erg␈α␈es␈α∞fo␈α␈r␈ε↔␈α∞j␈↓ ∧!␈ε	z␈↓ ∧/␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ ∧s␈ε	→␈↓ ¬'␈εβ2␈↓ ¬7␈ε	n␈↓ ¬S␈εβ+␈απ1␈↓ ε␈εβ/2␈α␈;␈α∂this␈α
is␈α∞in␈α}teresting␈α␈,␈α∞since␈α
it␈α
sho␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈α
the
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ri␈α↓ties␈α
o␈α␈f␈↓ β,␈ε	f␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	z␈↓ β←␈εβ)␈α∞g␈α␈et␈α
farth␈α␈er␈α∞a␈α␈nd␈αf␈α↓a␈α␈rthe␈α␈r␈α∞a␈α␈way␈α
from␈α
th␈α␈e␈α
origin␈α
a␈α␈s␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	j␈εβgr␈α␈o␈α␈ws,␈α∞so␈α
the
␈β∧ ␈↓ β6␈εn
␈β∧=␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fraction␈α
actu␈α␈ally␈αrep␈α␈resen␈α}ts␈↓ ¬w␈εβtan␈α␈h␈↓ ε?␈ε	z␈↓ εX␈ε⊂thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈εβ␈αthe␈αc␈α␈omp␈α␈lex␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ne.
␈β∧e␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αgiv␈α␈es␈αfu␈α␈rther␈αin␈α␈f␈α↓o␈α␈rmat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αa␈αd␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈αk␈α␈i␈α↓n␈α␈d:␈αIf␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈β¬⊂␈↓ ∧a␈ε↓X␈↓ π?␈ε↓X
␈β¬→␈↓ ¬/␈ε↓∩␈↓ ε*␈ε↓∪
␈β¬≠␈↓ 	β␈εn␈↓ 	∀␈ε~␈␈↓ 	-␈εk
␈β¬∨␈↓ ¬E␈εβ2␈↓ ¬V␈ε	n␈↓ ¬q␈ε↔␈␈↓ ε~␈ε	k␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	n␈↓ λ#␈εβ+␈↓ λK␈ε	k␈↓ λ\␈εβ)!␈↓ λv␈ε	z
␈β¬/␈↓ εT␈εk
␈β¬5␈↓ β-␈ε	A␈↓ βS␈εβ(␈↓ β↑␈ε	z␈↓ βk␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε	n␈↓ ∧>␈εβ!␈↓ εF␈ε	z␈↓ εa␈εβ/␈↓ εr␈ε	k␈↓ πα␈εβ!␈α	=␈↓ 	>␈εβ,
␈β¬@␈↓ βB␈εn
␈β¬D␈↓ π|␈∧¬Dπ|α↓>
␈β¬M␈↓ ¬n␈ε	n␈↓ λ∩␈ε	k␈↓ λ"␈εβ!␈αε(␈↓ λ<␈ε	n␈↓ λW␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	k␈↓ 	⊂␈εβ)!
␈β¬g␈↓ ∧M␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧s␈εk␈↓ ¬␈ε~∀␈↓ ¬→␈εn␈↓ π?␈εk␈↓ πM␈ε~∃␈εε0
␈βε'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en
␈βεL␈↓ βa␈ε↓X
␈βεV␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ 	7␈εα)
␈βεY␈↓ ∧≡␈εβ(␈↓ ∧)␈ε	n␈↓ ∧E␈εβ+␈↓ ∧n␈ε	k␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)!␈↓ ¬e␈εβ(4␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ+␈απ2)␈↓ ε`␈ε	k␈↓ εx␈εβ+␈αλ(␈↓ π,␈ε	n␈↓ πG␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ1␈ε	k␈↓ λA␈εβ)(␈↓ λW␈ε	n␈↓ λs␈ε↔␈␈↓ 	≠␈ε	k␈↓ 	,␈εβ)
␈βεk␈↓ 	Z␈εn␈↓ 	j␈εε+1␈ε~␈␈↓ 
)␈εk
␈βεq␈↓ α>␈ε	A␈↓ β	␈εβ(␈↓ β∀␈ε	z␈↓ β"␈εβ)␈↓ β6␈εβ=␈↓ 	L␈ε	z
␈βε|␈↓ αS␈εn␈↓ αc␈εε+␈α↓1
␈βε␈␈↓ ∧≡␈∧ε␈∧≡α¬%
␈βπ	␈↓ επ␈ε	k␈↓ ε↔␈εβ!␈αε(␈↓ ε1␈ε	n␈↓ εL␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ π6␈ε	k␈↓ πF␈εβ)!
␈βπ"␈↓ βb␈εk␈↓ βo␈ε~∃␈εε0
␈βπO␈↓ ¬d␈εε2
␈βπU␈↓ β6␈εβ=␈α
(4␈↓ β⎇␈ε	n␈↓ ∧_␈εβ+␈αλ2)␈↓ ∧]␈ε	A␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	z␈↓ ¬≠␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬V␈ε	z␈↓ ¬q␈ε	A␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εG␈ε	z␈↓ εU␈εβ).
␈βπ←␈↓ ∧r␈εn␈↓ εε␈εn␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε1
␈βλ
␈↓ ↓H␈εβIt␈αfollo␈α␈ws,␈αby␈α
ind␈α␈uction␈α␈,␈αthat
␈βλ>␈↓ ∧↔␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈βλE␈↓ ∧1␈εβ1␈↓ ∧X␈εβ3␈↓ ¬:␈εβ2␈↓ ¬K␈ε	n␈↓ ¬f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εq␈ε	A␈↓ π⊗␈εβ(2␈↓ π2␈ε	z␈↓ π@␈εβ)␈απ+␈↓ π{␈ε	A␈↓ λ ␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ λ]␈ε	z␈↓ λk␈εβ)
␈βλO␈↓ πε␈εn␈↓ λ⊂␈εn
␈βλ[␈↓ βq␈ε	Q␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ εB␈εβ=␈↓ λz␈εβ,
␈βλe␈↓ ∧π␈εn
␈βλi␈↓ ∧1␈∧λi∧1α⊃␈↓ ∧X␈∧λi∧Xα⊃␈↓ ¬:␈∧λi¬:αf␈↓ εq␈∧λiεqααε
␈βλp␈↓ πR␈εn␈↓ πb␈εε+1␈↓ λ⊗␈εn
␈βλr␈↓ ∧2␈ε	z␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ¬f␈ε	z␈↓ πA␈εβ2␈↓ λλ␈ε	z
␈β	'␈↓ ∧>␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈β	-␈↓ ∧X␈εβ3␈↓ ¬:␈εβ2␈↓ ¬K␈ε	n␈↓ ¬f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εq␈ε	A␈↓ π⊗␈εβ(2␈↓ π2␈ε	z␈↓ π@␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ π{␈ε	A␈↓ λ ␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ λ]␈ε	z␈↓ λk␈εβ)
␈β	8␈↓ πε␈εn␈↓ λ⊂␈εn
␈β	C␈↓ βr␈ε	Q␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ εB␈εβ=␈↓ λz␈εβ.
␈β	N␈↓ ∧λ␈εn␈↓ ∧_␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β	Q␈↓ ∧X␈∧	Q∧Xα⊃␈↓ ¬:␈∧	Q¬:αf␈↓ εq␈∧	Qεqααε
␈β	X␈↓ πR␈εn␈↓ πb␈εε+1␈↓ λ⊗␈εn
␈β	[␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ¬f␈ε	z␈↓ πA␈εβ2␈↓ λλ␈ε	z
␈β
∪␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce
␈β
/␈↓ π≥␈ε	A␈↓ πC␈εβ(2␈↓ π↑␈ε	z␈↓ πl␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ'␈ε	A␈↓ λM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	
␈ε	z␈↓ 	_␈εβ)
␈β
:␈↓ π2␈εn␈↓ λ=␈εn
␈β
@␈↓ βc␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧6␈ε~␈␈εε1␈↓ ε/␈ε~␈␈εε1
␈β
E␈↓ βD␈ε↔?␈↓ βU␈ε	z␈↓ ∧	␈εβ,␈α¬3␈↓ ∧(␈ε	z␈↓ ∧\␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬↔␈εβ,␈αε(2␈↓ ¬A␈ε	n␈↓ ¬]␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ ε!␈ε	z␈↓ εU␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ 	&␈εβ,
␈β
T␈↓ π≥␈∧
Tπ≥ααε
␈β
]␈↓ π≥␈ε	A␈↓ πC␈εβ(2␈↓ π↑␈ε	z␈↓ πl␈εβ)␈αλ+␈↓ λ'␈ε	A␈↓ λM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	
␈ε	z␈↓ 	_␈εβ)
␈β
h␈↓ π2␈εn␈↓ λ=␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈is␈αratio␈α
ap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈↓ ππ␈εβta␈α␈nh␈↓ πO␈ε	z␈↓ π]␈εβ.␈αBy␈α
Eqs.␈α1␈α␈.2.9↑1␈α␈1␈αa␈α␈nd␈α
1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓6␈α␈↑24␈α␈,
␈βA␈↓ ∧=␈ε↓ ␈↓ πk␈ε↓!
␈βC␈↓ βT␈ε↓X␈↓ ∧h␈ε↓X␈↓ λ;␈ε↓X
␈βL␈↓ ¬6␈ε↓∩␈↓ ¬i␈ε↓∪␈↓ ¬␈␈ε↓∩␈↓ εz␈ε↓∪␈↓ λy␈ε↓∩␈↓ 
↓␈ε↓∪
␈βR␈↓ ¬L␈ε	m␈↓ ε∃␈εβ2␈↓ ε&␈ε	n␈↓ εA␈ε↔␈␈↓ εj␈ε	k␈↓ 	∂␈εβ2␈↓ 	∨␈ε	n␈↓ 	;␈ε↔␈␈↓ 	d␈ε	m␈↓ 
O␈ε	n␈↓ 
c␈εβ!
␈βc␈↓ αβ␈εz␈↓ ∧ ␈εm␈↓ πY␈εk␈↓ 
*␈εm
␈βh␈↓ ↓v␈ε	e␈↓ α∞␈ε	A␈↓ α4␈εβ(␈ε↔␈␈↓ α`␈ε	z␈↓ αn␈εβ)␈α	=␈↓ β-␈ε	n␈↓ βA␈εβ!␈↓ ∧∩␈ε	z␈↓ π⊂␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ πM␈εβ)␈↓ λ␈εβ=␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
u␈εβ.
␈βs␈↓ α#␈εn
␈βw␈↓ 
K␈∧w
Kα'
␈β␈↓ ¬R␈ε	k␈↓ ε>␈ε	n␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 
K␈ε	m␈↓ 
h␈εβ!
␈β~␈↓ βP␈εm␈↓ βg␈ε~∃␈εε0␈↓ ∧T␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧z␈εk␈↓ ¬π␈ε~∀␈↓ ¬ ␈εn␈↓ λ6␈εm␈↓ λM␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈βZ␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce
␈βh␈↓ πT␈ε↓X
␈βs␈↓ 	B␈εk
␈βx␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ+␈↓ 	ε␈ε	k␈↓ 	↔␈εβ)!␈↓ 	1␈ε	x
␈β
λ␈↓ α␈␈εz␈↓ εj␈εn␈↓ π␈εε2␈↓ π_␈εn␈↓ π(␈εε+1
␈β
∞␈↓ αr␈ε	e␈↓ β
␈ε	A␈↓ β0␈εβ(␈ε↔␈␈↓ β\␈ε	z␈↓ βj␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧%␈ε	A␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε	z␈↓ ∧c␈εβ)␈α
=␈↓ ¬"␈ε	R␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬U␈ε	z␈↓ ¬c␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε←␈εβ)␈↓ εz␈ε	x␈↓ 	y␈εβ.
␈β
_␈↓ β∨␈εn␈↓ ∧:␈εn␈↓ ¬9␈εn
␈β
≤␈↓ λ⊃␈∧
≤λ⊃α↓e
␈β
%␈↓ λ⊃␈εβ(2␈↓ λ-␈ε	n␈↓ λH␈εβ+␈↓ λq␈ε	k␈↓ 		␈εβ+␈απ1)!␈↓ 	\␈ε	k␈↓ 	l␈εβ!
␈β
?␈↓ πT␈εk␈↓ πa␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈β
z␈↓ β ␈εε2␈↓ β-␈εz␈↓ εB␈εε2␈↓ εO␈εz
␈β
{␈↓ βw␈εα(␈↓ ¬{␈εα)␈↓ π→␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β
}␈↓ ↓H␈εβWe␈αεn␈α␈o␈α␈w␈αεha␈α␈v␈α␈e␈αε(␈↓ β∪␈ε	e␈↓ β9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1)␈↓ ∧β␈ε	A␈↓ ∧(␈εβ(2␈↓ ∧D␈ε	z␈↓ ∧R␈εβ)␈α↓+␈↓ ¬␈ε	A␈↓ ¬%␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ¬b␈ε	z␈↓ ¬p␈εβ)␈↓ ελ␈ε↔␈␈εβ␈α↓(␈↓ ε5␈ε	e␈↓ ε[␈εβ+␈α↓1)␈↓ π%␈ε	A␈↓ πJ␈εβ(␈α↓2␈↓ πf␈ε	z␈↓ πt␈εβ)␈ε↔␈α↓␈␈↓ λ"␈ε	A␈↓ λH␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	¬␈ε	z␈↓ 	∩␈εβ)␈↓ 	3␈εβ=␈α	2␈↓ 	n␈ε	R␈↓ 
∃␈εβ(2␈↓ 
1␈ε	z␈↓ 
?␈εβ);␈αλhe␈α␈nce
␈β∞	␈↓ ∧_␈εn␈↓ ¬∃␈εn␈↓ π:␈εn␈↓ λ7␈εn␈↓ 
¬␈εn
␈β∞6␈↓ λ-␈εβ2␈↓ λ=␈ε	R␈↓ λe␈εβ(2␈↓ 	␈ε	z␈↓ 	∞␈εβ)
␈β∞A␈↓ λT␈εn
␈β∞G␈↓ β\␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ε(␈ε~␈␈εε1
␈β∞M␈↓ α7␈εβtanh␈↓ β␈ε	z␈↓ β∃␈ε↔␈␈απ?␈↓ βN␈ε	z␈↓ ∧α␈εβ,␈α¬3␈↓ ∧!␈ε	z␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬⊂␈εβ,␈αε(2␈↓ ¬:␈ε	n␈↓ ¬V␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ε~␈ε	z␈↓ εN␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ 
3␈εβ.
␈β∞[␈↓ π⊗␈∧∞[π⊗αβ~
␈β∞b␈↓ π⊗␈εα(␈↓ 	(␈εα)
␈β∞c␈↓ 	L␈εε2␈↓ 	Y␈εz
␈β∞e␈↓ π"␈ε	A␈↓ πH␈εβ(2␈↓ πc␈ε	z␈↓ πq␈εβ)␈αλ+␈↓ λ,␈ε	A␈↓ λR␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	∂␈ε	z␈↓ 	≥␈εβ)␈↓ 	4␈εβ(␈↓ 	?␈ε	e␈↓ 	k␈εβ+␈αλ1)
␈β∞p␈↓ π7␈εn␈↓ λB␈εn
␈β∂≠␈↓ 
2␈εε2␈↓ 
>␈εz
␈β∂∨␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈α␈n␈αexa␈α␈ct␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αfor␈αthe␈αdi{eren␈α␈ce.␈αW␈α↓h␈α␈en␈ε↔␈αj␈↓ λ_␈ε	z␈↓ λ&␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α1␈α␈,␈αthe␈αfac␈α␈tor␈↓ 
%␈ε	e␈↓ 
Q␈εβ+␈αλ1␈αis
␈β∂G␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αa␈α␈way␈αfro␈α␈m␈αzero␈α␈,␈ε↔␈αj␈↓ ∧N␈ε	R␈↓ ∧u␈εβ(␈α↓2␈↓ ¬⊃␈ε	z␈↓ ¬∨␈εβ)␈ε↔j␈α
∀␈↓ ¬g␈ε	e␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ελ␈εβ!/(2␈↓ ε>␈ε	n␈↓ εY␈εβ+␈αλ1)!,␈αan␈α␈d
␈β∂Q␈↓ ∧e␈εn
␈β∂⎇␈↓ ¬O␈ε↓ ␈↓ 
⊃␈ε↓!
␈β⊂λ␈↓ ¬f␈ε↓∩␈↓ ε!␈ε↓∪␈↓ εg␈ε↓∩␈↓ πb␈ε↓∪␈↓ λ(␈ε↓∩␈↓ 	$␈ε↓∪
␈β⊂∞␈↓ ¬|␈εβ2␈↓ ε
␈ε	n␈↓ ε⎇␈εβ2␈↓ π∞␈ε	n␈↓ π)␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ λ>␈εβ2␈↓ λO␈ε	n␈↓ λk␈ε↔␈␈εβ␈απ4
␈β⊂ ␈↓ αP␈εε1
␈β⊂$␈↓ α`␈ε↔j␈↓ αi␈ε	A␈↓ β∂␈εβ(2␈↓ β+␈ε	z␈↓ β9␈εβ)␈απ+␈↓ βt␈ε	A␈↓ ∧→␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ∧V␈ε	z␈↓ ∧d␈εβ)␈ε↔j␈↓ ¬α␈ε↔∃␈↓ ¬,␈ε	n␈↓ ¬@␈εβ!␈↓ ε>␈ε↔␈␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ 	A␈ε↔␈␈↓ 	j␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈β⊂.␈↓ α␈␈εn␈↓ ∧	␈εn
␈β⊂2␈↓ αP␈∧⊂2αPα
␈β⊂4␈↓ αP␈εε2
␈β⊂<␈↓ ε∧␈ε	n␈↓ π&␈ε	n␈↓ λg␈ε	n
␈β⊂x␈↓ ¬0␈εβ(2␈↓ ¬L␈ε	n␈↓ ¬`␈εβ)!␈↓ λH␈εβ2␈↓ λ`␈εβ(2␈↓ λ{␈ε	n␈↓ 	∂␈εβ)!
␈β⊃␈↓ εG␈εε1␈↓ π∩␈εε1
␈β⊃∂␈↓ ¬α␈ε↔∃␈↓ ¬x␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε←␈ε↔␈␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ πY␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ→␈εβ=␈↓ 	'␈εβ.
␈β⊃≥␈↓ ¬0␈∧⊃≥¬0αE␈↓ εG␈∧⊃≥εGα
␈↓ π␈∧⊃≥πα~␈↓ λH␈∧⊃≥λHα⊃␈↓ λ`␈∧⊃≥λ`αE
␈β⊃∨␈↓ εG␈εε4␈↓ π␈εε1␈α␈6
␈β⊃&␈↓ ¬C␈ε	n␈↓ ¬W␈εβ!␈↓ λH␈εβ3␈↓ λs␈ε	n␈↓ 	π␈εβ!
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα684␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα+␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ergen␈α␈ce␈αis␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αrap␈α␈id,␈αev␈α␈e␈α␈n␈αfor␈αco␈α␈mplex␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ λ2␈ε	z␈↓ λ@␈εβ.
␈βαO␈↓ 	_␈εz
␈βαS␈↓ α␈εβTo␈απg␈α␈o␈απfrom␈αεthis␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αεfraction␈αεto␈αεthe␈απc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αεfractio␈α␈n␈απfor␈↓ 	␈ε	e␈↓ 	$␈εβ,␈αλw␈α␈e␈απh␈α␈av␈α}e␈↓ 
,␈εβtan␈α␈h␈↓ 
t␈ε	z␈↓ ␈εβ=
␈βαv␈↓ αB␈εε2␈↓ αO␈εz␈↓ 	v␈εε2␈↓ 
β␈εz
␈βαz␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ2/␈α␈(␈↓ α5␈ε	e␈↓ αb␈εβ+␈αλ1);␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αw␈α␈e␈αget␈αthe␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed-fra␈α␈ction␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αfor␈α(␈↓ 	i␈ε	e␈↓ 
⊗␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓/␈α␈2␈αby
␈ββ≡␈↓ λ↑␈εε2␈↓ λk␈εz
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈le␈α∞ma␈α␈nip␈α␈ulation␈α␈s.␈α∪Hurwitz's␈α∞ru␈α␈le␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈α∞th␈α␈e␈α∞e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈↓ λQ␈ε	e␈↓ λ␈␈εβ+␈α	1,␈α∂fro␈α␈m␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞w␈α␈e
␈ββI␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αsu␈α␈btr␈α␈act␈αu␈α␈nity.␈αFor␈↓ ∧6␈ε	n␈↓ ∧U␈εβod␈α␈d,
␈β∧␈↓ α!␈ε~␈␈εε2/␈↓ αT␈εn␈↓ β.␈∧∧β.α¬`
␈β∧⊃␈↓ α∀␈ε	e␈↓ αm␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ β.␈εβ1,␈α¬3␈↓ β↑␈ε	m␈↓ β{␈ε	n␈↓ ∧↔␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ ∧L␈ε	n␈↓ ∧`␈εβ/2␈ε↔c␈εβ,␈α¬(␈α↓1␈α␈2␈↓ ¬J␈ε	m␈↓ ¬n␈εβ+␈αλ6)␈↓ ε3␈ε	n␈↓ εG␈εβ,␈αε(3␈↓ εr␈ε	m␈↓ π⊗␈εβ+␈αλ2)␈↓ π[␈ε	n␈↓ πv␈εβ+␈ε↔␈αλb␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λ@␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ,␈αε1␈↓ 	
␈ε↔?␈εβ,␈↓ 	u␈ε	m␈↓ 
≠␈ε↔∃␈εβ␈α
0.
␈β∧Y␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α	d␈α␈erivatio␈α␈n␈αλhas␈αλbe␈α␈en␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλby␈αλC.␈α	S␈α␈.␈α	Da␈α␈vis,␈ε⊂␈α	J.␈α	Lon␈α␈do␈α␈n␈αλMath␈α␈.␈α	S␈α␈oc.␈ε∪␈α	2␈α␈0␈εβ␈αλ(194␈α␈5),
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈94↑␈α␈198␈α␈.
␈β¬2␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(b)␈ε↔␈α?␈↓ αP␈ε	x␈↓ αt␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈αε1,␈↓ β\␈ε	x␈↓ β␈␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈,␈αε1,␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ¬
␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈,␈αε1,␈↓ ¬r␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε≡␈εβ,␈αε1␈α␈,␈↓ εL␈ε	x␈↓ π&␈ε↔␈␈εβ␈απ2,␈αε1,␈↓ λ
␈ε	x␈↓ λA␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α␈?␈εβ.
␈β¬=␈↓ α`␈εε1␈↓ βk␈εε2␈↓ ∧v␈εε3␈↓ ε\␈εε2␈↓ εh␈εn␈↓ εy␈ε~␈␈εε1␈↓ λ≥␈εε2␈↓ λ)␈εn
␈β¬V␈↓ ε␈∧¬Vεα↓∂
␈β¬Z␈↓ α␈εβ(c)␈α1␈απ+␈ε↔␈αλ?␈εβ1␈α␈,␈αε1,␈α¬3,␈αε1,␈α¬5,␈αε1␈α␈,␈↓ ∧J␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧w␈ε↔?␈εβ␈α	=␈α	1␈απ+␈ε↔␈αλ?␈↓ ε␈εβ2␈↓ ε≥␈ε	m␈↓ εB␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αε1␈↓ π≠␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈↓ πa␈ε	m␈↓ λπ␈ε↔∃␈εβ␈α
0.
␈βε	␈↓ ¬T␈εα(␈↓ 	ε␈εα)
␈βε␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβThe␈α
sum␈αfor␈α1␈ε↔␈αλ∀␈↓ ∧∂␈ε	k␈↓ ∧)␈ε↔∀␈↓ ∧S␈ε	N␈↓ ∧⎇␈εβis␈↓ ¬≡␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ¬`␈εβ(1␈απ+␈↓ ε,␈ε	x␈↓ ε=␈εβ)(␈↓ εS␈ε	N␈↓ εz␈εβ+␈απ1)/(␈↓ πZ␈ε	N␈↓ λ␈εβ+␈αλ1␈απ+␈↓ λj␈ε	x␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	∩␈εβ.
␈βε≠␈↓ ¬I␈εb
␈βε9␈↓ ¬Z␈ε~0␈↓ λ↔␈ε~0
␈βε=␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	H␈↓ αs␈εβ=␈↓ β ␈ε	S␈↓ β5␈ε	G␈↓ βN␈εβ,␈↓ βe␈ε	g␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈α=␈α
(1␈α	+␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬6␈εβ)␈↓ ¬A␈ε	G␈↓ ¬`␈εβ(␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ¬⎇␈εβ),␈↓ ε∨␈ε	h␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε	x␈↓ εL␈εβ)␈α=␈α
(1␈α	+␈↓ π`␈ε	x␈↓ πq␈εβ)␈↓ π|␈ε	H␈↓ λ≥␈εβ(␈↓ λ)␈ε	x␈↓ λ:␈εβ).␈α⊃Then␈α(35␈α␈)␈α∞imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
tha␈α␈t
␈βεa␈↓ εX␈ε~␈␈εε2
␈βεb␈↓ π
␈εα(␈↓ λ#␈εα)␈↓ λ@␈εα(␈↓ 
⊗␈εα)
␈βεe␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓|␈εβ+␈αλ1␈α␈)/(␈↓ α\␈ε	x␈↓ αu␈εβ+␈αλ2␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ βi␈ε	h␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)/(␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧V␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α
=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓(1␈απ+␈↓ ε;␈ε	x␈↓ εM␈εβ)␈↓ ε}␈ε	g␈↓ π→␈εβ1/(1␈απ+␈↓ λπ␈ε	x␈↓ λ_␈εβ)␈↓ λ/␈εβ/␈↓ λL␈εβ1␈απ+␈απ1/(1␈απ+␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈↓ 
"␈εβ.
␈βπ∩␈↓ ∧
␈εε2␈↓ εq␈εε2␈↓ 	≤␈εε2
␈βπ∪␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εe␈εα)
␈βπ⊗␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	⎇␈↓ α!␈εβ(␈↓ α-␈ε	x␈↓ α>␈εβ)␈α	=␈↓ α⎇␈ε	c␈↓ β
␈εβ/(␈↓ β&␈ε	c␈↓ β3␈ε	x␈↓ βH␈εβ+␈α¬1␈↓ β␈␈εβ)␈↓ ∧≠␈εβ+␈α∧(␈α↓2␈ε↔␈α∧␈␈↓ ¬ε␈ε	c␈↓ ¬∪␈εβ)/␈↓ ¬;␈εβ(␈↓ ¬F␈ε	c␈↓ ¬W␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)␈↓ ε→␈ε	x␈↓ ε/␈εβ+␈α∧1␈↓ ε}␈εβ,␈↓ π⊂␈ε	U␈↓ π+␈ε	⎇␈↓ πA␈εβ(␈↓ πL␈ε	x␈↓ π]␈εβ)␈α
=␈α	1/␈α␈(␈↓ λI␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	c␈↓ 	⊃␈εβ)␈↓ 	)␈εβ.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈↓ 
~␈ε	c␈↓ 
0␈ε↔∀␈εβ␈α
1,␈α	the
␈βπ8␈↓ 
F␈∧π8
Fα⊃
␈βπ9␈↓ 
$␈ε↔p
␈βπ:␈↓ π-␈εε2␈↓ 
	␈εε1
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αof␈↓ β¬␈ε	⎇␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε	x␈↓ β7␈εβ)/␈↓ βS␈ε	U␈↓ βn␈ε	⎇␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	x␈↓ ∧ ␈εβ)␈αoc␈α␈curs␈αat␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬c␈εβ=␈α0␈αand␈αis␈α2␈↓ π ␈ε	c␈↓ πD␈ε↔∀␈εβ␈α2.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈↓ λx␈ε	c␈↓ 	⊂␈ε↔∃␈↓ 	<␈ε	≡␈↓ 	Y␈εβ=␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
F␈εβ5␈↓ 
↑␈εβ+␈αλ1),
␈βπL␈↓ 
	␈∧πL
	α
␈βπN␈↓ 
	␈εε2
␈βπa␈↓ ε:␈εε2
␈βπe␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
min␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
at␈↓ ∧,␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ=␈α
1␈αan␈α␈d␈α
is␈ε↔␈α
∀␈↓ ε'␈ε	≡␈↓ εG␈εβ.␈α⊃Wh␈α␈en␈↓ πC␈ε	c␈↓ π\␈ε↔→␈εβ␈α1.312␈α␈66␈αthe␈α
v␈α␈alu␈α␈es␈α
at␈↓ 
Q␈ε	x␈↓ 
n␈εβ=␈α
0
␈βλ	␈↓ 	g␈εn␈↓ 
\␈εn
␈βλ
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	x␈↓ α"␈εβ=␈α	1␈α
are␈α	nea␈α␈rl␈α↓y␈α	eq␈α␈ual␈α
a␈α␈nd␈α	the␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α	i␈α↓s␈α
>␈α	3.2;␈α
the␈α	bou␈α␈nd␈α␈s␈α
(0.29␈↓ 	\␈εβ)␈↓ 	x␈ε	⎇␈↓ 
⊗␈ε↔∀␈↓ 
A␈ε	U␈↓ 
l␈ε	⎇␈↓ ␈ε↔∀
␈βλ0␈↓ α→␈εn
␈βλ5␈↓ ↓H␈εβ(0␈α␈.␈α↓3␈α␈1␈↓ α∞␈εβ)␈↓ α)␈ε	⎇␈↓ αK␈εβare␈αo␈α␈btain␈α␈ed.␈α∂S␈α␈till␈α
be␈α␈tter␈αbo␈α␈un␈α␈ds␈αcom␈α␈e␈αf␈α↓ro␈α␈m␈αw␈α␈ell␈α↓-ch␈α␈ose␈α␈n␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α␈s
␈βλ>␈↓ αJ␈ε↓P
␈βλ\␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ ↓←␈ε	g␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈α	=␈↓ αu␈ε	a␈↓ β⊃␈εβ/(␈↓ β-␈ε	x␈↓ βF␈εβ+␈↓ βn␈ε	c␈↓ ∧ε␈εβ).
␈βλg␈↓ β¬␈εj␈↓ βz␈εj
␈β	∞␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβBy␈α
the␈α
i␈α↓n␈α}terp␈α␈olation␈α
form␈α␈u␈α␈la␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈4↑1␈α␈5␈αwith␈↓ λ≤␈ε	x␈↓ λA␈εβ=␈α
0,␈↓ 	⊃␈ε	x␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 	a␈ε	x␈↓ 	r␈εβ,␈↓ 
ε␈ε	x␈↓ 
+␈εβ=␈↓ 
V␈ε	x␈↓ 
n␈εβ+␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ,
␈β	_␈↓ λ,␈εε0␈↓ 	 ␈εε1␈↓ 
∃␈εε2
␈β	1␈↓ εH␈ε~0
␈β	2␈↓ π4␈εα(␈↓ 	λ␈εα)␈↓ 	d␈εε1␈↓ 
-␈εα(␈↓ 
o␈εα)
␈β	5␈↓ ↓H␈εβlettin␈α␈g␈↓ α/␈ε	∂␈↓ αE␈ε↔!␈εβ␈α
0␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α␈e␈αλthe␈α	g␈α␈ene␈α␈ral␈α	i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓ty␈↓ ε1␈ε	R␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε	x␈↓ εu␈εβ)␈α	=␈↓ π@␈ε	R␈↓ πg␈εβ(␈↓ πr␈ε	x␈↓ λ∧␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ λ9␈ε	R␈↓ λa␈εβ(0)␈↓ 	∀␈εβ/␈↓ 	$␈ε	x␈↓ 	:␈εβ+␈↓ 	t␈ε	x␈↓ 
ε␈ε	R␈↓ 
9␈ε	∩␈↓ 
G␈εβ(␈↓ 
R␈ε	x␈↓ 
d␈εβ)␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β	@␈↓ πW␈εn␈↓ λP␈εn␈↓ 
≥␈εn
␈β	C␈↓ 	d␈∧	C	dα
␈β	D␈↓ εH␈εn
␈β	E␈↓ 	d␈εε2
␈β	]␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈↓ α↔␈ε	∩␈↓ α&␈εβ(␈↓ α1␈ε	x␈↓ αB␈εβ)␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απ0␈απand␈↓ ∧'␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ,␈α	wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬Y␈ε	R␈↓ ε	␈εβis␈απa␈αλfu␈α␈nctio␈α␈n␈αλwith␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ou␈α␈s␈αλseco␈α␈nd␈απd␈α␈erivativ␈α}e.
␈β	g␈↓ ¬q␈εn
␈β
␈↓ βo␈ε~0␈↓ ¬∞␈ε~␈␈↓ ¬'␈εn
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αin␈αt␈α␈his␈αcase␈↓ βX␈ε	R␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧≠␈εβ)␈α
=␈↓ ∧Z␈ε	O␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ).
␈β
∀␈↓ βo␈εn
␈β
6␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈ε↔1␈εβ.␈α≠[A␈α↓.␈α⊂Kh␈α␈i␈α↓n␈α␈ch␈α␈i␈α↓n␈α␈,␈α∩in␈ε⊂␈α⊂Com␈α␈pos␈α␈.␈α⊃Ma␈α␈th.␈ε∪␈α⊂1␈εβ␈α⊂(193␈α␈5),␈α∩3␈α␈61↑␈α␈382␈α␈,␈α∩pro␈α}v␈α␈ed␈α∂that␈α⊂th␈α␈e␈α⊂sum
␈β
↑␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α⊗␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αC␈εβ+␈↓ αj␈ε	A␈↓ β~␈εβo␈α␈f␈α
the␈α	|rst␈↓ ∧;␈ε	n␈↓ ∧Y␈εβp␈α␈artia␈α␈l␈αq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α
a␈α
rea␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈↓ λH␈ε	X␈↓ λm␈εβwil␈α↓l␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈symp␈α␈totica␈α␈l␈α↓ly
␈β
h␈↓ ↓]␈εε1␈↓ α␈␈εn
␈β¬␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓a␈εβlg␈↓ α↓␈ε	n␈↓ α∃␈εβ,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αall␈↓ βv␈ε	X␈↓ ∧∩␈εβ.]
␈β→␈↓ 
∀␈ε↓S
␈β7␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈α¬u␈α␈nion␈α¬of␈α¬i␈α↓n␈α}terv␈α␈als␈αεca␈α␈n␈αεb␈α␈e␈αεwritten␈α¬as␈α¬a␈αεu␈α␈nio␈α␈n␈αεo␈α␈f␈αεdisjoin␈α}t␈αεin␈α␈terv␈α␈als,␈απsinc␈α␈e␈↓ 
k␈ε	I␈↓ ␈εβ=
␈βA␈↓ 
u␈εk
␈βG␈↓ ↓H␈ε↓S␈↓ α↑␈ε↓S␈↓ λt␈ε↓S
␈βI␈↓ 
2␈εk␈↓ 
?␈ε~∃␈εε1
␈βb␈↓ α→␈εα(␈↓ βp␈εα)
␈βe␈↓ α%␈ε	I␈↓ αE␈ε↔∧␈↓ βZ␈ε	I␈↓ β|␈εβ,␈α∞a␈α␈nd␈αthis␈α
is␈α
a␈αdisjoin␈α␈t␈α
u␈α␈nion␈αin␈α
wh␈α␈ich␈↓ λ;␈ε	I␈↓ λ[␈ε↔∧␈↓ 	p␈ε	I␈↓ 
∪␈εβca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
ex␈α␈-
␈βp␈↓ α/␈εk␈↓ βd␈εj␈↓ λE␈εk␈↓ 	z␈εj
␈βt␈↓ 
λ␈ε↓S
␈βx␈↓ ↓f␈εk␈↓ ↓s␈ε~∃␈εε1␈↓ α|␈εε1␈ε~∀␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈εε<␈↓ βG␈εk␈↓ 	∩␈εε1␈ε~∀␈↓ 	8␈εj␈↓ 	D␈εε<␈↓ 	]␈εk
␈β∪␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ressed␈αa␈α␈s␈αa␈α|␈α␈nite␈αun␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αd␈α␈isjoin␈α␈t␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈als.␈α
The␈α␈refore␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αtak␈α}e␈ε↔␈αI␈εβ␈α
=␈↓ 
+␈ε	I␈↓ 
B␈εβ,␈αwhere
␈β≥␈↓ 
5␈εk
␈β6␈↓ ∧n␈εk
␈β:␈↓ ↓H␈ε	I␈↓ ↓j␈εβis␈αan␈α
in␈α␈terv␈α␈al␈αof␈αlen␈α␈gth␈↓ ∧@␈ε	∂␈↓ ∧M␈εβ/␈↓ ∧↑␈εβ2␈↓ ¬π␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈α
the␈↓ εa␈ε	k␈↓ εr␈εβth␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αin␈α[0,␈α¬1],␈αu␈α␈sing␈α
some
␈βE␈↓ ↓R␈εk
␈βb␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈um␈α␈eration␈α
of␈αth␈α␈e␈αration␈α␈als.␈αI␈α↓n␈α
this␈αca␈α␈se␈↓ ε)␈ε	⊗␈↓ ε;␈εβ(␈ε↔␈α↓I␈εβ␈α␈)␈ε↔␈α
∀␈↓ π∀␈ε	∂␈↓ π!␈εβ,␈αb␈α␈ut␈ε↔␈αk␈α␈I␈απ\␈↓ λ9␈ε	P␈↓ λ]␈ε↔k␈εβ␈α	=␈↓ 	!␈ε	n␈↓ 	@␈εβfor␈αall␈↓ 
"␈ε	n␈↓ 
6␈εβ.
␈βl␈↓ λL␈εn
␈β
∪␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβThe␈α∂con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α⊂fra␈α␈ction␈α␈s␈ε↔␈α⊂?␈↓ ¬⊂␈ε	A␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	A␈↓ ε≠␈ε↔?␈εβ␈α∂th␈α␈at␈α⊂a␈α␈pp␈α␈ear␈α⊂a␈α␈re␈α⊂p␈α␈recisely␈α∂tho␈α␈se␈α⊂for␈α∂which
␈β
≡␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ε⊃␈εt
␈β
;␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓s␈εβ>␈α	1␈↓ α.␈εβ,␈↓ α?␈ε	A␈↓ αg␈εβ>␈α	1␈↓ β"␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ βo␈ε	Q␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε	A␈↓ ∧<␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	A␈↓ ∧m␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬(␈εβ,␈↓ ¬7␈ε	A␈↓ ¬U␈εβ)␈απis␈απa␈αεdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈απo␈α␈f␈↓ π&␈ε	n␈↓ π:␈εβ.␈α
Th␈α␈erefore␈αε(6)␈απc␈α␈omp␈α␈letes␈απt␈α␈he␈αεpro␈α␈of.
␈β
E␈↓ ↓]␈εε1␈↓ αT␈εt␈↓ ∧¬␈εt␈↓ ∧/␈εε1␈↓ ∧`␈εε2␈↓ ¬L␈εt
␈β
←␈↓ ↓H␈εα(
␈β
b␈↓ ↓T␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈α	If␈↓ αI␈ε	m␈↓ αr␈εβ/␈↓ ββ␈ε	n␈↓ β ␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ β[␈ε	A␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧G␈ε	A␈↓ ∧f␈ε↔?␈εβ␈απa␈α␈nd␈↓ ¬:␈ε	m␈↓ ¬c␈εβ/␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ε⊃␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ εL␈ε	A␈↓ εk␈εβ,␈↓ εz␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εβ,␈↓ π5␈ε	A␈↓ πW␈ε↔?␈εβ,␈αλwh␈α␈ere␈↓ λU␈ε	m␈↓ 	¬␈εβa␈α␈nd␈↓ 	A␈ε	m␈↓ 	q␈εβare␈αεrelativ␈α␈ely
␈β
m␈↓ αf␈εε1␈↓ βq␈εε1␈↓ ∧]␈εt␈↓ ¬W␈εε2␈↓ εb␈εt␈↓ πK␈εε1␈↓ λq␈εε1␈↓ 	↑␈εε2
␈β∞
␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈αto␈↓ αO␈ε	n␈↓ αc␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ βD␈ε	m␈↓ βm␈ε	m␈↓ ∧∨␈ε↔⊃␈α
ε␈εβ␈α↓1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ);␈αthis␈αrule␈αde␈α␈|n␈α␈es␈αth␈α␈e␈αcorr␈α␈espo␈α␈nd␈α␈enc␈α␈e.␈αW␈α↓h␈α␈en
␈β∞∃␈↓ β`␈εε1␈↓ ∧	␈εε2
␈β∞/␈↓ λ≠␈εα)
␈β∞2␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓s␈εβ=␈α	1␈αan␈α
an␈α␈alogo␈α␈us␈αsy␈α␈mmetry␈α
is␈αvalid,␈αac␈α␈cord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈α
(␈α↓3␈α␈8).
␈β∞<␈↓ ↓]␈εε1
␈β∞←␈↓ ¬j␈εe
␈β∞c␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβFirst␈α
pro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈αf␈α↓o␈α␈r␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬+␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε	p␈↓ ¬u␈εβ,␈α∞th␈α␈en␈αfor␈↓ π∂␈ε	n␈↓ π/␈εβ=␈↓ π]␈ε	r␈↓ πl␈ε	s␈↓ πy␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓ λr␈ε	r␈↓ 	∞␈εβa␈α␈nd␈↓ 	P␈ε	s␈↓ 	k␈εβare␈αrelativ␈α␈ely
␈β∂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime.␈αAl␈α↓t␈α␈erna␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈αuse␈α
the␈αfor␈α␈m␈α␈ulas␈αin␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ext␈αex␈α}ercise.
␈β∂<␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊂The␈α⊂left-h␈α␈an␈α␈d␈α⊂side␈α⊂is␈α⊂m␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α⊂(see␈α⊂ex␈α}ercise␈α⊂1.2.4↑␈α␈31),␈α⊃and␈α∂i␈α↓t␈α⊂is␈α⊂ea␈α␈si␈α↓ly
␈β∂d␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ated␈α
when␈↓ β<␈ε	n␈↓ β↑␈εβis␈α∞a␈α∞po␈α}we␈α␈r␈α∞of␈α∞a␈α∞p␈α␈rime.␈α∨(c)␈α∞From␈α∞(a),␈α∂w␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε⊂␈α∞M␈↓ 	;␈ε⊂∪␈↓ 	;␈ε⊂o␈↓ 	L␈ε⊂b␈α␈ius's␈α∞in␈α␈v␈α}ersion
␈β∂m␈↓ β[␈ε↓P␈↓ ε8␈ε↓P
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε⊂fo␈α␈rm␈α␈ula␈εβ:␈αIf␈↓ αm␈ε	f␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β≤␈εβ)␈α	=␈↓ ∧2␈ε	g␈↓ ∧B␈εβ(␈↓ ∧M␈ε	d␈↓ ∧←␈εβ),␈αth␈α␈en␈↓ ¬K␈ε	g␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	n␈↓ ¬z␈εβ)␈α	=␈↓ π⊂␈ε	⊗␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	n␈↓ πA␈εβ/␈↓ πR␈ε	d␈↓ πd␈εβ)␈↓ πo␈ε	f␈↓ π␈␈εβ(␈↓ λ
␈ε	d␈↓ λ≤␈εβ)␈α↓.
␈β⊂≡␈↓ ∧↓␈εd␈↓ ∧⊂␈ε~∧␈↓ ∧≤␈εn␈↓ ε↑␈εd␈↓ εm␈ε~∧␈↓ εz␈εn
␈β⊂'␈↓ λ≥␈ε↓P
␈β⊂A␈↓ εG␈εε2␈↓ 	]␈εε2
␈β⊂B␈↓ ¬≥␈εα((␈↓ εT␈εα)␈↓ π/␈εα)
␈β⊂E␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβThe␈α
s␈α␈um␈α
is␈α
ap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈↓ ¬5␈εβ(12␈↓ ¬g␈εβln␈↓ ε	␈εβ2␈α␈)/␈↓ ε5␈ε	→␈↓ εf␈εβln␈↓ ππ␈ε	N␈↓ π&␈εβ!␈↓ π;␈εβ/␈↓ πL␈ε	N␈↓ πs␈ε↔␈␈↓ λ⎇␈ε	β␈↓ 	∩␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	d␈↓ 	/␈εβ)/␈↓ 	K␈ε	d␈↓ 	s␈εβ+␈α	1␈α␈.␈α↓4␈α␈7;␈α∞here
␈β⊂T␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β⊂X␈↓ λC␈εd␈↓ λR␈ε~∃␈εε1
␈β⊂n␈↓ βλ␈εε2␈↓ π4␈ε~0
␈β⊂r␈↓ α(␈ε	β␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε	d␈↓ αZ␈εβ)/␈↓ αu␈ε	d␈↓ β"␈εβco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rges␈α
to␈α∞t␈α␈he␈α
con␈α␈stan␈α}t␈α∞va␈α␈lue␈ε↔␈α
␈␈↓ π'␈ε	⊂␈↓ π;␈εβ(2)/␈↓ πr␈ε	⊂␈↓ λ␈εβ(2),␈α∞while␈↓ 	_␈εβln␈↓ 	9␈ε	N␈↓ 	X␈εβ!␈α∞=␈↓ 
≥␈ε	N␈↓ 
B␈εβln␈↓ 
c␈ε	N␈↓ ␈ε↔␈
␈β⊃¬␈↓ ↓n␈εd␈↓ ↓|␈ε~∃␈εε1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓n␈εβ+␈↓ α↔␈ε	O␈↓ α/␈εβ(␈↓ α:␈εβlog␈↓ αj␈ε	N␈↓ β	␈εβ)␈αb␈α␈y␈αStirling␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tion.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα685
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβThe␈α	mod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
a{ec␈α␈ts␈α
the␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
if␈α
an␈α␈d␈α
o␈α␈nly␈α
if␈α
th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈α
d␈α␈ivision
␈βαS␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αin␈αth␈α␈e␈αu␈α␈nmo␈α␈di|␈α␈ed␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
wo␈α␈uld␈α
hav␈α}e␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈α1␈α␈,␈αand␈α
in␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
case␈αit␈αav␈α}oid␈α␈s
␈βαz␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α∞div␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈α∞step.␈α∃Th␈α␈e␈α∂p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∞th␈α␈at␈α∞a␈α∞giv␈α␈en␈α
division␈α∞ste␈α␈p␈α∞i␈α↓s␈α∞av␈α}oide␈α␈d␈α∞is
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈αth␈α␈at␈↓ βx␈ε	A␈↓ ∧%␈εβ=␈α1␈αan␈α␈d␈αth␈α␈at␈αth␈α␈is␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈αi␈α↓s␈αp␈α␈rece␈α␈ded␈αby␈αan␈αev␈α}en␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈ββ,␈↓ ∧
␈εk
␈ββI␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αequ␈α␈al␈αto␈α1.␈α∞By␈αthe␈αsy␈α␈mme␈α␈try␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α␈,␈α
th␈α␈is␈α
is␈αth␈α␈e␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈αth␈α␈at␈↓ 
B␈ε	A␈↓ 
o␈εβ=␈α1
␈ββT␈↓ 
W␈εk
␈ββq␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αis␈ε⊂␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈εβ␈αby␈αan␈αev␈α␈e␈α␈n␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αqu␈α␈otien␈α␈ts␈αequ␈α␈al␈αto␈α1␈α␈.␈α∞Th␈α␈e␈αlatter␈αhap␈α␈pe␈α␈ns␈αif␈αa␈α␈nd
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nly␈απif␈↓ α*␈ε	X␈↓ α}␈εβ>␈↓ β(␈ε	≡␈↓ β>␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈α	=␈α	0.618␈↓ ∧r␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∨␈εβ,␈αλwhere␈↓ ε
␈ε	≡␈↓ ε'␈εβi␈α↓s␈απthe␈απgold␈α␈en␈απratio:␈α	F␈α↓o␈α␈r␈↓ λt␈ε	A␈↓ 	 ␈εβ=␈α	1␈απand␈↓ 
 ␈ε	A␈↓ 
q␈εβ>␈α
1
␈β∧#␈↓ αA␈εk␈↓ αO␈ε~␈␈εε1␈↓ 		␈εk␈↓ 
5␈εk␈↓ 
B␈εε+1
␈β∧=␈↓ ↓v␈εε2␈↓ λ}␈εε5␈↓ 
Q␈εε2
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβi{␈↓ α∪␈ε↔∀␈↓ αA␈ε	X␈↓ β↔␈εβ<␈α
1;␈↓ βm␈ε	A␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧J␈ε	A␈↓ ¬∨␈εβ=␈↓ ¬L␈ε	A␈↓ ε!␈εβ=␈α
1␈α
a␈α␈nd␈↓ π0␈ε	A␈↓ λ∧␈εβ>␈α
1␈α
i{␈↓ 	≠␈ε↔∀␈↓ 	I␈ε	X␈↓ 
 ␈εβ<␈↓ 
a␈εβ;␈α∂e␈α␈tc.
␈β∧K␈↓ αX␈εk␈↓ αe␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧←␈εk␈↓ ∧l␈εε+␈α↓1␈↓ ¬b␈εk␈↓ ¬o␈εε+2␈↓ πE␈εk␈↓ πR␈εε+3␈↓ 	`␈εk␈↓ 	m␈ε~␈␈εε1
␈β∧N␈↓ ↓v␈∧∧N↓vα
␈↓ λ}␈∧∧Nλ}α
␈↓ 
Q␈∧∧N
Qα
␈β∧P␈↓ ↓v␈εε3␈↓ λ}␈εε8␈↓ 
Q␈εε3
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈α	we␈α	sav␈α}e␈α
a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈↓ ∧m␈ε	F␈↓ ¬3␈εβ(1)␈ε↔␈α¬␈␈↓ εε␈ε	F␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε	≡␈↓ εo␈ε↔␈␈εβ␈αε1)␈ε↔␈α	→␈εβ␈α
1␈ε↔␈α¬␈␈↓ λ#␈εβlg␈↓ λB␈ε	≡␈↓ λ↑␈ε↔→␈εβ␈α
0␈α␈.␈α↓3␈α␈06␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈ivision
␈β∧r␈↓ ¬␈εk␈↓ ¬
␈ε~␈␈εε1␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1
␈β¬␈↓ 	λ␈εε2
␈β¬␈↓ πh␈εα(␈↓ 	∃␈εα)
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβste␈α␈ps.␈α∩Th␈α␈e␈α
av␈α}erage␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
of␈α
step␈α␈s␈α
i␈α↓s␈α
ap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈tely␈↓ πt␈εβ(12␈↓ λ&␈εβln␈↓ λG␈ε	≡␈↓ λZ␈εβ)/␈↓ λv␈ε	→␈↓ 	'␈εβln␈↓ 	H␈ε	n␈↓ 	\␈εβ,␈α∞wh␈α␈en␈↓ 
L␈ε	v␈↓ 
j␈εβ=␈↓ _␈ε	n
␈β¬7␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	u␈↓ α(␈εβi␈α↓s␈αrelativ␈α}ely␈αprime␈αto␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ ∧y␈εβ.␈α
Kro␈α␈neck␈α}er␈α[␈ε⊂␈α↓Vo␈α␈rl␈α↓e␈α␈sun␈α␈gen␈↓ πv␈ε⊂u␈↓ πw␈ε⊂∪␈↓ λλ␈ε⊂ber␈αZah␈α␈l␈α↓en␈α}the␈α␈orie␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Leip␈α␈zi␈α↓g␈α␈:
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβTe␈α␈ub␈α␈ner,␈α⊂1␈α␈901␈α␈),␈α⊂118␈α␈]␈α∂ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α∂th␈α␈at␈α∂t␈α␈his␈α∂ch␈α␈oice␈α∞of␈α∂least␈α∞rema␈α␈i␈α↓n␈α␈der␈α∞in␈α∂a␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈α∂v␈α␈alue
␈βεε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α	giv␈α␈e␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
sh␈α␈orte␈α␈st␈α
p␈α␈ossible␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
iteratio␈α␈ns,␈α
o␈α␈v␈α}er␈α	all␈α
algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hms␈α	tha␈α␈t␈α
re␈α␈place
␈βε.␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓j␈εβb␈α␈y␈α∞(␈ε↔ε␈↓ αI␈ε	u␈↓ α]␈εβ)␈↓ αn␈εβmo␈α␈d␈↓ β3␈ε	v␈↓ βR␈εβat␈α∞ea␈α␈ch␈α∞itera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α∀For␈α∞furth␈α␈er␈α∞resu␈α␈l␈α↓t␈α␈s␈α∂se␈α␈e␈α∞N.␈α∂G.␈α∞d␈α␈e␈α∞B␈α↓ru␈α␈ijn␈α∞an␈α␈d␈α∞W.
␈βεU␈↓ ↓H␈εβM␈α␈.␈αZ␈α↓a␈α␈ring,␈ε⊂␈αNieu␈α␈w␈αArch␈α␈i␈α↓e␈α␈f␈αv␈α␈oo␈α␈r␈αWisku␈α␈nd␈α␈e␈α(3)␈ε∪␈α1␈εβ␈α(19␈α␈53),␈α10␈α␈5↑1␈α␈12;␈αG.␈αJ.␈αR␈α␈i␈α↓eg␈α␈er,␈ε⊂␈αNotice␈α␈s
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε⊂Am␈α␈er.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α22␈εβ␈α
(197␈α␈5),␈αA-␈α↓6␈α␈16;␈ε∪␈α23␈εβ␈α
(197␈α␈6),␈αA-␈α↓4␈α␈74.
␈βπ%␈↓ α␈εβOn␈α
man␈α}y␈α
comp␈α␈ute␈α␈rs,␈αthe␈α
mod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αeac␈α␈h␈αd␈α␈ivision␈α
step␈α
l␈α↓o␈α␈ng␈α␈er;␈αthe
␈βπM␈↓ ↓H␈εβid␈α␈ea␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α1,␈αwhich␈αsa␈α␈v␈α␈es␈ε⊂␈αa␈α␈l␈α↓l␈εβ␈αd␈α␈ivision␈αsteps␈αwhen␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α}t␈αi␈α↓s␈αun␈α␈i␈α↓ty␈α␈,␈αw␈α␈ould␈αbe
␈βπu␈↓ ↓H␈εβp␈α␈refera␈α␈ble␈αin␈αsu␈α␈ch␈αca␈α␈ses.
␈βλ#␈↓ λ`␈∧λ#λ`α⊃␈↓ 
_␈∧λ#
_α⊃␈↓ ∪␈∧λ#∪α⊃
␈βλ%␈↓ λ?␈ε↔p␈↓ λ|␈εn␈↓ 	w␈ε↔p␈↓ 
4␈εn␈↓ 
q␈ε↔p
␈βλ'␈↓ πp␈εα(␈↓ 
D␈εα)
␈βλ*␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	a␈↓ αk␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ β8␈ε	a␈↓ β]␈εβ=␈α
1,␈↓ ∧*␈ε	a␈↓ ∧y␈εβ=␈α
2␈↓ ¬4␈ε	a␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬|␈ε	a␈↓ εA␈εβ;␈α	then␈↓ π≤␈ε	a␈↓ πE␈εβ=␈↓ π|␈εβ(1␈αα+␈↓ λ`␈εβ2␈↓ λq␈εβ)␈↓ 	∂␈ε↔␈␈εβ␈αβ(␈α↓1␈ε↔␈αα␈␈↓ 
_␈εβ2␈↓ 
)␈εβ)␈↓ 
P␈εβ/2␈↓ ∪␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈βλ4␈↓ αU␈εε0␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧:␈εn␈↓ ∧J␈εε+1␈↓ ¬D␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ ε≤␈ε~␈␈εε1␈↓ π,␈εn
␈βλQ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αw␈α␈orst␈αcase␈α(i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αsen␈α␈se␈αo␈α␈f␈αTheo␈α␈rem␈αF␈α↓)␈αoccu␈α␈rs␈αwh␈α␈en␈↓ λF␈ε	u␈↓ λe␈εβ=␈↓ 	⊂␈ε	a␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	a␈ε	a␈↓ 
'␈εβ,␈↓ 
<␈ε	v␈↓ 
X␈εβ=␈↓ β␈ε	a␈↓ #␈εβ,
␈βλ\␈↓ 	 ␈εn␈↓ 	q␈εn␈↓ 
↓␈ε~␈␈εε1␈↓ ∪␈εn
␈βλy␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈ε↔∃␈εβ␈α	2.
␈β	!␈↓ α␈εβThis␈α	re␈α␈sult␈α	is␈α	d␈α␈ue␈α	to␈αλA.␈α	Dup␈α␈r␈↓ ¬'␈εβ∞␈↓ ¬(␈εβe␈↓ ¬@␈εβ[␈ε⊂J.␈α	d␈α␈e␈α	M␈α␈ath.␈ε∪␈α	1␈α␈1␈εβ␈α	(18␈α␈46␈α␈)␈α↓,␈α	41␈α␈↑64␈α␈]␈α↓,␈α	who␈αλalso␈α	in␈α}v␈α␈estiga␈α␈ted
␈β	I␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αλg␈α␈enera␈α␈l␈αλ\look␈α␈-ah␈α␈ead␈α␈"␈αλpr␈α␈oced␈α␈ure␈α␈s␈αλsugg␈α␈ested␈απby␈απJ.␈αλBi␈α↓n␈α␈et.␈α
See␈απP␈α↓.␈αλBach␈α␈man␈α␈n,␈ε⊂␈αλNi␈α↓e␈α␈dere
␈β	p␈↓ ↓H␈ε⊂Zah␈α␈len␈α␈th␈α␈eorie␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Leipzig:␈αTeub␈α␈ne␈α␈r,␈α19␈α␈02),␈α99↑␈α␈118␈α␈,␈αfor␈αa␈αd␈α␈i␈α↓sc␈α␈ussion␈αo␈α␈f␈αe␈α␈arly␈αan␈α␈alyse␈α␈s␈αo␈α␈f
␈β
_␈↓ ↓H␈εβEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m.
␈β
M␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ(b)␈↓ α>␈ε	Q␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	x␈↓ β8␈εβ,␈↓ βG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βs␈εβ,␈↓ ∧α␈ε	x␈↓ ∧O␈εβ)␈↓ ∧Z␈ε	Q␈↓ ¬&␈εβ(␈↓ ¬1␈ε	x␈↓ ¬}␈εβ,␈↓ ε␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε9␈εβ,␈↓ εH␈ε	x␈↓ π_␈εβ)␈α	co␈α␈rresp␈α␈on␈α␈ds␈α	to␈αλMo␈α␈rse␈α	co␈α␈de␈α	se␈α␈que␈α␈nce
␈β
W␈↓ αT␈εm␈↓ αk␈ε~␈␈εε1␈↓ β+␈εε1␈↓ ∧⊃␈εm␈↓ ∧)␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧p␈εn␈↓ ¬␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬@␈εm␈↓ ¬X␈εε+2␈↓ εW␈εm␈↓ εn␈εε+␈↓ ππ␈εn
␈β
t␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α(␈↓ αa␈ε	m␈↓ βπ␈εβ+␈↓ β0␈ε	n␈↓ βD␈εβ)␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈αa␈αd␈α␈ash␈αoccu␈α␈pies␈αp␈α␈osition␈α␈s␈↓ π←␈ε	m␈↓ λ	␈εβa␈α␈nd␈α(␈↓ λV␈ε	m␈↓ λ{␈εβ+␈αλ1);␈α
th␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αterm
␈β≤␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈α∂to␈α∂the␈α∂op␈α␈po␈α␈si␈α↓te␈α∂ca␈α␈se.␈α→(Altern␈α␈ativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α⊃us␈α␈e␈α⊂ex␈α}ercise␈α∂2.␈α_The␈α∂more␈α∂g␈α␈enera␈α␈l
␈βD␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity
␈β∃␈↓ ↓i␈ε	Q␈↓ α@␈εβ(␈↓ αK␈ε	x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β"␈εβ,␈↓ β1␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧␈ε	Q␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	x␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬C␈εβ,␈↓ ¬Q␈ε	x␈↓ ε∨␈εβ)␈α	=␈↓ ε]␈ε	Q␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	x␈↓ πX␈εβ,␈↓ πg␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ∀␈εβ,␈↓ λ"␈ε	x␈↓ λp␈εβ)␈↓ λ{␈ε	Q␈↓ 	!␈εβ(␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	y␈εβ,␈↓ 
λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
4␈εβ,␈↓ 
C␈ε	x␈↓ ∪␈εβ)
␈β∨␈↓ ↓␈␈εm␈↓ α⊗␈εε+␈↓ α0␈εn␈↓ αZ␈εε1␈↓ β@␈εm␈↓ βX␈εε+␈↓ βq␈εn␈↓ ∧#␈εk␈↓ ∧J␈εm␈↓ ∧b␈εε+1␈↓ ¬a␈εm␈↓ ¬x␈εε+␈↓ ε⊃␈εk␈↓ εt␈εm␈↓ π␈εε+␈↓ π$␈εk␈↓ πL␈εε1␈↓ λ2␈εm␈↓ λI␈εε+␈↓ λb␈εk␈↓ 	⊃␈εn␈↓ 	<␈εm␈↓ 	S␈εε+1␈↓ 
R␈εm␈↓ 
j␈εε+␈↓ β␈εn
␈β>␈↓ ¬C␈εk
␈βD␈↓ ∧R␈εβ+␈απ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ ¬7␈εβ)␈↓ ¬P␈ε	Q␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε.␈ε	x␈↓ εJ␈εβ,␈↓ εY␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π¬␈εβ,␈↓ π∀␈ε	x␈↓ πa␈εβ)␈↓ πl␈ε	Q␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	x␈↓ 	]␈εβ,␈↓ 	k␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
_␈εβ,␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
w␈εβ).
␈βN␈↓ ¬f␈εm␈↓ ¬⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ ε>␈εε1␈↓ π$␈εm␈↓ π;␈ε~␈␈εε1␈↓ λα␈εn␈↓ λ∩␈ε~␈␈↓ λ,␈εk␈↓ λ9␈ε~␈␈εε1␈↓ λy␈εm␈↓ 	⊂␈εε+␈↓ 	*␈εk␈↓ 	7␈εε+2␈↓ 
6␈εm␈↓ 
M␈εε+␈↓ 
f␈εn
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αap␈α␈pea␈α␈red␈αin␈αEu␈α␈ler's␈αp␈α␈ap␈α␈er.)
␈β
F␈↓ 	F␈ε~0␈↓ 
 ␈ε~0
␈β
J␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ(a)␈α∂The␈α∂n␈α␈ew␈α∂repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∂are␈↓ ¬z␈ε	x␈↓ ε≠␈εβ=␈↓ εM␈ε	m␈↓ εj␈εβ/␈↓ ε{␈ε	d␈↓ π
␈εβ,␈↓ π'␈ε	y␈↓ πI␈εβ=␈α⊃(␈↓ λε␈ε	n␈↓ λ$␈ε↔␈␈↓ λP␈ε	m␈↓ λm␈εβ)/␈↓ 		␈ε	d␈↓ 	≠␈εβ,␈↓ 	5␈ε	x␈↓ 	\␈εβ=␈↓ 
∞␈ε	y␈↓ 
7␈εβ=␈↓ 
h␈ε	d␈↓ ␈εβ=
␈β
m␈↓ λλ␈ε~0␈↓ 
∩␈ε~0
␈β
n␈↓ βl␈εε1
␈β
q␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	m␈↓ α"␈εβ,␈↓ α1␈ε	n␈↓ αM␈ε↔␈␈↓ αv␈ε	m␈↓ β∪␈εβ),␈α
fo␈α␈r␈↓ β|␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ<␈↓ ∧G␈ε	m␈↓ ∧o␈εβ<␈↓ ¬~␈ε	n␈↓ ¬.␈εβ.␈α≠(␈α↓b␈α␈)␈αThe␈αrelation␈α(␈↓ πR␈ε	n␈↓ πf␈εβ/␈↓ πw␈ε	x␈↓ λ∂␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λK␈ε	y␈↓ λh␈ε↔∀␈↓ 	∀␈ε	x␈↓ 	0␈εβ<␈↓ 	\␈ε	n␈↓ 	p␈εβ/␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
$␈εβd␈α␈e|n␈α␈es␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈β∞␈↓ βl␈∧∞βlα
␈β∞α␈↓ βl␈εε2
␈β∞∃␈↓ β&␈ε~0
␈β∞→␈↓ ↓H␈εβ(c)␈α
Co␈α␈un␈α}t␈α
the␈↓ β∃␈ε	x␈↓ β7␈εβsa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing␈α
(b␈α␈).␈α↔(d)␈α
A␈α
pa␈α␈i␈α↓r␈α
o␈α␈f␈αin␈α}teger␈α␈s␈↓ πM␈ε	x␈↓ πg␈εβ>␈↓ λ∩␈ε	y␈↓ λ-␈εβ>␈α
0,␈↓ λ|␈εβgcd␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	x␈↓ 	K␈εβ,␈↓ 	Y␈ε	y␈↓ 	l␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,␈αcan␈α	be
␈β∞A␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niqu␈α␈ely␈α¬wri␈α↓tte␈α␈n␈αεin␈α¬the␈α¬f␈α↓o␈α␈rm␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧s␈εβ=␈↓ ¬≡␈ε	Q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ ε↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	x␈↓ εc␈εβ),␈↓ ε␈␈ε	y␈↓ π~␈εβ=␈↓ πE␈ε	Q␈↓ λ_␈εβ(␈↓ λ#␈ε	x␈↓ λ?␈εβ,␈↓ λN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λz␈εβ,␈↓ 		␈ε	x␈↓ 	V␈εβ),␈απwhe␈α␈re␈↓ 
L␈ε	x␈↓ 
q␈ε↔∃␈εβ␈α
2
␈β∞J␈↓ 	␈ε↓P
␈β∞K␈↓ ¬4␈εm␈↓ ¬f␈εε1␈↓ εL␈εm␈↓ π[␈εm␈↓ πr␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ3␈εε1␈↓ 	→␈εm␈↓ 	0␈ε~␈␈εε1␈↓ 
[␈εε1
␈β∞h␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	m␈↓ α.␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈↓ αj␈εβ;␈α
here␈↓ βE␈ε	y␈↓ βX␈εβ/␈↓ βh␈ε	x␈↓ ∧β␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧t␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬K␈ε↔?␈εβ␈α␈.␈α_(e)␈αIt␈α
su}c␈α␈es␈αto␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈hat␈↓ 
!␈ε	T␈↓ 
9␈εβ(␈↓ 
D␈ε	k␈↓ 
T␈εβ,␈↓ 
c␈ε	n␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β∞s␈↓ ∧M␈εm␈↓ ¬>␈εε1
␈β∞{␈↓ 	&␈εε1␈ε~∀␈↓ 	L␈εk␈↓ 	Y␈ε~∀␈↓ 	r␈εn␈↓ 
β␈εε/␈α␈2
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α␈b␈↓ ↓e␈ε	n␈↓ ↓y␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α
+␈↓ α]␈ε	h␈↓ αm␈εβ(␈↓ αx␈ε	n␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α↔For␈α∂1␈ε↔␈α∂∀␈↓ ∧L␈ε	k␈↓ ∧l␈ε↔∀␈↓ ¬≥␈ε	n␈↓ ¬1␈εβ/2␈α∂th␈α␈e␈α∂co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α∂fra␈α␈ction␈α␈s␈↓ λG␈ε	k␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈ε	n␈↓ 	␈εβ=␈ε↔␈α⊂?␈↓ 	N␈ε	x␈↓ 	j␈εβ,␈↓ 	y␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
%␈εβ,␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
[␈ε↔?␈εβ␈α∞run
␈β∂ ␈↓ 	]␈εε1␈↓ 
D␈εm
␈β∂=␈↓ ↓H␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈αλall␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈α␈s␈α	(␈↓ ∧∞␈ε	x␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧f␈εβ,␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬≠␈εβ)␈α	such␈αλtha␈α␈t␈↓ ε?␈ε	m␈↓ εf␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈↓ π4␈ε	x␈↓ πY␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈↓ λ'␈ε	x␈↓ λW␈ε↔∃␈εβ␈α	2,␈↓ 	%␈ε	Q␈↓ 	R␈εβ(␈↓ 	]␈ε	x␈↓ 	y␈εβ,␈↓ 
λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
5␈εβ,␈↓ 
C␈ε	x␈↓ 
j␈εβ)␈ε↔␈α¬∧␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ;
␈β∂G␈↓ ∧≡␈εε1␈↓ ¬∧␈εm␈↓ πC␈εε1␈↓ λ6␈εm␈↓ 	;␈εm␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
S␈εm
␈β∂d␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	T␈↓ α ␈εβ(␈↓ α+␈ε	k␈↓ α;␈εβ,␈↓ αJ␈ε	n␈↓ α↑␈εβ)␈α	=␈α
2␈απ+␈αλ(␈↓ βi␈ε	m␈↓ ∧
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈β∂{␈↓ π>␈ε↓P
␈β⊂→␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ(a)␈α
Dividin␈α␈g␈↓ βE␈ε	x␈↓ βa␈εβan␈α␈d␈↓ ∧!␈ε	y␈↓ ∧>␈εβby␈↓ ∧n␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬∨␈εβ(␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬<␈εβ,␈↓ ¬K␈ε	y␈↓ ¬]␈εβ)␈αy␈α␈iel␈α↓d␈α␈s␈↓ εP␈ε	g␈↓ ε`␈εβ(␈↓ εk␈ε	n␈↓ ε␈␈εβ)␈α
=␈↓ λ∃␈ε	h␈↓ λ&␈εβ(␈↓ λ1␈ε	n␈↓ λE␈εβ/␈↓ λU␈ε	d␈↓ λh␈εβ);␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈α
28␈α␈(c),
␈β⊂,␈↓ πd␈εd␈↓ πs␈ε~∧␈↓ π␈␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αu␈α␈se␈αthe␈αsym␈α␈metry␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αp␈α␈rimed␈αan␈α␈d␈αu␈α␈np␈α␈ri␈α↓m␈α␈ed␈αva␈α␈riables.␈α≤(b␈α␈)␈α
For␈α|x␈α}ed␈↓ 
X␈ε	y␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β⊂h␈↓ π≤␈∧⊂hπ≤α'␈↓ 

␈∧⊂h

α'
␈β⊂i␈↓ εz␈ε↔p␈↓ 	i␈ε↔p
␈β⊂j␈↓ ¬G␈ε~0␈↓ ε;␈ε~0
␈β⊂n␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓T␈εβ,␈α
th␈α␈e␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αwi␈α↓t␈α␈h␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈ε	d␈↓ ¬	␈ε↔∃␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬Z␈εβha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εM␈εβ<␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π0␈ε	d␈↓ πB␈εβ;␈α∞h␈α␈en␈α␈ce␈α
t␈α␈here␈αare␈↓ 	F␈ε	O␈↓ 	↑␈εβ(␈↓ 

␈ε	n␈↓ 
≡␈ε	d␈↓ 
1␈εβ/␈↓ 
B␈ε	y␈↓ 
T␈εβ)␈α
su␈α␈ch
␈β⊂w␈↓ πε␈ε↓p
␈β⊃∩␈↓ π*␈∧⊃∩π*α8
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns.␈α↔No␈α}w␈α∂sum␈α∂fo␈α␈r␈α∂0␈α⊂<␈↓ ¬g␈ε	t␈↓ εα␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε	y␈↓ εU␈εβ<␈↓ π*␈ε	n␈↓ π>␈εβ/␈↓ πO␈ε	d␈↓ πa␈εβ.␈α!(c)␈α∂If␈↓ λd␈ε	s␈↓ λr␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε	y␈↓ 	⊂␈εβ)␈α∂is␈α∂th␈α␈e␈α∂giv␈α␈en␈α∞su␈α␈m,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα686␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βαβ␈↓ α∃␈ε↓P␈↓ λ+␈ε↓P
␈βα!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ αk␈ε	s␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	d␈↓ β⊗␈εβ)␈α
=␈↓ β[␈ε	y␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	H␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧\␈ε	H␈↓ ¬↓␈εβ)␈α=␈↓ ¬F␈ε	k␈↓ ¬V␈εβ(␈↓ ¬a␈ε	y␈↓ ¬t␈εβ),␈α
say␈α␈;␈α∂h␈α␈en␈α␈ce␈↓ π;␈ε	s␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε	y␈↓ πf␈εβ)␈α
=␈↓ 	↓␈ε	k␈↓ 	⊃␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	y␈↓ 	/␈εβ/␈↓ 	@␈ε	d␈↓ 	R␈εβ).␈α⊃No␈α␈w␈↓ 
F␈ε	k␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	y␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈βα,␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ∧≠␈εy␈↓ ∧r␈εy
␈βα2␈↓ ∧.␈ε↓P␈↓ εZ␈ε↓P␈↓ 	=␈ε↓P
␈βα4␈↓ α;␈εd␈↓ αJ␈ε~∧␈↓ αW␈εy␈↓ λQ␈εd␈↓ λ`␈ε~∧␈↓ λm␈εy
␈βαL␈↓ ε→␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈βαM␈↓ αA␈εε1
␈βαP␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓`␈εβln␈↓ α↓␈εβ2␈ε↔␈α¬␈␈↓ αV␈εβ+␈↓ α|␈ε	O␈↓ β∀␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ βA␈ε	y␈↓ βS␈εβ).␈α∃(d)␈↓ ¬8␈ε	⎇␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε	y␈↓ ¬k␈εβ)/␈↓ επ␈ε	y␈↓ ε/␈εβ=␈↓ λ→␈ε	⊗␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε	d␈↓ λI␈εβ)/␈↓ λd␈ε	y␈↓ λw␈ε	d␈↓ 	∪␈εβ=␈↓ 
,␈ε	⊗␈↓ 
>␈εβ(␈↓ 
I␈ε	d␈↓ 
[␈εβ)␈α↓/␈↓ 
w␈ε	c␈↓ ∧␈ε	d␈↓ #␈εβ.
␈βα↑␈↓ αA␈∧α↑αAα
␈βα`␈↓ αA␈εε4
␈βαa␈↓ αn␈ε↓P␈↓ εg␈ε↓P
␈βαc␈↓ ∧T␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧z␈εy␈↓ ¬	␈ε~∀␈↓ ¬"␈εn␈↓ π␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π&␈εy␈↓ π4␈ε~∀␈↓ πN␈εn␈↓ π↑␈εε,␈↓ πi␈εd␈↓ πx␈ε~∧␈↓ λ∧␈εy␈↓ 	c␈εc␈↓ 	n␈εd␈↓ 	⎇␈ε~∀␈↓ 
⊗␈εn
␈βα{␈↓ ∧y␈εε2␈↓ λI␈εε2␈↓ 	E␈εε2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε
␈εα)␈↓ 
v␈εα(
␈ββ␈↓ ↓T␈εβS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈↓ βx␈ε	≠␈↓ ∧.␈εβ(␈↓ ∧9␈ε	y␈↓ ∧K␈εβ)/␈↓ ∧g␈ε	y␈↓ ¬∪␈εβ=␈↓ ¬B␈ε	O␈↓ ¬Z␈εβ(1).␈↓ ε4␈εβ(e)␈↓ πo␈ε	⊗␈↓ λ↓␈εβ(␈↓ λ␈ε	k␈↓ λ≤␈εβ)␈α↓/␈↓ λ8␈ε	k␈↓ λb␈εβ=␈α∞6/␈↓ 	2␈ε	→␈↓ 	Z␈εβ+␈↓ 
¬␈ε	O␈↓ 
≥␈εβ(1/␈↓ 
I␈ε	n␈↓ 
]␈εβ)␈↓ α␈εβsee
␈ββ
␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1
␈ββ⊂␈↓ ∧;␈ε↓P
␈ββ∩␈↓ β∀␈εε1␈ε~∀␈↓ β:␈εy␈↓ βI␈ε~∀␈↓ βb␈εn␈↓ π
␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π2␈εk␈↓ π@␈ε~∀␈↓ πY␈εn
␈ββ*␈↓ εc␈εε2␈↓ 
s␈εε2
␈ββ+␈↓ β←␈εα)␈↓ 	e␈εα(␈↓ 
␈␈εα)
␈ββ.␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈αλ4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈↑10␈α␈(d)␈↓ βk␈εβ;␈α	an␈α␈d␈↓ ¬C␈ε	⊗␈↓ ¬U␈εβ(␈↓ ¬a␈ε	k␈↓ ¬q␈εβ)␈↓ εα␈εβlo␈α␈g␈↓ ε2␈ε	k␈↓ εB␈εβ/␈↓ εS␈ε	k␈↓ εy␈εβ=␈↓ π#␈ε	O␈↓ π;␈εβ(␈α↓1␈α␈).␈αHen␈α␈ce␈↓ λU␈ε	h␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ)␈α	=␈↓ 	Q␈ε	n␈↓ 	q␈εβ(3␈↓ 
∩␈εβl␈α↓n␈↓ 
4␈εβ2␈α␈)/␈↓ 
`␈ε	→␈↓ ␈ε↔α
␈ββ9␈↓ λd␈εd
␈ββ>␈↓ ε4␈ε↓P
␈ββA␈↓ ∧a␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬π␈εk␈↓ ¬∀␈ε~∀␈↓ ¬-␈εn
␈ββX␈↓ 
∪␈εε2
␈ββY␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 
 ␈εα)␈↓ 
@␈εα(
␈ββ\␈↓ ↓H␈εβln␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	n␈↓ αβ␈εβ/␈↓ α∪␈ε	d␈↓ α&␈εβ)␈α
+␈↓ αf␈ε	O␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	n␈↓ β≥␈εβ)␈α∂for␈↓ βn␈ε	d␈↓ ∧⊂␈ε↔∃␈εβ␈α⊂1.␈α⊗So␈↓ ¬#␈ε	h␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε	n␈↓ ¬S␈εβ)␈α∂=␈α⊂2␈↓ π⊗␈ε	⊗␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε	d␈↓ πF␈εβ)␈↓ πQ␈ε	h␈↓ πk␈εβ(␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ
␈εβ/␈↓ λ≠␈ε	c␈↓ λ(␈ε	d␈↓ λ;␈εβ)␈α∂=␈↓ 	∩␈εβ(6␈↓ 	3␈εβln␈↓ 	T␈εβ2)/␈↓ 
↓␈ε	→␈↓ 
,␈ε	n␈↓ 
L␈εβln␈↓ 
m␈ε	n␈↓ ␈ε↔␈
␈ββg␈↓ πa␈εc
␈ββo␈↓ εZ␈εc␈↓ εe␈εd␈↓ εt␈ε~∧␈↓ π␈εn
␈ββq␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ α~␈ε↓P␈↓ λ∧␈ε↓P␈↓ λ↑␈ε↓P
␈β∧∧␈↓ α@␈ε~0
␈β∧␈↓ ∧→␈εε2
␈β∧␈↓ αF␈εα)␈↓ β~␈εα(␈↓ ∧&␈εα)
␈β∧∂␈↓ ↓s␈ε↔␈␈↓ αY␈εβ+␈↓ βα␈ε	O␈↓ β&␈ε	n␈↓ β:␈ε	≠␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	n␈↓ ∧∞␈εβ)␈↓ ∧2␈εβ,␈αwher␈α␈e␈αth␈α␈e␈αrema␈α␈ining␈α
sum␈α␈s␈αare␈↓ λ4␈εβ=␈↓ 	@␈ε	⊗␈↓ 	R␈εβ(␈↓ 	]␈ε	d␈↓ 	p␈εβ)␈↓ 
␈εβl␈α↓n␈↓ 
≤␈εβ(␈↓ 
'␈ε	c␈↓ 
4␈ε	d␈↓ 
G␈εβ)/␈↓ 
b␈ε	c␈↓ 
o␈ε	d␈↓ ␈εβ=
␈β∧~␈↓ βI␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧"␈↓ 	∧␈εc␈↓ 	∂␈εd␈↓ 	≥␈ε~∧␈↓ 	*␈εn
␈β∧$␈↓ α-␈ε↓P␈↓ β≤␈ε↓P␈↓ ¬←␈ε↓P
␈β∧7␈↓ αS␈ε~0
␈β∧B␈↓ ↓H␈εβ0␈α∂a␈α␈nd␈↓ αj␈εβ=␈↓ β}␈ε	⊗␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε	d␈↓ ∧-␈εβ)␈↓ ∧>␈εβln␈↓ ∧←␈ε	c␈↓ ∧l␈εβ/␈↓ ∧⎇␈ε	c␈↓ ¬
␈ε	d␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ε6␈ε	β␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε	d␈↓ εh␈εβ)/␈↓ π∧␈ε	d␈↓ π⊗␈εβ.␈α"[It␈α⊂is␈α⊂w␈α␈e␈α␈l␈α↓l␈α∂kn␈α␈o␈α␈wn␈α∂tha␈α␈t␈↓ 
≠␈ε	≠␈↓ 
P␈εβ(␈↓ 
[␈ε	n␈↓ 
o␈εβ)␈α⊃=
␈β∧M␈↓ 
+␈ε~␈␈εε1
␈β∧U␈↓ βB␈εc␈↓ βL␈εd␈↓ β[␈ε~∧␈↓ βh␈εn␈↓ ε¬␈εd␈↓ ε∀␈ε~∧␈↓ ε ␈εn
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈εβlog␈↓ αK␈ε	n␈↓ α←␈εβ);␈αc␈α␈f.␈αHa␈α␈rdy␈αa␈α␈nd␈α
W␈α↓rig␈α␈h␈α␈t,␈ε⊂␈αTheo␈α␈ry␈αo␈α␈f␈αNu␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈εβ,␈ε↔␈αx␈εβ22.9␈α␈.␈α↓]
␈β¬#␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αP␈α↓ro␈α␈c.␈αNat.␈αAcad␈α␈.␈αS␈α␈ci.␈ε∪␈α72␈εβ␈α(19␈α␈75),␈α47␈α␈20↑␈α␈472␈α␈2.
␈β¬W␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβWork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αbac␈α␈kwar␈α␈ds,␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αcho␈α␈ose␈↓ λ-␈ε	k␈↓ λH␈εβ,␈↓ λ]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	∨␈ε	k␈↓ 	o␈εβso␈αtha␈α␈t␈↓ 
a␈ε	u␈↓ ␈ε↔⊃
␈β¬b␈↓ λ<␈εε1␈↓ 	-␈εn␈↓ 	>␈ε~␈␈εε1␈↓ 
t␈εk
␈β¬|␈↓ βa␈εα(␈↓ εg␈εα)
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓w␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α$␈ε	F␈↓ αn␈ε	F␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ βx␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧n␈εβgc␈α␈d␈↓ ¬ ␈εβ(␈↓ ¬+␈ε	u␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ¬⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε*␈εβ,␈↓ ε9␈ε	u␈↓ ε\␈εβ)␈↓ ε}␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ πu␈ε	i␈↓ λ␈εβ<␈↓ λ6␈ε	n␈↓ λJ␈εβ,␈αwith␈↓ 	)␈ε	u␈↓ 	V␈εβ=␈↓ 
↓␈ε	F␈↓ 
0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
]␈ε	F
␈βε	␈↓ ↓Z␈εk␈↓ α6␈εk␈↓ β↓␈εk␈↓ ¬>␈εi␈↓ ¬I␈εε+1␈↓ εL␈εn␈↓ 	=␈εn␈↓ 
∪␈εk␈↓ 
o␈εk
␈βε⊃␈↓ ↓f␈επ1␈↓ αB␈ε
i␈↓ αM␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ β
␈ε
i␈↓ 
∨␈επ1␈↓ 
{␈ε
n␈↓ ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βε&␈↓ ↓H␈εβa␈α	min␈α␈i␈α↓m␈α}um,␈α
wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈↓ ∧∃␈ε	k␈↓ ∧&␈εβ's␈α
a␈α␈re␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e,␈↓ ¬␈␈ε	k␈↓ ε#␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈,␈α
and␈↓ π1␈ε	k␈↓ πQ␈εβ+␈↓ πx␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ$␈εβ+␈↓ λK␈ε	k␈↓ 	→␈εβ=␈↓ 	C␈ε	N␈↓ 	h␈εβ+␈↓ 
∞␈ε	n␈↓ 
(␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈.␈αThe
␈βε1␈↓ ε
␈εε1␈↓ π?␈εε1␈↓ λZ␈εn␈↓ λj␈ε~␈␈εε1
␈βεN␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α
is␈↓ αf␈ε	k␈↓ β
␈εβ=␈↓ β5␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βe␈εβ=␈↓ ∧∂␈ε	k␈↓ ∧]␈εβ=␈α
2,␈↓ ¬-␈ε	u␈↓ ¬Y␈εβ=␈↓ ε∧␈ε	F␈↓ ε⎇␈εβ.␈α[S␈α␈ee␈ε⊂␈α
CAC␈α␈M␈ε∪␈α1␈α␈3␈εβ␈α(1␈α␈970␈α␈),␈α433␈α␈↑43␈α␈6,␈α4␈α␈47↑
␈βεY␈↓ αt␈εε2␈↓ ∧≡␈εn␈↓ ∧.␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬@␈εn␈↓ ε⊗␈εN␈↓ ε.␈ε~␈␈↓ εG␈εn␈↓ εX␈εε+3
␈βεv␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈48.]
␈βπ*␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αP␈α↓ro␈α␈c.␈αAmer.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε∪␈α7␈εβ␈α
(195␈α␈6),␈α101␈α␈4↑1␈α␈021␈α␈;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αalso␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α6␈α␈.1↑1␈α␈8.
␈βπY␈↓ ¬t␈ε~␈␈εε1
␈βπ↑␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	m␈↓ αn␈εβ=␈ε↔␈α
d␈↓ β&␈ε	n␈↓ β:␈εβ/␈↓ βJ␈ε	≡␈↓ β]␈ε↔e␈εβ,␈α
so␈α	that␈↓ ∧k␈ε	m␈↓ ¬λ␈εβ/␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬6␈εβ=␈↓ ¬a␈ε	≡␈↓ ε∨␈εβ+␈↓ εF␈ε	∂␈↓ ε\␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε	x␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πm␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ→␈ε↔?␈εβ␈α	where␈α	0␈α	<␈↓ 	W␈ε	∂␈↓ 	m␈εβ<␈α	1/␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
M␈εβ.␈αLet␈↓ ≤␈ε	k
␈βπh␈↓ π&␈εε1␈↓ πQ␈εε2
␈βλ↓␈↓ ¬`␈εε1␈ε~␈␈↓ εε␈εk␈↓ ππ␈εk␈↓ λ#␈ε~␈␈↓ λ=␈εk␈↓ 	>␈εk
␈βλα␈↓ ¬A␈εα(␈↓ πg␈εα)/(␈↓ 	x␈εα)
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α	minimal␈α	suc␈α␈h␈α	that␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧)␈ε↔∃␈εβ␈α	2;␈α
the␈α␈n␈↓ ¬M␈ε	≡␈↓ ε_␈εβ+␈αε(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π∀␈ε	F␈↓ πZ␈ε	∂␈↓ λ⊃␈ε	≡␈↓ λO␈ε↔␈␈εβ␈αε(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	3␈εβ)␈↓ 	K␈ε	F␈↓ 	k␈ε	∂␈↓ 

␈ε↔∃␈εβ␈α	2,␈α
he␈α␈nce
␈βλ⊂␈↓ ∧∩␈εk␈↓ π'␈εk␈↓ π4␈ε~␈␈εε1␈↓ 	]␈εk
␈βλ'␈↓ λN␈∧λ'λNα⊃
␈βλ(␈↓ λ-␈ε↔p
␈βλ)␈↓ β)␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬%␈εk␈↓ εZ␈εε2␈↓ εg␈εk␈↓ εt␈εε+2␈↓ π↑␈ε~␈␈εε2
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓d␈εβis␈α
e␈α␈v␈α␈en␈αand␈↓ β⊗␈ε	≡␈↓ βZ␈εβ=␈α2␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧H␈ε	≡␈↓ ∧f␈ε↔∀␈↓ ¬∪␈ε	≡␈↓ ¬2␈ε	F␈↓ ¬x␈ε	∂␈↓ ε⊂␈εβ=␈α(␈↓ εG␈ε	≡␈↓ π"␈ε↔␈␈↓ πK␈ε	≡␈↓ λ∧␈εβ)␈↓ λ∂␈ε	∂␈↓ λ≤␈εβ/␈↓ λN␈εβ5␈↓ λ←␈εβ.␈α∞[␈ε⊂Ann␈α␈.␈α
Polon␈α␈.␈α
M␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α
1
␈βλ7␈↓ ¬E␈εk␈↓ ¬R␈εε+2
␈βλT␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈954␈α␈),␈α2␈α␈03↑␈α␈206␈α␈.␈α↓]
␈β	λ␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβAt␈α
least␈α287␈αat␈α
b␈α␈ats;␈ε↔␈α∞?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε95␈ε↔␈α␈?␈εβ␈α=␈α
96␈α␈/28␈α␈7␈α=␈α
.33␈α␈449␈α␈477␈↓ λ8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λe␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
n␈α␈o␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
with
␈β	0␈↓ ↓H␈εβd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tor␈α<␈α	287␈α
l␈α↓ies␈αin␈αth␈α␈e␈αin␈α␈terv␈α␈al␈α[.␈α↓3␈α␈335␈α␈,␈αε.334␈α␈5]␈α	=␈α
[␈ε↔?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε666␈ε↔␈α␈?␈εβ,␈ε↔␈α?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε94,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε3␈ε↔?␈εβ].
␈β	X␈↓ α␈εβTo␈αsolv␈α␈e␈αthe␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α
qu␈α␈estion␈αof␈αthe␈αfraction␈αin␈α[␈↓ π[␈ε	a␈↓ πl␈εβ,␈↓ πz␈ε	b␈↓ λλ␈εβ]␈α
with␈αsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈α
de␈α␈no␈α␈minato␈α␈r,
␈β
␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α
0␈α	<␈↓ αl␈ε	a␈↓ β¬␈εβ<␈↓ β0␈ε	b␈↓ βF␈εβ<␈α
1␈α␈,␈αno␈α␈te␈αth␈α␈at␈α
in␈α
terms␈α
of␈α
regu␈α␈lar␈α
con␈α}tin␈α␈ue␈α␈d-frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s
␈β
#␈↓ ε>␈εj␈↓ πa␈εj
␈β
'␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈α?␈↓ αX␈ε	x␈↓ αt␈εβ,␈↓ ββ␈ε	x␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βZ␈ε↔?␈εβ␈α	<␈ε↔␈α	?␈↓ ∧/␈ε	y␈↓ ∧K␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε	y␈↓ ∧v␈εβ,␈↓ ¬¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬2␈ε↔?␈εβ␈α
i{␈α(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε3␈εβ)␈↓ εJ␈ε	x␈↓ εo␈εβ<␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πm␈ε	y␈↓ λ∀␈εβfor␈αth␈α␈e␈αsmallest␈↓ 
↓␈ε	j␈↓ 
≠␈εβwith␈↓ 
f␈ε	x␈↓ ␈ε↔≤
␈β
2␈↓ αg␈εε1␈↓ β∩␈εε2␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧j␈εε2␈↓ εY␈εj␈↓ π⎇␈εj␈↓ 
v␈εj
␈β
O␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈εβ,␈α∞where␈αwe␈α
p␈α␈lace␈α
\␈ε↔␈α␈1␈εβ␈α↓"␈αafter␈α
th␈α␈e␈α
last␈α
pa␈α␈rtial␈α
quo␈α␈tien␈α␈t␈α
o␈α␈f␈α∞a␈αration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber.␈α⊃Th␈α␈u␈α␈s␈α
if
␈β
Y␈↓ ↓W␈εj
␈β
v␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓c␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ α ␈ε	x␈↓ α<␈εβ,␈↓ αK␈ε	x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β"␈ε↔?␈εβ␈αan␈α␈d␈↓ ∧↓␈ε	b␈↓ ∧~␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ ∧W␈ε	y␈↓ ∧s␈εβ,␈↓ ¬α␈ε	y␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬Y␈ε↔?␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ εb␈ε	j␈↓ ε⎇␈εβi␈α↓s␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
with␈↓ λp␈ε	x␈↓ 	⊗␈ε↔≤␈↓ 	C␈ε	y␈↓ 	↑␈εβ,␈α
the␈αfra␈α␈ction␈α␈s
␈β↓␈↓ α0␈εε1␈↓ α[␈εε2␈↓ ∧f␈εε1␈↓ ¬∩␈εε2␈↓ λ␈␈εj␈↓ 	R␈εj
␈β≡␈↓ ↓H␈εβin␈α∂[␈↓ ↓|␈ε	a␈↓ α
␈εβ,␈↓ α≠␈ε	b␈↓ α)␈εβ]␈α⊂h␈α␈av␈α}e␈α⊂th␈α␈e␈α⊂fo␈α␈rm␈↓ ∧'␈ε	c␈↓ ∧D␈εβ=␈ε↔␈α⊃?␈↓ ¬π␈ε	x␈↓ ¬#␈εβ,␈↓ ¬2␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬↑␈εβ,␈↓ ¬m␈ε	x␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	z␈↓ εT␈εβ,␈↓ εc␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εβ,␈↓ π≡␈ε	z␈↓ πA␈ε↔?␈εβ␈α∂wh␈α␈ere␈ε↔␈α⊂?␈↓ λV␈ε	z␈↓ λm␈εβ,␈↓ λ|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	)␈εβ,␈↓ 	7␈ε	z␈↓ 	Z␈ε↔?␈εβ␈α∂li␈α↓e␈α␈s␈α⊂b␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈β)␈↓ ¬⊗␈εε1␈↓ ¬|␈εj␈↓ ελ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εH␈εj␈↓ π)␈εm␈↓ λa␈εj␈↓ 	B␈εm
␈βF␈↓ ↓H␈ε↔?␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ αβ␈ε	x␈↓ αD␈εβ,␈↓ αS␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α␈␈ε↔?␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α?␈↓ βl␈ε	y␈↓ ∧λ␈εβ,␈↓ ∧↔␈ε	y␈↓ ∧X␈εβ,␈↓ ∧g␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∀␈ε↔?␈εβ␈α
i␈α↓n␈α␈clusiv␈α}e.␈αLet␈↓ ε}␈ε	Q␈↓ πC␈εβ=␈α	0.␈αThe␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor
␈βP␈↓ ↓h␈εj␈↓ α∩␈εj␈↓ α≡␈εε+1␈↓ β|␈εj␈↓ ∧&␈εj␈↓ ∧3␈εε+1␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1
␈β⊗␈↓ α
␈ε	Q␈↓ αR␈εβ(␈↓ α]␈ε	x␈↓ αy␈εβ,␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β5␈εβ,␈↓ βC␈ε	x␈↓ ∧¬␈εβ)␈↓ ∧⊂␈ε	Q␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∪␈ε	z␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	z␈↓ ε↔␈εβ)␈απ+␈↓ εR␈ε	Q␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ πA␈εβ,␈↓ πP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π|␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ λM␈εβ)␈↓ λX␈ε	Q␈↓ 	*␈εβ(␈↓ 	5␈ε	z␈↓ 	r␈εβ,␈↓ 
↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
<␈ε	z␈↓ 
←␈εβ)
␈β!␈↓ α ␈εj␈↓ α,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ αm␈εε1␈↓ βS␈εj␈↓ β←␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧&␈εm␈↓ ∧=␈ε~␈␈↓ ∧V␈εj␈↓ ∧b␈εε+␈α↓1␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ε␈εm␈↓ εh␈εj␈↓ εt␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ π5␈εε1␈↓ λ≠␈εj␈↓ λ'␈ε~␈␈εε2␈↓ λn␈εm␈↓ 	¬␈ε~␈␈↓ 	≡␈εj␈↓ 	A␈εj␈↓ 	M␈εε+1␈↓ 
H␈εm
␈βf␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈ε	c␈↓ απ␈εβis␈αminimized␈αwh␈α␈en␈↓ ∧!␈ε	m␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ∧s␈ε	j␈↓ ¬
␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬N␈ε	z␈↓ ¬n␈εβ=␈α
(␈↓ ε$␈ε	j␈↓ ε?␈εβo␈α␈dd␈ε↔␈α)␈↓ π+␈ε	y␈↓ πN␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ8␈ε	∞␈↓ 	↔␈εβ;␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	O␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
9␈ε	∞␈↓ _␈εβ).
␈βq␈↓ ¬Y␈εj␈↓ π:␈εj␈↓ λD␈εy␈↓ λ}␈ε~1␈↓ 	;␈εj␈↓ 
E␈εx␈↓ 
␈␈ε~1
␈βy␈↓ λQ␈ε
j␈↓ λ\␈επ+1␈↓ 
R␈ε
j␈↓ 
]␈επ+1
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβ[An␈α␈othe␈α␈r␈αway␈αto␈α
deriv␈α}e␈αthis␈αmeth␈α␈od␈α
come␈α␈s␈αf␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αtheo␈α␈ry␈αin␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈.␈α↓]
␈β
B␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αcan␈α
pro␈α}v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ¬v␈ε	p␈↓ ε∩␈ε	q␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εU␈ε	p␈↓ εm␈ε	q␈↓ π∞␈εβ=␈α
1␈αa␈α␈t␈αeac␈α␈h␈αno␈α␈de␈α␈,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ 	}␈ε	p␈↓ 
!␈εβa␈α␈nd␈↓ 
a␈ε	q␈↓ ␈εβare
␈β
M␈↓ εε␈εr␈↓ ε≡␈εl␈↓ εe␈εl␈↓ εy␈εr␈↓ 
∞␈εl␈↓ 
m␈εl
␈β
f␈↓ ¬≠␈ε~0␈↓ ¬A␈ε~0␈↓ λY␈ε~0␈↓ 	V␈ε~0␈↓ 
1␈ε~0␈↓ 
W␈ε~0
␈β
j␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime.␈α⊂S␈α␈ince␈↓ ∧!␈ε	p␈↓ ∧2␈εβ/␈↓ ∧C␈ε	q␈↓ ∧]␈εβ<␈↓ ¬
␈ε	p␈↓ ¬"␈εβ/␈↓ ¬2␈ε	q␈↓ ¬T␈εβimplies␈α
t␈α␈hat␈↓ π⊂␈ε	p␈↓ π!␈εβ/␈↓ π2␈ε	q␈↓ πL␈εβ<␈α
(␈↓ λ¬␈ε	p␈↓ λ≡␈εβ+␈↓ λH␈ε	p␈↓ λ←␈εβ)/(␈↓ 	ε␈ε	q␈↓ 	≥␈εβ+␈↓ 	G␈ε	q␈↓ 	\␈εβ)␈α<␈↓ 
 ␈ε	p␈↓ 
7␈εβ/␈↓ 
H␈ε	q␈↓ 
]␈εβ,␈α
i␈α↓t␈αis
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α	clea␈α␈r␈α	tha␈α␈t␈α	the␈αλlabe␈α␈l␈α↓s␈αλon␈αλall␈α	l␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈αλdesc␈α␈end␈α␈an␈α}ts␈α	of␈↓ π_␈ε	p␈↓ π)␈εβ/␈↓ π9␈ε	q␈↓ πQ␈εβare␈αλless␈α	th␈α␈an␈↓ 	␈ε	p␈↓ 	≥␈εβ/␈↓ 	.␈ε	q␈↓ 	=␈εβ,␈α	while␈α	th␈α␈e␈α	lab␈α␈els
␈β∞9␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈α
all␈α
its␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
d␈α␈escen␈α␈da␈α␈n␈α␈ts␈α
a␈α␈re␈α
grea␈α␈ter.␈αThe␈α␈refore␈α
ea␈α␈ch␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
at␈α
mos␈α␈t
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nce␈α
as␈αa␈αlab␈α␈el.
␈β∂	␈↓ α␈εβIt␈αremain␈α␈s␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αe␈α␈ach␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αd␈α␈oes␈αap␈α␈pea␈α␈r.␈αI␈α↓f␈↓ λ≠␈ε	p␈↓ λ,␈εβ/␈↓ λ=␈ε	q␈↓ λU␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ 	⊃␈ε	a␈↓ 	-␈εβ,␈↓ 	<␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	h␈εβ,␈↓ 	w␈ε	a␈↓ 
∪␈εβ,␈α¬1␈ε↔?␈εβ,␈αwhere
␈β∂∪␈↓ 	 ␈εε1␈↓ 
ε␈εr
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α∃␈ε	a␈↓ α=␈εβis␈α
a␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈te␈α␈ger,␈α∞o␈α␈ne␈α
c␈α␈an␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
b␈α␈y␈α
ind␈α␈uctio␈α␈n␈α
th␈α␈at␈α
the␈αnod␈α␈e␈α
lab␈α␈eled␈↓ 
Y␈ε	p␈↓ 
j␈εβ/␈↓ 
z␈ε	q␈↓ ⊗␈εβis
␈β∂;␈↓ α%␈εi
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αgo␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αleft␈↓ βj␈ε	a␈↓ ∧⊃␈εβti␈α↓m␈α␈es,␈αthen␈α
righ␈α␈t␈↓ ε⊂␈ε	a␈↓ ε7␈εβtimes,␈αth␈α␈en␈αleft␈↓ λ ␈ε	a␈↓ λG␈εβtimes,␈αetc.
␈β∂b␈↓ βz␈εε1␈↓ ε∨␈εε2␈↓ λ0␈εε3
␈β⊂␈↓ α␈εβ[P␈α↓e␈α␈i␈α↓rc␈α␈e␈α∂co␈α␈mm␈α␈u␈α␈nicate␈α␈d␈α∞this␈α∂c␈α␈onstr␈α␈uction␈α∞in␈α∞a␈α∞l␈α↓e␈α␈tter␈α∂d␈α␈ated␈α∞J␈α␈uly␈α∞17,␈α∂190␈α␈3,␈α⊂b␈α␈ut␈α∞he
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈α
p␈α␈ub␈α␈l␈α↓ish␈α␈ed␈αit;␈α∞an␈α␈d␈αdu␈α␈ring␈αth␈α␈e␈α
n␈α␈ext␈αfew␈α
y␈α}ears␈αhe␈αoc␈α␈casion␈α␈ally␈αam␈α␈u␈α␈sed␈αhimself␈αby
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβm␈α␈akin␈α␈g␈αra␈α␈ther␈αcryp␈α␈tic␈αrem␈α␈ark␈α␈s␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αit␈αwithou␈α␈t␈αrev␈α}ealing␈αth␈α␈e␈αun␈α␈de␈α␈rl␈α↓y␈α␈ing␈αmech␈α␈an␈α␈ism.
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈α
C.␈α∞S.␈α∞Peirce,␈ε⊂␈α∞T␈α↓h␈α␈e␈α∞N␈α␈ew␈α∞Elemen␈α}ts␈α∞of␈α∞M␈α␈ath␈α␈ema␈α␈ti␈α↓c␈α␈s␈ε∪␈α∞3␈εβ␈α∞(Th␈α␈e␈α∞Ha␈α␈gue␈α␈:␈α⊃Mo␈α␈uto␈α␈n,␈α∞197␈α␈6),
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈81↑␈α␈784␈α␈,␈α8␈α␈26␈α␈↑82␈α␈9;␈αalso␈ε∪␈α1␈εβ,␈α20␈α␈7↑2␈α␈11;␈αan␈α␈d␈αh␈α␈is␈ε⊂␈αColl␈α↓e␈α␈cted␈α
P␈α↓a␈α␈pers␈ε∪␈α4␈εβ␈α(1␈α␈933␈α␈),␈α2␈α␈76↑␈α␈280␈α␈.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα687
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪41.␈↓ α␈εβ(We␈α∞assu␈α␈me␈α
that␈↓ ∧∃␈ε	x␈↓ ∧4␈εβ>␈α∞0.)␈α∀Ap␈α␈ply␈α
Euclid's␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
to␈α∞g␈α␈et␈α∞a␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α∞fra␈α␈ction
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓i␈εβ=␈ε↔␈α⊃?␈↓ α,␈ε	a␈↓ αH␈εβ,␈↓ αW␈ε	a␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β.␈ε↔?␈εβ;␈α⊃here␈↓ ∧&␈ε	a␈↓ ∧Q␈εβmay␈α∞equ␈α␈al␈α⊂0␈α␈,␈α⊃bu␈α␈t␈↓ εf␈ε	a␈↓ πα␈εβ,␈↓ π≤␈ε	a␈↓ π8␈εβ,␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λλ␈εβm␈α␈us␈α␈t␈α⊂b␈α␈e␈ε↔␈α∂∃␈εβ␈α⊃1.␈α_Let␈↓ 
4␈ε	p␈↓ 
a␈εβ=␈α⊃1␈α␈,
␈βα\␈↓ α;␈εε1␈↓ αf␈εε2␈↓ ∧5␈εε1␈↓ εv␈εε2␈↓ π,␈εε3␈↓ 
D␈εε0
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓n␈εβ=␈α∂0␈α␈,␈↓ αF␈ε	p␈↓ αq␈εβ=␈α∞0,␈↓ βI␈ε	q␈↓ βo␈εβ=␈α∂1␈α␈,␈↓ ∧G␈ε	p␈↓ ¬↔␈εβ=␈↓ ¬F␈ε	a␈↓ ¬b␈ε	p␈↓ επ␈εβ+␈↓ ε2␈ε	p␈↓ εs␈εβ,␈↓ π␈ε	q␈↓ πW␈εβ=␈↓ λε␈ε	a␈↓ λ"␈ε	q␈↓ λC␈εβ+␈↓ λn␈ε	q␈↓ 	,␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞st␈α␈op␈α∞a␈α␈t␈α∞the
␈ββ∧␈↓ ↓T␈εε0␈↓ αV␈εε1␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧W␈εj␈↓ ∧c␈εε+1␈↓ ¬V␈εj␈↓ ¬r␈εj␈↓ εA␈εj␈↓ εM␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π↔␈εj␈↓ π#␈εε+1␈↓ λ⊗␈εj␈↓ λ.␈εj␈↓ λz␈εj␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε1
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈gest␈↓ α3␈ε	j␈↓ αL␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ β←␈ε	p␈↓ β{␈εβ/␈↓ ∧␈ε	q␈↓ ∧.␈εβi␈α↓s␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ble.␈αIf␈↓ εD␈ε	p␈↓ ε`␈εβ/␈↓ εp␈ε	q␈↓ π∩␈ε↔≤␈↓ π<␈ε	x␈↓ πN␈εβ,␈α|␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈αlarg␈α␈est␈↓ 	H␈ε	b␈↓ 	↑␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α
su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈ββ,␈↓ βo␈εj␈↓ ∧_␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ ε|␈εj
␈ββI␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓`␈ε	p␈↓ α∧␈εβ+␈↓ α.␈ε	p␈↓ αp␈εβ)/(␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β$␈ε	q␈↓ βE␈εβ+␈↓ βo␈ε	q␈↓ ∧-␈εβ)␈α
=␈↓ ∧r␈ε	p␈↓ ¬β␈εβ/␈↓ ¬∀␈ε	q␈↓ ¬0␈εβis␈α
rep␈α␈resen␈α}table.␈α⊃By␈α
th␈α␈e␈α
th␈α␈eory␈αof␈α
the␈α
Pierce␈α
tre␈α␈e␈α
it
␈ββS␈↓ ↓p␈εj␈↓ α>␈εj␈↓ αJ␈ε~␈␈εε1␈↓ β0␈εj␈↓ β{␈εj␈↓ ∧π␈ε~␈␈εε1
␈ββp␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ β␈ε	p␈↓ β≤␈εβ/␈↓ β-␈ε	q␈↓ βQ␈εβis␈αthe␈αn␈α␈eare␈α␈st␈α
r␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ble␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈n␈αon␈α␈e␈αside␈αo␈α␈f␈↓ 	@␈ε	x␈↓ 	]␈εβan␈α␈d␈↓ 
∨␈ε	p␈↓ 
0␈εβ/␈↓ 
A␈ε	q␈↓ 
\␈εβis␈αthe
␈ββ{␈↓ β⊂␈εj␈↓ β9␈εj
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eare␈α␈st␈α∞repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ble␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞on␈α∞th␈α␈e␈α∞oth␈α␈er␈α∞side;␈α⊂a␈α␈l␈α↓l␈α∞oth␈α␈er␈α∞rep␈α␈resen␈α}table␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∞are
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈rthe␈α␈r␈α∂a␈α␈way␈α
beca␈α␈use␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈α∞n␈α␈atu␈α␈re␈α∞of␈α∞sym␈α␈metric␈α∞ord␈α␈er.␈α∀The␈α␈refore␈α∞ro␈α␈un␈α␈d(␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
*␈εβ)␈α∂is␈↓ 
h␈ε	p␈↓ ∧␈εβ/␈↓ ∀␈ε	q
␈β∧J␈↓ 
x␈εj␈↓  ␈εj
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈↓ ↓s␈ε	p␈↓ α∧␈εβ/␈↓ α∃␈ε	q␈↓ α#␈εβ,␈α∂which␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈α∞is␈α∞close␈α␈r.␈α∀(It␈α∞fre␈α␈que␈α␈n␈α␈tly␈α
hap␈α␈pe␈α␈ns␈α∞th␈α␈at␈↓ λ␈ε	b␈↓ λ'␈εβ=␈α∞0;␈α∂i␈α↓n␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
case␈α
w␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ/␈↓ ↓i␈ε	q␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α,␈ε	p␈↓ αm␈εβ/␈↓ α}␈ε	q␈↓ β<␈εβ,␈αso␈↓ βy␈ε	p␈↓ ∧∃␈εβ/␈↓ ∧%␈ε	q␈↓ ∧I␈εβwill␈αauto␈α␈matica␈α␈ll␈α↓y␈α
be␈αclo␈α␈ser.)
␈β¬→␈↓ α<␈εj␈↓ αH␈ε~␈␈εε1␈↓ β
␈εj␈↓ β⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧	␈εj␈↓ ∧1␈εj
␈β¬I␈↓ ↓V␈ε∪42.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αM.␈αS.␈αWaterm␈α␈an,␈ε⊂␈αBIT␈ε∪␈α17␈εβ␈α(19␈α␈77␈α␈)␈α↓,␈α46␈α␈5↑4␈α␈78␈α␈.
␈βε\␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.4
␈βπ7␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	d␈↓ αU␈εβisn't␈αprime␈α␈,␈αits␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈αfactor␈α␈s␈αa␈α␈re␈αca␈α␈st␈αout␈αb␈α␈efore␈↓ λ≤␈ε	d␈↓ λC␈εβi␈α↓s␈αtried␈α␈.
␈βπA␈↓ α=␈εk␈↓ λ+␈εk
␈βπq␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβNo;␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
fail␈αi␈α↓f␈↓ ¬V␈ε	p␈↓ ε≡␈εβ=␈↓ εI␈ε	p␈↓ εb␈εβ,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α␈ing␈α\␈α␈1"␈αa␈α␈s␈αa␈αsp␈α␈uriou␈α␈s␈αprime␈αfa␈α␈ctor.
␈βπ|␈↓ ¬f␈εt␈↓ ¬o␈ε~␈␈εε1␈↓ εY␈εt
␈βλ+␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αG␈ε	P␈↓ αh␈εβb␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	p␈α␈rodu␈α␈ct␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	|␈α␈rst␈α	16␈α␈8␈α	p␈α␈rimes.␈α∀(␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αAlth␈α␈ou␈α␈gh␈↓ 	
␈ε	P␈↓ 	.␈εβis␈α	a␈α	larg␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er,
␈βλS␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈α
c␈α␈onsid␈α␈erab␈α␈ly␈α
fa␈α␈ster␈α
on␈αma␈α␈n␈α␈y␈αcom␈α␈pu␈α␈ters␈α
to␈αcalcu␈α␈late␈α
th␈α␈is␈α
gc␈α␈d␈α
th␈α␈an␈αto␈α
d␈α␈o␈αthe␈α168
␈βλ{␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈s,␈αif␈αw␈α␈e␈αjust␈αwan␈α}t␈αto␈αtest␈αwh␈α␈eth␈α␈er␈αor␈αn␈α␈ot␈↓ π␈ε	n␈↓ π+␈εβi␈α↓s␈αp␈α␈rime.)
␈β	5␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIn␈αth␈α␈e␈αno␈α␈tation␈α
of␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.1↑␈α␈11,
␈β	{␈↓ β+␈ε↓X␈↓ εm␈ε↓X␈↓ πn␈ε↓Y
␈β
∧␈↓ λ/␈ε↓∩␈↓ 	*␈ε↓∪
␈β

␈↓ εL␈εβ1␈↓ 	⊂␈ε	k
␈β
~␈↓ βu␈ε~d␈↓ β␈␈εεlg␈↓ ∧↔␈εεma␈α␈x␈↓ ∧F␈εε(␈↓ ∧O␈ε⊗␈↓ ∧]␈εε+1,␈↓ ¬
␈ε∃␈↓ ¬~␈εε)␈ε~e
␈β
 ␈↓ βd␈εβ2␈↓ ¬,␈ε	P␈↓ ¬D␈εβ(␈↓ ¬O␈ε	⊗␈↓ ¬a␈εβ,␈↓ ¬p␈ε	∃␈↓ εβ␈εβ)␈α
=␈↓ π&␈ε	f␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	l␈↓ πJ␈εβ)␈↓ λE␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	@␈εβ,
␈β
.␈↓ εF␈∧
.εFα≡␈↓ 		␈∧
.		α≡
␈β
8␈↓ εF␈ε	m␈↓ 		␈ε	m
␈β
Q␈↓ β0␈ε⊗␈↓ β?␈εε,␈↓ βJ␈ε∃␈↓ εp␈εl␈↓ εw␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ π[␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λ↓␈εk␈↓ λ∞␈εε<␈↓ λ'␈εl
␈β∪␈↓ β∩␈ε↓P
␈β-␈↓ ∧%␈ε~d␈↓ ∧/␈εεlg␈↓ ∧G␈εεma␈α␈x␈↓ ∧v␈εε(␈↓ ∧␈␈εl␈↓ ¬ε␈ε~␈␈↓ ¬ ␈ε∃␈↓ ¬0␈εε,␈↓ ¬7␈ε∃␈↓ ¬F␈εε)␈ε~␈α↓e␈↓ εi␈εk␈↓ εv␈εε+␈↓ π∂␈ε∩
␈β1␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α*␈ε	f␈↓ α9␈εβ(␈↓ αD␈ε	l␈↓ αN␈εβ)␈α=␈↓ ∧∃␈εβ2␈↓ ¬Y␈εβ.␈α⊂If␈↓ ε∃␈ε	l␈↓ ε+␈εβ=␈↓ εX␈εβ2␈↓ π≠␈εβ,␈α
where␈α0␈α<␈↓ λ↑␈ε	∩␈↓ λx␈ε↔∀␈εβ␈α1,␈α∞w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ 
P␈ε	f␈↓ 
`␈εβ(␈↓ 
k␈ε	l␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈βC␈↓ β8␈εε1␈ε~∀␈↓ β↑␈ε∃␈↓ βn␈ε~∀␈↓ ∧π␈εl
␈βZ␈↓ ↓Q␈εε2␈↓ α%␈ε~␈␈↓ α>␈ε∩␈↓ β8␈ε~␈␈εε2␈↓ β↑␈ε∩␈↓ εk␈ε~␈␈↓ π∧␈ε∩␈↓ π}␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ λ$␈ε∩
␈β[␈↓ ≤␈εε9
␈β↑␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓]␈εβ(␈α↓3␈ε↔␈αλ↓␈↓ α∀␈εβ2␈↓ αR␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈ε↔␈α	↓␈↓ β(␈εβ2␈↓ βj␈εβ),␈α∞wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈α
fun␈α␈ction␈α
3␈ε↔␈αλ↓␈↓ εZ␈εβ2␈↓ π_␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈ε↔␈α	↓␈↓ πn␈εβ2␈↓ λ=␈εβrea␈α␈che␈α␈s␈α∞a␈αmax␈α␈im␈α␈um␈α
o␈α␈f
␈βl␈↓ ≤␈∧l≤α
␈βn␈↓ ≤␈εε8
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈↓ ↓q␈ε	∩␈↓ α␈εβ=␈↓ α7␈εβlg␈↓ αQ␈εβ(4/␈α␈3)␈αan␈α␈d␈αha␈α␈s␈αa␈αminim␈α␈u␈α␈m␈αof␈α1␈αat␈↓ εE␈ε	∩␈↓ ε↑␈εβ=␈α0␈αan␈α␈d␈α1.␈α∞There␈α␈fore␈αthe␈αav␈α␈er␈α␈age␈αv␈α␈alue
␈β)␈↓ ↓␈␈ε~d␈↓ α	␈εεlg␈↓ α!␈εεma␈α␈x␈↓ αP␈εε(␈↓ αY␈ε⊗␈↓ αg␈εε+␈α↓1␈α␈,␈↓ β∀␈ε∃␈↓ β$␈εε)␈ε~␈α↓e
␈β-␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈εβ2␈↓ βB␈εβlies␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α1␈α␈.0␈αan␈α␈d␈α1.12␈α␈5␈αtimes␈αth␈α␈e␈αav␈α}erage␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ 	S␈ε	⊗␈↓ 	m␈εβ+␈↓ 
⊗␈ε	∃␈↓ 
)␈εβ,␈αand␈α
the
␈βU␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈αfollo␈α␈ws.
␈β|␈↓ α␈εα(
␈β␈␈↓ α_␈εβAlgorith␈α␈m␈αB␈αis␈αa␈αre␈α␈|n␈α␈emen␈α}t␈αof␈αPollard␈α␈'␈α↓s␈αorigina␈α␈l␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m,␈αw␈α↓h␈α␈ich␈αw␈α↓a␈α␈s␈αba␈α␈sed␈αon
␈β
&␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈.␈α↓1␈α␈-6(b)␈αinstea␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈α(␈α↓y␈α}et␈αun␈α␈disco␈α}v␈α␈ere␈α␈d)␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αin␈αex␈α}ercise␈α3.1↑␈α␈7.␈α∂He␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed
␈β
J␈↓ λE␈εε2
␈β
N␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αlea␈α␈st␈↓ β→␈ε	n␈↓ β9␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧O␈ε	X␈↓ ¬
␈εβ=␈↓ ¬9␈ε	X␈↓ ¬l␈εβha␈α␈s␈αav␈α}erage␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε↔␈α_␈εβ␈α(␈↓ λ3␈ε	→␈↓ λR␈εβ/␈α␈12)␈↓ 	∂␈ε	Q␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	m␈↓ 	O␈εβ);␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αcon␈α␈stan␈α}t
␈β
X␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ∧r␈εn␈↓ ¬P␈εn
␈β
q␈↓ ↓Z␈εε2
␈β
u␈↓ ↓H␈ε	→␈↓ ↓g␈εβ/␈α␈12␈αλi␈α↓s␈αλex␈α␈plaine␈α␈d␈α	b␈α␈y␈αλEq.␈α	4.5.3␈α␈-␈α↓2␈α␈1.␈α
Hence␈αλth␈α␈e␈α	av␈α}erag␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈αλof␈αλ3␈↓ λW␈ε	n␈↓ λt␈εβin␈αλhis␈αλorigina␈α␈l␈α	meth␈α␈od
␈β∞→␈↓ α←␈εε5␈α␈/2
␈β∞≠␈↓ β&␈∧∞≠β&α≡␈↓ ∧e␈∧∞≠∧eα≡
␈β∞≤␈↓ β∧␈ε↔p␈↓ ∧D␈ε↔p
␈β∞≥␈↓ ↓H␈εβis␈ε↔␈α_␈εβ␈α(␈↓ α ␈ε	→␈↓ α2␈εβ/2␈↓ αS␈εβ)␈↓ β&␈ε	m␈↓ βM␈εβ=␈α
3.09␈α␈2␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬β␈εβ.␈α~Rich␈α␈ard␈αBren␈α}t␈αob␈α␈serv␈α}es␈αth␈α␈at,␈αa␈α␈s␈↓ 	↓␈ε	m␈↓ 	(␈ε↔!␈α
1␈εβ,␈αthe␈αd␈α␈ensity
␈β∞&␈↓ ↓H␈ε↓Q
␈β∞@␈↓ ε←␈εε3␈↓ π→␈εε2
␈β∞B␈↓ α=␈εα(␈↓ βC␈εα)␈↓ ∧7␈εα(␈↓ π1␈εα)
␈β∞E␈↓ αI␈εβ1␈ε↔␈α¬␈␈↓ β¬␈ε	k␈↓ β⊗␈εβ/␈↓ β&␈ε	m␈↓ βY␈εβ=␈↓ ∧β␈εβexp␈↓ ∧C␈ε↔␈␈↓ ∧d␈ε	l␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧y␈ε	l␈↓ ¬π␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/␈α␈2␈↓ ¬j␈ε	m␈↓ ε␈εβ+␈↓ ε2␈ε	O␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε	l␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε	m␈↓ π&␈εβ)␈↓ πF␈εβap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈α	a␈α	no␈α␈rmal␈α	d␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈,
␈β∞W␈↓ ↓j␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α∂␈εk␈↓ α≥␈εε<␈↓ α6␈εl
␈β∞n␈↓ λ[␈ε~␈␈↓ λu␈ε∩␈↓ 	k␈ε~␈␈εε2␈↓ 
⊃␈ε∩
␈β∞r␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧@␈ε	∩␈↓ ∧Z␈εβis␈αu␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈αd␈α␈istribu␈α␈ted.␈αThen␈α
3␈ε↔␈αλ↓␈↓ λK␈εβ2␈↓ 	λ␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈ε↔␈απ↓␈↓ 	Z␈εβ2␈↓ 
(␈εβta␈α␈k␈α␈es␈αthe
␈β∂~␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α3/(4␈↓ β]␈εβln␈↓ β}␈εβ2),␈αa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αitera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αne␈α␈ede␈α␈d␈αby␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB
␈β∂#␈↓ ∧L␈ε↓p
␈β∂>␈↓ ∧p␈∧∂>∧pαR
␈β∂C␈↓ αx␈εα(␈↓ ∧0␈εε1␈↓ ∧@␈εα)
␈β∂D␈↓ εb␈∧∂Dεbα≡
␈β∂E␈↓ εA␈ε↔p
␈β∂F␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omes␈αλto␈ε↔␈αλ_␈↓ β∧␈εβ3␈α␈/(4␈↓ βF␈εβl␈α↓n␈↓ βh␈εβ2␈α␈)␈α∧+␈↓ ∧p␈ε	→␈↓ ¬β␈ε	m␈↓ ¬ ␈εβ/2␈↓ ¬K␈εβ=␈α	1.98␈α␈3␈↓ εb␈ε	m␈↓ π␈εβ.␈α
A␈α	similar␈αλan␈α␈alysis␈αλof␈α	t␈α␈he␈αλmore␈αλg␈α␈enera␈α␈l
␈β∂T␈↓ ∧0␈∧∂T∧0α
␈β∂V␈↓ ∧0␈εε2
␈β∂l␈↓ πu␈∧∂lπuα≡
␈β∂m␈↓ πS␈ε↔p
␈β∂n␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d␈αin␈αthe␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αto␈αex␈α}ercise␈α3.1↑␈α␈7␈αgiv␈α␈e␈α␈s␈ε↔␈α_␈εβ␈α	1.926␈↓ πu␈ε	m␈↓ λ∩␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	_␈εβ=␈α
2.47␈α␈71␈αis␈αcho␈α␈sen
␈β⊂⊃␈↓ ∧j␈εε2␈↓ ε?␈εε2
␈β⊂∩␈↓ πW␈εα)
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈op␈α␈ti␈α↓m␈α␈all␈α↓y␈α␈"␈αa␈α␈s␈αthe␈αro␈α␈ot␈αof␈α(␈↓ ∧Y␈ε	p␈↓ ∧}␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ¬H␈εβln␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ ε|␈ε	p␈↓ π∀␈εβ+␈αλ1␈α␈.
␈β⊂P␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε	x␈↓ α#␈εβmo␈α␈d␈↓ αg␈εβ3␈α
=␈α
0;␈↓ βR␈ε	x␈↓ βi␈εβmod␈↓ ∧.␈εβ5␈α	=␈α
0,␈α1␈α␈,␈α4;␈↓ ¬c␈ε	x␈↓ ¬z␈εβmod␈↓ ε?␈εβ7␈α	=␈α
0,␈α1␈α␈,␈α6;␈↓ πu␈ε	x␈↓ λ␈εβmod␈↓ λP␈εβ8␈α	=␈α
1,␈α3␈α␈,␈α5,␈α7␈α␈;␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
F␈εβ>␈α
103␈α␈.
␈β⊂s␈↓ ¬?␈εε2␈↓ λ
␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α|rst␈αtry␈α
i␈α↓s␈↓ β*␈ε	x␈↓ βD␈εβ=␈α
10␈α␈5;␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓1␈α␈05␈↓ ¬3␈εβ)␈↓ ¬S␈ε↔␈␈εβ␈απ105␈α␈41␈α	=␈α
4␈α␈84␈α	=␈α
2␈↓ πy␈εβ2␈↓ λ↔␈εβ.␈αThis␈αw␈α␈ould␈α
also␈αha␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈een
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αAlgorith␈α␈m␈αC␈αin␈αa␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αsh␈α␈ort␈αtime.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α105␈α␈41␈α	=␈α	83␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈27.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα688␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβLet␈α
us␈α
co␈α␈un␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α
(␈↓ ε8␈ε	x␈↓ εI␈εβ,␈↓ εX␈ε	y␈↓ εk␈εβ)␈α
of␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈grue␈α␈nce␈↓ 	
␈ε	N␈↓ 	2␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ 	h␈ε	x␈↓ 	␈␈ε↔␈␈↓ 
'␈ε	y␈↓ 
9␈εβ)(␈↓ 
P␈ε	x␈↓ 
g␈εβ+␈↓ ∂␈ε	y␈↓ !␈εβ)
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ),␈α
where␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧F␈ε	y␈↓ ∧d␈εβ<␈↓ ¬⊃␈ε	p␈↓ ¬"␈εβ.␈α⊂S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε∪␈ε	N␈↓ ε>␈ε↔@⊃␈↓ εk␈εβ0␈αan␈α␈d␈↓ πJ␈ε	p␈↓ πh␈εβis␈αprime,␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	7␈ε	y␈↓ 	U␈ε↔@⊃␈↓ 
α␈εβ0.␈α∂F␈α↓o␈α␈r␈α
e␈α␈ach
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓b␈ε↔@⊃␈↓ α
␈εβ0␈α
ther␈α␈e␈αis␈αa␈αu␈α␈niq␈α␈ue␈↓ ∧%␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ¬E␈ε	p␈↓ ¬V␈εβ)␈αs␈α␈uch␈α
tha␈α␈t␈↓ ε␈␈ε	N␈↓ π'␈ε↔⊃␈↓ πR␈ε	u␈↓ πf␈ε	v␈↓ πw␈εβ.␈αThe␈α
con␈α␈gru␈α␈ence␈α␈s␈↓ 
λ␈ε	x␈↓ 
!␈ε↔␈␈↓ 
I␈ε	y␈↓ 
e␈ε↔⊃␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓↑␈εβ+␈↓ αβ␈ε	y␈↓ α∨␈ε↔⊃␈↓ αJ␈ε	v␈↓ αd␈εβn␈α␈o␈α␈w␈α	un␈α␈iqu␈α␈el␈α↓y␈αλd␈α␈etermin␈α␈e␈↓ ¬E␈ε	x␈↓ ¬\␈εβmod␈↓ ε!␈ε	p␈↓ ε:␈εβand␈↓ εy␈ε	y␈↓ π⊃␈εβmo␈α␈d␈↓ πU␈ε	p␈↓ πf␈εβ,␈α
sinc␈α␈e␈↓ λH␈ε	p␈↓ λb␈εβis␈α	od␈α␈d.␈α
T␈α↓h␈α}us␈αλthe␈α	sta␈α␈ted
␈ββI␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈nce␈αh␈α␈as␈αexa␈α␈ctly␈↓ ∧'␈ε	p␈↓ ∧@␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α(␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε/␈εβ,␈↓ ε>␈ε	y␈↓ εQ␈εβ).␈α∂If␈α(␈↓ π!␈ε	x␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε	y␈↓ πT␈εβ)␈α
is␈αa␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
so␈αis␈α(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≥␈εβ,␈↓ 
+␈ε	p␈↓ 
E␈ε↔␈␈↓ 
n␈ε	y␈↓ ↓␈εβ)␈αif
␈ββl␈↓ βh␈εε2␈↓ ∧:␈εε2
␈ββp␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α
sin␈α␈ce␈α
(␈↓ β
␈ε	p␈↓ β#␈ε↔␈␈↓ βJ␈ε	y␈↓ β]␈εβ)␈↓ β⎇␈ε↔⊃␈↓ ∧(␈ε	y␈↓ ∧G␈εβ;␈α
and␈α	if␈α
(␈↓ ¬C␈ε	x␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬c␈ε	y␈↓ ¬␈␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
(␈↓ ε←␈ε	x␈↓ εp␈εβ,␈↓ ε␈␈ε	y␈↓ π≠␈εβ)␈α
ar␈α␈e␈α
solu␈α␈tions␈α	wi␈α↓th␈↓ 	:␈ε	y␈↓ 	←␈ε↔≤␈↓ 

␈ε	y␈↓ 
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈ββ{␈↓ ¬s␈εε1␈↓ π∂␈εε2␈↓ 	I␈εε1␈↓ 
~␈εε2
␈β∧∀␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ α-␈εε2
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓p␈ε↔⊃␈↓ α≠␈ε	y␈↓ α:␈εβ;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈↓ β(␈ε	y␈↓ βM␈εβ=␈↓ βx␈ε	p␈↓ ∧∞␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	y␈↓ ∧Q␈εβ.␈α
Th␈α␈u␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α	n␈α␈um␈α}ber␈α	of␈α	di{eren␈α}t␈↓ λ
␈ε	x␈↓ λ'␈εβvalu␈α␈es␈α
a␈α␈mon␈α␈g␈α	the␈α	so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈β∧"␈↓ β7␈εε1␈↓ ∧D␈εε2
␈β∧'␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ α-␈εε2
␈β∧;␈↓ ∧U␈εε2␈↓ 	*␈εε2
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓d␈εβ,␈↓ ↓s␈ε	y␈↓ α¬␈εβ)␈αis␈α(␈↓ αH␈ε	p␈↓ α`␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈α␈2␈αif␈↓ βq␈ε	N␈↓ ∧→␈ε↔⊃␈↓ ∧C␈ε	x␈↓ ∧l␈εβhas␈αn␈α␈o␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α␈,␈αo␈α␈r␈α(␈↓ π≡␈ε	p␈↓ π6␈εβ+␈αλ1␈α␈)/2␈αif␈↓ λF␈ε	N␈↓ λn␈ε↔⊃␈↓ 	→␈ε	x␈↓ 	B␈εβh␈α␈as␈αsolut␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.
␈β∧o␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αi␈α↓s␈αto␈αk␈α}eep␈αt␈α␈wo␈αind␈α␈i␈α↓c␈α␈es␈αfor␈αeach␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓u␈α␈s,␈αone␈αfor␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α}t␈αw␈α␈ord
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβp␈α␈osition␈α
a␈α␈nd␈α
on␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αth␈α␈e␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈α
bit␈αp␈α␈osition␈α␈;␈αload␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
wo␈α␈rds␈α
of␈α
the␈α
tab␈α␈le␈αa␈α␈nd␈α
d␈α␈oing
␈β¬>␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α
ind␈α␈ex␈α␈e␈α␈d␈α
shift␈α
co␈α␈mman␈α␈d␈α
will␈α∞b␈α␈ring␈α
th␈α␈e␈α
tab␈α␈l␈α↓e␈α
e␈α␈n␈α␈tries␈α
in␈α␈to␈α
p␈α␈rop␈α␈er␈α
align␈α␈men␈α}t.␈α∩(Ma␈α␈n␈α␈y
␈β¬f␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uters␈αh␈α␈av␈α}e␈αspe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l␈αfa␈α␈cil␈α↓ities␈αfor␈αsu␈α␈ch␈αb␈α␈it␈αman␈α␈ipu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.)
␈βε⊗␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ(We␈α	m␈α␈ay␈αλassu␈α␈me␈αλtha␈α␈t␈↓ ∧M␈ε	N␈↓ ∧u␈εβ=␈α	2␈↓ ¬0␈ε	M␈↓ ¬[␈εβis␈α	e␈α␈v␈α␈en␈α␈.␈α↓)␈α
Th␈α␈e␈α	fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α	u␈α␈ses␈αλan␈αλau␈α␈xiliary
␈βε=␈↓ ↓H␈εβta␈α␈ble␈↓ α≠␈ε	X␈↓ α6␈εβ[␈α↓1␈α␈]␈α↓,␈↓ αn␈ε	X␈↓ β	␈εβ[␈α↓2␈α␈]␈α↓,␈↓ βA␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βm␈εβ,␈↓ ∧α␈ε	X␈↓ ∧≥␈εβ[␈↓ ∧&␈ε	M␈↓ ∧I␈εβ],␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬G␈ε	X␈↓ ¬b␈εβ[␈↓ ¬l␈ε	k␈↓ ¬|␈εβ]␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈s␈αt␈α␈he␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈ality␈αof␈α2␈↓ 	0␈ε	k␈↓ 	G␈εβ+␈αλ1.
␈βεk␈↓ α→␈ε∪S␈α␈1.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε	X␈↓ β%␈εβ[␈↓ β/␈ε	k␈↓ β?␈εβ]␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	1␈αfor␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬⊂␈ε	k␈↓ ¬*␈ε↔∀␈↓ ¬U␈ε	M␈↓ ¬w␈εβ.␈αAlso␈αset␈↓ π
␈ε	j␈↓ π"␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ πr␈ε	p␈↓ λ␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ λ\␈ε	p␈↓ λv␈ε↔ ␈εβ␈α
3␈α␈,␈↓ 	F␈ε	q␈↓ 	↑␈ε↔ ␈εβ␈α	4.␈α~(Du␈α␈ring
␈βπ∞␈↓ π∪␈εε2
␈βπ∩␈↓ αP␈εβthis␈αalgo␈α␈rithm␈↓ ∧)␈ε	p␈↓ ∧C␈εβ=␈α	2␈↓ ∧}␈ε	j␈↓ ¬∀␈εβ+␈απ1,␈↓ ¬a␈ε	q␈↓ ¬y␈εβ=␈α
2␈↓ ε5␈ε	j␈↓ εK␈εβ+␈απ2␈↓ π∧␈ε	j␈↓ π∨␈εβ;␈αt␈α␈he␈αin␈α␈t␈α␈eger␈αv␈α␈ariab␈α␈les␈↓ 	g␈ε	j␈↓ 	v␈εβ,␈↓ 

␈ε	k␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
/␈ε	p␈↓ 
@␈εβ,␈↓ 
T␈ε	q␈↓ 
n␈εβm␈α␈ay
␈βπ:␈↓ αP␈εβread␈α␈i␈α↓ly␈α
be␈αma␈α␈nip␈α␈ulated␈α
in␈αind␈α␈ex␈αre␈α␈gisters.)
␈βπg␈↓ α→␈ε∪S␈α␈2.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε	X␈↓ β
␈εβ[␈↓ β⊗␈ε	j␈↓ β%␈εβ]␈α
=␈α	0,␈αgo␈αto␈αS␈α␈4.␈αOth␈α␈erwise␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈↓ π≡␈ε	p␈↓ π/␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αis␈αprime,␈αan␈α␈d␈αse␈α␈t␈↓ 
!␈ε	k␈↓ 
;␈ε↔ ␈↓ 
f␈ε	q␈↓ 
t␈εβ.
␈βλ∃␈↓ α→␈ε∪S␈α␈3.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε	k␈↓ β␈ε↔∀␈↓ β6␈ε	M␈↓ βX␈εβ,␈αth␈α␈en␈αse␈α␈t␈↓ ∧l␈ε	X␈↓ ¬λ␈εβ[␈↓ ¬⊃␈ε	k␈↓ ¬"␈εβ]␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ε∧␈ε	k␈↓ ε≥␈ε↔ ␈↓ εH␈ε	k␈↓ ε`␈εβ+␈↓ πλ␈ε	p␈↓ π→␈εβ,␈αand␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈i␈α↓s␈αste␈α␈p.
␈βλB␈↓ α→␈ε∪S␈α␈4.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε	j␈↓ β"␈ε↔ ␈↓ βM␈ε	j␈↓ βc␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧1␈ε	p␈↓ ∧K␈ε↔ ␈↓ ∧u␈ε	p␈↓ ¬∞␈εβ+␈απ2,␈↓ ¬[␈ε	q␈↓ ¬s␈ε↔ ␈↓ ε≡␈ε	q␈↓ ε4␈εβ+␈αλ2␈↓ εm␈ε	p␈↓ πε␈ε↔␈␈εβ␈απ2.␈αI␈α↓f␈↓ πu␈ε	j␈↓ λ
␈ε↔∀␈↓ λ8␈ε	M␈↓ λZ␈εβ,␈αreturn␈α
to␈αS␈α␈2.
␈βλD␈↓ 
N␈∧λD
N≠∂
␈βλo␈↓ ↓H␈εβA␈α	major␈α	pa␈α␈rt␈α
o␈α␈f␈α
this␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
c␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	b␈α␈e␈α
ma␈α␈de␈α	no␈α␈ti␈α↓c␈α␈eab␈α␈l␈α↓y␈α	fa␈α␈ster␈α
if␈↓ 	
␈ε	q␈↓ 	%␈εβ(i␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈α
o␈α␈f␈↓ 
G␈ε	j␈↓ 
V␈εβ)␈α
w␈α␈ere
␈β	↔␈↓ ↓H␈εβte␈α␈sted␈α
aga␈α␈i␈α↓n␈α␈st␈↓ β≤␈ε	M␈↓ βI␈εβi␈α↓n␈α
step␈α
S4␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
if␈αa␈αn␈α␈ew␈αloop␈α
w␈α␈ere␈αa␈α␈pp␈α␈end␈α␈ed␈α
tha␈α␈t␈αou␈α␈tpu␈α␈ts␈α2␈↓ 
*␈ε	j␈↓ 
@␈εβ+␈απ1␈αfo␈α␈r
␈β	>␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αrem␈α␈aining␈↓ β⊃␈ε	X␈↓ β-␈εβ[␈↓ β6␈ε	j␈↓ βE␈εβ]␈αtha␈α␈t␈αequ␈α␈al␈α1,␈αsup␈α␈pressin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αman␈α␈i␈α↓p␈α␈ula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ λ{␈ε	p␈↓ 	↔␈εβa␈α␈nd␈↓ 	X␈ε	q␈↓ 	f␈εβ.
␈β	f␈↓ α␈εβFurth␈α␈er␈απdiscu␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλsiev␈α}e␈αλm␈α␈etho␈α␈ds␈απf␈α↓o␈α␈r␈αλg␈α␈ene␈α␈rating␈απpr␈α␈i␈α↓m␈α␈es␈αλap␈α␈pe␈α␈ars␈απi␈α↓n␈απex␈α}ercise␈απ5.2.3↑
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈5␈αan␈α␈d␈αin␈αS␈α␈ection␈α
7.1.
␈β
9␈↓ α<␈εε2
␈β
>␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α+␈ε	p␈↓ αR␈εβis␈α
a␈αλdiviso␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ ∧≤␈ε	n␈↓ ∧9␈εβfor␈α	so␈α␈me␈α	pr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈↓ ε_␈ε	p␈↓ ε)␈εβ,␈α
the␈α␈n␈↓ πε␈ε	p␈↓ π ␈εβi␈α↓s␈α	a␈αλdivisor␈α	o␈α␈f␈↓ λj␈ε	∃␈↓ λ⎇␈εβ(␈↓ 	λ␈ε	n␈↓ 	≤␈εβ),␈α
bu␈α␈t␈α	no␈α␈t␈α
o␈α␈f␈↓ 
T␈ε	n␈↓ 
l␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈.
␈β
e␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓j␈ε	n␈↓ α	␈εβ=␈↓ α6␈ε	p␈↓ αR␈ε	p␈↓ αo␈εβ,␈αwhere␈↓ βf␈ε	p␈↓ ∧
␈εβ<␈↓ ∧:␈ε	p␈↓ ∧c␈εβa␈α␈re␈αprime␈α␈s,␈α
the␈α␈n␈↓ ε↑␈ε	p␈↓ πβ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αis␈α
a␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ 	∨␈ε	∃␈↓ 	2␈εβ(␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	R␈εβ)␈αan␈α␈d␈αth␈α␈erefore
␈β
p␈↓ αF␈εε1␈↓ αb␈εε2␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ εn␈εε2
␈β
␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓d␈ε	p␈↓ απ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
0␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ∧∂␈ε	p␈↓ ∧2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈).␈αS␈α␈ince␈↓ ¬a␈ε	p␈↓ επ␈ε↔⊃␈εβ␈α	1,␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
mea␈α␈ns␈↓ π|␈ε	p␈↓ λ∨␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
i␈α↓s␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈↓ 
G␈ε	p␈↓ 
j␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,
␈β↔␈↓ ↓W␈εε1␈↓ ↓t␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ¬q␈εε2␈↓ λ␈εε1␈↓ 
W␈εε2
␈β1␈↓ ε∃␈εα(
␈β4␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tra␈α␈dictin␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈α∞as␈α␈sump␈α␈tion␈↓ ¬β␈ε	p␈↓ ¬-␈εβ<␈↓ ¬\␈ε	p␈↓ ¬y␈εβ.␈↓ ε!␈εβValu␈α␈es␈α∞o␈α␈f␈↓ π8␈ε	n␈↓ πZ␈εβfor␈α∞wh␈α␈ich␈↓ λs␈ε	∃␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	n␈↓ 	&␈εβ)␈α∞p␈α␈rop␈α␈erly␈α∞d␈α␈ivide␈α␈s
␈β?␈↓ ¬∪␈εε1␈↓ ¬l␈εε2
␈β\␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓b␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α	are␈α
ca␈α␈l␈α↓led␈α	\Ca␈α␈rmicha␈α␈el␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α↓"␈α
For␈α
ex␈α␈am␈α␈ple,␈αh␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
som␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α
Ca␈α␈rmicha␈α␈el
␈β∧␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	wi␈α↓th␈α	u␈α␈p␈α	to␈α	six␈α	prime␈α	facto␈α␈rs:␈α3␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬11␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬17,␈α
5␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬17,␈α
7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬11␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬41,␈α
5␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε1␈α␈7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε1␈α␈9␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε73␈α␈,
␈β+␈↓ ↓H␈εβ5␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ17␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ73␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ8␈α␈9␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ10␈α␈7.
␈β[␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	k␈↓ αp␈εβbe␈α
the␈αo␈α␈rder␈α
of␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ∧{␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ¬q␈ε	n␈↓ ε¬␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ π
␈ε	∃␈↓ π(␈εβbe␈αth␈α␈e␈αleast␈α
comm␈α␈on␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈αall
␈βf␈↓ αX␈εp␈↓ ∧b␈εp
␈β
β␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ αα␈ε	k␈↓ α≡␈εβ'␈α↓s.␈α∞Th␈α␈en␈↓ β$␈ε	∃␈↓ βC␈εβis␈αa␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αof␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αb␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αo␈α␈f␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α(␈↓ πg␈ε	n␈↓ λβ␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α↓/␈↓ λY␈ε	p␈↓ λj␈εβ,␈α
so␈↓ 	)␈ε	∃␈↓ 	G␈εβ=␈↓ 	s␈ε	n␈↓ 
⊂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α∂S␈α␈ince
␈β

␈↓ α⊃␈εp
␈β
&␈↓ ↓Y␈ε⎇␈↓ ↓j␈εε(␈↓ ↓s␈εn␈↓ αβ␈εε)
␈β
*␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α⊃␈εβmo␈α␈d␈↓ αU␈ε	n␈↓ αs␈εβ=␈α	1,␈↓ βA␈ε	⎇␈↓ βV␈εβ(␈↓ βa␈ε	n␈↓ βu␈εβ)␈α
is␈α
a␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
o␈α␈f␈↓ ¬j␈ε	k␈↓ ε⊂␈εβfo␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ εn␈ε	p␈↓ ε␈␈εβ,␈α
so␈↓ π9␈ε	⎇␈↓ πO␈εβ(␈↓ πZ␈ε	n␈↓ πn␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ λ-␈ε	∃␈↓ λ@␈εβ.␈αBut␈↓ 	∪␈ε	⎇␈↓ 	)␈εβ(␈↓ 	4␈ε	n␈↓ 	H␈εβ)␈α	<␈↓ 
π␈ε	n␈↓ 
 ␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α
wh␈α␈en
␈β
5␈↓ ¬x␈εp
␈β
9␈↓ ↓Y␈εp
␈β
R␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβis␈α
n␈α␈ot␈αprime␈α␈.␈α≥(An␈α␈oth␈α␈er␈αway␈αto␈αcar␈α␈ry␈αout␈αth␈α␈e␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
is␈αto␈αcon␈α␈struct␈αan␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈↓ 
s␈ε	x␈↓ ⊃␈εβo␈α␈f
␈β
y␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈↓ α∨␈ε	n␈↓ α:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈αth␈α␈e␈↓ ∧π␈ε	x␈↓ ∧%␈εβ's,␈αby␈α
the␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αof␈αex␈α}ercise␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.2↑1␈α␈5.)
␈β∞∧␈↓ ∧↔␈εp
␈β∞.␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ βg␈ε	U␈↓ ∧P␈ε	V␈↓ ¬7␈ε	A␈↓ ε%␈ε	P␈↓ ε␈␈ε	S␈↓ πc␈ε	T␈↓ 	¬␈εβOu␈α␈tp␈α␈ut
␈β∞]␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧l␈εβ1␈↓ ¬S␈εβ0␈↓ ε)␈εβ9␈α␈92␈↓ πα␈εβ0␈↓ πX␈εβ←
␈β∂∧␈↓ βT␈εβ1␈α␈981␈↓ ∧:␈εβ198␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ1␈↓ ε)␈εβ9␈α␈92␈↓ πα␈εβ1␈↓ π7␈εβ19␈α␈81
␈β∂(␈↓ λq␈εε2␈↓ 	c␈εε2
␈β∂,␈↓ βT␈εβ1␈α␈983␈↓ ∧l␈εβ4␈↓ ¬2␈εβ4␈α␈95␈↓ ε)␈εβ9␈α␈93␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ?␈εβ99␈↓ λ`␈εβ3␈↓ 	π␈ε↔⊃␈εβ␈α	+␈↓ 	S␈εβ2
␈β∂S␈↓ βT␈εβ1␈α␈983␈↓ ∧K␈εβ99␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ2␈↓ επ␈εβ981␈α␈09␈↓ πα␈εβ1␈↓ πH␈εβ9␈α␈91
␈β∂w␈↓ λq␈εε2␈↓ 	c␈εε2
␈β∂{␈↓ βT␈εβ1␈α␈981␈↓ ∧l␈εβ4␈↓ ¬2␈εβ4␈α␈95␈↓ εJ␈εβ2␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ`␈εβ2␈↓ 	π␈ε↔⊃␈εβ␈α	+␈↓ 	S␈εβ2
␈β⊂#␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧:␈εβ198␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ1␈↓ επ␈εβ990␈α␈99␈↓ πα␈εβ1␈↓ π7␈εβ19␈α␈81
␈β⊂F␈↓ λq␈εε2␈↓ 	c␈εε0
␈β⊂J␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧l␈εβ1␈↓ ¬!␈εβ19␈α␈84␈↓ επ␈εβ991␈α␈01␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ≡␈εβ9␈α␈910␈↓ λ`␈εβ1␈↓ 	π␈ε↔⊃␈εβ␈α	+␈↓ 	S␈εβ2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	fact␈α␈orization␈αλ19␈α␈9␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α∧991␈αλi␈α↓s␈α	e␈α␈vide␈α␈n␈α␈t␈α	from␈αλthe␈α	|␈α␈rst␈α	or␈α	la␈α␈st␈α	ou␈α␈tpu␈α␈ts.␈αTh␈α␈e␈α	sho␈α␈rtness␈αλof␈α	the
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβc␈α␈y␈α␈cle,␈απan␈α␈d␈α¬the␈α¬app␈α␈ear␈α␈anc␈α␈e␈αεof␈αεth␈α␈e␈αεw␈α␈ell-kn␈α␈o␈α␈wn␈α¬n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αε19␈α␈84,␈απa␈α␈re␈αεpr␈α␈oba␈α␈bly␈α¬just␈αεc␈α␈oincid␈α␈enc␈α␈es.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα689
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβThe␈αfollo␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αalgorith␈α␈m␈αma␈α␈k␈α␈es␈αuse␈αo␈α␈f␈αan␈αau␈α␈xili␈α↓a␈α␈ry␈α(␈↓ λπ␈ε	m␈↓ λ,␈εβ+␈αλ1)␈ε↔␈αλα␈εβ␈αλ(␈↓ 	-␈ε	m␈↓ 	R␈εβ+␈αλ1)␈αma␈α␈trix␈αo␈α␈f
␈βαR␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gle-pre␈α␈cisi␈α↓o␈α␈n␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ∧'␈ε	E␈↓ ∧S␈εβ,␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬+␈ε	j␈↓ ¬:␈εβ,␈↓ ¬H␈ε	k␈↓ ¬b␈ε↔∀␈↓ ε
␈ε	m␈↓ ε*␈εβ;␈α
a␈α	single-p␈α␈recision␈α	v␈α}ector␈α	(␈↓ 	+␈ε	b␈↓ 	D␈εβ,␈↓ 	S␈ε	b␈↓ 	k␈εβ,␈↓ 	z␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
&␈εβ,␈↓ 
5␈ε	b␈↓ 
X␈εβ)␈α↓;␈α
a␈α␈nd
␈βα\␈↓ ∧:␈εj␈↓ ∧F␈εk␈↓ 	7␈εε0␈↓ 	←␈εε1␈↓ 
A␈εm
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple-p␈α␈recision␈αv␈α}ecto␈α␈r␈α(␈↓ ∧`␈ε	x␈↓ ∧⎇␈εβ,␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ ¬6␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬q␈ε	x␈↓ ε_␈εβ)␈αwi␈α↓th␈α
en␈α}tri␈α↓e␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
the␈αra␈α␈ng␈α␈e␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 

␈εβ<␈↓ 
4␈ε	N␈↓ 
S␈εβ.
␈ββ∧␈↓ ∧p␈εε0␈↓ ¬≠␈εε1␈↓ ε↓␈εm␈↓ 	s␈εk
␈ββ-␈↓ ↓Q␈ε∪F1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε	b␈↓ ∧_␈ε↔ ␈α
␈␈εβ1␈αfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬x␈ε	i␈↓ ε∞␈ε↔∀␈↓ ε9␈ε	m␈↓ εV␈εβ;␈αthe␈α␈n␈αset␈↓ πj␈ε	j␈↓ λα␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈ββ7␈↓ ∧∧␈εi
␈ββ`␈↓ ↓Q␈ε∪F2.␈↓ α␈εβ[Nex␈α␈t␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.]␈α~Get␈αthe␈αne␈α␈xt␈αout␈α␈pu␈α␈t␈α(␈↓ εH␈ε	x␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	e␈↓ π↓␈εβ,␈↓ π⊂␈ε	e␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πc␈εβ,␈↓ πr␈ε	e␈↓ λ⊗␈εβ)␈αpro␈α␈du␈α␈ced␈αb␈α␈y␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αE␈↓ #␈εβ.
␈ββk␈↓ εt␈εε0␈↓ π≤␈εε1␈↓ π}␈εm
␈β∧λ␈↓ α␈εβ(It␈αi␈α↓s␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αto␈αreg␈α␈ard␈α
A␈α↓lg␈α␈orithm␈α␈s␈αE␈αa␈α␈nd␈αF␈αas␈αc␈α␈orou␈α␈tines.)␈α→Se␈α␈t␈↓ 	d␈ε	k␈↓ 	}␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β∧;␈↓ ↓Q␈ε∪F3.␈↓ α␈εβ[Sea␈α␈rch␈αfor␈αo␈α␈dd␈α␈.␈α↓]␈α~If␈↓ ∧:␈ε	k␈↓ ∧U␈εβ>␈↓ ¬↓␈ε	m␈↓ ¬*␈εβg␈α␈o␈αto␈αstep␈αF5.␈α
Oth␈α␈erwise␈αif␈↓ λB␈ε	e␈↓ λg␈εβis␈αev␈α}en,␈αse␈α␈t␈↓ 
∀␈ε	k␈↓ 
/␈ε↔ ␈↓ 
Z␈ε	k␈↓ 
s␈εβ+␈αλ1
␈β∧F␈↓ λN␈εk
␈β∧c␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αt␈α␈his␈αstep␈α␈.
␈β¬⊗␈↓ ↓Q␈ε∪F4.␈↓ α␈εβ[Li␈α↓n␈α␈ear␈αd␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈ce?]␈α≠If␈↓ ∧y␈ε	b␈↓ ¬≥␈ε↔∃␈εβ␈α0,␈αth␈α␈en␈αse␈α␈t␈↓ εp␈ε	i␈↓ πλ␈ε↔ ␈↓ π4␈ε	b␈↓ πM␈εβ,␈↓ πb␈ε	x␈↓ π}␈ε↔ ␈εβ␈α(␈↓ λ5␈ε	x␈↓ λO␈ε	x␈↓ λa␈εβ)␈↓ λq␈εβmod␈↓ 	6␈ε	N␈↓ 	U␈εβ,␈↓ 	j␈ε	e␈↓ 

␈ε↔ ␈↓ 
9␈ε	e␈↓ 
Y␈εβ+␈↓ α␈ε	E
␈β¬ ␈↓ ¬¬␈εk␈↓ π@␈εk␈↓ λE␈εi␈↓ 	v␈εr␈↓ 
E␈εr␈↓ ⊗␈εi␈↓  ␈εr
␈β¬=␈↓ α␈εβfor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β
␈ε	r␈↓ β$␈ε↔∀␈↓ βQ␈ε	m␈↓ βn␈εβ;␈α∞s␈α␈et␈↓ ∧:␈ε	k␈↓ ∧U␈ε↔ ␈↓ ¬α␈ε	k␈↓ ¬≠␈εβ+␈αλ1␈α
a␈α␈nd␈αre␈α␈turn␈αto␈αF3.␈α∂Oth␈α␈erwise␈α
s␈α␈et␈↓ 	H␈ε	b␈↓ 	l␈ε↔ ␈↓ 
→␈ε	j␈↓ 
(␈εβ,␈↓ 
>␈ε	x␈↓ 
e␈ε↔ ␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β¬H␈↓ 	T␈εk␈↓ 
N␈εj
␈β¬e␈↓ α␈ε	E␈↓ αB␈ε↔ ␈↓ αn␈ε	e␈↓ β∩␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧
␈ε	r␈↓ ∧&␈ε↔∀␈↓ ∧R␈ε	m␈↓ ∧o␈εβ;␈αset␈↓ ¬9␈ε	j␈↓ ¬R␈ε↔ ␈↓ ¬}␈ε	j␈↓ ε∀␈εβ+␈α	1␈αan␈α␈d␈αreturn␈αto␈αF2.␈α≠(In␈αthe␈αlatter␈αc␈α␈ase␈αw␈α␈e
␈β¬p␈↓ α∨␈εj␈↓ α,␈εr␈↓ αz␈εr
␈βε
␈↓ α␈εβha␈α␈v␈α␈e␈α¬a␈αεn␈α␈ew␈αεline␈α␈arly␈α¬i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αεso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈,␈αλm␈α␈od␈α␈ulo␈α¬2,␈απwho␈α␈se␈αε|␈α␈rst␈αεo␈α␈dd␈α¬com␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αεis␈↓ 
␈␈ε	e␈↓ _␈εβ.)
␈βε↔␈↓ ␈εk
␈βε@␈↓ ↓Q␈ε∪F5.␈↓ α␈εβ[Try␈αto␈αfa␈α␈ctor.]␈α→(No␈α␈w␈↓ ∧Y␈ε	e␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬ε␈ε	e␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬`␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	e␈↓ ε"␈εβare␈αev␈α}en.)␈α→Se␈α␈t
␈βεK␈↓ ∧e␈εε0␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ε␈εm
␈βπ
␈↓ ¬x␈εe␈↓ ε
␈εε/2␈↓ ε8␈εe␈↓ εM␈εε/2␈↓ π$␈εe␈↓ πD␈εε/␈α␈2
␈βπ
␈↓ ¬$␈εα(␈↓ π]␈εα)
␈βπ⊂␈↓ ∧↑␈ε	y␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬0␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬m␈εβ)␈↓ ε'␈ε	p␈↓ εf␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∪␈ε	p␈↓ πn␈εβmod␈↓ λ3␈ε	N␈↓ λR␈εβ.
␈βπ⊃␈↓ εB␈επ1␈↓ π.␈ε
m
␈βπ∩␈↓ εα␈επ0
␈βπ∨␈↓ ε8␈εε1␈↓ π$␈εm
␈βπ`␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	x␈↓ αG␈εβ=␈↓ αr␈ε	y␈↓ β∂␈εβor␈α
if␈↓ βV␈ε	x␈↓ βn␈εβ+␈↓ ∧⊗␈ε	y␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧]␈ε	N␈↓ ∧{␈εβ,␈αretur␈α␈n␈αto␈α
F2.␈αOth␈α␈erwise␈α
comp␈α␈ute␈↓ λ{␈εβgc␈α␈d␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	P␈ε↔␈␈↓ 	x␈ε	y␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
→␈ε	N␈↓ 
8␈εβ),␈αwhich
␈βλπ␈↓ α␈εβis␈αa␈αpro␈α␈pe␈α␈r␈αfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ ∧:␈ε	N␈↓ ∧X␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αte␈α␈rmina␈α␈te␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m.
␈βλ	␈↓ λ9␈∧λ	λ9≠∂
␈βλF␈↓ ↓H␈εβIt␈α
can␈α
be␈α
sho␈α}wn␈αth␈α␈at␈α
this␈αalg␈α␈orithm␈α
|n␈α␈ds␈α
a␈αfac␈α␈tor,␈αwhe␈α␈nev␈α}er␈αo␈α␈ne␈α
i␈α↓s␈α
ded␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αfrom␈α
the
␈βλn␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αo␈α␈utp␈α␈uts␈αo␈α␈f␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αE.
␈β	≥␈↓ αX␈εε2
␈β	!␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	f␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α'␈ε	p␈↓ α8␈εβ,␈↓ αG␈ε	p␈↓ αd␈ε	d␈↓ αw␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈/(␈↓ βb␈ε	p␈↓ βw␈εβ+␈α¬1)␈α¬+␈↓ ∧d␈ε	f␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	p␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬≡␈ε	d␈↓ ¬1␈εβ)/␈↓ ¬M␈ε	p␈↓ ¬]␈εβ,␈α
since␈αλ1/(␈↓ εl␈ε	p␈↓ π↓␈εβ+␈α¬1)␈α	is␈α	the␈α	p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α	th␈α␈at␈↓ 
∪␈ε	A␈↓ 
2␈εβis␈α	a␈α	m␈α␈u␈α␈l-
␈β	E␈↓ λo␈εε1␈↓ 	j␈εε2␈↓  ␈εε2
␈β	I␈↓ ↓H␈εβtip␈α␈l␈α↓e␈απo␈α␈f␈↓ α2␈ε	p␈↓ αC␈εβ.␈↓ α[␈ε	f␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	p␈↓ βπ␈εβ,␈↓ β⊗␈ε	p␈↓ β'␈ε	d␈↓ β9␈εβ)␈α
=␈α	1/(␈↓ ∧%␈ε	p␈↓ ∧8␈εβ+␈αα1)␈απwhe␈α␈n␈↓ ¬Q␈ε	d␈↓ ¬i␈εβmo␈α␈d␈↓ ε-␈ε	p␈↓ εH␈ε↔≤␈εβ␈α	0.␈↓ π≠␈ε	f␈↓ π+␈εβ(2,␈α¬4␈↓ πf␈ε	k␈↓ πx␈εβ+␈αβ3␈α␈)␈α
=␈↓ 	ε␈εβsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ 	T␈ε	A␈↓ 	y␈ε↔␈␈εβ␈αα(4␈↓ 
8␈ε	k␈↓ 
J␈εβ+␈αβ3␈α␈)␈↓ 
␈ε	B
␈β	W␈↓ λo␈∧	Wλoα
␈β	Y␈↓ λo␈εε3
␈β	l␈↓ π%␈εε2␈↓ λk␈εε2
␈β	m␈↓ ε#␈εε2
␈β	p␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈αa␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈α
4;␈↓ ∧G␈ε	f␈↓ ∧V␈εβ(␈α↓2␈α␈,␈αε8␈↓ ¬∩␈ε	k␈↓ ¬(␈εβ+␈απ5)␈α	=␈↓ ε>␈εβsinc␈α␈e␈↓ π∞␈ε	A␈↓ π8␈ε↔␈␈εβ␈αε(8␈↓ π{␈ε	k␈↓ λ∩␈εβ+␈αε5)␈↓ λU␈ε	B␈↓ 	α␈εβcan␈α␈no␈α␈t␈αb␈α␈e␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β	␈␈↓ ε#␈∧	␈ε#α
␈β
↓␈↓ ε#␈εε3
␈β
∀␈↓ 
β␈εε2
␈β
∃␈↓ ∧¬␈εε1␈↓ ∧M␈εε1␈↓ ¬∃␈εε1␈↓ ¬\␈εε1␈↓ ε*␈εε1␈↓ π\␈εε4␈↓ 	)␈εα(␈↓ 
}␈εα)
␈β
_␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞8;␈↓ α~␈ε	f␈↓ α*␈εβ(2,␈αε8␈↓ αe␈ε	k␈↓ α␈␈εβ+␈α	1)␈α∞=␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬.␈εβ+␈↓ ¬v␈εβ+␈↓ εJ␈εβ+␈↓ εu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π)␈εβ=␈↓ πl␈εβ.␈↓ λ∀␈ε	f␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε	p␈↓ λ@␈εβ,␈↓ λN␈ε	d␈↓ λa␈εβ)␈α∞=␈↓ 	5␈εβ2␈↓ 	E␈ε	p␈↓ 	V␈εβ/(␈↓ 	r␈ε	p␈↓ 
→␈ε↔␈␈εβ␈α	1),␈αε0␈↓ _␈εβif
␈β
&␈↓ ∧¬␈∧
&∧¬α
␈↓ ∧M␈∧
&∧Mα
␈↓ ¬∃␈∧
&¬∃α
␈↓ ¬\␈∧
&¬\α
␈↓ ε$␈∧
&ε$α~␈↓ π\␈∧
&π\α
␈β
(␈↓ ∧¬␈εε3␈↓ ∧M␈εε3␈↓ ¬∃␈εε3␈↓ ¬\␈εε6␈↓ ε$␈εε12␈↓ π\␈εε3
␈β
<␈↓ ↓Z␈εε(␈↓ ↓b␈εp␈↓ ↓p␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β
@␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ α=␈εβmod␈↓ βα␈ε	p␈↓ β≤␈εβ=␈α	(␈α↓1␈α␈,␈↓ βq␈ε	p␈↓ ∧	␈ε↔␈␈εβ␈αλ1),␈αresp␈α␈ectiv␈α␈ely␈α␈,␈αfo␈α␈r␈αodd␈↓ π⊗␈ε	p␈↓ π'␈εβ.
␈β
o␈↓ αv␈εε2␈↓ β}␈εε2␈↓ 
_␈εε2␈α␈(␈↓ 
-␈εp␈↓ 
:␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β
s␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ α↑␈ε	P␈↓ β␈ε↔⊃␈↓ β6␈ε	k␈↓ βG␈ε	N␈↓ βf␈ε	Q␈↓ ∧∪␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ¬∃␈ε	p␈↓ ¬&␈εβ)␈αεfor␈αεan␈α␈y␈αεp␈α␈rime␈αεdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈↓ πd␈ε	p␈↓ π{␈εβof␈↓ λ≥␈ε	V␈↓ λ5␈εβ,␈απw␈α␈e␈απh␈α␈av␈α}e␈απ1␈ε↔␈αλ⊃␈↓ 
␈ε	P␈↓ ␈ε↔⊃
␈β⊗␈↓ α~␈εε2␈↓ α2␈εε(␈↓ α:␈εp␈↓ αH␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ ∧	␈εε(␈↓ ∧⊃␈εp␈↓ ∧∨␈ε~␈␈εε1)/2
␈β≠␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	k␈↓ ↓c␈ε	N␈↓ αα␈ε	Q␈↓ α'␈εβ)␈↓ β→␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ βN␈ε	k␈↓ β←␈ε	N␈↓ β}␈εβ)␈↓ ∧p␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ¬q␈ε	p␈↓ εα␈εβ),␈αi␈α↓f␈↓ εA␈ε	P␈↓ εb␈ε↔@⊃␈↓ π␈εβ0.
␈βH␈↓ ∧$␈∧H∧$α~␈↓ π
␈∧Hπ
α~␈↓ 	⊗␈∧H	⊗α~
␈βI␈↓ ∧β␈ε↔p␈↓ εi␈ε↔p␈↓ λu␈ε↔p
␈βJ␈↓ βπ␈εn␈↓ βW␈εn␈↓ 
;␈εε2
␈βK␈↓ ε∧␈εε1␈↓ λ⊂␈εε1
␈βN␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈ε	U␈↓ α>␈εβ=␈α(␈↓ αv␈ε	a␈↓ β ␈ε↔␈␈↓ βJ␈ε	b␈↓ βg␈εβ)/␈↓ ∧$␈ε	D␈↓ ∧=␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ¬6␈ε	a␈↓ ¬R␈εβ=␈↓ ε∀␈εβ(␈↓ ε∨␈ε	P␈↓ ε?␈εβ+␈↓ π
␈ε	D␈↓ π#␈εβ),␈↓ πE␈ε	b␈↓ π↑␈εβ=␈↓ λ ␈εβ(␈↓ λ+␈ε	P␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ 	⊗␈ε	D␈↓ 	/␈εβ),␈↓ 	Q␈ε	D␈↓ 	v␈εβ=␈↓ 
$␈ε	P␈↓ 
Q␈ε↔␈␈εβ␈αλ4␈↓ ␈ε	Q␈↓ #␈εβ.
␈βT␈↓ ∧¬␈ε↓␈␈↓ ∧S␈ε↓↓
␈βW␈↓ βL␈ε↓P
␈βY␈↓ α!␈εn
␈β\␈↓ ε∧␈∧\ε∧α
␈↓ λ⊂␈∧\λ⊂α
␈β↑␈↓ ε∧␈εε2␈↓ λ⊂␈εε2
␈βn␈↓ ∧+␈εn
␈βq␈↓ α2␈εn␈↓ αC␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬	␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬/␈εk␈↓ ¬<␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬{␈εk␈↓ πG␈εε(␈↓ πP␈εp␈↓ π]␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βv␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈↓ α"␈εβ2␈↓ αi␈ε	U␈↓ β≥␈εβ=␈↓ ∧a␈ε	P␈↓ ¬b␈ε	D␈↓ ελ␈εβ;␈α⊂so␈↓ εM␈ε	U␈↓ ε}␈ε↔⊃␈↓ π.␈ε	D␈↓ λ3␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 	5␈ε	p␈↓ 	F␈εβ)␈α∞if␈↓ 
α␈ε	p␈↓ 
!␈εβis␈α∞an␈α∞o␈α␈dd
␈β␈↓ α}␈εn␈↓ εb␈εp
␈ββ␈↓ 	l␈ε↓␈␈↓ 
∀␈ε↓↓
␈βε␈↓ ∧∪␈εε2␈↓ ∧ ␈εk␈↓ ∧-␈εε+1␈↓ 	3␈ε↓P
␈βλ␈↓ βr␈εk
␈β≥␈↓ 	␈␈εn
␈β ␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬↔␈εn␈↓ λ'␈εn␈↓ λ7␈ε~␈␈εε1␈↓ 
:␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε2␈↓ 
p␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈β$␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α␈,␈αif␈↓ βe␈ε	V␈↓ ∧⊃␈εβ=␈↓ ∧;␈ε	a␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	b␈↓ ¬0␈εβ=␈↓ ¬[␈ε	U␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εT␈ε	Q␈↓ εl␈ε	U␈↓ π8␈εβ,␈α
the␈α␈n␈↓ λ⊗␈εβ2␈↓ λ]␈ε	V␈↓ 		␈εβ=␈↓ 
"␈ε	P␈↓ 
⎇␈ε	D␈↓ #␈εβ,
␈β/␈↓ βw␈εn␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε␈εε+␈α↓1␈↓ π↓␈εn␈↓ π∩␈ε~␈␈εε1␈↓ λo␈εn
␈β5␈↓ 	z␈εε2␈↓ 
π␈εk
␈β7␈↓ 	Y␈εk
␈βH␈↓ α|␈εn
␈βL␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε	V␈↓ α7␈ε↔⊃␈↓ αe␈ε	P␈↓ β→␈ε↔⊃␈↓ βG␈ε	P␈↓ β↑␈εβ.␈α⊃Th␈α␈u␈α␈s␈α
if␈↓ ∧o␈ε	U␈↓ ¬∨␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α␈,␈α∞w␈α␈e␈α
|n␈α␈d␈α
t␈α␈hat␈↓ πW␈ε	U␈↓ λ%␈εβmo␈α␈d␈↓ λi␈ε	p␈↓ 	π␈εβ=␈α0.␈α⊃If␈↓ 
α␈ε	U␈↓ 
2␈ε↔⊃␈εβ␈α1,␈α∞w␈α␈e
␈βW␈↓ α≥␈εp␈↓ ¬¬␈εp␈↓ πl␈εp␈↓ πz␈εε+1␈↓ 
↔␈εp
␈βo␈↓ 	→␈εn␈↓ 	)␈ε~␈␈εε1
␈βt␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈αtha␈α␈t␈α
(␈↓ α`␈ε	Q␈↓ αx␈ε	U␈↓ βA␈εβ)␈↓ βQ␈εβmod␈↓ ∧⊗␈ε	p␈↓ ∧2␈εβ=␈α0;␈α
h␈α␈ere␈αif␈↓ ¬o␈ε	Q␈↓ ε∪␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f␈↓ π}␈ε	p␈↓ λ∞␈εβ,␈↓ λ$␈ε	U␈↓ λU␈ε↔⊃␈↓ 	↓␈ε	P␈↓ 	Z␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 
\␈ε	p␈↓ 
l␈εβ)␈α
fo␈α␈r
␈β}␈↓ β
␈εp␈↓ β≠␈ε~␈␈εε1␈↓ λ9␈εn
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓i␈εβ>␈α∞0,␈α∞so␈↓ αk␈ε	U␈↓ β≡␈εβi␈α↓s␈α
nev␈α}er␈α∞a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬k␈ε	p␈↓ ¬|␈εβ;␈α∂if␈↓ ε6␈ε	Q␈↓ ε\␈εβis␈α∞n␈α␈ot␈α
a␈α∞m␈α␈u␈α␈ltiple␈α∞o␈α␈f␈↓ 	
␈ε	p␈↓ 	≠␈εβ,␈↓ 	2␈ε	U␈↓ 
↓␈εβmo␈α␈d␈↓ 
E␈ε	p␈↓ 
d␈εβ=␈α∞0␈α␈.
␈β
&␈↓ β↓␈εn␈↓ 	H␈εp␈↓ 	V␈ε~␈␈εε1
␈β
>␈↓ πz␈εe
␈β
?␈↓ λM␈εe
␈β
C␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈erefo␈α␈re␈α⊂a␈α␈s␈α∂i␈α↓n␈α∞Theo␈α␈rem␈α∂L␈↓ ∧b␈εβ,␈↓ ∧|␈ε	U␈↓ ¬ ␈εβmod␈↓ ¬e␈ε	N␈↓ ε∀␈εβ=␈α⊂0␈α∂i␈α↓f␈↓ π	␈ε	N␈↓ π8␈εβ=␈↓ πj␈ε	p␈↓ λ⊂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈ε	p␈↓ λc␈εβ,␈↓ λ⎇␈εβgc␈α␈d␈↓ 	/␈εβ(␈↓ 	:␈ε	N␈↓ 	Y␈εβ,␈↓ 	h␈ε	Q␈↓ 
␈εβ)␈α⊂=␈α⊃1␈α␈,␈α⊃a␈α␈nd
␈β
E␈↓ λ¬␈επ1␈↓ λX␈ε
r
␈β
M␈↓ ¬⊃␈εt
␈β
R␈↓ λM␈εr
␈β
S␈↓ πz␈εε1
␈β
c␈↓ β<␈εe␈↓ βR␈ε~␈␈εε1
␈β
g␈↓ β∨␈εα(␈↓ ∧w␈εα)
␈β
j␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓c␈εβ=␈↓ α∀␈εβl␈α↓c␈α␈m␈↓ β+␈ε	p␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧T␈ε	∂␈↓ ∧l␈εβ)␈↓ ¬β␈εβ.␈α↔U␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈α∂the␈α∂a␈α␈ssum␈α␈ption␈α␈s␈α∂of␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∂e␈α␈x␈α␈ercise,␈α⊂th␈α␈e␈α∂ran␈α␈k␈α∂o␈α␈f
␈β
k␈↓ βG␈ε
j
␈β
u␈↓ αH␈εε1␈ε~∀␈↓ αn␈εj␈↓ αz␈ε~∀␈↓ β∪␈εr␈↓ ∧∪␈εj␈↓ ∧`␈εj
␈β
|␈↓ β<␈εj
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈arition␈αof␈↓ β⊃␈ε	N␈↓ β<␈εβis␈↓ β↑␈ε	N␈↓ ∧¬␈εβ+␈αλ1␈α␈;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈↓ ¬1␈ε	N␈↓ ¬\␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ πε␈ε	Q␈↓ π*␈εβand␈↓ πl␈ε	t␈↓ λ∧␈εβis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	m␈ε	N␈↓ 
∀␈εβ+␈αλ1.␈α
Al␈α↓so␈α␈,
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αassu␈α␈mption␈α␈s␈αof␈α
th␈α␈is␈α
ex␈α}ercise␈αi␈α↓m␈α␈ply␈αth␈α␈at␈α
e␈α␈ach␈↓ π≡␈ε	p␈↓ πF␈εβis␈α
o␈α␈dd␈αan␈α␈d␈αea␈α␈ch␈↓ 	:␈ε	∂␈↓ 	←␈εβis␈ε↔␈α
ε␈εβ1␈α␈,␈α∞so␈↓ 
t␈ε	t␈↓ ␈ε↔∀
␈β∞C␈↓ α⊂␈ε↓Q
␈β∞D␈↓ π.␈εj␈↓ 	F␈εj
␈β∞Z␈↓ αH␈εe␈↓ α↑␈ε~␈␈εε1
␈β∞\␈↓ πv␈εe␈↓ λ[␈εe␈↓ λp␈ε~␈␈εε1
␈β∞]␈↓ ↓X␈εε1␈ε~␈␈↓ ↓}␈εr␈↓ ∧z␈εr
␈β∞↑␈↓ βT␈εε1␈↓ ∧↑␈εε2
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α7␈ε	p␈↓ β∧␈εβ(␈↓ β∂␈ε	p␈↓ β-␈εβ+␈↓ βd␈ε	p␈↓ ∧␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈(␈↓ ∧o␈εβ)␈↓ ¬ε␈ε	N␈↓ ¬%␈εβ;␈αλhen␈α␈ce␈↓ ε∂␈ε	r␈↓ ε'␈εβ=␈α	1␈απan␈α␈d␈↓ π&␈ε	t␈↓ π;␈εβ=␈↓ πe␈ε	p␈↓ λ∞␈εβ+␈↓ λ1␈ε	∂␈↓ λJ␈ε	p␈↓ 	⊗␈εβ.␈α
Finally,␈αλth␈α␈erefo␈α␈re,
␈β∞b␈↓ αS␈ε
j
␈β∞d␈↓ λ↓␈επ1␈↓ λe␈επ1
␈β∞l␈↓ β∨␈εj␈↓ βt␈εj␈↓ λ=␈εε1
␈β∞o␈↓ βT␈∧∞oβTα
␈↓ ∧↑␈∧∞o∧↑α
␈β∞q␈↓ βT␈εε3␈↓ ∧↑␈εε3␈↓ πv␈εε1␈↓ λ[␈εε1
␈β∞s␈↓ αH␈εj
␈β∂	␈↓ ↓H␈ε	e␈↓ ↓j␈εβ=␈α	1␈αa␈α␈nd␈↓ αq␈ε	∂␈↓ β∩␈εβ=␈α
1.
␈β∂∪␈↓ ↓T␈εε1␈↓ α⎇␈εε1
␈β∂1␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∪If␈α∞this␈α∞test␈α∂fo␈α␈r␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈α∂is␈α∞to␈α∞be␈α∞an␈α}y␈α∞goo␈α␈d,␈α⊂w␈α␈e␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∂ch␈α␈oo␈α␈se␈↓ 
␈ε	P␈↓ 
&␈εβan␈α␈d␈↓ 
j␈ε	Q␈↓ ⊃␈εβin
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αa␈αway␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
te␈α␈st␈α
will␈α
pro␈α␈bab␈α␈ly␈αwo␈α␈rk.␈α⊂Leh␈α␈mer␈αsug␈α␈gests␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ 	W␈ε	P␈↓ 	{␈εβ=␈α1␈αso␈αtha␈α␈t
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε	D␈↓ ↓m␈εβ=␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	4␈↓ αo␈ε	Q␈↓ βπ␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
ch␈α␈oos␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ∧i␈ε	Q␈↓ ¬∞␈εβso␈αthat␈↓ εα␈εβgcd␈↓ ε4␈εβ(␈↓ ε@␈ε	N␈↓ ε↑␈εβ,␈↓ εm␈ε	Q␈↓ π¬␈ε	D␈↓ π≡␈εβ)␈α
=␈α1.␈α⊃(If␈α
the␈αl␈α↓a␈α␈tter␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈αfails,
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α
kn␈α␈o␈α␈w␈αalrea␈α␈dy␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧∞␈ε	N␈↓ ∧8␈εβis␈αn␈α␈ot␈αp␈α␈rime,␈αu␈α␈nless␈ε↔␈αj␈↓ εf␈ε	Q␈↓ ε}␈ε	D␈↓ π↔␈ε↔j␈α	∃␈↓ πT␈ε	N␈↓ πs␈εβ.)␈αFurth␈α␈ermor␈α␈e,␈αthe␈α
deriv␈α␈ation
␈β⊂K␈↓ π9␈εε(␈↓ πB␈εN␈↓ πZ␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈α∞sho␈α␈ws␈α∞tha␈α␈t␈α∂w␈α␈e␈α∞wi␈α↓ll␈α∂wa␈α␈n␈α␈t␈↓ ¬%␈ε	∂␈↓ ¬L␈εβ=␈α⊂1␈α␈,␈α⊂th␈α␈at␈α∂is,␈↓ π ␈ε	D␈↓ λ0␈ε↔⊃␈α∂␈␈εβ␈α↓1␈α∞(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 
#␈ε	N␈↓ 
B␈εβ).␈α⊗Th␈α␈is
␈β⊂Z␈↓ ¬1␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβis␈αano␈α␈the␈α␈r␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αthat␈αd␈α␈etermin␈α␈es␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈ho␈α␈i␈α↓ce␈αo␈α␈f␈↓ π5␈ε	Q␈↓ πM␈εβ.␈α⊂Fu␈α␈rtherm␈α␈ore,␈α
if␈↓ 	V␈ε	D␈↓ 	{␈εβsatis|e␈α␈s␈α
th␈α␈is
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n,␈αan␈α␈d␈αif␈↓ βC␈ε	U␈↓ ∧≤␈εβm␈α␈od␈↓ ∧`␈ε	N␈↓ ¬λ␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ π)␈ε	N␈↓ πS␈εβis␈ε⊂␈αno␈α␈t␈εβ␈αprime.
␈β⊃)␈↓ βY␈εN␈↓ βp␈εε+1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα690␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα+␈↓ α␈ε⊂Exa␈α␈mple:␈εβ␈α
I␈α↓f␈↓ βE␈ε	P␈↓ βh␈εβ=␈α1␈αa␈α␈nd␈↓ ∧s␈ε	Q␈↓ ¬↔␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈αthe␈αFibon␈α␈acc␈α␈i␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce,␈α
with␈↓ 
B␈ε	D␈↓ 
f␈εβ=␈α5␈α␈.
␈βαO␈↓ α.␈εε11
␈βαS␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ince␈↓ α≡␈εβ5␈↓ αQ␈ε↔⊃␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈α23␈α␈)␈α↓,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
atte␈α␈mpt␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
23␈α
is␈α
prime␈α
b␈α␈y␈α
us␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
the
␈βαz␈↓ ↓H␈εβFibo␈α␈na␈α␈cci␈αsequ␈α␈enc␈α␈e:
␈ββI␈↓ ↓W␈ε↔h␈↓ ↓b␈ε	F␈↓ α
␈εβmod␈↓ αO␈εβ2␈α␈3␈ε↔i␈εβ␈α	=␈α
0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε5,␈αε8␈α␈,␈αε13␈α␈,␈αε21␈α␈,␈αε11,␈α¬9,␈αε2␈α␈0,␈αε6,␈α¬3,␈αε9␈α␈,␈αε12,␈α¬21,␈α¬10,␈αε8␈α␈,␈αε18␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈1,␈αε1␈α␈,␈αε22␈α␈,␈αε0,␈↓ 
h␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∀␈εβ,
␈ββS␈↓ ↓t␈εn
␈β∧↔␈↓ ↓H␈εβso␈απ2␈α␈4␈αλis␈απthe␈απran␈α␈k␈απof␈αλa␈α␈pp␈α␈ariti␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλ2␈α␈3␈απand␈απth␈α␈e␈απtest␈αλw␈α␈or␈α␈ks.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α	th␈α␈e␈απF␈α↓ib␈α␈ona␈α␈cci␈αλse␈α␈que␈α␈nce
␈β∧>␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈α
use␈α␈d␈α
in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
wa␈α␈y␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
the␈α
p␈α␈rimality␈α
o␈α␈f␈α1␈α␈3␈α
or␈α
1␈α␈7,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ 	≡␈ε	F␈↓ 	C␈εβm␈α␈od␈↓ 
π␈εβ13␈α	=␈α	0␈α
a␈α␈nd
␈β∧I␈↓ 	0␈εε7
␈β∧b␈↓ πc␈εε(␈↓ πl␈εp␈↓ πz␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∧f␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓l␈εβmod␈↓ α1␈εβ1␈α␈7␈α
=␈α
0.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧)␈ε↔⊃␈α
ε␈εβ1␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈α10␈α␈)␈α↓,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ πS␈εβ5␈↓ λG␈εβm␈α␈od␈↓ 	␈ε	p␈↓ 	&␈εβ=␈α
1,␈αs␈α␈o␈↓ 
 ␈ε	F␈↓ 
q␈εβ(no␈α␈t
␈β∧q␈↓ ↓Z␈εε9␈↓ 
2␈εp␈↓ 
@␈ε~␈␈εε1
␈β¬∞␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ α∞␈εβ)␈αis␈αdivisib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ βy␈ε	p␈↓ ∧
␈εβ.
␈β¬_␈↓ ↓Z␈εp␈↓ ↓h␈εε+1
␈β¬@␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	f␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	q␈↓ αt␈εβ)␈α=␈α
2␈↓ βO␈εβlg␈↓ βn␈ε	q␈↓ ∧ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α⊂W␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬;␈ε	q␈↓ ¬V␈εβ=␈α2␈αor␈α
3␈α␈,␈α∞th␈α␈e␈α
tree␈αha␈α␈s␈α
at␈αmost␈↓ 	+␈ε	f␈↓ 	;␈εβ(␈↓ 	F␈ε	q␈↓ 	U␈εβ)␈α
n␈α␈od␈α␈es.␈α⊂W␈α↓h␈α␈en
␈β¬h␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓a␈εβ>␈α3␈αis␈αprime␈α␈,␈α
let␈↓ βe␈ε	q␈↓ β}␈εβ=␈α1␈απ+␈↓ ∧k␈ε	q␈↓ ¬
␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬6␈ε	q␈↓ ¬X␈εβwh␈α␈ere␈↓ ε8␈ε	t␈↓ εO␈ε↔∃␈εβ␈α2␈αan␈α␈d␈↓ πY␈ε	q␈↓ πq␈εβ,␈↓ λπ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ3␈εβ,␈↓ λH␈ε	q␈↓ λj␈εβa␈α␈re␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e.␈α∞Th␈α␈e␈αsize␈αo␈α␈f
␈β¬q␈↓ βR␈ε↓P
␈β¬r␈↓ ∧w␈εε1␈↓ ¬B␈εt␈↓ πe␈εε1␈↓ λT␈εt
␈βε∂␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtree␈αis␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
1␈απ+␈↓ β⎇␈ε	f␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧_␈ε	q␈↓ ∧2␈εβ)␈α	=␈α
2␈αλ+␈↓ ¬2␈ε	f␈↓ ¬B␈εβ(␈↓ ¬M␈ε	q␈↓ ¬d␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ εY␈ε	t␈↓ εn␈εβ<␈↓ π→␈ε	f␈↓ π)␈εβ(␈↓ π4␈ε	q␈↓ πC␈εβ).␈α~[␈ε⊂SIAM␈αJ.␈αComp␈α␈utin␈α␈g␈ε∪␈α7␈εβ␈α(197␈α␈5),
␈βε~␈↓ ∧$␈εk
␈βε7␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈14↑␈α␈220␈↓ α<␈εβ.]
␈βεe␈↓ ≡␈ε
␈βεf␈↓ α≥␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈βεi␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈ε	x␈↓ α)␈ε	G␈↓ αB␈εβ(␈↓ αN␈ε	␈↓ α`␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ β~␈ε	F␈↓ β1␈εβ(␈↓ β<␈ε	␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβis␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ ¬h␈ε	n␈↓ ε¬␈ε↔∀␈↓ ε0␈ε	x␈↓ εL␈εβwh␈α␈ose␈α
seco␈α␈nd␈α␈-␈α↓la␈α␈rgest␈α
prime␈α
facto␈α␈r␈αis␈ε↔␈α∀␈↓ ␈ε	x
␈βπ
␈↓ ¬r␈ε
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
whose␈α
l␈α↓a␈α␈rgest␈αp␈α␈rime␈αfacto␈α␈r␈αi␈α↓s␈α>␈↓ ¬`␈ε	x␈↓ ε␈εβ.␈αHe␈α␈nce
␈βπY␈↓ β
␈ε~0␈↓ ∧E␈εt␈↓ ∧O␈εε+␈↓ ∧h␈εd␈↓ ∧w␈εt␈↓ ¬j␈εt␈↓ ε5␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εZ␈εt
␈βπ\␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ¬␈␈εα)␈↓ εd␈εα(␈↓ π	␈εα(␈↓ λ∀␈εα)␈↓ λh␈εα(␈↓ 	s␈εα))
␈βπ←␈↓ α`␈ε	x␈↓ αq␈ε	G␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≠␈ε	t␈↓ β'␈εβ)␈↓ β8␈ε	d␈↓ βJ␈ε	t␈↓ β`␈εβ=␈↓ ∧⊗␈ε	→␈↓ ∧)␈εβ(␈↓ ∧4␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬;␈ε	→␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε	x␈↓ ¬t␈εβ)␈↓ ε∪␈ε↔↓␈↓ ε#␈ε	x␈↓ εp␈ε	G␈↓ π∃␈ε	t␈↓ π!␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π⎇␈ε	t␈↓ λ	␈εβ)␈↓ λ(␈ε↔␈␈↓ λQ␈ε	F␈↓ λt␈ε	t␈↓ 	␈εβ/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	\␈ε	t␈↓ 	h␈εβ)␈↓ 
␈εβ.
␈βλ→␈↓ ¬O␈ε↓R
␈βλ(␈↓ ¬g␈εε1
␈βλ3␈↓ π>␈ε~␈␈εε1
␈βλ4␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ π&␈εα)
␈βλ5␈↓ ¬∞␈∧λ5¬∞α~
␈βλ7␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	p␈α␈rob␈α␈ability␈α	th␈α␈at␈↓ βy␈ε	p␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧l␈ε↔p␈↓ ¬∞␈ε	p␈↓ ¬0␈εβis␈↓ ¬y␈ε	F␈↓ ε≤␈ε	t␈↓ ε(␈εβ/2(1␈ε↔␈α∧␈␈↓ π∂␈ε	t␈↓ π≠␈εβ)␈↓ π2␈ε	t␈↓ πj␈ε	d␈↓ π|␈ε	t␈↓ λλ␈εβ.␈α∀[Cu␈α␈rious␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α
it␈α	ca␈α␈n␈α	b␈α␈e␈α	sh␈α␈o␈α␈wn
␈βλB␈↓ ∧	␈εt␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬≥␈εt
␈βλJ␈↓ ¬`␈εε0
␈βλN␈↓ ∧β␈ε↓R
␈βλ]␈↓ ∧≠␈εε1
␈βλi␈↓ ∧D␈εα(␈↓ ¬S␈εα)
␈βλl␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α∞th␈α␈is␈α∞also␈α∞eq␈α␈uals␈↓ ∧-␈ε	F␈↓ ∧P␈ε	t␈↓ ∧\␈εβ/(1␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬<␈ε	t␈↓ ¬H␈εβ)␈↓ ¬e␈ε	d␈↓ ¬w␈ε	t␈↓ εβ␈εβ,␈α∂the␈α∞a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α∞v␈α␈alue␈α∞o␈α␈f␈↓ λY␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 		␈ε	p␈↓ 	#␈εβ/␈↓ 	3␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 	u␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞it␈α∞also
␈βλw␈↓ 	→␈εt
␈βλ␈␈↓ ∧∀␈εε0
␈β	∂␈↓ 	)␈ε~0
␈β	∀␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈ls␈α∞Golom␈α␈b␈α␈'s␈α∞con␈α␈stan␈α}t␈↓ ∧M␈ε	∃␈↓ ∧n␈εβi␈α↓n␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α∞1.3.3␈α␈↑23␈α␈.␈α∀The␈α
deriv␈α␈ativ␈α␈e␈↓ 	⊂␈ε	G␈↓ 	/␈εβ(0)␈α∞c␈α␈an␈α∞b␈α␈e␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn
␈β	&␈↓ αI␈ε↓R
␈β	5␈↓ αa␈εε1
␈β	@␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε2␈↓ 	∞␈ε␈
␈β	A␈↓ εT␈εε1␈↓ πX␈εε1
␈β	B␈↓ β
␈εα(␈↓ ∧↔␈εα)
␈β	E␈↓ ↓H␈εβto␈αequ␈α␈al␈↓ αs␈ε	F␈↓ β⊗␈ε	t␈↓ β"␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧␈ε	t␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧#␈ε	t␈↓ ∧Z␈ε	d␈↓ ∧l␈ε	t␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ ¬/␈ε	F␈↓ ¬F␈εβ(1)␈αλ+␈αλ2␈↓ ε.␈ε	F␈↓ εF␈εβ(␈↓ εe␈εβ)␈αλ+␈αλ3␈↓ π2␈ε	F␈↓ πI␈εβ(␈↓ πh␈εβ)␈αλ+␈↓ λ$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λU␈εβ=␈↓ 	↓␈ε	e␈↓ 	≥␈εβ.␈α∞Th␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓rd␈α␈-larges␈α␈t
␈β	S␈↓ εT␈∧	SεTα
␈↓ πX␈∧	SπXα
␈β	U␈↓ εT␈εε2␈↓ πX␈εε3
␈β	V␈↓ ∧6␈ε↓R
␈β	W␈↓ αZ␈εε0
␈β	d␈↓ ∧N␈ε
␈β	p␈↓ λ
␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	9␈ε~0
␈β	q␈↓ ∧\␈εα(␈↓ ¬β␈εα(␈↓ ε␈εα)␈↓ ε↑␈εα(␈↓ πg␈εα))
␈β	t␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α
fac␈α␈tor␈α
h␈α␈as␈↓ β>␈ε	H␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε	␈↓ βw␈εβ)␈α	=␈↓ ∧h␈ε	H␈↓ ¬∂␈ε	t␈↓ ¬≠␈εβ/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬u␈ε	t␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε≡␈ε↔␈␈↓ εE␈ε	G␈↓ εj␈ε	t␈↓ εv␈εβ/(1␈ε↔␈α¬␈␈↓ πP␈ε	t␈↓ π[␈εβ)␈↓ π␈␈ε	t␈↓ λ6␈ε	d␈↓ λH␈ε	t␈↓ λ↑␈εβan␈α␈d␈↓ 	≡␈ε	H␈↓ 	?␈εβ(0)␈α	=␈ε↔␈α
1␈εβ.␈αSe␈α␈e␈α
D.
␈β
ε␈↓ ∧G␈εε0
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβE.␈αKn␈α␈u␈α␈th␈αa␈α␈nd␈α
L␈α↓.␈αTrab␈α␈b␈αPard␈α␈o,␈ε⊂␈αTheo␈α␈retical␈αCom␈α␈p.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α3␈εβ␈α(19␈α␈76␈α␈)␈α↓,␈α32␈α␈1↑3␈α␈48␈α␈.␈α↓]
␈β
I␈↓ αx␈εD
␈β
N␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	M␈↓ α:␈εβ=␈↓ αg␈εβ2␈↓ β∀␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αall␈↓ ¬v␈ε	p␈↓ ε∀␈εβfo␈α␈r␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αthe␈αord␈α␈er␈αof␈α
2␈αmo␈α␈du␈α␈lo␈↓ 	{␈ε	p␈↓ 
_␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ 
␈ε	D␈↓ #␈εβ.
␈β
n␈↓ εr␈εq␈↓ 	K␈εe
␈β
u␈↓ ↓H␈εβTo␈αex␈α␈tend␈αth␈α␈i␈α↓s␈αi␈α↓d␈α␈ea,␈α
let␈↓ ∧2␈ε	a␈↓ ∧Z␈εβ=␈α2␈α
a␈α␈nd␈↓ ¬g␈ε	a␈↓ ε4␈εβ=␈↓ εb␈ε	a␈↓ π
␈εβmod␈↓ πR␈ε	N␈↓ πq␈εβ,␈α
wher␈α␈e␈↓ λi␈ε	q␈↓ 	
␈εβ=␈↓ 	:␈ε	p␈↓ 	a␈εβ,␈↓ 	x␈ε	p␈↓ 
 ␈εβis␈α
th␈α␈e␈↓ 
}␈ε	j␈↓ 
␈εβth
␈β
v␈↓ ε|␈ε
j␈↓ 	V␈ε
j
␈β␈↓ ∧A␈εε1␈↓ ¬v␈εj␈↓ εβ␈εε+1␈↓ λu␈εj␈↓ 
π␈εj
␈βπ␈↓ εr␈εj␈↓ 	K␈εj
␈β→␈↓ 	s␈εq
␈β≥␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime,␈αand␈↓ αp␈ε	e␈↓ β∩␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ βJ␈εβlo␈α␈g␈↓ βz␈εβ1␈α␈000␈α␈/␈↓ ∧M␈εβlog␈↓ ∧⎇␈ε	p␈↓ ¬→␈ε↔c␈εβ;␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬k␈ε	A␈↓ ε
␈εβ=␈↓ ε5␈ε	a␈↓ εj␈εβ.␈αNo␈α␈w␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈↓ λS␈ε	b␈↓ λu␈εβ=␈↓ 	∨␈εβgcd␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	]␈ε	A␈↓ 
ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 
O␈ε	N␈↓ 
m␈εβ)␈αfo␈α␈r
␈β'␈↓ α|␈εj␈↓ ¬
␈εj␈↓ εD␈εε169␈↓ λ←␈εq
␈β@␈↓ ∧~␈εε3␈↓ ¬∪␈εε5␈↓ 	Q␈εε1␈α␈009
␈βD␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈rimes␈↓ α`␈ε	q␈↓ αz␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
1␈↓ ∧
␈εβ0␈↓ ∧2␈εβa␈α␈nd␈α
1␈↓ ¬β␈εβ0␈↓ ¬ ␈εβ.␈αOne␈α
way␈α
to␈α
do␈α
this␈αis␈αto␈α
star␈α␈t␈αwith␈↓ 	;␈ε	A␈↓ 
	␈εβm␈α␈od␈↓ 
M␈ε	N␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βh␈↓ ¬.␈εε4␈↓ π∧␈εε2
␈βl␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α
to␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
altern␈α␈ately␈α
b␈α␈y␈↓ ¬↔␈ε	A␈↓ ¬@␈εβmo␈α␈d␈↓ ε∧␈ε	N␈↓ ε.␈εβa␈α␈nd␈↓ εn␈ε	A␈↓ π⊗␈εβmo␈α␈d␈↓ πZ␈ε	N␈↓ πy␈εβ.␈α_(A␈αsimilar␈α
meth␈α␈od␈α
wa␈α␈s␈αu␈α␈sed
␈β∀␈↓ ↓H␈εβin␈α
th␈α␈e␈α1␈α␈920␈α␈s␈αby␈α
D.␈α
N.␈αLehm␈α␈er,␈αbu␈α␈t␈αh␈α␈e␈αd␈α␈idn␈α␈'␈α↓t␈α
pu␈α␈blish␈α
it.␈α↓)␈α_As␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈αAlgo␈α␈rithm␈α
B␈αw␈α␈e␈α
can
␈β7␈↓ λ↑␈εε30␈↓ λw␈εr␈↓ 	K␈εk
␈β;␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈oid␈αmost␈αof␈αthe␈αgcd␈α␈'␈α↓s␈αb␈α␈y␈αbatc␈α␈hing␈α␈;␈α
e.g.,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ π	␈ε	b␈↓ π←␈εβ=␈↓ λ␈εβgc␈α␈d␈↓ λ=␈εβ(␈↓ λH␈ε	A␈↓ 	␈ε↔␈␈↓ 	5␈ε	A␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	g␈ε	N␈↓ 
ε␈εβ),␈αwe␈αmigh␈α}t
␈βF␈↓ π∃␈εε3␈α␈0␈ε~␈␈↓ πG␈εk
␈β←␈↓ ¬↑␈εε3␈α␈0␈↓ ¬w␈εr␈↓ εK␈εε2␈α␈9␈↓ π⊂␈εε30␈↓ π*␈εr␈↓ π}␈εε2␈α␈3␈↓ λu␈εε30␈↓ 	∞␈εr
␈βc␈↓ ↓H␈εβtry␈αba␈α␈tche␈α␈s␈αof␈α8,␈α
c␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈↓ ∧m␈ε	c␈↓ ¬⊂␈εβ=␈α(␈↓ ¬H␈ε	A␈↓ ε␈ε↔␈␈↓ ε5␈ε	A␈↓ εd␈εβ)(␈↓ εz␈ε	A␈↓ π>␈ε↔␈␈↓ πg␈ε	A␈↓ λ↔␈εβ)␈↓ λ'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λT␈εβ(␈↓ λ←␈ε	A␈↓ 	#␈ε↔␈␈↓ 	L␈ε	A␈↓ 	b␈εβ)␈↓ 	s␈εβmo␈α␈d␈↓ 
7␈ε	N␈↓ 
V␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈βm␈↓ ∧y␈εr
␈β
␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	c␈↓ α≥␈εβ,␈↓ α,␈ε	N␈↓ αK␈εβ)␈αfor␈α3␈α␈3␈α	<␈↓ βj␈ε	r␈↓ ∧α␈ε↔∀␈εβ␈α	33␈α␈34.
␈β
∃␈↓ α⊃␈εr
␈β
=␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβAlgorith␈α␈m␈α
P␈αfail␈α↓s␈αon␈α␈ly␈αwhen␈αth␈α␈e␈αran␈α␈dom␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ πh␈ε	x␈↓ λε␈εβdo␈α␈es␈α
n␈α␈ot␈αrev␈α␈e␈α␈al␈α
th␈α␈e␈αf␈α↓a␈α␈ct␈αtha␈α␈t
␈β
\␈↓ 
∧␈ε
j
␈β
`␈↓ ¬+␈εq␈↓ 	w␈εε2␈↓ 
∂␈εq
␈β
d␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓i␈εβis␈α
non␈α␈prime␈α␈.␈α∩Sa␈α␈y␈↓ βs␈ε	x␈↓ ∧∩␈εβis␈ε⊂␈α
ba␈α␈d␈εβ␈α
if␈↓ ¬~␈ε	x␈↓ ¬=␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↓␈ε	n␈↓ ε"␈εβ=␈α
1␈α
or␈α
if␈α∞o␈α␈ne␈α
of␈α
the␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ 	f␈ε	x␈↓ 
)␈εβis␈ε↔␈α
⊃␈α
␈␈εβ␈α↓1
␈β∞␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	n␈↓ α]␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ βh␈ε	j␈↓ ∧␈εβ<␈↓ ∧+␈ε	k␈↓ ∧;␈εβ.␈αSin␈α␈ce␈α	1␈α	is␈α
b␈α␈ad␈α␈,␈α
we␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ π#␈ε	p␈↓ πL␈εβ=␈α	(␈↓ λα␈ε	b␈↓ λ#␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/(␈↓ 	↓␈ε	n␈↓ 	~␈ε↔␈␈εβ␈α¬2)␈α	<␈↓ 
⊂␈ε	b␈↓ 
,␈εβ/(␈↓ 
H␈ε	n␈↓ 
a␈ε↔␈␈εβ␈α¬1),
␈β∞⊗␈↓ π2␈εn␈↓ λ∞␈εn␈↓ 
≤␈εn
␈β∞3␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	b␈↓ αO␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αba␈α␈d␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬&␈εβsuc␈α␈h␈αtha␈α␈t␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε␈␈ε	x␈↓ π→␈εβ<␈↓ πD␈ε	n␈↓ πX␈εβ,␈αwhen␈↓ λC␈ε	n␈↓ λb␈εβi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.
␈β∞>␈↓ α4␈εn
␈β∞W␈↓ ∧T␈εn␈↓ ∧e␈ε~␈␈εε1
␈β∞[␈↓ α␈εβEv␈α␈ery␈α
b␈α␈ad␈↓ β-␈ε	x␈↓ βI␈εβsatis|e␈α␈s␈↓ ∧C␈ε	x␈↓ ¬∀␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ εZ␈ε	n␈↓ εn␈εβ).␈αWhen␈↓ πm␈ε	p␈↓ λλ␈εβi␈α↓s␈α
prime,␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αsolu␈α␈-
␈β∞␈␈↓ ∧:␈εq␈↓ ε(␈εe␈↓ λ≠␈εe
␈β∂β␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈αto␈αt␈α␈he␈αcon␈α␈gru␈α␈enc␈α␈e␈↓ ∧)␈ε	x␈↓ ∧P␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε↔␈ε	p␈↓ ε3␈εβ)␈αfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ πD␈ε	x␈↓ π←␈ε↔∀␈↓ λ
␈ε	p␈↓ λ1␈εβi␈α↓s␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈β∂&␈↓ βr␈εe␈↓ β⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ εq␈εe␈↓ ε|␈ε~␈␈εε1␈↓ 	␈␈εe␈↓ 

␈ε~␈␈εε1
␈β∂'␈↓ α←␈εα(␈↓ ¬␈εα)␈↓ 	D␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈β∂*␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	q␈↓ ↓⎇␈ε	y␈↓ α→␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈↓ αk␈εβmod␈α␈ulo␈↓ βb␈ε	p␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	p␈↓ ∧F␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬"␈εβfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε~␈ε	y␈↓ ε6␈εβ<␈↓ ε`␈ε	p␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	p␈↓ πE␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈amely␈↓ 	∩␈εβgcd␈↓ 	P␈ε	q␈↓ 	←␈εβ,␈↓ 	n␈ε	p␈↓ 
/␈εβ(␈↓ 
;␈ε	p␈↓ 
S␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ #␈εβ,
␈β∂N␈↓ ∧b␈εy
␈β∂R␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧!␈εβby␈↓ ∧Q␈ε	a␈↓ ∧|␈εβwh␈α␈ere␈↓ ¬\␈ε	a␈↓ ¬x␈εβis␈αa␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αroo␈α␈t.
␈β∂t␈↓ β1␈εe
␈β∂u␈↓ ∧π␈εe
␈β∂y␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	n␈↓ αn␈εβ=␈↓ β≥␈ε	n␈↓ βG␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βs␈ε	n␈↓ ∧≥␈εβ,␈α∂wh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈↓ ¬T␈ε	n␈↓ ε␈εβa␈α␈re␈α∞distin␈α␈ct␈α∞prime␈α␈s.␈α∀Acco␈α␈rding␈α
to␈α∞th␈α␈e␈α∞Ch␈α␈inese
␈β∂|␈↓ β;␈επ1␈↓ ∧⊃␈ε
r
␈β⊂∧␈↓ ¬g␈εi
␈β⊂	␈↓ ∧π␈εr
␈β⊂
␈↓ β1␈εε1
␈β⊂≥␈↓ 	␈εn␈↓ 	⊃␈ε~␈␈εε1
␈β⊂!␈↓ ↓H␈εβre␈α␈maind␈α␈er␈αtheo␈α␈rem,␈α
the␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈α
th␈α␈e␈αcon␈α␈grue␈α␈nce␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	B␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
␈ε	n␈↓ !␈εβ)
␈β⊂+␈↓ ↓k␈ε↓Q␈↓ λ≤␈ε↓Q
␈β⊂C␈↓ ∧ ␈εe␈↓ ∧5␈ε~␈␈εε1
␈β⊂F␈↓ β~␈εα(␈↓ ¬R␈εα)
␈β⊂I␈↓ ↓H␈εβis␈↓ αh␈εβgcd␈↓ β&␈ε	n␈↓ βC␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ∧f␈ε	n␈↓ ¬␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈↓ ¬↑␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈t␈α
most␈↓ 	∀␈εβ(␈↓ 	∨␈ε	n␈↓ 	E␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α
since␈↓ 
k␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈β⊂K␈↓ ∧+␈ε
i
␈β⊂S␈↓ ∧y␈εi␈↓ 	2␈εi␈↓ 
␈␈εi
␈β⊂Y␈↓ ∧ ␈εi
␈β⊂[␈↓ α
␈εε1␈ε~∀␈↓ α3␈εi␈↓ α=␈ε~∀␈↓ αW␈εr␈↓ λ>␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λd␈εi␈↓ λn␈ε~∀␈↓ 	π␈εr
␈β⊂p␈↓ λ⎇␈εe
␈β⊂r␈↓ λY␈εε2
␈β⊂u␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime␈αto␈↓ βe␈ε	n␈↓ ∧↓␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α∞If␈αsome␈↓ ¬I␈ε	e␈↓ ¬j␈εβ>␈α1,␈α
w␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ π>␈ε	n␈↓ πd␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈ε↔␈α
∀␈↓ λi␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ,␈αhen␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β⊂x␈↓ 	λ␈ε
i
␈β⊃␈↓ ¬U␈εi␈↓ πQ␈εi
␈β⊃∧␈↓ λY␈∧⊃∧λYα
␈β⊃ε␈↓ λY␈εε9␈↓ λ⎇␈εi
␈β⊃~␈↓ ∧_␈εε2␈↓ εS␈εε2␈↓ π/␈εε1
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αsolution␈α␈s␈αis␈αa␈α␈t␈αmost␈↓ ∧)␈ε	n␈↓ ∧=␈εβ;␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αc␈α␈ase␈↓ ¬␈␈ε	b␈↓ ε$␈ε↔∀␈↓ εc␈ε	n␈↓ π␈ε↔∀␈↓ π?␈εβ(␈↓ πJ␈ε	n␈↓ πe␈ε↔␈␈εβ␈αλ1),␈αsince␈↓ 	⊂␈ε	n␈↓ 	-␈ε↔∃␈εβ␈α	9.
␈β⊃(␈↓ ε␈εn
␈β⊃+␈↓ ∧_␈∧⊃+∧_α
␈↓ εS␈∧⊃+εSα
␈↓ π/␈∧⊃+π/α
␈β⊃-␈↓ ∧_␈εε9␈↓ εS␈εε9␈↓ π/␈εε4
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα691
␈βα+␈↓ α␈εβThe␈α␈refore␈α
w␈α␈e␈αmay␈αassu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ¬c␈ε	n␈↓ ε∧␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
pr␈α␈odu␈α␈ct␈↓ π`␈ε	n␈↓ λ¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈ε	n␈↓ λ↑␈εβo␈α␈f␈α
distinct␈αprimes.␈α⊂L␈α↓e␈α␈t
␈βα6␈↓ πs␈εε1␈↓ λE␈εr
␈βαJ␈↓ 	G␈ε≠0
␈βαO␈↓ αt␈εk␈↓ 	:␈εk␈↓ 	`␈ε~0␈↓ 
t␈ε~0
␈βαS␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓r␈εβ=␈α
1␈αλ+␈↓ αc␈εβ2␈↓ β
␈ε	q␈↓ β!␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ∧~␈ε	k␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧p␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬#␈ε↔∀␈↓ ¬Q␈ε	k␈↓ ¬l␈εβ.␈α⊃The␈α␈n␈↓ ε←␈εβgc␈α␈d␈↓ π⊃␈εβ(␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈,␈↓ λα␈ε	n␈↓ λ)␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α
=␈↓ 	)␈εβ2␈↓ 	Q␈ε	q␈↓ 	k␈εβ,␈α
where␈↓ 
d␈ε	k␈↓ ␈εβ=
␈βαV␈↓ β␈ε
i
␈βαY␈↓ 	G␈ε
i
␈βα]␈↓ ↓[␈εi␈↓ β⊗␈εi␈↓ ∧)␈εε1␈↓ ¬`␈εr␈↓ λ∃␈εi
␈βαb␈↓ 	`␈εi␈↓ 
t␈εi
␈βαv␈↓ β*␈ε~0␈↓ 	G␈εq␈↓ 
W␈ε~0
␈βαz␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α
␈ε	k␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α)␈ε	k␈↓ αC␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ β≠␈ε	q␈↓ β?␈εβ=␈↓ βj␈εβgcd␈↓ ∧≤␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	q␈↓ ∧6␈εβ,␈↓ ∧E␈ε	q␈↓ ∧\␈εβ).␈α
Mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ¬v␈ε	n␈↓ ε∀␈εβ,␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈↓ λ∧␈ε	x␈↓ λ!␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ 	6␈ε	x␈↓ 	↑␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈αis␈↓ 
H␈ε	q␈↓ 
a␈εβ;␈α
a␈α␈nd
␈ββ¬␈↓ α8␈εi␈↓ ∧Q␈εi␈↓ ε	␈εi
␈ββ	␈↓ β*␈εi␈↓ 
W␈εi
␈ββ~␈↓ ∧g␈ε
j
␈ββ≡␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ∧s␈εq␈↓ ε∨␈εj␈↓ ε:␈ε~0␈↓ λ→␈ε~0
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈↓ β≤␈ε	x␈↓ β8␈εβsu␈α␈ch␈α	tha␈α␈t␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ¬λ␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α	i␈α↓s␈↓ ε∂␈εβ2␈↓ ε+␈ε	q␈↓ εO␈εβfo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ πF␈ε	j␈↓ π↑␈εβ<␈↓ λλ␈ε	k␈↓ λ#␈εβ,␈αo␈α␈therwise␈α
0␈α␈.␈αSin␈α␈ce␈↓ 
D␈ε	k␈↓ 
]␈ε↔∃␈↓ λ␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈ββ+␈↓ ∧R␈ε↓P
␈ββ,␈↓ ↔␈εε1
␈ββ1␈↓ ε:␈εi␈↓ λ→␈εi
␈ββE␈↓ β&␈ε~0␈↓ βt␈ε~0␈↓ ¬q␈εj␈↓ ¬⎇␈εr
␈ββF␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ε	␈εα)
␈ββI␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αG␈ε	b␈↓ αm␈εβ=␈↓ β↔␈ε	q␈↓ β8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βe␈ε	q␈↓ ∧⊃␈εβ1␈απ+␈↓ ¬`␈εβ2␈↓ ε∃␈εβ.
␈ββT␈↓ αS␈εn
␈ββY␈↓ β&␈εε1␈↓ βt␈εr
␈ββ\␈↓ ∧x␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ¬*␈εε<␈↓ ¬C␈εk
␈ββd␈↓ ¬O␈επ1
␈ββt␈↓ λ≥␈εε1␈↓ 	!␈εk␈↓ 	9␈εε+␈↓ 	R␈ε~↓↓↓␈↓ 	g␈εε+␈↓ 
␈εk␈↓ 
S␈εε1
␈ββx␈↓ α␈εβTo␈αco␈α␈mplete␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈of,␈α
it␈αsu}␈α␈ces␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈↓ πF␈ε	b␈↓ πm␈ε↔∀␈↓ λ.␈ε	q␈↓ λL␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λx␈ε	q␈↓ 	⊂␈εβ2␈↓ 
#␈εβ=␈↓ 
d␈ε	⎇␈↓ 
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε	n␈↓ _␈εβ),
␈ββz␈↓ 
␈ε
r
␈ββ|␈↓ 	-␈επ1
␈β∧↓␈↓ ¬'␈ε↓P␈↓ λy␈ε↓P
␈β∧α␈↓ πR␈εn␈↓ λ:␈εε1␈↓ 	∧␈εr
␈β∧ε␈↓ λ≥␈∧∧ελ≥α
␈↓ 
S␈∧∧ε
Sα
␈β∧λ␈↓ λ≥␈εε4␈↓ 
S␈εε4
␈β∧≠␈↓ εF␈εj␈↓ εR␈εr␈↓ π
␈εk␈↓ π$␈εε+␈↓ π=␈ε~↓↓↓␈↓ πR␈εε+␈↓ πl␈εk␈↓ 
↔␈εj␈↓ 
#␈εr␈↓ 
↑␈εk␈↓ 
v␈εr
␈β∧≤␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ε↑␈εα)/␈↓ λ7␈εα(␈↓ 
0␈εα)/
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α∃␈ε	⎇␈↓ α*␈εβ(␈↓ α5␈ε	n␈↓ αI␈εβ)␈α
<␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αα1.␈α
We␈αεhav␈α}e␈↓ ∧r␈εβ1␈α↓+␈↓ ε5␈εβ2␈↓ ε|␈εβ2␈↓ λ
␈ε↔∀␈↓ λC␈εβ1␈αα+␈↓ 
π␈εβ2␈↓ 
N␈εβ2␈↓ ␈εβ=
␈β∧"␈↓ πx␈ε
r
␈β∧#␈↓ π→␈επ1␈↓ 
j␈επ1
␈β∧2␈↓ ¬M␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬s␈εj␈↓ ¬␈␈εε<␈↓ ε_␈εk␈↓ 	∨␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ 	D␈εj␈↓ 	P␈εε<␈↓ 	j␈εk
␈β∧:␈↓ ε$␈επ1␈↓ 	v␈επ1
␈β∧J␈↓ α¬␈εr␈↓ β*␈εr␈↓ ∧2␈εk␈↓ ∧I␈εr␈↓ ∧q␈εr␈↓ ε>␈εr␈↓ εJ␈ε~␈␈εε1
␈β∧K␈↓ ∧β␈εα/(␈↓ ¬J␈εα)
␈β∧N␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(␈↓ ↓t␈εβ2␈↓ α→␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈αλ(␈↓ β→␈εβ2␈↓ β>␈ε↔␈␈εβ␈αλ2)␈↓ ∧!␈εβ2␈↓ ∧U␈εβ(␈↓ ∧`␈εβ2␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬`␈ε↔∀␈εβ␈α1␈α␈/␈↓ ε-␈εβ2␈↓ εp␈εβ,␈αso␈αth␈α␈e␈αres␈α␈ult␈αfollo␈α␈ws␈αu␈α␈nless␈↓ 
⊗␈ε	r␈↓ 
/␈εβ=␈α
2␈αa␈α␈nd
␈β∧R␈↓ ∧>␈επ1
␈β∧v␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓o␈εβ=␈↓ α≥␈ε	k␈↓ α8␈εβ.␈α⊂If␈↓ αt␈ε	r␈↓ β∂␈εβ=␈α
2␈α␈,␈α∞ex␈α}ercise␈α
9␈αsho␈α}w␈α↓s␈αtha␈α␈t␈↓ ε)␈ε	n␈↓ εF␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αi␈α↓s␈αno␈α␈t␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
of␈α
b␈α␈oth␈↓ 
π␈ε	n␈↓ 
/␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α
a␈α␈nd
␈β¬↓␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α+␈εε2␈↓ 
~␈εε1
␈β¬~␈↓ π≠␈ε~0␈↓ λ↑␈ε~0
␈β¬≡␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓q␈ε↔␈␈εβ␈α	1.␈α∀Th␈α␈us␈α∞if␈↓ βC␈ε	k␈↓ βl␈εβ=␈↓ ∧≤␈ε	k␈↓ ∧E␈εβw␈α␈e␈α∞can␈α␈no␈α␈t␈α∞hav␈α}e␈α∞bo␈α␈th␈↓ π␈ε	q␈↓ π5␈εβ=␈↓ πe␈ε	q␈↓ λ␈εβa␈α␈nd␈↓ λO␈ε	q␈↓ λy␈εβ=␈↓ 	)␈ε	q␈↓ 	A␈εβ;␈α⊂it␈α∞foll␈α↓o␈α}ws␈α∞tha␈α␈t
␈β¬(␈↓ ↓[␈εε2␈↓ βR␈εε1␈↓ ∧+␈εε2␈↓ πq␈εε1␈↓ 	5␈εε2
␈β¬-␈↓ π≠␈εε1␈↓ λ↑␈εε2
␈β¬A␈↓ ↓V␈ε~0␈↓ ↓r␈ε~0
␈β¬B␈↓ α6␈εε1␈↓ ∧↔␈εε1
␈β¬E␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓c␈ε	q␈↓ αλ␈ε↔∀␈↓ αF␈ε	q␈↓ α←␈ε	q␈↓ ββ␈εβa␈α␈nd␈↓ βC␈ε	b␈↓ βi␈ε↔∀␈↓ ∧'␈ε	⎇␈↓ ∧=␈εβ(␈↓ ∧H␈ε	n␈↓ ∧\␈εβ)␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αca␈α␈se.
␈β¬P␈↓ αR␈εε1␈↓ αk␈εε2␈↓ βO␈εn
␈β¬S␈↓ α6␈∧¬Sα6α
␈↓ ∧↔␈∧¬S∧↔α
␈β¬T␈↓ ↓V␈εε1␈↓ ↓r␈εε2
␈β¬U␈↓ α6␈εε3␈↓ ∧↔␈εε6
␈βε¬␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Referen␈α␈ce:␈α
J.␈α	Num␈α}ber␈α	Th␈α␈eory␈εβ␈αλ(␈ε⊂␈α↓c␈εβ␈α␈.␈α19␈α␈79),␈α
t␈α␈o␈α	ap␈α␈pea␈α␈r.␈αThe␈α	a␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈α	p␈α␈roof␈α	sh␈α␈o␈α␈ws␈α	tha␈α␈t␈↓ ␈ε	p
␈βε∂␈↓ ≤␈εn
␈βε)␈↓ α0␈εε1
␈βε,␈↓ ↓H␈εβis␈αλn␈α␈ear␈↓ αH␈εβon␈α␈l␈α↓y␈απin␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλca␈α␈ses,␈α	wh␈α␈en␈↓ ¬≠␈ε	n␈↓ ¬9␈εβ=␈α	(1␈αβ+␈αβ2␈↓ ε7␈ε	q␈↓ εP␈εβ)(1␈αα+␈α∧4␈↓ π.␈ε	q␈↓ πG␈εβ)␈αλo␈α␈r␈αλ(1␈αβ+␈αβ2␈↓ λS␈ε	q␈↓ λl␈εβ)(1␈αα+␈α∧2␈↓ 	J␈ε	q␈↓ 	c␈εβ)(1␈αβ+␈αβ2␈↓ 
B␈ε	q␈↓ 
Z␈εβ).␈αFo␈α␈r
␈βε7␈↓ εC␈εε1␈↓ π:␈εε1␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	V␈εε2␈↓ 
N␈εε3
␈βε:␈↓ α0␈∧ε:α0α
␈βε<␈↓ α0␈εε4
␈βεP␈↓ π≠␈εε1
␈βεT␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈αwhen␈↓ β-␈ε	n␈↓ βL␈εβ=␈α4␈α␈993␈α␈9␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ99␈α␈877␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ εE␈ε	b␈↓ εl␈εβ=␈↓ π+␈εβ(␈α↓4␈α␈99␈α␈38␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ99␈α␈876␈α␈)␈αan␈α␈d␈↓ 	O␈ε	p␈↓ 	y␈ε↔→␈εβ␈α.␈α↓2␈α␈499␈α␈925␈α␈.
␈βε↑␈↓ εQ␈εn␈↓ 	←␈εn
␈βεb␈↓ π≠␈∧εbπ≠α
␈βεd␈↓ π≠␈εε4
␈βε{␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αth␈α␈e␈αne␈α␈xt␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αfor␈αfur␈α␈ther␈αrem␈α␈ark␈α␈s.␈α↓]
␈βπ/␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ(a)␈αTh␈α␈e␈αpr␈α␈oofs␈αa␈α␈re␈αsimp␈α␈l␈α↓e␈α
ex␈α␈ce␈α␈pt␈αp␈α␈erh␈α␈aps␈α
for␈αth␈α␈e␈αrecip␈α␈rocity␈α
l␈α↓a␈α␈w.␈αLet␈↓ 	}␈ε	p␈↓ 
→␈εβ=␈↓ 
C␈ε	p␈↓ 
e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ⊃␈ε	p
␈βπ:␈↓ 
S␈εε1␈↓ !␈εs
␈βπW␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	q␈↓ α ␈εβ=␈↓ αK␈ε	q␈↓ αi␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⊗␈ε	q␈↓ β.␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈αthe␈↓ ∧\␈ε	p␈↓ ¬↓␈εβan␈α␈d␈↓ ¬B␈ε	q␈↓ ¬e␈εβare␈αp␈α␈rime.␈αThen
␈βπa␈↓ αW␈εε1␈↓ β"␈εr␈↓ ∧k␈εi␈↓ ¬N␈εj
␈βλ→␈↓ β∧␈ε↓Y␈↓ ∧4␈ε↓Y
␈βλ"␈↓ α␈ε↓∩␈↓ α;␈ε↓∪␈↓ β2␈ε↓∩␈↓ βj␈ε↓∪␈↓ εc␈ε↓∩␈↓ π≠␈ε↓∪␈↓ 
~␈ε↓∩␈↓ 
I␈ε↓∪
␈βλ(␈↓ α&␈ε	p␈↓ βL␈ε	p␈↓ ε}␈ε	q␈↓ 
5␈ε	q
␈βλ3␈↓ β\␈εi␈↓ π
␈εj
␈βλ5␈↓ λ-␈εβε
␈βλ6␈↓ λa␈εε(␈↓ λi␈εp␈↓ 	↓␈ε~␈␈εε1)(␈↓ 	7␈εq␈↓ 	M␈ε~␈␈εε1)/4
␈βλ8␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬3␈εp␈↓ ¬J␈ε~␈␈εε1)(␈↓ ε↓␈εq␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈4
␈βλ>␈↓ αZ␈εβ=␈↓ ∧	␈εβ=␈↓ ∧b␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬∨␈εβ)␈↓ π:␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λ"␈εβ)␈↓ λw␈ε
i␈↓ 	B␈ε
j␈↓ 
←␈εβ,
␈βλ@␈↓ ¬@␈ε
i␈↓ ε␈ε
j
␈βλA␈↓ λE␈ε
i␈↓ λO␈επ,␈↓ λV␈ε
j
␈βλL␈↓ α&␈∧λLα&α⊃␈↓ βL␈∧λLβLα≠␈↓ ε⎇␈∧λLε⎇α≠␈↓ 
4␈∧λL
4α⊃
␈βλV␈↓ α'␈ε	q␈↓ βM␈ε	q␈↓ ε⎇␈ε	p␈↓ 
4␈ε	p
␈βλ`␈↓ βY␈εj␈↓ π
␈εi
␈βλo␈↓ β
␈εi␈↓ β↔␈εε,␈↓ β≡␈εj␈↓ ∧<␈εi␈↓ ∧G␈εε,␈↓ ∧N␈εj
␈β	*␈↓ ∧[␈ε↓P
␈β	H␈↓ ↓H␈εβso␈α	w␈α␈e␈α
nee␈α␈d␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α	v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α	that␈↓ ¬"␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	p␈↓ ¬N␈ε↔␈␈εβ␈αε1)(␈↓ ε≤␈ε	q␈↓ ε:␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈α␈4␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
(␈↓ π↑␈ε	p␈↓ πu␈ε↔␈␈εβ␈αε1)(␈↓ λC␈ε	q␈↓ λX␈ε↔␈␈εβ␈αε1)/4␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α2).␈αBu␈α␈t
␈β	S␈↓ ¬=␈εi␈↓ ε(␈εj
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ ∧H␈ε↓P␈↓ ε≡␈ε↓P
␈β	[␈↓ ¬↓␈εi␈↓ ¬␈εε,␈↓ ¬∩␈εj
␈β	t␈↓ ∧<␈εα(␈↓ εε␈εα)(␈↓ π\␈εα)
␈β	w␈↓ α⊂␈εβ(␈↓ α≠␈ε	p␈↓ α:␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)(␈↓ βπ␈ε	q␈↓ β$␈ε↔␈␈εβ␈αε1)/␈α␈4␈α	=␈↓ ∧x␈εβ(␈↓ ¬β␈ε	p␈↓ ¬#␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/2␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε\␈ε	q␈↓ εy␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/␈α␈2␈↓ πq␈εβi␈α↓s␈α	od␈α␈d␈α	i{␈α
an␈α	o␈α␈dd␈α	n␈α}um␈α}ber␈α	of␈α	the
␈β
↓␈↓ α*␈εi␈↓ β∪␈εj␈↓ ¬∪␈εi␈↓ εh␈εj
␈β
	␈↓ ↓n␈εi␈↓ ↓x␈εε,␈↓ ↓␈␈εj␈↓ ∧n␈εi␈↓ εD␈εj
␈β
"␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓h␈εβa␈α␈nd␈α¬a␈α␈n␈αεo␈α␈dd␈α¬n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α¬of␈αεth␈α␈e␈↓ ∧O␈ε	q␈↓ ∧l␈εβare␈ε↔␈α¬⊃␈εβ␈α
3␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α4),␈απa␈α␈nd␈α¬th␈α␈i␈α↓s␈α¬ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈αεi{␈αε(␈↓ 	ε␈ε	p␈↓ 	↔␈ε↔␈␈εβ1)(␈↓ 	←␈ε	q␈↓ 	n␈ε↔␈␈εβ1)/4␈α¬is␈αεo␈α␈dd␈α␈.
␈β
-␈↓ ↓W␈εi␈↓ ∧[␈εj
␈β
F␈↓ 
␈␈εk
␈β
J␈↓ α␈εβ(b)␈αAs␈αin␈αex␈α}ercise␈α22␈α␈,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π≠␈εβ=␈↓ πF␈ε	n␈↓ πk␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ_␈ε	n␈↓ λB␈εβwhere␈αt␈α␈he␈↓ 	\␈ε	n␈↓ 
β␈εβ=␈α
1␈απ+␈↓ 
o␈εβ2␈↓ ⊗␈ε	q
␈β
N␈↓ ␈ε
i
␈β
U␈↓ πY␈εε1␈↓ λ+␈εr␈↓ 	o␈εi␈↓ "␈εi
␈β
j␈↓ 	W␈ε≠0
␈β
n␈↓ 	J␈εk␈↓ 	p␈ε~0
␈β
r␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αdistinc␈α␈t␈αprimes,␈αan␈α␈d␈↓ ∧1␈ε	k␈↓ ∧W␈ε↔∀␈↓ ¬β␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬5␈ε↔∀␈↓ ¬a␈ε	k␈↓ ¬|␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αlet␈↓ εu␈εβgc␈α␈d␈↓ π'␈εβ(␈↓ π2␈ε	n␈↓ πN␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈,␈↓ λ↔␈ε	n␈↓ λ=␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓ 	9␈εβ2␈↓ 	a␈ε	q␈↓ 
π␈εβa␈α␈nd␈αwe␈αcall
␈β
x␈↓ 	W␈ε
i
␈β
{␈↓ π↔␈ε↓Q
␈β
⎇␈↓ ∧@␈εε1␈↓ ¬p␈εr␈↓ λ*␈εi
␈β↓␈↓ 	p␈εi
␈β∃␈↓ λ#␈ε~0␈↓ λD␈εεmin␈↓ λn␈εε(␈↓ λv␈εk␈↓ 	
␈εε,␈↓ 	∀␈εk␈↓ 	!␈ε~␈␈εε1)
␈β~␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓d␈ε⊂b␈α␈ad␈εβ␈αif␈αit␈αfalsely␈α
mak␈α}es␈↓ ∧1␈ε	n␈↓ ∧P␈εβlook␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ ε<␈εβ¬␈↓ εl␈εβ=␈↓ λ∀␈ε	q␈↓ λ3␈εβ2␈↓ 	Z␈εβb␈α␈e␈αthe␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β≥␈↓ 	α␈ε
i
␈β$␈↓ εS␈εn
␈β)␈↓ λ#␈εi
␈β,␈↓ π9␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π↑␈εi␈↓ πi␈ε~∀␈↓ λα␈εr
␈β>␈↓ λ
␈εx
␈βD␈↓ β3␈εε(␈↓ β;␈εn␈↓ βK␈ε~␈␈εε1)/2
␈βH␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈αof␈↓ β!␈ε	x␈↓ ∧≥␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈.␈α
Th␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αb␈α␈ad␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π1␈εβwith␈α(␈↓ λ ␈εβ)␈α
=␈α
1␈αis␈↓ 	≥␈εβ¬␈↓ 	D␈εβ,␈αtimes␈αan␈αe␈α␈xtra
␈βS␈↓ 	4␈εn
␈βV␈↓ λ␈∧Vλα⊃
␈βX␈↓ λ␈εn
␈βe␈↓ λp␈εx
␈βl␈↓ αT␈εε1␈↓ ¬S␈εε1
␈βp␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ αp␈εβif␈↓ β⊂␈ε	k␈↓ β6␈εβ<␈↓ βb␈ε	k␈↓ βr␈εβ.␈α≠(This␈αfac␈α␈tor␈↓ ¬o␈εβis␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈αt␈α␈o␈αen␈α␈sure␈αtha␈α␈t␈α(␈↓ 	λ␈εβ)␈α=␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈αfor␈αa␈α␈n␈αev␈α}en
␈βz␈↓ β∨␈εε1
␈β}␈↓ αT␈∧}αTα
␈↓ ¬S␈∧}¬Sα
␈↓ λj␈∧}λjα≠
␈β␈↓ αT␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ λj␈εn
␈βλ␈↓ λz␈ε
i
␈β∩␈↓ λ@␈εx
␈β≥␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αthe␈↓ β!␈ε	n␈↓ βJ␈εβwith␈↓ ∧⊗␈ε	k␈↓ ∧9␈εβ<␈↓ ∧d␈ε	k␈↓ ∧t␈εβ.)␈α~The␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αbad␈↓ πG␈ε	x␈↓ πd␈εβwith␈α(␈↓ λS␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈αis␈↓ 	r␈εβ¬␈↓ 
#␈εβi␈α↓f␈↓ 
C␈ε	k␈↓ 
h␈εβ=␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β'␈↓ β4␈εi␈↓ ∧%␈εi␈↓ 
λ␈εn␈↓ 
R␈εε1
␈β+␈↓ λ?␈∧+λ?α⊃
␈β-␈↓ λ?␈εn
␈β:␈↓ πk␈εx␈↓ 
$␈εx
␈β@␈↓ βK␈εε(␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βA␈↓ β
␈εα(
␈βD␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α
0.␈↓ β→␈εβIf␈↓ β9␈ε	x␈↓ ∧4␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε≠␈ε	n␈↓ ε9␈εβ),␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈α(␈↓ λβ␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α
if␈↓ 	≡␈ε	k␈↓ 	@␈εβ=␈↓ 	k␈ε	k␈↓ 	{␈εβ,␈α(␈↓ 
<␈εβ)␈α	=␈α	+␈α↓1
␈βO␈↓ ε/␈εi␈↓ 	,␈εi
␈βR␈↓ πe␈∧Rπeα≠␈↓ 
≡␈∧R
≡α≠
␈βT␈↓ πe␈εn␈↓ 
≡␈εn
␈β\␈↓ πu␈ε
i␈↓ 
.␈ε
i
␈βl␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	k␈↓ α	␈εβ>␈↓ α4␈ε	k␈↓ αD␈εβ,␈αan␈α␈d␈αa␈α
con␈α}trad␈α␈i␈α↓c␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
i␈α↓f␈↓ ¬≡␈ε	k␈↓ ¬@␈εβ<␈↓ ¬k␈ε	k␈↓ ¬{␈εβ.␈αIf␈↓ ε0␈ε	k␈↓ εU␈εβ=␈↓ ε␈␈ε	k␈↓ π⊂␈εβ,␈αth␈α␈ere␈α
are␈αa␈α␈n␈αo␈α␈dd␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈↓ 
=␈ε	k␈↓ 
a␈εβe␈α␈qua␈α␈l
␈βv␈↓ ↓u␈εi␈↓ ¬,␈εi␈↓ ε?␈εε1␈↓ 
K␈εi
␈β
⊂␈↓ α
␈εα)
␈β
∪␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	k␈↓ α↓␈εβ.
␈β
8␈↓ π!␈εε1
␈β
;␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∂The␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αof␈α
a␈αba␈α␈d␈α
g␈α␈uess␈αi␈α↓s␈α>␈↓ π>␈εβo␈α␈nly␈αi␈α↓f␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λK␈εβi␈α↓s␈αa␈α
Car␈α␈micha␈α␈el␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
J␈↓ π!␈∧
Jπ!α
␈β
L␈↓ π!␈εε4
␈β
c␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α⊃␈ε	k␈↓ α5␈εβ<␈↓ α←␈ε	k␈↓ αp␈εβ;␈α	for␈αλex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈↓ ∧>␈ε	n␈↓ ∧[␈εβ=␈α	7␈ε↔␈α∧↓␈εβ␈α∧1␈α␈3␈ε↔␈α∧↓␈εβ␈α∧1␈α␈9␈α	=␈α
1␈α␈729␈α␈,␈α	a␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αλma␈α␈de␈αλfam␈α␈ous␈αλb␈α␈y␈αλRam␈α␈an␈α␈u␈α␈jan
␈β
n␈↓ α∨␈εr
␈β∞␈↓ ↓H␈εβin␈α∞an␈α␈oth␈α␈er␈α∂co␈α␈n␈α␈tex␈α␈t.␈α⊗I␈α↓t␈α∞i␈α↓s␈α∞in␈α␈terest␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂to␈α∞co␈α␈mpa␈α␈re␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈roced␈α␈ure␈α∞of␈α∂th␈α␈is␈α∂ex␈α}ercise␈α∂with
␈β∞2␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αP␈↓ α{␈εβ;␈αLouis␈αM␈α␈on␈α␈i␈α↓er␈α
has␈α
sho␈α␈wn␈α
tha␈α␈t␈αev␈α␈e␈α␈ry␈↓ π≤␈ε	x␈↓ π8␈εβtha␈α␈t␈αis␈αba␈α␈d␈αfor␈αAlg␈α␈orithm␈α
P␈αis␈αalso
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ad␈αfo␈α␈r␈αth␈α␈e␈αSo␈α␈l␈α↓o␈α}va␈α␈y-St␈α␈rassen␈αte␈α␈st,␈αth␈α␈erefore␈αAlgo␈α␈rithm␈αP␈αis␈αalway␈α␈s␈αbette␈α␈r.␈αHe␈αh␈α␈as␈αalso
␈β∂↓␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αt␈α␈he␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α
an␈α␈alyse␈α␈s␈αto␈α
ob␈α␈tain␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
close␈α␈d␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αfor␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈β∂)␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ad␈↓ αλ␈ε	x␈↓ α%␈εβin␈αg␈α␈ene␈α␈ral:
␈β∂B␈↓ ππ␈ε↓Y
␈β∂K␈↓ ¬∧␈ε↓∩␈↓ εX␈ε↓∪
␈β∂M␈↓ ¬o␈εr␈↓ ¬|␈εk
␈β∂Q␈↓ ¬←␈εβ2␈↓ ε~␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β∂U␈↓ ελ␈επ1
␈β∂a␈↓ π]␈ε~0
␈β∂g␈↓ ∧4␈ε	b␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬~␈εβ1␈απ+␈↓ πN␈ε	q␈↓ πh␈εβ;
␈β∂r␈↓ ∧@␈εn
␈β∂u␈↓ ¬←␈∧∂u¬←αv
␈β∂v␈↓ π]␈εi
␈β∂⎇␈↓ ¬{␈εr
␈β∂␈␈↓ ¬j␈εβ2␈↓ ε∂␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈β⊂_␈↓ εs␈εε1␈ε~∀␈↓ π→␈εi␈↓ π$␈ε~∀␈↓ π=␈εr
␈β⊂=␈↓ ¬:␈ε↓Y
␈β⊂F␈↓ ε9␈ε↓∩␈↓ λ"␈ε↓∪
␈β⊂L␈↓ εS␈ε	n␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈β⊂\␈↓ ∧@␈ε~0
␈β⊂b␈↓ ∧3␈ε	b␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬∧␈ε	∞␈↓ εα␈εβg␈α␈cd␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε	n␈↓ πh␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λ8␈εβ.
␈β⊂m␈↓ ¬⊂␈εn␈↓ πV␈εi
␈β⊂p␈↓ εS␈∧⊂pεSαU
␈β⊂q␈↓ ∧@␈εn
␈β⊂z␈↓ εu␈εβ2
␈β⊃∪␈↓ ¬&␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬L␈εi␈↓ ¬W␈ε~∀␈↓ ¬p␈εr
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα692␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα%␈↓ α$␈ε~0
␈βα&␈↓ 
q␈εε1
␈βα)␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α⊗␈ε	b␈↓ α@␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈α
b␈α␈ad␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬≥␈εβin␈αth␈α␈is␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈,␈α
an␈α␈d␈↓ πN␈ε	∞␈↓ πv␈εβis␈αeither␈α2␈α(i␈α↓f␈↓ 	@␈ε	k␈↓ 	f␈εβ=␈↓ 
∩␈ε	k␈↓ 
#␈εβ),␈αor␈↓ 
␈εβ(if
␈βα4␈↓ πZ␈εn␈↓ 	O␈εε1
␈βα7␈↓ 
q␈∧α7
qα
␈βα8␈↓ α$␈εn
␈βα9␈↓ 
q␈εε2
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓j␈εβ<␈↓ α∃␈ε	k␈↓ α0␈εβan␈α␈d␈↓ αq␈ε	e␈↓ β∪␈εβis␈αod␈α␈d␈αfo␈α␈r␈αs␈α␈ome␈↓ ∧|␈ε	i␈↓ ¬	␈εβ),␈αor␈α1␈α
(␈α↓o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈α␈)␈α↓.
␈βα[␈↓ ↓V␈εi␈↓ α⎇␈εi
␈ββ	␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	M␈↓ αw␈εβbe␈απa␈αλma␈α␈trix␈αλh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλo␈α␈ne␈αλro␈α}w␈αλfor␈αλea␈α␈ch␈αλn␈α␈on␈α␈prime␈απod␈α␈d␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλra␈α␈nge␈απ1␈ε↔␈α	∀
␈ββ∀␈↓ αc␈εε1
␈ββ1␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈ε↔∀␈↓ α∂␈ε	N␈↓ α6␈εβa␈α␈nd␈απh␈α␈avin␈α␈g␈↓ β\␈ε	N␈↓ β}␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈s␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ered␈απfro␈α␈m␈αλ2␈απto␈↓ πW␈ε	N␈↓ πv␈εβ;␈α	th␈α␈e␈απen␈α␈try␈απin␈απro␈α}w␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
␈εβcolum␈α␈n␈↓ 
⎇␈ε	x␈↓ ⊗␈εβis
␈ββX␈↓ ↓H␈εβ1␈α	if␈↓ ↓␈␈ε	n␈↓ α≥␈εβp␈α␈asses␈α	th␈α␈e␈↓ β7␈ε	x␈↓ βQ␈εβtest␈α	of␈α
Algo␈α␈rithm␈α	P␈↓ ¬g␈εβ,␈α
oth␈α␈erwise␈α
it␈α	is␈α
ze␈α␈ro.␈αWhe␈α␈n␈↓ λy␈ε	N␈↓ 	!␈εβ=␈↓ 	L␈ε	q␈↓ 	[␈ε	n␈↓ 	t␈εβ+␈↓ 
~␈ε	r␈↓ 
2␈εβan␈α␈d␈α	0␈ε↔␈α	∀
␈ββz␈↓ π\␈εα(␈↓ λ≥␈εα)␈↓ 	.␈εα(␈↓ 
5␈εα)
␈β∧␈↓ εo␈επ1␈↓ πk␈επ1␈↓ λE␈επ1␈↓ 	<␈επ1␈↓ 	w␈επ1␈↓ 
≠␈επ3␈↓ 
]␈επ1
␈β∧∧␈↓ ε⎇␈εq␈↓ π	␈εn␈↓ π→␈εε+␈↓ π2␈εεmin␈↓ πy␈εn␈↓ λ	␈εε,␈↓ λ⊂␈εr␈↓ λ)␈εε=␈↓ λS␈εN␈↓ λj␈εε+␈↓ 	∧␈εεmin␈↓ 	K␈εn␈↓ 	[␈ε~␈␈↓ 
¬␈εr␈↓ 
⊃␈εε,␈↓ 
)␈εr␈↓ 
A␈ε~∀␈↓ 
k␈εN␈↓ β␈εε+3
␈β∧∞␈↓ εo␈∧∧∞εoα␈↓ πk␈∧∧∞πkα␈↓ λE␈∧∧∞λEα␈↓ 	<␈∧∧∞	<α␈↓ 	w␈∧∧∞	wα␈↓ 
≠␈∧∧∞
≠α␈↓ 
]␈∧∧∞
]α
␈β∧⊃␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓a␈εβ<␈↓ α␈ε	n␈↓ α!␈εβ,␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αtha␈α␈t␈αro␈α␈w␈↓ ∧J␈ε	n␈↓ ∧i␈εβcon␈α}tains␈αa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈↓ εo␈επ4␈↓ πk␈επ4␈↓ λE␈επ4␈↓ 	<␈επ4␈↓ 	w␈επ4␈↓ 
≠␈επ4␈↓ 
]␈επ4
␈β∧∨␈↓ εl␈∧∧∨εlα∧=
␈β∧"␈↓ 	~␈επ1
␈β∧&␈↓ λU␈εε1␈α␈6␈↓ λn␈εn␈↓ λ}␈εε<␈↓ 	(␈εN
␈β∧0␈↓ 	~␈∧∧0	~α
␈β∧3␈↓ 	~␈επ2
␈β∧C␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈tries␈α	equ␈α␈al␈α
to␈α	0,␈α
so␈α	at␈α	least␈α	ha␈α␈l␈α↓f␈α	of␈α	the␈α	en␈α␈tries␈α	in␈α	the␈α	mat␈α␈ri␈α↓x␈α	a␈α␈re␈α
1␈α␈.␈αTh␈α␈u␈α␈s,␈α
some␈α	co␈α␈l␈α↓u␈α␈mn
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓n␈εβof␈↓ α∃␈ε	M␈↓ αI␈εβh␈α␈as␈αa␈α␈t␈αleast␈αh␈α␈alf␈αo␈α␈f␈αi␈α↓t␈α␈s␈αen␈α␈tr␈α␈i␈α↓es␈α
equ␈α␈al␈αto␈α
1.␈αRemo␈α}ving␈α
co␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	V␈εβan␈α␈d␈α
all␈αro␈α␈ws␈αin
␈β∧u␈↓ ↓W␈εε1␈↓ α2␈εε1␈↓ 	?␈εε1
␈β¬∩␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈α	this␈α	colum␈α␈n␈α	con␈α}tains␈α	1␈α	leav␈α}es␈α
a␈α	ma␈α␈trix␈↓ εX␈ε	M␈↓ π␈εβha␈α␈vin␈α␈g␈α
similar␈α	pro␈α␈per␈α␈ti␈α↓e␈α␈s;␈αa␈α	rep␈α␈etition
␈β¬≥␈↓ εu␈εε2
␈β¬6␈↓  ␈εr
␈β¬:␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∂th␈α␈is␈α∂c␈α␈on␈α␈structio␈α␈n␈α∞pro␈α␈du␈α␈ces␈α∞matr␈α␈i␈α↓x␈↓ ¬u␈ε	M␈↓ ε-␈εβwith␈↓ ε|␈ε	N␈↓ π$␈ε↔␈␈↓ πO␈ε	r␈↓ πl␈εβc␈α␈olumn␈α␈s␈α∞an␈α␈d␈α∞few␈α␈er␈α∞tha␈α␈n␈↓ 
`␈ε	N␈↓ 
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈εβ2
␈β¬D␈↓ ε∩␈εr
␈β¬↑␈↓ ∧*␈εε1
␈β¬a␈↓ ↓H␈εβro␈α}ws,␈α
an␈α␈d␈αwith␈αat␈αlea␈α␈st␈↓ ∧;␈εβ(␈↓ ∧F␈ε	N␈↓ ∧m␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈αen␈α}tri␈α↓e␈α␈s␈α
p␈α␈er␈αro␈α␈w␈αeq␈α␈ual␈αto␈α1␈α␈.␈α≤[Cf.␈ε⊂␈α
Proc.␈αIEE␈α↓E␈αS␈α␈ymp␈α␈.
␈β¬o␈↓ ∧*␈∧¬o∧*α
␈β¬q␈↓ ∧*␈εε2
␈βε	␈↓ ↓H␈ε⊂Fo␈α␈un␈α␈datio␈α␈ns␈αof␈αCo␈α␈mp.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α19␈εβ␈α
(197␈α␈8),␈α78.]
␈βε/␈↓ α␈εα(
␈βε2␈↓ α_␈εβA␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈αth␈α␈e␈αexisten␈α␈ce␈αof␈αa␈ε⊂␈αsing␈α␈l␈α↓e␈εβ␈αin|␈α␈nite␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ 	↑␈ε	x␈↓ 
¬␈εβ<␈↓ 
2␈ε	x␈↓ 
Y␈εβ<␈↓ ε␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓
␈βε=␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
A␈εε2
␈βεZ␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈αthe␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧*␈εβ>␈α	1␈αis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈αit␈αp␈α␈asses␈αth␈α␈e␈↓ λv␈ε	x␈↓ 	∩␈εβtest␈αo␈α␈f␈αAlgorith␈α␈m␈αP
␈βε}␈↓ ¬p␈εε1␈↓ εM␈εα(␈↓ πh␈εα)
␈βπ↓␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓|␈ε	x␈↓ α_␈εβ=␈↓ αC␈ε	x␈↓ α←␈εβ,␈↓ αt␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β ␈εβ,␈↓ β6␈ε	x␈↓ βQ␈εβ=␈↓ β⎇␈ε	x␈↓ ∧#␈εβ,␈αwhere␈↓ ¬→␈ε	m␈↓ ¬@␈εβ=␈↓ ε␈ε↔b␈↓ ε
␈εβlg␈↓ ε,␈ε	n␈↓ ε@␈ε↔c␈↓ εY␈ε↔b␈↓ εf␈εβl␈α↓g␈↓ πε␈ε	n␈↓ π~␈ε↔c␈απ␈␈εβ␈α	1␈↓ πt␈εβ.␈α
Is␈αth␈α␈ere␈αa␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ 
)␈ε	x␈↓ 
E␈εβ<␈α
1␈α
<
␈βπ␈↓ αR␈εε1␈↓ ∧␈εm
␈βπ∂␈↓ ¬p␈∧π∂¬pα
␈βπ⊃␈↓ ¬p␈εε2
␈βπ&␈↓ πZ␈εα)
␈βπ)␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓m␈εβ<␈↓ α↔␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αI␈εβhav␈α␈ing␈αth␈α␈is␈αpro␈α␈perty␈α
bu␈α␈t␈αwi␈α↓th␈↓ ε	␈ε	m␈↓ ε0␈εβ=␈↓ εZ␈ε	O␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ π-␈ε	n␈↓ πB␈εβ)?
␈βπ3␈↓ ↓W␈εε2
␈βπa␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβNote␈α
th␈α␈at␈↓ β%␈ε	x␈↓ β<␈εβm␈α␈od␈↓ ∧␈ε	y␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧F␈ε	x␈↓ ∧←␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε	y␈↓ ¬∨␈ε↔b␈↓ ¬,␈ε	x␈↓ ¬=␈εβ/␈↓ ¬N␈ε	y␈↓ ¬`␈ε↔c␈εβ␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈uted␈α
ea␈α␈sil␈α↓y␈α
on␈α
su␈α␈ch␈α
a␈αm␈α␈ach␈α␈ine,␈αa␈α␈nd
␈βλ	␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αget␈αsimp␈α␈l␈α↓e␈αc␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts␈αlik␈α␈e␈α0␈α	=␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	x␈↓ ε?␈εβ,␈α1␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ π&␈ε	x␈↓ π7␈εβ/␈↓ πH␈ε	x␈↓ πY␈ε↔c␈εβ,␈α2␈α	=␈α
1␈απ+␈αλ1;␈αwe␈αca␈α␈n␈αtest␈↓ 
V␈ε	x␈↓ 
q␈εβ>␈α
0
␈βλ0␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αte␈α␈sti␈α↓n␈α␈g␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈↓ βe␈ε	x␈↓ β␈␈εβ=␈α
1␈α
or␈ε↔␈αb␈↓ ∧{␈ε	x␈↓ ¬␈εβ/(␈↓ ¬(␈ε	x␈↓ ¬A␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔c␈α
≤␈εβ␈α	0.
␈βλZ␈↓ α␈εβ(a)␈αFirst␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ ∧⊗␈ε	l␈↓ ∧)␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ ∧`␈εβlg␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬∀␈ε↔c␈εβ␈αin␈↓ ¬R␈ε	O␈↓ ¬k␈εβ(␈↓ ¬v␈εβlog␈↓ ε&␈ε	n␈↓ ε:␈εβ)␈αstep␈α␈s,␈αby␈α
repe␈α␈ated␈α␈l␈α↓y␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈ing␈αb␈α␈y␈α2␈α␈;␈αa␈α␈t␈αthe
␈βλy␈↓ ¬k␈ε
l␈↓ ¬s␈επ+␈α␈1
␈βλ⎇␈↓ ∧8␈εl␈↓ ¬←␈εε2
␈β	↓␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈απtime␈αλc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ βc␈ε	k␈↓ β⎇␈εβ=␈↓ ∧'␈εβ2␈↓ ∧G␈εβan␈α␈d␈↓ ¬∧␈ε	A␈↓ ¬#␈ε↔ ␈↓ ¬N␈εβ2␈↓ ε≤␈εβin␈↓ ε?␈ε	O␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ π∪␈ε	n␈↓ π'␈εβ)␈απstep␈α␈s␈αλb␈α␈y␈απrepe␈α␈ated␈α␈l␈α↓y␈απs␈α␈etting␈↓ 
>␈ε	k␈↓ 
X␈ε↔ ␈εβ␈α	2␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β	%␈↓ α.␈εε2␈↓ 	!␈εm␈↓ ␈εm
␈β	)␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α↔␈ε	A␈↓ α:␈εβ.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
the␈αmain␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈,␈α∞su␈α␈pp␈α␈ose␈αwe␈αkn␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ λF␈ε	t␈↓ λ↑␈εβ=␈↓ 	␈ε	A␈↓ 	8␈εβ,␈↓ 	O␈ε	u␈↓ 	o␈εβ=␈α(␈↓ 
(␈ε	A␈↓ 
F␈εβ+␈α	1␈↓ ↓␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β	P␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	v␈↓ α"␈εβ=␈↓ αM␈ε	m␈↓ αj␈εβ!;␈αthe␈α␈n␈α
w␈α␈e␈αc␈α␈an␈α
inc␈α␈rease␈α
th␈α␈e␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ εs␈ε	m␈↓ π~␈εβby␈α
1␈α
b␈α␈y␈α
setting␈↓ 	↓␈ε	m␈↓ 	'␈ε↔ ␈↓ 	R␈ε	m␈↓ 	u␈εβ+␈απ1,␈↓ 
A␈ε	t␈↓ 
W␈ε↔ ␈↓ ↓␈ε	A␈↓ ↔␈ε	t␈↓ #␈εβ,
␈β	x␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓k␈ε↔ ␈εβ␈α⊃(␈↓ α(␈ε	A␈↓ αH␈εβ+␈α
1)␈↓ β∂␈ε	u␈↓ β#␈εβ,␈↓ β<␈ε	v␈↓ β]␈ε↔ ␈↓ ∧∞␈ε	v␈↓ ∧ ␈ε	m␈↓ ∧=␈εβ;␈α⊃an␈α␈d␈α∂w␈α␈e␈α∂ca␈α␈n␈ε⊂␈α∂d␈α␈ou␈α␈ble␈εβ␈α∂th␈α␈e␈α∂va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∂of␈↓ λF␈ε	m␈↓ λr␈εβby␈α∞settin␈α␈g␈↓ 
↔␈ε	m␈↓ 
D␈ε↔ ␈εβ␈α⊂2␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β
≤␈↓ α&␈εε2␈↓ ∧c␈εε2␈↓ ¬S␈εε2
␈β
≥␈↓ β∂␈εα(␈↓ ∧F␈εα)␈↓ 
∨␈εα(
␈β
 ␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓f␈ε↔ ␈↓ α∩␈ε	u␈↓ α3␈εβ,␈↓ αH␈ε	v␈↓ αd␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε↔b␈↓ β(␈ε	u␈↓ β<␈εβ/␈↓ βM␈ε	t␈↓ βY␈ε↔c␈↓ βk␈εβmod␈↓ ∧0␈ε	A␈↓ ∧R␈ε	v␈↓ ∧p␈εβ,␈↓ ¬¬␈ε	t␈↓ ¬≤␈ε↔ ␈↓ ¬G␈ε	t␈↓ ¬`␈εβ,␈αpro␈α}vide␈α␈d␈αth␈α␈at␈↓ πI␈ε	A␈↓ πk␈εβis␈αsu␈α␈}cien␈α}tly␈αlarg␈α␈e.␈↓ 
+␈εβCo␈α␈nside␈α␈r
␈β
&␈↓ λε␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓↓
␈β
@␈↓ λ∀␈εε2␈↓ λ!␈εm
␈β
D␈↓ λO␈εα)
␈β
G␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ αt␈ε	u␈↓ β⊂␈εβin␈αλra␈α␈dix-␈↓ ∧␈ε	A␈↓ ∧)␈εβno␈α␈tation␈α␈;␈↓ ¬6␈ε	A␈↓ ¬T␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α	b␈α␈e␈αλgre␈α␈ater␈αλtha␈α␈n␈↓ λF␈εβ.␈↓ λm␈εβNo␈α}w␈α	if␈↓ 	S␈ε	n␈↓ 	q␈εβ=␈α	(␈↓ 
&␈ε	a␈↓ 
C␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
o␈ε	a␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β
R␈↓ 
6␈εl␈↓ 
␈␈εε0␈↓ ↔␈εε2
␈β
W␈↓ λ~␈εm
␈β
k␈↓ ε∀␈εj
␈β
o␈↓ ↓H␈εβlet␈↓ ↓w␈ε	n␈↓ α∨␈εβ=␈α
(␈↓ αU␈ε	a␈↓ αr␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β≡␈ε	a␈↓ β:␈εβ)␈↓ βR␈εβ;␈α
i␈α↓f␈↓ ∧∧␈ε	m␈↓ ∧+␈εβ=␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧␈␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬?␈ε	k␈↓ ¬X␈εβ=␈↓ εβ␈εβ2␈↓ ε*␈εβan␈α␈d␈↓ εj␈ε	j␈↓ πα␈εβ>␈α
0␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
d␈α␈ecre␈α␈ase␈↓ 	7␈ε	j␈↓ 	Q␈εβb␈α␈y␈α
1␈α
b␈α␈y␈α
setting
␈β
y␈↓ α
␈εj␈↓ αe␈εl␈↓ β.␈εj␈↓ βE␈εε2␈↓ ∧h␈εj
␈β∪␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ¬D␈εα)
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈ε↔ ␈α
b␈↓ α→␈ε	k␈↓ α)␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ,␈↓ αi␈ε	m␈↓ β∂␈ε↔ ␈εβ␈α
2␈↓ βK␈ε	m␈↓ βj␈εβ+␈↓ ∧~␈ε↔b␈↓ ∧'␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ/␈↓ ∧L␈ε	k␈↓ ∧\␈ε↔c␈↓ ∧o␈εβm␈α␈od␈↓ ¬3␈εβ2␈↓ ¬P␈εβ.␈α
Hen␈α␈ce␈απw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈απcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λK␈εβ!␈απf␈α↓o␈α␈r␈↓ 	␈ε	j␈↓ 	$␈εβ=␈↓ 	N␈ε	l␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	i␈ε	l␈↓ 	u␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈α␈,␈↓ 
;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
g␈εβ,␈α	0␈απin
␈β≤␈↓ 
r␈ε↓␈␈↓ ⊃␈ε↓↓
␈β!␈↓ λ?␈εj
␈β6␈↓ ␈εB
␈β:␈↓ 
Q␈εn
␈β>␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈ε	n␈↓ α/␈εβ)␈α
step␈α␈s.␈α↔[␈α↓An␈α␈oth␈α␈er␈α
solutio␈α␈n,␈αd␈α␈ue␈α
to␈α	Ju␈α␈l␈α↓ia␈α
Ro␈α␈binso␈α␈n,␈α
i␈α↓s␈α
to␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ 	]␈ε	n␈↓ 	q␈εβ!␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ 
;␈ε	B␈↓ 
a␈εβ/␈↓ ∨␈ε↔c
␈βN␈↓ ↓␈εn
␈βb␈↓ β$␈εn␈↓ β4␈εε+1
␈βf␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	B␈↓ α>␈εβ>␈α
(2␈↓ β∧␈ε	n␈↓ β_␈εβ)␈↓ βZ␈εβ;␈αcf.␈ε⊂␈αAMM␈ε∪␈α8␈α␈0␈εβ␈α(19␈α␈73),␈α25␈α␈0-25␈α␈1,␈α266␈α␈.␈α↓]
␈βε␈↓ ¬#␈ε
l␈↓ ¬+␈επ+␈α␈2
␈β␈↓ ¬⊗␈εε2
␈β∂␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂F␈α↓irst␈α⊂comp␈α␈ute␈↓ ∧)␈ε	A␈↓ ∧R␈εβ=␈↓ ¬ε␈εβ2␈↓ ¬]␈εβas␈α⊂i␈α↓n␈α⊂(a␈α␈)␈α↓,␈α∩th␈α␈en␈α⊂|n␈α␈d␈α⊃t␈α␈he␈α⊂l␈α↓ea␈α␈st␈↓ 	&␈ε	k␈↓ 	I␈ε↔∃␈εβ␈α∪0␈α⊂su␈α␈ch␈α⊂tha␈α␈t
␈β2␈↓ ↓X␈εk␈↓ ↓e␈εε+␈α↓1␈↓ ∧x␈εk
␈β6␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α␈εβ!␈↓ α~␈εβmo␈α␈d␈↓ α←␈ε	n␈↓ βα␈εβ=␈α⊂0␈α␈.␈α↔If␈↓ ∧λ␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε	n␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧g␈εβ2␈↓ ¬¬␈εβ!␈α↓)␈ε↔␈α∂≤␈εβ␈α⊂1␈α␈,␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ ε7␈ε	f␈↓ εG␈εβ(␈↓ εR␈ε	n␈↓ εf␈εβ)␈α∂b␈α␈e␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e;␈α⊃n␈α␈ote␈α∂t␈α␈hat␈α∞this␈α∂g␈α␈cd␈α∞can
␈β↑␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αco␈α␈mpu␈α␈ted␈αi␈α↓n␈↓ β7␈ε	O␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈εβlog␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβ)␈αsteps␈αby␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈αalgo␈α␈rithm.␈α
Otherwise␈αw␈α␈e␈αw␈α↓ill␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αleas␈α␈t
␈βd␈↓ βw␈ε↓␈␈↓ ∧I␈ε↓↓
␈β}␈↓ ∧≤␈εm
␈β
β␈↓ 	'␈εα(
␈β
ε␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α7␈ε	m␈↓ αa␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧]␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬!␈ε	n␈↓ ¬A␈εβ=␈α0,␈α
an␈α␈d␈αlet␈↓ ππ␈ε	f␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε	n␈↓ π6␈εβ)␈α=␈↓ πy␈εβgcd␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε	m␈↓ λT␈εβ,␈↓ λc␈ε	n␈↓ λw␈εβ).␈↓ 	3␈εβN␈α␈ote␈αtha␈α␈t␈α
in␈αth␈α␈is
␈β
⊗␈↓ ∧¬␈ε~b␈↓ ∧∂␈εm␈↓ ∧&␈εε/2␈ε~␈α␈c
␈β
.␈↓ α∨␈εk␈↓ βA␈εk␈↓ βN␈εε+␈α↓1␈↓ εα␈εk
␈β
2␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈↓ α∞␈εβ2␈↓ α5␈εβ<␈↓ α`␈ε	m␈↓ βε␈ε↔∀␈↓ β1␈εβ2␈↓ βt␈εβ,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈αd␈↓ ∧r␈ε	m␈↓ ¬∂␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈α
∀␈↓ ¬q␈εβ2␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈ε↔␈αd␈↓ εh␈ε	m␈↓ π¬␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈εβ!␈αis␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈rime␈αto␈↓ 
β␈ε	n␈↓ 
↔␈εβ;␈αth␈α␈erefore
␈β
8␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α~␈ε↓↓
␈β
R␈↓ ↓l␈εm
␈β
V␈↓ λ↓␈εα)
␈β
Y␈↓ α-␈εβmod␈↓ αr␈ε	n␈↓ β∂␈εβ=␈α
0␈α
i␈α↓{␈↓ β}␈ε	m␈↓ ∧≠␈εβ!␈↓ ∧*␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧o␈ε	n␈↓ ¬␈εβ=␈α	0.␈αF␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈↓ π∨␈ε	n␈↓ π=␈ε↔≤␈εβ␈α	4.
␈β
j␈↓ ↓V␈ε~b␈↓ ↓←␈εm␈↓ ↓w␈εε/␈α␈2␈ε~c
␈β∞β␈↓ α␈εβTo␈α	com␈α␈pu␈α␈te␈↓ βC␈ε	m␈↓ βj␈εβwith␈α	a␈α	bo␈α␈un␈α␈ded␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	of␈α	reg␈α␈i␈α↓ste␈α␈rs,␈α
w␈α␈e␈α	can␈α	u␈α␈se␈α	F␈α↓ib␈α␈on␈α␈acci␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β∞%␈↓ 	[␈εF␈↓ 
g␈εF
␈β∞&␈↓ πq␈ε~0␈↓ 
⊗␈ε~0
␈β∞*␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αAlgorith␈α␈m␈α6.2.1F␈↓ β{␈εβ).␈αS␈α␈up␈α␈pose␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ εn␈ε	s␈↓ π¬␈εβ=␈↓ π0␈ε	F␈↓ πO␈εβ,␈↓ πc␈ε	s␈↓ λ↓␈εβ=␈↓ λ,␈ε	F␈↓ λp␈εβ,␈↓ 	∧␈ε	t␈↓ 	~␈εβ=␈↓ 	E␈ε	A␈↓ 	v␈εβ,␈↓ 

␈ε	t␈↓ 
&␈εβ=␈↓ 
Q␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈β∞-␈↓ 	j␈ε
j␈↓ 
v␈ε
j␈↓ ↓␈επ+1
␈β∞0␈↓ λw␈ε↓␈␈↓ 	)␈ε↓↓
␈β∞5␈↓ πC␈εj␈↓ λ>␈εj␈↓ λJ␈εε+1
␈β∞J␈↓ 	¬␈εε2␈↓ 	⊃␈εm
␈β∞M␈↓ βε␈εε2␈↓ β∪␈εF␈↓ ¬	␈εε2␈↓ ¬∃␈εF
␈β∞N␈↓ βX␈ε~0␈↓ εK␈εm␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εm
␈β∞R␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓h␈εβ=␈α
(␈↓ α!␈ε	A␈↓ α@␈εβ+␈α	1␈↓ α{␈εβ)␈↓ β-␈εβ,␈↓ βD␈ε	u␈↓ βk␈εβ=␈α
(␈↓ ∧$␈ε	A␈↓ ∧C␈εβ+␈α	1␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬i␈ε	v␈↓ επ␈εβ=␈↓ ε5␈ε	A␈↓ εb␈εβ,␈↓ εy␈ε	w␈↓ π≡␈εβ=␈α
(␈↓ πW␈ε	A␈↓ πv␈εβ+␈α	1␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ`␈εβ,␈↓ 	<␈εβmod␈↓ 
↓␈ε	n␈↓ 
!␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α∞a␈α␈nd
␈β∞U␈↓ β"␈ε
j␈↓ ¬%␈ε
j␈↓ ¬0␈επ+1
␈β∞a␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α/␈ε↓↓
␈β∞b␈↓ 	␈εm
␈β∞z␈↓ ↓V␈εε2␈α␈(␈↓ ↓k␈εm␈↓ αα␈εε+␈↓ α≠␈εs␈↓ α&␈εε)
␈β∂α␈↓ αL␈εβ=␈α∂0.␈α⊗It␈α∞is␈α∂ea␈α␈sy␈α∞to␈α∂re␈α␈ach␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α∞state␈α∞of␈α∞a{airs␈α∂with␈↓ λG␈ε	m␈↓ λs␈εβ=␈↓ 	$␈ε	F␈↓ 	h␈εβ,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂su␈α␈i␈α↓ta␈α␈bly
␈β∂
␈↓ 	6␈εj␈↓ 	B␈εε+1
␈β∂∪␈↓ ↓d␈εm␈↓ ↓|␈εε+␈↓ α∃␈εs
␈β∂+␈↓ λP␈εε2(␈↓ λe␈εm␈↓ λ|␈εε+␈↓ 	∃␈εs␈↓ 	!␈εε)
␈β∂/␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈↓ α~␈ε	j␈↓ α)␈εβ,␈α
i␈α↓n␈↓ αh␈ε	O␈↓ β␈εβ(␈↓ β␈εβlog␈↓ β;␈ε	n␈↓ βO␈εβ)␈α
ste␈α␈ps;␈α
furth␈α␈ermo␈α␈re␈↓ ε␈ε	A␈↓ ε"␈εβwi␈α↓ll␈α
b␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈rger␈αtha␈α␈n␈↓ λ?␈εβ2␈↓ 	)␈εβ.␈α⊂If␈↓ 	d␈ε	s␈↓ 	}␈εβ=␈α1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α
se␈α␈t
␈β∂W␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	n␈↓ ↓w␈εβ)␈α	=␈↓ α5␈εβgcd␈↓ αg␈εβ(␈α↓2␈↓ ββ␈ε	m␈↓ β"␈εβ+␈αβ1␈α␈,␈↓ βe␈ε	n␈↓ βy␈εβ)␈απor␈↓ ∧0␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧b␈εβ(2␈↓ ∧⎇␈ε	m␈↓ ¬≥␈εβ+␈αα2␈α␈,␈↓ ¬←␈ε	n␈↓ ¬s␈εβ),␈αλw␈α↓h␈α␈iche␈α␈v␈α␈er␈απis␈ε↔␈απ≤␈εβ␈α	1,␈αλan␈α␈d␈απter␈α␈minate␈αεthe␈απa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈β∂z␈↓ πw␈ε~0␈↓ 
s␈ε~0
␈β∂}␈↓ ↓H␈εβOt␈α␈herwise␈αw␈α␈e␈αredu␈α␈ce␈↓ ∧␈ε	j␈↓ ∧~␈εβby␈α1␈αa␈α␈s␈αfollo␈α␈ws:␈αS␈α␈et␈↓ εA␈ε	r␈↓ εZ␈ε↔ ␈↓ π¬␈ε	s␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π'␈ε	s␈↓ π>␈ε↔ ␈↓ πi␈ε	s␈↓ λ¬␈ε↔␈␈↓ λ.␈ε	s␈↓ λ<␈εβ,␈↓ λP␈ε	s␈↓ λh␈ε↔ ␈↓ 	∪␈ε	r␈↓ 	!␈εβ,␈↓ 	6␈ε	r␈↓ 	N␈ε↔ ␈↓ 	y␈ε	t␈↓ 
¬␈εβ,␈↓ 
~␈ε	t␈↓ 
0␈ε↔ ␈α
b␈↓ 
g␈ε	t␈↓ 
z␈εβ/␈↓ 
␈ε	t␈↓ ⊗␈ε↔c␈εβ,
␈β⊂"␈↓ ↓T␈ε~0␈↓ ∧α␈ε~0␈↓ ∧a␈ε~0
␈β⊂#␈↓ ε&␈εα(␈↓ λπ␈εα)
␈β⊂&␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓c␈ε↔ ␈↓ α∞␈ε	r␈↓ α≤␈εβ,␈↓ α/␈ε	r␈↓ αG␈ε↔ ␈↓ αr␈ε	u␈↓ βε␈εβ,␈↓ β→␈ε	u␈↓ β6␈ε↔ ␈α
b␈↓ βn␈ε	u␈↓ ∧λ␈εβ/␈↓ ∧→␈ε	u␈↓ ∧-␈ε↔c␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧q␈ε↔ ␈↓ ¬≠␈ε	r␈↓ ¬*␈εβ;␈α
the␈α␈n␈α
if␈↓ ε2␈ε↔b␈↓ ε?␈ε	w␈↓ εW␈ε	u␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε	v␈↓ π∞␈ε	t␈↓ π→␈ε↔c␈↓ π,␈εβmo␈α␈d␈↓ πp␈ε	A␈↓ λ_␈εβmod␈↓ λ]␈ε	n␈↓ λz␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈α
set␈↓ 	{␈ε	m␈↓ 
!␈ε↔ ␈↓ 
L␈ε	m␈↓ 
o␈εβ+␈↓ ∃␈ε	s␈↓ #␈εβ,
␈β⊂M␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α∀␈ε	w␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ,␈↓ αU␈ε	v␈↓ αp␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β,␈ε	t␈↓ β8␈εβ.
␈β⊂w␈↓ α␈εβ[Can␈αλth␈α␈is␈αλprob␈α␈lem␈αλbe␈αλso␈α␈lv␈α␈ed␈αλwith␈αλfe␈α␈we␈α␈r␈αλthan␈↓ π␈ε	O␈↓ π#␈εβ(␈↓ π/␈εβlo␈α␈g␈↓ π←␈ε	n␈↓ πs␈εβ)␈αλop␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns?␈α
Ca␈α␈n␈αλthe␈αλsm␈α␈allest,
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αthe␈αlarg␈α␈est,␈αprime␈αfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ ¬∧␈ε	n␈↓ ¬#␈εβb␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αin␈↓ π⊂␈ε	O␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈εβlog␈↓ πc␈ε	n␈↓ πw␈εβ)␈αop␈α␈eratio␈α␈ns?]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα693
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6
␈βαo␈↓ α.␈εε2␈↓ ∧∩␈εε3␈↓ ∧q␈εε2
␈βαs␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ9␈↓ α≥␈ε	x␈↓ αB␈εβ+␈αλ7␈↓ α{␈ε	x␈↓ β∀␈εβ+␈αλ9;␈α→5␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧&␈εβ+␈αλ7␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβ+␈απ2␈↓ ¬>␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ+␈αλ6␈α␈.
␈ββ%␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈α∞True␈α␈.␈α (b␈α␈)␈α∂False␈α∞if␈α∞the␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈ic␈α∞system␈↓ π"␈ε	S␈↓ πD␈εβcon␈α}tains␈α∞\␈α␈zero␈α∞d␈α␈ivisors,"␈α∂n␈α␈on␈α␈zero
␈ββL␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	who␈α␈se␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈α	is␈α
zero␈α␈,␈α
as␈α	i␈α↓n␈α	ex␈α}ercise␈α	1;␈α
oth␈α␈erwise␈α
tru␈α␈e.␈α∃(c)␈α
Tru␈α␈e␈α
wh␈α␈en␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
e␈ε↔≤␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈ββt␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αfa␈α␈l␈α↓se␈αin␈α
gen␈α␈eral␈αwhe␈α␈n␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ=␈↓ ¬∩␈ε	n␈↓ ¬&␈εβ,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αmigh␈α␈t␈αc␈α␈anc␈α␈el.
␈β∧%␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈αt␈α␈hat␈↓ βO␈ε	r␈↓ βh␈ε↔∀␈↓ ∧∪␈ε	s␈↓ ∧!␈εβ.␈αFor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬;␈ε	k␈↓ ¬U␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	r␈↓ ε≠␈εβth␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αis␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λ<␈ε	m␈↓ λe␈εβ(␈↓ λp␈ε	k␈↓ 	λ␈εβ+␈αλ1␈α␈);␈αfor␈↓ 
⊗␈ε	r␈↓ 
.␈ε↔∀␈↓ 
Y␈ε	k␈↓ 
s␈ε↔∀␈↓ ∨␈ε	s
␈β∧0␈↓ λ/␈εε1␈↓ λX␈εε2
␈β∧M␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈↓ α	␈ε	m␈↓ α2␈ε	m␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	r␈↓ α{␈εβ+␈αε1);␈αfor␈↓ ∧¬␈ε	s␈↓ ∧≤␈ε↔∀␈↓ ∧F␈ε	k␈↓ ∧`␈ε↔∀␈↓ ¬␈ε	r␈↓ ¬∨␈εβ+␈↓ ¬G␈ε	s␈↓ ¬←␈εβit␈αis␈↓ ε ␈ε	m␈↓ εI␈ε	m␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	r␈↓ π∩␈εβ+␈↓ π:␈ε	s␈↓ πN␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αε␈␈↓ λ4␈ε	k␈↓ λE␈εβ).␈αTh␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ast␈α
up␈α␈per␈α
b␈α␈ou␈α␈nd
␈β∧W␈↓ α%␈εε1␈↓ αN␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εf␈εε2
␈β∧t␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alid␈α
for␈αa␈α␈ll␈↓ α{␈ε	k␈↓ β⊗␈εβis␈↓ β7␈ε	m␈↓ β`␈ε	m␈↓ ∧	␈εβ(␈↓ ∧∀␈ε	r␈↓ ∧)␈εβ+␈απ1).␈α_(Th␈α␈e␈αs␈α␈olv␈α␈er␈α
of␈α
this␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α
wil␈α↓l␈α
kn␈α␈o␈α␈w␈αh␈α␈o␈α␈w␈α
to␈αfa␈α␈ctor␈α
the
␈β∧␈␈↓ βS␈εε1␈↓ β|␈εε2
␈β¬_␈↓ β¬␈εε7␈↓ βd␈εε6␈↓ ∧C␈εε5␈↓ ¬!␈εε4␈↓ ε␈εε3␈↓ ε←␈εε2
␈β¬≤␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε	x␈↓ β→␈εβ+␈αλ2␈↓ βR␈ε	x␈↓ βx␈εβ+␈απ3␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈↓ ¬⊂␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ+␈αλ3␈↓ ¬o␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ+␈αλ3␈↓ εM␈ε	x␈↓ εs␈εβ+␈απ2␈↓ π,␈ε	x␈↓ πE␈εβ+␈αλ1␈α␈.)
␈β¬I␈↓ εd␈εt
␈β¬M␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIf␈α	on␈α␈e␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	po␈α␈lyn␈α␈omials␈α	h␈α␈as␈α	few␈α␈er␈α	th␈α␈an␈↓ εS␈εβ2␈↓ εv␈εβnon␈α␈zero␈αλcoe}␈α␈cien␈α␈ts,␈α	the␈αλprod␈α␈uc␈α␈t␈α	can␈αλbe
␈β¬u␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rmed␈αλby␈αλp␈α␈utting␈αλex␈α␈actly␈↓ ∧J␈ε	t␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈αλzeros␈αλbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α	e␈α␈ach␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts,␈α	then␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing
␈βε~␈↓ λ$␈ε∃A␈α␈ND
␈βε≥␈↓ ↓H␈εβin␈α∞th␈α␈e␈α∞bina␈α␈ry␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞system␈α␈,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞|␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈α∞u␈α␈sing␈α∞a␈α∞log␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈↓ λp␈εβop␈α␈eration␈α
(prese␈α␈n␈α␈t␈α∞on
␈βεD␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αcom␈α␈pu␈α␈ters,␈α∞c␈α␈f.␈α∞S␈α␈ection␈α4.5.4␈α␈)␈α
to␈α
zero␈αou␈α␈t␈α
the␈αextr␈α␈a␈α
bits.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α∞if
␈βεl␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈εβ=␈α3␈α␈,␈αthe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbec␈α␈ome␈α(10␈α␈010␈α␈000␈α␈01␈↓ λp␈εβ)␈↓ 	∂␈ε↔α␈εβ␈αλ(10␈α␈000␈α␈010␈α␈01␈↓ 
j␈εβ)␈↓ ␈εβ=
␈βεv␈↓ λ{␈εε2␈↓ 
u␈εε2
␈βπ⊂␈↓ ¬∃␈ε∃AND
␈βπ∪␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈001␈α␈001␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈100␈α␈1␈↓ ∧∂␈εβ)␈↓ ∧'␈εβ;␈α∂if␈α∞we␈↓ ¬a␈εβthis␈α∞re␈α␈sult␈α∞with␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α␈t␈α
(100␈α␈100␈α␈1␈↓ 
≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
I␈εβ10␈α␈01␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βπ≡␈↓ ∧~␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈βπ;␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλdesired␈αλa␈α␈nsw␈α␈er␈αλi␈α↓s␈αλob␈α␈taine␈α␈d.␈α
A␈α	simil␈α↓a␈α␈r␈α	te␈α␈chn␈α␈ique␈αλca␈α␈n␈α	b␈α␈e␈αλused␈αλto␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈ly␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βπc␈↓ ↓H␈εβwith␈απno␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts,␈α	wh␈α␈en␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απkn␈α␈o␈α␈wn␈απtha␈α␈t␈αλthe␈απcoe␈α␈}cien␈α␈ts␈απwi␈α↓ll␈αλn␈α␈ot␈αλb␈α␈e␈αλto␈α␈o␈αλlarg␈α␈e.
␈βλ⊂␈↓ λM␈εn
␈βλ∀␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβPolyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ ¬⊃␈ε	n␈↓ ¬0␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}ted␈αa␈α␈s␈↓ πr␈ε	U␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	x␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λe␈εβ+␈↓ 	∞␈ε	U␈↓ 	0␈εβ(␈↓ 	;␈ε	x␈↓ 	L␈εβ)␈αwhere␈α
deg␈α␈(␈↓ 
␈␈ε	U␈↓ !␈εβ)
␈βλ≡␈↓ λλ␈εε1␈↓ 	#␈εε0␈↓ ∃␈εε1
␈βλ7␈↓ ¬λ␈εn␈↓ π¬␈εn␈↓ 
¬␈εε2␈↓ 
⊃␈εn␈↓ 
g␈εn
␈βλ8␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ε∃␈εα)(␈↓ λ⊂␈εα)
␈βλ;␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
d␈α␈eg(␈↓ αH␈ε	U␈↓ αj␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ β1␈ε	n␈↓ βE␈εβ;␈α⊂a␈α␈nd␈↓ ∧-␈ε	U␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ+␈↓ ¬L␈ε	U␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈ε	x␈↓ ε
␈εβ)␈↓ ε-␈ε	V␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε	x␈↓ εi␈εβ)␈↓ εt␈ε	x␈↓ π∨␈εβ+␈↓ πI␈ε	V␈↓ πh␈εβ(␈↓ πs␈ε	x␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ)␈εβ=␈↓ λX␈ε	U␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	x␈↓ 	↔␈εβ)␈↓ 	"␈ε	V␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	x␈↓ 	]␈εβ)(␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
+␈εβ+␈↓ 
U␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	+
␈βλF␈↓ α]␈εε0␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬a␈εε0␈↓ ε@␈εε1␈↓ π\␈εε0␈↓ λm␈εε1␈↓ 	4␈εε1
␈βλ←␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ πα␈εn
␈βλ`␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β~␈εα)(␈↓ ∧t␈εα)
␈βλc␈↓ ↓T␈ε	U␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	x␈↓ α∩␈εβ)␈α	+␈↓ αQ␈ε	U␈↓ αs␈εβ(␈↓ α}␈ε	x␈↓ β∂␈εβ)␈↓ β2␈ε	V␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈α	+␈↓ ∧-␈ε	V␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	x␈↓ ∧h␈εβ)␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬*␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	U␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε∪␈εβ)␈↓ ε≡␈ε	V␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	x␈↓ εZ␈εβ)(␈↓ εp␈ε	x␈↓ π≠␈εβ+␈α
1␈α␈).␈α∨(T␈α↓h␈α␈is␈α∞equ␈α␈ation␈α
assu␈α␈mes␈α
tha␈α␈t
␈βλn␈↓ ↓i␈εε1␈↓ αf␈εε0␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ¬j␈εε0␈↓ ε1␈εε0
␈β	␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αis␈αb␈α␈eing␈αd␈α␈on␈α␈e␈αmod␈α␈ulo␈α2␈α␈.␈α↓)␈α→Th␈α}us␈αEqs.␈α4.3.3↑␈α␈3,␈α4,␈α5␈αho␈α␈ld.
␈β	2␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αS␈α␈.␈αA.␈αCo␈α␈ok␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αt␈α␈hat␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.3C␈αcan␈α
be␈α
exten␈α␈de␈α␈d␈αin␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈β	Z␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y,␈απand␈α¬ex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.6.4↑5␈α␈7␈αεdesc␈α␈ri␈α↓b␈α␈es␈αεa␈αεmeth␈α␈od␈αεr␈α␈equ␈α␈i␈α↓rin␈α␈g␈αεev␈α␈e␈α␈n␈αεfew␈α␈er␈αεope␈α␈ration␈α␈s␈απfo␈α␈r␈απla␈α␈rge␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αλthes␈α␈e␈αλidea␈α␈s␈αλare␈αλn␈α␈ot␈αλu␈α␈seful␈αλfor␈αλ\␈α␈spa␈α␈rse"␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απ(␈α↓h␈α␈av␈α␈ing␈αλm␈α␈ostly␈αλz␈α␈ero␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts).
␈β
v␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.1
␈β=␈↓ β0␈εε3␈↓ βN␈εε3␈↓ ∧D␈εε2␈↓ ∧b␈εε2␈↓ π␈εε3␈↓ 	↑␈εε2
␈βA␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	q␈↓ α≠␈εβ(␈↓ α&␈ε	x␈↓ α7␈εβ)␈α
=␈α	1␈ε↔␈απ↓␈↓ β∨␈εβ2␈↓ β<␈ε	x␈↓ βb␈εβ+␈απ0␈ε↔␈απ↓␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧P␈ε	x␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ2␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ ¬p␈εβ+␈αλ8␈α	=␈α
8␈↓ εn␈ε	x␈↓ π∀␈ε↔␈␈εβ␈απ4␈↓ πM␈ε	x␈↓ πf␈εβ+␈απ8;␈↓ λA␈ε	r␈↓ λP␈εβ(␈↓ λ[␈ε	x␈↓ λm␈εβ)␈α	=␈α	28␈↓ 	M␈ε	x␈↓ 	r␈εβ+␈αλ4␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
D␈εβ+␈αλ8.
␈βr␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβThe␈α
mo␈α␈nic␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞po␈α␈lyn␈α␈omials␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed␈α
du␈α␈ring␈α
Euclid's␈α
algorith␈α␈m␈α∞h␈α␈as␈α
the
␈β~␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∂(1,␈α¬5,␈αε6,␈α¬6,␈αε1␈α␈,␈αε6,␈αε3␈α␈),␈α⊃(1␈α␈,␈αε2,␈αε5␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε4,␈α¬5),␈α⊂(1,␈αε5␈α␈,␈αε6,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈),␈α⊂(␈α↓1␈α␈,␈αε3,␈α¬4,␈αε6),␈α⊂0␈α␈.␈α↔Henc␈α␈e␈α∂the
␈β=␈↓ ∧v␈εε3␈↓ ¬X␈εε2
␈βB␈↓ ↓H␈εβg␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
diviso␈α␈r␈α∞is␈↓ ∧d␈ε	x␈↓ ¬␈εβ+␈α	3␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ+␈α
4␈↓ ε)␈ε	x␈↓ εD␈εβ+␈α
6␈α␈.␈α∨(The␈α∞g␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α∞of␈α∞a
␈βi␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αan␈α␈d␈αits␈αrev␈α}erse␈αis␈αalwa␈α␈ys␈αsymm␈α␈etric,␈αin␈αthe␈αsen␈α␈se␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αa␈αun␈α␈i␈α↓t␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αi␈α↓ts␈αo␈α}w␈α↓n␈α
rev␈α}erse.)
␈β
B␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αof␈αAlgorith␈α␈m␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈X␈αis␈αva␈α␈li␈α↓d␈α␈,␈αwi␈α↓th␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αo␈α}v␈α␈er␈↓ 	i␈ε	S␈↓ 

␈εβsu␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted
␈β
j␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αWhen␈α	the␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
termina␈α␈tes,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πZ␈ε	U␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ∩␈εβ)␈α	=␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ|␈ε	x␈↓ 	
␈εβ),␈↓ 	,␈ε	V␈↓ 	D␈εβ(␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 	`␈εβ)␈α	=␈↓ 
∨␈ε	u␈↓ 
?␈εβ(␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
[␈εβ).␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β
t␈↓ λd␈εε2␈↓ 
2␈εε1
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈εβde␈α␈g␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε	u␈↓ αj␈εβ),␈↓ β
␈ε	n␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈εβde␈α␈g␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	v␈↓ ∧ ␈εβ)␈α↓.␈αIt␈αis␈αea␈α␈sy␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αtha␈α␈t␈↓ λ←␈εβdeg␈↓ 	⊃␈εβ(␈↓ 	≤␈ε	u␈↓ 	<␈εβ)␈αλ+␈↓ 	w␈εβdeg␈↓ 
)␈εβ(␈↓ 
5␈ε	v␈↓ 
P␈εβ)␈α	=␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∞≤␈↓ 	0␈εε3␈↓ 
C␈εε1
␈β∞9␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α$␈εβ)␈α+␈↓ αf␈εβd␈α␈eg␈↓ β↔␈εβ(␈↓ β#␈ε	v␈↓ β>␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧)␈εβ,␈α⊃a␈α␈fter␈α⊂ste␈α␈p␈α∂X3,␈α⊃th␈α␈roug␈α␈ho␈α␈ut␈α∂the␈α∂ex␈α␈e␈α␈cutio␈α␈n␈α⊂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α⊂a␈α␈lgorith␈α␈m,
␈β∞C␈↓ α_␈εε3␈↓ β1␈εε2
␈β∞]␈↓ 	↔␈εα(␈↓ 
 ␈εα)
␈β∞`␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈↓ β≠␈ε	m␈↓ βB␈ε↔∃␈↓ βn␈ε	n␈↓ ∧α␈εβ.␈α
Henc␈α␈e␈αif␈↓ ¬≠␈ε	m␈↓ ¬D␈εβan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	n␈↓ ε%␈εβare␈αgrea␈α␈ter␈αth␈α␈an␈↓ λ≥␈ε	d␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λe␈εβdeg␈↓ 	#␈εβgcd␈↓ 	U␈εβ(␈↓ 	`␈ε	u␈↓ 	t␈εβ,␈↓ 
β␈ε	v␈↓ 
∀␈εβ)␈↓ 
7␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	U␈↓ α ␈εβ)␈α	<␈↓ α←␈ε	m␈↓ ββ␈ε↔␈␈↓ β+␈ε	d␈↓ β=␈εβ,␈↓ βQ␈εβdeg␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	V␈↓ ∧&␈εβ)␈α	<␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ ¬␈ε↔␈␈↓ ¬(␈ε	d␈↓ ¬:␈εβ;␈αthe␈α
ex␈α␈act␈αd␈α␈eg␈α␈rees␈αa␈α␈re␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ/␈ε↔␈␈↓ λW␈ε	d␈↓ λ⎇␈εβand␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	X␈ε↔␈␈↓ 
↓␈ε	d␈↓ 
≥␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ⊂␈ε	d
␈β∂∪␈↓ λf␈εε1␈↓ 
⊂␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβis␈αthe␈αd␈α␈egree␈αof␈αthe␈αsec␈α␈on␈α␈d-last␈αno␈α␈nzer␈α␈o␈α
re␈α␈main␈α␈der.␈α∂If␈↓ πg␈ε	d␈↓ λ¬␈εβ=␈↓ λ1␈εβmin␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	m␈↓ 	⊃␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	n␈↓ 	4␈εβ),␈α
say␈↓ 
∩␈ε	d␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
\␈ε	n␈↓ 
p␈εβ,␈α∞w␈α␈e
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	U␈↓ α1␈εβ(␈↓ α=␈ε	x␈↓ αN␈εβ)␈α	=␈α
0␈αa␈α␈nd␈↓ βi␈ε	V␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≡␈εβ)␈α	=␈α	1.
␈β∂{␈↓ βr␈εm␈↓ ε≠␈εn␈↓ λX␈εm␈↓ 
#␈εn
␈β∂␈␈↓ α␈εβWhen␈↓ αm␈ε	u␈↓ β↓␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β≡␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε	x␈↓ ∧⊃␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αan␈α␈d␈↓ ¬→␈ε	v␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬G␈εβ)␈α=␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε3␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
th␈α␈e␈αiden␈α}tity␈α(␈↓ λF␈ε	x␈↓ λw␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ 	B␈εβm␈α␈od␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	x␈↓ 
;␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=
␈β⊂"␈↓ ↓Y␈εm␈↓ ↓u␈εεmo␈α␈d␈↓ α(␈εn
␈β⊂&␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ αB␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞sh␈α␈o␈α␈ws␈α∞that␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞occu␈α␈rring␈α∞d␈α␈urin␈α␈g␈α∞the␈α∞ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∞a␈α␈re␈α∞mon␈α␈ic,
␈β⊂J␈↓ ε ␈εε2␈α␈1␈↓ λL␈εε13
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβwith␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αcoe␈α␈}cien␈α␈ts.␈α∂Whe␈α␈n␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈α=␈↓ ε∞␈ε	x␈↓ εA␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αa␈α␈nd␈↓ πJ␈ε	v␈↓ π[␈εβ(␈↓ πf␈ε	x␈↓ πx␈εβ)␈α=␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ 
@␈ε	V␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β⊂r␈↓ ↓Y␈εε11␈↓ α0␈εε8␈↓ αz␈εε6␈↓ βE␈εε3␈↓ ε␈εε1␈α␈9␈↓ εc␈εε1␈α␈6␈↓ π:␈εε1␈α␈4␈↓ λ⊂␈εε11␈↓ λg␈εε8␈↓ 	2␈εε6␈↓ 	|␈εε3
␈β⊂s␈↓ 
p␈εα(
␈β⊂v␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α∨␈ε	x␈↓ αB␈εβ+␈↓ αi␈ε	x␈↓ β␈εβ+␈↓ β3␈ε	x␈↓ βW␈εβ+␈αε1␈α	an␈α␈d␈↓ ∧W␈ε	U␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈ε	x␈↓ ¬∂␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ ¬z␈ε	x␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εQ␈ε	x␈↓ π↓␈εβ+␈↓ π(␈ε	x␈↓ πX␈εβ+␈↓ π␈␈ε	x␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λV␈ε	x␈↓ λz␈εβ+␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	D␈εβ+␈↓ 	k␈ε	x␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α↓.␈↓ 
|␈εβSee
␈β⊃~␈↓ 	↑␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αEq.␈α3.3.3↑2␈α␈9,␈αwhich␈α
giv␈α␈es␈αa␈α␈n␈αaltern␈α␈ativ␈α}e␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λπ␈ε	U␈↓ λ"␈εβ(␈↓ λ-␈ε	x␈↓ λ?␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ 	⊗␈ε	V␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	x␈↓ 	J␈εβ).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα694␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈α
the␈α
qu␈α␈otien␈α}t␈↓ ∧&␈ε	q␈↓ ∧5␈εβ(␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈α∞o␈α␈nly␈α
on␈↓ εi␈ε	v␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈ε	x␈↓ π↔␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
|r␈α␈st␈↓ λu␈ε	m␈↓ 	≠␈ε↔␈␈↓ 	E␈ε	n␈↓ 	g␈εβco␈α␈e}cien␈α}ts␈α∞o␈α␈f
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ),␈αt␈α␈he␈α
re␈α␈main␈α␈der␈↓ βj␈ε	r␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	=␈↓ ∧T␈ε	u␈↓ ∧h␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬=␈ε	q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ¬s␈ε	v␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε	x␈↓ ε!␈εβ)␈α
is␈α
u␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α	d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α	a␈α␈nd␈α	ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α↓.␈αHen␈α␈ce␈αeach␈αs␈α␈tep␈αof␈αthe␈αalgo␈α␈rithm␈αma␈α␈y␈αbe␈αrega␈α␈rde␈α␈d␈αas␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈ers;
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αalgorith␈α␈m␈αis␈αm␈α␈uch␈α
mor␈α␈e␈αw␈α␈el␈α↓l-b␈α␈eha␈α␈v␈α␈ed␈α
tha␈α␈n␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈ββI␈↓ ε↔␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ε=␈εk␈↓ 
z␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈ββM␈↓ α␈εβThe␈αλp␈α␈roba␈α␈bility␈α	t␈α␈hat␈↓ ∧=␈ε	n␈↓ ∧f␈εβ=␈↓ ¬⊃␈ε	n␈↓ ¬)␈ε↔␈␈↓ ¬N␈ε	k␈↓ ¬g␈εβis␈↓ εε␈ε	p␈↓ εJ␈εβ(1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α∧1/␈↓ π0␈ε	p␈↓ πA␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈↓ λ≥␈ε	t␈↓ λ2␈εβ=␈α
0␈αλwith␈αλpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ 
i␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈ββW␈↓ ∧P␈εε1
␈ββt␈↓ ↓H␈εβEa␈α␈ch␈αλsu␈α␈cceed␈α␈ing␈αλste␈α␈p␈αλh␈α␈as␈αλessen␈α}ti␈α↓a␈α␈ll␈α↓y␈απthe␈αλsa␈α␈me␈αλb␈α␈eha␈α␈vior;␈α	he␈α␈nce␈αλw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈αλsee␈αλth␈α␈at␈αλa␈α␈n␈α␈y␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈β∧_␈↓ 	i␈εt␈↓ 
∀␈εn
␈β∧≤␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α
o␈α␈f␈α∞d␈α␈eg␈α␈rees␈↓ βr␈ε	n␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≥␈ε	n␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧T␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬↔␈ε	n␈↓ ¬4␈εβ,␈ε↔␈α∞␈1␈εβ␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
wi␈α↓th␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α(␈↓ 		␈ε	p␈↓ 	#␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈↓ 	↑␈εβ)␈↓ 	s␈εβ/␈↓ 
β␈ε	p␈↓ 
%␈εβ.␈α⊃To␈α
|␈α␈nd
␈β∧'␈↓ ∧0␈εε1␈↓ ¬*␈εt
␈β∧D␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ β}␈ε	f␈↓ ∧∞␈εβ(␈↓ ∧→␈ε	n␈↓ ∧9␈εβ,␈↓ ∧H␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈εβ,␈↓ ¬β␈ε	n␈↓ ¬ ␈εβ),␈α
let␈↓ ¬r␈ε	S␈↓ ε→␈εβb␈α␈e␈αthe␈αsu␈α␈m␈αof␈↓ πp␈ε	f␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ+␈εβ,␈↓ λ:␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λf␈εβ,␈↓ λu␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ)␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s
␈β∧M␈↓ 	5␈ε↓P
␈β∧N␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬⊗␈εt␈↓ εβ␈εt␈↓ λ≡␈εε1␈↓ 	λ␈εt
␈β∧g␈↓ 
h␈εt␈↓ ∪␈εn
␈β∧k␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ>␈↓ α∂␈ε	n␈↓ α8␈εβ>␈↓ αc␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∪␈εβ>␈↓ β>␈ε	n␈↓ βd␈ε↔∃␈εβ␈α	0␈α	ha␈α␈vin␈α␈g␈α	a␈α	giv␈α}en␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ ε␈␈ε	t␈↓ π␈εβ;␈α
th␈α␈en␈α	t␈α␈he␈α	av␈α}erag␈α␈e␈α	is␈↓ 	k␈ε	S␈↓ 
¬␈εβ(␈↓ 
⊂␈ε	p␈↓ 
&␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈↓ 
]␈εβ)␈↓ 
q␈εβ/␈↓ α␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β∧v␈↓ α#␈εε1␈↓ βQ␈εt␈↓ 	{␈εt
␈β∧{␈↓ ¬Y␈ε↓␈␈↓ ¬x␈ε↓↓
␈β∧}␈↓ 	[␈εt
␈β¬∃␈↓ ¬g␈εn
␈β¬≤␈↓ α␈εβLet␈↓ αE␈ε	f␈↓ αU␈εβ(␈↓ α`␈ε	n␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε	n␈↓ βg␈εβ)␈α	=␈↓ ∧&␈ε	t␈↓ ∧2␈εβ;␈αλthen␈↓ ¬␈ε	S␈↓ ¬/␈εβ=␈↓ εε␈εβ(␈↓ ε⊃␈ε	t␈↓ ε∨␈εβ+␈αβ1␈α␈)␈α↓,␈αλso␈απth␈α␈e␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈↓ λ]␈ε	n␈↓ λq␈εβ(1␈ε↔␈αα␈␈εβ␈αβ1/␈↓ 	T␈ε	p␈↓ 	e␈εβ).␈α
Similarly,␈αλif
␈β¬'␈↓ αs␈εε1␈↓ β]␈εt␈↓ ¬≤␈εt
␈β¬*␈↓ ¬t␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓␈↓ ε ␈ε↓␈␈↓ εd␈ε↓↓␈↓ 	α␈ε↓␈␈↓ 	 ␈ε↓↓
␈β¬-␈↓ ¬k␈εt
␈β¬D␈↓ εα␈εn␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	⊂␈εn
␈β¬K␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	n␈↓ αα␈εβ,␈↓ α⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈ε	n␈↓ αi␈εβ)␈α	=␈↓ β(␈ε	n␈↓ βH␈εβ+␈↓ βj␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧⊃␈εβ+␈↓ ∧2␈ε	n␈↓ ∧O␈εβ,␈απthen␈↓ ¬&␈ε	S␈↓ ¬I␈εβ=␈↓ εr␈εβ,␈απand␈α¬th␈α␈e␈αεav␈α}era␈α␈ge␈αεis␈↓ 	.␈εβ(1␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α␈/␈↓ 

␈ε	p␈↓ 
≡␈εβ).␈α
Fina␈α␈ll␈α↓y␈α␈,
␈β¬V␈↓ ↓v␈εε1␈↓ α←␈εt␈↓ β;␈εε1␈↓ ∧F␈εt␈↓ ¬6␈εt
␈β¬X␈↓ λF␈ε↓␈␈↓ 	
␈ε↓↓␈↓ 
3␈ε↓␈␈↓ 
x␈ε↓↓
␈β¬[␈↓ ε∧␈εε2␈↓ ε2␈εt␈↓ ε;␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∩␈εε2
␈β¬r␈↓ λT␈εn␈↓ λe␈εε+2␈↓ 
A␈εn␈↓ 
R␈εε+1
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓f␈ε	f␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	n␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α\␈εβ,␈↓ αj␈ε	n␈↓ βπ␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ βQ␈ε	n␈↓ βk␈ε↔␈␈↓ ∧∩␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ)␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬	␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬5␈εβ+␈αε(␈↓ ¬g␈ε	n␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εV␈ε	n␈↓ εs␈εβ)␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π≠␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ πx␈ε	S␈↓ λ≤␈εβ=␈↓ 	 ␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ 	T␈ε	n␈↓ 	o␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ ␈εβ+
␈βε¬␈↓ α∀␈εε1␈↓ α⎇␈εt␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ∧O␈εε1␈↓ ¬z␈εt␈↓ ε∧␈ε~␈␈εε1␈↓ εi␈εt␈↓ π⊃␈εt␈↓ λ	␈εt
␈βεπ␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α␈ε↓↓␈↓ α~␈ε↓␈␈↓ α8␈ε↓↓␈↓ ∧o␈ε↓␈␈↓ ¬3␈ε↓↓
␈βε
␈↓ λX␈εt␈↓ λa␈εε+2␈↓ 
E␈εt␈↓ 
N␈εε+␈α↓1
␈βε!␈↓ ↓V␈εn␈↓ ↓f␈εε+1␈↓ α(␈εn␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ¬
␈εε+1
␈βε%␈↓ 	7␈εε2␈↓ 
B␈εn␈↓ 
R␈εε+1
␈βε&␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ 	+␈εα)
␈βε)␈↓ αF␈εβ,␈αand␈α
the␈α
av␈α␈er␈α␈age␈αis␈↓ ¬H␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ¬|␈ε	n␈↓ ε_␈εβ+␈απ1)␈↓ ε\␈ε	p␈↓ εm␈εβ/(␈↓ π	␈ε	p␈↓ π!␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ πm␈εβ+␈↓ λ"␈ε	p␈↓ λ3␈εβ/␈α␈(␈↓ λN␈ε	p␈↓ λg␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ 	D␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ 
1␈ε	p␈↓ 
x␈εβ)␈↓ β␈εβ.
␈βε9␈↓ ↓j␈εε2␈↓ α+␈εt␈↓ ¬∩␈εε2
␈βεU␈↓ α␈εβAs␈αa␈αcon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αc␈α␈an␈αsee␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ε$␈ε	p␈↓ ε@␈εβi␈α↓s␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αt␈α␈here␈αi␈α↓s␈αv␈α␈ery␈αh␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αtha␈α␈t
␈βε|␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ α↔␈εβ=␈↓ αB␈ε	n␈↓ αi␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfor␈αall␈↓ ∧∩␈ε	j␈↓ ∧!␈εβ.␈α≠(If␈αth␈α␈is␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αfa␈α␈i␈α↓ls␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αration␈α␈al␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈αit␈αfails␈αfo␈α␈r
␈βππ␈↓ ↓[␈εj␈↓ ↓g␈εε+1␈↓ αV␈εj
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓u␈ε	p␈↓ αε␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
fur␈α␈ther␈α
ev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈α
for␈α
the␈α
tex␈α␈t's␈αcla␈α␈i␈α↓m␈α
th␈α␈at␈α
Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αC␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
alway␈α␈s
␈βπL␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α↔␈ε	∞␈↓ α9␈εβ=␈↓ αd␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ=␈α	1.)
␈βπV␈↓ α#␈εε2
␈βλ∂␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβUsing␈α
the␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αdev␈α}elop␈α␈ed␈αin␈α
ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α4,␈αwith␈↓ πV␈ε	f␈↓ πf␈εβ(␈↓ πq␈ε	n␈↓ λ⊂␈εβ,␈↓ λ∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λL␈εβ,␈↓ λZ␈ε	n␈↓ λw␈εβ)␈α
=␈↓ 	6␈ε	∞␈↓ 	h␈εβ,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t
␈βλ~␈↓ λ∧␈εε1␈↓ λn␈εt␈↓ 	B␈εn␈↓ 	[␈εε0
␈βλ!␈↓ 	R␈ε
t
␈βλ7␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αis␈α1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ∧0␈ε	p␈↓ ∧L␈εβi␈α↓f␈↓ ∧l␈ε	n␈↓ ¬	␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α1␈α
i␈α↓f␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε1␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βλ{␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAssu␈α␈ming␈α
that␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α}t␈αterms␈↓ εε␈ε	u␈↓ ε~␈εβ(0)␈αan␈α␈d␈↓ π␈ε	v␈↓ π≡␈εβ(0)␈α
are␈αn␈α␈on␈α␈zero␈α␈,␈αima␈α␈gine␈α
a␈α\␈α␈righ␈α␈t-to␈α␈-
␈β	≡␈↓ ε<␈εm␈↓ εT␈ε~␈␈↓ εm␈εn
␈β	"␈↓ ↓H␈εβleft"␈απd␈α␈i␈α↓v␈α␈ision␈απalgo␈α␈rithm,␈↓ ∧&␈ε	u␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ)␈α	=␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ)␈↓ ¬N␈ε	q␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ)␈αα+␈↓ ε+␈ε	x␈↓ ε⎇␈ε	r␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π(␈εβ),␈α	wh␈α␈ere␈↓ λ!␈εβdeg␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε	r␈↓ λm␈εβ)␈α	<␈↓ 	,␈εβd␈α␈eg␈↓ 	↑␈εβ(␈↓ 	i␈ε	v␈↓ 	z␈εβ).␈α
W␈α↓e␈απob␈α␈tain
␈β	J␈↓ ↓H␈εβa␈αgcd␈αalgo␈α␈rithm␈αanlog␈α␈ou␈α␈s␈αto␈αAlgo␈α␈rithm␈α4.5.2B␈↓ εh␈εβ,␈αwhich␈αi␈α↓s␈αessen␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β	q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
th␈α␈e␈α\␈α␈rev␈α␈ers␈α␈e"␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈αin␈α␈pu␈α␈ts␈α(cf.␈αex␈α}ercise␈α
2),␈αafte␈α␈rwards␈α
rev␈α}ersing␈α
the
␈β
→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er␈αa␈α␈nd␈α
m␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈y␈αan␈α
ap␈α␈prop␈α␈riate␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈↓ πB␈ε	x␈↓ πS␈εβ.
␈β
]␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α
un␈α␈i␈α↓ts␈αo␈α␈f␈↓ βK␈ε	S␈↓ βj␈εβ(as␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αzero).
␈β ␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβIf␈↓ α0␈ε	u␈↓ αD␈εβ(␈↓ αO␈ε	x␈↓ α`␈εβ)␈α
=␈↓ β&␈ε	v␈↓ β8␈εβ(␈↓ βC␈ε	x␈↓ βT␈εβ)␈↓ β←␈ε	w␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∀␈εβ),␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬→␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬I␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
while␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	@␈εβ)␈α
and␈↓ 
≠␈ε	w␈↓ 
4␈εβ(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βH␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈α∞th␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ εε␈ε	m␈↓ ε0␈εβand␈↓ εs␈ε	n␈↓ π∀␈εβsuch␈αtha␈α␈t␈↓ λ,␈ε	m␈↓ λR␈ε↔↓␈↓ λd␈ε	v␈↓ λu␈εβ(␈↓ 	↓␈ε	x␈↓ 	∩␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ 	m␈ε	n␈↓ 

␈ε↔↓␈↓ 
≤␈ε	w␈↓ 
4␈εβ(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βo␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈αNo␈α␈w␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧G␈εβ(␈↓ ∧R␈ε	x␈↓ ∧d␈εβ)␈αis␈αprimitiv␈α␈e␈α␈,␈αso␈α
we␈αh␈α␈av␈α}e
␈βI␈↓ ¬{␈εα(␈↓ εu␈εα)␈↓ π,␈εα(␈↓ λ$␈εα)
␈βL␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
ε␈↓ ¬V␈εβpp␈↓ επ␈ε	m␈↓ ε,␈ε↔↓␈↓ ε=␈ε	v␈↓ εN␈εβ(␈↓ εY␈ε	x␈↓ εj␈εβ)␈↓ ππ␈εβpp␈↓ π8␈ε	n␈↓ πS␈ε↔↓␈↓ πd␈ε	w␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ→␈εβ)␈↓ λ0␈εβ.
␈β
A␈↓ π↓␈εα(␈↓ 	/␈εα)␈↓ 
β␈εα(
␈β
D␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβWe␈α	can␈αλexten␈α␈d␈α	Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α	E␈α	as␈α	follo␈α␈ws:␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ π
␈ε	u␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πI␈εβ),␈↓ πc␈ε	u␈↓ λα␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λ∨␈εβ),␈↓ λ9␈ε	u␈↓ λY␈εβ,␈↓ λg␈ε	u␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	x␈↓ 	$␈εβ)␈↓ 	D␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∂␈ε	v␈↓ 
*␈εβ(␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α↓,␈↓ 
`␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β
N␈↓ π ␈εε1␈↓ πv␈εε2␈↓ λL␈εε3␈↓ λz␈εε4␈↓ 
≥␈εε1␈↓ 
o␈εε2
␈β
h␈↓ α5␈εα)
␈β
k␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ,␈↓ ↓r␈ε	v␈↓ α
␈εβ(␈↓ α_␈ε	x␈↓ α*␈εβ)␈↓ αQ␈εβbe␈α⊃q␈α␈ua␈α␈dru␈α␈ples␈α⊃th␈α␈at␈α⊂satisfy␈α⊃th␈α␈e␈α⊃re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ π:␈ε	u␈↓ πZ␈εβ(␈↓ πe␈ε	x␈↓ πw␈εβ)␈↓ λα␈ε	u␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ2␈εβ)␈α+␈↓ λu␈ε	u␈↓ 	∃␈εβ(␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	1␈εβ)␈↓ 	<␈ε	v␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Y␈ε	x␈↓ 	j␈εβ)␈α∪=␈↓ 
<␈ε	u␈↓ 
\␈ε	u␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β
v␈↓ ↓V␈εε3␈↓ α␈εε4␈↓ πN␈εε1␈↓ 	λ␈εε2␈↓ 
O␈εε3␈↓ 
o␈εε4
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈↓ α␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈α
+␈↓ αz␈ε	v␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β2␈εβ)␈↓ β=␈ε	v␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βk␈εβ)␈α∂=␈↓ ∧4␈ε	v␈↓ ∧P␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬π␈εβ)␈α↓.␈α∀The␈α∞ex␈α␈ten␈α␈ded␈α
algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∞starts␈α∞with␈α∞th␈α␈e␈α∞qu␈α␈ad␈α␈rup␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β∞≡␈↓ ↓V␈εε1␈↓ β	␈εε2␈↓ ∧C␈εε3␈↓ ∧↑␈εε4
␈β∞8␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧U␈εα(␈↓ πλ␈εα)
␈β∞;␈↓ ↓T␈εβ1␈α␈,␈αε0,␈↓ α∪␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ αQ␈εβ(␈↓ α\␈ε	u␈↓ αp␈εβ),␈↓ β
␈εβp␈α␈p␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	u␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	x␈↓ βj␈εβ))␈↓ ∧⊗␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧a␈εβ0␈α␈,␈αε1,␈↓ ¬∨␈εβcon␈α}t␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	v␈↓ ¬z␈εβ),␈↓ ε∀␈εβp␈α␈p␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εD␈ε	v␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	x␈↓ εr␈εβ))␈↓ π≥␈εβan␈α␈d␈α	ma␈α␈nipu␈α␈lates␈α	the␈α␈m␈α	i␈α↓n␈αλsuch␈αλa␈α	way
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈reserv␈α}e␈α
the␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns,␈α∞whe␈α␈re␈↓ εM␈ε	u␈↓ εl␈εβ(␈↓ εw␈ε	x␈↓ π	␈εβ)␈α
and␈↓ πd␈ε	v␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ≤␈εβ)␈α∞ru␈α␈n␈α
thro␈α␈ug␈α␈h␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞se␈α␈-
␈β∞m␈↓ ε`␈εε4␈↓ πs␈εε4
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uen␈α␈ce␈α∞as␈↓ αd␈ε	u␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β∃␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	x␈↓ ∧!␈εβ)␈α∂d␈α␈o␈α∞i␈α↓n␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞E␈↓ εO␈εβ.␈α⊗If␈↓ π∪␈ε	a␈↓ π#␈ε	u␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π`␈εβ)␈α∂=␈↓ λ*␈ε	q␈↓ λ9␈εβ(␈↓ λD␈ε	x␈↓ λV␈εβ)␈↓ λa␈ε	v␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	_␈εβ)␈α
+␈↓ 	X␈ε	b␈↓ 	e␈ε	r␈↓ 	t␈εβ(␈↓ 	␈␈ε	x␈↓ 
⊃␈εβ),␈α∂we␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β∂∀␈↓ π7␈εε4␈↓ λo␈εε4
␈β∂.␈↓ ↓s␈εα(␈↓ β≥␈εα)␈↓ ∧6␈εα(␈↓ ¬V␈εα)␈↓ ε'␈εα(␈↓ πB␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	v␈↓ ↓␈␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α<␈εβ),␈↓ αU␈ε	u␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β∩␈εβ)␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β`␈ε	q␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧⊗␈ε	u␈↓ ∧B␈ε	v␈↓ ∧]␈εβ(␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ∧y␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬∪␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈↓ ¬t␈εβ=␈↓ ε3␈ε	r␈↓ εK␈εβ(␈↓ εW␈ε	x␈↓ εh␈εβ),␈↓ πα␈ε	r␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ π7␈εβ)␈↓ πN␈εβ,␈α∩wh␈α␈ere␈↓ λN␈ε	r␈↓ λf␈εβ(␈↓ λq␈ε	x␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	∞␈ε	u␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	>␈εβ)␈α+␈↓ 
␈ε	r␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
5␈εβ)␈↓ 
A␈ε	v␈↓ 
R␈εβ(␈↓ 
]␈ε	x␈↓ 
n␈εβ)␈α∩=
␈β∂<␈↓ ↓g␈εε3␈↓ α∩␈εε1␈↓ αi␈εε2␈↓ ∧)␈εε3␈↓ ∧P␈εε1␈↓ ¬"␈εε2␈↓ ε?␈εε1␈↓ π∞␈εε2␈↓ λZ␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈β∂Y␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈ε	u␈↓ ↓u␈ε	v␈↓ α⊂␈ε	r␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ),␈α
so␈α	the␈α	exte␈α␈nd␈α␈ed␈α	algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
c␈α␈an␈α	pre␈α␈serv␈α␈e␈α	the␈α	d␈α␈esired␈α	relation␈α␈s.␈αIf␈↓ 	o␈ε	u␈↓ 
β␈εβ(␈↓ 
∞␈ε	x␈↓ 
∨␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β∂d␈↓ ↓h␈εε3␈↓ αβ␈εε3
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αprime,␈αthe␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈αalgorith␈α␈m␈αev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α|n␈α␈ds␈↓ λS␈ε	r␈↓ λa␈εβ(␈↓ λm␈ε	x␈↓ λ}␈εβ)␈αof␈αde␈α␈gree␈αze␈α␈ro,␈α
a␈α␈nd
␈β⊂%␈↓ π2␈εα(
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αobt␈α␈ain␈↓ αd␈ε	U␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β
␈ε	x␈↓ β≠␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε	r␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∃␈εβ),␈↓ ∧6␈ε	V␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α=␈↓ ¬/␈ε	r␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ ¬d␈εβ)␈α
as␈α
d␈α␈esired␈α␈.␈↓ π>␈εβIn␈αprac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈o␈α␈uld␈αdivid␈α␈e␈↓ 
c␈ε	r␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β⊂3␈↓ βl␈εε2␈↓ ¬;␈εε1␈↓ 
o␈εε1
␈β⊂M␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ε∪␈εα)␈↓ ε(␈εα)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ),␈α∂a␈α␈nd␈↓ αc␈ε	b␈↓ αq␈ε	u␈↓ β⊂␈ε	v␈↓ β:␈εβb␈α␈y␈↓ βm␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧+␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	r␈↓ ¬␈εβ),␈↓ ¬&␈εβcon␈α}t␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬o␈ε	r␈↓ ελ␈εβ)␈↓ ε∨␈εβ.␈↓ εS␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈α∂if␈α∞suc␈α␈h␈↓ λ⎇␈ε	U␈↓ 	_␈εβ(␈↓ 	#␈ε	x␈↓ 	5␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ 
⊃␈ε	V␈↓ 
)␈εβ(␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α∞ex␈α␈ist,
␈β⊂Z␈↓ ↓T␈εε2␈↓ β∧␈εε3␈↓ β∨␈εε3␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬{␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε	u␈↓ α(␈εβ(␈↓ α3␈ε	x␈↓ αD␈εβ)␈αand␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈αha␈α␈v␈α␈e␈αno␈α
comm␈α␈on␈αp␈α␈rime␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs,␈αsin␈α␈ce␈αthe␈α␈y␈αare␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αan␈α␈d␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs␈αof␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈gree.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα695
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβBy␈απsu␈α␈ccessiv␈α}ely␈απfacto␈α␈ring␈απp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απt␈α␈hat␈απa␈α␈re␈απred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈απin␈α}to␈απpo␈α␈lyn␈α␈omials␈απof␈απsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈αwe␈αm␈α␈ust␈αobta␈α␈in␈αa␈α|n␈α␈i␈α↓te␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αof␈αan␈α}y␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
in␈α}to␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α␈s.␈α∞The
␈βαz␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αthe␈ε⊂␈αc␈α␈on␈α␈te␈α␈n␈α␈t␈εβ␈αi␈α↓s␈αu␈α␈niqu␈α␈e.␈αTo␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t␈αmost␈αon␈α␈e␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞primitiv␈α␈e␈α∞p␈α␈art,␈α∂the␈α∞k␈α}ey␈α∞resu␈α␈lt␈α∂is␈α∞to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∞if␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε	x␈↓ λ@␈εβ)␈α∂is␈α∞an␈α∞irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α∞facto␈α␈r
␈ββI␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ α↓␈εβ(␈↓ α␈ε	x␈↓ α≥␈εβ)␈↓ α)␈ε	w␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ),␈α
b␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αa␈αu␈α␈nit␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αirredu␈α␈cible␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ 	⊗␈ε	v␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	x␈↓ 	D␈εβ),␈α
th␈α␈en␈↓ 
2␈ε	u␈↓ 
F␈εβ(␈↓ 
Q␈ε	x␈↓ 
b␈εβ)␈αi␈α↓s␈αa
␈ββq␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α	of␈↓ αK␈ε	w␈↓ αd␈εβ(␈↓ αo␈ε	x␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α
This␈α	can␈α	b␈α␈e␈α	pro␈α␈v␈α}ed␈α	b␈α␈y␈α	ob␈α␈servin␈α␈g␈α	tha␈α␈t␈↓ πD␈ε	u␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈α
is␈α	a␈α	facto␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ 	F␈ε	v␈↓ 	W␈εβ(␈↓ 	b␈ε	x␈↓ 	t␈εβ)␈↓ 	␈␈ε	w␈↓ 
_␈εβ(␈↓ 
#␈ε	x␈↓ 
4␈εβ)␈↓ 
?␈ε	U␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β∧→␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αG␈ε	w␈↓ α←␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α|␈εβ)␈↓ βπ␈ε	u␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε	x␈↓ β8␈εβ)␈↓ βC␈ε	V␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βf␈ε	x␈↓ βw␈εβ)␈αby␈α
the␈αre␈α␈sult␈αof␈αex␈α}ercise␈α9,␈αwh␈α␈ere␈↓ πz␈ε	r␈↓ λ∀␈εβis␈αa␈αn␈α␈onz␈α␈ero␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t.
␈β∧Q␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβThe␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
ro␈α␈w␈α
nam␈α␈es␈α∞n␈α␈eed␈α␈ed␈α∞w␈α␈o␈α␈uld␈α
be␈↓ εP␈ε	A␈↓ εq␈εβ,␈↓ π	␈ε	A␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε	B␈↓ πc␈εβ,␈↓ π{␈ε	B␈↓ λ≠␈εβ,␈↓ λ2␈ε	B␈↓ λR␈εβ,␈↓ λj␈ε	B␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	"␈ε	B␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Z␈ε	C␈↓ 	|␈εβ,␈↓ 
∀␈ε	C␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
O␈ε	D␈↓ 
r␈εβ.␈α∀In
␈β∧\␈↓ εe␈εε1␈↓ π≡␈εε0␈↓ πV␈εε4␈↓ λ∞␈εε3␈↓ λF␈εε2␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	5␈εε0␈↓ 	p␈εε1␈↓ 
*␈εε0␈↓ 
f␈εε0
␈β∧y␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ral,␈α∞let␈↓ αx␈ε	u␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈ε	x␈↓ βY␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈;␈α∞then␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈ws␈α
n␈α␈eed␈α␈ed␈αfor␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈roof␈α
a␈α␈re␈↓ 	⊂␈ε	A␈↓ 
α␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ ↓␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈β¬β␈↓ β␈εj␈↓ β↔␈εε+2␈↓ 	%␈εn␈↓ 	@␈ε~␈␈↓ 	Z␈εn␈↓ ↔␈εε0
␈β¬␈↓ 	5␈επ2␈↓ 	i␈ε
j
␈β¬ ␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α6␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ β4␈ε	B␈↓ βT␈εβ,␈↓ βh␈ε	C␈↓ ∧Y␈εβthro␈α␈ug␈α␈h␈↓ ¬W␈ε	C␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε∞␈ε	D␈↓ π␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ π}␈ε	D␈↓ λ"␈εβ,␈αetc␈α␈.
␈β¬+␈↓ ↓[␈εn␈↓ ↓v␈ε~␈␈↓ α∂␈εn␈↓ βG␈εε0␈↓ β}␈εn␈↓ ∧→␈ε~␈␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬m␈εε0␈↓ ε%␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈↓ εZ␈εn␈↓ λ∃␈εε0
␈β¬3␈↓ ↓k␈επ1␈↓ α∨␈ε
j␈↓ ∧∞␈επ2␈↓ ∧C␈ε
j␈↓ ε5␈επ3␈↓ εi␈ε
j
␈β¬Y␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α,␈ε	n␈↓ αV␈εβ=␈α	0,␈αth␈α␈e␈α
tex␈α␈t'␈α↓s␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α
(␈α↓2␈α␈4)␈α
sho␈α}ws␈α
that␈α
th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α
is␈ε↔␈α
ε␈↓ ε␈ε	h␈↓ #␈εβ,
␈β¬b␈↓ ∧(␈ε↓Q
␈β¬c␈↓ α?␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈β¬y␈↓ ¬5␈ε∞␈↓ ¬m␈εε(␈↓ ¬u␈ε∞␈↓ ε␈ε~␈␈εε1)
␈β¬{␈↓ βS␈εn
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απthis␈αλequ␈α␈als␈ε↔␈αλε␈↓ βE␈ε	#␈↓ ∧⊃␈εβ/␈↓ ¬'␈ε	#␈↓ ε9␈εβ.␈α
I␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλa␈απf␈α↓a␈α␈ctor␈αλo␈α␈f␈α	p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βε↓␈↓ ¬?␈ε
j␈↓ ¬K␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬␈␈ε
j
␈βεβ␈↓ βc␈ε
k␈↓ βp␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βε⊂␈↓ βS␈εk
␈βε∩␈↓ ¬1␈εj
␈βε∪␈↓ ∧J␈εε1␈α␈<␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧{␈εε<␈↓ ¬∃␈εk
␈βε(␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈α
we␈α	can␈α	arti|␈α␈ciall␈α↓y␈α	ass␈α␈ume␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α	poly␈α␈no␈α␈mial␈α
zero␈α	ha␈α␈s␈α
de␈α␈gree␈α
z␈α␈ero␈α
a␈α␈nd␈α	use␈α	the
␈βεO␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈αform␈α}ula␈αwith␈↓ βb␈ε	#␈↓ ∧β␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βεZ␈↓ βm␈εk
␈βεx␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∩Th␈α␈e␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε	␈α∞R␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	u␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	v␈↓ ∧s␈εβ)␈α∂o␈α␈f␈α∞Sy␈α␈l␈α↓v␈α}ester's␈α∞de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α∞is␈α∞called␈α∞t␈α␈he␈ε⊂␈α∞resu␈α␈ltan␈α}t␈εβ␈α∂o␈α␈f␈↓ _␈ε	u
␈βπ≤␈↓ ¬∧␈εεdeg␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬2␈εu␈↓ ¬B␈εε)␈α↓(␈↓ ¬S␈εεdeg␈↓ ¬y␈εε(␈↓ ε↓␈εu␈↓ ε∩␈εε)␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ π~␈ε~␈␈εε1␈↓ λ_␈ε~0
␈βπ ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	v␈↓ α≤␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
the␈α
qu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧y␈εβ)␈↓ εa␈ε	#␈↓ εo␈εβ(␈↓ εz␈ε	u␈↓ π∞␈εβ)␈↓ π?␈ε	R␈εβ(␈↓ πb␈ε	u␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ∧␈ε	u␈↓ λ∨␈εβ)␈α
i␈α↓s␈α
called␈α
the␈ε⊂␈α
discrimin␈α␈an␈α}t
␈βπD␈↓ β↔␈ε~0
␈βπH␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓r␈ε	u␈↓ αε␈εβ,␈α⊂where␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β,␈εβi␈α↓s␈α∞the␈α∞deriv␈α␈ativ␈α␈e␈α∞of␈↓ ¬Y␈ε	u␈↓ ¬m␈εβ.␈α⊗I␈α↓f␈↓ ε1␈ε	u␈↓ εE␈εβ(␈↓ εQ␈ε	x␈↓ εb␈εβ)␈α∂=␈↓ π-␈ε	a␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε	x␈↓ πd␈ε↔␈␈↓ λ∂␈ε	␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λ>␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λj␈εβ(␈↓ λu␈ε	x␈↓ 	⊃␈ε↔␈␈↓ 	<␈ε	␈↓ 	d␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ 
C␈ε	v␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
q␈εβ)␈α∂=
␈βπR␈↓ λ!␈εε1␈↓ 	M␈εm
␈βπk␈↓ ε≥␈εn␈↓ λq␈εm␈↓ 	λ␈εn␈↓ 	&␈εm
␈βπo␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε	x␈↓ ↓v␈ε↔␈␈↓ α≤␈ε	␈␈↓ α9␈εβ)␈↓ αJ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε	x␈↓ β↔␈ε↔␈␈↓ β=␈ε	␈␈↓ β↑␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α␈e␈ε	␈αλR␈εβ␈α↓(␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	v␈↓ ¬N␈εβ)␈α	=␈↓ ε
␈ε	a␈↓ ε-␈ε	v␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εJ␈ε	␈↓ εh␈εβ)␈↓ εy␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π%␈ε	v␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	␈↓ πj␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λf␈εβ)␈↓ 	→␈ε	b␈↓ 	=␈ε	u␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	\␈ε	␈␈↓ 	z␈εβ)␈↓ 

␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
K␈εβ(␈↓ 
V␈ε	␈␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βπy␈↓ α∩␈ε↓Q
␈βπz␈↓ α-␈εε1␈↓ βN␈εn␈↓ ε[␈εε1␈↓ πS␈εm␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
f␈εn
␈βλ∪␈↓ ↓X␈εn␈↓ ↓v␈εm
␈βλ↔␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓h␈ε	b␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	␈↓ ∧#␈ε↔␈␈↓ ∧H␈ε	␈␈↓ ∧e␈εβ).␈α
I␈α↓t␈αλfollo␈α␈ws␈α	t␈α␈hat␈αλthe␈αλp␈α␈olyn␈α␈omials␈αλof␈α	d␈α␈egre␈α␈e␈↓ 	L␈ε	m␈↓ 	i␈ε	n␈↓ 
ε␈εβin␈↓ 
*␈ε	y␈↓ 
E␈εβd␈α␈e|n␈α␈ed
␈βλ!␈↓ ∧∀␈εi␈↓ ∧Y␈εj
␈βλ)␈↓ α4␈εε1␈ε~∀␈↓ αZ␈εi␈↓ αe␈ε~∀␈↓ α}␈εm␈↓ β∃␈εε,1␈ε~∀␈↓ βB␈εj␈↓ βN␈ε~∀␈↓ βg␈εn
␈βλ>␈↓ λ&␈εm
␈βλC␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α	th␈α␈e␈αλrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αλresulta␈α␈n␈α␈ts␈αλwi␈α↓th␈↓ ¬≤␈ε	v␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬J␈εβ)␈αλof␈↓ ε↓␈ε	u␈↓ ε∃␈εβ(␈↓ ε ␈ε	y␈↓ ε7␈ε↔␈␈↓ ε\␈ε	x␈↓ εn␈εβ),␈↓ π␈ε	u␈↓ π∨␈εβ(␈↓ π*␈ε	y␈↓ π@␈εβ+␈↓ πf␈ε	x␈↓ πw␈εβ),␈↓ λ∀␈ε	x␈↓ λ=␈ε	u␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	y␈↓ λo␈εβ/␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	⊃␈εβ),␈α	an␈α␈d␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	y␈↓ 
≡␈ε	x␈↓ 
/␈εβ)␈α	h␈α␈av␈α␈e␈αλa␈α␈s
␈βλj␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α	roo␈α␈ts␈α	th␈α␈e␈α	sum␈α␈s␈↓ ∧9␈ε	␈↓ ∧Z␈εβ+␈↓ ¬␈ε	␈␈↓ ¬≤␈εβ,␈α
d␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈↓ εP␈ε	␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π⊗␈ε	␈␈↓ π3␈εβ,␈α	pro␈α␈du␈α␈cts␈↓ λL␈ε	␈↓ λh␈ε	␈␈↓ 	¬␈εβ,␈α	an␈α␈d␈α	qu␈α␈otien␈α}ts␈↓ 
c␈ε	␈↓ 
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε	␈
␈βλu␈↓ ∧K␈εi␈↓ ¬⊂␈εj␈↓ εa␈εi␈↓ π'␈εj␈↓ λ]␈εi␈↓ λy␈εj␈↓ 
t␈εi␈↓  ␈εj
␈β	∂␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β&␈εα)
␈β	∩␈↓ ↓T␈εβwh␈α␈en␈↓ α)␈ε	v␈↓ α;␈εβ(0␈α␈)␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α	0␈↓ β2␈εβ.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α	i␈α↓d␈α␈ea␈α	ha␈α␈s␈α
b␈α␈een␈α	used␈α	b␈α␈y␈α
R␈α␈.␈α
G.␈α
K.␈α
Loos␈α	to␈α
c␈α␈onstr␈α␈uct␈α	algorith␈α␈ms␈α
fo␈α␈r
␈β	9␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αo␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈i␈α↓c␈α
n␈α␈um␈α}bers␈α[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α
J.␈αComp␈α␈ut␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈εβ␈α(␈ε⊂c␈εβ.␈α197␈α␈9),␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈β	b␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αreplac␈α␈e␈αeac␈α␈h␈αro␈α␈w␈↓ ∧[␈ε	A␈↓ ¬ε␈εβin␈αS␈α␈ylv␈α␈e␈α␈ster's␈αmatrix␈α
by
␈β	m␈↓ ∧p␈εi
␈β
6␈↓ ↓p␈εβ(␈↓ ↓{␈ε	b␈↓ α∪␈ε	A␈↓ α;␈εβ+␈↓ αc␈ε	b␈↓ α|␈ε	A␈↓ βI␈εβ+␈↓ βr␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧ ␈εβ+␈↓ ∧I␈ε	b␈↓ ¬:␈ε	A␈↓ ε⊂␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εV␈ε	a␈↓ εr␈ε	B␈↓ π_␈εβ+␈↓ π@␈ε	a␈↓ π]␈ε	B␈↓ λ(␈εβ+␈↓ λP␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈␈εβ+␈↓ 	'␈ε	a␈↓ 
≤␈ε	B␈↓ 
p␈εβ),
␈β
A␈↓ απ␈εε0␈↓ α)␈εi␈↓ αo␈εε1␈↓ β⊃␈εi␈↓ β≤␈εε+1␈↓ ∧U␈εn␈↓ ∧p␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬/␈εi␈↓ ¬O␈εn␈↓ ¬j␈ε~␈␈εε1␈↓ εf␈εε0␈↓ πε␈εi␈↓ πP␈εε1␈↓ πp␈εi␈↓ π{␈εε+1␈↓ 	7␈εn␈↓ 	R␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ 
⊃␈εi␈↓ 
/␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
I␈↓ ∧e␈επ2␈↓ ¬←␈επ2␈↓ 	G␈επ2␈↓ 
?␈επ2
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
d␈α␈el␈α↓e␈α␈te␈αro␈α␈ws␈↓ ∧↓␈ε	B␈↓ ∧`␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ ¬↑␈ε	B␈↓ ε	␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αla␈α␈st␈↓ πA␈ε	n␈↓ πl␈εβcolu␈α␈mns␈α␈,␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
an␈↓ 
=␈ε	n␈↓ 
d␈ε↔α␈↓ 
␈ε	n
␈β∀␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬q␈εε0␈↓ πT␈εε2␈↓ 
P␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β≤␈↓ ∧$␈επ2
␈β1␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈α
for␈α	th␈α␈e␈α
re␈α␈sultan␈α}t␈α
ins␈α␈tead␈α	o␈α␈f␈α
the␈α	o␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈α	(␈↓ πF␈ε	n␈↓ πj␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ1␈εβ)␈ε↔␈α¬α␈εβ␈αε(␈↓ λs␈ε	n␈↓ 	_␈εβ+␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	↑␈εβ)␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t.
␈β<␈↓ πY␈εε1␈↓ λ$␈εε2␈↓ 	ε␈εε1␈↓ 	Q␈εε2
␈βY␈↓ ↓H␈εβIn␈α
some␈αca␈α␈ses␈αthe␈αre␈α␈sultan␈α}t␈αcan␈αb␈α␈e␈αev␈α␈alua␈α␈ted␈αe}␈α␈cien␈α␈tly␈αb␈α␈y␈αme␈α␈ans␈αo␈α␈f␈αth␈α␈is␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t;
␈β↓␈↓ ↓H␈εβse␈α␈e␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α12␈εβ␈α
(196␈α␈9),␈α23↑␈α␈30,␈α30␈α␈2↑3␈α␈03.
␈β*␈↓ α␈εβJ.␈α∞T.␈α∞Sch␈α}wartz␈α∞h␈α␈as␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn␈α∞th␈α␈at␈α∞resu␈α␈ltan␈α}ts␈α∞and␈α
Stu␈α␈rm␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ces␈α∞for␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βM␈↓ ε\␈εε2
␈βN␈↓ ¬a␈εα(␈↓ εh␈εα)
␈βQ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
d␈α␈eg␈α␈ree␈↓ αX␈ε	n␈↓ αx␈εβcan␈αbe␈αev␈α␈alu␈α␈ated␈αwith␈↓ ¬I␈ε	O␈↓ ¬m␈ε	n␈↓ εα␈εβ(␈↓ ε
␈εβlog␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ)␈↓ π↓␈εβo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈s␈↓ λL␈ε	n␈↓ λk␈ε↔!␈α1␈εβ␈α↓.␈α≠[\Proba␈α␈bilisti␈α↓c
␈βy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfor␈αv␈α␈e␈α␈ri␈α↓|␈α␈catio␈α␈n␈αof␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αiden␈α}tities,"␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar.]
␈β
.␈↓ πv␈εα(␈↓ 	g␈εα)
␈β
1␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
sho␈α}w␈αby␈α
in␈α␈du␈α␈ction␈α
on␈↓ ¬Q␈ε	j␈↓ ¬j␈εβtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ λα␈ε	u␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε	x␈↓ λd␈εβ),␈↓ λ}␈ε	g␈↓ 	<␈εβ,␈↓ 	K␈ε	h␈↓ 	⎇␈εβare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced
␈β
<␈↓ λ∃␈εj␈↓ λ!␈εε+␈α↓1␈↓ 	
␈εj␈↓ 	↔␈εε+1␈↓ 	[␈εj
␈β
T␈↓ βJ␈εε1+␈↓ βp␈εp␈↓ ¬0␈εε2+␈↓ ¬V␈εp␈↓ ε(␈εp
␈β
V␈↓ β1␈εα(␈↓ ε`␈εα)
␈β
Y␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αby␈↓ β=␈ε	#␈↓ ∧␈ε	w␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	x␈↓ ∧B␈εβ)␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	x␈↓ ¬λ␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬"␈ε	#␈↓ ¬r␈ε	g␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε~␈ε	#␈↓ εD␈ε	h␈↓ εx␈εβfor␈↓ π-␈ε	j␈↓ πH␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈α
whe␈α␈re␈↓ λ|␈ε	p␈↓ 	$␈εβ=␈↓ 	P␈ε	n␈↓ 	x␈εβ+␈↓ 
"␈ε	n␈↓ 
J␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ ∧␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β
\␈↓ β⎇␈ε
j␈↓ ¬c␈ε
j␈↓ ε5␈ε
j
␈β
c␈↓ ∧`␈εj␈↓ ¬␈␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ 	␈εj␈↓ 	c␈εε1␈↓ 
5␈εε2␈↓ ↔␈εj
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ π\␈εα)
␈β∞␈↓ ↓T␈εβIn␈α
spite␈αof␈αth␈α␈is␈αgro␈α␈wth␈α␈,␈αth␈α␈e␈αbo␈α␈un␈α␈d␈α(26␈α␈)␈αremain␈α␈s␈αva␈α␈l␈α↓id␈α␈.
␈β∞5␈↓ 	r␈εk
␈β∞9␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	p␈↓ αc␈εβb␈α␈e␈α
a␈α	prime␈α
o␈α␈f␈α
the␈α	dom␈α␈ain,␈α
an␈α␈d␈α
let␈↓ εQ␈ε	j␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εn␈ε	k␈↓ π	␈εβb␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ 	a␈ε	p␈↓ 
¬␈ε↔∧␈↓ 
≠␈ε	v␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
n␈ε	#␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	v␈↓ _␈εβ),
␈β∞C␈↓ 
*␈εn
␈β∞\␈↓ ↓Y␈εj␈↓ βq␈εk␈↓ 
`␈εs␈↓ _␈εs
␈β∞`␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓j␈ε↔∧␈↓ α␈ε	v␈↓ αE␈εβ.␈αLet␈↓ β∃␈ε	P␈↓ β6␈εβ=␈↓ β`␈ε	p␈↓ β}␈εβ.␈αBy␈α
Algo␈α␈rithm␈α	R␈α
w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α	wri␈α↓te␈↓ πQ␈ε	q␈↓ π`␈εβ(␈↓ πk␈ε	x␈↓ π|␈εβ)␈α
=␈↓ λ;␈ε	a␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	P␈↓ 	≤␈ε	a␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	O␈εβ+␈↓ 	u␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
"␈εβ+␈↓ 
I␈ε	P␈↓ 
l␈ε	a␈↓ π␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β∞k␈↓ α∂␈εn␈↓ α∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λK␈εε0␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
{␈εs
␈β∂∧␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ∩␈εε+1␈↓ λ\␈εn␈↓ 	O␈εn␈↓ 	`␈ε~␈␈εε1
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α&␈ε	s␈↓ α=␈εβ=␈↓ αh␈ε	m␈↓ β
␈ε↔␈␈↓ β0␈ε	n␈↓ βN␈ε↔∃␈εβ␈α	2.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈α
u␈α␈s␈α
lo␈α␈ok␈α	at␈α	th␈α␈e␈α	coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α	of␈↓ πp␈ε	x␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λJ␈ε	x␈↓ λl␈εβ,␈α
an␈α␈d␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 
∂␈εβin␈↓ 
4␈ε	v␈↓ 
E␈εβ(␈↓ 
P␈ε	x␈↓ 
b␈εβ)␈↓ 
m␈ε	q␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β∂,␈↓ βT␈εε2
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ α<␈ε	P␈↓ αS␈ε	a␈↓ αo␈ε	v␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β=␈ε	P␈↓ βa␈ε	a␈↓ β⎇␈ε	v␈↓ ∧H␈εβ+␈↓ ∧p␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈ε	a␈↓ ¬L␈ε	v␈↓ ¬r␈εβ+␈↓ ε~␈ε	P␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εM␈ε	v␈↓ π→␈εβ+␈↓ π@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πm␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ λA␈ε	a␈↓ λ]␈ε	v␈↓ 	(␈εβ+␈↓ 	P␈ε	P␈↓ 	h␈ε	a␈↓ 
∧␈ε	v␈↓ 
O␈εβ+␈↓ 
w␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ #␈εβ,
␈β∂:␈↓ αc␈εε1␈↓ α}␈εn␈↓ βp␈εε2␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≤␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬@␈εε0␈↓ ¬[␈εn␈↓ εA␈εε1␈↓ ε\␈εn␈↓ εl␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λP␈εε0␈↓ λl␈εn␈↓ λ|␈ε~␈␈εε1␈↓ 	w␈εε1␈↓ 
∩␈εn␈↓ 
#␈ε~␈␈εε2
␈β∂S␈↓ ¬α␈εε3␈↓ λy␈εj
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈απof␈αλwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλis␈αλa␈απm␈α␈ultiple␈αλo␈α␈f␈↓ ∧j␈ε	P␈↓ ¬∂␈εβ.␈α
We␈αλco␈α␈nclu␈α␈de␈απf␈α↓ro␈α␈m␈αλth␈α␈e␈αλ|␈α␈rst␈αλtha␈α␈t␈↓ λh␈ε	p␈↓ 	λ␈ε↔∧␈↓ 	≤␈ε	a␈↓ 	8␈εβ,␈α	fro␈α␈m␈αλthe␈απseco␈α␈nd
␈β∂b␈↓ 	+␈εε1
␈β∂{␈↓ α≡␈εεmin␈↓ αH␈εε(␈↓ αQ␈εk␈↓ α↑␈εε,2␈↓ αq␈εj␈↓ α⎇␈εε)
␈β∂|␈↓ λs␈εα(
␈β∂␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α
␈ε	p␈↓ β
␈ε↔∧␈↓ β∨␈ε	a␈↓ β;␈εβ,␈α	the␈α␈n␈αλf␈α↓r␈α␈om␈αλthe␈αλthird␈αλth␈α␈at␈↓ ε1␈ε	P␈↓ εL␈ε↔∧␈↓ εa␈ε	a␈↓ ε⎇␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈↓ πp␈ε	P␈↓ λ␈ε↔∧␈↓ λ!␈ε	r␈↓ λ/␈εβ(␈↓ λ:␈ε	x␈↓ λL␈εβ).␈↓ λ␈␈εβIf␈↓ 	≡␈ε	m␈↓ 	C␈εβw␈α␈ere␈α	o␈α␈nly␈↓ 
U␈ε	n␈↓ 
m␈εβ+␈α¬1␈α␈,
␈β⊂	␈↓ β.␈εε0␈↓ εq␈εε0
␈β⊂"␈↓ ε∂␈ε~d␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈εε/2␈ε~e␈↓ 
W␈εε3
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αb␈α␈est␈αw␈α␈e␈α
cou␈α␈ld␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	p␈↓ εT␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ πE␈ε	r␈↓ πS␈εβ(␈↓ π↑␈ε	x␈↓ πp␈εβ);␈αe.g.,␈αco␈α␈nside␈α␈r␈↓ 	V␈ε	u␈↓ 	j␈εβ(␈↓ 	u␈ε	x␈↓ 
π␈εβ)␈α	=␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
j␈εβ+␈αλ1␈α␈,
␈β⊂J␈↓ αV␈εε2
␈β⊂N␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α
=␈α	4␈↓ αE␈ε	x␈↓ αf␈εβ+␈α∧2␈↓ β≠␈ε	x␈↓ β0␈εβ+␈αβ1,␈↓ βw␈ε	r␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊂␈ε	x␈↓ ∧"␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈8.␈α
On␈αλth␈α␈e␈αλo␈α␈ther␈αλh␈α␈an␈α␈d,␈α	a␈α␈n␈αλa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈απbase␈α␈d␈αλo␈α␈n␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈α␈s
␈β⊂r␈↓ λ!␈εεde␈α↓g␈↓ λG␈εε(␈↓ λP␈εv␈↓ λ↑␈εε)␈ε~␈␈↓ λ␈␈εεde␈α↓g␈↓ 	%␈εε(␈↓ 	.␈εr␈↓ 	:␈εε)␈ε~␈␈εε1
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αmatrices␈α
l␈α↓ik␈α␈e␈α
(21)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓2␈α␈2)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d␈αto␈α
sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ πo␈ε	#␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	r␈↓ λ⊗␈εβ)␈↓ 	h␈ε	r␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	x␈↓ 
∪␈εβ)␈αis␈αalway␈α␈s
␈β⊃→␈↓ βB␈εε(␈↓ βJ␈εεde␈α↓g␈↓ βp␈εε(␈↓ βy␈εu␈↓ ∧	␈εε)␈ε~␈␈↓ ∧+␈εεdeg␈↓ ∧P␈εε(␈↓ ∧Y␈εv␈↓ ∧g␈εε))␈α↓(␈↓ ¬␈εεdeg␈↓ ¬&␈εε(␈↓ ¬.␈εv␈↓ ¬=␈εε)␈ε~␈␈↓ ¬↑␈εεde␈α↓g␈↓ ε∧␈εε(␈↓ ε
␈εr␈↓ ε→␈εε)␈ε~␈␈εε1)
␈β⊃~␈↓ εY␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ β
␈ε	#␈↓ β~␈εβ(␈↓ β&␈ε	v␈↓ β7␈εβ)␈↓ εO␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα696␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	c␈↓ αx␈εβ=␈↓ β$␈ε	a␈↓ βK␈ε	a␈↓ β{␈εβ+␈↓ ∧$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧S␈εβ+␈↓ ∧|␈ε	a␈↓ ¬'␈ε	a␈↓ ¬S␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ λ"␈ε	c␈↓ λO␈εβ>␈α0␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ 	|␈ε	i␈↓ 
λ␈εβ.␈α∂If␈↓ 
B␈ε	c␈↓ 
p␈ε↔≤␈εβ␈α0
␈βα5␈↓ αV␈εi␈↓ αa␈εj␈↓ β3␈εi␈↓ β>␈εε1␈↓ βZ␈εj␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬␈εi␈↓ ¬↔␈εn␈↓ ¬6␈εj␈↓ ¬C␈εn␈↓ λ.␈εi␈↓ λ9␈εi␈↓ 
N␈εi␈↓ 
Y␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αsome␈↓ αN␈ε	i␈↓ αd␈ε↔≤␈↓ β∂␈ε	j␈↓ β≡␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αrep␈α␈lace␈αr␈α␈o␈α␈w␈↓ ¬P␈ε	i␈↓ ¬h␈εβb␈α␈y␈α(␈↓ ε#␈ε	a␈↓ εQ␈ε↔␈␈↓ εy␈ε	c␈↓ πε␈ε	a␈↓ π/␈εβ,␈↓ π=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πj␈εβ,␈↓ πy␈ε	a␈↓ λ*␈ε↔␈␈↓ λS␈ε	c␈↓ λ`␈ε	a␈↓ 	␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓ 
␈ε	c␈↓ 
!␈εβ=␈↓ 
L␈ε	c␈↓ 
n␈εβ/␈↓ 
␈␈ε	c␈↓ #␈εβ;
␈βα\␈↓ ε2␈εi␈↓ ε=␈εε1␈↓ π⊗␈εj␈↓ π"␈εε1␈↓ λλ␈εi␈↓ λ∪␈εn␈↓ λo␈εj␈↓ λ{␈εn␈↓ 
X␈εi␈↓ 
b␈εj␈↓ ␈εj␈↓ ↔␈εj
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
doe␈α␈s␈α
not␈α
c␈α␈han␈α␈ge␈α
th␈α␈e␈α
va␈α␈lue␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t,␈α∞a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈α
d␈α␈ecrea␈α␈ses␈α
the␈αvalu␈α␈e␈α
of␈α
the
␈ββ≥␈↓ λ4␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβu␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α	w␈α␈e␈α
wish␈α	to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ¬]␈ε	c␈↓ ελ␈εβi␈α↓s␈α	replac␈α␈ed␈α	by␈↓ πY␈ε	c␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ'␈ε	c␈↓ λK␈εβ/␈↓ λ[␈ε	c␈↓ λ}␈εβ.␈αTh␈α␈ese␈α
re␈α␈place␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈ββ,␈↓ ¬i␈εi␈↓ ¬t␈εi␈↓ πe␈εi␈↓ πp␈εi␈↓ λg␈εi␈↓ λr␈εj
␈ββ0␈↓ λ4␈εi␈↓ λ?␈εj
␈ββI␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αbe␈αdon␈α␈e␈α
in␈αa␈α
sy␈α␈stema␈α␈tic␈α
way␈αfor␈α
in␈α␈creas␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ π
␈ε	i␈↓ π&␈εβan␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈↓ λ≡␈ε	j␈↓ λ9␈εβ<␈↓ λg␈ε	i␈↓ λs␈εβ,␈α∞u␈α␈n␈α␈til␈↓ 	Z␈ε	c␈↓ 
	␈εβ=␈α0␈α
for␈αall
␈ββS␈↓ 	f␈εi␈↓ 	q␈εj
␈ββm␈↓ α3␈εα(
␈ββp␈↓ ↓H␈ε	i␈↓ ↓↑␈ε↔≤␈↓ αλ␈ε	j␈↓ α↔␈εβ.␈↓ α?␈εβThe␈αλl␈α↓a␈α␈tter␈αλalgorith␈α␈m␈α	is␈α	c␈α␈all␈α↓e␈α␈d␈αλ\Sc␈α␈hmid␈α␈t'␈α↓s␈αλorth␈α␈ogo␈α␈na␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλpro␈α␈cess";␈α	see␈ε⊂␈αλMath␈α␈.
␈β∧∀␈↓ ¬h␈εε2␈↓ π∂␈εT
␈β∧∃␈↓ ∧ ␈εα)
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈na␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈ε∪␈α63␈εβ␈α
(190␈α␈7),␈α4␈α␈42␈α␈.␈↓ ∧7␈εβTh␈α␈en␈↓ ¬∞␈εβd␈α␈et␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	A␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ¬}␈εβ=␈↓ ε)␈εβd␈α␈et␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε	A␈↓ εx␈ε	A␈↓ π!␈εβ)␈α	=␈↓ π`␈ε	c␈↓ λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ7␈ε	c␈↓ λd␈εβ.
␈β∧"␈↓ πl␈εε1␈α␈1␈↓ λC␈εn␈↓ λS␈εn
␈β∧G␈↓ ¬{␈εm
␈β∧K␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	f␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	x␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε	x␈↓ βj␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε	g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧u␈εβ,␈↓ ¬∧␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬0␈εβ,␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬←␈εβ)␈↓ ¬j␈ε	x␈↓ ε~␈εβ+␈↓ εC␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εq␈εβ+␈↓ π~␈ε	g␈↓ π4␈εβ(␈↓ π?␈ε	x␈↓ π[␈εβ,␈↓ πj␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ⊗␈εβ,␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λE␈εβ),␈αand␈α
l␈α↓et␈↓ 	V␈ε	g␈↓ 	f␈εβ(␈↓ 	q␈ε	x␈↓ 

␈εβ,␈↓ 
≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
H␈εβ,␈↓ 
W␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈β∧V␈↓ αt␈εε1␈↓ βZ␈εn␈↓ ∧7␈εm␈↓ ∧h␈εε2␈↓ ¬O␈εn␈↓ π'␈εε0␈↓ πN␈εε2␈↓ λ4␈εn␈↓ 
␈εε2␈↓ 
f␈εn
␈β∧Z␈↓ ¬{␈εε1
␈β∧o␈↓ βλ␈εε2␈↓ ¬P␈εε2
␈β∧s␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈ε	x␈↓ α∪␈εβ,␈↓ α"␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αN␈εβ,␈↓ α]␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈↓ β≤␈εβ+␈↓ βD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βr␈εβ+␈↓ ∧~␈ε	g␈↓ ∧4␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ;␈αth␈α␈e␈αlatt␈α␈er␈αis␈αno␈α␈t␈αiden␈α}tically␈αze␈α␈ro.␈αW␈α↓e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
[␈ε	a␈↓ ␈ε↔∀
␈β∧⎇␈↓ ↓U␈εm␈↓ αε␈εε2␈↓ αl␈εn␈↓ ∧'␈εε0␈↓ ∧N␈εε2␈↓ ¬4␈εn␈↓ 
j␈εN
␈β¬⊗␈↓ αe␈εn␈↓ αv␈ε~␈␈εε1
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ(2␈↓ α↓␈ε	N␈↓ α$␈εβ+␈α∧1␈↓ αZ␈εβ)␈↓ β ␈εβ+␈α∧(2␈↓ βa␈ε	N␈↓ ∧∧␈εβ+␈α¬1␈α␈)␈↓ ∧F␈ε	b␈↓ ∧i␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ¬Z␈ε	b␈↓ εε␈εβcou␈α␈n␈α␈ts␈α	th␈α␈e␈α	in␈α}teger␈αλsolution␈α␈s␈α	o␈α␈f␈↓ 	<␈ε	g␈↓ 	L␈εβ(␈↓ 	W␈ε	x␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
α␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
=␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈α	=␈α
0
␈β¬%␈↓ ∧R␈εN␈↓ ¬f␈εN␈↓ 	g␈εε2␈↓ 
M␈εn
␈β¬>␈↓ π}␈εn␈↓ 
m␈εn␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβwith␈α¬va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α¬bou␈α␈nd␈α␈ed␈α¬by␈↓ ∧B␈ε	N␈↓ ∧a␈εβ.␈α	Hence␈↓ ¬P␈εβli␈α↓m␈↓ εN␈ε	a␈↓ εu␈εβ/(2␈↓ π"␈ε	N␈↓ πA␈εβ+␈α↓1␈↓ πs␈εβ)␈↓ λ_␈εβ=␈↓ λB␈εβl␈α↓im␈↓ 	@␈ε	b␈↓ 	d␈εβ/(2␈↓ 
⊃␈ε	N␈↓ 
0␈εβ+1␈↓ 
b␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β¬M␈↓ ¬}␈εN␈↓ ε⊗␈ε~!1␈↓ ε↑␈εN␈↓ λq␈εN␈↓ 	λ␈ε~!␈α↓1␈↓ 	L␈εN
␈β¬j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αis␈αzero␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈βε≥␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃For␈α⊃c␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈i␈α↓e␈α␈nce,␈α∩let␈α⊃us␈α⊃d␈α␈escrib␈α␈e␈α⊃th␈α␈e␈α⊃algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	"␈ε	A␈↓ 	K␈εβ=␈ε↔␈α∀f␈↓ 
⊂␈ε	a␈↓ 
!␈εβ,␈↓ 
/␈ε	b␈↓ 
=␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α≥The
␈βεE␈↓ ↓H␈εβh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses␈απi␈α↓m␈α␈ply␈απtha␈α␈t␈↓ ∧
␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	Q␈↓ ∧l␈ε	U␈↓ ¬λ␈εβ)␈α	=␈↓ ¬G␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬y␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	Q␈↓ ε&␈ε	V␈↓ ε>␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	0,␈αλan␈α␈d␈↓ π\␈εβdeg␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ→␈ε	Q␈↓ λ<␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ λ{␈εβde␈α␈g␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	Q␈↓ 	[␈εβ).␈α
If␈↓ 
↔␈εβd␈α␈eg␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	Q␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βεO␈↓ ∧`␈εε1␈↓ ε~␈εε2␈↓ λ0␈εε1␈↓ 	N␈εε2␈↓ 
j␈εε1
␈βεl␈↓ ↓H␈εβ0␈α␈,␈α
th␈α␈en␈↓ α;␈ε	Q␈↓ αj␈εβis␈αjust␈αa␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αr␈α␈ation␈α␈al␈α
n␈α}um␈α}ber,␈αso␈αw␈α␈e␈αset␈↓ πz␈ε	Q␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λI␈ε	Q␈↓ λl␈εβ/␈↓ λ⎇␈ε	Q␈↓ 	 ␈εβ.␈α∞Oth␈α␈erwise␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βεw␈↓ αQ␈εε1␈↓ λ`␈εε2␈↓ 	∪␈εε1
␈βπ∀␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α∨␈ε	a␈↓ α0␈ε	Q␈↓ αg␈εβ+␈↓ β∂␈ε	b␈↓ β≥␈ε	Q␈↓ βT␈εβ+␈↓ β⎇␈ε	r␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧*␈ε	Q␈↓ ∧V␈εβ=␈↓ ¬↓␈ε	a␈↓ ¬∩␈ε	Q␈↓ ¬I␈εβ+␈↓ ¬r␈ε	b␈↓ ¬␈␈ε	Q␈↓ ε6␈εβ+␈↓ ε←␈ε	r␈↓ εw␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πl␈ε	r␈↓ λ⊂␈εβan␈α␈d␈↓ λQ␈ε	r␈↓ λu␈εβare␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers;
␈βπ∨␈↓ ↓↑␈εε1␈↓ αF␈εε1␈α␈1␈↓ β3␈εε1␈α␈2␈↓ ∧λ␈εε1␈↓ ∧@␈εε2␈↓ ¬(␈εε2␈α␈1␈↓ ε∃␈εε22␈↓ εk␈εε2␈↓ πx␈εε1␈↓ λ]␈εε2
␈βπ<␈↓ ↓H␈εβit␈αfollo␈α␈ws␈αth␈α␈at
␈βλ␈↓ αf␈ε	Q␈↓ β	␈ε	U␈↓ β+␈ε↔␈␈↓ βT␈ε	Q␈↓ βw␈ε	V␈↓ ∧_␈εβ=␈↓ ∧C␈ε	a␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	Q␈↓ ¬∞␈ε	U␈↓ ¬0␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈ε	Q␈↓ ελ␈ε	V␈↓ ε ␈εβ)␈απ+␈↓ ε[␈ε	b␈↓ εh␈εβ(␈↓ εt␈ε	Q␈↓ π#␈ε	U␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πn␈ε	Q␈↓ λ≡␈ε	V␈↓ λ5␈εβ)␈αλ+␈↓ λq␈ε	r␈↓ 		␈ε	U␈↓ 	,␈ε↔␈␈↓ 	T␈ε	r␈↓ 	m␈ε	V␈↓ 
¬␈εβ.
␈βλ⊗␈↓ α|␈εε1␈↓ βj␈εε2␈↓ ∧t␈εε11␈↓ ¬o␈εε21␈↓ π
␈εε1␈α␈2␈↓ λ∧␈εε22␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	`␈εε2
␈βλ\␈↓ ↓H␈εβWe␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈↓ β}␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	Q␈↓ ∧j␈εβ)␈α
=␈↓ ¬)␈εβdeg␈↓ ¬[␈εβ(␈↓ ¬f␈ε	Q␈↓ ε	␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α	or␈↓ π∧␈εβd␈α␈eg␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	Q␈↓ πp␈εβ)␈α
=␈↓ λ/␈εβdeg␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	Q␈↓ 	∂␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α␈.␈αIn␈α
th␈α␈e␈α
forme␈α␈r
␈βλf␈↓ ∧Q␈εε11␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ πW␈εε12␈↓ 	β␈εε1
␈β	β␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase,␈↓ α↔␈εβde␈α␈g␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	Q␈↓ β∧␈ε	U␈↓ β&␈ε↔␈␈↓ βN␈ε	Q␈↓ β}␈ε	V␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	<␈↓ ∧T␈εβdeg␈↓ ¬ε␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	Q␈↓ ¬A␈ε	U␈↓ ¬\␈εβ),␈αby␈α
con␈α␈si␈α↓d␈α␈ering␈α
the␈α
terms␈αo␈α␈f␈αhigh␈α␈est␈αd␈α␈egree␈α
tha␈α␈t
␈β	∞␈↓ αj␈εε11␈↓ βe␈εε2␈α␈1␈↓ ¬(␈εε1␈α␈1
␈β	+␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rt␈αwith␈↓ αc␈ε	a␈↓ αs␈εβ;␈αso␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αr␈α␈eplac␈α␈e␈α(␈↓ ¬'␈ε	Q␈↓ ¬J␈εβ,␈↓ ¬Y␈ε	Q␈↓ ¬|␈εβ)␈αby␈α
(␈↓ εM␈ε	Q␈↓ ε⎇␈εβ,␈↓ π␈ε	Q␈↓ π;␈εβ)␈αan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈β	6␈↓ ¬>␈εε1␈↓ ¬o␈εε2␈↓ εc␈εε12␈↓ π"␈εε2␈α␈2
␈β	S␈↓ α␈εβ(b)␈αWe␈αma␈α␈y␈αass␈α␈ume␈αth␈α␈at␈↓ ¬␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬2␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	U␈↓ ¬X␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ ε↔␈εβd␈α␈eg␈↓ εI␈εβ(␈↓ εT␈ε	V␈↓ εl␈εβ).␈αIf␈↓ π,␈εβdeg␈↓ π↑␈εβ(␈ε	R␈εβ␈α↓)␈ε↔␈α	∃␈↓ λ?␈εβdeg␈↓ λq␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε	V␈↓ 	∀␈εβ),␈αn␈α␈ote␈αth␈α␈at␈↓ 
F␈ε	Q␈↓ 
i␈ε	U␈↓ ␈ε↔␈
␈β	]␈↓ 
\␈εε1
␈β	z␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓j␈ε	V␈↓ α␈εβ=␈↓ α6␈ε	Q␈↓ αY␈ε	R␈ε↔␈απ␈␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	Q␈↓ βU␈ε↔␈␈↓ β⎇␈ε	Q␈↓ ∧ ␈ε	Q␈↓ ∧8␈εβ)␈↓ ∧C␈ε	V␈↓ ∧f␈εβh␈α␈as␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αless␈αth␈α␈an␈↓ π∩␈εβde␈α␈g␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε	V␈↓ πg␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ λ&␈εβd␈α␈eg␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε	Q␈↓ 	ε␈ε	R␈εβ),␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
rep␈α␈ea␈α␈t
␈β
¬␈↓ ↓↑␈εε2␈↓ αL␈εε1␈↓ βA␈εε2␈↓ ∧∪␈εε1␈↓ λy␈εε1
␈β
≡␈↓ π↑␈ε~0␈↓ λG␈ε~0␈↓ 
)␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈β
"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
pro␈α␈cess␈α
wi␈α↓th␈↓ βG␈ε	U␈↓ βo␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
b␈α␈y␈ε	␈α
R␈εβ;␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈ε	␈αR␈εβ␈α∞=␈↓ πF␈ε	Q␈↓ πd␈ε	V␈↓ λ¬␈εβ+␈↓ λ/␈ε	R␈↓ λM␈εβ,␈↓ λd␈ε	U␈↓ 	␈εβ=␈α∞(␈↓ 	F␈ε	Q␈↓ 	g␈εβ+␈↓ 
⊃␈ε	Q␈↓ 
0␈εβ)␈↓ 
;␈ε	V␈↓ 
\␈εβ+␈↓ ε␈ε	R␈↓ #␈εβ,
␈β
F␈↓ α|␈ε~0
␈β
J␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈εβd␈α␈eg␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	R␈↓ βα␈εβ)␈α
<␈↓ βA␈εβdeg␈↓ βs␈εβ(␈ε	R␈εβ),␈αso␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α
a␈αsolutio␈α␈n␈αwil␈α↓l␈αb␈α␈e␈αob␈α␈tained␈α␈.
␈β
q␈↓ α␈εβ(c)␈αTh␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αo␈α␈f␈α(b)␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}es␈↓ ¬D␈ε	V␈↓ ¬l␈εβ=␈↓ ε↔␈ε	U␈↓ ε2␈ε	V␈↓ εX␈εβ+␈ε	␈αλR␈εβ,␈↓ π,␈εβd␈α␈eg␈↓ π↑␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α	<␈↓ λ?␈εβd␈α␈eg␈↓ λq␈εβ(␈↓ λ|␈ε	V␈↓ 	≠␈εβ);␈αby␈α
ho␈α␈mog␈α␈ene␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β
|␈↓ ¬V␈εε1␈↓ εD␈εε2␈↓ 	∞␈εε2
␈β→␈↓ ↓H␈ε	R␈εβ␈α	=␈α
0␈α
an␈α␈d␈↓ αo␈ε	U␈↓ β∃␈εβi␈α↓s␈αh␈α␈omo␈α␈gen␈α␈eou␈α␈s.
␈βA␈↓ α␈εβ(d)␈αWe␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssume␈αth␈α␈at␈↓ ¬↓␈εβdeg␈↓ ¬3␈εβ(␈↓ ¬>␈ε	V␈↓ ¬V␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ε⊗␈εβd␈α␈eg␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	U␈↓ εn␈εβ).␈αIf␈↓ π0␈εβd␈α␈eg␈↓ πb␈εβ(␈↓ πm␈ε	V␈↓ λ¬␈εβ)␈α
=␈α	0,␈αset␈↓ 	≡␈ε	W␈↓ 	I␈ε↔ ␈↓ 	t␈ε	U␈↓ 
∂␈εβ;␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈βi␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈α(␈α↓c␈α␈)␈α
to␈α|n␈α␈d␈↓ β"␈ε	U␈↓ βI␈εβ=␈↓ βv␈ε	Q␈↓ ∧∞␈ε	V␈↓ ∧&␈εβ,␈α
so␈αtha␈α␈t␈↓ ¬0␈ε	Q␈↓ ¬H␈ε	V␈↓ ¬`␈ε	V␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε0␈ε	V␈↓ εH␈ε	Q␈↓ ε`␈ε	V␈↓ εx␈εβ,␈α
(␈↓ π→␈ε	Q␈↓ π1␈ε	V␈↓ πQ␈ε↔␈␈↓ π{␈ε	V␈↓ λ∪␈ε	Q␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λ6␈ε	V␈↓ λY␈εβ=␈α0.␈α⊂Th␈α␈i␈α↓s␈αimplies␈αtha␈α␈t
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓`␈ε	V␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α+␈ε	V␈↓ αC␈ε	Q␈↓ α[␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
set␈↓ ∧:␈ε	U␈↓ ∧←␈ε↔ ␈↓ ¬	␈ε	V␈↓ ¬!␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	V␈↓ ¬V␈ε↔ ␈↓ ε↓␈ε	Q␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈β8␈↓ α␈εβFor␈α⊃furth␈α␈er␈α⊃de␈α␈tails␈α∩a␈α␈bo␈α␈ut␈α⊃the␈α⊃su␈α␈bje␈α␈ct␈α⊃of␈α⊃this␈α⊃ex␈α␈e␈α␈rcise,␈α∪see␈α⊃P.␈α∩M␈α␈.␈α∩Co␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈α∪P␈α↓ro␈α␈c.
␈β`␈↓ ↓H␈ε⊂Ca␈α␈m␈α␈br␈α␈i␈α↓d␈α␈ge␈α∂Phil.␈α∂Soc␈α␈.␈ε∪␈α⊂5␈α␈7␈εβ␈α∂(196␈α␈1),␈α⊂18↑␈α␈30.␈α↔The␈α∞con␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈α∂mo␈α␈re␈α∂di}c␈α␈ult␈α∂pro␈α␈blem␈α∂o␈α␈f
␈β
π␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hara␈α␈cterizin␈α␈g␈ε⊂␈α
all␈εβ␈α
string␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
such␈αtha␈α␈t␈↓ πβ␈ε	U␈↓ π≡␈ε	V␈↓ πB␈εβ=␈↓ πp␈ε	V␈↓ λλ␈ε	U␈↓ λ0␈εβha␈α␈s␈α
be␈α␈en␈α
so␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈αby␈αG.␈α∞M␈α␈.
␈β
/␈↓ ↓H␈εβBerg␈α␈man␈α
[P␈α↓h␈α␈.␈α↓D␈α␈.␈αth␈α␈esis,␈αHa␈α␈rva␈α␈rd␈αUn␈α␈i␈α↓v␈α}ersity,␈α19␈α␈67].
␈β
b␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[P␈α↓.␈αM.␈αCo␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈αTra␈α␈nsac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αAme␈α␈r.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α10␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈63),␈α332␈α␈↑3␈α␈56.]
␈β∞∩␈↓ π/␈ε~0␈↓ λ←␈ε~0␈↓ 	Q␈ε~0␈↓ 
u␈ε~0
␈β∞⊗␈↓ ↓M␈ε∪C1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αC␈ε	u␈↓ αl␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	U␈↓ β9␈εβ,␈↓ βL␈ε	u␈↓ βu␈ε↔ ␈↓ ∧∨␈ε	U␈↓ ∧A␈εβ,␈↓ ∧T␈ε	v␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬#␈ε	V␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬U␈ε	v␈↓ ¬z␈ε↔ ␈↓ ε$␈ε	V␈↓ εC␈εβ,␈↓ εV␈ε	z␈↓ εw␈ε↔ ␈↓ π"␈ε	z␈↓ πE␈ε↔ ␈↓ πp␈ε	w␈↓ λ≤␈ε↔ ␈↓ λF␈ε	w␈↓ λu␈ε↔ ␈εβ␈α	1,␈↓ 	C␈ε	z␈↓ 	f␈ε↔ ␈↓ 
⊃␈ε	z␈↓ 
2␈ε↔ ␈↓ 
]␈ε	w␈↓ ␈ε↔ 
␈β∞!␈↓ αW␈εε1␈↓ β,␈εε1␈↓ β←␈εε2␈↓ ∧5␈εε2␈↓ ∧c␈εε1␈↓ ¬6␈εε1␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ε7␈εε2␈↓ εa␈εε1␈↓ λε␈εε1␈↓ 
≤␈εε2
␈β∞%␈↓ π/␈εε2␈↓ λ←␈εε2␈↓ 	Q␈εε1␈↓ 
u␈εε1
␈β∞>␈↓ α␈ε	w␈↓ α8␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β%␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β∞H␈↓ α"␈εε2
␈β∞q␈↓ ↓M␈ε∪C2.␈↓ α␈εβ(At␈α	t␈α␈his␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈αλth␈α␈e␈αλi␈α↓d␈α␈en␈α␈tities␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλi␈α↓n␈απthe␈αλex␈α}ercise␈αλho␈α␈l␈α↓d␈α␈,␈α	and␈απalso␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	0␈ε	v␈↓ 	U␈εβ=␈↓ 	␈␈ε	u␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
:␈εβ;␈↓ 
M␈ε	v␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈β∞|␈↓ 	#␈εε1␈↓ 	?␈εε1␈↓ 
∩␈εε1␈↓ 
.␈εε2␈↓ 
[␈εε2
␈β∂→␈↓ α␈εβif␈α
and␈α	on␈α␈l␈α↓y␈α	if␈↓ βR␈ε	u␈↓ β{␈εβ=␈α	0.)␈α↔If␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ=␈α	0,␈α
the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α	termina␈α␈tes␈α
with␈α
gc␈α␈rd(␈↓ 	|␈ε	V␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
*␈ε	V␈↓ 
I␈εβ)␈α	=␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β∂#␈↓ βe␈εε1␈↓ ¬⊂␈εε2␈↓ 
∞␈εε1␈↓ 
<␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β∂<␈↓ βo␈ε~0␈↓ ∧}␈ε~0
␈β∂@␈↓ α␈εβlclm(␈↓ αT␈ε	V␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε	V␈↓ β!␈εβ)␈α
=␈↓ βa␈ε	z␈↓ β{␈ε	V␈↓ ∧$␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧q␈ε	z␈↓ ¬␈ε	V␈↓ ¬*␈εβ.␈α~(Also,␈αb␈α␈y␈αsym␈α␈metry␈α␈,␈αgc␈α␈l␈α↓d␈α␈(␈↓ λI␈ε	U␈↓ λk␈εβ,␈↓ λz␈ε	U␈↓ 	≤␈εβ)␈α
=␈↓ 	\␈εβlclm␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	U␈↓ 
F␈εβ,␈↓ 
T␈ε	U␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈β∂K␈↓ αg␈εε1␈↓ β∃␈εε2␈↓ ∧∞␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 
9␈εε1␈↓ 
j␈εε2
␈β∂O␈↓ βo␈εε1␈↓ ∧}␈εε2
␈β∂h␈↓ α␈ε	U␈↓ α.␈ε	w␈↓ αZ␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ β&␈ε	U␈↓ βH␈ε	w␈↓ βj␈εβ.␈α↓)
␈β∂r␈↓ α!␈εε1␈↓ αD␈εε1␈↓ β;␈εε2␈↓ β↑␈εε2
␈β⊂_␈↓ 
≥␈εα(
␈β⊂≠␈↓ ↓M␈ε∪C3.␈↓ α␈εβFind␈↓ α`␈ε	Q␈↓ βλ␈εβa␈α␈nd␈ε	␈α∂R␈εβ␈α∂such␈α∂th␈α␈at␈↓ ¬⊂␈ε	v␈↓ ¬<␈εβ=␈↓ ¬n␈ε	Q␈↓ εε␈ε	v␈↓ ε,␈εβ+␈ε	␈α
R␈εβ␈α↓,␈α⊂where␈↓ πm␈εβde␈α␈g␈↓ λ∨␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α⊃<␈↓ 	∂␈εβd␈α␈eg␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	v␈↓ 	g␈εβ).␈↓ 
)␈εβW␈α↓e␈α∂h␈α␈av␈α␈e
␈β⊂&␈↓ ¬∨␈εε1␈↓ ε∃␈εε2␈↓ 	[␈εε2
␈β⊂?␈↓ πW␈ε~0
␈β⊂@␈↓ λα␈εα)
␈β⊂C␈↓ α␈ε	u␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε	Q␈↓ αO␈ε	v␈↓ αr␈εβ+␈ε	␈απR␈εβ)␈α
=␈↓ βp␈ε	u␈↓ ∧⊂␈ε	v␈↓ ∧+␈εβ,␈αso␈↓ ∧h␈ε	u␈↓ ¬λ␈ε	R␈εβ␈α
=␈α	(␈↓ ¬↑␈ε	u␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	u␈↓ εN␈ε	Q␈↓ εf␈εβ)␈↓ εq␈ε	v␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π@␈ε	R␈↓ π]␈ε	v␈↓ πy␈εβ.
␈β⊂N␈↓ α∨␈εε1␈↓ α↑␈εε2␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ∧|␈εε1␈↓ ¬q␈εε2␈↓ εA␈εε1␈↓ π␈εε2␈↓ πl␈εε2
␈β⊂r␈↓ βU␈ε~0␈↓ ∧∞␈ε~0␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ ¬@␈ε~0␈↓ πs␈ε~0␈↓ 	∀␈ε~0␈↓ ↔␈ε~0
␈β⊂w␈↓ ↓M␈ε∪C4.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈α
(␈↓ αO␈ε	w␈↓ αr␈εβ,␈↓ βε␈ε	w␈↓ β(␈εβ,␈↓ β<␈ε	w␈↓ βa␈εβ,␈↓ βu␈ε	w␈↓ ∧~␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	z␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬∧␈ε	z␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬2␈ε	z␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬`␈ε	u␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε3␈εβ,␈↓ εF␈ε	v␈↓ εb␈εβ,␈↓ εu␈ε	v␈↓ π⊂␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(␈↓ πZ␈ε	w␈↓ λε␈ε↔␈␈↓ λ-␈ε	w␈↓ λP␈ε	Q␈↓ λh␈εβ,␈↓ λ{␈ε	w␈↓ 	'␈ε↔␈␈↓ 	N␈ε	w␈↓ 	q␈ε	Q␈↓ 
	␈εβ,␈↓ 
≤␈ε	w␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
S␈ε	w␈↓ 
u␈εβ,␈↓ 	␈ε	z␈↓ #␈εβ,
␈β⊃↓␈↓ αf␈εε1␈↓ β≤␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ¬s␈εε1␈↓ ε&␈εε2␈↓ εU␈εε1␈↓ π∧␈εε2␈↓ λC␈εε1␈↓ 	d␈εε2␈↓ 
2␈εε1␈↓ 
i␈εε2
␈β⊃ε␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ¬@␈εε2␈↓ πs␈εε1␈↓ 	∀␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β⊃~␈↓ α~␈ε~0␈↓ β≥␈ε~0␈↓ ∧!␈ε~0
␈β⊃≡␈↓ α␈ε	z␈↓ α&␈εβ,␈↓ α8␈ε	z␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ αx␈ε	Q␈↓ β⊂␈ε	z␈↓ β*␈εβ,␈↓ β<␈ε	z␈↓ βW␈ε↔␈␈↓ β{␈ε	Q␈↓ ∧∪␈ε	z␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧?␈ε	u␈↓ ∧b␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε	u␈↓ ¬'␈ε	Q␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬P␈ε	u␈↓ ¬p␈εβ,␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε≥␈εβ,␈↓ ε/␈ε	v␈↓ εN␈ε↔␈␈↓ εr␈ε	Q␈↓ π
␈ε	v␈↓ π%␈εβ)␈αλand␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ∪␈ε↔ ␈↓ λ>␈ε	n␈↓ λU␈εβ+␈αβ1.␈α
Go␈αλb␈α␈ack␈απto␈αλC2␈α␈.
␈β⊃ ␈↓ ~␈∧⊃ ~≠∂
␈β⊃)␈↓ αC␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ∧S␈εε2␈↓ ¬~␈εε1␈↓ ¬d␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ ε>␈εε1␈↓ π→␈εε2
␈β⊃-␈↓ α~␈εε2␈↓ β≥␈εε1␈↓ ∧!␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα697
␈βα+␈↓ α␈εβThis␈α
ex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αi␈α↓n␈α␈clud␈α␈es␈α
mos␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈α
the␈α
fea␈α␈tures␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
seen
␈βαS␈↓ ↓H␈εβin␈α
pre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈ns,␈αa␈α␈l␈α↓l␈αa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αtime␈α␈,␈αso␈αit␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ides␈α
new␈α
i␈α↓n␈α␈sigh␈α␈t␈α
in␈α␈to␈α
the␈α
spe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ases␈αalread␈α␈y␈αcon␈α␈sidered␈α␈.␈α
To␈αpro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αv␈α␈alid,␈αn␈α␈ote␈α|rst␈αtha␈α␈t␈αd␈α␈eg(␈↓ 	N␈ε	v␈↓ 	i␈εβ)␈αd␈α␈ecrea␈α␈ses␈αin
␈ββ¬␈↓ 	]␈εε2
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈α	C4␈α␈,␈α
so␈α	th␈α␈e␈α	algo␈α␈rithm␈α	c␈α␈ertain␈α␈l␈α↓y␈αλtermin␈α␈ates.␈α
A␈α↓t␈αλthe␈α	co␈α␈nc␈α␈l␈α↓u␈α␈sion␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m,␈↓ 
r␈ε	v␈↓ ⊗␈εβis
␈ββ,␈↓ ↓␈εε1
␈ββE␈↓ πa␈εn␈↓ 
3␈εn
␈ββI␈↓ ↓H␈εβa␈αλco␈α␈mmon␈αλrigh␈α}t␈α	d␈α␈ivisor␈αλof␈↓ ∧A␈ε	V␈↓ ∧i␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬'␈ε	V␈↓ ¬F␈εβ,␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε'␈ε	w␈↓ εJ␈ε	v␈↓ εo␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πr␈ε	V␈↓ λ→␈εβan␈α␈d␈ε↔␈α	␈␈↓ λy␈ε	w␈↓ 	≤␈ε	v␈↓ 	@␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 
(␈εβ)␈↓ 
C␈ε	V␈↓ 
b␈εβ;␈α
also
␈ββT␈↓ ∧S␈εε1␈↓ ¬9␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εY␈εε1␈↓ λ∧␈εε1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 	*␈εε1␈↓ 
V␈εε2
␈ββq␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	d␈↓ α¬␈εβis␈αa␈α␈n␈α␈y␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αrigh␈α␈t␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈or␈αof␈↓ ¬R␈ε	V␈↓ ¬|␈εβan␈α␈d␈↓ ε=␈ε	V␈↓ ε\␈εβ,␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈αrigh␈α}t␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ 	5␈ε	z␈↓ 	M␈ε	V␈↓ 	t␈εβ+␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
4␈ε	V␈↓ 
]␈εβ=␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ.
␈ββ|␈↓ ¬d␈εε1␈↓ εP␈εε2␈↓ 	@␈εε1␈↓ 	←␈εε1␈↓ 
(␈εε2␈↓ 
G␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α+␈ε	v␈↓ αQ␈εβ=␈↓ α⎇␈εβg␈α␈crd␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε	V␈↓ βf␈εβ,␈↓ βu␈ε	V␈↓ ∧∀␈εβ).␈α∞Also␈αif␈↓ ¬!␈ε	m␈↓ ¬J␈εβis␈αan␈α␈y␈αcom␈α␈mon␈αleft␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ 	~␈ε	V␈↓ 	E␈εβand␈↓ 
π␈ε	V␈↓ 
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay
␈β∧#␈↓ α9␈εε1␈↓ βY␈εε1␈↓ ∧π␈εε2␈↓ 	-␈εε1␈↓ 
~␈εε2
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈e␈αwitho␈α␈ut␈αlos␈α␈s␈αof␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	m␈↓ ε$␈εβ=␈↓ εO␈ε	U␈↓ εq␈ε	V␈↓ π→␈εβ=␈↓ πD␈ε	U␈↓ πe␈ε	V␈↓ λ∧␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α
of␈αv␈α␈alue␈α␈s
␈β∧K␈↓ εd␈εε1␈↓ πβ␈εε1␈↓ πY␈εε2␈↓ πx␈εε2
␈β∧d␈↓ πT␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ 	p␈εn␈↓ 
9␈ε~0
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	Q␈↓ α⊃␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈α
dep␈α␈en␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ ∧6␈ε	U␈↓ ∧b␈εβan␈α␈d␈↓ ¬#␈ε	U␈↓ ¬D␈εβ.␈αHe␈α␈nce␈↓ ε:␈ε	m␈↓ εa␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πH␈εβ)␈↓ πd␈εβ(␈ε↔␈␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ0␈ε	z␈↓ λJ␈εβ)␈↓ λU␈ε	V␈↓ λ}␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 	e␈εβ)␈↓ 
↓␈εβ(␈↓ 
␈ε	u␈↓ 
,␈ε	z␈↓ 
F␈εβ)␈↓ 
Q␈ε	V␈↓ 
{␈εβis␈αa
␈β∧r␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ λ#␈εε2␈↓ λh␈εε1␈↓ 
∨␈εε2␈↓ 
d␈εε2
␈β∧w␈↓ λ>␈εε1␈↓ 
9␈εε2
␈β¬␈↓ α␈␈ε~0
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiple␈αof␈↓ αq␈ε	z␈↓ β␈ε	V␈↓ β*␈εβ.
␈β¬~␈↓ β≡␈εε1
␈β¬∨␈↓ α␈␈εε1
␈β¬7␈↓ α␈εβIn␈α
pra␈α␈ctice,␈α∞i␈α↓f␈α
w␈α␈e␈α∞ju␈α␈st␈α∞wan␈α}t␈α∞to␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulate␈α
gcr␈α␈d(␈↓ π3␈ε	V␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	V␈↓ λ␈εβ),␈α∂w␈α␈e␈α
may␈α
su␈α␈pp␈α␈ress␈α
the␈α
com␈α␈-
␈β¬B␈↓ πF␈εε1␈↓ πs␈εε2
␈β¬[␈↓ ∧+␈ε~0␈↓ ∧f␈ε~0␈↓ ¬q␈ε~0␈↓ ε!␈ε~0
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβp␈α␈uta␈α␈tion␈αo␈α␈f␈↓ αx␈ε	n␈↓ β␈εβ,␈↓ β!␈ε	w␈↓ βD␈εβ,␈↓ βZ␈ε	w␈↓ β|␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	w␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	w␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬λ␈ε	z␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	z␈↓ ¬M␈εβ,␈↓ ¬c␈ε	z␈↓ ¬⎇␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	z␈↓ ε-␈εβ.␈α∂Th␈α␈ese␈αad␈α␈dition␈α␈al␈αqu␈α␈an␈α␈tities␈αw␈α␈ere␈αa␈α␈dd␈α␈ed␈αto
␈β¬i␈↓ β7␈εε1␈↓ βp␈εε2␈↓ ¬∪␈εε1␈↓ ¬A␈εε2
␈β¬n␈↓ ∧+␈εε1␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ¬q␈εε1␈↓ ε!␈εε2
␈βεε␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αp␈α␈rimarily␈αto␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α
i␈α↓ts␈αv␈α␈alidity␈αm␈α␈ore␈αrea␈α␈dily␈αesta␈α␈blishe␈α␈d.
␈βε.␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∂No␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈α␈s␈α
of␈αstring␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials,␈α
such␈αa␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
ex␈α␈amp␈α␈le␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βεU␈↓ ↓H␈εβwith␈α
this␈αex␈α␈e␈α␈rcise,␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈α
from␈αma␈α␈trix␈αiden␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈αsuch␈α
as
␈βπ⊂␈↓ ↓i␈ε↓∩␈↓ αw␈ε↓∪␈↓ β
␈ε↓∩␈↓ ∧≠␈ε↓∪␈↓ ∧1␈ε↓∩␈↓ ¬?␈ε↓∪␈↓ ¬U␈ε↓∩␈↓ ε↑␈ε↓∪␈↓ εt␈ε↓∩␈↓ π⎇␈ε↓∪␈↓ λ∪␈ε↓∩␈↓ 	≠␈ε↓∪␈↓ 	e␈ε↓∩␈↓ 
l␈ε↓∪
␈βπ⊗␈↓ αβ␈ε	a␈↓ αc␈εβ1␈↓ β(␈ε	b␈↓ ∧π␈εβ1␈↓ ∧M␈ε	c␈↓ ¬+␈εβ1␈↓ ¬o␈εβ0␈↓ εJ␈εβ1␈↓ π∞␈εβ0␈↓ πh␈εβ1␈↓ λ,␈εβ0␈↓ 	π␈εβ1␈↓ 	␈␈εβ1␈↓ 
X0
␈βπ,␈↓ 	;␈εβ=␈↓ α␈εβ,
␈βπD␈↓ αβ␈εβ1␈↓ αc␈εβ0␈↓ β'␈εβ1␈↓ ∧π␈εβ0␈↓ ∧K␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0␈↓ ¬o␈εβ1␈↓ ε*␈ε↔␈␈↓ εK␈ε	c␈↓ π∞␈εβ1␈↓ πI␈ε↔␈␈↓ πj␈ε	b␈↓ λ,␈εβ1␈↓ λf␈ε↔␈␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	␈␈εβ0␈↓ 
X1
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈i␈α↓s␈αide␈α␈n␈α␈tities␈αho␈α␈l␈α↓d␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈αwh␈α␈en␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αis␈αn␈α␈ot␈αcom␈α␈m␈α␈uta␈α␈tiv␈α␈e.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈βλD␈↓ βh␈εβ(␈↓ βt␈ε	a␈↓ ∧∧␈ε	b␈↓ ∧⊃␈ε	c␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧N␈ε	a␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬∂␈ε	c␈↓ ¬≤␈εβ)(1␈απ+␈↓ ¬s␈ε	b␈↓ ε␈ε	a␈↓ ε⊂␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ εZ␈ε	a␈↓ εk␈ε	b␈↓ ε␈␈εβ+␈αλ1)(␈↓ πO␈ε	c␈↓ π\␈ε	b␈↓ πi␈ε	a␈↓ λ↓␈εβ+␈↓ λ*␈ε	a␈↓ λB␈εβ+␈↓ λj␈ε	c␈↓ λw␈εβ).
␈β	∧␈↓ ↓H␈εβ(Co␈α␈mpa␈α␈re␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwith␈αth␈α␈e␈α\c␈α␈on␈α␈tin␈α}uan␈α}t␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials"␈αof␈αS␈α␈ection␈α
4.5.3.)
␈β	5␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[Cf.␈α∞Eu␈α␈g␈↓ β	␈εβ␈
␈↓ β
␈εβe␈↓ β→␈εβn␈α␈e␈α
Cah␈α␈en,␈α
sl␈α∞Th␈↓ ¬	␈εβ∞␈↓ ¬
␈εβe␈↓ ¬→␈εβorie␈α
d␈α␈es␈α
Nom␈α␈b␈α␈res␈ε∪␈α
1␈εβ␈α
(Paris:␈α∂A.␈α∞He␈α␈rman␈α␈n␈α
&␈α
|␈α␈l␈α↓s,␈α
191␈α␈4),
␈β	]␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈36↑␈α␈338␈α␈.]␈α→If␈αsu␈α␈ch␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
ex␈α␈i␈α↓sts,␈↓ ¬}␈ε	D␈↓ ε!␈εβis␈αa␈α
gcrd␈α
b␈α␈y␈αth␈α␈e␈α
argu␈α␈men␈α}t␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
18␈α␈.␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβu␈α␈s␈α∂r␈α␈egard␈↓ α`␈ε	A␈↓ β¬␈εβan␈α␈d␈↓ βI␈ε	B␈↓ βn␈εβa␈α␈s␈α∂a␈α∞sing␈α␈le␈α∂2␈↓ ¬)␈ε	n␈↓ ¬G␈ε↔α␈↓ ¬r␈ε	n␈↓ ε∀␈εβmatrix␈↓ π¬␈ε	C␈↓ π.␈εβwho␈α␈se␈α∞|rst␈↓ λ[␈ε	n␈↓ λ}␈εβro␈α}ws␈α∂a␈α␈re␈α∂th␈α␈ose␈α∞o␈α␈f␈↓ 
␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈β
,␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αwh␈α␈ose␈αseco␈α␈nd␈↓ βZ␈ε	n␈↓ βz␈εβro␈α␈ws␈αare␈αtho␈α␈se␈α
o␈α␈f␈↓ εα␈ε	B␈↓ ε_␈εβ.␈α∂Similarly,␈↓ πJ␈ε	P␈↓ πn␈εβan␈α␈d␈↓ λ0␈ε	Q␈↓ λU␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈α
c␈α␈om␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αin␈α␈to␈αa
␈β
S␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓u␈ε↔α␈↓ α∨␈ε	n␈↓ α@␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈ε	␈αR␈εβ;␈↓ β]␈ε	X␈↓ ∧ε␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧H␈ε	Y␈↓ ∧n␈εβcan␈αbe␈αcom␈α␈b␈α␈ined␈αin␈α␈to␈α
a␈α␈n␈↓ πh␈ε	n␈↓ λ∧␈ε↔α␈εβ␈α	2␈↓ λ?␈ε	n␈↓ λ`␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈↓ 	O␈ε	Z␈↓ 	f␈εβ.␈α⊃The␈α
d␈α␈esired
␈β
{␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αno␈α␈w␈αredu␈α␈ce␈αto␈αt␈α␈w␈α␈o␈αequ␈α␈ation␈α␈s␈↓ ε∃␈ε	C␈↓ ε:␈εβ=␈ε	␈α
R␈↓ ε|␈ε	D␈↓ π∃␈εβ,␈↓ π+␈ε	D␈↓ πN␈εβ=␈↓ πy␈ε	Z␈↓ λ⊃␈ε	C␈↓ λ+␈εβ.␈α∞If␈αwe␈αca␈α␈n␈α|␈α␈nd␈αa␈α2␈↓ 
C␈ε	n␈↓ 
←␈ε↔α␈εβ␈αλ2␈↓ _␈ε	n
␈β∨␈↓ 	3␈ε~␈␈εε1
␈β#␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αma␈α␈trix␈↓ β%␈ε	U␈↓ βM␈εβo␈α␈f␈α
d␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈ε↔␈αε␈εβ1␈αsuc␈α␈h␈αtha␈α␈t␈α
t␈α␈he␈αlast␈↓ λ↓␈ε	n␈↓ λ"␈εβro␈α}ws␈α
o␈α␈f␈↓ 	_␈ε	U␈↓ 	Y␈ε	C␈↓ 
␈εβa␈α␈re␈α
a␈α␈ll␈α
zero␈α␈,
␈βF␈↓ λ≠␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βJ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈ε	␈αR␈εβ␈α
=␈α
(|␈α␈rst␈↓ β8␈ε	n␈↓ βY␈εβcolum␈α␈ns␈α
of␈↓ ¬ε␈ε	U␈↓ ¬!␈εβ),␈↓ ¬C␈ε	D␈↓ ¬h␈εβ=␈α
(|rst␈↓ εh␈ε	n␈↓ π	␈εβro␈α}ws␈α
of␈↓ λ␈ε	U␈↓ λA␈ε	C␈↓ λ\␈εβ),␈↓ λ}␈ε	Z␈↓ 	"␈εβ=␈α(|rst␈↓ 
!␈ε	n␈↓ 
B␈εβro␈α␈ws␈α
o␈α␈f
␈βn␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε1
␈βr␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ α	␈εβ)␈αsolv␈α␈e␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈esired␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.␈α∂Henc␈α␈e,␈α
for␈α
e␈α␈xa␈α␈mple,␈α
th␈α␈e␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αalgorith␈α␈m␈α
m␈α␈ay
␈β→␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αus␈α␈ed␈α(with␈↓ β↔␈ε	m␈↓ β=␈εβ=␈α
2␈↓ βy␈ε	n␈↓ ∧
␈εβ):
␈βP␈↓ ↓H␈ε∪Algo␈α␈rithm␈αT␈εβ␈α(␈ε⊂Trian␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈εβ)␈ε∪.␈εβ␈α~Let␈↓ ¬J␈ε	C␈↓ ¬p␈εβbe␈αan␈↓ εL␈ε	m␈↓ εq␈ε↔α␈↓ π~␈ε	n␈↓ π9␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers.␈α
Th␈α␈is␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βw␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α∃␈ε	m␈↓ α6␈ε↔α␈↓ α[␈ε	m␈↓ β↓␈εβin␈α␈te␈α␈ger␈αλmatrice␈α␈s␈↓ ∧o␈ε	U␈↓ ¬∩␈εβand␈↓ ¬Q␈ε	V␈↓ ¬q␈εβsu␈α␈ch␈αλtha␈α␈t␈↓ π␈ε	U␈↓ π≠␈ε	V␈↓ π<␈εβ=␈↓ πf␈ε	I␈↓ π}␈εβa␈α␈nd␈↓ λ<␈ε	V␈↓ λT␈ε	C␈↓ λw␈εβis␈α	\u␈α␈pp␈α␈er␈αλtriang␈α␈ular."
␈β
∨␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αen␈α␈tr␈α␈y␈αin␈αro␈α␈w␈↓ βV␈ε	i␈↓ βn␈εβa␈α␈nd␈α
colum␈α␈n␈↓ ¬#␈ε	j␈↓ ¬=␈εβof␈↓ ¬d␈ε	V␈↓ ¬|␈ε	C␈↓ ε"␈εβis␈αzer␈α␈o␈αif␈↓ π)␈ε	i␈↓ π?␈εβ>␈↓ πi␈ε	j␈↓ πx␈εβ.)
␈β
N␈↓ ↓O␈ε∪T1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α$S␈α␈et␈↓ ∧π␈ε	U␈↓ ∧4␈ε↔ ␈↓ ∧g␈ε	V␈↓ ¬⊃␈ε↔ ␈↓ ¬D␈ε	I␈↓ ¬S␈εβ,␈α⊃the␈↓ ε,␈ε	m␈↓ εT␈ε↔α␈↓ π␈ε	m␈↓ π-␈εβi␈α↓d␈α␈en␈α␈tity␈α∂matrix;␈α∪a␈α␈nd␈α∂set␈↓ 
,␈ε	T␈↓ 
U␈ε↔ ␈↓ λ␈ε	C␈↓ #␈εβ.
␈β
u␈↓ α␈εβ(Thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈αthe␈α
algorith␈α␈m␈αw␈α␈e␈αwi␈α↓ll␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε`␈ε	T␈↓ π␈εβ=␈↓ π+␈ε	V␈↓ πC␈ε	C␈↓ πi␈εβa␈α␈nd␈↓ λ)␈ε	U␈↓ λD␈ε	V␈↓ λf␈εβ=␈α	1.)
␈β∞$␈↓ ↓O␈ε∪T2.␈↓ α␈εβ[Iterate␈απo␈α␈n␈↓ β'␈ε	j␈↓ β6␈εβ.]␈α⊂Do␈απstep␈απT3␈απfo␈α␈r␈↓ ¬-␈ε	j␈↓ ¬E␈εβ=␈α	1,␈αλ2,␈↓ ε3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εq␈εβmin␈↓ π(␈εβ(␈↓ π4␈ε	m␈↓ πQ␈εβ,␈↓ π`␈ε	n␈↓ πt␈εβ),␈αλan␈α␈d␈απtermin␈α␈ate␈απth␈α␈e␈αλa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈β∞S␈↓ ↓O␈ε∪T3.␈↓ α␈εβ[Z␈α↓e␈α␈ro␈αλou␈α␈t␈αλcolum␈α␈n␈↓ ∧λ␈ε	j␈↓ ∧↔␈εβ.]␈α∩P␈α↓e␈α␈rform␈αλth␈α␈e␈αλfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αλtra␈α␈nsform␈α␈ation␈αλz␈α␈ero␈αλor␈αλm␈α␈ore␈αλtimes␈αλu␈α␈n␈α␈til
␈β∞z␈↓ α␈ε	T␈↓ αC␈εβi␈α↓s␈α
zer␈α␈o␈α
for␈α
all␈↓ ∧⊗␈ε	i␈↓ ∧/␈εβ>␈↓ ∧↑␈ε	j␈↓ ∧m␈εβ:␈α∂Let␈↓ ¬E␈ε	T␈↓ ¬}␈εβbe␈α
a␈α
n␈α␈onz␈α␈ero␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈α
of␈ε↔␈α
f␈↓ 	␈ε	T␈↓ 	*␈εβ,␈↓ 	9␈ε	T␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
*␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
V␈εβ,␈↓ 
e␈ε	T␈↓ ≤␈ε↔g
␈β∂¬␈↓ α∨␈εi␈↓ α*␈εj␈↓ ¬X␈εk␈↓ ¬e␈εj␈↓ 	∪␈εi␈↓ 	≡␈εj␈↓ 
x␈εm␈↓ ⊂␈εj
␈β∂ε␈↓ 	L␈εε(␈↓ 	U␈εj␈↓ 	a␈εε+1)␈↓ 
∂␈εj
␈β∂"␈↓ α␈εβha␈α␈vin␈α␈g␈α
the␈α
s␈α␈mallest␈α
ab␈α␈solute␈α
v␈α␈alu␈α␈e.␈αIn␈α␈terc␈α␈han␈α␈ge␈α
ro␈α}ws␈↓ λ∩␈ε	k␈↓ λ-␈εβa␈α␈nd␈↓ λm␈ε	j␈↓ 	ε␈εβo␈α␈f␈↓ 	+␈ε	T␈↓ 	M␈εβa␈α␈nd␈α	of␈↓ 
2␈ε	V␈↓ 
J␈εβ;␈αin␈α␈te␈α␈r-
␈β∂J␈↓ α␈εβch␈α␈an␈α␈ge␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈s␈↓ β|␈ε	k␈↓ ∧_␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧X␈ε	j␈↓ ∧r␈εβof␈↓ ¬→␈ε	U␈↓ ¬4␈εβ.␈αTh␈α␈en␈α
sub␈α␈tract␈ε↔␈αb␈↓ π0␈ε	T␈↓ πZ␈εβ/␈↓ πj␈ε	T␈↓ λ⊗␈ε↔c␈εβ␈αtimes␈αro␈α}w␈↓ 	F␈ε	j␈↓ 	`␈εβf␈α↓r␈α␈om␈αro␈α␈w␈↓ 
p␈ε	i␈↓ 
|␈εβ,␈αin
␈β∂T␈↓ πC␈εi␈↓ πN␈εj␈↓ π}␈εj␈↓ λ
␈εj
␈β∂q␈↓ α␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈↓ β∩␈ε	T␈↓ β5␈εβa␈α␈nd␈↓ βv␈ε	V␈↓ ∧∞␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αa␈α␈dd␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ λR␈ε	i␈↓ λj␈εβto␈αcolum␈α␈n␈↓ 
	␈ε	j␈↓ 
#␈εβin␈αmatrix
␈β⊂→␈↓ α␈ε	U␈↓ α'␈εβ,␈αfo␈α␈r␈↓ αo␈ε	j␈↓ βλ␈εβ<␈↓ β2␈ε	i␈↓ βH␈ε↔∀␈↓ βs␈ε	m␈↓ ∧⊂␈εβ.
␈β⊂≠␈↓ ∧>␈∧⊂≠∧>≠∂
␈β⊂G␈↓ εY␈εε1␈↓ εw␈εε2␈↓ πU␈εε1␈↓ πr␈εε0␈↓ λ≤␈εε1␈↓ λS␈εε2␈↓ 	∂␈εε4␈↓ 	,␈εε3␈↓ 

␈εε4␈↓ 
'␈εε5␈↓ 
Q␈εε1␈↓ λ␈εε2
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈αλthe␈αλsta␈α␈ted␈απexa␈α␈mple,␈α	th␈α␈e␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απyields␈αλ(␈↓ ππ␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ λα␈εβ)(␈↓ λc␈εβ),␈α	(␈↓ 	<␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ 
7␈εβ)␈α↓(␈↓ _␈εβ),
␈β⊂←␈↓ εY␈εε3␈↓ εw␈εε4␈↓ πU␈εε3␈↓ πr␈εε2␈↓ λ≤␈εε0␈↓ λ9␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 	,␈εε1␈↓ 

␈εε2␈↓ 
'␈εε3␈↓ 
Q␈εε0␈↓ 
o␈ε~␈␈εε1
␈β⊂o␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α
␈εε2␈↓ αk␈εε1␈↓ β!␈εε0␈↓ βL␈εε1␈↓ βi␈εε2␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε4␈↓ ¬#␈εε3
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ α≥␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ β2␈εβ)(␈↓ βy␈εβ)␈α¬+␈αε(␈↓ ∧l␈εβ)(␈↓ ¬4␈εβ).␈α∃(Actu␈α␈ally␈ε⊂␈α	an␈α}y␈εβ␈α	matrix␈α	with␈α	d␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈ε↔␈α	ε␈εβ1␈α	wo␈α␈uld
␈β⊃π␈↓ ↓V␈εε0␈↓ ↓t␈ε~␈␈εε1␈↓ αk␈εε2␈↓ βλ␈ε~␈␈εε2␈↓ βL␈εε3␈↓ βi␈εε4␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε2␈↓ ¬#␈εε1
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αa␈αg␈α␈crd␈αin␈αth␈α␈is␈αpar␈α␈ti␈α↓c␈α␈ular␈αca␈α␈se.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα698␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα'␈↓ πp␈εm
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβIt␈απm␈α␈ay␈αεbe␈αεhelp␈α␈ful␈απto␈αεcon␈α␈sider␈αεex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓2␈α␈↑2␈α␈2␈απwith␈↓ π←␈ε	p␈↓ λ∞␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αεb␈α␈y␈απa␈αεsma␈α␈l␈α↓l␈αεn␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ.
␈βα↑␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβNote␈αλtha␈α␈t␈α	Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α	R␈α	is␈α	use␈α␈d␈α	on␈α␈ly␈α	wh␈α␈en␈↓ εe␈ε	m␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ π-␈ε	n␈↓ πJ␈ε↔∀␈εβ␈α
1;␈α	f␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈ββε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αb␈α␈y␈α(␈α↓2␈α␈5)␈αwi␈α↓th␈↓ ∧G␈ε	m␈↓ ∧n␈εβ=␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬-␈εβ.␈α~[␈α↓Th␈α␈e␈αstated␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αis,␈αin␈αfact,␈αth␈α␈e␈αex␈α␈ec␈α␈ution␈αtime
␈ββ.␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bser␈α␈v␈α␈ed␈α	in␈α	p␈α␈ractice,␈α
n␈α␈ot␈α	mere␈α␈l␈α↓y␈αλan␈α	u␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈.␈αFor␈α	more␈α	d␈α␈etailed␈α	info␈α␈rmatio␈α␈n␈α	see␈α	G.
␈ββU␈↓ ↓H␈εβE.␈αCollins,␈ε⊂␈αProc.␈α19␈α␈68␈αS␈α␈um␈α␈mer␈αIns␈α␈t.␈αo␈α␈n␈αS␈α␈ym␈α␈b␈α␈olic␈αMa␈α␈th.␈αCo␈α␈mp.␈εβ,␈αRob␈α␈ert␈αG.␈αTob␈α␈ey,␈αed␈α␈.
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈εβ(IBM␈αFed␈α␈eral␈αS␈α␈ystem␈α␈s␈αCen␈α␈ter␈α␈,␈αJ␈α␈un␈α␈e␈α196␈α␈9),␈α195␈α␈↑23␈α␈1.]
␈β∧0␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβA␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈απof␈αλsign␈α␈s␈αλca␈α␈nn␈α␈ot␈αλco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλc␈α␈on␈α␈secut␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αλze␈α␈ros,␈α	sin␈α␈ce␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	V␈εβ(␈↓ 	a␈ε	x␈↓ 	r␈εβ)␈αλis␈αλa␈αλn␈α␈on␈α␈zero
␈β∧;␈↓ 	#␈εk␈↓ 	0␈εε+1
␈β∧X␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈αin␈α(29).␈αM␈α␈oreo␈α␈v␈α}er␈αw␈α␈e␈αc␈α␈ann␈α␈ot␈αha␈α␈v␈α␈e␈α\+,␈α0␈α␈,␈α+"␈αor␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ"␈αa␈α␈s␈αsub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈es.
␈β∧␈␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ βε␈ε	V␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε	u␈↓ β=␈εβ,␈↓ βL␈ε	a␈↓ β]␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧↔␈ε	V␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	b␈↓ ∧j␈εβ)␈αis␈α
cl␈α↓e␈α␈arly␈α
valid␈α
when␈↓ π5␈ε	b␈↓ πK␈εβ=␈↓ πv␈ε	a␈↓ λε␈εβ,␈αso␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
only␈α
v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α
it␈αa␈α␈s
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓a␈εβinc␈α␈reases.␈α∞Th␈α␈e␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ ∧w␈ε	u␈↓ ¬⊗␈εβ(␈↓ ¬!␈ε	x␈↓ ¬2␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α}e␈α|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈αroots,␈αan␈α␈d␈↓ 	π␈ε	V␈↓ 	≡␈εβ(␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	>␈εβ,␈↓ 	L␈ε	b␈↓ 	Z␈εβ)␈αc␈α␈han␈α␈ges␈αo␈α␈nly
␈β¬1␈↓ ¬
␈εj
␈β¬N␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	b␈↓ α8␈εβenc␈α␈oun␈α}ters␈αo␈α␈r␈αp␈α␈asses␈αsu␈α␈ch␈αroo␈α␈ts.␈α∞Let␈↓ εU␈ε	x␈↓ εs␈εβb␈α␈e␈αa␈αroo␈α␈t␈αof␈αso␈α␈me␈α(p␈α␈ossibly␈αsev␈α}eral)␈↓ ∧␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β¬Y␈↓ ↔␈εj
␈β¬v␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈en␈↓ α)␈ε	b␈↓ αB␈εβinc␈α␈reases␈αfro␈α␈m␈↓ ∧≡␈ε	x␈↓ ∧7␈ε↔␈␈↓ ∧a␈ε	∂␈↓ ∧z␈εβto␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ,␈αthe␈αsign␈αse␈α␈que␈α␈nce␈αnea␈α␈r␈↓ λ≡␈ε	j␈↓ λ9␈εβgoe␈α␈s␈αfrom␈α\␈α␈+␈α↓,␈ε↔␈αε␈εβ,␈ε↔␈α
␈␈εβ"␈αto
␈βε≡␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈+␈α↓,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αor␈αfrom␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈ε↔␈αε␈εβ␈α↓,␈α+"␈αto␈α\␈ε↔␈α␈␈␈εβ␈α↓,␈α0␈α␈,␈α+␈α↓"␈αif␈↓ π~␈ε	j␈↓ π3␈εβ>␈α0␈α␈;␈α
a␈α␈nd␈αfrom␈α\+,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αto␈α\0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"
␈βεA␈↓ πα␈ε~0␈↓ 	V␈ε~0
␈βεE␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
from␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α
+␈α↓"␈αto␈α\0,␈α
+"␈α
if␈↓ ¬␈ε	j␈↓ ¬'␈εβ=␈α0␈α␈.␈α≥(Sin␈α␈ce␈↓ εn␈ε	u␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	x␈↓ π%␈εβ)␈αi␈α↓s␈αthe␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α␈ativ␈α␈e␈α␈,␈↓ 	B␈ε	u␈↓ 	\␈εβ(␈↓ 	g␈ε	x␈↓ 	y␈εβ)␈αi␈α↓s␈αneg␈α␈ativ␈α␈e
␈βεm␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	u␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	x␈↓ αO␈εβ)␈αis␈αde␈α␈creasin␈α␈g.)␈α~Th␈α}us␈αthe␈αn␈α␈et␈αch␈α␈ang␈α␈e␈αi␈α↓n␈↓ π(␈ε	V␈↓ πK␈εβi␈α↓s␈ε↔␈α␈␈↓ λ∞␈ε	∞␈↓ λ3␈εβ.␈αWh␈α␈en␈↓ 	(␈ε	b␈↓ 	@␈εβi␈α↓n␈α␈crea␈α␈ses␈αfrom␈↓ ≠␈ε	x
␈βεw␈↓ λ~␈εj␈↓ λ&␈εε0
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	x␈↓ α	␈εβ+␈↓ α2␈ε	∂␈↓ α?␈εβ,␈αa␈αsimilar␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ε_␈ε	V␈↓ ε;␈εβrema␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αun␈α␈cha␈α␈ng␈α␈ed.
␈βπ<␈↓ α␈εβ[L.␈α∂E.␈α∂Heind␈α␈el,␈ε⊂␈α⊂JA␈α␈CM␈ε∪␈α∞18␈εβ␈α∞(1␈α␈971␈α␈)␈α↓,␈α∂53␈α␈3↑5␈α␈48,␈α∂has␈α∞ap␈α␈plied␈α∞th␈α␈ese␈α∂id␈α␈eas␈α∞to␈α∞con␈α␈struc␈α␈t
␈βπd␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfo␈α␈r␈αiso␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
the␈α
re␈α␈al␈αz␈α␈eroes␈α
of␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ λA␈ε	u␈↓ λU␈εβ(␈↓ λ`␈ε	x␈↓ λq␈εβ),␈αin␈α
time␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α	by
␈βλ␈↓ ↓H␈εβa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αin␈αd␈α␈eg␈α␈(␈↓ βs␈ε	u␈↓ ∧π␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
log␈↓ ¬∩␈ε	N␈↓ ¬1␈εβ,␈αw␈α↓h␈α␈ere␈α
all␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈↓ π{␈ε	y␈↓ λ!␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwi␈α↓t␈α␈h␈ε↔␈αj␈↓ 
(␈ε	u␈↓ 
G␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧␈ε	N␈↓ #␈εβ,
␈βλ⊗␈↓ λ
␈εj␈↓ 
;␈εj
␈βλ3␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
all␈αo␈α␈pera␈α␈tions␈αa␈α␈re␈αgu␈α␈ara␈α␈n␈α␈teed␈α
to␈αb␈α␈e␈αexa␈α␈ct.]
␈βλf␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβIf␈↓ α*␈ε	v␈↓ αB␈εβhas␈↓ αz␈ε	n␈↓ β⊃␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈απreal␈απroots␈απocc␈α␈urrin␈α␈g␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απt␈α␈he␈↓ π→␈ε	n␈↓ π5␈εβre␈α␈al␈αλro␈α␈ots␈απof␈↓ λd␈ε	u␈↓ λy␈εβ,␈αλth␈α␈en␈απ(by␈απc␈α␈onsid␈α␈ering
␈β	∞␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈n␈αch␈α␈ang␈α␈es)␈↓ β∪␈ε	u␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε	x␈↓ βD␈εβ)␈↓ βT␈εβmod␈↓ ∧→␈ε	v␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	x␈↓ ∧G␈εβ)␈αh␈α␈as␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬3␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈αrea␈α␈l␈αro␈α␈ots␈αlyin␈α␈g␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈αth␈α␈e␈↓ 	_␈ε	n␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αof␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
0␈εβ.
␈β	:␈↓ ∧a␈ε∞␈↓ ¬(␈ε∞␈↓ ¬`␈εε(1␈ε~␈␈↓ ε∞␈ε∞␈↓ εF␈εε)␈↓ π
␈ε∞␈↓ π ␈εε(1␈ε~␈␈↓ πN␈ε∞␈↓ πc␈εε)␈↓ πl␈εε...␈↓ λ↓␈εε(1␈ε~␈␈↓ λ/␈ε∞␈↓ λg␈εε)
␈β	A␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβFirst␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ β⎇␈ε	h␈↓ ∧$␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε	g␈↓ ¬→␈ε	g␈↓ εN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈ε	g␈↓ λo␈εβ.␈α⊂The␈α␈n␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αthe
␈β	B␈↓ ∧k␈ε
j␈↓ ∧w␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬3␈ε
j␈↓ ¬>␈ε≠␈␈επ2␈↓ ε_␈ε
j␈↓ ε$␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ π∀␈επ1␈↓ πX␈επ2␈↓ λ9␈ε
j␈↓ λE␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β	L␈↓ ∧␈εj
␈β	S␈↓ ∧]␈εj␈↓ ¬$␈εj␈↓ ¬0␈ε~␈␈εε1␈↓ π
␈εε2
␈β	i␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ ββ␈ε	g␈↓ β+␈εβo␈α␈n␈α∞th␈α␈e␈α∞left-ha␈α␈nd␈α
side␈α
of␈α∞(18␈α␈)␈α∞has␈α
the␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈↓ λ*␈ε	∞␈↓ λL␈εβ+␈↓ λv␈ε	∞␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	 ␈εβ,␈α∂whe␈α␈re␈↓ 
≠␈ε	x␈↓ 
:␈εβ=␈↓ 
i␈ε	∞␈↓ ␈εβ+
␈β	s␈↓ β⊂␈εε2␈↓ λ6␈εε2␈↓ 	α␈εε1␈↓ 
u␈εε2
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α"␈ε	∞␈↓ αh␈εβ+␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ βV␈ε	∞␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	∞␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧F␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧v␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε	∞␈↓ ¬g␈εβ+␈α	1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈↓ ε`␈ε	∞␈↓ εx␈εβ(1␈ε↔␈α	␈␈↓ πG␈ε	∞␈↓ π`␈εβ)(␈↓ πv␈ε	∞␈↓ λ↔␈εβ+␈↓ λB␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	∞␈↓ 	b␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈ε↔␈
␈β
≠␈↓ α.␈εj␈↓ α:␈ε~␈␈εε1␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧ε␈εε3␈↓ ¬,␈εj␈↓ ¬8␈ε~␈␈εε1␈↓ εl␈εε3␈↓ πS␈εε2␈↓ λα␈εε4␈↓ 	(␈εj␈↓ 	4␈ε~␈␈εε1
␈β
8␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ αε␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ αQ␈ε	∞␈↓ αj␈εβ)␈↓ α{␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β'␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βs␈ε	∞␈↓ ∧1␈εβ)(1)␈↓ ∧c␈εβ.␈αBut␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ=␈α
1,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
it␈αis␈α
seen␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
of␈↓ 
/␈ε	∞␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β
C␈↓ ↓T␈εj␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ α]␈εε2␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε2␈↓ 
;␈εj␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈β
`␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α∞can␈α∞s␈α␈et␈↓ αt␈ε	∞␈↓ β@␈εβ=␈α⊂0␈α␈,␈α⊂etc␈α␈.␈α⊗A␈α∂s␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α∞de␈α␈ri␈α↓v␈α␈ation␈α∞w␈α␈o␈α␈rks␈α∞for␈↓ λ6␈ε	g␈↓ λP␈εβ,␈↓ λi␈ε	g␈↓ 	α␈εβ,␈↓ 	≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	G␈εβ,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞a␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α␈r
␈β
j␈↓ β␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε1␈↓ λC␈εε3␈↓ λv␈εε4
␈βπ␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eriva␈α␈tion␈αw␈α␈or␈α␈ks␈αfor␈α(23␈α␈).
␈β;␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβEach␈αcoe}␈α␈cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ ∧$␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε	x␈↓ ∧←␈εβ)␈αcan␈αbe␈αex␈α␈pre␈α␈ssed␈αa␈α␈s␈αa␈αde␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αon␈α␈e␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn
␈βE␈↓ ∧7␈εj
␈βb␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α
on␈α␈ly␈↓ β_␈ε	#␈↓ β&␈εβ(␈↓ β1␈ε	u␈↓ βE␈εβ),␈↓ βg␈ε	#␈↓ βu␈εβ(␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧⊃␈εβ),␈α∞an␈α␈d␈α
zer␈α␈os.␈α⊃To␈α
use␈α
t␈α␈his␈α
fact,␈α∞m␈α␈odify␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
C␈α
a␈α␈s␈α
follo␈α␈ws:
␈βπ␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ¬2␈εα)
␈β
␈↓ ↓H␈εβIn␈αste␈α␈p␈αC1,␈α
set␈↓ β/␈ε	g␈↓ βK␈ε↔ ␈↓ βw␈εβgcd␈↓ ∧5␈ε	#␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε	u␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ∧|␈ε	#␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬J␈εβan␈α␈d␈↓ ε␈ε	h␈↓ ε(␈ε↔ ␈εβ␈α0.␈α∂In␈αstep␈αC3,␈α
if␈↓ λQ␈ε	h␈↓ λm␈εβ=␈α0,␈α
set␈↓ 	v␈ε	u␈↓ 

␈εβ(␈↓ 
∃␈ε	x␈↓ 
'␈εβ)␈ε↔␈α ␈↓ 
j␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β-␈↓ ∧)␈ε∞
␈β1␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈↓ α:␈ε	r␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	x␈↓ αe␈εβ)/␈↓ β↓␈ε	g␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β'␈ε	h␈↓ βD␈ε↔ ␈↓ βq␈ε	#␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	u␈↓ ∧≡␈εβ)␈↓ ∧6␈εβ/␈↓ ∧F␈ε	g␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧l␈ε	g␈↓ ¬λ␈ε↔ ␈↓ ¬6␈ε	#␈↓ ¬C␈εβ(␈↓ ¬N␈ε	u␈↓ ¬b␈εβ)␈α↓,␈α
an␈α␈d␈α
r␈α␈eturn␈αto␈αC2;␈α∞o␈α␈therwise␈αproc␈α␈eed␈αas␈α
in␈αthe
␈βY␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nm␈α␈odi|␈α␈ed␈α	algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m.␈αTh␈α␈e␈α
e{ect␈α	of␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	new␈α	i␈α↓n␈α␈iti␈α↓a␈α␈li␈α↓z␈α␈ation␈α	is␈α
simply␈α	to␈α	replac␈α␈e␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈α	by
␈βd␈↓ 
J␈εj
␈β|␈↓ ε~␈εε2␈↓ ε'␈εj␈↓ ε3␈ε~␈␈εε4␈↓ λ'␈εε2␈↓ λ4␈εj␈↓ λ@␈ε~␈␈εε5
␈β}␈↓ αQ␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈εβ(␈↓ ↓r␈ε	x␈↓ αβ␈εβ)/␈↓ α∨␈εβgc␈α␈d␈↓ α]␈ε	#␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	u␈↓ β
␈εβ),␈↓ β$␈ε	#␈↓ β2␈εβ(␈↓ β=␈ε	v␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβfor␈αall␈↓ ∧R␈ε	j␈↓ ∧k␈ε↔∃␈εβ␈α	3;␈αth␈α␈u␈α␈s,␈↓ ε␈ε	#␈↓ εd␈εβwill␈αb␈α␈eco␈α␈me␈↓ λ→␈ε	#␈↓ λq␈εβin␈α
(28).
␈β
␈↓ ↓[␈εj
␈β
}␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.2
␈β∞Q␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβBy␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈ri␈α↓n␈α␈ciple␈α∞o␈α␈f␈α∞inclus␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞a␈α␈nd␈α
ex␈α␈clu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α∞(S␈α␈ection␈α
1.3.3),␈α∂t␈α␈he␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞poly␈α␈-
␈β∞W␈↓ ε∨␈ε↓␈␈↓ ε;␈ε↓↓
␈β∞[␈↓ ¬=␈ε↓P
␈β∞q␈↓ ε-␈εp
␈β∞u␈↓ εZ␈εn␈↓ εj␈ε~␈␈↓ πβ␈εk␈↓ πY␈εk␈↓ λ8␈εn␈↓ λH␈ε~␈␈↓ λb␈εp␈↓ 	]␈εp
␈β∞y␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α∂witho␈α␈ut␈α∂linea␈α␈r␈α∂facto␈α␈rs␈α⊂is␈↓ εI␈ε	p␈↓ π⊃␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πN␈εβ)␈↓ πv␈εβ=␈↓ λ'␈ε	p␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	p␈↓ 	⊗␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈↓ 	R␈εβ)␈↓ 	k␈εβ.␈α↔The␈α∂sta␈α␈ted
␈β∂	␈↓ ε-␈εk
␈β∂␈↓ ¬c␈εk␈↓ ¬p␈ε~∀␈↓ ε	␈εn
␈β∂"␈↓ ¬t␈εp␈↓ λb␈εε1
␈β∂&␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈α
th␈α␈erefore␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	1␈α␈/␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬i␈εβ)␈↓ εα␈εβ,␈α
which␈αis␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
th␈α␈an␈↓ λr␈εβ.␈α≥[In␈αfact,␈α
th␈α␈e␈α
sta␈α␈ted
␈β∂4␈↓ λb␈∧∂4λbα
␈β∂6␈↓ λb␈εε2
␈β∂J␈↓ ∧W␈εε1
␈β∂M␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an␈↓ ∧s␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬r␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.]
␈β∂\␈↓ ∧W␈∧∂\∧Wα
␈β∂↑␈↓ ∧W␈εε2
␈β⊂↓␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈αλWe␈αλkn␈α␈o␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈↓ ∧
␈ε	u␈↓ ∧!␈εβ(␈↓ ∧,␈ε	x␈↓ ∧>␈εβ)␈αλh␈α␈as␈αλa␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈απas␈αλa␈αλp␈α␈rod␈α␈uct␈αλo␈α␈f␈α	irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αλpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈α␈se␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αun␈α␈its,␈α
since␈αth␈α␈ey␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αthe
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ding␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α
of␈↓ ∧∧␈ε	u␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧#␈ε	x␈↓ ∧5␈εβ).␈α∪T␈α↓h␈α␈erefo␈α␈re␈α∞w␈α␈e␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓ λ8␈ε	u␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	x␈↓ λi␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α∞a␈α
rep␈α␈resen␈α}tation
␈β⊂s␈↓ π7␈εe␈↓ λB␈εe
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αa␈αprod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈αm␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈αi␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ εs␈ε	p␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈␈ε	p␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λ7␈εβ)␈↓ λX␈εβ,␈αwhere␈↓ 	N␈ε	p␈↓ 	k␈εβ(␈↓ 	v␈ε	x␈↓ 
π␈εβ),␈↓ 
'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
T␈εβ,␈↓ 
i␈ε	p␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β⊂z␈↓ λL␈ε
r
␈β⊂{␈↓ πA␈επ1
␈β⊃α␈↓ πβ␈εε1␈↓ λ∞␈εr␈↓ 	↑␈εε1␈↓ 
y␈εr
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
d␈α␈istinct.␈α∂This␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αis␈α
u␈α␈niqu␈α␈e,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈α
for␈αth␈α␈e␈α
o␈α␈rder␈αof␈αthe␈αfacto␈α␈rs,␈α
so␈αthe
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα699
␈βα*␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈n␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βE␈εβ)␈α↓,␈↓ βe␈ε	v␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧2␈ε	w␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε	x␈↓ ∧g␈εβ)␈αa␈α␈re␈αsatis|␈α␈ed␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈ly␈αif
␈βαf␈↓ βy␈ε~b␈↓ ∧β␈εe␈↓ ∧→␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ ¬,␈ε~b␈↓ ¬5␈εe␈↓ ¬L␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ π⎇␈εe␈↓ λ↔␈εεmod␈↓ λK␈εε2␈↓ 	G␈εe␈↓ 	b␈εεmo␈α␈d␈↓ 
∃␈εε2
␈βαk␈↓ αI␈ε	v␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	x␈↓ αw␈εβ)␈α	=␈↓ β5␈ε	p␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧<␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧h␈ε	p␈↓ ¬∧␈εβ(␈↓ ¬∂␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ εE␈ε	w␈↓ ε↑␈εβ(␈↓ εi␈ε	x␈↓ ε{␈εβ)␈α	=␈↓ π9␈ε	p␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	x␈↓ πr␈εβ)␈↓ λX␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	∧␈ε	p␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	x␈↓ 	<␈εβ)␈↓ 
"␈εβ.
␈βαl␈↓ ¬@␈ε
r␈↓ 	R␈ε
r
␈βαm␈↓ ∧
␈επ1␈↓ λλ␈επ1
␈βαv␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧x␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ 	∀␈εr
␈ββ-␈↓ α␈εβ(b)␈α
Th␈α␈e␈α
g␈α␈enera␈α␈ting␈αfun␈α␈ction␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
the␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
mo␈α␈nic␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αof␈α
d␈α␈egree␈↓ 
u␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈ββP␈↓ αi␈εε2␈↓ ββ␈εε2
␈ββT␈↓ ↓H␈εβ1␈απ+␈↓ α	␈ε	p␈↓ α~␈ε	z␈↓ α/␈εβ+␈↓ αX␈ε	p␈↓ αu␈ε	z␈↓ β↔␈εβ+␈↓ β@␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βp␈εβ=␈α
1/␈α␈(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬	␈ε	p␈↓ ¬→␈ε	z␈↓ ¬'␈εβ).␈αThe␈αg␈α␈enera␈α␈ting␈αfu␈α␈nction␈α
for␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈ββx␈↓ ¬s␈εε2␈↓ 	<␈εε2␈↓ 
π␈εε2␈↓ 
!␈εε4
␈ββ|␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α	of␈α
de␈α␈gree␈↓ β*␈ε	n␈↓ βH␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
form␈↓ ¬:␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ε␈εβ,␈α
where␈↓ εr␈ε	v␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈α
is␈α
mon␈α␈i␈α↓c␈α␈,␈αis␈α
1␈αε+␈↓ 	≡␈ε	p␈↓ 	/␈ε	z␈↓ 	O␈εβ+␈↓ 	v␈ε	p␈↓ 
∀␈ε	z␈↓ 
4␈εβ+␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β∧∨␈↓ αQ␈εε2
␈β∧$␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ α2␈ε	p␈↓ αC␈ε	z␈↓ α]␈εβ).␈αI␈α↓f␈α
th␈α␈e␈α
gen␈α␈era␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
fu␈α␈nction␈α	for␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
mon␈α␈ic␈α
squ␈α␈arefree␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β∧G␈↓ 
(␈εε2
␈β∧K␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αd␈α␈egree␈↓ αW␈ε	n␈↓ αw␈εβis␈↓ β_␈ε	g␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	z␈↓ βA␈εβ),␈αth␈α␈en␈αby␈αp␈α␈art␈α(a)␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e␈α1/␈α␈(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ~␈ε	p␈↓ λ+␈ε	z␈↓ λ8␈εβ)␈α
=␈↓ λy␈ε	g␈↓ 	λ␈εβ(␈↓ 	∪␈ε	z␈↓ 	!␈εβ)/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
	␈ε	p␈↓ 
~␈ε	z␈↓ 
5␈εβ).␈αH␈α↓e␈α␈nce
␈β∧o␈↓ β ␈εε2␈↓ ε'␈εε2␈↓ π∂␈εε2␈↓ πi␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ λ↑␈εε3
␈β∧s␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	z␈↓ ↓p␈εβ)␈α=␈α(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ β↓␈ε	p␈↓ β∩␈ε	z␈↓ β,␈εβ)/(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧⊗␈ε	p␈↓ ∧'␈ε	z␈↓ ∧4␈εβ)␈α=␈α1␈απ+␈↓ ¬:␈ε	p␈↓ ¬K␈ε	z␈↓ ¬a␈εβ+␈α	(␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε;␈ε↔␈␈↓ εe␈ε	p␈↓ εv␈εβ)␈↓ π↓␈ε	z␈↓ π$␈εβ+␈αλ(␈↓ πX␈ε	p␈↓ π}␈ε↔␈␈↓ λ(␈ε	p␈↓ λE␈εβ)␈↓ λP␈ε	z␈↓ λs␈εβ+␈↓ 	≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	I␈εβ.␈α∂The␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis
␈β¬⊗␈↓ ↓Y␈εn␈↓ α$␈εn␈↓ α4␈ε~␈␈εε1␈↓ λ;␈ε~0
␈β¬↔␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ πQ␈εα(␈↓ λi␈εα)
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓m␈ε↔␈␈↓ α∪␈ε	p␈↓ αb␈εβfor␈↓ β∀␈ε	n␈↓ β1␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈↓ ∧∀␈εβCuriou␈α␈sly,␈α	this␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α	th␈α␈at␈↓ π∨␈εβg␈α␈cd␈↓ π]␈ε	u␈↓ πq␈εβ(␈↓ π|␈ε	x␈↓ λ
␈εβ),␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ λ}␈εβ=␈α
1␈αλwith␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β¬?␈↓ π)␈εα(␈↓ λ8␈εα)
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ α*␈ε	p␈↓ α;␈εβ;␈αit␈αis␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αt␈α␈he␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ εw␈εβg␈α␈cd␈↓ π5␈ε	u␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε	x␈↓ πe␈εβ),␈↓ π␈␈ε	v␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	x␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λN␈εβ=␈α	1␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≤␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β¬g␈↓ ¬↑␈εα)
␈β¬j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈ε⊂␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈εβ,␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.6.1↑␈α␈5.
␈βε~␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	u␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈α∞=␈↓ βE␈ε	u␈↓ βe␈εβ(␈↓ βp␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈ε	u␈↓ ∧↑␈εβ(␈↓ ∧i␈ε	x␈↓ ∧z␈εβ).␈α∀T␈α↓h␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∞a␈α␈t␈α∞most␈εβ␈α∞o␈α␈ne␈α∞su␈α␈ch␈↓ λ9␈ε	v␈↓ λJ␈εβ(␈↓ λU␈ε	x␈↓ λf␈εβ)␈α↓,␈α∂b␈α␈y␈α∞th␈α␈e␈α∞a␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈α∞o␈α␈f
␈βε%␈↓ βX␈εε1␈↓ ∧R␈εr
␈βεB␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈α∞4.3.2C␈↓ β6␈εβ.␈α∃Th␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∂a␈α␈t␈α∂lea␈α␈st␈εβ␈α∂o␈α␈ne␈α∞if,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂e␈α␈ach␈↓ πL␈ε	j␈↓ π[␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α
solv␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞system␈α∞with
␈βεK␈↓ 	!␈ε↓Q
␈βεi␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈ε	x␈↓ αε␈εβ)␈α
=␈α	1␈αan␈α␈d␈↓ β"␈ε	w␈↓ βE␈εβ(␈↓ βQ␈ε	x␈↓ βb␈εβ)␈α	=␈α
0␈αfor␈↓ ∧q␈ε	k␈↓ ¬␈ε↔≤␈↓ ¬5␈ε	j␈↓ ¬D␈εβ.␈αA␈αsolutio␈α␈n␈αto␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αis␈↓ λY␈ε	v␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	⊂␈εβ)␈↓ 	{␈ε	u␈↓ 
≠␈εβ(␈↓ 
&␈ε	x␈↓ 
8␈εβ),␈αwhere
␈βεt␈↓ ↓↑␈εj␈↓ β8␈εk␈↓ λg␈εε1␈↓ 
∞␈εk
␈βε|␈↓ 	C␈εk␈↓ 	P␈ε~≤␈↓ 	i␈εj
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ αV␈ε	v␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε	x␈↓ β∞␈εβ)␈αcan␈α
be␈αfou␈α␈nd␈α
satisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g
␈βπ!␈↓ ↓V␈εε1␈↓ αe␈εε2
␈βπ:␈↓ βY␈ε↓Q
␈βπX␈↓ β⊃␈ε	v␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ(␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ∧p␈εβ)␈α
+␈↓ ¬6␈ε	v␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ)␈↓ ¬y␈ε	u␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε	x␈↓ ε5␈εβ)␈α	=␈α
1,␈↓ π[␈εβdeg␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε	v␈↓ λ4␈εβ)␈α	<␈↓ λs␈εβd␈α␈eg␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	u␈↓ 	O␈εβ),
␈βπb␈↓ β ␈εε1␈↓ ∧F␈εk␈↓ ¬E␈εε2␈↓ ε␈εj␈↓ λ'␈εε1␈↓ 	C␈εj
␈βπj␈↓ β{␈εk␈↓ ∧	␈ε~≤␈↓ ∧"␈εj
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αof␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
(␈α↓e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.1↑3␈α␈).
␈βλ1␈↓ 	"␈ε↓Q
␈βλK␈↓ λH␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
E␈εn␈↓ 
`␈ε~␈␈↓ 
z␈εa
␈βλO␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α¬u␈α␈niqu␈α␈e␈αεfac␈α␈torizatio␈α␈n␈α¬theo␈α␈rem␈α¬giv␈α␈es␈α¬the␈α¬iden␈α}tity␈α¬(␈α↓1␈ε↔␈α␈␈␈↓ λ∨␈ε	p␈↓ λ0␈ε	z␈↓ λ=␈εβ)␈↓ λw␈εβ=␈↓ 	z␈εβ(1␈ε↔␈␈↓ 
7␈ε	z␈↓ 
U␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈βλQ␈↓ π␈ε
n␈↓ ⊗␈ε
p
␈βλb␈↓ 	D␈εn␈↓ 	T␈ε~∃␈εε1
␈βλw␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αlog␈α␈arithm␈α␈s,␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αrewritten
␈β	~␈↓ βB␈ε↓P␈↓ ¬G␈ε↓P
␈β	4␈↓ ∧]␈εj␈↓ εq␈εk␈↓ ε}␈εj
␈β	5␈↓ πz␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β	8␈↓ ∧ ␈ε	G␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	z␈↓ ∧i␈εβ)/␈↓ ¬∧␈ε	j␈↓ ¬≥␈εβ=␈↓ ε9␈ε	a␈↓ εc␈ε	z␈↓ π
␈εβ/␈↓ π≠␈ε	j␈↓ π3␈εβ=␈↓ π↑␈εβln␈↓ λε␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λs␈ε	p␈↓ 	∧␈ε	z␈↓ 	⊃␈εβ)␈↓ 	)␈εβ.
␈β	B␈↓ ∧6␈εp␈↓ εH␈εk␈↓ εV␈εp
␈β	J␈↓ βh␈εj␈↓ βt␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ ¬m␈εk␈↓ ¬z␈εε,␈↓ ε↓␈εj␈↓ ε
␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β	b␈↓ π∞␈ε↓P
␈β	|␈↓ λY␈ε~␈␈εε1␈↓ 
*␈εm
␈β	⎇␈↓ 	 ␈εα(␈↓ 
L␈εα)
␈β
␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αεsta␈α␈ted␈α¬iden␈α}tity␈α¬no␈α␈w␈α¬yields␈α¬the␈α¬an␈α␈sw␈α␈er␈↓ ε∩␈ε	G␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε	z␈↓ εO␈εβ)␈α	=␈↓ πv␈ε	⊗␈↓ λλ␈εβ(␈↓ λ∀␈ε	m␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε	m␈↓ 	¬␈εβln␈↓ 	,␈εβ1/(1␈ε↔␈␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
A␈εβ)␈↓ 
X␈εβ,␈απfrom
␈β
␈↓ ε(␈εp
␈β
∂␈↓ ∧(␈ε↓P
␈β
∪␈↓ π4␈εm␈↓ πK␈ε~∃␈εε1
␈β
)␈↓ ¬r␈ε~␈␈εε1␈↓ ε)␈εd␈↓ λ[␈εn
␈β
-␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈↓ βC␈ε	a␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧␈␈ε	⊗␈↓ ¬⊃␈εβ(␈↓ ¬≤␈ε	n␈↓ ¬0␈εβ/␈↓ ¬A␈ε	d␈↓ ¬S␈εβ)␈↓ ¬↑␈ε	n␈↓ ε_␈ε	p␈↓ ε8␈εβ;␈αth␈α␈u␈α␈s␈↓ π↔␈εβl␈α↓im␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε	p␈↓ λv␈εβ=␈α1␈α␈/␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	W␈εβ.␈α∞To␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αthe
␈β
8␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈εp␈↓ πF␈εp␈↓ πS␈ε~!␈α↓1␈↓ λ≠␈εn␈↓ λ+␈εp
␈β
>␈↓ ∧I␈ε↓P␈↓ πj␈ε↓P␈↓ 	d␈ε↓P
␈β
@␈↓ ∧N␈εd␈↓ ∧\␈ε~∧␈↓ ∧i␈εn
␈β
X␈↓ ε#␈εn␈↓ ε3␈εj␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εt␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εt␈↓ λ|␈εm␈↓ 	;␈ε~␈␈↓ 	T␈εt
␈β
\␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈ted␈αid␈α␈en␈α␈tity␈α␈,␈α
no␈α␈te␈αthat␈↓ ¬=␈ε	⊗␈↓ ¬P␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	n␈↓ ¬o␈εβ)␈↓ ¬z␈ε	g␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	z␈↓ ε?␈εβ)␈↓ εJ␈ε	n␈↓ π↓␈ε	j␈↓ π>␈εβ=␈↓ λS␈ε	g␈↓ λc␈εβ(␈↓ λn␈ε	z␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	≡␈ε	m␈↓ 
C␈ε	⊗␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	n␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β
o␈↓ ∧o␈εn␈↓ ∧␈␈εε,␈↓ ¬ε␈εj␈↓ ¬∩␈ε~∃␈εε1␈↓ λ⊂␈εm␈↓ λ(␈ε~∃␈εε1␈↓ 

␈εn␈↓ 
~␈ε~∧␈↓ 
'␈εm
␈β	␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	z␈↓ ↓p␈εβ).
␈β:␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	a␈↓ βπ␈εβbe␈αλt␈α␈he␈αλn␈α}um␈α}ber␈απof␈αλmo␈α␈nic␈αλp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈απof␈αλd␈α␈egree␈↓ λ≠␈ε	n␈↓ λ7␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	*␈ε	p␈↓ 	C␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ ≡␈ε	r
␈βC␈↓ ¬X␈ε↓P␈↓ λ=␈ε↓P
␈βD␈↓ αU␈εn␈↓ αf␈εp␈↓ αs␈εr
␈β]␈↓ π∀␈εn␈↓ π>␈εr␈↓ 	Y␈εk␈↓ 

␈εk
␈β↑␈↓ λ1␈εα(␈↓ 
8␈εα)
␈βa␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α
fac␈α␈tors.␈αTh␈α␈en␈↓ ∧6␈ε↔G␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε	z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬␈ε	w␈↓ ¬→␈εβ)␈α	=␈↓ εM␈ε	a␈↓ ππ␈ε	z␈↓ π%␈ε	w␈↓ πS␈εβ=␈↓ π}␈εβe␈α␈xp␈↓ 	≤␈ε	G␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	z␈↓ 	f␈εβ)␈↓ 	q␈ε	w␈↓ 
↔␈εβ/␈↓ 
(␈ε	k␈↓ 
D␈εβ,␈α
where
␈βl␈↓ ∧K␈εp␈↓ ε\␈εn␈↓ εm␈εp␈↓ εz␈εr␈↓ 	2␈εp
␈βt␈↓ ¬}␈εn␈↓ ε∞␈εε,␈↓ ε∃␈εr␈↓ ε!␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ λc␈εk␈↓ λq␈ε~∃␈εε1
␈β	␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓w␈εβis␈αthe␈α
gen␈α␈eratin␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
4;␈αcf.␈αEq.␈α1.2␈α␈.␈α↓9␈α␈↑34␈α␈.␈αWe␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β∀␈↓ ↓↑␈εp
␈β+␈↓ ↓d␈ε↓P␈↓ ε.␈ε↓P
␈βE␈↓ βπ␈εn␈↓ πJ␈εk␈↓ πx␈εk
␈βF␈↓ ε"␈εα(␈↓ λ⊃␈εα)␈↓ λV␈εα(␈↓ 
~␈εα)
␈βI␈↓ αF␈ε	A␈↓ αy␈ε	z␈↓ β!␈εβ=␈↓ βK␈ε	d␈↓ β↑␈ε↔G␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	z␈↓ ∧→␈εβ/␈↓ ∧)␈ε	p␈↓ ∧:␈εβ,␈↓ ∧I␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ)/␈↓ ∧}␈ε	d␈↓ ¬
␈ε	w␈↓ ¬+␈ε↔j␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π
␈ε	G␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	z␈↓ πW␈εβ/␈↓ πg␈ε	p␈↓ λε␈εβ)␈↓ λ"␈εβexp␈↓ λb␈εβln␈↓ λ}␈εβ(1/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	v␈ε	z␈↓ 
∧␈εβ))
␈βT␈↓ α[␈εn␈↓ αk␈εp␈↓ βr␈εp␈↓ ¬5␈εw␈↓ ¬I␈εε=1␈↓ π#␈εp
␈β\␈↓ α
␈εn␈↓ α~␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ εT␈εk␈↓ εa␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βa␈↓ ε.␈ε↓P
␈β{␈↓ λ6␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ[␈εn␈↓ λz␈εn
␈β|␈↓ ε"␈εα(␈↓ π,␈εα(␈↓ 	∃␈εα)␈↓ 
¬␈εα)
␈β␈␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π⊂␈εβln␈↓ π8␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ%␈ε	p␈↓ λl␈ε	z␈↓ 	
␈εβ)␈↓ 	!␈ε	⎇␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	n␈↓ 	U␈εβ)␈α↓/␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
⊃␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
n␈ε	z␈↓ 
|␈εβ),
␈β
∩␈↓ εT␈εn␈↓ εd␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β
B␈↓ ¬¬␈ε~␈␈εε2␈↓ 	-␈εr
␈β
F␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α$␈ε	A␈↓ α`␈εβ=␈↓ β␈ε	H␈↓ β7␈εβ+␈απ1/2␈↓ ∧⊃␈ε	p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧Q␈ε	O␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	p␈↓ ¬+␈εβ)␈αfo␈α␈r␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ε⊃␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ 	≤␈εβ2␈↓ 	C␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
coe␈α␈}cien␈α}t
␈β
Q␈↓ α9␈εn␈↓ αI␈εp␈↓ β ␈εn
␈β
j␈↓ ↓|␈εn␈↓ π>␈ε~␈␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈β
n␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	z␈↓ α↔␈εβin␈↓ α=␈ε↔G␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	z␈↓ αx␈εβ/␈↓ β	␈ε	p␈↓ β~␈εβ,␈αε2␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ ∧M␈ε	n␈↓ ∧h␈εβ+␈απ1␈αε+␈αλ(␈↓ ¬[␈ε	n␈↓ ¬v␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈↓ εJ␈ε	p␈↓ εb␈εβ+␈↓ π
␈ε	O␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	p␈↓ πd␈εβ).␈α→(Th␈α␈e␈αv␈α␈arian␈α␈ce␈αis␈αo␈α␈f␈αord␈α␈er␈↓ β␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β
x␈↓ αR␈εp
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er:␈αset␈↓ β¬␈ε	w␈↓ β'␈εβ=␈α
4␈α␈.␈α↓)
␈β∞B␈↓ ε5␈εp
␈β∞F␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβFor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β∀␈ε	s␈↓ β,␈εβ<␈↓ βY␈ε	p␈↓ βj␈εβ,␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧B␈ε	s␈↓ ∧\␈εβis␈αa␈αfact␈α␈or␈αof␈↓ ε$␈ε	x␈↓ εK␈ε↔␈␈↓ εu␈ε	x␈↓ π∩␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λ∃␈ε	p␈↓ λ&␈εβ)␈αb␈α␈y␈αFerma␈α␈t's␈α
t␈α␈heo␈α␈rem.␈α∞So
␈β∞f␈↓ λP␈εp
␈β∞j␈↓ ↓Y␈εp
␈β∞k␈↓ ∧M␈εα(␈↓ π␈␈εα)␈↓ 	␈εα(
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓n␈ε↔␈␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α3␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ ∧→␈εβlcm␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧r␈ε↔␈␈εβ␈απ0,␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬R␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε~␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εG␈εβ,␈↓ εV␈ε	x␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ π"␈ε	p␈↓ π:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ λ∀␈εβ=␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ.␈↓ 	␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αthe
␈β∞t␈↓ βE␈ε↓α␈↓ β←␈ε↓β
␈β∞⎇␈↓ λP␈∧∞⎇λPα∞
␈β∂∞␈↓ βQ␈εp
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tirl␈α↓in␈α␈g␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ βx␈εβa␈α␈re␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓es␈αo␈α␈f␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ εε␈εβex␈α}cep␈α␈t␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ πH␈ε	k␈↓ πc␈εβ=␈α1,␈↓ λ6␈ε	k␈↓ λQ␈εβ=␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	∂␈εβ.␈α∞E␈α↓q␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α1.2.6␈α␈↑41
␈β∂"␈↓ λ:␈ε↓λ␈↓ λZ␈ε↓␈	
␈β∂&␈↓ βR␈εk
␈β∂=␈↓ λL␈εp
␈β∂A␈↓ 
x␈εα)
␈β∂D␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈ws␈αth␈α␈at␈αthe␈α
same␈αsta␈α␈temen␈α}t␈αis␈αvalid␈αfo␈α␈r␈αStirli␈α↓n␈α␈g␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ λw␈εβof␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αkin␈α␈d.
␈β∂T␈↓ λL␈εk
␈β∂u␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α	facto␈α␈rs␈α
o␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
r␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
a␈α␈re␈α
re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α	prime,␈α
a␈α␈nd␈α	eac␈α␈h␈α
is␈α	a␈α
d␈α␈ivisor␈α	of␈↓ 	r␈ε	u␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	x␈↓ 
"␈εβ)␈α↓,␈α
so␈α	th␈α␈eir
␈β⊂≤␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ β4␈ε	u␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε	x␈↓ βe␈εβ).␈αOn␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αha␈α␈nd␈α␈,
␈β⊂@␈↓ π;␈ε↓Q
␈β⊂Z␈↓ ε⊃␈εp
␈β⊂[␈↓ λ6␈εα(␈↓ 	8␈εα)
␈β⊂↑␈↓ β&␈ε	u␈↓ β:␈εβ(␈↓ βF␈ε	x␈↓ βW␈εβ)␈↓ ∧*␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬X␈ε	v␈↓ ¬i␈εβ(␈↓ ¬t␈ε	x␈↓ εε␈εβ)␈↓ ε&␈ε↔␈␈↓ εO␈ε	v␈↓ ε`␈εβ(␈↓ εk␈ε	x␈↓ ε⎇␈εβ)␈α	=␈↓ λB␈ε	v␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε	x␈↓ λo␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	+␈ε	s␈↓ 	D␈εβ,
␈β⊂p␈↓ π]␈εε0␈ε~∀␈↓ λβ␈εs␈↓ λ∂␈εε<␈↓ λ(␈εp
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβso␈α
i␈α↓t␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈αthe␈αrigh␈α}t-ha␈α␈nd␈αsid␈α␈e␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.5.2↑␈α␈2.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα700␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈α
v␈α␈ecto␈α␈r␈α(18)␈αis␈αthe␈αo␈α␈nly␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αwh␈α␈ose␈↓ εl␈ε	k␈↓ ε|␈εβth␈αc␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈αis␈αno␈α␈nze␈α␈ro.
␈βαk␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβFor␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∩s␈α␈tart␈α⊂with␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ ¬*␈ε↔ ␈εβ␈α∩1,␈↓ ελ␈ε	y␈↓ ε,␈ε↔ ␈εβ␈α∩1;␈α∩the␈α␈n␈α⊂rep␈α␈eate␈α␈dly␈α⊂se␈α␈t␈ε	␈α⊂R␈εβ[␈↓ 	]␈ε	x␈↓ 	n␈εβ]␈ε↔␈α∩ ␈↓ 
;␈ε	y␈↓ 
N␈εβ,␈↓ 
h␈ε	x␈↓ ␈ε↔ 
␈ββ∪␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓o␈εβmod␈↓ α4␈εβ1␈α␈01,␈↓ αz␈ε	y␈↓ β⊗␈ε↔ ␈εβ␈α	51␈↓ βb␈ε	y␈↓ βz␈εβm␈α␈od␈↓ ∧>␈εβ10␈α␈1,␈αon␈α␈e␈αh␈α␈u␈α␈nd␈α␈red␈αtimes␈α␈.
␈ββO␈↓ 
b␈εε[1␈α␈]
␈ββS␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβThe␈α∞ma␈α␈trix␈↓ βD␈ε	Q␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧⊃␈ε	I␈↓ ∧.␈εβbelo␈α␈w␈α∞ha␈α␈s␈α∂a␈α∞n␈α}ull␈α∂sp␈α␈ace␈α∞g␈α␈enera␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞v␈α␈ec␈α␈tors␈↓ 
P␈ε	v␈↓ ␈εβ=
␈ββw␈↓ βp␈εε[2]
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈α¬0,␈αε0),␈↓ β←␈ε	v␈↓ ∧∀␈εβ=␈α
(0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1).␈αThe␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis
␈β∧O␈↓ ∧M␈εε6␈↓ ¬≠␈εε5␈↓ ¬j␈εε4␈↓ π ␈εε2
␈β∧U␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε	x␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ ¬}␈εβ+␈↓ ε&␈ε	x␈↓ ε?␈εβ+␈αλ1␈α␈)(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π4␈εβ+␈↓ π]␈ε	x␈↓ πu␈εβ+␈αλ1).
␈β¬*␈↓ βL␈ε	p␈↓ βf␈εβ=␈α	2
␈β¬/␈↓ λn␈ε	p␈↓ 	λ␈εβ=␈α
5
␈β¬B␈↓ α∪␈ε↓0␈↓ ¬A␈ε↓1
␈β¬G␈↓ πQ␈ε↓0␈↓ 
I␈ε↓1
␈β¬↑␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β¬l␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ0␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ0␈↓ 	⎇␈εβ0␈↓ 
3␈εβ0
␈βεβ␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε¬␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈βελ␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε∀␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ4␈↓ λ[␈εβ0␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ0␈↓ 	⎇␈εβ1␈↓ 
3␈εβ0
␈βε_␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε≡␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε-␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈βε.␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε3␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε;␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ4
␈βεD␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βεI␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βεU␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈βεY␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βε←␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βεc␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ1␈↓ λ[␈εβ4␈↓ 	⊃␈εβ4␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ2␈↓ 
3␈εβ1
␈βεo␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βεt␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βε|␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈βπ∧␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βπ
␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈βπ␈↓ πo␈εβ2␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ3␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ2
␈βπ~␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈βπ∨␈↓ πQ␈ε↓@␈↓ 
I␈ε↓A
␈βπ$␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈βπ0␈↓ α∪␈ε↓@␈↓ ¬A␈ε↓A
␈βπ2␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ4␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ1␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ2
␈βπK␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈βπZ␈↓ πo␈εβ3␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ1␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ2␈↓ 
3␈εβ1
␈βπs␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈βλ(␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβRemo␈α}ving␈α
th␈α␈e␈αtrivial␈αfa␈α␈ctor␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬7␈εβ,␈αth␈α␈e␈αma␈α␈trix␈↓ εq␈ε	Q␈↓ π⊂␈ε↔␈␈↓ π8␈ε	I␈↓ πR␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αh␈α␈as␈αa␈α
n␈α␈u␈α␈ll␈αspa␈α␈ce␈αg␈α␈enera␈α␈ted
␈βλO␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈)␈αand␈α
(0,␈αε3␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬2,␈αε1).␈αThe␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈αis
␈β	#␈↓ ∧⊗␈εε2␈↓ ¬]␈εε5␈↓ ε<␈εε4␈↓ π
␈εε3␈↓ πi␈εε2
␈β	)␈↓ βh␈ε	x␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧*␈εβ+␈αλ3␈↓ ∧c␈ε	x␈↓ ∧|␈εβ+␈αλ4)(␈↓ ¬L␈ε	x␈↓ ¬q␈εβ+␈αλ2␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εP␈εβ+␈↓ εy␈ε	x␈↓ π≡␈εβ+␈αλ4␈↓ πW␈ε	x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ>␈εβ+␈αλ3␈α␈)␈α↓.
␈β
_␈↓ β}␈εε4␈↓ ∧P␈εε4
␈β
≤␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	p␈↓ αG␈εβ=␈α
2␈α␈,␈α(␈↓ β"␈ε	x␈↓ β:␈εβ+␈απ1␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧∀␈εβ=␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧c␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αIf␈↓ ¬R␈ε	p␈↓ ¬l␈εβ=␈α	8␈↓ ε'␈ε	k␈↓ ε>␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ π␈ε	Q␈↓ π+␈ε↔␈␈↓ πS␈ε	I␈↓ πm␈εβis␈αth␈α␈e␈αz␈α␈ero␈αm␈α␈atrix,␈αso␈α
the␈α␈re␈αare
␈β
D␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈ur␈αfac␈α␈tors.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αoth␈α␈er␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ ¬'␈ε	p␈↓ ¬C␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β↔␈↓ ∧↓␈ε	p␈↓ ∧≠␈εβ=␈α
8␈↓ ∧V␈ε	k␈↓ ∧n␈εβ+␈αλ3␈↓ ε,␈ε	p␈↓ εF␈εβ=␈α
8␈↓ πα␈ε	k␈↓ π→␈εβ+␈αλ5␈↓ λW␈ε	p␈↓ λr␈εβ=␈α	8␈↓ 	-␈ε	k␈↓ 	E␈εβ+␈απ7
␈β/␈↓ βB␈ε↓0␈↓ ¬N␈ε↓1␈↓ ¬n␈ε↓0␈↓ πy␈ε↓1␈↓ λ→␈ε↓0␈↓ 
$␈ε↓1
␈βO␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 
∞␈εβ0
␈βp␈↓ βB␈ε↓B␈↓ ¬N␈ε↓C␈↓ ¬n␈ε↓B␈↓ πy␈ε↓C␈↓ λ→␈ε↓B␈↓ 
$␈ε↓C
␈βv␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧π␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ ε2␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ1
␈βε␈↓ βB␈ε↓@␈↓ ¬N␈ε↓A␈↓ ¬n␈ε↓@␈↓ πy␈ε↓A␈↓ λ→␈ε↓@␈↓ 
$␈ε↓A
␈β∂␈↓ α4␈ε	Q␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ α|␈ε	I␈↓ β∀␈εβ=
␈β≡␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧O␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	%␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 
∞␈εβ0
␈βE␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬↔␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πB␈ε↔␈␈εβ2␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ1
␈β
↔␈↓ 
h␈εε4
␈β
_␈↓ πI␈εα(
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α∩␈ε	Q␈↓ α-␈ε↔␈␈↓ αQ␈ε	I␈↓ αh␈εβha␈α␈s␈αλran␈α␈k␈απ2,␈α	so␈απthe␈α␈re␈αλar␈α␈e␈αλ4␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈αβ2␈α	=␈α	2␈αλfac␈α␈tors.␈↓ πU␈εβBut␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απeasy␈απto␈απpro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈↓ 
W␈ε	x␈↓ 
x␈εβ+␈αβ1
␈β
C␈↓ ↓H␈εβis␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αsince␈αit␈αh␈α␈as␈αno␈α
l␈α↓in␈α␈ear␈αfac␈α␈tors␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈αof␈↓ 
t␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β
k␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈αλfac␈α␈tor␈αλof␈α	d␈α␈egre␈α␈e␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλm␈α␈u␈α␈st␈α	b␈α␈e␈α	less␈αλth␈α␈an␈αλor␈αλequ␈α␈al␈α	t␈α␈o␈α	2␈αλin␈αλab␈α␈solut␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈αλb␈α␈y␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ20␈α␈.
␈β∞∞␈↓ 
%␈εk
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ α/␈ε	k␈↓ αI␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈α	H.␈α	P.␈α	F.␈α	S␈α␈wi␈α↓n␈α␈ne␈α␈rton␈α␈-␈α↓D␈α␈y␈α␈er␈αλha␈α␈s␈α	e␈α␈xh␈α␈i␈α↓b␈α␈ited␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλof␈αλdeg␈α␈ree␈↓ 
∀␈εβ2␈↓ 
;␈εβth␈α␈at␈αλare
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α	the␈α	in␈α␈te␈α␈gers,␈α	bu␈α␈t␈α	they␈αλsplit␈α	comp␈α␈letely␈α	in␈α}to␈α	li␈α↓n␈α␈ear␈α	a␈α␈nd␈αλqua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈αλfactor␈α␈s
␈β∞]␈↓ πK␈εε8␈↓ λ=␈εε6␈↓ 	/␈εε4␈↓ 
2␈εε2
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
ev␈α}ery␈α
p␈α␈rime.␈α⊃F␈α↓o␈α␈r␈α
deg␈α␈ree␈α
8␈α␈,␈α∞his␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈αi␈α↓s␈↓ π:␈ε	x␈↓ π`␈ε↔␈␈εβ␈α	16␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λR␈εβ+␈α
8␈α␈8␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	E␈εβ+␈α	1␈α␈92␈↓ 
!␈ε	x␈↓ 
G␈εβ+␈α	144␈α␈,
␈β∂β␈↓ βJ␈∧∂ββJα⊃␈↓ ∧+␈∧∂β∧+α⊃
␈β∂∧␈↓ β(␈ε↔p␈↓ ∧	␈ε↔p
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
roots␈ε↔␈α
ε␈↓ βJ␈εβ2␈↓ βa␈ε↔ε␈↓ ∧+␈εβ3␈↓ ∧B␈ε↔ε␈↓ ∧j␈ε	i␈↓ ¬α␈εβ[see␈ε⊂␈α
Ma␈α␈th.␈αCo␈α␈mp␈α␈.␈ε∪␈α24␈εβ␈α
(197␈α␈0),␈α73␈α␈3↑7␈α␈34].␈αAcco␈α␈rding␈α
to␈α
the
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβth␈α␈eor␈α␈em␈α	of␈αλF␈α↓ro␈α␈ben␈α␈ius␈α	c␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈α	in␈αλex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α	33␈α␈,␈α
an␈α}y␈α	irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α	p␈α␈olyn␈α␈omial␈α	o␈α␈f␈α	deg␈α␈ree␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
U␈εβw␈α↓h␈α␈ose
␈β∂U␈↓ 
/␈εα)
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβGa␈α␈lois␈αgrou␈α␈p␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αno␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧P␈εβ-␈α↓c␈α␈y␈α␈cles␈αwill␈αh␈α␈av␈α}e␈αfacto␈α␈rs␈αmod␈α␈ulo␈αalmo␈α␈st␈αall␈αprimes.
␈β⊂_␈↓ ∧s␈∧⊂_∧sα2␈↓ ¬b␈∧⊂_¬bα⊃␈↓ π9␈∧⊂_π9α2␈↓ λ(␈∧⊂_λ(α⊃␈↓ 	␈␈∧⊂_	␈α2␈↓ 
n␈∧⊂_
nα⊃
␈β⊂→␈↓ ∧R␈ε↔p␈↓ ¬A␈ε↔p␈↓ π_␈ε↔p␈↓ λπ␈ε↔p␈↓ 	↑␈ε↔p␈↓ 
M␈ε↔p
␈β⊂≠␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬s␈εα)␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ λ9␈εα)␈↓ λE␈εα(␈↓ 
␈␈εα)
␈β⊂≡␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	p␈↓ α&␈εβ=␈α
8␈↓ αa␈ε	k␈↓ αs␈εβ+␈αα1␈α␈:␈↓ βD␈ε	x␈↓ β]␈εβ+␈αλ(1␈απ+␈↓ ∧s␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬%␈εβ)/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε#␈εβ+␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πk␈εβ)/␈↓ λ(␈εβ2␈↓ λQ␈ε	x␈↓ λj␈ε↔␈␈εβ␈απ(1␈απ+␈↓ 	␈␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 
1␈εβ)␈α↓/␈↓ 
n␈εβ2␈↓ ␈ε↔α
␈β⊂E␈↓ βα␈∧⊂Eβαα2␈↓ βq␈∧⊂Eβqα⊃␈↓ εR␈∧⊂EεRα2␈↓ λ]␈∧⊂Eλ]α2
␈β⊂F␈↓ αa␈ε↔p␈↓ βP␈ε↔p␈↓ ε0␈ε↔p␈↓ λ<␈ε↔p
␈β⊂G␈↓ ¬t␈εε2␈↓ π␈␈εε2
␈β⊂H␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧α␈εα)␈↓ ¬V␈εα(␈↓ πV␈εα)␈↓ πb␈εα(␈↓ 	a␈εα)
␈β⊂K␈↓ ↓T␈ε	x␈↓ ↓l␈ε↔␈␈εβ␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βα␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ β4␈εβ)/␈↓ βq␈εβ2␈↓ ∧∞␈εβ.␈↓ ∧'␈ε	p␈↓ ∧A␈εβ=␈α
8␈↓ ∧|␈ε	k␈↓ ¬∂␈εβ+␈αβ3:␈↓ ¬b␈ε	x␈↓ ελ␈ε↔␈␈↓ εR␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π∧␈ε	x␈↓ π≤␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πn␈ε	x␈↓ λ∪␈ε↔␈␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	(␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	m␈εβ.␈↓ 
ε␈ε	p␈↓ 
!␈εβ=␈α	8␈↓ 
\␈ε	k␈↓ 
o␈εβ+␈αβ5␈α␈:
␈β⊂q␈↓ αC␈∧⊂qαCα2␈↓ β|␈∧⊂qβ|α2␈↓ π#␈∧⊂qπ#α⊃␈↓ 	∞␈∧⊂q	∞α⊃
␈β⊂s␈↓ ↓e␈εε2␈↓ α"␈ε↔p␈↓ β≡␈εε2␈↓ β[␈ε↔p␈↓ εE␈εε2␈↓ πα␈ε↔p␈↓ λ0␈εε2␈↓ λl␈ε↔p
␈β⊂t␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αu␈εα)␈↓ β↓␈εα(␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ε(␈εα(␈↓ λε␈εα)␈↓ λ∩␈εα(␈↓ 	p␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓T␈ε	x␈↓ ↓y␈ε↔␈␈↓ αC␈ε↔␈␈εβ1␈↓ β
␈ε	x␈↓ β2␈ε↔␈␈↓ β|␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧:␈εβ.␈↓ ∧`␈ε	p␈↓ ∧}␈εβ=␈α
8␈↓ ¬<␈ε	k␈↓ ¬U␈εβ+␈α	7:␈↓ ε4␈ε	x␈↓ εY␈ε↔␈␈↓ π#␈εβ2␈↓ π4␈ε	x␈↓ πM␈εβ+␈αλ1␈↓ λ≡␈ε	x␈↓ λD␈εβ+␈↓ 	∞␈εβ2␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	7␈εβ+␈αλ1␈↓ 	|␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α
latte␈α␈r
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αalso␈α
hold␈α␈s␈αo␈α␈v␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|␈α␈eld␈αof␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα701
␈βα&␈↓ ∧d␈εε(␈↓ ∧l␈εp␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ 

␈εε(␈↓ 
∪␈εp␈↓ 
!␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβThe␈αεg␈α␈cd␈αεis␈αε1␈αεwh␈α␈en␈αε(␈↓ ∧∀␈ε	s␈↓ ∧+␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	t␈↓ ∧Y␈εβ)␈↓ ¬K␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈αεor␈ε↔␈αε␈␈εβ1␈αεfor␈αεall␈↓ π@␈ε	i␈↓ πM␈εβ;␈αλit␈απis␈↓ λ↔␈ε	w␈↓ λ0␈εβ(␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λL␈εβ)␈αεw␈α↓h␈α␈en␈α¬(␈↓ 	;␈ε	s␈↓ 	Q␈εβ+␈↓ 	s␈ε	t␈↓ 	␈␈εβ)␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈βα5␈↓ ∧∨␈εi␈↓ 	F␈εi
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	all␈↓ α%␈ε	i␈↓ α2␈εβ.␈α
To␈α	g␈α␈et␈α	a␈αλlo␈α␈w␈α␈er␈αλbou␈α␈nd␈αλo␈α␈n␈↓ ¬)␈ε	P␈↓ ¬@␈εβ,␈α
let␈↓ ε␈ε	k␈↓ ε~␈εβ=␈α	2.␈αTh␈α␈e␈α	\␈α␈ba␈α␈d"␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αλof␈↓ 	∩␈ε	t␈↓ 	&␈εβsatisfy␈↓ 

␈ε	t␈↓ 
#␈ε↔⊃␈α	␈␈↓ 
n␈ε	s␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈βα\␈↓ 
z␈εε1
␈βαu␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εp␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1)/2
␈βαv␈↓ αq␈εα(␈↓ ∧Z␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈ε↔⊃␈α	␈␈↓ α)␈ε	s␈↓ αJ␈εβor␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε	s␈↓ β%␈εβ+␈↓ βL␈ε	t␈↓ βX␈εβ)/(␈↓ β␈␈ε	s␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧C␈ε	t␈↓ ∧O␈εβ)␈↓ ¬M␈ε↔⊃␈εβ␈α	1.␈αFu␈α␈rtherm␈α␈ore␈α	(␈↓ πi␈ε	s␈↓ λπ␈εβ+␈↓ λ-␈ε	t␈↓ λ9␈εβ)/(␈↓ λ`␈ε	s␈↓ λ⎇␈εβ+␈↓ 	$␈ε	t␈↓ 	0␈εβ)␈α	run␈α␈s␈α
th␈α␈roug␈α␈h␈α	all
␈ββ∧␈↓ α4␈εε2␈↓ β∪␈εε1␈↓ ∧
␈εε2␈↓ πt␈εε1␈↓ λk␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αex␈α}cept␈α
0␈αa␈α␈nd␈α
1␈αa␈α␈s␈↓ ∧5␈ε	t␈↓ ∧L␈εβru␈α␈ns␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α
all␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αo␈α␈ther␈α
tha␈α␈n␈ε↔␈α␈␈↓ λl␈ε	s␈↓ 	∂␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
␈␈↓ 	p␈ε	s␈↓ 
λ␈εβ,␈αmod␈α␈ulo␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈ββ,␈↓ λw␈εε1␈↓ 	{␈εε2
␈ββF␈↓ λα␈εα(
␈ββI␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αt␈α␈here␈αare␈αa␈α␈t␈αmost␈α2␈απ+␈αλ(␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬~␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)/2␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ1␈αbad␈αva␈α␈lues.␈↓ λ∞␈εβIf␈↓ λ0␈ε	t␈↓ λF␈ε↔⊃␈α␈␈↓ 	∪␈ε	s␈↓ 	7␈εβan␈α␈d␈↓ 	y␈ε	t␈↓ 
∂␈ε↔⊃␈α␈␈↓ 
\␈ε	s␈↓ ␈εβare
␈ββS␈↓ 	∨␈εε1␈↓ 
h␈εε2
␈ββl␈↓ βs␈εε(␈↓ β|␈εp␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈ββm␈↓ 
a␈εα)
␈ββp␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈α
ba␈α␈d,␈αthen␈α
(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ βh␈εβ)␈↓ ∧Z␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈;␈αth␈α}us␈↓ ¬s␈ε	P␈↓ ε∀␈ε↔∃␈εβ␈α	1/2␈απ+␈απ1/(2␈↓ π]␈ε	p␈↓ πn␈εβ)␈αwh␈α␈en␈↓ λ[␈ε	p␈↓ λv␈ε↔⊃␈εβ␈α	3␈α	(mod␈α␈ulo␈α4␈α␈).
␈β∧_␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIt␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
with␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
>␈α
1␈ε↔␈αε␈␈↓ π)␈ε	∂␈↓ π@␈εβw␈α␈e␈α
w␈α↓ill␈α|␈α␈nd␈α	a␈α
roo␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ 	w␈ε	w␈↓ 
∂␈εβ(␈↓ 
~␈ε	x␈↓ 
,␈εβ)␈α
mod␈α␈ulo
␈β∧;␈↓ ∧,␈εε2␈↓ ¬⊂␈εε3␈↓ ¬b␈εε3␈↓ εE␈εε2
␈β∧<␈↓ α)␈εα(␈↓ ε]␈εα)␈↓ λb␈εα(
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓g␈εβin␈↓ α⊃␈ε	O␈↓ α5␈εβ(␈↓ α@␈εβlog␈↓ αk␈εβ(1/␈↓ β↔␈ε	∂␈↓ β$␈εβ))(␈↓ βE␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βv␈ε	k␈↓ ∧ε␈εβ)(␈↓ ∧≤␈ε	k␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε	p␈↓ ¬¬␈εβ)␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬Q␈ε	k␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε)␈ε	p␈↓ ε:␈εβ)␈↓ εR␈εβ)␈↓ εx␈εβu␈α␈nits␈α∞of␈α∞time.␈↓ λn␈εβTh␈α␈e␈α∞f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ 
→␈εβlog␈↓ 
C␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ 
p␈ε	∂␈↓ 
⎇␈εβ)␈α∞is
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∂o␈α␈f␈α∂ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈α∂trials␈α∞ne␈α␈ede␈α␈d␈α∞per␈α∞red␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α∂while␈↓ λk␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	≠␈ε	k␈↓ 	:␈εβis␈α∂th␈α␈e␈α∞max␈α␈im␈α␈um
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλo␈α␈f␈α	re␈α␈du␈α␈ction␈α␈s,␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈αλth␈α␈e␈αλd␈α␈egree␈απi␈α↓s␈αλa␈α␈t␈αλw␈α␈orst␈αλh␈α␈alv␈α␈ed␈απwhen␈απa␈αλn␈α␈on␈α}tri␈α↓v␈α␈ial␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β¬2␈↓ αd␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ πV␈εε(␈↓ π↑␈εp␈↓ πl␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ 
<␈εε3␈↓  ␈εε2
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβis␈αfou␈α␈nd␈α␈;␈↓ αT␈ε	k␈↓ αp␈εβ(␈↓ α|␈εβlo␈α␈g␈↓ β,␈ε	p␈↓ β=␈εβ)␈↓ βa␈εβu␈α␈nits␈αof␈αtime␈αwil␈α↓l␈αev␈α␈aluat␈α␈e␈α
(␈↓ ε|␈ε	x␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π?␈ε	t␈↓ πK␈εβ)␈↓ λ9␈εβmo␈α␈d␈↓ λ⎇␈ε	w␈↓ 	⊗␈εβ(␈↓ 	!␈ε	x␈↓ 	3␈εβ),␈α
wh␈α␈il␈α↓e␈↓ 
,␈ε	k␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈εβlog␈↓ ∧␈ε	p␈↓ ∃␈εβ)
␈β¬[␈↓ ∧Q␈εα)
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈}ce␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈αgcd␈α␈.␈↓ ∧w␈εβOn␈αthe␈αot␈α␈her␈αha␈α␈nd␈α␈,␈αthe␈αtru␈α␈e␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αis␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
bette␈α␈r
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈απth␈α␈ese␈αλ\␈α␈wo␈α␈rst-case␈α␈"␈αλest␈α␈i␈α↓m␈α␈ates.␈α
Su␈α␈pp␈α␈ose␈απtha␈α␈t␈αλea␈α␈ch␈αλline␈α␈ar␈αλfa␈α␈ctor␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	∩␈ε↔␈␈↓ 	6␈ε	s␈↓ 	T␈εβh␈α␈as␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βε⊂␈↓ 	A␈εi
␈βε)␈↓ β}␈εε(␈↓ ∧ε␈εp␈↓ ∧∀␈ε~␈␈εε1)/2
␈βε*␈↓ ↓K␈εε1
␈βε-␈↓ ↓i␈εβof␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
(␈↓ β"␈ε	x␈↓ β=␈εβ+␈↓ βg␈ε	t␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧e␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞fo␈α␈r␈α∞ea␈α␈ch␈↓ ε2␈ε	t␈↓ ε>␈εβ,␈α∂ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞b␈α␈eha␈α␈vior␈α
for␈α∞o␈α␈ther␈↓ ∃␈ε	s
␈βε8␈↓  ␈εj
␈βε;␈↓ ↓K␈∧ε;↓Kα
␈βε=␈↓ ↓K␈εε2
␈βεU␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	t␈↓ α∀␈εβ.␈αThe␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αen␈α␈cod␈α␈e␈αeac␈α␈h␈↓ ¬
␈ε	s␈↓ ¬+␈εβby␈α
a␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈α0's␈αan␈α␈d␈α1's␈αacc␈α␈ordin␈α␈g␈αas␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
$␈ε↔␈␈↓ 
M␈ε	s␈↓ 
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈βε←␈↓ ¬∃␈εi␈↓ 
X␈εi
␈βεx␈↓ ∧6␈εε(␈↓ ∧>␈εp␈↓ ∧L␈ε~␈␈εε1)/2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α∞d␈α␈oesn␈α␈'␈α↓t␈α
divid␈α␈e␈α∞(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βu␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	t␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ¬≥␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞fo␈α␈r␈α∞the␈α
suc␈α␈cessiv␈α␈e␈↓ πu␈ε	t␈↓ λ↓␈εβ's␈α∞tried␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈btain␈α
a␈α
rand␈α␈om
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβb␈α␈inar␈α␈y␈αtrie␈αwith␈↓ β:␈ε	k␈↓ βU␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈α(cf.␈αSe␈α␈ction␈α
6.3).␈αT␈α↓h␈α␈e␈αco␈α␈st␈αasso␈α␈ciated␈α
wi␈α↓th␈α
an␈α
i␈α↓n␈α}tern␈α␈al␈αno␈α␈de␈αo␈α␈f
␈βπG␈↓ π␈εε2␈↓ πd␈εε3␈↓ λ5␈εε3␈↓ 	→␈εε2
␈βπH␈↓ εb␈εα(␈↓ 	&␈εα)
␈βπK␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
trie,␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ β@␈ε	d␈↓ β←␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈αas␈αde␈α␈scend␈α␈an␈α}ts,␈α
is␈↓ εJ␈ε	O␈↓ εn␈ε	d␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈εβlog␈↓ πH␈ε	p␈↓ πY␈εβ)␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ#␈ε	d␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈εβlog␈↓ λ⎇␈ε	p␈↓ 	∞␈εβ)␈↓ 	2␈εβ.␈α∂Th␈α␈e␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αto
␈βπQ␈↓ ∧⊃␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ ¬h␈ε↓␈␈↓ εε␈ε↓↓␈↓ π*␈ε↓␈␈↓ πI␈ε↓↓␈↓ 	↓␈ε↓␈␈↓ 	∨␈ε↓↓␈↓ 
w␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓↓
␈βπU␈↓ ¬<␈ε↓P␈↓ λU␈ε↓P
␈βπk␈↓ ∧∨␈εn␈↓ ¬v␈εn␈↓ π8␈εn␈↓ 	∂␈εn␈↓ ¬␈εn
␈βπo␈↓ ¬↓␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬&␈εn␈↓ λ~␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ?␈εn
␈βπs␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈curre␈α␈nces␈↓ β2␈ε	A␈↓ βd␈εβ=␈↓ ∧F␈εβ+␈↓ ∧p␈εβ2␈↓ ε∀␈ε	A␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εM␈ε	B␈↓ ε⎇␈εβ=␈↓ π←␈εβ+␈↓ λ	␈εβ2␈↓ 	-␈ε	B␈↓ 	N␈εβ,␈α
is␈↓ 
π␈ε	A␈↓ 
9␈εβ=␈α2␈↓ #␈εβ,
␈βπ}␈↓ βH␈εn␈↓ ε)␈εk␈↓ εa␈εn␈↓ 	A␈εk␈↓ 
≤␈εn
␈βλ␈↓ α:␈ε↓␈␈↓ αX␈ε↓↓
␈βλβ␈↓ ∧!␈εε2␈↓ ¬w␈εk␈↓ π:␈εε3␈↓ 	⊂␈εk␈↓ π␈εε2
␈βλ~␈↓ αH␈εn
␈βλ≡␈↓ α)␈εε4
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓x␈εβ=␈↓ αf␈εβ,␈α∞b␈α␈y␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α5.2.2↑3␈α␈6.␈α⊃Hen␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
sum␈αof␈α
cos␈α␈ts␈α
i␈α↓n␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αran␈α␈do␈α␈m␈α
trie←
␈βλ,␈↓ ↓[␈εn
␈βλ0␈↓ α)␈∧λ0α)α
␈βλ2␈↓ α)␈εε3␈↓ αI␈εε3
␈βλJ␈↓ πg␈εε2␈↓ λK␈εε3␈↓ 	∀␈εε3␈↓ 	x␈εε2
␈βλK␈↓ πK␈εα(␈↓ 
∧␈εα)
␈βλN␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈α	th␈α␈e␈α
time␈α	to␈α	f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ ¬
␈ε	w␈↓ ¬#␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ)␈ε⊂␈α
com␈α␈pletely␈εβ␈α␈←␈α↓is␈↓ π2␈ε	O␈↓ πW␈ε	k␈↓ πt␈εβ(␈↓ π␈␈εβlog␈↓ λ/␈ε	p␈↓ λ@␈εβ)␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	k␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	,␈εβlo␈α␈g␈↓ 	\␈ε	p␈↓ 	m␈εβ)␈↓ 
~␈εβu␈α␈nd␈α␈er␈α
th␈α␈is
␈βλu␈↓ ↓H␈εβp␈α␈laus␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αassu␈α␈mption␈α␈.
␈β	%␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβWe␈α
m␈α␈ay␈α	assu␈α␈me␈α	that␈↓ ∧F␈ε	u␈↓ ∧c␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α	an␈α␈d␈α	that␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εI␈εβis␈α	odd␈α␈.␈αBerlek␈α␈amp␈α␈'␈α↓s␈α	meth␈α␈od␈α	ap␈α␈plied␈α	to␈α	the
␈β	H␈↓ βε␈εε2␈↓ 	%␈εε(␈↓ 	-␈εp␈↓ 	;␈ε~␈␈εε1)/2
␈β	L␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε	x␈↓ β~␈ε↔␈␈↓ βC␈ε	u␈↓ βb␈εβtell␈α↓s␈αus␈αtha␈α␈t␈αa␈αsqu␈α␈are␈αroo␈α␈t␈αex␈α␈i␈α↓st␈α␈s␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈↓ 	⊃␈ε	u␈↓ 
λ␈εβmo␈α␈d␈↓ 
L␈ε	p␈↓ 
g␈εβ=␈α1␈α␈;
␈β	t␈↓ ↓H␈εβlet␈αu␈α␈s␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈αthis␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αho␈α␈lds.
␈β
_␈↓ βb␈εe
␈β
≤␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	p␈↓ αb␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
=␈↓ βQ␈εβ2␈↓ βt␈ε↔↓␈↓ ∧¬␈ε	q␈↓ ∧∀␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬	␈ε	q␈↓ ¬$␈εβis␈αodd␈α␈.␈α
Zasse␈α␈nh␈α␈aus's␈αfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αsug␈α␈gests␈αthe
␈β
C␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αsqu␈α␈are-ro␈α␈ot␈αex␈α␈traction␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m:␈αSe␈α␈t␈↓ ε|␈ε	t␈↓ π∩␈ε↔ ␈εβ␈α	0.␈αEvalu␈α␈ate
␈β
t␈↓ β
␈εq␈↓ βw␈εε2␈↓ ε∞␈εε2␈↓ ε~␈εq␈↓ ππ␈εε2
␈β
w␈↓ α≠␈εα(␈↓ ∧H␈εα)␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ πX␈εα)
␈β
z␈↓ ↓i␈εβgc␈α␈d␈↓ α'␈εβ(␈↓ α2␈ε	x␈↓ αK␈εβ+␈↓ αs␈ε	t␈↓ α␈␈εβ)␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βf␈ε	x␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧l␈εβgcd␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬w␈ε	t␈↓ εβ␈εβ)␈↓ ε.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ εv␈ε	x␈↓ π≠␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	u␈↓ πd␈εβ,
␈β#␈↓ ¬W␈εε4␈↓ ¬d␈εq␈↓ εQ␈εε2␈↓ λg␈εε8␈↓ λt␈εq␈↓ 	a␈εε2
␈β&␈↓ ∧h␈εα(␈↓ π"␈εα)␈↓ πx␈εα(␈↓ 
1␈εα)
␈β)␈↓ ∧6␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬↔␈εβ+␈↓ ¬@␈ε	t␈↓ ¬L␈εβ)␈↓ ¬w␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε?␈ε	x␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	u␈↓ π.␈εβ,␈↓ πF␈εβg␈α␈cd␈↓ λ∧␈εβ(␈↓ λ∂␈ε	x␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε	t␈↓ λ\␈εβ)␈↓ 	π␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 	u␈ε↔␈␈↓ 
≥␈ε	u␈↓ 
=␈εβ,␈↓ 
U␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εβ,
␈β`␈↓ ↓H␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α|n␈α␈ding␈α
the␈α|␈α␈rst␈αcase␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αgcd␈α
i␈α↓s␈αn␈α␈ot␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ~␈ε	p␈↓ λ+␈εβ)␈α↓.␈αIf␈αthe␈αg␈α␈cd␈αis␈↓ 
∧␈ε	x␈↓ 
≥␈ε↔␈␈↓ 
F␈ε	v␈↓ 
W␈εβ,␈αth␈α␈en
␈ββ␈↓ ∧B␈εε2
␈β¬␈↓ ↓i␈∧¬↓iα∃
␈βε␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βπ␈↓ ↓i␈ε	u␈↓ αε␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ αR␈ε	v␈↓ αc␈εβ.␈αIf␈αthe␈α
gcd␈α
i␈α↓s␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧V␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε	u␈↓ ¬∪␈εβ,␈αset␈↓ ¬[␈ε	t␈↓ ¬p␈ε↔ ␈↓ ε≠␈ε	t␈↓ ε.␈εβ+␈αλ1␈α
and␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion.
␈β+␈↓ βu␈εk␈↓ ∧h␈εε2␈↓ 	∂␈εk␈↓ 	≤␈εε+␈α↓1␈↓ 
)␈εε2
␈β/␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIf␈α(␈↓ β∨␈ε	x␈↓ β6␈εβ+␈↓ β↑␈ε	t␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧π␈εβmod␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	x␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬"␈ε	u␈↓ ¬6␈εβ)␈α
=␈↓ ¬u␈ε	a␈↓ εε␈ε	x␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εE␈ε	b␈↓ εR␈εβ,␈α
then␈α	w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈α
(␈↓ λ9␈ε	x␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λx␈ε	t␈↓ 	∧␈εβ)␈↓ 	H␈εβm␈α␈od␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
↔␈ε	x␈↓ 
;␈ε↔␈␈↓ 
c␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βR␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ¬@␈εk␈↓ ε4␈εε2␈↓ λK␈εε2␈↓ 	_␈εε2␈↓ ↔␈εq
␈βV␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓g␈εβ+␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ α ␈ε	t␈↓ α,␈εβ)␈↓ α7␈ε	x␈↓ αP␈εβ+␈απ(␈↓ ββ␈ε	b␈↓ β⊂␈ε	t␈↓ β$␈εβ+␈↓ βL␈ε	a␈↓ β]␈ε	u␈↓ βq␈εβ),␈αan␈α␈d␈α
(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ+␈↓ ¬≥␈ε	t␈↓ ¬)␈εβ)␈↓ ¬S␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε#␈ε	x␈↓ εH␈ε↔␈␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ)␈α
=␈α	2␈↓ πT␈ε	a␈↓ πd␈ε	b␈↓ πq␈ε	x␈↓ λ
␈εβ+␈αλ(␈↓ λ>␈ε	b␈↓ λ←␈εβ+␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	$␈ε	u␈↓ 	8␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈α(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
X␈εβ+␈↓ ␈ε	t␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βz␈↓ α2␈εε2␈↓ α>␈εq
␈β}␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α≠␈ε	t␈↓ α'␈εβ)␈↓ αK␈εβ,␈↓ αe␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β≤␈εβare␈α⊂e␈α␈asy␈α⊂to␈α∂eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈α⊂e␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈α␈,␈α∩a␈α␈nd␈α⊂t␈α␈he␈α⊂ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∂for␈α⊂|x␈α}ed␈↓ 
F␈ε	t␈↓ 
b␈εβt␈α␈ak␈α␈e␈α␈s
␈β
"␈↓ αC␈εε3
␈β
#␈↓ ↓`␈εα(␈↓ αP␈εα)
␈β
&␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈εβlog␈↓ α'␈ε	p␈↓ α8␈εβ)␈↓ αh␈εβun␈α␈its␈α
of␈αtime.␈α⊂Th␈α␈e␈α
sq␈α␈uar␈α␈e␈α
ro␈α␈ot␈α
will␈α
be␈αfou␈α␈nd␈αwh␈α␈en␈↓ λ\␈ε	t␈↓ λt␈εβ=␈α0␈αwith␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β
I␈↓ ↓z␈εe␈↓ α∧␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
M␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α*␈εβ;␈αth␈α}us␈αit␈αwi␈α↓ll␈αalway␈α␈s␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈αimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α
when␈↓ πv␈ε	p␈↓ λ
␈εβmo␈α␈d␈↓ λQ␈εβ4␈α	=␈α
3.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈oose␈↓ 
x␈ε	t␈↓ ∂␈εβa␈α␈t
␈β
u␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αλinstea␈α␈d␈αλof␈α	inc␈α␈reasin␈α␈g␈α	it␈αλsequ␈α␈en␈α␈tially,␈α	ex␈α}ercise␈αλ14␈αλgiv␈α␈es␈αλa␈αλri␈α↓g␈α␈orou␈α␈s␈α	p␈α␈roo␈α␈f␈α	th␈α␈at␈α	e␈α␈ach
␈β∞≤␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓←␈εβgiv␈α␈es␈αsucce␈α␈ss␈αat␈αlea␈α␈st␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αha␈α␈lf␈αof␈αth␈α␈e␈αtime;␈αbu␈α␈t␈αfor␈αp␈α␈ractica␈α␈l␈αpu␈α␈rpo␈α␈ses␈αth␈α␈i␈α↓s␈αrand␈α␈om
␈β∞D␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoice␈αisn␈α␈'t␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈.
␈β∞l␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∞squ␈α␈are-ro␈α␈ot␈α∞me␈α␈thod␈α
h␈α␈as␈α∞b␈α␈een␈α
sug␈α␈gested␈α
b␈α␈y␈α∞D.␈α∞S␈α␈ha␈α␈nk␈α␈s.␈α∀Whe␈α␈n␈↓ 
.␈ε	e␈↓ 
I␈εβ>␈α∞1␈α
it
␈β∂␈↓ λj␈ε
e␈↓ λu␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂∂␈↓ λ↑␈εε2
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quires␈απa␈α␈n␈απau␈α␈xiliary␈απco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧u␈ε	z␈↓ ¬
␈εβ(de␈α␈pen␈α␈din␈α␈g␈απon␈α␈l␈α↓y␈αεon␈↓ π!␈ε	p␈↓ π2␈εβ)␈απsu␈α␈ch␈απth␈α␈at␈↓ λP␈ε	z␈↓ 	 ␈ε↔⊃␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ π␈ε	p␈↓ _␈εβ).
␈β∂7␈↓ β8␈εq
␈β∂;␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈↓ αb␈ε	z␈↓ αy␈εβ=␈↓ β$␈ε	n␈↓ βI␈εβmod␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧(␈εβwil␈α↓l␈α
w␈α␈o␈α␈rk␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
o␈α␈ne␈α	ha␈α␈l␈α↓f␈α	of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ 	≠␈ε	n␈↓ 	/␈εβ;␈α
on␈α␈ce␈↓ 

␈ε	z␈↓ 
$␈εβis␈α
k␈α␈no␈α␈wn␈α␈,
␈β∂b␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αrequ␈α␈ires␈αno␈α
more␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓listic␈αcalcu␈α␈lation␈α␈:
␈β⊂␈↓ ∧k␈εε(␈↓ ∧s␈εq␈↓ ∧␈␈εε+1)/2␈↓ π↔␈εq
␈β⊂∂␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αE␈ε	y␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β␈ε	z␈↓ β→␈εβ,␈↓ β.␈ε	r␈↓ βF␈ε↔ ␈↓ βp␈ε	e␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	v␈↓ ∧,␈ε↔ ␈↓ ∧W␈ε	u␈↓ ¬L␈εβmod␈↓ ε⊃␈ε	p␈↓ ε"␈εβ,␈↓ ε6␈ε	w␈↓ εX␈ε↔ ␈↓ πα␈ε	u␈↓ π(␈εβmod␈↓ πm␈ε	p␈↓ π}␈εβ.
␈β⊂3␈↓ 
E␈ε
k
␈β⊂7␈↓ 
8␈εε2
␈β⊂;␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	w␈↓ αO␈εβ=␈α	1,␈αsto␈α␈p;␈↓ βo␈ε	v␈↓ ∧␈εβis␈α
the␈α
an␈α␈sw␈α␈er.␈αOther␈α␈w␈α↓ise␈α
|n␈α␈d␈α
the␈α
sma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈↓ λr␈ε	k␈↓ 	
␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ 
 ␈ε	w␈↓ 
W␈εβmo␈α␈d␈↓ ≤␈ε	p
␈β⊂c␈↓ α␈εβis␈αequ␈α␈al␈αto␈α1.␈αIf␈↓ βs␈ε	k␈↓ ∧
␈εβ=␈↓ ∧7␈ε	r␈↓ ∧F␈εβ,␈αstop␈α(th␈α␈ere␈αis␈αno␈α
an␈α␈swe␈α␈r);␈αo␈α␈therwise␈αse␈α␈t
␈β⊃∀␈↓ ε#␈ε
r␈↓ ε/␈ε≠␈␈↓ εE␈ε
k␈↓ π0␈ε
r␈↓ π<␈ε≠␈␈↓ πR␈ε
k␈↓ π←␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λG␈ε
r␈↓ λS␈ε≠␈␈↓ λj␈ε
k
␈β⊃_␈↓ ε⊗␈εε2␈↓ π$␈εε2␈↓ λ;␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ∧7␈εβ(␈↓ ∧B␈ε	y␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈ε	r␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	w␈↓ ¬:␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(␈↓ ε∧␈ε	y␈↓ εR␈εβ,␈↓ εa␈ε	k␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈ε	v␈↓ π⊃␈ε	y␈↓ λ↓␈εβ,␈↓ λ⊂␈ε	w␈↓ λ(␈ε	y␈↓ λv␈εβ)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα702␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα+␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αs␈α␈tep␈αS␈α␈2.
␈βα-␈↓ ∧J␈∧α-∧J≠∂
␈βαc␈↓ ↔␈εε2
␈βαg␈↓ α␈εβThe␈αvalidity␈αof␈α
this␈α
algo␈α␈rithm␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
fro␈α␈m␈α
the␈α
in␈α}varia␈α␈n␈α␈t␈α
co␈α␈ngru␈α␈en␈α␈ces␈↓ 
≡␈ε	u␈↓ 
2␈ε	w␈↓ 
W␈ε↔⊃␈↓ ¬␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈ββε␈↓ ↓g␈ε
r␈↓ ↓r␈ε≠␈␈επ1␈↓ β=␈ε
r␈↓ βI␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈ββ
␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ β0␈εε2␈↓  ␈εε2
␈ββ␈↓ β␈εε1
␈ββ∂␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ α!␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1,␈↓ β_␈ε	w␈↓ βw␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α(mod␈α␈ulo␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬U␈εβ).␈α⊃On␈α
th␈α␈e␈α
av␈α}erag␈α␈e,␈α∞step␈αS2␈α
will␈α
requ␈α␈i␈α↓re␈αabo␈α␈ut␈↓ ∪␈ε	e
␈ββ≥␈↓ β␈∧β≥βα
␈ββ∨␈↓ β␈εε4
␈ββ6␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
m␈α␈od␈↓ βq␈ε	p␈↓ ∧α␈εβ.␈α∃Referen␈α␈ce:␈ε⊂␈α
P␈α↓ro␈α␈c.␈α
S␈α␈econ␈α␈d␈α	Ma␈α␈nitob␈α␈a␈α	Con␈α␈f␈α↓.␈α	Num␈α␈er.␈α
Ma␈α␈th.␈εβ␈α	(197␈α␈2),
␈ββ↑␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈8↑6␈α␈2.␈↓ α1␈εβA␈αrelated␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αwas␈α
p␈α␈ub␈α␈li␈α↓s␈α␈hed␈αb␈α␈y␈αA.␈α
Ton␈α␈ell␈α↓i,␈ε⊂␈α
G␈↓ λ∞␈ε⊂∪␈↓ λ∞␈ε⊂o␈↓ λ∨␈ε⊂ttin␈α␈ger␈αNach␈α␈rich␈α␈te␈α␈n␈εβ␈α(189␈α␈1),
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈44↑␈α␈346␈α␈.
␈β∧7␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α
Su␈α␈bstitu␈α␈te␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε␈ε	p␈↓ ε'␈εβfor␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈αin␈α
the␈α
pro␈α␈of␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	G␈ε	n␈↓ 	d␈εβ=␈α	1.␈α_(b)␈α
The
␈β∧W␈↓ 
2␈ε
n
␈β∧[␈↓ λS␈εk␈↓ 
$␈εp
␈β∧←␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈αfo␈α␈r␈↓ αP␈ε	n␈↓ αm␈εβ=␈α
1␈α
c␈α␈arries␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
to␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α	|n␈α␈i␈α↓te␈α	|eld.␈α⊗(c)␈α
Sin␈α␈ce␈↓ π}␈ε	x␈↓ λ→␈εβ=␈↓ λC␈ε	_␈↓ λj␈εβfor␈α
so␈α␈me␈↓ 	o␈ε	k␈↓ 	␈␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	x␈↓ 
K␈εβ=␈↓ 
u␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β∧}␈↓ 
Q␈ε
m
␈β¬β␈↓ 
C␈εp
␈β¬π␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλ|␈α␈eld␈αλd␈α␈e|n␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈↓ β`␈ε	f␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ).␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α	the␈απelemen␈α}ts␈↓ π0␈ε	y␈↓ πK␈εβth␈α␈at␈αλsa␈α␈tisf␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλequ␈α␈ation␈↓ 
0␈ε	y␈↓ 
o␈εβ=␈↓ ~␈ε	y
␈β¬&␈↓ 
F␈ε
m
␈β¬*␈↓ 
8␈εp
␈β¬.␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈α|eld␈αare␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αad␈α␈dition,␈αa␈α␈nd␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n;␈αso␈αif␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
f␈εβ=␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β¬N␈↓ 	"␈ε
m
␈β¬R␈↓ 	∀␈εp
␈β¬V␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε	_␈↓ α.␈εβ(being␈α
a␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αin␈↓ ¬↓␈ε	x␈↓ ¬≥␈εβwi␈α↓th␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts)␈αsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈↓ 	∧␈ε	_␈↓ 	A␈εβ=␈↓ 	k␈ε	_␈↓ 	{␈εβ.
␈βελ␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	_␈↓ αH␈εβis␈αa␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αroo␈α␈t,␈αe␈α␈ach␈α
no␈α␈nzero␈α
elemen␈α}t␈αis␈αsome␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ 	!␈ε	_␈↓ 	1␈εβ.␈αHence␈α
the␈αo␈α␈rde␈α␈r
␈βε+␈↓ ∧↔␈εε2␈↓ ¬)␈εε3
␈βε0␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈α1␈↓ ∧π␈εβ3␈↓ ∧+␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	=␈↓ ¬→␈εβ2␈↓ ¬=␈ε↔↓␈εβ␈αλ3␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ε\␈ε	⎇␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	f␈↓ π
␈εβ)␈αelem␈α␈en␈α␈ts␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
orde␈α␈r␈↓ 	P␈ε	f␈↓ 	`␈εβ.
␈βεy␈↓ α↑␈ε	f␈↓ β!␈ε	⎇␈↓ β6␈εβ(␈↓ βA␈ε	f␈↓ βQ␈εβ)␈↓ ∧`␈ε	f␈↓ ¬+␈ε	⎇␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	f␈↓ ¬[␈εβ)␈↓ εi␈ε	f␈↓ π=␈ε	⎇␈↓ πR␈εβ(␈↓ π↑␈ε	f␈↓ πm␈εβ)␈↓ 	␈ε	f␈↓ 	h␈ε	⎇␈↓ 	}␈εβ(␈↓ 
	␈ε	f␈↓ 
→␈εβ)
␈βπ+␈↓ α]␈εβ1␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ3␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εq␈εβ7␈↓ π[␈εβ6␈↓ 	␈εβ21␈↓ 	u␈εβ12
␈βπS␈↓ α]␈εβ2␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ6␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εa␈εβ1␈α␈4␈↓ π[␈εβ6␈↓ 	␈εβ42␈↓ 	u␈εβ12
␈βπz␈↓ α]␈εβ4␈↓ β6␈εβ2␈↓ ∧W␈εβ1␈α␈2␈↓ ¬@␈εβ4␈↓ εa␈εβ2␈α␈8␈↓ πJ␈εβ12␈↓ 	␈εβ84␈↓ 	u␈εβ24
␈βλ"␈↓ α]␈εβ8␈↓ β6␈εβ4␈↓ ∧W␈εβ2␈α␈4␈↓ ¬@␈εβ8␈↓ εa␈εβ5␈α␈6␈↓ πJ␈εβ24␈↓ λ{␈εβ168␈↓ 	u␈εβ48
␈βλv␈↓ αc␈εα(␈↓ βV␈εα)␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ¬,␈εα)
␈βλy␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ(a)␈αp␈α␈p␈↓ αo␈ε	p␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	u␈↓ β:␈ε	x␈↓ βK␈εβ)␈↓ βh␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧∀␈εβpp␈↓ ∧E␈ε	p␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	u␈↓ ¬⊂␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬8␈εβ,␈αb␈α␈y␈αGa␈α␈uss's␈αlemm␈α␈a.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αexa␈α␈mple,␈αlet
␈β	β␈↓ α␈␈εε1␈↓ β*␈εn␈↓ ∧U␈εr␈↓ ∧␈␈εn
␈β	@␈↓ αt␈εε3␈↓ βS␈εε2␈↓ εG␈εε3␈↓ π&␈εε2␈↓ 	7␈εε2
␈β	F␈↓ ↓c␈ε	u␈↓ ↓w␈εβ(␈↓ αα␈ε	x␈↓ α∪␈εβ)␈α	=␈α
6␈↓ αc␈ε	x␈↓ βλ␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ βA␈ε	x␈↓ βg␈εβ+␈απ2␈↓ ∧ ␈ε	x␈↓ ∧9␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ¬I␈ε	v␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	x␈↓ ¬w␈εβ)␈α	=␈↓ ε6␈ε	x␈↓ ε[␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π:␈εβ+␈αλ1␈α␈2␈↓ λ∧␈ε	x␈↓ λ≥␈ε↔␈␈εβ␈απ36␈α	=␈α	(␈↓ 	%␈ε	x␈↓ 	K␈εβ+␈αλ1␈α␈2)(␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
D␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈α␈);
␈β
∞␈↓ αw␈εε2␈↓ ∧7␈εε2
␈β
∩␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈αp␈α␈p(36␈↓ αe␈ε	x␈↓ β␈εβ+␈αλ12␈α␈)␈α
=␈α
3␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧L␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αpp␈α␈(6␈↓ ¬[␈ε	x␈↓ ¬t␈ε↔␈␈εβ␈αλ3)␈α
=␈α
2␈↓ ε␈␈ε	x␈↓ π_␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α~(␈α↓Th␈α␈is␈αis␈αa␈αm␈α␈ode␈α␈rn␈αv␈α␈ersion␈αo␈α␈f␈αa
␈β
:␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈urtee␈α␈n␈α␈th␈α␈-␈α↓c␈α␈en␈α␈tu␈α␈ry␈αtrick␈α
use␈α␈d␈αfor␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
y␈α␈ea␈α␈rs␈αto␈αhe␈α␈l␈α↓p␈α
solv␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈ebr␈α␈aic␈αequ␈α␈ation␈α␈s.)
␈β
]␈↓ ¬≡␈εm
␈β
↑␈↓ β'␈εα(␈↓ ∧↔␈εα)
␈β
a␈↓ α␈εβ(b)␈α
L␈α↓e␈α␈t␈α∞p␈α␈p␈↓ β3␈ε	w␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε	u␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧0␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ∩␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬>␈εβ+␈↓ ¬i␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε_␈εβ+␈↓ εC␈ε	w␈↓ εF␈εβ∩␈↓ εs␈εβ=␈↓ π"␈ε	w␈↓ π;␈εβ(␈↓ πF␈ε	u␈↓ πi␈ε	x␈↓ πz␈εβ)␈α↓/␈↓ λ⊗␈ε	c␈↓ λ#␈εβ,␈α∂wh␈α␈ere␈↓ 	≥␈ε	c␈↓ 	8␈εβis␈α∞th␈α␈e␈α∞co␈α␈n␈α␈ten␈α}t␈α∞o␈α␈f
␈β
l␈↓ βj␈εn␈↓ ∧u␈εm␈↓ εY␈εε0␈↓ πY␈εn
␈β¬␈↓ π⊗␈εm␈↓ πJ␈εm␈↓ ␈εm
␈β	␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	u␈↓ α∂␈ε	x␈↓ α ␈εβ)␈αa␈α␈s␈αa␈αpoly␈α␈no␈α␈mial␈αin␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ.␈αTh␈α␈en␈↓ ¬L␈ε	w␈↓ ¬e␈εβ(␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ εK␈ε	c␈↓ εX␈ε	w␈↓ ε]␈εβ∩␈↓ εq␈εβ/␈↓ πα␈ε	u␈↓ π-␈εβ)␈↓ π8␈ε	x␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ@␈εβ+␈↓ λh␈ε	c␈↓ λu␈ε	w␈↓ λx␈εβ∩␈↓ 	_␈εβ,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈↓ 
	␈ε	c␈↓ 
⊗␈ε	w␈↓ 
→␈εβ∩␈↓ 
M␈εβ=␈↓ 
x␈ε	u␈↓ #␈εβ;
␈β∀␈↓ ↓␈␈εn␈↓ 	␈εε0␈↓ 
,␈εm
␈β_␈↓ π⊗␈εn␈↓ ␈εn
␈β,␈↓ εm␈εm␈↓ π∧␈ε~␈␈εε1
␈β1␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α→␈ε	w␈↓ α≤␈εβ∩␈↓ αR␈εβis␈αa␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ ∧#␈ε	u␈↓ ∧F␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε	c␈↓ ∧r␈εβi␈α↓s␈αa␈αm␈α}ultiple␈αof␈↓ εY␈ε	u␈↓ π*␈εβ.
␈β;␈↓ α/␈εm␈↓ ∧6␈εn
␈β@␈↓ εm␈εn
␈β←␈↓ λ␈εn
␈βc␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ)␈α	=␈↓ β≥␈ε	v␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	x␈↓ βK␈εβ)␈↓ βV␈ε	w␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈αwith␈αde␈α␈g(␈↓ ¬*␈ε	v␈↓ ¬;␈εβ)␈α↓d␈α␈eg(␈↓ ε∧␈ε	w␈↓ ε≤␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	1,␈αthen␈↓ πL␈ε	u␈↓ πp␈ε	X␈↓ λ%␈ε↔⊃␈↓ λO␈ε	v␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	x␈↓ λ⎇␈εβ)␈↓ 	λ␈ε	w␈↓ 	!␈εβ(␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	=␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
S␈ε	p␈↓ 
d␈εβ).␈αBy
␈βm␈↓ π←␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niqu␈α␈e␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ∧j␈ε	p␈↓ ∧{␈εβ,␈αall␈αb␈α␈ut␈α
the␈α
lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λr␈ε	v␈↓ 	∞␈εβa␈α␈nd␈↓ 	N␈ε	w␈↓ 	q␈εβare␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β.␈↓ αe␈εε2
␈β2␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	p␈↓ ↓␈␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ αU␈ε	p␈↓ α⎇␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ βn␈ε	v␈↓ ∧	␈ε	w␈↓ ∧5␈εβ=␈↓ ∧`␈ε	u␈↓ ¬␈εβ.
␈β<␈↓ β⎇␈εε0␈↓ ∧∨␈εε0␈↓ ∧s␈εε0
␈βF␈↓ α=␈ε↓P␈↓ ε∂␈ε↓P
␈βd␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αc␈εβ(␈↓ αn␈ε	␈↓ β↓␈ε	u␈↓ β&␈ε↔␈␈↓ βN␈ε	u␈↓ ∧∪␈εβ)(␈↓ ∧)␈ε	␈↓ ∧*␈εβ∩␈↓ ∧<␈ε	u␈↓ ∧=␈εβ∩␈↓ ∧b␈ε↔␈␈↓ ¬
␈ε	u␈↓ ¬␈εβ∩␈↓ ¬P␈εβ)␈α	=␈↓ ε5␈εβ(␈↓ ε@␈ε	u␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	␈↓ π∞␈εβ∩␈↓ π∨␈ε	u␈↓ πd␈εβ)␈α↓(␈↓ π{␈ε	u␈↓ π|␈εβ∩␈↓ λ!␈ε↔␈␈↓ λI␈ε	␈↓ λ[␈ε	u␈↓ λ]␈εβ∩␈↓ 	!␈εβ).␈α_(b␈α␈)␈αWe␈α
may␈α
a␈α␈s-
␈βm␈↓ ¬
␈ε↓Q
␈βo␈↓ β∀␈εj␈↓ βa␈εj␈↓ βm␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧P␈εj␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ¬*␈ε~␈␈εε1␈↓ εS␈εj␈↓ π3␈εj␈↓ π?␈ε~␈␈εε1␈↓ λ∂␈εj␈↓ λo␈εj␈↓ λ{␈ε~␈␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈me␈αλtha␈α␈t␈↓ α`␈ε	u␈↓ β	␈ε↔≤␈εβ␈α	0.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧∩␈ε	m␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ)␈α
=␈↓ ε⊂␈εβmin␈↓ εH␈εβ(1␈α␈,␈ε↔␈αεj␈↓ ε{␈ε	␈↓ π→␈ε↔j␈εβ)␈α	=␈↓ πa␈ε	u␈↓ λ↓␈εβ/␈↓ λ⊃␈ε	M␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	u␈↓ λS␈εβ)␈↓ λ↑␈ε	u␈↓ 	α␈εβ.␈α
When␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈ε↔␈α	j␈↓ 
8␈ε	␈↓ 
U␈ε↔j␈εβ␈α
<␈α
1␈α␈,
␈β
⊗␈↓ αs␈εε0␈↓ π
␈εj␈↓ πt␈εε0␈↓ λq␈εn␈↓ 
I␈εj
␈β
≡␈↓ ¬/␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬U␈εj␈↓ ¬a␈ε~∀␈↓ ¬z␈εn
␈β
7␈↓ ↓H␈εβc␈α␈han␈α␈ge␈α
the␈α
fact␈α␈or␈↓ βO␈ε	x␈↓ βg␈ε↔␈␈↓ ∧∂␈ε	␈↓ ∧7␈εβto␈↓ ∧←␈ε	␈↓ ∧`␈εβ∩␈↓ ∧⎇␈ε	x␈↓ ¬∃␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αin␈↓ ¬␈␈ε	u␈↓ ε∪␈εβ(␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε/␈εβ);␈αthis␈αd␈α␈oesn␈α␈'t␈αa{ec␈α␈t␈ε↔␈αj␈↓ λd␈ε	u␈↓ λx␈ε↔j␈εβ␈α↓.␈αNo␈α}w␈αlook␈α␈ing␈α
at␈α
the
␈β
B␈↓ ∧ ␈εj␈↓ ∧q␈εj
␈β
[␈↓ ε}␈εε2␈↓ πu␈εε2␈↓ λI␈εε2␈↓ 	4␈εε2␈↓ 
∞␈εε2
␈β
←␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ding␈αλa␈α␈nd␈αλtra␈α␈i␈α↓ling␈αλc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αλon␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α	we␈αλh␈α␈av␈α␈e␈ε↔␈αλj␈↓ εa␈ε	u␈↓ εu␈ε↔j␈↓ π∀␈ε↔∃␈α
j␈↓ πH␈ε	u␈↓ πk␈ε↔j␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ λ≡␈εβ(␈↓ λ*␈ε	u␈↓ λ>␈εβ)␈↓ λY␈εβ+␈ε↔␈α∧j␈↓ 	π␈ε	u␈↓ 	+␈ε↔j␈↓ 	A␈ε	M␈↓ 	c␈εβ(␈↓ 	n␈ε	u␈↓ 
α␈εβ)␈↓ 
~␈εβ;␈α
h␈α␈en␈α␈ce␈α	w␈α␈e
␈β
i␈↓ π[␈εn␈↓ 	≠␈εn
␈β∞α␈↓ ¬z␈εε2␈↓ εm␈εε2␈↓ πS␈εε4␈↓ λn␈εε2␈↓ 	¬␈εε1/2␈↓ 
∞␈εε2
␈β∞β␈↓ ε:␈εα(␈↓ 	+␈εα)
␈β∞ε␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈απthe␈αλs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αλstro␈α␈nge␈α␈r␈αλresult␈↓ ¬-␈ε	M␈↓ ¬O␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	u␈↓ ¬o␈εβ)␈↓ ε⊂␈ε↔∀␈↓ εF␈ε↔j␈↓ εO␈ε	u␈↓ εc␈ε↔j␈↓ ε⎇␈εβ+␈αβ(␈ε↔j␈↓ π6␈ε	u␈↓ πJ␈ε↔j␈↓ πc␈ε↔␈␈εβ␈αβ4␈ε↔j␈↓ λ!␈ε	u␈↓ λA␈ε	u␈↓ λe␈ε↔j␈↓ λz␈εβ)␈↓ 	7␈εβ/2␈ε↔j␈↓ 	b␈ε	u␈↓ 
¬␈ε↔j␈↓ 
≠␈εβ.␈α∩(c)␈↓ 
c␈ε	u␈↓ ␈εβ=
␈β∞⊂␈↓ ↓x␈ε↓P␈↓ 	Y␈ε↓P
␈β∞⊃␈↓ λ4␈εε0␈↓ λT␈εn␈↓ 	u␈εn␈↓ 
v␈εj
␈β∞.␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ α#␈ε	␈↓ αN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α{␈ε	␈↓ βM␈εβ,␈αλan␈αεelemen␈α}tary␈απsy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c␈απfu␈α␈nctio␈α␈n,␈αλhen␈α␈ce␈ε↔␈απj␈↓ λ:␈ε	u␈↓ λY␈ε↔j␈α
∀␈α	j␈↓ 	 ␈ε	u␈↓ 	J␈ε↔j␈↓ 
∧␈ε	␈␈↓ 
/␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
[␈ε	␈
␈β∞9␈↓ ↓[␈εm␈↓ α5␈εi␈↓ β␈εi␈↓ λM␈εj␈↓ 	3␈εm␈↓ 
∃␈εi␈↓ 
l␈εi
␈β∞@␈↓ α=␈επ1␈↓ β∃␈ε
m␈↓ β+␈ε≠␈␈↓ βA␈ε
j␈↓ 
≡␈επ1␈↓ 
u␈ε
m␈↓ 
␈ε≠␈␈↓ !␈ε
j
␈β∞V␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α*␈ε	␈␈↓ αR␈εβ=␈↓ β↓␈εβma␈α␈x␈↓ β@␈εβ(1,␈ε↔␈α¬j␈↓ βt␈ε	␈↓ ∧⊂␈ε↔j␈εβ).␈α∩We␈α∞c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α∞t␈α␈he␈α
pro␈α␈of␈α
by␈α
sh␈α␈o␈α␈wing␈α
th␈α␈at␈α
when␈↓ 	w␈ε	x␈↓ 
!␈ε↔∃␈εβ␈α
1,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈β∞←␈↓ 	c␈ε↓P
␈β∞`␈↓ α;␈εi␈↓ ∧¬␈εi␈↓ 
π␈εε1
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓t␈ε↔∃␈εβ␈α1,␈α
an␈α␈d␈↓ β␈ε	x␈↓ β,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈ε	x␈↓ ∧∧␈εβ=␈↓ ∧2␈ε	M␈↓ ∧U␈εβ,␈α
the␈αelemen␈α}tary␈αsy␈α␈mmetric␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ λ⎇␈ε	≠␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 
∂␈ε	x␈↓ 
8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
e␈ε	x␈↓ ⊗␈εβis
␈β∂β␈↓ ↓w␈ε↓␈␈↓ α;␈ε↓↓␈↓ β∨␈ε↓␈␈↓ βc␈ε↓↓
␈β∂λ␈↓ ↓W␈εn␈↓ β~␈εε1␈↓ βh␈εn␈↓ 	␈εn␈↓ 	≥␈εk␈↓ 
≡␈εi␈↓ 
t␈εi
␈β∂⊂␈↓ 
'␈επ1␈↓ 
⎇␈ε
k
␈β∂≥␈↓ α¬␈εn␈↓ α∃␈ε~␈␈εε1␈↓ β-␈εn␈↓ β>␈ε~␈␈εε1
␈β∂%␈↓ ↓H␈ε↔∀␈↓ αI␈ε	M␈↓ αu␈εβ+␈↓ βq␈εβ,␈α∂the␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∞a␈α␈ssume␈α␈d␈α∞wh␈α␈en␈↓ πα␈ε	x␈↓ π,␈εβ=␈↓ π\␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ⊂␈εβ=␈↓ λ?␈ε	x␈↓ 	∪␈εβ=␈α∞1␈α
and␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ=␈↓ ↓␈ε	M␈↓ #␈εβ.
␈β∂/␈↓ π∩␈εε1␈↓ λO␈εn␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1␈↓ 
3␈εn
␈β∂5␈↓ αε␈εk␈↓ α∀␈ε~␈␈εε1␈↓ βB␈εk
␈β∂N␈↓ ↓H␈εα(
␈β∂Q␈↓ ↓T␈εβFo␈α␈r␈α∞i␈α↓f␈↓ α8␈ε	x␈↓ αb␈ε↔∀␈↓ β⊃␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βF␈ε↔∀␈↓ βv␈ε	x␈↓ ∧$␈εβ<␈↓ ∧S␈ε	M␈↓ ∧v␈εβ,␈α∂th␈α␈e␈α∞tran␈α␈sform␈α␈ation␈↓ π0␈ε	x␈↓ π↑␈ε↔ ␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λS␈ε	x␈↓ λs␈εβ,␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	←␈ε↔ ␈εβ␈α∞1␈α∞inc␈α␈rease␈α␈s
␈β∂W␈↓ λ5␈ε↓␈␈↓ λC␈ε↓␈␈↓ 	∞␈ε↓↓␈↓ 
_␈ε↓␈␈↓ 
c␈ε↓↓␈↓ 
q␈ε↓↓
␈β∂\␈↓ αG␈εε1␈↓ ∧¬␈εn␈↓ π@␈εn␈↓ λ≥␈εn␈↓ λ-␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λc␈εn␈↓ 	~␈εn␈↓ 	+␈ε~␈␈εε1
␈β∂q␈↓ λQ␈εm␈↓ λh␈ε~␈␈εε1␈↓ 
&␈εm␈↓ 
=␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∂v␈↓ ε8␈εα)
␈β∂y␈↓ ↓H␈ε	≠␈↓ αα␈εβb␈α␈y␈↓ α3␈ε	≠␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	x␈↓ ∧↓␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)(␈↓ ∧R␈ε	x␈↓ ¬ ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α>␈α0.␈↓ ε`␈εβ(d)␈ε↔␈α
j␈↓ π∨␈ε	v␈↓ π:␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ λ¬␈ε	v␈↓ λ+␈ε↔j␈↓ 	≤␈ε	M␈↓ 	>␈εβ(␈↓ 	I␈ε	v␈↓ 	[␈εβ)␈αλ+␈↓ ␈ε↔∀
␈β⊂β␈↓ ↓W␈εn␈↓ ↓h␈εk␈↓ βh␈εn␈↓ ∧a␈εn␈↓ ∧q␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π.␈εj␈↓ λ∀␈εm
␈β⊂∧␈↓ αC␈εε(␈↓ αK␈εn␈↓ α\␈ε~␈␈εε2␈α␈)␈α↓(␈↓ β∩␈εk␈↓ β∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)
␈β⊂ε␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ α␈ε↓␈␈↓ αW␈ε↓↓␈↓ βe␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ ∧>␈ε↓↓
␈β⊂	␈↓ λi␈εj␈↓ 
,␈εj␈↓ 
8␈ε~␈␈εε1
␈β⊂ ␈↓ α~␈εm␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ βs␈εm␈↓ ∧␈ε~␈␈εε1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓t␈ε↔j␈↓ αe␈ε	M␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	u␈↓ β&␈εβ)␈α
+␈↓ ∧Z␈εβsi␈α↓n␈α␈ce␈ε↔␈α∞j␈↓ ¬8␈ε	v␈↓ ¬↑␈ε↔j␈α∞∀␈α∞j␈↓ ε-␈ε	u␈↓ εQ␈ε↔j␈εβ␈α∞an␈α␈d␈↓ π,␈ε	M␈↓ πN␈εβ(␈↓ πY␈ε	v␈↓ πk␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ λ3␈ε	M␈↓ λU␈εβ(␈↓ λa␈ε	u␈↓ λu␈εβ).␈α∨[Th␈α␈ese␈α∞res␈α␈ults␈α∞are
␈β⊂2␈↓ ↓d␈εn␈↓ ¬F␈εm␈↓ εA␈εn
␈β⊂8␈↓ α2␈εj␈↓ βy␈εj␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβsligh␈α}t␈α∂e␈α␈xten␈α␈sion␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈α∂ine␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ties␈α∞d␈α␈ue␈α∞to␈α∞M.␈α∞Mign␈α␈otte␈α␈,␈ε⊂␈α⊂M␈α␈ath␈α␈.␈α∂Com␈α␈p.␈ε∪␈α∞28␈εβ␈α∞(19␈α␈74),␈α∂11␈α␈53↑
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈157␈α␈.␈α
Se␈α␈e␈αalso␈αJ.␈αVice␈α␈n␈α␈te␈αGon␈↓ ∧t␈εβ_␈↓ ∧z␈εβc␈↓ ¬λ␈εβalv␈α␈es,␈ε⊂␈αRe␈α␈vista␈αde␈αFacu␈α␈l␈α↓d␈α␈ad␈α␈e␈αd␈α␈e␈αCi␈↓ λ|␈ε⊂∂␈↓ λ⎇␈ε⊂e␈↓ 	␈ε⊂n␈α␈cias␈εβ␈α(2)␈αA␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Un␈α␈i␈α↓v␈α␈.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβLisbo␈α␈n,␈α19␈α␈50),␈α16␈α␈7↑1␈α␈71.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα703
␈βα∞␈↓ αA␈ε↓R
␈βα≥␈↓ αY␈εε1
␈βα(␈↓ λ}␈εε2␈↓ 
L␈εε2
␈βα)␈↓ αe␈εα(
␈βα,␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αq␈ε	u␈↓ β∃␈ε	e␈↓ β"␈εβ(␈↓ β-␈ε	n␈↓ βA␈ε	∩␈↓ βO␈εβ)␈α
+␈↓ ∧∞␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧>␈εβ+␈↓ ∧i␈ε	u␈↓ ¬	␈εβ)(␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬!␈εβ∩␈↓ ¬C␈ε	e␈↓ ¬P␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬⎇␈ε	n␈↓ ε⊃␈ε	∩␈↓ ε∨␈εβ)␈α	+␈↓ ε↑␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∞␈εβ+␈↓ π9␈ε	u␈↓ π:␈εβ∩␈↓ πY␈εβ)␈↓ πj␈ε	d␈↓ π|␈ε	∩␈↓ λ→␈εβ=␈ε↔␈α∞j␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λu␈ε↔j␈↓ 	∀␈εβ+␈↓ 	?␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	o␈εβ+␈ε↔␈α	j␈↓ 
#␈ε	u␈↓ 
B␈ε↔j␈↓ 
f␈εβsince
␈βα7␈↓ β¬␈εn␈↓ ∧|␈εε0␈↓ ¬3␈εn␈↓ πM␈εε0␈↓ λd␈εn␈↓ 
6␈εε0
␈βα?␈↓ αR␈εε0␈↓ 	B␈ε↓␈␈↓ 	g␈ε↓↓
␈βαC␈↓ ↓H␈ε↓R
␈βαR␈↓ ↓`␈εε1
␈βαY␈↓ 	P␈εm
␈βαa␈↓ ↓r␈ε	e␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α
␈ε	j␈↓ α→␈ε	∩␈↓ α'␈εβ)␈↓ α2␈ε	e␈↓ α?␈εβ(␈ε↔␈␈↓ αl␈ε	k␈↓ α|␈ε	∩␈↓ β
␈εβ)␈↓ β≠␈ε	d␈↓ β-␈ε	∩␈↓ βK␈εβ=␈↓ β|␈ε	∞␈↓ ∧!␈εβ;␈α⊃no␈α␈w␈α∂u␈α␈se␈α∂ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂o␈α␈n␈↓ π␈ε	t␈↓ π_␈εβ.␈α (␈α↓b␈α␈)␈α∂Sin␈α␈ce␈ε↔␈α∂j␈↓ λ]␈ε	v␈↓ λx␈ε↔j␈α⊂∀␈↓ 	u␈ε	M␈↓ 
_␈εβ(␈↓ 
#␈ε	v␈↓ 
4␈εβ)␈ε↔j␈↓ 
H␈ε	v␈↓ 
n␈ε↔j␈εβ␈α⊂w␈α␈e
␈βαk␈↓ ∧λ␈εj␈↓ ∧∀␈εk␈↓ λl␈εj␈↓ 
W␈εm
␈βαn␈↓ β}␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ λ ␈ε↓↓␈↓ λ.␈ε↓␈␈↓ λV␈ε↓↓
␈βαq␈↓ 	U␈εj
␈βαs␈↓ ↓Y␈εε0
␈ββλ␈↓ ∧␈εε2␈↓ ∧→␈εm␈↓ π|␈εε2␈↓ λ	␈εm␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εk
␈ββ␈↓ β=␈εε2␈↓ ¬λ␈εε2␈↓ ¬M␈εε2␈↓ εu␈εε2␈↓ π-␈εε2␈↓ 	.␈εε2␈↓ 
␈εε2␈↓ 
u␈εε2
␈ββ⊂␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onc␈α␈l␈α↓u␈α␈de␈αth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ β"␈ε	v␈↓ β4␈ε↔j␈↓ βS␈ε↔∀␈↓ ∧>␈ε	M␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	v␈↓ ∧⎇␈εβ)␈↓ ¬∃␈ε↔j␈↓ ¬≡␈ε	v␈↓ ¬D␈ε↔j␈↓ ¬Z␈εβ.␈αHenc␈α␈e␈ε↔␈αj␈↓ ε[␈ε	v␈↓ εl␈ε↔j␈↓ πα␈ε↔j␈↓ π␈ε	w␈↓ π$␈ε↔j␈↓ πC␈ε↔∀␈↓ λd␈ε	M␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	#␈εβ)␈↓ 	;␈ε	M␈↓ 	]␈εβ(␈↓ 	i␈ε	w␈↓ 
↓␈εβ)␈↓ 
→␈ε↔j␈↓ 
"␈ε	v␈↓ 
H␈ε	w␈↓ 
l␈ε↔j␈↓ ␈εβ=
␈ββ~␈↓ ¬-␈εm␈↓ 
1␈εm␈↓ 
↑␈εk
␈ββ ␈↓ ∧∪␈εm␈↓ λβ␈εm␈↓ λC␈εk
␈ββ3␈↓ αw␈εε2␈↓ β9␈εε2␈↓ ¬¬␈εε2
␈ββ7␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	m␈↓ α␈εβ,␈↓ α∂␈ε	k␈↓ α∨␈εβ)␈↓ α*␈ε	M␈↓ αM␈εβ(␈↓ αX␈ε	u␈↓ αl␈εβ)␈↓ ββ␈ε↔j␈↓ β
␈ε	u␈↓ β0␈ε↔j␈↓ βP␈ε↔∀␈↓ β|␈ε	f␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε	m␈↓ ∧4␈εβ,␈↓ ∧C␈ε	k␈↓ ∧S␈εβ)␈ε↔j␈↓ ∧h␈ε	u␈↓ ∧|␈ε↔j␈↓ ¬∩␈εβ.␈α~[␈α↓S␈α␈li␈α↓g␈α␈h␈α␈tly␈αbette␈α␈r␈αva␈α␈lues␈αfo␈α␈r␈↓ λ8␈ε	f␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε	m␈↓ λp␈εβ,␈↓ λ␈␈ε	k␈↓ 	∂␈εβ)␈αare␈αposs␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αba␈α␈sed
␈ββB␈↓ β ␈εn
␈ββ←␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈re␈αdeta␈α␈il␈α↓e␈α␈d␈αinfo␈α␈rmation␈αin␈αex␈α}ercise␈α20␈α␈.]␈α≤(c)␈αTh␈α␈e␈αcase␈↓ λj␈ε	t␈↓ 	↓␈εβ=␈α3␈αsu␈α␈}ces␈αto␈αsho␈α}w
␈β∧ε␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αg␈α␈et␈αfrom␈↓ β=␈ε	t␈↓ βP␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αt␈α␈o␈↓ ∧=␈ε	t␈↓ ∧I␈εβ.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬S␈εβ=␈α	2␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αth␈α␈at,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ 	1␈ε	∩␈↓ 	I␈εβ,
␈β∧⊃␈↓ 	<␈εε1
␈β∧8␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ ¬"␈ε↓␈␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓␈
␈β∧<␈↓ ↓i␈ε↓R␈↓ α∪␈ε↓R␈↓ α=␈ε↓R␈↓ αg␈ε↓R
␈β∧K␈↓ α↓␈εε1␈↓ α+␈εε1␈↓ αU␈εε1␈↓ α␈␈εε1␈↓ ¬.␈εε2␈↓ πd␈εε2
␈β∧N␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ ¬"␈ε↓␈␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓␈
␈β∧W␈↓ β/␈εα(␈↓ ¬⊗␈εα)␈↓ ¬`␈εα(␈↓ πL␈εα)
␈β∧Z␈↓ β≡␈ε	v␈↓ β;␈ε	e␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	∩␈↓ βk␈εβ),␈↓ ∧¬␈ε	e␈↓ ∧∩␈εβ(␈↓ ∧≥␈ε	≡␈↓ ∧;␈εβ),␈↓ ∧U␈ε	e␈↓ ∧b␈εβ(␈↓ ∧m␈ε	≡␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬G␈ε	w␈↓ ¬l␈ε	e␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	∩␈↓ ε≠␈εβ),␈↓ ε5␈ε	e␈↓ εB␈εβ(␈↓ εM␈ε	{␈↓ εn␈εβ),␈↓ πλ␈ε	e␈↓ π∃␈εβ(␈↓ π ␈ε	{␈↓ πA␈εβ)␈↓ πv␈ε	d␈↓ λ	␈ε	≡␈↓ λ,␈ε	d␈↓ λ?␈ε	≡␈↓ λc␈ε	d␈↓ λu␈ε	{␈↓ 	≠␈ε	d␈↓ 	.␈ε	{
␈β∧e␈↓ β↑␈εε1␈↓ ∧.␈εε2␈↓ ∧}␈εε3␈↓ ε∂␈εε1␈↓ εb␈εε2␈↓ π4␈εε3␈↓ λ~␈εε2␈↓ λP␈εε3␈↓ 		␈εε2␈↓ 	B␈εε3
␈β∧m␈↓ ↓z␈εε0␈↓ α$␈εε0␈↓ αN␈εε0␈↓ αx␈εε0
␈β∧z␈↓ ¬c␈ε↓␈␈↓ πf␈ε↓␈␈↓ π␈␈ε↓␈␈↓ 

␈ε↓␈
␈β∧⎇␈↓ ¬∞␈ε↓R␈↓ ¬8␈ε↓R
␈β¬␈↓ ¬&␈εε1␈↓ ¬P␈εε1␈↓ πr␈εε2␈↓ 
⊗␈εε2
␈β¬∂␈↓ ¬c␈ε↓␈␈↓ πf␈ε↓␈␈↓ π␈␈ε↓␈␈↓ 

␈ε↓␈
␈β¬_␈↓ ε␈εα(␈↓ πZ␈εα)␈↓ λ$␈εα(␈↓ 	}␈εα)
␈β¬≠␈↓ αl␈ε↔∀␈↓ β↔␈ε	f␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε	m␈↓ β[␈εβ,␈↓ βi␈ε	k␈↓ ∧¬␈εβ)␈↓ ∧⊂␈ε	f␈↓ ∧ ␈εβ(␈↓ ∧+␈ε	m␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	k␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬o␈ε	v␈↓ ε␈ε	e␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε	∩␈↓ ε<␈εβ),␈↓ εV␈ε	e␈↓ εc␈εβ(␈↓ εn␈ε	∩␈↓ π¬␈εβ)␈α↓,␈↓ π∨␈ε	e␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	∩␈↓ πO␈εβ)␈↓ λ␈ε	w␈↓ λ0␈ε	e␈↓ λ=␈εβ(␈↓ λH␈ε	∩␈↓ λ←␈εβ)␈α↓,␈↓ λy␈ε	e␈↓ 	ε␈εβ(␈↓ 	⊃␈ε	∩␈↓ 	)␈εβ),␈↓ 	C␈ε	e␈↓ 	P␈εβ(␈↓ 	[␈ε	∩␈↓ 	s␈εβ)␈↓ 
(␈ε	d␈↓ 
:␈ε	∩␈↓ 
X␈ε	d␈↓ 
j␈ε	∩␈↓ α␈εβ.
␈β¬&␈↓ βN␈εε2␈↓ βx␈εε2␈↓ ∧G␈εε3␈↓ ∧q␈εε3␈↓ ε/␈εε1␈↓ εy␈εε2␈↓ πC␈εε3␈↓ λS␈εε1␈↓ 	≥␈εε2␈↓ 	f␈εε3␈↓ 
F␈εε2␈↓ 
u␈εε3
␈β¬.␈↓ ¬∨␈εε0␈↓ ¬I␈εε0
␈β¬g␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈αa␈α␈ll␈↓ α5␈ε	≡␈↓ αS␈εβ,␈↓ αg␈ε	≡␈↓ β¬␈εβ,␈↓ β~␈ε	{␈↓ β;␈εβ,␈↓ βO␈ε	{␈↓ β{␈εβw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αsho␈α}wn␈αtha␈α␈t
␈β¬r␈↓ αF␈εε2␈↓ αy␈εε3␈↓ β.␈εε2␈↓ βc␈εε3
␈βε→␈↓ α=␈ε↓␈␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ π∪␈ε↓␈
␈βε≥␈↓ ↓i␈ε↓R␈↓ α∪␈ε↓R
␈βε,␈↓ α↓␈εε1␈↓ α+␈εε1␈↓ ∧`␈εε2␈↓ π∨␈εε2
␈βε/␈↓ α=␈ε↓␈␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ ∧m␈ε↓␈␈↓ π∪␈ε↓␈
␈βε8␈↓ α[␈εα(␈↓ ∧H␈εα)␈↓ ¬∩␈εα(␈↓ ππ␈εα)
␈βε;␈↓ αI␈ε	v␈↓ αg␈ε	e␈↓ αt␈εβ(␈↓ α␈␈ε	≡␈↓ β≥␈εβ),␈↓ β7␈ε	e␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	≡␈↓ βm␈εβ),␈↓ ∧π␈ε	e␈↓ ∧∀␈εβ(␈↓ ∧∨␈ε	≡␈↓ ∧=␈εβ)␈↓ ∧y␈ε	w␈↓ ¬≡␈ε	e␈↓ ¬+␈εβ(␈↓ ¬6␈ε	{␈↓ ¬W␈εβ),␈↓ ¬q␈ε	e␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	{␈↓ ε)␈εβ)␈α↓,␈↓ εC␈ε	e␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	{␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π2␈ε	d␈↓ πD␈ε	≡␈↓ πh␈ε	d␈↓ πz␈ε	{
␈βεF␈↓ β⊂␈εε1␈↓ β`␈εε2␈↓ ∧1␈εε3␈↓ ¬J␈εε1␈↓ ε≥␈εε2␈↓ εp␈εε3␈↓ πV␈εε1␈↓ λ∞␈εε1
␈βεN␈↓ ↓z␈εε0␈↓ α$␈εε0
␈βεZ␈↓ ¬s␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈␈↓ λ≤␈ε↓␈␈↓ 
:␈ε↓␈
␈βε↑␈↓ ¬I␈ε↓R
␈βεm␈↓ ¬a␈εε1␈↓ λ⊂␈εε2␈↓ 
F␈εε2
␈βεp␈↓ ¬s␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈␈↓ λ≤␈ε↓␈␈↓ 
:␈ε↓␈
␈βεy␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ πx␈εα)␈↓ λA␈εα(␈↓ 
.␈εα)
␈βε|␈↓ ∧ ␈ε↔∀␈↓ ∧J␈ε	f␈↓ ∧Z␈εβ(␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬∞␈εβ,␈↓ ¬≥␈ε	k␈↓ ¬8␈εβ)␈↓ ¬␈␈ε	v␈↓ ε≤␈ε	e␈↓ ε)␈εβ(␈↓ ε5␈ε	∩␈↓ εL␈εβ),␈↓ εf␈ε	e␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	≡␈↓ π≤␈εβ),␈↓ π6␈ε	e␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	≡␈↓ πm␈εβ)␈↓ λ(␈ε	w␈↓ λM␈ε	e␈↓ λZ␈εβ(␈↓ λe␈ε	∩␈↓ λ⎇␈εβ),␈↓ 	↔␈ε	e␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	{␈↓ 	P␈εβ),␈↓ 	j␈ε	e␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	{␈↓ 
"␈εβ)␈↓ 
X␈ε	d␈↓ 
j␈ε	∩␈↓ α␈εβ.
␈βππ␈↓ ¬α␈εε1␈↓ ¬,␈εε1␈↓ ε@␈εε1␈↓ π⊂␈εε2␈↓ π`␈εε3␈↓ λp␈εε1␈↓ 	C␈εε2␈↓ 
⊗␈εε3␈↓ 
u␈εε1
␈βπ∂␈↓ ¬Z␈εε0
␈βπH␈↓ ↓H␈εβIn␈α}tegra␈α␈te␈αth␈α␈e␈αform␈α␈er␈αine␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈α
with␈α
respe␈α␈ct␈αto␈↓ εx␈ε	∩␈↓ π≠␈εβa␈α␈nd␈α
the␈α
latter␈α
wi␈α↓th␈α
resp␈α␈ect␈α
to␈↓ 
S␈ε	≡␈↓ 
q␈εβ,␈↓ ¬␈ε	≡␈↓ #␈εβ,
␈βπS␈↓ πβ␈εε1␈↓ 
d␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈βπp␈↓ ↓H␈ε	{␈↓ ↓h␈εβ,␈↓ α␈ε	{␈↓ α!␈εβ.␈α∨[This␈α
meth␈α␈od␈α
was␈α∞u␈α␈sed␈α
by␈α
A.␈α∞O.␈α∞Gel'fond␈α
in␈ε⊂␈α
Transc␈α␈end␈α␈en␈α}tal␈α∞an␈α␈d␈α∞Alg␈α␈ebra␈α␈i␈α↓c
␈βπz␈↓ ↓\␈εε2␈↓ α∀␈εε3
␈βλ↔␈↓ ↓H␈ε⊂Nu␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈εβ␈α(New␈αYork␈α␈:␈αDo␈α}v␈α␈er,␈α19␈α␈60),␈αS␈α␈ection␈α3␈α␈.4,␈αto␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α}e␈αa␈αsligh␈α␈t␈α␈l␈α↓y␈α
di{eren␈α␈t␈αre␈α␈sult.]
␈βλI␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβMo␈α␈re␈αg␈α␈ene␈α␈rally,␈αassu␈α␈me␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬2␈ε	u␈↓ ¬F␈εβ(␈↓ ¬Q␈ε	x␈↓ ¬b␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ ε!␈ε	v␈↓ ε3␈εβ(␈↓ ε>␈ε	x␈↓ εO␈εβ)␈↓ εZ␈ε	w␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	x␈↓ π∂␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ%␈ε	q␈↓ λ4␈εβ),␈↓ λS␈ε	a␈↓ λd␈εβ(␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	␈ε	v␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	(␈ε	x␈↓ 	9␈εβ)␈απ+␈↓ 	s␈ε	b␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≥␈εβ)␈↓ 
(␈ε	w␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
L␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
1
␈βλq␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ),␈α∂a␈α␈nd␈↓ β@␈ε	c␈↓ βM␈ε	#␈↓ β[␈εβ(␈↓ βf␈ε	v␈↓ βw␈εβ)␈ε↔␈α∞⊃␈εβ␈α
1␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ ¬↑␈ε	r␈↓ ¬l␈εβ)␈α↓,␈↓ ε∂␈εβd␈α␈eg␈↓ εA␈εβ(␈↓ εL␈ε	a␈↓ ε\␈εβ)␈α∞<␈↓ π$␈εβd␈α␈eg␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	w␈↓ πy␈εβ)␈α↓,␈↓ λ≤␈εβd␈α␈eg␈↓ λN␈εβ(␈↓ λY␈ε	h␈↓ λi␈εβ)␈α∞<␈↓ 	1␈εβd␈α␈eg␈↓ 	c␈εβ(␈↓ 	n␈ε	v␈↓ 	␈␈εβ),␈↓ 
"␈εβd␈α␈eg␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	u␈↓ 
s␈εβ)␈α
=
␈β	→␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	v␈↓ α⊗␈εβ)␈α	+␈↓ αU␈εβd␈α␈eg␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	w␈↓ β+␈εβ),␈α∞where␈↓ ∧0␈ε	r␈↓ ∧M␈εβ=␈↓ ∧{␈εβgcd␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬9␈ε	p␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ ¬X␈ε	q␈↓ ¬g␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈↓ εC␈ε	p␈↓ εT␈εβ,␈↓ εc␈ε	q␈↓ π␈εβn␈α␈eed␈α␈n't␈α∞b␈α␈e␈α∞p␈α␈rime.␈α∪We␈α∞sh␈α␈all␈α∞con␈α␈struc␈α␈t
␈β	@␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ β∧␈ε	V␈↓ β≤␈εβ(␈↓ β'␈ε	x␈↓ β8␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ ∧β␈ε	v␈↓ ∧∀␈εβ(␈↓ ∧∨␈ε	x␈↓ ∧0␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ ¬∞␈ε	W␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬L␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ ε⊗␈ε	w␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε	x␈↓ εK␈εβ)␈α∂(mod␈α␈ulo␈↓ πg␈ε	q␈↓ πu␈εβ)␈α∂su␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	>␈εβ(␈↓ 	I␈ε	x␈↓ 	Z␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ 
$␈ε	V␈↓ 
<␈εβ(␈↓ 
G␈ε	x␈↓ 
Y␈εβ)␈↓ 
d␈ε	W␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β	h␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	q␈↓ αX␈ε	r␈↓ αg␈εβ),␈↓ ββ␈ε	#␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	V␈↓ β4␈εβ)␈α	=␈↓ βs␈ε	#␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧≥␈εβ),␈↓ ∧:␈εβde␈α␈g␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	V␈↓ ¬∂␈εβ)␈α	=␈↓ ¬N␈εβd␈α␈eg␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε≤␈εβ)␈↓ ε/␈εβdeg␈↓ εa␈εβ(␈↓ εl␈ε	W␈↓ π
␈εβ)␈α
=␈↓ πL␈εβdeg␈↓ π}␈εβ(␈↓ λ	␈ε	w␈↓ λ"␈εβ);␈α	f␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α	if␈↓ 
≠␈ε	r␈↓ 
2␈εβis␈αλp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αresu␈α␈lts␈αwi␈α↓ll␈αbe␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ¬7␈ε	q␈↓ ¬F␈ε	r␈↓ ¬U␈εβ.
␈β
7␈↓ α␈εβThe␈αεpro␈α␈blem␈απa␈α␈sks␈απu␈α␈s␈απto␈απ|␈α␈nd␈↓ ¬↔␈εβ∩␈↓ ¬↔␈ε	v␈↓ ¬(␈εβ(␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬E␈εβ)␈απan␈α␈d␈↓ ε∀␈ε	w␈↓ ε_␈εβ∩␈↓ ε,␈εβ(␈↓ ε7␈ε	x␈↓ εI␈εβ)␈απwith␈↓ π#␈ε	V␈↓ π:␈εβ(␈↓ πE␈ε	x␈↓ πW␈εβ)␈α	=␈↓ λ⊗␈ε	v␈↓ λ'␈εβ(␈↓ λ2␈ε	x␈↓ λD␈εβ)␈αα+␈↓ λt␈ε	q␈↓ 	β␈εβ∩␈↓ 	β␈ε	v␈↓ 	∀␈εβ(␈↓ 	∨␈ε	x␈↓ 	0␈εβ),␈↓ 	M␈ε	W␈↓ 	n␈εβ(␈↓ 	y␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α	=␈↓ 
I␈ε	w␈↓ 
b␈εβ(␈↓ 
m␈ε	x␈↓ 
}␈εβ)␈αα+
␈β
\␈↓ λ⎇␈εα(␈↓ 
0␈εα)(
␈β
←␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓Z␈εβ∩␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ),␈↓ α(␈εβdeg␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	v␈↓ αf␈εβ∩␈↓ αw␈εβ)␈α	<␈↓ β6␈εβd␈α␈eg␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∧␈εβ),␈↓ ∧!␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ∩␈↓ ∧v␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬5␈εβdeg␈↓ ¬g␈εβ(␈↓ ¬r␈ε	w␈↓ ε␈εβ);␈α	an␈α␈d␈απthe␈απoth␈α␈er␈απcon␈α␈dition␈↓ 		␈ε	v␈↓ 	~␈εβ(␈↓ 	%␈ε	x␈↓ 	7␈εβ)␈αβ+␈↓ 	h␈ε	q␈↓ 	w␈ε	v␈↓ 	x␈εβ∩␈↓ 
	␈εβ(␈↓ 
∀␈ε	x␈↓ 
%␈εβ)␈↓ 
H␈ε	w␈↓ 
a␈εβ(␈↓ 
l␈ε	x␈↓ 
⎇␈εβ)␈αβ+
␈ββ␈↓ α↔␈εα)
␈βε␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓Z␈εβ∩␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈↓ α2␈ε↔⊃␈↓ αb␈ε	u␈↓ αv␈εβ(␈↓ βα␈ε	x␈↓ β∪␈εβ)␈α∂(mod␈α␈ulo␈↓ ∧/␈ε	q␈↓ ∧=␈ε	r␈↓ ∧L␈εβ)␈α∂is␈α∂e␈α␈quiv␈α␈alen␈α␈t␈α∞to␈↓ εZ␈ε	w␈↓ ε↑␈εβ∩␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	x␈↓ π⊂␈εβ)␈↓ π≠␈ε	v␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πI␈εβ)␈α	+␈↓ λ	␈εβ∩␈↓ λ	␈ε	v␈↓ λ~␈εβ(␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ6␈εβ)␈↓ λA␈ε	w␈↓ λZ␈εβ(␈↓ λe␈ε	x␈↓ λw␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ 	A␈ε	f␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	\␈ε	x␈↓ 	n␈εβ)␈α∂(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	␈ε	r␈↓ _␈εβ),
␈β+␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ 
;␈εα)
␈β.␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α]␈εβ)␈ε↔␈α∩⊃␈↓ β-␈ε	v␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ β[␈εβ)␈↓ βf␈ε	w␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧≠␈εβ)␈α+␈↓ ∧]␈ε	q␈↓ ∧l␈ε	f␈↓ ∧{␈εβ(␈↓ ¬π␈ε	x␈↓ ¬_␈εβ)␈α∩(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ε6␈ε	q␈↓ εE␈ε	r␈↓ εS␈εβ).␈α≠We␈α⊂h␈α␈av␈α␈e␈↓ λ"␈ε	a␈↓ λ2␈εβ(␈↓ λ=␈ε	x␈↓ λN␈εβ)␈↓ λZ␈ε	f␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	ε␈εβ)␈α+␈↓ 	H␈ε	t␈↓ 	T␈εβ(␈↓ 	←␈ε	x␈↓ 	p␈εβ)␈↓ 	{␈ε	w␈↓ 
∀␈εβ(␈↓ 
∨␈ε	x␈↓ 
0␈εβ)␈↓ 
G␈ε	v␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α+
␈βR␈↓ ↓H␈εα(␈↓ βV␈εα)
␈βU␈↓ ↓T␈ε	b␈↓ ↓a␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ)␈↓ αλ␈ε	f␈↓ α_␈εβ(␈↓ α#␈ε	x␈↓ α5␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ αi␈ε	t␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β⊃␈εβ)␈↓ β≥␈ε	v␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	x␈↓ βJ␈εβ)␈↓ βb␈ε	w␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧↔␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ ∧V␈ε	f␈↓ ∧e␈εβ(␈↓ ∧q␈ε	x␈↓ ¬α␈εβ)␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ε_␈ε	r␈↓ ε&␈εβ)␈α	for␈αλall␈↓ π↔␈ε	t␈↓ π#␈εβ(␈↓ π.␈ε	x␈↓ π?␈εβ).␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ λ2␈ε	#␈↓ λ@␈εβ(␈↓ λK␈ε	v␈↓ λ]␈εβ)␈αλha␈α␈s␈α	an␈αλin␈α␈v␈α}erse␈αλmod␈α␈ulo
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
c␈α␈an␈α
|␈α␈nd␈αa␈α
q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧E␈ε	t␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧m␈εβ)␈α
by␈αAlgorith␈α␈m␈α
4.6.1␈α␈D␈α
suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈↓ λ[␈εβd␈α␈eg␈↓ 	
␈εβ(␈↓ 	_␈ε	b␈↓ 	%␈ε	f␈↓ 	>␈ε↔␈␈↓ 	g␈ε	t␈↓ 	s␈ε	v␈↓ 
¬␈εβ)␈α<␈↓ 
J␈εβd␈α␈eg␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	v␈↓ _␈εβ);
␈β%␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α⊃th␈α␈is␈↓ αG␈ε	t␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε	x␈↓ αo␈εβ),␈↓ β∃␈εβdeg␈↓ βG␈εβ(␈↓ βR␈ε	a␈↓ βc␈ε	f␈↓ β}␈εβ+␈↓ ∧*␈ε	t␈↓ ∧6␈ε	w␈↓ ∧O␈εβ)␈ε↔␈α∩∀␈↓ ¬∨␈εβdeg␈↓ ¬Q␈εβ(␈↓ ¬\␈ε	w␈↓ ¬u␈εβ),␈α∩si␈α↓n␈α␈ce␈↓ εr␈εβde␈α␈g␈↓ π$␈εβ(␈↓ π/␈ε	f␈↓ π?␈εβ)␈ε↔␈α∩∀␈↓ λ⊂␈εβd␈α␈eg␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	u␈↓ λa␈εβ)␈α∩=␈↓ 	2␈εβd␈α␈eg␈↓ 	c␈εβ(␈↓ 	o␈ε	v␈↓ 
␈εβ)␈α+␈↓ 
B␈εβdeg␈↓ 
t␈εβ(␈↓ 
␈␈ε	w␈↓ _␈εβ).
␈βL␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈α∞th␈α␈e␈α∞de␈α␈si␈α↓re␈α␈d␈α∞solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞is␈↓ ∧t␈εβ∩␈↓ ∧t␈ε	v␈↓ ¬¬␈εβ(␈↓ ¬⊃␈ε	x␈↓ ¬"␈εβ)␈α∞=␈↓ ¬k␈ε	b␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε∃␈εβ)␈↓ ε ␈ε	f␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε;␈ε	x␈↓ εL␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ π␈ε	t␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε	x␈↓ π3␈εβ)␈↓ π?␈ε	v␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	x␈↓ πl␈εβ)␈α∂=␈↓ λ5␈ε	b␈↓ λC␈εβ(␈↓ λN␈ε	x␈↓ λ←␈εβ)␈↓ λj␈ε	f␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	x␈↓ 	⊗␈εβ)␈↓ 	'␈εβmo␈α␈d␈↓ 	l␈ε	v␈↓ 	⎇␈εβ(␈↓ 
λ␈ε	x␈↓ 
→␈εβ),␈↓ 
=␈ε	w␈↓ 
A␈εβ∩␈↓ 
U␈εβ(␈↓ 
`␈ε	x␈↓ 
r␈εβ)␈α∞=
␈βl␈↓ ∧)␈εβ∩␈↓ ∧u␈εβ∩␈↓ 	⎇␈εβ∩
␈βq␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ¬1␈εα)␈↓ λy␈εα(␈↓ 
9␈εα)
␈βt␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈↓ α␈ε	f␈↓ α∂␈εβ(␈↓ α≠␈ε	x␈↓ α,␈εβ)␈α	+␈↓ αj␈ε	t␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε	x␈↓ β∪␈εβ)␈↓ β≡␈ε	w␈↓ β6␈εβ(␈↓ βB␈ε	x␈↓ βS␈εβ).␈α∩I␈α↓f␈↓ ∧)␈εβ∩␈↓ ∧)␈ε	v␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧F␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ),␈↓ ∧q␈ε	w␈↓ ∧u␈εβ∩␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	x␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬K␈εβis␈α
an␈α␈othe␈α␈r␈α∞so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	¬␈ε	w␈↓ 		␈εβ∩␈↓ 	≡␈εβ(␈↓ 	)␈ε	x␈↓ 	:␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ 	y␈ε	w␈↓ 	⎇␈εβ∩␈↓ 
⊃␈εβ(␈↓ 
≥␈ε	x␈↓ 
.␈εβ)␈↓ 
E␈ε	v␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
b␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈ε↔␈α
⊃
␈β
∪␈↓ ↓T␈εβ∩␈↓ 	;␈εβ∩
␈β
_␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αz␈εα)
␈β
≠␈↓ ↓T␈εβ∩␈↓ ↓T␈ε	v␈↓ ↓e␈εβ(␈↓ ↓p␈ε	x␈↓ α↓␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ αA␈εβ∩␈↓ αA␈ε	v␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε	x␈↓ αo␈εβ)␈↓ βε␈ε	w␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	x␈↓ β;␈εβ)␈α∂(mod␈α␈ulo␈↓ ∧W␈ε	r␈↓ ∧e␈εβ).␈α⊗Th␈α}us␈α∞i␈α↓f␈↓ ε	␈ε	r␈↓ ε&␈εβis␈α∂p␈α␈rime,␈↓ π6␈ε	v␈↓ πH␈εβ(␈↓ πS␈ε	x␈↓ πd␈εβ)␈α∂m␈α␈u␈α␈st␈α∞divid␈α␈e␈↓ 	;␈εβ∩␈↓ 	;␈ε	v␈↓ 	L␈εβ(␈↓ 	W␈ε	x␈↓ 	i␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ 
(␈ε	v␈↓ 
)␈εβ∩␈↓ 
:␈εβ(␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
V␈εβ);␈α⊂bu␈α␈t
␈β
;␈↓ α¬␈εβ∩␈↓ ∧-␈εβ∩␈↓ ε#␈εβ∩
␈β
C␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈εβ∩␈↓ α¬␈ε	v␈↓ α≥␈ε↔␈␈↓ αF␈ε	v␈↓ αG␈εβ∩␈↓ αX␈εβ)␈α	<␈↓ β⊗␈εβdeg␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	v␈↓ βe␈εβ),␈αso␈↓ ∧-␈εβ∩␈↓ ∧-␈ε	v␈↓ ∧>␈εβ(␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ)␈α	=␈↓ ¬~␈εβ∩␈↓ ¬~␈ε	v␈↓ ¬+␈εβ(␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬H␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ε∨␈ε	w␈↓ ε#␈εβ∩␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	x␈↓ εT␈εβ)␈α	=␈↓ π∪␈ε	w␈↓ π↔␈εβ∩␈↓ π+␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πH␈εβ).
␈β
k␈↓ α␈εβFor␈↓ αO␈ε	p␈↓ αp␈εβ=␈α⊂2,␈α⊃t␈α␈he␈α∂fact␈α␈orization␈α∞pro␈α␈ceed␈α␈s␈α∂as␈α∂foll␈α↓o␈α}ws␈α∂(␈α↓writin␈α␈g␈α∂on␈α␈l␈α↓y␈α∞the␈α∂co␈α␈e}cien␈α}ts,
␈β∞∞␈↓ 	N␈∧∞∞	Nα⊃␈↓ 	e␈∧∞∞	eα⊃␈↓ 	{␈∧∞∞	{α⊃
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∂u␈α␈sing␈α∂ba␈α␈rs␈α⊂fo␈α␈r␈α⊂n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α∂digits):␈α∀Ex␈α␈ercise␈α∂10␈α∂sa␈α␈ys␈α∂tha␈α␈t␈↓ λ>␈ε	v␈↓ λY␈εβ(␈↓ λd␈ε	x␈↓ λv␈εβ)␈α⊂=␈α⊃(␈↓ 	N␈εβ1␈↓ 	e␈εβ1␈↓ 	{␈εβ1␈↓ 
␈εβ),␈↓ 
0␈ε	w␈↓ 
S␈εβ(␈↓ 
↑␈ε	x␈↓ 
o␈εβ)␈α⊃=
␈β∞≥␈↓ λM␈εε1␈↓ 
F␈εε1
␈β∞6␈↓ ↓S␈∧∞6↓Sα⊃␈↓ ↓i␈∧∞6↓iα⊃␈↓ ↓␈␈∧∞6↓␈α⊃␈↓ αB␈∧∞6αBα⊃␈↓ αX␈∧∞6αXα⊃
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβ1␈↓ ↓i␈εβ1␈↓ ↓␈␈εβ1␈↓ α∃␈εβ0␈αε0␈↓ αB␈εβ1␈↓ αX␈εβ1␈↓ αi␈εβ)␈αin␈αon␈α␈e-b␈α␈i␈α↓t␈αt␈α␈w␈α␈o's␈αcom␈α␈pleme␈α␈n␈α␈t␈αno␈α␈tation␈α␈.␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
algorith␈α␈m␈αyield␈α␈s
␈β∞]␈↓ πd␈εε2
␈β∞a␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∞=␈α∂(1␈α¬0␈α¬0␈αε0␈α¬0␈α¬1),␈↓ βc␈ε	b␈↓ βp␈εβ(␈↓ β{␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α∂=␈α∂(1␈α¬0).␈α∃Th␈α␈e␈α∞facto␈α␈r␈↓ ε\␈ε	v␈↓ εm␈εβ(␈↓ εx␈ε	x␈↓ π	␈εβ)␈α∂=␈↓ πS␈ε	x␈↓ πz␈εβ+␈↓ λ%␈ε	c␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λY␈εβ+␈↓ 	β␈ε	c␈↓ 	*␈εβm␈α␈ust␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε↔␈α∂j␈↓ 
[␈ε	c␈↓ 
s␈ε↔j␈α∂∀
␈β∞l␈↓ λ1␈εε1␈↓ 	∂␈εε0␈↓ 
g␈εε1
␈β∂β␈↓ α1␈∧∂βα1α2
␈β∂∧␈↓ α⊂␈ε↔p
␈β∂	␈↓ ↓H␈ε↔b␈εβ1␈α∧+␈↓ α1␈εβ1␈α␈13␈↓ αc␈ε↔c␈εβ␈α	=␈α
1␈α␈1,␈ε↔␈α	j␈↓ βa␈ε	c␈↓ βy␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α	10,␈α	by␈αλex␈α␈e␈α␈rcise␈α	20␈α␈.␈αThre␈α␈e␈α	ap␈α␈plicatio␈α␈ns␈α	of␈α	He␈α␈nsel's␈α	lemma␈αλyield
␈β∂∀␈↓ βm␈εε0
␈β∂-␈↓ αw␈∧∂-αwα⊃␈↓ ∧H␈∧∂-∧Hα⊃␈↓ ∧↑␈∧∂-∧↑α⊃␈↓ ∧u␈∧∂-∧uα⊃␈↓ ¬!␈∧∂-¬!α⊃
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈α
=␈α(1␈α¬3␈↓ αw␈εβ1␈↓ βλ␈εβ),␈↓ β(␈ε	w␈↓ βJ␈εβ(␈↓ βU␈ε	x␈↓ βg␈εβ)␈α
=␈α
(1␈↓ ∧H␈εβ3␈↓ ∧↑␈εβ5␈↓ ∧u␈εβ4␈↓ ¬␈εβ4␈↓ ¬!␈εβ3␈↓ ¬7␈εβ5).␈αTh␈α␈u␈α␈s␈↓ ε=␈ε	c␈↓ ε←␈ε↔⊃␈εβ␈α
3␈αa␈α␈nd␈↓ πh␈ε	c␈↓ λ
␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ␈α↓1␈α	(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈6);␈αth␈α␈e␈αo␈α␈nly
␈β∂;␈↓ ↓V␈εε4␈↓ β>␈εε4␈↓ εI␈εε1␈↓ πt␈εε0
␈β∂T␈↓ ¬a␈εε2
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αqu␈α␈ad␈α␈ratic␈α
fa␈α␈ctor␈αof␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ∧y␈εβ(␈↓ ¬∧␈ε	x␈↓ ¬∃␈εβ)␈α
is␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ ¬v␈εβ+␈α	3␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εK␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α⊂Division␈αfails,␈α
so␈↓ 	∨␈ε	u␈↓ 	3␈εβ(␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 	O␈εβ)␈α
is␈α
irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le.
␈β∂⎇␈↓ ↓H␈εα(
␈β⊂␈↓ ↓T␈εβS␈α␈ince␈απw␈α␈e␈αλh␈α␈av␈α␈e␈απno␈α}w␈αλpro␈α}v␈α␈ed␈απth␈α␈e␈αλirred␈α␈ucib␈α␈i␈α↓lity␈απof␈αλth␈α␈is␈αλbe␈α␈l␈α↓o␈α}v␈α␈ed␈απp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλb␈α␈y␈απfour␈απsep␈α␈arate
␈β⊂$␈↓ εg␈εα)
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈ds,␈αit␈αi␈α↓s␈αu␈α␈nlik␈α␈ely␈α
that␈αit␈αh␈α␈as␈αan␈α}y␈αfac␈α␈tors.
␈β⊂O␈↓ α␈εβHan␈α␈s␈α∞Zasse␈α␈nh␈α␈aus␈α
ha␈α␈s␈α∞ob␈α␈serv␈α}ed␈α
tha␈α␈t␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
ofte␈α␈n␈α∞s␈α␈peed␈α
u␈α␈p␈α
such␈α
c␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
by
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβin␈α␈creasin␈α␈g␈↓ αh␈ε	p␈↓ βλ␈εβas␈α⊂w␈α␈ell␈α⊂as␈↓ ∧+␈ε	q␈↓ ∧:␈εβ:␈α∃In␈α∂the␈α∂ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α∂no␈α␈tation␈α␈,␈α∩w␈α␈e␈α∂can␈α∂|␈α␈nd␈↓ λy␈ε	A␈↓ 	∂␈εβ(␈↓ 	≠␈ε	x␈↓ 	,␈εβ),␈↓ 	Q␈ε	B␈↓ 	h␈εβ(␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
∧␈εβ)␈α⊂su␈α␈ch␈α∂tha␈α␈t
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓↑␈εβ(␈↓ ↓i␈ε	x␈↓ ↓z␈εβ)␈↓ α¬␈ε	V␈↓ α≥␈εβ(␈↓ α(␈ε	x␈↓ α:␈εβ)␈αε+␈↓ αs␈ε	B␈↓ β	␈εβ(␈↓ β∀␈ε	x␈↓ β%␈εβ)␈↓ β0␈ε	W␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ¬H␈ε	p␈↓ ¬Y␈ε	r␈↓ ¬h␈εβ),␈αn␈α␈am␈α␈ely␈α
by␈α	takin␈α␈g␈↓ λ⊂␈ε	A␈↓ λ&␈εβ(␈↓ λ1␈ε	x␈↓ λC␈εβ)␈α	=␈↓ 	α␈ε	a␈↓ 	∩␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	x␈↓ 	/␈εβ)␈αε+␈↓ 	g␈ε	p␈↓ 	x␈εβ∩␈↓ 	x␈ε	a␈↓ 
	␈εβ(␈↓ 
∀␈ε	x␈↓ 
%␈εβ),␈↓ 
D␈ε	B␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα704␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα"␈↓ α>␈εβ∩␈↓ ¬'␈εβ∩
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε	x␈↓ ↓q␈εβ)␈α	+␈↓ α/␈ε	p␈↓ α@␈ε	b␈↓ αM␈εβ(␈↓ αY␈ε	x␈↓ αj␈εβ),␈α∞wh␈α␈ere␈↓ βn␈εβ∩␈↓ βn␈ε	a␈↓ β␈␈ε	a␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε	x␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ∧7␈ε	V␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α	+␈↓ ¬)␈ε	b␈↓ ¬6␈εβ(␈↓ ¬A␈ε	x␈↓ ¬R␈εβ)␈↓ ¬↑␈ε	W␈↓ ¬␈␈εβ(␈↓ ε
␈ε	x␈↓ ε≠␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ εa␈ε	g␈↓ εq␈εβ(␈↓ ε|␈ε	x␈↓ π
␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ λ&␈ε	r␈↓ λ5␈εβ),␈↓ λW␈ε	a␈↓ λg␈εβ(␈↓ λr␈ε	x␈↓ 	∧␈εβ)␈↓ 	∂␈ε	V␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	x␈↓ 	C␈εβ)␈α	+␈↓ 
↓␈ε	b␈↓ 
∞␈εβ(␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
+␈εβ)␈↓ 
6␈ε	W␈↓ 
W␈εβ(␈↓ 
b␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈ε↔␈α
⊃
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α∧␈␈↓ αβ␈ε	p␈↓ α∀␈ε	g␈↓ α$␈εβ(␈↓ α/␈ε	x␈↓ α@␈εβ)␈α
(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ βV␈ε	p␈↓ βg␈ε	r␈↓ βv␈εβ).␈αWe␈α	ca␈α␈n␈α	also␈α	|␈α␈nd␈↓ ε
␈ε	C␈↓ ε.␈εβwi␈α↓th␈↓ εx␈ε	#␈↓ πε␈εβ(␈↓ π⊃␈ε	V␈↓ π)␈εβ)␈↓ π4␈ε	C␈↓ πX␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ 	≡␈ε	p␈↓ 	/␈ε	r␈↓ 	>␈εβ).␈αIn␈αλthis␈α	way␈α	w␈α␈e
␈βαy␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αlif␈α↓t␈αa␈αsqu␈α␈are␈α␈f␈α↓re␈α␈e␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ ¬7␈ε	u␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ ε'␈ε	v␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εD␈ε	x␈↓ εU␈εβ)␈↓ ε`␈ε	w␈↓ εy␈εβ(␈↓ π∧␈ε	x␈↓ π⊗␈εβ)␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ λ,␈ε	p␈↓ λ=␈εβ)␈αto␈αi␈α↓ts␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αe␈α␈xten␈α␈sion␈α␈s
␈ββ≥␈↓ αQ␈εε2␈↓ βε␈εε4␈↓ β:␈εε8␈↓ βo␈εε1␈α␈6
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α@␈ε	p␈↓ α↑␈εβ,␈↓ αu␈ε	p␈↓ β∩␈εβ,␈↓ β)␈ε	p␈↓ βG␈εβ,␈↓ β↑␈ε	p␈↓ ∧λ␈εβ,␈α∞etc␈α␈.␈α∩Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞this␈α
\a␈α␈ccelera␈α␈ted"␈αpro␈α␈cedu␈α␈re␈α
rea␈α␈ches␈α
a␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈ββI␈↓ ↓H␈εβd␈α␈iminishin␈α␈g␈α
retu␈α␈rns␈α
in␈α
p␈α␈ractice,␈α
as␈α
soo␈α␈n␈α
as␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈et␈α
to␈α
do␈α␈ub␈α␈le-prec␈α␈i␈α↓sion␈α	mod␈α␈uli,␈αsin␈α␈ce␈α
the
␈ββp␈↓ ↓H␈εβtime␈αεfor␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αεm␈α␈ultipre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απin␈απp␈α␈ract␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈απran␈α␈ges␈απou␈α␈t␈α␈w␈α␈eigh␈α␈s␈απthe␈απa␈α␈dv␈α␈an␈α}tage
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
squa␈α␈ring␈α
th␈α␈e␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓u␈α␈s␈α
direc␈α␈tl␈α↓y␈α␈.␈α⊃From␈α
a␈αcomp␈α␈uta␈α␈tiona␈α␈l␈α∞st␈α␈and␈α␈po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
it␈α
seems␈α
b␈α␈est␈α
to
␈β∧;␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ε↔␈εε4␈↓ εJ␈εε8␈↓ π?␈εE␈↓ πx␈εE␈↓ λ
␈εε+␈↓ λ#␈εe␈↓ λT␈εE␈↓ λf␈εε+␈α↓2␈↓ 	␈εe␈↓ 	=␈εE␈↓ 	P␈εε+3␈↓ 	u␈εe
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rk␈αwith␈αt␈α␈he␈αsu␈α␈ccessiv␈α}e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈↓ ¬-␈ε	p␈↓ ¬>␈εβ,␈↓ ¬S␈ε	p␈↓ ¬q␈εβ,␈↓ εε␈ε	p␈↓ ε$␈εβ,␈↓ ε9␈ε	p␈↓ εW␈εβ,␈↓ εl␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π→␈εβ,␈↓ π.␈ε	p␈↓ πQ␈εβ,␈↓ πg␈ε	p␈↓ λ.␈εβ,␈↓ λC␈ε	p␈↓ 	↔␈εβ,␈↓ 	,␈ε	p␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
⊗␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
B␈εβ,␈αwhere
␈β∧c␈↓ ¬L␈εE
␈β∧g␈↓ ↓H␈ε	E␈↓ ↓k␈εβis␈αthe␈αsm␈α␈all␈α↓e␈α␈st␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈α
2␈αwi␈α↓th␈↓ ¬;␈ε	p␈↓ ¬k␈εβg␈α␈reate␈α␈r␈αthan␈αsingle␈αp␈α␈recision␈αa␈α␈nd␈↓ 	V␈ε	e␈↓ 	o␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αlarges␈α␈t
␈β¬
␈↓ β[␈εe
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ βJ␈ε	p␈↓ βq␈εβh␈α␈as␈αsin␈α␈gle␈αpre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈β¬8␈↓ α␈εβHen␈α␈sel'␈α↓s␈α
l␈α↓em␈α␈ma,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αh␈α␈e␈αin␈α␈tro␈α␈du␈α␈ced␈α
i␈α↓n␈α
ord␈α␈er␈αto␈α
dem␈α␈on␈α␈strate␈αt␈α␈he␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	the␈α	|e␈α␈l␈α↓d␈α	o␈α␈f␈↓ ∧i␈ε	p␈↓ ∧z␈εβ-ad␈α␈ic␈α
n␈α}um␈α}bers␈α	(see␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
4␈α␈.1↑3␈α␈1),␈α
can␈α	b␈α␈e␈α	gen␈α␈eralized␈α	in
␈βεπ␈↓ ↓H␈εβse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈αwa␈α␈ys.␈αFirst,␈α
i␈α↓f␈α
th␈α␈ere␈α	are␈α
mo␈α␈re␈α
fac␈α␈tors,␈α
say␈↓ π∀␈ε	u␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε	x␈↓ πE␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈↓ λ∧␈ε	v␈↓ λ∨␈εβ(␈↓ λ*␈ε	x␈↓ λ;␈εβ)␈↓ λG␈ε	v␈↓ λb␈εβ(␈↓ λm␈ε	x␈↓ λ}␈εβ)␈↓ 		␈ε	v␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	x␈↓ 	A␈εβ)␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
W␈ε	p␈↓ 
h␈εβ),␈αw␈α␈e
␈βε⊃␈↓ λ∩␈εε1␈↓ λU␈εε2␈↓ 	_␈εε3
␈βε.␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈απ|␈α␈nd␈↓ α?␈ε	a␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	x␈↓ αx␈εβ),␈↓ β∀␈ε	a␈↓ β0␈εβ(␈↓ β<␈ε	x␈↓ βM␈εβ),␈↓ βi␈ε	a␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊃␈ε	x␈↓ ∧"␈εβ)␈απsuc␈α␈h␈απtha␈α␈t␈↓ ¬@␈ε	a␈↓ ¬\␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬y␈εβ)␈↓ ε∧␈ε	v␈↓ ε∨␈εβ(␈↓ ε*␈ε	x␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εG␈ε	v␈↓ εb␈εβ(␈↓ εm␈ε	x␈↓ ε␈␈εβ)␈αα+␈↓ π/␈ε	a␈↓ πL␈εβ(␈↓ πW␈ε	x␈↓ πh␈εβ)␈↓ πs␈ε	v␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ~␈ε	x␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λ6␈ε	v␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	x␈↓ λn␈εβ)␈αα+␈↓ 	∨␈ε	a␈↓ 	;␈εβ(␈↓ 	F␈ε	x␈↓ 	W␈εβ)␈↓ 	b␈ε	v␈↓ 	}␈εβ(␈↓ 
	␈ε	x␈↓ 
~␈εβ)␈↓ 
%␈ε	v␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
L␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
1
␈βε9␈↓ αO␈εε1␈↓ β$␈εε2␈↓ βy␈εε3␈↓ ¬P␈εε1␈↓ ε∪␈εε2␈↓ εV␈εε3␈↓ π?␈εε2␈↓ λα␈εε1␈↓ λE␈εε3␈↓ 	.␈εε3␈↓ 	q␈εε1␈↓ 
4␈εε2
␈βεS␈↓ ¬≠␈εα(
␈βεV␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ),␈↓ α{␈εβd␈α␈eg␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	a␈↓ βR␈εβ)␈α<␈↓ ∧∃␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧G␈εβ(␈↓ ∧R␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ).␈↓ ¬'␈εβIn␈αe␈α␈ssenc␈α␈e,␈α
1/␈↓ εo␈ε	u␈↓ πβ␈εβ(␈↓ π∞␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈αis␈α
e␈α␈xp␈α␈an␈α␈ded␈αi␈α↓n␈αpart␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈s
␈βε`␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βεa␈↓ βG␈εi␈↓ ∧`␈εi
␈βε{␈↓ β⊂␈εα)
␈βε}␈↓ ↓s␈ε	a␈↓ α
␈εβ(␈↓ α_␈ε	x␈↓ α*␈εβ)/␈↓ αF␈ε	v␈↓ α←␈εβ(␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ)␈α↓.␈↓ β,␈εβAn␈απex␈α␈actly␈απan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈αλco␈α␈nstru␈α␈ction␈απn␈α␈o␈α␈w␈αλa␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈απus␈απto␈απl␈α↓ift␈απthe␈απfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈βπλ␈↓ αβ␈εi␈↓ αT␈εi
␈βπ%␈↓ ↓H␈εβwith␈α␈out␈α¬cha␈α␈ngin␈α␈g␈αεth␈α␈e␈αεlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αεc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αεof␈↓ ε,␈ε	v␈↓ εM␈εβan␈α␈d␈↓ π	␈ε	v␈↓ π$␈εβ;␈αλw␈α␈e␈αεta␈α␈k␈α␈e␈↓ λ$␈εβ∩␈↓ λ%␈ε	v␈↓ λ@␈εβ(␈↓ λK␈ε	x␈↓ λ\␈εβ)␈α
=␈↓ 	≠␈ε	a␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	T␈εβ)␈↓ 	←␈ε	f␈↓ 	o␈εβ(␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈↓ 
≤␈εβmo␈α␈d␈↓ 
`␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈βπ0␈↓ ε:␈εε1␈↓ π↔␈εε2␈↓ λ3␈εε1␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
o␈εε1
␈βπM␈↓ ↓G␈εβ∩␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈α=␈↓ αB␈ε	a␈↓ α↑␈εβ(␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ)␈↓ βε␈ε	f␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β2␈εβ)␈↓ βC␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧π␈ε	v␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ),␈α
etc.␈α∂An␈α␈oth␈α␈er␈αi␈α↓m␈α␈por␈α␈tan␈α␈t␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈αis␈αto␈αsev␈α␈e␈α␈ral␈α
sim␈α␈u␈α␈l-
␈βπW␈↓ ↓V␈εε2␈↓ αR␈εε2␈↓ ∧⊗␈εε2
␈βπp␈↓ ε⊗␈εe␈↓ π-␈εn␈↓ 	
␈εn
␈βπt␈↓ ↓H␈εβta␈α␈neo␈α␈us␈α	m␈α␈odu␈α␈li␈α↓,␈α	of␈α	the␈αλrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈α	for␈α␈ms␈↓ ε¬␈ε	p␈↓ ε!␈εβ,␈α
(␈↓ ε?␈ε	x␈↓ ε←␈ε↔␈␈↓ π¬␈ε	a␈↓ π!␈εβ)␈↓ πH␈εβ,␈↓ πZ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λπ␈εβ,␈α
(␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λB␈ε↔␈␈↓ λh␈ε	a␈↓ 	↓␈εβ)␈↓ 	&␈εβ,␈α	w␈α↓h␈α␈en␈αλperfo␈α␈rming
␈βπw␈↓ 	≤␈ε
t
␈βπx␈↓ π<␈επ2
␈βπ␈␈↓ εN␈εε2␈↓ π∃␈εε2␈↓ λ4␈εt␈↓ λx␈εt
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultivaria␈α␈te␈αgcd␈α␈s␈αan␈α␈d␈αfacto␈α␈rization␈α␈s.␈αCf.␈αD.␈αY.␈αY␈α↓.␈αYu␈α␈n,␈αP␈α↓h␈α␈.D.␈αTh␈α␈esis␈α(M.I.␈α↓T.,␈α19␈α␈74).
␈βλR␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ¬!␈εα)
␈βλU␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α
d␈α␈iscrimina␈α␈n␈α␈t␈α
of␈α
pp␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ∧y␈εβ(␈↓ ¬∧␈ε	x␈↓ ¬⊗␈εβ)␈↓ ¬7␈εβis␈αa␈α	non␈α␈zero␈α
in␈α}teger␈α
(cf.␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
4.6.1↑␈α␈12),␈αa␈α␈nd␈α	there
␈βλy␈↓ λ>␈εα(
␈βλ|␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
m␈α␈ultiple␈α
fact␈α␈ors␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ∧b␈ε	p␈↓ ∧⎇␈εβi{␈↓ ¬%␈ε	p␈↓ ¬@␈εβdivid␈α␈es␈α
the␈α
d␈α␈i␈α↓sc␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t.␈↓ λJ␈εβTh␈α␈e␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α
of␈α
(21␈α␈)
␈β	 ␈↓ β|␈εε2␈↓ ¬∪␈εε2␈↓ ¬<␈εε3␈↓ ελ␈εε2
␈β	$␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
3␈α
i␈α↓s␈α
(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β≤␈εβ+␈απ1)(␈↓ βk␈ε	x␈↓ ∧∂␈ε↔␈␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧O␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ ¬π␈εβ)␈↓ ¬∨␈εβ(␈↓ ¬*␈ε	x␈↓ ¬O␈εβ+␈↓ ¬w␈ε	x␈↓ ε≠␈ε↔␈␈↓ εC␈ε	x␈↓ ε[␈εβ+␈απ1␈α␈);␈αsqu␈α␈ared␈α
fac␈α␈tors␈α
for␈α
this␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β	K␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈r␈αλonly␈αλfo␈α␈r␈↓ β∃␈ε	p␈↓ β0␈εβ=␈α	3,␈α	2␈α␈3,␈α	23␈α␈3␈αλan␈α␈d␈αλ1␈α␈217␈α␈024␈α␈57.␈α
It␈αλis␈α	n␈α␈ot␈αλd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αλto␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλtha␈α␈t␈α	t␈α␈he␈αλsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t
␈β	s␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α∞th␈α␈at␈α
i␈α↓s␈α
no␈α␈t␈α∞u␈α␈nluc␈α␈ky␈α
is␈α∞at␈α
most␈↓ ¬z␈ε	O␈↓ ε∩␈εβ(␈↓ ε≥␈ε	n␈↓ ε7␈εβlog␈↓ εg␈ε	N␈↓ πε␈ε	n␈↓ π~␈εβ),␈α∂if␈↓ π←␈ε	n␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ/␈εβde␈α␈g␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	u␈↓ 	␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈↓ 	\␈ε	N␈↓ 
	␈εβb␈α␈oun␈α␈ds␈α
the
␈β
_␈↓ β[␈εα)
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αof␈↓ β⊗␈ε	u␈↓ β*␈εβ(␈↓ β5␈ε	x␈↓ βF␈εβ)␈α↓.
␈β
S␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
a␈αmon␈α␈ic␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α
with␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
b␈α␈y␈α
a␈αsuita␈α␈ble␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈α
in␈α␈-
␈β
{␈↓ ↓H␈εβte␈α␈ger,␈αto␈α
get␈αa␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α␈e␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αo␈α␈v␈α}er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αFacto␈α␈r␈αthis␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈αthe
␈β"␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers,␈α	and␈αλthe␈α␈n␈α	con␈α}v␈α␈ert␈α	th␈α␈e␈α	facto␈α␈rs␈α	ba␈α␈ck␈α	to␈α	m␈α␈onic.␈α∀(No␈α	facto␈α␈rization␈α␈s␈α	are␈α	lost␈α	in␈α	th␈α␈is
␈βJ␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y;␈αsee␈αex␈α}ercise␈α4.6␈α␈.␈α↓1␈α␈↑8.)
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβCon␈α␈sidera␈α␈tion␈α
o␈α␈f␈α
the␈α
co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈α
term␈αsho␈α␈ws␈α
th␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
no␈αf␈α↓a␈α␈ctors␈α
o␈α␈f␈α
deg␈α␈ree␈α
1,␈α
so␈α
if
␈β*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αpoly␈α␈no␈α␈mial␈α
is␈α
r␈α␈edu␈α␈cible,␈α
it␈α
m␈α}ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈αone␈αfac␈α␈tor␈αof␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈α
2␈αa␈α␈nd␈αon␈α␈e␈αof␈α
d␈α␈egr␈α␈ee␈α
3␈α␈.
␈βN␈↓ ¬;␈εε2␈↓ ¬d␈εε2
␈βR␈↓ ↓H␈εβM␈α␈od␈α␈ulo␈α2␈αth␈α␈e␈α
fa␈α␈ctors␈αar␈α␈e␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧v␈εβ+␈αλ1␈↓ ¬0␈εβ)␈↓ ¬G␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ ¬y␈εβ+␈↓ ε"␈ε	x␈↓ ε<␈εβ+␈αλ1);␈α
this␈αis␈α
n␈α␈ot␈αm␈α␈u␈α␈ch␈αh␈α␈elp.␈α∂M␈α␈odu␈α␈lo␈α3␈αthe
␈βu␈↓ βR␈εε2␈↓ β{␈εε3␈↓ πi␈εε2␈↓ 	≥␈εε3
␈βy␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctors␈α
are␈α
(␈↓ αv␈ε	x␈↓ β∞␈εβ+␈απ2␈↓ βG␈εβ)␈↓ β←␈εβ(␈↓ βj␈ε	x␈↓ ∧∂␈εβ+␈απ2␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧←␈εβ+␈απ2).␈αMod␈α␈ulo␈α
5␈α
they␈α
a␈α␈re␈α(␈↓ πX␈ε	x␈↓ π|␈εβ+␈↓ λ$␈ε	x␈↓ λ=␈εβ+␈απ1␈α␈)(␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	0␈εβ+␈απ4␈↓ 	i␈ε	x␈↓ 
↓␈εβ+␈απ2).␈αS␈α␈o␈αw␈α␈e
␈β
≥␈↓ ∧+␈εε2␈↓ ¬a␈εε3
␈β
!␈↓ ↓H␈εβse␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αthe␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αis␈α(␈↓ ∧→␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ¬␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓(␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ ¬u␈ε↔␈␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε7␈εβ+␈απ2).
␈β
Z␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβBegin␈α∞with␈↓ β;␈ε	D␈↓ βd␈ε↔ ␈εβ␈α∂(0␈↓ ∧5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧b␈εβ01␈α␈),␈α⊂rep␈α␈resen␈α}ti␈α↓n␈α␈g␈α∞the␈α∞set␈ε↔␈α∂f␈εβ␈α␈0␈ε↔g␈εβ.␈α⊗Th␈α␈en␈α∞for␈α∞1␈ε↔␈α∂∀␈↓ 
∞␈ε	j␈↓ 
,␈ε↔∀␈↓ 
\␈ε	r␈↓ 
k␈εβ,␈α⊂se␈α␈t
␈β∞↓␈↓ ↓H␈ε	D␈↓ ↓k␈ε↔ ␈↓ α⊗␈ε	D␈↓ α7␈ε↔←␈εβ␈αλ(␈↓ αb␈ε	D␈↓ ββ␈ε↔-␈↓ β≠␈ε	d␈↓ β7␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈ε↔␈α←␈εβ␈αde␈α␈no␈α␈tes␈αlog␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈α\o␈α␈r"␈αand␈↓ πH␈ε	D␈↓ πh␈ε↔-␈↓ λ↓␈ε	d␈↓ λ∨␈εβd␈α␈eno␈α␈tes␈↓ 	_␈ε	D␈↓ 	<␈εβshifted␈αleft␈↓ 
f␈ε	d␈↓ ∧␈εβb␈α␈it
␈β∞␈↓ β*␈εj
␈β∞&␈↓ αk␈εα(
␈β∞)␈↓ ↓H␈εβp␈α␈osition␈α␈s.␈↓ αw␈εβAc␈α␈tually␈αw␈α␈e␈αn␈α␈eed␈αo␈α␈nly␈αw␈α␈ork␈αwith␈αa␈αbit␈αv␈α}ecto␈α␈r␈αof␈αl␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈ε↔␈αd␈εβ(␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	↑␈εβ+␈αλ1)/2␈ε↔␈α␈e␈εβ,␈αsince
␈β∞M␈↓ ∧Z␈εα)
␈β∞P␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓c␈ε↔␈␈↓ α␈ε	m␈↓ α4␈εβis␈αi␈α↓n␈α
the␈αse␈α␈t␈αi␈α↓{␈↓ ∧∩␈ε	m␈↓ ∧;␈εβis.
␈β∂	␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβEx␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	4␈α	say␈α␈s␈α
t␈α␈hat␈α	a␈α	ran␈α␈do␈α␈m␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
of␈α	deg␈α␈ree␈↓ π|␈ε	n␈↓ λ~␈εβis␈α	i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α
m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 
Q␈ε	p␈↓ 
l␈εβwith
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβra␈α␈the␈α␈r␈αlo␈α␈w␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity,␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α1/␈↓ ¬∨␈ε	n␈↓ ¬3␈εβ.␈α
Bu␈α␈t␈αth␈α␈e␈αCh␈α␈inese␈αrema␈α␈ind␈α␈er␈αth␈α␈eore␈α␈m␈αimp␈α␈l␈α↓ies␈αtha␈α␈t␈αa
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αmon␈α␈ic␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αof␈αd␈α␈egree␈↓ ¬a␈ε	n␈↓ ε↓␈εβo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwill␈αbe␈αredu␈α␈cible␈αwi␈α↓th␈αre␈α␈spec␈α␈t
␈β∂|␈↓ λ+␈εk
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβto␈αλeac␈α␈h␈α	o␈α␈f␈↓ α\␈ε	k␈↓ αv␈εβd␈α␈istinct␈α	p␈α␈rimes␈α	with␈αλpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αλab␈α␈ou␈α␈t␈α	(1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α¬1/␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ∨␈εβ)␈↓ λ8␈εβ,␈α	and␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλapp␈α␈roa␈α␈che␈α␈s␈α	zero
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈↓ ↓q␈ε	k␈↓ α
␈ε↔!␈α
1␈εβ␈α↓.␈αHe␈α␈nce␈αa␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αall␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α␈te␈α␈gers␈αare␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αwith␈αre␈α␈spec␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβto␈αin|␈α␈nitely␈αman␈α}y␈αprimes␈α␈;␈α∞an␈α␈d␈α
a␈α␈lmost␈αall␈α
primitiv␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
o␈α}v␈α␈er␈α
t␈α␈he␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
are
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le.␈α↔[Anoth␈α␈er␈α
p␈α␈roof␈α
h␈α␈as␈α
be␈α␈en␈α
giv␈α}en␈α
b␈α␈y␈α
W.␈αS␈α␈.␈α
B␈α↓ro␈α}wn,␈ε⊂␈α
A␈α↓M␈α␈M␈ε∪␈α
7␈α␈0␈εβ␈α
(196␈α␈3),␈α9␈α␈65↑␈α␈969␈α␈.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αa␈α␈l␈α↓so␈α
the␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈αc␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈αin␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αto␈αex␈α}ercise␈α33␈α␈.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα705
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβFalse,␈αw␈α␈e␈αl␈α↓o␈α␈se␈αall␈↓ ∧␈ε	p␈↓ ∧3␈εβwith␈↓ ∧␈␈ε	e␈↓ ¬"␈εβdiv␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ εV␈ε	p␈↓ εg␈εβ.␈αTru␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ πl␈ε	p␈↓ λε␈ε↔∃␈↓ λ0␈εβdeg␈↓ λb␈εβ(␈↓ λn␈ε	u␈↓ 	α␈εβ).
␈βα5␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ¬␈εj
␈βαX␈↓ ¬3␈ε~0
␈βαY␈↓ ∧N␈εα(␈↓ ¬a␈εα)
␈βα\␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβCom␈α␈pu␈α␈te␈↓ β∨␈ε	V␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ β[␈εβ)␈α
=␈↓ ∧≤␈εβgcd␈↓ ∧Z␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬λ␈εβ),␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬E␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ)␈↓ ¬m␈εβ;␈α
t␈α␈his␈αis␈αlegitimate␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ λT␈ε	v␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	x␈↓ 	␈εβ)␈αi␈α↓s␈αrelativ␈α␈ely␈αprime
␈βαf␈↓ β1␈εε1␈↓ λc␈εε1
␈βα␈␈↓ α↓␈ε~0
␈βββ␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ αλ␈εβ(␈↓ α∪␈ε	x␈↓ α$␈εβ)/␈↓ α@␈ε	v␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	x␈↓ αx␈εβ).␈αLet␈↓ βS␈ε	v␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α
=␈↓ ∧J␈ε	v␈↓ ∧\␈εβ(␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ∧x␈εβ)/␈↓ ¬∀␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬L␈εβ),␈αth␈α␈e␈α
(␈α↓sq␈α␈ua␈α␈refree)␈α
prod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈α
all␈αirredu␈α␈cible␈α
factor␈α␈s
␈ββ∞␈↓ αN␈εε1␈↓ βb␈εε0␈↓ ¬"␈εε1
␈ββ(␈↓ ¬ε␈εα(␈↓ ε ␈εα)
␈ββ+␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ αα␈εβ(␈↓ α
␈ε	x␈↓ α≡␈εβ).␈α⊃Co␈α␈mpu␈α␈te␈↓ βW␈ε	d␈↓ βs␈εβ(␈↓ β}␈ε	x␈↓ ∧∂␈εβ)␈α
=␈↓ ∧T␈εβgcd␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬&␈εβ(␈↓ ¬1␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ),␈↓ ¬]␈ε	v␈↓ ¬x␈εβ(␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ)␈↓ ε8␈εβand␈↓ ε{␈ε	u␈↓ π≠␈εβ(␈↓ π&␈ε	x␈↓ π7␈εβ)␈α=␈↓ π|␈ε	u␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λ,␈εβ)␈α↓/␈↓ λH␈ε	d␈↓ λd␈εβ(␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	↓␈εβ).␈α⊃If␈↓ 	I␈εβd␈α␈eg␈↓ 	{␈εβ(␈↓ 
ε␈ε	d␈↓ 
!␈εβ)␈α
>␈α0␈α
fo␈α␈r
␈ββ6␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬k␈εε0␈↓ π∞␈εε1␈↓ λX␈εε1␈↓ 
∃␈εj
␈ββJ␈↓ β?␈εβ∩␈↓ λ6␈εβ∩
␈ββP␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ε4␈εα)␈↓ λ*␈εα(␈↓ 	u␈εα)
␈ββS␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓c␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈,␈α∞co␈α␈mp␈α␈ute␈↓ β?␈ε	d␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≥␈εβ)␈α=␈↓ ∧b␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬ ␈ε	d␈↓ ¬;␈εβ(␈↓ ¬F␈ε	x␈↓ ¬X␈εβ),␈↓ ¬q␈ε	v␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε↔␈ε	x␈↓ ε)␈εβ)␈↓ ε@␈εβ,␈↓ εV␈ε	d␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	x␈↓ π4␈εβ)␈α=␈↓ πx␈εβgcd␈↓ λ6␈ε	d␈↓ λx␈εβ(␈↓ 	β␈ε	x␈↓ 	∀␈εβ),␈↓ 	.␈ε	u␈↓ 	M␈εβ(␈↓ 	X␈ε	x␈↓ 	j␈εβ)␈↓ 
↓␈εβ,␈↓ 
↔␈ε	v␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	x␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈ββ]␈↓ βO␈εj␈↓ β[␈εε+1␈↓ ¬/␈εj␈↓ ε␈εj␈↓ εf␈εj␈↓ εr␈εε+1␈↓ λF␈εj␈↓ λR␈εε+1␈↓ 	A␈εj␈↓ 
&␈εj␈↓ 
2␈εε+1
␈ββr␈↓ α~␈εβ∩
␈ββz␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓b␈εβ(␈↓ ↓m␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)/␈↓ α≠␈ε	d␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	x␈↓ αx␈εβ)␈α↓,␈↓ β_␈ε	u␈↓ β]␈εβ(␈↓ βh␈ε	x␈↓ βy␈εβ)␈α	=␈↓ ∧8␈ε	u␈↓ ∧W␈εβ(␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ)/␈↓ ¬∂␈ε	d␈↓ ¬Q␈εβ(␈↓ ¬\␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ);␈αbu␈α␈t␈αif␈αde␈α␈g(␈↓ π%␈ε	d␈↓ πA␈εβ)␈α
=␈α	0,␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α
the␈α
com␈α␈pu␈α␈tation
␈β∧¬␈↓ ↓V␈εj␈↓ α*␈εj␈↓ α6␈εε+1␈↓ β+␈εj␈↓ β7␈εε+1␈↓ ∧K␈εj␈↓ ¬∨␈εj␈↓ ¬+␈εε+1␈↓ π5␈εε1
␈β∧∨␈↓ ¬n␈εα(
␈β∧"␈↓ ↓H␈εβwith␈απth␈α␈e␈απan␈α␈sw␈α␈er␈↓ β/␈ε	d␈↓ βB␈εβ(␈↓ βM␈ε	x␈↓ β↑␈εβ)␈α
=␈↓ ∧≥␈ε	d␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈ε	x␈↓ ∧V␈εβ)␈↓ ∧f␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∪␈ε	d␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ).␈↓ εα␈εβIn␈απt␈α␈his␈απmeth␈α␈od,␈↓ πb␈ε	d␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λ	␈ε	x␈↓ λ~␈εβ)␈απi␈α↓s␈απth␈α␈e␈απsqu␈α␈arefree␈απp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈αλo␈α␈f
␈β∧,␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬"␈εj␈↓ πq␈εj
␈β∧F␈↓ π∂␈εα(␈↓ λ≡␈εα)
␈β∧I␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈α	irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α	fa␈α␈ctors␈α	th␈α␈at␈α	o␈α␈ccur␈ε↔␈α	∃␈↓ ¬I␈ε	j␈↓ ¬a␈εβtimes␈α	in␈↓ ε]␈εβgc␈α␈d␈↓ π≠␈ε	u␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	x␈↓ πK␈εβ),␈↓ πe␈ε	v␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	x␈↓ λ∪␈εβ)␈↓ λ*␈εβ.␈αTh␈α␈ere␈α	are␈α	s␈α␈ev␈α␈era␈α␈l␈α
wa␈α␈ys␈α	to
␈β∧q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈oid␈απred␈α␈un␈α␈dan␈α}t␈αλcalcu␈α␈lation␈α␈s;␈α
fo␈α␈r␈αλex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α	the␈απsame␈↓ π9␈ε	p␈↓ πQ␈εβcan␈απbe␈αλu␈α␈sed␈απi␈α↓n␈απth␈α␈e␈αλun␈α␈de␈α␈rl␈α↓y␈α␈ing␈απgcd
␈β¬→␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α
gcd␈α
r␈α␈outin␈α␈e␈αs␈α␈hou␈α␈ld␈α
retu␈α␈rn␈α
the␈α
v␈α␈alues␈α
of␈↓ λX␈ε	u␈↓ λl␈εβ(␈↓ λw␈ε	x␈↓ 		␈εβ)/␈↓ 	$␈ε	d␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	S␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 
)␈ε	v␈↓ 
:␈εβ(␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
W␈εβ)/␈↓ 
r␈ε	d␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β¬@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αit␈α
co␈α␈mp␈α␈utes.␈α∂Furt␈α␈herm␈α␈ore␈αthe␈αco␈α␈mpu␈α␈tation␈αis␈αun␈α␈sym␈α␈metric␈αin␈↓ 	,␈ε	u␈↓ 	M␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∂␈ε	v␈↓ 
 ␈εβ;␈α∞it␈αseem␈α␈s
␈β¬h␈↓ ↓H␈εβb␈α␈etter␈α
to␈α∞in␈α␈te␈α␈rcha␈α␈nge␈α
the␈α
r␈↓ ∧V␈εβ∂␈↓ ∧V␈εβo␈↓ ∧g␈εβles␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬C␈ε	u␈↓ ¬e␈εβan␈α␈d␈↓ ε)␈ε	v␈↓ εH␈εβif␈↓ εj␈εβde␈α␈g␈↓ π≤␈εβ(␈↓ π'␈ε	u␈↓ π;␈εβ)␈α∞>␈↓ λβ␈εβdeg␈↓ λ5␈εβ(␈↓ λ@␈ε	v␈↓ λR␈εβ)␈α∞a␈α␈t␈α∞the␈α
be␈α␈ginn␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞o␈α␈r␈α∞if
␈βε␈↓ ε?␈εα)
␈βε∂␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α$␈εβ)␈α	>␈↓ αc␈εβd␈α␈eg␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈ε	v␈↓ β;␈εβ)␈αwh␈α␈en␈αco␈α␈mp␈α␈uting␈↓ ¬L␈ε	d␈↓ ε∞␈εβ(␈↓ ε→␈ε	x␈↓ ε*␈εβ).
␈βε~␈↓ α_␈εj␈↓ β/␈εj␈↓ ¬\␈εj␈↓ ¬h␈εε+1
␈βε=␈↓ πV␈εn␈↓ 
E␈εε2␈↓ 
s␈εε2
␈βεA␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβCf.␈αλex␈α}ercise␈απ4;␈α	the␈απp␈α␈roba␈α␈bility␈απi␈α↓s␈απthe␈απcoe␈α␈}cien␈α␈t␈απof␈↓ πH␈ε	z␈↓ πn␈εβin␈↓ λ⊃␈εβ(1␈αλ+␈↓ λ]␈ε	a␈↓ 	π␈ε	z␈↓ 	∃␈εβ/␈↓ 	&␈ε	p␈↓ 	7␈εβ)␈↓ 	B␈εβ(1␈απ+␈↓ 
∞␈ε	a␈↓ 
7␈ε	z␈↓ 
R␈εβ/␈↓ 
c␈ε	p␈↓ ␈εβ)␈↓ ␈ε↔α
␈βεL␈↓ λm␈εε1␈↓ λy␈εp␈↓ 
≥␈εε2␈↓ 
*␈εp
␈βεd␈↓ αK␈εε3␈↓ αy␈εε3␈↓ 	O␈εε2␈↓ 
T␈εε3
␈βεe␈↓ 	1␈εε1␈↓ 
6␈εε1
␈βεi␈↓ ↓H␈εβ(1␈απ+␈↓ α∪␈ε	a␈↓ α=␈ε	z␈↓ αX␈εβ/␈↓ αh␈ε	p␈↓ βε␈εβ)␈↓ β↔␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βC␈εβ,␈α∞which␈αha␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α
li␈α↓m␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
va␈α␈lue␈↓ π∞␈ε	g␈↓ π≡␈εβ(␈↓ π)␈ε	z␈↓ π6␈εβ)␈α
=␈↓ π|␈εβ(1␈απ+␈↓ λH␈ε	z␈↓ λV␈εβ)␈↓ λa␈εβ(1␈απ+␈↓ 	A␈ε	z␈↓ 	[␈εβ)␈↓ 	f␈εβ(1␈αλ+␈↓ 
F␈ε	z␈↓ 
a␈εβ)␈↓ 
q␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ #␈εβ.
␈βεs␈↓ α#␈εε3␈↓ α0␈εp
␈βεw␈↓ 	1␈∧εw	1α
␈↓ 
6␈∧εw
6α
␈βεy␈↓ 	1␈εε2␈↓ 
6␈εε3
␈βπ
␈↓ ¬]␈εε1␈↓ εε␈εε5␈↓ ε6␈εε7␈↓ εe␈εε37␈↓ π!␈εε79␈↓ π]␈εε173␈↓ λ ␈εε1␈α␈01␈↓ λb␈εε12␈α␈7␈↓ 	%␈εε1␈α␈03␈α␈3␈↓ 	␈␈εα(
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ αN␈ε	n␈↓ αl␈ε↔∀␈εβ␈α10␈αthe␈αan␈α␈swe␈α␈rs␈αare␈α1,␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ εL␈εβ,␈↓ πα␈εβ,␈↓ πD␈εβ,␈↓ λπ␈εβ,␈↓ λI␈εβ,␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	[␈εβ.␈↓ 
␈εβLet␈↓ 
H␈ε	f␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	y␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈βπ≡␈↓ ¬]␈∧π≡¬]α
␈↓ εε␈∧π≡εεα
␈↓ ε/␈∧π≡ε/α~␈↓ εe␈∧π≡εeα~␈↓ π≠␈∧π≡π≠α&␈↓ π]␈∧π≡π]α&␈↓ λ ␈∧π≡λ α&␈↓ λb␈∧π≡λbα&␈↓ 	%␈∧π≡	%α3
␈βπ ␈↓ ¬]␈εε2␈↓ εε␈εε6␈↓ ε/␈εε12␈↓ εe␈εε60␈↓ π≠␈εε12␈α␈0␈↓ π]␈εε280␈↓ λ ␈εε1␈α␈68␈↓ λb␈εε21␈α␈0␈↓ 	%␈εε1␈α␈68␈α␈0
␈βπ4␈↓ βy␈εε2
␈βπ8␈↓ ↓H␈εβln␈↓ ↓c␈εβ(1␈αλ+␈↓ α/␈ε	y␈↓ αB␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ α⎇␈ε	y␈↓ β→␈εβ=␈↓ βC␈ε	O␈↓ β[␈εβ(␈↓ βf␈ε	y␈↓ ∧¬␈εβ)␈α↓.␈αWe␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπb␈↓ ∧E␈ε↓P␈↓ ε→␈ε↓P
␈βπ|␈↓ ¬4␈εn␈↓ π$␈εn
␈βπ⎇␈↓ ∧9␈εα(␈↓ πd␈εα)
␈βλ␈↓ β≡␈ε	g␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	z␈↓ βF␈εβ)␈α	=␈↓ ∧¬␈εβex␈α␈p␈↓ ¬&␈ε	z␈↓ ¬E␈εβ/␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬q␈εβ+␈↓ ε{␈ε	f␈↓ π␈εβ(␈↓ π⊗␈ε	z␈↓ π4␈εβ/␈↓ πE␈ε	n␈↓ πY␈εβ)␈↓ πy␈εβ=␈↓ λ$␈ε	h␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	z␈↓ λM␈εβ)/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	4␈ε	z␈↓ 	B␈εβ),
␈βλ∪␈↓ ∧k␈εn␈↓ ∧{␈ε~∃␈εε1␈↓ ε?␈εn␈↓ εP␈ε~∃␈εε1
␈βλ2␈↓ λP␈ε↓P
␈βλL␈↓ 
Z␈ε~␈␈↓ 
s␈ε␈
␈βλM␈↓ λD␈εα(␈↓ 

␈εα)
␈βλP␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απi␈α↓t␈αλca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλsho␈α␈wn␈απtha␈α␈t␈αλthe␈αλlimiti␈α↓n␈α␈g␈αλp␈α␈rob␈α␈ability␈αλis␈↓ π%␈ε	h␈↓ π6␈εβ(1␈α␈)␈α
=␈↓ λ⊂␈εβexp␈↓ 	2␈ε	f␈↓ 	B␈εβ(1␈α␈/␈↓ 	n␈ε	n␈↓ 
α␈εβ)␈↓ 
"␈εβ=␈↓ 
M␈ε	e␈↓ ␈ε↔→
␈βλb␈↓ λv␈εn␈↓ 	ε␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈βλ{␈↓ ↓H␈εβ.56␈α␈14␈α␈6␈α∂as␈↓ α`␈ε	n␈↓ β∧␈ε↔!␈α⊂1␈εβ␈α∂[␈α↓c␈α␈f.␈α⊂D.␈α∂H.␈α∂L␈α↓e␈α␈hme␈α␈r,␈ε⊂␈α⊃Acta␈α∞Ari␈α↓t␈α␈h.␈ε∪␈α∂21␈εβ␈α∂(1␈α␈972␈α␈),␈α⊃3␈α␈79↑␈α␈388␈α␈]␈α↓.␈α!In␈α␈dee␈α␈d,␈α⊂N.
␈β	∨␈↓ 	M␈ε~␈␈↓ 	f␈ε␈
␈↓ 
5␈ε~␈␈↓ 
O␈ε␈
␈β	#␈↓ ↓H␈εβG.␈α
de␈α
Bruijn␈α
ha␈α␈s␈α∞e␈α␈stab␈α␈l␈α↓ish␈α␈ed␈α
the␈α
asy␈α␈mp␈α␈totic␈α
form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈↓ πc␈εβlim␈↓ λW␈ε	a␈↓ 	∩␈εβ=␈↓ 	@␈ε	e␈↓ 	}␈εβ+␈↓ 
(␈ε	e␈↓ 
]␈εβ/␈↓ 
n␈ε	n␈↓ ␈εβ+
␈β	.␈↓ λ⊃␈εp␈↓ λ∨␈ε~!1␈↓ λf␈εn␈↓ λw␈εp
␈β	G␈↓ ↓␈␈ε~␈␈εε2
␈β	H␈↓ ββ␈εα)
␈β	K␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	n␈↓ α*␈εβlog␈↓ αZ␈ε	n␈↓ αn␈εβ).
␈β	x␈↓ εD␈εd
␈β	|␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αcan␈αd␈α␈o␈αarith␈α␈metic␈αin␈αa␈α|␈α␈eld␈↓ ¬j␈ε	F␈↓ ε
␈εβo␈α␈f␈↓ ε4␈ε	p␈↓ ε↑␈εβelemen␈α}ts␈αby␈αlettin␈α␈g␈αthe␈αe␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ 
i␈ε	F␈↓ ␈εβbe
␈β
$␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ α␈␈ε	s␈↓ β␈εβ(␈↓ β_␈ε	y␈↓ β*␈εβ),␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧<␈ε	p␈↓ ∧W␈εβa␈α␈nd␈αλmod␈α␈ulo␈α	a␈α␈n␈α␈y␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α	irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ 	j␈ε	q␈↓ 	y␈εβ(␈↓ 
∧␈ε	y␈↓ 
↔␈εβ)␈α	of␈α	d␈α␈egree
␈β
-␈↓ 	e␈ε↓Q
␈β
C␈↓ λY␈ε
d
␈β
G␈↓ λK␈εp
␈β
K␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ ↓Z␈εβ.␈α⊃S␈α␈ince␈αev␈α␈ery␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αfacto␈α␈r␈↓ ¬0␈ε	h␈↓ ¬A␈εβ(␈↓ ¬L␈ε	x␈↓ ¬]␈εβ)␈α
of␈↓ ε≡␈ε	g␈↓ ε-␈εβ(␈↓ ε9␈ε	x␈↓ εJ␈εβ)␈α
is␈α
a␈α
d␈α␈ivisor␈αof␈↓ λ:␈ε	x␈↓ λp␈ε↔␈␈↓ 	→␈ε	x␈↓ 	7␈εβ=␈↓ 
π␈ε↔f␈↓ 
≥␈ε	x␈↓ 
7␈ε↔␈␈↓ 
a␈ε	s␈↓ 
n␈εβ(␈↓ 
y␈ε	y␈↓ ␈εβ)␈ε↔␈αj
␈β
s␈↓ ↓H␈ε	s␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓a␈ε	y␈↓ ↓s␈εβ)␈ε↔␈α∞2␈↓ α5␈ε	F␈↓ αQ␈ε↔g␈↓ αb␈εβ,␈↓ αz␈ε	h␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β'␈εβ)␈α∞m␈α␈ust␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε⊂␈α∞li␈α↓n␈α␈ear␈εβ␈α∞fac␈α␈tors␈α∞wh␈α␈en␈α∞reg␈α␈ard␈α␈ed␈α∞as␈α∞a␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈↓ 
b␈ε	F␈↓ 
y␈εβ.␈α∀If
␈β∩␈↓ ε;␈ε
k
␈β↔␈↓ ∧Q␈εp␈↓ ε-␈εp
␈β_␈↓ ↓X␈εα(␈↓ α≠␈εα)␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ∧↑␈εα)
␈β≠␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓d␈ε	s␈↓ ↓r␈εβ(␈↓ ↓⎇␈ε	y␈↓ α∂␈εβ)␈↓ α0␈εβ=␈α	0␈α	th␈α␈en␈αλalso␈↓ β}␈ε	h␈↓ ∧~␈ε	s␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	y␈↓ ∧F␈εβ)␈↓ ∧t␈εβ=␈α	0␈α	a␈α␈nd␈↓ ¬v␈ε	s␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε	y␈↓ ε"␈εβ)␈↓ εP␈ε↔≤␈↓ ε{␈ε	s␈↓ π	␈εβ(␈↓ π∀␈ε	y␈↓ π&␈εβ)␈α	for␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ0␈ε	k␈↓ λJ␈εβ<␈↓ λt␈ε	d␈↓ 	π␈εβ;␈α
h␈α␈en␈α␈ce␈α	th␈α␈e␈α	co␈α␈mplete
␈β>␈↓ λπ␈ε
d␈↓ λ∀␈ε≠␈␈επ1
␈βB␈↓ ε)␈εp␈↓ πy␈εp
␈βC␈↓ ∧∃␈εα(␈↓ ¬→␈εα)(␈↓ ε7␈εα)␈↓ εu␈εα(␈↓ λ6␈εα)
␈βF␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ β1␈ε	h␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	x␈↓ β↑␈εβ)␈αis␈↓ ∧!␈ε	x␈↓ ∧:␈ε↔␈␈↓ ∧c␈ε	s␈↓ ∧p␈εβ(␈↓ ∧{␈ε	y␈↓ ¬∞␈εβ)␈↓ ¬1␈ε	x␈↓ ¬J␈ε↔␈␈↓ ¬s␈ε	s␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε␈ε	y␈↓ ε≡␈εβ)␈↓ εH␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π↓␈ε	x␈↓ π~␈ε↔␈␈↓ πB␈ε	s␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	y␈↓ πn␈εβ)␈↓ λB␈εβ.
␈βn␈↓ α␈εβTo␈α⊂|␈α␈nd␈α⊂a␈α∂f␈α↓a␈α␈ctor␈α⊂o␈α␈f␈↓ ∧?␈ε	g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ),␈α∩|␈α␈nd␈α∂a␈α⊂roo␈α␈t␈↓ εD␈ε	s␈↓ εR␈εβ(␈↓ ε]␈ε	y␈↓ εp␈εβ)␈α⊂of␈↓ π7␈ε	g␈↓ πG␈εβ(␈↓ πR␈ε	x␈↓ πc␈εβ),␈α∩w␈α␈ork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂in␈↓ 	9␈ε	F␈↓ 	P␈εβ,␈α∩a␈α␈nd␈α∂comp␈α␈ute
␈β∃␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∞b␈α␈y␈α∞e␈α␈va␈α␈l␈α↓u␈α␈ating␈α
the␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t.␈α∀To␈α∞|␈α␈nd␈α
a␈α∞roo␈α␈t␈↓ πu␈ε	s␈↓ λβ␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	y␈↓ λ ␈εβ)␈α∂o␈α␈f␈↓ λc␈ε	g␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	∂␈εβ)␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈↓ 	s␈ε	F␈↓ 
␈εβ,␈α∂n␈α␈ote␈α
tha␈α␈t
␈β5␈↓ βw␈ε
d
␈β9␈↓ βa␈εε(␈↓ βj␈εp␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε1)/2
␈β:␈↓ ↓z␈εα(␈↓ ¬λ␈εα)
␈β=␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ αε␈ε	w␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α)␈ε	x␈↓ α;␈εβ),␈α(␈↓ αe␈ε	x␈↓ α|␈εβ+␈↓ β"␈ε	t␈↓ β-␈εβ(␈↓ β9␈ε	y␈↓ βK␈εβ)␈↓ βV␈εβ)␈↓ ∧Q␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈↓ ¬≥␈εβwil␈α↓l␈α	be␈αλa␈α	no␈α␈n␈α␈trivia␈α␈l␈α
fac␈α␈tor␈α	of␈↓ λ8␈ε	w␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	x␈↓ λm␈εβ)␈α	at␈α	least␈α	a␈α␈bou␈α␈t␈α	ha␈α␈lf␈α
o␈α␈f
␈βd␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
time,␈αwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ βg␈ε	w␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≤␈εβ)␈αh␈α␈as␈α
no␈α␈thing␈α
b␈α␈ut␈α
linea␈α␈r␈αfa␈α␈ctors␈α
o␈α␈v␈α}er␈↓ λ1␈ε	F␈↓ λI␈εβ,␈α
as␈α
i␈α↓n␈α	ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
1␈α␈4.␈αTh␈α␈u␈α␈s,
␈β
␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rt␈α
with␈↓ αf␈ε	w␈↓ α}␈εβ(␈↓ β
␈ε	x␈↓ β≠␈εβ)␈α=␈↓ β↑␈ε	g␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧
␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α|n␈α␈d␈αa␈αno␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
fact␈α␈or␈↓ πA␈ε	f␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	x␈↓ πm␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ λN␈ε	F␈↓ λe␈εβ;␈α
then␈αreplac␈α␈e␈↓ 
;␈ε	w␈↓ 
S␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
p␈εβ)␈αby
␈β
4␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈α
or␈α
by␈↓ α`␈ε	w␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β⊗␈εβ)/␈↓ β1␈ε	f␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	x␈↓ β↑␈εβ),␈α
whiche␈α␈v␈α␈er␈α
h␈α␈as␈α
smaller␈α
de␈α␈gree,␈α
an␈α␈d␈α
rep␈α␈eat␈α
un␈α}til␈↓ 	'␈ε	w␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	x␈↓ 	\␈εβ)␈α
has␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈α1␈α␈.
␈β
X␈↓ 	L␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β
[␈↓ α␈εβ[A␈α∂similar␈α∂p␈α␈roc␈α␈edu␈α␈re␈α∂c␈α␈an␈α∞be␈α∞use␈α␈d␈α∞when␈↓ εd␈ε	p␈↓ π∧␈εβ=␈α∂2:␈α∩In␈α∞this␈α∂c␈α␈ase␈↓ 	~␈εβgcd␈↓ 	X␈ε	w␈↓ 	q␈εβ(␈↓ 	|␈ε	x␈↓ 
∞␈εβ),␈↓ 
-␈ε	T␈↓ 
D␈εβ(␈↓ 
O␈ε	t␈↓ 
[␈εβ(␈↓ 
f␈ε	y␈↓ 
y␈εβ)␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∃␈εβ)
␈β∞β␈↓ ↓H␈εβwill␈α
be␈αa␈α
no␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈αof␈↓ ∧y␈ε	w␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬.␈εβ)␈α
at␈α
lea␈α␈st␈α
ha␈α␈l␈α↓f␈α
o␈α␈f␈α
the␈αti␈α↓m␈α␈e,␈α∞wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ 	U␈ε	w␈↓ 	m␈εβ(␈↓ 	x␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α
h␈α␈as␈α
n␈α␈oth␈α␈-
␈β∞"␈↓ 	:␈ε
d␈↓ 	G␈ε≠␈␈επ1
␈β∞&␈↓ π3␈εε2␈↓ λβ␈εε4␈↓ 	-␈εε2
␈β∞*␈↓ ↓H␈εβin␈α␈g␈α
b␈α␈ut␈α
line␈α␈ar␈α
fa␈α␈ctors␈α
o␈α}v␈α␈er␈↓ ∧V␈ε	F␈↓ ∧n␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈↓ ¬f␈ε	T␈↓ ¬⎇␈εβ(␈↓ ελ␈ε	x␈↓ ε~␈εβ)␈α=␈↓ ε↑␈ε	x␈↓ εx␈εβ+␈↓ π"␈ε	x␈↓ πH␈εβ+␈↓ πr␈ε	x␈↓ λ→␈εβ+␈↓ λB␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λr␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	x␈↓ 	i␈εβ.␈α⊂F␈α↓o␈α␈r␈α
ex␈α␈actly
␈β∞O␈↓ ε
␈εα(␈↓ εO␈εα)␈↓ λ↔␈εα(␈↓ 	_␈εα)␈↓ 	u␈εα(␈↓ 
v␈εα)
␈β∞R␈↓ ↓H␈εβh␈α␈alf␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
elemen␈α}ts␈↓ βz␈ε	s␈↓ ∧λ␈εβ(␈↓ ∧∪␈ε	y␈↓ ∧%␈εβ)␈α
of␈↓ ∧f␈ε	F␈↓ ¬
␈εβsatisfy␈↓ ¬v␈ε	T␈↓ ε→␈ε	s␈↓ ε'␈εβ(␈↓ ε2␈ε	y␈↓ εD␈εβ)␈↓ εh␈εβ=␈α0,␈α∞a␈α␈nd␈↓ π␈␈ε	T␈↓ λ#␈ε	s␈↓ λ:␈εβ(␈↓ λE␈ε	y␈↓ λX␈εβ)␈↓ λc␈ε	t␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε	y␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	0␈εβ=␈↓ 	↑␈ε	T␈↓ 
↓␈ε	s␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	y␈↓ 
6␈εβ)␈↓ 
A␈ε	t␈↓ 
M␈εβ(␈↓ 
X␈ε	y␈↓ 
k␈εβ)␈↓ ∂␈εβi{
␈β∞]␈↓ λ.␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈β∞w␈↓ ↓←␈εα(␈↓ βf␈εα)
␈β∞z␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ ↓k␈εβ(␈↓ ↓v␈ε	s␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈ε	y␈↓ α+␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αf␈ε	s␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	y␈↓ β≤␈εβ))␈↓ β2␈ε	t␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	y␈↓ β[␈εβ)␈↓ β|␈εβ=␈α	0.]
␈β∂∧␈↓ α↓␈εε1␈↓ αr␈εε2
␈β∂
␈↓ ∧B␈ε↓Q
␈β∂'␈↓ βB␈εn
␈β∂+␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ(a)␈α	Clearly␈↓ β1␈ε	x␈↓ βX␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	=␈↓ ¬⊗␈εβ␈	␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬D␈ε	x␈↓ ¬U␈εβ),␈α
since␈α	ev␈α}ery␈α	co␈α␈mplex␈↓ λ≥␈ε	n␈↓ λ1␈εβt␈α␈h␈α	root␈α	of␈α	un␈α␈ity␈α	is␈α
a␈α	p␈α␈rimi-
␈β∂6␈↓ ¬*␈εd
␈β∂>␈↓ ∧d␈εd␈↓ ∧s␈ε~∧␈↓ ¬␈εn
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβtiv␈α}e␈↓ α␈ε	d␈↓ α≡␈εβth␈α
root␈α
for␈α
some␈α
un␈α␈iqu␈α␈e␈↓ ¬∞␈ε	d␈↓ ¬)␈ε↔∧␈↓ ¬C␈ε	n␈↓ ¬W␈εβ.␈α∪Th␈α␈e␈α∞sec␈α␈ond␈α
id␈α␈en␈α␈tity␈α
follo␈α␈ws␈α∞fro␈α␈m␈α∞t␈α␈he␈α
|rst;␈α∂a␈α␈nd
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α	␈εβ)␈α
ha␈α␈s␈αin␈α}teger␈α
co␈α␈e}cien␈α}ts␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
it␈α
i␈α↓s␈α
ex␈α␈pr␈α␈essed␈α
in␈α
te␈α␈rms␈α
of␈α
pro␈α␈du␈α␈cts␈α
an␈α␈d␈α
qu␈α␈otien␈α␈ts␈α
o␈α␈f
␈β⊂
␈↓ ↓\␈εn
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβm␈α␈onic␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
with␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts.␈α≤(b)␈αThe␈αcon␈α␈dition␈αin␈αth␈α␈e␈α
h␈α␈in␈α␈t␈α
su␈α␈}ce␈α␈s␈α
to
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈↓ αj␈ε	f␈↓ αz␈εβ(␈↓ β¬␈ε	x␈↓ β⊗␈εβ)␈α	=␈↓ βU␈εβ␈	␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ),␈αso␈αw␈α␈e␈αsh␈α␈all␈αtak␈α}e␈αth␈α␈e␈αh␈α␈i␈α↓n␈α}t.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ λ␈ε	p␈↓ λ(␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈α
divid␈α␈e␈↓ 
⊂␈ε	n␈↓ 
$␈εβ,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β⊂Z␈↓ βi␈εn
␈β⊂r␈↓ α⊗␈εn␈↓ β≡␈εn␈↓ β/␈ε~␈␈εε1␈↓ εI␈εn
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	x␈↓ α/␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈↓ αy␈ε	n␈↓ β
␈ε	x␈↓ βT␈εβ)␈α
=␈α∞1␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬1␈ε	p␈↓ ¬B␈εβ,␈α∞he␈α␈nce␈↓ ε8␈ε	x␈↓ εb␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α
i␈α↓s␈α
sq␈α␈uare␈α␈free␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 	f␈ε	p␈↓ 	w␈εβ.␈α∩Giv␈α}en␈↓ 
u␈ε	f␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β⊃~␈↓ 
∨␈εp
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	⊂␈↓ α#␈εβas␈αin␈αthe␈αh␈α␈in␈α␈t,␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧/␈ε	g␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ)␈αbe␈αth␈α␈e␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αf␈α↓a␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ λλ␈εβ␈	␈↓ λ-␈εβ(␈↓ λ8␈ε	x␈↓ λJ␈εβ)␈αsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ 	v␈ε	g␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	⊂␈↓ 
-␈εβ)␈α=␈α0␈α␈.␈α∞If
␈β⊃)␈↓ λ≥␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα706␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ α3␈ε	f␈↓ αC␈εβ(␈↓ αN␈ε	x␈↓ α←␈εβ)␈α	then␈αλbot␈α␈h␈↓ ∧	␈ε	f␈↓ ∧→␈εβ(␈↓ ∧$␈ε	x␈↓ ∧6␈εβ)␈α	an␈α␈d␈↓ ¬	␈ε	g␈↓ ¬_␈εβ(␈↓ ¬$␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ)␈α	are␈α	d␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct␈α	factor␈α␈s␈α
o␈α␈f␈↓ λε␈εβ␈	␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε	x␈↓ λG␈εβ),␈α
h␈α␈ence␈α	th␈α␈ey␈α	a␈α␈re␈α	distinc␈α␈t
␈βα5␈↓ λ~␈εn
␈βαN␈↓ αg␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctors␈αλof␈↓ αV␈ε	x␈↓ α{␈ε↔␈␈εβ␈α∧1,␈α	hen␈α␈ce␈αλth␈α␈ey␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλn␈α␈o␈αλi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αλfacto␈α␈rs␈α	in␈αλco␈α␈mmo␈α␈n␈αλmod␈α␈ulo␈↓ 
∧␈ε	p␈↓ 
∃␈εβ.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,
␈βαu␈↓ ↓U␈εp␈↓ βE␈εp␈↓ ¬L␈εp
␈βαv␈↓ ∧N␈εα(␈↓ ¬e␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	⊂␈↓ ↓n␈εβi␈α↓s␈αa␈αro␈α␈ot␈αof␈↓ β→␈ε	f␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βS␈εβ),␈αso␈↓ ∧≤␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧Z␈ε	g␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ),␈↓ ¬ ␈ε	f␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬;␈ε	x␈↓ ¬Z␈εβ)␈↓ ¬z␈ε↔≤␈εβ␈α
1␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α}tegers,␈αhe␈α␈nce␈↓ 	$␈ε	g␈↓ 	3␈εβ(␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 	P␈εβ)␈αis␈αa␈α
divisor␈αo␈α␈f
␈ββ≥␈↓ ↓t␈εp␈↓ ¬p␈εp
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ αα␈εβ).␈α⊃B␈α↓y␈α(5),␈↓ β≠␈ε	g␈↓ β+␈εβ(␈↓ β6␈ε	x␈↓ βG␈εβ)␈α∞is␈α
a␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈α
of␈↓ ¬9␈ε	f␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	x␈↓ ¬e␈εβ)␈↓ ¬}␈εβ,␈α∞mod␈α␈ulo␈↓ π∞␈ε	p␈↓ π∨␈εβ,␈α
con␈α␈t␈α␈radictin␈α␈g␈α
the␈α
a␈α␈ssum␈α␈ption␈αtha␈α␈t
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ αR␈ε	g␈↓ αb␈εβ(␈↓ αm␈ε	x␈↓ α}␈εβ)␈α∂h␈α␈av␈α}e␈α∂n␈α␈o␈α∞i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α∂fa␈α␈ctors␈α∞in␈α∂c␈α␈ommo␈α␈n.␈α∃Therefo␈α␈re␈↓ 	∪␈ε	f␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	.␈ε	x␈↓ 	?␈εβ)␈α∂=␈↓ 
	␈ε	g␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
6␈εβ).␈α [The
␈ββp␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈il␈α↓ity␈α
o␈α␈f␈↓ β;␈εβ␈	␈↓ β`␈εβ(␈↓ βk␈ε	x␈↓ β|␈εβ)␈α∞was␈α
|rs␈α␈t␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α∞p␈α␈rime␈↓ π%␈ε	n␈↓ πG␈εβb␈α␈y␈α
K.␈α∞F.␈α∞Gau␈α␈ss␈α
i␈α↓n␈ε⊂␈α
Disq␈α␈uisiti␈α↓o␈α␈ne␈α␈s
␈ββ{␈↓ βP␈εn
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε⊂Arith␈α␈metic≤␈εβ␈α(Leipzig␈α␈,␈α1␈α␈801␈α␈),␈αArt.␈α341␈α␈,␈αand␈α
for␈α
gen␈α␈eral␈↓ πc␈ε	n␈↓ λα␈εβb␈α␈y␈α
L␈α↓.␈αKro␈α␈ne␈α␈ck␈α␈er,␈ε⊂␈αJ␈α␈.␈αde␈α
Math␈α␈.
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε⊂Pu␈α␈res␈αet␈αApp␈α␈li␈α↓q␈α␈u␈↓ β;␈ε⊂∞␈↓ β<␈ε⊂e␈↓ βK␈ε⊂e␈α␈s␈ε∪␈α19␈εβ␈α(18␈α␈54),␈α17␈α␈7↑1␈α␈92.]
␈β∧g␈↓ 	`␈εp␈↓ 	n␈ε~␈␈εε1
␈β∧k␈↓ α␈εβ(c)␈↓ α>␈εβ␈	␈↓ α←␈εβ(␈↓ αj␈ε	x␈↓ α{␈εβ)␈α=␈↓ β?␈ε	x␈↓ βY␈ε↔␈␈εβ␈αλ1;␈α
an␈α␈d␈α
wh␈α␈en␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬a␈εβi␈α↓s␈αprime␈α␈,␈↓ εm␈εβ␈	␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈α=␈α1␈αλ+␈↓ λ3␈ε	x␈↓ λL␈εβ+␈↓ λv␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	%␈εβ+␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 
∀␈εβ.␈α∂I␈α↓f␈↓ 
O␈ε	n␈↓ 
o␈εβ>␈α1
␈β∧v␈↓ αR␈εε1␈↓ πα␈εp
␈β¬∪␈↓ ↓H␈εβis␈α∞o␈α␈dd␈α␈,␈α∂it␈α∞is␈α∞n␈α␈ot␈α∞d␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t␈α
to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈↓ ε∂␈εβ␈	␈↓ ε@␈εβ(␈↓ εK␈ε	x␈↓ ε]␈εβ)␈α
=␈↓ π$␈εβ␈	␈↓ πI␈εβ(␈ε↔␈␈↓ πv␈ε	x␈↓ λπ␈εβ).␈α∪I␈α↓f␈↓ λR␈ε	p␈↓ λq␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ 	e␈ε	n␈↓ 	y␈εβ,␈α∞the␈α
seco␈α␈nd
␈β¬≥␈↓ ε#␈εε2␈↓ ε0␈εn␈↓ π9␈εn
␈β¬6␈↓ ε≥␈εp
␈β¬:␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈αin␈α(a␈α␈)␈α
sh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ∧J␈εβ␈	␈↓ ∧⎇␈εβ(␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ ¬→␈εβ)␈α=␈↓ ¬\␈εβ␈	␈↓ ε↓␈εβ(␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε+␈εβ).␈α∂If␈↓ εp␈ε	p␈↓ π∞␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈↓ λz␈ε	n␈↓ 	∞␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
&␈εβ␈	␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β¬E␈↓ ∧←␈εp␈↓ ∧m␈εn␈↓ ¬q␈εn␈↓ 
:␈εp␈↓ 
H␈εn
␈β¬↑␈↓ α	␈εp␈↓ λ∞␈εε2␈↓ 

␈εε2
␈β¬b␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α↔␈εβ)/␈↓ α3␈εβ␈	␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε	x␈↓ αt␈εβ).␈α∪For␈α∞n␈α␈on␈α␈prime␈↓ ∧s␈ε	n␈↓ ¬∃␈ε↔∀␈εβ␈α∞1␈α␈5␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈↓ εx␈εβ␈	␈↓ π→␈εβ(␈↓ π$␈ε	x␈↓ π5␈εβ)␈α∞=␈↓ π⎇␈ε	x␈↓ λ$␈εβ+␈α
1␈α␈,␈↓ λw␈εβ␈	␈↓ 	_␈εβ(␈↓ 	#␈ε	x␈↓ 	4␈εβ)␈α∞=␈↓ 	|␈ε	x␈↓ 
#␈ε↔␈␈↓ 
N␈ε	x␈↓ 
h␈εβ+␈α
1␈α␈,
␈β¬l␈↓ ↓\␈εn␈↓ αG␈εn␈↓ π␈εε4␈↓ 	␈εε6
␈βε¬␈↓ αb␈εε4␈↓ ∧i␈εε6␈↓ ¬<␈εε3␈↓ πN␈εε4␈↓ λ!␈εε3␈↓ λu␈εε2
␈βε	␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓i␈εβ(␈↓ ↓t␈ε	x␈↓ α¬␈εβ)␈α⊂=␈↓ αQ␈ε	x␈↓ αx␈εβ+␈α1␈α␈,␈↓ βM␈εβ␈	␈↓ βp␈εβ(␈↓ β{␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈α⊂=␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ∧␈␈εβ+␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬S␈εβ+␈α
1␈α␈,␈↓ ε'␈εβ␈	␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	x␈↓ εr␈εβ)␈α∂=␈↓ π=␈ε	x␈↓ πe␈ε↔␈␈↓ λ⊂␈ε	x␈↓ λ8␈εβ+␈↓ λc␈ε	x␈↓ 	␈ε↔␈␈↓ 	6␈ε	x␈↓ 	Q␈εβ+␈α1␈α␈,␈↓ 
&␈εβ␈	␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
q␈εβ)␈α∂=
␈βε∀␈↓ ↓\␈εε8␈↓ βb␈εp␈↓ ε<␈εε10␈↓ 
;␈εε1␈α␈4
␈βε-␈↓ ↓Y␈εε6␈↓ α"␈εε5␈↓ αj␈εε4␈↓ β3␈εε3␈↓ β|␈εε2␈↓ ε-␈εε8␈↓ εv␈εε7␈↓ π>␈εε5␈↓ λπ␈εε4␈↓ λP␈εε3
␈βε1␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓j␈ε↔␈␈↓ α⊂␈ε	x␈↓ α3␈εβ+␈↓ αY␈ε	x␈↓ α|␈ε↔␈␈↓ β"␈ε	x␈↓ βD␈εβ+␈↓ βj␈ε	x␈↓ ∧
␈ε↔␈␈↓ ∧3␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ+␈α¬1,␈↓ ¬∩␈εβ␈	␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	x␈↓ ¬]␈εβ)␈α	=␈↓ ε≤␈ε	x␈↓ ε>␈ε↔␈␈↓ εd␈ε	x␈↓ ππ␈εβ+␈↓ π-␈ε	x␈↓ πP␈ε↔␈␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ_␈εβ+␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λa␈ε↔␈␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	≥␈εβ+␈α¬1.␈α∀[The␈α	fo␈α␈rm␈α␈ula
␈βε<␈↓ ¬'␈εε15
␈βεT␈↓ β.␈εp␈↓ ∧S␈εε(␈↓ ∧[␈εq␈↓ ∧g␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬∃␈εp␈↓ εC␈εq
␈βεY␈↓ ↓H␈εβ␈	␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	x␈↓ α∪␈εβ)␈α	=␈α	(␈α↓1␈αε+␈↓ β≥␈ε	x␈↓ βC␈εβ+␈↓ βk␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧→␈εβ+␈↓ ∧A␈ε	x␈↓ ¬#␈εβ)(␈↓ ¬9␈ε	x␈↓ ¬R␈ε↔␈␈εβ␈απ1)/␈α␈(␈↓ ε2␈ε	x␈↓ εV␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αu␈α␈sed␈α
to␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ 
≤␈εβ␈	␈↓ 
J␈εβ(␈↓ 
U␈ε	x␈↓ 
f␈εβ)␈αha␈α␈s
␈βεc␈↓ ↓\␈εp␈↓ ↓j␈εq␈↓ 
0␈εp␈↓ 
>␈εq
␈βπ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈ε↔␈αε␈εβ␈α↓1␈αor␈α0␈αwh␈α␈en␈↓ ∧{␈ε	p␈↓ ¬_␈εβand␈↓ ¬Z␈ε	q␈↓ ¬u␈εβare␈αprime;␈αbu␈α␈t␈αthe␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αof␈↓ 	←␈εβ␈	␈↓ 
~␈εβ(␈↓ 
%␈ε	x␈↓ 
6␈εβ)␈αcan␈αbe
␈βπ␈↓ 	s␈εp␈↓ 
↓␈εq␈↓ 

␈εr
␈βπ(␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rbitrar␈α␈i␈α↓ly␈αla␈α␈rge.]
␈βπL␈↓ ∧u␈ε↓Q
␈βπe␈↓ ε6␈εk
␈βπf␈↓ ε∨␈εj
␈βπj␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβThe␈α
ex␈α␈act␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α
is␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	a␈↓ ¬⎇␈εβ/␈↓ ε∞␈ε	p␈↓ ε+␈εβ)␈↓ εN␈εβ/␈↓ ε↑␈ε	k␈↓ εy␈εβ!,␈αwhere␈↓ πv␈ε	k␈↓ λ≠␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈↓ 
∪␈ε	d␈↓ 
8␈εβequ␈α␈al␈αto
␈βπm␈↓ εB␈ε
j
␈βπu␈↓ ¬c␈εj␈↓ ¬o␈εp␈↓ εm␈εj␈↓ λ¬␈εj␈↓ 
#␈εi
␈βπ⎇␈↓ ¬↔␈εj␈↓ ¬#␈ε~∃␈εε1
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓W␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ αB␈ε	a␈↓ αu␈ε↔→␈εβ␈α	1/␈↓ β@␈ε	j␈↓ βZ␈εβby␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈,␈αw␈α␈e␈αg␈α␈et␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
of␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α1.3.3↑␈α␈21.
␈βλ!␈↓ αQ␈εj␈↓ α]␈εp
␈βλB␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∂This␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈αsay␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
|x␈αth␈α␈e␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈↓ πv␈ε	p␈↓ λ∀␈εβa␈α␈nd␈αlet␈α
th␈α␈e␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ 
q␈ε	u␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βλi␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α∞ra␈α␈nd␈α␈om,␈α∞it␈α∞wil␈α↓l␈α∞h␈α␈av␈α}e␈α∞ce␈α␈rtain␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
of␈α
splitting␈α
i␈α↓n␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α∞wa␈α␈y␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 
g␈ε	p␈↓ 
x␈εβ.␈α∪A
␈β	⊃␈↓ ↓H␈εβm␈α}uch␈αh␈α␈ard␈α␈er␈αp␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈αis␈αto␈α|␈α␈x␈αthe␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈αan␈α␈d␈αto␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ λR␈ε	p␈↓ λn␈εβbe␈α\ran␈α␈do␈α␈m";␈αb␈α␈ut␈αthe
␈β	9␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈α	asy␈α␈mpt␈α␈otic␈α	result␈α	ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈lmost␈α	all␈↓ ε<␈ε	u␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	x␈↓ εl␈εβ):␈α∃G.␈α
Fro␈α␈ben␈α␈ius␈α	pro␈α}v␈α␈ed␈α	in␈α	1␈α␈880␈α	th␈α␈at␈α	the
␈β	`␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ βc␈ε	u␈↓ βw␈εβ(␈↓ ∧α␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ)␈αsp␈α␈l␈α↓its␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬x␈ε	p␈↓ ε∃␈εβin␈α␈to␈αfac␈α␈tors␈αof␈αd␈α␈egree␈α␈s␈↓ λc␈ε	d␈↓ λ␈␈εβ,␈↓ 	∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	@␈εβ,␈↓ 	U␈ε	d␈↓ 	q␈εβ,␈αwhe␈α␈n␈↓ 
]␈ε	p␈↓ 
z␈εβis␈αa
␈β	k␈↓ λr␈εε1␈↓ 	e␈εr
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈α	prime␈α	c␈α␈ho␈α␈sen␈α	at␈α	ra␈α␈nd␈α␈om,␈α
with␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α	e␈α␈qua␈α␈l␈α
to␈αλthe␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	of␈α	pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tions␈α	in
␈β
/␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλGalois␈αλgro␈α␈up␈↓ β<␈ε	G␈↓ β↑␈εβo␈α␈f␈↓ ∧α␈ε	u␈↓ ∧⊗␈εβ(␈↓ ∧!␈ε	x␈↓ ∧2␈εβ)␈α	h␈α␈av␈α␈ing␈αλcy␈α}cle␈αλleng␈α␈ths␈ε↔␈αλf␈↓ π␈ε	d␈↓ π≤␈εβ,␈↓ π+␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πW␈εβ,␈↓ πf␈ε	d␈↓ λβ␈ε↔g␈εβ␈απdivid␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈αλthe␈αλto␈α␈tal␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
:␈↓ π∂␈εε1␈↓ πu␈εk
␈β
W␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tions␈α
in␈↓ βh␈ε	G␈↓ ∧↓␈εβ.␈α≡[If␈↓ ∧U␈ε	u␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ)␈α
ha␈α␈s␈α∞ratio␈α␈nal␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
and␈α
d␈α␈i␈α↓s␈α␈ti␈α↓n␈α␈ct␈α∞ro␈α␈ots␈↓ 
_␈ε	_␈↓ 
3␈εβ,␈↓ 
J␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
w␈εβ,␈↓ ∞␈ε	_
␈β
b␈↓ 
&␈εε1␈↓ ≤␈εn
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α
th␈α␈e␈α
com␈α␈plex␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers,␈α
i␈α↓ts␈α
G␈α␈alois␈α
grou␈α␈p␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
(un␈α␈i␈α↓q␈α␈ue)␈α
g␈α␈rou␈α␈p␈↓ 	≡␈ε	G␈↓ 	D␈εβof␈α
p␈α␈erm␈α␈ut␈α␈ation␈α␈s
␈βλ␈↓ ∧K␈ε↓Q
␈β#␈↓ εβ␈εα(␈↓ 	⊂␈εα)
␈β&␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈α∞t␈α␈he␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ ε∂␈ε	z␈↓ ε&␈εβ+␈↓ εP␈ε	_␈↓ π	␈ε	y␈↓ π/␈εβ+␈↓ πY␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ	␈εβ+␈↓ λ3␈ε	_␈↓ λp␈ε	y␈↓ 	*␈εβ=␈↓ 	X␈ε	U␈↓ 	s␈εβ(␈↓ 	}␈ε	z␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
≠␈ε	y␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
F␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
s␈εβ,␈↓ ↓␈ε	y␈↓ !␈εβ)
␈β1␈↓ π→␈εε1␈↓ 	␈εn␈↓ 
+␈εε1␈↓ ⊃␈εn
␈β2␈↓ ε↑␈εp␈↓ εl␈εε(1)␈↓ λA␈εp␈↓ λO␈εε(␈↓ λW␈εn␈↓ λh␈εε)
␈β9␈↓ ∧m␈εp␈↓ ∧{␈εε(1)␈↓ ¬_␈εε...␈↓ ¬-␈εp␈↓ ¬;␈εε(␈↓ ¬C␈εn␈↓ ¬T␈εε)␈ε~2␈↓ ¬p␈εG
␈βS␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αration␈α␈al␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αa␈α␈nd␈αis␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αrat␈α␈i␈α↓o␈α␈nals.]␈α~Furth␈α␈ermor␈α␈e␈αB.␈αL.␈αv␈α␈an
␈β{␈↓ ↓H␈εβd␈α␈er␈α
Waerd␈α␈en␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}ed␈α
in␈α193␈α␈4␈α
tha␈α␈t␈α
almo␈α␈st␈α
all␈α∞p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
o␈α␈f␈α
deg␈α␈ree␈↓ 	.␈ε	n␈↓ 	O␈εβha␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
set␈α
o␈α␈f
␈β"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓w␈ε	n␈↓ α␈εβ!␈αper␈α␈m␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈s␈αtheir␈αGalo␈α␈i␈α↓s␈αg␈α␈rou␈α␈p.␈α∞There␈α␈fore␈αalmo␈α␈st␈αall␈α|x␈α}ed␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αpoly␈α␈-
␈βJ␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈↓ αB␈ε	u␈↓ αV␈εβ(␈↓ αa␈ε	x␈↓ αr␈εβ)␈αwi␈α↓ll␈αfacto␈α␈r␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈αmigh␈α}t␈αe␈α␈xp␈α␈ect␈αth␈α␈em␈αto,␈αwith␈αresp␈α␈ect␈αto␈α
ran␈α␈dom␈α␈l␈α↓y␈α
cho␈α␈sen
␈βq␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈α	p␈α␈rimes␈↓ β␈ε	p␈↓ β⊃␈εβ.␈α∪Referen␈α␈ces:␈ε⊂␈α
S␈α␈i␈α↓t␈α␈zun␈α␈gsb␈α␈erich␈α␈te␈αλK␈↓ εk␈ε⊂∪␈↓ εk␈ε⊂o␈↓ ε|␈ε⊂n␈α␈i␈α↓g␈α␈l␈α↓.␈α	Preu␈α␈≠.␈α	Ak␈α␈ad␈α␈.␈α	W␈α↓iss.␈εβ␈α	(Berlin,␈α	189␈α␈6),
␈β
→␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈89↑␈α␈703␈↓ α<␈εβ;␈ε⊂␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αAn␈α␈na␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈ε∪␈α10␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈34),␈α13␈α␈↑16␈α␈.
␈β
=␈↓ β↓␈ε↓Q
␈β
X␈↓ ∧@␈εe␈↓ ∧T␈ε~␈␈↓ ∧n␈ε∞␈↓ ∧z␈εε(␈↓ ¬β␈εe␈↓ ¬↔␈εε)
␈β
\␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈ε	d␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈α
=␈↓ β}␈ε	p␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧#␈ε	x␈↓ ∧5␈εβ)␈↓ ¬ ␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ε→␈ε	∞␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε4␈ε	e␈↓ εA␈εβ)␈α=␈α
0␈α
if␈↓ πE␈ε	e␈↓ πX␈εβmo␈α␈d␈↓ λ≤␈ε	p␈↓ λ:␈εβ=␈α
0␈α␈,␈α∞oth␈α␈erwise␈↓ 
%␈ε	∞␈↓ 
5␈εβ(␈↓ 
@␈ε	e␈↓ 
M␈εβ)␈α
=␈α
1␈α␈.
␈β
←␈↓ ∧J␈ε
i␈↓ ¬
␈ε
i
␈β
f␈↓ ∧∞␈εi
␈β
n␈↓ β#␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ βH␈εi␈↓ βS␈ε~∀␈↓ βl␈εr
␈β∞ε␈↓ ε>␈ε~0
␈β∞π␈↓ ¬M␈εα(␈↓ εo␈εα)
␈β∞
␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ αα␈ε	d␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈α	=␈↓ αz␈ε	u␈↓ β∞␈εβ(␈↓ β→␈ε	x␈↓ β*␈εβ)␈α	and␈↓ β⎇␈ε	d␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε	x␈↓ ∧\␈εβ)␈α	=␈↓ ¬≠␈εβgc␈α␈d␈↓ ¬Y␈ε	d␈↓ ¬v␈εβ(␈↓ ε↓␈ε	x␈↓ ε∩␈εβ),␈↓ ε,␈ε	d␈↓ εG␈εβ(␈↓ εS␈ε	x␈↓ εd␈εβ)␈↓ ε{␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αλcon␈α␈sider␈αλthe␈α	s␈α␈equ␈α␈ence␈↓ 
	␈ε	d␈↓ 
%␈εβ(␈↓ 
0␈ε	x␈↓ 
B␈εβ),␈↓ 
←␈ε	d␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β∞∪␈↓ λO␈ε↓Q
␈β∞∃␈↓ α∩␈εε0␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧~␈εε+1␈↓ ¬h␈εk␈↓ 
→␈εε0␈↓ 
o␈εε1
␈β∞→␈↓ ε:␈εk
␈β∞.␈↓ 
∞␈εp␈↓ 
≤␈ε~b␈↓ 
&␈εe␈↓ 
:␈εε/␈↓ 
G␈εp␈↓ 
U␈ε~c
␈β∞2␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ;␈α⊂after␈↓ α`␈ε	m␈↓ β␈εβ=␈↓ β;␈εβmax␈↓ ∧P␈εβ(␈↓ ∧[␈ε	e␈↓ ∧w␈εβmod␈↓ ¬<␈ε	p␈↓ ¬M␈εβ)␈α∞step␈α␈s␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α}e␈↓ πB␈ε	d␈↓ πi␈εβ(␈↓ πt␈ε	x␈↓ λ¬␈εβ)␈α∂=␈↓ 	L␈ε	p␈↓ 	f␈εβ(␈↓ 	r␈ε	x␈↓ 
β␈εβ)␈↓ 
←␈εβ,␈α∂a␈α␈nd
␈β∞5␈↓ 
0␈ε
i
␈β∞<␈↓ βz␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧ ␈εi␈↓ ∧+␈ε~∀␈↓ ∧D␈εr␈↓ ∧g␈εi␈↓ πR␈εm␈↓ 	\␈εi
␈β∞D␈↓ λq␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ 	↔␈εi␈↓ 	!␈ε~∀␈↓ 	:␈εr
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ α∀␈εβ(␈↓ α∨␈ε	x␈↓ α1␈εβ)␈α∞=␈↓ αy␈ε	d␈↓ β ␈εβ(␈↓ β+␈ε	x␈↓ β=␈εβ).␈α∀If␈↓ ∧	␈ε	d␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	x␈↓ ∧M␈εβ)␈ε↔␈α∞≤␈εβ␈α∞1,␈α∂it␈α∞can␈α
be␈α∞fa␈α␈ctored␈α
by␈α
ap␈α␈plyin␈α␈g␈α∞(5).␈α∀The␈α∞fa␈α␈ctors␈α∞o␈α␈f
␈β∞h␈↓ ↓W␈εm␈↓ ↓n␈εε+␈α↓1␈↓ β	␈εm␈↓ ∧→␈εm
␈β∂↓␈↓ ¬:␈εε2␈↓ ε>␈εm
␈β∂¬␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ)/␈↓ α∀␈ε	d␈↓ α;␈εβ(␈↓ αF␈ε	x␈↓ αW␈εβ)␈απca␈α␈n␈απb␈α␈e␈αεw␈α↓r␈α␈i␈α↓tte␈α␈n␈↓ ∧:␈ε	q␈↓ ∧R␈εβ(␈↓ ∧]␈ε	x␈↓ ∧o␈εβ)␈↓ ∧z␈ε	q␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ)␈↓ ¬G␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬s␈ε	q␈↓ ε⊗␈εβ(␈↓ ε!␈ε	x␈↓ ε3␈εβ)␈↓ ε\␈εβwh␈α␈ere␈απt␈α␈he␈αεpoly␈α␈no␈α␈mials␈↓ 	!␈ε	q␈↓ 	9␈εβ(␈↓ 	D␈ε	x␈↓ 	V␈εβ)␈αεare␈αεsqu␈α␈arefree
␈β∂∞␈↓ ε0␈ε↓Q
␈β∂∂␈↓ α#␈εm␈↓ ∧F␈εε1␈↓ ¬ε␈εε2␈↓ ¬␈␈εm␈↓ 	-␈εj
␈β∂,␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈απp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αλto␈απeach␈απo␈α␈ther:␈↓ ¬<␈ε	q␈↓ ¬T␈εβ(␈↓ ¬`␈ε	x␈↓ ¬q␈εβ)␈α	=␈↓ εR␈ε↔f␈↓ εh␈ε	p␈↓ πα␈εβ(␈↓ π
␈ε	x␈↓ π∨␈εβ)␈ε↔␈α	j␈εβ␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ
␈ε	i␈↓ λ ␈ε↔∀␈↓ λK␈ε	r␈↓ λa␈εβan␈α␈d␈↓ 	∨␈ε	e␈↓ 	;␈εβmo␈α␈d␈↓ 	␈␈ε	p␈↓ 
→␈εβ=␈↓ 
D␈ε	j␈↓ 
X␈ε↔g␈↓ 
i␈εβ.␈α
W␈α↓e
␈β∂7␈↓ ¬H␈εj␈↓ εx␈εi␈↓ 	+␈εi
␈β∂Q␈↓ ∧␈εα(␈↓ ε2␈εα)
␈β∂T␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α∪␈ε	q␈↓ α+␈εβ(␈↓ α7␈ε	x␈↓ αH␈εβ)␈α	=␈↓ βπ␈ε	d␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	x␈↓ βe␈εβ)/␈↓ ∧␈ε	d␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	x␈↓ ∧D␈εβ)␈↓ ∧P␈ε	q␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬→␈ε	x␈↓ ¬*␈εβ)␈↓ ¬;␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬g␈ε	q␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	x␈↓ ε'␈εβ)␈↓ εF␈εβfor␈↓ εw␈ε	j␈↓ π∂␈εβ=␈↓ π:␈ε	m␈↓ πW␈εβ,␈↓ πi␈ε	m␈↓ λ
␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈,␈↓ λQ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ}␈εβ,␈α	1␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β∂←␈↓ α∨␈εj␈↓ β⊗␈εj␈↓ β"␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ∧\␈εj␈↓ ∧h␈εε+1␈↓ ¬s␈εm
␈β∂x␈↓ ¬v␈εε1␈α␈/␈↓ ε∂␈εp
␈β∂|␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	u␈↓ αβ␈εβ(␈↓ α∞␈ε	x␈↓ α∨␈εβ)␈αis␈αcomp␈α␈leted␈αb␈α␈y␈αfa␈α␈ctoring␈↓ ¬2␈ε	d␈↓ ¬Y␈εβ(␈↓ ¬d␈ε	x␈↓ ε≥␈εβ)␈αa␈α␈nd␈αe␈α␈ach␈↓ π?␈ε	q␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	x␈↓ πt␈εβ).
␈β⊂ε␈↓ ¬B␈εm␈↓ πK␈εj
␈β⊂'␈↓ α␈εβ[Ex␈α␈ercise␈α∞2(b␈α␈)␈α∂in␈α␈dicate␈α␈s␈α∂th␈α␈at␈α∞co␈α␈mpa␈α␈rativ␈α␈ely␈α∞few␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∞are␈α∞squ␈α␈are␈α␈f␈α↓r␈α␈ee,␈α∂bu␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ ↓Z␈εβ(␈↓ ↓e␈ε	x␈↓ ↓w␈εβ)␈α
is␈α∞ac␈α␈tua␈α␈l␈α↓ly␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α∞1␈α
q␈α␈uite␈α∞fre␈α␈que␈α␈n␈α␈tly␈α
in␈α
prac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e;␈α∂he␈α␈nce␈α
this␈α
meth␈α␈od␈α
tu␈α␈rns␈α
out␈α
to␈α
be
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uite␈α	imp␈α␈orta␈α␈n␈α␈t.␈ε⊂␈αRe␈α␈feren␈α␈ce:␈εβ␈α
D.␈α	Y.␈α
Y.␈α	Yu␈α␈n,␈ε⊂␈α	P␈α↓ro␈α␈c.␈α	MA␈α␈CSYM␈α␈A␈α	User's␈α	Con␈α␈f.␈εβ,␈α
NAS␈α␈A␈α	pu␈α␈bl.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβCP-20␈α␈12␈α(1␈α␈977␈α␈),␈α6␈α␈5↑7␈α␈0.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα707
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.3
␈βαf␈↓ α≥␈ε∃␈↓ α-␈εε(␈↓ α5␈εn␈↓ αE␈εε)
␈βαj␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ2␈↓ αN␈εβ,␈αth␈α␈e␈αhigh␈α␈est␈αpo␈α}w␈α␈er␈αof␈α2␈αless␈αth␈α␈an␈αo␈α␈r␈αequ␈α␈al␈αto␈↓ πd␈ε	n␈↓ πx␈εβ.
␈ββ↔␈↓ λ␈ε∃NN
␈ββ~␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈απth␈α␈at␈↓ βF␈ε	x␈↓ β↑␈εβis␈απinp␈α␈ut␈απin␈αεregister␈απA,␈απa␈α␈nd␈↓ εI␈ε	n␈↓ εd␈εβin␈απloc␈α␈ation␈↓ λ*␈εβ;␈αλthe␈αεout␈α␈pu␈α␈t␈απi␈α↓s␈αεi␈α↓n␈αεreg␈α␈i␈α↓ste␈α␈r␈απX.
␈ββJ␈↓ αv␈ε∃A1␈↓ βI␈ε∃EN␈α␈TX␈↓ ∧E␈ε∃1
␈ββM␈↓ α4␈ε	0␈α␈1␈↓ ¬a␈εβ1␈↓ ε\␈ε⊂A1.␈αInitialize.
␈ββg␈↓ ε\␈∧βgε\α↓E
␈ββr␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧E␈ε∃Y
␈ββu␈↓ α4␈ε	0␈α␈2␈↓ ¬a␈εβ1␈↓ ε\␈ε	Y␈↓ ε}␈ε↔ ␈εβ␈α	1.
␈β∧→␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃Z
␈β∧≤␈↓ α4␈ε	0␈α␈3␈↓ ¬a␈εβ1␈↓ ε\␈ε	Z␈↓ ε|␈ε↔ ␈↓ π'␈ε	x␈↓ π8␈εβ.
␈β∧A␈↓ βI␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃NN
␈β∧D␈↓ α4␈ε	0␈α␈4␈↓ ¬a␈εβ1␈↓ ε\␈ε	N␈↓ π∧␈ε↔ ␈↓ π/␈ε	n␈↓ πC␈εβ.
␈β∧h␈↓ βI␈ε∃JM␈α␈P␈↓ ∧E␈ε∃2F
␈β∧k␈↓ α4␈ε	0␈α␈5␈↓ ¬a␈εβ1␈↓ ε\␈εβTo␈αA2␈α␈.
␈β¬⊂␈↓ αv␈ε∃5H␈↓ βI␈ε∃SR␈α␈B␈↓ ∧E␈ε∃1
␈β¬∪␈↓ α4␈ε	0␈α␈6␈↓ ¬_␈ε	L␈↓ ¬6␈εβ+␈απ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε∨␈ε	K
␈β¬8␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃N
␈β¬;␈↓ α4␈ε	0␈α␈7␈↓ ¬_␈ε	L␈↓ ¬6␈εβ+␈απ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε∨␈ε	K␈↓ ε\␈ε	N␈↓ π∧␈ε↔ ␈α
b␈↓ π<␈ε	N␈↓ πZ␈εβ/2␈ε↔c␈εβ.
␈β¬←␈↓ αv␈ε∃A5␈↓ βI␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃Z
␈β¬b␈↓ α4␈ε	0␈α␈8␈↓ ¬↑␈ε	L␈↓ ε\␈ε⊂A5.␈αS␈↓ π+␈ε⊂q␈↓ π<␈ε⊂ua␈α␈re␈↓ λε␈ε	Z␈↓ λ≥␈ε⊂.
␈β¬|␈↓ ε\␈∧¬|ε\αY␈↓ π<␈∧¬|π<αk
␈βεπ␈↓ βI␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ∧E␈ε∃Z
␈βε
␈↓ α4␈ε	0␈α␈9␈↓ ¬↑␈ε	L␈↓ ε\␈ε	Z␈↓ εz␈ε↔α␈↓ π#␈ε	Z␈↓ π@␈εβmo␈α␈d␈↓ λ∧␈ε	w
␈βε.␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧E␈ε∃Z
␈βε1␈↓ α4␈ε	1␈α␈0␈↓ ¬↑␈ε	L␈↓ π$␈ε↔!␈↓ πN␈ε	Z␈↓ πf␈εβ.
␈βεV␈↓ αv␈ε∃A2␈↓ βI␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃N
␈βεY␈↓ α4␈ε	1␈α␈1␈↓ ¬↑␈ε	L␈↓ ε\␈ε⊂A2.␈αHalv␈α}e␈↓ πv␈ε	N␈↓ λ∃␈ε⊂.
␈βεs␈↓ ε\␈∧εsε\α↓C
␈βε}␈↓ αv␈ε∃2H␈↓ βI␈ε∃JA␈α␈E␈↓ ∧E␈ε∃5B
␈βπ↓␈↓ α4␈ε	1␈α␈2␈↓ ¬>␈ε	L␈↓ ¬[␈εβ+␈αλ1␈↓ ε\␈εβTo␈αA5␈α
i␈α↓f␈↓ πc␈ε	N␈↓ λ
␈εβis␈αev␈α␈e␈α␈n.
␈βπ%␈↓ βI␈ε∃SR␈α␈B␈↓ ∧E␈ε∃1
␈βπ(␈↓ α4␈ε	1␈α␈3␈↓ ¬\␈ε	K
␈βπM␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃N
␈βπP␈↓ α4␈ε	1␈α␈4␈↓ ¬\␈ε	K␈↓ ε\␈ε	N␈↓ π∧␈ε↔ ␈α
b␈↓ π<␈ε	N␈↓ πZ␈εβ/2␈ε↔c␈εβ.
␈βπt␈↓ αv␈ε∃A3␈↓ βI␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃Z
␈βπw␈↓ α4␈ε	1␈α␈5␈↓ ¬\␈ε	K␈↓ ε\␈ε⊂A3.␈αMu␈α␈lti␈↓ πh␈ε⊂p␈↓ π{␈ε⊂l␈↓ λ∧␈ε⊂y␈↓ λ"␈ε	Y␈↓ λF␈ε⊂b␈↓ λX␈ε⊂y␈↓ λv␈ε	Z␈↓ 	
␈ε⊂.
␈βλ⊃␈↓ ε\␈∧λ⊃ε\α↓
␈↓ πp␈∧λ⊃πpα_␈↓ λ⊂␈∧λ⊃λ⊂αM␈↓ λc␈∧λ⊃λcα3
␈βλ≤␈↓ βI␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ∧E␈ε∃Y
␈βλ∨␈↓ α4␈ε	1␈α␈6␈↓ ¬\␈ε	K␈↓ ε\␈ε	Z␈↓ εz␈ε↔α␈↓ π#␈ε	Y␈↓ πA␈εβmod␈↓ λε␈ε	w
␈βλD␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧E␈ε∃Y
␈βλG␈↓ α4␈ε	1␈α␈7␈↓ ¬\␈ε	K␈↓ π$␈ε↔!␈↓ πN␈ε	Y␈↓ πg␈εβ.
␈βλk␈↓ αv␈ε∃A4␈↓ βI␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃N
␈βλn␈↓ α4␈ε	1␈α␈8␈↓ ¬\␈ε	K␈↓ ε\␈ε⊂A4.␈↓ π→␈ε	N␈↓ πA␈εβ=␈α
0␈ε⊂␈α␈?
␈β	λ␈↓ ε\␈∧	λε\α↓.
␈β	∪␈↓ βI␈ε∃JA␈α␈P␈↓ ∧E␈ε∃A5
␈β	⊗␈↓ α4␈ε	1␈α␈9␈↓ ¬\␈ε	K␈↓ ε\␈εβIf␈↓ ε⎇␈ε	N␈↓ π%␈εβ>␈α
0,␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈e␈αat␈αste␈α␈p␈αA5.
␈β	_␈↓ 
@␈∧	_
@≠∂
␈β	E␈↓ ↓H␈εα(␈↓ 
T␈ε∃JAP
␈β	H␈↓ ↓T␈εβIt␈αλw␈α␈ould␈αλbe␈αλbe␈α␈tter␈α	p␈α␈rog␈α␈rammin␈α␈g␈α	p␈α␈rac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈α	to␈αλcha␈α␈ng␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	in␈α␈structio␈α␈n␈α	in␈αλli␈α↓n␈α␈e␈α	0␈α␈5␈α	t␈α␈o␈α	\␈↓ ∪␈εβ"␈α␈,
␈β	p␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈α	by␈α	an␈α	error␈α
in␈α␈dicat␈α␈i␈α↓o␈α␈n.␈αTh␈α␈e␈α
run␈α␈nin␈α␈g␈α
time␈α
is␈α
21␈↓ πc␈ε	L␈↓ λ␈εβ+␈αε17␈↓ λH␈ε	K␈↓ λj␈εβ+␈αε13␈α␈,␈αwh␈α␈ere␈↓ 
%␈ε	L␈↓ 
D␈εβ=␈↓ 
o␈ε	∃␈↓ α␈εβ(␈↓ 
␈ε	n␈↓ !␈εβ)
␈β
_␈↓ ↓H␈εβis␈αon␈α␈e␈αless␈αth␈α␈an␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αof␈αb␈α␈i␈α↓ts␈αin␈αthe␈αb␈α␈inary␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ 	↔␈ε	n␈↓ 	+␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ 
↓␈ε	K␈↓ 
&␈εβ=␈↓ 
Q␈ε	↔␈↓ 
a␈εβ(␈↓ 
l␈ε	n␈↓ ␈εβ)␈αis
␈β
?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αo␈α␈ne␈αbits␈αin␈↓ ∧F␈ε	n␈↓ ∧Z␈εβ's␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n.␈αTh␈α␈e␈αr␈α␈un␈α␈ning␈αtime␈αco␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αdec␈α␈reased␈α
by
␈β
g␈↓ ↓H␈ε	K␈↓ ↓k␈εβ+␈αλ6␈αu␈α␈nits,␈αby␈αinser␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αste␈α␈p␈αA4␈αbefo␈α␈re␈αstep␈αA3␈αa␈α␈nd␈αad␈α␈din␈α␈g␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈ew␈αins␈α␈truction␈α␈s␈αto
␈β␈↓ ∧=␈εα)
␈β∞␈↓ ↓H␈εβp␈α␈erform␈α
A3␈αwhen␈↓ βP␈ε	N␈↓ βx␈εβ=␈α
0.
␈β6␈↓ α␈εβFor␈αth␈α␈e␈αse␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈αpro␈α␈gram␈α␈,␈α
w␈α␈e␈αmay␈αass␈α␈ume␈αtha␈α␈t␈↓ π%␈ε	n␈↓ πE␈εβis␈αsma␈α␈ll␈αeno␈α␈ugh␈αto␈α|t␈αi␈α↓n␈αan␈αind␈α␈ex
␈β↑␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gister;␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈αse␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}tiation␈αis␈αou␈α␈t␈αof␈αthe␈αqu␈α␈estion␈α␈.␈αThe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αpro␈α␈gram
␈β¬␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈v␈α␈es␈αth␈α␈e␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈αi␈α↓n␈α
registe␈α␈r␈αA:
␈β5␈↓ αv␈ε∃S1␈↓ βI␈ε∃LD␈α␈1␈↓ ∧E␈ε∃NN
␈β8␈↓ α4␈ε	0␈α␈1␈↓ ¬@␈εβ1␈↓ ε→␈εβrI␈↓ ε1␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ εu␈ε	n␈↓ π	␈εβ.
␈β]␈↓ βI␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧E␈ε∃X
␈β`␈↓ α4␈ε	0␈α␈2␈↓ ¬@␈εβ1␈↓ ε→␈ε	X␈↓ ε>␈ε↔ ␈↓ εh␈ε	x␈↓ εz␈εβ.
␈β
∧␈↓ βI␈ε∃JM␈α␈P␈↓ ∧E␈ε∃2F
␈β
π␈↓ α4␈ε	0␈α␈3␈↓ ¬@␈εβ1
␈β
,␈↓ αv␈ε∃1H␈↓ βI␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ∧E␈ε∃X
␈β
/␈↓ α4␈ε	0␈α␈4␈↓ ¬_␈ε	N␈↓ ¬>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ε→␈εβrA␈↓ εE␈ε↔α␈↓ εn␈ε	X␈↓ π∂␈εβmod␈↓ πT␈ε	w
␈β
S␈↓ βI␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧E␈ε∃5
␈β
V␈↓ α4␈ε	0␈α␈5␈↓ ¬_␈ε	N␈↓ ¬>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εa␈ε↔!␈↓ π␈εβr␈α␈A␈↓ π1␈εβ.
␈β
{␈↓ αv␈ε∃2H␈↓ βI␈ε∃DE␈α␈C1␈↓ ∧E␈ε∃1
␈β
}␈↓ α4␈ε	0␈α␈6␈↓ ¬8␈ε	N␈↓ ε→␈εβrI␈↓ ε1␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ εu␈εβrI␈↓ π∞␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ1.
␈β∞#␈↓ βI␈ε∃J1␈α␈P␈↓ ∧E␈ε∃1B
␈β∞&␈↓ α4␈ε	0␈α␈7␈↓ ¬8␈ε	N␈↓ ε→␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αag␈α␈ain␈αif␈↓ λ~␈εβrI␈↓ λ2␈εβ1␈α	>␈α
0␈α␈.
␈β∞(␈↓ 	5␈∧∞(	5≠∂
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αrun␈α␈nin␈α␈g␈αti␈α↓m␈α␈e␈αf␈α↓o␈α␈r␈αthis␈αpro␈α␈gram␈αis␈α14␈↓ ε⊃␈ε	N␈↓ ε8␈ε↔␈␈εβ␈αλ7␈α␈;␈αit␈αi␈α↓s␈αfaste␈α␈r␈αth␈α␈an␈α
the␈αp␈α␈reviou␈α␈s␈αpro␈α␈gram
␈β∂␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	n␈↓ α<␈ε↔∀␈εβ␈α	7,␈αsl␈α↓o␈α}w␈α␈er␈αwhen␈↓ ∧F␈ε	n␈↓ ∧d␈ε↔∃␈εβ␈α	8.
␈β∂0␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈α␈s␈α
of␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈α
a␈α␈re:␈α≡(a␈α␈)␈α∞1␈α␈,␈α∞2,␈α∞3␈α␈,␈α∞6,␈α∞7,␈α∞1␈α␈4,␈α∞1␈α␈5,␈α∞30␈α␈,␈α∞60,␈α
120␈α␈,␈α∞121␈α␈,␈α∞242␈α␈,
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈43,␈α⊂48␈α␈6,␈α⊃4␈α␈87␈α␈,␈α⊃97␈α␈4,␈α⊂975␈α∂[1␈α␈6␈α∂m␈α␈ultiplicat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns];␈α"(b␈α␈)␈α∂1,␈α⊃2␈α␈,␈α⊃3␈α␈,␈α⊃4␈α␈,␈α⊃8,␈α⊂12␈α␈,␈α⊃24␈α␈,␈α⊃3␈α␈6,␈α⊂72,␈α⊂108␈α␈,
␈β∂␈␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈16,␈α∞324␈α␈,␈α∂32␈α␈5,␈α∂6␈α␈50,␈α∞975␈α
[14␈α∞m␈α}ultiplication␈α␈s];␈α∨(c)␈α∞1␈α␈,␈α∂2,␈α∂3␈α␈,␈α∂6,␈α∞12,␈α∞15,␈α∞30,␈α∂6␈α␈0,␈α∂1␈α␈20,␈α∞240␈α␈,
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈43,␈α∂48␈α␈6,␈α⊂9␈α␈72␈α␈,␈α⊂97␈α␈5␈α∞[␈α↓1␈α␈3␈α∞m␈α␈ultiplicatio␈α␈ns];␈α (d)␈α∞1,␈α∂2,␈α∂3,␈α⊂6␈α␈,␈α⊂1␈α␈3,␈α⊂1␈α␈5,␈α∂30,␈α∂60␈α␈,␈α⊂75␈α␈,␈α⊂1␈α␈50,␈α∂225␈α␈,
␈β⊂K␈↓ ¬I␈εα(
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈50,␈α9␈α␈00,␈α97␈α␈5␈α[13␈α
m␈α␈ultiplication␈α␈s].␈↓ ¬U␈εβThe␈αsm␈α␈allest␈αpo␈α␈ssible␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αis
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈2;␈α
this␈αi␈α↓s␈αob␈α␈tain␈α␈able␈αby␈αcom␈α␈b␈α␈ining␈αth␈α␈e␈αfactor␈αme␈α␈thod␈αw␈α↓ith␈αth␈α␈e␈αbina␈α␈ry␈αmeth␈α␈od␈α␈,␈α
since
␈β⊃→␈↓ βα␈εε6
␈β⊃~␈↓ βd␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβ9␈α␈75␈α	=␈α	15␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ(␈↓ αr␈εβ2␈↓ β⊗␈εβ+␈αλ1).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα708␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα&␈↓ βW␈εε18
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(77␈α␈777␈α␈7␈↓ α{␈εβ)␈↓ β≤␈εβ=␈↓ βG␈εβ2␈↓ βx␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈βα5␈↓ βε␈εε8
␈βαb␈↓ π]␈εr
␈βαc␈↓ ∧=␈ε∃L␈α␈INK␈α␈U␈↓ 	T␈ε∃LI␈α␈NKR
␈βαf␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α≠␈ε∪T1␈α␈.␈↓ αX␈εβ[In␈α␈i␈α↓tialize.]␈α∀Set␈↓ ¬$␈εβ[␈↓ ¬-␈ε	j␈↓ ¬<␈εβ]␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	0␈α	for␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ π
␈ε	j␈↓ π"␈ε↔∀␈↓ πL␈εβ2␈↓ πi␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α	se␈α␈t␈↓ λm␈ε	k␈↓ 	ε␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ 
<␈εβ[0␈α␈]␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α
1␈α␈,
␈ββ␈↓ αX␈ε∃L␈α␈INK␈α␈R
␈ββ∞␈↓ β?␈εβ[1]␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	0.
␈ββJ␈↓ α≠␈ε∪T2␈α␈.␈↓ αX␈εβ[Ch␈α␈an␈α␈ge␈α
lev␈α}el.]␈α⊗(No␈α␈w␈α
lev␈α}el␈↓ ¬e␈ε	k␈↓ ¬␈␈εβof␈α	the␈α	tree␈α	has␈α	bee␈α␈n␈α
link␈α}ed␈α	tog␈α␈ethe␈α␈r␈α
from␈α	left␈α
to
␈ββn␈↓ ∧Z␈ε∃L␈α␈INK␈α␈R
␈ββq␈↓ αX␈εβrig␈α␈h␈α␈t,␈α
sta␈α␈rting␈αa␈α␈t␈↓ ¬A␈εβ[0].␈α↓)␈α∞If␈↓ ε*␈ε	k␈↓ εE␈εβ=␈↓ εq␈ε	r␈↓ π␈εβ,␈α
th␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ates.␈α∞Othe␈α␈rwi␈α↓se
␈β∧⊗␈↓ βS␈ε∃LIN␈α␈KR
␈β∧→␈↓ αX␈εβse␈α␈t␈↓ β␈ε	n␈↓ β)␈ε↔ ␈↓ ∧;␈εβ[0],␈↓ ∧r␈ε	m␈↓ ¬→␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β∧U␈↓ α≠␈ε∪T3␈α␈.␈↓ αX␈εβ[Prep␈α␈are␈αfor␈↓ ∧∂␈ε	n␈↓ ∧#␈εβ.]␈α~(No␈α}w␈↓ ¬'␈ε	n␈↓ ¬F␈εβis␈αa␈αn␈α␈ode␈αo␈α␈n␈αlev␈α}el␈↓ πN␈ε	k␈↓ π↑␈εβ,␈αand␈↓ λ3␈ε	m␈↓ λ\␈εβp␈α␈oin␈α␈ts␈αto␈α
the␈αrigh␈α}tmos␈α␈t
␈β∧|␈↓ αX␈εβn␈α␈od␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α␈tly␈αo␈α␈n␈αlev␈α}el␈↓ ¬2␈ε	k␈↓ ¬I␈εβ+␈αλ1.)␈α→Set␈↓ εj␈ε	q␈↓ πα␈ε↔ ␈εβ␈α	0,␈↓ πQ␈ε	s␈↓ πh␈ε↔ ␈↓ λ∪␈ε	n␈↓ λ'␈εβ.
␈β¬8␈↓ α≠␈ε∪T4␈α␈.␈↓ αX␈εβ[Alread␈α␈y␈α∂in␈α∞tree?]␈α!(No␈α}w␈↓ ¬W␈ε	s␈↓ ¬t␈εβis␈α∂a␈α∂n␈α␈ode␈α∞i␈α↓n␈α∞th␈α␈e␈α∂pa␈α␈th␈α∂from␈α∞the␈α∞root␈α∂to␈↓ 
M␈ε	n␈↓ 
a␈εβ.)␈α!If
␈β¬]␈↓ αX␈ε∃L␈α␈INK␈α␈U
␈β¬`␈↓ β?␈εβ[␈↓ βH␈ε	n␈↓ βd␈εβ+␈↓ ∧
␈ε	s␈↓ ∧~␈εβ]␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α	0,␈αgo␈αto␈α
T6␈α(the␈αv␈α␈alue␈↓ π"␈ε	n␈↓ π>␈εβ+␈↓ πg␈ε	s␈↓ π␈␈εβi␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓re␈α␈ady␈α
in␈αth␈α␈e␈αtree).
␈βε_␈↓ εq␈ε~0
␈βε→␈↓ λ{␈ε∃L␈α␈INKR
␈βε≤␈↓ α≠␈ε∪T5␈α␈.␈↓ αX␈εβ[In␈α␈sert␈α⊃b␈α␈elo␈α␈w␈↓ ∧(␈ε	n␈↓ ∧<␈εβ.]␈α$If␈↓ ¬→␈ε	q␈↓ ¬:␈εβ=␈α∪0,␈α∩set␈↓ εT␈ε	m␈↓ π
␈ε↔ ␈↓ π>␈ε	n␈↓ π]␈εβ+␈↓ λ	␈ε	s␈↓ λ↔␈εβ.␈α≤S␈α␈et␈↓ 	b␈εβ[␈↓ 	l␈ε	n␈↓ 
␈εβ+␈↓ 
7␈ε	s␈↓ 
E␈εβ]␈ε↔␈α∪ ␈↓ ∀␈ε	q␈↓ #␈εβ,
␈βε@␈↓ αX␈ε∃L␈α␈INK␈α␈U
␈βεC␈↓ β?␈εβ[␈↓ βH␈ε	n␈↓ βd␈εβ+␈↓ ∧
␈ε	s␈↓ ∧~␈εβ]␈ε↔␈α
 ␈↓ ∧W␈ε	n␈↓ ∧k␈εβ,␈↓ ¬␈ε	q␈↓ ¬_␈ε↔ ␈↓ ¬B␈ε	n␈↓ ¬↑␈εβ+␈↓ εε␈ε	s␈↓ ε∀␈εβ.
␈βε|␈↓ ¬¬␈ε∃LIN␈α␈KU
␈βε␈␈↓ α≠␈ε∪T6␈α␈.␈↓ αX␈εβ[M␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αu␈α␈p.]␈α→Set␈↓ ∧D␈ε	s␈↓ ∧[␈ε↔ ␈↓ ¬m␈εβ[␈↓ ¬v␈ε	s␈↓ ε∧␈εβ].␈αI␈α↓f␈↓ εC␈ε	s␈↓ εZ␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈αretur␈α␈n␈αto␈αT4␈α␈.
␈βπ7␈↓ λh␈ε~0
␈βπ8␈↓ ε␈ε∃L␈α␈INK␈α␈R
␈βπ;␈↓ α≠␈ε∪T7␈α␈.␈↓ αX␈εβ[Atta␈α␈ch␈αgr␈α␈oup␈α␈.]␈α~If␈↓ ∧p␈ε	q␈↓ ¬λ␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αse␈α␈t␈↓ εs␈εβ[␈↓ ε|␈ε	m␈↓ π~␈εβ]␈ε↔␈α	 ␈↓ πW␈ε	q␈↓ πe␈εβ,␈↓ πz␈ε	m␈↓ λ ␈ε↔ ␈↓ λK␈ε	m␈↓ λn␈εβ.
␈βπt␈↓ ∧{␈ε∃L␈α␈INK␈α␈R
␈βπw␈↓ α≠␈ε∪T8␈α␈.␈↓ αX␈εβ[M␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈↓ β:␈ε	n␈↓ βN␈εβ.]␈α→Set␈↓ ∧3␈ε	n␈↓ ∧P␈ε↔ ␈↓ ¬b␈εβ[␈↓ ¬k␈ε	n␈↓ ¬␈␈εβ]␈α↓.␈αIf␈↓ ε>␈ε	n␈↓ ε\␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈αretu␈α␈rn␈αto␈αT3␈α␈.
␈βλ0␈↓ ∧u␈ε∃L␈α␈INKR
␈βλ3␈↓ α≠␈ε∪T9␈α␈.␈↓ αX␈εβ[End␈α
of␈αlev␈α␈e␈α␈l␈α↓.]␈α→Set␈↓ ¬\␈εβ[␈↓ ¬f␈ε	m␈↓ εβ␈εβ]␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ εe␈ε	k␈↓ ε}␈ε↔ ␈↓ π)␈ε	k␈↓ πA␈εβ+␈απ1,␈αand␈α
retu␈α␈rn␈αto␈αT2␈α␈.
␈βλ5␈↓ 
4␈∧λ5
4≠∂
␈βλk␈↓ π]␈εe␈↓ λ0␈εe␈↓ 	W␈εe
␈βλo␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈α	by␈α	i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α
p␈α␈ath␈α	to␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ πL␈εβ2␈↓ πx␈εβ+␈↓ λ∨␈εβ2␈↓ λL␈εβ+␈↓ λs␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ 	 ␈εβ+␈↓ 	G␈εβ2␈↓ 	k␈εβ,␈αif␈↓ 
≥␈ε	e␈↓ 
?␈εβ>␈↓ 
i␈ε	e␈↓ ␈εβ>
␈βλq␈↓ 	b␈ε
t
␈βλs␈↓ πg␈επ0␈↓ λ:␈επ1
␈βλy␈↓ 
)␈εε0␈↓ 
u␈εε1
␈β	∩␈↓ ∧∂␈εε2␈↓ ¬α␈εe␈↓ ¬=␈εe␈↓ ε∪␈εe␈↓ π∂␈εe␈↓ πf␈εe␈↓ 	∪␈εe
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓x␈εβ>␈↓ α#␈ε	e␈↓ αB␈ε↔∃␈εβ␈α
0,␈αi␈α↓s␈α1,␈α2,␈↓ β}␈εβ2␈↓ ∧≤␈εβ,␈↓ ∧0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧]␈εβ,␈↓ ∧q␈εβ2␈↓ ¬↔␈εβ,␈↓ ¬,␈εβ2␈↓ ¬Z␈εβ+␈↓ εβ␈εβ2␈↓ ε)␈εβ,␈↓ ε=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εj␈εβ,␈↓ ε}␈εβ2␈↓ π,␈εβ+␈↓ πU␈εβ2␈↓ λβ␈εβ+␈↓ λ,␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λZ␈εβ+␈↓ 	β␈εβ2␈↓ 	'␈εβ;␈αfu␈α␈rthe␈α␈rmore,␈αthe
␈β	→␈↓ 	≡␈ε
t
␈β	~␈↓ ¬␈επ0␈↓ ¬G␈επ0␈↓ ε≡␈επ1␈↓ π→␈επ0␈↓ πp␈επ1
␈β	!␈↓ α/␈εt
␈β	>␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈αof␈αexp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈n␈αea␈α␈ch␈αlev␈α}el␈αa␈α␈re␈αin␈αd␈α␈ecrea␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αlex␈α␈i␈α↓c␈α␈ogra␈α␈ph␈α␈i␈α↓c␈α
orde␈α␈r.
␈β	v␈↓ 	V␈εε2␈↓ 	c␈εn␈↓ 
[␈εn
␈β	z␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α	bin␈α␈ary␈α	an␈α␈d␈α	facto␈α␈r␈α
me␈α␈thod␈α␈s␈α
re␈α␈quire␈α	on␈α␈e␈α
m␈α␈ore␈α	step␈α	to␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ 	E␈ε	x␈↓ 	⎇␈εβth␈α␈an␈↓ 
I␈ε	x␈↓ 
k␈εβ;␈α
the
␈β
≥␈↓ 	:␈εk␈↓ 
b␈εk
␈β
"␈↓ ↓H␈εβp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
tree␈α
meth␈α␈od␈α
req␈α␈uires␈α
at␈α∞m␈α␈ost␈α
one␈α
mo␈α␈re␈α∞s␈α␈tep.␈α∩Hence␈α
(a)␈α
15␈ε↔␈α	↓␈↓ 	)␈εβ2␈↓ 	G␈εβ;␈α∂(b␈α␈)␈α∞33␈ε↔␈αλ↓␈↓ 
R␈εβ2␈↓ 
o␈εβ;␈α∂(␈α↓c␈α␈)
␈β
E␈↓ α∩␈εk
␈β
I␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈3␈ε↔␈απ↓␈↓ α↓␈εβ2␈↓ α∨␈εβ;␈↓ α3␈ε	k␈↓ αM␈εβ=␈α	0,␈α1,␈α2,␈α3,␈↓ ∧␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧=␈εβ.
␈β¬␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈α	po␈α}w␈α␈er␈α
tree␈α	alway␈α␈s␈α
in␈α␈cl␈α↓u␈α␈de␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ode␈α	2␈↓ εp␈ε	m␈↓ π↔␈εβa␈α␈t␈α
on␈α␈e␈α	l␈α↓ev␈α}el␈α
b␈α␈elo␈α␈w␈↓ 	!␈ε	m␈↓ 	>␈εβ,␈α
un␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈α
it␈α
o␈α␈ccur␈α␈s
␈β-␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α
the␈α
sa␈α␈me␈α
lev␈α␈e␈α␈l␈α∞o␈α␈r␈α
an␈α
ea␈α␈rli␈α↓e␈α␈r␈α
l␈α↓ev␈α}el;␈α∂a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈α
a␈α␈lw␈α↓a␈α␈ys␈α
in␈α␈cl␈α↓u␈α␈de␈α␈s␈α
the␈α
n␈α␈od␈α␈e␈α
2␈↓ 	b␈ε	m␈↓ 
λ␈εβ+␈α	1␈α
a␈α␈t␈α
one
␈βT␈↓ ↓H␈εβlev␈α}el␈αb␈α␈elo␈α␈w␈α2␈↓ ββ␈ε	m␈↓ β!␈εβ,␈αu␈α␈nless␈αit␈αoc␈α␈curs␈αat␈αthe␈αsam␈α␈e␈αlev␈α}el.␈α≠(Co␈α␈mpu␈α␈tation␈α␈al␈αe␈α␈xp␈α␈erimen␈α}ts␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β|␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈wn␈α
th␈α␈at␈α
2␈↓ β∧␈ε	m␈↓ β,␈εβis␈αb␈α␈elo␈α␈w␈↓ ∧*␈ε	m␈↓ ∧Q␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬2␈ε	m␈↓ ¬Y␈ε↔∀␈εβ␈α	200␈α␈0,␈αb␈α␈ut␈α
i␈α↓t␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs␈αv␈α}ery␈α
di}c␈α␈ult␈αto␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈is
␈β#␈↓ ↓H␈εβin␈α
gen␈α␈eral.)
␈β\␈↓ βc␈ε∃FAT␈α␈HER
␈β←␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβBy␈αu␈α␈sing␈αt␈α␈he␈α\␈↓ ∧`␈εβ"␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈αdiscu␈α␈ssed␈αin␈αSec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α2␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓3␈α␈:␈α
Mak␈α}e␈αu␈α␈se␈αof␈αa
␈β
π␈↓ ↓H␈εβta␈α␈ble␈↓ α≥␈ε	f␈↓ α-␈εβ[␈↓ α6␈ε	j␈↓ αE␈εβ],␈α∞1␈ε↔␈α∀␈↓ β0␈ε	j␈↓ βL␈ε↔∀␈εβ␈α100␈α␈,␈α∞suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈↓ ¬Z␈ε	f␈↓ ¬j␈εβ[1]␈α
=␈α
0␈αan␈α␈d␈↓ π(␈ε	f␈↓ π8␈εβ[␈↓ πA␈ε	j␈↓ πP␈εβ]␈α
i␈α↓s␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
the␈αnod␈α␈e␈α
jus␈α␈t
␈β
/␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈↓ α'␈ε	j␈↓ αB␈εβfor␈↓ αw␈ε	j␈↓ β⊃␈ε↔∃␈εβ␈α2.␈α≤(Th␈α␈e␈αfact␈αth␈α␈at␈αeac␈α␈h␈αno␈α␈de␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈is␈αtree␈αha␈α␈s␈αdeg␈α␈ree␈αat␈αmo␈α␈st␈αt␈α␈wo␈αha␈α␈s
␈β
V␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈α
e{␈α↓e␈α␈ct␈αo␈α␈n␈α
the␈α
e}cien␈α␈cy␈α
of␈αth␈α␈is␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈;␈αit␈αjust␈α
ma␈α␈k␈α␈es␈α
the␈α
tree␈α
l␈α↓o␈α␈ok␈α
pre␈α␈ttier␈αa␈α␈s
␈β
}␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αill␈α↓u␈α␈stratio␈α␈n.)
␈β∞:␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ1,␈α
2,␈α3␈α␈,␈α5␈α␈,␈α10␈α␈,␈α20␈α␈,␈α(23␈α	or␈α
40␈α␈)␈α↓,␈α
43␈α␈;␈α1,␈α
2,␈α4␈α␈,␈α8,␈α
9,␈α
17,␈α
(26␈α
or␈α
3␈α␈4),␈α4␈α␈3;␈α1␈α␈,␈α2,␈α
4,␈α
8,␈α9␈α␈,␈α17␈α␈,␈α34␈α␈,
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβ(4␈α␈3␈αor␈α6␈α␈8),␈α77;␈α1␈α␈,␈α2␈α␈,␈α4␈α␈,␈α5␈α␈,␈α9,␈α18,␈α3␈α␈6,␈α(41␈αo␈α␈r␈α72),␈α77␈α␈.␈αIf␈αeith␈α␈er␈αof␈αth␈α␈e␈αlatter␈α
t␈α␈wo␈α
pa␈α␈ths␈αw␈α␈ere
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈α
tree␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αh␈α␈av␈α}e␈αn␈α␈o␈αp␈α␈ossibility␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ εI␈ε	n␈↓ εf␈εβ=␈α
4␈α␈3,␈αsince␈α
th␈α␈e␈αtree␈α
m␈α␈us␈α␈t␈αcon␈α}tain␈α
eithe␈α␈r
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈,␈α2␈α␈,␈α3␈α␈,␈α5␈α
or␈α1,␈α2,␈α4,␈α8,␈α9.
␈β∂h␈↓ π→␈εε*
␈β∂l␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβNo␈αsu␈α␈ch␈αin␈α␈|n␈α␈i␈α↓t␈α␈e␈αtree␈αca␈α␈n␈αex␈α␈i␈α↓st␈α␈,␈αsinc␈α␈e␈↓ ε(␈ε	l␈↓ ε1␈εβ(␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ π∂␈ε	l␈↓ π%␈εβ(␈↓ π0␈ε	n␈↓ πD␈εβ)␈αfo␈α␈r␈αsome␈↓ λb␈ε	n␈↓ λv␈εβ.
␈β⊂$␈↓ π#␈εA␈↓ π5␈εε+␈↓ πN␈εC␈↓ λ$␈εB␈↓ λ5␈εε+␈↓ λO␈εC␈↓ 	$␈εA␈↓ 	w␈εB
␈β⊂(␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβFor␈αCa␈α␈se␈α1,␈αus␈α␈e␈αa␈αTy␈α␈pe-1␈α
cha␈α␈i␈α↓n␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈αb␈α␈y␈↓ π∪␈εβ2␈↓ πk␈εβ+␈↓ λ∪␈εβ2␈↓ λk␈εβ+␈↓ 	∪␈εβ2␈↓ 	=␈εβ+␈↓ 	f␈εβ2␈↓ 
λ␈εβ;␈αor␈αu␈α␈se␈αthe
␈β⊂L␈↓ λ*␈εA␈↓ λ<␈εε+␈↓ λU␈εC␈↓ λj␈εε+1␈↓ 	K␈εB␈↓ 	\␈εε+␈↓ 	u␈εC␈↓ 
E␈εA␈↓ ∩␈εB
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α	m␈α␈etho␈α␈d.␈α
For␈α	Ca␈α␈se␈α	2,␈α	use␈αλa␈α	Ty␈α␈pe␈α␈-␈α↓2␈αλch␈α␈ain␈αλf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}we␈α␈d␈α	b␈α␈y␈↓ λ→␈εβ2␈↓ 	∀␈εβ+␈↓ 	:␈εβ2␈↓ 
∂␈εβ+␈↓ 
4␈εβ2␈↓ 
[␈εβ+␈↓ ↓␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈β⊂s␈↓ λ↔␈εA␈↓ λk␈εA␈↓ λ⎇␈ε~␈␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α
Ca␈α␈se␈α3,␈α
u␈α␈se␈αa␈αTyp␈α␈e-5␈αch␈α␈ain␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ λε␈εβ2␈↓ λ1␈εβ+␈↓ λZ␈εβ2␈↓ 	#␈εβ,␈α
o␈α␈r␈αuse␈αth␈α␈e␈αfacto␈α␈r
␈β⊃≠␈↓ ¬!␈εD
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d.␈αFor␈αCase␈α
4,␈↓ β}␈ε	n␈↓ ∧≤␈εβ=␈α	135␈ε↔␈απ↓␈↓ ¬⊂␈εβ2␈↓ ¬5␈εβ,␈αso␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αu␈α␈se␈αthe␈αfa␈α␈ctor␈αme␈α␈tho␈α␈d.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα709
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ(a)␈α
It␈α∞is␈α
easy␈α
to␈α
v␈α}erify␈α
tha␈α␈t␈α∞ste␈α␈ps␈↓ εα␈ε	r␈↓ ε~␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α
an␈α␈d␈↓ π%␈ε	r␈↓ π=␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈α
are␈α
n␈α␈ot␈α
both␈αsmall,␈α∂so␈α
let␈α
u␈α␈s
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α	step␈↓ βD␈ε	r␈↓ βX␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α	is␈α	small␈α
a␈α␈nd␈α	step␈↓ ε∩␈ε	r␈↓ ε&␈ε↔␈␈εβ␈α¬2␈α	i␈α↓s␈α	no␈α␈t.␈αIf␈↓ πj␈ε	c␈↓ λ␈εβ=␈α	1,␈α
the␈α␈n␈↓ 	_␈ε	∃␈↓ 	,␈εβ(␈↓ 	7␈ε	a␈↓ 	y␈εβ)␈α	=␈↓ 
7␈ε	∃␈↓ 
K␈εβ(␈↓ 
V␈ε	a␈↓ _␈εβ),
␈βα\␈↓ 	G␈εr␈↓ 	S␈ε~␈␈εε1␈↓ 
e␈εr␈↓ 
r␈ε~␈␈↓ ␈εk
␈βαy␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓t␈ε	k␈↓ α∃␈εβ=␈α⊂2;␈α⊃an␈α␈d␈α∂since␈α∂4␈ε↔␈α∂∀␈↓ ∧↑␈ε	↔␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	a␈↓ ¬∀␈εβ)␈α⊂=␈↓ ¬`␈ε	↔␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε	a␈↓ ε=␈εβ)␈α
+␈↓ ε⎇␈ε	↔␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈ε	a␈↓ πZ␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α1␈ε↔␈α⊂∀␈↓ λm␈ε	↔␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	λ␈ε	a␈↓ 	I␈εβ)␈α
+␈α1␈α␈,␈α⊃w␈α␈e␈α∂h␈α␈av␈α␈e
␈ββ∧␈↓ ¬λ␈εr␈↓ ε␈εr␈↓ ε↔␈ε~␈␈εε1␈↓ π(␈εr␈↓ π4␈ε~␈␈↓ πM␈εk␈↓ 	↔␈εr␈↓ 	#␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	a␈↓ α$␈εβ)␈ε↔␈α∞∃␈εβ␈α∞3␈α␈,␈α∂ma␈α␈kin␈α␈g␈↓ ∧
␈ε	r␈↓ ∧%␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α
a␈α∞sta␈α␈r␈α∞step␈α
(lest␈↓ εe␈ε	a␈↓ π↓␈εβ,␈↓ π_␈ε	a␈↓ π5␈εβ,␈↓ πL␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πy␈εβ,␈↓ λ⊂␈ε	a␈↓ λR␈εβ,␈↓ λi␈ε	a␈↓ 	9␈εβin␈α␈clud␈α␈e␈α∞on␈α␈ly␈α
one
␈ββ,␈↓ ↓r␈εr␈↓ ↓}␈ε~␈␈εε1␈↓ εt␈εε0␈↓ π(␈εε1␈↓ λ ␈εr␈↓ λ,␈ε~␈␈εε3␈↓ λy␈εr␈↓ 	¬␈ε~␈␈εε1
␈ββI␈↓ ↓H␈εβsm␈α␈all␈α∞step␈α␈)␈α↓.␈α∪Th␈α␈en␈↓ β]␈ε	a␈↓ ∧,␈εβ=␈↓ ∧[␈ε	a␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬P␈ε	a␈↓ ε∨␈εβfor␈α∞so␈α␈me␈↓ π+␈ε	q␈↓ π:␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α
if␈α∞w␈α␈e␈α∞rep␈α␈lace␈↓ 	↑␈ε	a␈↓ 
 ␈εβ,␈↓ 
8␈ε	a␈↓ 
y␈εβ,␈↓ ⊃␈ε	a
␈ββS␈↓ βm␈εr␈↓ βy␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧k␈εr␈↓ ∧w␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬`␈εr␈↓ ¬l␈ε~␈␈↓ ε¬␈εq␈↓ 	n␈εr␈↓ 	z␈ε~␈␈εε2␈↓ 
G␈εr␈↓ 
S␈ε~␈␈εε1␈↓  ␈εr
␈ββp␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈↓ ↓w␈ε	a␈↓ α9␈εβ,␈α2␈↓ α]␈ε	a␈↓ β∨␈εβ,␈α2␈↓ βD␈ε	a␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ∧4␈ε	a␈↓ ∧}␈εβ=␈↓ ¬)␈ε	a␈↓ ¬D␈εβ,␈αw␈α␈e␈αob␈α␈tain␈α
an␈α␈oth␈α␈er␈αc␈α␈oun␈α}terex␈α␈amp␈α␈le␈αc␈α␈hain␈α
in␈α
which
␈ββ{␈↓ απ␈εr␈↓ α∪␈ε~␈␈εε2␈↓ αm␈εr␈↓ αy␈ε~␈␈εε2␈↓ βS␈εr␈↓ β←␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧C␈εr␈↓ ∧P␈ε~␈␈↓ ∧i␈εq␈↓ ¬8␈εr
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈↓ α∂␈ε	r␈↓ α)␈εβis␈αsmall;␈α
b␈α␈ut␈αthis␈αis␈αimp␈α␈ossible.␈α
On␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ther␈αh␈α␈an␈α␈d,␈αif␈↓ λB␈ε	c␈↓ λZ␈ε↔∃␈εβ␈α2␈α␈,␈αthen␈α4␈ε↔␈α
∀␈↓ 
?␈ε	↔␈↓ 
O␈εβ(␈↓ 
Z␈ε	a␈↓ 
v␈εβ)␈ε↔␈α
∀
␈β∧"␈↓ 
i␈εr
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	a␈↓ α$␈εβ)␈α	+␈↓ αb␈ε	↔␈↓ αq␈εβ(␈↓ α|␈ε	a␈↓ β?␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	2␈ε↔␈α∀␈↓ ∧G␈ε	↔␈↓ ∧W␈εβ(␈↓ ∧b␈ε	a␈↓ ¬#␈εβ)␈α↓;␈α∞h␈α␈enc␈α␈e␈↓ ε$␈ε	↔␈↓ ε4␈εβ(␈↓ ε?␈ε	a␈↓ π↓␈εβ)␈α=␈α
4,␈↓ πm␈ε	↔␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	a␈↓ λJ␈εβ)␈α
=␈α
2␈α␈,␈α∞an␈α␈d␈↓ 	z␈ε	c␈↓ 
∪␈εβ=␈α
2.␈α⊃Th␈α␈is
␈β∧J␈↓ ↓r␈εr␈↓ ↓}␈ε~␈␈εε1␈↓ β␈εr␈↓ β_␈ε~␈␈↓ β1␈εk␈↓ ∧q␈εr␈↓ ∧}␈ε~␈␈εε1␈↓ εO␈εr␈↓ ε[␈ε~␈␈εε1␈↓ λ_␈εr␈↓ λ$␈ε~␈␈↓ λ=␈εk
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ds␈α
rea␈α␈dily␈α
to␈α	an␈α	i␈α↓m␈α␈possib␈α␈l␈α↓e␈α	si␈α↓tu␈α␈ation␈α	by␈α	a␈α
c␈α␈onsid␈α␈eration␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
six␈α
ty␈α␈pes␈α
in␈α	the␈α
p␈α␈roo␈α␈f
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αT␈α↓h␈α␈eo␈α␈rem␈αB.
␈β¬6␈↓ α␈εβ(b)␈α	If␈↓ α]␈ε	∃␈↓ αp␈εβ(␈↓ α{␈ε	a␈↓ β=␈εβ)␈α
<␈↓ β|␈ε	m␈↓ ∧≡␈ε↔␈␈εβ␈α∧1,␈α
w␈α␈e␈αλhav␈α}e␈↓ ¬b␈ε	c␈↓ ¬x␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈,␈α
so␈↓ εl␈ε	↔␈↓ ε|␈εβ(␈↓ ππ␈ε	a␈↓ πI␈εβ)␈α∧+␈↓ π}␈ε	↔␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ→␈ε	a␈↓ λZ␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	7␈α	b␈α␈y␈α	(2␈α␈2);␈α
th␈α␈erefore
␈β¬A␈↓ β␈εr␈↓ β↔␈ε~␈␈↓ β0␈εk␈↓ π⊗␈εr␈↓ π#␈ε~␈␈↓ π<␈εk␈↓ λ(␈εr␈↓ λ5␈ε~␈␈εε1
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈↓ α↔␈ε	↔␈↓ α'␈εβ(␈↓ α2␈ε	a␈↓ αt␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ βN␈ε	↔␈↓ β↑␈εβ(␈↓ βi␈ε	a␈↓ ∧+␈εβ)␈α
a␈α␈re␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α3.␈α⊃All␈α
small␈α
step␈α␈s␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
be␈ε↔␈α∀␈↓ λi␈ε	r␈↓ 	␈ε↔␈␈↓ 	*␈ε	k␈↓ 	:␈εβ,␈α∞a␈α␈nd␈↓ 
∪␈ε	∃␈↓ 
'␈εβ(␈↓ 
2␈ε	a␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈β¬h␈↓ αA␈εr␈↓ αN␈ε~␈␈↓ αg␈εk␈↓ βy␈εr␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε1␈↓ 
A␈εr␈↓ 
M␈ε~␈␈↓ 
g␈εk
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓o␈ε↔␈␈↓ α~␈ε	k␈↓ α4␈εβ+␈α
1␈α␈.␈α⊗If␈↓ β3␈ε	k␈↓ βR␈ε↔∃␈εβ␈α⊂4␈α␈,␈α⊂w␈α␈e␈α∞m␈α␈ust␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ελ␈ε	c␈↓ ε$␈εβ=␈α⊂4␈α␈,␈↓ ε}␈ε	k␈↓ π≥␈εβ=␈α⊂4␈α␈,␈↓ πw␈ε	↔␈↓ λπ␈εβ(␈↓ λ∩␈ε	a␈↓ λS␈εβ)␈α∂=␈↓ 	≡␈ε	↔␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	a␈↓ 	z␈εβ)␈α∂=␈α∂4;␈α⊂th␈α␈u␈α␈s
␈βε⊂␈↓ λ!␈εr␈↓ λ-␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	H␈εr␈↓ 	T␈ε~␈␈εε4
␈βε)␈↓ αS␈εm␈↓ β-␈εm␈↓ βD␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧,␈εm␈↓ ∧D␈ε~␈␈εε2␈↓ πM␈εm␈↓ λ'␈εm␈↓ λ>␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	'␈εm␈↓ 	>␈ε~␈␈εε2␈↓ 
'␈εm␈↓ 
>␈ε~␈␈εε3
␈βε-␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α∃␈ε↔∃␈↓ αB␈εβ2␈↓ αr␈εβ+␈↓ β≤␈εβ2␈↓ βr␈εβ+␈↓ ∧≤␈εβ2␈↓ ∧j␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈↓ ¬B␈ε	a␈↓ ε⊂␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α
eq␈α␈ual␈↓ π<␈εβ2␈↓ πm␈εβ+␈↓ λ⊗␈εβ2␈↓ λm␈εβ+␈↓ 	⊗␈εβ2␈↓ 	l␈εβ+␈↓ 
⊗␈εβ2␈↓ 
d␈εβ;␈α
bu␈α␈t
␈βε8␈↓ ↓W␈εr␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬R␈εr␈↓ ¬↑␈ε~␈␈εε1
␈βεP␈↓ 

␈εm␈↓ 
f␈εm␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βεQ␈↓ αD␈εε1
␈βεU␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α∀␈ε↔∃␈↓ αU␈ε	a␈↓ β"␈εβno␈α␈w␈αimp␈α␈l␈α↓ies␈αth␈α␈at␈↓ ¬$␈ε	a␈↓ ¬q␈εβ=␈α8␈↓ ε.␈ε	a␈↓ εo␈εβ.␈α∂Th␈α␈u␈α␈s␈↓ π\␈ε	k␈↓ πx␈εβ=␈α3␈αan␈α␈d␈↓ 	β␈ε	a␈↓ 	P␈εβ>␈↓ 	|␈εβ2␈↓ 
,␈εβ+␈↓ 
U␈εβ2␈↓ #␈εβ.
␈βε←␈↓ ↓W␈εr␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε␈α↓4␈↓ αd␈εr␈↓ αp␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬4␈εr␈↓ ¬@␈ε~␈␈εε1␈↓ ε=␈εr␈↓ εJ␈ε~␈␈εε4␈↓ 	∩␈εr␈↓ 	∨␈ε~␈␈εε1
␈βεc␈↓ αD␈∧εcαDα
␈βεe␈↓ αD␈εε8
␈βεx␈↓ β'␈εm␈↓ ∧≠␈εr␈↓ ∧'␈ε~␈␈εε␈α↓3␈↓ ¬∪␈εm␈↓ ¬+␈ε~␈␈εε1
␈βε|␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ince␈↓ α∨␈ε	a␈↓ αk␈εβ<␈↓ β⊗␈εβ2␈↓ βJ␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧W␈εβ<␈↓ ¬β␈εβ2␈↓ ¬P␈εβ,␈αstep␈↓ ε,␈ε	r␈↓ εB␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αm␈α}ust␈αbe␈αa␈αd␈α␈ou␈α␈bling␈α␈;␈αbu␈α␈t␈αstep␈↓ 
;␈ε	r␈↓ 
Q␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈αis
␈βππ␈↓ α/␈εr␈↓ α;␈ε~␈␈εε2
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβa␈αno␈α␈nd␈α␈oub␈α␈li␈α↓n␈α␈g,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ∧β␈ε	a␈↓ ∧P␈ε↔≤␈εβ␈α
4␈↓ ¬∂␈ε	a␈↓ ¬P␈εβ.␈α⊃Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α∞sin␈α␈ce␈↓ λ
␈ε	↔␈↓ λ≥␈εβ(␈↓ λ(␈ε	a␈↓ λi␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α3,␈↓ 	U␈ε	r␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ␈α	3␈αis␈α
a␈α
sta␈α␈r
␈βπ.␈↓ ∧∩␈εr␈↓ ∧≡␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬≡␈εr␈↓ ¬*␈ε~␈␈εε␈α↓3␈↓ λ7␈εr␈↓ λC␈ε~␈␈εε␈α↓3
␈βπG␈↓ λ1␈εm␈↓ λH␈ε~␈␈εε2
␈βπK␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p;␈α∞a␈α␈nd␈↓ α\␈ε	a␈↓ β)␈εβ=␈↓ βW␈ε	a␈↓ ∧!␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	a␈↓ ¬→␈εβw␈α␈ou␈α␈ld␈α
imp␈α␈ly␈α
t␈α␈hat␈↓ π%␈ε	a␈↓ πs␈εβ=␈↓ λ ␈εβ2␈↓ λn␈εβ,␈α
he␈α␈nce␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βπV␈↓ αl␈εr␈↓ αx␈ε~␈␈εε2␈↓ βf␈εr␈↓ βr␈ε~␈␈εε␈α↓3␈↓ ∧Z␈εr␈↓ ∧f␈ε~␈␈εε5␈↓ π5␈εr␈↓ πA␈ε~␈␈εε5
␈βπs␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α⊗␈εβ=␈↓ αC␈ε	a␈↓ β∞␈εβ+␈↓ β8␈ε	a␈↓ βy␈εβ.␈α⊃As␈α
i␈α↓n␈αa␈α
similar␈α
ca␈α␈se␈α
treate␈α␈d␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
tex␈α␈t,␈α∞th␈α␈e␈α
on␈α␈l␈α↓y␈αpo␈α␈ssibili␈α↓ty␈αis
␈βπ}␈↓ ↓W␈εr␈↓ ↓c␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ αS␈εr␈↓ α←␈ε~␈␈εε3␈↓ βG␈εr␈↓ βS␈ε~␈␈εε␈α↓4
␈βλ⊗␈↓ ∧>␈εm␈↓ ∧V␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬?␈εm␈↓ ¬V␈ε~␈␈εε3␈↓ π∨␈εm␈↓ π6␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ λ ␈εm␈↓ λ7␈ε~␈␈εε3␈↓ 	 ␈εd␈↓ 	/␈εε+1␈↓ 
_␈εd
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈α␈w␈α
see␈α␈n␈α
to␈α
b␈α␈e␈↓ β2␈ε	a␈↓ ∧␈εβ=␈↓ ∧.␈εβ2␈↓ ¬∧␈εβ+␈↓ ¬.␈εβ2␈↓ ¬|␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	a␈↓ εa␈εβ=␈↓ π∞␈εβ2␈↓ πe␈εβ+␈↓ λ∂␈εβ2␈↓ λe␈εβ+␈↓ 	∂␈εβ2␈↓ 	]␈εβ+␈↓ 
π␈εβ2␈↓ 
&␈εβ,␈↓ 
=␈ε	a␈↓ ␈εβ=
␈βλ%␈↓ βB␈εr␈↓ βN␈ε~␈␈εε4␈↓ ε"␈εr␈↓ ε.␈ε~␈␈εε␈α↓3␈↓ 
M␈εr␈↓ 
Y␈ε~␈␈εε1
␈βλ>␈↓ ↓X␈εm␈↓ α0␈εm␈↓ αH␈ε~␈␈εε1␈↓ β.␈εd␈↓ β=␈εε+2␈↓ ∧#␈εd␈↓ ∧2␈εε+1
␈βλB␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α ␈εβ2␈↓ αu␈εβ+␈↓ β≡␈εβ2␈↓ βj␈εβ+␈↓ ∧∪␈εβ2␈↓ ∧X␈εβ,␈αan␈α␈d␈αev␈α}en␈αth␈α␈is␈αpossib␈α␈i␈α↓lity␈αis␈αimp␈α␈ossible.
␈βλp␈↓ α∃␈εB␈↓ εH␈εk␈↓ εv␈εB␈↓ 
,␈εk␈↓ 
9␈εε+1
␈βλt␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈ε	l␈↓ α'␈εβ(␈↓ α2␈ε	n␈↓ αF␈εβ)␈α∞=␈↓ β∂␈ε	∃␈↓ β"␈εβ(␈↓ β-␈ε	n␈↓ βA␈εβ)␈α
+␈↓ ∧␈ε	↔␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε	n␈↓ ∧/␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α	1;␈α⊂so␈α
i␈α↓f␈↓ ¬f␈ε	n␈↓ ελ␈εβ=␈↓ ε7␈εβ2␈↓ εU␈εβ,␈↓ εm␈ε	l␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	n␈↓ π'␈εβ)/␈↓ πC␈ε	∃␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	n␈↓ πu␈εβ)␈α∂=␈α∞1,␈α∂b␈α␈ut␈α∞if␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	k␈εβ=␈↓ 
≠␈εβ2␈↓ 
h␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈,
␈β	↔␈↓ ↓Q␈εB
␈β	≠␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓b␈εβ(␈↓ ↓m␈ε	n␈↓ αα␈εβ)/␈↓ α≥␈ε	∃␈↓ α1␈εβ(␈↓ α<␈ε	n␈↓ αP␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈.
␈β	M␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	i␈↓ αl␈εβ<␈↓ β_␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βJ␈εβ<␈↓ βw␈ε	i␈↓ ∧
␈εβ.␈α∂Delete␈αa␈α␈n␈α␈y␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈als␈↓ εU␈ε	I␈↓ εx␈εβtha␈α␈t␈αcan␈αb␈α␈e␈αremo␈α}v␈α␈ed␈αwi␈α↓th␈α␈ou␈α␈t␈αa{ecting
␈β	X␈↓ αT␈εε1␈↓ ∧␈εt␈↓ ε←␈εk
␈β	u␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αu␈α␈nion␈↓ α]␈ε	I␈↓ αz␈ε↔[␈↓ β→␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βG␈ε↔[␈↓ βf␈ε	I␈↓ βz␈εβ.␈α→(Th␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈rva␈α␈l␈α(␈↓ ¬q␈ε	j␈↓ ε
␈εβ,␈↓ ε→␈ε	i␈↓ ε5␈εβ]␈αmay␈α
b␈α␈e␈αd␈α␈ropp␈α␈ed␈α
ou␈α␈t␈αif␈αeithe␈α␈r␈↓ 	x␈ε	j␈↓ 
@␈ε↔∀␈↓ 
k␈ε	j␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈β	␈␈↓ αg␈εε1␈↓ βp␈εt␈↓ ¬⎇␈εk␈↓ ε"␈εk␈↓ 
∧␈εk␈↓ 
⊃␈εε+1␈↓ 
w␈εk
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓j␈εβ<␈↓ α∀␈ε	j␈↓ α6␈εβ<␈↓ α`␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β⊃␈εβan␈α␈d␈↓ βQ␈ε	j␈↓ ∧→␈ε↔∀␈↓ ∧D␈ε	i␈↓ ¬␈εβ.␈α↓)␈α⊗No␈α␈w␈α	com␈α␈b␈α␈ine␈α
o␈α}v␈α␈erlap␈α␈pin␈α␈g␈α
in␈α␈te␈α␈rvals␈α
(␈↓ 	<␈ε	j␈↓ 	T␈εβ,␈↓ 	c␈ε	i␈↓ 	z␈εβ],␈↓ 
⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
C␈εβ,␈α
(␈↓ 
a␈ε	j␈↓ 
|␈εβ,␈↓ ␈ε	i␈↓ #␈εβ]
␈β
'␈↓ ↓T␈εε1␈↓ α ␈εε2␈↓ β]␈εk␈↓ βj␈εε+1␈↓ ∧M␈εk␈↓ ∧[␈ε~␈␈εε1␈↓ 	H␈εε1␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
m␈εd␈↓ ∃␈εd
␈β
@␈↓ βN␈ε~0␈↓ βp␈ε~0
␈β
D␈↓ ↓H␈εβin␈α}to␈αan␈α
i␈α↓n␈α}terv␈α␈al␈α(␈↓ β@␈ε	j␈↓ βU␈εβ,␈↓ βd␈ε	i␈↓ βw␈εβ]␈α	=␈α
(␈↓ ∧?␈ε	j␈↓ ∧W␈εβ,␈↓ ∧f␈ε	i␈↓ ∧␈␈εβ]␈αan␈α␈d␈αn␈α␈ote␈αth␈α␈at
␈β
O␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ∧p␈εd
␈β∧␈↓ λ↑␈ε≠0␈↓ 	λ␈ε≠0
␈βλ␈↓ ¬0␈εi␈↓ ¬D␈ε~␈␈↓ ¬]␈εj␈↓ ¬s␈εε+␈↓ ε␈ε~↓↓↓␈↓ ε!␈εε+␈↓ ε:␈εi␈↓ εQ␈ε~␈␈↓ εj␈εj␈↓ λ>␈εε2(␈↓ λS␈εi␈↓ λc␈ε~␈␈↓ λ|␈εj␈↓ 	∞␈εε)
␈β∞␈↓ βT␈ε	a␈↓ β⎇␈εβ<␈↓ ∧(␈ε	a␈↓ ∧I␈εβ(1␈απ+␈↓ ¬∃␈ε	∞␈↓ ¬%␈εβ)␈↓ π␈ε↔∀␈↓ π6␈ε	a␈↓ πW␈εβ(1␈απ+␈↓ λ#␈ε	∞␈↓ λ3␈εβ)␈↓ 	⊗␈εβ,
␈β⊂␈↓ ¬9␈επ1␈↓ ¬h␈επ1␈↓ εC␈ε
d␈↓ εt␈ε
d
␈β⊗␈↓ βo␈ε≠0␈↓ ∧D␈ε≠0␈↓ πR␈ε≠0
␈β→␈↓ βd␈εi␈↓ ∧7␈εj␈↓ πE␈εj
␈βS␈↓ β|␈ε~0␈↓ ∧≡␈ε~0
␈βW␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αof␈α(␈↓ βm␈ε	j␈↓ ∧α␈εβ,␈↓ ∧⊃␈ε	i␈↓ ∧$␈εβ]␈αi␈α↓s␈αc␈α␈o␈α␈v␈α␈ere␈α␈d␈αat␈αm␈α␈ost␈αt␈α␈wice␈αin␈α(␈↓ πT␈ε	j␈↓ πk␈εβ,␈↓ πy␈ε	i␈↓ λ⊂␈εβ]␈ε↔␈αλ[␈↓ λ@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λn␈ε↔[␈εβ␈αλ(␈↓ 	→␈ε	j␈↓ 	4␈εβ,␈↓ 	B␈ε	i␈↓ 	[␈εβ].
␈βb␈↓ π`␈εi␈↓ λβ␈εε1␈↓ 	%␈εd␈↓ 	L␈εd
␈βε␈↓ ¬N␈εα(␈↓ εN␈εα)
␈β	␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβCall␈↓ αU␈ε	f␈↓ αe␈εβ(␈↓ αp␈ε	m␈↓ β∞␈εβ)␈αa␈α\n␈α␈ice"␈αfun␈α␈ction␈αif␈↓ ¬Z␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε␈ε	f␈↓ ε~␈εβ(␈↓ ε%␈ε	m␈↓ εC␈εβ)␈↓ εZ␈εβ/␈↓ εj␈ε	m␈↓ π∪␈ε↔!␈εβ␈α0␈αa␈α␈s␈↓ λπ␈ε	m␈↓ λ/␈ε↔!␈α1␈εβ.␈α∂A␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α
in␈↓ ∂␈ε	m
␈β1␈↓ ↓H␈εβis␈αnice␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αprod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈αnice␈αfu␈α␈nction␈α␈s␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ice.␈αIf␈↓ π∧␈ε	g␈↓ π∀␈εβ(␈↓ π∨␈ε	m␈↓ π<␈εβ)␈ε↔␈α	!␈εβ␈α
0␈αan␈α␈d␈↓ λX␈ε	c␈↓ λp␈εβis␈αa␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αcon␈α␈stan␈α}t,
␈β7␈↓ ∧≤␈ε↓␈␈↓ ∧w␈ε↓↓
␈βQ␈↓ ∧>␈εε2␈↓ ∧K␈εm
␈βT␈↓ α≡␈εm␈↓ α5␈εg␈↓ αB␈εε(␈↓ αJ␈εm␈↓ αa␈εε)
␈βX␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α⊃␈ε	c␈↓ αr␈εβis␈α	n␈α␈ice;␈α
a␈α␈lso␈↓ ¬
␈εβis␈αλnice,␈α	for␈αλb␈α␈y␈αλStirling␈α␈'␈α↓s␈αλap␈α␈pro␈α}xima␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλthis␈αλis␈α	e␈α␈qu␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t
␈βh␈↓ ∧*␈εm␈↓ ∧B␈εg␈↓ ∧N␈εε(␈↓ ∧W␈εm␈↓ ∧n␈εε)
␈β
α␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ¬∧␈εα)
␈β
¬␈↓ ↓H␈εβto␈α
say␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈at␈↓ β ␈ε	g␈↓ β0␈εβ(␈↓ β;␈ε	m␈↓ βX␈εβ)␈↓ βi␈εβlog␈↓ ∧∨␈εβ1/␈↓ ∧A␈ε	g␈↓ ∧P␈εβ(␈↓ ∧[␈ε	m␈↓ ∧y␈εβ)␈↓ ¬→␈ε↔!␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β
-␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈αeach␈α
term␈αof␈αthe␈αsum␈α␈mation␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αterm␈αtha␈α␈t␈αis␈αatta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈β
3␈↓ λj␈ε↓␈␈↓ 	4␈ε↓↓␈↓ 	Y␈ε↓␈␈↓ 
_␈ε↓↓
␈β
M␈↓ λx␈εm␈↓ 	∂␈εε+␈↓ 	)␈εs␈↓ 	g␈εt␈↓ 	q␈εε+␈↓ 

␈εv
␈β
Q␈↓ 
r␈εt␈↓ 
|␈εε+␈↓ ∃␈εv
␈β
U␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∞a␈α␈n␈α␈y␈↓ α@␈ε	s␈↓ αM␈εβ,␈↓ αe␈ε	t␈↓ αp␈εβ,␈↓ βλ␈ε	v␈↓ β→␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α∞to␈α␈tal␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈α∞term␈α␈s␈α∞is␈α
nice␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
s␈α␈o␈α
are␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 
3␈ε↔∀␈↓ 
a␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈β
e␈↓ λ⎇␈εt␈↓ 	π␈εε+␈↓ 	 ␈εv␈↓ 	x␈εv
␈β
f␈↓ εH␈ε↓␈␈↓ π.␈ε↓↓
␈β
|␈↓ π#␈επ2
␈β∞␈↓ εV␈εε(␈↓ ε↑␈εm␈↓ εv␈εε+␈↓ π∂␈εs␈↓ π~␈εε)
␈β∞∧␈↓ α∨␈εε2␈↓ α,␈εv␈↓ λ;␈εε2␈↓ λH␈εt␈↓ 	l␈εε2␈↓ 
 ␈εt␈↓ 
7␈εt
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	␈␈↓ α:␈εβ,␈α∞be␈α␈cau␈α␈se␈α∞(␈↓ βY␈ε	t␈↓ βm␈εβ+␈↓ ∧_␈ε	v␈↓ ∧)␈εβ)/␈↓ ∧E␈ε	m␈↓ ∧o␈ε↔!␈εβ␈α
0.␈α∩Fi␈α↓n␈α␈ally,␈↓ πI␈ε↔∀␈εβ␈α
(2␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λ0␈εβ)␈↓ λQ␈εβ/␈↓ λb␈ε	t␈↓ λn␈εβ!␈α
<␈α∞(4␈↓ 	N␈ε	m␈↓ 	x␈εβ/␈↓ 
	␈ε	t␈↓ 
∃␈εβ)␈↓ 
*␈ε	e␈↓ 
@␈εβ,␈α∞where
␈β∞_␈↓ ε⎇␈εt
␈β∞,␈↓ ↓{␈εt␈↓ π∂␈εε1
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβ(4␈↓ ↓c␈ε	e␈↓ ↓p␈εβ)␈↓ α∂␈εβis␈α
n␈α␈i␈α↓c␈α␈e;␈αse␈α␈tting␈↓ βg␈ε	t␈↓ β⎇␈εβto␈α	i␈α↓ts␈α	max␈α␈im␈α␈um␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
(1␈ε↔␈α¬␈␈↓ π ␈ε	∂␈↓ π-␈εβ)␈↓ π8␈ε	m␈↓ πU␈εβ/␈↓ πf␈ε	∃␈↓ πy␈εβ(␈↓ λ∧␈ε	m␈↓ λ"␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
th␈α␈e␈α
u␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd
␈β∞>␈↓ π∂␈∧∞>π∂α
␈β∞@␈↓ π∂␈εε2
␈β∞S␈↓ ↓p␈εε2␈↓ α$␈εt␈↓ ∧i␈εt␈↓ ¬9␈εm␈↓ ¬Q␈εε(1␈ε~␈␈↓ ¬␈␈ε∂␈↓ ε
␈εε/␈α␈2)
␈β∞T␈↓ αd␈εα(␈↓ ∧5␈εε1␈↓ ∧]␈εα)
␈β∞W␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	m␈↓ ↓⎇␈εβ/␈↓ α
␈ε	t␈↓ α→␈εβ)␈↓ α8␈εβ=␈↓ αp␈ε	m␈↓ β
␈ε	∃␈↓ β ␈εβ(␈↓ β+␈ε	m␈↓ βI␈εβ)/␈α␈(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧E␈ε	∂␈↓ ∧R␈εβ)␈↓ ∧⎇␈εβ=␈↓ ¬)␈εβ2␈↓ ε3␈ε↔↓␈↓ εD␈ε	f␈↓ εT␈εβ(␈↓ ε←␈ε	m␈↓ ε|␈εβ),␈αw␈α↓h␈α␈ere␈↓ π⎇␈ε	f␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε	m␈↓ λ5␈εβ)␈αis␈αnice␈α␈.␈α∞He␈α␈nce␈αthe␈αen␈α}ti␈α↓re
␈β∞e␈↓ ∧5␈∧∞e∧5α
␈β∞g␈↓ ∧5␈εε2
␈β∞{␈↓ βL␈εm␈↓ ε≤␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εA␈ε⊃␈↓ πr␈εε1
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈m␈αis␈αless␈αtha␈α␈n␈↓ β:␈ε	␈↓ βo␈εβfo␈α␈r␈αl␈α↓a␈α␈rge␈↓ ∧t␈ε	m␈↓ ¬⊃␈εβ,␈αi␈α↓f␈↓ ¬E␈ε	␈↓ ¬`␈εβ=␈↓ ε␈εβ2␈↓ εP␈εβ,␈α0␈α	<␈↓ π(␈ε	⊃␈↓ πC␈εβ<␈↓ λα␈ε	∂␈↓ λ∂␈εβ.
␈β∂
␈↓ πr␈∧∂
πrα
␈β∂∂␈↓ πr␈εε2
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ α>␈ε	M␈↓ αh␈ε↔\␈↓ βπ␈ε	N␈↓ β&␈εβ,␈↓ β;␈ε	M␈↓ βe␈ε↔[␈↓ ∧∧␈ε	N␈↓ ∧#␈εβ,␈↓ ∧7␈ε	M␈↓ ∧a␈ε↔]␈↓ ¬↓␈ε	N␈↓ ¬ ␈εβ,␈αresp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈;␈αsee␈αEqs.␈α4.5.2↑␈α␈6,␈α4.5.2↑␈α␈7.
␈β∂U␈↓ βp␈εα(␈↓ ∧r␈εα)␈↓ ¬H␈εα(␈↓ εK␈εα)
␈β∂X␈↓ α␈εβ(b)␈↓ α<␈ε	f␈↓ αL␈εβ(␈↓ αW␈ε	z␈↓ αe␈εβ)␈↓ αp␈ε	g␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β␈ε	z␈↓ β_␈εβ),␈↓ β<␈εβlcm␈↓ β|␈ε	f␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε	z␈↓ ∧$␈εβ)␈α↓,␈↓ ∧>␈ε	g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ∧g␈εβ)␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬⊗␈εβgcd␈↓ ¬T␈ε	f␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬o␈ε	z␈↓ ¬⎇␈εβ),␈↓ ε↔␈ε	g␈↓ ε'␈εβ(␈↓ ε2␈ε	z␈↓ ε@␈εβ)␈↓ εW␈εβ.␈α∂(For␈απthe␈απsa␈α␈me␈απreaso␈α␈ns␈απas␈απ(a),␈αλb␈α␈ecau␈α␈se␈απthe
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈onic␈α	i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α
p␈α␈olyn␈α␈omials␈α
o␈α}v␈α␈er␈α	the␈α
c␈α␈omp␈α␈lex␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
a␈α␈re␈α
p␈α␈recisely␈α	the␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε	z␈↓ ↓]␈ε↔␈␈↓ αε␈ε	⊂␈↓ α∪␈εβ.␈α↓)
␈β⊂O␈↓ α␈εβ(c)␈α
Co␈α␈mm␈α␈u␈α␈tativ␈α␈e␈α	l␈α↓a␈α␈ws␈↓ ∧U␈ε	A␈↓ ∧q␈ε↔]␈↓ ¬∂␈ε	B␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε	B␈↓ ¬u␈ε↔]␈↓ ε∪␈ε	A␈↓ ε)␈εβ,␈↓ ε<␈ε	A␈↓ εX␈ε↔[␈↓ εv␈ε	B␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π@␈ε	B␈↓ π\␈ε↔[␈↓ πz␈ε	A␈↓ λ⊂␈εβ,␈↓ λ#␈ε	A␈↓ λ?␈ε↔\␈↓ λ]␈ε	B␈↓ λ|␈εβ=␈↓ 	'␈ε	B␈↓ 	C␈ε↔\␈↓ 	`␈ε	A␈↓ 	w␈εβ.␈αAsso␈α␈ciativ␈α␈e
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβlaws␈↓ α⊂␈ε	A␈↓ α,␈ε↔]␈εβ␈α¬(␈↓ αT␈ε	B␈↓ αp␈ε↔]␈↓ β
␈ε	C␈↓ β(␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ βr␈ε	A␈↓ ∧
␈ε↔]␈↓ ∧+␈ε	B␈↓ ∧A␈εβ)␈ε↔␈α¬]␈↓ ∧o␈ε	C␈↓ ¬
␈εβ,␈↓ ¬≥␈ε	A␈↓ ¬8␈ε↔[␈εβ␈αε(␈↓ ¬a␈ε	B␈↓ ¬|␈ε↔[␈↓ ε~␈ε	C␈↓ ε5␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ ε␈␈ε	A␈↓ π~␈ε↔[␈↓ π8␈ε	B␈↓ πN␈εβ)␈ε↔␈α¬[␈↓ π|␈ε	C␈↓ λ⊗␈εβ,␈↓ λ*␈ε	A␈↓ λE␈ε↔\␈εβ␈α¬(␈↓ λn␈ε	B␈↓ 		␈ε↔\␈↓ 	&␈ε	C␈↓ 	A␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ 
␈ε	A␈↓ 
'␈ε↔\␈↓ 
D␈ε	B␈↓ 
[␈εβ)␈ε↔␈α¬\␈↓ λ␈ε	C␈↓ #␈εβ.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβDistrib␈α␈utiv␈α␈e␈αlaws␈↓ βL␈ε	A␈↓ βj␈ε↔[␈εβ␈αλ(␈↓ ∧∃␈ε	B␈↓ ∧3␈ε↔\␈↓ ∧R␈ε	C␈↓ ∧m␈εβ)␈α
=␈α
(␈↓ ¬9␈ε	A␈↓ ¬V␈ε↔[␈↓ ¬v␈ε	B␈↓ ε␈εβ)␈ε↔␈αλ\␈εβ␈αλ(␈↓ εJ␈ε	A␈↓ εh␈ε↔[␈↓ ππ␈ε	C␈↓ π"␈εβ),␈↓ πB␈ε	A␈↓ π`␈ε↔\␈εβ␈αλ(␈↓ λ␈ε	B␈↓ λ)␈ε↔[␈↓ λH␈ε	C␈↓ λc␈εβ)␈α
=␈α
(␈↓ 	.␈ε	A␈↓ 	L␈ε↔\␈↓ 	l␈ε	B␈↓ 
α␈εβ)␈ε↔␈αλ[␈εβ␈αλ(␈↓ 
@␈ε	A␈↓ 
↑␈ε↔\␈↓ 
⎇␈ε	C␈↓ _␈εβ),
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα710␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓h␈ε↔]␈εβ␈α
(␈↓ α∃␈ε	B␈↓ α5␈ε↔[␈↓ αW␈ε	C␈↓ αr␈εβ)␈α∂=␈α⊂(␈↓ βH␈ε	A␈↓ βi␈ε↔]␈↓ ∧
␈ε	B␈↓ ∧!␈εβ)␈ε↔␈α
[␈εβ␈α
(␈↓ ∧c␈ε	A␈↓ ¬β␈ε↔]␈↓ ¬%␈ε	C␈↓ ¬@␈εβ),␈↓ ¬d␈ε	A␈↓ ε∧␈ε↔]␈εβ␈α
(␈↓ ε1␈ε	B␈↓ εQ␈ε↔\␈↓ εs␈ε	C␈↓ π∞␈εβ)␈α⊂=␈α⊂(␈↓ πe␈ε	A␈↓ λ¬␈ε↔]␈↓ λ'␈ε	B␈↓ λ=␈εβ)␈ε↔␈α
\␈εβ␈α
(␈↓ λ␈␈ε	A␈↓ 	∨␈ε↔]␈↓ 	A␈ε	C␈↓ 	\␈εβ).␈α↔Id␈α␈empo␈α␈ten␈α}t
␈βαR␈↓ ↓H␈εβlaws␈↓ α∀␈ε	A␈↓ α3␈ε↔[␈↓ αT␈ε	A␈↓ αw␈εβ=␈↓ β%␈ε	A␈↓ β<␈εβ,␈↓ βS␈ε	A␈↓ βr␈ε↔\␈↓ ∧∪␈ε	A␈↓ ∧6␈εβ=␈↓ ∧d␈ε	A␈↓ ∧z␈εβ.␈α∩A␈α↓b␈α␈sorp␈α␈tion␈α
laws␈↓ π⊂␈ε	A␈↓ π/␈ε↔[␈εβ␈α	(␈↓ π[␈ε	A␈↓ πz␈ε↔\␈↓ λ≠␈ε	B␈↓ λ1␈εβ)␈α∞=␈↓ λx␈ε	A␈↓ 	∞␈εβ,␈↓ 	%␈ε	A␈↓ 	D␈ε↔\␈εβ␈α	(␈↓ 	p␈ε	A␈↓ 
∂␈ε↔[␈↓ 
0␈ε	B␈↓ 
G␈εβ)␈α
=␈↓ 
␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓e␈ε↔\␈εβ␈αλ(␈↓ α⊂␈ε	A␈↓ α-␈ε↔]␈↓ αM␈ε	B␈↓ αc␈εβ)␈α
=␈↓ β"␈ε	A␈↓ β8␈εβ,␈↓ βM␈ε	A␈↓ βj␈ε↔[␈εβ␈αλ(␈↓ ∧∃␈ε	A␈↓ ∧3␈ε↔]␈↓ ∧R␈ε	B␈↓ ∧h␈εβ)␈α
=␈↓ ¬'␈ε	A␈↓ ¬E␈ε↔]␈↓ ¬d␈ε	B␈↓ ¬{␈εβ.␈αIden␈α}tity␈αan␈α␈d␈αze␈α␈ro␈αlaws␈ε↔␈α4␈απ]␈↓ 	↔␈ε	A␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 	a␈ε	A␈↓ 	w␈εβ,␈ε↔␈α4␈απ[␈↓ 
C␈ε	A␈↓ 
b␈εβ=␈↓ 
␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε↔4␈απ\␈↓ α↓␈ε	A␈↓ α"␈εβ=␈ε↔␈α4␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈ε↔␈α4␈εβ␈αis␈α
t␈α␈he␈αemp␈α␈ty␈αm␈α␈u␈α␈ltiset.␈α∂Co␈α␈un␈α␈tin␈α␈g␈αlaw␈↓ λ_␈ε	A␈↓ λ7␈ε↔]␈↓ λW␈ε	B␈↓ λx␈εβ=␈α(␈↓ 	0␈ε	A␈↓ 	N␈ε↔[␈↓ 	n␈ε	B␈↓ 
¬␈εβ)␈ε↔␈αλ]␈εβ␈αλ(␈↓ 
C␈ε	A␈↓ 
b␈ε↔\␈↓ α␈ε	B␈↓ _␈εβ).
␈ββI␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α	p␈α␈rop␈α␈erties␈α	an␈α␈alogo␈α␈us␈α	to␈α	th␈α␈ose␈α	of␈α	sets␈α	co␈α␈me␈α	from␈α	th␈α␈e␈α
p␈α␈artial␈α	ord␈α␈ering␈α	d␈α␈e|␈α␈ned␈αλby
␈ββp␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αru␈α␈l␈α↓e␈↓ αD␈ε	A␈↓ αc␈ε↔∩␈↓ β∞␈ε	B␈↓ β/␈εβi{␈↓ βX␈ε	A␈↓ βu␈ε↔\␈↓ ∧∃␈ε	B␈↓ ∧4␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	A␈↓ ¬␈εβ(i{␈↓ ¬4␈ε	A␈↓ ¬Q␈ε↔[␈↓ ¬q␈ε	B␈↓ ε⊂␈εβ=␈↓ ε;␈ε	B␈↓ εQ␈εβ).
␈β∧_␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α
Othe␈α␈r␈α	c␈α␈omm␈α␈on␈αλap␈α␈plica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αλof␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tiset␈α␈s␈α	a␈α␈re␈αλzero␈α␈s␈α	a␈α␈nd␈αλp␈α␈oles␈αλof␈αλme␈α␈romo␈α␈rph␈α␈i␈α↓c
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈ns,␈αin␈α}va␈α␈ri␈α↓a␈α␈n␈α␈ts␈α
of␈α
ma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈α
i␈α↓n␈α	can␈α␈onica␈α␈l␈αfor␈α␈m,␈αin␈α␈v␈α␈arian␈α}ts␈α
of␈α
|n␈α␈i␈α↓te␈α
Ab␈α␈eli␈α↓a␈α␈n␈α
gro␈α␈up␈α␈s,
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβe␈α␈tc.;␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓se␈α␈ts␈αcan␈αb␈α␈e␈αu␈α␈seful␈αin␈αcom␈α␈b␈α␈inat␈α␈orial␈αco␈α␈un␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α␈s␈αan␈α␈d␈αin␈αthe␈αdev␈α}elop␈α␈-
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈en␈α␈t␈αof␈α
me␈α␈asur␈α␈e␈α
th␈α␈eory␈α␈.␈α⊂The␈αtermina␈α␈l␈α
strings␈αof␈α
a␈αn␈α␈onc␈α␈i␈α↓rc␈α␈ular␈αcon␈α}text-free␈αgra␈α␈mma␈α␈r
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈α∞a␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓se␈α␈t␈α∞tha␈α␈t␈α∂is␈α∞a␈α
set␈α∞if␈α∂a␈α␈nd␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
i␈α↓f␈α∞th␈α␈e␈α∞gra␈α␈mma␈α␈r␈α∞i␈α↓s␈α∞u␈α␈na␈α␈m␈α␈bigu␈α␈ou␈α␈s.␈α∀Al␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultisets␈α	ap␈α␈pea␈α␈r␈α	frequ␈α␈en␈α}tl␈α↓y␈αλin␈α	ma␈α␈them␈α␈atics,␈α
th␈α␈ey␈αλoften␈αλm␈α␈ust␈α	b␈α␈e␈α	trea␈α␈ted␈αλrath␈α␈er␈α	clum␈α␈si␈α↓ly
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβb␈α␈eca␈α␈use␈αλth␈α␈ere␈αλi␈α↓s␈αλcu␈α␈rren␈α}tl␈α↓y␈αλn␈α␈o␈αλstan␈α␈da␈α␈rd␈αλway␈αλto␈αλt␈α␈reat␈αλsets␈αλwi␈α↓t␈α␈h␈αλrepe␈α␈ated␈αλe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ts␈α␈.␈αS␈α␈ev␈α␈era␈α␈l
␈βε-␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ath␈α␈ematician␈α␈s␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂v␈α}oiced␈α∂th␈α␈eir␈α∂belief␈α∂tha␈α␈t␈α∂the␈α∂lac␈α␈k␈α∂of␈α∂ad␈α␈equ␈α␈ate␈α∂te␈α␈rminolo␈α␈gy␈α∂a␈α␈nd
␈βεU␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αfor␈αth␈α␈i␈α↓s␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αcon␈α␈cep␈α␈t␈αh␈α␈as␈αb␈α␈een␈αa␈αd␈α␈e|␈α␈nite␈αha␈α␈nd␈α␈i␈α↓c␈α␈ap␈αto␈αth␈α␈e␈αdev␈α}elop␈α␈men␈α}t␈αo␈α␈f
␈βε|␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ath␈α␈ematics.␈α≤(A␈αm␈α␈ultiset␈αi␈α↓s␈α␈,␈α
of␈α
co␈α␈urse␈α␈,␈α
forma␈α␈l␈α↓ly␈αeq␈α␈uiva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αto␈αa␈αmap␈α␈ping␈αfro␈α␈m␈α
a␈αse␈α␈t
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβin␈α}to␈α∞th␈α␈e␈α∞no␈α␈nn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈α∞in␈α␈t␈α␈egers,␈α∞bu␈α␈t␈α∞this␈α∞fo␈α␈rmal␈α∞eq␈α␈uiva␈α␈lence␈α
is␈α∞of␈α∞littl␈α↓e␈α
or␈α∞n␈α␈o␈α∞p␈α␈ract␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈βπK␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α	fo␈α␈r␈α
cr␈α␈eativ␈α␈e␈α	ma␈α␈them␈α␈atical␈α	reaso␈α␈nin␈α␈g.)␈α∃The␈α	a␈α␈uth␈α␈or␈α	ha␈α␈s␈α
d␈α␈iscusse␈α␈d␈α	this␈α	matte␈α␈r␈α
with
␈βπs␈↓ ↓H␈εβm␈α␈an␈α␈y␈αλpe␈α␈ople␈α	in␈αλan␈α	a␈α␈ttemp␈α␈t␈α	to␈α	|␈α␈nd␈αλa␈α	go␈α␈od␈αλremed␈α␈y.␈α
So␈α␈me␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	na␈α␈mes␈α	su␈α␈gg␈α␈ested␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α	the
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onc␈α␈ept␈αw␈α␈e␈α␈re␈αli␈α↓st,␈αb␈α␈un␈α␈ch,␈αba␈α␈g,␈αhea␈α␈p,␈αsam␈α␈ple,␈αw␈α␈ei␈α↓g␈α␈h␈α␈ted␈αset,␈αco␈α␈l␈α↓lectio␈α␈n;␈αbu␈α␈t␈αthese␈αw␈α␈ord␈α␈s
␈βλB␈↓ ↓H␈εβe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αλco␈α␈n⎇␈α␈i␈α↓c␈α␈t␈αλwi␈α↓th␈απpre␈α␈sen␈α␈t␈αλte␈α␈rminolo␈α␈gy,␈αλhav␈α}e␈αλan␈απimpro␈α␈per␈αλc␈α␈onn␈α␈ota␈α␈tion,␈α	o␈α␈r␈αλare␈αλt␈α␈oo␈αλm␈α␈u␈α␈ch
␈βλj␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αa␈α
mo␈α␈uth␈α␈ful␈αt␈α␈o␈αs␈α␈ay␈α
an␈α␈d␈α
to␈α
write␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}enien␈α}tly.␈αIt␈α
doe␈α␈s␈αn␈α␈ot␈α
seem␈α
ou␈α␈t␈αo␈α␈f␈αp␈α␈lace␈α
to␈α
coin␈α
a
␈β	⊃␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ew␈αw␈α␈ord␈α
for␈αsu␈α␈ch␈α
an␈α
i␈α↓m␈α␈port␈α␈an␈α␈t␈αc␈α␈onc␈α␈ept,␈αa␈α␈nd␈α
\m␈α␈u␈α␈l␈α↓tiset␈α␈"␈αha␈α␈s␈αbe␈α␈en␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈α
by␈α
N.␈αG.
␈β	9␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e␈α
Bru␈α␈i␈α↓jn␈α␈.␈αThe␈α
n␈α␈ota␈α␈tion␈α
\␈↓ ∧;␈ε	A␈↓ ∧W␈ε↔]␈↓ ∧u␈ε	B␈↓ ¬␈εβ"␈α
h␈α␈as␈α
b␈α␈een␈α	selected␈α	by␈α	the␈α	au␈α␈tho␈α␈r␈α
to␈α
a␈α␈v␈α␈oid␈α	con␈α␈⎇ict␈α
with
␈β	a␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xisting␈α	n␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	a␈α␈nd␈α	to␈αλstress␈α	th␈α␈e␈α	an␈α␈alogy␈αλwi␈α↓th␈αλset␈α	un␈α␈ion␈α␈.␈αIt␈α	w␈α␈ould␈αλnot␈α	b␈α␈e␈α	as␈α	d␈α␈esirab␈α␈l␈α↓e
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβto␈α
u␈α␈se␈α∞\␈↓ α@␈ε	A␈↓ α←␈εβ+␈↓ β	␈ε	B␈↓ β ␈εβ"␈α
for␈α
this␈α∞p␈α␈urp␈α␈ose␈α␈,␈α∂sinc␈α␈e␈α∞alge␈α␈bra␈α␈i␈α↓sts␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈α
tha␈α␈t␈↓ 	8␈ε	A␈↓ 	W␈εβ+␈↓ 
α␈ε	B␈↓ 
&␈εβis␈α∞a␈α
go␈α␈od
␈β
0␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
for␈↓ α␈␈ε↔f␈↓ β∃␈ε	␈↓ β.␈εβ+␈↓ βV␈ε	␈␈↓ βs␈ε↔j␈↓ ∧ε␈ε	␈↓ ∧!␈ε↔2␈↓ ∧E␈ε	A␈↓ ∧f␈εβan␈α␈d␈↓ ¬'␈ε	␈␈↓ ¬D␈ε↔2␈↓ ¬g␈ε	B␈↓ εβ␈ε↔g␈↓ ε∀␈εβ.␈αIf␈↓ εI␈ε	A␈↓ εi␈εβis␈αa␈α
m␈α}ultiset␈α
of␈αn␈α␈on␈α␈neg␈α␈ativ␈α␈e␈α
in␈α␈te␈α␈gers,␈α
l␈α↓e␈α␈t
␈β
9␈↓ α;␈ε↓P
␈β
S␈↓ β*␈εn
␈β
W␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓a␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	z␈↓ ↓z␈εβ)␈α
=␈↓ β≤␈ε	z␈↓ βF␈εβb␈α␈e␈αa␈αgen␈α␈eratin␈α␈g␈αfu␈α␈nction␈αco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈ing␈αto␈↓ λ6␈ε	A␈↓ λL␈εβ.␈α~(␈α↓G␈α␈ener␈α␈ating␈αfun␈α␈ction␈α␈s
␈β
j␈↓ αa␈εn␈↓ αq␈ε~2␈↓ β¬␈εA
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβwith␈α	no␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
in␈α}teger␈α	coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α	ob␈α␈viou␈α␈sl␈α↓y␈α	co␈α␈rresp␈α␈ond␈α	o␈α␈ne-to␈α␈-one␈α	with␈α
m␈α}ultisets␈α
o␈α␈f
␈β'␈↓ ↓H␈εβn␈α␈on␈α␈neg␈α␈ativ␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.)␈α⊂If␈↓ ∧:␈ε	G␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	z␈↓ ∧l␈εβ)␈α
c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈α
t␈α␈o␈↓ εe␈ε	A␈↓ πλ␈εβa␈α␈nd␈↓ πJ␈ε	H␈↓ πe␈εβ(␈↓ πp␈ε	z␈↓ π}␈εβ)␈α
to␈↓ λ@␈ε	B␈↓ λV␈εβ,␈α∞t␈α␈hen␈↓ 	:␈ε	G␈↓ 	S␈εβ(␈↓ 	↑␈ε	z␈↓ 	l␈εβ)␈αλ+␈↓ 
)␈ε	H␈↓ 
D␈εβ(␈↓ 
O␈ε	z␈↓ 
]␈εβ)␈α
co␈α␈r-
␈βN␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈s␈α	to␈↓ αt␈ε	A␈↓ β∂␈ε↔]␈↓ β+␈ε	B␈↓ βJ␈εβan␈α␈d␈↓ ∧λ␈ε	G␈↓ ∧"␈εβ(␈↓ ∧-␈ε	z␈↓ ∧:␈εβ)␈↓ ∧F␈ε	H␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	z␈↓ ∧z␈εβ)␈αλcorres␈α␈pon␈α␈ds␈αλto␈↓ εg␈ε	A␈↓ π↓␈εβ+␈↓ π'␈ε	B␈↓ π=␈εβ.␈α
If␈α	w␈α␈e␈α	form␈αλ\Dirich␈α␈l␈α↓e␈α␈t"␈α	g␈α␈ene␈α␈rating
␈βX␈↓ βH␈ε↓P␈↓ ¬p␈ε↓P
␈βr␈↓ ∧←␈εz␈↓ ππ␈εz
␈βv␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈↓ αZ␈ε	g␈↓ αj␈εβ(␈↓ αu␈ε	z␈↓ ββ␈εβ)␈α=␈↓ ∧*␈εβ1␈α␈/␈↓ ∧K␈ε	n␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ¬↓␈ε	h␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	z␈↓ ¬+␈εβ)␈α=␈↓ εQ␈εβ1/␈↓ εs␈ε	n␈↓ π∩␈εβ,␈α∞th␈α␈e␈α
pro␈α␈du␈α␈ct␈↓ λb␈ε	g␈↓ λr␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε	z␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	⊗␈ε	h␈↓ 	&␈εβ(␈↓ 	1␈ε	z␈↓ 	?␈εβ)␈α
corresp␈α␈on␈α␈ds␈α
to
␈βλ␈↓ βn␈εn␈↓ β␈␈ε~2␈↓ ∧∩␈εA␈↓ ε⊗␈εn␈↓ ε'␈ε~2␈↓ ε:␈εB
␈β≥␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tiset␈αp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈↓ β}␈ε	A␈↓ ∧∀␈ε	B␈↓ ∧*␈εβ.
␈βN␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβTyp␈α␈e␈α3␈α␈:␈α(␈↓ β∩␈ε	S␈↓ β0␈εβ,␈↓ β?␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βk␈εβ,␈↓ βz␈ε	S␈↓ ∧↔␈εβ)␈α	=␈α	(␈↓ ∧a␈ε	M␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬`␈ε	M␈↓ ε⊗␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔f␈εβ0␈ε↔␈α␈g␈εβ,␈↓ π&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πR␈εβ,␈ε↔␈αf␈↓ πw␈ε	A␈↓ λ
␈ε↔g␈εβ,␈ε↔␈αf␈↓ λB␈ε	A␈↓ λ`␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ 	'␈ε	A␈↓ 	=␈ε↔g␈εβ,␈ε↔␈αf␈↓ 	s␈ε	A␈↓ 
⊂␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈↓ 
W␈ε	A␈↓ 
n␈εβ,␈↓ 
|␈ε	A␈↓ ∪␈ε↔g␈εβ␈α␈,
␈βY␈↓ β#␈εε0␈↓ ∧
␈εr␈↓ ∧⎇␈εε00␈↓ ¬⎇␈εr␈↓ ε	␈εε0
␈βv␈↓ ↓H␈ε↔f␈↓ ↓X␈ε	A␈↓ ↓r␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈,␈↓ α7␈ε	A␈↓ αQ␈ε↔␈␈εβ␈α∧1,␈↓ β⊗␈ε	A␈↓ β,␈εβ,␈↓ β;␈ε	A␈↓ βQ␈εβ,␈↓ β`␈ε	A␈↓ βv␈ε↔g␈εβ,␈↓ ∧→␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧E␈εβ,␈ε↔␈α
f␈↓ ∧h␈ε	A␈↓ ¬α␈εβ+␈↓ ¬(␈ε	C␈↓ ¬F␈ε↔␈␈εβ␈α¬3␈α␈,␈↓ ε␈ε	A␈↓ ε%␈εβ+␈↓ εJ␈ε	C␈↓ εi␈ε↔␈␈εβ␈α∧3,␈↓ π.␈ε	A␈↓ πH␈εβ+␈↓ πm␈ε	C␈↓ λ␈ε↔␈␈εβ␈α∧2,␈↓ λQ␈ε	A␈↓ λk␈εβ+␈↓ 	⊂␈ε	C␈↓ 	/␈ε↔␈␈εβ␈α∧2,␈↓ 	s␈ε	A␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
3␈ε	C␈↓ 
R␈ε↔␈␈εβ␈α∧2␈ε↔␈α␈g␈εβ).
␈β
≡␈↓ ↓H␈εβTy␈α␈pe␈α⊂5␈α␈:␈α⊗(␈↓ α↑␈ε	M␈↓ β∀␈εβ,␈↓ β#␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βO␈εβ,␈↓ β↑␈ε	M␈↓ ∧∀␈εβ)␈α∩=␈α∩(␈ε↔f␈εβ␈α␈0␈ε↔g␈εβ,␈↓ ¬<␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬h␈εβ,␈ε↔␈α∩f␈↓ ε∪␈ε	A␈↓ ε*␈ε↔g␈εβ␈α␈,␈ε↔␈α∩f␈↓ εf␈ε	A␈↓ ππ␈ε↔␈␈εβ␈α1,␈↓ πR␈ε	A␈↓ πi␈ε↔g␈εβ␈α␈,␈↓ λ∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ@␈εβ,␈ε↔␈α∩f␈↓ λl␈ε	A␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	9␈ε	C␈↓ 	←␈ε↔␈␈εβ␈α1,␈↓ 
*␈ε	A␈↓ 
K␈εβ+␈↓ 
x␈ε	C␈↓ ∪␈ε↔g␈εβ␈α␈,
␈β
(␈↓ α{␈εε0␈α␈0␈↓ β{␈εr␈↓ ∧π␈εε0
␈β
E␈↓ ↓H␈ε↔f␈↓ ↓X␈ε	A␈↓ ↓t␈εβ+␈↓ α≤␈ε	C␈↓ α<␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ ββ␈ε	A␈↓ β∨␈εβ+␈↓ βG␈ε	C␈↓ βg␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ ∧.␈ε	A␈↓ ∧J␈εβ+␈↓ ∧q␈ε	C␈↓ ¬␈ε↔g␈εβ,␈↓ ¬0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬]␈εβ,␈ε↔␈α
f␈↓ ε↓␈ε	A␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εD␈ε	C␈↓ εe␈εβ+␈↓ π␈ε	D␈↓ π+␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ πr␈ε	A␈↓ λ∞␈εβ+␈↓ λ5␈ε	C␈↓ λV␈εβ+␈↓ λ⎇␈ε	D␈↓ 	≤␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ 	c␈ε	A␈↓ 	␈␈εβ+␈↓ 
&␈ε	C␈↓ 
G␈εβ+␈↓ 
n␈ε	D␈↓ π␈ε↔g␈εβ);
␈β
m␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	M␈↓ α	␈εβ,␈↓ α↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αD␈εβ,␈↓ αS␈ε	M␈↓ βλ␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔4␈εβ,␈↓ βu␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧!␈εβ,␈ε↔␈α↓4␈εβ␈α␈,␈↓ ∧N␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧z␈εβ,␈ε↔␈α	4␈εβ,␈ε↔␈α	f␈↓ ¬@␈ε	A␈↓ ¬Z␈εβ+␈↓ ε␈ε	C␈↓ ε∨␈ε↔␈␈εβ␈α∧2␈ε↔g␈εβ␈α␈,␈↓ εx␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π$␈εβ,␈ε↔␈α	f␈↓ πG␈ε	A␈↓ πa␈εβ+␈↓ λπ␈ε	C␈↓ λ&␈εβ+␈↓ λK␈ε	D␈↓ λh␈ε↔␈␈εβ␈α∧2␈ε↔g␈εβ),␈↓ 	L␈ε	S␈↓ 	q␈εβ=␈↓ 
≠␈ε	M␈↓ 
S␈ε↔]␈↓ 
o␈ε	M␈↓ #␈εβ.
␈β
w␈↓ ↓o␈εε01␈↓ αo␈εr␈↓ α{␈εε1␈↓ 	]␈εi␈↓ 
8␈εi␈↓ 
C␈εε0␈↓ ␈εi␈↓ ↔␈εε1
␈β∞~␈↓ ∧j␈εε8␈↓ ∧v␈εq␈↓ ¬α␈εε+5␈↓ ε$␈εε(␈↓ ε,␈εq␈↓ ε8␈εε+␈α↓1␈α␈)␈↓ εg␈εu␈↓ πq␈εu␈↓ 	_␈εq␈↓ 	$␈εu␈↓ 
P␈εu
␈β∞≡␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβFor␈αexa␈α␈mple,␈α
let␈↓ ∧␈ε	u␈↓ ∧,␈εβ=␈↓ ∧Y␈εβ2␈↓ ¬(␈εβ,␈↓ ¬>␈ε	x␈↓ ¬[␈εβ=␈α(␈↓ ε∪␈εβ2␈↓ ε␈␈ε↔␈␈εβ␈α	1)/␈α␈(␈↓ π`␈εβ2␈↓ λ
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓ 	λ␈εβ2␈↓ 	=␈εβ+␈↓ 	g␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ 
⊗␈εβ+␈↓ 
@␈εβ2␈↓ 
i␈εβ+␈α	1␈α␈,
␈β∞A␈↓ α"␈εε(␈↓ α+␈εq␈↓ α7␈εε+1)␈↓ αe␈εu␈↓ ¬∨␈εε2␈α␈(␈↓ ¬4␈εq␈↓ ¬@␈εε+1␈α␈)␈↓ ¬n␈εu␈↓ εx␈εu␈↓ λl␈εε4(␈↓ 	↓␈εq␈↓ 	
␈εε+1)␈↓ 	;␈εu
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓e␈εβ=␈↓ α∩␈εβ2␈↓ α⎇␈εβ+␈α	1.␈α∞Then␈↓ ∧'␈ε	x␈↓ ∧9␈ε	y␈↓ ∧V␈εβ=␈α(␈↓ ¬∞␈εβ2␈↓ εε␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α↓/␈α␈(␈↓ εg␈εβ2␈↓ π⊂␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α↓.␈α∞If␈↓ λ⊂␈ε	n␈↓ λ/␈εβ=␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	T␈εβ+␈↓ 	⎇␈ε	x␈↓ 
∂␈ε	y␈↓ 
!␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β∞i␈↓ εV␈εε*
␈β∞m␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓Q␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	n␈↓ ↓p␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
4(␈↓ αK␈ε	q␈↓ α↑␈εβ+␈α¬1␈α␈)␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β8␈εβ+␈↓ β↑␈ε	q␈↓ βq␈εβ+␈α¬2␈α	b␈α␈y␈αλT␈α↓h␈α␈eo␈α␈rem␈α	F␈↓ ¬␈␈εβ,␈α
b␈α␈ut␈↓ εM␈ε	l␈↓ εb␈εβ(␈↓ εn␈ε	n␈↓ πα␈εβ)␈α	=␈α	4(␈↓ π\␈ε	q␈↓ πo␈εβ+␈α¬1)␈↓ λ1␈ε	u␈↓ λJ␈εβ+␈α∧2␈↓ 	␈ε	q␈↓ 	∪␈εβ+␈α¬2␈α	b␈α␈y␈α	Th␈α␈eore␈α␈m␈α	H.
␈β∂≡␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβUnd␈α␈erline␈αev␈α}ery␈α␈thing␈α
ex␈α␈c␈α␈ept␈αth␈α␈e␈↓ ¬k␈ε	u␈↓ επ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αinsert␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αu␈α␈sed␈αin␈αth␈α␈e␈αca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α
of␈↓ 
\␈ε	x␈↓ 
n␈εβ.
␈β∂O␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α␈orem␈αG␈α(ev␈α}ery␈α␈thing␈α
un␈α␈derline␈α␈d).
␈β∂|␈↓ ∧+␈εa
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβUse␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α(␈↓ ∧∀␈ε	B␈↓ ∧I␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈α␈(␈↓ ¬)␈ε	B␈↓ ¬G␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈),␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ εd␈ε	i␈↓ εz␈ε↔∀␈↓ π%␈ε	r␈↓ π3␈εβ,␈αu␈α␈nd␈α␈erlined␈α
when␈↓ 	C␈ε	a␈↓ 	h␈εβi␈α↓s␈αu␈α␈nd␈α␈erlined␈α␈;
␈β⊂β␈↓ ∧8␈ε
i
␈β⊂
␈↓ 	S␈εi
␈β⊂"␈↓ β
␈εb
␈β⊂#␈↓ α;␈εi␈↓ αF␈ε~␈␈εε1␈↓ 
j␈εε0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	c␈↓ α%␈ε	B␈↓ αl␈εβ(␈↓ αw␈ε	B␈↓ β-␈ε↔␈␈εβ␈α
1)/␈α␈(␈↓ ∧∂␈ε	B␈↓ ∧/␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)␈α∂for␈α∞0␈ε↔␈α∂∀␈↓ ε
␈ε	j␈↓ ε+␈εβ<␈↓ ε[␈ε	t␈↓ εg␈εβ,␈α⊂0␈α∂<␈↓ πP␈ε	i␈↓ πl␈ε↔∀␈↓ λ≥␈ε	b␈↓ λe␈ε↔␈␈↓ 	⊂␈ε	b␈↓ 	(␈εβ,␈α⊂1␈ε↔␈α∞∀␈↓ 
⊃␈ε	k␈↓ 
0␈ε↔∀␈↓ 
a␈ε	l␈↓ 
w␈εβ(␈↓ α␈ε	B␈↓ _␈εβ),
␈β⊂*␈↓ β_␈ε
j
␈β⊂2␈↓ α_␈εk␈↓ λ)␈εj␈↓ λ5␈εε+1␈↓ 	≤␈εj
␈β⊂K␈↓ 	h␈εε0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nd␈α␈erlined␈αwh␈α␈en␈↓ βD␈ε	c␈↓ βh␈εβi␈α↓s␈αun␈α␈de␈α␈rl␈α↓in␈α␈ed,␈αwhere␈↓ ε→␈ε	c␈↓ ε2␈εβ,␈↓ εF␈ε	c␈↓ ε←␈εβ,␈↓ εt␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π&␈εβis␈αa␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αlen␈α␈gth␈↓ 	←␈ε	l␈↓ 	u␈εβ-ch␈α␈ain␈αfor␈↓ 
␈ε	B␈↓ #␈εβ.
␈β⊂Z␈↓ βP␈εk␈↓ ε%␈εε0␈↓ εR␈εε1
␈β⊂r␈↓ εD␈εm
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβTo␈α
pro␈α}v␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞se␈α␈con␈α␈d␈α∞in␈α␈equ␈α␈ali␈α↓t␈α␈y,␈α∂let␈↓ ¬a␈ε	B␈↓ ε¬␈εβ=␈↓ ε4␈εβ2␈↓ εj␈εβa␈α␈nd␈α
use␈α
(3).␈α∨(Th␈α␈e␈α∞seco␈α␈nd␈α
ineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity␈α
is
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβra␈α␈rely,␈αif␈αe␈α␈v␈α␈er,␈αan␈α
i␈α↓m␈α␈pro␈α}v␈α␈eme␈α␈n␈α␈t␈αon␈α
Theo␈α␈rem␈αG.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα711
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβWe␈α∞m␈α␈ay␈α
assu␈α␈me␈α
that␈↓ ∧V␈ε	d␈↓ ¬␈εβ=␈α∞1.␈α∩U␈α↓s␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞ru␈α␈le␈α∞R␈↓ πD␈ε	A␈↓ λ∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ?␈ε	A␈↓ λa␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓ 	[␈ε	A␈↓ 
	␈εβ=␈↓ 
8␈εβ\XR"␈α
if
␈βα5␈↓ ∧f␈εk␈↓ πZ␈εk␈↓ πg␈ε~␈␈εε1␈↓ λT␈εε1␈↓ 	p␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ ↓l␈εβ=␈α
1␈↓ α(␈εβ,␈↓ α>␈ε	A␈↓ αj␈εβ=␈↓ β↔␈εβ\␈α␈R"␈αothe␈α␈rwi␈α↓se␈α␈,␈α
an␈α␈d␈αwhere␈α\␈α␈R"␈αmea␈α␈ns␈αtak␈α}e␈α
th␈α␈e␈αsqu␈α␈are␈αroo␈α␈t,␈α
\X"␈αme␈α␈an␈α␈s
␈βα]␈↓ ↓W␈εj␈↓ αS␈εj
␈βαz␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiply␈αεby␈↓ αu␈ε	x␈↓ βε␈εβ.␈α
For␈αεexa␈α␈mple,␈απi␈α↓f␈↓ ∧w␈ε	y␈↓ ¬∪␈εβ=␈α
(.11␈α␈011␈α␈01␈↓ εG␈εβ)␈↓ ε↑␈εβ,␈αλthe␈αεru␈α␈l␈α↓e␈αεis␈απR␈αεR␈απXR␈απXR␈αεR␈απXR␈αεXR.␈α∞(There
␈ββ∧␈↓ εR␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xist␈απb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αεsq␈α␈uare␈α␈-root␈αεextra␈α␈ction␈αεalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hms␈αεsuitab␈α␈le␈απfor␈αεcomp␈α␈ute␈α␈r␈απha␈α␈rdwa␈α␈re,␈αλreq␈α␈uiring
␈ββI␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α	ex␈α␈ec␈α␈ution␈α	time␈α	com␈α␈para␈α␈ble␈α	to␈α
th␈α␈at␈α	of␈α
d␈α␈ivision␈α␈;␈αco␈α␈mpu␈α␈ters␈α	wi␈α↓th␈α	su␈α␈ch␈α	ha␈α␈rdwa␈α␈re␈α
co␈α␈uld
␈ββp␈↓ ↓H␈εβth␈α␈erefo␈α␈re␈α
ca␈α␈l␈α↓cu␈α␈late␈α
m␈α␈ore␈α
g␈α␈ene␈α␈ral␈α
fract␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈ers␈α
u␈α␈sing␈α	the␈α	tech␈α␈niqu␈α␈e␈α
in␈α
th␈α␈is␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise.)
␈β∧!␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβIf␈αλw␈α␈e␈αλkn␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈e␈αλpa␈α␈i␈α↓r␈απ(␈↓ ∧0␈ε	F␈↓ ∧O␈εβ,␈↓ ∧↑␈ε	F␈↓ ¬$␈εβ),␈αλthen␈απ(␈↓ ε∀␈ε	F␈↓ εZ␈εβ,␈↓ εi␈ε	F␈↓ πλ␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ πR␈ε	F␈↓ πu␈εβ+␈↓ λ~␈ε	F␈↓ λ←␈εβ,␈↓ λn␈ε	F␈↓ 	∞␈εβ)␈αλan␈α␈d␈απ(␈↓ 	j␈ε	F␈↓ 
⊗␈εβ,␈↓ 
%␈ε	F␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β∧,␈↓ ∧B␈εk␈↓ ∧q␈εk␈↓ ∧}␈ε~␈␈εε1␈↓ ε'␈εk␈↓ ε4␈εε+1␈↓ ε{␈εk␈↓ πe␈εk␈↓ λ,␈εk␈↓ λ9␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	↓␈εk␈↓ 	|␈εε2␈↓ 
	␈εk␈↓ 
7␈εε2␈↓ 
D␈εk␈↓ 
Q␈ε~␈␈εε1
␈β∧E␈↓ ↓j␈εε2␈↓ β9␈εε2␈↓ ∧β␈εε2
␈β∧I␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	F␈↓ ↓y␈εβ+␈αβ2␈↓ α.␈ε	F␈↓ αM␈ε	F␈↓ β∪␈εβ,␈↓ β"␈ε	F␈↓ βH␈εβ+␈↓ βl␈ε	F␈↓ ∧6␈εβ);␈α	so␈απa␈απb␈α␈ina␈α␈ry␈απmeth␈α␈od␈απc␈α␈an␈απb␈α␈e␈απuse␈α␈d␈απto␈απcalcu␈α␈late␈απ(␈↓ 	J␈ε	F␈↓ 	m␈εβ,␈↓ 	|␈ε	F␈↓ 
D␈εβ),␈α	u␈α␈sing
␈β∧S␈↓ α@␈εk␈↓ α`␈εk␈↓ αm␈ε~␈␈εε1␈↓ 	]␈εn␈↓ 
∞␈εn␈↓ 
≡␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧X␈↓ ↓j␈εk␈↓ β9␈εk␈↓ ∧β␈εk␈↓ ∧⊂␈ε~␈␈εε1
␈β∧p␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈ε	n␈↓ α/␈εβ)␈αλarithm␈α␈etic␈αλope␈α␈ration␈α␈s.␈αPerh␈α␈ap␈α␈s␈α	b␈α␈etter␈αλis␈αλto␈αλuse␈αλth␈α␈e␈αλpair␈αλof␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αλ(␈↓ 	i␈ε	F␈↓ 
	␈εβ,␈↓ 
_␈ε	L␈↓ 
:␈εβ),␈α	where
␈β∧{␈↓ 	|␈εk␈↓ 
-␈εk
␈β¬∃␈↓ λ1␈εα(␈↓ λA␈εε1␈↓ 	m␈εε1␈↓ ↔␈εα)
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε	L␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α ␈ε	F␈↓ αm␈εβ+␈↓ β↔␈ε	F␈↓ βh␈εβ(cf.␈αS␈α␈ection␈α4.5.4␈α␈)␈α↓;␈αth␈α␈en␈α(␈↓ εS␈ε	F␈↓ π→␈εβ,␈↓ π(␈ε	L␈↓ πp␈εβ)␈α
=␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	F␈↓ 	∧␈εβ+␈↓ 	-␈ε	L␈↓ 	O␈εβ),␈↓ 	⎇␈εβ(5␈↓ 
→␈ε	F␈↓ 
@␈εβ+␈↓ 
j␈ε	L␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β¬#␈↓ ↓]␈εk␈↓ α3␈εk␈↓ α@␈ε~␈␈εε1␈↓ β)␈εk␈↓ β6␈εε+1␈↓ εf␈εk␈↓ εs␈εε+1␈↓ π=␈εk␈↓ πJ␈εε+1␈↓ λo␈εk␈↓ 	B␈εk␈↓ 
+␈εk␈↓ 
␈␈εk
␈β¬&␈↓ λA␈∧¬&λAα
␈↓ 	m␈∧¬&	mα
␈β¬(␈↓ λA␈εε2␈↓ 	m␈εε2
␈β¬;␈↓ βo␈εε2␈↓ ¬¬␈εk
␈β¬=␈↓ α|␈εα(␈↓ ¬∩␈εα)
␈β¬@␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	F␈↓ ↓␈␈εβ,␈↓ α∞␈ε	L␈↓ α=␈εβ)␈α	=␈↓ βλ␈ε	F␈↓ β(␈ε	L␈↓ βJ␈εβ,␈↓ βY␈ε	L␈↓ ∧∧␈ε↔␈␈εβ␈απ2(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧z␈εβ)␈↓ ¬≡␈εβ.
␈β¬J␈↓ ↓e␈εε2␈↓ ↓r␈εk␈↓ α#␈εε2␈↓ α0␈εk␈↓ β~␈εk␈↓ β=␈εk
␈β¬O␈↓ βo␈εk
␈β¬g␈↓ α␈εβFor␈α
th␈α␈e␈α
g␈α␈ene␈α␈ral␈α
linea␈α␈r␈α
recu␈α␈rren␈α␈ce␈↓ ¬⎇␈ε	x␈↓ ε(␈εβ=␈↓ εV␈ε	a␈↓ εr␈ε	x␈↓ π@␈εβ+␈↓ πj␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ→␈εβ+␈↓ λC␈ε	a␈↓ λa␈ε	x␈↓ 	)␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α
ca␈α␈n␈αcomp␈α␈ute
␈β¬r␈↓ ε␈εn␈↓ εe␈εε1␈↓ π↓␈εn␈↓ π∩␈ε~␈␈εε1␈↓ λR␈εd␈↓ λq␈εn␈↓ 	↓␈ε~␈␈↓ 	~␈εd
␈βε␈↓ αP␈εε3
␈βε∂␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓s␈εβin␈↓ α~␈ε	O␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	d␈↓ αb␈εβlog␈↓ β∩␈ε	n␈↓ β&␈εβ)␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αop␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αby␈αco␈α␈mpu␈α␈ting␈αth␈α␈e␈↓ λ∂␈ε	n␈↓ λ#␈εβth␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈αan␈αap␈α␈pro␈α␈priate
␈βε→␈↓ ↓W␈εn
␈βε3␈↓ β-␈εα(
␈βε6␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ ↓b␈ε↔α␈↓ α
␈ε	d␈↓ α(␈εβma␈α␈trix.␈↓ β9␈εβTh␈α␈is␈αobse␈α␈rva␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈αdu␈α␈e␈αto␈αJ.␈αC.␈αP␈α↓.␈αMill␈α↓e␈α␈r␈αand␈α
D.␈αJ␈α␈.␈αS␈α␈.␈αBro␈α}wn,␈ε⊂␈αComp␈α␈.
␈βε[␈↓ βs␈εα)
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε⊂J␈α␈.␈ε∪␈α9␈εβ␈α
(196␈α␈6),␈α1␈α␈88␈α␈↑19␈α␈0.
␈βπ
␈↓ ε∪␈εe
␈βπ␈↓ βi␈εm␈↓ εg␈εe
␈βπ∂␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβFirst␈απform␈αεth␈α␈e␈↓ βY␈εβ2␈↓ ∧α␈ε↔␈␈↓ ∧%␈ε	m␈↓ ∧D␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈απp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ts␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε)␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εU␈ε	x␈↓ ππ␈εβ,␈απwhere␈αε0␈ε↔␈α	∀␈↓ λ8␈ε	e␈↓ λY␈ε↔∀␈εβ␈α	1␈απa␈α␈nd␈↓ 	W␈ε	e␈↓ 	q␈εβ+␈↓ 
∀␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 
<␈εβ+␈↓ 
←␈ε	e␈↓ ␈ε↔∃
␈βπ⊃␈↓ ε≡␈επ1␈↓ εq␈ε
m
␈βπ→␈↓ λD␈εj␈↓ 	c␈εε1␈↓ 
k␈εm
␈βπ≡␈↓ εg␈εm
␈βπ∨␈↓ ε∪␈εε1
␈βπ1␈↓ π}␈εd
␈βπ2␈↓ λi␈εd
␈βπ6␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈.␈α
The␈α␈n␈αεif␈↓ αX␈ε	n␈↓ β␈εβ=␈α
(␈↓ β6␈ε	d␈↓ βg␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∪␈ε	d␈↓ ∧<␈ε	d␈↓ ∧d␈εβ)␈↓ ∧{␈εβ,␈αλth␈α␈e␈απs␈α␈equ␈α␈ence␈αεb␈α␈egin␈α␈s␈απwith␈↓ πm␈ε	x␈↓ λ+␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λW␈ε	x␈↓ 	!␈εβa␈α␈nd␈αεth␈α␈en␈αεw␈α␈e␈αεsqu␈α␈are
␈βπ9␈↓ λ␈επ1␈↓ λ⊗␈ε
∃
␈βπ:␈↓ λv␈ε
m␈↓ 	␈ε
∃
␈βπA␈↓ αk␈εj␈↓ βE␈εj␈↓ βR␈ε∃␈↓ ∧#␈εj␈↓ ∧/␈εε1␈↓ ∧K␈εj␈↓ ∧W␈εε0␈↓ ∧o␈εε2
␈βπE␈↓ λi␈εm
␈βπF␈↓ π}␈εε1
␈βπY␈↓ βH␈εd
␈βπZ␈↓ ∧(␈εd
␈βπ[␈↓ πD␈εα(
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αλm␈α}ultiply␈αλb␈α␈y␈↓ β6␈ε	x␈↓ βj␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⊗␈ε	x␈↓ ∧U␈εβ,␈α	for␈↓ ¬_␈ε	i␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬X␈ε	∃␈↓ ¬p␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈,␈↓ ε7␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εd␈εβ,␈α	1␈α␈,␈α
0␈α␈.␈↓ πP␈εβStrau␈α␈s␈αλ[␈ε⊂␈α↓AM␈α␈M␈ε∪␈αλ71␈εβ␈αλ(1␈α␈964␈α␈)␈α↓,␈α	8␈α␈07↑␈α␈808␈α␈]
␈βπa␈↓ βU␈επ1␈↓ β`␈ε
i
␈βπb␈↓ ∧5␈ε
m␈↓ ∧J␈ε
i
␈βπm␈↓ ∧(␈εm
␈βπn␈↓ βH␈εε1
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αλsho␈α}w␈α↓n␈αλth␈α␈at␈αλ2␈↓ β9␈ε	∃␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε	n␈↓ βk␈εβ)␈α	may␈αλb␈α␈e␈αλreplac␈α␈ed␈αλby␈αλ(1␈α∧+␈↓ εd␈ε	∂␈↓ εq␈εβ)␈↓ ε|␈ε	∃␈↓ π∂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	n␈↓ π/␈εβ)␈αλfor␈α	a␈α␈n␈α␈y␈↓ λ1␈ε	∂␈↓ λG␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α
b␈α␈y␈αλgen␈α␈eralizing␈αλth␈α␈is
␈βλ)␈↓ β↑␈εk
␈βλ-␈↓ ↓H␈εβb␈α␈inar␈α␈y␈α	meth␈α␈od␈α	to␈↓ βM␈εβ2␈↓ βk␈εβ-a␈α␈ry␈α	as␈α	i␈α↓n␈αλTheo␈α␈rem␈α	D␈↓ ε ␈εβ.␈αAt␈α	l␈α↓e␈α␈ast␈↓ π.␈ε	l␈↓ π8␈εβ(␈↓ πC␈ε	n␈↓ πg␈εβ+␈↓ λ∞␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ:␈εβ+␈↓ λ`␈ε	n␈↓ 	␈εβ)␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	are
␈βλ8␈↓ πV␈εε1␈↓ λs␈εm
␈βλU␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly␈α	re␈α␈quired␈α␈.␈αS␈α␈ee␈α	N.␈α
Pipp␈α␈eng␈α␈er,␈ε⊂␈α
Proc.␈α	IE␈α↓EE␈α	Sy␈α␈mp␈α␈.␈α
Fou␈α␈nd␈α␈ation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
Co␈α␈mp␈α␈.␈α
Sc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α	17
␈βλy␈↓ εc␈εα)
␈βλ|␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈976␈α␈),␈α2␈α␈58↑␈α␈263␈α␈,␈αfo␈α␈r␈αexten␈α␈siv␈α␈e␈αg␈α␈ene␈α␈rali␈α↓z␈α␈ation␈α␈s.
␈β	-␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ α=␈ε	x␈↓ αT␈ε↔r␈↓ αu␈ε	y␈↓ β⊃␈εβ=␈↓ β<␈ε	x␈↓ βS␈ε↔←␈↓ βq␈ε	y␈↓ ∧	␈ε↔←␈εβ␈αε(␈↓ ∧2␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ+␈↓ ∧p␈ε	y␈↓ ¬α␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈α
\␈ε↔␈α␈←␈εβ"␈α
is␈α
log␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈α
\or"␈α␈,␈αc␈α␈f.␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	4.6.2↑␈α␈26;␈α
clearly
␈β	Q␈↓ 	g␈εd␈↓ ∃␈εd
␈β	U␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	x␈↓ ↓{␈ε↔r␈↓ α≥␈ε	y␈↓ α0␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ αo␈ε	↔␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	x␈↓ β"␈ε↔←␈↓ β@␈ε	y␈↓ βS␈εβ)␈απ+␈↓ ∧
␈ε	↔␈↓ ∧≥␈εβ(␈↓ ∧(␈ε	x␈↓ ∧@␈ε↔↑␈↓ ∧←␈ε	y␈↓ ∧q␈εβ)␈α
=␈↓ ¬0␈ε	↔␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	x␈↓ ¬\␈εβ)␈απ+␈↓ ε⊗␈ε	↔␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	y␈↓ εD␈εβ).␈α_(b)␈αN␈α␈ote␈α
|rst␈αt␈α␈hat␈↓ 	␈ε	A␈↓ 	F␈εβ/␈↓ 	W␈εβ2␈↓ 
)␈ε↔∩␈↓ 
T␈ε	A␈↓ 
t␈εβ/␈↓ ¬␈εβ2
␈β	X␈↓ 	t␈ε
i␈↓ 	}␈ε≠␈␈επ1␈↓ "␈ε
i
␈β	←␈↓ 	⊗␈εi␈↓ 	 ␈ε~␈␈εε1␈↓ 
i␈εi
␈β	|␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ αB␈ε	i␈↓ αX␈ε↔∀␈↓ ββ␈ε	r␈↓ β∩␈εβ.␈α
S␈α␈eco␈α␈nd␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈αn␈α␈ote␈αtha␈α␈t␈↓ ¬Q␈ε	d␈↓ ¬v␈εβ=␈↓ ε!␈ε	d␈↓ εm␈εβin␈αa␈αno␈α␈nd␈α␈oub␈α␈li␈α↓n␈α␈g;␈αfo␈α␈r␈αot␈α␈herwise␈↓ 
A␈ε	a␈↓ ␈ε↔∃
␈β
π␈↓ ¬`␈εj␈↓ ε1␈εi␈↓ ε<␈ε~␈␈εε1␈↓ 
Q␈εi␈↓ 
[␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
∨␈↓ λ∧␈εd␈↓ λ≤␈ε~␈␈↓ λ5␈εd
␈β
$␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	a␈↓ ↓}␈ε↔∃␈↓ α)␈ε	a␈↓ αM␈εβ+␈↓ αv␈ε	a␈↓ β≥␈εβ=␈↓ βH␈ε	a␈↓ βb␈εβ.␈α
Hence␈↓ ∧[␈ε	A␈↓ ¬ε␈ε↔∩␈↓ ¬2␈ε	A␈↓ εβ␈εβan␈α␈d␈↓ εE␈ε	A␈↓ εq␈ε↔∩␈↓ π≥␈ε	A␈↓ πb␈εβ/␈↓ πs␈εβ2␈↓ λO␈εβ.␈α~(c)␈αAn␈αea␈α␈sy␈αin␈α␈du␈α␈ction
␈β
'␈↓ λ⊃␈ε
j␈↓ λB␈ε
k
␈β
.␈↓ ↓h␈εj␈↓ α9␈εj␈↓ β¬␈εk␈↓ βX␈εi␈↓ ∧p␈εj␈↓ ¬G␈εi␈↓ ¬R␈ε~␈␈εε1␈↓ εZ␈εk␈↓ π2␈εi␈↓ π=␈ε~␈␈εε1
␈β
K␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈↓ ↓t␈ε	i␈↓ α↓␈εβ,␈α
ex␈α␈c␈α␈ept␈α	th␈α␈at␈α
c␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈α
s␈α␈teps␈α	ne␈α␈ed␈α	closer␈α	atte␈α␈n␈α␈tion␈α␈.␈αLet␈α
u␈α␈s␈α
sa␈α␈y␈α	tha␈α␈t␈↓ 	¬␈ε	m␈↓ 	+␈εβhas␈α	pr␈α␈ope␈α␈rty␈↓ 
l␈ε	P␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∂␈ε	␈↓ !␈εβ)
␈β
s␈↓ ↓H␈εβif␈αth␈α␈e␈α1␈α␈'␈α↓s␈α
i␈α↓n␈α
its␈αb␈α␈inar␈α␈y␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tation␈α
a␈α␈l␈α↓l␈αa␈α␈pp␈α␈ear␈α
i␈α↓n␈α
co␈α␈nsec␈α␈utiv␈α␈e␈α
bloc␈α␈ks␈αo␈α␈f␈ε↔␈α∃␈↓ 
⊂␈ε	␈↓ 
-␈εβin␈α
a␈α
ro␈α␈w.
␈β↔␈↓ αp␈ε~0␈↓ ¬}␈ε~0
␈β≠␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓i␈ε	m␈↓ α∩␈εβan␈α␈d␈↓ αS␈ε	m␈↓ βα␈εβh␈α␈av␈α␈e␈↓ βQ␈ε	P␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε	␈↓ ∧ε␈εβ),␈αs␈α␈o␈αdoe␈α␈s␈↓ ¬→␈ε	m␈↓ ¬>␈ε↔r␈↓ ¬a␈ε	m␈↓ ε¬␈εβ;␈αi␈α↓f␈↓ ε9␈ε	m␈↓ εb␈εβh␈α␈as␈↓ π≥␈ε	P␈↓ π5␈εβ(␈↓ π@␈ε	␈↓ πR␈εβ)␈αth␈α␈en␈↓ λ5␈ε	~␈↓ λF␈εβ(␈↓ λQ␈ε	m␈↓ λn␈εβ)␈αhas␈↓ 	@␈ε	P␈↓ 	X␈εβ(␈↓ 	c␈ε	␈↓ 	⎇␈εβ+␈↓ 
%␈ε	∞␈↓ 
5␈εβ).␈αH␈α↓e␈α␈nce
␈β?␈↓ πλ␈εα(␈↓ πY␈εα)
␈βB␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓s␈εβh␈α␈as␈↓ α0␈ε	P␈↓ αG␈εβ(1␈α	+␈↓ β⊗␈ε	∞␈↓ β%␈ε	c␈↓ β<␈εβ).␈α⊃Fina␈α␈l␈α↓ly␈αi␈α↓f␈↓ ∧w␈ε	m␈↓ ¬!␈εβh␈α␈as␈↓ ¬↑␈ε	P␈↓ ¬u␈εβ(␈↓ ε↓␈ε	␈↓ ε∪␈εβ)␈α
th␈α␈en␈↓ εx␈ε	↔␈↓ π∀␈ε	~␈↓ π%␈εβ(␈↓ π0␈ε	m␈↓ πM␈εβ)␈↓ πq␈ε↔∀␈εβ␈α(␈↓ λ)␈ε	␈↓ λD␈εβ+␈↓ λn␈ε	∞␈↓ λ}␈εβ)␈↓ 		␈ε	↔␈↓ 	→␈εβ(␈↓ 	$␈ε	m␈↓ 	A␈εβ)/␈↓ 	]␈ε	␈↓ 	o␈εβ;␈α∞for␈↓ 
<␈ε	↔␈↓ 
K␈εβ(␈↓ 
W␈ε	m␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈βM␈↓ ↓[␈εi␈↓ β1␈εi
␈βg␈↓ π/␈εα(␈↓ π␈␈εα)
␈βj␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓e␈εβ+␈↓ α	␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ α3␈εβ+␈↓ αW␈ε	↔␈↓ αq␈εβ,␈αλwhere␈απeac␈α␈h␈απblock␈απsize␈↓ ¬8␈ε	↔␈↓ ¬Z␈εβis␈ε↔␈αλ∃␈↓ ε"␈ε	␈↓ ε5␈εβ,␈αλhe␈α␈nce␈↓ π∨␈ε	↔␈↓ π;␈ε	~␈↓ πL␈εβ(␈↓ πW␈ε	m␈↓ πt␈εβ)␈↓ λ∀␈ε↔∀␈εβ␈α
(␈↓ λJ␈ε	↔␈↓ λg␈εβ+␈↓ 	␈ε	∞␈↓ 	≠␈εβ)␈αβ+␈↓ 	M␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	w␈εβ+␈αβ(␈↓ 
&␈ε	↔␈↓ 
C␈εβ+␈↓ 
g␈ε	∞␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∀
␈βt␈↓ ↓V␈εε1␈↓ αe␈εq␈↓ ¬F␈εj␈↓ λX␈εε1␈↓ 
4␈εq
␈β⊃␈↓ ↓H␈εβ(1␈α∧+␈↓ α∞␈ε	∞␈↓ α≡␈εβ/␈↓ α.␈ε	␈↓ αA␈εβ)␈↓ αL␈ε	↔␈↓ αk␈εβ+␈↓ β⊃␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β<␈εβ+␈α¬(1␈α∧+␈↓ ∧(␈ε	∞␈↓ ∧8␈εβ/␈↓ ∧I␈ε	␈↓ ∧[␈εβ)␈↓ ∧f␈ε	↔␈↓ ¬␈εβ.␈α∀(d␈α␈)␈α
Let␈↓ ε
␈ε	f␈↓ ε#␈εβ=␈↓ εM␈ε	b␈↓ εj␈εβ+␈↓ π⊂␈ε	c␈↓ π1␈εβbe␈αλthe␈α	n␈α}um␈α}ber␈α	o␈α␈f␈α	non␈α␈do␈α␈ub␈α␈li␈α↓n␈α␈gs␈α	a␈α␈nd
␈β≤␈↓ αZ␈εε1␈↓ ∧t␈εq␈↓ εY␈εr␈↓ π≤␈εr
␈β9␈↓ ↓H␈ε	s␈↓ ↓←␈εβth␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
sma␈α␈ll␈α
steps␈α␈.␈αIf␈↓ ¬∧␈ε	f␈↓ ¬≥␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈.␈α↓2␈α␈71␈↓ ε→␈εβlg␈↓ ε9␈ε	↔␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	n␈↓ εg␈εβ)␈α
w␈α␈e␈α	hav␈α}e␈↓ πy␈ε	s␈↓ λ⊂␈ε↔∃␈↓ λ:␈εβlg␈↓ λZ␈ε	↔␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	n␈↓ 	λ␈εβ)␈α
as␈α	des␈α␈i␈α↓re␈α␈d,␈α
by␈α	(1␈α␈6).
␈β]␈↓ ¬	␈ε~␈␈↓ ¬#␈ε∞␈↓ ¬:␈εb␈↓ ¬`␈εc␈↓ ¬t␈εε+␈↓ ε
␈εd␈↓ 
∩␈ε~␈␈↓ 
+␈ε∞␈↓ 
p␈εb␈↓ ↔␈εr
␈β↑␈↓ 	,␈εα(␈↓ 
d␈εα)
␈βa␈↓ ↓H␈εβOt␈α␈herwise␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ βb␈ε	a␈↓ ∧¬␈ε↔∀␈εβ␈α
(1␈α¬+␈↓ ∧y␈εβ2␈↓ ¬/␈εβ)␈↓ ¬O␈εβ2␈↓ ε/␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈αλ∀␈↓ π&␈ε	i␈↓ π<␈ε↔∀␈↓ πg␈ε	r␈↓ πu␈εβ,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ λd␈ε	n␈↓ 	α␈ε↔∀␈↓ 	8␈εβ(1␈αε+␈↓ 
↓␈εβ2␈↓ 
8␈εβ)/2␈↓ ε␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈βc␈↓ 
{␈ε
r
␈βd␈↓ ¬E␈ε
i␈↓ ¬j␈ε
i␈↓ ε~␈ε
i
␈βk␈↓ βq␈εi
␈β
∧␈↓ ¬	␈ε~␈␈↓ ¬"␈ε∞␈↓ 
5␈ε~␈␈↓ 
N␈ε∞
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	r␈↓ α ␈ε↔∃␈↓ αK␈εβlg␈↓ αj␈ε	n␈↓ β¬␈εβ+␈↓ β.␈ε	b␈↓ βM␈ε↔␈␈↓ βu␈ε	b␈↓ ∧∪␈εβlg␈↓ ∧-␈εβ(1␈απ+␈↓ ∧x␈εβ2␈↓ ¬/␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ ¬n␈εβlg␈↓ ε
␈ε	n␈↓ ε(␈εβ+␈↓ εQ␈εβlg␈↓ εp␈ε	↔␈↓ π␈εβ(␈↓ π␈ε	n␈↓ π∨␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ πZ␈εβlg␈↓ πt␈εβ(1␈αε+␈↓ λ?␈ε	∞␈↓ λO␈ε	c␈↓ λg␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ 	"␈ε	b␈↓ 	?␈εβl␈α↓g␈↓ 	Y␈εβ(1␈απ+␈↓ 
%␈εβ2␈↓ 
[␈εβ).␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β
∪␈↓ β:␈εr␈↓ ∧↓␈εr␈↓ λ[␈εr␈↓ 	.␈εr
␈β
,␈↓ ∧⎇␈ε~␈␈↓ ¬⊗␈ε∞
␈β
-␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ πQ␈εα)
␈β
0␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ ↓a␈εβ=␈ε↔␈α	d␈↓ α_␈εβlg␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	f␈↓ αT␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈ε↔e␈εβ;␈αthen␈↓ ∧¬␈εβln␈↓ ∧!␈εβ(1␈απ+␈↓ ∧l␈εβ2␈↓ ¬#␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬b␈εβln␈↓ ε	␈εβ1␈απ+␈αλ1␈α␈/(␈↓ εv␈ε	f␈↓ π
␈εβ+␈απ1)␈↓ πf␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈/(␈↓ λ=␈ε	f␈↓ λT␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈α
∀␈↓ 	L␈ε	∞␈↓ 	\␈εβ/(1␈αε+␈↓ 
8␈ε	∞␈↓ 
H␈ε	f␈↓ 
X␈εβ),␈αa␈α␈nd
␈β
S␈↓ εU␈ε~␈␈↓ εn␈ε∞
␈β
W␈↓ ↓H␈εβit␈α
follo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈↓ β%␈εβlg␈↓ β?␈εβ(1␈αλ+␈↓ ∧
␈ε	∞␈↓ ∧≥␈ε	x␈↓ ∧.␈εβ)␈α	+␈α	(␈↓ ∧w␈ε	f␈↓ ¬⊂␈ε↔␈␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈↓ ¬\␈εβlg␈↓ ¬v␈εβ(1␈αλ+␈↓ εD␈εβ2␈↓ εz␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ π@␈εβlg␈↓ πZ␈εβ(1␈αλ+␈↓ λ(␈ε	∞␈↓ λ8␈ε	f␈↓ λH␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α∀␈↓ 	`␈ε	x␈↓ 	}␈ε↔∀␈↓ 
,␈ε	f␈↓ 
;␈εβ.␈α⊃H␈α↓e␈α␈nce
␈β
|␈↓ ¬∃␈εα(␈↓ 	S␈εα)
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈↓ α,␈ε	l␈↓ α6␈εβ(␈↓ αA␈ε	n␈↓ αU␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ β∀␈εβlg␈↓ β3␈ε	n␈↓ βM␈εβ+␈↓ βt␈εβl␈α↓g␈↓ ∧∀␈ε	↔␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	n␈↓ ∧C␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧{␈εβlg␈↓ ¬!␈εβ1␈αε+␈αε(3.27␈α␈1␈↓ ε<␈εβlg␈↓ ε[␈ε	↔␈↓ εk␈εβ(␈↓ εv␈ε	n␈↓ π
␈εβ))␈ε↔d␈↓ π-␈εβlg␈↓ πG␈εβ(1␈αε+␈αε3.27␈α␈1␈↓ λa␈εβl␈α↓g␈↓ 	↓␈ε	↔␈↓ 	⊂␈εβ(␈↓ 	≤␈ε	n␈↓ 	0␈εβ))␈ε↔e␈↓ 	←␈εβ.␈α↔[␈ε⊂Th␈α␈eoret␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈β∞'␈↓ ↓H␈ε⊂Co␈α␈mp␈α␈.␈αS␈α␈ci.␈ε∪␈α1␈εβ␈α
(␈α↓1␈α␈97␈α␈5),␈α1␈α␈↑12␈α␈.]
␈β∞W␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβIn␈α
th␈α␈e␈α
pa␈α␈per␈α
ju␈α␈st␈α
cited,␈α
Sc␈α␈h␈↓ ¬↔␈εβ∪␈↓ ¬↔␈εβo␈↓ ¬(␈εβn␈α␈ha␈α␈ge␈α
re|␈α␈ne␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
meth␈α␈od␈α
o␈α␈f␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
2␈α␈8␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t
␈β∞␈␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓Q␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	n␈↓ ↓p␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ α/␈εβlg␈↓ αN␈ε	n␈↓ αj␈εβ+␈↓ β∩␈εβl␈α↓g␈↓ β2␈ε	↔␈↓ βB␈εβ(␈↓ βM␈ε	n␈↓ βa␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ2␈α␈.␈α↓1␈α␈3␈αfor␈αall␈↓ ¬D␈ε	n␈↓ ¬X␈εβ.␈αC␈α␈an␈αth␈α␈e␈αrema␈α␈ining␈α
gap␈α
be␈αclo␈α␈sed?
␈β∂0␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈ε	n␈↓ α)␈εβ=␈α
31␈α	is␈α
the␈α
sm␈α␈allest␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈;␈↓ ¬b␈ε	l␈↓ ¬k␈εβ(31)␈α	=␈α	7,␈αb␈α␈ut␈α
1␈α␈,␈α2␈α␈,␈α4␈α␈,␈α8,␈α
16␈α␈,␈α3␈α␈2,␈α
31␈α
is␈α
an␈α	ad␈α␈dition␈α␈-
␈β∂T␈↓ ∧l␈εα(
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈btr␈α␈action␈α¬cha␈α␈i␈α↓n␈α¬of␈αεlen␈α␈gth␈αε6␈α␈.␈↓ ∧x␈εβAfter␈αεp␈α␈ro␈α␈vin␈α␈g␈αεTho␈α␈rem␈αεE␈↓ πM␈εβ,␈απErd␈↓ λ∪␈εβ⊗␈↓ λ∪␈εβo␈↓ λ$␈εβs␈αεst␈α␈ated␈α¬that␈αεt␈α␈he␈αεsa␈α␈me␈αεresu␈α␈lt
␈β∂␈␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈α
also␈α
for␈α
ad␈α␈dition␈α␈-sub␈α␈traction␈αcha␈α␈i␈α↓n␈α␈s.␈α∩Sch␈↓ ε{␈εβ∪␈↓ ε{␈εβo␈↓ π␈εβn␈α␈hag␈α␈e␈α
has␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
th␈α␈e␈α
l␈α↓o␈α}we␈α␈r␈α∞b␈α␈ou␈α␈nd
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈α28␈αto␈αad␈α␈dition-su␈α␈btra␈α␈ction␈αc␈α␈hain␈α␈s,␈α
with␈↓ π5␈ε	↔␈↓ πE␈εβ(␈↓ πP␈ε	n␈↓ πd␈εβ)␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αb␈α␈y␈↓ 	1␈εβ∩␈↓ 	1␈ε	↔␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	n␈↓ 	`␈εβ)␈α=␈↓ 
#␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αdigits␈αto␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈↓ ¬y␈ε	n␈↓ ε↔␈εβ=␈α
(␈↓ εM␈ε	n␈↓ εr␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∨␈ε	n␈↓ π>␈εβ)␈↓ πb␈εβwh␈α␈ere␈αeach␈↓ 	∂␈ε	n␈↓ 	:␈εβis␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α0,␈αor␈α+␈α↓1␈α␈.
␈β⊂Y␈↓ ε`␈εq␈↓ π2␈εε0␈↓ πI␈εε2␈↓ 	"␈εj
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈α	qua␈α␈n␈α␈tity␈↓ β∃␈εβ∩␈↓ β⊗␈ε	↔␈↓ β%␈εβ(␈↓ β0␈ε	n␈↓ βD␈εβ)␈α
is␈α	th␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	of␈α	1's,␈α
in␈α	th␈α␈e␈α	ord␈α␈ina␈α␈ry␈α	bin␈α␈ary␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	o␈α␈f␈↓ 
I␈ε	n␈↓ 
]␈εβ,␈α	tha␈α␈t
␈β⊃→␈↓ π↑␈εk
␈β⊃~␈↓ 	l␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αimmed␈α␈iately␈αp␈α␈reced␈α␈ed␈α
by␈α0␈α
or␈αb␈α␈y␈αthe␈α
stri␈α↓n␈α␈g␈α0␈α␈0(10␈↓ πR␈εβ)␈↓ πk␈εβ1␈αfo␈α␈r␈αsome␈↓ 	∞␈ε	k␈↓ 	'␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα712␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα&␈↓ βu␈εi
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβFirst␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ βe␈εβ2␈↓ ∧␈εβfor␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬∧␈ε	i␈↓ ¬≠␈ε↔∀␈↓ ¬F␈ε	∃␈↓ ¬Y␈εβ(␈↓ ¬d␈ε	n␈↓ ε∞␈εβ)␈α↓,␈αthe␈α␈n␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈αeach␈↓ λM␈ε	n␈↓ λk␈εβ=␈↓ 	⊗␈ε	n␈↓ 	@␈εβby␈α
the␈αfollo␈α␈wing
␈βα4␈↓ λz␈ε↓P
␈βα5␈↓ ¬w␈εm␈↓ 	)␈εj
␈βαN␈↓ β.␈εk␈↓ πε␈εk␈↓ 	G␈εk␈↓ 	T␈εt␈↓ 	↑␈εε+␈↓ 	w␈εe␈↓ 
␈␈εe
␈βαR␈↓ ↓H␈εβv␈α␈arian␈α}t␈αo␈α␈f␈αthe␈↓ β≥␈εβ2␈↓ β;␈εβ-ar␈α␈y␈αm␈α␈etho␈α␈d:␈αFor␈αall␈αod␈α␈d␈↓ ε3␈ε	i␈↓ εJ␈εβ<␈↓ εv␈εβ2␈↓ π∀␈εβ,␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ λ0␈ε	f␈↓ λO␈εβ=␈↓ 	 ␈ε↔f␈↓ 	7␈εβ2␈↓ 
␈ε↔j␈↓ 
∨␈ε	d␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
n␈εβ2␈↓ 	␈ε	i␈↓ ≤␈ε↔g
␈βα[␈↓ 	;␈ε↓P
␈βα\␈↓ λ:␈εi␈↓ 
/␈εt
␈βαv␈↓ ¬Y␈εε1
␈βαy␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α)␈ε	n␈↓ αH␈εβ=␈α(␈↓ β¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β2␈ε	d␈↓ βN␈ε	d␈↓ βj␈εβ)␈↓ ∧∞␈εβ,␈α
in␈αa␈α␈t␈α
m␈α␈ost␈ε↔␈αb␈↓ ¬o␈εβl␈α↓g␈↓ ε∂␈ε	n␈↓ ε#␈ε↔c␈εβ␈αstep␈α␈s;␈α
the␈α␈n␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ λo␈ε	n␈↓ 	∞␈εβ=␈↓ 	f␈ε	i␈↓ 	s␈ε	f␈↓ 
∀␈εβi␈α↓n␈αat␈αmos␈α␈t
␈βββ␈↓ ↓H␈ε↓P
␈ββ∧␈↓ βA␈εε1␈↓ β]␈εε0␈↓ ∧α␈ε
k␈↓ 	⎇␈εi
␈ββλ␈↓ βu␈εε2␈↓ ¬Y␈∧βλ¬Yα∞
␈ββ
␈↓ ¬Y␈εk
␈ββ≥␈↓ αb␈εk␈↓ αo␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
H␈εk
␈ββ≡␈↓ λ{␈εε1
␈ββ!␈↓ ↓s␈ε	l␈↓ ↓|␈εβ(␈↓ απ␈ε	i␈↓ α∀␈εβ)␈α	+␈↓ αR␈εβ2␈↓ β"␈εβfurth␈α␈er␈αsteps.␈α⊂Th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
step␈α␈s␈α
pe␈α␈r␈↓ πn␈ε	n␈↓ λ~␈εβis␈ε↔␈α
∀␈αb␈↓ 	⊃␈εβlg␈↓ 	1␈ε	n␈↓ 	E␈ε↔c␈εβ␈αλ+␈↓ 
∧␈ε	O␈↓ 
≤␈εβ(␈↓ 
'␈ε	k␈↓ 
7␈εβ2␈↓ 
U␈εβ),␈α∞a␈α␈nd
␈ββ,␈↓ λ↓␈εj
␈ββ/␈↓ λ{␈∧β/λ{α∞
␈ββ1␈↓ λ{␈εk
␈ββD␈↓ ε!␈εε2
␈ββF␈↓ ∧⊃␈εα(␈↓ ε.␈εα)
␈ββI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αi␈α↓s␈↓ α*␈ε	∃␈↓ α=␈εβ(␈↓ αH␈ε	n␈↓ α\␈εβ)/␈↓ αx␈ε	∃␈↓ β␈ε	∃␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	n␈↓ β>␈εβ)␈απ+␈↓ βy␈ε	O␈↓ ∧≥␈ε	∃␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧P␈εβ)␈↓ ∧[␈ε	∃␈↓ ∧n␈ε	∃␈↓ ¬α␈ε	∃␈↓ ¬∃␈εβ(␈↓ ¬ ␈ε	n␈↓ ¬4␈εβ)/␈↓ ¬P␈ε	∃␈↓ ¬c␈ε	∃␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εα␈ε	n␈↓ ε⊗␈εβ)␈↓ εE␈εβwh␈α␈en␈↓ π≤␈ε	k␈↓ π5␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ πm␈εβlg␈↓ λ␈εβl␈α↓g␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λG␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ 	ε␈εβlg␈↓ 	&␈εβlg␈↓ 	E␈εβlg␈↓ 	d␈ε	n␈↓ 	x␈ε↔c␈εβ.
␈ββn␈↓ α␈εα(
␈ββq␈↓ α_␈εβA␈αge␈α␈nera␈α␈li␈α↓za␈α␈tion␈α
of␈αTh␈α␈eorem␈α
E␈αgiv␈α␈e␈α␈s␈αthe␈α
corre␈α␈spon␈α␈din␈α␈g␈αlo␈α␈w␈α␈er␈α
bo␈α␈un␈α␈d.␈α→Re␈α␈f␈α↓e␈α␈renc␈α␈e:
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε⊂S␈α␈IAM␈αλJ.␈αλComp␈α␈utin␈α␈g␈ε∪␈αλ5␈εβ␈αλ(19␈α␈76),␈α	10␈α␈0↑␈α␈103␈α␈.␈αS␈α␈ee␈αλalso␈αλth␈α␈e␈αλP␈α↓ip␈α␈pen␈α␈ger␈αλp␈α␈ape␈α␈r␈α	c␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈αλin␈αλco␈α␈nn␈α␈ection
␈β∧=␈↓ β9␈εα)
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβwith␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α2␈α␈7.
␈β∧u␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβThe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αd␈α␈ue␈αto␈αD.␈αJ.␈αNewma␈α␈n␈αpro␈α}vid␈α␈es␈αthe␈αb␈α␈est␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd
␈β¬≤␈↓ ↓H␈εβc␈α␈urren␈α}tly␈α∞k␈α␈no␈α}wn:␈α⊃Let␈↓ ∧∩␈ε	k␈↓ ∧1␈εβ=␈↓ ∧`␈ε	p␈↓ ¬α␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬.␈ε	p␈↓ ¬X␈εβb␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈rod␈α␈uct␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞|r␈α␈st␈↓ λn␈ε	r␈↓ 	␈εβp␈α␈rimes.␈α∪Comp␈α␈ut␈α␈e␈↓ ≤␈ε	k
␈β¬'␈↓ ∧o␈εε1␈↓ ¬>␈εr
␈β¬@␈↓ 
@␈εr
␈β¬D␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αall␈α
qu␈α␈ad␈α␈ratic␈α
resid␈α␈ues␈αmod␈↓ ¬≠␈ε	k␈↓ ¬8␈εβby␈αthe␈αmeth␈α␈od␈αof␈α
ex␈α}ercise␈α
3␈α␈2,␈α∞in␈↓ 	%␈ε	O␈↓ 	=␈εβ(␈↓ 	H␈ε	k␈↓ 	↑␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 
∞␈ε	k␈↓ 
∨␈εβ/␈↓ 
/␈εβ2␈↓ 
L␈εβ)␈α
step␈α␈s
␈β¬h␈↓ ¬i␈εr
␈β¬l␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈eca␈α␈use␈αthe␈α␈re␈αare␈αap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈α␈l␈α↓y␈↓ ¬8␈ε	k␈↓ ¬H␈εβ/␈↓ ¬Y␈εβ2␈↓ ε↓␈εβq␈α␈uad␈α␈ratic␈αresidu␈α␈es).␈αAlso␈αcomp␈α␈ut␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓l␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈βε∂␈↓ βR␈εε2␈↓ ¬↔␈εε2
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈ε	k␈↓ α
␈εβtha␈α␈t␈αa␈α␈re␈ε↔␈α∀␈↓ β5␈ε	m␈↓ β←␈εβ,␈αin␈αa␈α␈bou␈α␈t␈↓ ∧y␈ε	m␈↓ ¬#␈εβ/␈↓ ¬4␈ε	k␈↓ ¬O␈εβf␈α↓u␈α␈rth␈α␈er␈αsteps.␈αN␈α␈o␈α␈w␈↓ πj␈ε	m␈↓ λ∪␈εβad␈α␈dition␈α␈s␈αs␈α␈u}ce␈αto␈α
comp␈α␈ute
␈βε7␈↓ ↓X␈εε2␈↓ α	␈εε2␈↓ βπ␈εε2␈↓ π2␈εε1␈α␈000
␈βε8␈↓ ¬)␈εα(␈↓ ε↔␈εα(␈↓ πd␈εα))␈↓ λd␈εα(
␈βε;␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ ↓e␈εβ,␈↓ ↓y␈εβ2␈↓ α⊗␈εβ,␈↓ α*␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αV␈εβ,␈↓ αj␈ε	m␈↓ β∀␈εβ.␈αWe␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ∧1␈ε	k␈↓ ∧J␈εβ=␈↓ ∧u␈εβex␈α␈p␈↓ ¬5␈ε	p␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬␈␈ε	O␈↓ ε#␈ε	p␈↓ ε?␈εβ/(␈↓ ε[␈εβlog␈↓ π␈ε	p␈↓ π'␈εβ)␈↓ λ¬␈εβ=␈↓ λ0␈εβex␈α␈p␈↓ λp␈ε	r␈↓ 	∧␈εβln␈↓ 	%␈ε	r␈↓ 	:␈εβ+␈↓ 	b␈ε	r␈↓ 	v␈εβl␈α↓n␈↓ 
_␈εβln␈↓ 
9␈ε	r␈↓ 
N␈ε↔␈␈↓ 
v␈ε	r␈↓ ␈εβ+
␈βεE␈↓ ¬D␈εr␈↓ ε3␈εr␈↓ π~␈εr
␈βε↑␈↓ ελ␈εε2
␈βε←␈↓ ∧F␈εα(␈↓ ε∃␈εα))
␈βεb␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓\␈εβln␈↓ ↓⎇␈εβln␈↓ α≡␈ε	r␈↓ α-␈εβ/␈↓ α>␈εβln␈↓ α←␈ε	r␈↓ αu␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ β.␈ε	r␈↓ β=␈εβ/␈↓ βN␈εβln␈↓ βo␈ε	r␈↓ ∧¬␈εβ+␈↓ ∧.␈ε	O␈↓ ∧R␈ε	r␈↓ ∧`␈εβ(␈↓ ∧k␈εβl␈α↓n␈↓ ¬
␈εβln␈↓ ¬.␈ε	r␈↓ ¬=␈εβ/␈↓ ¬M␈εβln␈↓ ¬n␈ε	r␈↓ ¬⎇␈εβ)␈↓ ε-␈εβ;␈αso␈αb␈α␈y␈αch␈α␈oos␈α␈i␈α↓n␈α␈g
␈βπ0␈↓ ∧?␈ε⊗b␈εα(␈↓ ¬i␈εε1␈↓ π)␈εα)␈↓ λj␈ε⊗c
␈βπ3␈↓ β⎇␈ε	r␈↓ ∧∀␈εβ=␈↓ ∧Y␈εβ1␈απ+␈αλ(1␈απ+␈↓ ¬␈␈εβln␈↓ ε ␈εβ2)/␈↓ εM␈εβlg␈↓ εl␈εβlg␈↓ π␈ε	m␈↓ π:␈εβl␈α↓n␈↓ π\␈ε	m␈↓ πy␈εβ/␈↓ λ
␈εβln␈↓ λ+␈εβln␈↓ λL␈ε	m
␈βπB␈↓ ¬i␈∧πB¬iα
␈βπD␈↓ ¬i␈εε2
␈βλ␈↓ βD␈εε2␈↓ ∧8␈εε2
␈βλ↓␈↓ ¬i␈εα(␈↓ π∞␈εε1␈↓ 	⊗␈εα)
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εβit␈αfollo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ β∨␈ε	l␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈εβ1␈↓ βQ␈εβ,␈↓ β`␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε	m␈↓ ∧E␈εβ)␈α	=␈↓ ¬β␈ε	m␈↓ ¬(␈εβ+␈↓ ¬Q␈ε	O␈↓ ¬u␈ε	m␈↓ ε~␈ε↔↓␈↓ ε*␈εβexp␈↓ ε↑␈εβ(␈ε↔␈␈↓ π$␈εβln␈↓ πE␈εβ2␈↓ π\␈εβln␈↓ π⎇␈ε	m␈↓ λ~␈εβ/␈↓ λ+␈εβln␈↓ λL␈εβln␈↓ λm␈ε	m␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	"␈εβ.
␈βλ∪␈↓ π∞␈∧λ∪π∞α
␈βλ∃␈↓ π∞␈εε2
␈βλ-␈↓ α␈εβOn␈α
th␈α␈e␈α∞o␈α␈the␈α␈r␈α∞h␈α␈an␈α␈d,␈α∞D.␈α∞Do␈α␈bk␈α␈in␈α
and␈αR.␈α∞Li␈α↓p␈α␈ton␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
sho␈α␈wn␈α
th␈α␈at,␈α∞for␈α
an␈α}y␈↓ 
J␈ε	∂␈↓ 
d␈εβ>␈α∞0␈α␈,
␈βλP␈↓ ↓m␈εε2␈↓ α`␈εε2␈↓ ∧↔␈εε2/␈α␈3␈ε~␈␈↓ ∧V␈ε∂
␈βλT␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓Q␈εβ(␈↓ ↓\␈εβ1␈↓ ↓y␈εβ,␈↓ αλ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α4␈εβ,␈↓ αC␈ε	m␈↓ αm␈εβ)␈α
>␈↓ β,␈ε	m␈↓ βQ␈εβ+␈↓ βz␈ε	m␈↓ ∧l␈εβwhen␈↓ ¬C␈ε	m␈↓ ¬l␈εβis␈αsu}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈αlarg␈α␈e␈α[␈ε⊂␈α↓C␈α␈onf.␈αon␈αTh␈α␈eor␈α␈etical␈αComp␈α␈.
␈βλ|␈↓ ↓H␈ε⊂S␈α␈ci.␈εβ,␈αUn␈α␈i␈α↓v␈α␈.␈αW␈α↓a␈α␈terloo␈α(1␈α␈977␈α␈)␈α↓,␈α14␈α␈6↑␈α␈148␈α␈]␈α↓.
␈β	1␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αDiscrete␈αM␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α2␈α␈3␈εβ␈α(197␈α␈8),␈α115␈α␈↑11␈α␈9.
␈β
3␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.4
␈β∧␈↓ β≥␈εε2
␈β¬␈↓ ¬⊃␈εα(␈↓ 	;␈εα)
␈βλ␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αE␈ε	y␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β␈ε	x␈↓ β*␈εβ,␈αth␈α␈en␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈↓ ¬≥␈εβ(␈↓ ¬.␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	u␈↓ ε;␈ε	y␈↓ εU␈εβ+␈↓ ε⎇␈ε	u␈↓ πS␈εβ)␈↓ π↑␈ε	y␈↓ πx␈εβ+␈↓ λ!␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λM␈εβ)␈↓ λX␈ε	y␈↓ λr␈εβ+␈↓ 	≠␈ε	u␈↓ 	G␈ε	x␈↓ 	X␈εβ.
␈β∩␈↓ ¬x␈εε2␈↓ ε¬␈εn␈↓ ε∃␈εε+1␈↓ π⊃␈εε2␈↓ π≥␈εn␈↓ π-␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	.␈εε1
␈β=␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβRep␈α␈l␈α↓a␈α␈cing␈↓ β'␈ε	x␈↓ βC␈εβin␈α(2)␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εJ␈εβ+␈↓ εs␈ε	x␈↓ π~␈εβlead␈α␈s␈αto␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re:
␈βG␈↓ πα␈εε0
␈β}␈↓ α→␈ε∪G1␈α␈.␈↓ αc␈εβDo␈α
step␈αG2␈α
for␈↓ ∧H␈ε	k␈↓ ∧b␈εβ=␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	n␈↓ ¬P␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ε≡␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εJ␈εβ,␈α0␈α
(i␈α↓n␈α
this␈αord␈α␈er),␈αan␈α␈d␈αstop␈α␈.
␈β3␈↓ α→␈ε∪G2␈α␈.␈↓ αd␈εβSet␈↓ β∨␈ε	v␈↓ βG␈ε↔ ␈↓ βu␈ε	u␈↓ ∧∃␈εβ,␈α
and␈αth␈α␈en␈αset␈↓ ¬q␈ε	v␈↓ ε↔␈ε↔ ␈↓ εE␈ε	v␈↓ εh␈εβ+␈↓ π∩␈ε	x␈↓ π.␈ε	v␈↓ π{␈εβfor␈↓ λ1␈ε	j␈↓ λL␈εβ=␈↓ λy␈ε	k␈↓ 		␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	k␈↓ 	9␈εβ+␈αλ1,␈↓ 
	␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
6␈εβ,␈↓ 
L␈ε	n␈↓ 
i␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈.
␈β>␈↓ β.␈εk␈↓ ∧λ␈εk␈↓ ¬␈␈εj␈↓ εS␈εj␈↓ π!␈εε0␈↓ π=␈εj␈↓ πI␈εε+1
␈β[␈↓ αX␈εβ(Whe␈α␈n␈↓ βC␈ε	k␈↓ β]␈εβ=␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ,␈αthis␈αstep␈αs␈α␈i␈α↓m␈α␈ply␈αsets␈↓ εc␈ε	v␈↓ π␈ε↔ ␈↓ π5␈ε	u␈↓ πY␈εβ.)
␈β]␈↓ λ∩␈∧]λ∩≠∂
␈βe␈↓ εq␈εn␈↓ πH␈εn
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αcomp␈α␈uta␈α␈tions␈αtu␈α␈rn␈αou␈α␈t␈αto␈αb␈α␈e␈αi␈α↓d␈α␈en␈α␈tica␈α␈l␈αto␈αth␈α␈ose␈αin␈αH1␈αand␈α
H2,␈αb␈α␈ut␈αper␈α␈f␈α↓o␈α␈rmed␈αin␈αa
␈β
A␈↓ β%␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β
D␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i{␈α↓er␈α␈en␈α␈t␈α¬orde␈α␈r.␈↓ β1␈εβTh␈α␈i␈α↓s␈α¬ap␈α␈plication␈α¬was␈α␈,␈απi␈α↓n␈α¬fac␈α␈t,␈απNewton␈α␈'s␈αεorig␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈αεmo␈α␈tivat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αεfo␈α␈r␈αεu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α¬(2).
␈β
t␈↓ ∧!␈εk
␈β
y␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈α
co␈α␈e}cien␈α}t␈αo␈α␈f␈↓ ∧⊂␈ε	x␈↓ ∧9␈εβis␈αa␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈α
i␈α↓n␈↓ εG␈ε	y␈↓ εd␈εβth␈α␈at␈α
may␈α
b␈α␈e␈α
eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ated␈α
b␈α␈y␈α
Horn␈α␈er's␈αru␈α␈le:
␈β∞≥␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε≠␈εα)␈↓ εk␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈β∞ ␈↓ ↓Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αε␈εβ(␈↓ α⊃␈ε	u␈↓ αH␈ε	x␈↓ αb␈εβ+␈αλ(␈↓ β↔␈ε	u␈↓ βs␈ε	y␈↓ ∧∞␈εβ+␈↓ ∧8␈ε	u␈↓ ¬∃␈εβ))␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬E␈εβ+␈↓ ¬o␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε'␈ε	x␈↓ εA␈εβ+␈↓ εw␈εβ(␈↓ πλ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π4␈εβ(␈↓ π?␈ε	u␈↓ πv␈ε	y␈↓ λ⊃␈εβ+␈↓ λ;␈ε	u␈↓ 	_␈εβ)␈↓ 	#␈ε	y␈↓ 	>␈εβ+␈↓ 	h␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 
∀␈εβ)␈↓ 
∨␈ε	y␈↓ 
:␈εβ+␈↓ 
d␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β∞+␈↓ α$␈εn␈↓ α4␈εε,0␈↓ β*␈εn␈↓ β:␈ε~␈␈εε1,1␈↓ ∧K␈εn␈↓ ∧\␈ε~␈␈εε1␈α␈,0␈↓ πR␈εε0,␈↓ πf␈εn␈↓ λN␈εε0,␈↓ λb␈εn␈↓ λr␈ε~␈␈εε1␈↓ 
w␈εε0,0
␈β∞D␈↓ εj␈εn␈↓ π⎇␈εn␈↓ λ∞␈ε~␈␈εε1␈↓ 
α␈εn␈↓ 
∩␈ε~␈␈εε1␈↓ ∪␈εn
␈β∞E␈↓ ↓H␈εα(
␈β∞H␈↓ ↓T␈εβFo␈α␈r␈α	a␈αλ\␈α␈hom␈α␈oge␈α␈neo␈α␈us"␈αλp␈α␈olyn␈α␈omial,␈α	su␈α␈ch␈αλas␈↓ ε5␈ε	u␈↓ εX␈ε	x␈↓ ε}␈εβ+␈↓ π#␈ε	u␈↓ πl␈ε	x␈↓ λ3␈ε	y␈↓ λJ␈εβ+␈↓ λo␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	→␈εβ+␈↓ 	>␈ε	u␈↓ 	↑␈ε	x␈↓ 	o␈ε	y␈↓ 
<␈εβ+␈↓ 
a␈ε	u␈↓ ␈ε	y␈↓ #␈εβ,
␈β∞R␈↓ εH␈εn␈↓ π6␈εn␈↓ πF␈ε~␈␈εε1␈↓ 	Q␈εε1␈↓ 
t␈εε0
␈β∞o␈↓ ↓H␈εβa␈α␈no␈α␈ther␈α	sch␈α␈eme␈α	is␈α	more␈α	e␈α␈}cien␈α␈t:␈α
|␈α␈rst␈α
d␈α␈ivide␈↓ εJ␈ε	x␈↓ εd␈εβby␈↓ π∪␈ε	y␈↓ π%␈εβ,␈α
ev␈α␈alua␈α␈te␈α	a␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α	i␈α↓n␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
6␈εβ/␈↓ 
F␈ε	y␈↓ 
Y␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈β∂∪␈↓ β⊂␈εn
␈β∂∀␈↓ β*␈εα)
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiply␈αb␈α␈y␈↓ α}␈ε	y␈↓ β!␈εβ.
␈β∂L␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβRule␈α(2)␈αin␈α␈v␈α}olv␈α␈es␈α4␈↓ ∧≡␈ε	n␈↓ ∧>␈εβo␈α␈r␈α3␈↓ ∧x␈ε	n␈↓ ¬↔␈εβreal␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αan␈α␈d␈α4␈↓ λ∞␈ε	n␈↓ λ.␈εβor␈α7␈↓ λh␈ε	n␈↓ 	λ␈εβre␈α␈al␈αad␈α␈dition␈α␈s;␈α
(3␈α␈)␈αis
␈β∂s␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rse,␈αi␈α↓t␈αta␈α␈k␈α␈es␈α4␈↓ β4␈ε	n␈↓ βP␈εβ+␈αλ2␈α
or␈α4␈↓ ∧N␈ε	n␈↓ ∧i␈εβ+␈αλ1␈αm␈α}ults,␈α4␈↓ ε#␈ε	n␈↓ ε>␈εβ+␈αλ2␈αor␈α4␈↓ π<␈ε	n␈↓ πX␈εβ+␈απ5␈αad␈α␈ds.
␈β⊂$␈↓ ¬t␈εε2
␈β⊂(␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion␈α
to␈α∞co␈α␈mpu␈α␈te␈↓ ¬c␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ;␈ε↔␈α∂b␈↓ ε&␈ε	n␈↓ ε:␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈α
an␈α␈d␈ε↔␈α∞b␈↓ 	,␈ε	n␈↓ 	@␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈α∞a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tion␈α␈s␈α∞to
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ate␈αthe␈α|rst␈αl␈α↓in␈α␈e;␈ε↔␈α∞d␈↓ ∧'␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈εβ␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α
an␈α␈d␈ε↔␈αd␈↓ π)␈ε	n␈↓ π=␈εβ/2␈ε↔e␈αλ␈␈εβ␈α	1␈αad␈α␈dition␈α␈s␈α
to␈αeva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈αthe
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβse␈α␈con␈α␈d␈αλl␈α↓in␈α␈e;␈α
a␈α␈nd␈αλo␈α␈ne␈αλad␈α␈dition␈αλto␈αλad␈α␈d␈αλthe␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλli␈α↓n␈α␈es␈αλtoge␈α␈ther.␈α
Tota␈α␈l␈α↓:␈↓ λ␈␈ε	n␈↓ 	↔␈εβ+␈α∧1␈αλm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	n␈↓ α(␈εβa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα713
␈βα#␈↓ π∨␈ε~d␈↓ π)␈εn␈↓ π:␈εε/␈α␈2␈ε~e
␈βα%␈↓ ε,␈εε2
␈βα)␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α"␈ε∪J1␈α␈.␈↓ αX␈εβCo␈α␈mp␈α␈ute␈αa␈α␈nd␈αs␈α␈tore␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈↓ ε≠␈ε	x␈↓ ε9␈εβ,␈↓ εM␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈εβ,␈↓ π∞␈ε	x␈↓ π]␈εβ.
␈βα8␈↓ ε,␈εε0
␈βα9␈↓ π∨␈εε0
␈βαV␈↓ ∧⊂␈εj␈↓ ∧≤␈ε~␈b␈↓ ∧?␈εn␈↓ ∧O␈εε/2␈ε~c
␈βα[␈↓ α"␈ε∪J2␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	v␈↓ β5␈ε↔ ␈↓ β`␈ε	u␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧}␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬v␈ε	j␈↓ ε∞␈ε↔∀␈↓ ε9␈ε	n␈↓ εM␈εβ.
␈βαf␈↓ β ␈εj␈↓ βs␈εj
␈βαk␈↓ ∧⊂␈εε0
␈ββ
␈↓ α"␈ε∪J3␈α␈.␈↓ αX␈εβFo␈α␈r␈↓ β↔␈ε	k␈↓ β0␈εβ=␈α
0␈α␈,␈α1␈α␈,␈↓ ∧%␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧Q␈εβ,␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ ¬↓␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈αse␈α␈t␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε&␈ε↔ ␈↓ εQ␈ε	v␈↓ εs␈εβ+␈↓ π≤␈ε	v␈↓ πg␈εβf␈α↓o␈α␈r␈↓ λ≠␈ε	j␈↓ λ3␈εβ=␈↓ λ↑␈ε	n␈↓ λy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 	G␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
λ␈ε	k␈↓ 
 ␈εβ+␈απ1,␈↓ 
m␈ε	k␈↓ 
}␈εβ.
␈ββ_␈↓ ε⊃␈εj␈↓ ε`␈εj␈↓ π*␈εj␈↓ π7␈εε+1
␈ββ:␈↓ ∧␈ε~b␈↓ ∧∃␈εn␈↓ ∧&␈εε/␈α␈2␈ε~c␈␈↓ ∧b␈εj
␈ββ?␈↓ α"␈ε∪J4␈α␈.␈↓ αX␈εβS␈α␈et␈↓ β⊃␈ε	v␈↓ β5␈ε↔ ␈↓ β`␈ε	v␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧y␈εβfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬q␈ε	j␈↓ ε
␈ε↔∀␈↓ ε4␈ε	n␈↓ εH␈εβ.
␈ββA␈↓ εv␈∧βAεv≠∂
␈ββJ␈↓ β ␈εj␈↓ βn␈εj
␈ββP␈↓ ∧␈εε0
␈ββx␈↓ βH␈εε2
␈ββ|␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
(␈↓ αn␈ε	n␈↓ β␈εβ+␈↓ β4␈ε	n␈↓ βU␈εβ)/2␈αad␈α␈ditions␈α␈,␈↓ ¬*␈ε	n␈↓ ¬G␈εβ+␈ε↔␈α	d␈↓ ¬⎇␈ε	n␈↓ ε⊃␈εβ/2␈ε↔e␈αλ␈␈εβ␈α	1␈α
m␈α␈u␈α␈ltiplication␈α␈s,␈↓ λ}␈ε	n␈↓ 	∨␈εβd␈α␈ivision␈α␈s.␈α⊃Ano␈α␈the␈α␈r
␈β∧$␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈αεa␈α␈nd␈αεd␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n␈αεcan␈αεb␈α␈e␈απsa␈α␈v␈α␈ed␈αεb␈α␈y␈αεtreatin␈α␈g␈↓ π(␈ε	v␈↓ πN␈εβan␈α␈d␈↓ λ
␈ε	v␈↓ λ,␈εβas␈αεspe␈α␈cial␈απca␈α␈ses.␈ε⊂␈α∞Re␈α␈f␈α↓e␈α␈renc␈α␈e:
␈β∧.␈↓ π7␈εn␈↓ λ→␈εε0
␈β∧K␈↓ ↓H␈ε⊂S␈α␈IGA␈α␈CT␈αNews␈ε∪␈α7␈εβ,␈α3␈α(S␈α␈umm␈α␈er␈α197␈α␈5),␈α32↑␈α␈34.
␈β∧}␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	x␈↓ αu␈εβ=␈↓ β#␈ε	x␈↓ βH␈εβ+␈↓ βs␈ε	j␈↓ ∧α␈ε	h␈↓ ∧∩␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
co␈α␈nside␈α␈r␈α∞(42␈α␈),␈α∂(44␈α␈).␈α∪Set␈↓ πO␈ε	y␈↓ πx␈ε↔ ␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λ;␈εβ(␈↓ λF␈ε	x␈↓ λb␈εβ)␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α∞0␈ε↔␈α
∀␈↓ 	}␈ε	j␈↓ 
~␈ε↔∀␈↓ 
I␈ε	n␈↓ 
]␈εβ.␈α∪Fo␈α␈r
␈β¬λ␈↓ α[␈εj␈↓ β3␈εε0␈↓ π←␈εj␈↓ λV␈εj
␈β¬%␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓d␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α∞2,␈↓ α`␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β
␈εβ,␈↓ β#␈ε	n␈↓ βD␈εβ(in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αorde␈α␈r),␈α∞set␈↓ ¬↑␈ε	y␈↓ εε␈ε↔ ␈↓ ε3␈ε	y␈↓ εW␈ε↔␈␈↓ π↓␈ε	y␈↓ πP␈εβfor␈↓ λ¬␈ε	j␈↓ λ!␈εβ=␈↓ λN␈ε	k␈↓ λ↑␈εβ,␈↓ λu␈ε	k␈↓ 	∞␈εβ+␈α	1,␈↓ 	←␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
"␈ε	n␈↓ 
C␈εβ(in␈α
th␈α␈is
␈β¬0␈↓ ¬m␈εj␈↓ εC␈εj␈↓ π⊃␈εj␈↓ π≥␈ε~␈␈εε1
␈β¬M␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈α␈)␈α↓.␈αNo␈α␈w␈↓ β␈ε	␈␈↓ β&␈εβ=␈↓ βP␈ε	y␈↓ βw␈εβfor␈αall␈↓ ∧Y␈ε	j␈↓ ∧h␈εβ.
␈β¬X␈↓ β⊂␈εj␈↓ β`␈εj
␈β¬␈␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈α(43).
␈βε2␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Com␈α␈b␈α␈inato␈α␈rial␈α⊂M␈α␈ath␈α␈ematics␈εβ␈α∂(Bu{alo:␈α∀Ma␈α␈th.␈α⊂Ass␈α␈oc.␈α⊂o␈α␈f␈α⊂America␈α␈,␈α⊃19␈α␈63),␈α⊃2␈α␈6↑2␈α␈8.]
␈βεY␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αλfo␈α␈rm␈α␈ula␈απc␈α␈an␈απb␈α␈e␈απrega␈α␈rded␈αεas␈απan␈αεap␈α␈plication␈αεof␈απthe␈απp␈α␈rincip␈α␈l␈α↓e␈απo␈α␈f␈αλin␈α␈clusion␈αεand␈αεex␈α␈c␈α␈l␈α↓u␈α␈sion
␈βπ↓␈↓ ↓H␈εβ(S␈α␈ection␈α1␈α␈.3.3),␈αsin␈α␈ce␈αthe␈αsu␈α␈m␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αterms␈αfor␈↓ εo␈ε	n␈↓ π␈ε↔␈␈↓ π4␈ε	∂␈↓ πT␈ε↔␈␈↓ π⎇␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ+␈ε↔␈␈↓ λT␈ε	∂␈↓ λz␈εβ=␈↓ 	%␈ε	k␈↓ 	@␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αsu␈α␈m␈αof␈αall
␈βπ␈↓ π@␈εε1␈↓ λ`␈εn
␈βπ(␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α]␈ε	x␈↓ β"␈εβfo␈α␈r␈αwh␈α␈ich␈↓ ∧6␈ε	k␈↓ ∧R␈εβv␈α␈alues␈αof␈αthe␈↓ ε→␈ε	j␈↓ ε;␈εβd␈α␈o␈αnot␈αap␈α␈pe␈α␈ar.␈αA␈αd␈α␈irect␈αpro␈α␈of␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βπ3␈↓ ↓W␈εε1␈↓ ↓d␈εj␈↓ α	␈εε2␈↓ α∃␈εj␈↓ αl␈εn␈↓ α|␈εj␈↓ ε%␈εi
␈βπ:␈↓ βπ␈ε
n
␈βπ;␈↓ ↓n␈επ1␈↓ α ␈επ2
␈βπP␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αo␈α␈bserv␈α␈ing␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ ελ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε4␈ε	x␈↓ εx␈εβi␈α↓s
␈βπ[␈↓ ¬`␈εε1␈↓ ¬l␈εj␈↓ εC␈εn␈↓ εT␈εj
␈βπa␈↓ ε↑␈ε
n
␈βπb␈↓ ¬w␈επ1
␈βπ␈␈↓ ∧i␈ε↓X
␈βλ≡␈↓ ¬e␈εn␈↓ ¬u␈ε~␈␈↓ ε∞␈ε∂␈↓ ε$␈ε~␈␈↓ ε=␈ε~↓↓↓␈↓ εR␈ε~␈␈↓ εk␈ε∂
␈βλ$␈↓ ¬≥␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬Z␈εβ)␈↓ π	␈ε	∂␈↓ π0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π]␈ε	∂␈↓ λα␈εβ;
␈βλ%␈↓ εu␈ε
n
␈βλ&␈↓ ε_␈επ1
␈βλ/␈↓ π∃␈εj␈↓ πi␈εj
␈βλ5␈↓ πs␈ε
n
␈βλ7␈↓ π∨␈επ1
␈βλx␈↓ ↓H␈εβif␈αthe␈↓ α!␈ε	j␈↓ α0␈εβ's␈αa␈α␈re␈αd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct,␈αth␈α␈is␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈α↓s␈αun␈α␈ity,␈αb␈α␈ut␈αif␈↓ εq␈ε	j␈↓ π
␈εβ,␈↓ π≡␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πK␈εβ,␈↓ π`␈ε	j␈↓ λε␈ε↔≤␈↓ λ1␈ε	k␈↓ λM␈εβth␈α␈en␈αit␈αis␈αzero,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αthe
␈β	β␈↓ ε⎇␈εε1␈↓ πl␈εn
␈β	 ␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rms␈αfor␈↓ αX␈ε	∂␈↓ αz␈εβ=␈α
0␈αca␈α␈nc␈α␈el␈αth␈α␈e␈αterm␈α␈s␈αf␈α↓o␈α␈r␈↓ ¬n␈ε	∂␈↓ ε⊃␈εβ=␈α	1.
␈β	*␈↓ αd␈εk␈↓ ¬z␈εk
␈β	G␈↓ α␈εβTo␈α
eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈α
the␈α
su␈α␈m␈αe}␈α␈cien␈α␈tly␈α␈,␈αwe␈α
ca␈α␈n␈αs␈α␈tart␈αwith␈↓ πj␈ε	∂␈↓ λ␈εβ=␈α	1,␈↓ λ[␈ε	∂␈↓ λ⎇␈εβ=␈↓ 	'␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	X␈εβ=␈↓ 
α␈ε	∂␈↓ 
(␈εβ=␈α	0,␈αa␈α␈nd
␈β	R␈↓ πv␈εε1␈↓ λg␈εε2␈↓ 
∞␈εn
␈β	o␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αthe␈α␈n␈αpro␈α␈ceed␈αthro␈α␈ugh␈αall␈α
co␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈↓ π]␈ε	∂␈↓ πj␈εβ's␈α
in␈αsu␈α␈ch␈αa␈αwa␈α␈y␈αth␈α␈at␈αon␈α␈l␈α↓y␈αone
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε	∂␈↓ ↓`␈εβcha␈α␈ng␈α␈es␈αfro␈α␈m␈αon␈α␈e␈αterm␈αto␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ext.␈α~(Se␈α␈e␈α\G␈α␈ray␈αcod␈α␈e"␈αi␈α↓n␈αCh␈α␈ap␈α␈ter␈α7␈α␈.␈α↓)␈α~Th␈α␈e␈αw␈α␈ork␈αto
␈β
:␈↓ λU␈εn
␈β
>␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈απthe␈απ|rs␈α␈t␈αλterm␈απis␈↓ ∧,␈ε	n␈↓ ∧C␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns;␈α	th␈α␈e␈αλs␈α␈ub␈α␈sequ␈α␈en␈α␈t␈↓ λD␈εβ2␈↓ λh␈ε↔␈␈εβ␈αβ2␈απterms␈απeach␈απin␈α␈v␈α}olv␈α␈e
␈β
b␈↓ 	n␈εn
␈β
f␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβad␈α␈dition␈α␈s,␈α
then␈↓ βH␈ε	n␈↓ βa␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	m␈α␈ultiplicatio␈α␈ns,␈α
th␈α␈en␈α	on␈α␈e␈α
m␈α␈ore␈α	ad␈α␈dition␈α␈.␈αTotal:␈α
(␈↓ 	]␈εβ2␈↓ 
∧␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)(␈↓ 
Q␈ε	n␈↓ 
j␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈)
␈β	␈↓ ∧⊂␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s,␈αand␈α
(␈↓ β␈␈εβ2␈↓ ∧'␈ε↔␈␈εβ␈αλ2)(␈↓ ∧w␈ε	n␈↓ ¬∩␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈αa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.␈αOn␈α␈l␈α↓y␈↓ πN␈ε	n␈↓ πj␈εβ+␈απ1␈αtem␈α␈p␈αsto␈α␈rage␈α
l␈α↓o␈α␈cation␈α␈s␈αare
␈β5␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eed␈α␈ed,␈αon␈α␈e␈αfor␈αth␈α␈e␈αma␈α␈i␈α↓n␈α
pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l␈αsu␈α␈m␈αan␈α␈d␈αo␈α␈ne␈αfo␈α␈r␈αe␈α␈ach␈α
factor␈αo␈α␈f␈αthe␈αcu␈α␈rren␈α}t␈αprod␈α␈uc␈α␈t.
␈βF␈↓ β}␈ε↓␈␈↓ ∧?␈ε↓↓␈↓ 
)␈ε↓␈␈↓ 
j␈ε↓↓
␈βI␈↓ α␈ε↓P␈↓ 	⊂␈ε↓P
␈β`␈↓ ∧≥␈εn␈↓ 
H␈εn
␈βc␈↓ ¬E␈εn␈↓ ¬U␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βg␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ β∂␈εβ(␈↓ β~␈ε	k␈↓ β5␈εβ+␈α1)␈↓ ∧a␈εβ=␈↓ ¬∃␈ε	n␈↓ ¬)␈εβ(␈↓ ¬4␈εβ2␈↓ επ␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)␈α∩m␈α}ultiplication␈α␈s␈α⊃an␈α␈d␈↓ 
_␈ε	k␈↓ ␈εβ=
␈βw␈↓ ∧␈εk␈↓ ∧→␈εε+1␈↓ 
7␈εk␈↓ 
D␈εε+1
␈βz␈↓ α2␈εε1␈ε~∀␈↓ αX␈εk␈↓ αe␈εε<␈↓ α}␈εn␈↓ 	6␈εε1␈ε~∀␈↓ 	\␈εk␈↓ 	i␈εε<␈↓ 
α␈εn
␈β⊃␈↓ ↓l␈εn␈↓ ↓⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ αc␈εn
␈β∃␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈εβ2␈↓ α*␈ε↔␈␈↓ αS␈εβ2␈↓ α{␈εβ+␈α	1␈αa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.␈α∞Th␈α␈i␈α↓s␈αis␈αap␈α␈pro␈α}xima␈α␈tely␈αh␈α␈alf␈α
a␈α␈s␈αman␈α}y␈αa␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c␈αo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s
␈β<␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α	the␈αλmeth␈α␈od␈αλof␈α	ex␈α}ercise␈α	9␈α␈,␈α
a␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈αλit␈α	requ␈α␈ires␈α	a␈αλmore␈αλcomp␈α␈li␈α↓c␈α␈ated␈αλpro␈α␈gram␈αλto␈α	c␈α␈on␈α␈tro␈α␈l
␈βB␈↓ ∧}␈ε↓␈␈↓ ¬I␈ε↓↓␈↓ ε	␈ε↓␈␈↓ εy␈ε↓↓
␈β\␈↓ ¬"␈εn␈↓ ε@␈εn
␈βd␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce.␈α∂App␈α␈ro␈α␈x␈α␈imately␈↓ ¬←␈εβ+␈↓ π∀␈εβte␈α␈mpo␈α␈rary␈αsto␈α␈rage␈αloc␈α␈ation␈α␈s␈α
m␈α}ust␈αbe
␈βt␈↓ ¬␈ε~d␈↓ ¬∃␈εn␈↓ ¬&␈εε/␈α␈2␈ε~e␈↓ ε↔␈ε~d␈↓ ε ␈εn␈↓ ε1␈εε/␈α␈2␈ε~e␈␈εε1
␈β

␈↓ λ≤␈εn
␈β
∂␈↓ λ←␈∧
∂λ←α∃
␈β
⊂␈↓ λ=␈ε↔p
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sed␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
this␈αgro␈α␈ws␈αe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈tially␈αlarg␈α␈e␈α(on␈αth␈α␈e␈αord␈α␈er␈αof␈↓ λ␈εβ2␈↓ λ-␈εβ/␈↓ λ←␈ε	n␈↓ λx␈εβ).
␈β
8␈↓ α␈εβThe␈αmeth␈α␈od␈α
in␈αthis␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
is␈α
equ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈α
to␈α
the␈αun␈α}usu␈α␈al␈α
matrix␈αf␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α
o␈α␈f
␈β
`␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈erma␈α␈nen␈α}t␈αfun␈α␈ction␈α
giv␈α␈en␈α
by␈α
Ju␈α␈rka␈α␈t␈αan␈α␈d␈αRy␈α␈ser␈αin␈ε⊂␈α
J.␈αAl␈α↓g␈α␈eb␈α␈ra␈ε∪␈α5␈εβ␈α(1␈α␈967␈α␈),␈α3␈α␈42↑␈α␈35␈α␈7.␈αIt
␈β∞π␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αbe␈αre␈α␈gard␈α␈ed␈αa␈α␈s␈αan␈α
app␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αo␈α␈f␈α(39)␈αan␈α␈d␈α(4␈α␈0),␈αin␈α
an␈αa␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αsen␈α␈se.
␈β∞7␈↓ α␈εα(
␈β∞:␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α_␈εβHere␈α	i␈α↓s␈α	a␈α
b␈α␈rief␈α
su␈α␈mmary␈α	o␈α␈f␈α
pro␈α␈gress␈α	on␈α	this␈α
fa␈α␈mou␈α␈s␈α
rese␈α␈arch␈α	pro␈α␈blem␈α␈:␈αJ.␈α
Ho␈α␈pcro␈α␈ft
␈β∞a␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞L.␈α∞R.␈α∂Ke␈α␈rr␈α∂p␈α␈ro␈α␈v␈α}ed,␈α∂am␈α␈ong␈α∞o␈α␈the␈α␈r␈α∂th␈α␈ings␈α␈,␈α⊂th␈α␈at␈α∞7␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈α∞a␈α␈re␈α∂n␈α␈ece␈α␈ssary␈α∞in
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α	α␈εβ␈α	2␈α∞ma␈α␈trix␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α
[␈ε⊂␈α↓S␈α␈IAM␈α∞J.␈α∞Ap␈α␈pl.␈α∞Mat␈α␈h.␈ε∪␈α∞20␈εβ␈α
(␈α↓1␈α␈971␈α␈),␈α∂30↑␈α␈36␈α␈]␈α↓.␈α∀R.␈α∞L.␈α∞P␈α↓ro␈α␈ber␈α␈t
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈α
all␈α∞7␈α␈-m␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
sch␈α␈eme␈α␈s,␈α∞in␈α
wh␈α␈i␈α↓ch␈αeac␈α␈h␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αtak␈α␈e␈α␈s␈α
a␈α
li␈α↓n␈α␈ea␈α␈r
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβc␈α␈om␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ation␈α
of␈α∞eleme␈α␈n␈α␈ts␈α∞from␈α
one␈α
matrix␈α∞a␈α␈nd␈α
m␈α␈ultiplies␈α∞b␈α␈y␈α∞a␈α∞line␈α␈ar␈α∞com␈α}bina␈α␈tion␈α∞o␈α␈f
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ts␈α	fro␈α␈m␈α	the␈α	o␈α␈ther,␈α	m␈α␈ust␈α	h␈α␈av␈α␈e␈α	a␈α␈t␈α	l␈α↓e␈α␈ast␈α	15␈α	a␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α	[␈ε⊂SIAM␈α	J␈α␈.␈α
Co␈α␈mpu␈α␈ting␈ε∪␈α	5␈εβ␈αλ(197␈α␈6),
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈87↑␈α␈203␈α␈].␈α∂F␈α↓o␈α␈r␈↓ β≡␈ε	n␈↓ β=␈εβ=␈α3,␈α
th␈α␈e␈α
b␈α␈est␈αmeth␈α␈od␈αkn␈α␈o␈α␈wn␈αis␈α
d␈α␈ue␈αto␈αJ␈α␈.␈α
D.␈αL␈α↓a␈α␈de␈α␈rman␈α[␈ε⊂Bull.␈α
Am␈α␈er.
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈α
So␈α␈c.␈ε∪␈α
8␈α␈2␈εβ␈α(␈α↓1␈α␈976␈α␈),␈α
126␈α␈↑12␈α␈8],␈α
who␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed␈αth␈α␈at␈α23␈αno␈α␈nco␈α␈mm␈α␈u␈α␈tativ␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈}ce␈α␈.␈α
Hi␈α↓s␈αεcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αεhas␈αεbee␈α␈n␈απg␈α␈ene␈α␈ralized␈αεby␈αεOn␈α␈drej␈απS␈↓ πu␈εβy␈↓ πv␈εβ∞␈↓ λλ␈εβk␈α}ora␈α␈,␈αλwho␈αεex␈α␈hibited␈αεa␈αεmeth␈α␈od
␈β⊃~␈↓ αl␈εε3␈↓ ∧≥␈εε2␈↓ λx␈εε3␈↓ 	M␈εε2␈↓  ␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quirin␈α␈g␈↓ αX␈ε	n␈↓ βα␈ε↔␈␈εβ␈α
(␈↓ β8␈ε	n␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈↓ ∧∩␈εβ)␈↓ ∧8␈εβno␈α␈nco␈α␈mm␈α␈u␈α␈tativ␈α␈e␈α∞m␈α␈ultiplicat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α∂a␈α␈nd␈↓ λd␈ε	n␈↓ 	∞␈ε↔␈␈↓ 	9␈ε	n␈↓ 	d␈εβ+␈α
1␈α␈1(␈↓ 
;␈ε	n␈↓ 
Y␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈↓ ∃␈εβ)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα714␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα*␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns,␈α	a␈αλresu␈α␈lt␈α	t␈α␈hat␈αλa␈α␈l␈α↓so␈αλre␈α␈du␈α␈ces␈αλto␈αλ(36␈α␈)␈α	wh␈α␈en␈↓ π∧␈ε	n␈↓ π!␈εβ=␈α
2␈αλ[␈ε⊂Lectu␈α␈re␈αλNotes␈αλin␈αλCo␈α␈mp.␈αλSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈αλ53
␈βαN␈↓ 
c␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈977␈α␈),␈α5␈α␈04↑␈α␈512␈α␈]␈α↓.␈α
The␈α
b␈α␈est␈α
lo␈α␈w␈α␈e␈α␈r␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈α
k␈α␈no␈α}wn␈α
to␈α	h␈α␈old␈α
fo␈α␈r␈α
all␈↓ λ@␈ε	n␈↓ λ↑␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
fac␈α␈t␈α
tha␈α␈t␈α
2␈↓ 
O␈ε	n␈↓ 
u␈ε↔␈␈εβ␈αε1
␈βαy␈↓ ↓H␈εβn␈α␈on␈α␈scalar␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
n␈α␈ece␈α␈ssary␈α	[Je␈α␈an-Pau␈α␈l␈α
Lafo␈α␈n␈α	an␈α␈d␈α	S.␈α	W␈α↓in␈α␈ogra␈α␈d,␈ε⊂␈α
Th␈α␈eoret␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε⊂Co␈α␈mp␈α␈.␈α∞Sci.␈εβ,␈α∂to␈α
ap␈α␈pea␈α␈r].␈α∀Th␈α␈e␈α∞b␈α␈est␈α∞u␈α␈pp␈α␈er␈α
bou␈α␈nd␈α␈s␈α∞k␈α␈no␈α}w␈α↓n␈α
for␈α
large␈↓ 	∪␈ε	n␈↓ 	5␈εβco␈α␈me␈α∞fro␈α␈m␈α∞Pan␈α␈'s
␈ββF␈↓ ∧p␈εα)
␈ββI␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ruction␈α␈s,␈αcf.␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α5␈α␈9.
␈ββx␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβBy␈αsu␈α␈mming␈α
geo␈α␈metric␈αseries,␈αw␈α␈e␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈at␈↓ π∧␈ε	F␈↓ π≠␈εβ(␈↓ π&␈ε	t␈↓ π=␈εβ,␈↓ πK␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πx␈εβ,␈↓ λπ␈ε	t␈↓ λ!␈εβ)␈αequ␈α␈als
␈β∧α␈↓ π0␈εε1␈↓ λ⊃␈εn
␈β∧∞␈↓ ↓l␈ε↓P
␈β∧)␈↓ ∧b␈εα(␈↓ 	[␈εα)
␈β∧,␈↓ ∧/␈εβe␈α␈xp␈↓ ∧n␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ¬ ␈ε	→␈↓ ¬3␈ε	i␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	s␈↓ ¬b␈ε	t␈↓ ¬y␈εβ/␈↓ ε
␈ε	m␈↓ ε:␈εβ+␈↓ εc␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ π⊃␈εβ+␈↓ π:␈ε	s␈↓ πU␈ε	t␈↓ πo␈εβ/␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λ8␈ε	f␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε	s␈↓ λj␈εβ,␈↓ λy␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	&␈εβ,␈↓ 	4␈ε	s␈↓ 	P␈εβ)␈↓ 	g␈εβ/␈↓ 	x␈ε	m␈↓ 
&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
R␈ε	m␈↓ 
␈␈εβ.
␈β∧6␈↓ ¬V␈εε1␈↓ ¬l␈εε1␈↓ ε&␈εε1␈↓ πE␈εn␈↓ π←␈εn␈↓ λ≤␈εn␈↓ λ↑␈εε1␈↓ 	?␈εn␈↓ 
∀␈εε1␈↓ 
o␈εn
␈β∧>␈↓ α∩␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α8␈εs␈↓ αL␈εε<␈↓ αf␈εm␈↓ βλ␈εε,␈↓ β∂␈εε...␈↓ β$␈εε,0␈ε~␈α␈∀␈↓ βQ␈εs␈↓ βj␈εε<␈↓ ∧β␈εm
␈β∧E␈↓ βZ␈ε
n␈↓ ∧~␈ε
n
␈β∧F␈↓ αA␈επ1␈↓ α|␈επ1
␈β∧`␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αin␈α␈v␈α}erse␈αtra␈α␈nsfor␈α␈m␈αtimes␈↓ ∧m␈ε	m␈↓ ¬≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬H␈ε	m␈↓ ¬␈␈εβcan␈α
be␈α
f␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αd␈α␈oing␈α
a␈αre␈α␈gular␈α
tran␈α␈sform␈αa␈α␈nd
␈β∧k␈↓ ¬	␈εε1␈↓ ¬d␈εn
␈β¬λ␈↓ ↓H␈εβin␈α}terch␈α␈ang␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ β_␈ε	t␈↓ β9␈εβwith␈↓ ∧¬␈ε	m␈↓ ∧5␈ε↔␈␈↓ ∧]␈ε	t␈↓ ∧}␈εβwhen␈↓ ¬U␈ε	t␈↓ ¬u␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈αcf.␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
4.3.3↑1␈α␈5.
␈β¬∩␈↓ β"␈εj␈↓ ∧!␈εj␈↓ ∧g␈εj␈↓ ¬←␈εj
␈β¬*␈↓ π≤␈εt
␈β¬+␈↓ πn␈εt
␈β¬,␈↓ α␈εα(
␈β¬/␈↓ α_␈εβIf␈αλw␈α␈e␈απreg␈α␈ard␈↓ βG␈ε	F␈↓ β↑␈εβ(␈↓ βi␈ε	t␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧;␈εβ,␈↓ ∧J␈ε	t␈↓ ∧d␈εβ)␈απas␈απthe␈απco␈α␈e}cien␈α}t␈αλo␈α␈f␈↓ π␈ε	x␈↓ π0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π\␈ε	x␈↓ λ
␈εβi␈α↓n␈αεa␈απm␈α␈ultiva␈α␈riate␈απpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial,
␈β¬2␈↓ π%␈επ1␈↓ πw␈ε
n
␈β¬:␈↓ βs␈εε1␈↓ ∧T␈εn
␈β¬>␈↓ πn␈εn
␈β¬@␈↓ π≤␈εε1
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	|n␈α␈ite␈α	F␈α↓o␈α␈urier␈α	tra␈α␈nsform␈αλamou␈α␈n␈α␈ts␈α	to␈α	e␈α␈va␈α␈l␈α↓u␈α␈ation␈αλof␈α	this␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α	at␈α	roo␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α	un␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β¬|␈↓ 
⊃␈εα)
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αin␈α␈v␈α}erse␈αtra␈α␈nsfo␈α␈rm␈αamo␈α␈un␈α}ts␈αto␈α|n␈α␈din␈α␈g␈αthe␈α
i␈α↓n␈α}terp␈α␈olating␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l.
␈βε*␈↓ π|␈εn␈↓ λ␈ε~␈␈εε1
␈βε.␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αM␈ε	m␈↓ βπ␈εβ=␈↓ β8␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βo␈εβ=␈↓ ∧!␈ε	m␈↓ ∧↑␈εβ=␈α⊂2,␈↓ ¬:␈ε	F␈↓ ¬Q␈εβ(␈↓ ¬\␈ε	t␈↓ ¬r␈εβ,␈↓ ε↓␈ε	t␈↓ ε_␈εβ,␈↓ ε'␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εS␈εβ,␈↓ εb␈ε	t␈↓ ε|␈εβ)␈α⊂=␈↓ πI␈ε	F␈↓ π`␈εβ(␈↓ πk␈εβ2␈↓ λ2␈ε	t␈↓ λW␈εβ+␈↓ 	α␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	3␈εβ+␈α2␈↓ 	o␈ε	t␈↓ 
⊂␈εβ+␈↓ 
<␈ε	t␈↓ 
R␈εβ),␈α⊃a␈α␈nd
␈βε8␈↓ αj␈εε1␈↓ ∧=␈εn␈↓ ¬f␈εε1␈↓ ε␈εε2␈↓ εl␈εn␈↓ λ<␈εn␈↓ 	y␈εε2␈↓ 
E␈εε1
␈βεQ␈↓ βs␈εn␈↓ ∧β␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬α␈εn␈↓ ¬∪␈ε~␈␈εε2
␈βεU␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	s␈↓ ↓z␈εβ,␈↓ α	␈ε	s␈↓ α!␈εβ,␈↓ α0␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α\␈εβ,␈↓ αk␈ε	s␈↓ βε␈εβ)␈α=␈↓ βG␈ε	f␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈εβ2␈↓ ∧)␈ε	s␈↓ ∧I␈εβ+␈↓ ∧r␈εβ2␈↓ ¬8␈ε	s␈↓ ¬X␈εβ+␈↓ ε↓␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε0␈εβ+␈↓ εY␈ε	s␈↓ εt␈εβ)␈α↓;␈αn␈α␈ote␈αth␈α␈e␈αre␈α␈v␈α␈erse␈α␈d␈αtre␈α␈atmen␈α}t␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈βε`␈↓ ↓n␈εε1␈↓ α∀␈εε2␈↓ αv␈εn␈↓ ∧4␈εε1␈↓ ¬D␈εε2␈↓ εd␈εn
␈βεy␈↓ πU␈εk␈↓ πc␈ε~␈␈εε1␈↓ 
R␈εn␈↓ 
c␈ε~␈␈↓ 
|␈εk
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓T␈εβ's␈α	an␈α␈d␈↓ α2␈ε	s␈↓ α@␈εβ's.␈αAlso␈α	l␈α↓e␈α␈t␈↓ βa␈ε	g␈↓ β{␈εβ(␈↓ ∧ε␈ε	s␈↓ ∧≡␈εβ,␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈εβ,␈↓ ∧h␈ε	s␈↓ ¬∧␈εβ,␈↓ ¬∪␈ε	t␈↓ ¬*␈εβ)␈α	be␈↓ ¬i␈ε	|␈↓ ελ␈εβr␈α␈aised␈α	to␈α	the␈↓ πE␈εβ2␈↓ λλ␈ε	t␈↓ λ ␈εβ(␈↓ λ+␈ε	s␈↓ λK␈εβ+␈αε2␈↓ 	α␈ε	s␈↓ 	I␈εβ+␈↓ 	o␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
≠␈εβ+␈↓ 
B␈εβ2␈↓ 	␈ε	s␈↓ !␈εβ)
␈βππ␈↓ βn␈εk␈↓ ∧⊃␈εk␈↓ ∧s␈εn␈↓ ¬≤␈εk␈↓ λ∩␈εk␈↓ λ6␈εn␈↓ 	
␈εn␈↓ 	≡␈ε~␈␈εε1␈↓ ∀␈εk
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβp␈α␈o␈α␈w␈α␈er.
␈βπH␈↓ εL␈εn␈↓ ε\␈ε~␈␈εε1
␈βπL␈↓ α␈εβAt␈α∞eac␈α␈h␈α∞iteratio␈α␈n␈α∞w␈α␈e␈α∞essen␈α}tiall␈α↓y␈α
tak␈α}e␈↓ ε;␈εβ2␈↓ π⊂␈εβpa␈α␈i␈α↓r␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈α∞comp␈α␈lex␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∞(␈↓ 
(␈ε	␈↓ 
:␈εβ,␈↓ 
I␈ε	␈␈↓ 
↑␈εβ)␈α∞a␈α␈nd
␈βπt␈↓ ↓H␈εβre␈α␈place␈αεthem␈αεby␈απ(␈↓ β=␈ε	␈↓ βQ␈εβ+␈↓ βt␈ε	⊂␈↓ ∧α␈ε	␈␈↓ ∧⊗␈εβ,␈↓ ∧%␈ε	␈↓ ∧9␈ε↔␈␈↓ ∧]␈ε	⊂␈↓ ∧j␈ε	␈␈↓ ∧␈␈εβ),␈αλwhe␈α␈re␈↓ ¬w␈ε	⊂␈↓ ε␈εβis␈απa␈απsu␈α␈i␈α↓ta␈α␈ble␈απp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈απof␈↓ λ8␈ε	|␈↓ λM␈εβ,␈αλhe␈α␈nce␈↓ 	7␈ε	⊂␈↓ 	N␈εβ=␈↓ 	x␈εβcos␈↓ 
*␈ε	∩␈↓ 
:␈εβ+␈↓ 
↑␈ε	i␈↓ 
p␈εβsin␈↓ ≡␈ε	∩
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
som␈α␈e␈↓ αL␈ε	∩␈↓ αZ␈εβ.␈αIf␈α
w␈α␈e␈α
tak␈α}e␈α
a␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈ge␈α
o␈α␈f␈α
simpli|c␈α␈ation␈α␈s␈α
whe␈α␈n␈↓ πy␈ε	⊂␈↓ λ⊂␈εβ=␈ε↔␈α	ε␈εβ␈α↓1␈α	or␈ε↔␈α	ε␈↓ 	?␈ε	i␈↓ 	L␈εβ,␈α
th␈α␈e␈α
tota␈α␈l␈α
w␈α␈ork
␈βλ?␈↓ βg␈εn␈↓ βw␈ε~␈␈εε1␈↓ λJ␈εn
␈βλ@␈↓ αO␈εα(␈↓ ∧Z␈εα)
␈βλC␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omes␈α	to␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	n␈↓ β␈ε↔␈␈εβ␈α¬3)␈ε↔␈αε↓␈↓ βV␈εβ2␈↓ ∧"␈εβ+␈αε2␈↓ ∧o␈εβcom␈α␈plex␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈α	an␈α␈d␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ+␈ε↔↓␈↓ λ9␈εβ2␈↓ λd␈εβco␈α␈mplex␈α	a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns;␈α
the
␈βλj␈↓ ↓H␈εβte␈α␈chn␈α␈ique␈α␈s␈αof␈αex␈α}ercise␈α4␈α␈1␈αc␈α␈an␈αbe␈αu␈α␈sed␈αto␈αre␈α␈du␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αrea␈α␈l␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αad␈α␈dition␈α␈s
␈β	∩␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sed␈α
to␈αimplem␈α␈en␈α␈t␈αth␈α␈ese␈αco␈α␈mplex␈α
ope␈α␈ration␈α␈s.
␈β	:␈↓ α␈εβThe␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
of␈α
co␈α␈mplex␈α	m␈α␈ultiplicatio␈α␈ns␈α
can␈α	be␈α
red␈α␈uc␈α␈ed␈α
a␈α␈bou␈α␈t␈α
25␈α
p␈α␈er␈α
cen␈α}t␈αwith␈α␈ou␈α␈t
␈β	a␈↓ ↓H␈εβc␈α␈han␈α␈gin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αad␈α␈dition␈α␈s␈αb␈α␈y␈αc␈α␈om␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αpa␈α␈sses␈↓ πv␈ε	k␈↓ λ∩␈εβa␈α␈nd␈↓ λS␈ε	k␈↓ λk␈εβ+␈αλ1␈αfor␈↓ 	e␈ε	k␈↓ 
␈εβ=␈α
1,␈α3,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ;
␈β
¬␈↓ βE␈εn␈↓ βU␈ε~␈␈εε2␈↓ 
,␈εε2␈↓ π␈εε3
␈β
	␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αm␈α␈ean␈α␈s␈αt␈α␈hat␈↓ β4␈εβ2␈↓ ∧¬␈εβqu␈α␈ad␈α␈rup␈α␈les␈α
(␈↓ ¬8␈ε	␈↓ ¬J␈εβ,␈↓ ¬Y␈ε	␈␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	␈
␈↓ ε∞␈εβ,␈↓ ε≥␈ε	∞␈↓ ε-␈εβ)␈α
are␈α
b␈α␈ei␈α↓n␈α␈g␈α
rep␈α␈laced␈α
b␈α␈y␈α
(␈↓ 	∞␈ε	␈↓ 	'␈εβ+␈↓ 	N␈ε	⊂␈↓ 	\␈ε	␈␈↓ 	w␈εβ+␈↓ 
≡␈ε	⊂␈↓ 
9␈ε	␈
␈↓ 
Q␈εβ+␈↓ 
y␈ε	⊂␈↓ ∪␈ε	∞␈↓ #␈εβ,
␈β
,␈↓ αj␈εε2␈↓ βM␈εε3␈↓ ¬∩␈εε2␈↓ ¬h␈εε3␈↓ π:␈εε2␈↓ λ≥␈εε3
␈β
0␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓↑␈εβ+␈↓ α∧␈ε	i␈↓ α⊂␈ε	⊂␈↓ α≡␈ε	␈␈↓ α7␈ε↔␈␈↓ α\␈ε	⊂␈↓ αw␈ε	␈
␈↓ β
␈ε↔␈␈↓ β3␈ε	i␈↓ β@␈ε	⊂␈↓ βZ␈ε	∞␈↓ βj␈εβ,␈↓ β|␈ε	␈↓ ∧∪␈ε↔␈␈↓ ∧8␈ε	⊂␈↓ ∧F␈ε	␈␈↓ ∧←␈εβ+␈↓ ¬∧␈ε	⊂␈↓ ¬≡␈ε	␈
␈↓ ¬5␈ε↔␈␈↓ ¬Z␈ε	⊂␈↓ ¬u␈ε	∞␈↓ ε¬␈εβ,␈↓ ε↔␈ε	␈↓ ε.␈ε↔␈␈↓ εS␈ε	i␈↓ ε`␈ε	⊂␈↓ εn␈ε	␈␈↓ πε␈ε↔␈␈↓ π,␈ε	⊂␈↓ πF␈ε	␈
␈↓ π]␈εβ+␈↓ λα␈ε	i␈↓ λ∂␈ε	⊂␈↓ λ)␈ε	∞␈↓ λ9␈εβ).␈αTh␈α␈e␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	o␈α␈f␈α	com␈α␈plex
␈β
T␈↓ λ[␈εn␈↓ λk␈ε~␈␈εε3␈↓ 	o␈εn␈↓ 	␈␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
X␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αwhen␈↓ ∧↓␈ε	n␈↓ ∧ ␈εβi␈α↓s␈αe␈α␈v␈α␈en␈α
i␈α↓s␈αth␈α␈ereb␈α␈y␈αred␈α␈uc␈α␈ed␈αto␈α
(␈α↓3␈↓ πj␈ε	n␈↓ λε␈ε↔␈␈εβ␈απ2)␈↓ λJ␈εβ2␈↓ 	_␈ε↔␈␈εβ␈αλ5␈ε↔b␈↓ 	←␈εβ2␈↓ 
%␈εβ/3␈ε↔c␈εβ.
␈β␈↓ α␈εβThe␈α␈se␈α	calcu␈α␈lation␈α␈s␈α	assu␈α␈me␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	giv␈α␈e␈α␈n␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ πd␈ε	F␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε	t␈↓ λ∩␈εβ)␈α	are␈α	c␈α␈omp␈α␈lex.␈α
If␈α
th␈α␈e␈↓ 
>␈ε	F␈↓ 
U␈εβ(␈↓ 
`␈ε	t␈↓ 
l␈εβ)␈α	are
␈β#␈↓ εM␈εn
␈β'␈↓ ↓H␈εβre␈α␈al,␈α	then␈↓ αX␈ε	f␈↓ αh␈εβ(␈↓ αs␈ε	s␈↓ β↓␈εβ)␈αλis␈αλthe␈αλco␈α␈mplex␈απcon␈α␈jug␈α␈ate␈αλof␈↓ ε"␈ε	f␈↓ ε2␈εβ(␈↓ ε=␈εβ2␈↓ εa␈ε↔␈␈↓ πε␈ε	s␈↓ π∀␈εβ),␈α	so␈αλit␈αλis␈αλdesira␈α␈ble␈αλto␈αλav␈α}oid␈αλth␈α␈e␈αλred␈α␈un␈α␈-
␈βK␈↓ ∧{␈εn␈↓ 
.␈εn␈↓ 
>␈ε~␈␈εε1
␈βO␈↓ ↓H␈εβd␈α␈an␈α␈cy␈αεby␈αεc␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈απo␈α␈nly␈αεth␈α␈e␈↓ ∧k␈εβ2␈↓ ¬∩␈εβind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈αεreal␈απn␈α}um␈α}bers␈↓ λε␈ε	f␈↓ λ⊗␈εβ(0),␈ε↔␈απ<␈↓ λf␈ε	f␈↓ λu␈εβ(1),␈↓ 	-␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	Y␈εβ,␈ε↔␈αλ<␈↓ 
α␈ε	f␈↓ 
∩␈εβ(␈↓ 
≥␈εβ2␈↓ 
e␈ε↔␈␈εβ␈α↓1),
␈βr␈↓ ↓s␈εn␈↓ αβ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧4␈εn␈↓ ∧D␈ε~␈␈εε1
␈βv␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈εβ2␈↓ α)␈εβ),␈ε↔␈α
=␈↓ αb␈ε	f␈↓ αr␈εβ(1),␈↓ β.␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β[␈εβ,␈ε↔␈α=␈↓ ∧λ␈ε	f␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧#␈εβ2␈↓ ∧r␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α∞The␈αen␈α␈tire␈αc␈α␈alculatio␈α␈n␈αin␈αth␈α␈is␈αcase␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αd␈α␈one␈αby
␈β~␈↓ β_␈εn␈↓ εi␈εε[␈↓ εp␈εk␈↓ ε}␈εε]
␈β≡␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rking␈α¬with␈↓ βπ␈εβ2␈↓ β.␈εβreal␈α¬valu␈α␈es,␈απusin␈α␈g␈αεth␈α␈e␈αεfa␈α␈ct␈αεth␈α␈at␈↓ εZ␈ε	f␈↓ π¬␈εβ(␈↓ π⊂␈ε	s␈↓ πw␈εβ,␈↓ λε␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ3␈εβ,␈↓ λA␈ε	s␈↓ λ]␈εβ,␈↓ λl␈ε	t␈↓ 	α␈εβ,␈↓ 	⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	=␈εβ,␈↓ 	L␈ε	t␈↓ 

␈εβ)␈αεwill␈αεbe␈α¬the
␈β)␈↓ π≠␈εn␈↓ π+␈ε~␈␈↓ πD␈εk␈↓ πR␈εε+1␈↓ λL␈εn␈↓ λv␈εε1␈↓ 	V␈εn␈↓ 	f␈ε~␈␈↓ 
␈εk
␈βB␈↓ ∧∃␈εε[␈↓ ∧≤␈εk␈↓ ∧)␈εε]␈↓ ∧I␈ε~0␈↓ ¬⎇␈ε~0␈↓ 	t␈ε~0␈↓ 
@␈ε~0
␈βF␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈α	con␈α␈juga␈α␈te␈α	of␈↓ ∧¬␈ε	f␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	s␈↓ ¬%␈εβ,␈↓ ¬4␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬`␈εβ,␈↓ ¬o␈ε	s␈↓ ε
␈εβ,␈↓ ε≤␈ε	t␈↓ ε3␈εβ,␈↓ εA␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εn␈εβ,␈↓ ε⎇␈ε	t␈↓ π=␈εβ)␈α
wh␈α␈en␈α	(␈↓ λ2␈ε	s␈↓ λO␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ|␈ε	s␈↓ 	↔␈εβ)␈↓ 	4␈εβ+␈αε(␈↓ 	f␈ε	s␈↓ 
ε␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
2␈ε	s␈↓ 
P␈εβ)␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
0
␈βP␈↓ ε&␈εε1␈↓ ππ␈εn␈↓ π↔␈ε~␈␈↓ π0␈εk␈↓ λ=␈εε1␈↓ 	π␈εn␈↓ 	"␈εε2␈↓ 
[␈εε2
␈βU␈↓ ∧I␈εn␈↓ ∧Y␈ε~␈␈↓ ∧r␈εk␈↓ ∧␈␈εε+1␈↓ ¬⎇␈εn␈↓ 	t␈εε1␈↓ 
@␈εn
␈βi␈↓ αZ␈εn
␈βm␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αj␈εβ).␈α∩Abo␈α␈ut␈α
h␈α␈alf␈α∞a␈α␈s␈α∞m␈α␈an␈α␈y␈αm␈α␈ultiplicat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
an␈α␈d␈α
ad␈α␈dition␈α␈s␈α
are␈α
ne␈α␈eded␈αas␈α
in␈α
the
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈αca␈α␈se.
␈β
<␈↓ α␈εβ[The␈α	fas␈α␈t␈α
Fo␈α␈urier␈α	tran␈α␈sform␈α	a␈α␈lgorith␈α␈m␈α	i␈α↓s␈α	e␈α␈ssen␈α␈tially␈α	d␈α␈ue␈α	to␈αλC.␈α
Ru␈α␈ng␈α␈e␈α	an␈α␈d␈α	H.␈α	K␈↓ 
o␈εβ∪␈↓ 
o␈εβo␈↓ ␈εβnig
␈β
d␈↓ ↓H␈εβin␈α192␈α␈4,␈α∞a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈αwas␈α
gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ized␈αb␈α␈y␈α
J.␈α
W.␈α
Cooley␈αan␈α␈d␈α
J␈α␈.␈α∞W.␈α
Tuk␈α}ey,␈ε⊂␈α
Ma␈α␈th.␈α
Com␈α␈p.␈ε∪␈α
19
␈β∞␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈965␈α␈),␈α	29␈α␈7↑3␈α␈01.␈α
Its␈απi␈α↓n␈α}terestin␈α␈g␈αλh␈α␈istory␈απh␈α␈as␈αλb␈α␈een␈απtra␈α␈ced␈απby␈απJ␈α␈.␈αλW␈α↓.␈απCooley␈α␈,␈α	P.␈αλA.␈αλW.␈αλLewis,
␈β∞3␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
P.␈α∂D␈α␈.␈α∞W␈α↓elch␈α␈,␈ε⊂␈α∂Proc.␈α∞IEEE␈ε∪␈α∞55␈εβ␈α
(196␈α␈7),␈α∂1␈α␈675␈α␈↑16␈α␈77.␈α∪Deta␈α␈i␈α↓ls␈α∞c␈α␈onc␈α␈ernin␈α␈g␈α∞its␈α∞u␈α␈se␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β∞[␈↓ ↓H␈εβb␈α␈een␈α
d␈α␈i␈α↓sc␈α␈ussed␈α
b␈α␈y␈α
R.␈αC.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈gleton␈α␈,␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α
10␈εβ␈α
(19␈α␈67),␈α64␈α␈7↑␈α␈654␈α␈;␈αM.␈αC.␈αPeas␈α␈e,␈ε⊂␈αJA␈α␈CM␈ε∪␈α
15
␈β∂α␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈968␈α␈),␈α252␈α␈↑26␈α␈4;␈αG.␈αD.␈αBerg␈α␈lun␈α␈d,␈ε⊂␈αMa␈α␈th.␈αComp␈α␈.␈ε∪␈α22␈εβ␈α(19␈α␈68),␈α2␈α␈75↑␈α␈279␈α␈,␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α11␈εβ␈α(196␈α␈8),
␈β∂*␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈03↑␈α␈710␈α␈;␈αA.␈αM.␈αM␈α␈acn␈α␈agh␈α}ten␈αan␈α␈d␈αC.␈αA.␈αR.␈αHoa␈α␈re,␈ε⊂␈αCom␈α␈p.␈αJ␈α␈.␈ε∪␈α20␈εβ␈α(197␈α␈7),␈α78␈α␈↑83␈α␈.␈α
See␈αalso
␈β∂R␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercises␈α5␈α␈3␈αan␈α␈d␈α5␈α␈7.]
␈β∂⎇␈↓ λS␈εε(␈↓ λ[␈εn␈↓ λk␈εε)
␈β⊂↓␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ(a)␈α
The␈α
h␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α}w␈α↓s␈α
b␈α␈y␈α
in␈α␈teg␈α␈ration␈α
a␈α␈nd␈α
in␈α␈du␈α␈ction.␈α∩Let␈↓ λC␈ε	f␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε	∩␈↓ 	
␈εβ)␈α∞t␈α␈ak␈α␈e␈α
o␈α␈n␈α
all␈α∞v␈α␈alue␈α␈s
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈↓ αD␈ε	A␈↓ αb␈εβa␈α␈nd␈↓ β∨␈ε	B␈↓ β=␈εβin␈α␈clusiv␈α␈e,␈αλas␈↓ ∧p␈ε	∩␈↓ ¬ε␈εβva␈α␈ries␈αλfro␈α␈m␈↓ ε/␈εβmin␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε	x␈↓ π
␈εβ,␈↓ π≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πI␈εβ,␈↓ πW␈ε	x␈↓ πw␈εβ)␈αλto␈↓ λ/␈εβma␈α␈x␈↓ λn␈εβ(␈↓ λy␈ε	x␈↓ 	∃␈εβ,␈↓ 	$␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	P␈εβ,␈↓ 	←␈ε	x␈↓ 	␈␈εβ).␈α
Rep␈α␈l␈α↓a␈α␈cing
␈β⊂3␈↓ π↓␈εε0␈↓ πg␈εn␈↓ 	λ␈εε0␈↓ 	n␈εn
␈β⊂L␈↓ ↓W␈εε(␈↓ ↓`␈εn␈↓ ↓p␈εε)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ αβ␈εβby␈α
th␈α␈ese␈α
bo␈α␈un␈α␈ds,␈αin␈α
th␈α␈e␈αst␈α␈ated␈α
in␈α␈te␈α␈gral,␈αy␈α␈i␈α↓e␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈↓ π%␈ε	A␈↓ π;␈εβ/␈↓ πK␈ε	n␈↓ π←␈εβ!␈ε↔␈α
∀␈↓ λ≥␈ε	f␈↓ λ,␈εβ(␈↓ λ7␈ε	x␈↓ λS␈εβ,␈↓ λb␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∂␈εβ,␈↓ 	≥␈ε	x␈↓ 	=␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ 	|␈ε	B␈↓ 
∩␈εβ/␈↓ 
#␈ε	n␈↓ 
7␈εβ!.␈α_(b)␈α
It
␈β⊂Z␈↓ λG␈εε0␈↓ 	-␈εn
␈β⊂s␈↓ ␈εε(␈↓ ∀␈εn␈↓ $␈εε)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈}ce␈α␈s␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αthis␈αfor␈↓ ∧1␈ε	j␈↓ ∧J␈εβ=␈↓ ∧u␈ε	n␈↓ ¬	␈εβ.␈αLet␈↓ ¬[␈ε	f␈↓ ¬v␈εβb␈α␈e␈αNewton␈α␈'␈α↓s␈αin␈α␈te␈α␈rpo␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈olyn␈α␈omial,␈αt␈α␈hen␈↓ 
|␈ε	f
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈stan␈α}t␈↓ β(␈ε	n␈↓ β<␈εβ!␈↓ βF␈ε	␈↓ βg␈εβ.
␈β⊃*␈↓ βW␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα715
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβCarr␈α␈y␈αou␈α␈t␈αth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈α
and␈α
ad␈α␈dition␈α␈s␈αof␈α(4␈α␈3)␈αas␈αo␈α␈pe␈α␈ration␈α␈s␈αon␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials.
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈α
sp␈α␈ecial␈α
ca␈α␈se␈↓ βN␈ε	x␈↓ βv␈εβ=␈↓ ∧#␈ε	x␈↓ ∧K␈εβ=␈↓ ∧y␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬,␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε	x␈↓ ε¬␈εβi␈α↓s␈αcon␈α␈si␈α↓d␈α␈ered␈αin␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α
2.␈α⊂We␈α
h␈α␈av␈α␈e␈αused␈αth␈α␈is
␈βα\␈↓ β]␈εε0␈↓ ∧3␈εε1␈↓ ¬h␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d␈αin␈αste␈α␈p␈αC8␈αo␈α␈f␈αAlg␈α␈orithm␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.3C.)
␈ββ/␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβT.␈αM␈α␈.␈αVa␈α␈ri␈αh␈α␈as␈α
sho␈α}wn␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬2␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α	m␈α␈ultiplication␈α␈s␈α
are␈α
n␈α␈ecessa␈α␈ry,␈α
by␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
tha␈α␈t␈↓ _␈ε	n
␈ββS␈↓ ∧@␈εε2␈↓ ¬J␈εε2
␈ββW␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αεne␈α␈cessa␈α␈ry␈αεto␈αεc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ ∧.␈ε	x␈↓ ∧M␈εβ+␈↓ ∧o␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬⊗␈εβ+␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬`␈εβ[Corn␈α␈ell␈απC␈α␈omp␈α␈uter␈αεS␈α␈cien␈α␈ce␈αεrep␈α␈ort␈αε1␈α␈20␈αε(J␈α␈an.␈α	197␈α␈2)].
␈ββf␈↓ ∧@␈εε1␈↓ ¬J␈εn
␈β∧	␈↓ αg␈εε1
␈β∧
␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈ε	␈↓ α6␈εβ=␈↓ αx␈εβ(␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β"␈εβ/␈↓ β3␈ε	u␈↓ β[␈εβ+␈α	1),␈↓ ∧7␈ε	␈␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬¬␈ε	u␈↓ ¬%␈εβ/␈↓ ¬6␈ε	u␈↓ ¬↑␈ε↔␈␈↓ ελ␈ε	␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	␈↓ εW␈ε↔␈␈εβ␈α	1),␈↓ π3␈ε	␈↓ π↑␈εβ=␈↓ λ␈ε	␈↓ λ)␈ε	␈␈↓ λF␈ε↔␈␈↓ λp␈ε	u␈↓ 	∂␈εβ/␈↓ 	 ␈ε	u␈↓ 	@␈εβ,␈↓ 	V␈ε	␈↓ 
␈εβ=␈↓ 
.␈ε	␈␈↓ 
K␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈↓ ¬␈ε	␈↓ #␈εβ,
␈β∧↔␈↓ α≥␈εε0␈↓ β⊗␈εε3␈↓ βF␈εε4␈↓ ¬_␈εε2␈↓ ¬I␈εε4␈↓ ε→␈εε0␈↓ εB␈εε0␈↓ πE␈εε1␈↓ λ≤␈εε0␈↓ 	β␈εε1␈↓ 	3␈εε4␈↓ 	h␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β∧≠␈↓ αg␈∧∧≠αgα
␈β∧≥␈↓ αg␈εε2
␈β∧4␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓o␈εβ=␈↓ α→␈ε	u␈↓ α9␈εβ/␈↓ αJ␈ε	u␈↓ αq␈ε↔␈␈↓ β~␈ε	␈↓ β8␈εβ(␈↓ βC␈ε	␈↓ βh␈εβ+␈↓ ∧⊃␈ε	␈↓ ∧/␈εβ),␈↓ ∧N␈ε	␈↓ ∧u␈εβ=␈↓ ¬ ␈ε	u␈↓ ¬@␈εβ.
␈β∧?␈↓ ↓Y␈εε3␈↓ α-␈εε0␈↓ α]␈εε4␈↓ β+␈εε1␈↓ βT␈εε1␈↓ ∧"␈εε2␈↓ ∧`␈εε4␈↓ ¬3␈εε4
␈β∧j␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ αd␈ε	␈↓ β
␈εβis␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈ing␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t,␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssume␈αwitho␈α␈ut␈αlo␈α␈ss␈αof␈αgen␈α␈erality␈αtha␈α␈t
␈β∧u␈↓ αu␈εε5
␈β¬∞␈↓ 	k␈εε3␈↓ 
v␈εε2
␈β¬∩␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ)␈α
is␈αmon␈α␈i␈α↓c␈α(i.e.,␈↓ βa␈ε	u␈↓ ∧
␈εβ=␈α1␈α␈).␈α⊂Th␈α␈en␈↓ ¬F␈ε	␈↓ ¬q␈εβis␈αa␈αroot␈αof␈αthe␈αcu␈α␈bic␈αequ␈α␈ation␈↓ 	<␈εβ4␈α␈0␈↓ 	]␈ε	z␈↓ 	␈␈ε↔␈␈εβ␈απ24␈↓ 
I␈ε	u␈↓ 
h␈ε	z␈↓ ␈εβ+
␈β¬≤␈↓ βu␈εε5␈↓ ¬W␈εε0␈↓ 
\␈εε4
␈β¬5␈↓ ↓w␈εε2
␈β¬9␈↓ ↓H␈εβ(4␈↓ ↓c␈ε	u␈↓ α␈εβ+␈απ2␈↓ αC␈ε	u␈↓ αc␈εβ)␈↓ αn␈ε	z␈↓ ββ␈εβ+␈απ(␈↓ β6␈ε	u␈↓ β\␈ε↔␈␈↓ ∧∧␈ε	u␈↓ ∧$␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ)␈α
=␈α	0;␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
equ␈α␈ation␈α
a␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α
ha␈α␈s␈αat␈α
least␈α
on␈α␈e␈αre␈α␈al␈αroo␈α␈t,␈αan␈α␈d␈α
it
␈β¬D␈↓ αV␈εε3␈↓ βI␈εε2␈↓ ∧↔␈εε3␈↓ ∧7␈εε4
␈β¬I␈↓ ↓w␈εε4
␈β¬]␈↓ ↔␈εε2
␈β¬a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈α	h␈α␈av␈α}e␈α	th␈α␈ree.␈αOn␈α␈ce␈↓ ∧
␈ε	␈↓ ∧4␈εβis␈α	d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ed,␈α	w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ π∧␈ε	␈↓ π+␈εβ=␈↓ πU␈ε	u␈↓ πz␈ε↔␈␈εβ␈α∧4␈↓ λ0␈ε	␈↓ λN␈εβ,␈↓ λa␈ε	␈↓ 	λ␈εβ=␈↓ 	3␈ε	u␈↓ 	W␈ε↔␈␈εβ␈α¬4␈↓ 

␈ε	␈↓ 
+␈ε	␈↓ 
N␈ε↔␈␈εβ␈α¬6␈↓ ∧␈ε	␈↓ #␈εβ,
␈β¬l␈↓ ∧≡␈εε0␈↓ π∃␈εε3␈↓ πh␈εε4␈↓ λA␈εε0␈↓ λr␈εε1␈↓ 	F␈εε3␈↓ 
∨␈εε0␈↓ 
=␈εε3
␈β¬p␈↓ ↔␈εε0
␈βε¬␈↓ ∧!␈εε2␈↓ ε␈εε3␈↓ λ∀␈εε4␈↓ 	↓␈εε2
␈βε	␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓o␈εβ=␈↓ α→␈ε	u␈↓ αA␈ε↔␈␈↓ αi␈ε	␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	␈↓ β0␈ε	␈↓ βV␈εβ+␈απ4␈↓ ∧∂␈ε	␈↓ ∧.␈ε	␈↓ ∧S␈εβ+␈αλ2␈↓ ¬
␈ε	␈↓ ¬+␈ε	␈↓ ¬P␈εβ+␈↓ ¬y␈ε	␈↓ ε_␈εβ),␈↓ ε7␈ε	␈↓ ε↑␈εβ=␈↓ π	␈ε	u␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ πY␈ε	␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	␈↓ λ(␈εβ+␈↓ λQ␈ε	␈↓ λo␈ε	␈↓ 	∃␈εβ+␈↓ 	>␈ε	␈↓ 	\␈εβ).
␈βε∪␈↓ ↓Y␈εε2␈↓ α-␈εε1␈↓ α{␈εε0␈↓ β$␈εε0␈↓ βB␈εε1␈↓ ∧?␈εε3␈↓ ¬≡␈εε1␈↓ ¬<␈εε3␈↓ εH␈εε4␈↓ π≤␈εε0␈↓ πj␈εε3␈↓ λb␈εε1␈↓ 	O␈εε2
␈βε_␈↓ ∧!␈εε0␈↓ ε␈εε0␈↓ λ∀␈εε0␈↓ 	↓␈εε0
␈βε-␈↓ 	p␈εε3␈↓ 
s␈εε2
␈βε1␈↓ α␈εβFor␈α⊃t␈α␈he␈α⊂giv␈α␈en␈α⊂p␈α␈olyn␈α␈omial␈α⊃w␈α␈e␈α⊂are␈α⊂to␈α⊂solv␈α␈e␈α⊂the␈α⊂cub␈α␈ic␈α⊃eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α⊂40␈↓ 	b␈ε	z␈↓ 
π␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈20␈↓ 
f␈ε	z␈↓ ␈εβ+
␈βεY␈↓ ↓H␈εβ8␈α␈0␈↓ ↓i␈ε	z␈↓ α	␈εβ=␈α∪0␈α␈;␈α∀th␈α␈is␈α⊃lead␈α␈s␈α⊃t␈α␈o␈α⊃th␈α␈ree␈α⊂solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α⊂(␈↓ ε,␈ε	␈↓ εJ␈εβ,␈↓ εY␈ε	␈↓ εw␈εβ,␈↓ πε␈ε	␈↓ π$␈εβ,␈↓ π3␈ε	␈↓ πQ␈εβ,␈↓ π←␈ε	␈↓ π⎇␈εβ,␈↓ λ␈ε	␈↓ λ*␈εβ)␈α∪=␈α∩(0,␈ε↔␈αε␈␈εβ10␈α␈,␈αε13␈α␈,␈αε5,␈ε↔␈αε␈␈εβ5,␈α¬1),
␈βεc␈↓ ε>␈εε0␈↓ εk␈εε1␈↓ π↔␈εε2␈↓ πD␈εε3␈↓ πq␈εε4␈↓ λ≡␈εε5
␈βπ␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈,␈ε↔␈αε␈␈εβ20,␈αε6␈α␈8,␈αε1␈α␈,␈αε11␈α␈,␈αε1),␈α(2,␈ε↔␈αε␈␈εβ10␈α␈,␈αε13,␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α↓3␈α␈,␈αε27␈α␈,␈αε1).
␈βπ3␈↓ α␈ε∃LD␈α␈A␈↓ βλ␈ε∃X␈↓ ¬}␈ε∃FAD␈α␈D␈↓ εz␈ε∃=␈↓ π-␈ε∃=
␈βπ6␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ π∂␈ε	
␈βπA␈↓ π!␈εε1
␈βπ[␈↓ α␈ε∃FA␈α␈DD␈↓ βλ␈ε∃=␈↓ β;␈ε∃=␈↓ ¬}␈ε∃FMU␈α␈L␈↓ εz␈ε∃TEMP␈α␈2
␈βπ↑␈↓ β≥␈ε	
␈βπh␈↓ β.␈εε3
␈βλα␈↓ α␈ε∃ST␈α␈A␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P1␈↓ ¬}␈ε∃FAD␈α␈D␈↓ εz␈ε∃=␈↓ π-␈ε∃=
␈βλ¬␈↓ π∂␈ε	
␈βλ⊂␈↓ π!␈εε2
␈βλ*␈↓ α␈ε∃FA␈α␈DD␈↓ βλ␈ε∃=␈↓ β;␈ε∃-␈↓ βn␈ε∃=␈↓ ¬}␈ε∃FMU␈α␈L␈↓ εz␈ε∃TEMP␈α␈1
␈βλ-␈↓ β≥␈ε	␈↓ βP␈ε	
␈βλ8␈↓ β.␈εε0␈↓ βa␈εε3
␈βλR␈↓ α␈ε∃ST␈α␈A␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P2␈↓ ¬}␈ε∃FAD␈α␈D␈↓ εz␈ε∃=␈↓ π-␈ε∃=
␈βλU␈↓ π∂␈ε	
␈βλ←␈↓ π!␈εε4
␈βλy␈↓ α␈ε∃FM␈α␈UL␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P2␈↓ ¬}␈ε∃FMU␈α␈L␈↓ εz␈ε∃=␈↓ π-␈ε∃=
␈βλ|␈↓ π∂␈ε	
␈βλ}␈↓ λO␈∧λ}λO≠∂
␈β	π␈↓ π!␈εε5
␈β	!␈↓ α␈ε∃ST␈α␈A␈↓ βλ␈ε∃TEM␈α␈P2
␈β	d␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	z␈↓ α#␈εβ=␈α
(␈↓ αY␈ε	x␈↓ αn␈εβ+␈αβ1)␈↓ β.␈ε	x␈↓ βC␈ε↔␈␈εβ␈α∧2␈α␈,␈↓ ∧
␈ε	w␈↓ ∧,␈εβ=␈α
(␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ ∧w␈εβ+␈αβ5)␈↓ ¬7␈ε	z␈↓ ¬H␈εβ+␈α∧9,␈↓ ε⊂␈ε	u␈↓ ε$␈εβ(␈↓ ε/␈ε	x␈↓ ε@␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ π
␈ε	w␈↓ π&␈εβ+␈↓ πK␈ε	z␈↓ π\␈ε↔␈␈εβ␈α∧8)␈↓ λ≥␈ε	w␈↓ λ9␈ε↔␈␈εβ␈α∧8␈α␈;␈α
o␈α␈r␈↓ 	&␈ε	z␈↓ 	=␈εβ=␈α
(␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
λ␈εβ+␈α∧9␈α␈)␈↓ 
H␈ε	x␈↓ 
]␈εβ+␈α∧26␈α␈,
␈β
␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓j␈εβ=␈α	(␈↓ α∨␈ε	x␈↓ α8␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈α␈)␈↓ α⎇␈ε	z␈↓ β∩␈εβ+␈απ73,␈↓ βp␈ε	u␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	x␈↓ ∧!␈εβ)␈α	=␈α	(␈↓ ∧k␈ε	w␈↓ ¬␈εβ+␈↓ ¬3␈ε	z␈↓ ¬I␈ε↔␈␈εβ␈απ24)␈↓ ε≡␈ε	w␈↓ ε>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈2.
␈β
A␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈ε	␈↓ α3␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ βα␈ε	␈↓ β)␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1,␈↓ ∧~␈ε	␈↓ ∧A␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ ¬⊂␈ε	␈␈↓ ¬6␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ2,␈↓ ε'␈ε	␈␈↓ εM␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ2,␈↓ π>␈ε	␈␈↓ πd␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ λ3␈ε	␈↓ λZ␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ4,␈↓ 	K␈ε	␈↓ 	r␈εβ=␈α	0,␈↓ 
A␈ε	␈↓ 
h␈εβ=␈α
4␈α␈,
␈β
L␈↓ α≥␈εε6␈↓ β∀␈εε0␈↓ ∧+␈εε1␈↓ ¬!␈εε1␈↓ ε7␈εε2␈↓ πN␈εε4␈↓ λD␈εε3␈↓ 	\␈εε2␈↓ 
R␈εε4
␈β
f␈↓ λK␈εα(␈↓ 
L␈εα)
␈β
i␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓o␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓2␈α␈.␈αW␈α↓e␈α	form␈↓ βg␈ε	z␈↓ β␈␈εβ=␈α	(␈↓ ∧4␈ε	x␈↓ ∧K␈ε↔␈␈εβ␈αε1)␈↓ ¬∞␈ε	x␈↓ ¬%␈εβ+␈αε1,␈↓ ¬p␈ε	w␈↓ ε∩␈εβ=␈↓ ε=␈ε	z␈↓ εP␈εβ+␈↓ εw␈ε	x␈↓ πλ␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ π[␈ε	u␈↓ πo␈εβ(␈↓ πz␈ε	x␈↓ λ␈εβ)␈α	=␈↓ λW␈εβ(␈↓ λb␈ε	z␈↓ λu␈ε↔␈␈↓ 	≤␈ε	x␈↓ 	3␈ε↔␈␈εβ␈αε4)␈↓ 	v␈ε	w␈↓ 
∀␈εβ+␈αε4␈↓ 
X␈ε	z␈↓ 
l␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈α␈.
␈β
s␈↓ ↓Y␈εε5
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈α
tak␈α␈e␈α␈s␈α
three␈αm␈α␈ultiplication␈α␈s␈α
an␈α␈d␈α
se␈α␈v␈α␈en␈αadd␈α␈itions;␈α∞in␈α
th␈α␈is␈α
spec␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞c␈α␈ase␈α
w␈α␈e␈α
see␈αtha␈α␈t
␈β4␈↓ π@␈εε2
␈β8␈↓ ↓H␈εβa␈α␈no␈α␈ther␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αcan␈α
be␈αs␈α␈av␈α␈ed␈α
if␈αw␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ εb␈ε	w␈↓ π∧␈εβ=␈↓ π.␈ε	x␈↓ πT␈εβ+␈απ1,␈↓ λ!␈ε	z␈↓ λ8␈εβ=␈↓ λc␈ε	w␈↓ 	β␈ε↔␈␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	=␈εβ.
␈βn␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ(a)␈α
We␈α
ma␈α␈y␈α
u␈α␈se␈α
ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈n␈↓ ¬J␈ε	n␈↓ ¬↑␈εβ;␈α∞th␈α␈e␈α
resu␈α␈lt␈α
i␈α↓s␈αtri␈α↓v␈α␈ial␈α
if␈↓ λ8␈ε	n␈↓ λY␈εβ<␈α2.␈α⊃If␈↓ 	T␈ε	f␈↓ 	d␈εβ(0␈α␈)␈α
=␈α0,␈α∞th␈α␈en
␈β∃␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αis␈αtrue␈αfo␈α␈r␈α
th␈α␈e␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ ¬f␈ε	f␈↓ ¬v␈εβ(␈↓ ε↓␈ε	z␈↓ ε∂␈εβ)/␈↓ ε+␈ε	z␈↓ ε8␈εβ,␈α
so␈αit␈α
h␈α␈old␈α␈s␈α
fo␈α␈r␈↓ λ(␈ε	f␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	z␈↓ λP␈εβ).␈α∂If␈↓ 	⊗␈ε	f␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	i␈↓ 	=␈ε	y␈↓ 	P␈εβ)␈α=␈α0␈αfor␈αsome
␈β9␈↓ 
↔␈εε2␈↓ 
h␈εε2
␈β=␈↓ ↓H␈εβre␈α␈al␈↓ α
␈ε	y␈↓ α(␈ε↔≤␈εβ␈α0␈α␈,␈α∞th␈α␈en␈↓ βI␈ε	g␈↓ βY␈εβ(␈ε↔ε␈↓ ∧¬␈ε	i␈↓ ∧∩␈ε	y␈↓ ∧$␈εβ)␈α=␈↓ ∧h␈ε	h␈↓ ∧x␈εβ(␈ε↔ε␈↓ ¬%␈ε	i␈↓ ¬2␈ε	y␈↓ ¬D␈εβ)␈α=␈α0␈α␈;␈α∞sinc␈α␈e␈α
th␈α␈e␈αresult␈αi␈α↓s␈αtru␈α␈e␈α
for␈↓ 	:␈ε	f␈↓ 	J␈εβ(␈↓ 	U␈ε	z␈↓ 	c␈εβ)/␈α␈(␈↓ 

␈ε	z␈↓ 
,␈εβ+␈↓ 
V␈ε	y␈↓ 
u␈εβ),␈α
it
␈βe␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈αalso␈αfo␈α␈r␈↓ β⊗␈ε	f␈↓ β&␈εβ(␈↓ β1␈ε	z␈↓ β?␈εβ).␈αTh␈α␈erefore␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈↓ π.␈ε	f␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε	z␈↓ πV␈εβ)␈αh␈α␈as␈αno␈αroo␈α␈ts␈αw␈α↓h␈α␈ose␈αrea␈α␈l␈αp␈α␈art␈αis
␈β
␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero.␈α∂No␈α}w␈α
th␈α␈e␈αne␈α␈t␈α
n␈α}um␈α}ber␈αof␈αtimes␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈en␈αpath␈αcircles␈αthe␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f
␈β
0␈↓ 
Z␈εi␈↓ 
e␈εt
␈β
4␈↓ ↓H␈εβro␈α␈ots␈α
of␈↓ α@␈ε	f␈↓ αP␈εβ(␈↓ α[␈ε	z␈↓ αh␈εβ)␈αin␈α␈si␈α↓d␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
region␈α␈,␈αwh␈α␈ich␈α
is␈α
at␈α
m␈α␈ost␈α
1.␈αWhe␈α␈n␈ε	␈α
R␈εβ␈α
is␈α
l␈α↓a␈α␈rge,␈α
the␈α
p␈α␈ath␈↓ 
≠␈ε	f␈↓ 
+␈εβ(␈ε	R␈↓ 
M␈ε	e␈↓ 
o␈εβ)␈α
fo␈α␈r
␈β
[␈↓ ↓H␈ε	→␈↓ ↓Z␈εβ/2␈ε↔␈α
∀␈↓ α1␈ε	t␈↓ αG␈ε↔∀␈εβ␈α3␈↓ ββ␈ε	→␈↓ β⊗␈εβ/␈α␈2␈αwill␈αcircle␈αth␈α␈e␈αo␈α␈rigin␈αcl␈α↓o␈α␈ck␈α␈w␈α↓ise␈αap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈α␈l␈α↓y␈↓ λc␈ε	n␈↓ λw␈εβ/␈α␈2␈αtimes␈α␈;␈α
so␈αth␈α␈e␈αp␈α␈ath
␈β∞β␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	i␈↓ ↓o␈ε	t␈↓ ↓{␈εβ)␈α
f␈α↓o␈α␈r␈ε↔␈α
␈␈ε	␈α↓R␈ε↔␈α∀␈↓ β<␈ε	t␈↓ βU␈ε↔∀␈ε	␈α
R␈εβ␈α
m␈α␈us␈α␈t␈α∞g␈α␈o␈α
co␈α␈un␈α␈t␈α␈erclock␈α␈wi␈α↓s␈α␈e␈α
arou␈α␈nd␈αthe␈α
o␈α␈ri␈α↓g␈α␈in␈α
at␈α
least␈↓ 
4␈ε	n␈↓ 
H␈εβ/␈α␈2␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	1
␈β∞+␈↓ ↓H␈εβtime␈α␈s.␈αFor␈↓ αe␈ε	n␈↓ βα␈εβev␈α}en,␈α	th␈α␈i␈α↓s␈αλimplies␈αλthat␈↓ ¬H␈ε	f␈↓ ¬X␈εβ(␈↓ ¬c␈ε	i␈↓ ¬p␈ε	t␈↓ ¬|␈εβ)␈αλcrosse␈α␈s␈α	th␈α␈e␈α	ima␈α␈ginar␈α␈y␈α	a␈α␈xis␈αλat␈α	lea␈α␈st␈↓ 	␈␈ε	n␈↓ 
↔␈ε↔␈␈εβ␈α∧2␈αλti␈α↓m␈α␈es,
␈β∞R␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α∞re␈α␈al␈α∞ax␈α␈is␈α∞at␈α
least␈↓ ∧L␈ε	n␈↓ ∧i␈ε↔␈␈εβ␈α
3␈α
times;␈α∂fo␈α␈r␈↓ εN␈ε	n␈↓ εp␈εβo␈α␈dd␈α␈,␈↓ π=␈ε	f␈↓ πM␈εβ(␈↓ πX␈ε	i␈↓ πd␈ε	t␈↓ πp␈εβ)␈α∞cro␈α␈sses␈α∞th␈α␈e␈α
real␈α∞a␈α␈xis␈α∞a␈α␈t␈α∞leas␈α␈t
␈β∞z␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓c␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈αtimes␈αa␈α␈nd␈αt␈α␈he␈αimag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
axis␈αat␈αlea␈α␈st␈↓ εT␈ε	n␈↓ εo␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈αtime␈α␈s.␈αThe␈α␈se␈αare␈αroo␈α␈ts␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈ely
␈β∂!␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	g␈↓ ↓}␈εβ(␈↓ α	␈ε	i␈↓ α⊗␈ε	t␈↓ α"␈εβ)␈α	=␈α
0,␈↓ βε␈ε	h␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	i␈↓ β.␈ε	t␈↓ β:␈εβ)␈α	=␈α
0.
␈β∂J␈↓ α␈εβ(b)␈α
I␈α↓f␈α
not␈α␈,␈↓ β%␈ε	g␈↓ β?␈εβor␈↓ βg␈ε	h␈↓ ∧α␈εβwo␈α␈uld␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
a␈αro␈α␈ot␈αo␈α␈f␈αthe␈α
form␈↓ πA␈ε	a␈↓ πY␈εβ+␈↓ λ↓␈ε	b␈↓ λ∞␈ε	i␈↓ λ%␈εβw␈α↓ith␈↓ λq␈ε	a␈↓ 	␈ε↔≤␈εβ␈α	0␈αa␈α␈nd␈↓ 
⊃␈ε	b␈↓ 
'␈ε↔≤␈εβ␈α
0.␈αBu␈α␈t
␈β∂q␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αimply␈αthe␈αexiste␈α␈nce␈αof␈α
at␈αl␈α↓ea␈α␈st␈α
th␈α␈ree␈α
o␈α␈ther␈αsuch␈αroo␈α␈ts,␈α∞n␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ 

␈ε	a␈↓ 
&␈ε↔␈␈↓ 
P␈ε	b␈↓ 
]␈ε	i␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ ↓i␈ε	a␈↓ α↓␈ε↔ε␈↓ α)␈ε	b␈↓ α7␈ε	i␈↓ αC␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓le␈↓ β/␈ε	g␈↓ β>␈εβ(␈↓ βJ␈ε	z␈↓ βW␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ∧.␈ε	h␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	z␈↓ ∧X␈εβ)␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
at␈αmos␈α␈t␈↓ ε7␈ε	n␈↓ εV␈εβro␈α␈ots.
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβThe␈α	ro␈α␈ots␈α	of␈↓ βF␈ε	u␈↓ βc␈εβare␈ε↔␈α	␈␈εβ7,␈ε↔␈α
␈␈εβ3␈ε↔␈α¬ε␈↓ ¬;␈ε	i␈↓ ¬H␈εβ,␈ε↔␈α
␈␈εβ2␈ε↔␈α¬ε␈↓ ε9␈ε	i␈↓ εF␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈ε↔␈α	␈␈εβ1;␈α
p␈α␈ermissible␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α	of␈↓ 
⊂␈ε	c␈↓ 
'␈εβar␈α␈e␈α
2␈α	a␈α␈nd
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ4␈α(b␈α␈ut␈ε⊂␈αno␈α␈t␈εβ␈α
3␈α␈,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ βd␈ε	c␈↓ β⎇␈εβ=␈α3␈αmak␈α}es␈α
th␈α␈e␈αsum␈αof␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈ots␈αequ␈α␈al␈α
to␈αz␈α␈ero).␈α≤Ca␈α␈se␈α
1␈α␈,␈↓ 
M␈ε	c␈↓ 
f␈εβ=␈α2␈α␈:
␈β⊃~␈↓ β8␈εε2␈↓ ∧|␈εε2␈↓ π␈εε6␈↓ π]␈εε5␈↓ λ;␈εε4␈↓ 	_␈εε3␈↓ 	v␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ α?␈ε	x␈↓ αW␈εβ+␈απ5)(␈↓ β&␈ε	x␈↓ βK␈εβ+␈απ2␈↓ ∧∧␈ε	x␈↓ ∧≤␈εβ+␈απ2)(␈↓ ∧k␈ε	x␈↓ ¬∂␈εβ+␈αλ1␈α␈)(␈↓ ¬↑␈ε	x␈↓ ¬w␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α
=␈↓ εn␈ε	x␈↓ π∪␈εβ+␈απ6␈↓ πL␈ε	x␈↓ πp␈εβ+␈αλ6␈↓ λ)␈ε	x␈↓ λN␈εβ+␈απ4␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	+␈ε↔␈␈εβ␈αλ5␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 
	␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ 
B␈ε	x␈↓ 
Z␈ε↔␈␈εβ␈απ10␈α␈;
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα716␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα%␈↓ αW␈εε2␈↓ 
⊗␈εε4␈↓ 
v␈εε3
␈βα&␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ λd␈εε1
␈βα)␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	x␈↓ ↓s␈εβ)␈α=␈α6␈↓ αF␈ε	x␈↓ αl␈εβ+␈αλ4␈↓ β&␈ε	x␈↓ β?␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈α=␈α6␈α␈(␈↓ ∧M␈ε	x␈↓ ∧f␈εβ+␈αλ1)(␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬P␈ε↔␈␈↓ ε
␈εβ).␈α∂Let␈↓ εn␈ε	␈↓ π↔␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ1,␈↓ λ␈ε	␈↓ λ4␈εβ=␈↓ λt␈εβ;␈↓ 	
␈ε	p␈↓ 	&␈εβ(␈↓ 	1␈ε	x␈↓ 	C␈εβ)␈α=␈↓ 
¬␈ε	x␈↓ 
+␈εβ+␈αλ6␈↓ 
e␈ε	x␈↓ ␈εβ+
␈βα4␈↓ ε␈␈εε2␈↓ λ≤␈εε1␈↓ 	~␈εε1
␈βα7␈↓ ¬⎇␈∧α7¬⎇α
␈↓ λd␈∧α7λdα
␈βα9␈↓ ¬⎇␈εε3␈↓ λd␈εε3
␈βαM␈↓ ↓j␈εε2␈↓ βm␈εε2␈↓ ¬↓␈εε1␈α␈6␈↓ ¬E␈εε2␈↓ εε␈εε1␈↓ εV␈εε7␈α␈4␈↓ λW␈εε16␈↓ 
␈εε74
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβ5␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓}␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ α8␈ε	x␈↓ αQ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈0␈α
=␈α
(␈↓ β[␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ+␈αλ6␈↓ ∧;␈ε	x␈↓ ∧T␈εβ+␈↓ ¬≥␈εβ)␈α↓(␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬Y␈ε↔␈␈↓ ε⊗␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ εs␈εβ;␈↓ πλ␈ε	␈↓ π0␈εβ=␈α
6,␈↓ λ↓␈ε	␈␈↓ λ(␈εβ=␈↓ λt␈εβ,␈↓ 		␈ε	␈␈↓ 	0␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ 
≥␈εβ.␈α≠Ca␈α␈se␈α2␈α␈,
␈βα[␈↓ π→␈εε0␈↓ λ⊃␈εε0␈↓ 	→␈εε1
␈βα←␈↓ ¬↓␈∧α←¬↓α~␈↓ εε␈∧α←εεα
␈↓ εV␈∧α←εVα~␈↓ λW␈∧α←λWα~␈↓ 
␈∧α←
α~
␈βαa␈↓ ¬π␈εε3␈↓ εε␈εε3␈↓ ε\␈εε9␈↓ λ]␈εε3␈↓ 
π␈εε9
␈βαx␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓↑␈εβ=␈α	4:␈αA␈αsimilar␈αa␈α␈naly␈α␈sis␈αg␈α␈iv␈α␈es␈↓ ¬∞␈ε	␈↓ ¬5␈εβ=␈α
9␈α␈,␈↓ ε¬␈ε	␈↓ ε,␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓3␈α␈,␈↓ π≥␈ε	␈↓ πD␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓6␈α␈,␈↓ λ5␈ε	␈␈↓ λ[␈εβ=␈α
1␈α␈2,␈↓ 	;␈ε	␈␈↓ 	b␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ2␈α␈6.
␈βββ␈↓ ¬∨␈εε2␈↓ ε⊗␈εε1␈↓ π.␈εε0␈↓ λE␈εε0␈↓ 	L␈εε1
␈ββ*␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈ε	␈␈↓ α3␈εβ=␈↓ α]␈ε	␈↓ α{␈εβ,␈↓ β
␈ε	␈␈↓ β4␈εβ=␈α	2␈↓ βo␈ε	␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧∨␈ε	␈␈↓ ∧F␈εβ=␈↓ ∧p␈ε	␈↓ ¬∞␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	␈␈↓ ¬G␈εβ=␈↓ ¬r␈ε	␈↓ ε⊂␈εβ,␈↓ ε"␈ε	␈␈↓ εH␈εβ=␈↓ εs␈ε	␈␈↓ π~␈εβ=␈α	0,␈↓ πg␈ε	␈␈↓ λ
␈εβ=␈↓ λ8␈ε	␈↓ λV␈εβ,␈↓ λh␈ε	␈␈↓ 	∂␈εβ=␈α	0,␈↓ 	\␈ε	␈␈↓ 
β␈εβ=␈α	2␈↓ 
>␈ε	␈↓ 
`␈ε↔␈␈↓ ¬␈ε	␈↓ #␈εβ.
␈ββ4␈↓ α≥␈εε1␈↓ αn␈εε2␈↓ β≡␈εε2␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧0␈εε3␈↓ ¬α␈εε7␈↓ ¬1␈εε4␈↓ εβ␈εε6␈↓ ε3␈εε5␈↓ π∧␈εε6␈↓ πx␈εε7␈↓ λI␈εε1␈↓ λy␈εε8␈↓ 	m␈εε9␈↓ 
O␈εε1␈↓ ↔␈εε8
␈ββ[␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αA␈ε	∃␈↓ αn␈εβ=␈↓ β≥␈ε	␈↓ βD␈ε↔α␈↓ βo␈ε	∃␈↓ ∧∞␈εβ,␈↓ ∧&␈ε	∃␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ¬α␈ε	␈↓ ¬)␈εβ+␈↓ ¬S␈ε	∃␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ ε
␈ε	∃␈↓ ε7␈εβ=␈↓ εf␈ε	∃␈↓ π∂␈ε↔α␈↓ π9␈ε	∃␈↓ πX␈εβ,␈↓ πp␈ε	∃␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λL␈ε	␈↓ λt␈εβ+␈↓ 	≡␈ε	∃␈↓ 	=␈εβ,␈↓ 	U␈ε	∃␈↓ 
α␈εβ=␈↓ 
1␈ε	∃␈↓ 
Z␈ε↔α␈↓ ∧␈ε	∃␈↓ #␈εβ,
␈ββf␈↓ αS␈εε1␈↓ β.␈εε1␈↓ ∧↓␈εε0␈↓ ∧8␈εε2␈↓ ¬∪␈εε2␈↓ ¬f␈εε1␈↓ ε≥␈εε3␈↓ εy␈εε2␈↓ πL␈εε0␈↓ λβ␈εε4␈↓ λ↑␈εε3␈↓ 	1␈εε3␈↓ 	h␈εε5␈↓ 
D␈εε4␈↓ ↔␈εε0
␈β∧β␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α"␈ε	␈↓ αI␈εβ+␈↓ αt␈ε	∃␈↓ β∪␈εβ.␈α≡(b␈α␈)␈↓ βp␈ε	∀␈↓ ∧→␈εβ=␈α∞1␈αλ+␈↓ ¬␈ε	␈␈↓ ¬)␈ε	x␈↓ ¬:␈εβ,␈↓ ¬R␈ε	∀␈↓ ¬{␈εβ=␈α∞1␈αλ+␈↓ εm␈ε	␈␈↓ π␈ε	∀␈↓ π'␈ε	x␈↓ π8␈εβ,␈↓ πO␈ε	∀␈↓ πy␈εβ=␈α
1␈α	+␈↓ λk␈ε	␈␈↓ 	λ␈ε	∀␈↓ 	%␈ε	x␈↓ 	6␈εβ,␈↓ 	M␈ε	u␈↓ 	a␈εβ(␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 	}␈εβ)␈α
=␈↓ 
E␈ε	␈␈↓ 
b␈ε	∀␈↓ ␈εβ=
␈β∧
␈↓ ↓Z␈εε6␈↓ α4␈εε4␈↓ βε␈εε5␈↓ ∧␈εε1␈↓ ¬≤␈εε1␈↓ ¬a␈εε2␈↓ ε}␈εε2␈↓ π~␈εε1␈↓ π←␈εε3␈↓ λ|␈εε3␈↓ 	_␈εε2␈↓ 
U␈εε4␈↓ 
q␈εε3
␈β∧&␈↓ αN␈εε3␈↓ βu␈εε2␈↓  ␈εε3
␈β∧*␈↓ ↓H␈ε	␈␈↓ ↓e␈ε	␈␈↓ αα␈ε	␈␈↓ α∨␈ε	␈␈↓ α=␈ε	x␈↓ αc␈εβ+␈↓ β␈ε	␈␈↓ β)␈ε	␈␈↓ βF␈ε	␈␈↓ βc␈ε	x␈↓ ∧	␈εβ+␈↓ ∧2␈ε	␈␈↓ ∧P␈ε	␈␈↓ ∧m␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ+␈↓ ¬/␈ε	␈␈↓ ¬M␈εβ.␈α≠(c␈α␈)␈αIf␈αan␈α␈y␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈αis␈αzero␈α␈,␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αof␈↓ ∞␈ε	x
␈β∧5␈↓ ↓X␈εε1␈↓ ↓v␈εε2␈↓ α∪␈εε3␈↓ α0␈εε4␈↓ β≤␈εε2␈↓ β:␈εε3␈↓ βW␈εε4␈↓ ∧C␈εε3␈↓ ∧`␈εε4␈↓ ¬@␈εε4
␈β∧N␈↓ 	_␈εε3␈↓ 	}␈εε2
␈β∧R␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈α	a␈α␈l␈α↓so␈αλbe␈αλzero␈αλi␈α↓n␈αλ(b),␈α	while␈α	(a)␈α	y␈α␈ields␈α	a␈α␈n␈α	a␈α␈rbitrary␈αλp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ λi␈ε	␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	)␈εβ+␈↓ 	O␈ε	␈↓ 	m␈ε	x␈↓ 
∂␈εβ+␈↓ 
5␈ε	␈↓ 
S␈ε	x␈↓ 
i␈εβ+␈↓ ∞␈ε	
␈β∧\␈↓ λz␈εε1␈↓ 	`␈εε2␈↓ 
F␈εε3␈↓  ␈εε4
␈β∧y␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αdeg␈α␈ree␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
3␈α␈.
␈β¬+␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβOth␈α␈erwise␈α
there␈α	wo␈α␈uld␈α
b␈α␈e␈α
a␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈↓ πI␈ε	f␈↓ πY␈εβ(␈↓ πd␈ε	q␈↓ λ␈εβ,␈↓ λ∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ;␈εβ,␈↓ λJ␈ε	q␈↓ λc␈εβ,␈↓ λr␈ε	q␈↓ 	
␈εβ)␈α
wi␈α↓th␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈α
coe}␈α␈-
␈β¬6␈↓ πp␈εn␈↓ λV␈εε1␈↓ λ}␈εε0
␈β¬S␈↓ ↓H␈εβc␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
such␈α
th␈α␈at␈↓ β@␈ε	q␈↓ βe␈ε↔↓␈↓ βx␈ε	f␈↓ ∧π␈εβ(␈↓ ∧∩␈ε	q␈↓ ∧/␈εβ,␈↓ ∧>␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ∧y␈ε	q␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬ ␈ε	q␈↓ ¬9␈εβ)␈α
=␈α∞0␈α
fo␈α␈r␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α
sets␈α
(␈↓ πR␈ε	q␈↓ πo␈εβ,␈↓ π}␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ*␈εβ,␈↓ λ9␈ε	q␈↓ λQ␈εβ)␈α∞of␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α∪Th␈α␈is
␈β¬]␈↓ βL␈εn␈↓ ∧≡␈εn␈↓ ¬¬␈εε1␈↓ ¬,␈εε0␈↓ π←␈εn␈↓ λE␈εε0
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈αha␈α␈pp␈α␈en,␈αs␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αi␈α↓t␈αis␈αea␈α␈sy␈αto␈αpro␈α}v␈α␈e␈αby␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αon␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ*␈εβthat␈αa␈αno␈α␈nze␈α␈ro␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈βε"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α
tak␈α␈e␈α␈s␈α∞on␈α
so␈α␈me␈α∞n␈α␈on␈α␈zero␈α
va␈α␈lue.␈α≡(Cf.␈α∞ex␈α␈e␈α␈rcise␈α∞4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓1␈α␈↑16␈α␈.␈α∪Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈e␈α␈r,␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α
is
␈βεI␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈l␈α↓se␈α
f␈α↓o␈α␈r␈ε⊂␈α|n␈α␈i␈α↓t␈α␈e␈εβ␈α|eld␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
place␈α
of␈αthe␈αre␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈.␈α↓)
␈βε{␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβThe␈α	in␈α␈dete␈α␈rmina␈α␈te␈α	qua␈α␈n␈α␈tities␈↓ ¬8␈ε	␈↓ ¬V␈εβ,␈↓ ¬i␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε∃␈εβ,␈↓ ε(␈ε	␈↓ εN␈εβform␈α	a␈α␈n␈α	alge␈α␈bra␈α␈i␈α↓c␈α	b␈α␈asis␈α	for␈α	the␈αλpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈βπ¬␈↓ ¬J␈εε1␈↓ ε:␈εs
␈βπ"␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in␈↓ α@␈ε	Q␈↓ αX␈εβ[␈↓ αa␈ε	␈↓ α␈␈εβ,␈↓ β∞␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β:␈εβ,␈↓ βI␈ε	␈↓ βf␈εβ],␈α
where␈↓ ∧g␈ε	Q␈↓ ¬␈εβis␈α
the␈α|e␈α␈l␈α↓d␈αof␈αration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers.␈α⊃S␈α␈ince␈↓ 	F␈ε	s␈↓ 	\␈εβ+␈α	1␈α
is␈α
g␈α␈reate␈α␈r
␈βπ-␈↓ αr␈εε1␈↓ βZ␈εs
␈βπJ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈α
th␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}ts␈αin␈αa␈α
ba␈α␈sis,␈αt␈α␈he␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ λα␈ε	f␈↓ λ_␈εβ(␈↓ λ$␈ε	␈↓ λB␈εβ,␈↓ λP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ⎇␈εβ,␈↓ 	␈ε	␈↓ 	(␈εβ)␈αare␈α
algeb␈α␈raica␈α␈l␈α↓ly
␈βπU␈↓ λ␈εj␈↓ λ5␈εε1␈↓ 	≥␈εs
␈βπr␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t;␈α
this␈α
m␈α␈ean␈α␈s␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αa␈α
n␈α␈on␈α␈zero␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ λ)␈ε	g␈↓ λE␈εβwith␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈βλ⊗␈↓ αk␈εα(␈↓ ε#␈εα)
␈βλ→␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
that␈↓ α\␈ε	g␈↓ αw␈ε	f␈↓ β∞␈εβ(␈↓ β→␈ε	␈↓ β7␈εβ,␈↓ βF␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βr␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε	␈↓ ∧≡␈εβ),␈↓ ∧8␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧d␈εβ,␈↓ ∧s␈ε	f␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∀␈ε	␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	␈↓ ε_␈εβ)␈↓ ε:␈εβi␈α↓s␈αid␈α␈en␈α␈tica␈α␈l␈α↓ly␈αz␈α␈ero.
␈βλ$␈↓ βα␈εε0␈↓ β+␈εε1␈↓ ∧∪␈εs␈↓ ∧⎇␈εs␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ε
␈εs
␈βλK␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈↓ αt␈ε	j␈↓ β
␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βV␈εβ,␈↓ βs␈ε	j␈↓ ∧≡␈ε↔2␈α∃f␈εβ␈α␈0,␈αε1␈α␈,␈↓ ¬≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ ¬W␈ε	n␈↓ ¬k␈ε↔g␈εβ,␈α∀the␈α␈re␈α∩are␈α∩n␈α␈on␈α␈zero␈α∩p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α∩with␈α⊃i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βλU␈↓ β␈εε0␈↓ β␈␈εt
␈βλr␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∂s␈α␈uch␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧
␈ε	g␈↓ ∧&␈εβ(␈↓ ∧1␈ε	q␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬∞␈εβ,␈↓ ¬≥␈ε	q␈↓ ¬=␈εβ)␈α∂=␈α∂0␈α∞for␈α∞all␈α∂(␈↓ π~␈ε	q␈↓ π7␈εβ,␈↓ πE␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πr␈εβ,␈↓ λ↓␈ε	q␈↓ λ→␈εβ)␈α∂in␈↓ λ]␈ε	R␈↓ 	␈εβ,␈α⊂1␈ε↔␈α∂∀␈↓ 	i␈ε	j␈↓ 
π␈ε↔∀␈↓ 
7␈ε	m␈↓ 
T␈εβ.␈α⊗The
␈βλ⎇␈↓ ∧~␈εj␈↓ ∧>␈εj␈↓ ¬)␈εj␈↓ π&␈εn␈↓ λ
␈εε0␈↓ λt␈εj
␈β	β␈↓ ¬3␈ε
t
␈β	¬␈↓ ∧H␈επ0
␈β	~␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈↓ αD␈ε	g␈↓ α]␈ε	g␈↓ α|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β)␈ε	g␈↓ βX␈εβis␈αther␈α␈efore␈αze␈α␈ro␈αfor␈αall␈α(␈↓ ε9␈ε	q␈↓ εV␈εβ,␈↓ εd␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π⊃␈εβ,␈↓ π ␈ε	q␈↓ π8␈εβ)␈αi␈α↓n␈↓ πu␈ε	R␈↓ λ ␈ε↔[␈↓ λ@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λn␈ε↔[␈↓ 	∞␈ε	R␈↓ 	<␈εβ.
␈β	$␈↓ αQ␈εε1␈↓ αj␈εε2␈↓ β6␈εm␈↓ εE␈εn␈↓ π,␈εε0␈↓ λ␈εε1␈↓ 	%␈εm
␈β	K␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβSt␈α␈arting␈αλwith␈αλth␈α␈e␈α	c␈α␈on␈α␈structio␈α␈n␈αλi␈α↓n␈απTheo␈α␈rem␈αλM␈↓ π∩␈εβ,␈α	w␈α␈e␈αλwi␈α↓ll␈αλpro␈α␈v␈α}e␈αλtha␈α␈t␈↓ 	,␈ε	m␈↓ 	Z␈εβ+␈α∧(1␈ε↔␈αβ␈␈↓ 
C␈ε	∞␈↓ 
⎇␈εβ)␈α	o␈α␈f
␈β	V␈↓ 	H␈εp␈↓ 
O␈εε0␈↓ 
\␈εm
␈β	\␈↓ 
s␈ε
c
␈β	s␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α↓␈ε	␈␈↓ α∃␈εβ'␈α↓s␈αm␈α␈ay␈αe{ec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αb␈α␈e␈αeli␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈d:␈αIf␈↓ ε→␈ε	⊗␈↓ ε@␈εβco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈s␈αto␈αa␈αp␈α␈ara␈α␈meter␈αm␈α}ultiplication␈α␈,
␈β	⎇␈↓ ε*␈εi
␈β
~␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αH␈ε	⊗␈↓ αm␈εβ=␈↓ β_␈ε	␈␈↓ βm␈ε↔α␈εβ␈αλ(␈↓ ∧!␈ε	T␈↓ ∧S␈εβ+␈↓ ∧|␈ε	␈␈↓ ¬$␈εβ);␈αad␈α␈d␈↓ ε∧␈ε	c␈↓ ε⊃␈ε	␈␈↓ ε←␈ε	␈␈↓ π∩␈εβto␈αe␈α␈ach␈↓ λπ␈ε	␈␈↓ λ.␈εβf␈α↓o␈α␈r␈αwhich␈↓ 	C␈ε	c␈↓ 	P␈ε	⊗␈↓ 	w␈εβoc␈α␈curs␈αin␈↓ ∧␈ε	T␈↓ #␈εβ,
␈β
%␈↓ αY␈εi␈↓ β(␈εε2␈↓ β5␈εi␈↓ β@␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧4␈εε2␈↓ ∧A␈εi␈↓ ¬␈εε2␈↓ ¬→␈εi␈↓ ε"␈εε2␈↓ ε.␈εi␈↓ ε9␈ε~␈␈εε1␈↓ εo␈εε2␈↓ ε|␈εi␈↓ λ↔␈εj␈↓ 	a␈εi␈↓ ↔␈εj
␈β
B␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αλrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ αu␈ε	␈␈↓ β%␈εβby␈αλzero␈α␈.␈αThis␈α	re␈α␈mo␈α␈v␈α}es␈α	on␈α␈e␈α	p␈α␈aram␈α␈eter␈α	fo␈α␈r␈α	eac␈α␈h␈α	p␈α␈aram␈α␈eter␈α	m␈α}ultiplication␈α␈.
␈β
M␈↓ β¬␈εε2␈↓ β∩␈εi
␈β
j␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓m␈ε	⊗␈↓ α_␈εβis␈α⊂th␈α␈e␈α∂|␈α␈rst␈α⊂c␈α␈ha␈α␈i␈α↓n␈α∞m␈α␈ultiplicatio␈α␈n,␈α⊂then␈↓ εT␈ε	⊗␈↓ π␈εβis␈α∂th␈α␈e␈α∂|rst␈α∂ch␈α␈ain␈α∂m␈α␈u␈α␈ltiplication␈α␈,␈α⊃th␈α␈en
␈β
t␈↓ ↓}␈εi␈↓ εf␈εi
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε	⊗␈↓ ↓o␈εβ=␈α(␈↓ α'␈ε	␈
␈↓ αC␈ε	x␈↓ α\␈εβ+␈↓ βε␈ε	∩␈↓ β&␈εβ+␈↓ βO␈ε	␈␈↓ ∧≥␈εβ)␈ε↔␈αλα␈εβ␈α	(␈↓ ∧e␈ε	␈
␈↓ ¬_␈εβ+␈↓ ¬A␈ε	∩␈↓ ¬a␈εβ+␈↓ ε␈ε	␈␈↓ ε3␈εβ),␈α
wh␈α␈ere␈↓ π5␈ε	␈
␈↓ πQ␈εβ,␈↓ πg␈ε	␈
␈↓ λ∧␈εβ,␈↓ λ→␈ε	∩␈↓ λ1␈εβ,␈↓ λG␈ε	∩␈↓ λk␈εβare␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αin␈↓ ε␈ε	␈␈↓ #␈εβ,
␈β≤␈↓ ↓Y␈εi␈↓ α6␈εε1␈↓ β⊃␈εε1␈↓ β`␈εε2␈↓ βm␈εi␈↓ βw␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧u␈εε2␈↓ ¬↓␈εx␈↓ ¬L␈εε2␈↓ ε≠␈εε2␈↓ ε(␈εi␈↓ πE␈εε1␈↓ πw␈εε2␈↓ λ%␈εε1␈↓ λR␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β9␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ απ␈ε	␈␈↓ α↑␈εβwith␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈α	coe}␈α␈cien␈α␈ts.␈α
H␈α↓e␈α␈re␈↓ ε⊂␈ε	∩␈↓ ε1␈εβand␈↓ εp␈ε	∩␈↓ π⊃␈εβcan␈α	b␈α␈e␈α	\ab␈α␈sorb␈α␈ed"␈α	in␈α}to␈↓ 	e␈ε	␈␈↓ 
<␈εβan␈α␈d␈↓ 
{␈ε	␈␈↓ #␈εβ,
␈βC␈↓ α_␈εε2␈↓ α$␈εi␈↓ α/␈ε~␈␈εε2␈↓ ε≤␈εε1␈↓ ε|␈εε2␈↓ 	v␈εε2␈↓ 
β␈εi␈↓ 

␈ε~␈␈εε1␈↓ ␈εε2␈↓ →␈εi
␈β`␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈α∞s␈α␈o␈α
w␈α␈e␈α
may␈αassu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ¬r␈ε	∩␈↓ ε⊗␈εβ=␈↓ εD␈ε	∩␈↓ εh␈εβ=␈α
0␈α␈.␈α∩N␈α␈o␈α␈w␈α
ad␈α␈d␈↓ λR␈ε	c␈↓ λ←␈ε	␈␈↓ 	-␈ε	␈␈↓ 	b␈εβto␈αeac␈α␈h␈↓ 
Z␈ε	␈␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈βk␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ εO␈εε2␈↓ λp␈εε2␈↓ λ|␈εi␈↓ 	π␈ε~␈␈εε1␈↓ 	=␈εε2␈↓ 	J␈εi␈↓ 
k␈εj
␈βλ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈↓ α)␈ε	c␈↓ α6␈ε	⊗␈↓ α↑␈εβoccu␈α␈rs␈αi␈α↓n␈↓ βm␈ε	T␈↓ ∧
␈εβ;␈α
ad␈α␈d␈↓ ∧e␈ε	␈␈↓ ¬3␈ε	␈
␈↓ ¬O␈εβ/␈↓ ¬`␈ε	␈
␈↓ ελ␈εβto␈↓ ε2␈ε	␈␈↓ εZ␈εβ;␈α
an␈α␈d␈αset␈↓ πg␈ε	␈␈↓ λA␈εβto␈αze␈α␈ro.␈α∂Th␈α␈e␈α
re␈α␈sult␈αset␈αis
␈β∪␈↓ αG␈εi␈↓ ∧↓␈εj␈↓ ∧u␈εε2␈↓ ¬α␈εi␈↓ ¬
␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬B␈εε2␈↓ ¬o␈εε1␈↓ εC␈εε2␈↓ εO␈εi␈↓ πx␈εε2␈↓ λ∧␈εi␈↓ λ∂␈ε~␈␈εε1
␈β0␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nc␈α␈han␈α␈ged␈αby␈αthis␈αeliminatio␈α␈n␈αof␈↓ ¬9␈ε	␈␈↓ επ␈εβ,␈αex␈α␈ce␈α␈pt␈αfor␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ 	∧␈ε	␈↓ 	"␈εβ,␈↓ 	8␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	d␈εβ,␈↓ 	z␈ε	␈↓ 
"␈εβsuch␈αtha␈α␈t
␈β:␈↓ ¬J␈εε2␈↓ ¬V␈εi␈↓ ¬a␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∃␈εε1␈↓ 
␈εs
␈βT␈↓ αg␈εα(
␈βW␈↓ ↓H␈ε	␈
␈↓ ↓p␈εβi␈α↓s␈αzero␈α␈.␈↓ αs␈εβTh␈α␈is␈α
p␈α␈roof␈αis␈α
esse␈α␈n␈α␈tially␈αdu␈α␈e␈αto␈α
V.␈αJ.␈α
Pan␈α␈,␈ε⊂␈α
Russia␈α␈n␈αMath␈α␈ema␈α␈ti␈α↓c␈α␈al␈α
S␈α␈urv␈α}ey␈α␈s
␈βb␈↓ ↓W␈εε1
␈β|␈↓ βg␈εα)
␈β␈␈↓ ↓H␈ε∪2␈α␈1␈εβ␈α∂(1␈α␈966␈α␈),␈α⊂10␈α␈5↑1␈α␈36.␈↓ ∧↓␈εβThe␈α∞l␈α↓a␈α␈tter␈α∞case␈α∞can␈α∞b␈α␈e␈α∂h␈α␈an␈α␈dled␈α∞as␈α∞in␈α∞the␈α∞pro␈α␈of␈α∂o␈α␈f␈α∂The␈α␈orem␈α∞A␈↓ #␈εβ,
␈β
&␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αwith␈↓ ∧Z␈ε	␈
␈↓ ¬␈εβ=␈α0␈αca␈α␈n␈αbe␈αeva␈α␈l␈α↓u␈α␈ated␈αb␈α␈y␈αeli␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈ating␈↓ 	*␈ε	␈␈↓ 	]␈εβ(as␈αin␈αthe␈α|rs␈α␈t
␈β
1␈↓ ∧i␈εε1␈↓ 	:␈εε2␈↓ 	G␈εi
␈β
N␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ruction␈α␈,␈αwhere␈↓ βp␈ε	⊗␈↓ ∧↔␈εβco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈s␈αto␈αa␈αp␈α␈ara␈α␈meter␈αm␈α}ultiplication␈α␈).
␈β
Y␈↓ ∧↓␈εi
␈β
␈␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβOth␈α␈erwise␈αw␈α␈e␈αcou␈α␈ld␈αa␈α␈dd␈αo␈α␈ne␈αpa␈α␈ramete␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈αas␈αa␈α|␈α␈na␈α␈l␈αstep␈α␈,␈αan␈α␈d␈αviolate
␈β∞'␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈α∞C␈↓ αp␈εβ.␈α≡(The␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
i␈α↓s␈α
an␈α
imp␈α␈ro␈α␈v␈α}emen␈α}t␈α∞o␈α}v␈α␈er␈α
The␈α␈orem␈α
A␈↓ λw␈εβ,␈α∞in␈α
this␈α
spec␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞ca␈α␈se,
␈β∞O␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈ere␈αare␈αo␈α␈nly␈↓ βt␈ε	n␈↓ ∧∀␈εβd␈α␈egre␈α␈es␈αof␈αfreed␈α␈om␈αin␈αthe␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αof␈αa␈αm␈α␈onic␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
o␈α␈f
␈β∞v␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αC␈εβ.␈α↓)
␈β∂(␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈ε	∃␈↓ α8␈εβ=␈↓ αg␈ε	∃␈↓ β∂␈ε↔α␈↓ β9␈ε	∃␈↓ βX␈εβ,␈↓ βo␈ε	∃␈↓ ∧≠␈εβ=␈↓ ∧J␈ε	␈↓ ∧q␈ε↔α␈↓ ¬≠␈ε	∃␈↓ ¬:␈εβ,␈↓ ¬Q␈ε	∃␈↓ ¬⎇␈εβ=␈↓ ε,␈ε	␈↓ εS␈εβ+␈↓ ε⎇␈ε	∃␈↓ π≤␈εβ,␈↓ π3␈ε	∃␈↓ π←␈εβ=␈↓ λ∞␈ε	∃␈↓ λ6␈ε↔α␈↓ λ`␈ε	∃␈↓ λ␈␈εβ,␈↓ 	⊗␈ε	∃␈↓ 	B␈εβ=␈↓ 	q␈ε	␈↓ 
_␈εβ+␈↓ 
B␈ε	∃␈↓ 
a␈εβ.␈α∩W␈α↓e
␈β∂2␈↓ α∨␈εε1␈↓ αy␈εε0␈↓ βK␈εε0␈↓ ∧α␈εε2␈↓ ∧[␈εε1␈↓ ¬-␈εε1␈↓ ¬d␈εε3␈↓ ε=␈εε2␈↓ π∂␈εε2␈↓ πF␈εε4␈↓ λ ␈εε3␈↓ λr␈εε1␈↓ 	)␈εε5␈↓ 
α␈εε3␈↓ 
U␈εε4
␈β∂K␈↓ π~␈εε4
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eed␈α	at␈α	least␈α	three␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	to␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ εi␈ε	u␈↓ π	␈ε	x␈↓ π1␈εβ(se␈α␈e␈α
S␈α␈ection␈α	4.6.3␈α␈)␈α↓,␈α
a␈α␈nd␈α	at␈α	l␈α↓e␈α␈ast␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈β∂Z␈↓ ε|␈εε4
␈β∂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αb␈α␈y␈αThe␈α␈orem␈αA.
␈β⊂(␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβWe␈αλm␈α␈u␈α␈st␈αλha␈α␈v␈α␈e␈↓ β←␈ε	n␈↓ βv␈εβ+␈α∧1␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α	2␈↓ ∧p␈ε	m␈↓ ¬~␈εβ+␈↓ ¬?␈ε	m␈↓ ¬l␈εβ+␈↓ ε⊃␈ε	∞␈↓ εK␈εβ,␈α	a␈α␈nd␈↓ π~␈ε	m␈↓ πE␈εβ+␈↓ πi␈ε	m␈↓ λ≥␈εβ=␈α	(␈↓ λR␈ε	n␈↓ λi␈εβ+␈α∧1)/␈α␈2;␈α	so␈αλth␈α␈ere␈αλare␈απno
␈β⊂3␈↓ ¬␈εc␈↓ ¬[␈εp␈↓ ε≥␈εε0␈↓ ε)␈εm␈↓ π7␈εc␈↓ λ¬␈εp
␈β⊂9␈↓ ε@␈ε
c
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ara␈α␈meter␈αm␈α␈ultiplicat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.␈α
No␈α}w␈αthe␈α|rs␈α␈t␈↓ ε!␈ε	∃␈↓ εJ␈εβwh␈α␈ose␈αlea␈α␈din␈α␈g␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈α(as␈αa␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β⊂Z␈↓ ε4␈εi
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβin␈↓ ↓m␈ε	x␈↓ ↓}␈εβ)␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α	an␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈α
m␈α}ust␈α	be␈α	ob␈α␈tained␈α	b␈α␈y␈α	a␈α	cha␈α␈i␈α↓n␈α	a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n;␈α
an␈α␈d␈α	there␈α	m␈α␈u␈α␈st␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈t␈α
leas␈α␈t
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓c␈εβ+␈αλ1␈αp␈α␈ara␈α␈meters␈α␈,␈αso␈αt␈α␈here␈αa␈α␈re␈αat␈αleas␈α␈t␈↓ ε	␈ε	n␈↓ ε$␈εβ+␈αλ1␈α
par␈α␈amete␈α␈r␈αadd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα717
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβTran␈α␈sform␈αth␈α␈e␈αgiv␈α}en␈αch␈α␈ain␈αst␈α␈ep␈αb␈α␈y␈αstep␈α␈,␈αand␈α
also␈αd␈α␈e|␈α␈ne␈αth␈α␈e␈α\co␈α␈n␈α␈ten␈α}t"␈↓ 
∃␈ε	c␈↓ 
7␈εβo␈α␈f␈↓ 
]␈ε	∃␈↓ 
{␈εβ,␈αa␈α␈s
␈βα6␈↓ 
!␈εi␈↓ 
p␈εi
␈βαS␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws:␈α↔(In␈α␈tuitiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈↓ ∧α␈ε	c␈↓ ∧#␈εβis␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ad␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
coe}␈α␈cien␈α␈t␈α
of␈↓ π.␈ε	∃␈↓ πK␈εβ.␈α↓)␈α↔De|␈α␈ne␈↓ λ↑␈ε	c␈↓ 	␈εβ=␈α	1.␈α#(a␈α␈)␈αIf␈αth␈α␈e␈α
step
␈βα]␈↓ ∧∞␈εi␈↓ πA␈εi␈↓ λj␈εε0
␈βαz␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αform␈↓ β∂␈ε	∃␈↓ β7␈εβ=␈↓ βc␈ε	␈↓ ∧λ␈εβ+␈↓ ∧2␈ε	∃␈↓ ∧Q␈εβ,␈α
rep␈α␈lace␈αit␈αby␈↓ ε,␈ε	∃␈↓ εT␈εβ=␈↓ π␈ε	␈␈↓ π%␈εβ+␈↓ πN␈ε	∃␈↓ πn␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ λe␈ε	␈␈↓ 	␈εβ=␈↓ 	9␈ε	␈↓ 	V␈εβ/␈↓ 	g␈ε	c␈↓ 
␈εβ;␈α
a␈α␈nd␈αde|␈α␈ne
␈ββ¬␈↓ β!␈εi␈↓ βt␈εj␈↓ ∧D␈εk␈↓ ε?␈εi␈↓ π⊃␈εj␈↓ πa␈εk␈↓ λu␈εj␈↓ 	J␈εj␈↓ 	s␈εk
␈ββ"␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓h␈εβ=␈↓ α∪␈ε	c␈↓ α-␈εβ.␈α~(b␈α␈)␈αIf␈αth␈α␈e␈αstep␈αha␈α␈s␈αth␈α␈e␈αform␈↓ ¬k␈ε	∃␈↓ ε∩␈εβ=␈↓ ε=␈ε	␈↓ εb␈ε↔␈␈↓ π␈ε	∃␈↓ π+␈εβ,␈αrep␈α␈lace␈αit␈αb␈α␈y␈↓ 	β␈ε	∃␈↓ 	*␈εβ=␈↓ 	V␈ε	␈␈↓ 	z␈εβ+␈↓ 
#␈ε	∃␈↓ 
C␈εβ,␈αwhere
␈ββ,␈↓ ↓T␈εi␈↓ α∨␈εk␈↓ ¬}␈εi␈↓ εO␈εj␈↓ π≡␈εk␈↓ 	⊗␈εi␈↓ 	f␈εj␈↓ 
5␈εk
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	␈␈↓ ↓n␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ α:␈ε	␈↓ αW␈εβ/␈↓ αh␈ε	c␈↓ β↓␈εβ;␈αand␈α
de␈α␈|n␈α␈e␈↓ ∧6␈ε	c␈↓ ∧V␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ¬"␈ε	c␈↓ ¬<␈εβ.␈α→(c)␈αIf␈αth␈α␈e␈αstep␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αform␈↓ λt␈ε	∃␈↓ 	~␈εβ=␈↓ 	E␈ε	␈↓ 	j␈ε↔α␈↓ 
∪␈ε	∃␈↓ 
2␈εβ,␈αre␈α␈place
␈ββT␈↓ ↓X␈εj␈↓ αK␈εj␈↓ αt␈εk␈↓ ∧B␈εi␈↓ ¬.␈εk␈↓ 	ε␈εi␈↓ 	V␈εj␈↓ 
%␈εk
␈ββq␈↓ ↓H␈εβit␈αby␈↓ α→␈ε	∃␈↓ α@␈εβ=␈↓ αk␈ε	∃␈↓ β⊗␈εβ(th␈α␈e␈αstep␈αwill␈αb␈α␈e␈αdelete␈α␈d␈αlater);␈αand␈α
de|␈α␈ne␈↓ λβ␈ε	c␈↓ λ#␈εβ=␈↓ λN␈ε	␈↓ λk␈ε	c␈↓ 	∧␈εβ.␈α~(d)␈αIf␈αthe␈αstep␈α
ha␈α␈s
␈ββ|␈↓ α,␈εi␈↓ α⎇␈εk␈↓ λ∂␈εi␈↓ λ←␈εj␈↓ λw␈εk
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αform␈↓ αQ␈ε	∃␈↓ αw␈εβ=␈↓ β!␈ε	∃␈↓ βG␈ε↔α␈↓ βp␈ε	∃␈↓ ∧⊂␈εβ,␈αleav␈α}e␈αi␈α↓t␈αu␈α␈nc␈α␈han␈α␈ged␈α␈;␈αand␈α
de␈α␈|n␈α␈e␈↓ πj␈ε	c␈↓ λ
␈εβ=␈↓ λ5␈ε	c␈↓ λM␈ε	c␈↓ λf␈εβ.
␈β∧#␈↓ αc␈εi␈↓ β4␈εj␈↓ ∧β␈εk␈↓ πv␈εi␈↓ λA␈εj␈↓ λY␈εk
␈β∧@␈↓ α␈εβAfter␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈roce␈α␈ss␈αi␈α↓s␈α|␈α␈nish␈α␈ed,␈αd␈α␈elete␈αall␈αstep␈α␈s␈αof␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈↓ λL␈ε	∃␈↓ λr␈εβ=␈↓ 	≥␈ε	∃␈↓ 	=␈εβ,␈αrep␈α␈lacing␈↓ 
←␈ε	∃␈↓ π␈εβby
␈β∧K␈↓ λ↑␈εi␈↓ 	/␈εk␈↓ 
r␈εi
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓p␈εβi␈α↓n␈αλeach␈αλfutu␈α␈re␈α	step␈αλtha␈α␈t␈α	uses␈↓ ¬⊂␈ε	∃␈↓ ¬.␈εβ.␈αTh␈α␈en␈α	ad␈α␈d␈α	a␈αλ|n␈α␈al␈α	step␈↓ π|␈ε	∃␈↓ λI␈εβ=␈↓ λt␈ε	␈␈↓ 	
␈ε↔α␈↓ 	3␈ε	∃␈↓ 	R␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ 
C␈ε	␈␈↓ 
`␈εβ=␈↓ ␈ε	c␈↓ #␈εβ.
␈β∧r␈↓ ↓Z␈εk␈↓ ¬"␈εj␈↓ λ∞␈εr␈↓ λ~␈εε+␈α↓1␈↓ 	F␈εr␈↓ ↔␈εr
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈esired␈αschem␈α␈e,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈αi␈α↓t␈αi␈α↓s␈αeasy␈αto␈αv␈α␈erify␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ew␈↓ 	≡␈ε	∃␈↓ 	H␈εβa␈α␈re␈α
ju␈α␈st␈α
the␈αold
␈β¬~␈↓ 	0␈εi
␈β¬7␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nes␈αd␈α␈ivide␈α␈d␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αfacto␈α␈r␈↓ ∧V␈ε	c␈↓ ∧m␈εβ.␈α∞The␈↓ ¬J␈ε	␈␈↓ ¬↑␈εβ's␈αare␈αgiv␈α}en␈αfu␈α␈nctio␈α␈ns␈αof␈αth␈α␈e␈↓ 	¬␈ε	␈↓ 	↔␈εβ'␈α↓s;␈αdivision␈αby␈αzero
␈β¬B␈↓ ∧b␈εi
␈β¬[␈↓ ≤␈εn
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβis␈αno␈αpro␈α␈blem,␈αb␈α␈eca␈α␈use␈αif␈αan␈α}y␈↓ ∧}␈ε	c␈↓ ¬"␈εβ=␈α
0␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ π=␈ε	c␈↓ π←␈εβ=␈α
0␈α(h␈α␈en␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αcoe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αof␈↓ ␈ε	x
␈β¬i␈↓ ¬
␈εk␈↓ πI␈εr
␈βεε␈↓ ↓H␈εβis␈αzer␈α␈o),␈αo␈α␈r␈αelse␈↓ β+␈ε	∃␈↓ βV␈εβn␈α␈ev␈α␈er␈αco␈α␈n␈α␈trib␈α␈utes␈αto␈α
the␈α|␈α␈na␈α␈l␈αre␈α␈sult.
␈βε⊃␈↓ β>␈εk
␈βε5␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈αth␈α␈ere␈αa␈α␈re␈αa␈α␈t␈αleast␈α|␈α␈v␈α␈e␈α
pa␈α␈ramete␈α␈r␈αstep␈α␈s,␈αthe␈α
result␈αis␈αtriv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αun␈α␈less␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t
␈βε]␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈st␈α	one␈α	p␈α␈ara␈α␈meter␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈;␈αc␈α␈on␈α␈si␈α↓d␈α␈ering␈α	th␈α␈e␈α	way␈α␈s␈α	i␈α↓n␈αλwhich␈α	th␈α␈ree␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈βπ␈↓ βε␈εε4
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αform␈↓ αU␈ε	u␈↓ αu␈ε	x␈↓ β∪␈εβ,␈αw␈α␈e␈αse␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈αm␈α␈ust␈αbe␈αo␈α␈ne␈αpa␈α␈rame␈α␈ter␈αm␈α}ultiplication␈α
and␈αt␈α␈w␈α␈o␈αch␈α␈ain
␈βπ∂␈↓ αh␈εε4
␈βπ,␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s.␈α
T␈α↓h␈α␈erefo␈α␈re␈αλthe␈απf␈α↓o␈α␈ur␈αλa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n-su␈α␈btra␈α␈ctions␈αλm␈α}ust␈αλea␈α␈ch␈αλb␈α␈e␈αλpa␈α␈rame␈α␈ter␈αλstep␈α␈s,
␈βπT␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
ex␈α}ercise␈α
34␈α
ap␈α␈plies.␈α∪We␈α
can␈α
n␈α␈o␈α␈w␈α
assu␈α␈me␈α∞t␈α␈hat␈α
on␈α␈ly␈α
add␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α
are␈α
use␈α␈d,␈α∞an␈α␈d␈α
tha␈α␈t
␈βπ{␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈αch␈α␈ain␈α
to␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αa␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈ε⊂␈αmon␈α␈ic␈εβ␈αfou␈α␈rth␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αwi␈α↓t␈α␈h␈ε⊂␈αt␈α␈w␈α␈o␈εβ␈αch␈α␈ain
␈βλ#␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
and␈αf␈α↓o␈α␈ur␈α
pa␈α␈rame␈α␈ter␈α
ad␈α␈ditions.␈α∩Th␈α␈e␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α
sc␈α␈hem␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈is␈α∞ty␈α␈pe
␈βλK␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αca␈α␈lculate␈α␈s␈αa␈αfou␈α␈rth␈αd␈α␈egree␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αform
␈βλx␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	␈↓ εR␈εβ+␈↓ εz␈ε	∃
␈β	β␈↓ ¬l␈εε1␈↓ ε>␈εε1␈↓ π
␈εε0
␈β	#␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	␈↓ εR␈εβ+␈↓ εz␈ε	∃
␈β	.␈↓ ¬l␈εε2␈↓ ε>␈εε2␈↓ π
␈εε0
␈β	O␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	∃␈↓ εS␈ε↔α␈↓ ε|␈ε	∃
␈β	Y␈↓ ¬l␈εε3␈↓ ε?␈εε1␈↓ π∞␈εε2
␈β	z␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	␈↓ εR␈εβ+␈↓ εz␈ε	∃
␈β
∧␈↓ ¬l␈εε4␈↓ ε>␈εε3␈↓ π
␈εε3
␈β
%␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	␈↓ εR␈εβ+␈↓ εz␈ε	∃
␈β
0␈↓ ¬l␈εε5␈↓ ε>␈εε4␈↓ π
␈εε3
␈β
P␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	∃␈↓ εS␈ε↔α␈↓ ε|␈ε	∃
␈β
[␈↓ ¬l␈εε6␈↓ ε?␈εε4␈↓ π∞␈εε5
␈β
{␈↓ ¬Y␈ε	∃␈↓ εα␈εβ=␈↓ ε,␈ε	␈↓ εR␈εβ+␈↓ εz␈ε	∃
␈βε␈↓ ¬l␈εε7␈↓ ε>␈εε5␈↓ π
␈εε6
␈β)␈↓ ↓H␈εβAc␈α␈tually␈α	this␈α
ch␈α␈ain␈α	has␈α	on␈α␈e␈α
ad␈α␈dition␈α	too␈α	man␈α}y,␈α
b␈α␈ut␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α	corre␈α␈ct␈α
sch␈α␈eme␈α	can␈α	be␈α	pu␈α␈t␈α
in␈α␈to
␈βQ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
fo␈α␈rm␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αrestrict␈αso␈α␈me␈αof␈αthe␈↓ ¬X␈ε	␈↓ ¬j␈εβ's␈α
t␈α␈o␈αbe␈αfun␈α␈ction␈α␈s␈αof␈αthe␈αoth␈α␈ers.␈α∂N␈α␈o␈α␈w␈↓ 
⊗␈ε	∃␈↓ 
B␈εβh␈α␈as␈αthe
␈β[␈↓ 
)␈εε7
␈βt␈↓ α3␈εε2␈↓ ∧α␈εε2␈↓ εF␈εε4␈↓ π9␈εε3␈↓ λ[␈εε2␈↓ 	∧␈εε2
␈βx␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈α(␈↓ α"␈ε	x␈↓ αF␈εβ+␈↓ αn␈ε	A␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β≤␈εβ+␈↓ βD␈ε	B␈↓ βZ␈εβ)(␈↓ βq␈ε	x␈↓ ∧∃␈εβ+␈↓ ∧=␈ε	A␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ+␈↓ ¬∪␈ε	C␈↓ ¬.␈εβ)␈απ+␈↓ ¬g␈ε	D␈↓ ε
␈εβ=␈↓ ε4␈ε	x␈↓ εY␈εβ+␈απ2␈↓ π⊃␈ε	A␈↓ π(␈ε	x␈↓ πL␈εβ+␈απ(␈↓ π␈␈ε	E␈↓ λ≥␈εβ+␈↓ λE␈ε	A␈↓ λh␈εβ)␈↓ λs␈ε	x␈↓ 	↔␈εβ+␈↓ 	?␈ε	E␈↓ 	V␈ε	A␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 
∧␈εβ+␈↓ 
,␈ε	F␈↓ 
C␈εβ,␈αwhere
␈β ␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓k␈εβ=␈↓ α→␈ε	␈↓ α?␈εβ+␈↓ αj␈ε	␈↓ βλ␈εβ,␈↓ β∨␈ε	B␈↓ βB␈εβ=␈↓ βp␈ε	␈↓ ∧↔␈εβ+␈↓ ∧A␈ε	␈↓ ∧←␈εβ,␈↓ ∧v␈ε	B␈↓ ¬→␈εβ=␈↓ ¬G␈ε	␈↓ ¬e␈ε	␈↓ ε␈εβ+␈↓ ε6␈ε	␈↓ εT␈εβ,␈↓ εk␈ε	C␈↓ π∩␈εβ=␈↓ π@␈ε	␈↓ π↑␈ε	␈↓ λ¬␈εβ+␈↓ λ/␈ε	␈↓ λM␈εβ,␈↓ λd␈ε	D␈↓ 	
␈εβ=␈↓ 	8␈ε	␈↓ 	V␈εβ,␈↓ 	m␈ε	E␈↓ 
⊃␈εβ=␈↓ 
?␈ε	B␈↓ 
↑␈εβ+␈↓ λ␈ε	C␈↓ #␈εβ,
␈β+␈↓ α*␈εε1␈↓ α{␈εε2␈↓ ∧↓␈εε1␈↓ ∧R␈εε2␈↓ ¬X␈εε1␈↓ ¬v␈εε2␈↓ εG␈εε3␈↓ πR␈εε1␈↓ πp␈εε2␈↓ λA␈εε4␈↓ 	I␈εε6
␈βH␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓m␈εβ=␈↓ α≥␈ε	B␈↓ α3␈ε	C␈↓ αX␈εβ+␈↓ βα␈ε	D␈↓ β≠␈εβ;␈α⊂and␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α∞in␈α␈v␈α}olv␈α␈e␈α␈s␈α∂o␈α␈nly␈α∞th␈α␈ree␈α∞ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈α∞p␈α␈aram␈α␈eters␈α∞it␈α∞can␈α␈no␈α␈t
␈βo␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈αa␈αg␈α␈ener␈α␈al␈αmon␈α␈i␈α↓c␈αfo␈α␈urth␈α␈-deg␈α␈ree␈αp␈α␈olyn␈α␈omial.
␈β
≡␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβAs␈α	in␈αλth␈α␈e␈α	s␈α␈olution␈αλto␈αλex␈α}ercise␈αλ35,␈α	w␈α␈e␈αλmay␈αλa␈α␈ssum␈α␈e␈α	th␈α␈at␈αλthe␈αλch␈α␈ain␈αλcom␈α␈pu␈α␈tes␈α	a␈αλg␈α␈enera␈α␈l
␈β
F␈↓ ↓H␈εβm␈α␈onic␈απp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈αλo␈α␈f␈αλd␈α␈egre␈α␈e␈απsi␈α↓x␈α␈,␈αλusin␈α␈g␈απon␈α␈l␈α↓y␈αεthre␈α␈e␈απcha␈α␈i␈α↓n␈αεm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈απa␈α␈nd␈απsix␈αεpara␈α␈mete␈α␈r
␈β
m␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.␈αThe␈αc␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈st␈αtak␈α}e␈αon␈α␈e␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αgen␈α␈era␈α␈l␈αfor␈α␈ms
␈β∞≠␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β∞&␈↓ β9␈εε1␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧Z␈εε0␈↓ λ+␈εε1␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	L␈εε0
␈β∞F␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β∞Q␈↓ β9␈εε2␈↓ ∧␈εε2␈↓ ∧Z␈εε0␈↓ λ+␈εε2␈↓ λ⎇␈εε2␈↓ 	L␈εε0
␈β∞r␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	∃␈↓ ∧ ␈ε↔α␈↓ ∧I␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	∃␈↓ 	∩␈ε↔α␈↓ 	;␈ε	∃
␈β∞|␈↓ β9␈εε3␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧[␈εε2␈↓ λ+␈εε3␈↓ λ}␈εε1␈↓ 	N␈εε2
␈β∂≥␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β∂'␈↓ β9␈εε4␈↓ ∧␈εε3␈↓ ∧Z␈εε0␈↓ λ+␈εε4␈↓ λ⎇␈εε3␈↓ 	L␈εε3
␈β∂H␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β∂S␈↓ β9␈εε5␈↓ ∧␈εε4␈↓ ∧Z␈εε3␈↓ λ+␈εε5␈↓ λ⎇␈εε4␈↓ 	L␈εε3
␈β∂s␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	∃␈↓ ∧ ␈ε↔α␈↓ ∧I␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	∃␈↓ 	∩␈ε↔α␈↓ 	;␈ε	∃
␈β∂}␈↓ β9␈εε6␈↓ ∧␈εε4␈↓ ∧[␈εε5␈↓ λ+␈εε6␈↓ λ}␈εε4␈↓ 	N␈εε5
␈β⊂≡␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β⊂)␈↓ β9␈εε7␈↓ ∧␈εε5␈↓ ∧Z␈εε6␈↓ λ+␈εε7␈↓ λ⎇␈εε5␈↓ 	L␈εε3
␈β⊂J␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β⊂T␈↓ β9␈εε8␈↓ ∧␈εε6␈↓ ∧Z␈εε6␈↓ λ+␈εε8␈↓ λ⎇␈εε6␈↓ 	L␈εε6
␈β⊂u␈↓ β'␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	∃␈↓ ∧ ␈ε↔α␈↓ ∧I␈ε	∃␈↓ λ→␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	∃␈↓ 	∩␈ε↔α␈↓ 	;␈ε	∃
␈β⊂␈␈↓ β9␈εε9␈↓ ∧␈εε7␈↓ ∧[␈εε8␈↓ λ+␈εε9␈↓ λ}␈εε7␈↓ 	N␈εε8
␈β⊃ ␈↓ β~␈ε	∃␈↓ βO␈εβ=␈↓ βy␈ε	␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	∃␈↓ λ␈ε	∃␈↓ λA␈εβ=␈↓ λl␈ε	␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	∃
␈β⊃+␈↓ β,␈εε10␈↓ ∧␈εε7␈↓ ∧Z␈εε9␈↓ λ∨␈εε1␈α␈0␈↓ λ⎇␈εε7␈↓ 	L␈εε9
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα718␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα+␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere,␈α
a␈α␈s␈α
in␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α
3␈α␈5,␈α
an␈αe␈α␈xtra␈αad␈α␈dition␈αh␈α␈as␈αbee␈α␈n␈αi␈α↓n␈α␈serted␈αto␈αco␈α}v␈α␈er␈αa␈αmore␈αg␈α␈enera␈α␈l
␈βαS␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase.␈αNeithe␈α␈r␈αo␈α␈f␈αth␈α␈ese␈αsche␈α␈mes␈αcan␈αc␈α␈alcula␈α␈te␈αa␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αsix␈α␈th-d␈α␈egree␈αmo␈α␈nic␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial,
␈βαz␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈α|rst␈αca␈α␈se␈αis␈αa␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αof␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈rm
␈ββ<␈↓ βt␈εε3␈↓ ∧X␈εε2␈↓ ε/␈εε3␈↓ π∪␈εε2
␈ββB␈↓ βX␈εβ(␈↓ βc␈ε	x␈↓ ∧λ␈εβ+␈↓ ∧1␈ε	A␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧l␈εβ+␈↓ ¬∃␈ε	B␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬D␈εβ+␈↓ ¬m␈ε	C␈↓ ελ␈εβ)(␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ εC␈εβ+␈↓ εl␈ε	A␈↓ πα␈ε	x␈↓ π'␈εβ+␈↓ πP␈ε	B␈↓ πf␈ε	x␈↓ π␈␈εβ+␈↓ λ(␈ε	D␈↓ λA␈εβ)␈απ+␈↓ λ|␈ε	E␈↓ 	∪␈εβ,
␈β∧	␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αse␈α␈con␈α␈d␈αca␈α␈se␈α(cf.␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈5)␈αis␈αa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αof␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈β∧K␈↓ β+␈εε4␈↓ ∧ ␈εε3␈↓ ¬E␈εε2␈↓ ¬n␈εε2␈↓ πY␈εε2
␈β∧N␈↓ β∞␈εα(␈↓ π1␈εα)
␈β∧Q␈↓ β~␈ε	x␈↓ β?␈εβ+␈αλ2␈↓ βx␈ε	A␈↓ ∧∞␈ε	x␈↓ ∧4␈εβ+␈αλ(␈↓ ∧h␈ε	E␈↓ ¬ε␈εβ+␈↓ ¬/␈ε	A␈↓ ¬R␈εβ)␈↓ ¬]␈ε	x␈↓ εα␈εβ+␈↓ ε+␈ε	E␈↓ εB␈ε	A␈↓ εX␈ε	x␈↓ εq␈εβ+␈↓ π~␈ε	F␈↓ π=␈εβ(␈↓ πH␈ε	x␈↓ πm␈εβ+␈↓ λ⊗␈ε	A␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λE␈εβ+␈↓ λn␈ε	G␈↓ 	π␈εβ)␈απ+␈↓ 	B␈ε	H␈↓ 	]␈εβ;
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈α
of␈αthe␈α␈se␈αi␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αon␈α␈ly␈α|v␈α}e␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αp␈α␈aram␈α␈eters.
␈β¬F␈↓ αZ␈εε[0]␈↓ ∧¬␈εn␈↓ ¬_␈εn␈↓ ¬(␈ε~␈␈εε1␈↓ ππ␈εε[0]␈↓ λ∂␈εn␈↓ 	≥␈εn␈↓ 	.␈ε~␈␈εε1
␈β¬J␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	u␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β⊃␈εβ)␈α	=␈↓ βP␈ε	u␈↓ βs␈ε	x␈↓ ∧_␈εβ+␈↓ ∧=␈ε	u␈↓ ¬ε␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ+␈↓ ¬v␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε ␈εβ+␈↓ εD␈ε	u␈↓ εd␈εβ,␈↓ εv␈ε	v␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	x␈↓ π?␈εβ)␈α	=␈↓ π⎇␈ε	x␈↓ λ"␈εβ+␈↓ λG␈ε	v␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	W␈εβ+␈↓ 	{␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
%␈εβ+␈↓ 
J␈ε	v␈↓ 
e␈εβ.␈αFo␈α␈r
␈β¬T␈↓ βc␈εn␈↓ ∧P␈εn␈↓ ∧`␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εX␈εε0␈↓ λV␈εn␈↓ λf␈ε~␈␈εε1␈↓ 
Y␈εε0
␈β¬m␈↓ βu␈εε[␈↓ β|␈εj␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1]␈↓ πt␈εε[␈↓ π{␈εj␈↓ λπ␈ε~␈␈εε1]␈↓ 
→␈εε[␈↓ 
 ␈εj␈↓ 
,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈]
␈β¬q␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α
∀␈↓ α∞␈ε	j␈↓ α(␈ε↔∀␈↓ αS␈ε	n␈↓ αg␈εβ,␈α
d␈α␈ivide␈↓ βa␈ε	u␈↓ ∧5␈εβ(␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧R␈εβ)␈αby␈αthe␈αmon␈α␈ic␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ πc␈ε	v␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	x␈↓ λP␈εβ),␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈↓ 
¬␈ε	u␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈βε∃␈↓ ↓v␈εε[␈↓ ↓⎇␈εj␈↓ α	␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈]␈↓ β>␈εε[␈↓ βE␈εj␈↓ βQ␈εε]␈↓ λ≠␈εε[␈↓ λ"␈εj␈↓ λ.␈εε]
␈βε→␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓e␈ε	v␈↓ α6␈εβ(␈↓ αA␈ε	x␈↓ αS␈εβ)␈αλ+␈↓ β⊂␈ε	␈␈↓ β,␈ε	v␈↓ βX␈εβ(␈↓ βc␈ε	x␈↓ βt␈εβ).␈α∂Assume␈αth␈α␈at␈αa␈αmon␈α␈ic␈αpoly␈α␈no␈α␈mial␈↓ λ
␈ε	v␈↓ λ5␈εβ(␈↓ λ@␈ε	x␈↓ λR␈εβ)␈αof␈αde␈α␈gree␈↓ 	z␈ε	n␈↓ 
⊗␈ε↔␈␈↓ 
@␈ε	j␈↓ 
[␈εβex␈α␈i␈α↓st␈α␈s
␈βε$␈↓ ↓Y␈εj␈↓ β ␈εj
␈βε=␈↓ 
@␈εε[␈↓ 
G␈εj␈↓ 
S␈εε]
␈βεA␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈tisfying␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
relatio␈α␈n;␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
wil␈α↓l␈α
be␈α
tru␈α␈e␈αfo␈α␈r␈αalmo␈α␈st␈αa␈α␈ll␈αration␈α␈al␈α
f␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns.␈αLet␈↓ 
,␈ε	u␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βεd␈↓ ↓Y␈εε[␈↓ ↓`␈εj␈↓ ↓l␈ε~␈␈εε1]␈↓ β∪␈εε[␈↓ β~␈εj␈↓ β'␈εε]␈↓ πc␈εε[␈↓ πj␈εn␈↓ πz␈εε]
␈βεh␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ α→␈εβ(␈↓ α$␈ε	x␈↓ α5␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αq␈ε	x␈↓ βα␈ε	v␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	x␈↓ βJ␈εβ).␈αTh␈α␈ese␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓tion␈α␈s␈αimply␈αth␈α␈at␈αd␈α␈eg(␈↓ πO␈ε	u␈↓ λ↓␈εβ)␈α
<␈α
1␈α␈,␈αso␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αlet␈↓ 
:␈ε	␈↓ ␈εβ=
␈βεs␈↓ 
L␈εn␈↓ 
\␈εε+1
␈βπ␈↓ ↓\␈εε[␈↓ ↓c␈εn␈↓ ↓s␈εε]
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	x␈↓ α⊗␈εβ)␈α↓.
␈βπ7␈↓ α␈εβFor␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈en␈α
ration␈α␈al␈αfun␈α␈ction␈α
we␈α
hav␈α}e
␈βπx␈↓ ε)␈εε[␈↓ ε0␈εj␈↓ ε<␈εε]␈↓ πV␈εε[␈↓ π]␈εj␈↓ πi␈εε]
␈βπ⎇␈↓ ∧N␈ε	␈↓ ¬3␈ε	␈␈↓ ε_␈ε	v␈↓ εC␈εβ(␈↓ εN␈ε	x␈↓ ε`␈εβ)␈↓ πB␈ε	u␈↓ πp␈εβ(␈↓ π{␈ε	x␈↓ λ␈εβ)
␈βλπ␈↓ ∧←␈εj␈↓ ¬D␈εj
␈βλ/␈↓ ∧T␈εβ1␈↓ ¬9␈εβ2␈↓ ε_␈ε	x␈↓ ε1␈εβ+␈αλ5␈↓ π3␈εβ3␈↓ πD␈ε	x␈↓ π\␈εβ+␈αλ19
␈βλW␈↓ ∧T␈εβ3␈↓ ¬9␈εβ4␈↓ ε9␈εβ1␈↓ πd␈εβ5
␈β	~␈↓ α∧␈εε[0]␈↓ αi␈εε[0␈α␈]
␈β	≠␈↓ ∧A␈εα(␈↓ εX␈εα)
␈β	≡␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓p␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈α↓/␈↓ αW␈ε	v␈↓ ββ␈εβ(␈↓ β∞␈ε	x␈↓ β ␈εβ)␈α	=␈α
1␈απ+␈απ2/␈↓ ∧M␈ε	x␈↓ ∧e␈εβ+␈αλ3␈απ+␈αλ4␈α␈/(␈↓ ¬{␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ+␈αλ5␈α␈)␈↓ εd␈εβ.
␈β	F␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∃A␈α⊂ge␈α␈nera␈α␈l␈α⊂ration␈α␈al␈α⊂fun␈α␈ction␈α∂of␈α⊂t␈α␈he␈α⊂st␈α␈ated␈α∂form␈α∂has␈α∂2␈↓ 	≤␈ε	n␈↓ 	;␈εβ+␈α
1␈α⊂\␈α␈deg␈α␈rees␈α⊂o␈α␈f
␈β	m␈↓ ↓H␈εβfre␈α␈edo␈α␈m,"␈α∞i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈α∞sen␈α␈se␈α
that␈α
it␈α∞can␈α
b␈α␈e␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn␈α
to␈α
hav␈α}e␈α∞2␈↓ πs␈ε	n␈↓ λ⊂␈εβ+␈α
1␈α
essen␈α}tiall␈α↓y␈α
ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ara␈α␈meters.␈α⊗If␈α∂w␈α␈e␈α∂g␈α␈en␈α␈eralize␈α∂p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α∂cha␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∂to␈α∞\a␈α␈ri␈α↓th␈α␈metic␈α∞cha␈α␈i␈α↓n␈α␈s,"␈α⊂wh␈α␈ich␈α∂a␈α␈ll␈α↓o␈α}w
␈β
<␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈αop␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αas␈αw␈α␈ell␈αa␈α␈s␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tion␈α␈,␈αsu␈α␈btra␈α␈ction␈α␈,␈αan␈α␈d␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αw␈α␈e␈αc␈α␈an␈αob␈α␈tain
␈β
d␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈wing␈α
resu␈α␈lts␈αwi␈α↓t␈α␈h␈αsligh␈α}t␈αmod␈α␈i|ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈α
th␈α␈e␈αpro␈α␈ofs␈αo␈α␈f␈αTheo␈α␈rems␈αA␈αa␈α␈nd␈α
M␈↓ 
n␈εβ:␈ε⊂␈αAn
␈β␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αλch␈α␈ain␈αλwith␈↓ ∧¬␈ε	q␈↓ ∧≤␈ε⊂a␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n-su␈α␈btra␈α␈ction␈αλstep␈α␈s␈αλha␈α␈s␈α	a␈α␈t␈αλmost␈↓ λI␈ε	q␈↓ λ[␈εβ+␈α∧1␈ε⊂␈αλd␈α␈egree␈α␈s␈α	o␈α␈f␈α	fre␈α␈edo␈α␈m.
␈β3␈↓ ↓H␈ε⊂An␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αch␈α␈ain␈αwith␈↓ ∧D␈ε	m␈↓ ∧m␈ε⊂m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈-division␈αste␈α␈ps␈αha␈α␈s␈αa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈εβ␈α2␈↓ 	Y␈ε	m␈↓ 	}␈εβ+␈αλ1␈ε⊂␈αd␈α␈egree␈α␈s
␈β[␈↓ ↓H␈ε⊂o␈α␈f␈αfreed␈α␈om.␈εβ␈αTher␈α␈efore␈αa␈α␈n␈αar␈α␈i␈α↓th␈α␈metic␈αc␈α␈hain␈α
tha␈α␈t␈αcomp␈α␈ut␈α␈es␈αalmo␈α␈st␈αall␈αration␈α␈al␈αfun␈α␈ction␈α␈s
␈βα␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αsta␈α␈ted␈αf␈α↓o␈α␈rm␈αm␈α␈u␈α␈st␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈t␈αl␈α↓e␈α␈ast␈α2␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε+␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n-su␈α␈btra␈α␈ctions,␈αan␈α␈d␈↓ 	7␈ε	n␈↓ 	W␈εβm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈-
␈β*␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈s;␈αth␈α␈e␈αmeth␈α␈od␈α
i␈α↓n␈α
this␈αex␈α}ercise␈αis␈α\op␈α␈timal."
␈β[␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβThe␈α∞t␈α␈heo␈α␈rem␈α∞is␈α∞certain␈α␈l␈α↓y␈α
true␈α
i␈α↓f␈↓ ¬v␈ε	n␈↓ ε_␈εβ=␈α∂0.␈α∀Assu␈α␈me␈α∞tha␈α␈t␈↓ λ>␈ε	n␈↓ λ`␈εβi␈α↓s␈α∞p␈α␈ositiv␈α␈e,␈α∂a␈α␈nd␈α∞th␈α␈at␈α∞a
␈β
β␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αcha␈α␈i␈α↓n␈α
co␈α␈mpu␈α␈ting␈↓ ∧p␈ε	P␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∪␈ε	x␈↓ ¬$␈εβ;␈↓ ¬3␈ε	u␈↓ ¬S␈εβ,␈↓ ¬b␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε∞␈εβ,␈↓ ε≥␈ε	u␈↓ ε@␈εβ)␈αi␈α↓s␈α
giv␈α␈en␈α␈,␈αwher␈α␈e␈αeac␈α␈h␈αo␈α␈f␈αthe␈α
pa␈α␈ramete␈α␈rs␈↓ ∂␈ε	
␈β
∞␈↓ ¬F␈εε0␈↓ ε0␈εn␈↓  ␈εj
␈β
+␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α
be␈α␈en␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
b␈α␈y␈α
a␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r.␈αLet␈↓ ε~␈ε	∃␈↓ ε@␈εβ=␈↓ εk␈ε	∃␈↓ π⊂␈ε↔α␈↓ π8␈ε	∃␈↓ πb␈εβb␈α␈e␈α
the␈α
|r␈α␈st␈αch␈α␈ain␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈β
5␈↓ ε,␈εi␈↓ ε⎇␈εj␈↓ πJ␈εk
␈β
R␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αthat␈αin␈α␈v␈α}olv␈α␈es␈αon␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ ∧;␈ε	u␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧p␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬1␈ε	u␈↓ ¬U␈εβ;␈αsu␈α␈ch␈αa␈αstep␈αm␈α␈u␈α␈st␈αex␈α␈ist␈αb␈α␈ecau␈α␈se␈αof␈αth␈α␈e␈αrank␈αo␈α␈f␈↓ 
␈ε	A␈↓ #␈εβ.
␈β
]␈↓ ∧N␈εε0␈↓ ¬D␈εn
␈β
z␈↓ ↓H␈εβWitho␈α␈ut␈αl␈α↓o␈α␈ss␈αof␈αg␈α␈en␈α␈erality,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈↓ π∩␈ε	∃␈↓ π=␈εβin␈α}v␈α␈olv␈α␈e␈α␈s␈↓ λ<␈ε	u␈↓ λ←␈εβ;␈α
th␈α}us,␈↓ 	H␈ε	∃␈↓ 	r␈εβha␈α␈s␈αth␈α␈e␈αform
␈β∞∧␈↓ π%␈εj␈↓ λO␈εn␈↓ 	Z␈εj
␈β∞!␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓d␈ε	u␈↓ α␈εβ+␈↓ α4␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αc␈εβ+␈↓ β␈ε	h␈↓ β,␈ε	u␈↓ βW␈εβ+␈↓ ∧␈ε	f␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε	x␈↓ ∧,␈εβ),␈αw␈α↓h␈α␈ere␈↓ ¬-␈ε	h␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ ¬↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε ␈ε	h␈↓ εK␈εβare␈αreal,␈↓ πN␈ε	h␈↓ πx␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈αan␈α␈d␈↓ 	
␈ε	f␈↓ 	~␈εβ(␈↓ 	%␈ε	x␈↓ 	7␈εβ)␈αi␈α↓s␈αa␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β∞,␈↓ ↓W␈εε0␈↓ ↓w␈εε0␈↓ β≤␈εn␈↓ β?␈εn␈↓ ¬=␈εε0␈↓ ε/␈εn␈↓ π]␈εn
␈β∞F␈↓ ∧∩␈εα(
␈β∞I␈↓ ↓H␈εβwith␈α
real␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈↓ ∧≡␈εβTh␈α␈e␈↓ ∧b␈ε	h␈↓ ∧r␈εβ'␈α↓s␈α
and␈α
th␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αof␈↓ π[␈ε	f␈↓ πk␈εβ(␈↓ πv␈ε	x␈↓ λπ␈εβ)␈αare␈α
der␈α␈i␈α↓v␈α}ed␈α
f␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α␈s
␈β∞n␈↓ β←␈εα)
␈β∞q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssigne␈α␈d␈αto␈αth␈α␈e␈↓ β-␈ε	␈↓ β?␈εβ'␈α↓s.
␈β∂_␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈α	c␈α␈ha␈α␈nge␈αλstep␈↓ ∧π␈ε	i␈↓ ∧≥␈εβto␈↓ ∧C␈ε	∃␈↓ ∧j␈εβ=␈↓ ¬∀␈ε	␈↓ ¬+␈ε↔α␈↓ ¬P␈ε	∃␈↓ ¬p␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ εa␈ε	␈↓ ε|␈εβis␈α	a␈α␈n␈α	a␈α␈rbitra␈α␈ry␈α	re␈α␈al␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r.␈α∀(We␈α	co␈α␈uld
␈β∂#␈↓ ∧V␈εi␈↓ ¬c␈εk
␈β∂@␈↓ ↓H␈εβta␈α␈k␈α␈e␈↓ α∪␈ε	␈↓ α1␈εβ=␈α
0␈α␈;␈α∂g␈α␈ene␈α␈ral␈↓ β{␈ε	␈↓ ∧~␈εβi␈α↓s␈α
u␈α␈sed␈αhere␈αmerely␈αto␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α␈re␈α
is␈α
a␈α
ce␈α␈rtain␈α
a␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈β∂g␈↓ ↓H␈εβ⎇␈α␈ex␈α␈i␈α↓b␈α␈il␈α↓ity␈α
ava␈α␈i␈α↓la␈α␈ble␈αin␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈of.)␈α~Ad␈α␈d␈αfu␈α␈rther␈αste␈α␈ps␈αto␈αc␈α␈alculat␈α␈e
␈β⊂,␈↓ ∧7␈εα(␈↓ λ?␈εα)
␈β⊂/␈↓ βp␈ε	∃␈↓ ∧␈εβ=␈↓ ∧C␈ε	␈↓ ∧]␈ε↔␈␈↓ ¬¬␈ε	f␈↓ ¬∃␈εβ(␈↓ ¬ ␈ε	x␈↓ ¬2␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬m␈ε	h␈↓ ε	␈ε	u␈↓ ε0␈ε↔␈␈↓ εY␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ π0␈ε	h␈↓ πu␈ε	u␈↓ λK␈εβ/␈↓ λ[␈ε	h␈↓ λ{␈εβ;
␈β⊂:␈↓ ¬|␈εε0␈↓ ε≤␈εε0␈↓ π?␈εn␈↓ πP␈ε~␈␈εε1␈↓ λλ␈εn␈↓ λ→␈ε~␈␈εε1␈↓ λk␈εn
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ese␈α
ne␈α␈w␈αstep␈α␈s␈αin␈α}v␈α␈olv␈α}e␈αo␈α␈nly␈α
ad␈α␈dition␈α␈s␈αa␈α␈nd␈α
p␈α␈aram␈α␈eter␈α
m␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
(by␈α
su␈α␈itable␈α
ne␈α␈w
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ara␈α␈meters).␈α
Fi␈α↓n␈α␈ally,␈α	rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ ∧o␈ε	∃␈↓ ¬[␈εβ=␈↓ ε¬␈ε	u␈↓ ε1␈εβev␈α}erywh␈α␈ere␈αλi␈α↓n␈αλth␈α␈e␈α	c␈α␈ha␈α␈i␈α↓n␈αλb␈α␈y␈αλthis␈α	n␈α␈ew␈α	e␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}t
␈β⊃)␈↓ ¬α␈ε~␈␈↓ ¬≠␈εn␈↓ ¬+␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε_␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα719
␈βα+␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈εβ.␈αThe␈αresu␈α␈lt␈αi␈α↓s␈αa␈α
cha␈α␈i␈α↓n␈α
tha␈α␈t␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tes
␈βα{␈↓ ∧>␈εα(␈↓ 
n␈εα)
␈βα}␈↓ ↓q␈ε	Q␈↓ α	␈εβ(␈↓ α∀␈ε	x␈↓ α%␈εβ;␈↓ α4␈ε	u␈↓ αT␈εβ,␈↓ αc␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β∂␈εβ,␈↓ β≡␈ε	u␈↓ βg␈εβ)␈α
=␈↓ ∧&␈ε	P␈↓ ∧J␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ;␈↓ ∧j␈ε	u␈↓ ¬
␈εβ,␈↓ ¬_␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬E␈εβ,␈↓ ¬T␈ε	u␈↓ ε≥␈εβ,␈αε(␈↓ ε7␈ε	␈↓ εP␈ε↔␈␈↓ εy␈ε	f␈↓ π	␈εβ(␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π%␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ πa␈ε	h␈↓ π⎇␈ε	u␈↓ λ$␈ε↔␈␈↓ λM␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ{␈ε↔␈␈↓ 	$␈ε	h␈↓ 	i␈ε	u␈↓ 
2␈εβ)/␈↓ 
N␈ε	h␈↓ 
z␈εβ;
␈ββ	␈↓ αG␈εε0␈↓ β1␈εn␈↓ βA␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧⎇␈εε0␈↓ ¬g␈εn␈↓ ¬w␈ε~␈␈εε1␈↓ πp␈εε0␈↓ λ⊂␈εε0␈↓ 	3␈εn␈↓ 	C␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	|␈εn␈↓ 

␈ε~␈␈εε1␈↓ 
↑␈εn
␈ββQ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈i␈α↓s␈αch␈α␈ain␈αha␈α␈s␈αon␈α␈e␈αl␈α↓es␈α␈s␈αch␈α␈ain␈αm␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α
Th␈α␈e␈αproo␈α␈f␈αwill␈αbe␈αco␈α␈mplete␈αif␈αw␈α␈e␈αcan
␈ββv␈↓ πI␈εα(␈↓ λQ␈εα)
␈ββy␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ αf␈ε	Q␈↓ β␈εβsatis|␈α␈es␈α
th␈α␈e␈α
h␈α␈y␈α␈po␈α␈these␈α␈s.␈α⊃The␈α
q␈α␈uan␈α}tity␈↓ πU␈ε	␈↓ πp␈ε↔␈␈↓ λ~␈ε	f␈↓ λ)␈εβ(␈↓ λ5␈ε	x␈↓ λF␈εβ)␈↓ λ]␈εβ/␈↓ λn␈ε	h␈↓ 	≠␈εβlea␈α␈ds␈α
to␈αa␈α
p␈α␈ossibly
␈β∧β␈↓ λ⎇␈εn
␈β∧≤␈↓ ε⊗␈ε~0
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβin␈α␈crease␈α␈d␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ βR␈ε	m␈↓ βo␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈α	a␈αλnew␈α	v␈α}ector␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε≤␈εβ.␈αIf␈α	the␈α	co␈α␈lumn␈α␈s␈α	of␈↓ λ+␈ε	A␈↓ λK␈εβa␈α␈re␈↓ 	␈ε	A␈↓ 	"␈εβ,␈↓ 	5␈ε	A␈↓ 	W␈εβ,␈↓ 	i␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
⊗␈εβ,␈↓ 
)␈ε	A␈↓ 
W␈εβ(these
␈β∧+␈↓ 	∃␈εε0␈↓ 	J␈εε1␈↓ 
>␈εn
␈β∧D␈↓ 	)␈ε~0
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβv␈α}ecto␈α␈rs␈αbein␈α␈g␈αlinea␈α␈rly␈αind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αre␈α␈als),␈αthe␈αn␈α␈ew␈αma␈α␈trix␈↓ 	∪␈ε	A␈↓ 	:␈εβcorre␈α␈spon␈α␈din␈α␈g␈αto
␈β∧p␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓k␈εβh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αcolum␈α␈n␈αv␈α␈e␈α␈ctors
␈β¬C␈↓ βE␈ε	A␈↓ βn␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ∧"␈ε	h␈↓ ∧>␈εβ/␈↓ ∧N␈ε	h␈↓ ∧n␈εβ)␈↓ ∧y␈ε	A␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬v␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε"␈εβ,␈↓ εy␈ε	A␈↓ πL␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ π␈␈ε	h␈↓ λE␈εβ/␈↓ λV␈ε	h␈↓ λv␈εβ)␈↓ 	↓␈ε	A␈↓ 	&␈εβ,
␈β¬M␈↓ βZ␈εε0␈↓ ∧1␈εε0␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ¬∂␈εn␈↓ π∞␈εn␈↓ π≡␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ∂␈εn␈↓ λ∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λe␈εn␈↓ 	⊗␈εn
␈βε⊗␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lus␈α∞p␈α␈erha␈α␈ps␈α∞a␈α∞few␈α∞ro␈α}ws␈α∞of␈α∞zeros␈α∞to␈α
acco␈α␈un␈α}t␈α∞for␈α∞an␈α
i␈α↓n␈α␈crea␈α␈sed␈α∞v␈α␈alue␈α
of␈↓ 	i␈ε	m␈↓ 
π␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
these
␈βε>␈↓ ↓H␈εβc␈α␈olumn␈α␈s␈αare␈αc␈α␈l␈α↓e␈α␈arly␈αa␈α␈l␈α↓so␈αl␈α↓in␈α␈early␈αi␈α↓n␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t.␈α∞By␈αind␈α␈uctio␈α␈n,␈αthe␈αch␈α␈ain␈αthat␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α␈s
␈βεe␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓k␈εβh␈α␈as␈αat␈αlea␈α␈st␈↓ β≤␈ε	n␈↓ β8␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
cha␈α␈i␈α↓n␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈αso␈αth␈α␈e␈αorigin␈α␈al␈αcha␈α␈in␈αha␈α␈s␈αat␈αleast␈↓ 
&␈ε	n␈↓ 
:␈εβ.
␈βπ␈↓ α␈εα(
␈βπ∞␈↓ α_␈εβPan␈αεsho␈α␈w␈α␈e␈α␈d␈απalso␈αεtha␈α␈t␈απthe␈αεpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈il␈α↓ity␈αεof␈απd␈α␈ivision␈αεgiv␈α␈es␈αεno␈αεi␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}emen␈α}t;␈α	c␈α␈f␈α↓.␈ε⊂␈απProb␈α␈lem␈α␈y
␈βπ6␈↓ ↓H␈ε⊂Kib␈α␈erne␈α␈ti␈α↓k␈α␈i␈ε∪␈α
7␈εβ␈α	(196␈α␈2),␈α
21␈α␈↑30␈α␈.␈αGen␈α␈eralization␈α␈s␈α
to␈α	th␈α␈e␈α
co␈α␈mpu␈α␈tatio␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
sev␈α}eral␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βπ]␈↓ ↓H␈εβin␈αλse␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈α	v␈α␈ariab␈α␈les,␈α	wi␈α↓t␈α␈h␈αλan␈α␈d␈αλwitho␈α␈ut␈αλva␈α␈rious␈αλk␈α␈ind␈α␈s␈α	o␈α␈f␈αλpreco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ning␈α␈,␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈αλb␈α␈een␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βλα␈↓ 	<␈εα)
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αS␈α␈.␈αWino␈α␈grad␈α␈,␈ε⊂␈αComm␈α␈.␈αPure␈α
and␈α
App␈α␈l␈α↓ied␈α
Ma␈α␈th.␈ε∪␈α23␈εβ␈α(1␈α␈970␈α␈),␈α1␈α␈65↑␈α␈179␈α␈.
␈βλ8␈↓ ε+␈εε2␈↓ ε7␈εm␈↓ πq␈εε2␈↓ π}␈εm␈↓ λ∃␈ε~␈␈εε1
␈βλ<␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβBy␈α∞ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞on␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧)␈εβ.␈α∀Let␈↓ ¬ε␈ε	w␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬P␈εβ)␈α∂=␈↓ ε→␈ε	x␈↓ εX␈εβ+␈↓ πβ␈ε	u␈↓ π`␈ε	x␈↓ λD␈εβ+␈↓ λo␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∨␈εβ+␈↓ 	J␈ε	u␈↓ 	j␈εβ,␈↓ 
α␈ε	w␈↓ 
U␈εβ(␈↓ 
`␈ε	x␈↓ 
r␈εβ)␈α∞=
␈βλG␈↓ ¬≤␈εm␈↓ π⊗␈εε2␈↓ π#␈εm␈↓ π:␈ε~␈␈εε1␈↓ 	]␈εε0␈↓ 
_␈εm␈↓ 
/␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ`␈↓ ↓Y␈εε2␈↓ ↓f␈εm␈↓ ↓⎇␈ε~␈␈εε2␈↓ β=␈εε2␈↓ βI␈εm␈↓ β`␈ε~␈␈εε␈α↓3
␈βλd␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α*␈εβ+␈↓ αS␈ε	v␈↓ β+␈ε	x␈↓ ∧∞␈εβ+␈↓ ∧6␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧e␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	v␈↓ ¬)␈εβ,␈↓ ¬=␈ε	a␈↓ ¬W␈εβ=␈↓ ε↓␈ε	␈↓ ε'␈εβ+␈↓ εO␈ε	␈
␈↓ εv␈εβ,␈↓ π␈ε	b␈↓ π!␈εβ=␈↓ πL␈ε	␈↓ πt␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
l␈α↓et
␈βλo␈↓ αb␈εε2␈↓ αn␈εm␈↓ β¬␈ε~␈␈εε␈α↓3␈↓ ¬≤␈εε0␈↓ ε∪␈εε1␈↓ ε←␈εm␈↓ π]␈εm
␈β	⊗␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ π≤␈ε↓↓
␈β	→␈↓ ∧|␈ε↓P
␈β	0␈↓ εl␈εi␈↓ εv␈εε+␈↓ π⊂␈εj
␈β	3␈↓ ε.␈εi␈↓ ε8␈εε+␈↓ εR␈εj␈↓ λ3␈εi␈↓ λK␈εj
␈β	7␈↓ ∧∀␈ε	f␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	r␈↓ ∧=␈εβ)␈α
=␈↓ ¬f␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε#␈εβ)␈↓ π*␈ε	u␈↓ λ#␈ε	a␈↓ λ>␈ε	b␈↓ λW␈εβ.
␈β	B␈↓ π=␈εr␈↓ πI␈εε+␈↓ πb␈εi␈↓ πm␈εε+2␈↓ λ∪␈εj
␈β	G␈↓ ε}␈εj
␈β	J␈↓ ¬"␈εi␈↓ ¬-␈εε,␈↓ ¬4␈εj␈↓ ¬@␈ε~∃␈εε0
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβIt␈αfollo␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ β%␈ε	v␈↓ βK␈εβ=␈↓ βw␈ε	f␈↓ ∧π␈εβ(␈↓ ∧∩␈ε	r␈↓ ∧)␈εβ+␈α	2␈α␈)␈α
fo␈α␈r␈↓ ¬0␈ε	r␈↓ ¬I␈ε↔∃␈εβ␈α0,␈αand␈↓ ε↑␈ε	∞␈↓ π
␈εβ=␈↓ π:␈ε	f␈↓ πI␈εβ(1).␈α∂If␈↓ λ+␈ε	∞␈↓ λY␈εβ=␈α0␈αa␈α␈nd␈↓ 	e␈ε	a␈↓ 
↓␈εβi␈α↓s␈αgiv␈α}en,␈α
w␈α␈e
␈β
→␈↓ β3␈εr␈↓ εj␈εm␈↓ λ7␈εm
␈β
6␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈α
a␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α
o␈α␈f␈α
deg␈α␈ree␈↓ ∧t␈ε	m␈↓ ¬~␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αi␈α↓n␈↓ ε
␈ε	b␈↓ ε↔␈εβ,␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈α
lea␈α␈ding␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈ε↔␈α
ε␈εβ(␈↓ 	7␈ε	u␈↓ 
≥␈ε↔␈␈↓ 
F␈ε	m␈↓ 
d␈ε	a␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈β
A␈↓ 	K␈εε2␈↓ 	W␈εm␈↓ 	n␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
↑␈↓ ↓H␈ε↔ε␈εβ(␈↓ ↓t␈ε	␈
␈↓ α_␈εβ+␈↓ α@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αo␈εβ+␈↓ β↔␈ε	␈
␈↓ βF␈ε↔␈␈↓ βo␈ε	m␈↓ ∧␈ε	␈
␈↓ ∧3␈εβ).
␈β
h␈↓ α∧␈εε2␈↓ β'␈εm␈↓ ∧≤␈εm
␈βπ␈↓ α␈εβIn␈α
Mot␈α␈zkin's␈α
un␈α␈pu␈α␈blished␈α
n␈α␈otes␈α
he␈α
arra␈α␈nge␈α␈d␈α∞t␈α␈o␈α∞ma␈α␈k␈α␈e␈↓ λ,␈ε	∞␈↓ λS␈εβ=␈α∞0␈α
almo␈α␈st␈α∞alwa␈α␈ys,␈α∞by
␈β⊃␈↓ λ8␈εk
␈β.␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoo␈α␈sing␈↓ αN␈ε	␈
␈↓ αa␈εβ's␈αso␈α
th␈α␈at␈αth␈α␈is␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αis␈ε↔␈α≤␈εβ␈α	0␈α
when␈↓ π|␈ε	m␈↓ λ$␈εβis␈αev␈α}en␈α
an␈α␈d␈α=␈α	0␈αwh␈α␈en␈↓ 
n␈ε	m␈↓ ⊗␈εβis
␈βV␈↓ ↓H␈εβo␈α␈dd␈α␈;␈αth␈α␈en␈α
we␈αa␈α␈lmost␈αa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αca␈α␈n␈αlet␈↓ ¬T␈ε	b␈↓ ¬l␈εβbe␈αa␈α(re␈α␈al)␈αr␈α␈oot␈αo␈α␈f␈αa␈α␈n␈αod␈α␈d-d␈α␈egre␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial.
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβNo;␈α
S␈α␈.␈α
Wi␈α↓n␈α␈og␈α␈rad␈α	fou␈α␈nd␈α	a␈α	way␈α	to␈α	c␈α␈omp␈α␈ute␈α	all␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α	of␈α	deg␈α␈ree␈α	13␈α	with␈α	only␈α	7
␈β5␈↓ ↓H␈εβ(p␈α␈ossibly␈απco␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈x)␈αλm␈α}ultiplication␈α␈s␈αλ[␈ε⊂Co␈α␈mm.␈αλPu␈α␈re␈αλa␈α␈nd␈απAp␈α␈plied␈απMa␈α␈th.␈ε∪␈απ25␈εβ␈απ(197␈α␈2),␈αλ455␈α␈↑45␈α␈7].
␈β]␈↓ ↓H␈εβL.␈α
Reva␈α␈h␈α
fou␈α␈nd␈α
s␈α␈chem␈α␈es␈α
tha␈α␈t␈α∞e␈α␈valu␈α␈ate␈α
almo␈α␈st␈α
all␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omials␈α
of␈α
de␈α␈gree␈↓ 	␈␈ε	n␈↓ 
 ␈ε↔∃␈εβ␈α
9␈α
with
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈ε	n␈↓ ↓i␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1␈α(po␈α␈ssibly␈αco␈α␈mplex␈α␈)␈αm␈α}ultiplication␈α␈s␈α[␈ε⊂␈α↓S␈α␈IAM␈αJ.␈αComp␈α␈utin␈α␈g␈ε∪␈α4␈εβ␈α(19␈α␈75),␈α381␈α␈↑39␈α␈2];
␈β
,␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈e␈α	a␈α␈lso␈α	sh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed␈αλth␈α␈at␈α	wh␈α␈en␈↓ ∧I␈ε	n␈↓ ∧g␈εβ=␈α	9␈αλi␈α↓t␈αλi␈α↓s␈αλpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α	to␈αλach␈α␈iev␈α␈e␈ε↔␈αλb␈↓ λλ␈ε	n␈↓ λ≤␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈α¬+␈α∧1␈αλm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns␈α	o␈α␈nly
␈β
S␈↓ ↓H␈εβwith␈αat␈α
lea␈α␈st␈↓ β∂␈ε	n␈↓ β+␈εβ+␈α	3␈α
a␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.␈α⊂By␈α
a␈α␈pp␈α␈end␈α␈ing␈αsu}␈α␈cien␈α␈tly␈αman␈α}y␈α
a␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α
(c␈α␈f␈α↓.␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈β
{␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈9),␈α	the␈αλ\a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αλall␈α↓"␈αλa␈α␈nd␈αλ\␈α␈poss␈α␈i␈α↓b␈α␈ly␈αλcomp␈α␈lex"␈αλp␈α␈ro␈α␈viso␈α␈s␈α	d␈α␈i␈α↓s␈α␈app␈α␈ear.␈α∩V.␈α	J.␈αλP␈α↓a␈α␈n␈αλ[␈ε⊂␈α↓Proc␈α␈.␈αA␈α␈CM
␈β∞#␈↓ ↓H␈ε⊂S␈α␈ym␈α␈p.␈α∀Th␈α␈eory␈α
Co␈α␈mp.␈ε∪␈α∞1␈α␈0␈εβ␈α∞(19␈α␈78),␈α∂1␈α␈62↑␈α␈172␈α␈]␈α∞foun␈α␈d␈α
sche␈α␈mes␈α∞with␈ε↔␈α
b␈↓ 		␈ε	n␈↓ 	≥␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α	+␈α	1␈α∞(com␈α␈plex␈α␈)
␈β∞J␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
a␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αminim␈α␈u␈α␈m␈α
n␈α}um␈α}ber␈↓ ε8␈ε	n␈↓ εT␈εβ+␈α	2␈αλ+␈↓ πA␈ε	∞␈↓ πv␈εβof␈α(com␈α␈plex␈α␈)␈α
ad␈α␈dition␈α␈s,␈α
for␈αall
␈β∞U␈↓ πM␈εn␈↓ π]␈εε9
␈β∞r␈↓ ↓H␈εβo␈α␈dd␈↓ αλ␈ε	n␈↓ α&␈ε↔∃␈εβ␈α	9;␈αhis␈αmeth␈α␈od␈α
for␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧r␈εβ=␈α
9␈αis
␈β∂>␈↓ ¬ ␈εε2
␈β∂?␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ¬r␈εα)
␈β∂B␈↓ β>␈ε	v␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βl␈εβ)␈α	=␈↓ ∧7␈εβ(␈↓ ∧B␈ε	x␈↓ ∧Z␈εβ+␈↓ ¬β␈ε	␈↓ ¬∃␈εβ)␈↓ ¬4␈εβ+␈↓ ¬]␈ε	␈␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε!␈εβ+␈↓ εJ␈ε	␈
␈↓ ε]␈εβ),␈↓ π>␈ε	w␈↓ πW␈εβ(␈↓ πb␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈α	=␈↓ λ3␈ε	v␈↓ λD␈εβ(␈↓ λO␈ε	x␈↓ λ`␈εβ)␈αλ+␈↓ 	≤␈ε	x␈↓ 	-␈εβ,
␈β∂q␈↓ λ␈ε~0␈↓ 	≠␈ε~0
␈β∂r␈↓ ∧$␈εα(␈↓ ¬)␈εα)(␈↓ ε?␈εα)␈↓ ε{␈εα(␈↓ λε␈εα)(␈↓ 	"␈εα)
␈β∂u␈↓ β=␈ε	t␈↓ βI␈εβ(␈↓ βT␈ε	x␈↓ βf␈εβ)␈α	=␈↓ ∧0␈ε	v␈↓ ∧B␈εβ(␈↓ ∧M␈ε	x␈↓ ∧↑␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬~␈ε	∞␈↓ ¬A␈ε	w␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	x␈↓ ¬w␈εβ)␈απ+␈↓ ε2␈ε	∂␈↓ εR␈ε↔␈␈↓ ππ␈ε	v␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	x␈↓ π5␈εβ)␈απ+␈↓ πp␈ε	∞␈↓ λ≡␈ε	w␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	x␈↓ λS␈εβ)␈αλ+␈↓ 	∞␈ε	∂␈↓ 	.␈εβ,
␈β⊂$␈↓ ¬>␈εα(␈↓ εA␈εα)(␈↓ πN␈εα)
␈β⊂'␈↓ ∧O␈ε	u␈↓ ∧c␈εβ(␈↓ ∧n␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈α	=␈↓ ¬J␈ε	v␈↓ ¬\␈εβ(␈↓ ¬g␈ε	x␈↓ ¬x␈εβ)␈αλ+␈↓ ε4␈ε	⊂␈↓ εY␈ε	t␈↓ εe␈εβ(␈↓ εp␈ε	x␈↓ πα␈εβ)␈απ+␈↓ π=␈ε	⊃␈↓ πb␈εβ+␈↓ λ␈ε	∀␈↓ λ≤␈εβ.
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈ε⊂␈α
rea␈α␈l␈εβ␈α
ad␈α␈dition␈α␈s␈α
n␈α␈ecessa␈α␈ry,␈α
whe␈α␈n␈α	the␈α	minim␈α␈u␈α␈m␈α
n␈α}um␈α}ber␈α	of␈α
(re␈α␈al)
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αi␈α↓s␈αa␈α␈chiev␈α}ed␈α␈,␈αrem␈α␈ains␈αu␈α␈nk␈α␈no␈α}w␈α↓n␈α
for␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π9␈ε↔∃␈εβ␈α
9␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα720␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ∧X␈εα(␈↓ εq␈εα)
␈βα)␈↓ ↓V␈ε∪41.␈↓ α␈ε	a␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α(␈ε	c␈↓ α:␈εβ+␈↓ αa␈ε	d␈↓ αt␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈αε(␈↓ β6␈ε	a␈↓ βM␈εβ+␈↓ βt␈ε	b␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧␈ε	d␈↓ ∧$␈εβ+␈↓ ∧K␈ε	i␈↓ ∧d␈ε	a␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	c␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ ¬9␈ε	d␈↓ ¬K␈εβ)␈αε+␈αε(␈↓ ε∞␈ε	b␈↓ ε!␈ε↔␈␈↓ εH␈ε	a␈↓ εX␈εβ)␈↓ εd␈ε	c␈↓ ε⎇␈εβ.␈α⊗[Beware␈α	n␈α␈u␈α␈merica␈α␈l␈α
i␈α↓n␈α␈stab␈α␈il␈α↓ity␈α␈.␈αThree
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α	are␈α	ne␈α␈cessar␈α␈y,␈α
sinc␈α␈e␈α	comp␈α␈lex␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α	is␈α	a␈α	sp␈α␈ecial␈α	case␈α	of␈α	(69␈α␈)␈α
with
␈βαt␈↓ αM␈εε2
␈βαx␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	u␈↓ ↓x␈εβ)␈α
=␈↓ α9␈ε	u␈↓ αa␈εβ+␈αλ1.␈α
Wi␈α↓t␈α␈hou␈α␈t␈αth␈α␈e␈αres␈α␈tri␈α↓c␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αon␈αad␈α␈ditions␈αthe␈α␈re␈αare␈αoth␈α␈er␈αp␈α␈ossib␈α␈i␈α↓lities,␈αe.g.,
␈ββ≥␈↓ ¬?␈εα(␈↓ λ%␈εα)
␈ββ ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
sy␈α␈mmet␈α␈ri␈α↓c␈α	form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈↓ ∧≠␈ε	a␈↓ ∧,␈ε	c␈↓ ∧>␈ε↔␈␈↓ ∧e␈ε	b␈↓ ∧s␈ε	d␈↓ ¬␈εβ+␈↓ ¬2␈ε	i␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	a␈↓ ¬l␈εβ+␈↓ ε∪␈ε	b␈↓ ε ␈εβ)(␈↓ ε6␈ε	c␈↓ εI␈εβ+␈↓ εp␈ε	d␈↓ πβ␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ π;␈ε	a␈↓ πK␈ε	c␈↓ π↑␈ε↔␈␈↓ λ¬␈ε	b␈↓ λ∩␈ε	d␈↓ λ:␈εβsugg␈α␈ested␈α	by␈α	Peter␈α
Un␈α␈ga␈α␈r
␈ββD␈↓ ∧K␈εn
␈ββH␈↓ ↓H␈εβin␈αλ1␈α␈963␈α␈;␈α
cf.␈αλE␈α↓q␈α␈.␈α	4␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓3␈αλwith␈↓ ∧;␈εβ2␈↓ ∧d␈εβrep␈α␈laced␈αλb␈α␈y␈↓ ε∩␈ε	i␈↓ ε∨␈εβ.␈α
Se␈α␈e␈α	S␈α␈.␈α	Wino␈α␈grad␈α␈,␈ε⊂␈α	Li␈α↓n␈α␈ear␈αλAlg.␈α	Ap␈α␈pl.␈ε∪␈αλ4␈εβ␈αλ(197␈α␈1),
␈ββo␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈81↑␈α␈388␈α␈.]
␈β∧∀␈↓ ∧⊂␈εε2␈↓ ∧Y␈εε2
␈β∧→␈↓ α␈εβAlterna␈α␈tiv␈α␈ely,␈αif␈↓ β␈␈ε	a␈↓ ∧#␈εβ+␈↓ ∧L␈ε	b␈↓ ∧o␈εβ=␈α
1␈α
an␈α␈d␈↓ ¬v␈ε	t␈↓ ε␈εβ=␈α
(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π↓␈ε	a␈↓ π∩␈εβ)/␈↓ π-␈ε	b␈↓ πD␈εβ=␈↓ πn␈ε	b␈↓ π|␈εβ/␈α␈(1␈απ+␈↓ λX␈ε	a␈↓ λh␈εβ),␈αth␈α␈e␈αalg␈α␈orithm␈α
\␈↓ 
i␈ε	w␈↓ ␈εβ=
␈β∧@␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓Z␈ε↔␈␈↓ α↓␈ε	t␈↓ α
␈ε	d␈↓ α∨␈εβ,␈↓ α2␈ε	v␈↓ αM␈εβ=␈↓ αw␈ε	d␈↓ β∂␈εβ+␈↓ β6␈ε	b␈↓ βC␈ε	w␈↓ β\␈εβ,␈↓ βo␈ε	u␈↓ ∧␈εβ=␈↓ ∧7␈ε	w␈↓ ∧U␈ε↔␈␈↓ ∧|␈ε	t␈↓ ¬λ␈ε	v␈↓ ¬→␈εβ"␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
ca␈α␈lculatin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α	prod␈α␈uc␈α␈t␈α
(␈↓ λJ␈ε	a␈↓ λ`␈εβ+␈↓ 	π␈ε	b␈↓ 	∀␈ε	i␈↓ 	!␈εβ)(␈↓ 	7␈ε	c␈↓ 	I␈εβ+␈↓ 	p␈ε	d␈↓ 
α␈ε	i␈↓ 
∂␈εβ)␈α
=␈↓ 
N␈ε	u␈↓ 
h␈εβ+␈↓ ∞␈ε	i␈↓ ≠␈ε	v
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α
b␈α␈een␈α
su␈α␈gge␈α␈sted␈α
b␈α␈y␈α
Osca␈α␈r␈α
B␈α↓u␈α␈ne␈α␈man␈α
[␈ε⊂J␈α␈.␈α∞Co␈α␈mp.␈α⊃P␈α↓h␈α}ys.␈ε∪␈α
12␈εβ␈α
(1␈α␈973␈α␈)␈α↓,␈α
127␈α␈↑12␈α␈8].␈α∩In␈α
th␈α␈is
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d␈αif␈↓ α←␈ε	a␈↓ αy␈εβ=␈↓ β$␈εβc␈α␈os␈↓ βV␈ε	∩␈↓ βo␈εβan␈α␈d␈↓ ∧0␈ε	b␈↓ ∧F␈εβ=␈↓ ∧q␈εβsin␈↓ ¬∨␈ε	∩␈↓ ¬8␈εβthe␈α␈n␈↓ ε∧␈ε	t␈↓ ε→␈εβ=␈↓ εD␈εβta␈α␈n␈↓ εt␈εβ(␈↓ ε␈␈ε	∩␈↓ π
␈εβ/2).
␈β¬I␈↓ ↓V␈ε∪42.␈↓ α␈εβ(a)␈αLet␈↓ αz␈ε	→␈↓ β↔␈εβ,␈↓ β+␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βW␈εβ,␈↓ βk␈ε	→␈↓ ∧≥␈εβb␈α␈e␈αth␈α␈e␈↓ ¬α␈ε	∃␈↓ ¬∨␈εβ's␈αth␈α␈at␈αco␈α␈rresp␈α␈on␈α␈d␈αto␈α
ch␈α␈ain␈α
m␈α␈ultiplicatio␈α␈ns;␈αth␈α␈en␈↓ 
h␈ε	→␈↓ ␈εβ=
␈β¬S␈↓ β
␈εε1␈↓ β{␈εm␈↓ ¬∀␈εi␈↓ 
w␈εi
␈β¬p␈↓ ↓H␈ε	P␈↓ α∨␈ε↔α␈↓ αG␈ε	P␈↓ α|␈εβan␈α␈d␈↓ β<␈ε	u␈↓ βP␈εβ(␈↓ β[␈ε	x␈↓ βm␈εβ)␈α	=␈↓ ∧,␈ε	P␈↓ ¬	␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈α
each␈↓ εH␈ε	P␈↓ εr␈εβh␈α␈as␈αt␈α␈he␈α
form␈↓ λ4␈ε	␈␈↓ λX␈εβ+␈↓ 	␈ε	␈␈↓ 	)␈ε	x␈↓ 	A␈εβ+␈↓ 	i␈ε	␈␈↓ 
∪␈ε	→␈↓ 
6␈εβ+␈↓ 
↑␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ␈εβ+
␈β¬{␈↓ ↓[␈εε2␈↓ ↓h␈εi␈↓ ↓r␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ αZ␈εε2␈↓ αg␈εi␈↓ ∧?␈εε2␈↓ ∧L␈εm␈↓ ∧c␈εε+1␈↓ ε[␈εj␈↓ λE␈εj␈↓ 	⊂␈εj␈↓ 	≥␈εε0␈↓ 	z␈εj␈↓ 
ε␈εε1␈↓ 
"␈εε1
␈βε_␈↓ ↓H␈ε	␈␈↓ α
␈ε	→␈↓ αF␈εβ,␈αwher␈α␈e␈↓ β:␈ε	r␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε	j␈↓ βc␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈α	d␈↓ ∧.␈ε	j␈↓ ∧=␈εβ/2␈ε↔e␈αε␈␈εβ␈απ1␈αa␈α␈nd␈α
eac␈α␈h␈α
of␈αth␈α␈e␈↓ π!␈ε	␈␈↓ πH␈εβan␈α␈d␈↓ λλ␈ε	␈␈↓ λ=␈εβis␈αa␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈αin␈α
the␈↓ ∧␈ε	␈↓ ⊗␈εβ's
␈βε#␈↓ π1␈εj␈↓ λ→␈εj␈↓ λ%␈εk
␈βε$␈↓ ↓X␈εj␈↓ ↓d␈εr␈↓ ↓q␈εε(␈↓ ↓y␈εj␈↓ α¬␈εε)␈↓ α≥␈εr␈↓ α)␈εε(␈↓ α2␈εj␈↓ α>␈εε)
␈βε@␈↓ ↓H␈εβwith␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts.␈α⊃We␈α
can␈αsys␈α␈tematica␈α␈l␈α↓ly␈αmod␈α␈if␈α↓y␈αthe␈αcha␈α␈i␈α↓n␈α(cf.␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α30)␈α
so
␈βεg␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∂␈ε	␈␈↓ α5␈εβ=␈α
0␈α
an␈α␈d␈↓ β;␈ε	␈␈↓ ∧
␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αfor␈α1␈ε↔␈αλ∀␈↓ ¬Q␈ε	j␈↓ ¬i␈ε↔∀␈εβ␈α
2␈↓ ε$␈ε	m␈↓ εB␈εβ;␈αfu␈α␈rthe␈α␈rmore␈α
w␈α␈e␈αc␈α␈an␈α
assu␈α␈me␈α
tha␈α␈t␈↓ 
5␈ε	␈␈↓ 
h␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βεq␈↓ ¬a␈ε↓P
␈βεr␈↓ α ␈εj␈↓ 
F␈εε3␈α␈0
␈βεs␈↓ βL␈εj␈↓ βX␈εr␈↓ βd␈εε(␈↓ βl␈εj␈↓ βy␈εε)
␈βπ␈↓ λZ␈εε2
␈βπ∂␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αεre␈α␈sult␈αεse␈α␈t␈αεn␈α␈o␈α␈w␈αεh␈α␈as␈αεa␈α␈t␈αεm␈α␈ost␈↓ ∧q␈ε	m␈↓ ¬∞␈εβ+1+␈↓ εv␈εβ(␈ε↔d␈↓ π∞␈ε	j␈↓ π≥␈εβ/2␈ε↔e␈␈εβ1)␈α	=␈↓ λ=␈ε	m␈↓ λg␈εβ+1␈α¬deg␈α␈rees␈α¬of␈αεfre␈α␈edo␈α␈m.
␈βπ!␈↓ επ␈εε1␈ε~∀␈↓ ε-␈εj␈↓ ε9␈ε~∀␈εε2␈↓ ε←␈εm
␈βπ<␈↓ α␈εβ(b)␈α
An␈α}y␈α
su␈α␈ch␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈α
ch␈α␈ain␈α
with␈α
a␈α␈t␈α
most␈↓ π⊗␈ε	m␈↓ π=␈εβch␈α␈ain␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α
can␈α	be␈α
sim␈α␈u␈α␈-
␈βπd␈↓ ↓H␈εβlat␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈αλon␈α␈e␈αλwi␈α↓th␈απthe␈αλfo␈α␈rm␈αλcon␈α␈si␈α↓d␈α␈ered␈απi␈α↓n␈απ(a),␈α	ex␈α␈c␈α␈ept␈αλth␈α␈at␈αλno␈α}w␈αλwe␈αλlet␈↓ 	⊃␈ε	r␈↓ 	∨␈εβ(␈↓ 	+␈ε	j␈↓ 	9␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	d␈↓ 
¬␈ε	j␈↓ 
∀␈εβ/2␈ε↔e␈αβ␈␈εβ␈α∧1␈αλfo␈α␈r
␈βλ␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	j␈↓ α$␈ε↔∀␈εβ␈α
2␈↓ α←␈ε	m␈↓ βα␈εβ+␈αε1␈α␈,␈α
and␈α	w␈α␈e␈α	do␈α	n␈α␈ot␈α	assu␈α␈me␈α	that␈↓ εY␈ε	␈␈↓ π␈εβ=␈α
0␈α	o␈α␈r␈α
th␈α␈at␈↓ λ?␈ε	␈␈↓ 	∞␈εβ=␈α	1␈α	for␈↓ 
∧␈ε	j␈↓ 
≥␈ε↔∃␈εβ␈α	3.␈αTh␈α␈is
␈βλ⊗␈↓ εj␈εε3␈α␈0
␈βλ↔␈↓ λO␈εj␈↓ λ[␈εr␈↓ λg␈εε(␈↓ λp␈εj␈↓ λ|␈εε)
␈βλ/␈↓ ¬)␈εε2
␈βλ3␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gle␈α
can␈α␈on␈α␈ical␈α
form␈α
in␈α}v␈α␈olv␈α}es␈↓ ¬␈ε	m␈↓ ¬?␈εβ+␈α	2␈↓ ¬y␈ε	m␈↓ ε$␈εβp␈α␈ara␈α␈meters.␈α⊃As␈α
th␈α␈e␈↓ λL␈ε	␈↓ λ↑␈εβ'␈α↓s␈αrun␈αthru␈αall␈α∞in␈α}teger␈α␈s
␈βλR␈↓ 	∀␈επ2
␈βλV␈↓ λ|␈εm␈↓ 	∨␈εε+2␈↓ 	E␈εm
␈βλ[␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αas␈αw␈α␈e␈αrun␈αthro␈α␈ug␈α␈h␈αall␈αcha␈α␈i␈α↓n␈α␈s,␈α
th␈α␈e␈↓ ¬|␈ε	␈␈↓ ε⊂␈εβ'␈α↓s␈αru␈α␈n␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈αa␈α␈t␈αmost␈↓ λl␈εβ2␈↓ 	h␈εβsets␈αof␈αv␈α␈alue␈α␈s
␈βλ}␈↓ λ9␈εn
␈β	α␈↓ ↓H␈εβm␈α␈od␈α
2,␈α
hen␈α␈ce␈α
the␈α
re␈α␈sult␈α
set␈αd␈α␈oe␈α␈s␈αa␈α␈l␈α↓so␈α␈.␈αIn␈α
ord␈α␈er␈αt␈α␈o␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α	all␈↓ λ(␈εβ2␈↓ λS␈εβpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
of␈αd␈α␈egr␈α␈ee␈↓ _␈ε	n
␈β	&␈↓ ¬_␈εε2
␈β	*␈↓ ↓H␈εβwith␈α
0-1␈αco␈α␈e}cien␈α}ts,␈αw␈α␈e␈αn␈α␈eed␈↓ ∧z␈ε	m␈↓ ¬,␈εβ+␈απ2␈↓ ¬e␈ε	m␈↓ ε␈ε↔∃␈↓ ε6␈ε	n␈↓ εJ␈εβ.
␈β	O␈↓ εε␈εε2␈↓ ε;␈εε3␈↓ π1␈εm␈↓ 
≡␈εε(␈↓ 
&␈εm␈↓ 
=␈εε+1)␈↓ 
k␈εm
␈β	Q␈↓ β⎇␈∧	Qβ⎇α∃
␈β	R␈↓ β[␈ε↔p
␈β	S␈↓ α␈εβ(c)␈α
S␈α␈et␈↓ αx␈ε	m␈↓ β!␈ε↔ ␈αb␈↓ β⎇␈ε	n␈↓ ∧⊃␈ε↔c␈εβ␈αan␈α␈d␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ ¬u␈ε	x␈↓ ε∪␈εβ,␈↓ ε)␈ε	x␈↓ εG␈εβ,␈↓ ε]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π
␈εβ,␈↓ π ␈ε	x␈↓ πI␈εβ.␈α∂L␈α↓e␈α␈t␈↓ λ ␈ε	u␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	x␈↓ λQ␈εβ)␈α=␈↓ 	∀␈ε	u␈↓ 	e␈εβ(␈↓ 	p␈ε	x␈↓ 
↓␈εβ)␈↓ 
␈ε	x␈↓ ␈εβ+
␈β	↑␈↓ 	(␈εm␈↓ 	?␈εε+1
␈β	w␈↓ αz␈εm
␈β	{␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α!␈ε	u␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α]␈εβ)␈↓ αh␈ε	x␈↓ β→␈εβ+␈↓ βC␈ε	u␈↓ βc␈εβ(␈↓ βn␈ε	x␈↓ β␈␈εβ)␈α↓,␈α
whe␈α␈re␈α
ea␈α␈ch␈↓ ¬Q␈ε	u␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε	x␈↓ ε␈εβ)␈α
is␈α
a␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
of␈α
de␈α␈gree␈ε↔␈α∀␈↓ 	R␈ε	m␈↓ 	|␈εβwith␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β
¬␈↓ α4␈εε1␈↓ βV␈εε0␈↓ ¬d␈εj
␈β
"␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α	(h␈α␈en␈α␈ce␈α	it␈α	c␈α␈an␈αλbe␈αλev␈α␈alua␈α␈ted␈αλwi␈α↓th␈α␈ou␈α␈t␈α	a␈α␈n␈α␈y␈αλmor␈α␈e␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s)␈α↓.␈α
No␈α␈w␈αλeva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate
␈β
F␈↓ ¬@␈εm
␈β
J␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ)␈αλb␈α␈y␈απrule␈απ(␈α↓2␈α␈)␈αλas␈απa␈απpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αλin␈↓ ¬.␈ε	x␈↓ ¬↑␈εβwi␈α↓th␈απk␈α␈no␈α}wn␈αλc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts.␈α⊂(The␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αλof␈απad␈α␈dition␈α␈s
␈β
q␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sed␈απis␈απap␈α␈pro␈α}ximat␈α␈el␈α↓y␈αεthe␈απsu␈α␈m␈απof␈απthe␈απa␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈απva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈απof␈απth␈α␈e␈αλc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αλso␈απth␈α␈i␈α↓s␈απa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β→␈↓ ↓H␈εβis␈αe}␈α␈cien␈α␈t␈αon␈α0-1␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls.␈α∂Pate␈α␈rson␈αand␈αSto␈α␈ckm␈α␈ey␈α␈er␈αa␈α␈lso␈αga␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈noth␈α␈er␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β;␈↓ βV␈∧;βVα%
␈β<␈↓ β4␈ε↔p
␈βA␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αu␈α␈ses␈αab␈α␈ou␈α␈t␈↓ βV␈εβ2␈↓ βf␈ε	n␈↓ ∧ε␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s.)
␈βj␈↓ α␈εβRefere␈α␈nce:␈ε⊂␈α∂SIAM␈α
J␈α␈.␈α∞Com␈α␈pu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈ε∪␈α
2␈εβ␈α
(19␈α␈73),␈α∞6␈α␈0↑6␈α␈6;␈α∂se␈α␈e␈α
also␈α
J.␈α
E␈α↓.␈α
Sa␈α␈va␈α␈ge,␈ε⊂␈α∞SIAM␈α
J␈α␈.
␈β∩␈↓ ↓H␈ε⊂Co␈α␈mp␈α␈uting␈ε∪␈α3␈εβ␈α(197␈α␈4),␈α
150␈α␈↑15␈α␈8.␈α⊂For␈αan␈α␈alogo␈α␈us␈αresu␈α␈l␈α↓ts␈αab␈α␈out␈αad␈α␈dition␈α␈s,␈α∞se␈α␈e␈α
A.␈α
Boro␈α␈din
␈β9␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
S.␈αCoo␈α␈k,␈ε⊂␈αSIAM␈αJ␈α␈.␈αCo␈α␈mp␈α␈uting␈ε∪␈α
5␈εβ␈α(197␈α␈6),␈α146␈α␈↑15␈α␈7.
␈βs␈↓ ↓V␈ε∪43.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αm␈ε	a␈↓ β∩␈εβ=␈↓ β?␈ε	a␈↓ βb␈εβ+␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧4␈εβi␈α↓s␈αa␈αstep␈αin␈αs␈α␈ome␈αo␈α␈ptimal␈αad␈α␈dition␈αcha␈α␈in␈αfor␈↓ 	E␈ε	n␈↓ 	a␈εβ+␈αλ1,␈αcomp␈α␈ute
␈β⎇␈↓ α⎇␈εi␈↓ βN␈εj␈↓ ∧≠␈εk
␈β
⊗␈↓ ↓Y␈εi␈↓ α)␈εj␈↓ αF␈εk␈↓ ∧↔␈εj␈↓ ε:␈εi␈↓ εD␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
~␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓m␈εβ=␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α5␈ε	x␈↓ α\␈εβand␈↓ β≠␈ε	p␈↓ β?␈εβ=␈↓ βi␈ε	p␈↓ ∧ε␈ε	x␈↓ ∧(␈εβ+␈↓ ∧N␈ε	p␈↓ ∧j␈εβ,␈α	whe␈α␈re␈↓ ¬Z␈ε	p␈↓ ¬}␈εβ=␈↓ ε(␈ε	x␈↓ εo␈εβ+␈↓ π∀␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π@␈εβ+␈↓ πf␈ε	x␈↓ π{␈εβ+␈α¬1;␈α
o␈α␈mit␈α	the␈αλ|n␈α␈al␈α	calcu␈α␈lation
␈β
%␈↓ β+␈εi␈↓ βy␈εk␈↓ ∧]␈εj␈↓ ¬j␈εi
␈β
>␈↓ α␈εn␈↓ α⊃␈εε+1
␈β
?␈↓ 
r␈εα(
␈β
B␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈ε	x␈↓ α6␈εβ.␈α
W␈α↓e␈αsav␈α}e␈αo␈α␈ne␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αwhen␈α␈ev␈α}er␈↓ εy␈ε	a␈↓ π ␈εβ=␈α
1,␈αin␈αp␈α␈articula␈α␈r␈αwhe␈α␈n␈↓ 
	␈ε	i␈↓ 
 ␈εβ=␈α1␈α␈.␈↓ 
}␈εβCf.
␈β
L␈↓ πλ␈εk
␈β
f␈↓ ∧T␈εε1␈↓ ∧n␈εα)
␈β
i␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈.3↑3␈α␈1␈αwith␈↓ ∧⊂␈ε	∂␈↓ ∧&␈εβ=␈↓ ∧e␈εβ.
␈β
x␈↓ ∧T␈∧
x∧Tα
␈β
z␈↓ ∧T␈εε2
␈β∞#␈↓ ↓V␈ε∪44.␈↓ α␈εβIt␈αsu}␈α␈ces␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈α(␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬#␈εβ)'s␈αrank␈αis␈ε⊂␈αat␈αmo␈α␈st␈εβ␈αthat␈αo␈α␈f␈α(␈↓ λ9␈ε	a␈↓ λm␈εβ),␈α
sin␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αob␈α␈tain
␈β∞-␈↓ ∧␈␈εi␈↓ ¬
␈εj␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ λI␈εi␈↓ λT␈εj␈↓ λ`␈εk
␈β∞F␈↓ 	$␈ε~␈␈εε1␈↓ 	z␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
S␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∞J␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ αε␈εβ)␈α∞ba␈α␈ck␈α∞fro␈α␈m␈α∞(␈↓ βO␈ε	b␈↓ β␈␈εβ)␈α∞by␈α
tran␈α␈sformin␈α␈g␈α∞it␈α∞i␈α↓n␈α
the␈α
same␈α
w␈α↓a␈α␈y␈α∞with␈↓ 	␈ε	F␈↓ 	I␈εβ,␈↓ 	a␈ε	G␈↓ 
 ␈εβ,␈↓ 
8␈ε	H␈↓ 
y␈εβ.␈α∀If
␈β∞T␈↓ α/␈ε↓P
␈β∞U␈↓ ↓b␈εi␈↓ ↓m␈εj␈↓ ↓y␈εk␈↓ β[␈εi␈↓ βf␈εj␈↓ βr␈εk
␈β∞r␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α∧␈εβ=␈↓ β+␈ε	␈↓ βS␈ε	␈␈↓ β{␈ε	␈
␈↓ ∧+␈εβth␈α␈en␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αimmed␈α␈iately␈αth␈α␈at
␈β∞|␈↓ ↓W␈εi␈↓ ↓b␈εj␈↓ ↓n␈εk␈↓ β<␈εi␈↓ βG␈εl␈↓ βc␈εj␈↓ βo␈εl␈↓ ∧␈εk␈↓ ∧_␈εl
␈β∂∧␈↓ αU␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α{␈εl␈↓ βα␈ε~∀␈↓ β≤␈εt
␈β∂/␈↓ β:␈ε↓P␈↓ ∧<␈ε↓P␈↓ ε:␈ε↓P␈↓ λ0␈ε↓P
␈β∂J␈↓ ∧0␈εα(␈↓ ε"␈εα)(␈↓ λ_␈εα)(␈↓ 
	␈εα)
␈β∂M␈↓ αV␈ε	b␈↓ β∂␈εβ=␈↓ ¬L␈ε	F␈↓ ¬{␈ε	␈↓ πA␈ε	G␈↓ πt␈ε	␈␈↓ 	2␈ε	H␈↓ 	e␈ε	␈
␈↓ 
∃␈εβ.
␈β∂X␈↓ αb␈εi␈↓ αm␈εj␈↓ αy␈εk␈↓ ¬←␈εi␈↓ ¬i␈εp␈↓ ε
␈εp␈↓ ε~␈εl␈↓ πW␈εj␈↓ πc␈εq␈↓ λ∧␈εq␈↓ λ⊂␈εl␈↓ 	G␈εk␈↓ 	U␈εr␈↓ 	u␈εr␈↓ 
↓␈εl
␈β∂`␈↓ β`␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧ε␈εl␈↓ ∧
␈ε~∀␈↓ ∧'␈εt␈↓ ∧b␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬λ␈εp␈↓ ¬⊗␈ε~∀␈↓ ¬/␈εm␈↓ ε`␈εε1␈ε~∀␈↓ πε␈εq␈↓ π∩␈ε~∀␈↓ π+␈εn␈↓ λV␈εε1␈ε~∀␈↓ λ|␈εr␈↓ 	λ␈ε~∀␈↓ 	!␈εs
␈β⊂'␈↓ α␈εβ[H.␈α⊂F.␈α⊂d␈α␈e␈α⊂G␈α␈roote␈α∂h␈α␈as␈α∂pro␈α}v␈α␈ed␈α∂th␈α␈at␈α∂all␈α⊂n␈α␈orma␈α␈l␈α⊂sch␈α␈eme␈α␈s␈α⊂th␈α␈at␈α∂yield␈α∂2␈ε↔␈α
α␈εβ␈α
2␈α∂matrix
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈α␈s␈α∂with␈α∂7␈α∞ch␈α␈ain␈α∂m␈α}ultiplication␈α␈s␈α∂a␈α␈re␈α∂eq␈α␈uiva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t,␈α⊂in␈α∞the␈α∞sense␈α∞tha␈α␈t␈α∂th␈α␈ey␈α∞can␈α∞be
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αfro␈α␈m␈α
e␈α␈ach␈αo␈α␈the␈α␈r␈α
b␈α␈y␈αno␈α␈nsin␈α␈gula␈α␈r␈α
m␈α␈atrix␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αas␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αex␈α}ercise.␈α∂In
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αsense␈α
Stras␈α␈sen's␈αalgo␈α␈rithm␈αis␈αun␈α␈iqu␈α␈e.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα721
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪45.␈↓ α␈εβBy␈α
ex␈α}ercise␈α
44␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
a␈α␈dd␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α
m␈α␈u␈α␈ltiple␈α
of␈α
a␈α
ro␈α␈w,␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈,␈αor␈α
plan␈α␈e␈α
to␈α
an␈α␈oth␈α␈er␈α
one
␈βαS␈↓ ↓H␈εβwith␈α␈out␈α
ch␈α␈an␈α␈ging␈α
th␈α␈e␈α
ran␈α␈k;␈α
we␈α
c␈α␈an␈α
also␈α
m␈α␈u␈α␈ltiply␈α
a␈α
ro␈α␈w,␈α
colum␈α␈n,␈αo␈α␈r␈α
plan␈α␈e␈α
by␈α
a␈α
n␈α␈on␈α␈zero
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t,␈α	or␈αλtran␈α␈spo␈α␈se␈α	th␈α␈e␈α	ten␈α␈sor.␈α
A␈α	seq␈α␈uen␈α␈ce␈αλof␈α	su␈α␈ch␈αλop␈α␈eration␈α␈s␈α	c␈α␈an␈αλalway␈α␈s␈α	b␈α␈e␈α	fou␈α␈nd␈αλto
␈ββ␈↓ π∨␈ε↓␈␈↓ πJ␈ε↓↓␈↓ πX␈ε↓␈␈↓ λβ␈ε↓↓␈↓ λ%␈ε↓␈␈↓ λP␈ε↓↓␈↓ λ↑␈ε↓␈␈↓ 		␈ε↓↓␈↓ 	*␈ε↓␈␈↓ 	V␈ε↓↓␈↓ 	d␈ε↓␈␈↓ 
∂␈ε↓↓␈↓ 
0␈ε↓␈␈↓ 
\␈ε↓↓␈↓ 
j␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓↓
␈ββ~␈↓ π-␈εε0␈αβ0␈↓ πf␈εε0␈α∧0␈↓ λ3␈εε1␈αβ0␈↓ λl␈εε0␈α∧0␈↓ 	8␈εε1␈α∧0␈↓ 	r␈εε0␈α∧0␈↓ 
>␈εε1␈α∧0␈↓ 
x␈εε0␈α∧0
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβre␈α␈du␈α␈ce␈α
a␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
2␈ε↔␈α¬α␈εβ␈α¬2␈ε↔␈α¬α␈εβ␈αε2␈α	tenso␈α␈r␈α
to␈α	on␈α␈e␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
fo␈α␈rms␈↓ λ⊃␈εβ,␈↓ 	↔␈εβ,␈↓ 
≥␈εβ,␈↓ #␈εβ,
␈ββ/␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ↓s␈ε↓↓␈↓ α↓␈ε↓␈␈↓ α,␈ε↓↓
␈ββ2␈↓ π-␈εε0␈αβ0␈↓ πf␈εε0␈α∧0␈↓ λ3␈εε0␈αβ0␈↓ λl␈εε0␈α∧0␈↓ 	8␈εε0␈α∧1␈↓ 	r␈εε0␈α∧0␈↓ 
>␈εε0␈α∧0␈↓ 
x␈εε0␈α∧1
␈ββI␈↓ ↓V␈εε1␈αβ0␈↓ α∂␈εε0␈α∧1
␈ββM␈↓ 	T␈εε2
␈ββQ␈↓ α:␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αlast␈αte␈α␈nso␈α␈r␈αha␈α␈s␈αran␈α␈k␈α3␈α
or␈α2␈α
acco␈α␈rdin␈α␈g␈αas␈α
the␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ 	@␈ε	u␈↓ 	h␈ε↔␈␈↓ 
⊃␈ε	r␈↓ 
∨␈ε	u␈↓ 
:␈ε↔␈␈↓ 
c␈ε	q␈↓ 
|␈εβha␈α␈s
␈ββa␈↓ ↓V␈εε0␈αβ1␈↓ α∂␈εq␈↓ α ␈εr
␈ββx␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne␈αo␈α␈r␈αt␈α␈wo␈α
i␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αfac␈α␈tors␈αin␈αth␈α␈e␈α|eld␈α
of␈αi␈α↓n␈α}terest,␈αb␈α␈y␈αThe␈α␈orem␈αW.
␈β∧6␈↓ ↓V␈ε∪46.␈↓ α␈εβA␈α∂g␈α␈enera␈α␈l␈↓ β)␈ε	m␈↓ βP␈ε↔α␈↓ β{␈ε	n␈↓ ∧→␈ε↔α␈↓ ∧D␈ε	s␈↓ ∧a␈εβten␈α␈sor␈α∞ha␈α␈s␈↓ επ␈ε	m␈↓ ε$␈ε	n␈↓ ε8␈ε	s␈↓ εU␈εβd␈α␈egree␈α␈s␈α∂of␈α∂fre␈α␈edo␈α␈m.␈α⊗By␈α∂e␈α␈x␈α␈ercise␈α∞28␈α∞i␈α↓t␈α∞is
␈β∧]␈↓ ↓H␈εβimp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αto␈αexp␈α␈ress␈αall␈↓ ∧6␈ε	m␈↓ ∧[␈ε↔α␈↓ ¬∧␈ε	n␈↓ ¬ ␈ε↔α␈↓ ¬I␈ε	s␈↓ ¬c␈εβte␈α␈nso␈α␈rs␈αin␈αterms␈αof␈αth␈α␈e␈α(␈↓ λE␈ε	m␈↓ λj␈εβ+␈↓ 	∪␈ε	n␈↓ 	/␈εβ+␈↓ 	X␈ε	s␈↓ 	f␈εβ)␈↓ 	q␈ε	t␈↓ 
λ␈εβelemen␈α}ts␈αo␈α␈f
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εβa␈α
r␈α␈ealization␈↓ β
␈ε	A␈↓ β!␈εβ,␈↓ β8␈ε	B␈↓ βN␈εβ,␈↓ βe␈ε	C␈↓ ∧
␈εβun␈α␈less␈α
(␈↓ ∧|␈ε	m␈↓ ¬#␈εβ+␈↓ ¬M␈ε	n␈↓ ¬i␈εβ+␈↓ ε∀␈ε	s␈↓ ε!␈εβ)␈↓ ε,␈ε	t␈↓ εE␈ε↔∃␈↓ εs␈ε	m␈↓ π⊃␈ε	n␈↓ π%␈ε	s␈↓ π2␈εβ.␈α∩On␈α
th␈α␈e␈α
oth␈α␈er␈α
han␈α␈d,␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α
tha␈α␈t
␈β¬,␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈ε↔∃␈↓ α→␈ε	n␈↓ α6␈ε↔∃␈↓ αa␈ε	s␈↓ αn␈εβ.␈αThe␈αλman␈α␈k␈α	o␈α␈f␈α	an␈↓ ∧p␈ε	m␈↓ ¬⊃␈ε↔α␈↓ ¬7␈ε	n␈↓ ¬T␈εβmatrix␈αλi␈α↓s␈α	a␈α␈t␈α	most␈↓ πU␈ε	n␈↓ πi␈εβ,␈α	so␈α	w␈α␈e␈α	ca␈α␈n␈α	re␈α␈ali␈α↓z␈α␈e␈α	an␈α}y␈α	ten␈α␈sor␈α	in
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈ε	s␈↓ ↓s␈εβcha␈α␈i␈α↓n␈α	m␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
b␈α␈y␈α
rea␈α␈li␈α↓zin␈α␈g␈α
ea␈α␈ch␈α
ma␈α␈trix␈α
p␈α␈l␈α↓a␈α␈ne␈α
se␈α␈par␈α␈ately.␈α⊗[␈α↓Ex␈α}ercise␈α
45␈α	sho␈α}ws
␈β¬|␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αl␈α↓o␈α}we␈α␈r␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈αon␈αthe␈αmax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈αtenso␈α␈r␈α
ran␈α␈k␈αi␈α↓s␈αno␈α␈t␈α
be␈α␈st␈α
po␈α␈ssible,␈α
nor␈αis␈α
the␈αup␈α␈pe␈α␈r
␈βε#␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈.␈α⊃Th␈α␈oma␈α␈s␈α
D.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ell␈α
(Ph.␈α⊂D.␈α
th␈α␈esis,␈α∞Co␈α␈rnell␈α
Un␈α␈i␈α↓v␈α␈.,␈α∞1␈α␈976␈α␈)␈α
ha␈α␈s␈α
sho␈α}wn␈α
th␈α␈at␈αthere
␈βεK␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αten␈α␈sors␈αof␈αra␈α␈nk␈ε↔␈α∃␈α	d␈↓ ∧≤␈ε	m␈↓ ∧9␈ε	n␈↓ ∧M␈ε	s␈↓ ∧[␈εβ/(␈↓ ∧w␈ε	m␈↓ ¬≤␈εβ+␈↓ ¬D␈ε	n␈↓ ¬`␈εβ+␈↓ ελ␈ε	s␈↓ ε≡␈ε↔␈␈εβ␈απ2)␈ε↔e␈εβ␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αc␈α␈omp␈α␈lex␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.]
␈βπλ␈↓ ↓V␈ε∪49.␈↓ α␈εβBy␈αLemm␈α␈a␈αT␈↓ βP␈εβ,␈αra␈α␈nk␈α␈(␈↓ ∧2␈ε	a␈↓ ∧f␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ ¬%␈εβran␈α␈k␈↓ ¬h␈εβ(␈↓ ¬s␈ε	a␈↓ ε7␈εβ).␈αCo␈α␈n␈α␈v␈α}ersely␈αif␈↓ λ"␈ε	M␈↓ λP␈εβis␈αa␈α
matrix␈αo␈α␈f␈αra␈α␈nk␈↓ 
o␈ε	t␈↓ π␈εβw␈α␈e
␈βπ∪␈↓ ∧B␈εi␈↓ ∧M␈εj␈↓ ∧Y␈εk
␈βπ∀␈↓ εα␈εi␈↓ ε
␈εε(␈↓ ε∃␈εj␈↓ ε!␈εk␈↓ ε/␈εε)
␈βπ0␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α
tran␈α␈sform␈α
i␈α↓t␈α
by␈α
ro␈α}w␈αan␈α␈d␈α
colu␈α␈mn␈α
op␈α␈eration␈α␈s,␈α|n␈α␈din␈α␈g␈αn␈α␈on␈α␈si␈α↓n␈α␈gu␈α␈lar␈αm␈α␈atrices␈↓ 
1␈ε	F␈↓ 
S␈εβan␈α␈d␈↓ ∪␈ε	G
␈βπX␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αλtha␈α␈t␈↓ αW␈ε	F␈↓ αn␈ε	M␈↓ β⊃␈ε	G␈↓ β3␈εβh␈α␈as␈α	a␈α␈ll␈α	en␈α␈tries␈α	0␈αλex␈α}cep␈α␈t␈α	for␈↓ ε1␈ε	t␈↓ εE␈εβdiag␈α␈ona␈α␈l␈α	elemen␈α}ts␈α	th␈α␈at␈α	a␈α␈re␈α	1;␈α	cf.␈α	Al␈α↓g␈α␈orithm
␈βπ␈␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈.␈α↓6␈α␈.2N␈↓ α&␈εβ.␈αTh␈α␈e␈α
te␈α␈nso␈α␈r␈α
ran␈α␈k␈α	of␈↓ ∧P␈ε	F␈↓ ∧g␈ε	M␈↓ ¬
␈ε	G␈↓ ¬-␈εβis␈α	the␈α␈refore␈ε↔␈α	∀␈↓ πα␈ε	t␈↓ π∞␈εβ;␈α
an␈α␈d␈α	it␈α
is␈α	the␈α	sam␈α␈e␈α
a␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
te␈α␈nso␈α␈r␈α
ra␈α␈nk
␈βλ'␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	M␈↓ α⊃␈εβ,␈αby␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈4.
␈βλ`␈↓ β)␈ε~0␈↓ βK␈ε~00␈↓ ¬(␈ε~0␈↓ π+␈ε~00
␈βλd␈↓ ↓V␈ε∪50.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	i␈↓ αd␈εβ=␈ε↔␈αh␈↓ β≤␈ε	i␈↓ β/␈εβ,␈↓ β>␈ε	i␈↓ βW␈ε↔i␈εβ␈α
whe␈α␈re␈α
1␈ε↔␈α∀␈↓ ¬≠␈ε	i␈↓ ¬:␈ε↔∀␈↓ ¬g␈ε	m␈↓ ε⊃␈εβand␈α1␈ε↔␈α∀␈↓ π≡␈ε	i␈↓ πC␈ε↔∀␈↓ πp␈ε	n␈↓ λ∧␈εβ;␈α∞then␈↓ λi␈ε	a␈↓ 	\␈εβ=␈↓ 
	␈ε	∞␈↓ 
7␈ε	∞␈↓ 
`␈εβ,␈α∞a␈α␈nd
␈βλm␈↓ 	␈ε≠0␈↓ 	#␈ε≠0␈α␈0␈↓ 
 ␈ε≠0␈α␈0␈↓ 
N␈ε≠0
␈βλp␈↓ λx␈ε~h␈↓ 	↓␈εi␈↓ 	⊃␈εε,␈↓ 	_␈εi␈↓ 	.␈ε~i␈↓ 	6␈εj␈↓ 	B␈εk␈↓ 
∃␈εi␈↓ 
+␈εj␈↓ 
C␈εi␈↓ 
S␈εk
␈β	␈↓ ↓H␈εβit␈αi␈α↓s␈αclear␈αtha␈α␈t␈αran␈α␈k(␈↓ βr␈ε	a␈↓ ∧6␈εβ)␈α
=␈↓ ∧w␈ε	m␈↓ ¬∀␈ε	n␈↓ ¬4␈εβsin␈α␈ce␈α(␈↓ ε⊃␈ε	a␈↓ εU␈εβ)␈αis␈αa␈αp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈αma␈α␈trix.␈α
By␈αLemma␈αL␈↓ #␈εβ,
␈β	↔␈↓ ∧↓␈εi␈↓ ∧␈εε(␈↓ ∧∀␈εj␈↓ ∧ ␈εk␈↓ ∧.␈εε)␈↓ ε ␈εi␈↓ ε+␈εε(␈↓ ε3␈εj␈↓ ε?␈εk␈↓ εL␈εε)
␈β	3␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nk␈α␈(␈↓ α∃␈ε	a␈↓ αI␈εβ)␈ε↔␈α∂∃␈↓ β∀␈ε	m␈↓ β2␈ε	n␈↓ βF␈εβ.␈α↔C␈α␈on␈α␈v␈α}ersely␈α␈,␈α⊃sin␈α␈ce␈α∂(␈↓ ε␈ε	a␈↓ ε3␈εβ)␈α∂has␈α∞only␈↓ πZ␈ε	m␈↓ πx␈ε	n␈↓ λ~␈εβnon␈α␈zero␈α∞en␈α␈tries,␈α⊂its␈α∂ra␈α␈nk␈α∞is
␈β	>␈↓ α%␈εi␈↓ α0␈εj␈↓ α<␈εk␈↓ ε∂␈εi␈↓ ε~␈εj␈↓ ε&␈εk
␈β	[␈↓ ↓H␈εβc␈α␈l␈α↓e␈α␈arly␈ε↔␈α∀␈↓ α]␈ε	m␈↓ αz␈ε	n␈↓ β∞␈εβ.␈α→(The␈α␈re␈αis␈αco␈α␈nse␈α␈que␈α␈n␈α␈tly␈α
no␈α
no␈α␈rmal␈αsch␈α␈eme␈α
requ␈α␈iring␈α
few␈α␈er␈αth␈α␈an␈α
the␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈ε	n
␈β
β␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s.␈α∩The␈α␈re␈α
i␈α↓s␈α
n␈α␈o␈α
su␈α␈ch␈α
ab␈α␈no␈α␈rmal␈α
sch␈α␈eme␈α
eith␈α␈er␈α
[␈ε⊂␈α↓C␈α␈omm.␈α
Pure␈α
a␈α␈nd
␈β
*␈↓ ↓H␈ε⊂Ap␈α␈pl.␈αMa␈α␈th.␈ε∪␈α3␈εβ␈α(19␈α␈70),␈α16␈α␈5-17␈α␈9].␈α∞Bu␈α␈t␈αsom␈α␈e␈αsa␈α␈ving␈α␈s␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αa␈α␈chiev␈α}ed␈αi␈α↓f␈αthe␈αsame␈αmatrix
␈β
R␈↓ ↓H␈εβis␈αu␈α␈sed␈αwi␈α↓th␈↓ ββ␈ε	s␈↓ β≠␈εβ>␈α1␈αd␈α␈i{␈α↓ere␈α␈n␈α␈t␈αco␈α␈lumn␈αv␈α␈e␈α␈ctors,␈αsince␈αthis␈αis␈αeq␈α␈uiva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αto␈α(␈↓ 	e␈ε	m␈↓ 
␈ε↔α␈↓ 
4␈ε	n␈↓ 
H␈εβ)␈αtime␈α␈s
␈β
y␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	n␈↓ ↓n␈ε↔α␈↓ α↔␈ε	s␈↓ α%␈εβ)␈αma␈α␈trix␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion.)
␈β3␈↓ εg␈εε1␈↓ 	∃␈εε1
␈β7␈↓ ↓V␈ε∪51.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αA␈ε	s␈↓ αh␈εβ=␈↓ β_␈ε	y␈↓ β>␈εβ+␈↓ βi␈ε	y␈↓ ∧¬␈εβ,␈↓ ∧≡␈ε	s␈↓ ∧D␈εβ=␈↓ ∧t␈ε	y␈↓ ¬~␈ε↔␈␈↓ ¬E␈ε	y␈↓ ¬b␈εβ;␈↓ ¬{␈ε	m␈↓ ε3␈εβ=␈↓ εw␈εβ(␈↓ πα␈ε	x␈↓ π(␈εβ+␈↓ πR␈ε	x␈↓ πo␈εβ)␈↓ πz␈ε	s␈↓ λ⊃␈εβ,␈↓ λ*␈ε	m␈↓ λb␈εβ=␈↓ 	&␈εβ(␈↓ 	1␈ε	x␈↓ 	W␈ε↔␈␈↓ 
↓␈ε	x␈↓ 
≥␈εβ)␈↓ 
)␈ε	s␈↓ 
@␈εβ;␈↓ 
Z␈ε	w␈↓ ␈εβ=
␈βA␈↓ αL␈εε1␈↓ β(␈εε0␈↓ βy␈εε1␈↓ ∧)␈εε2␈↓ ¬∧␈εε0␈↓ ¬U␈εε1␈↓ ε↔␈εε1␈↓ π⊃␈εε0␈↓ πb␈εε1␈↓ λ¬␈εε1␈↓ λF␈εε2␈↓ 	@␈εε0␈↓ 
⊃␈εε1␈↓ 
4␈εε2␈↓ 
p␈εε0
␈βE␈↓ εg␈∧Eεgα
␈↓ 	∃␈∧E	∃α
␈βG␈↓ εg␈εε2␈↓ 	∃␈εε2
␈β↑␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α!␈ε	m␈↓ αJ␈εβ,␈↓ α←␈ε	w␈↓ β␈εβ=␈↓ β7␈ε	m␈↓ βh␈ε↔␈␈↓ ∧⊂␈ε	m␈↓ ∧9␈εβ.␈α≠(b␈α␈)␈αHere␈αare␈αso␈α␈me␈αi␈α↓n␈α}termed␈α␈iate␈αstep␈α␈s,␈αusin␈α␈g␈αt␈α␈he␈αmeth␈α␈od␈α␈ol-
␈βi␈↓ ↓d␈εε1␈↓ α>␈εε2␈↓ αu␈εε1␈↓ βS␈εε1␈↓ ∧-␈εε2
␈βα␈↓ 	a␈εε2
␈ββ␈↓ β<␈εα(␈↓ ε
␈εα)(␈↓ λk␈εα)
␈βε␈↓ ↓H␈εβo␈α␈gy␈αin␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t:␈↓ βH␈εβ(␈↓ βS␈ε	x␈↓ βw␈ε↔␈␈↓ ∧ ␈ε	x␈↓ ∧=␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈↓ ¬∧␈ε	x␈↓ ¬(␈ε↔␈␈↓ ¬R␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ)␈↓ ¬y␈ε	u␈↓ ε%␈εβ(␈↓ ε0␈ε	y␈↓ εU␈ε↔␈␈↓ ε}␈ε	y␈↓ π~␈εβ)␈α	+␈αλ(␈↓ πb␈ε	y␈↓ λπ␈ε↔␈␈↓ λ0␈ε	y␈↓ λL␈εβ)␈↓ λW␈ε	u␈↓ λ⎇␈εβmo␈α␈d␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	M␈ε	u␈↓ 	u␈εβ+␈↓ 
∨␈ε	u␈↓ 
;␈εβ+␈αλ1)␈α=
␈β⊃␈↓ βb␈εε0␈↓ ∧0␈εε2␈↓ ¬∀␈εε1␈↓ ¬a␈εε2␈↓ ε@␈εε0␈↓ π∞␈εε2␈↓ πr␈εε1␈↓ λ@␈εε2
␈β+␈↓ ↓H␈εα(␈↓ επ␈εα)␈↓ εD␈εα(␈↓ β␈εα)
␈β.␈↓ ↓T␈εβ(␈↓ ↓←␈ε	x␈↓ αβ␈ε↔␈␈↓ α-␈ε	x␈↓ αI␈εβ)(␈↓ α←␈ε	y␈↓ ββ␈ε↔␈␈↓ β-␈ε	y␈↓ βI␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(␈↓ ∧⊃␈ε	x␈↓ ∧5␈ε↔␈␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ∧{␈εβ)(␈↓ ¬⊃␈ε	y␈↓ ¬6␈ε↔␈␈↓ ¬←␈ε	y␈↓ ¬{␈εβ)␈↓ ε≠␈εβ+␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	x␈↓ π␈ε↔␈␈↓ π)␈ε	x␈↓ πE␈εβ)(␈↓ π[␈ε	y␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ)␈ε	y␈↓ λF␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(␈↓ 	∞␈ε	x␈↓ 	2␈ε↔␈␈↓ 	[␈ε	x␈↓ 	w␈εβ)␈α↓(␈↓ 
∞␈ε	y␈↓ 
2␈ε↔␈␈↓ 
\␈ε	y␈↓ 
x␈εβ)␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈β8␈↓ ↓n␈εε0␈↓ α<␈εε2␈↓ αn␈εε0␈↓ β=␈εε2␈↓ ∧ ␈εε1␈↓ ∧n␈εε2␈↓ ¬!␈εε1␈↓ ¬o␈εε2␈↓ εk␈εε0␈↓ π9␈εε2␈↓ πk␈εε0␈↓ λ9␈εε2␈↓ 	≥␈εε1␈↓ 	k␈εε0␈↓ 
≥␈εε1␈↓ 
k␈εε0
␈βU␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α|rs␈α␈t␈αr␈α␈ealization␈α
i␈α↓s
␈β
_␈↓ ∧%␈εβ∩␈↓ ε→␈εβ∩␈↓ λ(␈εβ∩
␈β
 ␈↓ βQ␈ε↓ ␈↓ βn␈εβ1␈α
1␈↓ ∧%␈εβ1␈↓ ∧A␈εβ0␈↓ ∧W␈ε↓!␈↓ ¬E␈ε↓ ␈↓ ¬a␈εβ1␈α1␈↓ ε→␈εβ1␈↓ ε5␈εβ0␈↓ εK␈ε↓!␈↓ π9␈ε↓ ␈↓ πU␈εβ1␈α1␈α1␈↓ λ(␈εβ2␈↓ λ?␈ε↓!
␈β
@␈↓ λ
␈εβ∩
␈β
C␈↓ 		␈εε1
␈β
G␈↓ ∧n␈εβ,␈↓ εb␈εβ,␈↓ λ]␈ε↔α␈↓ 	~␈εβ.
␈β
H␈↓ βn␈εβ1␈α
0␈α1␈α1␈↓ ¬a␈εβ1␈α0␈α1␈α1␈↓ πU␈εβ1␈α1␈↓ λ
␈εβ2␈↓ λ(␈εβ1
␈β
U␈↓ 		␈∧
U		α
␈β
W␈↓ 		␈εε3
␈β
g␈↓ ∧	␈εβ∩␈↓ ∧A␈εβ∩␈↓ ¬⎇␈εβ∩␈↓ ε5␈εβ∩␈↓ πq␈εβ∩
␈β
o␈↓ βn␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧%␈εβ0␈↓ ∧A␈εβ1␈↓ ¬a␈εβ1␈↓ ¬⎇␈εβ1␈↓ ε→␈εβ0␈↓ ε5␈εβ1␈↓ πU␈εβ1␈↓ πq␈εβ2␈↓ λ
␈εβ1␈α
1
␈β∞?␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αseco␈α␈nd␈α
realization␈α
is
␈β∂α␈↓ ∧A␈εβ∩␈↓ ε]␈εβ∩␈↓ λQ␈εβ∩
␈β∂	␈↓ βQ␈ε↓ ␈↓ ∧W␈ε↓!␈↓ ε	␈ε↓ ␈↓ π∂␈ε↓!␈↓ π⎇␈ε↓ ␈↓ 	β␈ε↓!
␈β∂
␈↓ βn␈εβ1␈α
1␈α1␈↓ ∧A␈εβ2␈↓ ε&␈εβ1␈α
1␈↓ ε]␈εβ1␈↓ εy␈εβ0␈↓ λ→␈εβ1␈α1␈↓ λQ␈εβ1␈↓ λm␈εβ0
␈β∂)␈↓ ∧%␈εβ∩␈↓ εA␈εβ∩␈↓ εy␈εβ∩
␈β∂-␈↓ ¬"␈εε1
␈β∂0␈↓ ∧u␈ε↔α␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ π&␈εβ,␈↓ 	~␈εβ.
␈β∂1␈↓ βn␈εβ1␈α
1␈↓ ∧%␈εβ2␈↓ ∧A␈εβ1␈↓ ε&␈εβ1␈↓ εA␈εβ1␈↓ ε]␈εβ0␈↓ εy␈εβ1␈↓ λ→␈εβ1␈α0␈α1␈α1
␈β∂?␈↓ ¬"␈∧∂?¬"α
␈β∂A␈↓ ¬"␈εε3
␈β∂Q␈↓ ∧	␈εβ∩␈↓ λ5␈εβ∩␈↓ λm␈εβ∩
␈β∂Y␈↓ βn␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ2␈↓ ∧%␈εβ1␈α1␈↓ ε&␈εβ1␈α
0␈α1␈α1␈↓ λ→␈εβ1␈↓ λ5␈εβ1␈↓ λQ␈εβ0␈↓ λm␈εβ1
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	r␈α␈esulting␈αλalg␈α␈orithm␈αλco␈α␈mpu␈α␈tes␈↓ ¬6␈ε	s␈↓ ¬W␈εβ=␈↓ εα␈ε	y␈↓ ε"␈εβ+␈↓ εH␈ε	y␈↓ εd␈εβ,␈↓ εv␈ε	s␈↓ π↔␈εβ=␈↓ πB␈ε	y␈↓ πb␈ε↔␈␈↓ λπ␈ε	y␈↓ λ$␈εβ,␈↓ λ6␈ε	s␈↓ λW␈εβ=␈↓ 	↓␈ε	y␈↓ 	"␈ε↔␈␈↓ 	G␈ε	y␈↓ 	c␈εβ,␈↓ 	v␈ε	s␈↓ 
↔␈εβ=␈↓ 
A␈ε	y␈↓ 
b␈ε↔␈␈↓ π␈ε	y␈↓ #␈εβ,
␈β⊂3␈↓ ¬B␈εε1␈↓ ε∩␈εε0␈↓ εW␈εε1␈↓ π↓␈εε2␈↓ πQ␈εε0␈↓ λ↔␈εε1␈↓ λA␈εε3␈↓ 	⊃␈εε2␈↓ 	W␈εε0␈↓ 
↓␈εε4␈↓ 
Q␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β⊂L␈↓ βe␈εε1␈↓ ε@␈εε1␈↓ 	+␈εε1
␈β⊂P␈↓ ↓H␈ε	s␈↓ ↓i␈εβ=␈↓ α∪␈ε	s␈↓ α/␈εβ+␈↓ αU␈ε	y␈↓ αr␈εβ;␈↓ β¬␈ε	m␈↓ β7␈εβ=␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧!␈εβ+␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧h␈εβ+␈↓ ¬∞␈ε	x␈↓ ¬*␈εβ)␈↓ ¬5␈ε	s␈↓ ¬M␈εβ,␈↓ ¬←␈ε	m␈↓ ε∩␈εβ=␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	x␈↓ ε|␈εβ+␈↓ π"␈ε	x␈↓ πC␈ε↔␈␈εβ␈α∧2␈↓ πy␈ε	x␈↓ λ∃␈εβ)␈↓ λ ␈ε	s␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λK␈ε	m␈↓ λ⎇␈εβ=␈↓ 	;␈εβ(␈↓ 	F␈ε	x␈↓ 	g␈ε↔␈␈εβ␈α¬2␈↓ 
≡␈ε	x␈↓ 
>␈εβ+␈↓ 
d␈ε	x␈↓ ␈εβ)␈↓ ␈ε	s␈↓ #␈εβ,
␈β⊂Z␈↓ ↓S␈εε5␈↓ α≡␈εε1␈↓ αe␈εε2␈↓ β!␈εε1␈↓ ∧⊂␈εε0␈↓ ∧W␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ ¬@␈εε5␈↓ ¬|␈εε2␈↓ εk␈εε0␈↓ π1␈εε1␈↓ λ	␈εε2␈↓ λ+␈εε2␈↓ λg␈εε3␈↓ 	V␈εε0␈↓ 
-␈εε1␈↓ 
t␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈β⊂↑␈↓ βe␈∧⊂↑βeα
␈↓ ε@␈∧⊂↑ε@α
␈↓ 	+␈∧⊂↑	+α
␈β⊂`␈↓ βe␈εε3␈↓ ε@␈εε3␈↓ 	+␈εε3
␈β⊂t␈↓ α(␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓z␈εβ=␈↓ α8␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ αu␈ε	x␈↓ β⊗␈εβ+␈↓ β<␈ε	x␈↓ β]␈εβ+␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∨␈εβ)␈↓ ∧*␈ε	s␈↓ ∧B␈εβ;␈↓ ∧U␈ε	t␈↓ ∧u␈εβ=␈↓ ¬∨␈ε	m␈↓ ¬M␈εβ+␈↓ ¬s␈ε	m␈↓ ε≤␈εβ,␈↓ ε/␈ε	t␈↓ εO␈εβ=␈↓ εy␈ε	m␈↓ π'␈ε↔␈␈↓ πM␈ε	m␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ	␈ε	t␈↓ λ(␈εβ=␈↓ λS␈ε	m␈↓ 	↓␈εβ+␈↓ 	'␈ε	m␈↓ 	P␈εβ,␈↓ 	b␈ε	w␈↓ 
∞␈εβ=␈↓ 
9␈ε	t␈↓ 
T␈ε↔␈␈↓ 
z␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β⊃α␈↓ ↓d␈εε4␈↓ β¬␈εε0␈↓ βL␈εε1␈↓ ∧∩␈εε2␈↓ ∧5␈εε4␈↓ ∧←␈εε1␈↓ ¬<␈εε1␈↓ ε∂␈εε2␈↓ ε9␈εε2␈↓ π∃␈εε1␈↓ πi␈εε2␈↓ λ∪␈εε3␈↓ λo␈εε1␈↓ 	C␈εε3␈↓ 	x␈εε0␈↓ 
C␈εε1␈↓ ↔␈εε3
␈β⊃ε␈↓ α(␈∧⊃εα(α
␈β⊃λ␈↓ α(␈εε3
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α≡␈ε	t␈↓ α<␈εβ+␈↓ αe␈ε	m␈↓ β∞␈εβ,␈↓ β"␈ε	w␈↓ βN␈εβ=␈↓ βy␈ε	t␈↓ ∧↔␈ε↔␈␈↓ ∧?␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ.
␈β⊃*␈↓ ↓↑␈εε1␈↓ α(␈εε3␈↓ β↓␈εε4␈↓ β8␈εε2␈↓ ∧β␈εε2␈↓ ∧\␈εε4
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓αβεπλ	∞⊂⊃∩∪∀∃⊗↔~≠≡ !01@ABCPQRSXYZbpp/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=(),./0123456789ACEFGHIMNOPRSTUVW[]↑abcdefghilmnoprsuyy/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=¬ε	
∞∂∩∪⊗_!"%&'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=066/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()*+,./0123456789<=>[]acdegilmnoprvxx/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+,/012344/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=β
∞∂⊂⊃∩∀∃⊗↔_→~≠≡#0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇⎇/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=
∞∂⊃∩∀∃⊗→ABCDEFGIKLMNOPQRTUXYabcdefghijklmnopqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=∃cdefijklmnpqrtuvww/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ACEINORSTWXX/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∞∂∪≠≤'(),-.12345689:;?ABCDEFGHIJKLMNPQRSTUVWYZabcdefghiklmnopqrstuvwxyz||/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=#,-.0123456789ABCDFGHJRSTY↑ghilmortt/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]= ()*+,-./0123456789:;=ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZZ/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=bcjno⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓αβ∧επλ	
⊃∩∀∃_→≤ !$)-1234<=?@GIMRS[\]↑←bcdefghijkprxx/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=↓β∧
∀∃≤!012bcdehijpp/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=α0@@/FONT#28=cmtitl[XGP,SYS]=ACEINORSTWXX/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.123456CEHINORSTXX/FONT#31=cmss8[XGP,SYS]=(),.178CEIPRS←inn/FONT#32=cmsss8[XGP,SYS]=,.IMPSTabcdefghilmnopqrstuvwxyy